Transformada Conforme

Campos Electromagnéticos

Practica 2: La Transformada Conforme

Jackson F. Reyes Bermeo

INFORME DE PRÁCTICAS

Ejercicio 1: Cable coaxial

1.1.Dibujar las líneas equipotenciales y el campo eléctrico

Código: Grafica:

%calculando el potencial

clear all

close all

a=3e-3;

b=10e-3;

V0=7;

[x,y]=meshgrid(-b:b/20:b,-

b:b/20:b);

%distancia

r=sqrt(x.^2+y.^2);

%indices

id_conductor=(r<a);

id_malla=(r>b);

V=V0/(log(b/a)).*(log(r/a));

V(id_conductor)=0;

V(id_malla)=V0;

%gradiente

[px,py]=gradient(V,b/20,b/20);

hold on

%creando circulos del conductor

circulo(a,0,0);

circunferencia(b,0,0);

contour(x,y,V,5);

quiver(x,y,-px,-py);

hold off

title('Potencial y Campo Electrico Asociado');

xlabel('Eje X');

ylabel('Eje Y');

grid

El primer círculo verde representa el hilo de cobre del coaxial mientras que el segundo

circulo representa la malla que recubre el coaxial, como podemos observar el campo

eléctrico va desde el circulo mayor al menor, esto debido que el campo eléctrico va de

la carga positiva a negativo, puesto que el potencial en la malla es de 7V mientras que

en el hilo es de 0V, los demás círculos representan la intensidad del potencial

Figura 1: Potencial y campo eléctrico asociado en un hilo

coaxial




Ejercicio2.Cable Fibilar Asimétrico:

2.1.Solución del sistema para los datos del problema.

Usando la transformada generalizada

(

)

y las ecuaciones de los círculos:

( )

( )

Realizando operaciones llegamos a las siguientes expresiones de cada conductor

circular:

(

)

(

)

Para eliminar la dependencia de x y hacer “u” constante tenemos que plantear las

siguientes condiciones:

Por lo que obtenemos:

(

)

(

)

Por lo cual tenemos que resolver el sistema.

(1)

(2)

(3)

Figura 2: Cable Bifilar asimétrico




Resolviendo el sistema obtenemos:

√

Para los datos del problema obtenemos:

2.2.Dibujar las curvas obtenidas al llamar a la función HallaDyA(R1, 5mm) y

HallaDyA(R2,5mm), con R1=2 mm y R2=10 mm. Dibujar, así mismo, el valor de

los puntos (d1,a) y (d2,a) obtenidos al resolver el sistema y comprobar que se

cumple la ecuación d1+d2=D (con D=15mm). ¿Se puede elegir cualquier valor

de d1 y d2 o por el contrario, para cada valor de a hay una relación fija entre d1 y

d2? (Ejerc. 2 y 3).

Grafica para HallaDyA(2mm,5mm)

Código: function y=HallaDyA(2e-3,5e-3)

a=[-RangoA:RangoA/50:RangoA];

d=abs(sqrt(Radio.^2+a.^2));

plot(a,d), hold on

Grafica:

Figura 3: grafica de los pares de valores (d,a) para R1=2mm




Grafica para HallaDyA(10mm,5mm)

Codigo: function y=HallaDyA(10e-3,5e-3) a=[-RangoA:RangoA/50:RangoA]; d=abs(sqrt(Radio.^2+a.^2)); plot(a,d), hold on

Gráfica:

Como podemos observar para cada valor de “a” se obtiene distintos valores de

es decir que dependen del valor de a que tomemos además tanto

están relacionadas, debiendo cumplir , para mantener constante

por lo cual si tomamos un a=cte podemos obtener los valores de .

Figura 4: grafica de los pares de valores (d,a) para R2=10mm




2.3.Dibujar las líneas equipotenciales y el campo eléctrico (Ejerc. 4).

Código: %potencial y campo electrico %%datos clear all R1=2; R2=10; D=15; V0=5; %calculando parametros d1=(D^2+R1^2-R2^2)/(2*D); d2=(D^2+R2^2-R1^2)/(2*D); a=sqrt(d1^2-R1^2); u1=0.5*log((d1+a)/(d1-a)); u2=0.5*log((d2-a)/(d2+a)); [x,y]=meshgrid(-15:0.50:25, -15:0.50:15); %potencial A=(2*V0)/(u2-u1); B=(V0*(u1+u2))/(u1-u2); %puntos de los dos conductores Ro1=sqrt((x+d1).^2+y.^2); Ro2=sqrt((x-d2).^2+y.^2); %indices dentro de cada conductor dentroC1=(Ro1<=R1); dentroC2=(Ro2<=R2); V=zeros(size(x)); V(dentroC1)=-V0; V(dentroC2)=V0; %fuera de los conductores fuera=(not(dentroC1)) & (not(dentroC2)); u(fuera)=log(abs( ( (x(fuera)-a)+i*y(fuera) ) ./(

