1Captulo II: Transformada de Laplace

Profesor: Raul Fierro P.

1 Conceptos Basicos

1. Definiciones Sea f : [a, b] R una funcion. Diremos que f es continua portramos en [a, b], si y solo si, las dos condiciones siguientes se satisfacen:

(1.1) f es continua salvo en un numero finito de puntos.

(1.2) Para todo c ]a, b[, existen f(c+) = limtc+

f(t) y f(c) = limtc

f(t).

Ademas, tambien existen f(a+) y f(b).

Si I es un intervalo no acotado y f : I R es una funcion, entonces se dice quef es continua por tramos en I, si y solo si, para todo [a, b] I, f|[a,b] (la restriccionde f al intervalo [a, b]) es continua por tramos.

2. Ejemplo Sea f : R R tal que f(t) = [t]. Luego, f es continua por tramos.

3. Definicion Sean f : ]0,[ R una funcion continua por tramos y s R. Latransformada de Laplace de f en s se define (cuando existe) como

L[f ](s) = 0

est f(t) dt (1)

4. Ejemplo Sean a R y f : ]0,[ R tal que f(t) = cos(at). Entonces, L[f ](s) =s

s2 + a2, si s > 0.

5. Definicion Sea f : ]0,[ R. Se dice que f es de orden exponencial, si y solo si,existen constantes reales C y a tales que para todo t ]0,[, |f(t)| C eat.

6. Ejemplo Sean a, b, c R, n N y f : ]0,[ R tal que f(t) = tn cos(at) ebt+c.Luego, f es de orden exponencial.

7. Teorema Sea f : ]0,[ R continua por tramos y de orden exponencial. En-tonces, existe s0 R tal que L[f ](s) existe para todo s > s0.

2 Fierro

8. Observacion Sea E el conjunto de todas las funciones de ]0,[ en R continuaspor tramos y de orden exponencial. Es facil ver que con las operaciones usuales (suma

de funciones y multiplicacion por escalar), E es un espacio vectorial sobre R.

Sea F el conjunto de todas las funciones reales definidas sobre algun intervalo de laforma ]s0,[. Para f, g F , definimos f+g como la funcion (f+g)(s) = f(s)+g(s)para s Dom(f) Dom(g).

Con la multiplicacion por escalar usual, F es tambien un espacio vectorial sobreR. Sea L : E F tal que L[f ](s) =

0est f(t) dt.

Luego, L es una transformacion lineal; es decir, la transformada de Laplace sobreE es una transformacion lineal.

9. Teorema (Lerch.) Sean f, g E y supongamos que existe s0 R tal que paratodo s > s0, L[f ](s) = L[g](s). Entonces, f(t) = g(t) para todo t ]0,[ salvo en unnumero finito de puntos. Ademas, f = g en el caso que f y g sean continuas.

10. Proposicion Si f E , entonces lims

L[f ](s) = 0.

11. Ejemplo Es s/(s+ 1) la transformada de Laplace de alguna funcion f E?

12. Ejemplo Es f(t) = 1/t una funcion de orden exponencial? Existe L[f ]?

2 Formulas elementales

1. Proposicion Sea a R

(1.1) L[1] = 1/s, (s > 0).

(1.2) L[eat](s) = 1/(s a), (s > a).

(1.3) L[cosh(at)](s) = s/(s2 a2), (s > |a|).

(1.4) L[senh(at)](s) = a/(s2 a2), (s > |a|).

2. Teorema Sea f : ]0,[ R derivable y tal que f E . Entonces,

(2.1) L[f ](s) = sL[f ](s) f(0+), (s > 0).

33. Corolario Sea f : ]0,[ R una funcion n veces derivable y tal que f (n) E .Entonces,

(3.1) L[f (n)](s) = sn L[f ](s) sn1f(0+) sn2f (0+) f (n1)(0+),(s > 0).

4. Ejemplos

(4.1) Sean a > 0 y f(t) = sen(at). Entonces, L[f ](s) = a/(s2 + a2) si s > 0.

(4.2) L[tn](s) = n!sn+1

si s > 0.

(4.3) Resolver el problema de valor inicial y + y = 0, y(0) = 1 e y(0) = 1.

5. Teorema Sea f E . Entonces, para todo a > 0,

(5.1) L[ ta

f(u) du](s) =1

s(L[f ](s)

a0

f(u) du).

6. Corolario Sea f E . Entonces,

(6.1) L[ t0

f(u) du](s) =1

sL[f ](s).

3 Otras propiedades

1. Teorema Sean a R y f : ]0,[ R tal que existe (s) = L[f ](s). Entonces,

(1.1) L[eat f(t)](s) = (s a).

2. Ejemplo Calcular L1[

s 2s2 6s+ 25

].

3. Observacion Supongamos que el grafico de una funcion f es el representado por

Figura 1. Cual es la funcion g representada por el grafico de Figura 2?

4 Fierro

Figure 1:

Figure 2:

Respuesta: g(t) = ua(t)f(t a), donde ua : [0,[ R esta definida por

ua(t) =

{0 si 0 t < a1 si a t.

4. Teorema Sea g E tal que g(t) = ua(t)f(t a). Entonces

(4.1) L[g](s) = eas L[f ](s).

5. Ejemplo Calcular L[f ] si f : [0,[ R esta definida por el grafico en Figura 3.

5Figure 3: Grafico de f en Ejemplo 4.

6. Teorema Sea f E y supongamos que (s) = L[f ](s) admite derivadas de ordenn (n N). Entonces,

(6.1) L[tnf(t)] = (1)n dn

dsnL[f ](s).

