UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA CIVILSECCIN DE POST GRADO

CURSO: MECANICA DE MEDIOS CONTINUOSTRABAJO ENCARGADO N1

DETERMINACION DEL TENSOR DE TENSIONES Y TENSOR DEFORMACIN DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA DISTRIBUIDADocente: Dr. Luis Mosquera Leiva

Presentado por:SANCHEZ LA TORRE, Jeny.CANALES, Carlos.PACHECO CODA, Pablo.

LIMA PERU

DICIEMBRE 2,013

TENSOR DE TENSIONES Y TENSOR DE DEFORMACIN DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA DISTRIBUIDA

1. Estado del Arte.-Para plantear el anlisis de la viga simplemente apoyada con carga distribuida propondremos 02 enfoques, el primero analizando como la viga como un elemento de la mecnica de materiales y el segundo analizando la viga como un elemento isotrpico con anlisis por elasticidad. Como veremos en el desarrollo se obtendrn resultados relativamente similares.Para abordar el anlisis de la viga simplemente apoyada resulta necesario analizar las deformaciones que experimentar la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexin en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El anlisis de las deformaciones tiene bsicamente dos objetivos, por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que al traducidas en ecuaciones nos permitan resolver las incgnitas del tensor de tensiones. Y por otra parte, las deformaciones en s. Supuestos Base:Para establecer una serie de relaciones al interior de la seccin, indicamos que se trata de una viga cuyo material se encuentra solicitado dentro del rango de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y en donde se admite la conservacin en las caras planas. Dicho en otra forma, donde se cumplen la ley de Hooke y la hiptesis de Bernouilli- Navier.

a.- Ley de Hooke.- Establece que la relacin entre la tensin y la deformacin unitaria es una constante y se denomina mdulo de elasticidad.E= /E= Elasticidad.=Tensin.= Deformacin unitaria, o expresado de otra forma: = C.=Tensor de esfuerzos.= Tensor de deformacin.As mismo se puede indicar que:

2. Deformacin en VigasLnea Elstica o Elstica:Denominaremos lnea elstica a la curva que forma la fibra neutra una vez cargada la viga, considerando que sta se encontraba inicialmente recta.

3. Esfuerzos en vigas

Flexin.Una vez localizado el eje neutro y obtenida la relacin momento curvatura, podemos determinar las tensiones en trminos del momento flector, que esta expresada por la siguiente frmula:

Esta frmula llamada frmula de la flexin o esfuerzo normal, muestra que las tensiones son directamente proporcionales al momento flector M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la seccin transversal. Adems las tensiones varan en sentido lineal con la distancia y desde el eje neutro, como se seal antes. Consideramos adems que el momento Mx=0, por lo tanto resulta cero.Corte.La ecuacin para la tensin tangencial est dada por la frmula:

Esta ecuacin, conocida como la frmula del cortante o conocida tambin como la frmula de Zhuravski, puede usarse para determinar la tensin tangencial en cualquier punto en la seccin transversal especifica, el esfuerzo cortante , el momento de Inercia I y el ancho b son constantes, sin embargo el momento esttico (y por consiguiente, la tensin tangencial varia con la distancia y1 desde el eje neutro.

El momento esttico en una seccin transversal rectangular est dado por la ecuacin: (3)

Lo que aplicado en la ecuacin (2) y considerando que I=bxh3/12, obtenemos la frmula:

Esta ecuacin muestra que las tensiones tangenciales en una viga rectangular varan cuadrticamente con la distancia y1 desde el eje neutro.Si consideramos un anlisis en el estado plano (XY), el tensor de tensiones para una viga rectangular puede ser expresado de la siguiente forma de las ecuaciones (1) y (4):

(5)

4. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA DISTRIBUIDA.

Para plantear el anlisis de la viga simplemente apoyada con carga distribuida propondremos 02 enfoques, el primero analizando como la viga como un elemento de la mecnica de materiales y el segundo analizando la viga como un elemento isotrpico con anlisis por elasticidad. Como veremos en el desarrollo se obtendrn resultados relativamente similares.

