Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Transformaty. Kodowanietransformujące
Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10
Filip Zagórski
10 maja 2009
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?
Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?
Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.
Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).
Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.
fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Fouriera
Aby odtworzyć f (t) obliczamy
limT→∞,∆ω→0
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Transformatą Fouriera nazywamy równanie
F (ω) =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy
f (t) =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω)eiωt dω
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Fouriera
Aby odtworzyć f (t) obliczamy
limT→∞,∆ω→0
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Transformatą Fouriera nazywamy równanie
F (ω) =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.
Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy
f (t) =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω)eiωt dω
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Fouriera
Aby odtworzyć f (t) obliczamy
limT→∞,∆ω→0
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Transformatą Fouriera nazywamy równanie
F (ω) =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy
f (t) =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω)eiωt dω
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretna transformacja Fouriera
Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcjiciągłych w czasie a w kompresji mamy do czynieniaz ciągiem wartości (próbkowanie).
Przypuśćmy, że próbkujemy N razy w okresie T .Wtedy współczynniki szeregu możemy otrzymać jako
Fk =1T
∫ T0
f (t)N−1∑n=0
δ(t − nT/N)eikω0t dt
=1T
N−1∑n=0
f (nT/N)ei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretna transformacja Fouriera
Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcjiciągłych w czasie a w kompresji mamy do czynieniaz ciągiem wartości (próbkowanie).Przypuśćmy, że próbkujemy N razy w okresie T .Wtedy współczynniki szeregu możemy otrzymać jako
Fk =1T
∫ T0
f (t)N−1∑n=0
δ(t − nT/N)eikω0t dt
=1T
N−1∑n=0
f (nT/N)ei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretna transformacja Fouriera
Przyjmując T = 1 i fn = f (n/N) otrzymamywspółczynniki dyskretnego szeregu Fouriera
Fk =N−1∑n=0
fnei2πkn/N
Przeprowadzając odpowiednie przekształceniaotrzymamy
fn =1N
N−1∑k=0
Fkei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretna transformacja Fouriera
Przyjmując T = 1 i fn = f (n/N) otrzymamywspółczynniki dyskretnego szeregu Fouriera
Fk =N−1∑n=0
fnei2πkn/N
Przeprowadzając odpowiednie przekształceniaotrzymamy
fn =1N
N−1∑k=0
Fkei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Z
Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.
Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera
F (ω) =∞∑
n=−∞
fneiωnT ,
gdzie fn = f (nT ).Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem
F (z) =∞∑
n=−∞
fnz−n
gdzie z = eσT +iωT .
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Z
Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera
F (ω) =∞∑
n=−∞
fneiωnT ,
gdzie fn = f (nT ).
Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem
F (z) =∞∑
n=−∞
fnz−n
gdzie z = eσT +iωT .
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Transformata Z
Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera
F (ω) =∞∑
n=−∞
fneiωnT ,
gdzie fn = f (nT ).Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem
F (z) =∞∑
n=−∞
fnz−n
gdzie z = eσT +iωT .Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.
Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.
2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.
3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.
4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresjąbezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przykład
Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)
Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie
θ = Az, gdzie z =[
xy
]odpowiada parze
wzrost-waga, a A jest macierzą obrotu postaci
A =[
cosφ sinφ− sinφ cosφ
]a φ kątem nachylenia prostej do osi x-ów.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przykład
Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .
Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie
θ = Az, gdzie z =[
xy
]odpowiada parze
wzrost-waga, a A jest macierzą obrotu postaci
A =[
cosφ sinφ− sinφ cosφ
]a φ kątem nachylenia prostej do osi x-ów.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przykład
Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie
θ = Az, gdzie z =[
xy
]odpowiada parze
wzrost-waga, a A jest macierzą obrotu postaci
A =[
cosφ sinφ− sinφ cosφ
]a φ kątem nachylenia prostej do osi x-ów.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)
Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.
Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]
Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).
Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.
Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.
Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.
Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]
Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.
Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.
Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.
Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Baza DCT
(numery odpowiadają wierszom macierzyprzekształcenia)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Macierze bazy DCT
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Porównanie DFT i DCT
DFT:
DCT:
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenie sinusowe
Macierz przekształcenia N × N
[S]i,j =
√2
N + 1sin
π(i + 1)(j + 1)N + 1
Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacjiρ = E [xnxn+1]E [x2n ]
jest mały.
Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenie sinusowe
Macierz przekształcenia N × N
[S]i,j =
√2
N + 1sin
π(i + 1)(j + 1)N + 1
Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacjiρ = E [xnxn+1]E [x2n ]
jest mały.
Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenie sinusowe
Macierz przekształcenia N × N
[S]i,j =
√2
N + 1sin
π(i + 1)(j + 1)N + 1
Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacjiρ = E [xnxn+1]E [x2n ]
jest mały.
Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenieWalsha-Hadamarda
Macierz przekształcenia N × NMacierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzoremHHT = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia zewzoru:
H2N =[
HN HNHN −HN
]Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizacjęi ustawienie kolumn w porządku ilości zmian znaków (+na - i odwrotnie).
Bardzo proste do uzyskania i implementacji.Minimalizuje ilość obliczeń.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenieWalsha-Hadamarda
Macierz przekształcenia N × NMacierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzoremHHT = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia zewzoru:
H2N =[
HN HNHN −HN
]Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizacjęi ustawienie kolumn w porządku ilości zmian znaków (+na - i odwrotnie).
Bardzo proste do uzyskania i implementacji.
Minimalizuje ilość obliczeń.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Dyskretne przekształcenieWalsha-Hadamarda
Macierz przekształcenia N × NMacierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzoremHHT = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia zewzoru:
H2N =[
HN HNHN −HN
]Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizacjęi ustawienie kolumn w porządku ilości zmian znaków (+na - i odwrotnie).
Bardzo proste do uzyskania i implementacji.Minimalizuje ilość obliczeń.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.
Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].
Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.
Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.
Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Algorytm JPEG – kolejność kodowania
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Zastosowanie do kompresji dźwięków
Stosowane w MPEG Layer III.
Kodowanie oparte na DCT i DST.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
Zastosowanie do kompresji dźwięków
Stosowane w MPEG Layer III.Kodowanie oparte na DCT i DST.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące