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Estatística Aplicada à Engenharia
1
TOMADA DE DECISÃO PARA DUAS AMOSTRAS
Estatística Aplicada à Engenharia 1
1. Introdução;
2. Inferência sobre as médias de duas populações com variâncias conhecidas;
3. Inferência sobre as médias de duas populações com variâncias desconhecidas (e iguais);
4. Inferência sobre as médias de duas populações com variâncias desconhecidas (e diferentes);
5. Teste t emparelhado; 6. Inferência sobre a razão de variâncias de duas populações normais;
7. Referências
ROTEIRO
Estatística Aplicada à Engenharia 2
INTRODUÇÃO
Estatística Aplicada à Engenharia
3
• Já vimos a respeito de testes de hipóteses e intervalos de confiança para parâmetros de uma população (média, variância, proporção);
• Vamos estender os resultados para o caso de amostras independentes de duas populações;
• As inferências são baseadas em duas amostras
aleatórias de tamanhos n1 e n2, respectivamente;
INFERÊNCIA SOBRE A DIFERENÇA DE MÉDIAS
Estatística Aplicada à Engenharia 4
Estatística Aplicada à Engenharia
2
• X11, X12, ..., X1n1 é uma amostra aleatória de tamanho n1 com média e variância, respectivamente
• X21, X22, ..., X2n2 é uma amostra aleatória de tamanho n2 com média e variância, respectivamente • Se X1i e X2j forem normalmente distribuídos,
• Caso as amostras sejam oriundas de outras distribuições, as condições do Teorema Central do Limite se aplicarão;
INFERÊNCIA SOBRE A DIFERENÇA DE MÉDIAS
Estatística Aplicada à Engenharia 5
µ1 e σ
12;
µ2 e σ
22;
X1~N µ
1, σ1
2
n1
( ) e X2
~N µ2, σ2
2
n2
( );
• No caso em que as amostras forem independentes, as médias amostrais também apresentarão independência. Portanto,
• Logo,
• Esse resultado será usado no desenvolvimento de testes de hipóteses e intervalos de confiança para o parâmetro
INFERÊNCIA SOBRE A DIFERENÇA DE MÉDIAS
Estatística Aplicada à Engenharia 6
X1− X
2~N µ
1−µ
2, σ
21
n1
+ σ 22
n2
( );
Z =X1− X
2−(µ
1−µ
2)
σ 21
n1
+ σ 22
n2
~N(0,1);
µ1−µ
2;
INFERÊNCIA SOBRE AS MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES
Variâncias Conhecidas
Estatística Aplicada à Engenharia
7
• Suponha que estejamos interessados em testar se a diferença das médias é igual a um valor especificado, digamos
• A hipótese nula será
• O caso em que tem a ver com a situação em que queremos testar a igualdade de médias;
SUPOSIÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia 8
µ1−µ
2
Δ0;
H0: µ
1−µ
2= Δ
0;
Δ0= 0
Estatística Aplicada à Engenharia
3
• A estatística do teste sob H0 será
• Suponha que
• Um valor da amostra em que for consideravelmente diferente de pode ser considerado evidência de que H1 seja verdadeira;
SUPOSIÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia 9
x1− x
2
Z0=X1− X
2− Δ
0
σ 21
n1
+ σ 22
n2
;
H1: µ
1−µ
2≠ Δ
0;
Δ0
• A hipótese nula é um valor de referência:
• A hipótese alternativa é algo que se quer avaliar; • Os três possíveis casos de hipóteses alternativas são:
HIPÓTESES
H1:
µ1−µ
2≠ Δ
0
µ1−µ
2< Δ
0
µ1−µ
2> Δ
0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
;
Estatística Aplicada à Engenharia 10
H0: µ
1−µ
2= Δ
0;
• A estatística do teste é baseada na hipótese nula
• Se a hipótese nula for verdadeira,
• O caso acima vale se as amostras forem normais, caso contrário, a distribuição será aproximada, devido ao TCL;
ESTATÍSTICA DO TESTE
Z0~N(0,1);
Estatística Aplicada à Engenharia 11
Z0=X1− X
2− Δ
0
σ 21
n1
+ σ 22
n2
;
• Obtida uma estimativa da média de cada amostra, denotadas por o valor pode ser aplicado à estatística do teste, resultando na estatística observada do teste
• Como no caso de uma amostra, o valor da estatística observada auxilia na tomada de decisão, o que dependerá da formulação do teste;
ESTATÍSTICA OBSERVADA DO TESTE
x1 e x
2,
Estatística Aplicada à Engenharia 12
z0=x1− x
2− Δ
0
σ 21
n1
+ σ 22
n2
;
Estatística Aplicada à Engenharia
4
• Teste bilateral:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R :|x|≤ zα/2{ }
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2≠ Δ
0
RR = x ∈ R :|x|> zα/2{ }
−zα 2 0 zα 2
α 2 α 2
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 13
• Teste unilateral inferior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≥ −zα{ }
RR = x ∈ R : x < −zα{ }
−zα 0
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 14
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2< Δ
0
• Teste unilateral superior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≤ zα{ }
RR = x ∈ R : x > zα{ }
0 zα
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 15
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2> Δ
0
• Rejeitamos a hipótese nula H0, em favor da alternativa H1, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição;
• Teste bilateral:
• Teste unilateral inferior:
• Teste unilateral superior:
DECISÃO
z0< −z
α/2 ou z
0> z
α/2;
z0< −z
α;
z0> z
α;
Estatística Aplicada à Engenharia 16
Estatística Aplicada à Engenharia
5
Um idealizador de produtos está interessado em reduzir o tempo de secagem de um zarcão. Duas formulações de tinta são testadas: a formulação 1 tem uma química padrão e a formulação 2 tem um novo ingrediente, que deve reduzir o tempo de secagem. Da experiência, sabe-se que o desvio-padrão do tempo de secagem é igual a 8 minutos, e essa variabilidade não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente. Dez espécimes são pintados com a formulação 1 e outros dez espécimes são pintados com a formulação 2. Os tempos médios de secagem das amostras são, respectivamente,
EXEMPLO
x1=121 min. e x
2=112 min.
