Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique UNIVERSITE MHAMED BOUGARA DE BOUMERDES FACULT DES HYDROCARBURES ET DE LA CHIMIE Laboratoire de Physique de la Terre (LABOPHYT) THSE DE DOCTORAT Prsente par Jalal FERAHTIA En vue de lobtention du diplme deDocteur en gophysique Option : Sismique, sismologie et mthodes de potentiels Thme Traitement de donnes gophysiques base de filtres non- linaires et adaptatifs.Application des filtres : de diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM lattnuation des bruits cohrents et alatoires. Devant le Jury compos de : MabroukDJ EDDIProfesseur(UniversitMhamedBouguarade Boumerds) PrsidentKamelBADDARIProfesseur(UniversitMhamedBouguarade Boumerds) RapporteurHocineSHOUTProfesseur(Universit de Constantine)Examinateur TaharAIFAMatre de confrences habilit diriger des recherches(Universit de Rennes 1-France) Examinateur Abd rezakLACHOURIMatre de confrences Rang A (Universit de Skikda)Examinateur - Boumerds 2009 - Table des matiresTable des matires Introduction gnrale....1 1.Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique 1.1 Introduction ...6 1.2 Les bruits en gophysique.. 1.2.1 Cas de la sismique..... 6 6 1.3 Mthodes dattnuation des bruits en sismique...... 7 1.3.1 Mthodes conventionnelles...............7 1.3.1.1 Limitations....8 1.3.2 Mthodes bases sur lintelligence artificielle.....8 1.3.2.1 Limitations des RNA...9 1.4 Cas de la mthode lectrique courant continu.........10 1.4.1 Historique de limagerie lectrique..10 1.4.2 Dispositifs utiliss....10 1.4.3 Reprsentation des donnes.10 1.4.4 Les bruits en prospection lectrique.11 1.4.5 Techniques de filtrage en prospection lectrique....11 1.5 Notions sur les images13 1.5.1 Dfinition dune image numrique..13 1.5.2 Quest ce quun traitement dimages ?.............................................14 1.5.3 Thmes du traitement de limage.14 1.5.4 Oprations de base en traitement de limage14 1.5.4.1 Traitement de voisinage15 1.5.5 Types de bruits en imagerie.16 1.5.6 Filtrage de bruits en imagerie16 2.Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, Trilatral et SD-ROM 2.1Filtre de diffusion anisotropique...18 2.1.1 Bases thoriques ..18 2.1.2 Filtrage par convolution...18 2.1.3 Analyse de lEDP.19 2.1.3.1 Cas non linaire20 2.1.4 Approximation discrte par diffrence finie21 2.1.5 Remarques sur la stabilit22 2.1.6 Description de lalgorithme de filtrage par diffusion anisotropique23 2.1.7 Algorithme du filtre anisotropique...24 2.2Filtre Trilatral 2.2.1 Introduction..25 2.2.2 Arrire plan thorique..25 2.2.3 Principe du filtre bilatral.25 2.2.4 Formulation mathmatique du filtre bilatral...26 2.2.5 Etude des paramtres seuils..27 Table des matires 2.2.6 Formulation du filtre bilatral..27 2.2.7 Dfinition de la statistique dordre...28 2.2.8 Dfinition de la statistiqueROAD28 2.2.9 Le filtre trilatral..29 2.2.10 Version modifie du filtre trilatral30 2.2.11 Algorithme du filtre trilatral.31 2.3 Filtre SD-ROM 2.3.1 Introduction ..32 2.3.2 Thorie du filtre SD-ROM32 2.3.3 Description de laction du filtre32 2.3.4 Importance de la taille de la fentre..33 2.3.5 Algorithme du filtre SD-ROM..35 2.3.6 Organigramme du filtre SD-ROM36 3.Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique3.1 Implmention du filtre de diffusion anisotropique.37 3.1.1 Donnes synthtiques37 3.1.1.1 Description du modle37 3.1.1.2 Paramtrisation...38 3.1.1.3 Rsultats de simulations et discussions..40 a) Etude qualitative.40 b) Comparaison des sections diffrences...41 c ) Investigation dans le domaine spectrale..42 3.1.1.4 Influence du nombre ditrations..44 3.1.1.5 Description des sections diffrences49 3.1.1.6 Restitution de donnes perdues.51 3.1.2 Application sur des donnes sismiques relles54 3.1.2.1 Prsentation des donnes... 54 3.1.2.2 Paramtrisation..55 3.1.2.3 Analyses et rsultats......55 3.2 Conclusion..57 4.Attnuation du bruit sismique par le filtre trilatral4.1 Introduction59 4.2 Simulations.59 4.2.1 Donnes synthtiques59 4.2.2 Rsultats et commentaires. 61 4.2.3 Influence du nombre ditrations..63 4.2.4 Analyse spectrale...67 4.2.5 Comparaison avec les filtres usuels70 4.3 Application sur des donnes relles...73 4.3.1 Stratgie propose pour llimination des bruits...73 4.3.2 Description des donnes relles 73 4.3.3 Rsultats du filtrage sur les donnes relles..74 4.4 Etude comparative avec le filtre anisotropique..77 4.4.1 Cas des donnes synthtiques ..77 4.4.2 Cas des donnes relles.84 4.5 Conclusion..86 Table des matires5. Application du filtre SD-ROM aux donnes de prospection lectrique 5.1 Simulations..88 5.1.1. Description du modle synthtique..88 5.1.2 Rsultats du filtrage sur les rsistivits apparentes calcules...........90 5.1.3 Effets du filtrage sur le processus dinversion......91 5.2 Application du filtre SD-ROM aux donnes relles93 5.2.1 Description des donnes et implmentations des filtres.93 5.2.2 Paramtrisation..95 5.2.3 Gologie de la rgion dtude...96 5.3 Rsultats et discussions..96 5.3.1 Cas du premier profil96 5.3.2 Analyse des pseudosections diffrences...97 5.3.3 Evaluation des performances des filtres99 5.3.4 Impact du filtrage sur linversion100 5.3.5 Interprtation gologique..101 5.3.6 Cas du second profil..101 5.3.7 Examen des pseudosections diffrences...102 5.3.8 Evaluation quantitative des performances de filtres.103 5.3.9 Impact du filtrage sur linversion.103 5.3.10 Conclusion...105 Conclusion gnrale, nouveauts scientifiques et perspectives106 Nouveauts scientifiques et contributions109 Perspectives109 Liste des travaux Scientifiques 110 Bibliographie112 AnnexeA120 Annexe B131 Table des figuresTable des figures 1.1.Reprsentation dune image numrique en deux dimensions13 1.2.Masque de filtrage appliqu un pixel centr en x,y15 2.1.Schma de discrtisation utilis pour le calcul des gradients () et des coefficients de diffusion (w) 22 2.2.Bloc diagramme du filtre SD-ROM. x(p) est lchantillon central dune fentre rarrange de dimension 3x3, Si(p) sont les valeurs tries de la fentre 3x3 lexception de lchantillon x(p), di(p) est le vecteur diffrence entre x(p) et Si(p), Ti sont les valeurs seuils, f(p) est la sortie du filtre et Rm(p) est la ROM. 32 3.1.Modle 2D utilis pour la gnration des sections sismiques synthtiques.38 3.2.Section sismique, sans bruit, correspondant au modle de la figure 3.138 3.3.Section sismique synthtique avec 10% de bruit alatoire ajout 39 3.4.Section sismique synthtique avec 50% de bruit alatoire ajout 39 3.5.Rsultats du filtrage de diffusion anisotropique : a) 10% et b) 50%de bruit alatoire ajout. 40 3.6.Sections diffrences, a) 10% et b) 50 % de bruit alatoire. 41 3.7.Spectrogramme de la trace numro 27 tire de la section sismique sans bruit.42 3.8.Spectrogramme de la trace numro 27 avec 10% de bruit alatoire ajout a) avant et b) aprs filtrage. 43 3.9.Spectrogramme de la trace numro 27 avec 50% de bruit alatoire ajout a) avant et b) aprs filtrage.44 3.10. Influence du nombre ditrations sur lattnuation du bruit, a) 2, b) 5, c) 10, d) 50 et e) 100 itrations. 45 3.11.Graphes reprsentant lvolution du RSB en dB et de lEQM en fonction du nombre ditrations.a) RSB en prsence de 10 % de bruit alatoire, b) EQM en prsence de 10 % de bruit alatoire, c) RSB en prsence de 50 % de bruit alatoire et d) EQM en prsence de 50 % de bruit alatoire. 48 3.12.Sections diffrences montrant leffet du nombre ditrations sur le signal dintrt, a) 2, b) 5, c) 10, d) 50 et e) 100 itrations.50 3.13.Simulation de traces mortes (Flches) 51 3.14.Rcupration de traces mortes51 3.15.Simulation de 5 traces mortes diffrentes position sur la section52 3.16.Restitution dun paquet de traces mortes (5 traces)52 3.17.Simulation de 7 traces mortes diffrentes positions sur la section (cas limite).53 3.18.Limite de la restitution des traces mortes par le filtre anisotropique.53 3.19.Section sismique relle somme brute (Raw stack).54 3.20.Section stack aprs filtrage anisotropique 55 3.21.Agrandissement dans une fentre de temps a) avant filtrage, b) aprs filtrage anisotropique56 3.22.Section relle aprs filtrage dans le domaine f-k57 4.1.Shot gather synthtique (sans bruits) montrant quatre vnements sismiques.60 4.2.gather contamin par a) 5%, b) 10% et c) 50% de bruit alatoire.61 4.3.Rsultat du filtrage dans le cas dea) 5%, b) 10%et c) 50% de bruit alatoire62 Table des figuresajout et d) rsidu de filtrage du cas (c). 4.4.Influence du nombre ditrations sur le rsultat du filtrage aprs a) 2, b) 5, c) 10 et d) 50 itrations. 64 4.5.Courbes du RSB et de lEQM RSB en prsence de 5% (a), 10% (c) et 50% (e) de bruit alatoire, EQM en prsence de 5% (b), 10% (d) et 50% (f) de bruit alatoire. 66 4.6.Spectrogramme de la trace numro 29 tire du shot gather de la Figure 4.168 4.7.Spectrogrammes de la trace numro 29 avec5% (a), 10% (c) et50% (e) de bruit et leurs filtrages respectifs (b,d,f). 69 4.8.Comparaison entre donnes contamines par a) 5% de bruit alatoire, et rsultats des filtresb) trilatral, c) f-k et d) f-x. 70 4.9.Comparaison entre donnes contamines par a) 10% de bruit alatoire, et rsultats des filtresb) trilatral, c) f-k et d) f-x. 71 4.10.Comparaison entre donnes contamines par a) 50% de bruit alatoire, et rsultats des filtresb) trilatral, c) f-k et d) f-x. 72 4.11.Stratgie propose pour lextraction puis la soustraction du bruit.73 4.12.Shot gather bruit issue dune campagne sismique 3D.74 4.13.La composante bruite isole par le filtre trilatral (a) et, le shot filtr(b).75 4.14.Agrandissement lintrieur dune fentre du shot bruit (a) et filtr (b).76 4.15.Modle 2D utilis pour ltude comparative.77 4.16.Section sismique synthtique correspondant au modle de la figure 4.15.78 4.17.Donnes contamines par a) 5%, b) 10% et c) 50% de bruit alatoire.79 4.18.Rsultats du filtre trilatral en prsence de a) 5%, b)10% et c) 50% de bruit alatoire. 80 4.19.Rsultats du filtre anisotropique en prsence de a) 5%, b) 10% et c) 50% de bruit alatoire. 81 4.20.Rapport RSB des donnes filtres en fonctiondu nombre ditrations pour les filtres trilatral et anisotropique 83 4.21.EQM relative aux donnes filtres, en fonctiondu nombre ditrations, pour les filtres trilatral et anisotropique. 84 4.22.Section sismique brute (a) et ses versions filtres par les filtres anisotropique (b) et trilatral (c). 85 4.23.Vue largie de la section sismique filtre par les filtres anisotropique (a) et trilatral (b). 86 5.1.Modle 2D utilis pour gnrer les pseudosections de rsistivits apparentes, en prsence des inhomognits de surface (NSIs). Lespacement a varie de 3m 9m pour n=1,28. 89 5.2.Pseudosection de rsistivits apparentes calcules correspondant au modle de la figure 5.1, en prsence des NSIs. 89 5.3.Pseudosection de rsistivits apparentes calcules sans effets des NSIs.90 5.4.Pseudosections de rsistivits apparentes calcules, aprs filtrage par filtre a) SD-ROM, b) mdian (fentre 3) et c) mdian (fentre 5). 91 5.5.Rsultats de linversion des donnes synthtiques (Les contours noirs reproduisent le modle synthtique) : a) en labsence des NSIs, b) en prsence des NSIs, aprs filtrage par filtres c) SD-ROM, d) mdian (fentre de longueur 3) et e) mdian (fentre de longueur 5). 92 5.6.Donnes relles tires du premier profil de direction Nord- Sud (Les flches indiquent les valeurs anomales). 97 5.7.Pseudosections diffrences aprs filtrage a) SD-ROM, b) mdian (fentre 3) et98 Table des figuresc) mdian (fentre 5). 5.8.Pseudosections inverses issues du premier profil aprs filtrage a) manuel, b) SD-ROM, c) mdian (fentre 3) et d) mdian (fentre 5). 