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TP501Processos Estocásticos
Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães
Prof. Dayan Adionel Guimarães 2
Motivação
A natureza aleatória de muitos fenômenos observados
em Engenharia se manifesta temporal ou espacialmente.
Uma família de variáveis aleatórias que se manifesta
desta maneira recebe o nome de processo estocástico ou
simplesmente processo aleatório.
Deste ponto em diante no nosso curso utilizaremos dos
conceitos já estudados para caracterizar e analisar
processos aleatórios comumente encontrados em
problemas de telecomunicações.
Prof. Dayan Adionel Guimarães 3
Referências
Guimarães, D. A.. Digital Transmission: A Simulation-Aided
Introduction with VisSim/Comm. Berlin-Heidelberg, Germany:
Springer-Verlag, Inc., December 2009.
Ynoguti, Carlos Alberto. Probabilidade, Estatística e Processos
Estocásticos, Apostila: Inatel, 2011.
Leon-Garcia, Alberto. Probability and Random Processes for
Electrical Engineering, 2nd Edition: Addison-Wesley, 1994.
Scott Miller, Scott and Childers, Donald. Probability and Random
Processes With Applications to Signal Processing and
Communications, 2nd Edition: Elsevier, 2004.
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Processo aleatório – definição
Seja, como exemplo, um sinal
aleatório de tensão ou corrente e o
conjunto de suas possíveis
realizações X(t, ζ1) ... X(t, ζ4). A um
conjunto como este denomina-se
processo estocástico X(t). A cada
uma das realizações citadas dá-se
o nome de função amostra x(t) do
processo X(t). Se amostrarmos
X(t) em, por exemplo, t1 e t2, o
conjunto de amostras comporá as
variáveis aleatórias X(t1) ≡ X1 e
X(t2) ≡ X2 com valores x1 e x2.
1( , )X t ζ
2( , )X t ζ
3( , )X t ζ
4( , )X t ζ
1 1( )X t X≡ 2 2( )X t X≡
1t 2t t
t
t
t
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Processo aleatório – observações
Um processo aleatório (p.a.) é um conjunto de variáveis aleatórias
indexadas temporal ou espacialmente.
Se o índice é discreto tem-se um p.a. discreto; se o índice é
contínuo tem-se um p.a. contínuo. Os possíveis valores do p.a.
também podem ser discretos ou contínuos. Tem-se então 4
combinações.
No caso de uma v.a. o resultado de cada experimento é um
número chamado amostra. Para um processo estocástico o resultado
de cada experimento é uma “forma de onda” chamada função
amostra.
O número de formas de onda no conjunto pode ser finito ou
infinito.
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Processo aleatório – exemplo
A saída de um
gerador de sinais
binários em um
período de 0 a 10T
é um conjunto com
210 formas de onda
(há incerteza sobre
a realização do p.a.,
não sobre a forma
de onda em si):
t
t
t
t
X t,( )ζ1
X t,( )ζ2
X t,( )ζ3
X t,( )ζ4
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Processo aleatório estacionário
Um p.a. é dito estacionário se possuir estatísticas independentes
do instante de tempo em que a observação do processo se inicia.
Isto significa que se um p.a. é dividido em um certo número de
seções, estas seções exibirão propriedades estatísticas idênticas.
Normalmente um p.a. estacionário origina-se de fenômenos físicos
estáveis, como na maior parte dos casos em Telecomunicações.
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P.a. estacionário no sentido restrito (1)
Seja um p.a. X(t) iniciado em t = − ∞. Sejam X(t1), X(t2), ...,
X(tk) as v.a. obtidas pela observação do p.a. X(t) nos
instantes t1, t2, ..., tk. Agora suponha que todos os
instantes de observação sejam deslocados de τ, gerando
o conjunto de v.a. X(t1 + τ), X(t2 + τ), ..., X(tk + τ). O p.a. X(t)
é dito estacionário no sentido restrito (Strict-Sense
Stationary, SSS) se as FDCs conjuntas satisfazem a:
1 1( ), ... , ( ) 1 ( ), ... , ( ) 1( ,..., ) ( ,..., )k kX t X t k X t X t kF x x F x xτ τ+ + =
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P.a. estacionário no sentido restrito (2)
A FDC “conjunta” de primeira ordem de um p.a.
estacionário no sentido restrito independe do tempo:
( ) ( )( ) ( ) ( )X t X t XF x F x F x tτ τ+= = para todo e
A FDC conjunta de segunda ordem de um p.a.
estacionário no sentido restrito depende somente da
diferença entre os instantes de observação, não do valor
específico destes instantes:
1 2 2 1( ), ( ) 1 2 (0), ( ) 1 2 1 2( , ) ( , )X t X t X X t tF x x F x x t t−= para todo e
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Exemplo de probabilidade de um evento conjunto
Seja determinar a
probabilidade de se
obter uma função
amostra x(t) de um
p.a. X(t) que passe
pelas janelas de
amplitude mostradas
na figura ao lado.
