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5/8/2018 Trabajo N° 07 - slidepdf.com
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA INGENIERÍA CIVIL
FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO A SUPERFICIE LIBRE
Mecánica De Fluidos II 1
5/8/2018 Trabajo N° 07 - slidepdf.com
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA INGENIERÍA CIVIL
RESUMEN
El siguiente trabajo tiene por finalidad hacer un análisis del flujo
gradualmente variado, a lo largo de un canal, ya que cuando las condiciones
de escurrimiento, en una misma sección, permanecen invariables en el
tiempo, pero varían paulatinamente a lo largo del eje de la canalización. Luegola ecuación resultante que gobierna esta particularidad se llama “Ecuación del
Eje Hidráulico”
Luego de plantearse una serie de hipótesis para su estudio, se llegará a
una ecuación diferencial para este tipo de flujo a superficie libre, pero ahora
para solucionar dicha ecuación, será necesario utilizar métodos numéricos
para su solución, ya que dicha ecuación nos servirá para determinar la curva
de remanso en un canal.
Dichos métodos antes mencionados no son más que la solución de la
integración exacta de la ecuación diferencial del flujo permanente
gradualmente variado a superficie libre, siendo dos los más importantes y son
el método directo por etapas y el método de etapas fijas.
Finalmente con el fin de comprender mejor este tipo de flujo, se planteará
un problema con el fin de calcularlo con un método, para luego comprobar los
resultados obtenidos con otro método.
Mecánica De Fluidos II 2
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I. INTRODUCCIÓN
El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o
gradualmente variado. En el caso de flujo rápidamente variado, la profundidad
de flujo cambia abruptamente en una distancia comparativamente corta, por
ejemplo, en un resalto hidráulico. En el otro caso, se requieren distancias
mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente
variado. En un canal con flujo permanente uniforme pueden existir causas que
retardan o aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que
se manifiestan por un aumento o disminución de la profundidad del flujo,
respectivamente.
1.1 OBJETIVOS
Analizar el flujo no uniforme y gradualmente variado en un canal,
así mimo la ecuación del eje hidráulico, usando para ello un
ejemplo de aplicación para luego con la ayuda métodos
numéricos podremos llegar a una solución aproximada de este
tipo de problemas.
1.2 JUSTIFICACIÓN
Es necesario que para el diseño de canales que tengan a lo largode su trayectoria un vertedero, que servirá para varios fines, se
pueda determinar la posición del eje hidráulico y la altura del
canal en la zona de influencia de la superficie de remanso.
II. REVISIÓN DE LITERATURA
2.1 Flujo Libre, M. E. Guevara A., Departamento De Hidráulica,
Facultad De Ingeniería Civil, Universidad del Cauca.
Flujo permanente variado
0≠∂∂L
V 0≠
∂∂L
y 0≠
∂∂t
V
El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o
gradualmente variado. En el caso de flujo rápidamente variado, la
profundidad de flujo cambia abruptamente en una distanciacomparativamente corta, por ejemplo, en un resalto hidráulico. En el
otro caso, se requieren distancias mayores para que alcancen a
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desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente variado. En un canal
con flujo permanente uniforme pueden existir causas que retardan o
aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que se
manifiestan por un aumento o disminución de la profundidad del flujo,
respectivamente.
a) Flujo variado retardado
Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por
ende aumenta la profundidad en el sentido de la corriente.
Algunas causas que retardan el flujo son: disminución brusca de
la pendiente del canal; interposición de obstáculos en el lecho del
canal como vertederos, presas, compuertas de control. Paracondiciones iniciales de flujo uniforme lento, se tendrá flujo
gradualmente variado; para condiciones de flujo uniforme rápido
se presentará un resalto hidráulico al pasar a condiciones de
remanso.
b) Flujo variado acelerado
Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por
ende la profundidad disminuye en sentido de la corriente; ocurrecuando la pendiente del canal aumenta bruscamente o cuando
existe una caída vertical.
Figura N° 01. Flujo gradualmente variado
Controles en el flujo
Un control en el flujo es cualquier estructura o característica que
determina una relación entre caudal y profundidad.
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El estado de flujo uniforme puede ser considerado como una
condición de control en el flujo, ya que con una ecuación como la de
Manning se puede establecer una relación entre Q y y . Sin embargo,
flujo uniforme es el estado que el flujo tiende a adoptar en canales
largos, uniformes y sin controles. Si hay algún tipo de control, el flujo
tiende a volverse variado. Esta transición de flujo puede ser gradual o
abrupta. Ejemplos de controles son: compuertas, presas, caídas
verticales, cambios de pendiente, tal como se ilustra en las siguientes
figuras.