100 5.9.Donnes relles issues du second profil de direction Est-Ouest (Les flches indiquent des valeurs de rsistivits anormalement leves). 101 5.10.Pseudosections diffrences aprs filtrage SD-ROM (a), mdian (fentre 3) (b) et mdian (fentre 5) (c). 102 5.11.Pseudosections inverses issues du second profil aprs filtrage a) manuel, b) SD-ROM, c) mdian (fentre 3) et d) mdian (fentre 5). 104 Liste des tableaux Liste des tableaux 2.1.Exemple de linfluence de la taille de la fentre sur le rapportRSB (daprs Chandra et al., 1998). 34 3.1.Influence du nombre ditrations sur le rsultat du filtrage en termes du RSB et de lEQM de donnes contamines par 10% de bruit alatoire. Le RSB et lEQM des donnes bruites sont 21.97 dB et 8.24E-4, respectivement. 46 3.2.Influence du nombre ditration sur le rsultat du filtrage en termes du RSB et de lEQM de donnes contamines par 50% de bruit alatoire. Le RSB et lEQM des donnes bruites sont -7.13 dBet 0.015, respectivement. 47 4.1Rsultat du filtrage en termes de RSB et de lEQM en fonction du nombre ditrations. 65 4.2Rsultats du filtre trilatral et anisotropique en termes de rapport RSB et de lEQM en fonction du nombre ditrations. 82 5.1.Profondeur dinvestigation moyenne (Ze) correspondant diffrents dispositifs de longueur totale L (daprs Edwards, 1977). 94 5.2.Etude comparative, en termes de RSB et dviation standard, des diffrents filtres du premier profil. 99 5.3.Etude comparative, en termes de RSB et de dviation standard, des diffrents filtres du second profil. 103 Remerciements Tout dabord, jexprime ma gratitude envers les membres de jury : Messieurs le professeur HocineShout,leDocteurTaharAifaetleDocteurAbdRezakLachouriquimontfait lhonneur dexaminer mon travail et rapport dessus et de faire partie de ce jury de thse. Leurs remarques et suggestions mont permis dapporter des amliorations la qualit de ce travail. J eremerciegalementMonsieurleProfesseurMabroukDjeddipouravoirprsidma soutenance de thse. J e remercie chaleureusement mon directeur de thse Monsieur le Professeur Kamel Baddari, qui ma fait confiance en acceptant de diriger ma thse, pour la pertinence de ces conseils, sa rigueur scientifique et son soutien sans faille : quil trouve ici lexpression de ma profonde reconnaissance. J e tient aussi vivement tmoign ma reconnaissance Monsieur le Professeur Roger Gurin, de luniversit Pierre et Marie Curie-Paris 6, pour mavoir accept au sein de son laboratoire durant mon stage en France, et avec lequel jai eu des discussions constructives plus dune reprise. Bien sr je noubli pas mon frre, ami et collgue le Docteur Djarfour Nouredine avec lequel jepartagemesquotidiensetaveclequeljaieudesdiscussion,toujoursagrables, intressantes et fertiles. Mercitouteslespersonnesquejaipuctoyerpendantcesannes.Mercitousles doctorants et chercheurs, Nabil, Aissa, Hassen, Mouloud, Mme Alliouene. Ainsi, je tiens remercier entre autres Ghanem Brahmi et Badr Ezamen Hedjazi pour leurs aides. Enfin,etsurtout,jeremerciechaleureusementmonentourageproche(magrandeetpetite famille) pour leurs encouragements et leurs soutien permanent et inconditionnel, que ce soit dans les bons ou mauvais moments. Quils trouvent en ce tmoignage toute laffection que je leur porte. Ddicaces ma raison dtre, ma mre, mon idal, mon pre, mes frres et surs, ma femme, toi mon ange Mohamed. Introduction gnrale Introduction gnrale IntroductionLe problme dextraction des signaux partir des donnes bruites remonte lpoque du mathmaticienAllemandCarlFriedrichGauss(18mesicle),quiautilissamthodedes moindrescarrespourltudedesmouvementsdesplantes(dterminationdelorbitede lastrode Crs) sur la base dobservations clestes. Plus rcemment, le problme du filtrage a t abord sparmentau cours des annes trente et quarante par Kolmogorov (1939) et Wiener(1949)quionttraitlestimationlinairedesprocessusstationnaireslaidedes reprsentations spectrales, puis par Kalmandans les annes soixante (Kalman 1960) avec lapparition de son filtre rvolutionnaire qui porte dsormais son nom. Depuis, beaucoup de chemin a t parcouru dans le domaine du filtrage. Aujourdhui, on assiste lavnement de mthodes de traitement non-classiques et complexes, appeles systmes dapprentissages ou procds de calcul intelligent, parmi lesquelles on trouve les rseaux de neurones artificiels, la logique floue et les algorithmes gntiques, et la liste est loin dtre exhaustive. Le thme du filtrage est identifi et caractris par plusieurs termes savoir : filtrage, lissage, prdiction (Haykin 1996) et dconvolution (Hayes 1996). Il a toujours t considr comme unepicematressedanslchiquierdudomainedutraitementnumriquedusignal,qui comporte aussi lanalyse du signal (Les lecteurs, dsireux denrichir leurs connaissances dans ledomainedutraitementnumriquedusignal,peuventserfrerlexcellentouvrage Statistical and adaptive signal processing de Manolakis et al. 2005).Au sens le plus large, le filtrage est un processus permettant dattnuer le bruit, prsent dans une squence de mesures donne, tout en favorisant ou amliorant une information prsentant un intrt quelconque. Cette opration peut tre dfinie soit dans le domaine spatio-temporel, incarne par la convolution, soit dans le domaine frquentiel, o la convolution est remplace par un produit. Dans le cas particulier du traitement numrique des images, la convolution sapparente un filtrage spatial, o la luminosit dun pixel est remplace par une valeur qui a t dtermine grce son voisinage. 1Introduction gnrale Dune manire gnrale, les filtres se dcomposent en deux classes, linaires et non-linaires. La distinction se porte sur la relation qui existe entre la sortie du filtreet son entre. Ainsi, un filtre est dit linaire, si son entre et sa sortie sont lies par une fonction linaire, etnon-linaire dans le cas contraire.Le filtrage linaire stationnaire est probablement le plus commun et le plus important dans le traitementnumriquedusignal.Lecaractrelinairedecesfiltresestpropreleur interprtabilitetleurutilisationaise.Leurimplmentationsupposequelesignalest stationnaire et que linformation statistique apriori du signal et du bruit est connue. Lide derrirecesfiltresestdeminimiserleffetdubruitvis--visdusignalensatisfaisantun certaincritrestatistique.CequisappliqueparfaitementaufiltrelinairedeWiener,o lerreurquadratiquemoyenneestminimiseentrelasortiedsiredusignaletlarponse actuelle du filtre. Pour le cas des signaux non-stationnaires, cest plutt le filtre de Kalman qui est utilis. Nanmoins, dans plusieurs cas (bruits dpendant du signal ou bruits impulsifs), les performancesdesfiltreslinairessontmdiocres,etpossdentlinconvnientdelisser beaucoup dinformations pertinentes telles que les contours des objets, en les dplaant et les rendant flous. Malgr leur mise en uvre et leur conception ardue, les filtres non-linaires sont la promesse deperformancesaccrues.Cependant,lesrsultatsobtenussonttrssouventdemeilleure qualitquelesrsultatsobtenusaveclesfiltreslinaires.Lesfiltresdordre, homomorphiquesetmorphologiques,sontlespluscommunsdesfiltresnon-linaires. Toutefois, une attention particulire est donne lors de lutilisation de ces filtres, car toute modification est irrversible. Dans le cas des filtres dordre, la sortie est dfinie comme une fonction des statistiques dordre. Lexemple du filtre mdian est le plus connu. En ralit, les filtres dordre peuvent tre considrs comme une modification des filtres linaires discrets et nonrcursifs(fentragesuiviparunepondrationlinaire)obtenueparlinsertiondune opration de tri entre la phase de fentrage et celle de pondration. Enlabsencedinformationstatistiqueapriorisurlesignaletlebruit,lesmthodes (algorithmes) de traitement du signal ne sont plus valables. La solution vient donc par une utilisation rcursive du filtre. Un filtre adaptatif nest autre quun filtre rcursif qui modifie automatiquementcescaractristiques,gnralemententempsrel,enoptimisantses paramtresinternes.Cesmodificationsdoiventsuivrelvolutiondessystmesdansleurs 2Introduction gnrale environnements aussi rapidement que possible. Cest pour cette raison quun filtre adaptatif est un systme strictement non-linaire. Et la gophysique dans tout cela ? En gophysique, le filtrage est un concept de base et occupe une place privilgie dans le processus du traitement des donnes. En effet, les observations gophysiques sont souvent entaches de bruits issus de lenvironnement denregistrement et de lappareillage de mesure dunepart,etdesperturbationsduesausous-sol,lui-mme,dautrepart.Lebruiten gophysiqueesttoutcequignelinterprtation.Lefiltragedoitdonc,nonseulement amliorer le rapport signal/bruit (S/B) mais permettre aussi d'accder des grandeurs qui ne sont qu'implicitement contenues dans les donnes brutes.Lebruitengophysiqueestclasseni)alatoire,ii)cohrentet/ouiii)impulsif.Les techniques dattnuation du bruit ont toujours suivi lvolution des mthodes du traitement numrique du signal. Cest pour cette raison quon retrouve une grande panoplie de filtres, appliqusdansdautresdomaines,engophysique.Enralit,ilnexistepasdemthode miracle permettant de rsoudre lensemble des problmes qui se prsentent, mais un ensemble de techniques appropries (adaptes) un type ou une catgorie de bruits. Contexte et Objectifs Desprogrsconsidrablesont taccomplisdansledomainedufiltrageadaptatifetnon-linaire en traitement numrique du signal. Cependant, les applications issues de ce domaine, demeurentpluttfaiblesengophysique,voirinexistantes.Endpitdesnombreuxfiltres tudis,seulsquelquesunsonttexaminsjusqumaintenant.Ledveloppementde nouvelles applications, et ladaptation de ces filtres suivant le type et lintensit des bruits contaminants les donnes gophysiques, a t pour nous un vrai challenge . Notre principal objectiftaitdoncdecomblerceslacunes,etdedpasserleslimitationsdesfiltres conventionnels, en ouvrant la voie de nouvelles possibilits dans le domaine du traitement des donnes gophysiques. Dans le cadre de ce travail, nous nous sommes intresss plus particulirement introduire les filtres adaptatifs et non-linaires base des statistiques dordre afin de mieux apprhender lesproblmesrencontrslorsdelamanipulationdesdonnes,particulirementdenseset redondantes, et qui sont issues dun sous sol souvent complexe. Loriginalit de ce travail rsideprincipalementdanslanalogiedresseentrelesreprsentationsdesdonnesen 3Introduction gnrale gophysiques (sections sismiques et pseudosections de rsisitivits apparentes en lectrique) et limagerie. Analogie rendue possible grce la numrisation des images. Ainsi, une image numrise est une matrice en deux dimensions, dont chaque lment (x,y) est la mesure de lintensit lumineuse en chaque point. Le couple (x,y) prend des valeurs entires qui dsignent le numro de la ligne et de la colonne du pixel correspondant. En gophysique, lintensit du pixel est remplace par la caractristique physique propre chaque mthode (coefficient de rflexion,rsistivitapparente,etc.).Lechoixdesfiltresnon-linairesetadaptatifsest argumentparlebesoindamliorerlarsolutionetlerapportS/Baveclemoindrecot numrique, en plus dune simple et rapide implmentation dans les diffrents environnements detraitement.Lesquestionsessentiellespourlesquellesnousavonstentdapporterdes solutions sont les suivantes : Comment : -identifier le bruit, avec le minimum dintervention humaine? -adapter le filtre au bruit ? -garantir le bon fonctionnement du filtre ? Les rponses ces questions nous ont permis de sortir du cadre conventionnel du traitement des donnes gophysiques et de dboucher