Isto equivale a se determinar a probabilidade do evento conjunto
A = ai < X(ti) ≤ bi, i = 1, 2, 3. Em termos da FDC conjunta tem-se:
1 2 3 1 2 3( ), ( ) , ( ) 1 2 3 ( ), ( ) , ( ) 1 2 3[ ] ( , , ) ( , , )X t X t X t X t X t X tP A F b b b F a a a= −
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Exemplo de um p.a. estacionário
Se o p.a. X(t) do slide anterior
for estacionário no sentido
restrito, a probabilidade do
seu conjunto de funções
amostra passar pelas janelas
de amplitude na parte (a) da
figura ao lado é igual à
probabilidade do conjunto de
funções amostra passar pelas
janelas de amplitude na parte
(b) desta figura .
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Estatísticas de primeira ordem podem não ser suficientes
O p.a. Y(t) ao lado é
simplesmente o p.a. X(t)
comprimido no tempo.
Ambos têm a mesma FDP
(de primeira ordem), mas
Y(t) tem componentes de
freqüência mais elevadas.
Como podemos levar isso
em conta nas estatísticas
do processo?
Y(t)X(t)
Estatísticas de segunda ordem podem resolver o problema, especialmente a
função de auto-correlação...
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Média e função de auto-correlação de um p.a.
A média de um p.a. X(t) observado no instante t é:
Para um p.a. estacionário do sentido restrito, a média independe de t:
A função de auto-correlação de um p.a. X(t) é o valor esperado do
produto de duas v.a. X(t1) e X(t2), obtidas pela observação do p.a. nos
instantes e t1 e t2 , respectivamente:
Para um p.a. estacionário no sentido restrito:
( )( ) [ ( )] ( )X X tt E X t xf x dxµ∞
−∞= = ∫
( ) X Xt tµ µ= para todo
1 21 2 1 2 1 2 ( ), ( ) 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( )] ( , )X X t X tR t t E X t X t x x f x x dx dx∞ ∞
−∞ −∞= = ∫ ∫
1 2 2 1 1 2( , ) ( ) X XR t t R t t t t= − para todo e
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Propriedades da função de auto-correlação
( ) [ ( ) ( )]XR E X t X tτ τ= +
O seu máximo valor
ocorre em τ = 0, ou
seja:
| ( ) | (0)X XR Rτ ≤
Por simplicidade de notação vamos escrever .
2[ ( )] (0)XE X t R=
O valor quadrático
médio do p.a. é
dado por:
( ) ( )X XR Rτ τ= −
A função de
auto-correlação
é par:
Quanto mais
rapidamente um p.a.
varia, mais rapidamente
sua função de auto-
correlação decrescerá.
P.a. com
flutuações
lentasP.a. com
flutuações
rápidas
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Função de auto-covariância de um p.a.
A função de auto-covariância de um p.a. X(t) é a covariância das
v.a. X(t1) e X(t2), obtidas pela observação do p.a. nos instantes t1e t2 , respectivamente. Pode ser interpretada como a função de
auto-correlação do processo centralizado:
Para um p.a. estacionário do sentido restrito, a função de auto-
covariância vale:
[ ][ ] 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )X X X X X XK t t E X t t X t t R t t t tµ µ µ µ= − − = −
2
1 2 2 1( , ) ( )X X XK t t R t t µ= − −
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Função de auto-correlação – exemplo (1)
A função amostra x(t) ao
lado pertence ao p.a. X(t)
referente a uma seqüência
binária aleatória tal que: bit
1 ⇒ +A, bit 0 ⇒ −A.
Os pulsos não são
sincronizados: o instante
de início td do primeiro bit
completo pode estar entre
0 e T com FDP uniforme.
Bits consecutivos têm valores 0 ou 1 igualmente prováveis ⇒ E[X(t)] = 0, e
cada bit tem seu valor independente de qualquer valor anterior ou posterior.
Vamos determinar a função de auto-correlação do p.a. X(t)...
