Transfert de chaleur dans un canal partiellement rempli d

Revue Synthèse N°23, Octobre 2011 M.Benmerkhi et M.Afrid.

56 ©Universite Badji Mokhtar - Annaba

Transfert de chaleur dans un canal

partiellement rempli d’une matière poreuse

Benmerkhi Meriem, & Afrid Mohamed

Laboratoire de Physique Energétique

Département de Physique Université Mentouri-Constantine- Algérie

Accepté le : 18/07/2011

ملخص

امبح الأفم١خ غضأح إ صلاصخ أعضاء . سل١خ لإ زمبي اؾشاس داخ لبح ؤح عضئ١ب ثبدح بفزح شجوخ ثباءؾبوبحز اذساعخ رزوك ة

ى عذاس اغضء اضب ػه١ ف دسعخ , عذاس اضش الأي الأخ١ش ول١ بفز٠. اغضء اضب ء ثببدح ابفزحفمؾزغب٠خ،

ؾ , غزو ؿش٠مخ اؾغ از١خ دلزب اذسعخ اضب١خ ثبغجخ فؼبء اض. ؽشاسح صبثزخ أل دسعخ ؽشاسح اغش٠ب هذ اذخ

أع هذد لشاشف ٠غب . عد اعؾ ابفز ٠ض٠ذ ثظفخ وزجشح الإزمبي اؾشاس. اؾفبف اـبلخ,اؾفبف و١خ اؾشوخ, وبدلاد الإعزشاس٠خ4ث١ب سفن زا اوذد إ . زبئظ اؾ اؾشاس اضدط شج١خ ثزبئظ اؾ اؾشاس امغش, 10

5 ٠ؤد إ فاسق طغ١شح ث١ زبئظ اؾ 10

. اؾشاس اضدط امغش

. اؾغ از١خ- اؾ اضدط - الإزمبي اؾشاس- لبح أفم١خ - عؾ بفز : الكلمات المفتاحية

Résumé

Cette étude concerne une simulation numérique du transfert de chaleur dans un canal partiellement rempli d‟une

matière poreuse saturée de l'air et d‟une certaine concentration de la vapeur d'eau. Le canal horizontal est divisé

en trois parties égales, seulement la deuxième partie contient de l'air en écoulement à travers la matière poreuse.

Les parois du premier et troisième tiers sont considérées adiabatiques et imperméables, mais celles du deuxième

sont maintenues à une température constante inférieure à celle de l‟écoulement à l‟entrée. La méthode numérique

des volumes finis avec une discrétisation spatiotemporelle du second ordre, est utilisée pour la résolution des

équations de conservation de la masse, des quantités de mouvement, de l‟énergie. La présence du milieu poreux

augmente considérablement le transfert thermique. Pour le nombre de Grashof égal à 104, les résultats de la

convection mixte sont similaires à ceux de la convection forcée. Cependant, l‟augmentation du nombre de

Grashof à 105, conduit à des petites différences entre les résultats de la convection forcée et mixte.

Mots clés : Milieu poreu -Canal horizontal - Transfert thermique - Convection mixte - Volumes finis.

Abstract

This study concerns a numerical simulation of the heat transfer in a horizontal plane channel partially filled with

a porous material, which is saturated with air. The channel space is divided into three equal parts; only the

second part is filled with the porous material. The walls of the first and third parts are considered adiabatic and

impermeable, but those of the second part are maintained at a constant temperature that is lower than that of the

flow at the channel entrance. A finite volume numerical method with a second order accurate discretization is

used for the solution of the conservation equations of mass, momenta and energy. The presence of the porous

medium increases considerably the heat transfer. For the Grashof number equal to 104, the mixed convection

results are similar to those of the forced convection. However, the increase of the Grashof number to 105, led to

small differences between the forced and mixed convection results.

Key words: Porous medium - Horizontal channel - Heat transfer - Mixed convection - Finite volumes.

Auteurcorrespondant : [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Revue Synthèse N°23, Octobre 2011 M.Benmerkhi et M.Afrid


1. INTRODUCTION

Le phénomène de transfert de chaleur dans

les milieux poreux est un domaine de

recherche très actif et d‟actualité. Un

milieu poreux est une matrice solide rigide

qui comporte des vides (pores) qui peuvent

communiquer entre eux et contenir une ou

plusieurs phases fluides (gaz ou liquide)

pouvant s'écouler et, éventuellement,

échanger entre elles et/ou avec le solide de

la matière et/ou de l'énergie [1]. Pour les

deux dernières décennies, il y a eu un

intérêt croissant du transfert thermique

convectif dans les milieux poreux [2,7].

Plusieurs études ont démontré que

l'utilisation d'une matrice poreuse améliore

le transfert thermique par convection

forcée mais augmente la chute de pression

dans les conduits [7]. Les phénomènes de

transfert dans les milieux poreux sont

rencontrés dans la nature et dans plusieurs

applications industrielles. Des exemples

sont : les écoulements des eaux

souterraines, l‟exploitation des gisements

d‟hydrocarbures, le séchage et la

déshumidification du bois, le

refroidissement des instruments

électroniques et le transport des polluants

dans les sols. Un choix judicieux de la

matrice poreuse permet d'augmenter les

échanges thermiques par convection dans

un échangeur de chaleur annulaire

partiellement ou totalement rempli par un

milieu poreux. Pour cette application, il est

possible d‟améliorer les transferts

thermiques sans augmenter les surfaces

d‟échanges. Plusieurs études ont été

consacrées aux transferts thermiques dans

les milieux poreux. Kaviany [3] a étudié

un écoulement laminaire à travers un canal

poreux limité par deux plaques parallèles

maintenues à une température uniforme par

le modèle de Darcy modifié. Il a négligé le

terme du carré de la vitesse dans l'équation

de quantité de mouvement et le terme de

conduction axiale dans l'équation d'énergie

pour montrer que le nombre de Nusselt,

pour les champs complètement développés,

augmente avec le paramètre de forme du

milieu poreux q = (W2φ/K)

