topologia

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OTopologa general

[un primer curso]

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OTopologa general

[un primer curso]

Gustavo N. Rubiano O.Profesor titular

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Sede Bogota

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vi, 284 p. : 3 il. 00ISBN 978-958-719-442-5

1. Topologa generalGustavo N. Rubiano O.

Topologa general, 3a. edicionUniversidad Nacional de Colombia, Sede BogotaFacultad de Ciencias, 2010

Mathematics Subject Classification 2000: 0000.

c Edicion en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano OrtegonUniversidad Nacional de Colombia.

Diagramacion y diseno interior en LATEX: Gustavo Rubiano

Tercera edicion, 2010

Impresion:Editorial UNBogota, D. C.Colombia

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Contenido

Prologo vi

0 Preliminares en conjuntos 1

0.1 Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2.2 Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2.3 Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.3 Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Conjuntos con topologa 9

1.1 Los reales una inspiracion . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Abiertos basicos (generacion de topologas) . . . . . . . . . 16

1.3 Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . . 29

2 Espacios metricos 35

2.1 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Caracterizacion de los espacios euclidianos . . . . . . 48

2.3 Topologa para una metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.1 Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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vi CONTENIDO

3 Bases y numerabilidad 63

3.1 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Funciones comunicaciones entre espacios 70

4.1 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 La categora Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Filtros, convergencia y continuidad 80

5.1 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.1 Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Homeomorfismos o geometra del caucho 94

6.1 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 Invariantes topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 Espacios de identificacion cociente 107

7.1 Topologa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.1 Descomposicion canonica por una funcion . . . . . . 110

8 La topologa producto 117

8.1 Definicion sintetica de producto entre conjuntos . . . . . . . 117

8.2 La topologa producto caso finito . . . . . . . . . . . . . 118

8.3 La topologa producto caso infinito . . . . . . . . . . . 120

8.4 Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.5 La topologa producto en los metricos . . . . . . . . . . 128

8.6 Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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CONTENIDO vii

8.7 Topologas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.7.1 La topologa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.7.2 La topologa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9 Posicion de un punto respecto a un conjunto 138

9.1 Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.1.1 Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.1.2 La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2 Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.2.1 Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.3 Interior exterior frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.4 Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10 Compacidad 162

10.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . . 169

10.2.1 Compacidad va cerrados . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.2.2 Compacidad va filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.2.3 Compacidad va ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . 172

10.3 Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.4 Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

10.5 Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.6 Compacidad para metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

10.7 Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.8 Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.8.1 Compactacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11 Espacios metricos y sucesiones completez 202

11.1 Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

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viii CONTENIDO

11.1.1 Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.2 Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.3 Completez de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.4 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

12 Los axiomas de separacion 215

12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

12.2 Regulares, T3, Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12.2.1 Inmersion en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12.3 Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . . . 231

12.5 Tietze o extension de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 236

13 Conexidad 242

13.1 La conexidad como invariante topologico . . . . . . . . . . . 242

13.2 Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.3 El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25113.4 Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

13.5 Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Bibliografa 267

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Prologo

El tema central de esta tercera edicion es presentar un texto que sirvacomo gua para un primer curso formal en topologa general o de conjuntos.Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate de una nuevaedicion y no de una simple reimpresion de la anterior.

La mayora de las herramientas y conceptos utilizados en el estudiode la topologa se agrupan en dos categoras: invariantes topologicos yconstrucciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.

En la parte de invariantes, el enfasis en los espacios 1-contable o espa-cios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios paralos cuales las sucesiones son suficientes para describir la topologa, justificala introduccion del concepto de filtro como una adecuada nocion de con-vergencia, que resulte conveniente para describir la topologa en espaciosmas generales; de paso, este concepto nos proporciona una manera comodapara llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en cualquier curso notrivial, teorema que corresponde a la parte de construcciones.

Nuevos captulos, secciones, demostraciones, graficos y referencias histo-ricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar de maneraactiva una de las areas mas prolficas de la matematica y la ciencia.

Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte delautor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de variosclasicos sobre el tema o la introduccion de algunos ejemplos nuevos.

Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Co-lombia, Sede Bogota, el darme ese tiempo extra que siempre necesitamoslos docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.

Gustavo N. Rubiano [email protected]

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O0 Preliminares en conjuntos

En este captulo presentamos de manera sucinta los conceptos de lateora de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura de estetexto, con la finalidad de establecer un lenguaje comun entre el autor y ellector respecto a la notacion.

0.1 Operaciones entre conjuntos

Algunas veces es conveniente adjudicar un nombre o ndice a cada elementode una coleccion A de conjuntos.

Un conjunto J y una correspondencia f : J A definida por j 7 Ajpara cada j J , el conjunto f(j) A es notado como f(j) = Aj queasigna a cada j J un conjunto Aj constituye por definicion una familiaA indizada por J y brevemente la notamos

A = {Aj : j J}.Siempre olvidamos como se definio f y lo unico que registramos es que lafamilia quedo efectivamente indizada como A = {Aj}jJ . Definimos lossiguientes conjuntos:

1. Union de una familia de conjuntos,A =

jJ

Aj = {x | x Aj , algun j J}.

2. Interseccion de una familia de conjuntos,A =

jJ

Aj = {x | x Aj , para cada j J}.

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2 Preliminares en conjuntos

3. Producto de una familia de conjuntos,jJ

Aj = {f : J jJ

Aj | f(j) Aj}.

4. Suma de una familia de conjuntos. Tambien se acostumbra notarcomo

jJ Aj y llamarse entonces el coproducto de la familia,

jJAj = {(a, j) | a Aj , j J}.

Si A = {Aj | j J} es tal que cada Aj X, decimos entonces que A esuna familia de subconjuntos de X.

Si J = el conjunto vaco entonces,

1.jJ Aj = .

2.jJ Aj = X.

Decimos que la familia A = {Aj | j J} es una particion de X si paratodo i, j J se tiene que

1. Aj 6= .

2. i 6= j implica Ai Aj = .

3.jJ Aj = X.

La condicion 3 dice que A es un cubrimiento de X.

Dadas las familias A = {Aj | j J}, B = {Bi | i I} en X se tienenlas siguientes igualdades Ac, X\A o {A denotan el complemento de Aen X:

1. (jJ Aj)

c =jJ A

cj .

2. (jJ Aj)

c =jJ A

cj .

3. (jJ Aj)

(iI Bi) =

iI(

jJ(Aj

Bi)).

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0.2 Relaciones 3

4. (jJ Aj)

(iI Bi) =

jJ(

iI(Aj

Bi)).

El axioma de eleccion1 dice quejJ Aj 6= si y solo si Aj 6= para

cada j J 6= .5.jJ Aj

jJ Bj si y solo si Aj Bj para cada j J.

6.jJ Aj

jJ Bj =

jJ(Aj

Bj).

7.jJ Aj

jJ Bj

jJ(Aj

Bj).

8. (iI Ai) (

jJ Bj) =

(i,j)IJ(Ai Bj).

0.2 Relaciones

Una relacion R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto deX Y . Si (x, y) R entonces notamos xRy, o R(x) = y. El dominio deR se define como

dom(R) = {x : (x, y) R para algun y Y }.

La relacion inversa de R se define como

R1 = {(b, a) : (a, b) R}.

Dadas dos relaciones R X Y , S Y Z definimos la composicionS R X Z como

S R = {(x, z) : para algun y Y, xRy y ySz}.

En el caso que X = Y decimos que R es una relacion en X.

0.2.1 Funciones

Una relacion f X Y se llama una funcion si

1. dom(f) = X,

1 Introducido en la primera decada del siglo XX por Ernst F. F. Zermelo (1871-1953),transformo la teora de conjuntos de Cantor y Dedekind.

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2. xfy y xfz implica y = z para cada x la imagen es unica.

En este caso es usual notar la funcion f como f : X Y . Definimos laimagen de A X por f como el conjunto

f(A) = {y Y : y = f(x) para algun x A}.

La imagen inversa de B Y por f es el conjunto

f1(B) = {x X : f(x) B}.

Sean {Ai | i I}, {Bj | j J} familias de conjuntos en X y Y respectiva-mente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades:

1. f(iI Ai)

iI f(Ai).

2. f(iI Ai) =

iI f(Ai).

3. f1(jJ Bj) =

jJ f

1(Bj).

4. f1(jJ Bj) =

jJ f

1(Bj).

5. f1(Bcj ) = (f1(Bj))c.

6. f(f1(Bi)) Bi.7. Ai f1(f(Ai)).

Notese que el comportamiento de f1 la imagen inversa por f esimpecable.

Una funcion f : X Y se dice sobre o sobreyectiva si f(X) = Y ;f se dice uno a uno o inyectiva si x 6= y implica f(x) 6= f(y).

Dada f : X Y y cualesquiera A,B X, C Y tenemos que:

1. f es inyectiva si y solo si f(A B) = f(A) f(B).2. f es sobre si y solo si f1(C) 6= para todo C 6= .3. Si f es inyectiva y sobre biyeccion entonces f1 es una biyeccion

de Y en X.

4. Si f es biyeccion entonces f(Ac) = f(A)c.

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0.2 Relaciones 5

5. f es sobre si y solo si f(f1(C)) = C.

6. f es inyectiva si y solo si f1(f(A)) = A.