sur de nouveaux outils et algorithmes. Cest ainsi que nous avons introduit le filtre SD-ROM (Signal Dependent-Rank Order Mean) de Chandra et al. (1998) qui est bas sur les statistiques dordre (Order statistics), la dtection, et par la suite,lasuppressiondesbruitsimpulsifsprsentsdanslesdonnesdeprospection lectrique.Anotreconnaissance,sonapplicationestunepremireengophysique.Nous avonsaussiutilislefiltredediffusionanisotropiquedePeronaetMalik(1990)pour llimination des bruits alatoires prsents sur des donnes de sismique rflexion. Le dernier filtre(cdlefiltretrilatraldeChoudhuryetTumblin(2003))aaussitutilispour lattnuation des bruits de sismique rflexion. Le point commun de tous ces filtres est leur comportement non-linaire et leur caractre adaptatif. En plus, dans tous les filtres, le bruit est attnu sans modification notable de lamplitude du signal dintrt. Cette caractristique est primordiale lors des tudes en amplitude prserve. Organisation du document Ce manuscrit est compos de 5 chapitres et sorganise de la faon suivante : Le premier chapitre est consacr essentiellement la prsentation du problme de filtrage et les principales mthodes de filtrage appliques en gophysique. Bien que cette prsentation 4Introduction gnrale soit obligatoirement trop succincte en regard des travaux mens dans le domaine du filtrage en gophysique. Ce chapitre est en quelque sorte ltat de lart du domaine du filtrage. Nous consacrons le deuximechapitre ltude des fondements thoriques des diffrents filtres que nous avons appliqus, indispensables et ncessaires la comprhension de cette thse.Ensuite,nousnousintressonslaspectalgorithmiquedesfiltresanisotropique, trilatral et SD-ROM. Le troisimechapitre traite de lapplication du filtre par diffusion anisotropique au filtrage des donnes sismiques synthtiques, gnres par Matlab, et valides par une application sur des donnes sismiques relles.Laspect algorithmique du filtre a aussi t dvelopp. Les diffrents tests mens sur lapplication du filtre anisotropique auxdonnes sismiques bruites ont montr quil existe une limite dfinir entre lattnuation du bruit etlinterprtabilit, en terme gologique, des rsultats. Le quatrime chapitre est ddi la modlisation et lapplication relle du filtre trilatral. Lessimulationsonttralisessurdesdonnessismiquessynthtiquesgnresparle programme libre Seismic Unix (SU). Les rsultats ont t valids par une application sur une sectionsismiqueduSudalgrien.Pourdesraisonsdeconfidentialit,nousavonsjugde garder les informations portant sur la rgion dtude et le nom du profil caches. Lecinquimechapitreprsenteunetudesurunmodle2Dpourlasimulationdune prospection lectrique par courant continu en prsence de bruits impulsifs. Les pseudosections de rsistivit apparente calcules ainsi gnres ont t inverses pour tablir un modle du sous-sol. Le comportement du filtre SD-ROM vis--vis du bruit a t investi. Le filtre a aussi t appliqu des donnes relles issues de deux profils lectriques multi-lectrodes acquis danslargiondeStif.Lesrsultatsainsiobtenusontmontrlagrandeefficacitdela mthode propose. Uneconclusionsurlensembledecesmthodesainsiquelesperspectivesdavenirsont donnes la fin de ce document. 5Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique Chapitre 1 Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique Danscechapitrenouscommenonsparuneprsentationdesprincipalestechniqueset algorithmesdefiltrageexistantsdansledomainedelagophysique,particulirementen prospectionssismiqueetlectrique.Nousnouslimiteronsauxrfrencesbibliographiques destravauxlesplusmarquantsetlesplusimportantsdanscedomaine.Eneffet,regrouper touteslestechniquesdefiltrageengophysiquedansunseulchapitre,voiremmedansun livre,relvedelimpossible.Carchaqueprogrsenregistrdansledomainedufiltrage trouveuneapplicationaussiprompteengophysique.Dansladeuximepartiedece chapitre,nousavonsjugprofitabledintroduirequelquesnotionslmentairessurles images numriques et le traitement numrique du signal. 1.1. Introduction Le recours aux donnes de trs hautes qualits est devenu une priorit en industrie ptrolire. Les mthodes dinterprtation modernes telles que lanalyse de la variation de lamplitude en fonction de loffset (AVO), lanalyse des attributs sismiques, la caractrisation des rservoirs, laclassificationdesfacisainsiquelatomographielectriqueensontlesprincipaux bnficiairesdecesdonnes.Lamthode3Dainsiquelamthode4Dproduisentdes volumesdedonnesimportants,etsontdeplusenplusutilisesenindustrieptrolire. Malheureusement,forceestdeconstaterquelanaturenapasfacilitlatcheaux gophysiciens, et que toutes ces donnes sont souvent contamines par le bruit. Le terme bruit peut avoir plusieurs indications. En gophysique, nous considrons le bruit comme la partie du signal nuisible pour linterprtation. La notion de bruit est troitement lie lobjectif de ltude et aux traitements utiliss. 1.2. Les bruits en gophysique 1.2.1 Cas de la sismique Le bruit en sismique peut apparatre comme :i) alatoire, ii) cohrent et/ou impulsif. Le bruit alatoire,commesonnomlindique,reprsentelapartieimprvisibledusignaletnon corrlabledunetraceuneautre.Cetypedebruitestlepluscommundesbruits contaminantslesdonnessismiques.Lebruitalatoireestdprincipalementdes 6Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique vnementstelsquelevent,lesligneslectriques,lemouvementdesvhicules,lactivit humaine, les gophones mal implants (Yilmaz 1987). Les ondes directes, ondes rfractes ainsi que les ondes de surface sont des exemples des bruits cohrents (Spitzer et al. 2001). Ces ondessontgnresparlasource(sourcerelated),etapparaissentavecdes moveout correctionsdetemps linairessurlessectionssommes(Larneretal.1983),etsont caractrises par des niveaux dnergies assez levs compares aux rflexions superficielles. Legroundrollestleplusgnantdesbruitsdesurface.Ilestcaractrispardefortes amplitudes, compares aux rflexions primaires, des frquences basses ainsi que des pendages temporels assez marqus. Le problme des multiples, considres comme du bruit cohrent, esttrsconnuensismique.Eneffet,lnergiedesmultiplesquiinterfreaveccelledes primaires,donneunereprsentationdistorduedusoussoletconduit,souvent,une interprtation errone.Dune manire gnrale, lnergie des bruits cohrents est basse frquence, tandis que celle des bruits alatoires est plutt haute frquence. Le bruit impulsif quand lui, est caractris par des pics isols, ou par des traces isoles bruites et de fortes amplitudes. 1.3. Mthodes dattnuation des bruits en sismique Lun des objectifs les plus importants du traitement du signal est, en plus de lextraction du signal, lattnuation des bruits tout en prservant le signal sismique.Fondamentalement,deuxmthodesdattnuationdubruitexistenti)lefiltrageetii)la modlisation et linversion. Cette dernire mthode tend prdire puis soustraire le bruit des donnes brutes (Tarantola 1987 ; Wegleim 1999 ; Guitton 2002 ; Voss et Hearn 2003).Lamultiplicationdessourcesdebruitaconduitunemultiplicationdestechniques dattnuationdecesmmesbruits.Laplussimpledecestechniquesest,sansdoute,la fonction mute qui consiste mettre zro une partie des donnes contamines par le bruit. Nanmoins, cette mthode conduit une perte significative du signal en plus du temps requis pour la raliser. 1.3.1 Mthodes conventionnellesLes mthodes de filtrages des bruits sont nombreuses en gophysique et la liste est loin dtre exhaustive.Lesmthodesmatricielles,basessurlaconstructiondunematricequisert dcomposer lespace dobservation en sous espaces, o lon trouve : 1- la dcomposition valeurs singulires (DVS, SVD en anglais) (Ursin et Zheng 1985; Wenkai 2002), 2- lanalyse composantes principales (PCA) (Hagen 1982), 3- la transformation de Karhunen-Love (K-7Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique L) (J ones et Levy 1987, Al-Yahia 1991). Les mthodes gabarit oprants par changement de domaine tels les domaines temps-ralentissement (-p), frquence- nombre donde (f-k), radial (R-T) (Claerbout 1975, 1983, 1985; Henley 2003) ou f-x (Canales 1984, Gulunay 1986), et o ungabaritestappliquafindlimineroudattnuerlespartiesbruites.Cesmthodes sappliquentsouventdescatgoriesdarrivesparticulires,parexemplelesarrives premires. Dautresmthodes telles la sommation (Mayne 1962, Naess et Bruland 1985), limage propre (eigenimage en anglais) (Ulrych et al. 1999, Trickett 2003) ou la transforme en ondelette (Deighan et Watts 1997) sont aussi utilises.Dune manire gnrale, les mthodes dattnuation des bruits cohrents sont mieux investies que celles destines lattnuation des bruits alatoires. Pour la plupart de ces mthodes, se sont les proprits physiques qui diffrencient le bruit du signal, principalement la vitesse apparente ou le nombre dondes, qui sont utilises lors du filtrage. En industrie ptrolire, les filtres linaires, en particulier les filtres de wiener (Meyerhoff 1966; Galbraith et Wiggins 1968; Cassano et Rocca 1973, 1974), f-k (March et Bailey 1983) et p (Tatham et al 1982, Tatham 1984) sont les plus utilises. 1.3.1.1. LimitationsNanmoins, comme toute technique, ces mthodes possdent aussi des inconvnients. Ainsi, les performances du filtre f-k sont assez mdiocres lorsque les donnes ont t acquises avec unpasdchantillonnagespatialnonuniforme,oubienlorsquelebruitcohrentest spatialement alias (Linville et Meek 1995), etpeut parfois chouer de sparer le bruit du signallorsquilsontlemmependage(KarslietBayrak2003 ;Hainesetal.2007). Lattnuationdesbruitsdansledomainef-k,estparticulirementdconseillelorsdes analyses en amplitudes prserves, car elle tend dtriorer lamplitude du signal (Fatti el al. 1994). Tandis que la mthode de filtrage f-x souffre lorsque le rapport signal-sur-bruit (RSB) est faible, notamment aux hautes frquences, (Harris et White 1997). Les autres mthodes, telles que le filtre p ou la transformation K-L, peuvent causer de srieuses distorsions aux donnes. 1.3.2. Mthodes bases sur lintelligence artificielle Plus rcemment, de nouvelles techniques, relativement complexes, lexemple des rseaux de neuronesartificielles(RNA)(Essenreiter1999;Djarfouretal.2008)etdelogiquefloue (Hashemietal.2008),onttemployespourlefiltragedesdonnessismiques.Pourla 8Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique plupart de ces mthodes, lintervention humaine est ncessaire, en particulier lors de la mise enplace des rgles, de la dfinition des ensembles ou lors de la dfinition des seuils. Lautre handicapestleursparamtrisationsdifficiles,enplusdeleursimplmentationsassez compliques. Nous nous focaliserons sur le cas des RNA : 1.3.2.1. Limitations des RNA -Larchitectureoptimale.Onmentionneraquilnexistepasencoredethorie permettant de dterminer la structure optimale dun rseau pour la ralisation dune tche donne. En particulier, la dtermination du nombre de couches caches et du nombredeneuronessurchacunedentreelle,quirelveencorelargementde lintuition de lutilisateur, et de sa capacit exprimenter plusieurs architectures afin de retenir celle qui donne les rsultats les meilleurs.