1/2, où W est la

largeur du canal, φ la porosité et K la

perméabilité du milieu poreux. Les

résultats montrent aussi que l'excès de la

chute de pression, associé à la région

d'entrée, décroit lorsque le paramètre q

augmente. Chou et. al. [4] ont étudié

expérimentalement la convection mixte

non Darcy complètement développée. Des

lits de sphères emballées sont placés sur

des canaux horizontaux. Ils ont pris la

dispersion thermique en considération. Les

résultats théoriques confirment ceux qui

sont expérimentaux pour un rapport des

diamètres du canal et de sphère (D/d =10).

Ils ont trouvé qu'avec un nombre de Péclet

faible, l'effet de flottabilité affecte

significativement la structure d‟écoulement

secondaire et le taux du transfert

thermique. Avec un nombre de Rayleigh

fixe, l'effet de flottabilité peut être

supprimé lorsque le nombre de Péclet

augmente. Les valeurs du nombre de

Nusselt dans la région complètement

développée dépendent des nombres du

Rayleigh et Péclet et du rapport des

diamètres du canal et de sphère. Sung et al.

[5] ont étudié numériquement les

caractéristiques du transfert thermique par

convection forcée dans un canal

partiellement poreux (φ=0.9) avec des

parois adiabatiques et une source de

chaleur isolée dans le canal. Deux types

des endroits du bloc poreux sont

considérés, (a) à la paroi supérieure et (b) à

la paroi inférieure. Ils ont travaillé avec les

paramètres suivantes :

Re=10-500, Da610 , une épaisseur

du substrat poreux ( 10 S ) et un

rapport des onductivités

thermiques ( 101.0 kR ). Ils ont utilisé

la méthode des volumes finis, et ils ont

trouvé une augmentation du transfert

thermique accompagnée d'une grande

chute de pression. La diminution du Da

diminue la température maximale de la

paroi dans le type (a) et l'augmente dans le

type (b). L'augmentation du Rk pour un Da

fixe, augmente le taux du transfert



thermique. Jiang et. al. [6] ont étudié

expérimentalement le transfert thermique

par convection forcée dans un canal plan

rempli de verre, de particules sphériques

d'acier inoxydable ou de bronze, ils ont

utilisé l'eau comme un fluide du

fonctionnement. La distribution de la

température locale de la paroi a été

mesurée par les températures et les

pressions de fluide à l'entrée et à la sortie.

Les effets du diamètre de la particule, de la

conductivité thermique de la particule et de

la vitesse du fluide ont été examinés pour

trois tailles de la particule. Le coefficient

de transfert thermique et le nombre de

Nusselt sont accrus avec la diminution du

diamètre de la particule en bronze, mais

diminués avec la diminution de diamètre

de la particule de verre. Ils sont également

augmentés avec l‟augmentation de la

conductivité thermique du matériel

emballé. Rahimian et. al [7] ont étudié le

transfert thermique d‟un écoulement

laminaire d‟un fluide incompressible dans

un canal plan divisé en trois sections, dont

les parois des sections 1 et 3 sont

adiabatiques. La section 2 est remplie

d‟une matière poreuse (φ = 0.9). La

température des particules solides est

considérée en deux types, (a) elle varie

avec le temps où les parois sont à une

température constante, (b) elle est

considérée constante où les parois sont

adiabatiques. Ils ont utilisé la méthode de

MAC (Marker et Cell). Par la

considération d‟un équilibre thermique non

local, ils ont trouvé que le nombre de

Nusselt moyen varie linéairement avec le

nombre de Re, une nature oscillatoire du

nombre de Nusselt local près des parois à

cause des vitesses oscillatoires. L‟épaisseur

de la couche limite thermique diminue

avec l‟augmentation du nombre de Re de la

particule près des parois du canal. La

variation du nombre total des particules

solides le long du canal, cause un champ

de vitesse oscillatoire impose des

oscillations dans le coefficient de

convection. Jiang et. al. [8, 9, 10] ont

étudié numériquement et

expérimentalement le transfert thermique

de la convection forcée d'eau et de l'air,

dans des canaux poreux en bronze

agglomérés. Les résultats des trois

références ont montré que le transfert

thermique convectif dans un canal poreux

aggloméré était plus intense que dans un

canal poreux non aggloméré, dû à la

résistance thermique réduite de contact et à

la porosité réduite près des parois du

matériel aggloméré. Chang et. al. [11] ont

étudié expérimentalement la convection

mixte non Darcy dans un canal horizontal

de section carrée rempli des sphères

emballées sous un chauffage axial

uniforme et une température uniforme de

la paroi périphérique. Ils ont travaillé avec

une gamme du nombre de Rayleigh

(51030 Ra ) et une gamme du nombre

de Péclet (Pe=10-200). Ils ont considéré

l'effet de la dispersion thermique. Avec un

grand nombre de Rayleigh et un faible

nombre de Péclet, l'effet de flottabilité se

produit à la région d'entrée par un

écoulement secondaire. Avec Pe = 300, Ra

=105

et Pr =10, l'effet de flottabilité est

supprimé par la domination de l'effet de la

dispersion thermique. Hadim et. al. [12]

ont étudié numériquement par la méthode

des volumes finis, la convection forcée

d‟un écoulement laminaire avec un

équilibre thermique local, entré

verticalement par une fente sur un canal

poreux homogène, isotropique et saturé

composé par des particules métalliques

agglomérées avec une paroi adiabatique.

