Transformée de Fourier

S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2008-2009 3 - 1

Transformée de Fourier A. Définition La transformation de Fourier constitue la généralisation du développement en série de Fourier en termes complexes aux fonctions non périodiques. La transformée de Fourier d'une fonction f(t) est définie par :

[ ] ∫∞+

∞−ω−==ω dte)t(f)t(fTF)j(F tj

Sa transformée inverse a pour expression :

[ ] ∫∞+

∞−ω− ωω

π=ω= de)j(F

2

1)j(FTF)t(f tj1

A une constante (1/2π) dans cette formulation l’intégrale sur la pulsation ω remplace la sommation discrète sur n de la décomposition de Fourier d’une fonction périodique. La fonction F(jω) définit le spectre de fréquence de f(t) : ce spectre est continu pour une fonction non périodique, formé de "raies" pour une fonction périodique (cf. C). Le spectre d'amplitude représente le module de la transformée de Fourier F(jω) et le spectre de phase son argument. Avec la transformée de Fourier il est équivalent de connaître une fonction f(t) dans le domaine temporel ou dans le domaine fréquentiel.

A.1. Autre formulation de la transformée de Fourier Notons ν = ω/2π la fréquence correspondant à la pulsation ω. Nous pouvons alors réécrire la définition de la transformée de Fourier sous la forme :

[ ] ∫∞+

∞−νπ−==ν dte)t(f)t(fTF)(F t2j

et pour la transformée inverse :

[ ] ∫∞+

∞−νπ− νν=ν= de)(F)(FTF)t(f t2j1

Les deux formulations sont équivalentes mais nous les notons F(jω) et F(ν) pour les distinguer.


B. Propriétés Nous allons passer en revue quelques unes des propriétés fondamentales de la transformée de Fourier.

B.1. Linéarité Il est facile de vérifier que la transformation de Fourier est une opération linéaire :

[ ] [ ] [ ])t(fTF)t(fTF)t(f)t(fTF 22112211 λ+λ=λ+λ

B.2. Dérivation Considérons la transformation d'une dérivée :

∫∞+

∞−ω−=

dte

dt

)t(fd

dt

)t(fdTF tj

Intégrons par parties :

[ ] ∫∞+

∞−ω−∞+

∞−ω− ω+=

dte)t(fje)t(f

dt

)t(fdTF tjtj

Si la fonction f tend vers 0 lorsque t tend vers ±∞, comme pour toutes les bonnes fonctions rencontrées en physique, il vient :

[ ])t(fTFjdt

)t(fdTF ω=

Ce résultat se généralise :

[ ])t(fTF)j(dt

)t(fdTF n

n

nω=

Réciproquement, nous calculons la dérivée d'une transformée de Fourier :

[ ]∫∫

∞+

∞−ω−∞+

∞−ω− −=

ω=

ωω=

ωdte)t(ftjdte)t(f

d

d

d

)j(Fd

d

)t(fTFd tjtj

Soit : [ ] [ ])t(ftTFj

d

)t(fTFd −=ω

Ce qui se généralise :

[ ] [ ])t(ftTF)j()t(fTF nn)n( −=


B.3. Retard Etudions l'effet d'une translation temporelle (par exemple un changement d’origine) :

[ ] ∫∞+

∞−ω−−=− dte)at(f)at(fTF tj

Un changement simple de variable (u = t-a) nous donne :

[ ] ∫∫∞+

∞−ω−ω−∞+

∞−+ω− ==− due)u(fedue)u(f)at(fTF ujaj)au(j

Soit :

[ ] [ ])t(fTFe)at(fTF aj ω−=− Après une translation temporelle la transformée de Fourier a même module mais subit un changement de phase.