Estatística Aplicada à Engenharia 17
a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema?
R O interesse reside na diferença dos tempos médios de
secagem. Quer-se saber se o tempo de secagem usando a formação 2 é menor que o tempo médio de secagem usando a formulação 1 . Nesse caso, tem-se que Logo, as hipóteses associadas ao problema são
ou
EXEMPLO
H0: µ
1−µ
2= 0
H1: µ
1−µ
2> 0
Estatística Aplicada à Engenharia 18
(µ2)
(µ1)
Δ0= 0.
H0: µ
1= µ
2
H1: µ
1> µ
2
b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. • Erro Tipo I (rejeitar H0 em favor de H1 quando H0 é
verdadeira): Concluir que o tempo médio de secagem usando a formação 2 é menor que o tempo médio de secagem usando a formulação 1, quando na verdade não é. Ou ainda, concluir que o novo ingrediente reduz o tempo médio de secagem, quando não reduz;
• Erro Tipo II (não rejeitar H0 quando H0 é falsa): Concluir que a adição do novo ingrediente não reduz o tempo médio de secagem quando, na verdade, reduz.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 19
c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 5%.
R Uma vez que foi estabelecido um nível de significância
de 5%, e o teste é unilateral, temos que os valores críticos são associados a
Portanto,
EXEMPLO
zα= z
0,05=1,645.
RA = x ∈ R : x ≤1,645{ }RR = x ∈ R : x >1,645{ }
Estatística Aplicada à Engenharia 20
Estatística Aplicada à Engenharia
6
d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua:
R Note que e Desse modo, a estatística observada do teste será
Em outras palavras, Logo, rejeitamos H0. Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que a adição do novo ingrediente ajuda a reduzir o tempo médio de secagem.
EXEMPLO
z0=x1− x
2− Δ
0
σ 21
n1
+ σ 22
n2
=121−112−0
82
10+ 82
10
= 2,52.
z0∈ RR, pois z
0= 2,52 >1,645 = z
0,05.
x1=121
Estatística Aplicada à Engenharia 21
x2=112.
• Teste bilateral -
• Teste unilateral inferior –
• Teste unilateral superior -
NÍVEL DESCRITIVO (VALOR-P)
p̂ = 2P(Z >|z0|)
p̂ = P(Z < z0)
p̂ = P(Z > z0)
H0
: µ1−µ
2= Δ
0 vs. H
1: µ
1−µ
2≠ Δ
0
Estatística Aplicada à Engenharia 22
H0
: µ1−µ
2= Δ
0 vs. H
1: µ
1−µ
2< Δ
0
H0
: µ1−µ
2= Δ
0 vs. H
1: µ
1−µ
2> Δ
0
e) Calcule o nível descritivo do teste. Ao nível de significância de 1%, tome uma decisão e conclua.
R Como o teste é unilateral superior e z0 = 2,52, temos que o nível descritivo do teste será
Uma vez que rejeitamos H0. Logo, ao nível de significância de 1%, concluímos que a adição do novo ingrediente ajuda a reduzir o tempo médio de secagem.
EXEMPLO
p̂ = P(Z > z0)= P(Z > 2,52)
= 0,0059.
p̂ = 0,0059 < 0,01=α,
Estatística Aplicada à Engenharia 23
• Intervalo de confiança bilateral para a diferença de médias, ao nível de 100(1-α)%, é desenvolvido segundo o raciocínio
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
P −zα/2
≤ Z ≤ zα/2( ) =1−α
P −zα/2
≤X1− X
2−(µ
1−µ
2)
σ 21
n1
+ σ 22
n2
≤ zα/2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=1−α
P X1− X
2− z
α/2
σ 21
n1
+ σ 22
n2
≤ µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ z
α/2
σ 21
n1
+ σ 22
n2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =1−α
Estatística Aplicada à Engenharia 24
Estatística Aplicada à Engenharia
7
• Intervalo de confiança bilateral resultante para a diferença de médias, ao nível de 100(1-α)%, será
• O erro de estimação relacionado a esse intervalo é, portanto,
• O nível de confiança de 1-α é exato quando as populações são normais. Caso contrário, esse valor é aproximado, para amostras de tamanho grande.
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
X1− X
2− z
α/2
σ 21
n1
+ σ 22
n2
≤ µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ z
α/2
σ 21
n1
+ σ 22
n2
Estatística Aplicada à Engenharia 25
ε = zα/2
σ 21
n1
+ σ 22
n2
• Intervalo de confiança unilateral superior, ao nível de 100(1-α)%, para será
• Intervalo de confiança unilateral inferior, ao nível de
100(1-α)%, para será
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
Estatística Aplicada à Engenharia 26
µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ z
α
σ 21
n1
+ σ 22
n2
µ1−µ
2
µ1−µ
2
X1− X
2− z
α
σ 21
n1
+ σ 22
n2
≤ µ1−µ
2
f) Retornando ao exemplo do tempo secagem, calcule um intervalo unilateral inferior, com 95% de confiança, para a diferença das médias
R Observe que 1-α=0,95. Portanto, α=0,05. Desse modo,
Então, Logo, ao nível de 95% confiança, temos que a diferença dos tempos médios de secagem é superior a 3,11 minutos.
EXEMPLO
zα= z
0,05=1,645
Estatística Aplicada à Engenharia 27
µ1−µ
2
µ1−µ
2≥ X
1− X
2− z
α
σ 21
n+ σ 2
2
m
≥121−112−1,645 82
10+ 82
10
≥ 3,11
µ1−µ
2
Testes de resistência foram feitos em duas estruturas contendo dois teores diferentes de alumínio, denotadas por 1 e 2. De experiências passadas com o processo de fabricação dessas estruturas e com o procedimento de testes, os desvios padrão das resistências à tensão são considerados conhecidos. Os dados obtidos são resumidos abaixo. Apresente um intervalo com 90% de confiança para a diferença das resistências médias.
