Tor Vergata M. Salerno Laplace 1 Esempio: interruttore ideale di apertura i(t) t v(t) t Interruttore ideale interruttore di chiusura v(t) + i(t) t = t

Tor Vergata

M. Salerno 1Laplace

Esempio: interruttore ideale di apertura i(t)

tv(t)

t

Interruttore idealeinterruttore di chiusura

v(t)+ i(t)

t = t0

per t > t0

i(t) = 0

v(t) = 0 per t < t0

interruttore di apertura

v(t)+ i(t)

t = t0

Per t > t0, v(t) è inderminata (dipende dal circuito)

Per t < t0, i(t) è inderminata (dipende dal circuito)

p(t) = v(t) i(t) = 0Potenza dissipata

per t > t0

v(t) = 0

i(t) = 0 per t < t0

Caso reale

Nell’intervallo (intervallo di apertura), v(t) , i(t) e la potenza dissipata p(t) sono diverse da zero.

Gli interruttori sono caratterizzati da: l’intervallo (interruttori rapidi, extrarapidi, ecc.) la massima corrente e la massima tensione

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M. Salerno 2Laplace

Scarica del condensatore

C R

t = 0

vC (t)+

i(t)

vR (t)+

Il circuito è formato da tre componentiil condensatore Cil resistore Rl’interruttore, che si chiude per t = 0

Si supponga che vC(t) = V0 , per t < 0

V0 condizione iniziale

Per t < 0

i(t) = 0

vC(t) = V0

vR(t) = 0

Per t > 0 , interruttore chiuso : vC (t) = vR(t)

Determinazione equazione risolvente

i(t) = - C d vC (t) / dt

Attenzione ai segni

coordinati sul condensatore

= - C d vR(t) / dt = - C d R i(t) / dt

RC di(t) / dt + i(t) = 0

Equazione risolvente

RC di(t) / dt + i(t) = 0 Risoluzione equazione risolvente

Si scelga i(t) = A e t RC A e t + A e t = 0 Equazione caratteristica RC + 1 = 0

= - 1 / RC i(t) = A e t / RC

Integrale generale

Calcolo dell’integrale particolare

; i(t) = A e t / RC

Si definiscono gli istanti

t = 0- (lim per t 0 da sinistra)

t = 0+ (lim per t 0 da destra) Non essendo possibili discontinuità di tensione sul condensatore

vC (0+) = vC (0-) = V0

i(0+) = A e t / RC |t=0 = A = vC(0+) / R = V0 / R

i(t) = (V0 / R) e t / RC

integrale particolare

l’integrale particolare è stato calcolato utilizzando la

condizione iniziale

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M. Salerno 3Laplace

Scarica del condensatore

C R

t = 0

vC (t)+

i(t)

vR (t)+

t < 0 i(t) = 0 , vC (t) = V0 , vR(t) = 0

t > 0 i(t) = (V0 / R) e t / RC

vC (t) = vR (t) = V0 e t / RC

= RC costante di tempo

e t /

e t /

costante di tempo in secondi ( s )

t

vC (t)

V0

Dal valore di dipende la velocità di decadimento della tensione e della corrente

R = 10 M, C = 1 mF, = 104 s(più di 2 ore e 45 minuti)

R = 10 , C = 10 pF, = 10-10 s = 100 ps

t

vC (t)

V0

grandi valori di

piccoli valori di

t

vR (t)

V0

Conservazione dell’energia

Per t < 0, l’energia EC immagazzinata dal condensatore è EC = ½ C V0

2

Per t > 0, l’energia ER assorbita dal resistore è:

ER = R i2(t) dt-

= R (V0 /R )2 e – t / RC dt

0

= [ - ½ C V0 2 e – t / RC ]0

= ½ C V0 2 t

i (t)i(t) = (V0 / R) e t / RC |t > 0

V0 /R

ER = ½ C V02

EC = ER

Determinazione dell’area Q della forma d’onda di corrente i(t)

Q

Q = i(t) dt

0= (V0 /R ) e –t / RC dt

0

= [ - C V0 e – t / RC ]0

= C V0

Si ha Q = C V0indipendente da R

Q è la quantità totale di carica elettrica che transita nel circuito per t > 0

t

i (t)i(t) = (V0 / R) e t / RC |t > 0

al variare di R

V0 /R

R minoreR maggiore

L’area della forma d’onda i(t) è invariante rispetto a R

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M. Salerno 4Laplace

Analisi nel dominio del tempo

Metodo di analisi di un circuito contenente interruttori:

a) determinare l’equazione differenziale risolventeL’ordine dell’equazione differenziale risolvente è detto ordine del circuito (il

circuito RC è un circuito del primo ordine). L’ordine di un circuito non è mai

maggiore della somma del numero dei condensatori e degli induttori presenti

b) determinare l’integrale generale L’integrale generale dipende da un numero di costanti arbitrarie pari all’ordine del

circuito

c) determinare l’integrale particolare Le costanti arbitrarie presenti nell’espressione dell’integrale generale devono essere

calcolate in funzione delle condizioni iniziali (scelte fra le tensioni iniziali dei

condensatori e le correnti iniziali degli induttori)

Il metodo è detto analisi nel dominio del tempo perché

tutte le grandezze elettriche considerate sono funzioni

del tempo e le equazioni differenziali utilizzano il

tempo come variabile indipendente

In presenza di interruttori è spesso necessario

suddividere l’asse dei tempi in più tratti contigui ed

effettuare analisi indipendenti

Nel caso della scarica del condensatore è presente

un solo interruttore che si chiude per t = 0C R

t = 0

V0

+

L’analisi è effettuata considerando i seguenti

intervalli sull’asse dei tempi:

Intervallo t < 0 . In questo intervallo l’analisi è banale, essendo il circuito aperto

Intervallo 0 - < t < 0 + . In questo intervallo l’analisi è banale, poiché la condizione

iniziale V0 non subisce variazioni alla chiusura dell’interruttoreIntervallo t > 0 . In questo intervallo l’analisi è effettuata per mezzo di una equazione

differenziale ordinaria del primo ordine.

In circuiti più complessi le analisi per t < 0 e per 0 - < t < 0+ possono risultare non banali.

L’analisi nell’intorno di t = 0 nasce dal fatto che, quando scattano gli interruttori, il

circuito si modifica e le grandezze elettriche possono cambiare istantaneamente

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M. Salerno 5Laplace

Funzione gradino unitario

definizione

uu-1-1(t) = (t) = 0 0 perper t < 0 t < 0

1 1 perper t > 0 t > 0

u-1(t)

t

1

il gradino unitario è una funzione discontinua utile per analizzare circuiti contenenti interruttori,

evitando di suddividere l’asse dei tempi in più tratti separati

la funzione u-1( t ) non è definita per t = 0

NotazionePer il gradino unitario è usato il simbolo u-1(t) perché questa funzione fa parte di un insieme numerabile di enti matematici, indicati con il simbolo uk(t) (che verranno

definiti in seguito) In altre trattazioni sono spesso usate

notazioni differenti

Schemi equivalenti che utilizzano il gradino unitario

generatore di tensione attivato per t = 0

vg(t)

+

B

A

t= 0

vg(t) u-1(t)

+

B

A

In molte applicazioni lo schema di sinistra può essere sostituito con il seguente

vg(t)

+

B

A

t = 0

generatore di corrente attivato per t = 0

ig(t)

B

A

t = 0

ig(t) u-1(t)B

A

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Funzione gradino unitarioRappresentazione di funzioni discontinue mediante gradini unitari

Gradino di ampiezza A, traslato all’istante t0

f(t) = A u-1(t - t0 )

t

f (t )

A

t0

f(t) = A u-1(t - t0 )

t

g( t )

Prodotto di un gradino traslato per una funzione g(t)

f(t) = g(t) u-1(t - t0 )

t0

t

f (t)

t0

f(t) = g(t) u-1(t - t0 )

La funzione g(t ) è

attivata per t > t0

t

f (t )

Funzione di tipo sinusoidale con inizio per t = 0

f(t) = F cos ( t + )

f(t) = F cos ( t + )

f0(t) = f(t) u-1( t ) f0(t) = F cos ( t + ) u-1( t )

f0(t) = F cos ( t + ) u-

1(t)

t

f0 (t )

Attenzione: in tutte le applicazioni è essenziale distinguere la funzione f(t) [ andamento sinusoidale per ogni t ] dalla funzione f0 (t) [ = 0 per t < 0 ]

t

f (t )

t0

A

La funzione f(t) si può esprimere nel modo seguente

f(t) = A [1 - u-1( t - t0 )]

f(t) = A [1 - u-1( t - t0 )]