7. f es biyeccion si y solo si para cada y Y , f1(y) es un conjuntounitario de X. Caso para el cual f1 : Y X es una funcion biendefinida.

La siguiente afirmacion utiliza el concepto de composicion de relaciones.Sean f : X Y , g : Y X dos funciones tales que g f = idX dondeidX : X X es la funcion identidad, entonces g es sobre y f es uno auno.

Si H es una familia indizada de funciones

H = {hi : Xi Yi}iI

definimos la funcion producto h =iI hi :

XiI

YiI como

h((xi)i) := (h(xi))i.

0.2.2 Relacion de equivalencia

Decimos que una relacion R en X es:

1. Reflexiva: (x, x) R para todo x X esto es equivalente a decirque (X) R, donde (X) es la relacion identica o diagonal deX.

2. Simetrica: (x, y) R implica (y, x) R. R1 = R.

3. Antisimetrica: (x, y), (y, x) R implica x = y R1 R (X).

4. Transitiva: (x, y), (y, z) R implica (x, z) R R R R.

R es de equivalencia si es reflexiva, simetrica y transitiva. Cada relacion deequivalencia determina una particion X/R = {[x] : x X} de X formadapor las clases de equivalencia [x] = {y : xRy}; de manera natural existeuna funcion sobreyectiva

q : X X/R.

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Toda funcion f : X Y define una relacion de equivalencia en X sidefinimos x y si y solo si f(x) = f(y). En este caso notamos la relacion(y la particion) como Rf con Rf = {f1(t) : t f(X)}. El siguiente diagrama es conmutativo, don-de Rf se encarga de igualar los puntos quetienen una misma imagen, con lo cual hfdefinida como hf ([x]) := f(x) esta bien de-finida, es un monomorfismo y por su codo-minio es un epimorfismo, i. e., tenemos unisomorfismo con inversa h1f (y) = f

1(y).

X Y

X/Rf f [X]

-f

?

q

-hf

-

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El diagrama se conoce como teorema de la factorizacion de funcionesentre conjuntos o teorema del cociente para conjuntos.

0.2.3 Relacion de orden

R X X es una relacion de orden si es reflexiva, antisimetrica ytransitiva. Es comun en este caso notar a R como (o `) de suerte que(x, y) R se nota x y (x ` y, o x < y si x 6= y) y decimos leaseque x es menor o igual a y (o x menor que y). El par (X,) se llama unconjunto ordenado.

Un elemento b X es una cota superior (inferior) para A X sia b (b a) para todo a A b debe ser mayor (menor) o igual quecada elemento de A.

Con Alease el superior de A denotamos el conjunto de las cotassuperiores de A, y con A el conjunto de las cotas inferiores. Si A = {a},Aes notado como a, o [a,).

Si existe un elemento s A tal que a s (s a) para cada a Adecimos que s es el maximo (mnimo) de A. Notese que s A es elmnimo de A si A s.

Un elemento m X es maximal para X si m x implica m = xcada vez que m este relacionado, m debe ser entonces mayor o igual,esto es, m no es superado por ningun elemento en X.

El elemento mnimo de A(si existe) es el supremo de A denotado porA o supA (no tiene por que ser un elemento de A). De manera dual se

define el nfimo de A, denotadoA o inf A. En el caso en que A = {x, y},

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0.3 Cardinalidad 7

simplemente notamos

x y := sup {x, y} y x y := inf{x, y}.

Si para todo par de elementos x, y existen xy y xy, se dice que (X,)es un retculo. (X,) es un retculo completo (o reticulado completo)si para todo subconjunto S de X existen

S = supS y

S = inf S. Si

se quiere resaltar el papel de X se escribeX S y

X S, respectivamente.

Notese que en un retculo completo (X,) se tiene

inf = supX = maximo de X = >,sup = inf X = mnimo de X = .

Un subconjunto P de X es totalmente ordenado o es una cadena sipara cada par de elementos a, b P se tiene que a b o b a; u X esuna cota superior para P si x u para todo x P .

Un resultado fundamental y equivalente al axioma de eleccion co-nocido como el Lema de Zorn2, nos asegura la existencia de elementos(exactamente de elementos maximales):

Si en un conjunto X ordenado parcial o total todo subconjunto P total-mente ordenado posee una cota superior en X, entonces X tiene al menosun elemento maximal.

0.3 Cardinalidad

Dos conjuntos X,Y son equivalentes si existe una biyeccionf : X Y . Esta es una relacion de equivalencia en la coleccion delos conjuntos, y a cada clase de equivalencia la llamamos un numero car-dinal y la notamos #(X). El cardinal de N lo notamos de manera especialcomo o 0. El cardinal de R como c.

X es finito si es equivalente al conjunto {1, 2, 3, 4, . . . , n} para algunn N. En caso contrario decimos que X es infinito. Si X es finito oequivalente a N, decimos que X es enumerable o contable.

2 Este es el nombre dado por J. Tukey a un principio maximal introducido en 1935 porM. Zorn (1906-1993), aunque principios similares ya haban sido introducidos por otrosmatematicos como Hausdorff, Kuratowski y Brouwer.

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Sin duda alguna el problema irresoluble mas famoso desde los axiomasusuales de la teora de conjuntos es el primer problema de Hilbert:

Hipotesis del continuo Cantor: Si X R es no contable entoncesexiste una biyeccion f : X R.

Si J es enumerable y cada conjunto Aj es enumerable, entonces tambienlo es

jJ Aj .

Tenemos una gran diferencia entre uniones enumerables y productosenumerables. Si J es enumerable infinito y cada Aj es enumerable, entoncesjJ Aj es no enumerable.

Teorema de Cantor3. Si (X) o 2X denota el conjunto de lossubconjuntos de X 6= , entonces el cardinal de X es menor que el cardinalde (X).

La aritmetica de los numeros cardinales la podemos resumir como:

1. Sean d, e numeros cardinales con d e, d 6= 0 y e infinito. Entoncesd+ e = e y d e = e.

2.ab m 0 cn nm c 2c

0 0 c 2cc c c 2c

3La teora de conjuntos nacio en diciembre de 1873 cuando G. Cantor (1845-1918)establecio que la coleccion de los numeros reales es incontable. En 1873 Cantor probo quelos numeros racionales son numerables, es decir, que pueden colocarse en correspondenciauno a uno con los numeros naturales. Tambien mostro que los numeros algebraicos, esdecir, los numeros que son races de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, sonnumerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los numeros reales eran numerables,le hacan ver que se trataba de un problema mas difcil. Cantor pudo probar que losnumeros reales no son numerables hasta diciembre de 1873. En las decadas siguientes lateora florecio con sus trabajos sobre los numeros ordinales y cardinales.

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O1 Conjuntos con topologa

1.1 Los reales una inspiracion

No hay nada mas familiar a un estudiante de matematicas que el conjuntoR de los numeros reales y las funciones f : R R. Si unicamentetuvieramos en cuenta la definicion usual de funcion de R en R, es decir,una coleccion de pares ordenados (x, y) RR donde cada elemento de Res la primera componente de una y de solo una pareja ordenada, estaramosdesperdiciando el concepto de intervalo que conocemos para los numerosreales y, aun mas, el hecho de que en R podemos decir quienes son losvecinos de un punto x R.

En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un > 0son todos los y R tales que |xy| < ; es decir, el intervalo (x, x+)es la vecindad basica de x con radio . Cuando a una funcion de R en Rla obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad basica, loque estamos exigiendo es que se satisfaga la definicion , de continuidadempleada en el calculo.

Revisemos esta definicion de continuidad. La funcion f : R R sedice continua en el punto c R si:

Para cada numero positivo , existe un numero positivo tal que|f(x) f(c)| < siempre que |x c| < .

Pero |f(x) f(c)| < significa f(x) (f(c) , f(c) + ); as mismo,|x c| < significa x (c , c+ ); luego la definicion entre comillas lapodemos reescribir como

Dado > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar > 0 tal quesi x (c , c+ ) entonces f(x) (f(c) , f(c) + ).

Hablando en terminos de los intervalos abiertos como las vecindades

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10 Conjuntos con topologa

f(c)

c2

2 g(c)

c

Figura 1.1: La continuidad en R.

basicas, esta definicion es:

Dada una vecindad basica de radio alrededor de f(c), podemos en-contrar una vecindad basica de c y con radio tal que

si x (c , c+ ) entonces f(x) (f(c) , f(c) + ).Lo que de nuevo reescribimos como: Dada una vecindad de f(c) po-

demos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen por fde esta ultima se encuentra dentro de la vecindad de f(c).

Informalmente decimos que:

Un cambio pequeno en c produce un cambio pequeno en f(c).KHemos visto entonces que el concepto de continuidad en R esta liga-

do esencialmente a la definicion que podamos hacer de vecindad paraun punto y la relacion entre las imagenes de las vecindades. Luego, siquisieramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos queno sean nuestros numeros reales usuales, debemos remitirnos a obtener dealguna manera pero con sentido el concepto de vecindad para estosconjuntos.

Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es union deintervalos abiertos nuestras vecindades basicas es facil verificar que:

1. es abierto la union de una familia vaca.2. R es abierto.

3. La union de una coleccion de abiertos es un abierto.

4. La interseccion de un numero finito de abiertos es un abierto.

Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definicion.

