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BLOQUE IV, MATE I, SOLUCION DE PROBLEMAS
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EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE MATEMATICAS I BLOQUE IV: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
NAVARRO SUAREZ JOSE LUIS, Coordinador de TELEBACHILLERATO No. 126, GUANDARO, MPIO. PENJAMILLO, Cel.: 722 143 16 91, E-mail: [email protected]
Pg. 107 Actividad Esta actividad temΓ‘tica es para realizarse en grupos de tres o cuatro alumnos. Pepe, Juan, Diego y Carlos compraron algunas golosinas. Pepe comprΓ³ 2 chocolates, 7 naranjas y 6 chicles; Juan comprΓ³ 3 chocolates, 8 naranjas y 10 chicles; Diego comprΓ³ 9 chocolates, 2 naranjas y 2 chicles, y Carlos comprΓ³ 3 chocolates, una naranja y 6 chicles. Considera que:
π₯ = precio de un chocolate = $ 5.00 y = precio de una naranja = $ 3.00 z = precio de un chicle = $ 1.00
1. ΒΏCΓ³mo presentarΓas la compra por cada uno de ellos?
Pepe: 2π₯ + 7π¦ + 6π§ Juan: 3π₯ + 8π¦ + 10π§ Diego: 9π₯ + 2π¦ + 2π§ Carlos: 3π₯ + π¦ + 6π§
2. ΒΏCuΓ‘ntos productos de cada uno compraron, de acuerdo con su representaciΓ³n algebraica? a) Chocolates: 17π₯ b) Naranjas: 18π¦ c) Chicles: 24π§
3. ΒΏCuΓ‘l es la ecuaciΓ³n general de la compra? 17π₯ + 18π¦ + 24π§
Pg. 109 Ejercicios Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
No. ExpresiΓ³n escrita ExpresiΓ³n verbal 1. π΄ Cualquier numero, una cantidad, una variable, incluso una constante. 2. π΄ + π + π La suma de tres nΓΊmeros cualesquiera. 3. π΄ β π La diferencia de dos nΓΊmeros cualesquiera. 4. 2(π + π + π) El doble de la suma de tres nΓΊmeros cualesquiera. 5. π΄Β³ El cubo de un nΓΊmero cualquiera. 6. πΒ² + πΒ² La suma de los cuadrados de dos nΓΊmeros cualesquiera. 7. (π + π)Β³ El cubo de la suma de dos nΓΊmeros cualesquiera. 8. 2π + π El doble de un nΓΊmero mΓ‘s otro. 9. 2πΒ³ El doble del cubo de un nΓΊmero cualesquiera. 10. (3π)Β² El cuadrado del triple de un nΓΊmero cualesquiera. 11. 3π
2
La mitad del tripe de un nΓΊmero cualesquiera.
12. π3β 2π La tercera parte de un nΓΊmero menos el doble de otro.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE MATEMATICAS I BLOQUE IV: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
NAVARRO SUAREZ JOSE LUIS, Coordinador de TELEBACHILLERATO No. 126, GUANDARO, MPIO. PENJAMILLO, Cel.: 722 143 16 91, E-mail: [email protected]
Pg. 118 Actividad Carmen trabaja en una empresa que se dedica a la venta de telΓ©fonos mΓ³viles (celulares) y tarjetas telefΓ³nicas. El gerente pidiΓ³ que le rindiera un informe de la cantidad de las tarjetas vendidas en la semana, de tal manera que las mismas fueran desglosadas en tΓ©rminos de x, cuando x = 10. Carmen realizΓ³ el siguiente reporte:
DΓa Venta Lunes 4xΒ³ + 6xΒ²β 4xβ 12 Martes 8xΒ³β 125 MiΓ©rcoles 2xΒ³ + 2xΒ² + 8x Jueves xΒ³ + 8 Viernes xβ΄β 6xΒ³β 4xΒ² SΓ‘bado 2xβ΄β 12xΒ³β 8xΒ²
1. ΒΏCuΓ‘ntas tarjetas vendiΓ³ cada dΓa? β’ Lunes: 4548 β’ Martes: 7875 β’ MiΓ©rcoles: 2280 β’ Jueves: 1008 β’ Viernes: 3600 β’ SΓ‘bado: 7200 β’ Domingo:
2. ΒΏCuΓ‘ntas tarjetas vendiΓ³ en total en la semana? 26,511
3. El 2x por ciento de las tarjetas vendidas el dΓa sΓ‘bado, correspondiΓ³ a tarjetas que cuestan $100.00.
ΒΏCuΓ‘ntas tarjetas de este precio vendiΓ³ ese mismo dΓa? 1440
4. ΒΏA cuΓ‘nto asciende la venta de ese dΓa en pesos? $144,000
5. ΒΏCuΓ‘l es la expresiΓ³n en tΓ©rminos de x que determina la venta de ese dΓa? $ = π₯5 + 4π₯4 + 4π₯Β³
6. La empresa le otorga a Carmen el (x + 2) por ciento de comisiΓ³n por cada $100.00 que venda. ΒΏCuΓ‘ntas tarjetas, en tΓ©rminos de x vendiΓ³ el dΓa jueves? π₯Β³ + 8
7. ΒΏCuΓ‘nto se ganΓ³ el dΓa jueves?
8. Si multiplicamos (2xΒ² + 10x + 25), por una cierta cantidad, en tΓ©rminos de x, se obtiene la venta total del dΓa martes, ΒΏCuΓ‘l es esa cantidad?
9. ΒΏCuΓ‘nto gano Carmen en la semana?
10. ΒΏQuΓ© tipo de polinomio representan las ventas de cada dΓa, y de quΓ© grado son?