Infatti per t < t0 u-1( t - t0 ) = 0 ; f(t ) = Aper t > t0 u-1( t - t0 ) = 1 ; f(t) = 0

t

g(t )

Si può disattivare la funzione g(t) per t > t0

t0 t

f(t )

t0

La funzione f(t) ha la seguente espressione

f(t) = g(t) [1 - u-1( t - t0 )]

f(t) = g(t) [1 - u-1( t - t0 )]

t

f (t )

A

T

La funzione f(t) rappresenta un impulso di ampiezza A e durata TEssendo presenti due discontinuità ( per t = 0 e per t = T ) , sono necessari due gradini unitari

f(t) = A [u-1( t ) - u-1( t - T )]

f(t) = A [u-1( t ) - u-1( t - T )]

Infattiper t < 0 : u-1( t ) = 0; u-1( t - T ) = 0; f(t) = 0 per 0 < t < T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 0; f(t) = A per t > T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 1; f(t) = 0

t

f (t )

T

A

B

Si determini l’equazione r(t) della retta r

rr(t) = a t + br(t) = a t + b | t = 0 = Br(t) = a t + b | t = T = A

b = B ; a = (A - B) / T

r(t) = (A – B) t / T+ B

f(t) = r(t) [u-1( t ) - u-1( t - T )]

Infattiper t < 0 : u-1( t ) = 0; u-1( t - T ) = 0; f(t) = 0 per 0 < t < T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 0; f(t) = r(t) per t > T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 1; f(t) = 0

f(t) = [(A – B) t / T+ B] [u-1( t ) - u-1( t - T )]

f(t) = [(A – B) t / T+ B] [u-1( t ) - u-1( t - T )]r(t) = (A – B) t / T+ B

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La funzione u-1(t ) non può essere usata senza particolari accorgimenti nell’analisi dei circuiti elettrici, in quanto non è derivabile per t = 0.

In tutti gli altri istanti, u-1(t ) è derivabile con derivata nulla.

ApprossimantiApprossimante di u-1(t )

u-1,(t )derivabile per ogni t lim u-1,(t ) = u-1 (t ) 0

con

Definizione

Approssimante dell’impulso unitario

u0,(t ) = d td u-1,(t )

Esempio: induttore

iL(t) = u-1(t) corrente vL(t) = L d iL(t)/dt tensionerisulta: per t = 0, vL(t) = 0 per t = 0, vL(t) non calcolabile

/

Esempio di u-1,(t )

0 0 perper t < 0 t < 0

1 1 perper t > t > t /t / perper 0 < t < 0 < t < uu-1, -1, (t) =(t) =

t

u-1, ( t )

1

decrescente

t

u-1, ( t )

1

Approssimante dell’impulso unitario

u0,(t ) = d u-1,(t ) / dt

uu0, 0, (t) =(t) = 0 0 perper t < 0 t < 0 ee t > t >

1 /1 / perper 0 < t < 0 < t <

t

u0, ( t )1/

Per ogni ,

l’area A è uguale a 1

A

Esempio di u-1,(t ) Approssimante dell’impulso unitario

u0,(t ) = d u-1,(t ) / dt

t

u-1, ( t )

t

u0, ( t )

0 0 perper t < 0 t < 0

1 – e1 – e-t /-t / perper t > t > uu-1, -1, (t) =(t) =

1decresc

ente

t

u-1, ( t )

uu0, 0, (t) =(t) = 0 0 perper t < 0 t < 0

(1 /(1 / )e )e-t /-t / perper t > 0 t > 0

11/

Per ogni ,

l’area A è uguale a 1

A

C R

t = 0

V0

+i(t)

Nella scarica del condensatore, l’andamento della corrente i(t) è una approssimante dell’impulso

i(t ) = 0 per t < 0(V0 /R )e - t /RC per t > 0

(V0 /R ) e - t /RC = (C V0 / ) e - t /

con = RC

Si tratta dell’approssimante dell’impulso unitario moltiplicata per C V0

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M. Salerno 8Laplace

Impulso unitario

Per il gradino u-1 (t ) = lim u-1,(t ) 0

Per l’impulso u0 (t ) = lim u0,(t ) 0

uu0 0 (t )(t )

impulso unitario impulso unitario o o

impulso di Diracimpulso di Dirac

Proprietà fondamentale delle funzioni u0,(t)

-

u0, (t) d t = 1 per ogni e

quindilim

0 -

u0, (t) d t = 1

Questa proprietà non è soddisfatta dall’impulso unitario u0(t). Infatti :

-

u0(t) dt = lim

0-

u0, (t) d t = 0

Questo risultato non è soddisfacente per le applicazioni

-

u0(t) dt = 1

Affinché risulti

l’impulso di Dirac è definito nell’ambito di una teoria matematica, detta teoria delle distribuzioni.

Tale teoria è un’estensione della teoria delle funzioni, in cui risultano modificate opportunamente le definizioni di derivata e di integrale

L’integrale di u0(t) è effettuato nel senso delle distribuzioni

Definizione Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, l’impulso unitario u0(t) è definito dalla seguente relazione

-

TT

uu00(t) dt = (t) dt = 0 0 perper T < 0 T < 0

1 1 perper T > 0 T > 0

Poiché l’integrale di u0(t) non varia per T < 0 e per T > 0, risulta:

uu00(t) = 0 per t < 0(t) = 0 per t < 0

uu00(t) = 0 per t > 0(t) = 0 per t > 0

Al crescere di t , la variazione del valore dell’integrale avviene in un intorno infinitesimo dell’origine (integrale nel senso delle distribuzioni)

t

u0(t)impulso di Dirac

L’impulso di Dirac è rappresentato come una funzione nulla, con una discontinuità nell’origine.

La discontinuità è caratterizzata dal valore dell’integrale, che è uguale a 1

1

Tale valore non è l’altezza dell’impulso

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M. Salerno 9Laplace

Impulso unitarioAlcune proprietà dell’impulso unitario u0(t)

Impulso di ampiezza A, traslato all’istante t0

h(t) = A u0(t - t0 )

t

h(t )A

h(t) = A u0(t - t0 )

t0

L’ampiezza A è il valore dell’integrale, nel senso delle distribuzioni, in un intorno di t0

A u0(t - t0 ) dt = A

è un qualunque intervallo

[anche infinitesimo] comprendente t0

t

h(t )

Prodotto di un impulso traslato per una funzione f(t)

f(t)

h(t) = f(t) u0(t - t0 )

h(t) = f(t) u0(t - t0 )

t0

h(t) è un impulso

f(t) u0(t - t0 ) dt = f(t0)


[anche infinitesimo] comprendente t0

di ampiezza f (t0 )

f(t0 )

in particolare f(t) u0(t ) = f(0) u0(t )

f(t) u0(t - t0 ) = f(t0) u0(t - t0 )

t

h(t )

Prodotto di un impulso u0 (t) per un gradino u-1(t)

u-1(t )

h(t) = u-1(t ) u0(t )

h(t) = u-1(t ) u0(t )

h(t) è un impulsoPer determinare l’ampiezza non si può usare l’espressione u-1(t ) u0(t ) = u-1(0) u0(t )

perché il gradino non è definito per t = 0


[anche infinitesimo] comprendente l’origine

u-1(t ) u0(t ) dt =

u-1(t ) d u-1(t ) =

a b

= ½ [ u-12(t ) ] =a

b ½½

di ampiezza ½

t

u-1(t )Estensione della

definizione di gradino

u-1 ( t ) =0 per t < 0

1 per t > 0½ per t = 0

½

in questo modo si ha: h(t) = u-1(t ) u0(t ) = u-1(0 ) u0(t ) = 1/2 u0(t )

h(t) è un impulsodi ampiezza ½

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M. Salerno 10Laplace

EsempioV0 +

CR

t = 0

i(t)

t

i (t)V0 /R

i(t) = (V0 / R) e t / RC u-1 (t)

Q

; Q = CV0 EC = ½ CV0

2 assorbita da R

Questa soluzione vale per ogni valore di R , ma non per R = 0

Ct = 0

i(t)

V0 + I

Sono presenti due componenti ideali: il condensatore e l’interruttore I

L’analisi del circuito è possibile solo nell’ambito della teoria delle distribuzioni, utilizzando il gradino u-1(t) e l’impulso u0(t)

v(t)

t

v (t)

V0

v(t) = V0 [1 – u-1(t)]

i(t) = - C dv/dt = - C d V0 [1 – u-1(t)] /dt

effettuando la derivata di u-1(t) nel senso delle distribuzioni

i(t) = C V0 u0(t)

t

i (t)

i(t) = C V0 u0(t)

Q = C V0

Q

EC = ½ CV02 assorbita da I

Energia assorbita dall’interruttore

= V0[1 – u-1(t)] CV0 u0(t) dt = CV0

2 [1 – ½ ] = ½ CV02

EI = p(t) dt = v(t) i(t) dt =

Questa soluzione, congrua con la precedente, vale solo nell’ambito della teoria delle distribuzioni.