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Função de auto-correlação – exemplo (2)
Solução: inicialmente vamos considerar | tk – ti | ≥ T. Neste caso e
ocorrem em diferentes intervalos de pulso e são, portanto, independentes:
Agora vamos considerar |tk – ti| < T, com ti < tk. Neste caso e vão
ocorrer no mesmo intervalo de pulso somente se td < T – |tk – ti|. Então:
( )kX t ( )iX t
[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 0, | |k i k i k iE X t X t E X t E X t t t T= = − ≥
( )kX t ( )iX t
2 , | |[ ( ) ( ) | ]
0,
d k i
k i d
A t T t tE X t X t t
< − −=
caso contrário
Para “descondicionar” aplicamos a Lei
da Esperança Total: E[X] = E[E(X|Y)]
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Função de auto-correlação – exemplo (3)
Realizando a média sobre todos os possíveis valores de td, obtemos:
E finalmente, com τ = tk – ti :
2| | | |
2 2
0 0
| |[ ( ) ( )] ( ) 1
k i k i
d
T t t T t tk i
k i T d d d
A t tE X t X t A f t dt dt A
T T
− − − − − = = = − ∫ ∫
2 | |1
( ) , | |
0, | |
X
AR TT
T
ττ τ
τ
− = < ≥
Lei da Esperança Total:
E[X] = E[E(X|Y)]
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P.a. estacionário no sentido amplo
O teste de estacionariedade no sentido restrito envolve a
verificação de independência temporal das estatísticas de
n-ésima ordem do processo em questão, n → ∞.
Na prática muitas vezes é suficiente verificar se as estatísticas
de primeira e de segunda ordem não variam com o tempo.
Um processo aleatório cuja média independe do tempo e a
função de auto-correlação depende somente da diferença entre
os instantes de observação, não do valor específico destes
instantes, é denominado p.a. estacionário no sentido amplo
(Wide-Sense Stationary, WSS), ou simplesmente estacionário.
Prof. Dayan Adionel Guimarães 20
Processos aleatórios ergódicos (1)
As médias de um p.a. são, por definição, médias estatísticas
tomadas “através” do processo, ou seja, operando no
conjunto de funções amostra.
Para os processos ergódicos, as médias estatísticas podem
ser obtidas por meio de medias temporais (ou espaciais)
realizadas a partir de uma única
função amostra.
WSS SSS
Estocásticos
Ergódicos
Em telecomunicações os
processos aleatórios podem ser
considerados, em sua maioria,
ergódicos.
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Processos aleatórios ergódicos (2)
Para um processo ergódico X(t), considere um intervalo
de observação T de uma de suas funções amostra, x(t).
A média e a função de auto-correlação podem ser
determinadas temporalmente pelas médias amostrais:
/ 2
/ 2
1( ) ( )
T
XT
T x t dtT
µ−
= ∫/ 2
/ 2
1( , ) ( ) ( )
T
XT
R T x t x t dtT
τ τ−
= +∫
[ ]
[ ]
lim ( )
lim var ( ) 0
X XT
XT
T
T
µ µ
µ→∞
→∞
=
=
[ ]
[ ]
lim ( , ) ( )
lim var ( , ) 0
X XT
XT
R T R
R T
τ τ
τ→∞
→∞
=
=
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Processos aleatórios ergódicos (3)
minutos minutos
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Funções de correlação cruzada para p.a. estacionários
As funções de correlação cruzada para os processos X(t) e Y(t) são:
Uma forma usual de representação das propriedades de correlação
envolvendo dois processos aleatórios é a matriz de correlação:
( ) [ ( ) ( )] e ( ) [ ( ) ( )]XY YXR E X t Y t R E Y t X tτ τ τ τ= + = +
( ) ( )( )
( ) ( )
X XY
YX Y
R R
R R
τ ττ
τ τ
=
R
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Processos descorrelacionados e ortogonais
Processamento de
Sinais Aleatórios
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Motivação
No estudo de sistemas de comunicação é comum
encontrarmos problemas que envolvem a passagem de
sinais aleatórios por sistemas lineares, tais como filtros de
transmissão e recepção, multiplicadores, integradores, etc.
Neste capítulo utilizaremos de forma combinada os
conceitos sobre processos aleatórios e sobre sistemas
lineares, objetivando caracterizar os processos aleatórios
de entrada e de saída de um sistema linear.