(x(fuera)+a)+i*y(fuera) ))); %potencial fuera del conductor (dentro es 0) V(fuera)=A*u(fuera)+B; circulo(R1,-d1) circulo(R2,d2)

Figura 5: Potencial y Campo eléctrico Asociado Cable Bifilar Asimétrico




contour(x,y,V,20); hold on [px,py]=gradient(V); quiver(x,y,-px,-py); hold off axis equal; title('Potencial y Campo Electrico asociado Cable Bifilar

Asimetrico'); xlabel('Eje x (mm)'); ylabel('Eje y (mm)'); colorbar

Como podemos observar el campo eléctrico converge al conductor de menor tamaño

puesto que es el que tiene un potencial negativo, mientras el otro tiene el potencial

positivo, recordar que siempre el campo eléctrico se dirige a potenciales menores,

según la gama de colores podemos observar que el potencial entre los dos conductores

es muy intenso mientras que a los extremos es menor.

2.4.Dibujar la capacidad en función de D/R1 para el cable bifilar asimétrico.

Describir el comportamiento de la capacidad (Ejerc. 5).

Como podemos observar conforme va aumentado “D” la capacidad por unidad

de longitud disminuye esto debido a que los cables están los suficientemente

separados para que los campos no se induzcan en el otro terminal, esto se puede

observar en el plano transformado que se comporta como dos placas de un

condensador mientras se alejan estas pierden capacidad.

Figura 6: Capacidad por unidad de longitud en función de D/R1




Ejercicio3.Cable coaxial descentrado:

3.1.Expresión de la función potencial y capacidad por unidad de longitud (Ejerc. 6).

El procedimiento para resolver este problema es similar para el del cable bifilar

asimétrico

Usando la transformada generalizada

(

)

y las ecuaciones de los círculos:

( )

( )

Realizando operaciones llegamos a las siguientes expresiones de cada conductor

circular:

(

)

(

)

Para eliminar la dependencia de x y hacer “u” constante tenemos que plantear las

siguientes condiciones:

Por lo que obtenemos:

(

)

(

)

Como en la trasformada conforme obtenemos dos funciones constantes que dependen

solo de u además podemos utilizar la ecuación de LaPlace para encontrar la expresión

del potencial que resulta:

Aplicando condiciones en cada uno de los conductores obtenemos

𝑉(𝑢 𝑢 ) 𝑉

𝑉(𝑢 𝑢 ) 𝑉




Teniendo el potencial ya podemos obtener el campo eléctrico teniendo en cuenta que

solo depende de u.

Mediante una de las ecuaciones de contorno encontramos la densidad.

( )

Y si obtenemos la carga

∫

Por lo que tenemos

( )

3.2.Dibujar las líneas equipotenciales y el campo eléctrico (Ejerc. 7).

Como podemos observar el potencial en el conductor interior es mayor, esto porque es

un potencial negativo, al estar descentrado vemos que la esquina que se encuentra

cerca a la malla exterior el campo eléctrico es mayor, esto se puede observar en la

figura 8. En conclusión vemos que el campo eléctrico no está distribuido

uniformemente por el conductor sino que se concentra donde están mas juntos los dos

conductores

Figura 7: Potencial y Campo Eléctrico Figura 8: zoom donde el potencial es mayor




3.3.Dibujar la capacidad del coaxial en función del descentramiento D/R1. ¿Cómo

afecta el descentramiento a la capacidad del cable coaxial? (Ejerc. 8).

Codigo:

%datos clear all clc e=1/(4*pi*9*10^9); R1=2; R2=20; D=1:0.5:(R2-R1); %calculo parametros d2=(R2.^2-R1.^2+D.^2)./(2*D); d1=d2-D; a=sqrt(d1.^2-R1.^2); u1=0.5*log((d1-a)./(d1+a)); u2=0.5*log((d2-a)./(d2+a)); %capacidad por unidad de metro C_l=(4*pi*e)./abs(u2-u1); plot(D/R1,C_l) xlabel('D/R1'),ylabel('C/l') title('Capacidad en funcion de D/R1'); xlabel('D/R1'),ylabel('C/l'); grid title('Capaciadad en funcion del descentramiento'); xlabel('D/R1 (F/m)'); ylabel('C/l (mm)');

Grafica:

Figura 9: Capacidad según la posición del conductor interno




Como podemos observar conforme se va aumentando D, la capacidad va aumentando,

en otras palabras mientras el conductor interno se acerca la malla conductora del

coaxial este aumenta su capacidad, puesto que el campo eléctrico es mayor, por eso es

aconsejable que el conductor este centrado para evitar pérdidas por capacidades

parasitas originadas por la inducción de campo eléctrico que es intenso al estar muy

juntos.

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