Se i(t) [ o v(t) ] è impulsiva, l’interruttore ideale può assorbire energia

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Distribuzioni successive

Derivate successive dell’impulso unitario

L’impulso unitario può essere derivato infinite volte, nel senso delle distribuzioni

Notazione

uukk(t) = (t) = ----------- ----------- d t d t

d ud uk-1k-1(t)(t) , k = 1, 2, …, k = 1, 2, …

Esempio: uu11(t)(t)

doppietto unitariodoppietto unitariou1(t) = d u0(t) / dt

Approssimantiu1,(t) = d u0,(t) / dt t

u0,(t)

t

u1,(t)

Al diminuire di il doppietto è assimilabile a due impulsi di area opposta nell’intorno dell’origine

Integrali successivi del gradinoIl gradino unitario può essere

integrato infinite volte, rimanendo nell’ambito delle funzioni

Notazione

, k = 1, 2, …u-k-1(t) = u-k() d-

t

Esempio: u-2(t) rampa unitaria

t

u-2(t)

1

1

….. u-2(t) u-1(t) u0(t) u1(t) u2(t) …..….. rampa gradino impulso doppietto tripletto …..

derivazioneintegrazione

funzioni


distribuzioni


nulle per t < 0 nulle per t = 0/

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Analisi nel dominio di Laplace

Circuiti senza Circuiti senza memoriamemoria Circuiti privi di

condensatori, induttori, induttori accoppiati

Circuiti contenenti condensatori, induttori,

induttori accoppiati

Circuiti con Circuiti con memoriamemoria

Analisi nel dominio del tempoAnalisi nel dominio del tempoequazioni algebriche

equazioni differenziali

L’analisi di circuiti con memoriaè differente dall’analisi di circuiti senza memoria

ed è molto complessa

Analisi nel dominio di LaplaceAnalisi nel dominio di Laplaceequazioni algebriche

L’analisi di circuiti con memoriaè simile all’analisi di circuiti senza memoria

ed è molto semplificata

Metodo della trasformata di Metodo della trasformata di LaplaceLaplace

1. Definizione1. Definizione

2. Trasformate elementari2. Trasformate elementari

3. Proprietà3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti4. Applicazione ai componenti elettrici elettrici 5. Antitrasformazione5. Antitrasformazione

Tor Vergata


Trasformata di Laplace: definizioneTrasformata di Laplace

1. Definizione2. Trasformate elementari3. Proprietà4. Applicazione ai

componenti elettrici5. Antitrasformazione

f(t)f(t) ee-s t-s t

00TT

dtdt

limlim TT

F(s) =F(s) =

Notazione

F(s) =F(s) =

LL [[ f(t) f(t) ]] F(s) L-trasformata di f(t)

Nell’analisi dei circuiti, tutte le grandezze elettriche, tensioni e correnti, sono sostituite con le rispettive L-trasformate

V(s) = L [ v(t) ]

I(s) = L [ i(t) ]

NotazioneCon la lettera minuscola, p.es. v(t), è indicata la grandezza nel tempo, con la lettera maiuscola, p. es. V(s), la rispettiva trasformata

La variabile di Laplace s non ha un immediato significato fisico e viene considerata come una variabile complessa

f(t) : funzione di variabile reale

F(s) : funzione di variabile complessa

DimensioniV(s) = lim v(t) e-s t dt

0

T

T adimensionale tempovariabile s : sec -1 (s -1) V(s) : volt . sec ( V s )

I(s) : ampère . sec ( A s ) analogamente

Proprietà del limite per T Se il limite esiste ed è finito per s = s0

allora esiste ed è finito per ogni s tale che Re[ s ] > Re[ s0 ]

Estremo inferiore di Re[ s0 ] : ascissa di convergenza

= Im[s]

= Re[s]

piano s

semipiano di convergenza

Se il limite non esiste o non è finito per alcun valore di s , f(t) non è L-trasformabile

L’andamento di f(t) per t < 0 non dà contributo all’integrale, perché i tempi negativi sono esclusi dall’integrazione (trasformata unilatera).

Conviene considerare f(t) = 0 per t < 0

Calcolo dell’integrale nel senso delle distribuzioni contribuiscono all’integrale eventuali impulsi, in particolare per t = 0

0 0 --

l’estremo inferiore di integrazione è indicato con 0 -

Antitrasformata: operatore inverso,

per passare da F(s) a f(t) Esiste una formula integrale,

poco utilizzata nell’analisi dei circuiti

Notazione

f(t) =f(t) = LL -1-1[[ F(s) F(s) ]]

Metodi operativi di antitrasformazione di Laplace saranno descritti in seguito

Tor Vergata


LL [[ u u-1-1(t) (t) ]]

==

ss11

TrasformateTrasformate 1. Definizione2. Trasformate elementari3. Proprietà4. Applicazione ai


Trasformata di Laplace

Trasformate elementari F(s) = lim f(t) e-s t dt0 -

T

T

Gradino f(t) = u-1(t)

F(s) = lim u-1(t) e-s t dt0 -

T

T

= lim e-s t dt0

T

T = lim [ e-s t ]0T

T s1

= lim [ e -s T ] +T s

1s1 = s

1

per Re[ s ] > 0

ascissa di convergenza = 0

Esponenziale f(t) = e a t u-1(t)a : reale o complesso

F(s) = lim u-1(t) e-s t ea t dt0 -

T

T

= lim u-1(t) e- (s-a) t dt0

T

T = s - a

1

per Re[ s - a ] > 0 ; Re[ s ] > Re[ a ]

ascissa di convergenza = Re [ a ]

l’integrale è identico a quello relativo al gradino, eccetto la sostituzione di s con s-a

LL [[eeatat u u-1-1(t)(t)]] ==

s-as-a----------11

Impulso f(t) = u0(t)

F(s) = lim u0(t) e-s t dt0 -

T

T

= lim [ e-s t ]t=0T

= 1

per ogni valore di s

ascissa di convergenza = -

l’integrale è calcolato nel senso delle distribuzioni

è essenziale che l’estremo inferiore di integrazione sia 0 -

LL [[uu00(t)(t)]] = = 11

AntitrasformateAntitrasformate

LL-1-1 [[ ]] = = eeatat u u-1-1(t)(t) s-as-a----------11

LL-1-1[[ ]] = = uu-1-1(t)(t) ss11

LL-1-1 [[11]] = = uu00(t)(t) Queste sono le uniche

trasformate di cui sarà effettuato

il calcolo dell’integrale

Una ulteriore antitrasformata

d’interesse è la seguente : LL-1-1[[ ]]= t= tn-1n-1 e eatat u u-1-1(t)(t) (s-a)(s-a)nn------------11 ----------

(n-1)!(n-1)!11

Tor Vergata


Trasformata di Laplace: proprietà



Trasformata di Laplace LinearitàLinearità

LL [[ f f11(t) (t) ]] = F= F11(s) ;(s) ; LL [[ f f22(t) (t) ]] = F= F22(s)(s) SeSe

LL [[ c c11 f f11(t) + c(t) + c22 f f22(t) (t) ]] = c= c11 F F11(s) + c(s) + c22 F F22(s)(s) alloraallora

oveove cc11 ee c c22 sono due costanti reali o complessesono due costanti reali o complesseLa proprietà di linearità permette di applicare il metodo delle trasformata di Laplace a tutti i circuiti (e sistemi) lineariSono circuiti lineari quelli contenenti componenti nei quali vi è una relazione lineare fra le grandezze elettriche. Tutti i componenti considerati in questo corso sono lineariAltri componenti (come il diodo) sono non lineari e allora il metodo della trasformata di Laplace non può essere applicato

DerivazioneDerivazione

LL [[ f(t) f(t) ]] = F(s)= F(s) SeSe

LL [[ d f(t) / dt d f(t) / dt ]] = s F(s) – f (0 = s F(s) – f (0 --)) alloraallora

oveove f (0 f (0 --) ) è il valore di è il valore di f(t) f(t) per per t = 0 t = 0 --

La proprietà di derivazione permette di sostituire operazioni differenziali nel dominio del tempo con operazioni algebriche nel dominio di s

Se f(t) presenta discontinuità, la derivata e la trasformata di Laplace devono essere applicate nel senso delle distribuzioni

L’istante 0 - è considerato per tenere conto di eventuali discontinuità nell’origine. Nell’ambito delle funzioni si considera semplicemente f(0)