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1.1 Los reales una inspiracion 11

Definicion 1.1. Una topologa1 para un conjunto X es una familia

T = {Ui : i I}, Ui X

tal que:

1. T, X T.

2.iF Ui T para cada F subconjunto finito de I F b I.

3.iJ Ui T para cada J I.

Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para la unionarbitraria como para la interseccion finita. La condicion 1 es consecuenciade 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ndices I = .

Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X,T) es por definicionun espacio topologico. Brevemente lo notamos X cuando no es necesariodecir quien es T. Los elementos de X son los puntos del espacio. Lascondiciones en la definicion anterior se llaman los axiomas de una estructuratopologica.

A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra espacio significara espacio topologico. Los complementos de los conjuntos abiertosse llaman conjuntos cerrados.

EJEMPLO 1.1

Ru. En R definimos una topologa T conocida como la usual (el espacio esnotado Ru) definiendo U T si U es union de intervalos abiertos. O demanera equivalente, U R es abierto si para cada punto x U existe unintervalo (a, b) que contiene a x y esta contenido en U .

1Se le acuna la invencion de la palabra topologa al matematico aleman de ascendenciacheca Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro de escuelaMuller.

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EJEMPLO 1.2

Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que sealinealmente totalmente ordenado por una relacion . Definimos T latopologa del orden o la topologa intervalo sobre (X,) tomando comoabiertos todos los U X que se pueden expresar como union de intervalosde la forma

1. (x, y) := {t : x < t < y} intervalos abiertos acotados.2. (x,) := {t : x < t} colas a derecha abiertas.3. (, y) := {t : t < y} colas a izquierda abiertas.

En el caso en que X no posea elementos maximo y mnimo, basta considerartan solo los intervalos acotados (x, y) por que?.

EJEMPLO 1.3

Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X partes de X o(X). Esta es la topologa discreta de X permite que todo seaabierto. Es la topologa sobre X con la mayor cantidad posible deabiertos.

Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T = {, X},conocida como la topologa grosera de X practicamente no permite lapresencia de abiertos. Es la topologa con la menor cantidad posible deabiertos.

Notese que toda topologa T para X se encuentra entre la topologa groseray la topologa discreta, i. e., {, X} T 2X .

EJEMPLO 1.4

Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologa punto incluido Ip como U Ip si p U , o, U = .

La definicion de esta topologa se puede extender a cualquier A X y lanotamos como IA.

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EJEMPLO 1.5

Extension cerrada de (X,T). La anterior topologa permite la siguientegeneralizacion. Dado un espacio (X,T) y p / X, definimos la extensionX = X {p} y T = {V {p} : V T} {}. (X,T) es un espacio ylos cerrados de X coinciden con los de X.

El ejemplo 1.4 es la extension Y para el caso (Y = X {p}, 2Y ).

EJEMPLO 1.6

Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologa punto excluido Ep como U Ep si U = X, o, p / U .

EJEMPLO 1.7

Sierpinski. En X = {0, 1} construimos todas las posibles topologas:

1. J1 = {, X},2. J2 = {, X, {0}},3. J3 = {, X, {1}},4. J4 = {, X, {0}, {1}, {0, 1}}.

J2

J1

J3

J4

El diagrama muestra como es la contenencia entre estas cuatro topologas,as que J2 y J3 no son comparables. J2 = {, X, {0}} se conoce como latopologa de Sierpinski2. Es el espacio mas pequeno que no es trivial nidiscreto.

2En honor al matematico polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920,Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz, fundaronuna influyente revista matematica, Fundamenta Mathematica, especializada en trabajossobre teora de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajo sobre todo en teorade conjuntos, pero tambien en topologa de conjuntos y funciones de una variable real.Tambien trabajo en lo que se conoce actualmente como la curva de Sierpinski.

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EJEMPLO 1.8

Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topologa(T, cofinitos) como U X es abierto si su complemento U c es finito,o U = . En este ejemplo como en cada ejemplo donde los abiertos sedefinan en terminos de cardinalidad es interesante tener en cuenta lostres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o infinito nocontable.

aTambien conocida como la topologa de Zariski en honor al matematico bielorrusoOscar Zariski (1899-1986).

EJEMPLO 1.9

Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topologa(T, coenumerables) como U X es abierto si su complemento U c esenumerable o contable finito o infinito, ademas del , por supuesto.

EJEMPLO 1.10

Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos U Epsi U c es finito, o p / U .

La coleccion Top(X) de todas las topologas sobre un conjunto X es unconjunto parcialmente ordenado por la relacion de inclusion: T1 T2 siT1 T2, caso en el cual decimos que T2 es mas fina que T1. Por tanto,sobre Top(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos relativosa conjuntos ordenados.

Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el con-junto de topologas definibles sobre X. Una pregunta natural y formuladadesde el inicio de la topologa es: cuantas topologas existen sobre X? oquien es el cardinal |T(n)|? La pregunta es difcil de contestar y por ellose trata de un problema abierto; mas aun, para este problema de conteo noexiste a la fecha ninguna formula cerrada ni recursiva que de una so-lucion. Tampoco existe un algoritmo eficiente de computacion que calculeel total de T(n) para cada n N.

Para valores pequenos de n el calculo de |T(n)| puede hacerse a mano;por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimientode T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, exis-ten 261492535743634374805066126901117203 posibles topologas para un

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n Numero de topologas en T(n)1 12 43 294 3555 6.9426 209.5277 9.535.2418 642.779.3549 63.260.289.423

10 8.977.053.873.04311 181684603873619212 51935557106577402113 20788139365666895304114 11561705197705426780746015 8873626911858624449248512116 9341111341171003956521049409517 13413795009333788067232186872584618 261492535743634374805066126901117203

Tabla 1.1: Numero de topologas para un conjunto de n elementos.

conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el mayorpara el cual el numero de topologas es conocido.

Ejercicios 1.1

1. Como son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteriores?

2. Construya todas las topologas para X = {a, b, c}.3. Muestre que, para un conjunto X, la interseccion de topologas sobreX es de nuevo una topologa.

4. Muestre que la union de dos topologas sobre un conjunto X nonecesariamente es una topologa.

5. En cada uno de los ejemplos dados en esta seccion, revise la perti-nencia de la cardinalidad del conjunto X.

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6. Muestre que (Top(X),) es un retculo completo. En particular,para el caso de dos topologas T, I el sup {T, I} esta formado portodas las posibles uniones de conjuntos de la forma

{U V : U T, V I}.

7. Revise el ejemplo 1.10 en terminos del ejercicio anterior.

1.2 Abiertos basicos (generacion de topologas)

Entre los abiertos de un espacio, algunas veces casi siempre es impor-tante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o describen alos demas, i. e., toda la estructura topologica puede ser recuperada a partirde una parte de ella.

Definicion 1.2. Si (X,T) es un espacio, una base para T es una subfamiliaB T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto x U , existeun B B tal que x B U .

Cada abierto en T es union de elementos en B.

EJEMPLO 1.11

Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topologa en Ru.Revise la definicion de la topologa del orden.

Por supuesto, para un espacio (X,T), T en s misma es una base de ma-nera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades mas

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1.2 Abiertos basicos (generacion de topologas) 17

importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy grandeespacio 2contable.

Como reconocer que una coleccion B de subconjuntos de X pueda serbase para alguna topologa? K

Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B (X) es base de una topologapara X si y solo si se cumple que

1. X ={B : B B}, i. e., B es un cubrimiento de X.

2. Dados cualesquiera U, V B y x U V , existe B en B conx B U V . Esto es, U V es union de elementos de B paratodo par U, V de B.

Notese que, en particular, un cubrimiento B (X) cerrado para inter-secciones finitas es una base.

Demostracion. ) 1) Supongamos que B es base para una topologa T deX. Veamos que X =

{B : B B}; en efecto, dado x X existe U Ttal que x U , y como B es base, existe B con x B U la otrainclusion es obvia. 2) Si U, V B entonces, dado x U V , por ser Buna base, existe B tal que x B U V U, V estan en T, y por tantoU V T.) Construyamos una topologa T para la cual B es una base. De-

finimos U T si U es union de elementos de B. Por supuesto tanto Xcomo estan en T por ser la union de la familia vaca. Si toma-mos la union de una familia en T, ella finalmente es union de elementosde B. Ahora veamos que B es base de T. Si U, V T y x U V ,por la definicion de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidosen U y V respectivamente; por la condicion 2 sobre B, existe B tal quex B (BU BV ) U V .

La topologa dada por el teorema anterior se conoce como la topologagenerada por la base B y la notamos T = B3.

EJEMPLO 1.12

Si X es un conjunto y p X, una base de la topologa Ip del punto incluidoes B = {{x, p} : x X}.

3Una misma topologa puede ser generada por bases diferentes.

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EJEMPLO 1.13

Particion. Dada una particion R sobre un conjunto X o lo que es igualuna relacion de equivalencia R, la coleccion R junto con el conjunto esuna base para una topologa sobre X. Un subconjunto de X es entoncesabierto si es union de subconjuntos pertenecientes a la particion.

EJEMPLO 1.14

Lnea de Khalinsky. En Z definimos la base

B = {{2n 1, 2n, 2n+ 1} : n Z}{{2n+ 1} : n Z}.

En la topologa generada, cada entero impar es abierto y cada entero pares cerrado.