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Notação e principais médias
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Y t X t h t
h u X t u du
X u h t u du
∞
−∞
∞
−∞
= ∗
= −
= −
∫
∫( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( )
Se o processo ( ) é estacionário,
Y Xt E Y t h u E X t u du h u t u du
X t
µ µ∞ ∞
−∞ −∞= = − = −∫ ∫
( , ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ( ) ( )] se ( ) é estacionário,
YR t E Y t Y t E h u X t u du h v X t v dv
h u h v E X t u X t v dudv X t
τ τ τ
τ
∞ ∞
−∞ −∞
∞ ∞
−∞ −∞
= + = − + −
= − + − ∴
∫ ∫
∫ ∫
Resposta
ao impulso
Sistema linear
invariante no
tempo.
( ) (0)Y X Xh t dt Hµ µ µ∞
−∞= =∫
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )Y Y XR t R h u h v R v u dudvτ τ τ∞ ∞
−∞ −∞= = − +∫ ∫
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Densidade espectral de potência (1)
A densidade espectral de potência (DEP) SX ( f )
descreve como a potência de um sinal (aleatório
ou determinístico) X(t) se distribui na freqüência e,
por esta razão, é medida em watts/Hertz (W/Hz).
A densidade espectral de potência e a função de
auto-correlação de um p.a. estacionário formam
um par na transformada de Fourier, ou seja:
2( ) ( ) j f
X XS f R e dπ ττ τ∞ −
−∞= ∫ 2( ) ( ) j f
X XR S f e dfπ ττ∞
−∞= ∫
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Densidade espectral de potência (2)
Algumas propriedades da DEP:
O valor quadrático médio de um p.a. é dado pela área
sob a curva de densidade espectral de potência:
A densidade espectral de potência é uma função par:
( ) ( )X XS f S f= −
2( ) (0) [ ( )]X XS f df R E X t∞
−∞= =∫
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Densidade espectral de potência (3)
Exemplo 1: retornemos ao exemplo referente a uma seqüência
binária aleatória, apresentado no Capítulo 8, de onde obtivemos:
2 | |1 , | |
( )
0, | |
X
A TR T
T
ττ
ττ
− < = ≥
De uma tabela de
transformada de Fourier
podemos obter:
2Transformada de Fourier
2
| |1 , | | sin ( )
( )0, | |
tt T fT
TTfT
t T
ππ
− <←→
≥
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Densidade espectral de potência (4)
Então, a DEP de uma
seqüência aleatória de
pulsos de duração T e
amplitudes ±A será:
[ ]2
2
2
2 2
( ) ( )
sin ( )
( )
sinc ( )
X XS f R
fTA T
fT
A T fT
τ
ππ
= ℑ
=
=
Estime E[X 2(t)]
por meio da
área sob SX( f )
e compare
com RX(0).
SX( f ) em
escala
logarítmica
(dBm/Hz, por
exemplo).
Prof. Dayan Adionel Guimarães 32
Densidade espectral de potência (5)
O valor de SX( f ) encontrado no exemplo anterior pode ser escrito
envolvendo a densidade espectral de energia (DEE) de um pulso
g(t) retangular, de amplitude A e duração T, ou seja:
2 ( )| ( ) |( )
g
X
fG fS f
T T= =
E 2 2 2sinc ( )A T fT
T=
Este resultado pode ser generalizado: uma onda binária
aleatória na qual os bits 1 e 0 são representados por pulsos +g(t)
e −g(t), respectivamente, tem DEP SX( f ) dada pela divisão da
DEE Eg(f) do pulso “formatador” g(t) pela duração do pulso, T.
Prof. Dayan Adionel Guimarães 33
Densidade espectral de potência (6)
Exemplo 2: uma situação que ocorre tipicamente em sistemas de
comunicação é o processo de modulação de uma portadora por um
sinal de informação aleatório, conforme abaixo:
onde Y(t) é o p.a. modulado, X(t) é o p.a. modulador associado à
informação e cos(2πfct + Θ) é o p.a. correspondente à portadora de
freqüência fc e fase aleatória Θ uniformemente distribuída em (0, 2π].
Seja determinar a DEP do sinal modulado Y(t) a partir do
conhecimento da DEP do sinal modulador X(t).