TraslazioneTraslazione

LL [[ f(t) f(t) ]] = F(s)= F(s) SeSe

LL [[ f(t – T) f(t – T) ]] = F(s) e= F(s) e-sT-sT alloraallora

La proprietà di traslazione è molto utile per tenere conto di ritardi nella trasmissione di segnali elettrici (è poco usata nei circuiti elementari)

Molte altre proprietà della trasformata di Laplace sono omesse perché non assolutamente essenziali alla trattazione

oveove f (t - T) f (t - T) è la è la f(t) f(t) traslata dell’intervallo traslata dell’intervallo TT

Tor Vergata


Proprietà di derivazione: esempiVerifica proprietà di derivazione

f(t) = e t u-1(t) F(s) = L[f(t)] = 1/ (s-1)

f(0-) = 0

dalla proprietà di derivazione L[df(t)/dt] = sF(s) – f(0-)

= s/(s-1)

verifica df(t)/dt = e t u-1(t) + e t u0(t)

= e t u-1(t) + u0(t)

L[df(t)/dt] = 1/(s-1) + 1 = s/(s-1)

dalla proprietà di linearità

Trasformate delle distribuzioni successive

uk(0-) = 0 , k = 0, 1, 2, …

uk(t) = d uk-1(t) / dt , k = 1, 2, …

L[u0(t)] = 1

L[uk(t)] = s L[uk-1(t)]L[uk(t)] = sk

Tor Vergata


Proprietà di linearità: esempiTrasformata della funzione

sinusoidale f(t) = F cos (t + ) u-1(t)

nel campo complesso f(t) = ½ (F e jt + F* e -jt ) u-1(t) ove F = Fe j è il fasore di f(t)

L[e + jt u-1(t)] = 1/(s j)

+

dalle trasformate elementari

dalla proprietà di linearità

F(s) = L[f(t)] = ½ [F /(s - j) + F*/(s + j) ]

L’espressione trovata può essere considerata soddisfacente in vari casi

Tuttavia è possibile sviluppare ulteriormente i calcoli

F(s) = ½ [F /(s - j) + F*/(s + j) ];

F = Fe j = F (cos + j sin )

F(s) = ½ F[(cos + j sin ) /(s - j) + (cos - j sin ) /(s + j) ] =

= ½F[(cos + j sin )(s + j) + (cos - j sin )(s - j) ]/(s2 + ) =

= F (s cos - sin ) /(s2 + )

F(s) = ½ [F /(s - j) + F*/(s + j) ]

= F (s cos - sin ) /(s2 + )

F(s) è una funzione razionale (rapporto fra polinomi) a coefficienti reali

F(s) è detta razionale reale, perché assume valori reali per s reale

F(s) è anche espressa come somma di due funzioni complesse coniugate, per s reale

Sulla base di queste osservazioni, i calcoli precedenti possono essere semplificati

f(t) = Re[ F e jt ] u-1(t) , con F = Fe j

F(s) = Re[ F /(s - j) ]

ove l’operatore Re[.] è applicato considerando s reale

F(s) = F Re[(cos + j sin ) /(s - j) ] =

= F Re[(cos + j sin ) (s + j) ] /(s2 + )

(è sufficiente calcolare i termini reali del prodotto)

F(s) = F (s cos - sin ) /(s2 + )

NotazioneLa lettera “F” ha vari significati:

f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t)

F (maiuscolo) è l’ampiezza (modulo)

F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore

F(s) (maiuscolo) è la trasformata di Laplace

Tor Vergata


Proprietà di traslazione: esempi

f(t) = A [ u-1(t) - u-1(t-T)]Trasformata della funzione

t

f(t)

T

A

F(s) = A (1 - e-sT)/s

dalle proprietà di traslazione

e di linearità :

t

f(t)

T 2T 3T 4T 5T

A

L’impulso di ampiezza A e durata T può essere replicato indefinitamente, ottenendo un’onda quadra. Tale funzione è nulla per t < 0

f(t) = A [(-1)k u-1(t – k T)] k=0

La forma d’onda è costituita dalla somma di infiniti gradini alternativamente positivi e negativi, di ampiezza A e traslati dell’intervallo di tempo T l’uno rispetto all’altro

Dalle proprietà di traslazione e linearità :

F(s) = (A/s) [(-1)k e –k sT ] k=0

= 1 – x + x2 – x3 + x4 - …

1 + x1 =

Si ricordi che

s ( 1 + e – sT ) A=

Tor Vergata


Bipoli nel dominio di Laplace



Trasformata di Laplace Trasformate di Laplace Trasformate di Laplace di tensione e correntedi tensione e corrente

Si definisce un istante iniziale, tipicamente t = 0

LL [[ v(t) v(t) ]] = V(s) ; = V(s) ; LL [[ i(t) i(t) ]] = I(s) = I(s)

All’istante t = 0- sono assegnate le condizioni iniziali

tensione: v(t) in Volt (V) ; V(s) in Volt.sec (V.s)corrente: i(t) in Ampère (A) ; I(s) in Ampère.sec (A.s)

Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo

+

v(t)

i(t)

bipolo nel dominio del tempo

Indicando le trasformate invece delle grandezze nel tempo si ottieneil bipolo nel dominio di Laplace

+

V(s)

I(s)

bipolo nel dominio di Laplace

Il bipolo nel dominio di Laplace è utilizzato solo a scopi di calcolo

Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni del tempo

Tor Vergata


Nel dominiodi Laplace

Resistore + R

v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo

v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)

L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = L L [ [ R i(t)R i(t) ]]per la linearità

L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = RR L L [[i(t)i(t) ]]

V(s)V(s) = = RR I(s)I(s)

V(s) = R I(s)V(s) = R I(s) V(s) = R I(s)

+ R

Tor Vergata


Induttore +v(t) = L d i(t) / d t

L

v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo


v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d t

per le proprietà di linearità e di derivazione

L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = L L [[L d i(t) / d L d i(t) / d tt ]]

L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = L L [[s s L L [[ i(t) i(t) ] - ] - i(0 i(0 --))]]

V(s)V(s) = = s L I(s)s L I(s) – – L i(0 L i(0 --))

V(s)V(s) = = s L I(s)s L I(s) – – L i(0 L i(0 --))i(0 -) condizione iniziale

Caso particolare condizione iniziale nulla:

i(0 -) = 0

V(s)V(s) = = s L I(s)s L I(s)

+V(s) = sL I(s)

sL

s L impedenza

caso generale : i(0 -) = 0 /sL

+L i(0 -)I(s)

V(s)+Li(0 -) tensione impressa del generatore,con segno positivo a destra

V(s), I(s) grandezze elettriche esterne

Equivalenza: dominio del tempo : bipolo ab dominio di Laplace: bipolo AB completo

A B

ba

Tor Vergata


Induttore: schemi equivalenti

sL+

L i(0 -)

V(s)+

I(s)A B

Dominio di Laplace

+

i(0 -)

Lba

i(t)v(t)

Dominio del tempo

vg

+ R

ig R

Equivalenza fra generatori

vg / R = ig l’impedenza sL svolge lo stesso ruolo della resistenza R

V(s)+

I(s)A B

La corrente impressa dal generatore di corrente è pari a L i(0 -) / sL = i(0 -) / s

i(0 -)/s Si ricordi che

L-1[L i(0-)] = L i(0-)u0(t)

L-1[i(0-)/s] = i(0-) u-1(t)

Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti dell’induttore

Dominio del tempo

L+

L i(0 -) u0(t)i(t)A B

i(0 -) u-1(t)

v(t)+

i(t)A B

L

In questi schemi equivalenti, gli induttori sono considerati con condizioni iniziali nulle

Tor Vergata


Condensatorei(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo i(t) = C d v(t) / d t

C+


i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d t

per le proprietà di linearità e di derivazione

L L [ [ i(t)i(t) ] = ] = L L [[C d v(t) / d C d v(t) / d tt ]]

L L [ [ i(t)i(t) ] = ] = C C [[s s L L [[ v(t) v(t) ] - ] - v(0 v(0 --))]]

I(s)I(s) = = s C V(s)s C V(s) – – C v(0 C v(0 --))

I(s)I(s) = = s C V(s)s C V(s) – – C v(0 C v(0 --))v(0 -) condizione iniziale

Caso particolare condizione iniziale nulla:

v(0 -) = 0

1/sC impedenza

I(s)I(s) = = s C V(s)s C V(s)I(s) = sC V(s)

1/sC+

s C ammettenza

caso generale : v(0 -) = 0 /

V(s), I(s) grandezze elettriche esterne

C v(0 -)

V(s)+

I(s)

1/sC

bipolo ab bipolo AB completo

A B

a b

Tor Vergata


Dominio di Laplace Dominio del tempo

v(t)C

+ i(t)

v(0 -)+

baC v(0 -)

V(s)+

I(s)