Figura N° 02: Ejemplos de Controles en el Flujo
Mecánica De Fluidos II 5
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Ecuación general de flujo gradualmente variado
El problema del flujo gradualmente variado se reduce a
determinar la variación longitudinal del perfil de flujo a lo largo delcanal:
0≠∂∂ x
y o, 0≠
∂∂ x
V
Para deducir la ecuación general de flujo variado se parte de las
ecuaciones de energía total y de energía específica. Lo que interesa
inicialmente es saber como varía la energía específica con relación a x y
a y .
g
v y z H
2
2
++=
H : Energía total
z : Posición respecto al plano de referencia
y : Energía de presión
γ
P
V : Velocidad del flujo
Figura N° 03: Componentes de la Energía
El cambio de energía total a lo largo del canal está dado por:
++=
++=
g
V y
dx
d
dx
dz
g
V y z
dx
d
dx
dH
22
22
g
V y E 2
2
+=
E : Energía Específica
Mecánica De Fluidos II 6
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,dx
dE
dx
dz
dx
dH+= ,
dx
dz
dx
dH
dx
dE−=
Si se adopta la convención de que la variación de un parámetro
con relación a otro es negativa si desciende en el sentido del flujo y
positiva si asciende, , se obtiene:
Sf dx
dH−= es el cambio de energía respecto a la distancia x , es decir la
pendiente de fricción; siempre es negativa para el sistema de
convenciones especificado.
=−= 0Sdx
dz es el cambio de elevación del fondo del canal con respecto a
la distancia, o pendiente del fondo; para el sistema de convenciones
especificado es negativa cuando decrece en el sentido de flujo, pero
puede ser positiva si asciende.
Entonces, Sf Sdx
dE−= 0 (1)
Por otra parte:
,2
2
g
V y E += ,
22
2
gA
Q y E +=
g
AQ y E
2
22 −
+=
,13
2
dy
dA
gA
Q
dy
dE−= ,1
3
2
dy
Bdy
gA
Q
dy
dE−= ,1
3
2
gA
BQ
dy
dE−=
h
RgY
V F = ⇒ 3
2222
gA
BQ
gA
BV
B
Ag
V F R ===
2
1 RF dy
dE
−= (2)
De (1), se tiene que ( )dx SSdE f −=0
De (2), se tiene que ( )dy F dE R−= 1
Combinando (1) y (2) se obtiene la ecuación general de flujo
gradualmente variado:
2
0
1 R
f
F SS
dx dy
−
−= (3)
Mecánica De Fluidos II 7
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Esta ecuación describe la variación de la profundidad de flujo en un
canal de forma arbitraria como función de S0, Sf y F R2
La ecuación (3) no es explícitamente solucionable, pero existen varias
soluciones por medio de métodos numéricos que se verán mas
adelante.
Análisis de la ecuación (3)
Si 0=dx
dy ⇒ →=− 00 f SS Flujo Uniforme
¿Qué pasa con FR2=1?. Ocurre básicamente en un sitio en donde
haya transición de flujo subcrítico a supercrítico. En ese sitio se presenta
la profundidad crítica y es un punto de control.
Perfiles de Flujo
En el análisis de flujo en canales abiertos es necesario predecir el
comportamiento de los perfiles de la lámina de agua. Esto se puede
hacer con un análisis del comportamiento de la pendiente de la
superficie del agua en función de las variables geométricas e hidráulicas
del flujo, como se hará a continuación.
Para el cálculo de los perfiles del flujo es útil determinar la
relación entre las pendientes de fondo (S0), de fricción (Sf ) y del número
de Fraude FR que intervienen en la ecuación general de flujo variado
2
0
1 R
f
F
SS
dx
dy
−
−
= . S0 depende básicamente de la topografía, pero se va a
demostrar a continuación que Sf y FR2 son funciones del inverso de y.
Considerando la ecuación de Chezy: ,f RSCV = se obtiene:
,2
2
RC
V Sf =
32
2
22
2
AC
PQ
RAC
QSf == (4)
3
22
gA
BQF R = (5)
Mecánica De Fluidos II 8
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Se observa en las ecuaciones (4) y (5) que tanto Sf como F R2,
tienen una gran dependencia del inverso del cubo del área. P no se
diferencia mucho de B, especialmente en canales anchos. Como el área
mojada es una función de la profundidad del agua, A = f( y ), es de
esperar que Sf y F R2, disminuyan al aumentar y , o que ambos aumenten
al disminuir y , para todos los casos de secciones transversales.
