TOÁN CAO CẤP 1 - nguyenvantien0405.files.wordpress.com · 7/3/2016 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm sản xuất ngắn hạn •Mô tả sự phụ thuộc

7/3/2016

1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

CÁC HÀM KINH TẾ VÀ ỨNG DỤNG


Hàm cung và hàm cầu

• Các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu của một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó.

• Hàm cung và hàm cầu có dạng

• Trong đó p là giá hàng hóa; QS là lượng cung: tức là lượng hàng hóa người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; QD là lượng cầu: tức là lượng hàng hóa người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.

;S DQ S p Q D p



• Khi xem xét mô hình hàm cung, hàm cầu nói trên ta giả thiết rằng các yếu tố khác không đổi.

• Quy luật thị trường trong kinh tế học nói rằng, đối với hàng hóa thông thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng, còn hàm cầu là hàm đơn điệu giảm. Đồ thị của hàm cung (hàm cầu) gọi là đường cung (đường cầu). Giao điểm của đường cung và đường cầu được gọi là điểm cân bằng của thị trường.



• Trong kinh tế học nhiều khi người ta vẫn gọi hàm ngược của hàm QS=S(p) là hàm cung và hàm ngược của hàm QD=D(p) là hàm cầu:

1

1

( ) ( )

( ) ( )

S S

d d

Q S p p S Q

Q D p p D Q

7/3/2016

2


Hàm chi phí – Hàm doanh thu

• Hàm chi phí: là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản xuất (TC) vào sản lượng (Q):

• Hàm doanh thu: là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu (TR) vào sản lượng (Q):

( )TC TC Q

( )TR TR Q


Hàm lợi nhuận

• Hàm lợi nhuận: là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận vào sản lượng (Q):

• Hàm lợi nhuận có thể xác định bởi

( ) ( )TR Q TC Q

Q


Hàm tiêu dùng – Hàm tiết kiệm

• Hàm tiêu dùng: biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng(C) vào thu nhập (Y):

• Hàm tiết kiệm: Là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm (S) vào thu nhập (Y):

C C Y

S S Y


Hàm sản xuất ngắn hạn

• Mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào, gọi là các yếu tố sản xuất, như vốn và lao động…

• Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không thể thay đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tổ sản xuất có thể thay đổi.

• Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn (Capital) và lao động (Labor), được ký hiệu tương ứng là K và L

• Ví dụ: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas phụ thuộc vào một trong hai yếu tố vốn và lao động: là các số dương)

7/3/2016

3


Hàm sản xuất ngắn hạn

• Mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) vào các yếu tố đầu vào, gọi là các yếu tố sản xuất, như vốn và lao động…

• Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không thể thay đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tổ sản xuất có thể thay đổi.

• Khi phân tích sản xuất, ta quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn (Capital) và lao động (Labor), được ký hiệu tương ứng là K và L

• Ví dụ: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas phụ thuộc vào một trong hai yếu tố vốn và lao động:

; ( , , , 0)Q aK Q bL a b


Các hàm khác

• Hàm đầu tư phụ thuộc vào lãi suất:

trong đó r là lãi suất

• Hàm quỹ vốn theo thời gian:

trong đó t là thời gian.

• Hàm đầu tư theo thời gian:

trong đó t là thời gian

I I r

K K t

I I t


Cấp số nhân và ứng dụng

• Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số xn thỏa mãn điều kiện:

• Với q không đổi, gọi là công bội của cấp số nhân.

• Khi -1<q<1 thì cấp số nhân được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

1 , 1,2,3...n nx x q n


Cấp số nhân và ứng dụng

• Ta có:

• Khi -1<q<1 thì:

• Ta có thể viết:

1 11 1 2

(1 ). ;

1

nn

n n n

x qx x q S x x x

q

1lim1

nn

xS

q

11 2

1 1n n

n

xS x x x x

q

7/3/2016

4


Cấp số nhân trong phân tích tài chính

• A. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ

• Gửi một khoản tiền A đồng vào ngân hàng với mức lãi suất cố định thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận một khoản tiền lớn hơn là B=A+tiền lãi

• B: gọi là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm nay.

• A: gọi là giá trị hiện tại của khoản B đồng trong tương lai.

• Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính, người ta gia thiết rằng có một mức lãi suất chung. Ta gọi mức lãi suất chung là r.