EJEMPLO 1.15

Topologa a derecha. Para un conjunto (X,) parcialmente ordenado, elconjunto de las colas a derecha y cerradas

x := [x,) := {t : x t},

es una base para una topologa ya que

[x,) [y,) =z

[z,) para z [x,) [y,).

La topologa generada se nota Td y se conoce como la topologa a derechadualmente existe la topologa a izquierda.

La anterior topologa es saturada o de Alexandroff4 en el sentido quela interseccion arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. Notese que lascolas abiertas son tambien abiertos para esta topologa.

(a,) =b>a

[b,).

4En general una topologa se dice de Alexandroff o Atopologa si las interseccionesarbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas inicialmentepor P. S. Alexandroff en 1937. Notese que toda topologa finita es de Alexandroff.

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EJEMPLO 1.16

Una topologa puede tener diferentes bases. En R2 definamos dos basesB1,B2 que nos conducen a una misma topologa: la usual.

B1: U B1 si U = {(x, y) :((x u)2 + (y v)2)1/2 < } para algun

> 0 y algun (u, v) en R2. U se acostumbra denotar como B((u, v))U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio .

B2: V B2 si V = {(x, y) : |xu|+ |yv| < } para algun > 0 y algun(u, v) en R2 V es el interior de un rombo en R2 con centro en (u, v).

Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como union de ele-mentos de B1, lo puedo expresar tambiencomo union de elementos de B2, con lo cual las dos topologas generadas coinciden.

EJEMPLO 1.17

De manera mas general, en Rn definimos una base B de la manera siguiente:

B = {B(x) : > 0, x = (x1, . . . , xn) Rn}

donde,

B(x) =

(y1, . . . , yn) Rn(

ni=1

(xi yi)2)1/2

<

.B(x) es la bola abierta de centro en x con radio . La topologa generadapor esta base se conoce como topologa usual de Rn y notamos Rnu.

No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamente estasbases satisfacen la condicion para serlo, y hacer los graficos respectivos paralas bolas abiertas en Ru y R2u.

Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias departes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser basepara alguna topologa. Cuando dos bases generen una misma topologalas vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de igualdadacomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras, defi-nimos una relacion de equivalencia y lo que llamamos equivalente es esaigualdad acomodada.

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Definicion 1.4. Sean X un conjunto y B1, B2 dos bases como en la defi-nicion 1.2. Decimos que B1 B2 son dos bases equivalentes si lastopologas generadas son iguales, i. e., B1 = B2.Proposicion 1.5. B1 B2 si y solo si dados B1 B1 y x B1 existeB2 B2 tal que x B2 B1, con lo cual B1 B2 y viceversa.

Demostracion. Ejercicio.

El lector debe verificar que esta relacion es de equivalencia sobre elconjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. As que, dadauna topologa sobre X podemos escoger, de la clase de equivalencia querepresenta esta topologa, el elemento base que mejor se acomode a nuestrointeres canonico.

Dado un cubrimiento D de X, es posible crear la menor topologa sobreX que tenga entre sus abiertos la coleccion D. Para ello, creamos a partirde esta coleccion una base y luego generamos la topologa.K

Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una unica topologa Tpara la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topologa Hque contenga a D es mas fina que T, esto es, T H.

Demostracion. Definimos la coleccion B como el conjunto de todas lasintersecciones finitas de elementos de D, es decir B B si B = ni=1Dipara Di D; B es una base de topologa y D B.

Sea T = B. En otras palabras, un elemento U de T es aquel quepodemos expresar como una reunion de intersecciones finitas de elementosde D. Si H es una topologa para X tal que D H , es claro que todoelemento de T tambien es elemento de H por la definicion de topologa.

En general definimos una subbase de la manera siguiente.

Definicion 1.7. Sea (X,T) un espacio. Una subbase para la topologa Tes una subcoleccion D T con la propiedad que la familia formada por lasintersecciones finitas de elementos de D es una base para T.

EJEMPLO 1.18

Los intervalos de la forma (a,), (, b) con a, b R forman una subbasepara la topologa usual. Generalice a la topologa del orden.

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EJEMPLO 1.19

Para un conjunto X la coleccion D = {X {x} : x X} es una subbasepara la topologa de los cofinitos.

Ejercicios 1.2

1. (R2, verticales). Por cada x R sea Bx = {(x, y) : y R}.Muestre que B = {Bx : x R} es base de una topologa para R2Como son los abiertos?

2. (R2, triangulares). Dados a, b, c R, con a > 0, definimos la regioncomprendida entre dos rectas

Da,b,c = {(x, y) : y ax+ b y y ax+ c} R2.

Sea D = {Da,b,c : a > 0, b, c R}. D es una coleccion de regionestriangulares infinitas. Muestre que D es base para una topologa.

b

c

Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.

3. Cuando tenemos un conjunto (X,) totalmente ordenado y sin ele-mentos maximo ni mnimo, es posible definir otras topologas diferen-tes de la usual para el orden. Consideremos las siguientes familias desubconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata de bases paranuevas topologas:

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(a) Bd = {x = [x,) : x X} genera la topologa Td de las colasa derecha y cerradas, o topologa a derecha (ver ejemplo 1.15).

(b) Bi = {x = (, x] : x X} genera la topologa Ti de las colasa izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, esta topologaes de Alexandroff. Tambien se dice que la topologa es generadapor los inferiores x de cada elemento. En estos dos casos noes necesario que el orden sea total, basta tener una relacion deorden parcial en X.

Bi tambien genera los intervalos de la forma(, a) =

ba

[t, b),

[a,) =a

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(f) B = {(x, y] : x, y X} genera la topologa T de los interva-los semiabiertos a izquierda.

B genera: (a, b) =x

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1.3 Vecindades

En la motivacion de este captulo utilizamos el termino vecindad en elcontexto de los numeros reales; hagamos la generalizacion a espacios to-pologicos de acuerdo con la siguiente definicion.

Definicion 1.8. Sea (X,T) un espacio. Decimos que V X es vecindad6de x X la notamos Vx si existe U T tal que x U Vx. Alconjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x).

................................

...............................................................................................................................................................................................................................................

.....................................

............................................................................................. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................

..................................

.............................

.........................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

Vx

xy

U

Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatizacion de vecindad.

Proposicion 1.9. Sean (X, T) un espacio y x X. El sistema V(x) devecindades de x X posee las siguientes propiedades:

1. Si V V(x) entonces x V .

2. Si V V(x) y V W entonces W V(x).

3. Si V,W V(x) entonces V W V(x).

4. Para cada V V(x) existe U V(x) con U V tal que V V(y)para todo y U .

Demostracion. La demostracion se deja como ejercicio.

6Fue el matematico aleman Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la nocion deespacio topologico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914, partiendode una axiomatizacion del concepto de vecindad. Tambien trabajo en teora de conjuntose introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado.

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1.3 Vecindades 25

En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es unfiltro para cada x X el concepto de filtro se define en el captulo 5,pag. 81. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que

Una vecindad de un punto x es tambien vecindad de los puntos suficien-temente cercanos a x.

El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomatizacionde Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglo mas tarde, lacual es nuestra definicion inicial de topologa.

Felix Hausdorff

Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x X se leasigna un conjunto V(x) no vaco de subconjuntos de X que cumple 1, 2,3 y 4 de la proposicion 1.9; entonces existe una unica topologa T para Xtal que para cada x X la coleccion V(x) es precisamente el sistema devecindades de x en el espacio (X,T).

Demostracion. Definimos U T si para cada x U se tiene que U V(x)U es vecindad de cada uno de sus puntos. Veamos que en efecto Tes una topologa. Por vacuidad, vaco esta en T. Por hipotesis, V(x) es

7Un grupo de matematicos, en su mayora franceses, quienes bajo este seudonimocomenzaron a reunirse en 1930 con la intencion de escribir de una manera unificada lamatematica existente.

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diferente de vaco para x X, y por tanto X V(x). Dado x U Vdonde U, V T, tenemos U V V(x) ya que U, V V(x). Dada {Ui},(i I) una familia en T y x U = {Ui : i I}, existe i I tal quex Ui, y como Ui V(x), por la propiedad 2 tenemos U V(x).

Veamos ahora que V(x) = W(x) donde W(x) es el sistema de vecin-dades de x en (X,T). Si Vx es una vecindad de x, existe U T tal quex U Vx. Como U T, significa que U V(x) y as Vx V(x).

Mostremos finalmente que V(x) W(x). Dada V V(x), definimosU = {y V : V V(y)}; claramente x U V , as que solo resta mirarque U T. Por definicion, si y U entonces V V(y) y por 4 existe Wen V(y) tal que V V(z) para cada z W , con lo cual W U , y por 2,U esta en V(y), pero como esto se tiene para cada y U , entonces U Tpor la definicion de T.

Es un ejercicio verificar que la topologa T es unica.

Definicion 1.11. En un espacio (X,T) un SFV sistema fundamental devecindades para un punto x X, es una familiaW = {Wi}i de vecindadesde x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi con Wi Vx.

Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentro decada vecindad.

Definicion 1.12. Un espacio (X,T) se dice T1 si dado cualquier par depuntos x, y X existen Vx, Vy tales que y / Vx y x / Vy.

Definicion 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff, T2,o separado, si dado cualquier par de puntos x, y X existen vecindadesVx, Vy con Vx Vy = . Es decir, podemos separar los puntos por mediode vecindades disyuntas.

