TP-PRIMJERI

8/14/2019 TP-PRIMJERI

1/20

3.2. TIPOVI ZADATAKA TRANSPORTNOGAPROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

3.2.1.ZATVORENI TRANSPORTNI PROBLEM

Primjer 1.

Za prijevoz odreene koliine istovrsnog tereta unajmljeni su kamioni jednake nosivosti od tri razliita kamionska prijevoznika i smjeteni naterminalima T 1, T 2 i T 3, odakle se svakodnevno rasporeuju na etiriutovarna mjesta U 1, U 2, U 3 i U 4 .

Broj raspoloivih kamiona na pojedinom terminalu iznosi 2 , 6 i 7kamiona dnevno, respektivno, a broj kamiona potrebnih na pojedinomutovarnom mjestu 3, 3, 4 i 5kamiona dnevno, respektivno.

Vrijeme vonje kamiona od pojedinog terminala do pojedinog utovarnog mjesta izraeno u minutama dano je u tablici:

Utovarno mj.Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4

T 1 20 11 15 13T 2 17 14 12 13T 3 15 12 18 18

Zadatak je odrediti optimalan plan kretanja kamiona, odnosno raspored kamiona na pojedina utovarna mjesta, uzevi u obzir potrebe utovarnihmjesta i broj raspoloivih kamiona na pojedinom terminalu, s ciljem daukupno dnevno vrijeme tzv. prazne vonje bude minimalno.

RJEENJE.

Da bi se rijeio postavljeni problem, potrebno je sastaviti matricutransporta od tri ishodita, etiri odredita koja sadri 12 polja (relacija) sduljinom vremena u minutama po jednom kamionu za pojedinu relaciju(jedinina vremena), broj raspoloivih kamiona pojedinog terminala i potreban broj kamiona pojedinog utovarnog mjesta. Budui da je ponudasvih ishodita jednaka potranji svih odredita, rije je o zatvorenomtransportnom problemu.

1


2/20

Radi preglednosti matrica transporta dana je u obliku tablice:

Utovar.mj.Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4 Broj raspolo.kamiona

T 120

x1111

x1215

x1313

x14 2

T 217

x2114

x2212

x2313

x24 6

T 315

x3112

x3218

x3318

x34 7Broj potreb.kamiona 3 3 4 5 15/15

Transportni problem linearnog programiranja (jedinina vremena sulinearna u odnosu prema broju kamiona) moe se rjeavati na vie naina:

pomou simpleks metode, ili specijaliziranim metodama za rjeavanje transportnih problema

linearnog programiranja.

Rjeavanje pomou simpleks metode

Na temelju matrice transporta postavljen je matematiki model koji glasi:

MinZ = 20 x11+ 11 x12+ 15 x13+ 13 x14+ 17 x21+ 14 x22+ 12 x23+ 13 x24++ 15 x31+ 12 x32+ 18 x33+ 18 x34

uz ogranienja

(1) x11+ x12+ x13+ x 14 = 2 x21+ x22+ x23+ x24 = 6

x31+ x32+ x33+ x34 = 7 x11+ x21+ x31 = 3

x12+ x22+ x32 = 3 x13+ x23+ x33 = 4

x14+ x24+ x34 = 5

(2) xij 0, i = 1,2,3; j = 1,2,3,4.

2


3/20

Napomena : Posljednja se jednadba moe izostaviti, jer ogranienja (1)ine sustav zavisnih linearnih jednadbi.

Ogranienje pod 1) iz matematikog modela izraeno pomou matricaizgleda ovako:

x11 x12 x13

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x14 20 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 x21 60 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 x22 71 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x23 = 30 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x24 30 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x31 40 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x32 5

x33 x34

Poetno rjeenje u simpleks tablici treba sadravati jedinine vektore pase zbog tog uvjeta u kanonski oblik matematikog modela uvode artificijelnivektori.

c jB

aza

A 0 20

A 11

11

A 12

15

A 13

13

A 14

17

A 21

14

A 22

12

A 23

13

A 24

15

A 31

12

A 32

18

A 33

18

A 34

10

V 1

10

V 2

10

V 3

1 A 14 2 1 1 1 1 1 A 24 6 1 1 1 1

1 A 34 7 1 1 1 1 1

1 V 1 3 1 1 1 1

1 V 2 3 1 1 1 1

1 V 3 4 1 1 1

Z j

Z j c j

330

23

238

238

130

236

239

2311

130

2813

2816

2810

180

100

100

100

3


4/20

Napomena : U simpleks tablici nema dopunskih varijabli, jer suogranienja zadana u obliku jednadbi; = oznaka za nulu.

