Transformada de Laplace

Actividad 2, pag. 1 de 3

Transformada de Laplace

Una transformacion integral es una regla de asignacion (mapeo) entre dosfunciones f(t) y F (s), dada por

F (s) =

∫R⊆IR

k(s, t)f(t)dt.

La funcion f(t) se suele llamar funcion original y su dominio es el espacio original,mientras que F (s) sera la transformada de f(t) y su dominio es el dominio imagen.

k(s, t) es el kernel (nucleo) de la transformacion y en general, t es real (t ∈ IR),s es un numero complejo (s ∈ IC) y la condicion general para f(t) y k(s, t) es quesu producto sea integrable, es decir∫

R⊆IR

k(s, t)|f(t)|dt <∞

converge para algun valor s; en tal caso, se dice que f(t) es transformable.

Se sabe que, por ser un operador lineal, la transformada integral lo es, es decir,

b∫a

[cf1(t) + f2(t)]k(s, t)dt = c

b∫a

f1(t)k(s, t)dt+

b∫a

f2(t)k(s, t)dt

para c, constante arbitraria y f1, f2 funciones para las cuales la transformada estadefinida.

Si T representa la correspondencia f(t)→ F (s) se tiene que F (s) = T {f(t)}y si T es biyectiva, entonces existe la correspondencia F (s) → f(t) y se puederepresentar la transformada inversa como f(t) = T −1{F (s)} en terminos de otraintegral, llamada formula de inversion y ademas,

T −1{T {f(t)}} = f(t).

Se pueden obtener diferentes transformadas integral para kernels y espaciosoriginales diferentes. Posiblemente las mas comunes por su aplicacion en cienciase ingenierıa son:

la transformada de Laplace, con k(s, t) =

0 para t < 0

e−st para t > 0

la transformada de Fourier, con k(ω, t) = e−iωt

Sin embargo es claro que existen muchas mas y un vistazo general se muestra enla tabla.

k(s, t) R ⊆ IR Transformada

e−st (−∞,∞) de Laplace dos hojas

e−st (0, a) finita de Laplace

ts−1 (0,∞) de Mellin

cos st (0,∞) coseno

sin st (0,∞) seno1

t− s(−∞,∞) de Hankel

(t+ s)−p (0,∞) de Stieltjes

e−(x−s)2

(−∞,∞) de Gauss...

......

Mas alla de la importancia que pueda tener la transformada integral en camposcomo teorıa de ecuaciones integrales, operadores lineales, teorıa de probabilidady algebra de variables aleatorias, entre otros; se cuenta con un amplio campo deaplicacion en solucion de problemas de la fısica e ingenierıa, principalmente enlos casos de transformaciones biyectivas, partiendo del esquema

Kernel de Laplace

Representada por L {f(t)} = F (s), la transformada de Laplace mapeacomunmente una funcion trascendental de variable real, en una expresion racional

I7021 – Seminario de Solucion de Problemas de Metodos Matematicos III Software libre en analisis aplicado

Ing. en Comunicaciones y Electronica / Ing. en Computacion / Ing. Biomedica Ruben Sanchez G., Depto. de Fısica

Depto. de Electronica, DIVEC, CUCEI, UdeG. Laura E. Cortes N., Depto. de Matematicas


compleja. Por definicion, L {·} se obtienen resolviendo la integral

L {f(t)} =

∞∫0

e−stf(t)dt

L −1{F (s)} =1

2πi

σ+i∞∫σ−i∞

estF (s)ds

.Dado que la transformada de Laplace de una senal en tiempo continuo esta

dada por (una y dos hojas)

X(s) =

∞∫0

e−stx(t)dt

X(s) =

∞∫−∞

e−stx(t)dt

,para una muestra de la senal (discretizacion del tiempo), en lugar de x(t) setendrıa x(m), m ∈ Z y

X(es) =

∞∑m=0

x(m)e−sm

[X(es) =

∞∑m=−∞

x(m)e−sm

].

De modo que, sustituyendo z = es se obtiene la famosa transformada z (una ydos hojas) para z ∈ IC

X(z) =

∞∑m=0

x(m)z−m

[X(z) =

∞∑m=−∞

x(m)z−m

].

La transformada z “inversa” se define como

x(n) =1

2πi

∮C

X(z)zn−1dz n = 0, 1, 2 . . .

en donde la integral se calcula sobre la curva cerrada simple C positivamenteorientada, que encierra al origen y que cae en la region de convergencia de X(z).A pesar de la definicion, generalmente ha sido mas conveniente buscar la senalorigen usando tablas de la transformada z.

Para usar eficientemente las tablas, lo comun es calcular los polos y residuosmediante fracciones parciales, de modo que x(n) se obtiene de cada fraccionparcial.

En la siguiente diapositiva se muestra una tabla con una lista de transformadasz; no obstante, ejemplo de una tabla mas completa esta en http://mathworld.

wolfram.com/Z-Transform.html

Senal x(n) Transformada z,X(z) ROC1

δ(n) 1 Todo z

u(n) 11−z−1 |z| > 1

anu(n) 11−az−1 |z| > |a|

nanu(n) az−1

(1−az−1)2 |z| > |a|

−(an)u(−n− 1) 11−az−1 |z| > |a|

−n(an)u(−n− 1) az−1

(1−az−1)2 |z| > |a|

cos(ω0n)u(n) 1−z−1 cos(ω0)1−2z−1 cos(ω0)+z−2 |z| > 1

sin(ω0n)u(n) 1−z−1 sin(ω0)1−2z−1 cos(ω0)+z−2 |z| > 1

Objetivos:

Que el alumno utilice software matematico para obtener transformadas integralesdirectas e inversas.

Reportes entregables:

1. Calcule L {f(t)}, para las siguientes funciones.

a) f(t) = u(t− a) para a = 4 b) f(t) = e5t c) f(t) = sinh(t)

d) f(t) = 1.25u(t)− u(t− 3) + 2u(t− 7) e) f(t) = et cos(t) sin(2t)

2. Obtenga L {f(t)}−1, para las siguientes funciones

a) F (s) =z2

1 + z3b) F (s) =

1

(s− i)(s2 − 2)c) F (s) =

s+ 7

s2 + 2z + 5

d) F (s) =1

s4 + 5s3 + 18s2 + 34s+ 20e) F (s) =

se−πs

s2 + 2s+ 5

3. Calcule X(z) para las siguientes funciones y determina la region deconvergencia en cada caso.

a) x(n) =11δ(n)

10− δ(n− 2) +

δ(n− 4)

2.

b) x(n) =

(0.1)n si 0 ≤ n ≤ 5

(0.1)n + (0.2)n si 6 ≤ n ≤ 8

(0.2)n si 9 ≤ n ≤ ∞





c) x(n) = 1.25u(n)− u(n− 3) + 2u(n− 7) d) x(n) = (1 + n)u(n)

e) x(n) =

an si 0 ≤ n ≤ n00 si n0 < n

4. Calcule x(n) para las siguientes funciones

a) X(z) =z

(z − 15 )(z − 1

4 )b) X(z) =

z2

(z − 12 )(z − 1

3 )c) X(z) =

z

z2 − 2z + 2

d) X(z) =7z4 + 30z3 + 44z2 + 40z + 15

10z4e) X(z) =

z2 − 2z + 2

z2 − 712 + 1

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