( ) ( )cos(2 )cY t X t f tπ= + Θ
Prof. Dayan Adionel Guimarães 34
Densidade espectral de potência (7)
Inicialmente identificamos que o sinal modulador X(t) é independente
da fase da portadora, Θ. Então podemos escrever:
Usando a identidade cos(α)cos(β) = ½cos(α – β) + ½cos(α + β), tem-se:
( ) [ ( ) ( )]
[ ( )cos(2 ) ( )cos(2 2 )]
[ ( ) ( )] [cos(2 )cos(2 2 )]
Y
c c c
c c c
R E Y t Y t
E X t f t X t f t f
E X t X t E f t f t f
τ τ
π τ π π τ
τ π π π τ
= +
= + Θ + + + Θ
= + + Θ + + Θ
12
12
( ) ( ) [cos(2 ) cos(4 2 2 )]
( )cos(2 )
Y X c c c
X c
R R E f f t f
R f
τ τ π τ π π τ
τ π τ
= + + + Θ
=
Prof. Dayan Adionel Guimarães 35
Densidade espectral de potência (8)
Tomando a transformada de Fourier de ambos os lados e
sabendo que a transformada de um produto de funções no tempo
é a convolução das correspondentes transformadas, tem-se:
De acordo com este resultado, para determinarmos a DEP de um
sinal modulado Y(t) basta replicar a DEP SX( f ) do sinal modulador
X(t) em torno de ± fc e multiplicar o resultado por ¼.
[ ] [ ]
1 1 12 2 2
14
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Y X c c
X c X c
S f S f f f f f
S f f S f f
δ δ= ∗ − + +
= − + +
Prof. Dayan Adionel Guimarães 36
Exercício
Seja um p.a. estacionário Z(t) = Acos(2πfct + Θ), correspondente a uma
portadora co-senoidal de amplitude A, freqüência fc e fase aleatória Θ
uniformemente distribuída em (0, 2π]. Pede-se:
a) Determine e esboce a função de auto-correlação RZ(τ ).
b) Determine e esboce a densidade espectral de potência SZ( f ).
c) Sendo Z(t) independente de um outro p.a. qualquer X(t), determine a
função de auto-correlação de Y(t) = X(t)Z(t).
d) Determine SY( f ), a densidade espectral de potência de Y(t), comparando-
a com o resultado obtido no exemplo considerado anteriormente.
e) Esboce SY( f ), considerando que X(t) é uma seqüência aleatória de pulsos
equiprováveis de duração T e amplitudes ±1.
Prof. Dayan Adionel Guimarães 37
Estimando a DEP de um p.a. ergódico (1)
Por dificuldade de tratamento matemático, algumas vezes temos
que nos contentar com estimativas da DEP obtidas pela observação
de uma função amostra do processo aleatório em um intervalo T:
onde |X(f,T)| é a magnitude da transformada de Fourier de uma
função amostra “janelada” (observada em T segundos). Na prática
diferentes formas de janelamento e diferentes formas de média
(alisamento – smoothing) são empregadas. A seguir temos um
exemplo de como o aplicativo VisSim/Comm trata esta questão...
21( ) lim ( , )X
TS f E X f T
T→∞ =
Prof. Dayan Adionel Guimarães 38
Estimando a DEP de um p.a. ergódico (2)
Tela do VisSim/Comm
para o experimento
EstimaçãoDEP.vsm
Prof. Dayan Adionel Guimarães 39
DEP na entrada e na saída de um sistema linear
Prof. Dayan Adionel Guimarães 40
Funções de correlação cruzada para p.a. estacionários
As funções de correlação cruzada para os processos X(t) e Y(t) são:
Uma forma usual de representação das propriedades de correlação
envolvendo dois processos aleatórios é a matriz de correlação:
( ) [ ( ) ( )] e ( ) [ ( ) ( )]XY YXR E X t Y t R E Y t X tτ τ τ τ= + = +
( ) ( )( )
( ) ( )
X XY
YX Y
R R
R R
τ ττ
τ τ
=
R
Prof. Dayan Adionel Guimarães 41
Processos descorrelacionados e ortogonais
Prof. Dayan Adionel Guimarães 42
Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários (1)
Embora tendo significado menos intuitivo que a DEP de um
único p.a., as densidades espectrais cruzadas estabelecem
uma certa dependência entre as componentes de freqüência
de processos X(t) e Y(t) quaisquer. Elas são definidas por:
Um exemplo pode melhor ilustrar uma aplicação do
conhecimento das densidades espectrais cruzadas...