-Le pouvoir explicatif des rseaux. Un rseau de neurones reste encore aujourdhui en partieune bote noire . Il est encore difficile dextraire les relations pertinentes entre les variables. De ce point de vue, le systme na donc quun pouvoir explicatif mdiocre. - Linterventionhumaine.Commecelaatsignalpourcequiestduchoixde larchitecture,cessystmesfonttoujourstroplargementappellintuitionde lutilisateur.En particulier, lapprentissage est guid par des paramtres quil convient derglermanuellement.Untauxdapprentissage(paramtrerglantlavitessede convergence de lalgorithme) trop important peut aboutir une oscillation du systme alors quun taux trop faible se traduira par une convergence trs lente, ce qui peut se rvler prohibitif en temps de calcul. Par ailleurs, il revient encore lutilisateur de choisir le point darrt de lapprentissage de faon ce que le rseau conserve ses capacits de gnralisation. Les filtres dits adaptatifs constituent une classe part des filtres usuels, et se distinguent par leurs facults modifier leurs paramtres au fur et mesure du droulement de lopration defiltrage,sansaucuneinterventiondelutilisateur.Alinversedesmthodesdefiltrage prcdemment cites, les filtres adaptatifs sont faciles implmenter et moins gourmands en calculsetpeuventdoncsintgrerfacilementdanslesdiffrentsenvironnementsde traitements.Durant la dernire dcennie, ces filtres ont t appliqus avec succs au domaine dutraitementdelimageetdelaparole.Engophysique,cesfiltresontaussifaitleurs 9Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique preuves, lexemple le plus marquant de ces filtres est celui de la dconvolution (Robinson 1984).Cesapplications,inspiresdudomainedutraitementdelimage,ontouvertde nouveauxhorizonsautraitementdesdonnesgophysiques(Bednar1983 ;Hale2001 ; Ristau et Moon 2001 ; Fehmers et Hocker 2003 ; Ferahtia et al. 2009). 1.4. Cas de la mthode lectrique courant continu 1.4.1. Historique de limagerie lectrique Limagerieparrsistivitslectriques(ERI)atlorigineproposeparHendersonet Webster (1978) comme outil dimagerie mdicale, et introduite par la suite en gophysique par Lytle et Dines (1978). Ces dernires annes, plusieurs auteurs ont tabli les bases de la mthode ERI (Edwards 1977 ; Pelton et al. 1978 ; Dey et Morrison 1979). Nanmoins, elle reste relativement nouvelle en gophysique (Griffiths et Barker 1993). La mthode ERI trouve plusieurs domaines dapplication, notamment dans le domaine de lenvironnement et de la pollution (Daily etal. 1998),lengineering (Chambers etal. 2006; Grellier etal. 2008), la contamination du sous-sol dans les carrires ou les dcharges (Bernstone et al. 2000; Gurin etal. 2004; Chambers etal. 2005) ainsi que la caractrisation de la surface proche (Dahlin 1996).La technique ERI mesure la rsistivit du sous-sol en injectant un courant continu (CC) et en mesurant les diffrences de potentiels rsultants. Ces dernires seront utilises pour calculer les rsistivits apparentes du sous-sol (mesures), puis seront reprsentes sous forme de cartes de rsistivits vraies du sous-sol. Les rsistivits apparentes sont mesurespar des dispositifs golectriques. 1.4.2. Dispositifs utiliss Enprospectionlectrique,plusieursdispositifssontutiliss,lespluscommunssont les dispositifs Wenner, Schlumberger, pole-pole, pole-diple, diple- diple, et plus rcemment dautres dispositifs plus sophistiqus ont vu le jour tels ceux proposs par Wilkinson etal. (2006a, 2006b). Chaque dispositif possde ses avantages et ses inconvnients (Dahlin et Zhou 2004) vis--vis de laprofondeur dinvestigation, de la sensibilit aux changements verticaux et horizontaux des rsistivits, ainsi quau niveau du bruit et de lintensit du signal. 10Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique 1.4.3. Reprsentation des donnesLes mesures des rsistivits apparentes sont reprsentes sous forme de pseudosection. La relation entre la rsistivit apparente et la rsistivit vraie est une relation complexe que lon obtient par la rsolution du problme inverse. Linversion des rsistivits apparentes permet de produire des modles du sous-sol en deux et en trois dimensions. Lobjectif de linversion est de trouver un modle de distribution des rsistivitsvraiescapabledegnrerunerponsesimilaireauxvaleursdesrsistivits mesures.Linversiondesdonneslectriquessestgrandementamlioreparlutilisation dalgorithmesrobustes(Sasaki1989,1992 ;deGrootetConstable1990 ;LokeetBarker 1996 ; Loke et al. 2003) et par le dveloppement de loutil informatique. Nanmoins, comme toutesmesuresphysiques,laprsencedesbruitsestinvitable.Ltapedefiltrage,ou suppression du bruit, est indispensable avant toute manipulation des donnes (LaBrecque et al. 1996; Ritz et al. 1999; Zhou et Dahlin 2003). 1.4.4. Les bruits en prospection lectrique Dans le domaine de la prospection lectrique, les sources du bruit sont nombreuses : (i) bruits cohrents dus aux structures gologiques tels que les inhomognits de surface (IS) (ou Near Surface Inhomogeneities NSI, en anglais) (Ritz et al. 1999), les effets 3D des structures et les effetsdlectrodes,(ii)bruitsalatoiresetimpulsifstelsquelescourantstelluriques, polarisation des lectrodes (Cornacchiulo et Bagtzoglou 2004), ainsi que les bruits rsultants de mesures avec un mauvais RSB. Rappelons que les NSI sont dfinies comme des corps gologiques,souventdepetitestailleslocalissprsdelasurface,etcaractrisspardes rsistivits anormalement leves, ou anormalement faibles, comparativement aux rsistivits de larrire plan.Bobachev et al. (1996) et Ritz et al. (1999) ont dmontr que les NSI distordent les courbes des sondages lectriques ainsi que les pseudosections, dbouchant ainsi sur des interprtations gologiques errones. Linversion lectrique est grandement affecte par la prsence des NSI, en particulier lors de linvestigation de structures profondes. 1.4.5. Techniques de filtrages en prospection lectriqueLlimination du bruit avant toute inversion est donc ncessaire. Il existe plusieurs mthodes de filtrage du bruit, la plus simple est, sans doute, la mthode manuelle. Malheureusement, celle-cirequiertnormmentdetemps,enparticulierlorsquelevolumedesdonnesest 11Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique important (cas le plus frquent). Lautre mthode, consiste utiliser des filtres linaires de type passe-bas. Linconvnient de ce dernier filtre est quil tend crer des zones de non- valeurs , et quil estsensible aux valeurs anormales. Lalternative ces mthodes peut tre trouve dans le domaine du traitement de limage. Le filtre mdian (MED) (Tukey 1974) est leplusrpandudesfiltresnon-linairesutilissentraitementdelimageetdelaparole (Gonzalez et Woods 2002), particulirement lorsque le bruit est de type impulsif. Le principe dufiltreMEDestassezsimple,maissonactionfaceaubruitesttrsefficace.Ainsi, lintrieur dune fentre glissante de longueur l, les donnes sont tries et lchantillon central dordre p est remplac par la valeur mdiane. Nanmoins, lorsque le signal estaffect par une successiondimpulsions,alorsilserancessairedutiliserunefentrepluslarge,cequi produitunsignaldeplusbassefrquence.Entraitementdelimage,cephnomneest responsable de la dgradation des dtails et de lapparition du flou dans limage (Chandra et al. 1998; Manglem et al. 2002). Gersztenkorn et Scales 1988 avaient combin le filtre mdian et le filtre moyenneur pour lattnuation du bruit afin damliorer le processus dinversion. Le filtre mdian, en prospection lectrique, est souvent utilis lors du filtrage des anomalies dans les pseudosections de rsistivits apparentes lies aux htrognits de surface. Il a t dcrit par Ritz et al. (1999) et implment par Bobachev et Robain dans le logiciel X2IPI. 12Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique 1.5. Notions sur les imagesLe matriel de cette partie, utilisantle traitement numrique des images est tir, entre autres, desexcellentsouvrages DigitalImageProcessing deGonzalesetWoods(2002)et Introduction to digital image processing dAlasdair McAndrew (2004). 1.5.1. Dfinition dune image numrique Uneimagepeuttreconsidrecommeunefonctionbidimensionnellecontinuef(x,y), damplitude fet de coordonnes cartsiennes x et y. fest appele aussi intensit ou niveau de gris de limage en ce point.Une image numrique est une reprsentation matricielle en deux dimensions de la fonction f (x,y),devaleursnumriques(x,y)auxcoordonnesx,y(Figure1.1),avecxetyqui reprsentent les numros de ligne et de colonne, respectivement . Une image numrique est compose dun nombre fini dlments, o chacun possde une position et une valeur bien dfinie. Chaque lment est appel pixel, caractris par une luminosit ou une intensit. Les pixels aux alentours dun pixel central sappellent voisinages (neighbourhoods en anglais). Un voisinage est caractris par sa forme matricielle, on dit alors, voisinage 3x3, 5x5 etc.Unpixelcentral q,possdeainsiquatrevoisins,horizontauxetverticaux,decoordonnes (x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1),etquatrevoisinsdiagonauxdecoordonnes(x+1,y+1), (x+1,y-1), (x-1,y+1), (x-1,y-1) (Figure 1.1). Dune manire gnrale, un voisinage possde un nombreimpairdelignesMetdecolonnesN,decettemanirelepixelcentralsetrouve toujours au centre de la matrice.f(x,y) M - 1 xy . . .N - 101 23... Un pixel0 1 2 3 . . . . . . Figure 1.1. Reprsentation dune image numrique en deux dimensions. 13Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique La reprsentation matricielle de limage numrise de la Figure 1.1. est donne par : (1.1) =) 1 , 1 ( ... ) 1 , 1 ( ) 0 , 1 (. .. .. .) 1 , 1 (... ) 1 , 1 ( ) 0 , 1 () 1 , 0 (... ) 1 , 0 ( ) 0 , 0 () , (N M M MNNy x f Danslecasoxety,reprsententlesdistancesentresdeuxpointsconscutifsdela matrice (1.1), nous pouvant crire : (m,n)=(mx,ny),avecm=0,1,.,M-1et n=0,1,,N-1 (1.2)

1.5.2. Quest ce quun traitement de limage ? Lemottraitementdelimageimpliqueunchangementdelanaturedelimage,afin damliorer au mieux possible son aspect pour la vision humaine, ou bien pour ladapter un traitement automatis. 1.5.3 Thmes du traitement de limage En traitement de limage il existe une multitude dalgorithmes et de mthodes qui manipulent les images numriques, chaque mthode est ddie une tche donne. Parmi les tches les plus importantes citons : lamlioration, le traitement et la segmentation de limage. 1.5.4 Oprations de base en traitement de limage Les oprations en traitement de limage ont pour but de changer la valeur dun pixel. Selon linformationdebase,ncessairepourappliquerlatransformation,ondistinguetrois oprations de base : -Transformation : une transformation prsente les valeurs des pixels sous une forme diffrente, mais quivalente, au pixel dorigine. -Traitementdevoisinage :afindechangerleniveaudegrisdunpixel,ilsuffitde connatre le niveau de gris dun nombre fini de pixel de son voisinage.14Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique -Traitement ponctuel : le changement dans la valeur du pixel se fait indpendamment de son voisinage.Nous allons nous intresser au traitement de voisinage, car dans nos applications, nous avons fait recours ce type de traitement. 1.5.4.1 Traitement de voisinage Lide de base est de faire glisser un masque (kernel, fentre ou filtre)sur limage traiter. Le rsultat est une nouvelle image, dont les valeurs de chaque pixel sont calcules partir des valeurs lintrieur du masque. Chaque valeur dans un masque est appele coefficient.Le masque est dplac de proche en proche jusqu atteindre la fin de limage (Figure 1.2). Figure 1.2. Masque de filtrage appliqu un pixel centr en

Imagef(x,y) Originey (x,y) x,y. Si la relation reliant le pixel de sortie aux pixels dentre est linaire, alors on parle de filtrage linaire.Cetteoprationestaussiassimileaufiltragespatial.Danscecas,onditaussi convolution spatial, dfinie par :