• Giả sử một người có một khoản tiền A đồng thì sau một năm, với lãi suất r một năm, người đó sẽ có một khoản tiền gộp cả lãi lẫn gốc là:

• Gọi Bt là số tiền người đó có sau t năm. Ta có:

1 (1 )B A rA r A

0 (1 )t t

tB B q A r



• Giá trị tương lai của A đồng người đó có hôm nay sau t năm là:

• Giá trị hiện tại của một khoản B đồng mà người đó sẽ nhận sau t năm là

(1 )tB A r

(1 )(1 )

t

t

BA B r

r


Ví dụ 1

• Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, ta thử đánh giá xem có nên thực hiện dự án đó hay không?

7/3/2016

5


Ví dụ 1

• Giá trị tương lai sau 3 năm của khoản chi phí 100 triệu đồng bỏ ra hôm nay là:

• Con số này nhỏ hơn 150 triệu sẽ thu về, tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn là đem tiền cho vay.

3100(1 0,08) 125,971B


Giá trị hiện tại ròng

• Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triển khai dự án.

• Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản do dự án đem lại sau t năm, r là lãi suất năm và NPV( Net Present Value) là giá trị hiện tại ròng của dự án, ta có:

(1 ) tNPV B r C


Giá trị hiện tại ròng

• Một tiêu chuẩn cơ bản để dự án đầu tư được chấp thuận là NPV>0.

• Ở ví dụ trên

3150(1 0,08) 100 19,075 0NPV


Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn

• Kỳ khoản là các khoản tiền tích góp đều đặn theo định kz (hàng tháng, hang quý, hàng năm…). Kz khoản định kz hàng năm được gọi là niên khoản hay niên kim (annuity).

7/3/2016

6


Ví dụ 2, 3

• Ví dụ 2. Tiền nộp đoàn phí hàng tháng, các khoản tiền thanh toán cho một hàng hóa mua theo phương thức trả góp.

• Sử dụng phương pháp tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai đã nêu ở trên và công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một luồng kz khoản

• Ví dụ 3. Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại cho bạn đều đặn $5000 mỗi năm, liên tiếp trong 10 năm sau đó. Hỏi rằng luồng vốn phải đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì bạn có thể chấp nhận dự án đó trong điều kiện lãi suất 10% một năm?


Ví dụ 2,3

• Giá trị hiện tại của luồng thu nhập (PV):

• Vậy dự án chỉ có thể được chấp nhận nếu số vốn phải đầu tư ban đầu nhỏ hơn $30722,8

2 10

10

2 10

5000 5000 5000

1 0,1 (1 0,1) (1 0,1)

10 101

11 111 1 1 =5000 =5000 30722,8

101,1 1,1 1,11

11

PV


Ví dụ 4

• Giả sử bạn định mua một xe máy theo phương thức trả góp. Theo phương thức này, sau mỗi tháng kể từ khi nhận hàng bạn phải trả đều đặn mỗi tháng một lượng tiền nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử xe máy vào thời điểm bạn mua xe là $2500 (giá trả ngay) và giả sử lãi suất ngân hàng là 1% một tháng. Với mức phải trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp là chấp nhận được.

• Giải

• Gọi a là khoản phải trả hàng tháng.


Ví dụ 4

• Giá trị hiện tại của toàn bộ luồng tiền trả góp tại thời điểm nhận hàng là

• Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu

24

2 24

100 1001

101 101=a 21,24

1001,01 1,01 1,011

101

a a aPV a

21,24 2500 177,7PV a a

7/3/2016

7


ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Định lý Weierstrass

• Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì nó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a,b], tức là tồn tại x1,x2 thuộc [a,b] sao cho ,

1[ , ]

2[ , ]

( ) max ( )

( ) min ( )

x a b

x a b

f x f x

f x f x


ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Định lý giá trị trung gian. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a)≠f(b). Khi đó, nếu lấy một giá trị c bất kz nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại x0 thuộc (a;b) sao cho.

• Hệ quả. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại x0 thuộc (a;b) sao cho .

Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a,b].

0( )f x c

0( ) 0f x


Ví dụ

• Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD . Trong đó:

• Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3;5)

2 500,1 5 10; .

2S DQ P P Q

P


Giải

7/3/2016

8


Ứng dụng đạo hàm trong kinh tế

• Ứng dụng vi phân tính gần đúng


Ứng dụng đạo hàm trong kinh tế

• Đạo hàm và giá trị cận biên

• Cho hàm số y=f(x) với x,y là các biến số kinh tế, gọi x0 là một điểm thuộc TXĐ của hàm số.

