Transfert de masseSupport de cours

Filiere: G.P.E.E 1

Monssif NAJIM

18 Octobre 2017

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Contents

1. Introduction 2

2. Origines physique et loi de Fick 22.1 Origines physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Composition du mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 La loi de diffusion de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Diffusivité 5

4. Transfert de masse dans les milieux non stationnaires 64.1 Flux des espèces absolues et diffuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Évaporation dans une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Ecriture des bilans de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3.1 Bilan différentiel de matière en fonction des flux massique . . . . . . 114.3.2 Bilan différentiel de matière en fonction des flux molaire . . . . . . . 13

5. Approximation du milieu stationnaire 145.1 Ecriture des bilans de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Milieux stationnaires avec des concentrations surfaciques déterminées . . . 15

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1. Introduction

Nous avons appris que la chaleur dans un milieu est transférée s’il y a une différence dela température. De même, s’il y a une différence de la concentration de quelques espèceschimiques dans un mélange, le transfert de masse doit se produire.

Le transfert de masse est de la masse en transport suite à une différence de con-centration d’espèces dans un mélange.

Tout comme un gradient de température constitue le potentiel moteur pour le trans-fert de chaleur, un gradient de concentration d’espèces dans un mélange fournit le poten-tiel moteur pour le transport de ces espèces.

Il est important de bien comprendre le contexte dans lequel le terme "transfert demasse" est utilisé. Bien que la masse est certainement transféré chaque fois qu’il y a unmouvement bulk de fluide, ce n’est pas ce que nous avons à l’esprit. Par exemple, nousn’utilisons pas le terme transfert de masse pour décrire le mouvement de l’air induit parun ventilateur ou le mouvement de l’eau forcée à travers un tube. Dans les deux cas, il y aun mouvement de fluide brut ou bulk dû au travail mécanique. Nous utilisons cependantce terme pour décrire le mouvement relatif des espèces dans un mélange en raison de laprésence de gradients de concentration. Par exemple, la dispersion des oxydes de soufrelibérés par une cheminée de fumée d’une centrale électrique dans l’environnement. Unautre exemple est le transfert de vapeur d’eau dans l’air sec, comme dans un humidifica-teur domestique.

Il existe des modes de transfert de masse similaires aux modes de conduction et deconvection du transfert de chaleur. Dans ce cours, nous considérons le transfert de massepar diffusion, qui peut être analogue au transfert de chaleur par conduction.

2. Origines physique et loi de Fick

Du point de vue de physique et des équations gouvernantes, de fortes analogies existententre le transfert de chaleur et de masse par diffusion.

2.1 Origines physique

Considérons une chambre dans laquelle deux espèces de gaz différentes à la même tem-pérature et pression sont initialement séparés par une paroi. Si la paroi est retirée sansperturber le fluide, les deux espèces seront transportées par diffusion. La Figure 1 montrela situation telle qu’elle pourrait exister peu après la suppression de la paroi. Une con-centration plus élevée signifie plus de molécules par unité de volume, et la concentrationde l’espèce A (points bleu) diminue avec l’augmentation de x, tandis que la concentrationde B augmente avec x. Puisque la diffusion de masse est dans le sens d’une concentrationdécroissante, il y a transport net de l’espèce A vers la droite et de l’espèce B vers la gauche.

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Le mécanisme physique peut être expliqué en considérant le plan imaginaire représentépar une ligne pointillée en xo. Puisque le mouvement moléculaire est aléatoire, il y a uneprobabilité égale de toute molécule se déplaçant vers la gauche ou vers la droite. En con-séquence, plus de molécules d’espèces A traversent le plan à partir de la gauche (puisquec’est le côté de concentration A plus élevée) que de la droite. De même, la concentrationdes molécules B est plus élevée à la droite du plan qu’à gauche, et le mouvement aléatoirepermet le transfert net de l’espèce B vers la gauche. Bien sûr, après un temps suffisant,des concentrations uniformes de A et B sont obtenues, et il n’y a pas de transport netd’espèces A ou B à travers le plan imaginaire.

Figure 1: Transfert de masse par diffusion dans un mélange gazeux binaire.

La diffusion de masse se produit dans les liquides et les solides, ainsi que dans les gaz.Cependant, étant donné que le transfert de masse est fortement influencé par l’espacementmoléculaire, la diffusion se produit plus facilement dans les gaz que dans les liquides etplus facilement dans les liquides que dans les solides. Des exemples de diffusion dans lesgaz, les liquides et les solides, respectivement, comprennent l’oxyde nitreux d’un échappe-ment d’automobile dans l’air, l’oxygène dissous dans l’eau et l’hélium dans le Pyrex.

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2.2 Composition du mélange

Tout au long de ce cours, nous nous intéresserons au transfert de masse dans les mélanges.Nous examinons d’abord divers concepts de la thermodynamique. Un mélange est consti-tué de deux ou plusieurs constituants chimiques (espèces), et la quantité de toute espècepeut être quantifiée en fonction de sa concentration massique ρ i(kg/m3) ou de sa concen-tration molaire Ci(kmol/m3) . La concentration massique et la concentration molaire sontliées par le poids moléculaire de l’espèce, Mi(kg/kmol), tel que:

ρ i = MiCi (1)

Avec ρ i représente la masse des espèces i par unité de volume du mélange, la massevolumique du mélange est:

ρ =

∑

i

ρ i (2)

De même, le nombre total de moles par unité de volume du mélange est

C =

∑

i

Ci (3)

La quantité d’espèces i dans un mélange peut également être quantifiée en fonctionde sa fraction massique:

wi =ρ i

ρ(4)

ou sa fraction molaire:

xi =Ci

C(5)

D’après les équations 2 et 3, il s’ensuit que:

∑

i

wi = 1 (6)

et∑

i

xi = 1 (7)

Pour un mélange de gaz parfaits, la concentration massique et la concentration mo-laire de tout constituant sont liées à la pression partielle du constituant par la loi des gazparfaits comme suit:

ρ i =p i

RiT(8)

etCi =

p i

RT(9)

où Ri est la constante de gaz pour les espèces i et R est la constante de gaz universelle.En utilisant les équations 5 et 9 avec la loi de Dalton des pressions partielles,

4

p =

∑

i

p i (10)

il en résulte que:

xi =Ci

C=

p i

p(11)

2.3 La loi de diffusion de Fick

Puisque des mécanismes physiques semblables sont associés au transfert de la chaleuret de la masse par diffusion, il n’est pas étonnant que les équations correspondantes deflux diffusif soient de la même forme. L’équation du flux diffusif est connue comme loi deFick, et pour le transfert des espèces A dans un mélange binaire de A et de B, il peut êtreexprimé sous la forme vectorielle suivante:

JA =−ρDAB∇wA (12)

ou

J∗

A =−CDAB∇xA (13)

La forme de ces expressions est similaire à celle de la loi de Fourier. De plus, de mêmeque la loi de Fourier sert à définir une propriété de transport importante, la conductivitéthermique, la loi de Fick définit une seconde propriété de transport importante, à savoirle coefficient de diffusion binaire ou la diffusivité massique, DAB.

La quantité JA(kg/sm2) est définie comme le flux de masse diffusif de l’espèce A. C’estla quantité de A qui est transférée par diffusion par unité de temps et par unité de sur-face perpendiculaire à la direction de transfert, et elle est proportionnelle à la massevolumique du mélange, ρ = ρA +ρB(kg/m3) , et le gradient dans la fraction massique del’espèce, wA = ρA/ρ. Le flux d’espèces peut également être évalué sur une base molaire,où J∗

A(kmol/sm2) est le flux molaire diffusif de l’espèce A. Il est proportionnel à la concen-

tration molaire totale du mélange, C = CA +CB(kmol/m3), et au gradient dans la fractionmolaire de l’espèce, xA = CA/C. Les formes précédentes de la loi de Fick peuvent êtresimplifiées lorsque la masse volumique totale ρ ou la concentration molaire totale C estune constante.

3. Diffusivité

Il existe de nombreux ouvrages donnant des relations rigoureuses et semi-empiriquespermettant de calculer les diffisivités des mélanges binaires. Si nous nous limiteronsaux mélanges binaires gazeux ou liquides qui sont les plus nombreux rencontrés dansl’industrie chimique et pétrochimique, on pourra consulter „„

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Nous allons, dans ce qui suit, donner les unités, les ordres de grandeur des diffusivitésainsi que leur évolution en fonction des facteurs physiques, température et pression.

• UnitéL’unité SI est le m2s−1. L’unité la plus utilisée est l’unité CGS: 1cm2s−1

= 10−4 unitéSI

• Ordre de grandeurDiffusivité de la vapeur d’eau dans l’air à 20 ◦C : 2.5×10−1cm2.s−1

Diffusivité de la l’oxygène dans l’eau à 20 ◦C : 2.6×10−5cm2.s−1

Diffusivité de Na+ et Cl− dans l’eau à 20 ◦C : 1.5×10−5cm2.s−1

Pour presque tous les gaz TPN, D est dans la fourchette :

0.1< D < 0.4 cm2.s−1

Pour presque tous les liquides organiques et les ions en solution aqueuse, D est dansla fourchette:

0.5×10−5< D < 3.4×10−5cm2.s−1

• Influence de la température et de la pressionL’expérience montre que :

– Une augmentation de pression entraine pour les gaz une forte dimunition deD. Entre quelques centièmes et quelques dizaines d’atmosphères, on observela loi:

D =Cste

P

Pour les liquide, une faible diminution de D négligeable.

– Une augmentation de la température entraine pour les gaz une augmentationde D, proportionnelle à Tn.

D = (Cste)Tn

avec n = 1.5 pour les mélange binaires de gaz non polaire entre 200 et 1000K .avec n = 1.7 à 1.9 pour les mélange binaires de gaz contenant au moins un gazpolaire.Pour presque tous les liquides, une augmentation de D proportionnelle à T:

D = (Cste)T

4. Transfert de masse dans les milieux non stationnaires

4.1 Flux des espèces absolues et diffuses

Nous avons vu que le transfert de masse par diffusion est similaire au transfert de chaleurpar conduction et que les flux diffusifs, tels que indiqués par les équations 12 et 13, sontanalogues au flux thermique tel que exprimé par la loi de Fourier. S’il y a mouvement de

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masse, alors, comme le transfert de chaleur, le transfert de masse peut également se pro-duire par advection. Contrairement au transfert de chaleur par conduction, cependant,la diffusion d’une espèce implique toujours le déplacement de molécules ou d’atomes d’unendroit à l’autre. Dans de nombreux cas, ce mouvement à l’échelle moléculaire entraîneun mouvement de masse. Dans cette section, nous définissons le flux total ou absolu d’uneespèce, qui comprend à la fois des composants diffusifs et advectifs.

Le flux massique (ou molaire) absolu d’une espèce est défini comme le flux total parrapport à un système de coordonnées fixes. Pour obtenir une expression du flux de masseabsolu, on considère l’espèce A dans un mélange binaire de A et B. Le flux de masse absoluNA est lié à la vitesse absolue de l’espèce vA par:

NA = ρAvA (14)

Une valeur de vA peut être associée à n’importe quel point du mélange, et elle est in-terprétée comme la vitesse moyenne de toutes les particules A dans un petit élément devolume autour du point. Une vitesse moyenne ou agrégée peut également être associéeaux particules de l’espèce B, dans ce cas:

NB = ρBvB (15)

Dès lors, pour un mélange binaire, nous définissons la vitesse vitesse barycentriquemassique ou vitesse moyenne massique du fluide (bulk velocity) par l’expression:

ρv = N = NA +NB = ρAvA +ρBvB (16)

ce qui donne:v = wAvA +wBvB (17)

Il est important de noter que nous avons défini les vitesses (vA, vB, v) et les flux (NA,NB, N) comme des quantités absolues. Autrement dit, ils sont référés à des axes qui sontfixés dans l’espace. La vitesse moyenne massique massique v est un paramètre utile dumélange binaire, pour deux raisons. D’abord, il suffit de le multiplier par la masse volu-mique totale pour obtenir le flux massique total par rapport aux axes fixes. Deuxième-ment, c’est la vitesse moyenne de masse qui est requise dans les équations exprimant laconservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie.