EXEMPLO 2
Estatística Aplicada à Engenharia 28
Estrutura Tamanho amostral
Resistência média amostra (Kg/mm2)
Desvio padrão
1 10 87,6 1,0
2 12 74,5 1,5
Estatística Aplicada à Engenharia
8
Note que 1-α=0,90. Então, α=0,10. Assim, como não foi especificado o tipo de intervalo, assumimos que seja um intervalo bilateral. Então, O intervalo resultante será Portanto, ao nível de confiança de 90%, temos que a diferença das resistências médias estará entre 12,22 Kg/mm2 e 13,98 Kg/mm2.
EXEMPLO 2
Estatística Aplicada à Engenharia 29
zα/2
= z0,05
=1,645.
X1− X
2− z
α/2
σ 21
n1
+ σ 22
n2
≤ µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ z
α/2
σ 21
n1
+ σ 22
n2
87,6−74,5−1,645 1,02
10+ 1,52
12≤ µ
1−µ
2≤ 87,6−74,5+1,645 1,02
10+ 1,52
12
12,22 ≤ µ1−µ
2≤13,98
• Pode-se querer estimar a diferença das médias de modo que o erro de estimação não exceda um certo valor ε;
• Nesse caso, se os tamanhos amostrais forem iguais, pode-se obter • Para intervalos bilaterais:
• Para intervalos unilaterais (superior ou inferior):
ESCOLHA DO TAMANHO DA AMOSTRA
n=zα/2
ε
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2
σ12 +σ
22( );
Estatística Aplicada à Engenharia 30
n=zα
ε
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2
σ12 +σ
22( );
INFERÊNCIA SOBRE AS MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES
Variâncias Desconhecidas
Estatística Aplicada à Engenharia
31
• X11, X12, ..., X1n1 é uma amostra aleatória de tamanho n1 com média e variância, respectivamente
• X21, X22, ..., X2n2 é uma amostra aleatória de tamanho n2 com média e variância, respectivamente
• As variâncias populacionais são desconhecidas. Portanto, já não é mais possível usar a estatística
SUPOSIÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia 32
µ1 e σ
12;
µ2 e σ
22;
Z0=X1− X
2− Δ
0
σ 21
n1
+ σ 22
n2
;
Estatística Aplicada à Engenharia
9
• Deve-se estimar as variâncias populacionais;
• A estatística do teste dependerá de duas situações;
• Caso 1: As variâncias são iguais;
• Caso 2: As variâncias são diferentes;
SUPOSIÇÕES
Sk2 =
1nk−1
Xki− X
k( )2
i=1
n
∑ ,k =1,2;
Estatística Aplicada à Engenharia 33
• Denotemos
• Nesse caso,
• A variância σ2 pode ser estimada combinando as variâncias amostrais
CASO 1: VARIÂNCIAS IGUAIS
Estatística Aplicada à Engenharia 34
Z0=X1− X
2− Δ
0
σ 1n1
+ 1n2
;
σ 21=σ 2
2=σ 2;
S21 e S2
2,
Sp2 =(n1−1)S
12 +(n
2−1)S2
2
n1+n
2−2
;
• Sob a hipótese nula
• Nesse caso,
em que
CASO 1: VARIÂNCIAS IGUAIS
Estatística Aplicada à Engenharia 35
T0=X1− X
2− Δ
0
Sp
1n1
+ 1n2
~ tν,
H0: µ
1−µ
2= Δ
0,
ν = n1+n
2−2;
• Teste bilateral:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R :|x|≤ tα/2,ν{ }
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2≠ Δ
0
RR = x ∈ R :|x|> tα/2,ν{ }
− tα 2, ν 0 tα 2, ν
α 2 α 2
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 36
Estatística Aplicada à Engenharia
10
• Teste unilateral inferior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≥ −tα ,ν{ }
RR = x ∈ R : x < −tα ,ν{ }
− tα, ν 0
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 37
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2< Δ
0
• Teste unilateral superior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≤ tα ,ν{ }
RR = x ∈ R : x > tα ,ν{ }
0 tα, ν
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 38
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2> Δ
0
• Rejeitamos a hipótese nula H0, em favor da alternativa H1, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição; • Teste bilateral:
• Teste unilateral inferior:
• Teste unilateral superior:
• Lembrando que
DECISÃO
t0< −t
α/2,ν ou t
0> t
α/2,ν;
t0< −t
α ,ν;
t0> t
α ,ν;
Estatística Aplicada à Engenharia 39
ν = n1+n
2−2;
• O valor crítico (teste unilateral) ou ( teste b i latera l ) é calculado de acordo c o m o n í v e l d e s i g n i f i c â n c i a estabelecido para o teste, satisfazendo em que
VALOR CRÍTICO
P X > tp,k( ) = p
tα ,ν
tα/2,ν
0 tp, k
p
X ~ tk.
Estatística Aplicada à Engenharia 40
Estatística Aplicada à Engenharia
11
Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está correntemente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que não mude o rendimento do processo. Para avaliar se o rendimento médio do processo difere de acordo com o catalisador utilizado, um teste é feito em uma planta piloto, resultando nos dados apresentados em seguida.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 41
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 42
a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema?
R O interesse está em saber se o rendimento médio do
processo utilizando o catalisador 1, denotado por μ1, difere do rendimento médio do processo usando o catalisador 2, denotado por μ2. Portanto, as hipóteses estatísticas associadas ao problema são
EXEMPLO
H0: µ
1= µ
2
H1: µ
1≠ µ
2
Estatística Aplicada à Engenharia 43
b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. • Erro Tipo I: Concluir que o rendimento médio do processo
químico usando o catalisador 1 difere do rendimento médio do processo químico usando o catalisador 2, quando, na verdade, isso não acontece;
• Erro Tipo II: Concluir que o rendimento médio do processo usando o catalisador 1 não difere do rendimento médio do processo usando o catalisador 2, quando, na verdade, os rendimentos médios diferem.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 44
Estatística Aplicada à Engenharia
12
c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 5%.