El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho de habersido F. Hausdorff8 quien la introdujo como un axioma adicional a los de laproposicion 1.9.

8F. Hausdorff (1868-1962) crecio en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduo dela Universidad de Leipzig y fue docente all hasta 1910. Comenzo su carrera de genialmatematico como un astronomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno delos padres de la topologa. Tambien escribio poesa y filosofa. En 1942 prefirio cometersuicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentracion nazi.

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1.3 Vecindades 27

EJEMPLO 1.20

En (X, discreta) el conjunto W(x) = {{x}} es un SFV de x. En Ru elconjunto W(x) = {(x 1n , x+ 1n)}nN es un SFV de x R.

Ejercicios 1.3

1. Muestre que en un espacio X, U X es abierto si y solo si esvecindad de cada uno de sus puntos.

2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios {x} son cerra-dos.

3. Cuales espacios de los que hemos definido son T1?

4. Cuales de los espacios topologicos que hemos definido son Haus-dorff?

5. B = {(a, b) : b a 1} es base para la topologa usual de R.6. En (R2, verticales) quienes forman a V((0, 0))?7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10.

8. Sea (X,T) un espacio. Muestre que la topologa T es de Alexandroffo Atopologa si y solo si cada punto x X posee una vecindad Axmnima, i. e., Ax esta contenida en cualquier otra Vx.

9. Muestre que toda topologa finita es de Alexandroff.

10. Lexicografico. En R2 definamos el orden lexicografico de la manerasiguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = ctenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) eneste espacio, resultan ser rectangulos infinitos hacia arriba y haciaabajo, con parte de los lados verticales incluidos, segun sea el caso(ver figura).

Luego un abierto para la topologa generada sera todo lo que logremosexpresar como union de estos elementos basicos. Notese que estadefinicion puede extenderse a Rn y coincide con la manera comoordenamos un diccionario.

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a c

b

d

(a) Dibuje al menos tres vecindades delpunto (0, 0) para la topologa indu-cida por este orden.

(b) Como es geometricamente el inter-valo ((0, 0), (2, 3))?

(c) Que relacion existe entre la topo-loga usual y la topologa de ordenasociada al lexicografico?

(d) Como puede usted generalizar estatopologa a cualquier conjunto orde-nado?

(e) Trate de observar como es esta topo-loga si el conjunto X es el cuadradounidad I I.

11. Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b < c} es tambien una base parala topologa del orden lexicografico.

12. La topologa del orden para N es la topologa discreta.

13. La topologa del orden para NN con el orden lexicografico no es latopologa discreta.

14. La topologa del orden para Z Z con el orden lexicografico es latopologa discreta.

15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos para cadax X un conjunto V(x). En que casos la coleccion de las V(x)constituye un sistema de vecindades? Cual es la topologa generadapor este sistema?

(a) V(x) = {A X : x A}.(b) V(x) = {{x}}.(c) V(x) = {X}.(d) Sea X = N {} donde / N. Por cada n N definamos

i. V(n) = {A X : n A},ii. V() = {A X : A y Ac es finito}.

(e) Sea X = (N N) {} donde / N N. Por cada (m,n) N N definamos:

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1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 29

i. V((m,n)) = {A X : (m,n) A},ii. V() = {A X : A, donde A contiene casi todos los

puntos de casi todas las filas}.En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitos numeros,y solo a un numero finito de filas le pueden faltar infinitosnumeros. La fila k-esima es por definicion el subconjunto N{k}la cual notamos Nk. A V() si A y existe m N tal queNk A es finito para todo m < k.La topologa generada es la de Arens-Fort9: un abierto contienea si unicamente un numero finito de filas contienen huecossignificativos. Revise el ejemplo 1.10.

1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio

Esta seccion presenta una maquina de construccion para nuevos espaciosa partir de espacios ya conocidos.

Dados un espacio (X,T) y A X, A hereda una estructura topologicaTA de manera natural con respecto a T.

Proposicion 1.14. Sean (X,T) un espacio y A X. La coleccion

TA := {U A | U T}

es una topologa sobre A.

TA se llama la topologa de subespacio inducida sobre A o la topologaasociada al subespacio A.

Demostracion. Claramente = A y A = X A son elementos de TA.Si M,N TA entonces M = U A, N = V A para U, V T, con locual (U A) (V A) = (U V ) A, y como U V T, tenemos queM N TA. Por induccion esto es valido para cualquier interseccion finitade elementos de TA.

Si {Mi}, (i I) es una familia de elementos de TA, cada Mi = Vi Apara un Vi T. As que M = iIMi = iI(Vi A) = A (iIVi), ycomo iIVi T, tenemos M TA.

9Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matematico estadounidense. Los espacios Fort yArens-Fort son llamados en su honor.

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Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A.

EJEMPLO 1.21

1. Sea X = R2u. Entonces cualquier subconjunto del plano puede servisto como un espacio topologico. En particular las figuras de lageometra, como circunferencias, discos, polgonos, etc., pueden serahora vistas como espacios.

Examinemos el caso de la recta real R = {(x, 0) : x R} R2.La topologa de subespacio es la topologa usual de R. En efecto,dado M abierto de R, M = R V para V abierto de R2. LuegoV = iIBi, donde cada Bi es una bola abierta; entonces

M = R (iIBi) = iI(R Bi)

y cada R Bi es un intervalo abierto o el , luego M es reunion deintervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topologa usual.

2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topologa usual, cuando consi-deramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topologa alas esferas Sn.

La siguiente proposicion dice como obtener una base para la topologa in-ducida sobre A X a partir de una base para la topologa en X.

Proposicion 1.15. Si B = {Bi}iI es una base para (X,T) entoncesD = {Bi A : Bi B} es una base de TA.

Demostracion. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x A entoncesx Bi para algun i y por tanto x Bi A. De otra parte, si x

G.RU

BIAN

O


(Bi A) (Bj A), existe Bk Bi Bj lo que implica x (Bk A) (Bi A) (Bj A).

Un subconjunto abierto en (A,TA) no tiene por que serlo en (X,T).

Un subespacio A X cuya topologa de subespacio es la discreta sellama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que para cadapunto a A existe un subconjunto abierto en X cuya interseccion con Aes solo el punto a.

EJEMPLO 1.22

En Ru, la topologa inducida sobre los enteros es la discreta; {n} es ahoraabierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener cierta discrecioncuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios o subespacios.As, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera que tambienlo es ya que entre cada par de racionales existe un numero irracional; sinembargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplo de un espaciocon propiedades interesantes.

EJEMPLO 1.23

Sea A = [0, 2][3, 7) subconjunto de R y consideremos la topologa inducidade Ru. El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es en Ru.

EJEMPLO 1.24

Si B = { 1n : n 1}, la topologa inducida de Ru es la discreta. Si agre-gamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta.

EJEMPLO 1.25

En R3u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig.1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T esta formado por todas las triplasde la forma

((a+ b cos)cos, (a+ b cos)sen, b sen)

cuando , varan en el intervalo [0, 2pi].

Notese que la parte

(a+ b cos, b sen) = (x(), y())

G.RU

BIAN

O


parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida loque hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de laecuacion (x()cos, x()sen, y()), la cual da una vuelta de radio x()para cada . Los elementos de la base para la topologa de T inducida porla usual de R3, seran las intersecciones de las esferas sin borde de R3 conT (ver fig. 1.6).

Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para y para respectivamente.

Figura 1.6: Un abierto basico del toro.

EJEMPLO 1.26

Sea M33 o M3(R) el conjunto de todas las matrices reales de tamano33. Usando las 9 entradas (ai,j) en cada matriz como coordenadas para unvector, podemos identificar M33 con R9. El subconjunto GL(3,R) R9de las matrices invertibles es un espacio con la topologa de subespacio (verejemplo 2.7).

G.RU

BIAN

O


EJEMPLO 1.27

Aunque en R la topologa inducida por el orden usual coincide con latopologa usual, esto no sucede para los subespacios.

El conjunto A = (5, 7) [8, 10) tiene el orden usual de los numeros yla topologa T inducida por este orden es diferente a la topologa usualTA inducida del orden usual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9) A es unabierto en la usual, pero no lo es en la inducida por el orden de A porqueno corresponde a ningun intervalo de A, pues no existe 8 (a, b) [8, 9).

EJEMPLO 1.28

Sobre el cuadrado A = II = [0, 1][0, 1] podemos considerar y comparartres topologas:

La topologa TII inducida por la usual de R2. La topologa T inducida por su orden lexicografico. La topologa TII inducida del espacio (R2,T) donde T es la in-

ducida por el orden lexicografico de R2.

(a) (b)

p

p

Figura 1.7: (a) un abierto en TII , (b) un abierto en T.

Estudie la contenencia entre estas tres topologas (ver fig. 1.7).

Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: cuando losabiertos de un subespacio son tambien abiertos para el espacio?

G.RU

BIAN

O


Proposicion 1.16. Sean (X,T) un espacio y A X. Entonces TA T siy solo si A es abierto.

Demostracion. Sea M TA es decir M = V A donde V T. ComoA T tenemos V A T.

Ejercicios 1.4

1. Como es la topologa de subespacio para S1 R2?2. En (R2, verticales), pag. 21 ej. 1, como son las topologas inducidas

sobre R {0} y {0} R?3. En Ru como son las topologas heredadas para Q y para A = {1/n |n N} {0}?