2 2( ) ( ) e ( ) ( )j f j f
XY XY YX YXS f R e d S f R e dπ τ π ττ τ τ τ∞ ∞− −
−∞ −∞= =∫ ∫
Prof. Dayan Adionel Guimarães 43
Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários (2)
Exemplo: suponha que os processos X(t) e Y(t) têm média nula e
são individualmente estacionários. Seja o p.a. Z(t) = X(t) + Y(t), para
o qual deseja-se determinar a densidade espectral de potência.
Tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, tem-se:
( ) [ ( ) ( )]
[ ( ) ( )][ ( ) ( )]
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( )
Z
X XY YX Y
R E Z t Z t
E X t Y t X t Y t
E X t X t E X t Y t E Y t X t E Y t Y t
R R R R
τ τ
τ ττ τ τ τ
τ τ τ τ
= +
= + + + +
= + + + + + + +
= + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z X XY YX YS f S f S f S f S f= + + +
Prof. Dayan Adionel Guimarães 44
Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários (3)
Desse resultado concluímos que as densidades espectrais
cruzadas SXY(f) e SYX(f) representam as componentes de freqüência
que precisam ser adicionadas ao par de DEPs dos processos X(t)
e Y(t) para que a DEP da soma Z(t) = X(t) + Y(t) seja obtida:
Observe que se os processos X(t) e Y(t) forem ortogonais as
correlações cruzadas serão nulas e, neste caso, teremos:
( ) ( ) ( )Z X YS f S f S f= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z X XY YX YS f S f S f S f S f= + + +
Prof. Dayan Adionel Guimarães 45
Relações úteis entre densidades espectrais e correlações
A figura a seguir ilustra as relações entre as densidades
espectrais simples e cruzadas e as correspondentes funções
de auto-correlação e de correlação cruzada.
Prof. Dayan Adionel Guimarães 46
Processo aleatório Gaussiano
Seja uma variável aleatória Y definida a partir de uma
relação funcional linear com um processo aleatório
X(t), conforme abaixo, onde g(t) é uma função
qualquer e T é um intervalo de observação arbitrário.
Se a v.a. Y é Gaussiana para qualquer função g(t) e
intervalo de tempo T na relação funcional acima,
dizemos que o p.a. X(t) é Gaussiano.
0( ) ( )
T
Y g t X t dt= ∫
Prof. Dayan Adionel Guimarães 47
Filtragem de um p.a. Gaussiano (1)
no slide 4.
Prof. Dayan Adionel Guimarães 48
Filtragem de um p.a. Gaussiano (2)
Exemplo 1: em receptores de sistemas de comunicação é
usual que seja inserido logo na entrada um filtro, chamado
filtro de recepção, cujo objetivo é reduzir a influência do ruído
na recuperação da informação transmitida.
Como veremos mais adiante, este ruído é normalmente um
p.a. Gaussiano. Portanto, na saída do filtro de recepção
teremos também um p.a. Gaussiano, o que nos permitirá, de
forma simples, analisar matematicamente o comportamento
do sinal a partir do qual recuperaremos a informação.
Prof. Dayan Adionel Guimarães 49
Filtragem de um p.a. Gaussiano (3)
Exemplo 2a: vimos ao final do Cap. 3 um exemplo de um
sistema de comunicação móvel no qual a magnitude R(t) e a
fase Θ(t) do desvanecimento no canal variam aleatoriamente
com distribuição de Rayleigh e Uniforme, respectivamente.
Podemos então definir um Processo Gaussiano Complexo
R(t)ejΘ(t), no qual a parte real X(t) e a parte imaginária Y(t) são
p.a. Gaussianos. Tal processo pode ser obtido por meio de:
2 2( ) ( ) ( )R t X t Y t= + [ ]( ) arctan ( ) ( )t Y t X tΘ =
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Filtragem de um p.a. Gaussiano (4)
Exemplo 2b: se quisermos gerar este p.a. Gaussiano
complexo, com o atributo de permitir o ajuste da velocidade
de variação do desvanecimento, podemos implementar o
esquema do slide seguinte. Nele, filtros controlam a taxa de
variação dos processos Gaussianos componentes e, assim,
controlam a taxa de variação da magnitude e da fase do
desvanecimento. A freqüência de corte desses filtros é
diretamente proporcional à velocidade relativa entre
transmissor e receptor que se deseja simular.
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Filtragem de um p.a. Gaussiano (5)
R(t) para alta
freqüência de
corte dos filtros.
R(t) para baixa
freqüência de
corte dos filtros.
Numa simulação, X(t) e Y(t)
poderiam ser gerados por
Box-Muller, por exemplo.