Par la considération de la dispersion

thermique, ils ont trouvé que le milieu

poreux avec un petit diamètre des

particules produit une augmentation du

transfert thermique et de la chute de

pression, alors qu‟avec un plus grand

diamètre des particules, les augmentations

citées sont réduites aux ses valeurs

asymptotiques du cas non poreux. Une

expérience réalisée par Tzeng et. al. [13]

concerne les caractéristiques du transfert

thermique d‟un écoulement d‟air dans des

canaux poreux en bronze agglomérés

axisymétriquement chauffés avec des

cloisons métalliques en cuivre insérées

périodiquement en quatre modes : (a) sans

aucune cloison, (b) avec des cloisons



insérées à la paroi supérieure chaude, (c)

avec des cloisons insérées à la paroi

inferieure adiabatique, (d) avec des

cloisons insérées aux deux parois. Le

transfert thermique de tous les modes

augmente avec la diminution du diamètre

de la particule, surtout avec des nombres

de Re élevés. Pour Re>2000, le transfert

thermique est plus grand en mode (b) et

plus petit en mode (d), en lequel il était

encore plus petit que celui en mode (a).

Cependant, pour un Re de l‟ordre de 1000,

l‟amélioration du transfert thermique est de

20-30% en mode (d), de 10-20 % en mode

(b) et de 0-12 % en mode (c). Jaballah et.

al [14] ont étudié la convection mixte dans

un canal plan horizontal bidimensionnel

contenant des couches fluides et poreuses

chauffées par un flux constant sur les

surfaces supérieures. Ils ont utilisé la

méthode des volumes finis. Le champ

thermique, les lignes de courant et les

nombres locaux de Nusselt sont analysés,

pour une large gamme du nombre de Darcy

(1<Da<10-5

), et pour différentes valeurs du

rapport de conductivité thermique, Rk. Les

résultats identifient la limite de la

convection mixte et l'effet des

caractéristiques de médias poreuses

(perméabilité, conductivité) sur la structure

d'écoulement et le transfert thermique.

Hetsroni et. al. [15] ont étudié

expérimentalement l'effet de la porosité sur

le transfert thermique et la chute de

pression dans un canal rectangulaire avec

des insertions poreuses agglomérées de

différentes porosités. Ils ont trouvé qu‟il y

a une grande augmentation de la chute de

pression du canal poreux par rapport à

celle d‟un canal vide, et elle augmente plus

de deux fois avec une diminution de trois

fois du diamètre des pores. Avec un

nombre de Re, dans le régime laminaire, le

nombre de Nusselt augmente plus de deux

fois avec une diminution de trois fois du

diamètre des pores. Dans la présente étude,

le but est d'étudier numériquement le

transfert de chaleur dans un canal plan

horizontal bidimensionnel, partiellement

rempli d‟une matière poreuse saturé par

l‟air. La conductivité thermique de la

matière poreuse est égale à 5.77 fois celle

du fluide et la porosité égale à 0.8. Le

nombre de Darcy est Da =10–2

. Le canal

est divisé en trois parties, la première et la

troisième contiennent un écoulement d'air,

alors que la deuxième contient de l'air en

écoulement à travers la matière poreuse.

Les parois du premier et troisième tiers

sont considérées adiabatiques, mais celles

du deuxième sont maintenues à une

température constante inférieure à celle de

l‟écoulement à l‟entrée. Le milieu poreux

est supposé isotrope et homogène. Le

fluide est supposé Newtonien avec des

propriétés thermophysiques constantes.

L‟écoulement est supposé incompressible

et laminaire. Le but de ce travail est la

détermination de l'effet du milieu poreux

sur le transfert thermique et la différence

entre les résultats de la convection forcée

et la convection mixte.

2. GEOMETRIE DU PROBLEME

La configuration du canal et de

l'écoulement est illustrée dans la figure 1.

Figure. 1 : Le schéma du problème considéré

3. FORMULATION MATHEMATIQUE

Dans le milieu poreux, l‟écoulement est

modélisé par le modèle de Darcy-

Forchheimer-Brinkman [2], avec les

équations différentielles (non

dimensionnelles) aux dérivées partielles,

suivantes :

L‟équation de continuité

0

y

V

x

U (1)

y

Adiabati

que

Adiabati

que

T = T1

Milieu

poreux

La zone de transfert

To

Entrée

Sorti

e

Air Air H

x

L = 20H



L‟équation de la quantité de mouvement suivant (x)

y

U

yx

U

x

Da

UVUCf

Da

U

x

P

y

VU

x

UU

t

U

Re

1

Re

)(1)(11 22

22

(2)

L‟équation de la quantité de mouvement suivant (y)

TGr

y

V

yx

V

x

Da

VVUCf

Da

V

y

P

y

VV

x

VU

t

V

t

2

22

22

ReRe

1

Re

)(1)(11

(3)

L'équation d'énergie

y

Tk

yx

Tk

xy

TV

x

TU

t

T

PrRe

1

PrRe

1)()( (4)

Les conditions initiales et aux limites.

Pour t = 0, U = 0, V = 0, T = 1.

Pour t > 0, à 0x , U = 1, V = 0, T = 1.

A x=20, 0

x

U, 0

x

V, 0

2

2

x

T.

A y = 0,

2033.13

66.60

x

x U = 0, V = 0, 0

y

T.

A y = 0, 33.1366.6 x U = 0, V = 0, T = 0.

A y = 1,

2033.13

66.60

x

x U=0, V=0, 0

y

T.

A y = 1, 33.1366.6 x U = 0, V = 0, T = 0.