Iz poetnog rjeenja se zakljuuje da je raunanje pomou simpleksmetode dugotrajno (ako se problem rjeava runo) zbog velikog brojastrukturnih i umjetnih (artificijelnih) varijabli zato se preporuujuspecijalizirane metode za rjeavanje transportnih problema.

Specijalizirane metode rjeavanja transportnih problema

Zbog navedenih razloga razvile su se specijalizirane metode za rjeavanjetransportnih problema linearnog programiranja. Svaki zadatak rjeava setako da se najprije postavi poetni program pomou jedne od metoda za postavljanje poetnog programa, a zatim program testira s obzirom nakriterij optimalnosti i, koristei jednu od metoda za poboljavanje poetnog programa, kroz odreeni broj iteracija dostigne optimalno rjeenje.

Metode za postavljanje poetnog programa

1. Metoda sjeverozapadnog kuta (North West Corner Method)

Utovar.mj.Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4 Brojkamiona

T 120

211 15 13

2

T 217

114

312

213

6

T 315 12 18

218

5 7

Brojkamiona 3 3 4 5 15/15

Vrijeme prazne vonje Z = 202+171+143+122+182+185 = 249 minuta.

4


5/20

2. Metoda najmanjih trokova

Utovar.mj.Terminal


T 120 11

215 13

2

T 217 14 12

413

2 6

T 315

312

118 18

3 7Brojkamiona 3 3 4 5 15/15


3. Vogelova metoda

Utovar.mj.Terminal


Razlikaretka (i)

T 120 11 15 13

2 2 2, 2, 2, Z

T 217 14 12

413

2 6 1, 1, 1

T 315

312

318 18

1 7 3, 3, 0, ZBrojkamiona 3 3 4 5 15/15

_

Razlikastupca ( j) 2, Z 1, Z 3, 6, Z 0, 5 _ _


5


6/20

Metode za poboljavanje poetnog programa i dobivanje optimalnogrjeenja

1. Metoda relativnih trokova(Metoda "skakanja s kamena na kamen" Stepping Stone Method)

Ova metoda polazi od poetnog programa postavljenog po jednoj od

prethodno navedenih metoda, a ovdje je uzet program dobiven metodom"sjeverozapadnog kuta".

Relativni trokovi dobivaju se "skakanjem s kamena na kamen"naizmjeninim zbrajanjem i oduzimanjem jedininih trokova poevi od polja za koje se izraunava relativan troak, a nastavlja (u smjeru kazaljkena satu ili suprotno) po zauzetim poljima ovisno o putanji "skakanja skamena na kamen".

Prvo bazino rjeenje

Utovar.mj.Terminal


T 120

211

615

013

2 2

T 217

114

312

213

1 6

T 315

812

818

218

5 7Brojkamiona 3 3 4 5 15/15

Z = 202+171+143+122+182+185 = 249 minuta.c' 12 = 1120+1714 = 6 c' 24 = 1312+1818 = 1

c' 13 = 1520+1712 = 0 c' 31 = 1518+1217 = 8

c' 14 = 1320+1712+1818 = 2 c' 32 = 1218 +1214 = 8 .

6


7/20

Budui da relativni trokovi na nezauzetim poljima pokazuju da poetni program po metodi sjeverozapadnog kuta nije optimalan, potrebno je promijeniti bazu te izraditi drugo bazino rjeenje.

Promjena baze obavlja se na sljedei nain: u polje s najveimnegativnim relativnim trokom u apsolutnom smislu, u ovom sluaju to su polja (3,1) i (3,2), stavlja se najmanji negativno oznaen "kamen"; od ostalihnegativno oznaenih kamena oduzima se taj najmanji negativno oznaenkamen, a pozitivno oznaenim kamenima se dodaje taj iznos. Usporedba

polja (3,1) i (3,2) pokazuje da je povoljnije mijenjati bazu na polju (3,2). Zakontrolu zbroj vrijednosti po recima treba odgovarati ponudi svakogishodita, a zbroj vrijednosti kamena po stupcima potranji svakogodredita.

Drugo bazino rjeenje

Utovar.mj.Terminal


T 120

211 6

150

13 10 2

T 217

114

112

413 7 6

T 315

012

218

818

5 7Broj

kamiona 3 3 4 5 15/15

Z = 202+171+141+124+122+185 = 233 minuta.

c' 12 = 1120+1714 = 6 c' 24 = 1314+1218 = 7

c' 13 = 1520+1712 = 0 c' 31 = 1512+1417 = 0

c' 14 = 1320+1714+1218 = 10 c' 33 = 1812+1412 = 8 .

Promjena baze se obavlja na polju (1,4) stavljanjem kamena s vrijednosti1.

7


8/20

Tree bazino rjeenje

Utovar.mj.Terminal


T 120

111

415

013

1 2

T 217

214

1012

413

3 6

T 315 10

123

18 2

184 7

Brojkamiona 3 3 4 5 15/15

Z = 201+131+172+124+123+184 = 223 minuta.

c' 12 = 1113+1812 = 4 c' 24 = 1317+2013 = 3

c' 13 = 1520+1712 = 0 c' 31 = 1518+1320 = 10

c' 22 = 1417+2013+1812 =10 c' 33 = 1818+1320+1712 = 2 .

etvrto bazino rjeenje

Utovar.mj.Terminal


T 120

1011

415

1013

2 2

T 217

214

012

413

7 6

T 3 15 1 12 3 18 8 18 3 7Brojkamiona 3 3 4 5 15/15

Z = 132+172+124+151+123+183 = 213 minuta.

c' 11 = 2015+1813 = 10 c' 22 = 1417+1512 = 0

8


9/20

c' 12 = 1112+1813 = 4 c' 24 = 1317+1518 = 7

c' 13 = 1513+1815+1712 = 10 c' 33 = 1815+1712 = 8 .

Peto bazino rjeenje optimalno rjeenje

Utovar.mj.Terminal


T 1 2010 11 4 15 3 13 2 2

T 217

714

712

413

2 6

T 315

312

318

118

1 7Brojkamiona 3 3 4 5 15/15

Min Z = 132+124+132+153+123+181 = 199 minuta.

c' 11 = 2013+1815 = 10 c' 21 = 1713+1815 = 7

c' 12 = 1113+1812 = 4 c' 22 = 1413+1812 = 7

c' 13 = 1513+1312 = 3 c' 33 = 1818+1312 = 1 .

Peto bazino rjeenje je optimalno, jer su relativni trokovi nanezauzetim poljima pozitivni:

Min Z = 199 min; x14 = 2, x23 = 4, x24 = 2, x31 = 3, x32 = 3, x34 = 1 kamion.

Prema optimalnom rjeenju svakodnevno se kamioni rasporeuju nasljedei nain: s terminalaT 1 kamioni se upuuju na etvrto utovarno mjestoU 4, s terminalaT 2 na tree i etvrto utovarno mjesto (U 3 i U 4) te s treegterminalaT 3 na utovarna mjestaU 1, U 2 i U 4. Takav raspored kamiona prouzrokuje najmanji mogui iznos prazne vonje.2. MODI -metoda

9


10/20

MODI-metoda, kao i metoda "skakanja s kamena na kamen", uvjetuje postojanje poetnog rjeenja. Relativni trokovic' ij po MODI-metodiizraunavaju se za nezauzeta polja prema formuli

c' ij = c ij ( ui + v j),

gdje su cij jedinini trokovi, aui i v j koeficijenti za svako bazino rjeenjevrijednost kojih se dobiva iz formule za zauzeta polja

cij = ui + v j .Ako se za zadani primjer, kao i u prethodnom sluaju, uzme poetni

program postavljen po metodi sjeverozapadnog kuta, tada se najprijeizraunaju vrijednostiui i v j za zauzeta polja:

c11 = u1 + v 1 c22 = u2 + v 2 c33 = u3 + v 3c21= u2 + v 1 c23 = u2 + v 3 c34 = u3 + v 4 .