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DΓa Venta Tipo de polinomio Grado absoluto del polinomio Lunes 4xΒ³ + 6xΒ²β 4xβ 12 Polinomio Tres Martes 8xΒ³β 125 Binomio Tres MiΓ©rcoles 2xΒ³ + 2xΒ² + 8x Trinomio Tres Jueves xΒ³ + 8 Binomio Tres Viernes xβ΄β 6xΒ³β 4xΒ² Trinomio Cuatro SΓ‘bado 2xβ΄β 12xΒ³β 8xΒ² Trinomio Cuatro
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Pg. 121 Ejercicios Reducir los siguientes tΓ©rminos:
1. 7π₯π+2π¦π+1 β 5π₯π+2π¦π+1 = 2π₯π+2π¦π+1
2. 4π₯ β 6π₯ + 7π₯ = 11π₯ β 6π₯ = 5π₯
3. β2π¦ + 3π¦ β 5π¦ = 3π¦ β 7π¦ = β4π¦
4. 3π₯π¦ + 4π₯π¦ β 5π₯π¦ = 7π₯π¦ β 5π₯π¦ = 2π₯π¦
5. 7π β 8π + π = 8π β 8π = 0
6. β7π₯π¦ + 4π₯π¦ + 5π₯π¦ = 9π₯π¦ β 7π₯π¦ = 2π₯π¦
7. β3π₯π + 2π₯π + 4π₯π = 6π₯π β 3π₯π = 3π₯π
8. β5ππ+1 β 2ππ+1 + 3ππ+1 = 3ππ+1 β 7ππ+1 = β4ππ+1
9. π₯ β 2π₯ + 3π₯ β 4π₯ = 4π₯ β 6π₯ = β2π₯
10. 2π₯π¦ β 3π₯π¦ + π₯π¦ + 2π₯π¦ = 5π₯π¦ β 3π₯π¦ = 2π₯π¦
11. 3π¦2 β 2π¦2 + 4π¦2 β 3π¦2 = 7π¦2 β 5π¦2 = 2π¦2
12. ππ β 2ππ + 3ππ β ππ = 4ππ β 3ππ = ππ
13. 4π₯π¦ β 2π₯π¦ + 3π₯π¦ β 5π₯π¦ = 7π₯π¦ β 7π₯π¦ = 0
14. β3ππ2 + 4ππ2 + ππ2 β 2ππ2 = 5ππ2 β 5ππ2 = 0
15. 15π₯π¦ β 7π₯π¦ + π₯π¦ β 3π₯π¦ = 16π₯π¦ β 10π₯π¦ = 6π₯π¦
16. β3ππ + 4ππ β ππ + 5ππ = 9ππ β 4ππ = 5ππ
17. 12π¦2 β 3π¦2 + 9π¦2 β 8π¦2 = 21π¦2 β 11π¦2 = 10π¦2
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18. β2π₯ + 3π₯ β 4π₯ + 5π₯ + 3π₯ = 11π₯ β 6π₯ = 5π₯
19. β3π¦ + 4π¦ + π¦ β 2π¦ + 5π¦ = 10π¦ β 5π¦ = 5π¦
20. 3π₯2π¦ + 4π₯2π¦ β 5π₯2π¦ β 6π₯2π¦ + 7π₯2π¦ = 14π₯2π¦ β 11π₯2π¦ = 3π₯2π¦
21. 2π₯3 β 3π₯3 + 4π₯3 β π₯3 β 2π₯3 = 6π₯3 β 6π₯3 = 0
22. 2π₯π+1 β 3π₯π+1 + π₯π+1 β 2π₯π+1 β π₯π+1 = 3π₯π+1 β 6π₯π+1 = β3π₯π+1
23. β2π¦ + 3π¦ β π¦ + 4π¦ β 2π¦ β π¦ = 7π¦ β 6π¦ = π¦
24. 12π + 1
2π = π
25. 25π + 1
10π = 20+5
50π = 25
50π = 1
2π
26. 13π¦π§ + 1
6π¦π§ = 6+3
18π¦π§ = 9
18π¦π§ = 1
2π¦π§
27. β35ππ₯ β 2
5ππ₯ = β3β2
5ππ₯ = β5
5ππ₯ = βππ₯
28. β35π + 1
4π β 1
2π = β24+10β20
40π = 10β44
40π = β34
40π = β17
20π
29. 23π¦ + 1
3π¦ β π¦ = 6+3β9
9π¦ = 9β9
9π¦ = 0
30. β24ππ₯+2 β 15ππ₯+2 + 39ππ₯+2 = 39ππ₯+2 β 39ππ₯+2 = 0
31. β5ππ₯ + 9ππ₯ β 35ππ₯ = 9ππ₯ β 40ππ₯ = β31ππ₯
32. β11ππ β 15ππ + 26ππ = 26ππ β 26ππ = 0
33. 19π β 10π + 6π = 25π β 10π = 15π
34. β π₯ + 19π₯ β 18π₯ = 19π₯ β 19π₯ = 0
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35. 12ππ β 23ππ β 5ππ = 12ππ β 28ππ = β16ππ
36. β8π₯ + 9π₯ β π₯ = 9π₯ β 9π₯ = 0
37. 9π β 3π + 5π = 14π β 3π = 11π
38. β21ππ + 52ππ β 60ππ + 84ππ β 31ππ β ππ β 23ππ = 136ππ β 136ππ = 0
39. 40π β 81π + 130π + 41π β 83π β 91π + 61π = 272π β 255π = 17π
40. 56π3π2 + 2
3π3π2 β 1
4π3π2 β 5
8π3π2 + 4π3π2 = 480+384β144β360+2304
576π3π2 = 4 5
8π3π2
41. 84π2π₯ β 501π2π₯ β 604π2π₯ β 715π2π₯ + 231π2π₯ + 165π2π₯ = 480π2π₯ β 1820π2π₯ =β1340π2π₯
42. βπ2b + 15π2b + π2b β 85π2b β 131π2b + 39π2b = 55π2b β 217π2b = β162π2b
43. β9π β 11π β 17π β 81π + 110π = 110π β 118π = β8π
44. π + 6π β 2π + 150π β 80π + 31π = 188π β 82π = 106π
45. βππ₯+1 + 7ππ₯+1 β 11ππ₯+1 β 20ππ₯+1 + 26ππ₯+1 = 33ππ₯+1 β 32ππ₯+1 = ππ₯+1
46. 7ππ₯ β 30ππ₯ β 41ππ₯ β 9ππ₯ + 73ππ₯ = 80ππ₯ β 80ππ₯ = 0
47. β2π₯ + 23π₯ + 1
4π₯ + π₯ β 5
6π₯ = β144+48+18+72β60
72π₯ = β11
12π₯
48. 12π₯ + 2
3π₯ β 7
6π₯ + 1
2π₯ β π₯ = 36+48β84+36β72
72π₯ = β1
2π₯
49. βπ + π β π + π β 3π + 6π = 8π β 5π = 3π
50. π2π¦ β 7π2π¦ β 93π2π¦ + 51π2π¦ + 48π2π¦ = 100π2π¦ β 100π2π¦ = 0
51. βππ + 14ππ β 31ππ βππ + 20ππ = 34ππ β 33ππ = ππ
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52. β7π + 21π + 14π β 30π + 82π = 117y β 37y = 80y
53. βπ + 8π β 11π + 15π β 75π = 23π β 87π = β64π
54. β56ππ2 β 1
6ππ2 + ππ2 β 3
8ππ2 = β240β48+288β108
288ππ2 = β3
8ππ2
55. 35π2π β 1
6π2π + 1
3π2π β π2π = 54β15+30β90
90π2π = β 7
30π2π
56. 13π¦ β 1
3π¦ + 1
6π¦ β 1
12π¦ = 216β216+114β57
684π¦ = 1
12π¦
57. 12π₯ β 1
3π₯ + 1
4π₯ β 1
5π₯ = 60β40+30β24
120π₯ = 13
60π₯
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Pg. 124 Actividad Para realizar esta actividad se sugiere hacer equipos de 3 o 4 alumnos. Considera que π₯ representa una moneda de $10.00.