De lo anterior y de un análisis del comportamiento y la interacción
de las variables hidráulicas se puede establecer el siguiente juego de
desigualdades.
y < y n corresponde a Sf > S0 y y > y n corresponde a Sf < S0
y < y c corresponde a F R > 1 y y > y c corresponde a F R < 1 Para flujo uniforme se tiene que y = y n, S0 = Sf
En la condición de flujo crítico F R = 1.
Las líneas representadas por la solera del canal, la profundidad
normal del flujo y la profundidad crítica, dividen el canal en tres
secciones en la dimensión vertical como se puede observar en la Figura
04. Por convención, estas zonas se numeran del 1 al 3 empezando por la
porción superior.
Mecánica De Fluidos II 9
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Figura N° 04: Sistema de clasificación de perfiles de flujo gradualmentevariado.
Existen cinco clases de perfiles de flujo gradualmente variado: M,
S, C, A, y H. Los perfiles en canales con pendientes menores que la
crítica, se denominan perfiles de pendiente suave (M). Los perfiles en
canales de pendiente mayor que la crítica se denominan de pendientefuerte (S). Los perfiles en canales con pendiente igual a la pendiente
crítica se llaman críticos (C). Los perfiles en canales con pendiente
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negativa se denominan adversos (A) y los perfiles en canales
horizontales se denominan horizontales (H).
Para cada zona y para cada tipo de pendiente del canal, la
pendiente del nivel del agua puede ser positiva o negativa,
presentándose flujo retardado o acelerado respectivamente.
Métodos de Cálculo
Para el cálculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza
la ecuación (3) que no tiene solución explícita puesto que ni la
pendiente de fricción en flujos reales ni el número de Froude son
conocidos, por lo que hay que recurrir a métodos numéricos que tratande aproximar una solución.
Se deben hacer algunas suposiciones, entre ellas:
Se consideran subtramos de análisis relativamente pequeños, de
tal forma que se pueda considerar flujo uniforme y así determinar
la pendiente de fricción utilizando una ecuación de resistencia al
flujo, usualmente Manning.
La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad deflujo medida verticalmente es aproximadamente igual a la
profundidad medida perpendicularmente al fondo, es decir que no
se requiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente.
El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico
y constante en todo el tramo en consideración.
Para conocer la variación de la profundidad del flujo
gradualmente variado en relación con la longitud del canal ya sea hacia
aguas arriba o aguas abajo de la sección de control, se emplean
métodos teóricos aproximados entre los cuales los más usados son: el
método tramo a tramo, directo por pasos y el de integración gráfica.
Estos métodos son aplicables a canales prismáticos y no prismáticos.
Independientemente del método de cálculo seleccionado es
importante resaltar que para los cómputos se debe considerar el tipo de
flujo, ya sea subcrítico o supercrítico, crítico, o con pendiente horizontal
o adversa y definir el tipo de perfil de flujo: M, S, C H o A,respectivamente. También, se deben localizar los respectivos controles
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al flujo, puesto que en flujo subcrítico el cálculo se hace desde aguas
abajo y en flujo supercrítico desde aguas arriba.
La pendiente de fricción se debe determinar a partir de algunaecuación de resistencia al flujo, por ejemplo la de Manning.
El proceso de cálculo es usualmente el siguiente:
1. Determinar parámetros básicos de diseño: topografía, suelos,
caudal, etc.
2. Diseñar completamente el canal por tramos y conocer todos los
elementos geométricos de la sección transversal para cada
tramo: y, A, P, R, y h, S0, etc.
3. Determinar el tipo de pendiente del canal: subcrítica, supercrítica,
crítica, horizontal o adversa.
4. Identificar los controles del flujo: compuertas, presas, vertederos,
cambios de pendiente, caídas.
5. Determinar los elementos hidráulicos en la sección de control.
6. Analizar los perfiles de flujo que se presentan aguas arriba y
aguas abajo del control: M, S, C, H, A.
