Topics in Algorithmic Game Theory

נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

אלבומים 2דירוג

נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את ● 3נניח לשם פשטות, שיש האלבומים של הזמרת אליס.

חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר.

( אליס בארץ 1: )אליס הוציאה עד כה שני אלבומים●( אל)ב(יס.2הפלאות, )

אלבומים 2דירוג

נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את ● 3נניח לשם פשטות, שיש האלבומים של הזמרת אליס.

חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר.

( אליס בארץ 1: )אליס הוציאה עד כה שני אלבומים●( אל)ב(יס.2הפלאות, )

אלבומים 2דירוג

נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את ●האלבומים של הזמרת אליס. נניח לשם פשטות, שיש

מספר איזוגי של חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר.

( אליס בארץ 1: )שני אלבומיםאליס הוציאה עד כה ●( אל)ב(יס.2הפלאות, )

כדי לדרג מיהו האלבום הצבעת רוב נוכל להשתמש ב●המועדף על כלל המערכת, האלבום הזוכה ידורג במקום

הראשון, והאלבום המפסיד ידורג במקום השני.

נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את ●האלבומים של הזמרת אליס. נניח לשם פשטות, שיש

מספר איזוגי של חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר.

( אליס בארץ 1אליס הוציאה עד כה שני אלבומים: )●( אל)ב(יס.2הפלאות, )

איך נכליל את שיטת הצבעת רוב ליותר משני אלבומים?●

אלבומים 3דירוג

נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את ● הזמר. בובהאלבומים של

.a, (2) b, (3) c( 1בוב הוציא שלושה אלבומים: )● c מעדיף יותר את אלבום 2כדי לציין שחבר מערכת מספר ●

נשתמש בסימון הבא:aמאלבום

c a . גבוה bכדי לציין שכלל חברי המערכת דירגו את אלבום ●

, נשתמש בסימון: cיותר מאלבום

b c

אלבומים 3דירוג

נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את ● הזמר. בובהאלבומים של

.a, (2) b, (3) c( 1בוב הוציא שלושה אלבומים: )● c מעדיף יותר את אלבום 2כדי לציין שחבר מערכת מספר ●

נשתמש בסימון הבא:aמאלבום

c a . גבוה bכדי לציין שכלל חברי המערכת דירגו את אלבום ●

, נשתמש בסימון: cיותר מאלבום

b c

אלבומים 3דירוג

האלבומים: ביצוע 3העורך הציע את השיטה הבאה לדירוג ●הצבעת רוב על כל זוג אלבומים בנפרד.

אלבומים 3דירוג

האלבומים: ביצוע 3העורך הציע את השיטה הבאה לדירוג ●הצבעת רוב על כל זוג אלבומים בנפרד.

מה יקרה אם אוסף הדירוגים של חברי המערכת :בעיה●נראה כך:

a b c a :נקבל ש●

הבעייתיות של שיטת הצבעת "ראש בראש", הוצגה על ידי המרקיז דה

1785קונדרוסה,

נראה בהמשך הסבר פורמלי לבעייתיות. נתחיל עם הגדרה

פונקצית דירוג = פונקציות רווחה חברתית

● N is the set of voters N = {1, 2, …, n}

● A is the set of alternatives (“the albums”)

● L is the set of linear orders on A (“the rankings”)

● A function F : Ln → L is called a social welfare function

פה אחד ותכונות אחרות

● A social welfare function F satisfies unanimity if x ≺i y for every i, then x ≺F y

● Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n,

F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i .

● F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it.

פה אחד ותכונות אחרות

● A social welfare function F satisfies unanimity if x ≺i y for every i, then x ≺F y

● Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n,

F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i .

● F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it.

דוגמאות

פה אחד " מקיימת את תכונת ראש בראששיטת "●.אינה דיקטטוריתוהיא

אלטרנטיבות? 2מה לגבי שיטת "כלל הרוב" עבור ●

דוגמאות

אלבומים. כל k": נניח שיש ספירת בורדהשיטת "● קולות מכל מצביע שדירג אותו k-iאלבום יקבל

. נדרג את האלבומים על פי מספר iבמקום ה-הקולות שקיבלו.

במקרה של שיוויון במספר הקולות נשתמש בסדר ●לכסיקוגרפי לקביעת הדירוג.

דוגמאות

אלבומים. כל k": נניח שיש ספירת בורדהשיטת "● קולות מכל מצביע שדירג אותו k-iאלבום יקבל

. נדרג את האלבומים על פי מספר iבמקום ה-הקולות שקיבלו.

למשל: ●●a קולות2+0 יקבל ●b קולות 1+2 יקבל●c קולות. 0+1 יקבל b : הדירוג החברתי יהיהולכן ●

שיטת "ספירת בורדה" מקיימת את תכונת פה אחד ●והיא אינה דיקטטורית.