4. DETAILS NUMERIQUES

On a choisi la méthode des volumes finis

pour la résolution numérique des équations

modélisantes. On a utilisé une

discrétisation temporelle du second ordre

pour tous les termes de la variation

temporelle dans toutes les équations :

tt

ttttttt

2

43

La discrétisation temporelle des termes

convectifs et non linéaires suit le schéma

d‟Adam-Bashforth (d‟ordre 2): ttttt 2

La discrétisation temporelle des termes

diffusifs et de pression est implicite, ils

seront évalués, sans approximation, au

temps )( tt . Le schéma des différences

centrées d‟ordre deux est utilisé pour la

discrétisation des dérivées spatiales, par

exemple: n

PN

ndyy

avec une erreur de troncature

d‟ordre 2ndy . Les essais numériques ont

été effectués pour un maillage uniforme de

(202x82) avec un pas du temps de 10-4

. On

utilise un maillage typique pour la

discrétisation des équations des variables

dépendantes scalaires, et un maillage

décalé pour les variables dépendantes

vectorielles (les composantes du vecteur de

vitesse). L'idée du maillage décalé, est de

stocker les composantes de la vitesse sur

les faces des volumes finis pour éviter la

satisfaction des équations de discrétisation

par des solutions numériques spatialement

oscillatoires et physiquement

inacceptables. Tous les termes des

équations de la conservation de la masse,

des quantités de mouvement et de

l‟équation d‟énergie sont double intégrés

entre les limites d'un volume fini. Les

résultats des intégrales sont réarrangés sous

la forme standard des équations

algébriques (de discrétisation). Pour

résoudre les systèmes d'équations de

discrétisation de vitesse, il est nécessaire

de connaître les valeurs de la pression aux

points du maillage typique, apparaissantes

dans les sources des équations de

discrétisation [16]. Et donc, il nous faut

une équation de discrétisation de la

pression à chaque point intérieur du

maillage typique. L'obtention d'une telle

équation est possible par l'utilisation des

équations de discrétisation des vitesses et

de continuité [16]. Pour la résolution des

systèmes d'équations algébriques nous

avons utilisé une méthode de solution par

balayage (Sweeping) dite ligne by ligne (L

B L) exposée par Patankar [17], avec

l'algorithme de Thomas. La solution

séquentielle des équations de discrétisation

des variables dépendantes suit l'algorithme

SIMPLER [17]. Les détails numériques

sont exposés par Benmerkhi [16]. La

convergence vers le régime permanent est

vérifiée lorsque les bilans globaux de la

masse et de la chaleur sont satisfaits. Un

code de calcul basé sur l'algorithme

précédent en langage Fortran a été utilisé et

élaboré. Il a été exécuté sur un micro-

ordinateur personnel disposant d'un

processeur Pentium (R) 4, 3.00 GHz et de

256 Mo de RAM.

5. RESULTATS

5.1 Validation

Pour la validation du code de calcul

élaboré, nous avons tenté de reproduire

certains résultats de Sung et al. [5]. Ils ont

étudié le transfert thermique de la

convection forcée dans un canal

partiellement rempli d‟un milieu poreux

avec une porosité égale à 0.9. Une petite

partie de la paroi inférieure est chauffée

par un flux de chaleur constant. Les autres

parties et toute la paroi supérieure sont

adiabatiques. L‟épaisseur du substrat

poreux (bloc poreux) est 0.5 fois la hauteur

du canal. Les paramètres utilisés sont : un

Rapport d‟aspect (L/H) = 20, Re =100,

Cf =0.55, Pr =0.72, Da=10-5

. Le résultat de

la référence cité et notre résultat sont

obtenus avec un maillage de (140x50) avec

un pas du temps Δt = 10-4

. Notre

écoulement et celui de la référence sont

présentés dans les figures 2 et 3. La



similarité des deux écoulements est

apparente, et en particulier, la zone de

recirculation derrière le bloc poreux.

L‟écoulement dans les deux figures

ressemble à un écoulement derrière un bloc

complètement solide, où le débit passant

par ce bloc est très faible.

Figure 2. Modèle d‟écoulement, Re = 100

et Da = 10-5

(Notre résultat)

Figure 3. Modèle d‟écoulement, Re = 100

Da = 10-5

(Résultat de la référence citée)

Dans la figure 4, on compare les profils

verticaux (passant par le bloc poreux) de la

vitesse horizontale. On constate que notre

résultat est qualitativement en accord avec

celui de la référence citée, mais

quantitativement il est un peu différent.

Cette différence quantitative provient du

maillage non uniforme utilisé dans la

référence [5], où les points du maillage ont

été plus denses prés de la source de

chaleur, et prés des parois supérieure et

inférieure du canal, aussi bien qu‟à

l'interface (milieu poreux/fluide).

Figure 4 : Comparaison des profils verticaux

de la vitesse horizontale à la moitié du bloc poreux.

5.2 Résultats obtenus par cette étude

Dans ce qui suit, nous présenterons les

résultats de notre étude. Ces résultats sont

partagés en deux parties:

-La première concerne le cas d'un canal

sans la matière poreuse, considéré le cas de

référence.

-La deuxième concerne la détermination de

l'effet du milieu poreux sur les transferts de

chaleur et la comparaison entre les

résultats des convections forcée et mixte.

5.2.1 Cas d’écoulement dans le canal

sans milieu poreux (Convection forcée)

Le modèle mathématique de ce cas est

obtenu avec une porosité égale à 1 et un

nombre de Darcy infini. Le cas de

référence est résolu avec les paramètres de

contrôle suivantes: Rapport d‟aspect

(L/H)=20, Re = 100, Da = 1030

, Cf = 0, φ

=1, Pr = 0.7 et Δt =10-4

.

De la figure 5, on voit le développement

classique d‟un écoulement dans un canal

plan. L‟écoulement est uniforme à l‟entrée,

il se développe axialement pour devenir un

écoulement de Poiseuille avec un profil

parabolique de la vitesse (avec un

maximum égal à 1.5) axialement invariant

et une chute axiale de la pression.



