7/17/2019 Trabajo Guiado 1-Método de Newton

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Universidad del Valle de GuatemalaDepartamento de MatemáticaCálculo 1, ciclo 2 2015

Trabajo Guiado No. 1Método de Newton

Nombre: ____________________________________Carné:________ Sección:_____

Instrucciones: Lea la siguiente guía y complete lo que se le indica en cada inciso.

Fecha de entrega: 21 de septiembre a su catedrático.

Método de Newton:El Método de Newton utiliza las rectas tangentes para aproximar los ceros de unafunción. Para ver cómo funciona el método de Newton, sea   una función continua en[, ]  y derivable en (,). Si  () ()  tienen signos opuestos, el teorema del valor

intermedio asegura la existencia de al menos un cero en el intervalo (,).

Básicamente, el objetivo del método de Newton esestimar la solución de la ecuación  () = 0, al produciruna sucesión de aproximaciones que tiendan a lasolución.

Seleccionamos el primer número   de la sucesión.Luego, en circunstancias favorables, el método hará elresto al ir paso a paso hacia un punto donde la gráficade   cruza al eje x (figura No. 1).

La estimación inicial   puede determinarse mediantegraficación o con una simple conjetura.

En cada paso, el método aproxima un cero de f con uncero de una de sus linealizaciones. A continuaciónveremos cómo funciona.

A. Tratemos de calcular √ 3, esto podría hacerse utilizando como base la función

 () =

3 debido a que √ 3 es la solución positiva de

3 =  0 

1. Encuentra la primera derivada de  ():______________________  

Vamos a elegir  =  

2. Encuentra el valor aproximado de  mediante la fórmula  =   ()

´() 

 = 1 (1) 3

2(1) 

 = ________________

Figura No.1

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Ecuación No. 1

3. Ahora encuentra , si  =    ()

´() 

 = ________________

Como has visto para calcular la siguiente aproximación hacemos uso de la ecuación:

+ =    ()´()

 

La cual sale al despejar "" de = ()  ´()( ), cuando = 0. Es decir, utiliza latangente a la curva = ()  en (,())  para aproximar la curva, denotando   apunto donde la tangente corta al eje , el punto   es una mejor aproximación a lasolución que . El punto , donde la tangente a la curva en (,()) cruza al eje x, esla siguiente aproximación en la sucesión. Continuamos así, usando cada aproximaciónpara generar la siguiente, hasta que estemos suficientemente cerca de la raíz paradetenernos. Vea nuevamente la gráfica No.1 

Bien, ahora sigamos encontrando otras aproximaciones… 

4.  Completa la tabla siguiente utilizando la ecuación No.1 hasta con 8 cifrasdecimales. Puedes utilizar Excel para hacer los cálculos.

     ()   ´()  + =   () ´()

 

0 1 -2 2 2

1 2 1 4

2 1.75 1.732142857

3

4 1.73205081 1.732050808

5 3.464101615137750

6 1.732050808

El proceso continúa hasta que obtenemos dos aproximaciones consecutivas  y + quecoinciden con el número deseado de cifras decimales.

5. Por lo tanto, podemos concluir que √  ≅ ______________________________ .

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B. Determinemos los ceros de la función  () = 1, tomando como punto inicial = .

1. Encuentra  ´() = _____________________________ 

2. Completa la tabla

Como vemos en la figura No. 2, al graficar cadapunto (,()) vemos cómo las pendientes se vanacercando a la raíz buscada.

3.  Por lo tanto:

El cero o raíz de la función  () =   esaproximadamente: ____________________

Básicamente hemos dicho que el método permite encontrar los ceros o raíces decualquier función [ () = 0], es decir que puede ser utilizado para resolver ecuacionestales como: 6 = 1, − = 2, cos =  , 2 tan = 0. Sin embargo, en los ejerciciosanteriores hemos dado el punto inicial, pero existe una forma para determinar un puntoinicial, haciendo uso de la graficación.

     ()   ´()  + =   () ´() 

0 1 1.5

1 0.875 5.75

2 4.4499 05482 1.3252 00399

3 1.3252 00399 0.0020 58362 1.3247 18174

4 0.0000 00924 1.3247 17957

5

Figura No.2

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Por ejemplo, en el ejercicio anterior  () = 1,tomaremos como una ecuación 1 = 0  o bien = 1 , ahora graficamos  () =  y  () = 1 en el mismo plano,este esbozo podría darnos el punto de partida. Vea la figuraNo. 3

El punto donde converge  y 1 es mayor que 1, que fue el

punto de inicio que utilizamos en el ejercicio anterior.

No importa el punto a elegir,

Ahora intentemos hacerlo nosotros… 

C. Para resolver la ecuación cos = , primero graficaremos  () = cos () = , elpunto x, dónde ambas funciones convergen es la posible raíz, veamos la gráfica deambas funciones en la figura No. 4

1. Determina un posible valor de  =_________2. Ahora  ´() = 1 3. Completa la tabla hasta el  que considere necesario

     ()   ´()  + =   () ´()

 

0

1

2

3

4

5

Figura No.3

Figura No.4

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 Ahora bien, si graficamos  () = cos  veremos exactamente la raíz que ustedcalculó mediante el Método de Newton.

Para practicar lo que hemos aprendido, realizará algunos ejercicios del libro. Los

ejercicios deberán ser entregados junto a este documento.

Sección 4.8 página 342 06, 08, 10, 15, 22

Bibliografía:

Cálculo trascendentes y tempranas. Cuarta Edición, Dennis Zill. McGraw-Hill, 2011.

Cálculo y Geometría Analítica. Sexta edición, volumen 1. Larson, et.al.

Cálculo de una variable. Decimosegunda edición, Thomas G. Pearson, 2010.

Puede visitar la dirección: https://www.youtube.com/watch?v=tX9ecFstUUk (Metodo de

Newton-Raphson | Explicacion y ejercicio resuelto)

Figura No.5