• Hàm số My=f’(x)được gọi là hàm cận biên.

• Giá trị My(x0) được gọi là giá trị cận biên của hàm số f(x) tại điểm x0 (hay giá trị y cận biên tại x0 )

• Ý nghĩa

• Tại x0, khi đối số x thay đổi một đơn vị thì giá trị hàm số f(x) thay đối một lượng xấp xỉ bằng My(x0)=f’(x0)


Ví dụ

• Cho hàm doanh thu TR(Q)=1400Q-Q2 (Q>0)

• a) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q)

• b) Tại Q0=690 khi Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.

• c) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Q0=710 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.


Giải

• Ta có:

• Vậy tại Q0=690, khi Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ tăng một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị

• Vậy tại Q0=710, khi Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ giảm một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị

) ( ) ( ) 1400

) (690) 1400 2690 20 0

a MR Q TR Q Q

b MR

) (710) 1400 2710 20 0c MR

7/3/2016

9


Ví dụ

• Cho hàm sản xuất ngắn hạn

• a) Tìm hàm sản lượng cận biên của lao động MPK=Q’(K)

• b)Tại K0=25 nếu K tăng thêm một đơn vị, hỏi sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị

30 , 0Q K K


Giải

• Ta có:

• Vậy K0=25 nếu K tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ tăng lên xấp xỉ 3 đơn vị

15) ( )

15) (25) 3

25

a MPK Q KK

b MPK


QUI LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN

• Cho hàm số f(x) với x,y là các biến số kinh tế. Hàm y=f(x) được gọi là tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần nếu:

• Khi giá trị của đối số x đủ lớn, giá trị của x tăng thì giá trị cận biên My giảm, hay:

• Trường hợp đơn giản f’’(x)<0 với mọi x thuộc tập xác định.

( ) 0My f x


Ví dụ

• Cho hàm sản xuất:

• Hãy tìm điều kiện của tham số α để hàm Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

( 0, 0, 0),Q aL a L

7/3/2016

10


Giải

• Ta có:

• Vậy 0< α <1

1 2. . ; ( 1) . .

0 1 0 1

Q a L Q a L

Q


Hàm bình quân

• Cho hàm số f(x) với x,y là các biến số kinh tế. Hàm số:

• Được gọi là hàm bình quân hay hàm trung bình.

0y

Ay xx


Hàm bình quân

• Ta có:

• Do đó: • Trong khoảng hàm bình quân tăng thì My > Ay

(đường cận biên nằm trên đường bình quân). • Trong khoảng hàm bình quân giảm thì My < Ay

(đường cận biên nằm dưới đường bình quân) • Tại điểm hàm bình quân đạt cực trị thì My=Ay

(đường bình quân gặp đường cận biên tại điểm đường bình quân đạt cực trị)

'

'

y yy My

x xAyx x


Ví dụ

• Cho hàm chi phí TC=TC(Q) (Q>0)

• a) Hãy phâm tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân AC(Q) và hàm chi phí cận biên MC(Q)

• b) Áp dụng phân tích đối với trường hợp TC(Q)=3Q2+7Q+27 (Q>0)

7/3/2016

11


Giải • Ta có:

• Do đó, trong khoảng hàm chi phí bình quân tăng thì MC > AC (đường chi phí cận biên nằm trên đường chi phí bình quân).

• Còn trong khoảng hàm chi phí bình quân giảm thì MC < AC (đường chi phí cận biên nằm dưới đường chi phí bình quân).

• Tại điểm hàm chi phí bình quân đạt cực trị thì MC = AC (đường chi phí bình quân gặp đường chi phí cận biên tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực trị).

( ) ( 0)MC AC

AC Q QQ


Giải • B)

• Nếu thì hàm chi phí bình quân tăng và MC > AC (đường chi phí cận biên nằm trên đường chi phí bình quân)

• Nếu thì hàm chi phí bình quân giảm và MC < AC (đường chi phí cận biên nằm dưới đường chi phí bình quân)

• Nếu thì hàm chi phí bình quân đạt cực trị và MC = AC (đường chi phí bình quân gặp đường chi phí cận biên tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực trị)

2

2

2

( ) 3 7 27( 0)

( ) 27 27( ) 3 7 ( ) 3

( ) 0 9 3 ( 0)

TC Q Q Q Q

TC QAC Q Q AC Q

Q Q Q

AC Q Q Q doQ


Cực trị hàm kinh tế một biến số

• a) Tìm mức sử dụng lao động L để sản lượng hoặc lợi nhuận tối đa

• Ví dụ. Cho hàm sản xuất Q=120L2-L3 (L>0). Hãy xác định mức sản lượng lao động để sản lượng tối đa.