Figure 5. Champ de vitesse et de pressiond‟un

écoulement dans un canal sans milieu poreux.

La distribution de la température est

représentée dans la figure 6. Entre l‟entrée

et le début de la zone de transfert, les

parois du canal sont adiabatiques et il n‟y a

aucun transfert thermique entre ces parois

et le fluide; et donc le fluide maintient sa

température d‟entrée. Dans la zone de

transfert, les parois du canal sont

maintenues à une température inférieure à

celle du fluide à l‟entrée. Dans cette zone,

il y‟a transfert thermique par convection et

diffusion. Le refroidissement axial du

fluide est remarquable. Suivant la direction

transversale, on voit qu‟entre la demi

hauteur du canal et les parois, il y a une

diminution importante de la température.

Entre la sortie de la zone de transfert et la

sortie du canal, les parois de ce dernier

sont adiabatiques et la distribution de la

température s‟oriente vers une

homogénéisation spatiale.

L‟échange thermique est quantifié par le

nombre de Nusselt qui est défini par:

Figure 6. Distribution spatiale de la température

d‟un écoulement dans un canal sans milieu poreux.

00

0 22)(

ymym

y

y

T

TTT

y

T

xNu

pour la paroi inférieure du canal et par :

11

1 22)(

ymym

y

y

T

TTT

y

T

xNu

pour la paroi supérieure. La variation du

nombre de Nusselt local des deux parois du

canal, présentée dans la figure 7 est la

même (par symétrie). Comme imposé par

les conditions aux limites, le nombre de

Nusselt est nul le long des parties

adiabatiques. Dans la zone de transfert, il

subit une chute axiale importante de la

valeur maximale 25.83 jusqu‟à 7.54, cette

valeur est la limite asymptotique du

nombre de Nusselt d‟un écoulement

thermiquement développé dans un canal à

parois isothermes [18].



Figure 7. Variation du nombre de Nusselt local.

5.2.2 Cas du canal partiellement poreux

(Convection forcée)

Dans ce cas, le deuxième tiers du canal est

rempli par la matière poreuse. Les

paramètres de contrôle sont : Rapport

d‟aspect (L/H)=20, Re=100, Da =10–2

, Cf =

0.55, φ=0.8, Pr=0.7 et Δt =10–4

. Notons

que le milieu d‟écoulement est non

homogène: le premier et le troisième tiers

contiennent du fluide alors que le

deuxième tiers contient le fluide et le

milieu poreux. Les sections du début et de

la fin de la zone de transfert représentent

des faces verticales de discontinuité du

milieu d‟écoulement. A l‟entrée,

l‟écoulement est uniforme. A partir de

l‟entrée, l‟écoulement commence à se

développer axialement. Mais, le long de

son développement dans le premier tiers, il

rencontre la face amont de la zone de

transfert. Cette rencontre modifie le

développement de l‟écoulement. Une fois

dans la zone de transfert, l‟écoulement

commence à se développer dans un milieu

poreux. Le développement de l‟écoulement

dans le milieu poreux subit une

discontinuité à la face avale de la zone de

transfert: l‟écoulement passe du milieu

poreux à un tronçon du canal simple. Ce

passage modifie de nouveau l‟écoulement.

Finalement, une fois dans le troisième

tiers, l‟écoulement commence un troisième

développement qui s‟étend jusqu‟à la

sortie du canal. Le champ de vitesse (à

quelques positions axiales arbitrairement

choisies) et la distribution spatiale de la

pression sont illustrés dans la figure 8. De

cette figure, il est clair que la variation

axiale de la pression est surtout présente

dans la zone de transfert (à travers le

milieu poreux). La variation axiale de la

pression est très supérieure à celle du cas

du canal sans milieu poreux. Cependant, sa

variation transversale est négligeable. Avec

l‟atteinte du régime permanent et la

négligence des termes convectifs

(relativement faibles), les termes de Darcy,

de Forchheimer, de Brinkman et de

gradient de pression, dans l‟équation de

quantité de mouvement suivant x, sont

équilibrés.

Figure 8. Champ de pression et de vitesse d‟un

écoulement dans un canal partiellement poreux

Dans les figures 9 (a) et 9 (b) , on a tracé le

profil vertical de la vitesse horizontale à

quelques positions axiales arbitrairement

choisies. De cette figure, la variation

spatiale de vitesse le long du canal est bien

illustrée. Elle commence à se développer

dans le premier tiers du canal sous la forme

d‟un profile parabolique avec un

maximumégal à 1.5. A l‟approche de

l‟interface (fluide/milieu poreux), le

maximum de la vitesse diminue de 1.5 à

1.37. A l‟interface, le maximum diminue à

1.3. Il continue à diminuer dans le milieu

poreux jusqu‟à la valeur 1.07, à cause de la

résistance du milieu poreux à l‟écoulement

du fluide. La diminution du maximum de

la vitesse, situé à la demi hauteur du canal

est simultanément accompagnée par une



augmentation du niveau de la vitesse près

des parois pour conserver le débit axial de

l‟écoulement (conservation de masse).

Dans le milieu poreux, le profil de vitesse

est aplati. Dans le troisième tiers du canal

(voir la figure 9 (b), dès la sortie du milieu

poreux, la vitesse commence un

redéveloppement parabolique et atteint le

profile de Poiseuille à la sortie du canal.

Dans le milieu poreux, la variation

verticale de la vitesse horizontale près des

parois est dûe au terme de Brinkman ; mais

l‟aplatissement du profil de la vitesse, loin

des parois, est dû au terme de Forchheimer.

.

Figure 9. Profils verticaux de la vitesse horizontale

entre (a) l‟entrée et le milieu du canal, (b) entre le

milieu du canal et la sortie.

