1PUCPESCUELA DE POSGRADO

MAESTRIA EN MATEMATICAS APLICADASCurso: Fundamentos de Analisis Real- Trabajo Practico N 3

Periodo 2015-1Profesor: A. Jordan L.

NOTA: Presentar la solucion de esta lista de ejercicios propuestos, el lunes 15 del presente a lahora de clase o antes de esta fecha. La calidad de la presentacion se tendra en cuenta para lacalificacion.

1. Si Rn+ denota el conjunto vectores de Rn cuyas componentes son no negativas,

(i) Probar que Rn+ Rn+ = Rn(ii) Si A es una matriz invertible de orden n, sea A(Rn) := {Ax : x Rn+} Es cierto

que1 A(Rn+) A(Rn+) = Rn+?2. Sea V un espacio vectorial, y A,B subconjuntos no vacos y no disjuntos de V Esspan(A B) ./ span(A) span(B)? donde ./ es o .

3. En teora de juegos no cooperativos se emplean funciones descritas de la forma: Sea Xun conjunto finito no vaco, denotemos por 2X el conjunto potencia de X. Sea

A := {f R2X/ f() = 0}En A se definen la suma y multiplicacion por escalar de funciones, en la manera usual.Encontrar una base para el espacio vectorial A.

4. (Producto de espacios vectoriales) Dados dos espacios vectoriales (U,+, .) y (V,+, .). Sedefinen las operaciones de adicion y multiplicacion escalar en U V por

(u1, v1) + (u2, v2) := (u1 + u2, v1 + v2) y (u1, v1) = (u1, v1)

u1, u2 U, v1, v2 V, R.En el caso que U y V son finito dimensional, si B1 es una base para U y B2 es una base paraV Es B1B2 una base para U V ? Justifique su respuesta. Si su respuesta es negativa,como sera una base para U V ? Ademas , cual es la relacion entre dim(U V ) condim(U) y dim(V )?

5. Sea Y el espacio vectorial de las funciones polinomicas reales de grado a lo mas dos, yT :M2 Y una aplicacion definida por

T ([aij])(t) = [t 1]

[a11 a12a21 a22

] [1t

] Probar que T es lineal. Hallar una base para Nu(T ). Hallar una base para Im(T ).

6. Sea (V, ) un espacio normado y x0 V , > 0, pruebe que B(x0) = x0 B1.1En esta parte x se considera un vector columna de Rn.

27. Sea (V, ) un espacio vectorial normado y un numero real positivo fijo. Se define laaplicacion f : V V R por f(x, y) = min{, x y} para todo x, y V.(a) Probar que f define una metrica en V .

(b) Para x0 V Es {x V : d(x, x0) } = V ?(c) La funcion : V R definida por (x) = d(x, 0) , x V , es una norma en V ?

8. Dadas las sucesiones de funciones fn(x) = x2 y gn(x) =

1

nx. Justificar que estas sucesiones

convergen uniformemente en X = [1,+[ pero fngn no converge uniformemente en X.

9. Pruebe que la sucesion de funciones fn : [0,+[ R, dada por fn(x) = xn

1 + xnconverge

puntualmente y que converge uniformemente en todos los intervalos de la forma [0, 1 ]y [1 + ,+[, para 0 < < 1.

Lima, Junio 06 del 2015...