Uvrtavanjemcij, i =1,2,3 i j =1,2,3,4 iz matrice transporta u prethodne jednadbe te, s obzirom da je rije o sustavu s (n 1) jednadbi in varijabli,uzevi da jeu1 = 0 izraunaju se preostale vrijednostiui i v j :

u2 = 3 v1= 20 v3 = 15u1 = 0 u3 = 3 v2= 17 v4 = 15,

a pomou formulec' ij = c ij ( ui + v j) relativni trokovi za nezauzeta polja pojedinoga bazinog rjeenja.

Promjena baze obavlja se analogno kao kod metode "skakanja s kamenana kamen".

Prvo bazino rjeenje

10


11/20

Utovar.mj.Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4 Brojkamiona ui

T 120

211

615

013

2 2 0

T 217

114

312

213

1 6 3

T 315

812

818

218

5 7 3Brojkamiona 3 3 4 5 15/15 -

v j 20 17 15 15 - -

Z = 202+171+143+122+182+185 = 249 minuta.

Budui da rjeenje nije optimalno, postupak se ponavlja izraunavanjemnovih vrijednostiui i v j :

u2 = 3 v1 = 20 v3= 15u1 = 0 u3 = 5 v2 = 17 v4= 23


Utovar.mj.Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4 Brojkamiona ui

T 120

211

615

013 10 2 0

T 217

114

112

413

7 6 3

T 315

012

218

818

5 7 5Brojkamiona 3 3 4 5 15/15 -

v j 20 17 15 23 - -

Z = 202+171+141+124+122+185 = 233 minute.

11


12/20

Bazina rjeenja dobivena MODI-metodom, tj. raspored kamiona kao iiznosi relativnih trokova identini su onima koja su dobivena metodomskakanja s kamena na kamen:

Tree bazino rjeenje: Z = 223 min; x11= 1, x14= 1,x21= 2,x23= 4, x32= 3,x34= 4 .

etvrto bazino rjeenje: Z = 213 min; x14= 2, x21= 2,x23= 4,x31= 1, x32= 3,x34= 3 .

Peto bazino rjeenje: Min Z = 199 min; x14= 2, x23= 4,x24= 2,x31= 3, x32= 3,x34= 1.

Budui da su svi pripadajui relativni trokovi na nezauzetim poljima umatrici transporta negativni peto bazino rjeenje je ujedno i optimalnorjeenje.

Prema tome, najmanje mogue vrijeme prazne vonje iznosi 199minuta dnevno, a plan kretanja kamiona od pojedinog terminala do pojedinog utovarnog mjesta moe se prikazati grafiki:

12


13/20

3.2.2.ZATVORENI TRANSPORTNI PROBLEM SDEGENERACIJOM

Primjer 2.

Neka je u tekstu iz Primjera 1. dolo do promjene potrebnog brojakamiona na utovarnim mjestima, i to: na utovarnom mjestu U 2 poveanje zadva kamiona, a na utovarnom mjestu U 3 smanjenje za dva kamiona.

Odgovarajuim metodama ispitati kako e promjena u potranji utjecati

na optimalno rjeenje iz prethodnih zadataka.

RJEENJE.

U ovom sluaju promjena potranje na pojedinim utovarnim mjestimanije utjecala na ukupan iznos potranje; ona i dalje iznosi 15 kamiona i jednaka je ponudi, to znai da je i ovaj problem zatvoreni transportni problem.

Matrica transporta za zadani problem glasi:

Utovar.mj.Terminal


T 120

x1111 x12

15x13

13x14 2

T 217

x2114

x2212

x2313

x24 6

T 315

x3112

x3218

x3318

x34 7Broj

kamiona3 5 2 5 15/15

Vrijednosti xij, i = 1,2,,m; j = 1,2,,n predstavljaju broj kamiona na pojedinoj relaciji (i, j), a Z je ukupno vrijeme prazne vonje za koje setrai minimalna vrijednost.

13


14/20

Zadatak je rjeavan metodom sjeverozapadnog kuta za postavljanje poetnog programa te metodom skakanja s kamena na kamen zadobivanje optimalnog rjeenja.

