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Transformação LinearTransformação Linear
Definição: Sejam dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de
se:
eU V
emU V
a) 1 2 1 2 1 2, ,T u u T u T u u u U
b) 1 1 1, ,T u T u u R U
Obs: Se então a transformação linear é chamada de Operador Linear.
U V
ExemplosExemplos1) Transformação Linear Nula
2) Operador Linear Identidade
3) tal que
4) dada por
5) definida por
:T U V , fixo,T u u u R U
2 3:T R R , 2 ,0,T x y x x y
: n nT P R P R
´f
T f x f xx
Contra - ExemploContra - Exemplo
definida por
:T R R
2 ,T x x x R
2 2 21 2 1 2 1 1 2 22T u u u u u u u u
pois temos que:
2 21 2 1 2T u T u u u
PropriedadesPropriedades
Sejam dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles. Então:
P1) 0 0T
P2) ,T u T u u U
P3) , ,T u v T u T v u v U
PropriedadesPropriedades
P4) Se é um subespaço de , então a imagem de pela transformação linear é um subespaço vetorial de , isto é, é subespaço vetorial real.
P5)
U
W UW
T W
1 1
n n
i i i ii i
T u T u
PropriedadesPropriedades
P6) Sejam e espaços vetoriais reais e uma base de .
Dados vetores arbitrários de , existe uma transformação linear tal que:
e
VUU 1 2, ,..., nB u u u
1 2, ,..., nv v v V
:T U V
1 1 ,T u v 2 2T u v ,..., n nT u v
Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio da função dado por:
ker( ) ( ) ( ) 0T N T u T u U
Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da Transformação o subconjunto do contra-domínio da função dado por:
Im( ) onde ( )T v u T u v V U
ExercíciosExercíciosExercício 01: Verificar se as funções
abaixo são transformações lineares e determinar seus núcleos e imagens:
2:T R R dada por , 2 3T x y x y a)
b)
c)
32: definida porT P R R
22 1 0 1 0 2 1 02 , ,3T a x a x a a a a a a
22: tal queT R M R 2
,x x y
T x yy x
Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem
Proposição: Dada uma transformação linear, temos que:
1. O núcleo da transformação é um subespaço vetorial do domínio da função.
2. A imagem da transformação é um subespaço vetorial do contra-domínio da função.
RecordandoRecordando
Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita:
1. Injetora se: 1 2 1 2, , entãoa a A a a 1 2( ) ( )F a F a
1 2 1 2 1 2ou seja, , ,a a A F a F a a a
, tal queb B a A F a b
ou seja, Im .F B
2. Sobrejetora se:
RecordandoRecordando
Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita bijetora se é injetora e sobrejetora simultâneamente.
TeoremasTeoremas
Proposição: Uma transformação linear é injetora se e somente se . 0N T
Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então:
dim dim dim ImN T T U
Resultados ImportantesResultados Importantes
Proposição: Dada uma transformação linear, temos que se
1 2
1 2
, ,..., então
Im , ,...,
n
n
u u u
T T u T u T u
U
Resultados ImportantesResultados ImportantesCorolário: Dada uma transformação
linear de espaços vetoriais de dimensão iguais. Então as afirmações abaixo são equivalentes:
(1) É sobrejetora
(2) É bijetora
(3) É injetora
(4) Transforma base do domínio em
base do contradomínio.
IsomorfismoIsomorfismo
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).
Notação: U V~
AutomorfismoAutomorfismo
Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo.
Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.
Resultados ImportantesResultados Importantes
Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.
1 1
,
onde pertence a base de e
pertence a base de
n n
i i i ii i
i
i
T u v
u
v
U
V
Resultados ImportantesResultados Importantes
Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se
dim dimU V
Exercícios: Transformações Lineares