Nous pouvons maintenant définir le flux massique de l’espèce A par rapport à lavitesse massique moyenne:

JA = ρA(vA −v) (18)

Alors que NA est le flux absolu de l’espèce A, jA est le flux relatif ou diffusif de l’espèceet est la quantité précédemment donnée par la loi de Fick, Équation 12. Il représentele mouvement de l’espèce par rapport au mouvement moyen du mélange. Il résulte deséquations 14 et 18 que:

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NA = JA +ρAv (19)

Cette expression délimite les deux contributions au flux absolu de l’espèce A: une con-tribution due à la diffusion (c’est-à-dire au mouvement de A par rapport au mouvementmassique moyen du mélange) et une contribution due à l’advection (ie mouvement de Aavec le mouvement massique moyen du mélange). En substituant les équations 12 et 16,nous obtenons:

NA =−ρDAB∇wA +wA(NA +NB) (20)

Si le second terme du côté droit de l’équation 20 est null, le transfert de masse del’espèce A se produit uniquement par diffusion, et la situation est analogue au transfertde chaleur uniquement par conduction. Nous identifierons plus tard les situations spé-ciales pour lesquelles cela se produit.

Les considérations précédentes peuvent être étendues à l’espèce B. Le flux de massede B par rapport à la vitesse moyenne de masse du mélange (le flux diffusif) est:

JB = ρB(vB −v) (21)

AvecJB =−ρDBA∇wA (22)

Il résulte des équations 16, 18 et 21 que les flux diffusifs dans un mélange binaire sontliés par:

JA + JB = 0 (23)

Si les équations 12 et 21 sont substituées dans l’équation 23, et il est reconnu que∇wA =−∇wB, puisque wA +wB = 1 pour un mélange binaire, il s’ensuit que

DBA = DAB (24)

Par conséquent, comme dans l’équation 20, le flux absolu de l’espèce B peut être ex-primé:

NB =−ρDAB∇wB +wB(NA +NB) (25)

Bien que les expressions précédentes se rapportent aux flux de masse, les mêmesprocédures peuvent être utilisées pour obtenir des résultats sur une base molaire. Lesflux molaires absolus des espèces A et B peuvent être exprimés comme:

N∗

A = CAvA et N∗

B = CBvB (26)

Le flux molaire total N∗ peut être alors défini en fonction d’une vitesse moyenne molaireou vitesse barycentrique molaire, v∗, en posant:

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N∗= N∗

A +N∗

B = Cv∗ = CAvA +CbvB (27)

donnant

v∗ = xAvA + xBvB (28)

Notez que la vitesse molaire moyenne n’est pas la même que la vitesse massique moyenneet n’est donc pas appropriée pour une utilisation dans les équations de conservation.

La signification de la vitesse molaire moyenne est que, quand elle est multipliée parla concentration molaire totale C, elle fournit le flux molaire total N∗ par rapport à unsystème de coordonnées fixes. L’équation 26 fournit le flux molaire absolu des espèces A etB. En revanche, le flux molaire de A par rapport à la vitesse moyenne molaire du mélange,appelé flux diffusif, peut être obtenu à partir de l’équation 13 ou de l’expression:

J∗

A = CA(vA −v∗) (29)

Pour déterminer une expression similaire à la forme de l’équation 19, nous combinonsles équations 26 et 29 pour obtenir:

N∗

A = J∗

A +CAv∗ (30)

Ou, à partir des équations 13 et 27:

N∗

A =−CDAB∇xA + xA(N∗

A +N∗

B) (31)