Veja experimento PAgaussCplx.vsm
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Processo aleatório Gaussiano – definição alternativa
T
x = [x1, x2, ..., xk]T.
µµµµX é o vetor de médias: µµµµX = [µ1, µ2, ..., µk]T , µi = E[X(ti)], i = 1, 2, ..., k.
C é a matriz de covariâncias de ordem k × k e elementos Ci,j = CX(ti, tj) =
CX(tj − ti) = E[X(tj) – µj][X(ti) – µi], i, j = 1, 2, ..., k.
C−1 é a matriz inversa da matriz de covariâncias.
|C| é o determinante da matriz de covariâncias.
Exercício: determine as FDPs dos processos Gaussianos para k = 1 e k = 2.
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Ruído
Em sistemas de comunicação damos o nome de ruído a
qualquer sinal aleatório indesejado que comprometa a
transmissão e o processamento de recepção da informação.
Dentre os tipos mais comuns destacam-se o ruído impulsivo e
o ruído térmico. Daremos mais atenção ao ruído térmico,
devido à sua presença em todos os sistemas de comunicação.
O ruído impulsivo, embora menos freqüente, pode ser muito
danoso, por exemplo, em sistemas de recepção de TV Digital.
O ruído térmico é o grande limitador de desempenho de um
sistema de comunicação, principalmente quando a intensidade
do sinal recebido é pequena (baixa relação sinal-ruído).
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Ruído Térmico (1)
Causado pelo movimento aleatório dos elétrons em um
condutor qualquer.
O valor quadrático médio de tensão VTN do ruído térmico nos
terminais de um resistor, medido na banda de ∆f Hertz, é:
E[VTN2] = 4kTR∆f volts2
onde k é a constante de
Boltzmann (1,38×10−23 J/K), T
é a temperatura absoluta, em
K, e R é a resistência em Ω.
Equivalente
de Thévenin
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Sendo grande o número de elétrons em um resistor, com
movimentos aleatórios independentes, o teorema do limite
central indica que o ruído térmico é Gaussiano de média nula.
Na condição de máxima transferência de potência a “carga”
deve ter resistência igual a R. Neste caso a potência média de
ruído térmico disponível sobre esta carga será:
( ) ( )2
22[ ] 2 4 2watts
TNE V kTR fN kT f
R R
∆= = = ∆
Ruído Térmico (2)
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Em sistemas de comunicação o ruído térmico tem a forma
idealizada que diz que sua densidade espectral de potência é
constante para qualquer freqüência. Daí o nome ruído branco.
O p.a. ruído branco W(t), de função amostra w(t), tem
densidade espectral bilateral (componentes em −∞ ≤ f ≤ +∞ ):
onde N0 = kTe é a densidade de potência de ruído produzida
na entrada do receptor de um sistema de comunicação cuja
temperatura equivalente de ruído é Te.
Ruído Branco (1)
0( ) W/Hz2
W
NS f =
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A temperatura equivalente de ruído é a temperatura a que um
resistor deve ser submetido para que, ao conectá-lo à entrada
de uma versão sem ruído do sistema, produza a mesma
potência média de ruído que aquela produzida por todas as
fontes de ruído do sistema real. Perceba que Te depende
somente dos parâmetros e componentes do sistema.
O ruído branco se manifesta de forma aditiva ao contaminar
um sinal e, por esta razão, poderá ser denominado daqui em
diante de ruído aditivo Gaussiano branco (AWGN – Additive
White Gaussian Noise).
Ruído Branco (2)
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Como a densidade espectral de potência e a função de auto-
correlação de um processo aleatório se relacionam através
da transformada de Fourier, para o ruído branco temos que:
Ruído Branco (3)
0 0( ) ( ) ( )2 2
W W
N NS f R τ δ τ= ⇒ =
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Perceba que o ruído branco é a “última palavra” em
termos de aleatoriedade, ou seja, duas amostras de W(t)
tomadas em instantes diferentes, não importando o quão
próximas estejam no tempo, têm correlação nula.
O ruído branco é um modelo idealizado fisicamente
irrealizável, pois sua potência média é infinita. Entretanto,
sempre que a largura de faixa de ruído for
significativamente maior que a largura de faixa do sistema
sob análise poderemos modelar o ruído como branco.