Poetni program prvo bazino rjeenje

Utovar.mj.Terminal


T 120

2

11 6

150

13 2 2

T 217

114

512

013

1 6

T 315

812

818

218

5 7Brojkamiona 3 5 2 5 15/15

Vrijednost programa Z = 253 minuta.

Budui da su parcijalne sume pojedinih ishodita jednake parcijalnojsumi pojedinih odredita (broj raspoloivih kamionaT 1+T 2 = broj potrebnihkamionaU 1+U 2) broj kamena u matrici transporta nije dovoljan jer nezadovoljava uvjet (m+n 1). Takvo je rjeenje degenerirano i da bi se zadatak mogao rijeiti broj nenegativnih varijabli mora biti (m+n 1), odnosnonedegenerirano rjeenje u matrici transporta.

Degeneracija se otklanja na razliite naine. U ovom sluaju grafikim putem je ustanovljeno da se u polje (2,3) ili u polje (3,2) treba postaviti jedan kamen s vrijednosti 0:

Time je rjeenje postalo nedegenerirano i postupak rjeavanja senastavlja kako je objanjeno u prethodnom primjeru.

14


15/20

Treba naglasiti da kamen s vrijednosti 0 figurira u matrici transporta kao isvaki drugi kamen.

Meutim, tijekom rjeavanja zadatka degeneracija moe u nekoj iteracijinestati, ali i ponovno se pojaviti na kraju zadatka.

Degeneracija nestaje ako se pri promjeni baze kamen s vrijednosti 0 pojavi kao negativno oznaen kamen; tada on u novoj iteraciji poprimavrijednost 0 + vrijednost najmanjeg negativno oznaenog kamena. To se

dogodilo u prvom bazinom rjeenju ovog primjera: promjena bazeobavljena je tako da je u polje s najveim pozitivnim relativnim trokom, tj.u polje (3,2) stavljen najmanji negativno oznaen kamen, a to je kamen 2 s polja (3,3) koji se od negativno oznaenih kamena oduzima, a pozitivnooznaenim kamenima dodaje pa je tako u novom bazinom rjeenju dobivensljedei raspored kamena:

polje (2,2) - 3 kamiona polje (2,3) - 2 kamiona polje (3,2) - 2 kamiona polje (3,3) - 0 kamiona.

Degeneracija e se ponovno pojaviti ako su pri promjeni baze dvanajmanja negativno oznaena kamena jednaka; tada e jedan od njih zauzeti polje s najveim pozitivnim relativnim trokom, a drugi, jer je negativnooznaen, poprimit e vrijednost jednaku 0.


Utovar.mj.Terminal


T 120

211

615

013 10 2

T 2 17 1 14 3 12 2 13 7 6

T 315

012

218

818

5 7Brojkamiona 3 5 2 5 15/15

Vrijednost programa Z = 237 minuta.

15


16/20

Tree bazino rjeenje: Z = 217 min; x14= 2, x21= 3,x22= 1,x23= 2,x32= 4,x34= 3 .

etvrto bazino rjeenje: Z = 210 min; x14= 2, x21= 3,x23= 2,x24= 1, x32= 5,x34= 2 .

Peto bazino rjeenje: Z = 196 min; x14= 2, x21= 1,x23= 2,x24= 3,x31= 2,x32= 5.

esto bazino rjeenje: Min Z = 193 min; x12=1, x14=1,x23=2,x24=4,x31=3,x32= 4.

Ovaj je zadatak primjer transportnog problema kod kojeg se pojaviladegeneracija pri postavljanju poetnog rjeenja metodom sjeverozapadnogkuta. Meutim, to ne mora znaiti da e se degeneracija pojaviti i u sluaju primjene drugih metoda za postavljanje poetnog rjeenja, primjerice,metode najmanjih trokova ili Vogelove metode.

Optimalno rjeenje transportnog problema moe biti degenerirano ilinedegenerirano; u prvom sluaju u jednom polju matrice transporta nalazi sekamen s vrijednosti 0; ta injenica u praksi nema nikakvu vanost, odnosnoradi se o polju u kojem je vrijednost kao i za nezauzeta polja.

Optimalno rjeenje zadanog primjera je degenerirano sa 6 zauzetih polja.Minimalno ukupno vrijeme dnevne prazne vonje iznosi 193 minutednevno. Raspored kamiona prikazan je grafiki:

16


17/20

3.2.3. OTVORENI TRANSPORTNI PROBLEM

Primjer 3.