Notez que l’équation 31 représente le flux molaire absolu comme la somme d’un fluxdiffusif et d’un flux advectif. De même, si le deuxième terme du côté droit est null,le transfert de masse est purement par diffusion et est analogue à la conduction de lachaleur lorsqu’il est formulé en quantités molaires au lieu de quantités massiques. Pourle mélange binaire, il s’ensuit également que

J∗

A + J∗

B = 0 (32)

4.2 Évaporation dans une colonne

Considérons le système de diffusion représenté sur la figure 2. Un liquide A s’évaporedans un gaz B et nous pouvons imaginer que le niveau du liquide est maintenu constantà la hauteur z = 0. A l’interface liquide-gaz, la concentration de A est exprimée par CA0.Cette valeur est la concentration de gaz A correspondant à l’équilibre avec le liquide àl’interface. Dans le cas de gaz idéaux, la fraction molaire xA0 est alors égale au rapportentre la pression de vaporisation de A divisé par la pression ambiante. Nous supposeronsen outre que la diffusion de B dans le liquide A est négligeable.

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Figure 2: Diffusion en régime permanent d’une vapeur A au travers d’un gaz B. Le gaz Best immobile.

Au sommet de la colonne de hauteur L, un mélange de gaz A + B de concentration CAL

s’écoule lentement. Le système entier est supposé, en outre, être maintenu à pression et àtempérature constantes. Les deux gaz sont supposés idéaux. Comme CA0 > CAL, l’espèceA s’évapore de l’interface liquide et est transférée vers le haut par diffusion. Pour lesconditions stables et unidimensionnelles sans réactions chimiques, l’espèce A ne peut pass’accumuler dans le volume de contrôle de la figure 2, et le flux molaire absolu de A doitêtre constant dans toute la colonne. Par conséquent:

dN∗

A,z

dz= 0 (33)

A partir de la définition de la concentration molaire totale, C = CA +CB, xA + xB = 1dans toute la colonne. Sachant que CA0 > CAL, nous concluons que xA0 > xAL, L et

xB0 < xBL. Par conséquent,dxB

dz= 0 est positif, et le gaz B doit diffuser du sommet de

la colonne vers l’interface liquide. Cependant, si l’espèce B ne peut pas être absorbéedans le liquide A, les conditions d’équilibre ne peuvent être maintenues que si N∗

B= 0

partout dans le volume de contrôle de la figure 2. La seule manière dont cela est possibleest que la diffusion du gaz B vers le bas soit exactement compensée par l’advection ascen-dante du gaz B. L’implication de cette conclusion importante est que nous devons tenircompte de l’advection des gaz dans la colonne afin de prédire avec succès les distributionsdes fractions molaires xA(z) et xB(z), et, à leur tour, les distributions des concentrationsen espèces CA(z) = xA(z)C et CB(z) = xB(z)C, ainsi que le taux d’évaporation du liquideA. Une expression appropriée peut être obtenue en substituant l’exigence que N∗

B= 0 à

l’équation N∗

B= 0, donnant:

N∗

A,z =−CDAB

dxA

dz+ xA N∗

A,z (34)

Or, à partir de l’équation 27,

10

N∗

A,z =−CDAB

dxA

dz+CAv∗z (35)

De cette équation, il est évident que le transport diffusif des espèces A [−CDAB(dxA/dz)]est augmenté par le mouvement massique moyen (CAv∗z ). En réarrangeant l’équation 34,on obtient:

N∗

A,z =−CDAB

1− xA

dxA

dz(36)

Pour p et T constantes, C et DAB sont également constantes. En substituant l’équation36 à l’équation 33, on obtient alors:

d

dz

(

1

1− xA

dxA

dz

)

= 0

Intégrer deux fois, nous avons:

−ln(1− xA)=C1z+C2

Tenant compte les conditions xA(0) = xA,0 et xA(L) = xA,L, les constantes d’intégrationpeuvent être évaluées et la distribution de la fraction molaire devient:

1− xA

1− xA,0=

(

1− xA,L

1− xA,0

)z/L

(37)

Puisque 1− xA = xB, nous obtenons aussi:

xA

xA,0=

(

xA,L

xA,0

)z/L

(38)