4. En (R2, lexicografico) como es la topologa inducida sobre la rectareal y sobre I I?

5. Sean (X,T) un espacio y A X. Muestre que F A es cerradoen (A,TA) si y solo si F es la interseccion de A con un subconjuntocerrado de X.

6. En X = {1, 2} N con el lexicografico, todo unitario es abiertoexcepto uno; de que punto se trata?

7. Y (X,) se dice convexo si para todo a, b Y con a < b elintervalo (a, b) Y . Muestre que en este caso las topologas TY yTY coinciden (ver ejemplo 1.28).

G.RU

BIAN

O2 Espacios metricos

En este captulo vemos los espacios metricos como una clase particularde espacios topologicos. Por supuesto que los espacios metricos, en s mis-mos, son extremadamente importantes y dentro de la matematica merecensu propio espacio y por supuesto su propio texto. La presentacion que aquhacemos es con la finalidad de prepararnos motivarnos, dar ejemplospara las futuras definiciones en topologa concernientes a las nociones decercana y lmite, pero no pretendemos hacer una exposicion tan siquieraincompleta.

Estos espacios el concepto fueron introducidos por el matematicofrances Maurice Rene Frechet (18781973) en 1906 y constituyeron unode los pasos decisivos en la creacion de la Topologa general. Se tratabade definir el concepto de distancia de la manera mas general posible paraobjetos matematicos de naturaleza no especfica no necesariamente pun-tos de Rn, curvas o funciones. Con tan pocas condiciones (ver siguientedefinicion) Frechet pudo introducir de nuevo todas las nociones topologicasintroducidas hasta ese entonces para Rn, esto es, lmites, continuidad, ve-cindades para un punto, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, puntos deacumulacion, compacidad, conexidad, etc.

2.1 Metrica

Definicion 2.1. Una metrica d para un conjunto X es una funciond : X X R0 = [0,) toma valores en los numeros realespositivos que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z X:

1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,

2. d(x, y) = d(y, x),

35

G.RU

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O

36 Espacios metricos

3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y).

El numero d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llamaun espacio metrico.

La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos recuerdael hecho de que la distancia mas corta entre dos puntos es la que se tomadirectamente entre ellos claro que el sentido del termino distancia es algoque nosotros hemos definido por medio de d, a nuestro antojo.

Una consecuencia inmediata de 3 es

|d(x, y) d(z, y)| d(x, z) (2.1)puesto que d(x, y) d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) d(z, y) d(x, z) e,intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y)d(x, y) d(z, x),con lo cual

d(x, z) d(x, y) d(z, y) d(x, z). (2.2)Dados (X, d), x X y > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < lo llamamos la bola abierta B(x). (Ver definicion 2.8).

EJEMPLO 2.1

El conjunto R de los numeros reales, con la funcion d(x, y) = |x y| es unespacio metrico. Este ejemplo incluye su curso de calculo I en este texto.La desigualdad triangular es en este caso |x y| |x z| + |z y|. Alreemplazar a = x z, b = z y tenemos la clasica desigualdad |a + b| |a|+ |b|.

EJEMPLO 2.2

Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimos d(x, y)como la longitud del camino mas corto entre todas las rutas que comunicana x con y, tenemos que d es una metrica.

EJEMPLO 2.3

Metrica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la metrica discreta sedefine como: para x, y X

d(x, y) :=

{1 si x 6= y,0 si x = y.

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BIAN

O

2.1 Metrica 37

EJEMPLO 2.4

Dados x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos puntos en Rn defini-mos

d2(x,y) = |xy| = ((x1y1)2+(x2y2)2+ +(xnyn)2)1/2. (2.3)

Esta metrica se llama distancia euclidiana la manera de medir usual.Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigualdades de:

Minkowski,(ni=1

(xi + yi)2) 1

2

(

ni=1

xi2

) 12

+

(ni=1

yi2

) 12

(2.4)

Bunjakovski-Cauchy-Schwartz,ni=1

|xiyi| (

ni=1

xi2

) 12(

ni=1

yi2

) 12

(2.5)

Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad de Min-kowski:

d(x,y) + d(y, z) = |x y|+ |y z| |(x y) + (y z)| = |x z|= d(x, z).

Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una metrica dp en Rnpara cada numero real p 1 no necesariamente p = 2, i. e., tenemosuna coleccion infinita de metricas (ver fig. 2.4).

dp(x,y) :=

(ni=1

|xi yi|p) 1

p

, p 1, (x,y Rn).

El espacio metrico resultante es notado por algunos autores como lnp , desuerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir en Rn,notamos ln2 .

G.RU

BIAN

O


EJEMPLO 2.5

El espacio l de todas las sucesiones acotadas. Sea l el conjunto detodas las sucesiones acotadas de numeros reales, i. e., las sucesiones x =(x1, x2, ...) = (xn) tales que supn |xn|

G.RU

BIAN

O

2.1 Metrica 39

Una matriz A es invertible (multiplicacion) si existe una matriz B tal queAB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de manera equivalenteDet(A) 6= 0 (determinante distinto de cero).

En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de las ma-trices invertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general.

Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas de At

son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cada matriz define unafuncion A : Rn Rn como A(x) = Ax.

Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A1 = At, i. e.,AAt = I.

EJEMPLO 2.8

On o O(n,R). El subconjunto On GLn de las matrices ortogonales,se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones lineales deRn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente a lasisometras de Rn que fijan el origen.Si A On, entonces det(A) {1,1} puesto que

det(A)2 = det(A)det(At) = det(AAt) = det(I) = 1.

EJEMPLO 2.9

El subconjunto SOn On de las matrices A On con det(A) = 1 se llamagrupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que tienen deter-minante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este subconjuntocoincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen.

Para el caso 2dimensional n = 2 tenemos SO2. Dado un angulo definimos las matrices

R =(

cos sen sen cos

)S =

(cos sen sen cos

).

Estas matrices son ortogonales y det(R) = 1, det(S) = 1. Por tantoR SO2 y S O2 SO2. Pero mucho mas, cualquier matriz A SO2es de la forma R para algun y cualquier matriz A O2 SO2 es de laforma S para algun .

R representa una rotacion de medida en sentido contrario a las ma-necillas del reloj.

G.RU

BIAN

O


S representa una reflexion por la lnea que pasa por el origen en angulo/2 con respecto al eje x.

Una isometra de Rn es una funcion f : Rn Rn de la forma f(x) =Ax + a para alguna matriz ortogonal A On y algun vector a Rn.Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indicasu nombre, una isometra f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) =d(x, y) para todo x, y Rn. De manera recproca, para cualquier funcionf : Rn Rn que preserva distancias existen A On y a Rn tal quef(x) = Ax+ a para todo x Rn.

Ejercicios 2.1

1. Dados (X, d),(Y,m) dos espacios metricos muestre que parax = (x1, y1), y = (x2, y2) con x, y X Y las siguientes funcionesdefinen metricas sobre X Y :(a)

d2(x, y) := (d(x1, x2)2 +m(y1, y2)2)12 . (2.6)

Sugerencia: para la desigualdad triangular apoyese en la siguien-te desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son numeros reales no nega-tivos con a b + c, x y + z, entonces (a2 + x2)1/2 (b2 + y2)1/2 + (c2 + z2)1/2.

(b)

d(x, y) := max {d(x1, x2),m(y1, y2)}. (2.7)(c)

d(x, y) := d(x1, x2) +m(y1, y2). (2.8)

2. Generalice las metricas del ejemplo anterior para un producto finitode espacios metricos.

3. La metrica del mensajero. En el espacio euclidiano R2, definimos lametrica m del mensajero como m(p, q) := d2(0, p) + d2(0, q) donde0 = (0, 0), p, q R2. Si p = q definimos m(p, q) = 0.El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nuevamentea repartir en q (figura 2.1). Como es B1(p), i.e., que puntos per-tenecen a esta bola?

G.RU

BIAN

O

2.1 Metrica 41

p

q

Figura 2.1: La metrica del mensajero.

4. Sea X un conjunto no vaco. En XN definimos d, la metrica pri-meriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1, x2, . . .),y = (y1, y2, . . .) en X,

d(x,y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk 6= yk.Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos sucesionesdifieren. Si xn = yn para todo n N, definimos d(x,y) = 0.Muestre que (XN, d) es un espacio metrico.

En el caso en que X = N obtenemos la coleccion de todas las sucesionesde numeros naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y, comocuriosidad, este espacio no es mas que otra manera de describir al conjuntode los numeros irracionales va fracciones continuas.

5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto {0, 1}N de todaslas cuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto {0, 1} es unespacio metrico. La distancia esta dada en terminos de la longitud kdel primer prefijo que comparten.

Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto {0, 1}N ladistancia d(x,y) :=

12k.

Veamos la desigualdad triangular para esta nueva metrica. Seana, b, c sucesiones y mostremos que

d(a, b) max{d(a, c), d(c, b)}.Sea k la longitud del mayor prefijo comun entre a y c, y sea m lalongitud del mayor prefijo comun entre c y b. Si n = min{k,m},sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primeras nletras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con las primeras

G.RU

BIAN

O


n letras de b. As, las primeras n letras de a coinciden con las primerasn letras de b. Luego, el prefijo comun entre a y b tiene longitud almenos n.

