Transferencia de Calor Investigacion

APLICACIÓN DE ANALISIS NUMERICO

TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDAD 2 Página 1

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE

MISANTLA

ING. ELECTROMECANICA

7º SEMESTRE

TRANSFERENCIA DE CALOR

PROFESOR: MC. Joel Maurilio Morales García

UNIDAD II

INVESTIGACION

CONDUCCION EN ESTADO TRANSITORIO

APLICACIÓN DE ANALISIS NUMERICOS.

ELABORADO POR:

JOSE MANUEL MARTINEZ EUFRASIO

5/OCTUBRE/2012



INDICE

TEMA

APLICACIÓN DE ANALISIS NUMERICOS

CONTENIDO PAGUINAS

INTODUCCION……………………………………………………………….3

ECUACION GENERAL DE LA CONDUCCION…………………….4

METODO ANALITICO DE CALCULOS……………………………….6

CONDUCCION TRANSITORIA SIN REISTENCIA INTERNA….7

CONDUCCION TRANSITORIA EN UN SOLIDO SEMIINFINITO………………………………………………………………..9

METODOS NUMERICOS DE CALCULOS……………………….…10

DONDE SE UTILIZA EL ANALISIS NUMERICOS DE CALCULOS…………………………………………………………………….12

METODO EXPLICITO EN CERRAMIENTOS HOMOGENEOS...13

CASOS ELEMENTALES SECCION INTERMEDIA………………….13

CONCLUCION……………………………………………………………….. 16



INTRODUCCION

En esta investigación analizaremos la parte de Análisis Numérico la cual es la parte de

las Matemáticas que se encarga de diseñar métodos para aproximar de forma eficiente

las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

No es solo garantizar la existencia resolución de un problema concreto, sino también

obtenerla mediante algún proceso constructivo.

También así abarcaremos el tema de conducción en estado estable la cual es Una

condición fundamental de la conducción del calor en régimen estacionario es la

existencia de un equilibrio termodinámico que conserve las temperaturas estables en

cada punto del cerramiento.

La separación del flujo y su adherencia son fenómenos que frecuentemente se

encuentran presentes en aplicaciones y equipos industriales, tales como en el

enfriamiento de piezas de equipo electrónico, el enfriamiento de reactores nucleares,

enfriamiento de alabes de turbina, flujo en cámaras de combustión y mezclado, flujo

en paredes verticales con aletas, flujo en válvulas y difusores, sólo por mencionar

algunos ejemplos.



ECUACION GENERAL DE LA CONDUCCION

EL problema general de la conducción de calor en un cerramiento consiste en determinar su temperatura para cada punto y cada instante, partiendo de una temperatura inicial y de las condiciones del entorno con conocidas, basándonos en sus características geométricas y sus propiedades físicas.

La ecuación de la conducción es una expresión matemática de la conservación de la energía en una sustancia solida y se obtiene realizando un balance de la energía en un elemento de volumen de material que intercambia calor por conducción por las superficies en contacto con el medio adyacente y acumula calor en su masa.

La transmisión de calor por conducción: QC, por unidad de tiempo y superficie, está relacionada con la distribución de temperaturas mediante la ley de Fourier:

W/m²

La acumulación de calor qa por unidad de masa M esta en relación directa con el incremento de temperatura del material y la propiedad física denominada calor especifico ɣ [ j/kg k] definida como la cantidad de energía necesaria para incrementar 1 ºk una masa de 1 kg, según la siguiente relación.



Es conveniente derivar esta ecuación para compatibilizarla con la ley de furrier, considerando que la masa depende de la densidad D [kg/mᶟ}, que el volumen se puede expresar como el área A del cerramiento por el espesor ΔX de la capa considerada, determinando el flujo de a comulación Qa en función de la velocidad de la variación de la temperatura.

Si consideramos una capa de espesor ΔX, se verificara que el flujo de calor que penetra por la cara (x) es igual al calor que sale por la cara (x + Δx) más el calor acumulado en la masa de espesor Δx, de forma que se conserve la cantidad de energía:

Ordenando la ecuación y dividiendo por ɣDΔX se obtiene:

Cuando se toma el limite Δx-----> 0, se obtiene por definición la segunda derivada de la temperatura respecto a x, con la siguiente expresión.

El primer término es una constante que depende de las propiedades físicas del material, y se denomina infusibilidad térmica α y cuya magnitud es de [m²/s] con lo que la anterior ecuación se suele presentar como:



METODO ANALITICO DE CALCULOS

Para determinar la distribución de temperaturas en régimen transitorio y finalmente la transferencia de calor por unidad de tiempo, necesitamos resolver la ecuación general de la conducción, en la cual se considera la transmisión y la acumulación del calor. La resolución de la anterior ecuación diferencial en derivadas parciales de 2º orden y averiguar una solución general exige técnicas matemáticas muy avanzadas, y ello siempre que se pueda acortar las condiciones espaciales y temporales.