1/sCA B

Condensatore: schemi equivalenti

vg

+ R

ig R

Equivalenza fra generatori

vg= R ig l’impedenza 1/sC svolge lo stesso ruolo della resistenza R

La tensione impressa dal generatore di tensione è pari a C v(0 -) / sC = v(0 -) / s

1/sC

V(s)+

I(s)A B+

v(0 -)/s

Si ricordi che

L-1[C v(0-)] = C v(0-)u0(t)

L-1[v(0-)/s] = v(0-) u-1(t)

Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti del condensatore

Dominio del tempo

C v(0 -) u0(t)

v(t)+

i(t)

CA B

C

v(t)+

i(t)A B+

v(0 -) u-1(t)

In questi schemi equivalenti, i condensatori sono considerati con condizioni iniziali nulle

Tor Vergata


Esempio: circuito RC

Ct = 0

R

v0

+

v0 condizione iniziale

circuito nel dominio di s

1/sCR

v0 /s+

A

B

a

b

Il bipolo completo fra i morsetti AB è l’equivalente del condensatore nel dominio del tempo, inclusa la condizione iniziale

analisi nel dominio di s

antitrasformazione

I(s)i(t)

I(s) (R + 1/sC) = v0 /s

I(s) (sRC + 1)/C = v0 I(s) = v0 C/(sRC + 1)

I(s) = (v0 /R)/(s + 1/RC)

i(t) = L-1[I(s)] =

= (v0 /R) e –t /RC u-1 (t)

= L-1[(v0 /R)/(s + 1/RC)] =

Tor Vergata


Esempio: circuito RCC

R

C C1

t = 0

+

v0

dominio di t

R1/sC

1/sC1C v0

dominio di s

condizioni iniziali A

B

a

bil condensatore C equivale all’intero bipolo a sinistra

dei morsetti AB

condensatore C : v0 condensatore C1 : 0

V(s)+

analisi nel dominio di s

v(t)+

antitrasformazione

V(s) (sC + s C1 + 1/R) = C v0

V(s) = C v0 / (sC + s C1 + 1/R)

V(s) = v0 C + C1

C

R(C + C1 )1s +

1

v(t) = v0 e-t/R (C + C1) u-1 (t)C + C1

C

v(t) = L-1[V(s)]

da L-1[1/(s+a)] = e-at u-1(t)e dalla proprietà di linearità

La costante di tempo è : = R (C + C1 ).

C + C1 condensatore parallelo (condensatore visto dalla resistenza R dopo la chiusura dell’interruttore)

C+C1C1C

v (t)

v0 C/(C+C1 )

v(t) = v0 e-t/R(C + C1) u-1 (t)C + C1

C

t

v (t)

v0 C/(C+C1 )

v0

vc(t) = v0 e-t/R(C + C1 ) |t > 0C + C1

C

vc(t) = v0 |t < 0

t

vc(t)

C C1 /(C+C1 ) condensatore serie (condensatore visto dall’interruttore)

C1C

C C1 /(C+C1 )

EP è pari all’energia immagazzinata dal condensatore serie, carico alla tensione iniziale v0 EP è assorbita dall’interruttore, per t=0

E1 è assorbita dal resistore, per t>0

Bilancio energetico

t < 0 : E0 = ½ C vo2

t = 0+ : E1 = ½ C [vo C/(C+C1 )] 2 +

+ ½ C1 [vo C/(C+C1 )] 2 =

= ½ C vo2[C/(C+C1 )] < E0

Energia perdutaEP = E0 - E1 = ½ C vo

2 [1 - C/(C+C1 )] = = ½ vo

2 [C C1 /(C+C1 )]

Tor Vergata


Esempio: circuito RL

dominio di s

R

+v0 /s

sL

I(s)R

t = 0

+v0

dominio di t

L

i(t)

i(t) = 0 | t < 0

analisi nel dominio di s I(s) (sL + R) = v0 /s

I(s) = [v0 / L]/[s (s + R/L)] Per antitrasformare I(s) si pone I(s) = A/s + B /(s + R/L) Risulta A (s + R/L)] + B s = v0 / L

A = v0 / R ; B = - v0 / R

antitrasformazione

i(t) = L-1[I(s)] == L-1[(v0 / R) / s - (v0 / R) / (s +

R/L)]Per la proprietà di linearità

i(t) = (v0 /R) (1 - e – t L/R ) u-1 (t)

i (t)

t

v0 /R

i(t) = (v0 /R) (1 - e – t L/R ) u-1 (t)

Costante di tempo = R / L

Tor Vergata


Antitrasformazione



Trasformata di Laplace Metodo delle Trasformata di LaplaceMetodo delle Trasformata di Laplace

Per i componenti R, L, C, utilizzare i circuiti equivalenti Per i generatori, calcolare la trasformata delle grandezze impresse

1. Dal circuito nel dominio del tempo determinare il circuito nel dominio di Laplace

2. Risolvere il circuito nel dominio di Laplace

Tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) sono funzioni di s

3. Antitrasformare le grandezze di interesse per ottenere le relative funzioni del tempo

Le funzioni di s da antitrasformare sono funzioni razionali (rapporto di polinomi) nella variabile s

F(s) = N(s) D(s)

Tor Vergata


s0 polo di F(s) se

F(s) funzione razionale reale nella variabile complessa s

k=0 D(s) = ak sk = (s - pk )

n

k=1

n

N(s) = bk sk = (s - zk )k=0

m

k=1

m

Funzioni razionali: notazioniF(s) = N(s)

D(s)

zk radici di N(s) ; zeri di F(s)

F(s) funzione razionale propria : m = gr [N] < n = gr [D]

F(s) funzione razionale impropria : m = gr [N] > n = gr [D]

funzione razionale nella variabile complessa s

polinomio a numeratore di grado : gr [N] = m

polinomio a denominatore di grado : gr [D] = n

F(s) reale per s reale : coefficienti ak e bk reali

pk radici di D(s) ; poli di F(s)

lim F(s) = s s0

poli di F(s) pk radici di D(s)

se gr [N] > gr [D]

Tor Vergata


F(s) = N(s) D(s)

Ipotesi:

Caso di funzioni razionali proprie funzione razionale reale propria, con poli pk semplici: radici di D(s) distinte

F(s) = N(s) D(s)

Sviluppo in frazioni parziali

ck residuo di F(s) sul polo pk

Calcolo dei residui

k=1

n

s - pk

ck F(s) =(s – ph ) (s – ph )polo ph

lim s ph

k=1

n

s - pk

ck lim s ph

(s – ph )

= k=1

n

s - pk

ck

k=1

nlim s ph

= 0 per k h= ch per k h{

= ch

(s – pk )lim s pk

F(s)ck =

Nota: il termine (s - pk ) è un fattore del polinomio D(s)D(s) = (s - pk ) Dk(s),ove Dk(s) è pari a D(s) privato del fattore (s -

pk )

ck = N (s) Dk(s) s = pk

= N (s) Dk(s) s = pk

(s – pk )lim s pk

F(s)ck =

Antitrasformazione da L-1[1/(s-a)] = eat u-1(t)e dalla proprietà di linearità

f(t) = L-1 [ F(s) ] = k=1

n

kck e p t u-1(t)

Tor Vergata


Caso di funzioni razionali proprieF(s) = N(s)

D(s) Ipotesi: funzione razionale reale propria,

con poli multipli: radici di D(s) coincidenti

F(s) = N(s) D(s)


Lo sviluppo in frazioni parziali nel caso di poli multipli (noto anche come sviluppo di Hermite) è piuttosto complesso. Per l’algoritmo si rimanda al libro di testo

Antitrasformata Si ricorda che:

L-1[ ]= tn-1 eat u-1(t) (s-a)n------ -----

(n-1)!11

caso di un polo di ordine n

caso di un polo di ordine 2

L-1[ ]= t eat u-1(t) (s-a)2------1

Tor Vergata


Esempio di antitrasformazioneF(s) = s + 1

s3 + 5s2 + 6s

= s(s2 + 5s + 6) == s(s + 2)(s + 3)

= Im[s]

= Re[s]

piano s

xxx0-2-3

poli

s3 + 5s2 + 6s =

Fattorizzazionedel denominatore s0 = 0; s1 = -2; s2 = -3

Poli di F(s)

s + 1s (s+2)(s+3)

=

s2 + 5s + 6 = 0Radici di

s1,2 = ½ (-5 + 52 – 4 6 ) = ½ (-5 + 1).


