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Traitement de l’image et du signalPartie TI
Emanuel Aldea <[email protected]>http://hebergement.u-psud.fr/emi/453
Master Electronique, energie electrique, automatique 1ere annee
Filtrage lineaire (cont’d)
Le Laplacien
◮ operateur differentiel ∆ : Ck → Ck−2 :
∆f = div(grad f ) = ∇ · ∇f = ∇2f
◮ etroitement lie aux phenomenes de diffusion ; ∆f = 0 associee a lastationnarite des distributions de temperature, tensions mecaniques, potentiel,ecoulement
◮ signification : taux de variation moyen de f (x) sur une sphere centree en x
quand la sphere varie
◮ si x ∈ ❘n :
∆f =
n∑
i=1
∂2f
∂x2i
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (2/29)
Filtrage lineaire (cont’d)
Le Laplacien
◮ dans l’espace image on peut ecrire :
∆I = ∇2I =∂2I
∂x2i+
∂2I
∂y2i
= Ixx + Iyy
◮ le masque qui correspond au calcul de Ixx est (pourquoi ?) :
Lxx = 1 −2 1
◮ en exploitant le masque de Iyy on remonte a :
L =
0 1 0
1 −4 1
0 1 0
◮ autres masques sont valides egalement (voir developpement en serie de Taylor)
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (3/29)
Filtrage lineaire (cont’d)
Figure – Laplacien 1D continu- passage par 0
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (4/29)
Figure – Laplacien 1D discret- passage par 0
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (5/29)
Filtrage lineaire (cont’d)
Detection des passages par 0 de la reponse
◮ calculer max(IL) et min(IL) dans une fenetre 3×3 centree dans le pixel (i , j)
◮ passage par 0 ⇔ max(IL) > 0 et min(IL) < 0 et max(IL)−min(IL) > seuil
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (6/29)
Resultats
Image initiale Sobel Magnitude Ligne horizontale 40
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (7/29)
Resultats
Image initiale Reponse Laplacien Ligne horizontale 40
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (8/29)
Resultats
Image initiale Reponse Laplacien Detection passages
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (8/29)
Resultats
Image initiale Reponse Laplacien Detection passages
Conclusions◮ Invariance en rotation
◮ Une seule convolution
◮ Sensible aux variations/bruit
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (8/29)
Sensibilite au bruit
Pas de traitement - ou se trouve le contour ?
L’estimation du gradient/Laplacien est tres sensible au bruit.
Exercice :
Pour quoi ?
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (9/29)
Sensibilite au bruit
Filtrage Gaussien + gradient - ou se trouve le contour ?
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (10/29)
Sensibilite au bruit
Filtrage Gaussien + gradient - en moins d’operations
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (11/29)
Sensibilite au bruit
Filtrage Gaussien + Laplace (LoG) - passage en 0
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (12/29)
Resultats
Image initiale Reponse LoG Ligne horizontale 40
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (13/29)
Resultats
Image initiale Reponse LoG Detection passages
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (13/29)
Conclusion
hσ(x , y) =1
2πσ2 e−
x2+y2
2σ2
∂
∂xhσ(x , y)
∇2hσ(x , y)
◮ Le lissage est essentiel, mais la taille du filtre depend implicitement del’echelle de l’information (details) qu’on veut preserver
◮ Compromis robustesse au bruit vs. localisation precise des contours
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (14/29)
Filtrage passe-bas non lineaire
◮ Inconvenient majeur des filtres passe-bas presentes : degradation des contours
◮ Besoin de methodes plus performantes qui preservent les fortes discontinuites
◮ Strategie des filtres non-lineaires : diffusion et donc homogeneisationmaximale loin des contours et diffusion minimale au niveau des contours
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (15/29)
Diffusion anisotrope
Diffusion lineaire isotropeL’application du filtre Gaussien deja visite est equivalente au processus de diffusionisotrope suivant :
∂u
∂t= div(d∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Rappel notion isotropie : flux −d∇u parallele au gradient ∇u
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (16/29)
Diffusion anisotrope
Diffusion lineaire isotropeL’application du filtre Gaussien deja visite est equivalente au processus de diffusionisotrope suivant :
∂u
∂t= div(d∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Rappel notion isotropie : flux −d∇u parallele au gradient ∇u
Exercice :
Quels sont les parametres du filtre Gaussien qui generent u(x , y , t) ?
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (16/29)
Diffusion anisotrope
Diffusion lineaire isotropeL’application du filtre Gaussien deja visite est equivalente au processus de diffusionisotrope suivant :
∂u
∂t= div(d∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Rappel notion isotropie : flux −d∇u parallele au gradient ∇u
Exercice :
Quels sont les parametres du filtre Gaussien qui generent u(x , y , t) ?
Probleme : d est un scalaire, la diffusivite
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (16/29)
Diffusion anisotrope
Diffusion lineaire isotropeL’application du filtre Gaussien deja visite est equivalente au processus de diffusionisotrope suivant :
∂u
∂t= div(d∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Rappel notion isotropie : flux −d∇u parallele au gradient ∇u
Exercice :
Quels sont les parametres du filtre Gaussien qui generent u(x , y , t) ?