4.1TENSOR DE TENSIONES Y TENSOR DE DEFORMACIN (Mecnica de Materiales)4.1.1.- PRIMER ENFOQUE (Mecnica de Materiales):En la figura 1 se presenta el caso tpico de una viga simplemente apoyada con carga distribuida:

Y

b

Xh

BA

L

Figura 1. Viga Simplemente Apoyada con carga distribuida

La viga prismtica simplemente apoyada AB, soporta una carga uniformemente distribuida w por unidad de longitud. Como w es constante, y recordando las primeras relaciones elementales de la flexin tenemos que:

(6) (7) (8)

Puesto que las condiciones de frontera exigen que M =0 en ambos extremos de la viga, se hace primero x=0 y M=0 en la ecuacin (8), y se obtiene C2=0. Despus se hace x=L y M=0 en la misma ecuacin, para obtener C1= L. Llevando los valores de C1 y C2 a la ecuacin (8) e integrando dos veces:

Pero las condiciones de frontera tambin requieren que y =0 en ambos extremos de la viga. Si x=0 y y=0 en la ecuacin (9), se obtiene C4=0, haciendo x=L y y=0 en la ecuacin, se escribe:

Llevando los valores de C3 y C4 a la ecuacin (9), y dividiendo ambos miembros entre EI, se obtiene la ecuacin de la curva elstica: (10)

El valor de la mxima deflexin se obtiene haciendo x=L/2 en la ecuacin (10). Se obtiene:

4.1.1.a). DETERMINACIN DE TENSOR DE DEFORMACIN A PARTIR DEL TENSOR DE ESFUERZOS.-

Se determin el tensor de tensiones en (5), para una viga rectangular. Sabemos que:

(Tensor de tensiones general en viga (5))

Entonces el tensor de tensiones par la viga simplemente apoyada con carga distribuida queda expresada por: (11)

Conocido el tensor de tensiones, podemos determinar el tensor de deformacin mediante la frmula:

(12)

Desarrollando:

Aplicando la constante (13)

(14)

Aplicando la constante y

(15)

El tensor de deformacin para la viga simplemente apoyada con carga uniforme queda expresado de la siguiente forma: (16)

Con este tensor podemos conocer las deformaciones de la viga en cualquier punto.

Deformacin por flexin pura.Para flexin pura, la deformacin por cortante no es considerada. Entonces el vector deformacin queda reducido de la siguiente forma:

(17) Vector Rotacin.Como solo se va a analizar el estado plano, solo es necesario definir la rotacin 3, la cual se obtiene de las siguientes relaciones:

(18) (19)

(20) (21) Integrando (20) y (21) y sumando ambos, se obtiene: (22)Como se conocen las condiciones iniciales: Cuando x=L/2 y y=0, 3=0

Despejando obtenemos:

(23)

Vector Desplazamiento.Como solo se va analizar las deformaciones en estado plano, nos interesa conocer el desplazamiento ux y uy. Para encontrar los vectores desplazamiento aplicamos las siguientes formulas: (24) (25) (26) (27)

(28)

(29)Integrando (26) y (27) y sumndolos, se obtiene: (30)

Integrando (28) y (29) y sumndolos, se obtiene:

(31)

Como se conocen las condiciones iniciales: Cuando x=0 y y=-h/2 , ux=0 y uy=0De (31) C3=0; De (30) C2=. Reemplazando en (30) y (31) (32)

(33)

Desplazamiento en el Eje neutro.En el Eje neutro y=0. Reemplazando en (33)

(34)

Y agrupando trminos (35)Que es idntica a la ecuacin de la curva elstica que se plantea en los textos de resistencia de materiales. El valor de la mxima deflexin se obtiene haciendo x=L/2 en la ecuacin (35). Se obtiene: (36)

4.1.2.- SEGUNDO ENFOQUE (ELASTICIDAD):

b

2C

XYA

2L

Consideremos la viga cargada uniformemente-2L de la longitud y la profundidad 2c se muestra en la figura. Se puede verificar la fuerza aplicada por unidad de longitud en la superficie superior. Por lo tanto, las reacciones resultantes en los dos extremos sera wL.

El objetivo es calcular la tensin resultante de estas cargas sobre la viga. Ignoramos la gravedad; adems se imponen las siguientes condiciones de contorno:

Las condiciones (40) y (41) indican que no hay fuerza longitudinal o momento alguno en extremos de la viga. La condicin (41) corresponde a un apoyo simple.Dado que el momento de flexin en una viga cargada uniformemente es un polinomio de orden superior, vamos a intentar una solucin con una funcin de Airy (polinomio de grado5).