7. Ejemplos

(7.1) Calcular L[t et](s).

(7.2) Calcular L1[

s2

(s2 + a2)2

].

8. Teorema Sea f E una funcion periodica de perodo p > 0.

Entonces,

(8.1) L[f ](s) = p0est f(t) dt

1 eps .

9. Teorema Sea f : ]0,[ R continua por tramos y tal que f(t)/t es de ordenexponencial.

Entonces,

(9.1) L[f(t)/t](s) = s

L[f ](u) du.

10. Ejemplo Calcular

0

e4t ett

dt.

11. Definicion Si > 1 se define

6 Fierro

() =

0

x1 ex dx.

12. Teorema Para todo > 1, L[t](s) = (+ 1)/s+1, (s > 0).

13. Ejemplo Calcular L[1/t](s).

4 Convolucion

1. Definicion Sean f, g E . La convolucion de f y g se define por

(1.1) (f g)(t) = t0

f(t u)g(u) du.

2. Observaciones Es facil ver que si f, g E, entonces f g E y ademas,f g = g f . Esto significa que es una operacion conmutativa en E . Queda comoejercicio demostrar que la operacion es asociativa y distributiva respecto de la sumade funciones; es decir,

(2.1) f (g h) = (f g) h y

(2.2) f (g + h) = f g + f h.

3. Teorema Sean f, g E. Entonces,

(3.1) L[f g](s) = L[f ](s)L[g](s).

4. Ejemplos

(4.1) Calcular L1[

1

(s 1)(s 2)].

(4.2) Sean a, b R y h : [0,[ R continua por tramos y de orden exponencial.Resolver el problema de valor inicial siguiente:

y 6y + 8y = h, y(0) = a, y(0) = b.

5 Ejercicios propuestos

1.- Calcule la transformada de Laplace de f en los casos siguientes:

7(1.1) f(t) = 3 e5t . (1.2) f(t) = 4t 12.

(1.3) f(t) = 2 e3t+6t+ 1. (1.4) f(t) = 3 cos(pit).

(1.5) f(t) = tsen(2t). (1.6) f(t) =t.

(1.7) f(t) = (sen(t) cos(t))2. (1.8) f(t) = 2 cosh(5t) + tsenh(t).

2.- Demuestre que si f : [0,[ R es de orden exponencial, entonces f es acotadasobre todo intervalo de la forma [0, T ] con T R+.

3.- Demuestre que cada una de las funciones siguientes son de orden exponencial:

(3.1) cos(bt). (3.2) ln(1 + t). (3.3)t.

4.- De un ejemplo de una funcion f : [0,[ R continua por tramos que no sea deorden exponencial, pero que exista su transformada de Laplace.

5.- Sea f : [0,[ R tal que para todo a R, limt

eat f(t) = . Demuestre quef no es de orden exponencial.

6.- Sea f : [0,[ R tal que f(t) = et2 .

Es f de orden exponencial?

7.- Sea (s) = L[f ](s) la transformada de Laplace de una funcion f y g(t) = f(ct)(c > 0).

(7.1) Si (s) existe para todo s > s0, determine los valores de s para los cuales

existe L[g](s).

(7.2) Demuestre que para todo s suficientemente grande, L[g](s) = f(s/c)/c.

8.- Determine la existencia de las siguientes transformadas de Laplace:

(8.1) L[1/(t+ 1)](s). (8.2) L[et2 ](s).

(8.3) L[cos(t2)](s).

9.- Evalue las integrales siguientes:

(9.1)

0

t2 e2t sen(t) dt. (9.2) 0

et sen(t)t

dt.9

8 Fierro

(9.3)

0

ett dt. (9.4)

0

et dt.

10.- Determine la inversa de las siguientes transformadas de Laplace:

(10.1)2

s 3 . (10.2)1

s2 + 4.

(10.3)1

s3 + 16s2. (10.4)

1

s2 + 2s+ 2.

(10.5)1

(s 3)4 . (10.6) es s 1

s2 5s+ 6.

(10.7)s e3s

s 2 . (10.8)s epis

s2 4s+ 5.

(10.9) e2ss2 9

s4 6s2 + 9 .

11.- Demuestre que

(11.1) L[eat ebt

t

](s) = ln

[s+ b

s+ a

].

(11.2)

0

e3t e6tt

dt = ln(2).

12.- Sea f la funcion periodica de perodo 2 tal que

f(t) =

{1 si 0 t < 11 si 1 2.

Encuentre la transformada de Laplace de f .

13.- Sea f la funcion periodica de perodo 1 tal que f(t) = t si 0 t < 1. Encuentrela transformada de Laplace de f .

14.- Encuentre L[e2t /t](s).

15.- Sea f : [0,[ R una funcion continua por tramos y de orden exponencial.Utilice la formula de convolucion para calcular, en funcion de f , la transformada de

Laplace inversa de las funciones siguientes:

(15.1)L[f ](s)s2 + 1

. (15.2)e3s L[f ](s)

s3.

16.- Resuelva

9(16.1) y + 2y 3y = et; y(0) = 1, y(0) = 0.

(16.2) y + y = upi(t)sen(t); y(0) = 0, y(0) = 1.

(16.3) ty + y + 4ty = 0; y(0) = 3, y(0) = 0.

17.- Sean J0 la solucion de ty(t) + y(t) + ty = 0, con J0(0) = 1, y (s) = L[J0](s).

Demuestre que

(17.1) (1 + s2)(s) + s(s) = 0, y

(17.2) (s) = 1/1 + s2 .