R Como os tamanhos amostrais são ambos iguais a 8,
temos que ν=8+8-2=14. Além disso, foi estabelecido um nível de significância de 5% e o teste é bilateral. Assim, temos que o valor crítico será
Portanto,
EXEMPLO
tα/2,ν
= t0,025;14
= 2,145.
RA = x ∈ R :|x|≤ 2,145{ }RR = x ∈ R :|x|> 2,145{ }
Estatística Aplicada à Engenharia 45
d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua:
R Os dados apresentaram médias amostrais Os desvios padrão amostrais foram,
respectivamente, Assim, temos que Isso resulta em
EXEMPLO
x1= 92,255 e
Estatística Aplicada à Engenharia 46
x2= 92,733.
s1= 2,39 e s
2= 2,98.
s2p=(n1−1)s
12 +(n
2−1)s2
2
n1+n
2−2
=(7)(2,39)2 +(7)(2,98)2
8+8−2= 7,30.
sp= s2
p= 7,30 = 2,70.
d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua:
R A estatística observada do teste será, portanto, Como -2,145<-0,35<2,145, não rejeitamos H0. Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que não há evidências que nos levem a crer que os rendimentos médios dos catalisadores diferem.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 47
t0=x1− x
2− Δ
0
sp
1n1
+ 1n2
=92,255−92,733−0
2,70 1/ 8+1/ 8= −0,35.
e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema?
R Foi necessário supor que as observações são
independentes, entre e dentre as amostras, e com distribuição normal. Além disso, supomos que as variâncias populacionais são iguais, apesar de desconhecidas.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 48
Estatística Aplicada à Engenharia
13
• Intervalo de confiança bilateral resultante para a diferença de médias, ao nível de 100(1-α)%, será
• O erro de estimação relacionado a esse intervalo é, portanto,
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
X1− X
2− t
α/2,νsp
1n1
+ 1n2
≤ µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ t
α/2,νsp
1n1
+ 1n2
Estatística Aplicada à Engenharia 49
ε = tα/2,ν
sp
1n1
+ 1n2
• Intervalo de confiança unilateral superior, ao nível de 100(1-α)%, para será
• Intervalo de confiança unilateral inferior, ao nível de
100(1-α)%, para será
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
Estatística Aplicada à Engenharia 50
µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ t
α ,νsp
1n1
+ 1n2
µ1−µ
2
µ1−µ
2
X1− X
2− t
α ,νsp
1n1
+ 1n2
≤ µ1−µ
2
f) No caso do exemplo dos catalisadores, apresente um intervalo bilateral, ao nível de confiança de 95%.
R Note que o erro de estimação é igual a Assim, aplicando a fórmula, obtemos
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 51
X1− X
2− t
α/2,νsp
1n1
+ 1n2
≤ µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ t
α/2,νsp
1n1
+ 1n2
92,255−92,733−2,8958 ≤ µ1−µ
2≤ 92,255−92,733+2,8958
−3,37 ≤ µ1−µ
2≤ 2,42
tα/2,ν
sp
1n1
+ 1n2
= (2,145)(2,70) 1/ 8+1/ 8 = 2,8958.
• Hipótese nula
• Nesse caso,
em que
CASO 2: VARIÂNCIAS DIFERENTES
Estatística Aplicada à Engenharia 52
T0=X1− X
2− Δ
0
S21
n1
+ S22
n2
~ tν,
H0: µ
1−µ
2= Δ
0,
ν =
S12
n1
+S22
n2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2
S12 / n
1( )2
n1+1
+S22 / n
2( )2
n2+1
−2;
Estatística Aplicada à Engenharia
14
• Teste bilateral:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R :|x|≤ tα/2,ν{ }
RR = x ∈ R :|x|> tα/2,ν{ }
− tα 2, ν 0 tα 2, ν
α 2 α 2
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 53
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2≠ Δ
0
• Teste unilateral inferior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≥ −tα ,ν{ }
RR = x ∈ R : x < −tα ,ν{ }
− tα, ν 0
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 54
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2< Δ
0
• Teste unilateral superior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≤ tα ,ν{ }
RR = x ∈ R : x > tα ,ν{ }
0 tα, ν
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 55
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2> Δ
0
• Rejeitamos a hipótese nula H0, em favor da alternativa H1, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição;
DECISÃO
t0< −t
α/2,ν ou t
0> t
α/2,ν;
t0< −t
α ,ν;
t0> t
α ,ν;
Estatística Aplicada à Engenharia 56
• Teste bilateral:
• Teste unilateral inferior:
• Teste unilateral superior:
• Lembrando que
ν =
S12
n1
+S22
n2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2
S12 / n
1( )2
n1+1
+S22 / n
2( )2
n2+1
−2;
Estatística Aplicada à Engenharia
15
Um fabricante de unidades de vídeos está testando dois projetos de microcircuitos para determinar se eles produzem correntes médias equivalentes. A engenharia de desenvolvimento obteve os dados abaixo:
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 57
Projeto Tamanho amostral Média amostral Variância amostral
1 15 24,2 10
2 10 23,9 20
a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema?
R O interesse reside em determinar se a corrente média
produzida pelo projeto 1, denotado por μ1, difere da corrente média produzida pelo projeto 2, denotado por μ2. Portanto, as hipóteses estatísticas associadas ao problema são
EXEMPLO
H0: µ
1= µ
2
H1: µ
1≠ µ
2
Estatística Aplicada à Engenharia 58
b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. • Erro Tipo I: Concluir que as correntes médias produzidas
pelos dois projetos diferem, quando, na verdade, elas não diferem;
• Erro Tipo II: Concluir que as correntes médias produzidas pelos dois projetos não diferem, quando, na verdade, elas diferem.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 59
c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 10%.