• Giải

• Lập bảng biến thiên ta có Q đạt giá trị tối đa tại L=80

2 3 2

2

120 ( 0) 240 3 ; 240 6 ;

0 240 3 0 80 ( 0)

Q L L L Q L L Q L

Q L L L do L


Cực trị hàm kinh tế một biến số • Ví dụ. Cho hàm sản xuất ngắn hạn

và giá của sản phẩm p=5$ là giá thuê lao động là pL=3$. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa • Giải

Lập bảng biến thiên ta có lợi nhuận đạt giá trị tối đa tại L=100.000

5 3

5 3

2/3 2/3

500 , 0

3

500 3 , 0

300 3; 0 100 100000

L

TR pQ L L

TC p L L

TR TC L L L

L L L

5 3100 ( 0)Q L L

7/3/2016

12



• b) Tìm mức sản lượng Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi nhuận tối đa

• Ví dụ. Cho hàm chi phí TC=Q3-130Q2+12Q (Q>0) Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất.

• Giải

• Lập bảng biến thiên ta có AC đạt giá trị nhỏ nhất khi Q=65

3 2 2130 12 130 12

2 130

0 65

TC Q Q Q AC Q Q

AC Q

AC Q



• Ví dụ. Cho hàm chi phí TC=Q3-8Q2+57Q +2 (Q>0) và hàm cầu đảo là p=45-0,5Q. Hãy xác định mức sản lượng Q sao cho lợi nhuận cực đại.

• Giải

• Lập bảng biến thiên ta có lợi nhuận cực đại khi Q=4

2

2 3 2 3 2

12

2

45 0,5 45 0,5 45 0,5

45 0,5 8 57 2 7,5 12 2

13 15 12 0

4

p Q TR pQ Q Q Q Q

TR TC Q Q Q Q Q Q Q Q

QQ Q

Q


Tích phân trong phân tích kinh tế

• + Xác định hàm tổng khi biết hàm cận biên

• + Xác định quỹ vốn dựa theo mức đầu tư

• + Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất



• Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng tiêu dùng..) là hàm số được xác định theo giá trị của đối số x: y=f(x)

• Nếu ta biết được hàm giá trị cận biên My=f’(x) thì có thể xác định được hàm tổng y=f(x) thông qua phép toán tích phân:

• Hằng số C trong tích phân bất định được xác định nếu ta biết giá trị của tại một điểm x0 nào đó: y0=f(x0)

( ) ( )y f x f x dx Mydx

7/3/2016

13



• Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định là FC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả biến

• Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định hàm tổng doanh thu.


Chú ý

• Chi phí cố định là chi phí tại Q=?

• Chi phí khả biến = tổng chi phí – chi phí cố định

• Doanh thu tại Q=0 là?


Xác định quỹ vốn dựa theo mức đầu tư

• Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung) và quỹ vốn K là các hàm số của biến thời gian t.

• Giữa quỹ vốn và đầu tư có mối quan hệ:

• Do đó nếu biết hàm đầu tư I(t) thì quỹ vốn K(t) được xác định như sau:

•

• Hằng số C trong tích phân bất định trên được xác định nếu ta biết quỹ vốn tại một thời điểm nào đó.

'I t K t

K t I t dt



• Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là K(1)=10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4 đến tháng 9

7/3/2016

14


Thặng dư của người tiêu dùng

• Cho hàm cầu Qd=D(p) hoặc hàm cầu đảo p=D-

1(Qd). Giả sử tại điểm cân bằng của thị thường là (p0, Q0) và lượng hàng hóa được bán với giá p0 .

• Khi đó thặng dư của người tiêu dùng được tính bởi công thức:

0

1

0 0

0

( )

Q

CS D Q dQ p Q


Thặng dư của nhà sản xuất

• Cho hàm cung QS=S(p) hoặc hàm cung đảo p=S-

1(Qs). Giả sử tại điểm cân bằng của thị thường là (p0, Q0) và lượng hàng hóa được bán với giá p0 .