La distribution de la température est

illustrée dans la figure 10. L‟écoulement

est isotherme (à la température d‟entrée)

jusqu‟au début de la zone de transfert. On

constate une chute rapide de la température

dans la zone de transfert. Le

refroidissement axial rapide dans la zone

de transfert est mieux représenté par

l‟évolution axiale de la température

moyenne, présentée dans la figure 11. La

variation axiale de cette température

moyenne est définie par :

1

0

1

0

),(

),(),()(

dyyxU

dyyxTyxUxTm

Elle reste constante (égale à la valeur

d'entrée 1) jusqu'au début de la zone de

transfert où elle subit une chute axiale

jusqu‟à la fin de cette zone. A partir de

cette position, elle est constante jusqu‟à la

sortie. Dans ce cas d‟écoulement dans un

canal partiellement poreux, la température

moyenne à la sortie de la zone de transfert

vaut 0. Cela veut dire que la zone de

transfert refroidi totalement l‟écoulement.

Entre la sortie de la zone de transfert et la

sortie du canal, l‟écoulement est isotherme

à la température nulle. Donc, on constate

une amélioration nette du transfert

thermique par rapport à celui du canal sans

milieu poreux. L‟amélioration du transfert

thermique dans le milieu poreux est due à

l‟augmentation de la convection près des

parois (vitesse relativement plus grande) et

aussi l‟augmentation de la conduction de

chaleur par une conductivité thermique du

milieu poreux égale à 5.77 fois celle du

fluide.


d‟un écoulement.

a

a

b



Figure 11. Comparaison des températures

moyennes avec et sans milieu poreux.

La figure 12 illustre la variation axiale du

nombre de Nusselt local des deux parois du

canal poreux et non poreux. Premièrement,

la variation horizontale du nombre de

Nusselt local est définie par :

000

0 54.1177.5

22)(

ymymym

y

m

y

T

Ty

T

TTT

y

Tk

xNu

pour la paroi inférieure

111

1 54.1177.5

22)(

ymymym

y

m

y

T

Ty

T

TTT

y

Tk

xNu

pour la paroi supérieure.

Les conditions aux limites des parois du

canal restent les mêmes dans tous les cas.

Donc, le nombre de Nusselt local des

parois dans le premier et le troisième tiers

du canal est nul, puisque les parois sont

toujours adiabatiques. Dans la zone de

transfert, on constate une chute axiale

rapide du nombre de Nusselt local de 96.38

à la valeur asymptotique 53.27, très

supérieure à celle du canal sans milieu

poreux qui est égale à 7.54. L‟amélioration

du transfert thermique du cas avec milieu

poreux est très nette.

Figure 12. Comparaison des nombres de Nusselt

locaux avec et sans milieu poreux

5.2.3. Cas de l’écoulement dans le canal

poreux avec Grt = 104 (Convection

mixte)

Dans les deux cas étudiés de la convection

mixte, le deuxième tiers du canal est

rempli par la matière poreuse. Les

paramètres utilisés sont toujours les mêmes

: Rapport d‟aspect (L/H)=20, Re=100, Da

=10–2

, Cf = 0.55, φ=0.8, Pr=0.7 et Δt =10–4

.

On ajoute le paramètre Grt = 104. Donc,

seule la poussée thermique peut modifier

l‟écoulement. La figure 13 montre qu‟il

n‟y a pas un grand changement entre la

convection forcée et mixte concernant le

régime d‟écoulement ou sa forme, sauf une

petite augmentation de la chute axiale de la

pression ne dépasse pas 0.96% pour ce cas

par rapport au premier (cas du canal

poreux), avec une petite perturbation de la

vitesse au début de la zone de transfert.

Cette petite perturbation ne peut pas être

représentée graphiquement. Le faible effet

de la poussée thermique est limité dans la

petite zone de variation de température

prés de l‟entrée de la zone de transfert.



Figure 13. Profil de vitesse et de pression

(avec Grt = 104)

Des figures 14 et 15, il est clair que le

champ de température et la variation de la

température moyenne sont très proches de

celles du cas de la convection forcée. Cette

similarité des résultats est due à la faible

différence entre les écoulements de la

convection forcée et la convection mixte.

La similarité des transferts thermiques est

aussi illustrée par la distribution des

nombres de Nusselt locaux dans la figure

16.


(avec Grt = 104)

De cette figure, on peut remarquer que le

nombre de Nusselt de la convection mixte

varie de la même façon que celui de la

convection forcée. La différence qui existe

est entre les valeurs maximales de ce

nombre au début de la zone de transfert :

Figure 15. Variation axiale de la température

moyenne (avec Grt = 104)

dans le cas de la convection mixte, le

nombre de Nusselt est égal à 97.99 pour la

paroi supérieure et 94.7 pour la paroi

inférieure, alors qu‟il est égal à 96.38 pour

les deux parois du cas de la convection

forcée. Cependant, la valeur asymptotique

du nombre de Nusselt est 53.27 dans tous

les cas. La petite augmentation du nombre

de Nusselt à la paroi supérieure et sa petite

diminution à la paroi inférieure est due à la

perturbation légère de vitesse près de ces

parois (le faible effet de la poussée

thermique augmente légèrement la vitesse

près de la paroi supérieure et la diminue

légèrement aussi près de la paroi

inférieure).