Pour déterminer le taux d’évaporation de l’espèce A (flux molaire), l’équation 37 estd’abord utilisée pour évaluer le gradient de la fraction molaire (dxA/dz). En substituantle résultat à l’équation 36, il s’ensuit que

N∗

A,z =CDAB

Lln

(

1− xA,L

1− xA,0

)

(39)

4.3 Ecriture des bilans de matière

4.3.1 Bilan différentiel de matière en fonction des flux massique

Si on considère le bilan de matière du constituant A dans l’élément de volume paral-lélépipédique dx d y dz (figure 3), nous devons superposer à l’écoulement d’ensemble se dé-plaçant avec la vitesse barycentrique massique v, le flux diffusionnel massique JA. Nousobtenons, par application du principe de conservation de la matière l’équation suivante:

11

z

x

dy

dz

dx

y

Figure 3: bilan de matière

ρ

(

∂vx

∂x+∂vy

∂y+

∂vz

∂a

)

+ vx∂ρA

∂x+vy

∂ρA

∂y+vz

∂ρA

∂z+∂ρA

∂t

+∂JAx

∂x+

∂JAy

∂y+∂JAz

∂z− r A = 0 (40)

vx, vy, vz et JAx, JAy, JAz désignent respectivement les composantes des vecteursvitesse et flux massique sur les axes x, y et z. r A est la vitesse massique de productionchimique du constituant A.

Introduisons la dérivée matérielle de la masse volumique du constituant A. Pour unobservateur se déplaçant avec le fluide, on a :

dρA =∂ρA

∂tdt+

∂ρA

∂xdx+

∂ρA

∂yd y+

∂ρA

∂zdz

d’oùdρA

dt=

∂ρA

∂t+∂ρA

∂xvx +

∂ρA

∂yvy +

∂ρA

∂zvz

L’équation (40) s’écrit alors:

ρA

(

∂vx

∂x+∂vy

∂y+∂vz

∂z

)

+dρA

dt+∂JAx

∂x+∂JAy

∂y+

∂JAz

∂z− r A = 0 (41)

équation que l’en peut écrire sous la forme symbolique suivante :

ρAdiv(−→v )+dρA

dt+div(

−→JA)− r A = 0 (42)

Cette équation est particulièrement bien adaptée pour un système à masse volumiqueconstante (fluide incompressible). En effet, dans ces conditions:

div−→v = 0 (équation de la continuité) (43)

12

−→JA =−DAB

−−−→grad(ρA) (44)

et l’équation de bilan s’écrit:

dρA

dt= DAB∆(ρA)+ r A (45)

∆ désignant l’opérateur Laplacien.

4.3.2 Bilan différentiel de matière en fonction des flux molaire

Si nous supposons que le point matériel M se déplace avec la vitesse barycentrique mo-laire v∗, le bilan différentiel molaire s’écrit:

CAdiv(−→v∗)+

dCA

dt+div(

−→J∗

A)− r∗A = 0 (46)

où r∗A

désigne la vitesse molaire de production chimique du constituant A.

Cette équation est particulièrement bien adaptée pour un système à concentrationtotale constante (système gazeux sous pression totale et une température constantes).Dans ces conditions:

div−→v∗ = 0 (équation de la continuité) (47)

−→J∗

A =−DAB

−−−→grad(CA) (48)

et l’équation de bilan s’écrit:

dCA

dt= DAB∆(CA)+ r∗A (49)

• Remarque sur les équation de bilan

Nous venons d’indiquer, dans le cas de fluides incompressibles et de fluides à concen-tration totale constante, les bilans différentiels qu’il faudra considérer. Notons cependantque, dans le cas le plus général, pour résoudre le bilan différentiel de matière, il faudratenir compte simultanément des bilan différentiels d’énergie et de quantité de mouvement.Signalons que ces bilans sont obtenus en considérant la vitesse barycentrique massique et,par suite, même dans le cas d’un système à concentration totale constante, on introduiral’équation 42 plutôt que l’équation 46. Heureusement que pour de nombreux problèmes,on n’aura pas besoin de considérer simultanément les trois bilans différentiels d’extensité.