• Khi đó thặng dư của nhà sản xuất được tính bởi công thức:

0

1

0 0

0

( )

Q

PS p Q S Q dQ



• Ví dụ. Cho các hàm cung và hàm cầu:

• Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.

2 1 43 2.S DQ p Q p


Giải

7/3/2016

15


Hàm hai biến

• Cho không gian R2 và tập hợp D thuộc R2

• Ánh xạ • • • được gọi là hàm số hai biến xác định trên tập D. • Mỗi cặp số thực (x,y) sẽ tương ứng với một số thực

z=f(x,y). • Các biến số x,y là các biến số độc lập, còn biến số z

là biến số phụ thuộc vào x,y. • f(x,y) là giá trị của hàm số hai biến ứng với cặp số

(x,y)

:

, ,

f D R

x y z f x y


Hàm số nhiều biến số


Hàm nhiều biến trong kinh tế

• Một số hàm quan trọng trong phân tích kinh tế:

• Hàm sản xuất

• Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm lợi ích

• Hàm cung, hàm cầu


Hàm sản xuất

• Hàm sản xuất là hàm dạng:

Q=Q(K,L)

• trong đó K là vốn, L là lao động.

• Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng:

• trong đó a, α, β là hằng số dương.

,Q aK L

7/3/2016

16


Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

• trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là giá thuế đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định.

• Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là giá thị trường của sản phẩm.

• Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC


Hàm lợi ích

• Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ hàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy nhất u=u(x,y,z)


Hàm cung, hàm cầu

• Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng là P1, P2,…,Pn. Khi đó

• Hàm cung:

• Hàm cầu:

1 2( , , , )iS i nQ S P P P

1 2( , , , )iD i nQ D P P P


Giới hạn và liên tục hàm nhiều biến

• Sinh viên tự tham khảo tài liệu

7/3/2016

17


Đạo hàm của hàm nhiều biến

• Đạo hàm riêng cấp 1

• Vi phân cấp 1

• Đạo hàm riêng cấp cao

• Vi phân cấp cao


Ma trận Hess

• Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp 2. Khi đó, ma trận vuông cấp n

gọi là ma trận Hess của hàm số. Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì ma trận Hess là ma trận đối xứng.

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

n

n

n n n n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

f f f

f f fH

f f f


Ví dụ

• Ma trận Hess của hàm 3 biến

• là ma trận

2 4 5 2 3 5 2 4 4

2 3 5 3 2 5 3 3 4

2 4 4 3 3 4 3 4 3

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z

H x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

3 4 5( , , )f x y z x y z


Đạo hàm của hàm ẩn

• Xem tài liệu

7/3/2016

18


Cực trị không có ràng buộc

• Điều kiện cần để có cực trị: Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm

thì

• Đó là điều kiện cần để có cực trị. Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số

• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.

• Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ.

1 2( , ,...., )nM x x x D

1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n

i

fx x x i n

x


Cực trị không có ràng buộc

• Điều kiện đủ để có cực trị: Giả sử

• là điểm dừng của hàm số f(x1,x2,…,xn) và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.

• Đặt:

1 2( , ,...., )nM x x x D

2

1 2( , ,...., ) ( , 1,2, , )ij n

i j

fa x x x i j n

x x


Điều kiện đủ để có cực trị

• Ma trận Hess:

• Xét các định thức con chính:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aH

a a a

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 211 12

1 11 2

21 2

1 2 1 2

, , , , ,

k n

k n

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a a a a aa aD a D D D

a a

a a a a a a


Tiêu chuẩn xét cực trị

• i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 thì M là điểm cực tiểu của hàm số

• ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)n Dn>0 thì M là điểm cực đại của hàm số

• iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) và tồn tại k sao cho Dk=0 thì chưa thể kết luận về cực trị địa phương của hàm số tại . Hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại điểm M. Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác.

• iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải là điểm cực trị.

7/3/2016

19


Áp dụng cho hàm 2 biến

• Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục M(x0, y0) và điểm M(x0, y0) là điểm dừng của hàm số. Ta đặt:

• i) Nếu A>0, ∆>0 thì M là điểm cực tiểu

• ii) Nếu A<0, ∆>0 thì M là điểm cực đại

• iii) Nếu ∆<0 thì M không là điểm cực trị

• iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận.