Por tanto,

d(a, b) (1/2)n = (1/2)min{k,m} (2.9)= max{(1/2)k, (1/2)m} (2.10)= max{d(a, c), d(c, b)}. (2.11)

Esta ultima ultradesigualdad implica la desigualdad triangular ya que

max{d(a, c), d(c, b)} d(a, c) + d(c, b).

6. Un espacio ultrametrico X es un espacio metrico (X, d) en el cualla metrica d satisface la ultra-desigualdad triangular:

d(x, z) max{d(x, y), d(y, z)}.

(a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de espaciosultrametricos.

(b) En un espacio ultrametrico cualquier punto de una bola (verdefinicion 2.8) puede ser su centro, i. e., si y B(x) entoncesB(x) = B(y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntasson comparables por la inclusion.

(c) Una bola cerrada es un conjunto abierto.K(d) Una bola abierta es un conjunto cerrado.

7. Sean (X, d) un espacio metrico y A X. Muestre que la funcion drestringida a AA define una metrica dA para A. Al espacio (A, dA)lo llamamos subespacio metrico.

8. En X = (N) defina d(A,B) = 0 si A = B, de lo contrario defina

d(A,B) =1k

donde k = min{n : n (A B) (A B)}.

Sugerencia: d(A,B) 0 y f C(I,R), la bola B(f) consiste de todas lasfunciones que permanecen estrictamente dentro del area acotada por lasfunciones f , f + .

f +

f

f

Figura 2.5: Bola abierta en la metrica d para C([0, 1],R).

G.RU

BIAN

O


Contrario al caso anterior, para la metrica

d1(f, g) = 10|f(x) g(x)|dx (2.29)

sobre [0, 1], las bolas son muy difciles de imaginar.

Teorema 2.9. Si (X, d) es un espacio metrico, entonces el conjunto

B = {B(x) : x X, > 0} (2.30)

de todas las bolas abiertas es base para una topologa en X.

xp

y

Figura 2.6: Las bolas en un espacio metrico forman una base.

Demostracion. Sean B(x), B(y) dos bolas y p B(x)B(y). Si r > 0es tal que r < m, donde m = min{ d(p, x), d(p, y)}, la bolaBr(p) esta contenida en la interseccion de las dos bolas dadas (fig. 2.6).En efecto, veamos primero que Br(p) B(x); a partir de la desigualdadtriangular tenemos que si d(t, p) < r entonces

d(t, x) d(t, p) + d(p, x)< r + d(p, x) d(p, x) + d(p, x) .

De manera similar se muestra la otra contenencia.

G.RU

BIAN

O

2.3 Topologa para una metrica 55

Definicion 2.10. La topologa T asociada a la base formada por la totalidadde las bolas abiertas se llama topologa inducida o generada por la metricad, y la notamos T = d.

La definicion anterior nos permite crear una clase muy especial de espa-cios topologicos. Cuando un espacio topologico (X,T) tiene una topologatal que T = d para alguna metrica d, decimos que el espacio (X,T) esmetrizable, o que su topologa proviene de una metrica.

Las preguntas obligadas son:

1. Todo espacio topologico es metrizable?

2. Pueden metricas diferentes inducir la misma topologa?

3. Como saber cuando un espacio es metrizable?

2.3.1 Metricas equivalentes

Una metrica induce una base, as que la pregunta 2 puesta en terminos debases nos conduce a la siguiente definicion.

Definicion 2.11. Dos metricas d,m en un conjunto X se dicen topologi-camente equivalentes notamos d m si generan la misma topologa;esto es, d = m.

La primera contenencia d m de la igualdad d = m implicaque cada bola en d se puede expresar como una union de bolas en m, y lorecproco para la otra contenencia.

y

x

En terminos mas explcitos, dada Bd (x)una bola cuadrada en d y un punto ycon y Bd (x), es posible encontrar una bolaBm (y) redonda en m y de centro en yde tal manera que

y Bm (y) Bd (x).

Tambien debemos tener lo recproco para la otra contenencia. Por quepodemos escoger la bola Bm (y) de suerte que resulte centrada en y? Mas

G.RU

BIAN

O


aun, para la equivalencia topologica entre dos metricas nos podemos reducira la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismo punto; esto es,para cada x X dada Bd (x) existe Bm (x) Bd (x) y viceversa.Definicion 2.12. Un espacio metrico (X, d) es acotado si la funcion d esacotada. De manera mas general, dado A (X, d) definimos el diametrode A como

diam(A) := sup{d(x, y) : x, y A}.En caso que diam(A)

G.RU

BIAN

O


teorema 2.14) si existen dos numeros reales positivos s, t tales que paratodo par de puntos x, y X se satisface

d(x, y) sm(x, y) , m(x, y) t d(x, y). (2.31)Teorema 2.14. Ser metricamente equivalentes implica ser topologicamenteequivalentes.

Demostracion. Sean d,m dos metricas que son metricamente equivalentes;por lo tanto, existen dos numeros s, t que satisfacen la definicion 2.13.Dada la bola abierta Bd (x) tenemos que B

m/s(x) Bd (x) lo cual muestra

d m. Similarmente Bd/t(x) Bm (x) y por tanto m d.

EJEMPLO 2.19

El recproco del teorema anterior no es cierto. Sabemos que toda metrica des topologicamente equivalente a la metrica e = min{1, d}; pero claramented, e no tienen por que serlo metricamente. Por ejemplo, en el caso de Rnu noes posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) se(x, y) para todo par depuntos x, y Rnu. Sin embargo, la metrica e es metricamente equivalentea la metrica f =

d

1 + dpues tenemos la desigualdad f e 2f .

Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado,decimos que dos normas 1, 2 son topologicamente o metricamente Kequivalentes si las respectivas metricas asociadas lo son. De otra parte,decimos que ellas son equivalentes si existen s, t R>0 tales que,

1 s 2 y 2 t 1 las notamos 1 2.

En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distinguir,como pasaba en los espacios metricos, entre distintas formas de equivalen-cia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales, con lo cualpodemos utilizar simplemente el adjetivo normas equivalentes. Mas aun,es posible demostrar que en un espacio vectorial normado de dimensionfinita, todas las normas son equivalentes.

EJEMPLO 2.20

Las metricas ln1 , ln2 y l

n son topologicamente equivalentes. Para esto, bastamostrar la desigualdad

Br/2(x) B1r (x) B2r (x) Br (x).

G.RU

BIAN

O


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.7: B1((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2p.

Para el caso del plano, al graficar las bolas B1((0, 0)) para cada una de lasmetricas dp, obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que p crece,obtenemos una deformacion continua del rombo de d1 al cuadrado de d,en que la circunferencia en d2 no es mas que un paso en el camino.

La justificacion de la notacion d para la metrica del sup la obtenemosdel siguiente lema.

Lema 2.15. Para cada x = (x1, . . . , xn) Rn se tiene que

limp xp = max{|x1|, . . . , |xn|} = x.

Demostracion. Es claro que

xp |x1|p + + |xn|p nxp. (2.32)

Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos

x xp n1/px. (2.33)

Como n1/p 1 cuando p , tenemos nuestro lmite. Notemos que ladesigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma p es equivalentea , con lo cual todas las p son equivalentes en Rn, esto es, inducenla misma topologa.

G.RU

BIAN

O


En la definicion de la metrica dp para los espacios Rn (ver recuadro pag.37) la condicion p 1 no debe pasar desapercibida, puesto que en el casop < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos una metrica.Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangular no se verificaen el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0) pues d(x, y) = 4mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1.

EJEMPLO 2.21

Una maquina para construir metricas equivalentes. Dados un espaciometrico (X, d) y una funcion f : R+ R+ estrictamente creciente, conf(0) = 0 y f(u+ v) f(u) + f(v), la compuesta f d es una metrica. Siademas f es continua en 0, las dos metricas f y f d son topologicamenteequivalentes.Verifiquemos, antes de todo, que m = f d definida como m(x, y) =f(d(x, y)) es una metrica.

1. m(x, y) es positiva por la definicion de f . Por ser f creciente tenemosque f(d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y. Para larecproca de esta afirmacion recordemos que f(0) = 0.

2. La simetra en m es consecuencia de la simetra en d.

3. La desigualdad triangular,

m(x, z) = f(d(x, z)) f(d(x, y) + d(y, z)) f(d(x, y)) + f(d(y, z))= m(x, y) +m(y, z)).

Para verificar que las dos metricas nos llevan a la misma topologa, debemostener las contenencias entre las respectivas bolas.Como f es continua en 0, dado > 0, existe > 0 tal que x < implicaf(x) < . Por tanto d(x, y) < implica m(x, y) = f(d(x, y)) < , lo cualno es mas que contenencia entre bolas.Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f(d(x, y)) < f() entoncesd(x, y) < , con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas.

A manera de ejemplo, notemos que las funciones

u (para > 0),u

1 + u, log(1 + u), min{1, u}, arctanu

G.RU

BIAN

O


satisfacen las condiciones para f . Que metricas son inducidas por estasfunciones?

1

x y

Para el caso X = R con la metricausual del valor absoluto, y la funcionf(u) = arctanu tenemos que su com-puesta produce la metrica

f(d(x, y)) = | arctanx arctan y|.