R Vamos supor que as variâncias (desconhecidas) das
correntes dos dois projetos sejam diferentes. Portanto,
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 60
ν =
S12
n1
+S22
n2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2
S12 / n
1( )2
n1+1
+S22 / n
2( )2
n2+1
−2 =
1015
+2010
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
10 /15( )2
16+20 /10( )
2
11
−2
=16,17 ≈16;
Estatística Aplicada à Engenharia
16
c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 10%.
R Além disso, foi estabelecido um nível de significância
de 10% e o teste é bilateral. Assim, temos que o valor crítico será
Portanto,
EXEMPLO
tα/2,ν
= t0,05;16
=1,746.
RA = x ∈ R :|x|≤1,746{ }RR = x ∈ R :|x|>1,746{ }
Estatística Aplicada à Engenharia 61
d) Ao nível de significância de 10%, tome uma decisão e conclua:
R Os dados apresentaram médias amostrais As variâncias amostrais são, respectivamente, Assim, a estatística observada do teste
será
EXEMPLO
x1= 24,2 e
Estatística Aplicada à Engenharia 62
x2= 23,9.
s12 =10 e s
2=15.
t0=x1− x
2
s12
n1
+s22
n2
=24,2−23,9
1015
+2010
= 0,18.
d) Ao nível de significância de 10%, tome uma decisão e conclua:
R Como -1,746 < 0,18 < 1,746, não rejeitamos H0. Portanto, ao nível de significância de 10%, concluímos que não há evidências suficientes que nos levem a crer que a corrente média difere nos dois projetos.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 63
e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema?
R Foi necessário supor que as observações são
independentes, entre e dentre as amostras, e com distribuição normal. Além disso supomos que as variâncias das correntes nos dois projetos são diferentes.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 64
Estatística Aplicada à Engenharia
17
• Intervalo de confiança bilateral resultante para a diferença de médias, ao nível de 100(1-α)%, será
• O erro de estimação relacionado a esse intervalo é, portanto,
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
X1− X
2− t
α/2,ν
s12
n1
+ s22
n2
≤ µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ t
α/2,ν
s12
n1
+ s22
n2
Estatística Aplicada à Engenharia 65
ε = tα/2,ν
s12
n1
+ s22
n2
• Intervalo de confiança unilateral superior, ao nível de 100(1-α)%, para será
• Intervalo de confiança unilateral inferior, ao nível de
100(1-α)%, para será
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
Estatística Aplicada à Engenharia 66
µ1−µ
2≤ X
1− X
2+ t
α ,ν
s12
n1
+ s22
n2
µ1−µ
2
µ1−µ
2
X1− X
2− t
α ,ν
s12
n1
+ s22
n2
≤ µ1−µ
2
f) No caso do exemplo dos projetos de microcircuitos, apresente um intervalo bilateral, ao nível de confiança de 90%.
R Aplicando a fórmula, obtemos
Logo, ao nível de confiança de 90%, temos que a diferença das correntes médias dos projetos está entre -2,55 e 3,15.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 67
x1− x
2− t
α/2,ν
s12
n1
+ s22
n2
≤ µ1−µ
2≤ x
1− x
2+ t
α/2,ν
s12
n1
+ s22
n2
24,2−23,9−1,746 1015+ 2010≤ µ
1−µ
2≤ 24,2−23,9+1,746 10
15+ 2010
−2,55 ≤ µ1−µ
2≤ 3,15
TESTE t EMPARELHADO
Estatística Aplicada à Engenharia
68
Estatística Aplicada à Engenharia
18
• Um caso especial de teste t para duas amostras;
• Útil quando as observações nas duas populações de interesse são coletadas aos pares;
• Cada par de observações, do tipo (X1i, X2i), é tomado sob condições homogêneas, embora essas condições possam mudar de um par para o outro;
INTRODUÇÃO
Estatística Aplicada à Engenharia 69
Suponha que estejamos interessados em comparar dois tipos diferentes de ponteiras para uma máquina de teste de dureza. Essa máquina pressiona, com uma força conhecida, a ponteira no corpo de prova metálico. Medindo a profundidade da depressão causada pela ponteira, a dureza do corpo de prova pode ser determinada. Um procedimento experimental poderoso é coletar os dados em pares, isto é, fazer duas leituras de dureza em cada corpo de prova, uma com cada ponteira. O procedimento consistiria em analisar as diferenças entre as leituras de dureza em cada corpo de prova. Se não houver diferença entre as ponteiras, então a média das diferenças deveria ser nula.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 70
• Seja (X11,X21), (X12,X22), ..., (X1n,X2n) um conjunto de n observações emparelhadas; • A média e o desvio padrão da população
representada por X1 são denotadas por μ1 e σ1, respectivamente; • A média e o desvio padrão da população
representada por X2 são denotadas por μ2 e σ2, respectivamente; • As diferenças entre os pares de observações são
denotadas por
SUPOSIÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia 71
Di= X
1i− X
2 i, i =1,2,!,n;
• As diferenças Di’s são consideradas normalmente distribuídas com média
• A variância das diferenças, são desconhecidas;
• Pode-se empregar um teste t como no caso de uma amostra para testar hipóteses a respeito de
• Os testes a seguir são equivalentes
SUPOSIÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia 72
H0: µ
1−µ
2= Δ
0
H1: µ
1−µ
2≠ Δ
0
µD= E(D
i)= E(X
1i− X
2 i)= µ
1−µ
2;
σD2,
µD;
H0: µ
D= Δ
0
H1: µ
D≠ Δ
0
Estatística Aplicada à Engenharia
19
• A variância das diferenças pode ser estimada por
