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Aulas da disciplina Matemática I do Curso de Ciências Econômicas da Universidade Federal do Pará.
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Matemática ITópico 07– Limites de uma Função
Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA
Limite
7 – Limite de uma função
Conceito:O conceito de limite de uma função é básico para o estudo
de cálculo. Seu papel é muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais
O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...
7 – Limite de uma função
Antes, porém, é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x tende a “a”, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto “a” , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto desejamos do ponto “a” , porém não coincidente com “a”, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto “a”.
Vamos considerar a função definida por:
O que acontece com a função quando x tende a 2? Quando colocamos essa forma estamos estabelecendo um limite, onde:
7 – Limite de uma função
Podemos observar que se o valor 2 for inserido na função acima, o denominador será zero, o que impossibilita o cálculo da função, porém, o que acontece se utilizarmos o artifício de fatorar a função?
Observe que equivale a , substituindo esse resultado na função original teremos:
Com isso, podemos concluir que: e portanto: Então o que devemos observar é o que acontece com a imagem da
nossa função quando o domínio se aproxima de um valor específico, assim, teríamos:
7 – Limite de uma função
Fazendo no Octave, teríamos:Calculando as curvas separadamente:
Ou seja, podemos tornar f(x) tão próximos de 8 quanto desejarmos, basta para isso, tornar x suficientemente próximo de 2.
Podemos fazer essa representação por:
7 – Limite de uma função
Podemos retratar a definição de limite em três formas:1) Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número
real a. Seja f uma função definida para x I com x a . Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de “a” é o número “L”, notado por
Se puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tornando | x – a | tão pequeno quanto necessário, sendo que | x – a | 0.
2) Considerando uma função f(x), definida num intervalo I, temos que o limite de f(x), quando x tende a a, é o número L, se, para todo >0, existir, em correspondência, um número , de modo que e
7 – Limite de uma função
3) Na forma matemática temos:
7 – Limite de uma funçãoPropriedades
Suponha que e
Então temos:1. , com r sendo um número real
2. , desde que M0
Use o teorema do limite para calcular o seguinte limite: (prop. 2) (prop. 4) (prop. 1)
7 – Limite de uma funçãoPropriedades
7 – Limite de uma função
As formas indeterminadasVamos supor que tenhamos o seguinte limite de uma
função
Se aplicarmos o teorema 5 verificamos uma inconsistência, pois note que teremos o seguinte resultado:
Que é o que chamamos de forma indeterminadaA mesma também pode se apresentar no formato de
limite como .Uma solução para encontrarmos a forma determinada
é fazendo a fatoração da função f(x) ou aplicando a regra de L’HOPITAL.
7 – Limite de uma função
A solução para o limite anterior portanto seria:
Onde
Portanto,
No livro to Tan pode ser observada a seguinte forma gráfica:
7 – Limite de uma função
24( 4)( )
2
xf x
x
7 – Limite de uma função
( ) 4( 2)f x x
7 – Limite de uma função
Verifique o limite para
7 – Limite de uma função
Limite no Infinito.Em algumas situações em que queremos saber se f(x)
se aproxima de um único número quando x cresce além de qualquer limite.
Suponha que tenhamos a seguinte função:
Se desejarmos determinar o que acontece com f(x) quando x cresce sem limites. Tomando a sequência de números 1, 2, 5, 100 e 1000 teremos:
x 1 2 5 100 1000f(x) 1 1,6 1,92 1,98 1,9999998
Graficamente teríamos:
7 – Limite de uma função
Ou seja, o limite seria =2
7 – Limite de uma função
A função f em limite L quando x cresce além de qualquer limite (ou quando x tende a infinito), o que se denota por:
Se podemos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de L tomando x suficientemente grande.
Analogamente, a função f tem limite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando x tende a menos infinito) o que se denota por:
Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de M tomando x negativo e suficientemente grande em valor absoluto.
7 – Limite de uma função
Imagine que tenhamos a seguinte função: e e e
Vejamos o comportamento do limite das duas funções acima pelo Geogebra.
7 – Limite de uma função
Quando inserimos os valores negativos e positivos de , trabalhamos o conceito de limites laterais.
Formalmente teríamos:
Imagine que tenhamos a seguinte função
7 – Limite de uma função
Graficamente teríamos:
Quando x se aproxima de 3 pela esquerda (x 3-), f(x) se aproxima de 8. Assim:
7 – Limite de uma função
E, quando x se aproxima de 3 pela direita (x 3+), f(x) se aproxima de 2. Assim:
Nesse caso, dizemos que o limite de f(x) tende a 3 não existe, pois os limites à direita e à esquerda são diferentes. A justificativa da não existência de um limite, devido ao fato de o limite à direita ser diferente do limite à esquerda , é dada pelo teorema:
Funções Contínuas
7 – Limite de uma função – Funções contínuas
O papel das funções contínuas são importantes, principalmente para o cálculo diferencial. Uma função será contínua num ponto se seu gráfico naquele ponto não apresenta buracos (interrupções), saltos ou quebras. Considere, por exemplo, o gráfico a seguir:
Em todos os pontos (a, b, c e d) a função é descontínua, o que temos que visualizar é como se dão essas quebras.
Portanto, uma função será contínua se tiver as seguintes condições satisfeitas:1. f(a) está definido. 2. existe 3.
7 – Limite de uma função – Funções contínuas
Uma função pode ser contínua se considerarmos apenas um determinado intervalo, portanto o gráfico abaixo mostra um intervalo em que a função é contínua:
7 – Limite de uma função – Funções contínuas
Vejamos outros exemplos gráficos e tiremos algumas conclusões:
7 – Limite de uma função – Funções contínuas
7 – Limite de uma função
Abaixo temos as propriedades das funções contínuas:a) A função constante é contínua em todos os seus pontos;b) A função identidade é contínua em todos os seus pontos;Se f e g são contínuas em x = a entãoc) , onde n é um número real, é contínua em x = a sempre que estiver definida naquele ponto.d) é contínua em x = a.e) fg é contínua em x = a.f) é contínua em x = a desde que .
7 – Limite de uma função – Funções contínuas
Já as funções polinomiais e racionais temos:a) Toda função polinomial é contínua em todos os
pontos x.b) Toda função racional é contínua em todos os pontos
de x para os quais
7 – Limite de uma função – Funções contínuas
FIM DO TÓPICO