Repblica Bolivariana de Venezuela

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Ministerio del Poder Popular para la Educacin Superior Instituto Universitario Politcnico Santiago Mario

Extensin Puerto Ordaz- Estado Bolvar

Profesor: William Moreno Integrante:

Noel Prez CI 21.214.293

Esc: 47 Semestre: II

Seccin: A

Ciudad Guayana, Julio del 2011Espacios Vectoriales. DefinicinComenzaremos con el estudio de un ente matemtico como son los espacios vectoriales. Su definicin puede parecer un poco extraa al no entendido, sin embargo, una idea ha de quedar clara: es una estructura que nos asegura que al componer dos elementos pertenecientes al espacio (elementos a los que llamaremos vectores) de acuerdo a una cierta operacin, el resultado sigue siendo un elemento del espacio. En otras palabras, la suma de vectores ser un vector y no cualquier otra cosa, como podra ser un punto.

Definicin de espacio vectorialSea INCLUDEPICTURE "http://html.rincondelvago.com/000209430.png" \* MERGEFORMATINET

uncuerpo. Diremos que un conjuntodotado de una operacin internay otra externasobre el cuerpotiene estructura deespacio vectorialsi cumple las siguientes propiedades:

1.

es un grupo abeliano

2.

es una operacin que va del producto cartesianoen el conjunto:

verificando las siguientes propiedades:

2.1.Distributiva respecto de la suma de vectores:2.2Distributiva respecto de la suma de escalares:2.3.

Asociativa mixta:2.4.

Producto por el elemento unidad del cuerpo:Siguiendo esta definicin de lo que es un espacio vectorial, a partir de las propiedades que todos sabemos de la suma y producto de nmeros reales (sabemos quees un cuerpo, lo que implica, en particular, queyson grupos), se demuestra muy fcilmente que, por ejemplo, el espaciode los vectores del plano con las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar con un vector definidas como conocemos de cursos anteriores (esto es,,), se tiene quees unespacio vectorialsobre.Sin embargo, si ahora consideramosestando definidas estas operaciones como sigue:,, se tiene quenoes un espacio vectorial sobre, pues falla la propiedad de producto por el elemento de unidad del cuerpo, ya queBase

Un conjunto de vectores {v1,v2, ...,vn} forma una base paraVsi

i. {v1,v2, ...,vn} es linealmente independiente.

ii.{v1,v2, ...,vn} generaV.

Asi pues,

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes ennes una base en nEnndefinimos

Como los trminos eison las columnas de la matriz identidad (cuyo determinante es 1), entonces {e1, e2, ..., en} es linealmente independiente y, por tanto, constituye una base enn. Esta entidad especial se llama base cannica enn.

Teorema 1. Si {v1,v2, ...,vn} es una base deVy sivV, entonces existe un conjunto nico de escalares c1, c2, ..., cntales quev= c1v1, c2v2, ..., cnvn.

Teorema 2. Si {u1,u2, ...,un} y {v1,v2, ...,vn} son bases del espacio vectorialV, entoncesm=n; esto es, cualesquiera dos bases en un espacio vectorialVposeen el mismo nmero de vectores.

Dimensin

Si el espacio vectorialVposee una base finita, la dimensin deVes el nmero de vectores en la base, yVse llama espacio vectorial de dimensin finita. De otra manera,Vse denomina espacio vectorial de dimensin infinita. SiV= {0}, entonces V se dice que es de dimensin cero.

Notacin.Se simboliza la dimensin deVcomo dimV.

Teorema 3. Supngase que dimV=n. Siu1,u2, ...,umes un conjunto de m vectores linealmente independientes enV, entoncesmn.