Se dispone de numerosas referencias que aportan soluciones específicas a la ecuación general de la conductividad, basándose en condiciones muy concretas. En otras ocasiones se proponen hipótesis simplificadoras, algunas de las cuales pueden provocar errores que se acotan. Por último, existen formulas basadas en series de ecuaciones, que se pueden resolver por calculo iterativo, o con soluciones tabuladas.

En general algunas de estas ecuaciones pueden ser de aplicación para la solución de casos muy específicos en la transmisión de calor en sólidos, aunque no son lo suficientemente generales para resolver los casos reales de la mayoría de los cerramientos de edificios. Por consiguiente, los casos siguientes se presentan para dar una visión amplia y analítica de determinados problemas físicos que tienen una solución teórica exacta.



CONDUCCION TRANSITORIA SIN REISTENCIA INTERNA

Un procedimiento para simplificar la solución es considerar que el sólido pueda variar su temperatura, pero que todo su interior se encuentre a la misma temperatura, debido a que su resistencia interna sea nula o despreciable, por ser substancias muy conductoras, como los metales, o el caso de recipientes conteniendo líquidos con convección que homogenice su temperatura. Se supone que el flujo de calor transmitido por su superficie es aportado por el calor acumulado, y que dicho flujo está limitado por una resistencia superficial 1/h, generalmente proporcionada por la convección de un fluido que lo rodea a

temperatura constante t .

Para comprobar que la resistencia interior es despreciable se recurre a un coeficiente a dimensional denominado numero de biot Bi, que relaciona la resistencia superficial con la resistencia interna, cuto valor debe ser muy inferior a la unidad. En este caso se conoce como que si B < 0.1 el error será inferior de 5 %, aunque es deseable que Bi sea lo menor posible.

El termino L representa la longitud característica del cuerpo, que depende de su geometría y suele estar tabulado, y en caso de sólidos de forma irregular se considera L como la razón entre su volumen V y su área superficial AS :



El flujo total de calor W que cede el cuerpo en un instante (t) será función de su velocidad de enfriamiento e igual al calor cedido a través de su superficie debido la diferencia Δt(t) entre la temperatura (t) del sólido en dic o instante y el uido , de manera que:

Integrando dicha ecuación, según la referencia, con la condición de la diferencia de temperatura inicial Δt(0) =

t - t(0) obtendremos el salto térmico Δ (t) = - T(t) para instante t:



Esta ecuación representa la historia de la temperatura del sólido en el instante (t) en función de su temperatura inicial y la del fluido que lo rodea, de manera que cuando el intervalo tiende al infinito el sólido se equilibra con el entorno. El flujo W cedió en un instante es fácil de hallar conociendo la diferencia de temperaturas instantánea, y el calor total q cedido en un intervalo (o - t) se determina por el enfriamiento del sólido en dicho periodo.

También se puede definir la propiedad física de los materiales de acumular calor por unidad de volumen, denominada capacidad térmica C = ɣ 3 · D [j/mᶟ · k], de manera que si tiene un valor elevado le permite al cuerpo acumular mas calor y su enfriamiento será más lento.

CONDUCCION TRANSITORIA EN UN SOLIDO SEMIINFINITO

Un solido semi infinito es un cuerpo de una gran extensión con una superficie plana. Si el sólido tiene una temperatura inicial uniforme T0 y se modifica bruscamente la temperatura de su superficie Ts, el calor se conduce por el interior y la temperatura en cada punto es una función de la profundidad x y del intervalo t, es decir T (x,t). Debido a su espesor prácticamente infinito, la temperatura a gran profundidad permanece sin variación. La ecuación de conducción y las condiciones de entorno para los instantes 0 y t, a diferentes profundidades será:



METODOS NUMERICOS DE CALCULOS

Estos métodos se basan en transformar las ecuaciones diferenciales de

transmisión de calor en expresiones con incrementos finitos; así la

ecuación general de la conducción de calor, en vez de plantearse en

función de dx y dt, se utiliza Δx y Δt, los cuales toman valores lo

suficientemente pequeños para garantizar exactitud, a pesar de la

discretizacion.

Las condiciones más importantes que deben cumplir los algoritmos del

cálculo por métodos numéricos son:

a) Estabilidad: los errores cometidos por la discretizacion del

cerramiento y los procesos temporales se deben amortiguar o diluir

en la siguientes iteraciones, ya que si los errores se amplifican los

resultados resultados resultarían erráticos y con una enorme

desviación.

b) Convergencia: es la coincidencia de la solución numérica con la

solución exacta para las mismas condiciones de entorno, cuando los

intervalos Δx y Δt tienden a cero.

c) Consistencia: es la ausencia de los errores de discretizacion que se

puede cometer por la truncacion de la serie de Taylor en

comparación con la derivada parcial en el punto e instante

considerando, y depende fundamentalmente de la truncacion de las

condiciones iniciales y de contorno.