== = =1010) , ( ) , (1) , )( * ( ) , (MkNll k f l n k m hMNy x f h n m g (1.3) Avec : g(.) limage de sortie, h(.) le masque de convolution, f (.) portion de limage dentre (demmedimensionquelemasqueMxN).Cetteoprationdefiltragepeutaussitre applique dans le domaine frquentiel, o la convolution est remplace par un produit : 15Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique G(u,v)=H(u,v).F(u,v)(1.4) Danslecasoilnestpaspossibledemettreloprationdefiltragesousformede convolution, on parle alors de filtrage non-linaire. 1.5.5. Types de bruits en imagerie Les principaux types de bruits rencontrs en imagerie sont: -Bruit impulsif : connu aussi sous le nom de poivre et sel (saltandpepper) : ce bruit apparat comme une distribution alatoire de pixels blancs ou noirs sur limage. Ce bruit est obtenu en ajoutant aux pixels originaux des valeurs aberrantes. -BruitGaussien :cebruitestunereprsentationidaledunbruitblanc.Lebruit gaussien est un bruit blanc normalement distribu. Modlisable en ajoutant des valeurs alatoires. -Bruitmouchet (specklenoise)oubruitmultiplicatif :cebruitestmodlisableen multipliant une valeur alatoire par la valeur actuelle du pixel.-Bruit priodique : ce cas ce produit lorsque limage est sujette un bruit priodique. 1.5.6. Filtrage de bruits en imagerie.Le filtrage de bruit en imagerie peut se pratiquer dans deux domaines diffrents : spatial ou frquentiel.Ilpeutaussitrelinaireounon-linaire.Lesfiltreslinaireslesplusconnus sont :-Les filtres linaires du domaine spatial : - Lefiltremoyenneur :olavaleurdupixeldesortieestunemoyennedes valeurs de son voisinage (quivalent au filtre passe-bas).-Le filtre gaussien-.. -Les filtres oprants dans le domaine frquentiel : -Passe-bas, -Passe-haut. -Orientation slective -.. -Filtres linaires de restauration dimages16Chapitre 1. Etat de lart dans le domaine du filtrage en gophysique -Inverse, pseudo-inverse. -Wenner -.. Linconvnient majeur de ces filtres est quils ont tendance flouer limage dorigine et amliorer certaines frquences tandis que dautres sont attnues. En plus, ils sont incapables de diffrencier, pour une seule composante frquentielle, entre la partie dsirable et la partie indsirable du signal. Pour y remdier ces problmes, les filtres non-linaires ont t introduits. Le filtre mdian, et ses variantes (Weighted median filter WM, Centered weighted median filter CWM, Space variantmedianSVM),estsansdouteleplusconnudesfiltresnon-linaires.Cefiltre appartientunefamilledefiltresplusgrandeappelefiltresbasedestatistiquedordre (OSF). On retrouve dans la littrature du traitement de limage un grand nombre de filtre non-linaires, nous citerons ici quelques exemples:Erosion(Min),Dilatation(Max),Ouverture,Fermeture,Laplacien,Prewitt,Sobel,filtres bass sur la dcision : SD-ROM, Tri-state median filter (TSM), pixel-wise Pad (PWMAD), Homomorphique, .17Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM Chapitre 2 Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, Trilatral et SD-ROM Nousabordonsaveccechapitrelaspectthoriqueetalgorithmiquedesfiltresdediffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM. Bien que cette tude soit concise, elle donne nanmoins les concepts de base de chaque mthode. Cesfiltresappartiennentlafamilledesfiltresadaptatifsnon-linaires.Leurutilisationen traitement numrique de limage est devenue courante. Nanmoins, notre connaissance, ces filtresnontjamaistutilissentraitementdesdonnesgophysiques(casdesfiltres trilatral et SD-ROM). 2.1. Filtre de diffusion anisotropique2.1.1 Bases thoriquesPremiervoletdestroisfiltresquiserontexplors,lefiltredediffusionanisotropiquenon-linaireatintroduitparPeronaetMalik(1990)commeoutildefiltragedesimages bruites, avec la particularit de prserver les dtails et les contours.Ladiffusionestunphnomnephysiquedcrivantlacompensationdesdiffrencesde concentrationentredeuxsolutions,sanspertenicrationdematire.Lanalogieavecle traitementdelimagepeuttretablieenremplaantlaconcentrationdunesolutionpar lintensit dun pixel dune image donne. 2.1.2 Filtrage par convolution Soit0(x,y)uneimagebruiteauxcoordonnescartsiennesx,y.Considronslafonction gaussienne)2exp(21) , (2 2 y xy x G+ = (2.1) est la variance de la gaussienne.Le problme de filtrage du bruit peut se rsumer une convolution spatiale de limage avec la fonction gaussienne : 18Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM (x,y,t)=(0*G)(x,y)(2.2) Avec(x,y,t) quireprsentelimagerestaureautempst(t[0,t]),0(x,y,t)reprsente limage bruite et (*) loprateur de convolution.Quand t varie continuellement, on obtient une famille dimages (.,t), qui ne sont autres que la solution de lquation aux drives partielles (quation de la chaleur ) : = + = ) , ( ) 0 , , () , , ( ) , , ( ) , , (2222y x y xyt y xxt y xtt y x(2.3) Lopration de lissage gaussien (quation 2.2) est similaire un phnomne de conduction de la chaleur avec diffusivit constante.Comme cit plus haut, lquation de diffusion est une quation aux drives partielles (EDP), et elle peut se rcrire sous la forme : ( )( ) ( ) ( ) ) , , ( ) , , ( , , , ,, ,t y x t y x w w t y x t y x w divtt y x + = = (2.4) O (x,y,t) estlintensitlumineuse(amplitudeoursistivitengophysique)dupixelde limage dentre (vnement sismique) aux coordonnes x et y et au temps de diffusion t ; et w(x,y,t) reprsentent les coefficients de diffusion (fonction de diffusivit), lesquels contrlent letauxdelissage.reprsentelegradientdelimage,divladivergencetandisqueest loprateurLaplacien( ).Lquation(2.4)estsimilairela deuxime loi de Ficks.) (2 = = grad div 2.1.3 Analyse de lEDP On remarque que si les coefficients w sont constants, alors lquation (2.4) est dite diffusion linaire et est quivalente lquation de la chaleur (quation 2.3) : ( )( t y x wtt y x, ,, ,2 =) (2.5) 19Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM -lorsque la fonction w(x,y,t) est remplace par une fonction de contrle de diffusion aux niveaux des bords ou edge-stopping function, la diffusion est dite non-linaire. -danslecaso etlefluxdediffusionj(xw j = )sontparallles,onparlede diffusion isotrope.-Le cas danisotropie rfre une diffusion isotrope non-linaire, non homogne. Lefiltrageisotropelinaireutiliselquation(2.5)commemodle,etsasolutionest quivalentelaconvolutionavecunoprateur(masque)gaussien.Cetypedefiltrageest utilispourlattnuationdesbruitsalatoiresdansleszoneshomognes(faiblesgradients) des images 2D. Nanmoins, les images rsultantes sont souvent floues. La diffusion linaire ne possde aucune direction privilgie, attnuant ainsi bruits et contours sans distinction. 2.1.3.1. Cas non linaire Ladiffusionnonlinaireaidesurmonterleshandicapsdeladiffusionlinaireisotropeen contrlant la diffusion au niveau de chaque point, cest ainsi que la diffusion peut tre rduite le long des contours, il sagit dun lissage conditionnel. Lide de base du filtre de diffusion anisotropiquenon-linaireestjustementdeprserverlescontours.Cetteprservationsefait grce une orientation maitrise paralllement aux contours.Cest ainsi que la diffusion est maximale dans les zones homognes (faibles gradients), et minimale prs des contours (forts gradients).Pourleursfiltresdediffusionanisotropiquenon-linaire,PeronaetMalik(1990) ont propos une fonction de diffusivit w monotonement dcroissante, en fonction du gradient demagnitude(),pourlecontrledeladiffusion.Lastabilitimposequecettefonction (w) soit une fonction dcroissante. Habituellement, les fonctions suivantes sont utilises : ( )21, , =e t y x w(2.6a)

2 211) , , ( +=t y x w(2.6b) 20Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM estappeleconstantedediffusion.Laconstantedediffusionpermetunediffusion rtrograde lorsquelle est trop faible, compare au gradient . Cette constante fait office de seuil permettant de distinguer les zones de faibles gradients de celles forts gradients. 2.1.4. Approximation discrte par diffrence finieLadiscrtisationdesEDPestobtenueparremplacementdetouteslesdrivespardes formulesdediffrences.LesrfrencesrelativeslasolutionnumriquedesEDPsont nombreuses,nousnouslimiteronsauxsuivantes :Ames(1992),MortonetMayers(1994), Cooper(1998).PeronaetMalik(1990)ontproposlaformediscrtesuivantedelquation (2.4) : + + = qn ltl qtl qtqt tqw t, , (2.7) Onq reprsentelensembledespixelsauvoisinagedupixelcentralqdanslesquatre directions(Nord,Sud,EstetOuest),testlepasespace-temps(oubienlincrmentt),q,l= tnq-tq et |nq| sont les pixels au voisinage du pixel central la position q. Avec : et = = = = tqtOtO qtqtEtE qtqtStS qtqtNtN q,,,, = = = =) () () () (,,,,tO itO qtE itE qtS itS qtN itN qg wg wg wg w (2.8) gireprsente la fonction de diffusion (quations 2.6a ou 2.6b). Le calcul du gradient et des poids correspondants est schmatis par la Figure (2.1). 21Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM tqtNtEtOtStE qw, tS qw, tE qw, tO qw, Figure 2.1. Schma de discrtisation utilis pour le calcul des gradients () et des coefficients de diffusion (w). Commecitplushaut,lesdrivesspatialessontapproximespardesdiffrencesentreles chantillons du voisinage et lchantillon central, selon la formule suivante :

x xq nq (2.9) O lindice nq rfreauxvoisinagesdelchantilloncentralq,etxaupas dchantillonnage spatial.Tandis que les drives temporelles (t) sont remplaces par leurs approximations directes des diffrences.Lesindices(N,S,EetO)indiquentrespectivementleNord,leSud,lEstet lOuest par rapport lchantillon central la position q et au temps t. 2.15. Remarques sur la stabilit Commenouslavonsvuprcdemment,lquationauxdrivespartiellespeuttre approximeparunereprsentationdiscrtelaidedelamthodedesdiffrencesfinies.Le mot discrte veut dire que la solution nest connue que pour un certain nombre de points. Dune manire gnrale, augmenter le nombre de point signifie lamlioration de la rsolution et lexactitude de la solution numrique. Lincrment (t) dans lquation (2.5) doit tre dans lintervalle [0, P], P est un nombre rel positif. Il est clair que plus cet incrment est proche de zro, plus lapproximation numrique est proche du cas continu. Nanmoins, pour la stabilit 22Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM de lintgration numrique, lincrment (t) est gnralement pris infrieur . Pour plus de dtail sur ltude de stabilit se rfrer Gerig et al. (1992) et Deriche et Faugeras (1996). 2.1.6. Description de lalgorithme de filtrage par diffusion anisotropique Unefentre,dhabitudecarre,centrelchantillonpositionnenqestchoisiesur limageoriginale.Onprocdeparitration,etchaqueitrationlesgradients()sont calculspourlesquatredirections(N,S,EetO)ainsiquelescoefficientsdediffusion(wi) correspondants.Limagerestaureestunesommedesmisesjourdelimageoriginale.En effet, la partie droite de lquation (2.5) reprsente le changement dintensit de limage pour une seule itration du filtre. La fentre est dplace la position suivante la fin du nombre ditrations prtabli (les critres concernant le choix du nombre ditration seront donns au chapitresuivant).Ceprocd,prservelesbordspouruncertainnombreditrations,mais tend vers la moyenne de limage lorsque le nombre ditrations dpasse un certain seuil. Dans ce cas prcis, il nexiste pas de critre universel darrt. Il faudra donc dcider du moment de larrt du procd ditrations. 23Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.1.7. Algorithme du filtre anisotropique Etape 1. Lecture des donnes

-Lire les donnes partir du fichier des donnes sismiques sous format SEGY - Convertir les donnes en format Matlab.-Identifier le nombre de lignes m et le nombre de colonnes n de la matrice des donnes. Etape 2. Initialisation

oIntroduire le nombre ditrations, introduire la constante de diffusion(), le facteur de stabilit (pas espace-temps), proposer la fonction de diffusion (w1 ou w2). oRembourrerlesbordsdelamatrice(tapencessaireafindviterdeperdre linformation aux bords).

