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TP : Les lapins de FIBONACCI. I- Objectif : Résoudre, à l’aide d’un tableur, un problème qui date du moyen-âge.
II- Problème : Leonardo Fibonacci (1175-1250) est un mathématicien italien né à Pise. Fibonacci décrit un
problème exprimant la reproduction des lapins et menant à la suite dite de Fibonacci.
Voici le problème des lapins de Fibonacci qui fut proposé en 1202 :
« Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois
sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après
deux mois. »
III- Compléter : IV- Reproduire le tableau dans un tableur.
En janvier : 1 couple (lapereaux)
En février : 1 couple
En mars : …. couples
En avril : .... couples
En mai : …. couples
En juin : …. couples
En juillet : …. couples
…etc…
Les réponses constituent les nombres
de la suite de Fibonacci :
1 - 1 - ..… - ...… - ..… - ….. - …..- .....-
…..-…..-…..-……-……-……-……
V- Questions : 1) Comment peut-on calculer un nombre quelconque de la suite connaissant les deux précédents ?
……………………………………………………………………………………………………………………
2) Ecrire une formule qui permet de calculer le nombre de couples de lapins en mars puis copier vers la bas cette
formule avec le remplissage.
3) En utilisant le tableur, donner le nombre de couples de lapins après 3 années :…………………………………..
4) a) Ecrire une formule qui permet de calculer le quotient d’un nombre par son précédent pour le mois de Février.
b) Quelle conjecture peut-on émettre sur les quotients calculés ?
……………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
VI- Construction d’un rectangle d’or :
1) Construire un carré ABCD de côté 2 cm et placer le point I milieu du côté [CD].
2) Construire le point F sur la demi-droite [DC) tel que IF = IB (utilisez le compas).
3) Construire le point E tel que AEFD soit un rectangle : ce rectangle est un « rectangle d’or ».
Suite de Fibonacci
(nombre de couples)
Quotient d'un nombre
par son précédent
Janvier Février Mars Avril Mai Juin
Juillet Août
Septembre Octobre
Novembre Décembre
Janvier
Correction : Questions :
1) Comment peut-on calculer un nombre quelconque de la suite connaissant les deux précédents ?
Chaque nombre est la somme des deux nombres qui le précèdent. 2) Ecrire une formule qui permet de calculer le nombre de couples de lapins en mars puis copier cette formule avec
le remplissage. =B2+B3
3) En utilisant le tableur, donner le nombre de couples de lapins après 3 ans : 24 157 817 (si on prend le
mois de Janvier) 4) a) Ecrire une formule qui permet de remplir le quotient d’un nombre par son précédent pour le mois de Février.
Utiliser le remplissage pour compléter le tableau. =B3/B2
b) Quelle conjecture peut-on émettre sur les quotients calculés ?
Pour des nombres de plus en plus grands de la suite de Fibonacci,
les quotients calculés semblent se rapprocher du nombre 1,618.
Ce nombre s’appelle le nombre d’or, il est présent dans la nature
et dans de nombreuses créations humaines (pyramide de Khéops,
Parthénon, Église romane …voir vidéo)
Prolongement : Le nombre d’or φ (lettre grecque : phi) Le rectangle d’or.
φ =
φ =
Avec DF = DI + IF = DI + IB = 1 + et AD = 2
φ =
soit, au millième, φ ≈ 1,618
Le triangle BIE est rectangle en C.
Or, d’après le théorème de Pythagore, on a :
IB2 = CI
2 + CB
2
IB2 = 1
2 + 2
2
IB2 = 1 + 4
IB2 = 5
IB =
La valeur exacte de la longueur IB est cm.
Plusieurs explications pour le rythme de reproduction des lapins :
Le lapin domestique vit en moyenne entre 5 et 8 ans, avec un
maximum de 15 ans (wikipédia).
Le mot «lapin» se retrouve dans plusieurs expressions entendues
couramment.
Ça ne vaut pas un pet de lapin: ça n'a aucune valeur
c'est un chaud lapin: c'est un séducteur
détaler comme un lapin: s'enfuir
recevoir le coup du lapin: recevoir un coup mortel sur les
vertèbres cervicales
poser un lapin: ne pas se présenter à un rendez-vous
être une mère lapine: avoir beaucoup d'enfants
Impact du nombre d'or :
Le nombre d'or est un rapport précis grâce auquel on peut construire, peindre, sculpter en
enrichissant son œuvre d'une forme cachée.
A partir de ce nombre ont été construits
la pyramide de Kheops,
le temple de Salomon,
le Parthénon,
et la plupart des églises romanes
etc.
Beaucoup de tableaux de la Renaissance respectent aussi cette proportion.
C'est aussi le rapport d'écartement entre les feuilles des arbres
afin d'éviter que, mutuellement, elles ne se fassent de l'ombre.
C'est le nombre qui caractérise l'emplacement du nombril
par rapport à l'ensemble du corps humain.
Proportion entre la population des ouvrières d’une ruche et celle des faux-bourdons.
Deux rectangles d’or (cartes bancaires).
Si nous traçons la diagonale de la première carte et la
prolongeons sur la deuxième, aussi incroyable que cela paraisse,
elle aboutit pile au sommet opposé de cette dernière.
Essayer avec vos manuels de mathématiques !
Architecture : le Parthénon.
Coquille d’un escargot.
Suite de Fibonacci.
Oreille dans un rectangle d’or.
Phalanges :
hauteur de la tête : 110 px
largeur de la tête : 70 px
hauteur du nez à la bouche : 45 px
hauteur du menton à la bouche : 27 px
En faisant le rapport de ces mesures, l’on trouve :
110/70=1.57
70/45=1.55
45 / 27=1.66
L’ananas.
Un Ananas…
5 écailles…
8 écailles…
Et 13 écailles
5,8,13.. encore des termes successifs de la suite de Fibonacci.
La pomme de pin.