למשל: ●●a קולות0 + 2 יקבל ●b קולות2 + 1 יקבל ●c קולות, ולכן: 1 + 0 יקבל b

Jean-Charles, chevalier de Borda (1733 – 1799)

דוגמא:

aמנצח קונדורסה =

bמנצח בורדה =

מהבוחרים מעדיפים 60%b - יותר מaאת

≺5 ≺4 ≺3 ≺2 ≺1b b a a a

c C b b b

a a c c c

נראה בהמשך הסבר פורמלי לבעייתיות. תכונה בסיסיות נתחיל עם כמה הגדרות

אחרונה

אי-תלות

● A social welfare function F satisfies unanimity if all voters favor x over y then the social ranking favor x over y.

● Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n,

F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i .

● F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it.

● F satisfies independence of irrelevant alternatives if the social ranking between any two alternatives a and b only depends on the voters’ ranking of a and b.

דוגמאות

שיטת הדיקטטור מקיימת את תכונת אי-התלות.●

מקיימת את תכונת אי-התלות. לאשיטת בורדה ●

דוגמא בשקף הבא:

דוגמאות

a, b, c, d, e אלבומים 5 מצביעים מדרגים 5 דוגמא:●

. הוא זהה בשני הדירוגיםb, cהמיקום היחסי של ●

a =12, b=11, c=13, d=8, e=6ספירת בורדה של הדירוג הימני: ●

a =12, b=13, c=13, d=6, e=6ספירת בורדה של הדירוג השמאלי: ●

≺5 ≺4 ≺3 ≺2 ≺1e c a a a

c d b b b

d e c c c

b b d d d

a a e e e

≺5 ≺4 ≺3 ≺2 ≺1e c a a a

c b b b b

d e c c c

b d d d d

a a e e e

תכונות רצויות3

● A social welfare function F satisfies unanimity if all voters favor x over y then the social ranking favor x over y.

● Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n,

F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i .

● F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it.

● F satisfies independence of irrelevant alternatives if the social ranking between any two alternatives a and b only depends on the voters’ ranking of a and b.

תכונות רצויות3

● A social welfare function F satisfies unanimity if all voters favor x over y then the social ranking favor x over y.

● Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n,

F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i .

● F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it.

● F satisfies independence of irrelevant alternatives if the social ranking between any two alternatives a and b only depends on the voters’ ranking of a and b.

מסתבר שלא בעיה: ●קיימת פונקצית רווחה

שמקיימת F חברתית את שלושת התכונות

בו-זמנית.

משפט אי האפשרות( (ARROW, 1951 :

F: LN → L כל פונקצית רווחה חברתית אלטרנטיבות או יותר, המקיימת 3לדירוג

את תכונת האי-תלות ואת תכונת ה"פה אחד" היא פונקציה שבה אחד

המצביעים הוא דיקטטור.

בורדה לעומת קונדורסה, הערות:מכיוון ששיטת הספירה של בורדה מקיימת את

תכונת הפה-אחד והיא אינה דיקטטורית, אז ע"פ המשפט היא אינה מקיימת "אי-התלות".

שיטת "ראש בראש" של קונדורסה מקיימת את תכונות האי-תלות והפה-אחד והיא אינה

דיקטטורית. אך שיטה זו אינה מוגדרת היטב.

בורדה לעומת קונדורסה, הערות:מכיוון ששיטת הספירה של בורדה מקיימת את

תכונת הפה-אחד והיא אינה דיקטטורית, אז ע"פ המשפט היא אינה מקיימת "אי-התלות".

שיטת "ראש בראש" של קונדורסה מקיימת את תכונות האי-תלות, הפה-אחד והיא אינה

דיקטטורית. אך שיטה זו אינה מוגדרת היטב.

1972קנת' ארו זכה בפרס נובל בשנת על תרומתו לכלכלה

נראה את הוכחת משפט אי האפשרות, בשלבים ...

פונקצית בחירה חברתית - הגדרה

● N is the set of voters N = {1, 2, …, n}

● A is the set of alternatives (“the albums”)

● L is the set of linear orders on A (“the rankings”)

● A function F : Ln → L is called a social welfare function

● In Hebrew: פונקצית רווחה חברתית

● A function f : Ln → A is called a social choice function

● In Hebrew: פונקצית בחירה חברתית

משפט אי האפשרות( (GIBBARD, SATTERWAITE, 1973 :

f : LN → Aכל פונקצית בחירה חברתית אלטרנטיבות או יותר 3לבחירה בין

שאינה ניתנת למניפולציה היא שהיא על ופונקציה דיקטטורית.

משפט אי האפשרות( (GIBBARD, SATTERWAITE, 1973 :

שאינה fכל פונקצית בחירה חברתית 3ניתנת למניפולציה לבחירה בין

אלטרנטיבות או יותר )שהיא על( היא . פונקציה דיקטטורית

קיימת הוכחה באמצעות ●שימוש במשפט אי

ARROWהאפשרות של

אפשרותמשפט

2פונקצית החציון לבחירה בין אלטרנטיבות או יותר אינה ניתנת

למניפולציה כאשר העדפות השחקנים הם חד-שיאיות.

הערה: פונקצית החציון היא על.

כעת, נראה את רעיון הוכחת המשפט

Bibliography

, הוצאת שמואל זמיר מיכאל משלר ואילון סולןתורת המשחקים, 2008ספרים ע"ש מאגנס, האוניברסיטה העברית,

Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, and Vijay Vazirani, Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007.

David Easley and Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010

Wikipedia