Teorema 4.SeaHun subespacio del espacio vectorialVde dimensin finito. EntoncesHes finito-dimensional y

dimH dimVDemostracin. Sea dimV=n. Cualquier conjunto de vectores en H linealmente independiente, lo es tambien enV. Por el Teorema 3, cualquier conjunto linealmente independiente enH, cuando ms, contiene n vectores. As pues,Hes de dimensin finita. Ms an, como una base enHes un conjunto linealmente independiente, se ve que dimHn.

Teorema 5. Cualesquieranvectores linealmente independientes en un espacio vectorialVde dimensinn, constituyen una base.

Sub-espacios VectorialesSean (V, +, K, *) unespacio vectorialySun subconjunto deV.

Ses subespacio vectorial deVsi (S, +, K, *) es espacio vectorial en s mismo, siendo+y*las mismas operaciones definidas enV. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos. (Las condiciones que tienen que cumplir el conjunto de vectores para ser base son 2: ser generadores, y ser Linealmente Independiente.)

Condicin de existencia de subespacioEl criterio para la verificacin de queSsea subespacio deV, es que ambas operaciones ( la ley de composicin interna (+) entre elementos del conjuntoSy la ley de composicin externa (*) con escalares del cuerpoK) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que tambin pertenezcan aS. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicacin para los vectores.Un espacio vectorial tambin llamado espacio muestral es el que denomina el falso y el verdadero.Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. SeaVun espacio vectorial, se defineScomo subespacio vectorialsi y solo si:

1.Sno es un conjunto vaco.

2.Ses igual o est incluido enV.

3. La suma es ley de composicin interna.

4. El producto es ley de composicin externa.

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.Observacin:Del cumplimiento de la condicin 4 puede deducirse que todos los subespacios deben contener al cero (comoSes un conjunto no vaco debe tener al menos un elemento. Por la propiedad 4, multiplicando escalarmente a este elemento por 0, obtenemos que el 0 debe estar enS).

Operaciones con subespacios

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios deV, se definen las siguientes operaciones:Unin

En la gran mayora de los casos la unin de dos subespacios no es un subespacio deV, pues no se cumple con laley de composicin interna.Spertenece de forma segura la unin a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.Interseccin

La interseccin de dos subespacios es un subespacio deV.Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio deV.Suma directaSi la interseccin entreSyWes el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".Es decir que siLo que quiere decir tambin que todo vector deV, se escribe de maneranicacomo la suma de un vector deSy otro deW.Dimensiones de subespaciosEsta frmula resuelve que la dimensin de la suma de los subespaciosSyWser igual a la dimensin del subespacioSms la dimensin del subespacioWmenos la dimensin de la interseccin de ambos.

Por ejemplo, siendodim(S) = 3ydim(W) = 2y teniendo como interseccin un subespacio de dimensin 1.Luego,dim(S+W) = 4.

En la suma directaEn el caso particular de la suma directa, como.La frmula de Grassman resulta:

Entonces en el ejemplo anterior, resultara.

Combinacin linealUnvectorse dice que escombinacin linealde un conjunto de vectoressi existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores demultiplicados cada uno de ellos por un coeficienteescalar, de forma que:

.

As,escombinacin linealde vectores desi podemos expresarcomo una suma de mltiplos de una cantidad finita de elementos de.

Ejemplo:2x+ 3y 2z= 0. Se dice quezes combinacin lineal dexy dey, porque podemos escribirsin ms que despejar laz. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podra expresar como combinacin lineal de las otras dos.

En otras palabras, cunto de cada vector del conjuntonecesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vectoren cuestin.

Expansin lineal

Dado un conjunto de vectores, finito o infinito, se llamaexpansin lineal, denotada comospan(A)al conjunto:

Dicho conjunto es el mnimo subespacio vectorial deque contiene al conjunto.

Aplicacin lineal(tambin llamadafuncin lineal,transformacin linealuoperador lineal) es unaaplicacinentre dosespacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El trminofuncin linealse usa tambin enanlisis matemticoy engeometrapara designar unarecta, unplano, o en general unavariedad lineal.

