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Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 1 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Transformada ZTransformada Z
13 de Abril de 2010
MSc. Bioing Rubén [email protected]
Bioingeniería I
Carrera: BioingenieríaFacultad de Ingeniería - UNER
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 2 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Organización
1 Definición
2 Función de transferencia
3 Transformaciones conformes
4 Aplicación
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 3 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
• Función de transferencia.
• Respuesta en frecuencia.
Conceptos generalesConceptos generales
x
x Re
Plano S
Im
• Análisis de estabilidad.
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 4 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Conceptos generalesConceptos generales
x[n] secuencia discreta, -∞ < n < +∞
x[n] ↔ X(z)
∑==+∞
−∞=
−
n
nz].n[x])n[x(Z)z(X TZ bilateral.
∑==+∞
=
−
0n
nz].n[x])n[x(Z)z(X TZ unilateral o causal.
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 5 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
x[n]
1
2 2 21,51,5
EjemploEjemplo
n0
x[n] = [1,5 1 2 2 2 1,5]
43211 51222151 −−−− +++++= z.,z.z.z.z.,)z(X
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 6 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Expresión de la transformada ZExpresión de la transformada Z
∫∞
∞−
−= dt.e).t(x)s(X st
∑∞
−∞=−δ=δδ=
nTT
* ]nTt[)t( ),t(x.)t()t(x donde
∑∞
−∞=−δ=
n
* ]nTt[].nT[x)t(x
∫∞
∞−
−= dt.e).t(x)s(X st**
P
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 7 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Región de convergenciaRegión de convergencia
θ= je.rZ
∑=∑=+∞
∞=
−+∞
∞=
− θ−
ne.n
n
n njr].n[xz].n[x)z(X
En la región de convergencia ⏐X(z)⏐ < ∞
∑=∞+
−∞=
− θ−
ne.n njr].n[x)z(X
∑=∑≤+∞
−∞=
−+∞
−∞=
− −
n
n
ne.n r].n[xr].n[x nj θ
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 8 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Región de convergenciaRegión de convergencia
∑∑ +=∑+∞
=
−
−∞=
−∞
−∞=
−
0
1
n nn
n
n
n
r]n[xr].n[xr].n[x
r1
Im
Re
r2
Im
Re
Im
Re
r1
r2
∑∑ +−=+∞
=
∞
= 01 n nn
n
r]n[xr].n[x)z(X
Parte no causal Parte causal
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 9 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
x[n]
n
111
−−=⎯→←=
z.α)z(X)n(u.α)n(x zn
x[n]n
1111
−−−=⎯→←−−−=
z.α)z(X)n(u.α)n(x zn
|α|
Im
Re
Región de convergenciaRegión de convergencia
|α|
Im
Re
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 10 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Región de convergenciaRegión de convergencia
Causal: ⏐z⏐> r2.
No causal: z⏐< r1.
Bilateral: r2 < z⏐< r1.
Señales de duración infinita
Causal: plano Z excepto z = 0.
No causal: plano Z excepto z = ∝.