1. Entonces, un billete de $100.00 serΓ‘ su cuadrado, ΒΏPor quΓ©? ππ π₯ = 10; πππ‘πππππ π₯Β² = 100
2. ΒΏCΓ³mo expresarΓ‘s $110.00 en los mismos tΓ©rminos? 110 = 100 + 10 = 10Β² + 10 = π₯2 + π₯
3. ΒΏCuΓ‘nto serΓ‘: xΒ²+2x+3? π₯Β² + 2π₯ + 3 = 10Β² + 2(10) + 3 = 123
4. ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ la expresiΓ³n para $358.00? 358 = 300 + 50 + 8 = 3(102) + 5(10) + 8 = 3π₯2 + 5π₯ + 8
5. Expresa $5.00 en los mismos tΓ©rminos. 5 = 10 2β = π₯ 2β
6. ΒΏDe cuΓ‘nto dinero hablamos cuando decimos xΒ²-10x? π₯Β² β 10π₯ = 10Β² β 10(10) = 0
7. ΒΏCΓ³mo expresarΓ‘s $1000.00, en tΓ©rminos de x? 1000 = 10Β³ = π₯Β³
8. ΒΏCΓ³mo expresarΓ‘s $1,115.00 en tΓ©rminos de x? 1115=1000+100+10+5=10Β³+10Β²+10+5=xΒ³+xΒ²+x+
π₯2
9. ΒΏQuΓ© cantidad representa la siguiente expresiΓ³n: 2xΒ³+3xΒ²+2x+3? 2π₯Β³ + 3π₯Β² + 2π₯ + 3 = 2(103) + 3(102) + 2(10) + 3 = 2000 + 300 + 20 + 3 = 2323
10. La expresiΓ³n algebraica de la pregunta tres corresponde a un polinomio de tres tΓ©rminos, ΒΏRecuerdas cΓ³mo se llama? ππππππππ
11. ΒΏQuΓ© tipo de polinomio representa la expresiΓ³n algebraica de la pregunta 7? πππππππ
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Pg. 129 Actividad En la cooperativa del Telebachillerato βMata Oscuraβ, venden los siguientes productos, con sus respectivos precios:
Producto Precio Galletas $5.00 Refrescos $8.00 Paletas $2.00 Chicles $1.00 Pambazos $4.00 Tortas $4.00 Palomitas $10.00 Gelatinas $3.00 Yogurt $6.00 MazapΓ‘n $2.00 Dulces $1.00
1. Si decimos que tres chicles cuestan los mismo que tres chicles, ΒΏCuΓ‘l propiedad estamos aplicando?
π πππππ₯ππ£π
2. Si un pambazo cuesta lo mismo que una torta, y una torta cuesta los mismo que dos paletas, ΒΏCuΓ‘l propiedad se aplica? πππππ ππ‘ππ£π
3. Establece la propiedad simΓ©trica de la igualdad para las tortas y los pambazos. ππ π’π ππππππ§π ππ πππ’ππ π π’ππ ππππ‘π, ππ ππππ‘π ππ πππ’ππ ππ ππππππ§π
ππ 1 ππππππ§π $4.00 = 1 ππππ‘π $4.00, πππ‘πππππ : 1 ππππ‘π $4.00 = 1 ππππππ§π $4.00
4. Si una torta cuesta igual que un pambazo, entonces, si aplicamos la propiedad de la adiciΓ³n para la igualdad, respecto a los dulces, ΒΏCΓ³mo lo enunciarΓas? ππ π’ππ ππππ‘π ππ πππ’ππ π π’π ππππππ§π,ππ πππππππππππ π’π ππ’πππ π πππππ , Γ©π π‘ππ π ππππΓ‘π π πππππ πππ’ππππ .
5. Si un yogurt cuesta lo mismo que dos gelatinas, y si a cada uno le restamos el costo de un chicle, ΒΏCuΓ‘nto nos queda?, y ΒΏCuΓ‘l propiedad aplicarΓas? $5.00, ππ πππππππππ ππ ππ π π’π π‘πππππΓ³π
6. ΒΏCΓ³mo aplicarΓas la propiedad de la igualdad para la multiplicaciΓ³n, y con cuales productos?ππ π’ππ πππππ‘π ππ πππ’ππ π π’π πππ§ππΓ‘π,ππ ππ’ππ‘ππππππππππ πππ π’πππ πππππππ‘ππ , ππ πππ’πππππ ππ π π πππ‘πππ
7. Un paquete de palomitas cuesta lo mismo que dos paquetes de galletas, si dividimos el costo de cada uno de estos productos entre el costo de un pambazo, obtenemos la misma cantidad, ΒΏQuΓ© propiedad estamos utilizando? πππππππππ ππ ππ πππ£ππ πΓ³π
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Pg. 131 Actividad Roberto es tapicero y cuenta con los siguientes pedazos de tela para tapizar muebles:
a) AlgodΓ³n:
b) Lino:
c) Pana:
d) RayΓ³n:
e) PoliΓ©ster:
1. ΒΏCon cuΓ‘nta tela de cada tipo cuenta? - AlgodΓ³n: 4π₯ π2 - Lino: 6π₯ πΒ² - Pana: 8 πΒ² - RayΓ³n: 6π₯Β² πΒ² - PoliΓ©ster: 18π₯ πΒ²
2. ΒΏCuΓ‘nta tela tiene en total? 6π₯Β² + 28π₯ + 8 πΒ²
Roberto cuenta con una tabla para tener una idea de cuΓ‘ntos pedazos de cada tela necesita para tapizar ciertos muebles. AyΓΊdalo a obtener la cantidad de tela que se necesita para tapizar cada mueble. Tipo mueble Cantidad de tramos por mueble Cantidad total de tela
AlgodΓ³n Lino Pana RayΓ³n PoliΓ©ster SofΓ‘ 3 2 3 3π₯ + 4π₯ + 12 = 7π₯ + 12 SofΓ‘-cama 3 2 1 1 3 3π₯ + 4π₯ + 4 + 2π₯Β² + 18π₯
= 2π₯Β² + 25π₯ + 4 SillΓ³n pequeΓ±o 1 1 1 1 1 π₯ + 2π₯ + 4 + 2π₯Β² + 6π₯
= 2π₯Β² + 9π₯ + 4 SillΓ³n mediano 2 2 2 2 2π₯ + 4π₯ + 4π₯Β² + 12π₯ = 4π₯Β² + 18π₯ Asiento delantero de auto
1 1 2π₯Β² + 6π₯
Asiento trasero de auto
1 1 1 1 π₯ + 2π₯ + 2π₯Β² + 6π₯ = 2π₯Β² + 9π₯
SofΓ‘ para oficina 2 2 2 2 2 2x + 4x + 8 + 4xΒ² + 12x= 4xΒ² + 18x + 8
X 1
X 1
X 1
X 1
X 2
X
2
X
2
2
2 2
2