Probleme : d est un scalaire, la diffusiviteIdee : diffusivite proche de 0 au niveau des contours et proche de 1 dans les zonesa homogeneiser
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (16/29)
Diffusion anisotrope
Diffusion lineaire isotrope
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (17/29)
Diffusion anisotrope
Modification diffusion non lineaire isotropeLa modification par rapport a la formule anterieure est :
∂u
∂t= div(D(x , y)∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Appelee a tort anisotrope, car le flux est toujours parallele au gradient
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (18/29)
Diffusion anisotrope
Modification diffusion non lineaire isotropeLa modification par rapport a la formule anterieure est :
∂u
∂t= div(D(x , y)∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Appelee a tort anisotrope, car le flux est toujours parallele au gradient
Choix de D(x , y) :
D(x , y) =1
1 + |∇u(x,y)|2
λ2
ou λ est le parametre de contraste.
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (18/29)
Diffusion anisotrope
Modification diffusion non lineaire isotropeLa modification par rapport a la formule anterieure est :
∂u
∂t= div(D(x , y)∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Appelee a tort anisotrope, car le flux est toujours parallele au gradient
Choix de D(x , y) :
D(x , y) =1
1 + |∇u(x,y)|2
λ2
ou λ est le parametre de contraste.
Exercice :
Trouvez la signification tres importante de λ.
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (18/29)
Diffusion anisotrope
Modification diffusion non lineaire isotropeLa modification par rapport a la formule anterieure est :
∂u
∂t= div(D(x , y)∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
Appelee a tort anisotrope, car le flux est toujours parallele au gradient
Choix de D(x , y) :
D(x , y) =1
1 + |∇u(x,y)|2
λ2
ou λ est le parametre de contraste.
Un autre choix :
D(x , y) = e−
|∇u(x,y)|
λ2
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (18/29)
Diffusion anisotrope
Diffusion non-lineaire isotrope
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (19/29)
Diffusion anisotrope
Comparaison diffusions lineaire isotrope - non-lineaire isotropeE. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (20/29)
Diffusion anisotrope
Modification finaleDiffusion parallele aux contours :
∂u
∂t= div(T (x , y)∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (21/29)
Diffusion anisotrope
Modification finaleDiffusion parallele aux contours :
∂u
∂t= div(T (x , y)∇u)
u(x , y , 0) = I (x , y)
T (x , y) - tenseur de diffusion :
◮ deux vecteurs propres perpendiculaires et deux valeurs propres
◮ les vecteurs propres indiquent les direction de diffusion
◮ les valeurs propres indiquent la diffusivite dans les directions respectives
◮ v|| = ∇u/|∇u| et v⊥ = −v||,y/|v||,x , λ1 = D(x , y), λ2 = 1 et
T = (v||v⊥) ·
(
λ1 00 λ2
)
· (v||v⊥)T
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (21/29)
Diffusion anisotrope
Diffusion non-lineaire anisotrope
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (22/29)
Diffusion anisotrope
Comparaison diffusions non-lineaires isotrope - anisotropeE. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (23/29)
Filtrage bilateral
Idee de baseLe filtrage Gaussien peut etre ecrit comme :
IG (p) =∑
q∈S
I (q) · Gσs(|p − q|)
Probleme du au fait que le poids Gσsne depend que de la distance entre p et q.
Solution fonction de penalisation supplementaire qui empeche les pixels de valeurtres differente d’intervenir dans le filtrage :
BF (p) =1
W
∑
q∈S
I (q) · Gσs(|p − q|) · Gσr
(|I (p)− I (q)|)
Gσrpeut etre une Gaussienne egalement.
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (24/29)
Filtrage bilateral
Fonctionnement
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (25/29)
Filtrage bilateral
Espace des parametres
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (26/29)
Detection de droitesParametrisation
◮ comment le faire de maniere simple ?
◮ combien de parametres ?
◮ comment choisir la quantification ?
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (27/29)
Detection de droitesParametrisation
◮ comment le faire de maniere simple ?
◮ combien de parametres ?
◮ comment choisir la quantification ?
◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]
◮ pixel (x0, y0) associe a r = x0 cos(θ) + y0 sin(θ)
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (27/29)
Detection de droitesParametrisation
◮ comment le faire de maniere simple ?
◮ combien de parametres ?
◮ comment choisir la quantification ?
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (28/29)
Detection de droitesParametrisation
◮ comment le faire de maniere simple ?
◮ combien de parametres ?
◮ comment choisir la quantification ?
◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]
◮ pixel (x0, y0) associe a r = x0 cos(θ) + y0 sin(θ)
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (28/29)
Detection de droitesParametrisation
◮ comment le faire de maniere simple ?
◮ combien de parametres ?
◮ comment choisir la quantification ?
◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]
◮ pixel (x0, y0) associe a r = x0 cos(θ) + y0 sin(θ)
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (28/29)
Detection de droitesParametrisation
◮ comment le faire de maniere simple ?
◮ combien de parametres ?
◮ comment choisir la quantification ?
◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]
◮ pixel (x0, y0) associe a r = x0 cos(θ) + y0 sin(θ)
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (28/29)
Detection de droitesTransformee de Hough : a retenir
◮ droite parametree par une paire (r , θ)
◮ (r , θ) - espace cumulatif
◮ les points situes sur les contours votent
◮ on peut utiliser le gradient local
Exercice :
Quel est l’accumulateur pour un cercle / une ellipse ?
E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (29/29)