Etape 3. Filtrage Position initiale de la fentre Pour chaque ligne Pour chaque colonne Pour chaque itration 1- Calculer la magnitude du gradient () pour chaque direction (N, S, E, O) 2-Calculerlescoefficientsdediffusionw(x,y,t)associslafonctionde diffusion (w1 ou w2) en utilisant lquation 2.8 pour chaque itration. 3-Mettrejourlavaleurdupixelsetrouvantlapositionactuel,selon lquation 2.7. Dplacement de la fentre Prochaine itration Prochaine colonneProchaine ligne Etape 4. Rorganisation des donnes pour la sortie Les donnes sont transformes du format Matlab au format SEGY. Algorithme 1: Le filtre de diffusion anisotropique 24Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.2. FILTRE TRILATERAL 2.2.1. Introduction Lapplicationdufiltretrilatralsurlesdonnessismiquesestrenduepossiblegrce lanalogie dresse avec les images. La section sismique a t considre comme une fonction dedeuxvariablesxett,avec xquireprsenteladistancemetteur-rcepteuret tletemps vertical double. La magnitude de cette fonction peut tre remplace par lintensit dun pixel duneimage2D.Partantdeceraisonnement,nousavonstentdappliquerlesalgorithmes, dj existants en traitement dimages, au domaine de la sismique. Lemoyenleplussimpleentraitementdelimagepourattnuerlebruitestdutiliserles filtresspatiaux.Unfiltrespatialagitparconvolutiondunmasque(appeleaussikernelou fentre, gnralement carre) auvoisinage du pixel central. Cest ainsi que la nouvelle valeur du pixel filtr est calcule partir du voisinage de ce pixel. Chaque lment du masque est un coefficient du filtre (poids). Les filtres spatiaux sont regroups dans trois familles : linaires, non linaires et adaptatives. Le filtre trilatral est un filtre adaptatif non-linaire. 2.2.2. Arrire plan thoriqueLefiltretrilatraldeChoudhuryetTumblin(2003)estuneextensiondufiltrebilatralde TomasietManduchi(1998).Cefiltreestparticulirementrobusteenprsencedebruits alatoires en plus de son aptitude prserver les contours. Dans ce qui suit, nous prsenterons lefiltretrilatraltabliparGarnettetal.(2005)qui,lui-mme,sebasesurlefiltrebilatral mais diffre du filtre trilatral de Choudhury et Tumblin (2003). 2.2.3. Principe du filtre bilatral Lefiltrebilatralestunfiltrenon-linaire,dontlecomportementestanalogueceluidun filtrepasse-basdeuxdimensions.Lidedebasedecefiltreestquechaquechantillon central dans une fentre glissante est remplac par une moyenne pondre de son voisinage danslespaceetlamagnitude.Lespoidslesplusimportantssontattribusauxchantillons spatialement proches ,notfiltragedudomaine(oudomainfiltering)etdegrandeurs analogues lchantillon central , not filtrage de porte (ou range filtering). Signalons que tous les poids doivent tre normaliss afin de garder la moyenne locale. 25Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.2.4. Formulation mathmatique du filtre bilatral Considrons un chantillon central x,t dans une fentre de taille 2n+1 x 2n+1, et Sx+p, t+q( -n p,q+n)lensembledeschantillonsauvoisinagede,oxreprsenteloffset,tletemps tandisquelesindicespetqreprsententlapositionspatialedechaquechantillondu voisinage, et S se rfrent aux amplitudes des chantillons.Chaquechantillon(Sx+p,t+q)estmultipliparunpoids pq(,S),luimmersultatdela multiplication dun poids de proximit c(,S)et dun poids de similitude s(,S) tel que: pq(,S)=c(,S).s(,S)(2.10) Le poids de proximit est donn par: 222) , () , (dS dce S= (2.11) avec : d(,S)=d(-S)=||-S||(2.12) O||.||estunedistancegomtriqueentrelchantilloncentral etleschantillonsdu voisinage S, et |.| reprsente la valeur absolue. Il est clair que plus la distance spatiale entre et S est importante plusle poids de proximit c(,S) est amoindri.Dans ce cas, onparle de proximit dans le domaine. Le paramtre d est dfini par Tomasi et Manduchi (1998) comme une constante de diffusion. Il est responsable du taux de filtrage passe-bas. Ce paramtre joue le rle dun seuil, il sert identifier les chantillons spatialement proches. Le poids de similarit est dfini par : 222) , (SSSe S = (2.13) 26Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM O ||-|S| est une mesure du gradient ou de la distance sparant les deux magnitudes. Avec .2.5. Etude des paramtres seuils ervant identifier les chantillons de magnitudes ecasparticulierosalorslecomportementdufiltrebilatralapproche e bilatral se rapproche de celui .2.6. Formulation du filtre bilatral reprsententdesfonctionsgaussiennes,inversement 2.11et2.13),ilestpossiblederemplacerlafonction e normalise suivante : laugmentation de la distance sparant les deux magnitudes (c.--d. les deux chantillons sont trs diffrents), le poids de similarit diminue. La similarit renvoie la proximit en termes de magnitude. 2Le paramtres joue aussi le rle de seuil, sproches (similaires). Les paramtres s et d contrlent ainsi le comportement des poids. Ces paramtresdfinissentlespointsauxquelleslesdrivesdesfonctionsgaussiennesde pondration prennent leurs valeurs maximales.Notons que : 1)Danslcelui dun filtre gaussien de dviation standards. 2)Dans le cas o s et d le comportement du filtrdun filtre moyenneur. 2Lesdeuxpoidsc(,S)ets(,S) proportionnelles la distance .Notonsquedanslesquations(gaussienne par nimporte quelle autre fonction dcroissante.Enfin, lchantillon central () restaur est donn par la form ( )( ) ( )( ) [ ]( )( ) [ ]+ + + +=n n q ppqn n q pq t p x pqSS SS, ,, ,,,. ,, (2.14) Ilsensuit,daprslaformule(2.14),quelchantillonenquestionestremplacparune moyennepondredchantillonsquiluisontspatialementprochesetsemblablesentermes damplitude. 27Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.2.7 Dfinition de la statistique dordreelavariablealatoireX.Letricroissantdeces valeurestlaimevaleurdans rdonne sont particulirement intressantes : diane dordre donnent naissance aux L-filtres, tandis .2.8. Dfinition de la statistique ROAD e appele Rank-Ordered Absolute Differences itudes(intensits) p,q(x,t)=| Sx+p,t+q- x,t|,(avec-n p, q +n)(2.15) Ensuite,lesvaleursdesdiffrences p,q(x,t)sonttriesdefaoncroissante,llmentrj ROADm()=rj(x,t)(j=1,..m)(2.16) vec2m(2n+1)2-2.2m7.Danslasuite,nousconsidronsquelecasom=4,donc et de mesurer le degr de proximit de lchantillon central () de Considronslesralisations{x1,x2,,xn}dralisations nous donne lensemble ordonn {x(1),x(2),.,x(n)}. Ondfinitalorslastatistiquedordre(i)lavaleurx(i).Cettelensemble des valeurs ordonnes.Les valeurs suivantes dans la srie o-x(1) reprsente le minimum-x(n) reprsente le maximum-x((n+1)/2) reprsente la valeur mLes combinaisons linaires de ces statistiquesquelescombinaisonsnon-linairesdonnentnaissanceauxNL-filtres.Lefiltremdianestle plus connu des L-filtres. Ce filtre sera utilis plus tard dans ce document. 2Garnett et al. (2005) ont introduit une statistiqu(ROAD) afin de dtecter les chantillons affects par des bruits impulsifs.Nouscommenceronspardfinirlesdiffrencesabsoluesp,q(x,t)enmagnentre les chantillons du voisinage Sx+p,t+q et lchantillon central x,t: reprsente le jime plus petit lment des diffrences (cest une statistique dordre j).La statistique ROAD est ainsi dfinie par : aPourn=1,nousauronsROADm()=ROAD4(). La statistique ROAD permces quatre chantillons du voisinage (S) les plus semblables. Les chantillons bruits devront avoirdesvaleursROADleves,tandisqueceuxnon-bruitesdevrontavoirdefaibles 28Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM valeurs.Endautrestermes,leschantillonsbruitesvontavoirdesvaleursquivarient grandementdeleurvoisinage,tandisqueceuxnon-bruitsdoiventavoir,auminimum,la moiti des valeurs du voisinage ayant des magnitudes similaires. Ainsi, la statistique ROAD est utilise comme un dtecteur de bruit. 2.2.9. Le filtre trilatral roduisonslefiltretrilatralbassurlastatistiqueROAD,selonles te aux poids du filtre bilatral existant, et Danscequisuit,nousintlignes directrices donnes par Garnett et al. (2005) : Une troisime fonction de pondration a t introduifaisant intervenir la statistique ROAD, appele poids impulsifI():

222) () (IROADIe= (2.17) oleparamtreIjouelerledeseuilau-de eront nalises.ncessitdintroduireunenouvellefonctionappele jointimpulsivity ,ou lduquellesvaleursROADlevesspEn prsence de bruit, le poids impulsif I() est incompatible avec le poids de similarit s(, S),dola impulsivit jointe, afin de limiter lutilisation du poids de similarit.La fonction dimpulsivit J de S vis--vis lchantillon central est donne par : +2) ( ) ( S ROAD ROAD = 2221 ) , (Je S J (2.18) Cettefonctionprenddesvaleursdanslintervalle[0,1]suivantlesvaleursde etSpar rapport j. Si aucun des chantillons (,S) nest bruit, et ainsi aucun na de valeur ROAD levevis--visdej,alorsJ(,S)0,sinonJ(,S)1.Limpulsivitjointesecomporte donc comme un commutateur. 29Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.2.10. Version modifie du filtre trilatral estmaintenantpossiblededfinirlefiltretrilatral,commeprsentparGarnettetal. trilatral de Choudhury et Tumblin (2003): 19)

rquonsquettropgran u provoquelannulationdeleffetdesdiffrencesdemagnitudes, Il(2005) qui est une version diffrente du filtre pq (,S)= c(,S).s(,S)1- J(,S) .I()J(,S)(2.Rema lorsquedans(2.19)J(,S)1alors1-J(,S)0.Leseuilsdanscecas devien dceq i tandisquelepoidsdimpulsivitresteinchang.LorsqueJ(,S)0,cestlinversequise produitetseullepoidsdesimilitudeestutilispourladistinctionentreleschantillons,le seuil du poids impulsif est alors trop grand. Daprs Garnett et al. (2005), la combinaison des quations (2.14) et (2.19) produit le filtre trilatral. En labsence de bruits impulsifs, le filtre trilatral se transforme en filtre bilatral. 30Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.2.11. Algorithme du filtre trilatral-Lire les donnes partir du fichier des donnes sismiques sous format SEGY -Convertir les donnes en format Matlab.elignesmetlenombredecolonnesndelamatricedes les valeurs : s ; r ; I ; J Pour chaque colonneEtape lecti lchantillon x,t des diffrencesp,q(x,t) selon la formule (2.15). ); s(,S) ; I() ; J(,S) ;pq (,S), selon les formules : le valeur selon la formule (2.14) ne colonneEtape es du format Matlab au format SEGY. Etape 1. Lecture des donnes -Identifierlenombreddonnes. Etape 2. InitialisationIntroduiredbut Pour chaque ligne 2. Partie Calculs-S onner la fentre centre-Calculer le vecteur-Trier le vecteurp,q(x,t). -Calculer la statistique ROAD, selon la formule (2.14). -Calculer les poids : c(,S(2.11, 2.13, 2.17, 2.18 et 2.19, respectivement). Etape 3. Mise jour -Remplacer lchantillon central x,t par la nouvelProchaiProchaine ligne4. Rorganisation des donnes pour la sortie Les donnes sont transformAlgorithme 2 : Le filtre trilatral 31Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.3. Filtre SD-ROM .3.1. Introduction t propos initialement parAbreu et al. (1996), Chandra et al. (1998), ,etMooreetMitra(2000)pourletraitementdesbruitsimpulsifs efiltreSD-ROMappartientlafamilledesfiltresnon-linairesbasssurladcision, edestatistiquedordre(OrderStatisticFiltersouOSF). efiltreSD-ROMprocdeendeuxtemps :enpremiertempsleschantillonssuspectssont is en second temps, lchantillon bruit est remplac 2Le filtre SD-ROM a Mooreetal.