F(s) = s + 1s (s+2)(s+3)

Bs+2

As

Cs+3 = + +

A = s F(s)|s=0 = s + 1(s+2)(s+3) s=0

= 1/6

B = (s+2) F(s)|s= -2 = s + 1s(s+3) s= -2

= 1/2

s + 1s(s+2) s= -3

C = (s+3) F(s)|s= -3 = = -2/3

12(s+2)

16s

23(s+3) = + -

Antitrasformata

f(t) = 16

23

12[ + e-2t - e-3t ] u-1(t)

andamento f(0+) = 1/6 + ½ - 2/3 = 0 f( ) = 1/6f(t)max per -2(1/2) e –2t + 3(2/3) e –3t = 0

- e –2t + 2 e –3t = 0; e t = 2; t = ln 2 = 0.69 f(t)max = f(0.69) = 0.21 > 1/6

f(t)

t0.69

1/6

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Esempio di antitrasformazioneF(s) = s

s2 + 2s + 5

= (s + 1-2j)(s + 1+2j)s2 + 2s + 5 =

Fattorizzazionedel denominatore

s2 + 2s + 5 = 0s1,2 = -1 + 1 – 5 = -1 + 2j Radici di

s1 = -1+2j; s2 = -1-2jPoli di F(s)

s(s+1-2j)(s+1+2j)

=

= Im[s]

= Re[s]

piano s

x

x-1

2

poli-2


F(s) s(s+1-2j)(s+1+2j)

= A

s+1-2j= +B

s+1+2j

A = (s+1-2j)F(s)|s= -1+2j = ss+1+2j s= -1+2j

=

= ½ + ¼ j-1+2j

4j=

B = (s+1+2j)F(s)|s= -1-2j = ss+1-2j s= -1-2j

=

= ½ - ¼ j-1-2j-4j=

½ + ¼ js+1-2j= +

½ - ¼ js+1+2j

polo : -1 +2j ; residuo A = ½ + ¼ jpolo : -1 - 2j ; residuo B = ½ - ¼ j B = A*

In generale: per ogni funzione razionale reale (cioè a

coefficienti reali), a poli complessi coniugati corrispondono residui complessi coniugati

Antitrasformata

f(t) = [ (½+ ¼ j)e(-1+2j)t (½ ¼ j)e(-1-2j)t ] u-1(t)

complessi coniugati per ogni t

f(t) = 2 Re[(½+ ¼ j)e(-1+2j)t ] u-1(t) =

= e-t Re[(1+ ½ j)e2jt ] u-1(t) = 1+ ½ j =

= 1.12 e0.46 j

= 1.12 e-t cos(2t + 0.46) u-1(t)

= 1.12 e-t Re[e j(2t+0.46) ] u-1(t) =

Antitrasformata

f(t) = 1.12 e-t cos(2t + 0.46) u-1(t)

Andamento

f(t)

t

-1.12

1.12 1

Tor Vergata


Caso di funzioni razionali improprieF(s) = N(s)

D(s) Ipotesi: funzione razionale reale impropria

gr [N] > gr [D]

Divisione fra polinomi

F(s) = = Q(s) + N(s) D(s)

R(s) D(s)

Q(s) = qk sk

k=0

gr[Q]

: polinomio quoziente

grado : gr [Q] = gr [N] - gr [D] R(s) : polinomio resto

grado : gr [R] < gr [D]

funzione razionale propria

Antitrasformazione da L-1[sk] = uk(t)

e dalla proprietà di linearità

f(t) = L-1 [ F(s) ] =

L-1 [ qk sk ] + L-1

[ ] =k=0

gr[Q]R(s) D(s)

qk uk(t) + L-1

[ ]k=0

gr[Q]R(s) D(s)

Le funzioni razionali improprie possono essere antitrasformate solo nell’ambito

della teoria delle distribuzioni

Tor Vergata


Esempio di antitrasformazioneF(s) =

s + 1s2 + 3s + 5

s1 = -1 ; s2 = Poli di F(s)

Divisione fra polinomi

N(s) = s2 + 3s + 5D(s) = s + 1

s2 + 3s + 5 s + 1ss2 + s

2s + 5+ 2

2s + 23

Q(s) = s + 2R(s) = 3

F(s) = = Q(s) + N(s) D(s)

R(s) D(s)

= s + 2 + s + 13

Antitrasformata

f(t) = u1(t) + 2 u0(t) + 3 e-t u-1(t)

= s + 2 + s + 13

Tor Vergata


Poli di Vu(s)Analisi nel dominio di s

sL

+ R1/sC

V/sdominio di s

Esempio: circuito RLC

dominio di t

L+ R

C

V u-

1(t)condizioni iniziali nulle

Vu(s)vu(t) ++

Vu (sC + 1/sL) + (Vu - V/s)/R = 0

Vu (sC + 1/sL + 1/R) = V/(sR)

Vu [s2 + s/(RC) + 1/(LC)] = V/(RC)

Vu = RCV

s2 + s/(RC) + 1/(LC)1

s2 + s/(RC) + 1/(LC) = 0Radici di

= 1/(R2 C2 ) – 4 /(LC)Discriminante

> 0 poli reali distinti

= 0 poli reali coincidenti

< 0 poli complessi coniugati

Vu = RCV

s2 + s/(RC) + 1/(LC)1

Esempio : R= 1/3 ; L = ½ ; C =1

Vu = 3V s2 + 3 s + 2

1(s + 1) (s + 2)

3V=

Poli reali distinti: -1; -2

s + 1A= + s + 2

B

A = = 3V s + 23V

s = -1

s + 13V

s = -2B = = - 3V

s + 13V= - s + 2

3V

vu(t) = 3V (e-t – e-2t) u-1(t)

vu(t)

t

R= 1/4 ; L = 1/4 ; C =1

Vu = 4 V s2 + 4 s + 4

1(s + 2)2

4 V=

Polo reale doppio: -2

vu(t) = 4 V t e-2t u-1(t)

vu(t)

t

R= 1/2 ; L = 1/2 ; C =1

Vu = 2V s2 + 2 s + 2

1(s + 1-j) (s + 1+j)

2V= s + 1-j

A= + s + 1+j

A*

Poli complessi coniugati: -1+j ; -1-j A = = -j V

s + 1+j2V

s = -1+j

s + 1-j-jV

= + s + 1+jjV

vu(t) = 2 Re [-j V e (-1+j) t ] u-1(t) = 2 Ve- t Re [-j e j t ] u-1(t) = = 2 Ve- t Re [-j (cos t +j sin t) ] u-1(t) = 2 Ve- t sin t u-1(t)

vu(t) = 2 Ve- t sin t u-1(t)

vu(t)

t

Tor Vergata



Esempio: partitore

dominio di t

R

+

R1

C

V

condizioni iniziali nulle

C1

t=0

Vu(s)(sC+G) + [Vu(s) – V/s](sC1+G1) =

0Vu(s) [s(C+C1)+G +G1] = (sC1+G1 )

V/s

Poli : s0 = 0 ; s1 = -(G+G1 ) / (C+C1 )

Vu(s) =

s(C+C1 )+G

+G1

sC1+G1

V

s

Vu(s) =

s [s+(G +G1 ) / (C+C1 )]

sC1+G1

C+C1

V

= +B

s+(G +G1 ) / (C+C1 )

A

sA =

s+(G +G1 ) / (C+C1 )

sC1+G1

C+C1

V

s = 0 G +G1

G1

= V

G+G1

V

= - - C1+G1C+C1

G+G1

G+G1

G1

C+C1

C1

= V - C+C1

V

B =

sC1+G1

s s = -G+G1

C+C1

dominio di s

G

+

G1

Vs

Gi = 1/Ri ammettenzeconduttanze

sC1

sC

Vu(s)

AntitrasformataVu(s)

= +

B

s+(G +G1 ) / (C+C1 )

A

sG+G1

G1

C+C1

C1

B = V -

con eG +G1

G1

A = V

vu(t) = V + e u -1(t)G +G1

G1

G+G1

G1

C+C1

C1

-

-t (G +G1 ) / (C+C1 ) C+C1

C1

vu(0+) = V partizione capacitiva

G +G1

G1

vu( ) = V partizione resistiva

G+G1

G1

C+C1

C1

=se G C1 = G1 C

R1 C1 = R C partitore compensato

Andamentovu(t) = V + e u -1(t)G +G1

G1

G+G1

G1

C+C1

C1

-

-t (G +G1 ) / (C+C1 ) C+C1

C1

vu(0+) = V

partizione capacitiva

G +G1

G1

vu( ) = Vpartizione resistiva

vu(t) vu( )

t

vu(0+) > vu( )vu(0+) < vu( ) t

vu(t) vu( )

vu(0+) = vu( ) t

vu(t) vu( )

partitore compensato

Applicazioni:

Assegnati i due resistori e il condensatore C, parassita, la tensione vu(t) è distorta rispetto alla tensione del generatore (partitore non compensato).Ponendo C1 , tale che R1 C1 = R C , si ottiene vu(t) priva di distorsioni

Dati i due condensatori, i resistori possono rappresentare le correnti di dispersione fra le armature. Appena applicata la tensione di alimentazione, la partizione dipende dai condensatori. Dopo il transitorio, dipende invece dai resistori di dispersione.