x
2x
x
2x
x
2x
3
2x
3
2x
3
2x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE MATEMATICAS I BLOQUE IV: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
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Pg. 133 Ejercicios ObtΓ©n la suma de los siguientes polinomios:
1. (5π₯2 β 3π₯) + (45π₯ β 7π₯2) = (5 β 7)π₯Β² + (45 β 3)π₯ = β2π₯Β² + 42π₯
2. (9π + 6π + π) + (4π β π) = (9 + 4)π + (6)π + (1 β 1)π = 13π + 6π
3. (8π + 6π + 4π₯ + 7π¦) + (9π + 6π + 9π₯ + 2π¦) = (8 + 9)π + (6 + 6)π + (4 + 9)π₯ + (7 + 2)π¦ =17π + 12π + 13π₯ + 9π¦
4. (π4 + π₯ + π + 8π) + (9π4 + 4π₯ + 6π + π) = (1 + 9)π4 + (1 + 6)π + (8 + 1)π + (1 + 4)π₯ =10π + 7π + 9π + 5π₯
5. (5π₯ + 2π¦ + 3π₯π¦Β² + 3π₯Β³) + (2π₯ + 2π¦ + 1π₯π¦Β² β 4π₯Β³) = (3 β 4)π₯Β³ + (5 + 2)π₯ + (3 + 1)π₯π¦Β² +(2 + 2)π¦ = βπ₯Β³ + 7π₯ + 4π₯π¦Β² + 4π¦
6. (2π4π + 17ππ6 + 23) + (32ππ6 + 27π4π + 32π₯π¦3 + 10π₯2π¦ + 25) = (2 + 27)π4π +
(17 + 32)ππ6 + (32)π₯π¦3 + (10)π₯Β²π¦ + (23 + 25) = 29π4π + 49ππ6 + 10π₯Β²π¦ + 32π₯π¦Β³ + 48
7. (π¦π₯2 β 3π₯π¦) + (5π₯π¦ β 7π¦π₯2) = (1 β 7)π₯Β²π¦ + (5 β 3)π₯π¦ = β6π₯Β²π¦ + 2π₯π¦
8. (π₯2π§ β 3π₯) + (2π₯ β 2π₯2π§) = (1 β 2)π₯Β²π§ + (2 β 3)π₯ = βπ₯Β²π§ β π₯
9. (5π¦Β²π₯Β² β 3π₯π¦) + (5π₯π¦ β 7π₯Β²π¦Β²) = (5 β 7)π₯Β²π¦Β² + (5 β 3)π₯π¦ = β2π₯Β²π¦Β² + 2π₯π¦ Pg. 135 Ejercicios ObtΓ©n la resta de los siguientes polinomios:
1. (15π₯ + 6π¦) β (6π₯ β 9π¦) = 15π₯ + 6π¦ β 6π₯ + 9π¦ = (15 β 6)π₯ + (6 + 9)π¦ = 9π₯ + 15π¦
2. (6π₯4 + 4π₯2) β (12π₯4 β 3π₯3 + 9π₯2) = 6π₯4 + 4π₯Β² β 12π₯4 + 3π₯Β³ β 9π₯Β² = (6 β 12)π₯4 + (3)π₯Β³ +(4 β 9)π₯Β² = β6π₯4 + 3π₯Β³ β 5π₯Β²
3. (β2π₯2π¦4 β 6π₯5π¦5 + 2π₯8π¦2) β (5π₯4π¦4 + 45π₯8π¦2 β 2π₯5π¦5) = β2π₯2π¦4 β 6π₯5π¦5 + 2π₯8π¦2 β5π₯4π¦4 β 45π₯8π¦2 + 2π₯5π¦5 = (2 β 45)π₯8π¦2 + (2 β 6)π₯5π¦5 + (β5)π₯4π¦4 + (β2)π₯2π¦4 =β43π₯8π¦2 β 4π₯5π¦5 β 5π₯4π¦4 β 2π₯Β²π¦β΄
4. (8π6π4 + 7π₯5π¦5 β π4π6) β (9π6π4 + 12π₯5π¦5 β 25π4π6) = 8π6π4 + 7π₯5π¦5 β π4π6 β 9π6π4 β12π₯5π¦5 + 25π4π6 = (8 β 9)π6π4 + (25 β 1)π4π6 + (7 β 12)π₯5π¦5 = βπ6π4 + 24π4π6 β5π₯β΅π¦β΅
5. (β2π₯2π¦4 β 6π₯5π¦5 + 2π₯8π¦2) β (5π₯4π¦4 + 45π₯8π¦2 β 22π₯5π¦5) = β2π₯2π¦4 β 6π₯5π¦5 + 2π₯8π¦2 β5π₯4π¦4 β 45π₯8π¦2 + 22π₯5π¦5 = (2 β 45)π₯8π¦2 + (22 β 6)π₯5π¦5 + (β5)π₯4π¦4 + (β2)π₯2π¦4 =β43π₯8π¦2 + 16π₯5π¦5 β 5π₯4π¦4 β 2π₯Β²π¦β΄
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Pg. 136 Actividad
Sea la siguiente expresiΓ³n: π₯βΉπ₯β΅
Coloca en el cociente la misma cantidad de x que denota tanto en el exponente del numerador como del denominador. π₯βΉπ₯β΅
=π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯
π₯ π₯ π₯ π₯ π₯
Ahora, tacha en el denominador la misma cantidad de x que existe en el numerador: . ΒΏCuΓ‘ntas x quedan en el numerador? 4 . ΒΏCΓ³mo las expresarΓas en forma de potencia? π₯4 π₯βΉπ₯β΅
=π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯
π₯ π₯ π₯ π₯ π₯= π₯ π₯ π₯ π₯ = π₯β΄
SupΓ³n ahora que el exponente del numerador es igual a 5 y el del denominador es igual a 9, como se ilustra. π₯5
π₯9=
π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯ π₯
De la misma manera, coloca en el cociente la misma cantidad de x que denota tanto el exponente del numerador, como del denominador. Ahora, tacha en el denominador la misma cantidad de x que existe en el numerador. . ΒΏCuΓ‘ntas x te quedan en el denominador? 4 . ΒΏCΓ³mo lo representarΓas en forma de potencia? π₯β΄ . ΒΏQuΓ© opinas al respecto? πΈπ πππ π’ππ‘πππ ππ π’ππ πππ£ππ πππ πππ πππ‘ππππππ π πππ ππ πππ’ππππ π¦ ππ₯ππππππ‘ππ ππππππππ‘ππ π π πππ‘ππππ ππ πππ π‘π ππ πππ‘πππππ πππππ π ππ πππ¦ππ
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Pg. 138 Actividad En una expresiΓ³n algebraica: Si el exponente es positivo en el numerador, ΒΏCΓ³mo es en el denominador? πππππ‘ππ£π Si el exponente es positivo en el denominador, ΒΏCΓ³mo es en el numerador? πππππ‘ππ£π Si el exponente es negativo en le numerador, ΒΏCΓ³mo es en el denominador? πππ ππ‘ππ£π Si el exponente es negativo en el denominador, ΒΏCΓ³mo es en el numerador? πππ ππ‘ππ£π
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Pg. 139 Ejercicios
a) Coloca en el cuadro de cada expresiΓ³n, el exponente que es necesario para que la igualdad sea vΓ‘lida.