(1999)contaminantlesimagesen2dimensions.Nousavonstudi,analysetutiliscefiltrepour llimination des bruits impulsifs prsents sur des donnes de rsistivits lectriques.Le mot SD-ROM et une abrviation de Signal Dependent Rank-Ordered Mean. 2.3.2. Thorie du filtre SD-ROM LappelaussifiltreadaptatifsbasLexempleleplusconnudesOSFestlefiltremdianstandard,introduitparTukey(1974), comme outil de lissage des signaux discrets. Durant cette dernire dcennie, les recherches sur les OSF se sont multiplies, et leurs spectres dutilisation se sont largis. 2.3.3. Description de laction du filtre Ldtects par un dtecteur dimpulsion, puparuneestimationapproprienoteROM.LeblocdiagrammedelaFigure2.2illustrele comportement du filtre SD-ROM : Figure2.2.BlocdiagrammedufiltreSD-ROM.x(p)estlchantilloncentraldunefentrerarrangede dimension3x3,Si(p)sontlesvaleurstriesdelafentre3x3lexceptio delchantillonx(p),di(p) estle vecteur diffrence entre x(p) et Si(p), Ti sont les valeurs seuils, f(p) est la sortie du filtre et Rm(p) est la ROM. n 32Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM Les donnes de rsistivits lectriques apparentes sont ici notes sous forme matricielle i,j de tellefaonquelavaleurdechaquersistivitapparente,pourchaquepointdemesure,se trouve par ses coordonnes (x,y) correspondant aux coordonnes spatiales (dans la direction M)Rm. aleurs )ontremarququelatailledela ntre est un lment trs important dans le comportement du filtre. Ainsi, laugmentation de onymedersultatsmeilleurs,maiselletend rehorizontale et verticale).A chaque position, une fentre de dimension 3x3 est choisie puis les donnes lintrieur de cette fentre seront transformes en un vecteur 1 dimension. Lchantillonx(p)estlchantilloncentrallintrieurdelafentre.Deuxcasdefigures peuvent se prsenter. Dans le premier cas, lchantillon est identifi comme bruit et le filtre semetenposition1olchantillonx(p)estremplacparlaRankOrderMean(ROLidentificationestraliseparcomparaisonentrelevecteurdesdiffrencesdi(p)etles valeurs seuils Ti prdtermines par lutilisateur. Le vecteur des diffrences est le rsultat de la diffrence entre les valeurs dun vecteur Si(p), constitu dlments se trouvant lintrieur dunefentrededimension3x3centrelchantillonx(p)(exceptlchantillonx(p)lui-mme), et lchantillon central x(p). Dans le second cas, lchantillon est identifi comme non contamin par le bruit et passe inchang travers le filtre (commutateur en position 0). Lesvaleursseuilspeuventtredterminesstatistiquementoupardestestsempiriques (MooreetMitra,2000).Danslecasdunefentredetaille9,quatrevaleursseuilsseront ncessaires. Tandis que pour des fentres plus larges, laugmentation du nombre des vseuils est ncessaire.Comme indiqu par Chandra et al. (1998), les performances du filtre peuvent tre grandement amliores par une utilisation itrative. 2.3.4. Importance de la taille de la fentre DansleurstudesdufiltreSD-ROM,Chandraetal.(1998felatailledelafentrenestpastoujourssynamliorerlaperformance,enparticulierlorsquontrouveplusdedeuximpulsions. Nanmoins,laugmentationdelatailledelafentreconduitlaugmentationdunombrede valeurs seuils (Ti). Le tableau 2.1montre leffet de la taille de la fentre sur le rsultat final, olataillecinqproduitlesmeilleursrsultats.Nanmoins,latailledelafentrechangeen fonction des donnes. 33Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM Longueur de la fentreS/B(dB) 535.87 734.41 932.77 Tableau 2.1. Exem e de linfluence de la taille de la fenle rapportRSB (daprs Chandra et al., 1998).pl tre sur 34Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.3.5. Algorithme du filtre SD-ROM 1.Introduire les valeurs des rsistivits apparentes mesures i,j aillelxl(dansnotrecasunefentredetaille3x3) (i-1)*l+j o l=3 et i=j=l, tel que: (2.20)

4.Exclur eveci(p) de taille huit : ,x-3(p),x-2(p),x-1(p),x1(p),x2(p),x3(p),x4(p)]T (2.21) 5.Ralise ), s5(p),s6(p),s7(p),s8(p)]T (2.22) 6.Dfinirlesvaleursdiffrencesdordrep,di(p),entreleslmentsdeSi(p)et lchan sinon) ( ) (si )) (9p s p xR x(p)p dimi(2.23) .,4), avec Rmla Rank-Ordered mean (ROMROM=[s4(p)+s5(p)]/2 (2.24) lunedesvaleurs seuilsTi ,alorentre vers la position prochaine, jusqu atteindre la position finale.Algorithme 3 : Le filtre SD-ROM 2.SlectionnerunefentreTdetcentre lchantillon de rang p not x(p). 3.Rarranger les valeurs de rsistivit (xi(p)) lintrieur de la fentre T en un vecteur 1 dimension que nous noterons wi (p), avec p= wi(p)=[x-4(p),x-3(p),x-2(p),x-1(p),x(p),x1(p),x2(p),x3(p),x4(p)]T elchantilloncentralx(p)duvecteurwi(p).Dfinirainsil teurrsultant i(p)=[x-4(p)r un tri ascendant du vecteur i(p)i(p)tri=Si(p)=[s1(p),s2(p),s3(p),s4(ptel que s1(p)s2(p) . s8(p). Les si(p) sont les statistiques dordre p de xi tillon central x(p) : =( ) ( p x p si

Pour (i=1,.. ) dfinie par : 7.Testersilunedesvaleursdi(p)correspondantesestsuprieuresconsidrerlchantilloncommebruit,sinonlaisserlavaleurdex(p) inchange. 8.Remplacerlchantillonx(p)contaminparlaROMRm(expression(2.24)),et dplacer la f35Chapitre 2. Thorie des filtres : Diffusion anisotropique, trilatral et SD-ROM 2.3.6. Organigramme du filtre SD-ROM du filtre SD-ROM Organigramme 1 : Filtre SD-ROM Organigramme 1 : Filtre SD-ROM Lecture des donnes

Propositio es seuils T n diExtraction dune fentre T de taille (3 lxlx3), centre x(p) Fusionner la fentre dans un vecteur 1D partir de T appel wi(p) Exclure la valeur mdiane x(p) dew(p) i(p) Triier i(p)Si(p) Calculer la ROM (Rm) Calculer le vecteur desdiffrences di(p) Comparer di(p) avec Ti Remplacer x(p) par la ROM Rm Oui NonGarder x(p) inchang Dplacer la fentre la position suivante Position finale de la fentre Non FinOui 36Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique Chapitre 3 Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique Danslechapitreprcdent,laspectthoriqueetalgorithmiquedufiltredediffusion anisotropique a t prsent. En outre il a t soulign le rle fondamental jou par ce filtre danslliminationdubruittoutenconservantlesignaldintrt.Cefiltresebasesurle phnomnephysiquedediffusiondanslesfluides.Lebutdecechapitreestdeprsenter lapplicabilitdecefiltreaudomainedufiltragedesdonnessismiquessynthtiqueset relles. 3.1. Implmentation du filtre de diffusion anisotropique3.1.1. Donnes synthtiques Nousavonsappliqulefiltredediffusionanisotropiquesurdesdonnessismiques synthtiques et relles. Des programmes sous Matlabont t dvelopps afin de gnrer les donnessynthtiques,dtudierleseffetsdubruitalatoiresurlesdonnesainsiquele filtrage. Nos programmes permettent lutilisateur de spcifier le niveau de bruit, de choisir son mode de distribution (normalement distribu ou uniformment distribu). En plus, il est possible de modifier les paramtres du filtre et de visionner les rsultats en temps rel. 3.1.1.1. Description du modleLesdonnessynthtiquesonttgnrespartirdunmodlegologique2Dcompos essentiellement de 6 couches, dont deux couches avec variation latrale dpaisseur, simulant ainsi la prsence de biseaux (Figure 3.1). En plus, une discontinuit prs de la trace numros 88atgnreafindimiterlaprsencedefaille.Lasectionsismiquesynthtique correspondant la convolution avec une ondelette de Ricker de frquence centrale gale 25 Hz, est fournie en Figure 3.2. 37Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique Figure 3.1. Modle 2D utilis pour la gnration des sections sismiques synthtiques.Figure 3.2. Section sismique sans bruit, correspondant au modle de la figure 3.1. 3.1.1.2. Paramtrisation Aprs plusieurs tests, nous avons pu dterminer les paramtres optimaux du filtre, et qui ont t fixs durant toutes les autres simulations. Dans la suite les paramtres utiliss seront les suivants : -constante de diffusion =50 -intervalle de temps =0.10 ( cause de la stabilit) 38Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique -nombremaximumditrations= 3et8pourlecasde10et50%debruit, respectivement.-une fonction de diffusivit analogue celle prsente par lquation (2.6a). Envuedetesterlapplicabilitdufiltreanisotropique,etafinderapprocherlesdonnes synthtiques de la ralit gologique, nous avons ajout aux donnes synthtiques 10 et 50% debruitsalatoiresetlersultatestprsentenFigures3.3et3.4,respectivement. Remarquons, que la faille dj prsente dans le modle de la Figure 3.1, est partiellement voile par le bruit, en particulier en prsence de 50% de bruit alatoire (Figure 3.4). Figure 3.4. Section sismique synthtique avec 50% de bruit alatoire ajout Figure 3.3. Section sismique synthtique avec 10% de bruit alatoire ajout 39Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique 3.1.1.3. Rsultats des simulations et discussions a- Etude qualitative Comme prvu, la majorit du bruit alatoire ajout la section sismique synthtique a t attnu, avec une nette amlioration du rapport signal-sur-bruit (RSB) (Figures 3.5a et 3.5b). Soulignons,quelamplitudeetlacontinuitdesrflecteurssismiquesontt substantiellement prserves et amliores. La faille simule prs de la trace numro 88 a t parfaitementrepre sur les deux sections filtres. a) b) Figure 3.5. Rsultats du filtrage de diffusion anisotropique : a) 10% et b) 50%de bruit alatoire ajout. 40Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique b- Comparaison des sections diffrencesLes sections diffrences dcoulent de la soustraction, chantillon par chantillon, des sections bruites et de la section synthtique sans bruit, comme illustr par les Figures 3.6a et 3.6b, pour le cas de 10 et 50% de bruit alatoire, respectivement.Les sections diffrences sont trs utiles pour faire ressortir les diffrences entre deux images, le rsultat de cette diffrence dfinit le changement. Time (ms) Trace number a) Time (ms) Trace number b) Figure 3.6 Sections diffrences, a) 10% et b) 50 % de bruit alatoire. Il est observ que le bruit a t parfaitement localis et fortement attnu, sans changement notable du signal dintrt.41Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique Indiquons toutefois, quune faible attnuation du signal dintrt estobserve sur la Figure 3.6a. Ce qui sexplique, en partie, par le fait que nous avons gard les paramtres du filtre inchangsduranttouteslessimulationsafindviterdebiaiserlecomportementdenotre filtre. c- Investigation dans le domaine spectrale Lautremoyendanalysedesdonnesestledomainespectraltraverslanalysedes spectrogrammes.Ilconvientderappelerquunspectrogrammeestunetransformationde Fourierdunesquencetemporelle(appeleaussishort-timeFouriertransformSTFT). Lanalyse par spectrogrammes est trs bnfique, car elle permet de visualiser simultanment la densit spectrale dun signal donne en fonction du temps et de la frquence.Nous avons faitrecourslafonctionMatlab spectrogram pourlecalculdesspectrogrammes.La Figure3.7reprsentelespectrogrammedelatracenumro27extraitedelasection synthtique sans bruit de la Figure 3.2. Figure 3.7. Spectrogramme de la trace numro 27 tire de la section sismique sans bruit. Remarquons, que tous les vnements (rflecteurs) ont t bien localiss et que la densit spectrale est concentre autour de la position, en temps, des rflecteurs. La barre de couleurs indique la densit de lnergie spectrale (Power spectral density PSD, en anglais) en dB/Hz. La Figure 3.8a montre le spectrogramme des donnes contamines par 10 % de bruits et sa version filtre (Figure 3.8b). 42Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique a) PSD (dB/Hz) b) Figure 3.8. Spectrogramme de la trace numro 27 avec 10% de bruit alatoire ajout a) avant et b) aprs filtrage. Notonsquedanslecasdedonnesbruites,ladispersiondelnergiesurtoutesles frquences et tous les temps, en particulier vers les hautes frquences, rvle la prsence de bruits alatoires, souvent identifis par son caractre haut frquent. De plus, la localisation des diffrents vnements est assez subtile. En revanche, le spectrogramme des donnes filtres (Figure3.8b)montreuneconcentrationdedensitspectraleauxpositionnementsdes diffrentsrflecteurssurlasectionsismique.LesFigures3.9aet3.9breprsententles spectrogrammesdedonnescontaminespar50%debruitsalatoiresetsaversionfiltre respectivement.Lesmmesconclusionspeuventtretirespourlecasprcdent.Notons galement que dans ce cas, la concentration dnergie est moins localise que pour le cas prcdent. 43Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique PSD (dB/Hz) b) a) Figure 3.9. Spectrogramme de la trace numro 27 avec 50% de bruit alatoire ajout a) avant et b) aprs filtrage. Enfin, nous avons pu constater lors des simulations que le comportement du filtre de diffusion anisotropiqueestassezsemblable,entermesdersultats,aufiltrebilatraldeTomasiet Manduchi (1998). 3.1.1.4. Influence du nombre ditrations Litrationestlessencemmedufiltreanisotropique.Lexpriencemontrequune simplificationextrmedelimageparunediffusionanisotropiqueimportante(100par exemple) namliore en rien les rsultats.Afin dvaluer leffet du nombre ditrations, nous avons donc ralis le filtrage anisotropique,dans le cas dajout de 50% de bruit alatoire, aprs 2, 5, 10, 50 et 100 itrations et les rsultats sont illustrssur les Figures 3.10a, 10b, 10c et 10d respectivement. Aprs analyse des rsultats, il savre que laugmentation du nombre ditration attnue les bruits en donnant une image plus lisse. Malheureusement, cela implique une distorsion du signal dentre, et conduit mme, une perte de certains caractres gologiques (cas de la faille sur les Figures 3.10d et 10e).44Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique a) Trace numberTime (ms) b) d)c) e) Figure 3.10. Influence du nombre ditrations sur lattnuation du bruit, a) 2, b) 5, c) 10, d) 50 et e) 100 itrations. Leffetvisueldunombreditrationconstatauparavantsurlesdonnessismiquesat quantifi en calculant le RSB en dcibels ainsi que lerreur quadratique moyenne (EQM) ou (Mean squared error MSE, en anglais). Ainsi, nous avons utilis les formules suivantes pour le calcul du RSB et de lEQM : 45Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique

( )= i jj ij i U j i fj i UdB RSB2210) , ( ) , () , (log 10 ) ( (3.1) OU(i,j)reprsentelesignalsuppossansbruit;f(i,j)estlesignallasortiedufiltre anisotropique. (i=j=1 : M x N, o M et N reprsentent les dimensions de la matrice dentre). LEQM est calcule selon la formule suivante: ( =j ii f i UMxNEQM2) ( ) (1) (3.2) Cesparamtresonttutilisspourguidernotrechoixsurlenombreditrations.Les Tableaux3.1et3.2regroupentlesrsultatsdufiltrageentermesdeRSBetdEQMdes donnes contamines par 10 et 50% de bruit alatoire en fonction du nombre ditrations. Nombre ditrationsRSB en dBEQM 130.763.42 E-4 235.172.20E-4 336.41.94 E-4 435.792.06 E-4 534.392.38 E-4 632.742.80 E-4 731.083.31 E-4 829.503.88 E-4 928.034.49 E-4 1026.685.14 E-4 1125.445.82 E-4 1224.296.53 E-4 1323.247.26 E-4 1422.268.00 E-4 1521.368.76 E-4 2017.680.0013 3012.930.0020 409.970.0027 507.960.0033 Tableau 3.1. Influence du nombre ditrations sur le rsultat du filtrage en termes du RSB et de lEQM de donnes contamines par 10% de bruit alatoire. Le RSB et lEQM des donnes bruites sont 21.97 dB et 8.24E-4, respectivement. 46Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique Nombre ditrationsRSB en dBEQM 11.970.0061 27.860.0034 311.870.0023 414.630.0017 516.530.0014 617.820.0012 718.650.0011 819.130.0011 919.350.0011 1019.380.0011 1119.250.0011 1219.030.0011 1318.270.0011 1418.360.0012 1517.970.0012 2015.850.0015 3012.180.0022 409.570.0028 507.710.0034 Tableau 3.2. Influence du nombre ditration sur le rsultat du filtrage en termes du RSB et de lEQM de donnes contamines par 50% de bruit alatoire. Le RSB et lEQM des donnes bruites sont -7.13 dBet 0.015, respectivement. On notera que plus le RSB est grand et que lEQM est faible mieux sont les rsultats du filtrage. Les rsultats des Tableaux 3.1 et 3.2 sont reports sur les courbes de la Figure 3.11. 47Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50510152025303540Number of iterationsSNR(dB)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.511.522.533.5x 103Number of iterationsMSEa)b) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5002468101214161820Number of iterationsSNR (dB)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501234567x 103Number of iterationsMSEc)d) Figure 3.11. Graphes reprsentant lvolution du RSB en dB et de lEQM en fonction du nombre ditrations.a) RSB en prsence de 10 % de bruit alatoire, b) EQM en prsence de 10 % de bruit alatoire, c) RSB en prsence de 50 % de bruit alatoire et d) EQM en prsence de 50 % de bruit alatoire. La Figure 3.11a montre lvolution du RSB (dB) en fonction du nombre ditrations pour des donnes contamines par 10% de bruit alatoire. Le graphe montre une augmentation du RSB jusqu une valeur de 36.4 dB pour un nombre ditration=3, ensuite une diminution jusqu une valeur minimale de 7.96dB lorsquil atteint un nombre ditrations maximal =50. Tandis que lEQM (Figure 3.11b) diminue jusqu une valeur minimale de 1.94E-4, puis augmente jusqu atteindre une valeur maximale de 0.0033 lorsquelle atteint un nombre ditrations maximal =50. A lombre de cela, nous avons fix le nombre ditrations 3. De mme, dans le cas o les donnes sont contamines par 50% de bruit, le RSB (Figure 3.11c) augmente jusqu' atteindre une valeur maximale de 19.31 dB aprs 10 itrations, puis diminue jusqu atteindre une valeur de 7.71 dB un nombre ditrations maximum=50. Tandis que lEQM 48Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique (Figure 3.11d) diminue jusqu atteindre une valeur minimale de 0.11 aprs 7 itrations et se stabilise au niveau de cette valeur jusqu litration 13, puis augmente jusqu atteindre une valeur maximale de0.0034 litration 50. A la lumire de ces rsultats, nous avons fix le nombre maximum ditrations, qui garantit un bon compromis entre attnuation du bruit et prservation du signal, pour le cas de 50% de bruit alatoire, 10 itrations. 3.1.1.5. Description des sections diffrencesLes sections diffrences (Figures 3.12) confirment le constat dress par ltude quantitative de la section prcdente. Elle a montr que lorsque le nombre ditrations dpasse un certain seuil, dfini par le RSB et lEQM, le signal dintrt sera gravement affect.Ainsi, partir de 5 itrations on assiste une attnuation du signal dintrt et le phnomne saccentue avec laugmentation du nombre ditrations. Ce travail montre quil est ncessaire de garder un compromis entre lissage des donnes et prservation de la ralit gologique. 49Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique a) Trace number Time (ms) b) c)d) e) Figure 3.12. Sections diffrences montrant leffet du nombre ditrations sur le signal dintrt, a) 2, b) 5, c) 10, d) 50 et e) 100 itrations. 50Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique 3.1.1.6 Restitution de donnes perdues Une autre particularit du filtre anisotropique est teste dans lexemple suivant. Nous avons simul des traces mortes par la mise zro de linformation dune trace dans une ou plusieurs partiesdelasectionsismique(cecasestfrquentensismique,olestracesmortessont causesparlesproblmeslectroniquesouparlegophonelui-mme).LaFigure(3.13) reprend la section synthtique de la Figure 3.3o certaines traces ont t mises zro afin de simuler des traces mortes (indiques par des flches). Lemplacement des traces mortes est choisi au dbut, au milieu et au niveau de la faille. Trace number Time (ms) Figure 3.13. Simulation de traces mortes (Flches) Aprs passage du filtre anisotropique (Figure 3.14), nous constatons une trs bonne restitution de ces traces, en termes damplitude et de position.Trace number Time (ms) Figure 3.14. Rcupration de traces mortes 51Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique Lefficacitdunemthodeestsouventtestelorsdescasextrmes.Nousavonschoisi denlever un paquet de 5 traces (Figure 3.15), ce qui est dj trs important, et de voir le comportement du filtre en face dun dficit aussi important. Trace number Time (ms) Figure 3.15. Simulation de 5 traces mortes diffrentes position sur la section Sur la Figure (3.16) le rsultat est assez marquant, on remarque que la section initiale a t reproduite avec une trs bonne fidlit. Trace number Time (ms) Figure 3.16. Restitution dun paquet de traces mortes (5 traces) 52Chapitre 3. Attnuation des bruits par le filtre de diffusion anisotropique A partir dun dficit de 7 traces (Figure 3.17), le filtre anisotropique nest plus capable de reconstruire fidlement les traces perdues (Figure 3.18). Ceci sexplique en partie par le choix de la taille de fentre. Trace numbFigure 3.17. Simulation de 7 traces mortes diffrentes positions