• Sob a hipótese nula, a estatística do teste será
• Sempre que n ≥ 30, pode-se aplicar o Teorema Central
d o L i m i t e e , s o b H 0 , T 0 t e r á d i s t r i b u i ç ã o aproximadamente normal, com média zero e variância 1;
SUPOSIÇÕES
SD2 =
1n−1
Di−D( )
2, em que D =
1n
Di
i=1
n
∑i=1
n
∑ ;
T0=D− Δ
0
SD/ n
~ tn−1;
Estatística Aplicada à Engenharia 73
• Teste bilateral:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R :|x|≤ tα/2,n−1{ }
H0: µ
D= Δ
0
H1: µ
D≠ Δ
0
RR = x ∈ R :|x|> tα/2,n−1{ }
− tα 2, n−1 0 tα 2, n−1
α 2 α 2
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 74
• Teste unilateral inferior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≥ −tα ,n−1{ }
H0: µ
D= Δ
0
H1: µ
D< Δ
0
RR = x ∈ R : x < −tα ,n−1{ }
− tα, n−1 0
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 75
• Teste unilateral superior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≤ tα ,n−1{ }
H0: µ
D= Δ
0
H1: µ
D> Δ
0
RR = x ∈ R : x > tα ,n−1{ }
0 tα, n−1
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 76
Estatística Aplicada à Engenharia
20
• Rejeitamos a hipótese nula H0, em favor da alternativa H1, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição; • Teste bilateral:
• Teste unilateral inferior:
• Teste unilateral superior:
DECISÃO
t0< −t
α/2,n−1 ou t
0> t
α/2,n−1;
t0< −t
α ,n−1;
t0> t
α ,n−1;
Estatística Aplicada à Engenharia 77
• O valor crítico (teste unilateral) ou ( teste b i latera l ) é calculado de acordo c o m o n í v e l d e s i g n i f i c â n c i a estabelecido para o teste, satisfazendo em que
VALOR CRÍTICO
P X > tp,k( ) = p
tα ,n−1
tα/2,n−1
0 tp, k
p
X ~ tk.
Estatística Aplicada à Engenharia 78
Um artigo no Journal of Strain Analysis (1983, Vol. 18, No 2) compara vários métodos para predizer a resistência de cisalhamento para traves planas metálicas. Dados para dois desses métodos, os procedimentos de Karlsruhe e Lehigh, quando aplicados a nove traves específicas, são mostrados na tabela a seguir. O principal objetivo no estudo é avaliar se, em média, há diferença entre os dois métodos.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 79
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 80
Trave Método de Karlsruhe
Método de Lehigh
Diferença di
S1/1 1,186 1,061 0,125
S2/1 1,151 0,992 0,159
S3/1 1,322 1,063 0,259
S4/1 1,339 1,062 0,277
S5/1 1,200 1,065 0,135
S2/1 1,402 1,178 0,224
S2/2 1,365 1,037 0,328
S2/3 1,537 1,086 0,451
S2/4 1,559 1,052 0,507
Estatística Aplicada à Engenharia
21
a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema?
R O interesse está em saber a resistência média ao
cisalhamento difere nos dois métodos. Em outras palavras, quer-se avaliar se a diferença na resistência média ao cisalhamento μD é diferente de zero. Desse modo, as hipóteses associadas ao problema são
EXEMPLO
H0: µ
D= 0
H1: µ
D≠ 0
Estatística Aplicada à Engenharia 81
b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. • Erro Tipo I: Concluir que a resistência média ao
cisalhamento difere nos dois métodos quando, na verdade, ela não difere;
• Erro Tipo II: Concluir que a resistência média ao cisalhamento uti l izando o método Karlsruhe é equivalente à resistência média ao cisalhamento usando o método de Lehigh quando, na verdade, essas médias diferem.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 82
c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 5%.
R Um vez que foi estabelecido um nível de significância
de 5%, o número de observações pareadas é n = 9 e o teste é bilateral, temos que o valor crítico será
Portanto,
EXEMPLO
tα/2,n−1
= t0,025;8
= 2,306.
RA = x ∈ R :|x|≤ 2,306{ }RR = x ∈ R :|x|> 2,306{ }
Estatística Aplicada à Engenharia 83
d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua:
R A partir das observações das diferenças, obtivemos uma média amostral e um desvio padrão amostral de, respectivamente,
Desse modo,
Logo, rejeitamos H0, pois Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que, em média, os métodos de previsão da resistência fornecem resultados diferentes.
EXEMPLO
t0=d− Δ
0
sd/ n
=0,2739−0
0,1356 / 9= 6,08.
t0= 6,08 > 2,306 = t
0,025;8.
d = 0,2739 e sd= 0,1356.
Estatística Aplicada à Engenharia 84
Estatística Aplicada à Engenharia
22
e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema?
R As observações são independentes dentro de cada
amostra, normalmente distribuídas e as amostras são pareadas.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 85
• Intervalo de confiança bilateral para μD, ao nível de 100(1-α)%:
• O erro de estimação será, portanto,
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
D−ε ≤ µD≤ D+ε
D− tα/2,n−1
SD
n≤ µ
D≤ D+ t
α/2,n−1
SD
n
ε = tα/2,n−1
SD
n;
Estatística Aplicada à Engenharia 86
• Intervalo de confiança unilateral inferior para μD, ao nível de 100(1-α)%:
• Intervalo de confiança unilateral superior para μD, ao
nível de 100(1-α)%:
TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA
Estatística Aplicada à Engenharia 87
D− tα ,n−1
SD
n≤ µ
D
µD≤ D+ t
α ,n−1
SD
n
f) No caso do exemplo da resistência ao cisalhamento, apresente um intervalo de confiança bilateral, ao nível de 95%.