1. 20π₯20 = οΏ½π₯ οΏ½(π₯5) = (π₯15)(π₯5)
2. π¦12 = οΏ½π¦ οΏ½(π¦5)(π¦4)=(π¦3)(π¦5)(π¦4)
3. π§8 = (π§Β³)οΏ½π§ οΏ½ = (π§Β³)(π§5)
4. π₯ = 1π₯β3
β π₯3 = 1π₯β3
5. π₯5 = 1π₯
= 1π₯β5
6. π₯β4 = 1π₯
= 1π₯4
7. π13 = (π4)οΏ½π οΏ½(π5) = (π4)(π4)(π5)
8. π = (π5)(π2) β π7 = (π5)(π2)
9. π₯9 = π₯π₯5
= π₯14
π₯5
10. π10 = ππ4
= π14
π4
11. π§3 = π§5
π§= π§5
π§2
12. π§ = π§8
π§3β π§5 = π§8
π§3
13. (π₯4) = π₯8 β (π₯4)2 = π₯8
14. (π₯ )3 = π₯9 β (π₯3)3 = π₯9
15. (π₯2)3 = π₯ = π₯6
16. π₯ = (π₯2)4 β π₯8 = (π₯2)4
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Pg. 140 Ejercicios
b) Resuelve los siguientes cocientes y encuentra el valor del exponente para cada literal:
1. π2
π8= π π
π π π π π π π π= 1
πβΆ= πβ»βΆ
2. π6
π12= π π π π π π
π π π π π π π π π π π π= 1
πβΆ= πβ»βΆ
3. π6
π14= π π π π π π
π π π π π π π π π π π π π π= 1
πβΈ= πβ»βΈ
4. π€5
π€9 = π€ π€ π€ π€ π€π€ π€ π€ π€ π€ π€ π€ π€ π€
= 1π€β΄
= π€β»β΄
5. πβ2
π8= 1
π8πΒ²= 1
πΒΉβ°= πβ»ΒΉβ°
6. π6
πβ8= π6π8 = πΒΉβ΄
7. πβ6
π2= 1
πΒ² πβΆ= 1
πβΈ= πβ»βΈ
8. π€β5
π€β9 = π€βΉπ€β΅
= π€ π€ π€ π€ π€ π€ π€ π€ π€π€ π€ π€ π€ π€
= π€β΄
9. π₯5
π₯5= π₯ π₯ π₯ π₯ π₯
π₯ π₯ π₯ π₯ π₯= 1
10. 33
33= 3 3 3
3 3 3= 1
11. π3
π2= π π π
π π= π
12. π₯β3 = 1π₯Β³
13. π0 = 1
14. (π₯2)1 = π₯Β²
15. (π + π)0 = 1
16. 9β2 = 19Β²
= 181
17. (33)1 = 3Β³
18. (3π₯ + 2π)β2 = 1(3π₯+2π)Β²
= 19π₯Β²+12π₯π+4πΒ²
19. 1(3π₯+2π¦)β3
= (3π₯ + 2π¦)3 = 27π₯Β³ + 54π₯Β²π¦ + 36π₯π¦Β² + 8π¦Β³
20. 1(2π₯)3
= 18π₯Β³
ππ. 1(2π₯β1)3
= 18π₯Β³β12π₯Β²+6π₯+1
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Pg. 141
1. Cierto tipo de alcohol se evapora de tal modo que queda Β½ de Γ©l despuΓ©s de 1 hora. Si habΓa 600 ml al inicio, ΒΏCuΓ‘nto queda despuΓ©s de 8 horas?, ΒΏCuΓ‘nto queda despuΓ©s de n horas? ππ π₯ = 600 ππ π¦ βππππ = 8 ; πππ‘πππππ : π₯ β {( π₯
2 )8} = β3x = β1800 ml
ππ π₯ = 600 ππ π¦ βππππ = π ; πππ‘πππππ : π₯ β {( π₯
2 )n} = π₯ β ππ₯
2
2. Si una cuerda tiene 250 m de longitud y se corta sucesivamente 2 3β de la misma, ΒΏCuΓ‘nto queda despuΓ©s de 4 cortes?, ΒΏCuΓ‘nto queda despuΓ©s de n cortes?
ππ π₯ = 250 π π¦ ππππ‘π =23
; πππ‘πππππ : π₯ β2π₯3
=π₯3
=250
3π
ππ π₯ = 250 π π¦ ππππ‘π =2π3
; πππ‘πππππ : {π₯ β2ππ₯
3}π
3. Para la cuerda del ejercicio anterior, ΒΏCuΓ‘nto queda despuΓ©s de 6 cortes, si cada vez se corta la tercera parte?, ΒΏCuΓ‘nto queda despuΓ©s de n cortes?
ππ π₯ = 250 π, ππππ‘π =13
,π = 6 ππππ‘ππ ; πππ‘πππππ : π₯ βπ₯π3
= 250 β250(6)
3= β250 π
ππ π₯ = 250 π, ππππ‘π =13
,π = ππ’ππππ ππ ππππ‘ππ ; πππ‘πππππ : π₯ βπ₯π3
= {250 β250π
3}π
4. Una empresa tiene un plan de 5 aΓ±os para aumentar su personal a la cuarta parte cada uno de esos
aΓ±os. Si el personal actual es de 2,000 trabajadores, ΒΏCuΓ‘ntos habrΓ‘ al final de quince aΓ±os? Formula una expresiΓ³n exponencial que represente la fuerza laboral despuΓ©s de n aΓ±os. ππ π₯ = 2000 π‘πππππππππππ ,
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Pg. 143 Ejercicios
1. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 625 mΒ², ΒΏCuΓ‘nto costarΓ‘ cercarlo si el metro de alambre cuesta $150.00? π΄ = 625π2; πΏπππ = βπ΄ = β625π2 = 25 π Costo= 150P, donde P=4L=perΓmetro; entonces: Costo=4(25)(150)=$15,000.00
2. Una persona tiene un terreno cuyas dimensiones son 36 m de largo por 9 m de ancho y quiere permutarlo por un terreno que sea cuadrado de la misma superficie, ΒΏCuΓ‘nto debe de medir por cada uno de sus lados? π΄ = (πΏ)(πΏ) = 36π(9π) = 324 πΒ²
ππ’ππ£π π‘ππππππ, πΏ = βπ΄ = β324πΒ² = 18π
3. Una mesa cuadrada tiene una superficie de 1089 dmΒ², ΒΏCuΓ‘nto mide de lado? πΏπππ = οΏ½ππ’ππππππππ = β1089ππΒ² = 33ππ
4. Un comerciante ha comprado cierta cantidad de desodorantes que coinciden exactamente con su precio. El costo total es de $1225.00, ΒΏCuΓ‘ntos desodorantes son?
π·ππ πππππππ‘ππ = οΏ½$ = β1225 = 35
5. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 2809 mΒ² y se quiere rodear con un alambre de $15.00 cada m, ΒΏCuΓ‘nto costarΓ‘ alambrarlo?
πΏ = οΏ½ππ’ππππππππ = οΏ½2809π2 = 53π πΆππ π‘π = π($15),πππππ π = 4πΏ;πΆππ π‘π = 4(53)(15) = $3180.00
6. ΒΏCuΓ‘les son las dimensiones de un terreno rectangular de 882 mΒ² si su longitud es el doble de su ancho?
π΄ = πΏ(πΏ) = π₯(2π₯) = 2π₯2, ππ π΄ = 882π2; 2π₯2 = 882 β π₯ = οΏ½882 2β = 21π π΄ππβπ = π₯ = 21 π; πΏπππππ‘π’π = 42π
7. Se quieren distribuir los 676 postes en un terreno cuadrado, ΒΏCuΓ‘ntos postes habrΓ‘ en cada lado del cuadrado? πππ π‘ππ πππ ππππ = (πππ π‘ππ πππ‘ππππ 4β ) + 1 = (676 4β ) + 1 = 170
8. Se compra cierto nΓΊmero de lapiceros por $289.00 si sabemos que el precio de un lapicero coincide con el nΓΊmero de lapiceros comprados, ΒΏCuΓ‘l es el precio de un lapicero?
ππππππ πππ ππππππππ = οΏ½$ = β289 = $17
9. Una caja en forma cΓΊbica tiene un volumen de 8,000 cmΒ³, si se corta a la mitad, ΒΏCuΓ‘les serΓ‘n las dimensiones de las dos partes resultantes?
πΏ = βππππ’πππ3 = β8000ππ33 = 20ππ;ππ’ππ£ππ π·πππππ πππππ : (πΏ)(πΏ)(πΏ 2β )cm
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10. Un tanque en forma cΓΊbica tiene una capacidad de 1728 mΒ³, ΒΏCuΓ‘nto mide por cada lado? πΏ = βππππ’πππ3 = β17283 πΒ³ = 12π
11. Un terreno tiene 60 m de largo y 150 m de ancho. Si se le diera forma cuadrada, ΒΏCuΓ‘les serΓan las dimensiones de este cuadrado? π΄ = πΏ(πΏ) = 60π(150π) = 9000πΒ²;ππ’ππ£ππ ππππππ πππππ = βπ΄
12. En un depΓ³sito hay 132,651 dmΒ³ de agua, la cual adopta la forma de un cubo. Si el agua llega a 20 dm del borde, ΒΏCuΓ‘les serΓ‘n las dimensiones del estanque?