Utilizando el enfoque de funcin de Airy, se demostr que la formulacin elasticidad plana con cero fuerzas de cuerpo se reduce a una nica ecuacin de gobierno biarmnica. En coordenadas cartesianas se da por:

Al desarrollar las ecuaciones (44) para elCon lo que se obtendrn los esfuerzos de la viga simplemente apoyada, como se indican:

Para ayudar con la comparacin de los esfuerzos obtenidos en para la viga apoyada tanto por mecnica de materiales y por elasticidad haremos un cambio de variable en el peralte de la viga c=h en las ecuaciones (45), (46) y (47), obteniendo las tensiones normales y tangencial.

Asi mismo podemos hallar el tensor deformacin a partir del tensor de tensiones

(50.1)

Obtendremos el tensor de deformacin

1

Por lo que el tensor de deformacin

(52)

5.-COMPARACIN DE LA SOLUCIN DEL TENSOR DE STRESS OBTENIDO POR LA MECNICA ELEMENTAL DE MATERIALES Y OBTENIDO POR ELASTICIDAD.Del tensor (11) tenemos el tensor de esfuerzo obtenido para la viga simplemente apoyada con carga distribuida por mecnica elemental de materiales y del tensor (50.1), tenemos el tensor de esfuerzos obtenido por elasticidad.

...(11)

(50.1)

Podemos indicar que el obtenido por Elasticidad resulta ser ms completo, ya que considera los esfuerzos normales en ambas direcciones de un diferencial de volumen de la viga, as como los esfuerzos tangenciales.Esto finalmente permitira obtener las deformaciones con mayor precisin y por lo tanto el comportamiento esperado del elemento en estudio sera aproximado a lo real.

Tensor deformacin obtenido por mecnica elemental de materiales

Tensor deformacin obtenido por Elasticidad

6.-APLICACIN DE FORMULAS DE DEFLEXIN EN VIGA CON VALORES NUMRICOS.

Y

b

Xh

BA

L

Datos del ejemplo:

Material: Concreto Armado fc= 210 Kg/cm 2Peso Especifico = 2400 Kg/m3= 2.400 e-3 Kg/cm3Modulo de Elasticidad = 200 000 Kg/cm2Modulo de Poisson = 0.15Modulo de Corte = 86 956.5 Kg/cm2

Geometra de la vigaLuz = 500 cm.Seccin = 30x80 cm.rea = 2,400 cm2Inercia = 128, 000cm3Carga a aplicar:Se va a considerar una carga distribuida de 50 Kg/cm.

Clculo manual: Ecuacin de la elstica.

Aplicamos la ecuacin (45)

RESULTADOS DEL PROGRAMA SAP 2000.

Con el programa SAP 2000 la Deformacin Mx.= 0.17583 cm

Con el programa Ftool la Deformacin Mx.= 0.1589 cm.

Con el programa MD SOLID la Deformacin Mx.= 0.1563 cm.7.-Comparacin de Resultados.Luego de realzado el ejemplo con 03 programas especializados como lo son:

Tabla 1. Comparacin de resultados Clculo Manual y programa de cmputoVIGA 30X80

Elstica obtenido de forma ManualElstica (cm.)

0.15894

Programas comprobadosElstica (cm.)

SAP V.14 ( Computers & Structures)0.175838

MD SOLIDS (Mechanics of deformable Solids Software)0.1563

FTOOL (Herramienta de Anlisis de estructura de dos dimensiones)-PUC-Ro-Brasil0.15896

8.-Conclusiones. Se han verificado tres mtodos para calcular la deformacin de una viga simplemente apoyada con carga uniforme, considerando un ejemplo con las mismas caractersticas en el input de data a los programas, bsicamente llevndolo como material Isotrpico.

El mtodo de clculo basado en el tensor de deformacin es ms preciso y provee informacin de cualquier punto en el medio continuo del cuerpo de la viga, su desventaja es que su clculo resulta ms complicado en relacin al de mecnica de materiales.

El programa Ftool, que est basado en anlisis matricial de elementos y que se desarroll en la Pontificia Universidad Catlica de Ro por alumnos y asesorados por el Dr. Luiz Fernando Martha, resulto ser muy preciso para el clculo de la deformada, superando incluso al SAP 2000 y al programa MD Solids de la Universidad Nacional de Colombia.

En forma general podemos indicar que existe ms de una forma de poder analizar las vigas ya sea simplemente apoyada, empotradas o en voladizo, es necesario considerar en cada una de ellas las condiciones de contorno; y las tensiones con las consideraciones que se desprenden del anlisis de la Elasticidad.

8.-Referencia Bibliogrficas.1.