R Aplicando a fórmula, obtemos
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 88
d− tα/2,n−1
sD
n≤ µ
D≤ d+ t
α/2,n−1
sD
n
0,2739−(2,306)0,1356
9≤ µ
D≤ 0,2739+(2,306)
0,1356
90,17 ≤ µ
D≤ 0,38
Estatística Aplicada à Engenharia
23
O periódico Human Factors (1962, pp. 375-380) reporta um estudo em que se pediu a n = 14 pessoas para estacionarem dois carros, de forma paralela, tendo barras de direção e raios de giro muito diferentes. O tempo em segundos para cada pessoa foi registrado, sendo apresentado na tabela a seguir. Da coluna das diferenças observadas, calculamos a média e o desvio padrão amostrais de 1,21 e 12,68, respectivamente.
EXEMPLO 2
Estatística Aplicada à Engenharia 89 Estatística Aplicada à Engenharia 90
Indivíduo Tempo Automóvel 1
Tempo Automóvel 2
Diferença dos tempos di
1 37,0 17,8 19,2
2 25,8 20,2 5,6
3 16,2 16,8 -0,6
4 24,2 41,4 -17,2
5 22,0 21,4 0,6
6 33,4 38,4 -5,0
7 23,8 16,8 7,0
8 58,2 32,2 26,0
9 33,6 27,8 5,8
10 24,4 23,2 1,2
11 23,4 29,6 -6,2
12 21,2 20,6 0,6
13 36,2 32,2 4,0
14 29,8 53,8 -24,0
Apresente um intervalo de confiança para a diferença das médias, ao nível de 90%. Observe que Portanto, aplicando a fórmula, obtemos
Logo, ao nível de confiança de 90%, os dados não justificam a afirmação de que os tempos médios para estacionar os dois carros diferem.
EXEMPLO 2
Estatística Aplicada à Engenharia 91
tα/2,n−1
= t0,05;13
=1,771.
d− tα/2,n−1
sD
n≤ µ
D≤ d+ t
α/2,n−1
sD
n
1,21−(1,771)12,68
14≤ µ
D≤1,21+(1,771)
12,68
14−4,79 ≤ µ
D≤ 7,21
INFERÊNCIA SOBRE A RAZÃO DE VARIÂNCIAS DE DUAS POPULAÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia
92
Estatística Aplicada à Engenharia
24
• X11, X12, ..., X1n1 é uma amostra aleatória de tamanho n1 com média e variância, respectivamente,
• X21, X22, ..., X2n2 é uma amostra aleatória de tamanho n2 com média e variância, respectivamente,
• As variâncias amostrais são calculadas fazendo
SUPOSIÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia 93
µ1 e σ
12;
µ2 e σ
22;
Sk2 =
1nk−1
Xki− X
k( )2
i=1
n
∑ ,k =1,2;
• Quando as amostras forem normais e independentes, pode-se verificar que
• A estatística acima é dita ter distribuição F com n1 - 1 graus de liberdade no numerador e n2 - 1 graus de liberdade no denominador;
SUPOSIÇÕES
Estatística Aplicada à Engenharia 94
F =S12 /σ
12
S22 /σ
22~ F
n1−1;n
2−1;
DISTRIBUIÇÃO F
Definição: Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição F com υ graus de liberdade no numerador e ν graus de liberdade no denominador (X~Fυ;ν) se sua função densidade de probabilidade f for escrita como
f(x)=
Γυ +ν
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟υ
ν
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
υ/2
Γυ
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Γ
ν
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
υ
ν
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟x+1
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
(υ+ν )/2,x > 0.
Estatística Aplicada à Engenharia 95
DISTRIBUIÇÃO F
0 2 4 6 80.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
f(x)
F5, 5F25, 5F5, 25
Estatística Aplicada à Engenharia 96
Estatística Aplicada à Engenharia
25
O ponto percentil denotado por é tal que
em que Por exemplo,
DISTRIBUIÇÃO F
fp, u, v
p
F ~ Fυ ;ν.
Estatística Aplicada à Engenharia 97
fα ;υ ;ν
P F > fα ;υ ;ν( ) =α
P F > f0,05;5;10( ) = P F > 3,33( ) = 0,05
Uma propriedade muito interessante da distribuição F é que
Por exemplo,
DISTRIBUIÇÃO F
f1−p, u, v
1−p
Estatística Aplicada à Engenharia 98
f1−p;υ ;ν
=1fp;ν ;υ
f0,95;5;10
=1
f0,05;10;5
=14,74
= 0,211
Uma propriedade muito interessante da distribuição F é que
Por exemplo,
DISTRIBUIÇÃO F
1fp, v, u
1−p
Estatística Aplicada à Engenharia 99
f1−p;υ ;ν
=1fp;ν ;υ
f0,95;5;10
=1
f0,05;10;5
=14,74
= 0,211
• Hipótese nula - • Sob H0, temos que a estatística do teste será
• Portanto, sob a hipótese nula, a estatística do teste tem distribuição F com n1 - 1 graus de liberdade no numerador e n2 - 1 graus de l iberdade no denominador;
TESTE DE VARIÂNCIAS
Estatística Aplicada à Engenharia 100
F0=S12 /σ
12
S22 /σ
22=S12 /σ
12
S22 /σ
12=S12
S22~ F
n1−1;n
2−1;
H0:σ
12 =σ
22
Estatística Aplicada à Engenharia
26
• Teste bilateral:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = {x ∈ R :
f1−α/2;n
1−1;n
2−1≤ x ≤ f
α/2;n1−1;n
2−1
}
H0:σ
12 =σ 2
2
H1:σ
12 ≠σ 2
2
RR = {x ∈ R : x < f1−α/2;n
1−1;n
2−1
ou x > fα/2;n
1−1;n
2−1
}f1−α 2, n1−1, n2−1 fα 2, n1−1, n2−1
α 2 α 2
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 101
• Teste unilateral inferior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≥ f1−α ;n
1−1;n
2−1{ }
RR = x ∈ R : x < f1−α ;n
1−1;n
2−1{ }
f1−α, n1−1, n2−1
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 102
H0:σ
12 =σ 2
2
H1:σ
12 <σ 2
2
• Teste unilateral superior:
• Região de aceitação:
• Região de rejeição:
REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO
RA = x ∈ R : x ≤ fα ;n
1−1;n
2−1{ }
RR = x ∈ R : x > fα ;n
1−1;n
2−1{ }
fα, n1−1, n2−1
α
Região de RejeiçãoRegião de Aceitação
Estatística Aplicada à Engenharia 103
H0:σ
12 =σ 2
2
H1:σ
12 >σ 2
2
• Rejeitamos a hipótese nula H0, em favor da alternativa H1, quando a estatística observada do teste (f0) pertencer à região de rejeição;
• Teste bilateral:
• Teste unilateral inferior:
• Teste unilateral superior:
DECISÃO
f0< f
1−α/2;n1−1;n
2−1
ou f0> f
α/2;n1−1;n
2−1;
f0< f
1−α ;n1−1;n
2−1;
f0> f
α ;n1−1;n
2−1;
Estatística Aplicada à Engenharia 104
Estatística Aplicada à Engenharia
27
Camadas de óxidos em pastilhas de semicondutores são atacadas em uma mistura de gases, de modo a atingir a espessura apropriada. A variabilidade na espessura dessas camadas de óxidos é uma característica crítica da pastilha. Uma baixa variabilidade é desejada para as etapas subsequentes do processo. Duas misturas diferentes de gases estão sendo estudadas para determinar se uma delas é superior na redução da variabilidade da espessura das camadas de óxido. Dezesseis pastilhas são atacadas com cada gás. Os desvios padrão da espessura de óxido são s1 = 1,96 angströms e s2 = 2,13 angströms, respectivamente. Quer-se saber se há alguma evidência indicando que um gás seja preferível em relação ao outro.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 105
a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema?