B.4. Produit de fonctions Calculons la transformation de Fourier d’un produit de fonctions, en utilisant la fréquence comme variable :

[ ] ∫∞+

∞−νπ−==ν⇒= dte)t(g)t(f)t(g)t(fTF)(H)t(g)t(f)t(h t2j

Notons F(ν) et G(ν) les transformées de f(t) et g(t) respectivement. Nous avons :

[ ] ∫ ∫∞+

∞−νπ−∞+

∞−π−

=ν⇒ν= dte)t(gdue)u(F)(H)(FTF)t(f t2jtu2j1

C’est-à-dire en inversant l’ordre des intégrales :

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−−νπ−

∞+

∞−

∞+

∞−νπ−π

=

=ν

dudte)t(g)u(F

dudtee)t(g)u(F)(H

t)u(2j

t2jtu2j

Or :

)u(Gdte)t(g t)u(2j −ν=∫∞+

∞−−νπ−

Donc :


)(G)(Fdu)u(G)u(F)(H ν∗ν=−ν=ν ∫∞+

∞−

La transformée de Fourier d’un produit de fonctions est égale au produit de convolution des transformées des fonctions.

B.5. Convolution Calculons maintenant la transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions :

[ ] ∫ ∫∞+

∞−ω−∞+

∞−

−=⇒= dtedu)ut(g)u(f)t(g*)t(fTF)t(g*)t(f)t(h tj

[ ] ∫ ∫∞+

∞−ω−∞+

∞−−= dtdue)ut(g)u(f)t(g*)t(fTF tj

Nous pouvons intervertir l’ordre des intégrations :

[ ] ∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−ω−

−= dudte)ut(g)u(f)t(g*)t(fTF tj

L’application du résultat précédent sur la translation temporelle nous donne :

[ ] ∫∞+

∞−ω− ω= du)j(Ge)u(f)t(g*)t(fTF uj

où G(jω) représente la transformée de Fourier de g(t). Donc :

[ ] )j(F)j(Gdue)u(f)j(G)t(g*)t(fTF uj ωω=ω= ∫∞+

∞−ω−

Donc la transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est égale au produit de deux transformées :

[ ] [ ] [ ])t(gTF)t(fTF)t(g*)t(fTF ×=

B.6. Similitude ou affinité Pour a non nul considérons l’effet d’un changement de l’échelle temporelle :

[ ] ∫∞+

∞−ω−= dte)at(f)at(fTF tj

Effectuons un changement de variable (u = at) :


[ ] ∫∞+

∞−ω−= due)u(f

a

1)at(fTF a/uj

Donc :

[ ]

ω=≠∀a

jFa

1)at(fTF0a

Un étalement de l’échelle des temps conduit à une contraction de l’échelle des fréquences et inversement.

B.7. Parité et conjugaison Etudions la parité de la transformée de Fourier. Nous pouvons écrire :

∫∫∫∞+

∞−ω−∞−

∞+ω−∞+

∞−ω −=−−==ω− dte)t(fdue)u(fdte)t(f)j(F tjujtj

La transformée de Fourier F(jω) d’une fonction f(t) est donc de même parité que celle-ci. Calculons la transformée de Fourier du complexe conjugué de f(t) :

[ ] )j(Fdte)t(fdte)t(f)t(fTF **

tjtj** ω−=

== ∫∫

∞+

∞−ω∞+

∞−ω−

En particulier si la fonction f(t) est réelle nous avons :

)j(F)j(F)t(f)t(f ** ω=ω−⇔= C’est-à-dire pour les parties réelle et imaginaire de F(jω) :

[ ] [ ]

[ ] [ ]

ω−=ω−

ω=ω−

)j(FIm)j(FIm

)j(FRe)j(FRe

Donc si la fonction f(t) est réelle, la partie réelle de sa transformée de Fourier est paire et la partie imaginaire est impaire. De même le module de la transformée de Fourier d’une fonction réelle est pair et son argument impair. Il est donc possible de ne déterminer la transformée de Fourier que pour les fréquences positives. On déduit la partie des fréquences négatives par symétrie "hermitique". De plus si f(t) est réelle et paire alors F(jω) est réelle (et paire). Si f(t) est réelle et impaire F(jω) est imaginaire (et impaire).