Koristei podatke transportnog zadatka iz Primjera 1.analizirati problem ako je kamionski prijevoznik nabavio tri nova kamiona naterminalu T 1.

Ispitati kako e ta promjena utjecati na optimalno rjeenje promatranog problema?

RJEENJE.

U ovom je sluaju ponuda prvog ishodita poveana na pet kamiona, atime i cjelokupna ponuda na 18 kamiona, dok je potranja ostalanepromijenjena. Time je dolo do neravnotee izmeu ponude i potranje,odnosno do tzv. otvorenoga transportnog problema s vikom u ponudi.

Otvoreni transportni problem (u daljnjem tekstu OTP) rjeava se istimmetodama kao i zatvoreni transportni problem. Meutim, da bi se OTP preveo u zatvoreni transportni problem potrebno je uvesti u matricutransporta ili jedno novo fiktivno ishodite ili jedno novo fiktivno odredite,ovisno o tome je li ponuda vea ili manja od potranje.

Jedinini trokovi (ili udaljenosti ili vremena) u poljima matricetransporta za fiktivno ishodite ili odredite iznose 0. Matrica transporta zazadani problem glasi:

Utovar.mj.Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 Brojkamiona

T 120

x1111

x1215

x1313

x140

x15 5

T 217

x2114

x2212

x2313

x240

x25 6

T 315

x3112

x3218

x3318

x340

x35 7Brojkamiona 3 3 4 5 3 18/18

17


18/20

Postupak rjeavanja je analogan rjeavanju zatvorenog transportnog problema. U ovom sluaju za poetni program koritena je metodanajmanjih trokova, a za poboljanje poetnog programa i dobivanjeoptimalnog rjeenja MODI-metoda.

Poetni program prvo bazino rjeenje

Utovar.mj.Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 Brojkamiona ui

T 120 6 11 2 15 1 13 4 0 3 5 0

T 217

714

712

413

20

4 6 4

T 315

312

118

118

30

1 7 1Brojkamiona 3 3 4 5 3 18/18 -

v j 14 11 16 17 0 - -

Vrijednost programa Z = 207 minuta.Drugo bazino rjeenje

Utovar.mj.Terminal


T 120

1011

415

313

20

3 5 0

T 217

714

712

413

20

0 6 0

T 3 15 3 12 3 18 1 18 1 0 5 7 5Brojkamiona 3 3 4 5 3 18/18 -

v j 10 7 12 13 0 - -

Vrijednost programa Z = 199 minuta.Tree bazino rjeenje

18


19/20

Utovar.mj.Terminal


T 120

511

115

313

30

2 5 0

T 217

214

212

413

20

0 6 0

T 315

312

318

618

50

1 7 0Brojkamiona 3 3 4 5 3 18/18 -

v j 15 12 12 13 0 - -

Vrijednost programa Z = 194 minute.

etvrto bazino rjeenje

Utovar.mj.

Terminal

U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 Broj

kamiona

ui

T 120

611

215

313

30

1 5 0

T 217

314

312

413

20

1 6 0

T 315

312

118

618

50

3 7 1Brojkamiona 3 3 4 5 3 18/18 -

v j 14 11 12 13 1 - -

Vrijednost programa Z = 192 minute.

Zakljuak: etvrto bazino rjeenje je optimalno jer su u matricitransporta svi relativni trokovi pozitivni. Optimalno rjeenje glasi:

Min Z = 192 minute; x12= 2, x14= 3, x23= 4,x24= 2,x31= 3,x32= 1, x35= 3.

19


20/20

Prema optimalnom rjeenju izlazi da sva tri kamiona koja se u matricitransporta pojavljuju kao viak ponude su kamioni s treeg terminala.Budui da jeU 5 fiktivno utovarno mjesto ti se kamioni ne stavljaju uuporabu; oni su viak treeg terminala za koje bi trebalo nai neki drugi posao.

Napomena : I kod otvorenih transportnih problema moe se pojavitidegeneracija, ali ona se otklanja jednako tako kao to je pokazano uPrimjeru 2. za zatvorene transportne probleme.

20

Documents

TP-PRIMJERI