ππππππ ππ πππ πππππ πππ ππ’ππ ππ πππ’π; πΏ = βππππ’πππ3 = οΏ½132,651ππ33 = 51ππ; π·πππππ πππππ πππ ππ π‘ππππ’π =(L)(L)(L+20)dm
13. Se compra cierto nΓΊmero de libros por $1331.00, si el nΓΊmero de libros comprados es el cuadrado del precio de un libro, ΒΏCuΓ‘ntos libros has comprado y cuΓ‘nto costΓ³ cada uno?
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Pg. 147 Ejercicios
a) Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios:
1. (7ππ₯2)(β5π₯2) = β35ππ₯β΄ 2. (36π₯5π¦4)(7π₯4) = 252π₯βΉπ¦β΄
3. (86π3π3)(14πΒ²πΒ²) = 1204πβ΅πβ΅
4. (β2π₯π¦)(β5π₯2) = 10π₯Β³π¦
5. (63πΒ²πΒ²)(9πβΆ) = 567πΒ²πβΈ 6. (19π₯5π¦ + 3π₯)(β8π₯π¦) = β152π₯6π¦2 β 24π₯Β²π¦
7. (β3π¦ + 5π¦β΅π§)(β2π¦Β²π§Β³) = β10π¦7π§4 + 6π¦Β³π§Β³
8. (5π₯ + 3π¦)(6π₯Β²) = 30π₯Β³ + 18π₯Β²π¦
9. (π β 5)(π + 6) = πΒ² + π β 30
10. (45π₯Β³π¦Β³)(β8π₯βΆπ¦β΄) = β360π₯βΉπ¦β·
11. (93ππ + 8)(3 β π₯Β²) = 279ππ β 93πππ₯Β² β 8π₯Β² + 24
12. (7π + 4π β 7π)(2πΒ²) = 14πΒ³ + 8πΒ²π β 14πΒ²π
13. (4π β 5πβ΄)(β7πβΆπβΉ) = β28π7π9 + 35πβΆπΒΉΒ³
14. (π₯4 β π₯Β³ + π₯Β²)(5π₯Β² β 2π₯Β³) = 5π₯6 β 5π₯5 + 5π₯4 β 2π₯7 + 2π₯6 β 2π₯5 = (β2)π₯7 + (5 + 2)π₯6 +
(β5 β 2)π₯5 + (5)π₯4 = β2π₯7 + 7π₯6 β 7π₯5 + 5π₯β΄
15. (24πΒ²πΒ² + 120π3π4 β 152πβ΄π₯β΄)(91πΒ²πΒ² + 58πΒ³πβ΄) =2184π4π4 + 10920π5π6 β 13832π6π2π₯4 + 1392π5π6 + 6960π6π8 β 8816π7π4π₯4 =(β8816)π7π4π₯4 + (6960)π6π8 + (13832)π6π2π₯4 + (10920 + 1392)π5π6 + (2184)π4π4 =β8816π7π4π₯4 + 6960π6π8 β 13832π6π2π₯4 + 12312π5π6 + 2184π4π4
16. (β2π₯2π¦4 + 2π₯βΈπ¦Β²)(5π₯4π¦4 + 45π₯8π¦2 β 2π₯β΅π¦β΅) = β10π₯6π¦8 β 90π₯10π¦6 + 4π₯7π¦9 + 10π₯12π¦6 +
90π₯16π¦4 β 4π₯13π¦7 = 90π₯16π¦4 β 4π₯13π¦7 + 10π₯12π¦6 β 90π₯10π¦6 + 4π₯7π¦9 β 10π₯6π¦8
17. (8π6π4 + 7π₯5π¦5 β πβ΄πβΆ)(12π₯5π¦5 β 25πβ΄πβΆ) = 96π6π4π₯5π¦5 + 84π₯10π¦10 β 12π4π6π₯5π¦5 β200π6π4π4π6 β 175π4π6π₯5π¦5 + 25π8π12 = β200π6π4π4π6 + 96π6π4π₯5π¦5 + (β12 β175π4π6π₯5π¦5+25π8π12+84π₯10π¦10=β200π6π4π4π6+96π6π4π₯5π¦5β187π4π6π₯5π¦5+25π8π12+84π₯10π¦10
18. (20π5π5 β 12πβ΄π₯βΆ)(32π3π4 + 12π5π5 β 25πβ΄π₯βΆ) = 640π8π9 + 240π10π10 β 500π9π5π₯6 β384π7π4π₯6 β 144π9π5π₯6 + 300π8π₯12 = 240π10π10 + (β500 β 144)π9π5π₯6 + 640π8π9 +300π8π₯12 β 384π7π4π₯6 = 240π10π10 β 644π9π5π₯6 + 640π8π9 + 300π8π₯12 β 384π7π4π₯6
19. (β2π₯2π¦4 + 2π₯βΈπ¦Β²)(5π₯4π¦4 + 45π₯βΈπ¦Β²) = β10π₯6π¦8 β 90π₯10π¦6 + 10π₯12π¦6 + 90π₯16π¦4 =90π₯16π¦4 + 10π₯12π¦6 β 90π₯10π¦6 β 10π₯6π¦8
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1. Γrea= 2π₯Β² + 2π₯
2. Γrea= 6π₯Β² + 9π₯
3. Γrea= 6π₯Β² β 4π₯ + 3π₯ β 2 = 6π₯Β² β π₯ β 2
4. Γrea= π₯Β² + 2π₯ + 2π₯ + 4 = π₯Β² + 4π₯ + 4
5. Γrea= π₯Β² β 3π₯ + 3π₯ β 9 = π₯Β² β 9
x+1
2x
2x+3
3x
3x-2
2x+1
X+2
X+2
x-3
X+3
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Pg. 149 Actividad Actividad para realizarse en grupos de tres alumnos. Una alberca es 10 m mΓ‘s larga que ancha, con una malla a su alrededor a 2 m de distancia, ΒΏCuΓ‘l es el Γ‘rea de la alberca si la superficie total de la propiedad es de 216 mΒ²? Las dimensiones de la alberca y de la propiedad se encuentran en el siguiente diagrama:
1. Delimita cada uno de sus lados en funciΓ³n de x. Si te das cuenta se trata de un rectΓ‘ngulo.
2. ΒΏCuΓ‘l es el modelo matemΓ‘tico en tΓ©rminos de x, que te expresa el largo del rectΓ‘ngulo? π₯ + 14
3. ΒΏCuΓ‘l es el modelo matemΓ‘tico, en tΓ©rminos de x, que te expresa el ancho del rectΓ‘ngulo? π₯ + 4
Con base en los conocimientos adquiridos, realiza los cΓ‘lculos y obtΓ©n el valor de x.
4. ΒΏCuΓ‘l es el valor de x?
(π₯ + 14)(π₯ + 4) β (π₯ + 10)(π₯) = 216 π₯2 + 18π₯ + 56 β π₯2 β 10π₯ = 216 8π₯ + 56 = 216 β π = ππ
5. ΒΏCuΓ‘nto mide de ancho la alberca?
π₯ + 10 = 20 + 10 = 30π
6. ΒΏCuΓ‘nto mide de largo la alberca? π₯ = 10π
7. ΒΏCuΓ‘les son las dimensiones de la alberca?
30 πππ‘πππ πππ 10 πππ‘πππ
8. ΒΏQuΓ© puedes deducir al respecto? πΏππ ππππππ πππππ ππ ππ πππππππ π¦ πππ π‘ππππππ ππ π‘ππ ππ ππ’πππππ ππ π₯ π¦ πππ ππππ πππ‘πππππππ πππ πππππππ ππ πππππ
x+14
x+10
x+4 x
2 2
2
2
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE MATEMATICAS I BLOQUE IV: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
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Pg. 150 Ejercicios
a) Realiza las siguientes divisiones.