Bilateral: plano Z excepto z = 0 y z = ∝.Señales de duración finita
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 11 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Planos S y ZPlanos S y Z
z = eSTz = eST
Re
Im
Re
Im
Plano S Plano z
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 12 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Trans. Z y trans. de FourierTrans. Z y trans. de Fourier
z = ejθS = jω
Re
Im
Re
Im
θ
Plano S Plano z
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 13 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Trans. Z y trans. de FourierTrans. Z y trans. de Fourier
∑=+∞
∞=
− θ−
ne.n njr].n[x)z(X
θ== jez)z(X])n[x(TF
∑=+∞
∞=
θ−θ−
nee njnj ].n[x)(X
P
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 14 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Trans. Z y trans. de FourierTrans. Z y trans. de Fourier
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 15 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
Relación entre transformadasRelación entre transformadas
z = esT
Transformada Z de x[n]Transformada Z de x[n]Transformada de Laplace de x(t)Transformada de Laplace de x(t)
s = jω
Transformada de Fourier de x(t)Transformada de Fourier de x(t)
z = ejθ
Transformada de Fourier de x[n]Transformada de Fourier de x[n]
-π < θ < π
θ = k2π / N, k = 0..(N-1)
TDF de x[n]TDF de x[n]
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 16 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Definición
PropiedadesPropiedades
• Linealidad
• Desplazamiento temporal
• Desplazamiento frecuencial
• Inversión temporal
• Convolución
• Diferenciación en dominio Z
P
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 17 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Función de transferencia
Sistemas LTISistemas LTI
]jn[x.b]in[y.a]n[yq
0jj
p
1ii −+−= ∑∑
==
Ecuación general de sistemas LTI discretosEcuación general de sistemas LTI discretos
P
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 18 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Función de transferencia
Sistemas LTISistemas LTI
∑
∑
=
=
−= p
1i
-ii
q
0j
-jj
.za1
.zbH(z) Sistemas ARMA
∑=
−= p
1i
-ii
0
.za1
bH(z) Sistemas AR
∑=
=q
0j
-jj.zbH(z) Sistemas MA
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 19 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Transformaciones conformes
AplicaciónAplicación
Sistema de tiempo continuoSistema de tiempo continuo Sistema de tiempo discretoSistema de tiempo discreto
P
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 20 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Transformaciones conformes
AplicaciónAplicación
sTeXZ =
Ejemplo simple:2s
1)s(H+
=
Transformaciones conformesTransformaciones conformes
P
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 21 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
( )Tz1s
1−−=
Plano S Plano z
Re
Im
1
Transformación de EulerTransformación de Euler
Transformaciones conformes
Re
Im
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 22 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Transformaciones conformes
( )( )1
1
z1z1
T2s
−
−
+
−=
Transformación bilinealTransformación bilineal
Re
Im
Re
Im
1
Plano S Plano z
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 23 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Transformaciones conformes
Transformación bilinealTransformación bilineal
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-4
-2
0
2
4
f [Hz]
tita
[rad]
Transformación de Euler
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-3
-2
-1
0
1
2
3
f [Hz]
tita
[rad]
Transformación Bilineal
θ = ωT
fm = 1 kHz
)tan(.T 2
θ2ω =
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 24 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Transformaciones conformes
Transformación bilinealTransformación bilineal
|H(jω)|
ω
ω
θ
π
|H(ejθ)|
θ
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 25 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Aplicación
Consideraciones prácticasConsideraciones prácticas
¿Cuando usar una transformación u otra?¿Cuando usar una transformación u otra?
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 26 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Aplicación
Consideraciones prácticasConsideraciones prácticas
01920101
2 ,s.,ss.,)s(H++
+=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
[Hz]
Mag
nitu
d
Respuesta en frecuencia del sistema analógico
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 27 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Aplicación
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
[rad]
Mag
nitu
d
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.5
1
1.5
2
2.5
3
[rad]
Mag
nitu
d
Respuesta en frecuencia del sistema discreto(Azul: Euler, Rojo: Bilineal)
Consideraciones prácticasConsideraciones prácticas
fm = 5 Hz
fm = 100 Hz
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 28 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Aplicación
Consideraciones prácticasConsideraciones prácticasfm = 100 Hz fm = 5 Hz
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
yPa
rt
Lugar de raices: Transformacion de Euler
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
yPa
rt
Lugar de raices: Transformacion de Euler
Euler
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
yPa
rt
Lugar de raices: Transformacion Bilineal
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real PartIm
agin
ary
Part
Lugar de raices: Transformacion Bilineal
Bilineal
Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 29 / 30
Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes
Aplicación
EjemploEjemplo
L C
Ei(t) R Eo(t)
i(t)
)s(E)s(E)s(H
io=