7. Calcular los perfiles de flujo a partir de la sección de control.
En general, existen dos casos de cálculo:
a) Solución directa: Se conoce la variación de profundidades del
agua (dy ) y el problema es encontrar la distancia entre ellas (dx ).
b) Solución por iteraciones: Se desconoce la variación de
profundidades del agua (dy ) y se conoce la distancia entre ellas
(dx ). Como tanto Sf como F R son funciones de y y ésta solo se
conoce en la sección de control, la profundidad del agua en la
siguiente sección debe encontrarse por aproximaciones
sucesivas.
Método Directo por Etapas
En este método toda la longitud del canal con flujo
gradualmente variado se divide en subtramos cortos a partir del
control. Se calcula la profundidad del agua en una sección partiendo de
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la profundidad del agua en la sección de control y se prosigue etapa
por etapa, tomando como base la profundidad del agua que se ha
calculado. Es un método simple aplicado a canales prismáticos.
En la Figura Nº 05 se puede plantear la ecuación de energíaentre los puntos 1 y 2.
Figura N° 05: Esquematización del Cálculo del Método Directo por Etapas.
x Sg
V y z
g
V y z f ∆+++=++
22
2
2
22
2
1
11
,021 x S z z ∆=−g
V y E ii
2
2
1+=
f SS
EE x −−=∆
0
12
x ∆ : Longitud de cada tramo
E1 : Energía específica para la sección inicial del tramo
E2 : Energía específica para la sección final del tramo
S0 : Pendiente del canal en tanto por uno (m/m; cm/cm)
Sf : Pendiente de fricción, también denominada gradiente
hidráulico medio del subtramo.
2
21 f f
f
SSS
+=
2
32
=
ii
f R A
QnS
ien sistema métrico de unidades
Otra alternativa es calcular Sf para la profundidad media del
subtramo dada por;
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+=
2
21y y
y m
y1 : Profundidad del agua en la sección inicial del tramoy2 : Profundidad del agua en la sección final del tramo
2
32
=
mm
f R A
QnS en sistema métrico de unidades
Am : Area de la sección media de profundidad y m
Rm : Radio hidráulico de la sección media de profundidad y m
Q : Caudal
n : Coeficiente de rugosidad del canal según Manning
Para aplicar este método se debe conocer la profundidad de la
sección inicial y la clase de variación. Tomando incrementos o
decrementos ∆ y , la profundidad siguiente será y 2 = y 1 ± ∆ y .
El signo es (+) si la variación es retardada hacia aguas abajo y el
signo es (-) si es acelerada.
El valor de los intervalos que se adopten (∆ x, ∆ y ) puede ser
cualquiera, pero entre más pequeño sea, es mayor la exactitud del
método.
=∆∑= x L Longitud total de flujo gradualmente variado
Ref. Nº 01: Pág. 52 – Pág. 66
2.2 Mecánica de Fluidos II, Ing. Osvaldo Ortiz Vera, Facultad De
Ingeniería Civil, Universidad Nacional de Cajamarca, 2006
Método de Etapas Fijas
Consiste en determinar la cota de agua del eje hidráulico a una
distancia fija preconcebida a partir de una sección de control. Se aplica
también a secciones irregulares (cauces naturales)
Procedimiento
Mecánica De Fluidos II 14
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1. En la sección de control se determina H1 y S1:
,2
2
1111
g
V y z H ++=
34
1
21
2
1
R
V nS =
2. Asumir un valor probable para la cota del eje hidráulico, esto es lacota de la superficie piezométrica, con la cual es posibledeterminar.
,
2
'
2
2222
g
V y z H ++=
34
2
2
2
2
2
R
V nS =
3. Calcular y verificar los valores de la cota de la línea de energía enbase a la altura total y la pérdida H2.
[ ]21122
'' SS x
HH +∆
+=
4. Si: ;''' 22 HH ≅ la cota supuesta es correcta, de lo contrario probar
con otro valor de la cota del eje hidráulicoRef. Nº 02: Pág. 17 – Pág. 18
III. MATERIALES Y MÉTODOS
El esquema adjunto, representa un canal rectangular diseñado deconcreto con máxima eficiencia hidráulica, para conducir un gasto de
1.5 m3/seg., con pendiente 1/1000. Si el vertedero mostrado tiene una
altura de 1.00 m., determinar la posición del eje hidráulico y la altura delcanal en la zona de influencia de la superficie de remanso.
Solución
Determinación de las características geométricas del canal.
b =2yA=2y2
P=4yR=y/2Q=1.5 m3/seg.