13

5. Approximation du milieu stationnaire

La loi de Fick pour le flux diffusif d’une espèce a été introduite dans les équations 12 et 13.Dans la section 4., nous avons vu que le mouvement moléculaire associé au transfert demasse peut induire un mouvement de masse dans un fluide par ailleurs stagnant. Dansce cas, le flux d’espèces absolu ou total (donné par l’équation 20 ou 31) comprend à la foisun composant diffusif (donné par l’équation 12 et 13) et un composant advectif associé aumouvement global. Dans cette section, nous considérons un scénario pour lequel il con-vient de négliger la contribution advective au transfert de masse.

Lorsque la diffusion d’une très petite quantité d’espèces A se produit dans une espècestagnante B, le mouvement moléculaire associé au transfert de masse n’induit pas demouvement important du milieu. Cette situation est courante quand on considère ladiffusion d’un gaz ou d’un liquide dilué dans un liquide stagnant ou un milieu hôte solide,comme lorsque de la vapeur d’eau est transférée à travers la paroi solide d’une pièce.Dans ces cas, le milieu peut être supposé stationnaire et l’advection peut être négligée.Pour les situations où cette approximation du milieu stationnaire est appropriée, la massediffusive et les flux molaires des équations 12 et 13 sont identiques à la masse absolue etaux flux molaires. À savoir:

NA = JA =−ρDAB∇wA (50)

N∗

A = J∗

A =−CDAB∇xA (51)

5.1 Ecriture des bilans de matière

Les équations de bilan de matière 42 et 46 deviennent alors

∂ρA

∂t+div(

−→JA)− r A = 0 (52)

En terme molaire,

∂CA

∂t+div(

−→J∗

A)− r∗A = 0 (53)

En remplaçant, JA et J∗

Apar leur expression dans la loi de Fick (12 et 13), nous

obtenons:

∂ρA

∂t=

∂

∂x

(

ρDAB

∂wA

∂x

)

+∂

∂y

(

ρDAB

∂wA

∂y

)

+∂

∂z

(

ρDAB

∂wA

∂z

)

+ r A (54)

∂CA

∂t=

∂

∂x

(

CDAB

∂xA

∂x

)

+∂

∂y

(

CDAB

∂xA

∂y

)

+∂

∂z

(

CDAB

∂xA

∂z

)

+ r∗A (55)

14

Dans les traitements ultérieurs des phénomènes de diffusion d’espèces, nous allonstravailler avec des versions simplifiées des équations précédentes. En particulier, si DAB

et ρA ou C sont constants, ces équations peuvent être exprimées comme suit:

1

DAB

∂ρA

∂t=

∂2ρA

∂x2 +∂2ρA

∂y2 +∂2ρA

∂z2 +r A

DAB

(56)

1

DAB

∂CA

∂t=

∂2CA

∂x2 +∂2CA

∂y2 +∂2CA

∂z2 +

r∗A

DAB

(57)

Les équations de diffusion des espèces peuvent également être exprimées en coordon-nées cylindriques et sphériques. Ces formes alternatives peuvent être déduites des expres-sions analogues pour le transfert de chaleur. En termes de concentration molaire sont:

Coordonnées cylindriques:

∂CA

∂t=

1

r

∂

∂r

(

CDABr∂xA

∂r

)

+1

r2

∂

∂φ

(

CDAB

∂xA

∂φ

)

+∂

∂z

(

CDAB

∂xA

∂z

)

+ r∗A (58)

Coordonnées sphériques:

∂CA

∂t=

1

r2

∂

∂r

(

CDABr2∂xA

∂r

)

+1

r2sin2θ

∂

∂φ

(

CDAB

∂xA

∂φ

)

+1

r2sinθ

∂

∂θ

(

CDABsinθ∂xA

∂θ

)

+r∗A

(59)

Des formes plus simples sont, bien sûr, associées à l’absence de réactions chimiques età des conditions unidimensionnelles et stationnaires.