Tor Vergata


Dominio del tempo Dominio di Laplace

Funzioni di rete

Generatori indipendenti(di tensione e di corrente)

Condizioni iniziali

(su induttori e condensatori)

Generatori indipendenti(di tensione e di corrente)

Funzione di eccitazione (tensione o corrente)Funzione di eccitazione (tensione o corrente)

e(t) =e(t) = LL -1-1[[ E(s) E(s) ]]

In un circuito deve essere

presente almeno una funzione di eccitazione diversa da zero

Un circuito privo di generatori indipendenti e con condizioni

iniziali tutte nulle rimane a riposo

I generatori controllati non danno luogo a funzioni di eccitazione Risposta (tensione o corrente)Risposta (tensione o corrente)

qualunque grandezza elettrica d’interesse del circuitoqualunque grandezza elettrica d’interesse del circuito

u(t) =u(t) = LL -1-1[[ U(s) U(s) ]]

circuitonel dominio del tempo

u(t)e(t) circuitonel dominio di Laplace

U(s)E(s)

e(t) =e(t) = L L --

11[[ E(s)E(s)]] u(t) =u(t) = L L --

11[[ U(s)U(s)]]

E(s) F(s) = U(s)E(s) F(s) = U(s)

F(s) funzione di reteF(s) funzione di rete

Si suppone che E(s) sia l’unica eccitazione presenteF(s) dipende dal circuito e dalla coppia eccitazione / risposta E(s) e U(s) sono trasformate di Laplace di e(t) e u(t), rispettivamente F(s) non è una trasformata di Laplace

Classificazione delle funzioni di rete

E(s) F(s) = U(s)

Ve(s)F(s) = Vu(s) funzione di trasferimento

in tensione

Ve(s) F(s) = Vu(s)Ve(s) Vu(s)

Ie(s)F(s) = Iu(s) funzione di trasferimento

in corrente

Ie(s) F(s) = Iu(s)Ie(s) Iu(s)

Ve(s)Y(s) = Iu(s) ammettenza di trasferimento

Ve(s) Y(s) = Iu(s)Ve(s) Iu(s)

Ie(s)Z(s) = Vu(s) impedenza di trasferimento

Ie(s) Z(s) = Vu(s)Ie(s) Vu(s)

Se la tensione e la corrente si riferiscono alla stessa coppia di

morsetti, le impedenze e le ammettenze

sono dette di ingresso

ingresso

ingresso

Esempio

sL

R

RIe

Vu

+

sL impedenza di

trasferimentosL Ie = Vu

Vu +(R+sL) Ie = Vu

R+sL impedenza di ingressoVu

+Ie

Ve

+sL/(R+sL) Ve =

VusL/(R+sL) funzione di trasferimento in tensione

Tor Vergata


Risposta impulsivaDominio del tempo Dominio di Laplace


u(t)e(t) U(s)E(s)E(s) F(s) = U(s)

se E(s) = 1se E(s) = 1

F(s) = U(s)F(s) = U(s)

1 F(s)

e(t) =e(t) = LL -1-1[[ 1 1 ]]= = uu00(t)(t)u(t) = h(t) : risposta impulsivau(t) = h(t) : risposta impulsiva

h(t)u0(t)

h(t) =h(t) = LL --

11[[ F(s) F(s) ]]

la risposta impulsiva èla risposta impulsiva èl’antitrasformata della l’antitrasformata della

funzione di retefunzione di rete

prodotto di convoluzioneprodotto di convoluzione

Dominio del tempo Dominio di Laplace


u(t)e(t) U(s)E(s)E(s) F(s) = U(s)

E(s) F(s) = U(s)E(s) F(s) = U(s)

e(t) =e(t) =

L L -1-1[[E(s)E(s)]]h(t) =h(t) =

L L -1-1[[F(s)F(s)]]u(t) =u(t) =

L L -1-1[[U(s)U(s)]]

relazione diretta fra e(t), h(t), u(t)e(t) e(t) h(t) = u(t)h(t) = u(t)

e(t) h(t) = u(t)

e(e() h(t-) h(t-) d ) d = u(t) = u(t)00 --

e(t-e(t-) h() h() d ) d = u(t) = u(t)00 --

il prodotto di

convoluzione è commutativo

Tor Vergata


Circuito in regime impulsivo u(t)e(t)e(t) h(t) = u(t)

Risposta impulsivaLa risposta impulsiva h(t) caratterizza il circuito nel dominio del tempo e può essere rilevata sperimentalmente

Da h(t) si può determinare la funzione di rete F(s) : F(s) = L[h(t)]

u(t) = h(t) per e(t) = u0 (t)

approssimantedi u0 (t)

t

e(t)

e(t) forma d’onda generica = 0 per 0 < t < /

u(t) = e() h(t-) d = 0 -

e() h(t-) d =

0

= e() h(t) d =0

h(t) e() d 0

= A h(t)

Ipotesi: tale che h(t-) h(t) per ogni t e per 0

<<

La risposta u(t) è pari alla risposta impulsiva h(t), moltiplicata per l’area A della forma d’onda d’ingresso [A in Volt sec]

A

A = e() d

0

Tor Vergata


circuito stabile

Stabilità

Un circuito può dare luogo a più risposte impulsive in funzione della coppia eccitazione - risposta. Un circuito è stabile, se lo è rispetto a tutte le possibili risposte impulsive

h(t)u0(t)e(t) h(t) = u(t) rispetto alla risposta

impulsiva h(t)

F(s) = L[h(t)] = Im[s]

= Re[s]

piano s

poli

t

polo reale negativo semplice: s = -a

fattore di D(s): (s+a) x

-a

andamento stabile

F(s) = L[h(t)]

t

polo reale negativo multiplo: s = -a

fattore di D(s): (s+a)n

andamento stabile

x

F(s) = L[h(t)]

t

coppia di poli semplici complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd

fattori di D(s): (s+c jd)

+

andamento stabile

x

x-c

d

-d

F(s) = L[h(t)]

t

coppia di poli multipli complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd

fattori di D(s): (s+c jd)n

+

andamento stabile

x

x

regione di stabilità semipiano sinistro del piano s Re[s] < 0

= Im[s]

= Re[s]

piano s

poli

F(s) = L[h(t)]

t

polo reale semplice o multiplo con parte reale positiva: s =

fattore di D(s): (s-)n

forma d’onda illimitata

andamento instabile

x

F(s) = L[h(t)]

t

coppia di poli complessi coniugati, semplici o multipli, con parte reale positiva: s = + j

fattori di D(s): (s- j)n

+

forma d’onda illimitata andamento instabile

x

x

= Im[s]

= Re[s]

piano s

poli instabilitàstabilità

F(s) = L[h(t)]

t

coppia di poli complessi coniugati semplici, sull’asse immaginario: s = + j b

fattore di D(s): (s2+b2)

forma d’onda limitata

andamento al limite di stabilità

x

x

b

-b

regione di instabilità semipiano destro del piano s Re[s] > 0

limite di stabilità asse immaginario del piano s Re[s] = 0

F(s) = L[h(t)]

t

coppia di poli multipli, complessi coniugati, sull’asse immaginario: s = + j b

fattore di D(s): (s2+b2)n

forma d’onda illimitata

andamento instabile

poli semplici

lim h(t) = 0 t

Tor Vergata


L’eccitazione, uu00(t) (t) , fornisce l’energia EE al circuito.EE non può né aumentare né diminuire. Le risposte impulsive h(t)h(t) rimangono tutte limitate, senza tendere a zero

Stabilità dei circuitiCircuiti reattiviCircuiti reattiviComponenti reattivi: induttori, condensatori, induttori accoppiati, trasformatori ideali

stabilestabile poli per Re[s] < 0

Circuiti passiviCircuiti passiviComponenti reattivi + resistori

EE può diminuire. Le h(t)h(t) possono tendere a zero, o rimanere limitate

Circuiti attiviCircuiti attiviComponenti reattivi + resistori, generatori controllati, nullori

EE può aumentare. Le h(t)h(t) possono tendere a zero, rimanere limitate o divergere

poli per Re[s]>0 instabileinstabile

poli per Re[s]=0 multipli

al limite di stabilitàal limite di stabilità poli per Re[s] = 0 sempliciF(s) =F(s) = LL[[h(t)h(t)]]

Tor Vergata


= Im[s]

= Re[s]

piano s

poli

Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)]

Stabilità: esempi+

Ve(s)

sL

+Vu(s)