En el presente estudio se analizaran diversos métodos numéricos de

cálculo de la transmisión de calor unidireccional, en cerramientos planos

discretizados en secciones el espesor Δx y considerando intervalos finitos

Δt, por lo que se denominan métodos por diferencias finitas, y que son un

caso particular de los denominados métodos de elementos finitos de

análisis multidimensional.

Como hipótesis iniciales se considera que los cerramientos se encuentran

divididos en capas o sección de espesor Δx = e, que en el centro de cada

sección disponemos de un nodo, representativo de la sección, donde se

localizan sus propiedades físicas (temperatura, conductibilidad, densidad,

calor especifico, etc.) se supone que al final de cada intervalo de tiempo

Δt = I todas las secciones se equilibran con las contiguas, y las secciones

extremas se equilibran con las condiciones de contorno, que deben estar

definidas.



DONDE SE UTILIZA EL ANALISIS NUMERICOS DE CALCULOS

El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son:

Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución. 2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores existencia y unicidad estabilidad y convergencia3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico Elección del algoritmo: Costo y Estabilidad, codificación del algoritmo y Ejecución del programa.



METODO EXPLICITO EN CERRAMIENTOS HOMOGENEOS

Este método pretende calcular las temperaturas futuras en las diferentes capas de un cerramiento a partir de las temperaturas interiores y condiciones de contorno en el momento actual, suponiendo que dichas condiciones permanecen constantes durante el intervalo.

CASOS ELEMENTALES SECCION INTERMEDIA

Se considera el cado de un cerramiento homogéneo unidimensional de área unidad, dividido en secciones iguales de espesor δx, y que en el instante (t) cada sección está equilibrada con las contiguas.

Si suponemos que el sistema está sometido a un calentamiento progresivo en la superficie izquierda, el flujo de calor que penetra por la cara izquierda de la sección (x) es mayor que el que sale por la cara derecha, y la diferencia de flujo durante el intervalo Δt se acumula en dic a rodaja, resultando incrementada su temperatura en el instante (t-1) verificándose,

Q (IZQUIERDA) – Q (DERECHA) = Q (ACUMULADA)

Para simplificar la nomenclatura utilizaremos las siguientes convecciones: la temperatura en el instante t + Δt se designara como , temperaturas en la seccion anterior y posterior seran tx -1 y tx +1 el espesor Δx = e y el intervalo Δt = I y los valores de la fraccion corresponde a:



Por lo consiguiente la temperatura T, después del intervalo se puede expresar como:

Este procedimiento estima la temperatura futura T de la rodaja (x) en función de las temperaturas del instante inicial en la sección considerada y las adyacentes, por lo que también es denominada método de diferencias hacia adelante. Para que este método sea consistente deberá cumplir ciertas condiciones, siendo fundamental el criterio de estabilidad, que deberá cumplir.

Esta expresión es proporcional al intervalo de tiempo I e inversamente proporcional al cuadrado del espesor e de la sección, y esta multiplicada por la difusividad α, que una constante de las propiedades físicas del material. En consecuencia, el intervalo de tiempo debe ser relativamente pequeño en comparación con el cuadrado del espesor de la sección. Como verificación, se puede analizar el caso en que la condición de estabilidad se incremente hasta el límite máximo.



Lo anterior se interpreta que en el instante (t + Δt) la sección (x) alcanzaría, en el límite, una temperatura igual a la media de las temperaturas de las secciones adyacentes en el instante anterior. Si se supera el límite de estabilidad se daría la paradoja que la sección considerada se calentaría más que las adyacentes, lo cual es evidentemente imposible al no existir generación de calor interna, y el proceso iterativo se volvería inestable.

Una aplicación práctica de la anterior ecuación, considerando la condición de estabilidad Fo= 1/2nes el cálculo grafico de temperaturas denominado método de brinder – schidt, de muy sencilla elaboración y que se puede encontrar en numerosos tratados tal como [kreith p. 172]

Para el cálculo de las temperaturas hay que considerar, en cualquier caso, las condiciones de entorno, por lo que las temperaturas en las superficies deben ser conocidas de antemano, así como las condiciones iniciales de temperaturas en el interior del cerramiento.



CONCLUCION

EL proceso propuesto plantea en cada intervalo un sistema simultaneo de ecuaciones lineales, que resuelve por el método de sustitución ya que, como las temperaturas actuales y todas las condiciones de contorno son conocidas, al iniciar el cálculo por la izquierda resulta que la ecuación de cada nodo depende exclusivamente de la temperatura del nodo derecho, y así hasta la temperatura de contorno derecha.

BIBLIOGRAFIA

TRANSFERENCIA DE CALOR (YONUS A. CENGEL)

TRANSFERENCIA DE CALOR 2Da EDICION (JOSE ANGEL MANRRIQUE)

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