Figure 16. Comparaison de la variation axiale des

nombres de Nusselt locaux de la convection forcée

et mixte



5.2.4. Cas de l’écoulement dans le canal

poreux avec Grt = 105 (Convection

mixte)

En augmentant le nombre de Grashof

thermique à 105, la convection mixte

s‟intensifie relativement au cas de Grt =

104, mais reste localement limitée à

l‟entrée de la zone de transfert où existe

une variation de température. La différence

entre les écoulements de la convection

forcée et mixte dans ce cas est mieux

représentée par les vecteurs de vitesse de la

figure 17. Dans cette figure, on remarque

aussi une distribution de la pression très

différente de celle de la convection forcée :

la pression est verticalement stratifiée dans

le premier tiers du canal : elle augmente

verticalement. Sa chute axiale augmente de

9.63% par rapport à celle du cas de la

convection forcée (canal poreux). On

constate aussi que dans la zone de

transfert, le niveau de la vitesse près de la

paroi inférieure est moins que celui près de

la paroi supérieure. Ce qui est bien illustré

dans les figures 18 (a , b).

Figure 17. Profil de vitesse de l‟écoulement dans

le canal partiellement poreux (avec Grt = 105).

Figure 18 (a, b) Profils verticaux de lavitesse

horizontale à quelques positions axiales

arbitrairement choisies (avec Grt = 105).

Dans les figures 19 et 20, Le champ

thermique et la variation de la température

moyenne sont légèrement différents des

résultats du cas de la convection forcée ou

du cas de la convection mixte avec Grt =

104. Sur la figure 21, on rapporte la

variation axiale du nombre de Nusselt, la

valeur maximale de ce nombre à la paroi

inférieure est égale à 77.32, cette valeur est

inférieure à celle de la paroi supérieure qui

est égale à 109.31, et à la valeur 96.38 de

la convection forcée. La vitesse augmente

prés de la paroi supérieure ce qui augmente

le nombre de Nusselt. La vitesse diminue

prés de la paroi inférieure ce qui diminue

le nombre de Nusselt. La différence qui

existe entre les valeurs du nombre de

Nusselt pour le cas de la convection forcée

et le cas de la convection mixte (avec Grt

=105)

est due à l‟effet de la poussée

thermique.

a

b




(avec Grt = 105).

Figure 20. Variation axiale de la température

moyenne (avec Grt = 105)

Figure 21. Comparaison de la variation du nombre

de Nusselt dans le canal partiellement poreux entre

Grt =0 et Grt =105.

5.2.5. Comparaison de nombres de

Nusselt moyens de la convection forcée

et mixte avec milieu poreux

Dans le tableau 1, on présente les nombres

de Nusselt moyens des cas étudiés. Le

nombre de Nusselt moyen est définit par :

33.13

67.6

)(63.6

1dxxNuNumoy

On constate, en général, qu‟il n‟existe pas

une considérable différence entre le

transfert thermique moyen de la convection

forcée et celui de la convection mixte.

Tableau 1. Nombres de Nusselt moyens de la

convection forcée et mixte.

6. CONCLUSION.

La simulation numérique du transfert de

chaleur dans un canal partiellement rempli

d‟une matière poreuse est l‟objectif

principal de cette étude. On commence par

le cas d‟écoulement dans le canal sans

milieu poreux, l‟écoulement développé est

de Poiseuille, la pression chute axialement,

la température subit un refroidissement

axial et transversal progressif et le nombre

de Nusselt diminue axialement. Dans le

canal partiellement rempli par une matière

poreuse de conductivité thermique égale à

5.77 celle du fluide et une porosité 0.8

avec Da = 10-2

, on trouve que l‟écoulement

est différent de celui de Poiseuille. On

trouve une diminution de température plus

rapide que celle du cas du canal sans

Grt = 0

Paroi inférieure

Paroi supérieure

Numoy = 54.724770

Numoy = 54.724770

Grt= 104

Paroi inférieure

Paroi supérieure

Numoy = 54.660680

Numoy = 54.787510

Grt =105

Paroi inférieure

Paroi supérieure

Numoy = 54.018020

Numoy = 55.269150



milieu poreux. Une chute axiale

continuelle de pression, concentrée dans le

deuxième tiers du canal, très supérieure à

celle du canal sans milieu poreux.

L‟utilisation du milieu poreux entraîne une

forte augmentation du nombre de Nusselt.

Par conséquent, une forte chute de pression

est le prix qui doit être payé en échange

pour le gain d'augmentation considérable

du transfert thermique. Dans le premier cas

de la convection mixte (Grt = 104), la

différence entre les résultats de ce cas et

ceux du cas de la convection forcée est

presque négligeable. Avec Grt = 105, il

y a une petite différence entre les résultats

de la convection forcée et mixte, qui est

illustrée par la différence des nombres de

Nusselt des deux parois. Les résultats

montrent que la convection mixte devient

significative pour des nombres de Grashof

égaux ou supérieures à 105. L‟utilité

pratique de ces résultats est l‟amélioration

du refroidissement des instruments

électroniques en les couvrant par des

couches poreuses et aussi bien dans les

échangeurs de chaleur. Comme

perspectives, nous envisageons de faire des

études spécifiques avec des couches

poreuses non homogènes et anisotropes,

avec des propriétés thermophysiques

variables, à un équilibre thermique non

local et avec l‟inclusion de l‟effet de la

dispersion thermique.

REFERENCES

[1] Bories S., & Prat M., 2005. Transferts

de chaleur dans les milieux poreux,

Techniques de l'Ingénieur. Traité Génie

Energétique, B8 (250),1-32.

[2] Nield D.A. & Bejan A., 1999.

Convection in porous media, 2nd Edition.

Springer-Verlag, New York, 546p.

[3] Kaviany M., 1985. Laminar flow

through a porous channel bounded by

isothermal parallel plates, International

Journal of Heat Mass Transfer, Vol. 28

(4), 851-858.

[4] Chou F.C., Cheng C.J. & Lien W.Y.,

1992. Analysis and experiment of non-

Darcian convection in horizontal square

packed-sphere channels- II. Mixed

convection, International Journal of Heat

Mass Transfer vol. 35(5),1197-1207.