5.2 Milieux stationnaires avec des concentrations surfaciques déterminées

Considérons, par exemple, la diffusion unidimensionnelle de l’espèce A à travers un milieuplane de A et B, comme le montre la figure 4. Pour les conditions stationnaires sansréactions chimiques homogènes, la forme molaire de l’équation de diffusion des espèces55 réduit à:

∂

∂z

(

CDAB

∂xA

∂z

)

= 0 (60)

En supposant que la concentration molaire totale et le coefficient de diffusion soientconstants, l’équation 60 peut être résolue et les conditions aux limites illustrées à la figure4 peuvent être appliquées pour obtenir:

xA(z)=(

xA,S2− xA,S1) z

L+ xA,S1 (61)

En remplaçant dans l’équation 51,

15

Figure 4: Diffusion unidimensionnelle à travers un milieu plane

N∗

A,z =−CDAB

(

xA,S2− xA,S1)

L(62)

En multipliant par la surface A et en substituant xA = CA/C, le débit molaire (taux)est alors:

m∗

A,z =DABA

L

(

CA,S1−CA,S2)

(63)

A partir de cette expression, nous pouvons définir une résistance au transfert de massepar diffusion dans un milieu plane :

Rm,di f =

(

CA,S1−CA,S2)

N∗

A,z

=L

DAB A(64)

En comparant les résultats précédents avec ceux obtenus pour une conduction unidi-mensionnelle en régime stationnaire dans une paroi plane sans génération, il est évidentqu’il existe une analogie directe entre le transfert de chaleur et de masse par diffusion.

L’analogie s’applique également aux systèmes cylindriques et sphériques. Pour unediffusion unidimensionnelle stationnaire à travers un milieu cylindrique non réactif, l’équation,58 se réduit à:

∂

∂r

(

rCDAB

∂xA

∂r

)

= 0 (65)

De même, pour un milieu sphérique:

16

Table 1: Résumé des solutions de diffusion des espèces pour les milieux stationnaires avecdes concentrations de surface spécifiées1.

ConfigurationRépartition de la fractionmolaire de l’espèce xA,r ou xA,z

résistance au transfertde masseRm,di f

xA(z)=(

xA,S2− xA,S1) z

L+ xA,S1 Rm,di f =

L

DABA2

xA(r)=

(

xA,S1− xA,S2)

ln (r1/r2)ln

(

r

r2

)

+ xA,S2 Rm,di f =ln (r2/r1)

2πLDAB A3

xA(r)=

(

xA,S1− xA,S2)

1/r1−1/r2

(

1

r−

1

r2

)

+ xA,S2 Rm,di f =1

4πDAB

(

1

r1−

1

r2

)

4

∂

∂r

(

CDABr2∂xA

∂r

)

= 0 (66)

Les équations 65 et 66, ainsi que l’équation 60, imposent que le débit (taux) de trans-fert molaire, m∗

A,r ou m∗

A,x, soit constant dans la direction du transfert (r ou x). En sup-posant que C et DAB sont constants, il est simple d’obtenir des solutions générales auxéquations 65 et 66. Pour les concentrations d’espèces de surface définis, les solutions cor-respondantes et les résistances de diffusion sont résumées dans le tableau 14.1.

Bien que les résistances de diffusion des espèces soient exactement analogues aux ré-sistances de conduction thermique, il n’est généralement pas possible de combiner desrésistances de diffusion en série pour des couches multiples comme cela se fait avec desrésistances de conduction. Le transfert de masse est compliqué par l’existence de concen-trations discontinues d’espèces à travers les interfaces entre différents matériaux.

1Sous l’hypothèse d’une constante C et DAB .2m∗

A,x =(

CA,S1 −CA,S2)

/Rm,di f = C(

xA,S1 − xA,S2)

/Rm,di f3m∗

A,r =(

CA,S1 −CA,S2)

/Rm,di f = C(

xA,S1 − xA,S2)

/Rm,di f4m∗

A,r =(

CA,S1 −CA,S2)

/Rm,di f = C(

xA,S1 − xA,S2)

/Rm,di f

17