Enlgebra abstractauna aplicacin lineal es unhomomorfismoentre espacios vectoriales o en el lenguaje de lateora de categorasunmorfismosobre la categora de los espacios vectoriales sobre uncuerpodado.

Transformacin lineal

Estodaaplicacincuyo dominio y codominio seanespacios vectorialesque cumpla la siguiente definicin:

SeanVyWespacios vectoriales sobre el mismo espacio o campoK, yTuna funcin deVenW.Tes una transformacin lineal si para todo par de vectoresuyvpertenecientes aVy para todo escalarkperteneciente aK, se satisface que:

1. 2. donde k es unescalar.

Transformacin lineal identidadHomoteciasconSi k > 1 se denominan dilataciones

Si k < 1 se denominan contraccionesPropiedades de las transformaciones linealesSeanyespacios vectoriales sobre(donderepresenta elcuerpo) se satisface que:

Sies lineal, se define elncleoy laimagendeTde la siguiente manera:

Es decir que el ncleo de una transformacin lineal est formado por el conjunto de todos losvectoresdel dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El ncleo de toda transformacin lineal es unsubespaciodel dominio:

1. dado que2. Dados3. DadosSe denominanulidada ladimensindel ncleo.O sea que la imagen de una transformacin lineal est formada por el conjunto de todos losvectoresdel codominio que son imgenes de al menos algnvectordel dominio.

La imagen de toda transformacin lineal es unsubespaciodel codominio.

El rango de una transformacin lineal es ladimensinde la imagen.

una funcin lineal es la correspondencia

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de nvectoresde W no necesariamente distintos, entonces existe una nica transformacin linealT: V Wque satisface:

Clasificacion de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Siesinyectiva, o sea si el nico elemento del ncleo es el vector nulo.2. Epimorfismo: Siessobreyectiva(suryectiva).

3. Isomorfismo: Siesbiyectiva(inyectiva y suryectiva)

Matriz asociada a una transformacin lineal

Segn la teora deBrevis-Devaud. Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.

Dada T: V W, con B={v1, v2, v3, ..., vn} y C={w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.

T(v1) = a1.w1+ a2.w2+ ... + ap.wpEntonces:

coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)

Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))

Conclusin

Los espacios vectoriales se derivan de lageometra afn, a travs de la introduccin decoordenadasen el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemticos francesesDescartesyFermatfundaron las bases de lageometra analticamediante la vinculacin de las soluciones de una ecuacin con dos variables a la determinacin de unacurvaplana.Para lograr una solucin geomtrica sin usar coordenadas,Bernhard Bolzanointrodujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, lneas y planos, que son predecesores de los vectores.Este trabajo hizo uso del concepto decoordenadas baricntricasdeAugust Ferdinand Mbiusde 1827.

La primera formulacin moderna y axiomtica se debe aGiuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teora de espacios vectoriales provienen delanlisis funcional, principalmente de losespacios de funciones. Los problemas de Anlisis funcional requeran resolver problemas sobre laconvergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuadatopologa, permitiendo tener en cuenta cuestiones deproximidadycontinuidad. Estosespacios vectoriales topolgicos, en particular losespacios de Banachy losespacios de Hilberttienen una teora ms rica y elaborada.

El origen de la definicin de los vectores es la definicin deGiusto Bellavitisde bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentacin de losnmeros complejosdeArgandyHamiltony la creacin de loscuaternionespor este ltimo (Hamilton fue adems el que invent el nombre de vector).Son elementos deR2yR4; el tratamiento mediantecombinaciones linealesse remonta aLaguerreen 1867, quien tambin defini lossistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemtica, lacienciay laingeniera. Se utilizan en mtodos como lasseries de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas decompresin de imgenesy sonido, o proporcionan el marco para resolverecuaciones en derivadas parciales. Adems, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geomtricos y fsicos, tales comotensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales devariedadesmediante tcnicas de linealizacin.