[5] Sung H.J., Kim S.Y. & Hyun J.M.,

1995. Forced convection from an isolated

heat source in a channel with porous

medium, International Journal of Heat

Fluid Flow, Vol.16 (6), 527-535.

[6] Jiang P.X., Wang Z., Ren Z.P. & Wang

B.X., 1999. Experimental research of fluid

flow and convection heat transfer in plate

channels filled with glass or metallic

particles, Experimental Thermal and Fluid

Science, Vol.20, Issue.1, 45-54.

[7] Rahimian M.H., Pourshaghaghy A.,

2002. Direct simulation of forced

convection flow in a parallel plate channel

filled with porous media, International

Communication of Heat Mass Transfer,

Vol. 29 (6), 867-878.

[8] Jiang P. X., Li M., Ma Y. C. & Ren Z.

P., 2004. Boundary conditions and wall

effect for forced convection heat transfer in

sintered porous plate channels,

International Journal of Heat Mass

Transfer, Vol .47, 2073–2083.

[9] Jiang P. X., Li M., Lu T. J., Yu L. &

Ren Z. P., 2004. Experimental research on

convection heat transfer in sintered porous

plate channels, International Journal of

Heat Mass Transfer, Vol. 47, 2085–2096.

[10] Jiang P. X., Si G. S., Li M. & Ren Z.

P., 2004. Experimental and numerical

investigation of forced convection heat

transfer of air in non-sintered porous

media, Experimental Thermal and Fluid

Science, Vol. 28, 545–555.

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6V3H-4829H8G-GP&_user=4705552&_coverDate=05%2F31%2F1992&_alid=482776848&_rdoc=7&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5731&_sort=d&_st=1&_docanchor=&_acct=C000064368&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4705552&md5=69c5f6c1561e4c676da298e04176313c#hit2

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=PublicationURL&_cdi=5731&_pubType=J&_auth=y&_acct=C000064368&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4705552&md5=65b352bfd6e63b9929b9d2f490807dbb



http://www.sciencedirect.com/science?_ob=PublicationURL&_tockey=%23TOC%235731%231992%23999649994%23397905%23FLP%23&_cdi=5731&_pubType=J&view=c&_auth=y&_acct=C000064368&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4705552&md5=218b5fc581cac31b7657a64fb9f05ab4



[11] Chang P.Y., Shiah S.W. & Fu M.N.,

2004. Mixed convection in a horizontal

square packed-sphere channel under

axially uniform heating peripherally

uniform wall temperature, Numerical Heat

Transfer: Part A: Applications, Taylor &

Francis, Vol. 45 (8), 791-809.

[12] Hadim H. & North M., 2005. Forced

convection in a sintered porous channel

with inlet and outlet slots, International

Journal of Thermal Sciences, Vol. 44, 33–

42.

[13] Tzeng S.C., Jeng T.M. & Wang Y.C.,

2006. Experimental study of forced

convection in asymmetrically heated

sintered porous channels with/without

periodic baffles, International Journal of

Heat Mass Transfer, Vol. 49, 78-88.

[14] Jaballah S., Bennacer R., Sammouda

H. & Belghith A., 2006. Simulation of

mixed convection in a channel partially

filled with porous media, Progress in

Computational Fluid Dynamics,

International Journal, Vol. 6 (6), 335 –

341.

[15] Hetsroni G., Gurevich M. & Rozenblit

R., 2007. Sintered porous medium heat

sink for cooling of high-power mini-

devices, International Journal of Heat

Fluid Flow, Vol. 27, 259–266.

[16] Benmerkhi M., 2007. Transfert de

chaleur et de matière dans un canal rempli

partiellement d'une matière poreuse. Thèse

de Magistère en Physique Energétique.

Université de Constantine, Algérie. 101p.

[17] Patankar S.V., 1980. Numerical Heat

Transfer and Fluid Flow. 197p.

[18] Bejan A. & Kraus A. D., 1948. Heat

transfer handbook. USA, 1483p.

Nomenclature

Cf : Coefficient du terme de

Forchheimer, (Cf = 0.55).

Da : Nombre de Darcy, Da=K/H2.

Grt : Nombre de Grashof thermique,

2

3

10 )(

HTTgGrt T

.

H : Hauteur du canal (m).

ht : Coefficient du transfert de

chaleur local (W/m2°K).

K : Perméabilité du milieu poreux

(m2).

k : Rapport des conductivités

thermiques, (milieu poreux / fluide).

kf : Conductivité thermique du fluide

(W/m°K).

km : Conductivité thermique du milieu

poreux (W/m°K).

L : Longueur du canal (m).

Nu : Nombre de Nusselt local,

Nu=2htH/kf.

Numoy : Nombre de Nusselt moyen.

P : Pression (Pa).

Pr : Nombre de Prandtl, Pr = ν /α

Re : Nombre de Reynolds, Re=

U0H/ν.

T : Température adimensionnelle.

Tm : Température moyenne

adimensionnelle.

t : Temps adimensionnel.

U : Vitesse horizontale

adimensionnelle.

V : Vitesse verticale adimensionnelle.

x : Coordonnée axiale

adimensionnelle.

y : Coordonnée verticale

adimensionnelle.

Lettres grecques

α : Coefficient de diffusion

thermique (m2/s).

βT : Coefficient d'expansion

thermique (1/°K).

ν : Viscosité cinématique du fluide

(m2/s).

φ : Porosité du milieu poreux,

poreuxmilieudutotalVolume

poreuxmilieuduporesdesVolume .

Indices

0 : Fait référence à l'entrée du canal.

1 : Fait référence aux parois du canal.

Documents

Transfert de chaleur dans un canal partiellement rempli d