R Os parâmetros de interesse são as variâncias, da espessura das camadas de óxido. Como o interesse é saber se algum dos gases é preferível, sem especificar qual, as hipóteses associadas ao problema são
EXEMPLO
H0:σ
12 =σ
22
H1:σ
12 ≠σ
22
Estatística Aplicada à Engenharia 106
σ12 e σ
22,
b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. • Erro Tipo I: Concluir que há uma mistura de gases
preferível, quando na verdade ambas apresentam a mesma variabilidade na espessura das camadas;
• Erro Tipo II: Concluir que as misturas de gases apresentam a mesma variabilidade na espessura das camadas, quando na verdade há um mistura de gases preferível.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 107
c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de 5% de significância.
R Um vez que foi estabelecido um nível de significância
de 5%, os tamanhos amostrais são n1 = n2 = 16 e o teste é bilateral, temos que os valores críticos serão
Portanto,
EXEMPLO
fα/2;n
1−1;n
2−1= f
0,025;15;15= 2,86
f1−α/2;n
1−1;n
2−1= f
0,975;15;15=1/ f
0,025;15;15=1/ 2,86 = 0,35
RA = x ∈ R : 0,35 ≤ x ≤ 2,86{ }RR = x ∈ R : x < 0,35 ou x > 2,86{ }
Estatística Aplicada à Engenharia 108
Estatística Aplicada à Engenharia
28
d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua:
R Os desvios padrão das amostras foram s1 = 1,96 e s2 = 2,13. Portanto, a estatística observada do teste será
Como a estatística observada do teste pertence à região de aceitação, não rejeitamos H0. Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que não há evidências suficientes que nos levem a crer que alguma das misturas de gases seja preferível.
EXEMPLO
f0=s12
s22=(1,96)2
(2,13)2=3,844,54
= 0,85.
Estatística Aplicada à Engenharia 109
e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema?
R Foi necessário supor que as observações são
independentes, dentre e entre as amostras, e com distribuição normal.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 110
• Se s1 e s2 forem os desvios padrão amostrais de amostras aleatórias com tamanhos n1 e n2, respectivamente, provenientes de duas populações normais independentes, então um intervalo de confiança para a razão das variâncias populacionais, ao nível de 100(1-α)%, será
INTERVALOS DE CONFIANÇA
s12
s22f1−α/2;n
2−1;n
1−1≤σ12
σ22≤s12
s22fα/2;n
2−1;n
1−1
Estatística Aplicada à Engenharia 111
Uma companhia fabrica propulsores para uso em motores de avião. Uma das operações envolve esmeri lhar o acabamento de uma superfície particular para um componente de liga de titânio. Dois processos diferentes para esmerilhar podem ser usados, podendo produzir peças com iguais rugosidades médias da superfície. Um engenheiro de manutenção gostaria de selecionar o processo tendo a menor variabilidade na rugosidade da superfície. Uma amostra aleatória de n1 = 11 peças, provenientes do primeiro processo, resulta em um desvio padrão de s1 = 5,1 micropolegadas. Uma amostra aleatória de n2 = 16 peças, proveniente do segundo processo, resulta em um desvio padrão de s2 = 4,7 micropolegadas. Apresente um intervalo de confiança de 90% para a razão das variâncias
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 112 σ12 /σ
22.
Estatística Aplicada à Engenharia
29
R Sabemos que 1 – α = 0,90, n1 = 11 e n2 = 16. Assim,
Assim, considerando que as amostras dos dois processos sejam independentes e que a rugosidade da superfície tenha distribuição normal, calculamos
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 113
fα/2;n
2−1;n
1−1= f
0,05;15;10= 2,85
f1−α/2;n
2−1;n
1−1= f
0,95;15;10=1/ f
0,05;10;15=1/ 2,54 = 0,39
Logo, ao nível de confiança de 90%, não podemos afirmar que as variâncias da rugosidade da superfície para os dois processos sejam diferentes, pois o intervalo contém o valor unitário.
EXEMPLO
Estatística Aplicada à Engenharia 114
s12
s22f1−α/2;n
2−1;n
1−1≤σ12
σ22≤s12
s22fα/2;n
2−1;n
1−1
(5,1)2
(4,7)20,39 ≤
σ12
σ22≤(5,1)2
(4,7)22,85
0,46 ≤σ12
σ22≤ 3,36