Esta nueva metrica mide el angulo (me-dido en radianes) entre las rectas des-critas por la figura en este caso serestan, pero si x y y tienen diferente

signo entonces se suman. Es una metrica acotada por pi, y ademas re-sulta ser topologicamente equivalente con la usual ya que la funcion f escontinua en 0.

En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta ultima seccion,obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la Topologa:dado un espacio topologico (X, T) existe una metrica d para X tal que latopologa T sea inducida por d? El estudio de la metrizabilidad, es decir, labusqueda de condiciones necesarias y/o suficientes para que una topologaprovenga de una metrica, es un captulo abierto a la investigacion con suspropios teoremas, algunos de ellos clasicos en la literatura matematica.

Ningun espacio topologico (X,T) donde X es un conjunto finito y T noes la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es metrico conX finito, siempre tenemos que d = discreta.

Ejercicios 2.3

1. Muestre que la relacion de equivalencia topologica para las metricases en efecto una relacion de equivalencia.

2. Como son las bolas en la metrica del mensajero? ver pag. 40.

3. A partir de la definicion de elipse en la metrica usual, como es unaelipse, una circunferencia, una recta para la metrica del taxista?

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4. Dados dos espacios metricos (X,m), (Y, n) muestre que las metricasd1, d2, d (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes.

Sugerencia: para todo par de puntos x, y X Y se verificad(x, y) d2(x, y) d1(x, y) 2d(x, y).

5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera deespacios metricos.

6. Muestre que toda metrica sobre un conjunto finito genera la topologadiscreta.

7. De un ejemplo de una metrica sobre un conjunto enumerable que nogenera la topologa discreta.

8. Ya hemos definido la metrica d del sup para el conjunto de las fun-ciones continuas C([0, 1],R). Pero la notacion nos lleva a conjeturarla existencia de toda la gama de metricas dp para p 1 notamosCp[0, 1] = ((C[0, 1],R), dp) que mide la distancia entre dos funcio-nes f, g asignandoles el numero

dp(f, g) :=( 1

0|f(x) g(x)|p

) 1p

.

El estudio de estas metricas se sale de las pretensiones de este texto.Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectivamente setrata de metricas y que

(a) d * d2.(b) d2 d.(c) d1 * d.(d) d * d1.

Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 apoyese en ladesigualdad de Schwartz( b

af(t)g(t)dt

)2 baf2(t)dt

bag2(t)dt.

Para negar la contenencia considere la sucesion de funciones continuas{gn} figura 1.5 definidas como

gn(x) =

{1 nx si 0 x 1n0 si 1n x 1

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Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vez

1n

14

13

12

1

1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

x

y

Figura 2.8: Las funciones gn.

mas largo. Es facil ver que

d2(0, gn) =

1

3n

mientras que d(0, gn) = 1. Luego la bola B1/2(0) en d de centrola funcion nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn, con lo cual,no existe en d2 alguna bola centrada en la funcion nula, que puedaestar contenida en B1/2(0) ya que 1/3n 0 cuando n.Sugerencia caso c: tome = .

Sugerencia caso d : considere la sucesion de funciones continuas {gn}definidas como

gn(x) =

{4nx+ 4 si 0 x 12n2 si 12n x 1.

Para la funcion constante f(x) = 2 verifique que cada gn B11n

(f) y

gn / B1 (f).Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar fun-ciones g tales que su integral (area bajo la curva) sea tan pequenacomo queramos y sin embargo tengan una punta tan larga comoqueramos.

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O3 Bases y numerabilidad

Un espacio (X,T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de todasla misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinalidad delas bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres respondenmas a un caracter historico que descriptivo.

3.1 2-contable

Definicion 3.1. Un espacio (X,T) se dice 2-contable si entre sus basesexiste alguna con un numero enumerable finito o infinito de elementos.

Esta condicion impone una cota al numero de abiertos en la topologa(ver ejercicio 12 de la pag. 69). Tambien nos dice que la topologa puedeser descrita en terminos de un numero contable de piezas de informacion.

EJEMPLO 3.1

Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los interva-los abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamiliaenumerable

B = {(p, q) : p < q, p, q Q}.Esta subfamilia es de nuevo una base verifquelo! y es enumerable yaque su cardinal es el mismo de QQ.

EJEMPLO 3.2

(R, cofinitos) no es 2-contable.

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64 Bases y numerabilidad

Supongamos que existiera una base enumerable B = {B1, B2, . . .}. CadaBn es un abierto y por tanto B

cn es finito, con lo cual

i=1B

cn = (

i=1Bn)

c

es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y n=1Bn y comoR{y} es un abierto, debe existir un j N para el cual Bj esta contenidoen el, pero esto es imposible ya que para todo n N se tiene y Bn.

EJEMPLO 3.3

X = (RN, primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la pag. 41).

Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento inicialde las sucesiones, a diferencia de lo usual en sucesiones, donde importa elcomportamiento final. Si existiera una base B = {B1, B2, . . .}, por cadan N tomamos un elemento (i. e., una sucesion) tn = (tnk)k=1 Bn.As, la sucesion {tn1}n=1 esta formada por la primera coordenada de cadasucesion tn.Construimos ahora una sucesion q = (qn) en la cual q1 6= tn1 para cada n,con lo que la primera componente de q es diferente de la primera compo-nente de cada una de las sucesiones tn, lo que implica tn / B1/2(q) paratodo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, ya estan lomas lejanas posible, esto es d(q, tn) = 1. As que ninguna Bn de la basepuede estar contenida en B1/2(q).

EJEMPLO 3.4

El espacio H de Hilbert es 2-contable.

Definimos una base B enumerable de la manera siguiente.

Sea D = Dn, (n N) dondeDn := {(xn) H, xn Q : si k > n entonces xk = 0}.

D esta constituido de todas las sucesiones en H formadas por numerosracionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos

B := {Br(d) : d D, r Q}.

B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos que cual-quier abierto U H es reunion de bolas en B. En efecto, dado t = (tk) Uexiste una bola B(t) U . Ahora veamos que podemos encontrar una bola

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3.2 1-contable 65

Br(q) (q D, r Q) con la propiedad que t Br(q) B(t). Comot H, sabemos que k=1 t2k es convergente y por tanto existe un terminoxN en la sucesion, a partir del cual la suma de la serie es menor que

2/9,esto es

k=N+1

t2k < 2/9.

De otra parte, para cada k = 1, 2, . . . , N existe qk Q tal que

|qk tk| < 2

9N,

y por tanto q = {q1, q2, . . . , qN , 0, 0, 0, . . .} verifica que d(q, t) < /3.Notese que t B2/3(q) B(t). Sea r Q con /3 < r < 2/3,

entonces t Br(q) B(t), pues si d(z, q) < r entonces

d(z, t) d(z, q) + d(q, t) 2/3 + /3 = .

3.2 1-contable

El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un puntotener una definicion local de la manera siguiente.

Definicion 3.2. Sean (X,T) un espacio y x X. Decimos que Bx Tes una base local para x si dado U T con x U , existe B Bx tal quex B U .

Los conceptos de base y base local estan relacionados por la siguienteproposicion.

Proposicion 3.3. Sea (X,T) un espacio. B T es una base si y solo sipara cada x X el conjunto Bx = {B B : x B} es base local en x.

Demostracion. ) Sea U X un conjunto abierto con x U . Por ladefinicion de base, existe B B con x B U , pero por la definicion deBx tenemos B Bx.) B = xX Bx es una base.

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66 Bases y numerabilidad

La clase de espacios topologicos que a continuacion definimos es mas am-plia que la de los espacios metricos, y tendra un comportamiento idealcuando hagamos referencia a conceptos topologicos en los cuales inter-venga la nocion de convergencia de sucesiones.

Y lo que es mas, en esta clase de espacios 1-contables las sucesionesresultan ser adecuadas para describir la topologa.

Definicion 3.4. Un espacio (X,T) se dice 1-contable o que satisfaceel primer axioma de enumerabilidad1 si cada punto del espacio posee unabase local enumerable.

EJEMPLO 3.5

Todo espacio metrico es 1-contable. Dado x X, la familia de las bolasabiertas

Bx = {B 1n

(x) : n N},es una base local en el punto x.

EJEMPLO 3.6

Todo espacio 2-contable es 1-contable. Si B T es una base enumerablepara un espacio (X,T) y p X, el conjunto Bx = {B B : p B} esuna base local y enumerable en p.

EJEMPLO 3.7

El espacio de Sorgenfrey (R, [a, b)) es 1-contable. Dado x R el conjuntoBx = {[x, q) : q Q, q > x} es una base local enumerable. Muestre queno es 2-contable.

EJEMPLO 3.8

El espacio Tp del ejemplo 1.11 puede ser generado por una base constituidapor dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferente de {p},o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos. Este espacio fallaen ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos. Sea X un conjunto nocontable y p un elemento elegido en X. Esta topologa para X no admiteuna base local enumerable en el punto p pruebelo.

1Esta clasificacion se debe al matematico estadounidense Robert L. Moore (Dallas,Texas 1882 -1974 Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a la topologaen una serie de axiomas. Moore es reconocido por su manera inusual de ensenar con unmetodo llamado hoy por su nombre.

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3.2 1-contable 67

Definicion 3.5. Dados un espacio (X,T) y un cubrimient

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