2 2 22

0 0 0 0 0 02 2( , ), ( , ), ( , ), .

A Bf f fA x y B x y C x y AC B

B Cx x y y


Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm số

• Đ/S: cực tiểu tại M(1;1)

3 3( , ) 3f x y x y xy


Ví dụ


• Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2)

3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y


Cực trị có ràng buộc

• a) Cực trị có điều kiện ràng buộc với hai biến chọn và một phương trình ràng buộc.

• b) Cực trị có điều kiện ràng buộc với n biến chọn và một phương trình ràng buộc

7/3/2016

20


Hai biến chọn – ĐK cần • Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0

• Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho:

• Số λ được gọi là nhân tử Lagrange.

• Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm số Lagrange.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

fx y x y

x x

fx y x y

y y

x y


Hai biến chọn – ĐK cần

• Ta viết lại phương trình đã cho dạng:

• Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y)

• Giải phương trình ta có λ, x0,y0

0 0

0 0

0 0

( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

Lx y

x

Lx y

y

Lx y


Hai biến chọn – ĐK đủ

• Ta xét định thức

• Trong đó:

1 2

1 11 12

2 21 22

0

D L L

L L

1 0 0 2 0 0

2 2

11 0 0 22 0 02 2

2 2

12 0 0 0 0 21

( , ) ( , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x y x yx y

L LL x y L x y

x y

L LL x y x y L

x y y x


Hai biến chọn – ĐK đủ

• Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm số.

• Nếu D<0 thì M(x0;y0) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số.

• Nếu D=0 thì chưa có kết luận gì về điểm M(x0;y0) đang xét.

7/3/2016

21


Ví dụ


• với điều kiện:

• Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3)

• Cực đại tại N(-4/3;-5/3)

( , ) 6 4 3f x y x y

2 2 1.x y


n biến chọn (tham khảo)

• Cho hàm số z=f(x1,x2,…,xn) với ràng buộc ϕ(x1,x2,…,xn)=0. Giả sử:

• là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho:

• Số λ được gọi là nhân tử Lagrange.

• Hàm số L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)+ λϕ(x1,x2,…,xn) được gọi là hàm số Lagrange.

1 2( , ,...., )nM x x x

1 2 1 2

1 2

( , ,...., ) ( , ,...., ) 0

( , ,...., ) 0

n n

i i

n

fx x x x x x

x x

x x x



• Ta viết lại hệ phương trình:

1 2

1 2

( , ,...., ) 0 ; 1,2, ,

( , ,...., ) 0

n

i

n

Lx x x i n

x

Lx x x



• Ta lập ma trận:

• Trong đó:

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0 n

n

n

n n n nn

L L L

H L L L

L L L

1 2

2

1 2

( , ,...., ) ; 1,2, ,

( , ,...., , ) ; , 1,2, ,

k n

k

ij n

i j

x x x k nx

LL x x x i j n

x x

7/3/2016

22



• Xét các định thức:

• Nếu D2>0, D3<0, …, (-1)nDn>0 thì M là điểm cực đại có điều kiện của hàm số.

• Nếu D2<0, D3<0, …, Dn<0 thì M là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số.

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0

( 2,3, , )

k

k

k k

k k k kk

L L L

D L L L k n

L L L


Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập

đóng, bị chặn

• Cho D là tập đóng, bị chặn trong có biên cho bởi phương trình ϕ(x1,x2,…,xn)=0

• Giả sử f(x1,x2,…,xn) là hàm số liên tục trên D. Sau đây là quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên D.

• - Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với điều kiện ϕ(x1,x2,…,xn)=0.

• - Tìm các điểm dừng của f(x1,x2,…,xn) thuộc D. • Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f trên D là giá trị lớn nhất

(nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm tại các điểm tìm được ở trên.


Ví dụ

• Ví dụ 3.25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

• trong miền

• Đ/S:

2 2( , ) x 2f x y y x

2 2: x 1D y

1 1 1 3 9min ,0 ; max ,

2 4 2 2 4D Df f f f


ỨNG DỤNG CỦA HÀM

NHIỀU BIẾN SỐ

TRONG KINH TẾ

Documents

TOÁN CAO CẤP 1 - nguyenvantien0405.files.wordpress.com · 7/3/2016 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm sản xuất ngắn hạn •Mô tả sự phụ thuộc