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S0=0.001H0=1.00 m
Según la ecuación de Manning para flujo uniforme, se puede aplicar:
21
032
SRn
AQ =
n=0.016 Cto. Ordinario
Reemplazando:
21
0
32
2
2
2
S
y
n
y
Q
=
83
21
31
83
21
031
0 0 1.0*2
0 1 6.0*5.1
2
=
=
S
Q n y
m y 83.0= ⇒ Tirante Normal
b=1.66 m
A=1.38 m2
P=3.32 m
Determinación de la sección de control
mHHH y 00.1001 =⇒+=
⇒= bhQ2
32.2 Perfil de CRAGER
32
32
66.1*2.2
5.1
2.2
=
=
b
Qh
h=0.55 m
y1=1.55 m
Determinación de la Curva de Remanso – Método de Etapas Fijas
1. En La sección de control se tiene
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( ) 2
2
2
1
2
1
2
1
111
66.1*55.0*81.9*2
5.155.1250
22++=+=++=
gA
Q y
g
V y z H
z1=250 m (Asumido)
H1=250 + 1.55 + 0.14
H1=251.69
segm
bh
QV 64.1
66.1*55.0
5.1
*1 ===
mR 33.0
55.0*266.1
66.1*55.01 =
+
=
0 0.0
3 3.0
6 4.1*0 1 6.0*
34
22
34
1
2
1
2
1===
R
V nS
2. Asumiendo un tirante hidráulico: y2=1.50 m
2
2
2
22
2
2
222
22'
gA
Q y z g
v y z H ++=++=
mH
H
14.252'
02.050.162.250'
2
2
=++=
seg
m
A
QV 60.0
66.1*50.1
5.1
2
2 ===
mR 53.050.1*266.1
66.1*50.12 =
+=
0 0 0.0
5 3.0
6 0.0*0 1 6.0*
34
22
34
2
2
1
2
2===
R
V nS
3. Gradiente Promedio
Mecánica De Fluidos II 17
( )22
250.1*66.1*81.9*2
5.150.162.250' ++=H
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( ) ( )0002.00030.02
1
2
121 +=+= SSSm
0016.0
=mS
4. mSS
HH x
m
00.7500016.0001.0
69.25114.252
0
12 −=−−
=−−
=∆
5. Verificación
( ) ( ) mSS x
HH 143.2520002.00030.02
333.28369.251
2'' 2112 =++=+
∆+=
Como: 143.252140.252''' 22 ≅⇒≅HH
Entonces m x 00.750−=∆ esta correcto, el resultado negativo
indica que se habrá avanzado aguas arriba.
IV. RESULTADOS Y DISCUSION
Tenemos que m x
00.750
−=∆ el resultado negativo indica que se habráavanzado aguas arriba.
V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Puesto que la curva de la energía especifica se traza para un gasto
fijo, este gasto puede estar fluyendo con distintos tirantes; para
cada tirante hay un área, y para cada área hay una velocidad.
Es importante a la hora de resolver este tipo de problemas,proceder a la resolución por ambos métodos, tanto por el directo
por etapas, como por el método de etapas fijas, ya que con ello
aseguraremos la veracidad de nuestros resultados.
Muy aparte también se tiene otro método alternativo, que es el
método de integración, así como el método de la integración
gráfica, esto se lo deja para futuras investigaciones.
VI. BIBLIOGRAFÍA
Mecánica De Fluidos II 18
5/8/2018 Trabajo N° 07 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/trabajo-n-07 19/20
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA INGENIERÍA CIVIL
Flujo Libre, M. E. Guevara A., Departamento De Hidráulica,
Facultad De Ingeniería Civil, Universidad del Cauca.
Hidráulica de los Canales Abiertos, Chow V. T., Editorial Diana,
Primera Edición, México, 1982. Manual de Hidráulica, Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., Sexta
edición. Harla, S. A. de C. V. México, 1975.
Revestimiento de Canales de Riego, Organización de las Naciones
Unidas para la Agricultura y la Alimentación, Kraatz D. N., Roma,
1977.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL
DE INGENIERÍA CIVIL
MECÁNICA DE FLUIDOS II
FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO A SUPERFICIE LIBRE
DOCENTE : Ing. ORTÍZ VERA, Oswaldo
Mecánica De Fluidos II 19
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA INGENIERÍA CIVIL
CICLO : VI
GRUPO : “A”
ALUMNO : ALCÁNTARA PORTAL, Víctor Franz
Cajamarca, 28 de Septiembre del 2006
Mecánica De Fluidos II 20