1/

sC

Circuito reattivo

F(s) = = Ve(s)Vu(s) 1/sC

sL + 1/sC

Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione

F(s) = = 1s2LC + 1

1s2 + 0

21

LC

F(s) = 2 Re[ ] ; As + j0

A = = ½ (LC)-1/2 j 1/LCs - j0 s=- j0

h(t) = 2 Re[A e-j t ] u-1(t)0

1s2LC + 1=

x

x

0

0

0 = (LC)-1/2

Si ricordi cheF(s) = + = 2 Re[ ]

As + j0

As + j0

A*s - j0

= (LC)-1/2 sin 0 t u-1(t)

2 Re[A e-j t ]0 = 2 Re[½(LC)-1/2 j (cos 0 t - j sin 0 t)] = (LC)-1/2 sin 0 t

h(t)

tandamento al limite di stabilità

Circuito passivoRL

RC

Ipotesi: RL / L = 1/(CRC ) = DsL + RL = L(s+ RL /L) =L(s+D) = LpsC + 1/Rc = C(s+ 1/CRc )=C(s+D) =Cpp = s + D D reale e positivo

F(p) = = 1p2LC + 1

1p2 + 0

21

LC

F(p) = 2 Re[ ] ; Ap + j0

+Ve

+Vu

pL

1/

pC

Nella variabile p, il circuito è reattivo

F(p) = 1/pC

pL + 1/pC1

p2LC + 1=

L’analisi è identica a quella del circuito LC

Il piano p è traslato a destra di D rispetto al piano s

= Im[p]

= Re[p]

piano p

poli = + D

Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)] 1

p2 + 02

1LCF(p) = = 1

p2LC + 1x

x

0

0

0 = (LC)-1/2

A = = ½ (LC)-1/2 j 1/LCp - j0 p=- j0

F(p) = 2 Re[ ] ; Ap + j0

F(s+D) = 2 Re[ ] ; As+D + j0

= Im[p]

= Re[p]

piano s

polipoli in s : -D + j0

x

x

0

0

-D

h(t) = 2 Re[A e(-D-j )t ] u-1(t)0

= 2 e-Dt Re[A e-j t ] u-1(t)0

= (LC)-1/2 e-Dt sin 0 t u-

1(t)

L’espressione è identica a quella del circuito LC, eccetto il fattore e-Dt . Pertanto lo spostamento a sinistra dei poli della quantità D corrisponde allo smorzamento della risposta impulsiva

h(t) = (LC)-1/2 e-Dt sin 0 t u-

1(t)h(t)

tandamento stabile

Tor Vergata


+Vu

Ve

+

sL 1/sC

Stabilità: esempiCircuito attivo

Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione

I1

I1 I1 = Ve /

sLVu = - (1/sC)

I1

= -1/(s2LC)

Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)] = Im[p]

= Re[p]

piano s

poli

; polo : s = 0, doppio

xx

h(t) = L-1[F(s)] =

L-1[-1/(s2LC)]

F(s) = Ve(s)Vu(s)

= (-1/LC) u-2(t)

h(t)

t

rampa andamento

instabile

Il polo doppio all’origine (s = 0) dà luogo ad andamento instabile. Dal punto di vista della

stabilità, l’origine del piano s ha le stesse proprietà degli altri punti dell’asse immaginario Dopo l’applicazione dell’impulso, una corrente costante percorre l’induttore e, proseguendo nel condensatore, lo carica indefinitamente. L’energia corrispondente è fornita dal noratore.

Tor Vergata


Regime permanenteU(s)E(s)

E(s) F(s) = U(s)

Ipotesie(t) = L-1[E(s)] = E cos(t + ) u-

1(t )circuito stabile

Si ricordi che: E(s) = L[e(t)] = L[E cos(t + ) u-1(t )] =

E = E e j fasore di e(t) = L[½[E e jt + E* e- jt] u-1(t )] = ½ [ +

]

Es - j

E*s + j

E(s) = ½ [ + ]

Es - j

E*s + j

U(s) = ½ [ + ]F(s)

Es - j

E*s + j

Poli di U(s) : + Poli di F(s) : per Re [s ] < 0Poli di E(s) : per s = + j

Sviluppo in frazioni

parziali

U(s) = Up(s) + Ut (s)

sviluppo sui poli di E(s)

sviluppo sui poli di F(s) u(t) = up(t) + ut (t)

andamento sinusoidale permanente

tende a zero per la stabilità: transitorio Calcolo di Up(s)

Up(s) = ½ [ +

]

Us - j

U*s + j

½ U = U(s)(s – j)|s=j =

= ½ F(s) [ + ](s –

j)|s=j

Es - j

E*s + j= ½ F( j)

EU = F( j) E

Tor Vergata


Regime permanenteLaplaceU(s)E(s)

E(s) F(s) = U(s)UE

E F(s)|s=j = URegime

permanente

Circuito stabile: al crescere di t , tutte le risposte impulsive tendono a zero

tutte le risposte transitorie tendono a zero

tutte le grandezze elettriche del circuito sono in regime sinusoidale permanente

Analisi in regime permanenteAnalisi nel dominio di LaplaceGrandezze elettriche:

L-trasformate di tensioni e correntiGrandezze elettriche:

fasori di tensioni e correnti

Funzioni di rete F(s) Funzioni di rete F(s), con s = jLa sostituzione s = jpuò essere effettuata in qualunque punto del procedimento

Circuito al limitedi stabilitàp.es. circuiti reattivi

Se j è un polo di F(s), la suddivisione della risposta in permanente e transitorio non può essere effettuata

F( j) = /

Al crescere di t , alcune risposte impulsive non tendono a zero, ma rimangono limitateL’analisi in regime permanente può essere effettata, ma alcune risposte transitorie di tipo sinusoidale si sovrappongono alle sinusoidi del regime permanente

Circuito instabile Al crescere di t , alcune risposte impulsive non tendono a zero e possono divergere

L’analisi in regime permanente può essere effettata formalmente, ma può perdere di validità, perché alcune risposte transitorie possono mascherare il regime permanente

L’analisi con il metodo dei fasori non permette di determinare i transitori, né di verificare la stabilità, o meno, del circuito

Tor Vergata


poli di I(s)

= Im[p]

= Re[p]

piano s

poli

V(s) = ½ [ + ] ;

Vs - j

V*s + j

V = V e j

Regime permanente: esempio

(sL+R)I(s) = V(s)

I(s) = ½ [ + ]

Vs - j

V*s + j

sL+R1

F(s) = sL+R1 funzione di rete:

ammettenza d’ingresso

circuito stabile

s = + jpoli della eccitazionex

x

s = -R/Lpolo della funzione di rete

x-R/

L

Sviluppo in frazioni parziali di I(s)

I(s) = ½ [ + ] +I

s - j

I*s + j

s+R/LA

½ I = I(s)(s - j)|s = j= j L+R½ V

A = I(s)(s + R/L)|s = -R/L=

= [ + ]

V*-R/L + j

V-R/L - j

12L

permanente transitorio

t = 0

+V cos(t+)

dominio di t

L

i(t)

i(t) = 0 | t < 0

R

+V(s)

dominio di s

sL

I(s)

R

I = ;j L+RV

A = - Re[ ]

j L+RV

= - Re[I ]

Re[ ] =

j L+RV

L+R

(cos + j sin )(- j L+R)V Re[ ] =

L+R

R cos + L sin

= V

A = - Re[I ] = 0 per R cos + L sin =

0tan = - R / L

I = V / ( j L+R)

A = - V L+R

R cos + L sin = - Re[I ]

A = - Re[I ] = 0 per tan = - R / L

i(t) = ip(t) + it(t)

Andamenti nel tempo

ip(t) = Re[I e j t] u-1(t)

it(t) = A e - (R/L) t u-1(t)

ip(0+) = Re[I ]it(0+) = A ;

All’istante 0+

i(0+) = A + Re[I ] = 0

t

i(t)

Re[I ]

permanente

A

transitoriorisposta completa

Il circuito è rilevante in molte applicazioni, in quanto rappresenta l’inserzione di un carico induttivo (p. es. un trasformatore, un motore, ecc.) su un generatore sinusoidale (p. es. la tensione di alimentazione di rete)

t = 0

+V cos(t+)

dominio di t

L

i(t)

i(t) = 0 | t < 0

R

Nelle applicazioni tutti i parametri sono noti, eccetto l’angolo , che dipende dall’istante di inserzione, in genere casuale. Risulta così non prevedibile l’andamento della risposta completa

Il caso più favorevole si ha quando il transitorio è assente (A = 0 ; tan = - R / L) e la corrente massima è pari a | I | .

Nel caso peggiore, il valore assoluto della corrente può raggiungere il valore di 2 | I |

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