1. 15π4π8π6π4
3π2π5π2π4= 5πΒ²πΒ³πβ΄
2. 24π₯4π¦2π§6
3π₯2π¦5π§7= 8π₯Β²/π¦Β³π§
3. 14π₯4π¦3
β14π₯2π¦= βπ₯Β²π¦
4. 9π9π3
β3π2π= β3πβ·πΒ²
5. 24π4
8π= 3πΒ³
6. 4π
2π= 2
7. 8π₯5π¦6+12π₯4π¦2
2π¦3= 4π₯5π¦3 + 6π₯π¦Β²
8. 2π2π3+14π4π7
2ππ3= π + 7ππβ΄
9. 6π5β8π4π2+20ππ3
β2π= β3π4 + 4πΒ³πΒ² β 10πΒ³
10. 9π₯5β81π₯4+12π₯3
β3π₯= β3π₯4 + 27π₯Β³ β 4π₯Β²
11. 3π8π6π4+15π6π4π2
3π3π3π2= π5π3π2 + 5πΒ³π
12. 3π8π6π4+15π6π4π2
3π3π3π2= π5π3π2 + 5πΒ³π
13. 3π¦2+2π¦β8π¦+2
= 3π¦ β 4
14. π2β3+2ππ+3
= π + 1
15. 6π2β2πβπππ+2π
=
16. π₯4βπ₯2β2π₯β1π₯2+π₯+1
= π₯Β² β π₯ β 1
17. π2+6+5π2+π
= π + 3
18. π₯+π¦
π₯βπ¦=
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Pg. 151 Actividad Actividad para realizarse en grupos de tres alumnos. Don Pedro es dueΓ±o del terreno que abarca toda una manzana en la ciudad de CΓ³rdoba, el cual ha dividido en lotes para venderlos. Las medidas de cada lado aparecen en la figura siguiente:
1. ΒΏCΓ³mo obtendrΓas el Γ‘rea total del terreno? ππ’ππ‘πππππππππ ππππ πππ ππππ
2. ΒΏCuΓ‘l es la superficie del Γ‘rea mΓ‘s grande? π(π) = πΒ²
3. ΒΏCuΓ‘nto miden los lotes que son igual de grandes?
π(π) = ππ
4. ΒΏCuΓ‘nto mide el lote mΓ‘s pequeΓ±o? π(π) = πΒ²
5. ΒΏCuΓ‘l es la expresiΓ³n algebraica que modela la superficie total del terreno?
(π + π)(π + π) = πΒ² + 2ππ + πΒ²
6. ΒΏQuΓ© puedes deducir al respecto? ππ πππππ π’π π‘πππππππ ππ’ππππππ πππππππ‘π
7. Si a=50m y b=20m, ΒΏCuΓ‘l es el Γ‘rea total del terreno?
(50π + 20π)(50π + 20π) = 2500πΒ² + 1000πΒ² + 1000πΒ² + 400πΒ² = 4900πΒ²
8. Don Pedro sΓ³lo ha vendido los lotes que son iguales en superficie.
ΒΏCΓ³mo obtendrΓas la superficie que le queda? π ππ π‘ππππ: ππ’ππππππππ π‘ππ‘ππ β π π’ππππππππ ππ πππ πππ‘ππ πππ’ππππ
= (70π)(70π) β 2(20π)(50π) = 2400πΒ²
9. ΒΏCuΓ‘l es la expresiΓ³n algebraica que modela la superficie total del terreno? (π + π)(π + π) β 2(π)(π) = π2 + 2ππ + π2 β 2ππ = πΒ² + πΒ²
10. ΒΏQuΓ© puedes argumentar?
a
a b
b
a
a b
b
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Pg. 153 Actividad La siguiente figura representa el Γ‘rea de un terreno que tiene don Abraham en las afueras de su comunidad. ΒΏCuΓ‘l es la superficie total? (π)(π) = ππ Al abrir una calle en el lado Este de su terreno, se afectarΓa la superficie total, quedando de la siguiente manera: ΒΏCon quΓ© cantidad de terreno se quedΓ³ don Abraham? πΒ² ΒΏQuΓ© extensiΓ³n de terreno fue ocupada para abrir la calle? βππ₯ Los ejidatarios, para reponerle el pedazo de terreno a don Abraham, decidieron darle una superficie de las mismas dimensiones al lado sur de su terreno, como se muestra. ΒΏCuΓ‘l es ahora el Γ‘rea total del terreno, si le quitamos del lado norte una cierta superficie, pero le anexamos otra de las mismas dimensiones en el lado sur? πΈπ ππ ππππππ ππ ππ π π’ππππππππ ππππππππ ΒΏQuΓ© opinas al respecto?
a
b
a
a -x
a
a -x
-x
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Pg. 155 Ejercicios Resuelve los siguientes productos notables.
1. (π₯ + 2)2 = π₯Β² + 4π₯ + 4
2. (3 + π)Β² = 9 + 6π + πΒ²
3. (2π₯ + π¦)2 = 4π₯Β² + 4π₯π¦ + π¦Β²
4. (3 + 5π¦)2 = 9 + 30π¦ + 25π¦Β²
5. (2π + 3) = 4π2 + 12π + 9
6. (2π + 3π)2 = 4π2 + 12ππ + 9π2
7. (2 + 4π)2 = 2 + 16π + 16π2
8. (3π + 4π)2 = 9π2 + 24ππ + 16π2
9. (2π₯3 + 6π)2 = 4π₯6 + 24π₯3π + 36π2
10. (2π₯3 + 3π¦2)2 = 4π₯6 + 12π₯3π¦2 + 9π¦4
11. (3π₯4 + 2π¦3)2 = 9π₯8 + 12π₯4π¦3 + 4π¦6
12. (3π₯2π¦ + π§3)2 = 9π₯4π¦2 + 6π₯2π¦π§3 + π§6
13. (4π2π¦3 + 3π2π3)2 = 16π4π¦6 + 24π2π2π3π¦3 + 9π4π6
14. 2π₯Β²π¦Β³ + 4ππΒ³)Β² = 4π₯4π¦6 + 16ππΒ³π₯Β²π¦Β³ + 16πΒ²πβΆ
15. (3π₯5 + 4π¦6)2 = 9π₯10 + 24π₯5π¦6 + 16π¦ΒΉΒ²
16. (π₯ β 3)2 = π₯2 β 6π₯ + 9
17. (2π β 4)2 = 4π2 β 16π + 16
18. (4 β 2π₯)2 = 16 β 16π₯ + 4π₯2
19. (3π₯ β 2π¦)2 = 9π₯2 + 12π₯π¦ + 4π¦2
20. (5π₯ β 3π¦)2 = 25π₯2 β 30π₯π¦ + 9π¦2
21. (π₯ + π¦)(π₯ β π¦) = π₯2 + π¦2
22. (π + π)(π β π) = πΒ² + πΒ²
23. (π β π₯)(π₯ + π) = π2 β π₯2
24. (π3 β π2)(π3 + π2) = π6 + π4
25. (1 β 8π₯π¦)(8π₯π¦ + 1) = 1 β 64π₯2π¦2
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26. (3π₯π β 5π¦π)(5π¦π + 3π₯π) = 9π₯2π β 25π¦2π
27. (ππ₯+1 β 2ππ₯β1)(2ππ₯β1 + ππ₯+1) = π2π₯+2 β 4π2π₯β2
28. (2π₯ + 4)(2π₯ β 4) = 4π₯2 β 16
29. (2π₯3 β π¦2)(2π₯3 + π¦2) = 2π₯6 β π¦4
30. (3 β 4ππ)(3 + 4ππ) = 9 β 16πΒ²πΒ²
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Pg. 157
1. En un salΓ³n tienen un nΓΊmero de losetas y quieren formar un cuadrado en el centro del patio. Colocando cierta cantidad de ellas en cada fila sobran 39, y aΓ±adiendo una loseta en cada fila faltan 24. ΒΏCuΓ‘ntas losetas hay en la escuela?