Ruído Branco (4)
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Seja o ruído branco W(t) aplicado a um filtro passa-baixas
ideal de banda B Hz e de magnitude da resposta em
freqüência unitária. A DEP do ruído N(t) de saída será então:
Ruído Branco filtrado (1)
00
0
( ) exp( 2 ),( ) 22
sinc(2 )0, | |
B
NB
N
NNR j f dfB f B
S f
N B Bf B
τ π τ
τ
−
=− < <= ⇒
=>
∫
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Sendo W(t) um p.a. Gaussiano, N(t) também o será. Se N(t) é
amostrado a 2B amostras por segundo, tais amostras serão
Gaussianas, descorrelacionadas, terão variância igual a N0B,
terão média nula e serão estatisticamente independentes.
Ruído Branco filtrado (2)
h(t)W(t) N(t)
w(t) n(t)
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Em grande parte dos problemas em sistemas de comunicação
precisamos considerar o ruído como sendo branco na faixa de
operação do sistema, mas muitas vezes tal sistema não pode
ser considerado com tendo resposta em freqüência ideal
(banda B Hz e |H( f )| = 1).
A solução consiste em considerar o ruído como sendo branco
numa largura de faixa equivalente de ruído.
Isto é feito substituindo-se a resposta em freqüência do filtro
ou sistema por uma resposta ideal de tal forma que ambas
produzam e mesma potência média de ruído em suas saídas.
Largura de faixa equivalente de ruído (1)
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Considere as respostas dos filtros real e ideal mostradas na figura:
Largura de faixa equivalente de ruído (2)
Resposta
real |H(f)|2
Resposta
ideal
Potência média de ruído
de saída do filtro real:
0 2
2
2
00
| ( ) |
| ( ) |
NN H f df
N H f df
∞
−∞
∞
=
=
∫
∫
Para o mesmo ruído conectado ao filtro ideal teremos 0 2
2(0) 2
NN H B=
A largura de faixa
equivalente de ruído será:
2
0
2
| ( ) |
(0)
H f dfB
H
∞
=∫
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Seja o ruído branco W(t) aplicado a um CORRELATOR que
efetua a correlação entre W(t) e uma portadora co-senoidal:
Então N(T) é uma v.a. Gaussiana com média E[N(T)] = 0 e
variância:
Correlação entre W(t) e cos(2ππππfct) (1)
2
0( ) ( ) cos(2 )
T
cTN T W t f t dtπ= ∫
Amostras de
N(t) em t = T.
( )22 ( ) [ ( )]E N T E N Tσ = −
Correlator
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Desenvolvendo obtemos:
onde
Então:
Correlação entre W(t) e cos(2ππππfct) (2)
( )2
2 2
0
2
0 0
2
0 0
2
0 0
( ) cos(2 )
( )cos(2 ) ( )cos(2 )
[ ( ) ( )]cos(2 )cos(2 )
( , ) cos(2 )cos(2 )
T
cT
T T
c cT
T T
c cT
T T
W c cT
E W t f t dt
E W t f t W u f u dtdu
E W t W u f t f u dtdu
R t u f t f u dtdu
σ π
π π
π π
π π
=
=
=
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
0( , ) ( )2
W
NR t u t uδ= −
02
0 0( ) cos(2 )cos(2 )
T TN
c cTt u f t f u dtduσ δ π π= −∫ ∫
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A propriedade sifiting (ou sampling) da função δ(t) diz que:
Então:
onde, por aproximação, admitiu-se que a freqüência da onda
co-senoidal é um múltiplo inteiro de 1/T.
Correlação entre W(t) e cos(2ππππfct) (3)
0 0( ) ( ) ( )x t t t dt x tδ
∞
−∞− =∫
0
0
0 0
2
0 0
2
0
1 1
2 2 20
( ) cos(2 )cos(2 )
cos (2 )
cos(4 ) 0
T TN
c cT
TN
cT
TN N TcT T
t u f t f u dtdu
f t dt
f t dt
σ δ π π
π
π
= −
=
= + = + ⇒
∫ ∫
∫
∫2 0
2
Nσ =
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1) Por meio de um estudo no livro HAYKIN, Simon,
Communication Systems, 4th Edition, John Wiley and Sons,
Inc.: New York, USA, 2001, pp. 64-69, faça uma dissertação
sobre o modelo de ruído de faixa estreita nas suas
representações em fase e em quadratura (in-phase and
quadrature) e em envoltória e fase (envelope and phase).
2) Realize uma pesquisa que permita que você obtenha detalhes
sobre um modelo estatístico de ruído impulsivo para aplicações
em projeto e testes de sistemas de radiodifusão de TV Digital.
Estudos dirigidos