ECUACIONES DIFERENCIALES

ACTIVIDAD 6. TRABAJO COLABORATIVO UNO

PRESENTADO:

MARIO FERNANDO TRUJILLO CARRILO

COD: 93180511

TUTOR:

CAMILO ARTURO ZUÑIGA GUERRERO

SEMESTRE I - 2014

UNIVERISDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERIAS

PROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL

CEAD MARIQUITA TOLIMA

ABRIL 2014

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el

modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en

ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

Una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso

con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una

identidad.

OBJETIVOS

Evaluar e implementar la teoría vista en el desarrollo del curso.

Abordar las temáticas de la primera unidad y desarrollar ejercicios propuestos.

Desarrollar habilidades inter-personales para lograr un buen desempeño, lo anterior a

través del trabajo en equipo colaborativo.

Establecer y defender argumentos académicos sólidos.

ACTIVIDAD No. 1

El trabajo colaborativo 1 está compuesto con los siguientes problemas donde los participantes

del grupo realizaran, para luego entregarlo:

1. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada

ecuación:

A.

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 0

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛.

B.

𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

C.

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑦

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

D.

(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 = 0

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2𝑦 + 𝑥2

Solución:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥2). (𝑦 + 1)

(1

𝑦 + 1) 𝑑𝑦 = (𝑥2)𝑑𝑥

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

∫1

𝑦 + 1𝑑𝑦 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥

𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

ln(𝑦 + 1) + 𝐶 =𝑥3

3+ 𝐶

ln(𝑦 + 1) =1

3𝑥3 + 𝐶

3. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒2𝑥 + 𝑦 − 1

Primero es identificar

𝑀(𝑥, 𝑦) = −𝑦

𝑁(𝑥, 𝑦) = 1

𝑀𝑦 = −1

𝑁𝑥 = 0

Donde

𝑀𝑦 ; 𝑁𝑥 𝑁𝑂 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

Por tanto

𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

Se procede resolver por el factor integrante 𝑒−𝑥 entonces la ecuación es exacta:

𝑒−𝑥(𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥) = 𝑒−𝑥 (𝑒2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥)

𝑒−𝑥𝑑𝑦 − 𝑦 𝑒^(−𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥 𝑒2𝑥𝑑𝑥 − 𝑒−𝑥 𝑑𝑥

𝑒−𝑥𝑦 + 𝑦 𝑑(𝑒−𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒−𝑥 𝑑𝑥

𝑑 ( 𝑦 𝑒−𝑥 ) = 𝑑 (𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥 )

Ahora se procede integrar

𝑦 𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥 + 𝐶1

𝑦 = 𝑒2𝑥 + 1 + 𝐶1 𝑒−𝑥

Ahora verificamos

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2 𝑒2𝑥 + 𝐶1 𝑒−𝑥

𝑒2𝑥 + 𝑦 − 1 = 𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥 + 1 + 𝐶1 𝑒−𝑥 − 1

𝑒2𝑥 + 𝑦 − 1 = 2 𝑒2𝑥 + 𝐶1 𝑒−𝑥

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑥

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑥

𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥

(2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (1)𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥

𝑀(𝑋, 𝑌)𝑑𝑥 + (𝑁, 𝑌)𝑑𝑦

𝑀 = 2𝑥𝑦

𝑁 = 1

𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 = 0 − 2𝑥 = −2𝑥

𝐸𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥

𝑢 = 𝑢(𝑥)

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

−𝑁𝑑𝑢

𝑑𝑥= (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦)𝑢

(−1)𝑑𝑢

𝑑𝑥= −2𝑥𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑢= 2𝑥𝑑𝑥

𝑙𝑛|𝑢| = 𝑥2

𝑢 = 𝑒(𝑥2)

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠

2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑒(𝑥2)

(2𝑥𝑒𝑥2𝑑𝑥)𝑦 + 𝑒(𝑥2)𝑑𝑦 = 𝑥𝑒(𝑥2)𝑑𝑥

𝑑(𝑒(𝑥2))𝑦 + (𝑒(𝑥2))𝑑𝑦 = (1

2)𝑑(𝑒(𝑥2))

𝑑(𝑦´𝑒(𝑥2)) = (1

2) 𝑒(𝑥2) + 𝐶

𝑦 = (1

2) + 𝐶𝑒(𝑥2)

5. Resuelva por el método de homogéneas la siguiente ecuación diferencial

2𝑥3𝑦𝑑𝑥 + (𝑥4 + 𝑦4)𝑑𝑦 = 0

(𝑥4𝑦4)𝑑𝑦 + 2𝑥3𝑦𝑑𝑥 = 0

(1 + 𝑢4)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)2𝑢𝑑𝑥 = 0

𝑂𝑠𝑒𝑎

1 + 𝑢4

𝑢(5 + 𝑢4)𝑑𝑥 +

𝑑𝑥

𝑥= 0

𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟

𝑑𝑢

5𝑢+

4𝑢𝑑𝑢

5(5 + 𝑢4)+

𝑑𝑥

𝑥= 0

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

1

5𝑙𝑛|𝑢| +

1

5ln(5 + 𝑢4) + 𝑙𝑛|𝑥| = 𝑙𝑛𝐶

𝑙𝑛|𝑢| + ln(5 + 𝑢4) + 5𝑙𝑛|𝑥| = 𝑙𝑛 𝐶

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑢𝑥5(5 + 𝑢4) =

𝐶𝑒𝑦(5𝑥4 + 𝑦4) = 𝐶

6. Se coloca la suma de $100 a interés del 5% anual con la condición de que los intereses

podrán sumarse al capital en cualquier momento. ¿Cuántos años se necesitan para

que la cantidad colocada sume $200?

Ecuación general: 𝑨 = 𝑪. 𝒆𝒓.𝒕

Donde:

A= Capital final

C= Capital inicial

r = Interés

t = Tiempo

Despejamos la ecuación general

𝐴 = 𝐶. 𝑒𝑟.𝑡

𝐶. 𝑒𝑟.𝑡 = 𝐴

𝑒𝑟.𝑡 =𝐴

𝐶

Donde

𝑡 =𝑙𝑛

200100

𝑙𝑛(1 + 𝑟)=

ln (2)

(1 + 0.05%)=

ln (2)

ln (1.05)=

0.301

0.021= 14.33

Respuesta:

Para que el monto inicial llegue o sume 200 deben pasar 14.33 años

7. Encuentre la ecuación diferencial de la familia dada de curvas

𝑦 = 𝐶1𝑒−𝑥

𝐶1 = 𝑦 𝑒−𝑥

Ahora derivamos, con lo que desaparece la constante 𝐶1

𝑦′ 𝑒−𝑥 + 𝑦𝑒−𝑥 = 0

Como el exponencial nunca se anula.

𝑦′ + 𝑦 = 0

CONCLUSIONES

Se conocen los fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer

Orden y las maneras como estas pueden ser resueltas y demostradas.

Se pudo observar que para cualquier problema cotidiano, especialmente en el campo

de la ingeniería se pueden resolver utilizando las técnicas adecuadas de las

ecuaciones diferenciales.

Se llevaron a la práctica los conocimientos adquiridos en la unidad 1.