πΏππ ππ‘ππ β = π₯2 + 39 πΌππ’ππππππ; π₯2 + 39 = π₯2 + π₯ β 24 π₯ = 63 ππ’π π‘ππ‘π’π¦ππππ; πΏππ ππ‘ππ β = 63Β² + 39 = 4008
πΏππ ππ‘ππ β = π₯2 + π₯ β 24
2. Un salΓ³n tiene forma cuadrada y se quiere colocar en el centro un tapete cuadrado dejando un pasillo alrededor de 2 m de ancho. Se sabe que el Γ‘rea del tapete dime 80 mΒ² menos que el Γ‘rea del salΓ³n. ΒΏCuΓ‘nto mide de lado el salΓ³n?
π΄πππ πππ π ππππ = π₯Β², π΄πππ πππ π‘ππππ‘π = (π₯ β 4)Β² πππππππ ππ’π: π΄πππ πππ π‘ππππ‘π = π΄πππ πππ π ππππ β 80;πΈππ‘πππππ : π΄πππ πππ π‘ππππ‘π = π΄1 π¦ π΄πππ πππ π ππππ = π΄2 π₯Β² = π₯Β² + 8π₯ + 16-80 β x=8 ππππππ πππ π ππππ = π₯ + 4 = 12 π
3. Las longitudes de un lado de un rectΓ‘ngulo y de la diagonal son dos enteros consecutivos y el cuadrado de la longitud del otro lado mide 9 mΒ². Encuentra el perΓmetro del rectΓ‘ngulo.
π΄ππππππππ ππ πππππππ ππ πππ‘Γ‘πππππ : π2 = π2 + π2 π·ππππ:π = π₯, π = π₯ + 1, π2 = 9π2 (π₯ + 1)2 = π₯Β² + 9,βπππππππ πππ πππππππππππ π‘πππππππ ππ’π: π₯ = 4 , π₯ + 1 = 5; 4 π¦ 5 π ππ πππ‘ππππ ππππ πππ’π‘ππ£ππ
4. Con un pedazo de cartΓ³n de forma cuadrada, se quiere construir una caja abierta. Para ello se quitan cuadrados iguales de lado h en cada esquina y se doblan hacia arriba las solapas. Encuentra la fΓ³rmula del volumen de la caja.
ππππ’πππ ππ ππ ππππ:
ππππ’πππ = πΏπππ πππ πΏπππ πππ π΄ππ‘π’ππ π£ = (π₯ β 2β)(π₯ β 2β)β = (π₯ β 2β)2β
X
X
X
X+1
X+4 X
X A1 A2 X+4
2
2
X X+1
Y=9mΒ²
h
h
X-2h X
X-2h
X
h
h
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5. Uno de los catetos de un triangulo rectΓ‘ngulo es dos unidades mΓ‘s pequeΓ±o que el otro. El Γ‘rea del triangulo es igual a 40. ΒΏCuΓ‘nto vale el cuadrado de la hipotenusa?
π»ππππ‘πππ’π π = πππ πΒ² + πππ‘π’ππΒ² π»2 = (π₯)2 + (π₯ β 2)2 π»2 = π₯2 + π₯2 β 4π₯ + 4 β π»2 = 2π₯2 β 4π₯ + 4 π»2 = 2(π₯2 β 2π₯ + 2)
Sabemos que A=bh/2, entonces:π₯(π₯β2)
2= 40 β π₯2 β 2π₯ = 80
Sustituyendo:π»2 = 2(80 + 2) = 164,πππ ππ π‘πππ‘π π»2 = 164
6. Un cuadrado de lado x se deforma para obtener un rectΓ‘ngulo, sumando 7 unidades al largo y
restando 7 al ancho; sin embargo, despuΓ©s de efectuar la deformaciΓ³n, el Γ‘rea obtenida es cero. ΒΏCuΓ‘nto mide el lado x del rectΓ‘ngulo original?
π΄π πππππππππ π ππ ππ’πππππ π’ π π’
ππππ ππ πππ’ππ π 0 β π΄πππ = ππππ πππ ππππ π΄ = (π₯ + 7)(π₯ β 7) = π₯2 β 49 0=xΒ²-49; entonces: x=7
7. Un terreno rectangular tiene un perΓmetro de 28 m y un Γ‘rea de 45 mΒ². ΒΏCuΓ‘ntos metros miden sus lados?
πππππππ‘ππ,π = 28π;π΄πππ,π΄ = 45πΒ²;π¦,π = 2π₯ + 2π¦;π΄ = π₯π¦ π·ππ πππππππ π₯ ; π₯ = πβ2π¦
2, y x=
π΄π¦
πΈππ‘πππππ ; π₯ = 14 β π¦, π¦ π₯ = 45π¦
Igualando; 14-y=45π¦
β π¦(14 β π¦) = 45 β 14π¦ β π¦2 = 45
yΒ²-14y+45=0 β (y-9)(y-5)=0 π¦β = 9, π¦β = 5 π·π; π₯ = 45
π¦= 45
9= 5, πππ‘πππππ , π₯ = 5,π¦ = 9
O;π₯ = 45π¦
= 455
= 9, πππ‘πππππ , π₯ = 9,π¦ = 5
8. A un baile asistieron igual nΓΊmero de caballeros que de damas. Si cada caballero bailΓ³ con todas las damas y cada dama bailΓ³ con todos los caballeros y en total hicieron 256 parejas distintas, ΒΏCuΓ‘ntas personas hubo en el baile?
ππ π₯ = π¦,πππππ: π₯ = ππππππππππ ,π¦ = πππππ ; πππ‘πππππ , π₯π¦ = 256, π₯ = 16;
32 personas hubo
x-2
x
A=40
x
x
X+7 x-7
x
y
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Pg. 161
1 1 1
1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
Actividad para realizarse en grupos de tres o cuatro alumnos Observa la figura y descubre la regularidad de los coeficientes para cada binomio.
1. ΒΏCuΓ‘ntos tΓ©rminos tiene (a+b)Β²? 3
2. ΒΏCuΓ‘ntos tΓ©rminos tiene (a+b)Β³? 4
3. ΒΏCuΓ‘ntos tΓ©rminos tiene (a+b)β΄? 5
4. Entonces, la relaciΓ³n para el nΓΊmero de tΓ©rminos del polinomio serΓ‘ n+ 1
5. ΒΏCuΓ‘les serΓ‘n los coeficientes (a+b)βΈ? 9
6. ΒΏQuΓ© regularidad presentan los exponentes del primer y ΓΊltimo tΓ©rmino del binomio?
7. ΒΏPor quΓ© se repiten los coeficientes del segundo y penΓΊltimo tΓ©rmino?
8. ΒΏCΓ³mo es el comportamiento del exponente de a en el polinomio, aumenta o disminuye?
9. ΒΏCΓ³mo es el comportamiento del exponente de b en el polinomio, aumenta o disminuye?
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7