C. Transformée de Fourier d’une fonction périodique Commençons par calculer la transformée de la distribution de Dirac δ(t) :

[ ] 1dte)t()t(TF tj =δ=δ ∫∞+

∞−ω−

[ ] ajtj edte)at()at(TF ω−∞+

∞−ω− =−δ=−δ ∫

Soit encore :

( ) )at(eTF aj1 −δ=ω−−

( ) ∫∫∞+

∞−−ω∞+

∞−ωω−ω−− ω

π=ω

π= de

2

1dee

2

1eTF )at(jtjajaj1

Ce qui nous permet d’écrire :

)at(2de )at(j −δπ=ω∫∞+

∞−−ω

)t(2de tj δπ=ω∫∞+

∞−ω

Utilisons ce résultat pour calculer la transformée de Fourier d'une exponentielle complexe :

( ) )(2dtedteeeTF 0t)(jtjtjtj 000 ω−ωδπ=== ∫∫

∞+

∞−ω−ω∞+

∞−ω−ωω

Donc :

( ) )(2eTF 0tj 0 ω−ωδπ=ω

( ) )(21TF ωδπ= Appliquons ce résultat à une fonction s(t) périodique de pulsation ω0. Nous savons que celle-ci peut s’écrire comme une série de Fourier :

∑+∞

−∞=

ω=n

tnjn

0ec)t(s

Donc :

[ ] [ ] ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

ω ω−ωδπ===ωn

0nn

tnjn )n(c2eTFc)t(sTF)j(S 0

Nous retrouvons que le spectre d’une fonction périodique est un spectre de raies, et nous avons :


)nj(S2

1c 0n ω

π=

D. Théorème de Parseval et densité spectrale d’énergie L'égalité de Bessel-Parseval se généralise dans le cadre de la transformation de Fourier. Calculons :

∫∞+

∞−ωω d)j(F 2

∫ ∫∫∫∞+

∞−

∞+

∞−ω∞+

∞−

∞+

∞−ω

ω=ωωω=ωω ddte)t(f)j(Fd)j(F)j(Fd)j(F tj**2

∫ ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−ω∞+

∞−ωω=ωω ddte)t(f)j(Fd)j(F tj*2

∫ ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−ω∞+

∞−

ωω=ωω dtde)j(F)t(fd)j(F tj*2

∫∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−π=π=ωω dt)t(f2dt)t(f)t(f2d)j(F 2*2

Nous avons donc :

∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−νν=ωω

π= d)(Fd)j(F

2

1dt)t(f 222

Par définition |f(t)|2 correspond à la puissance du signal f(t). Par analogie la quantité |F(ν)|2 est définie comme la densité spectrale d'énergie du signal. Et les intégrales précédentes donnent l’énergie de celui-ci. Ce résultat se généralise à la puissance d’interaction de deux signaux. En effet :

∫ ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−ω∞+

∞−ω

ω=ωωω ddte)t(g)j(Fd)j(G)j(F tj**

∫ ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−ω∞+

∞−ωω=ωωω ddte)t(g)j(Fd)j(G)j(F tj**

∫ ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−ω∞+

∞−

ωω=ωωω dtde)j(F)t(gd)j(G)j(F tj**

∫∫∞+

∞−

∞+

∞−π=ωωω dt)t(g)t(f2d)j(G)j(F **

∫∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−ννν=ωωω

π= d)(G)(Fd)j(G)j(F

2

1dt)t(g)t(f ***


La quantité F(ν) G*(ν) est donc la densité spectrale d’énergie d’interaction des deux signaux.

E. Transformées de quelques fonctions Calculons les transformées de fonctions utiles. Commençons par rappeler celles qui ont été calculées §C.

E.1. Distribution de Dirac

[ ] 1)t(TF =δ

[ ] aje)at(TF ω−=−δ

E.2. Exponentielle complexe

( ) )(2eTF 0tj 0 ω−ωδπ=ω

( ) )(21TF ωδπ=

E.3. Fonctions trigonométriques La formule de Moivre nous permet de calculer les transformées des fonctions cosinus et sinus à partir de celles des exponentielles complexes :

−=ω

+=ωω−ω

ω−ω

j2

ee)tsin(

2

ee)tcos(

tjtj

0

tjtj

0

00

00

Ce qui nous donne :

[ ] [ ]

[ ] [ ]

ω−ωδ−ω+ωδπ=ω

ω+ωδ+ω−ωδπ=ω

)()(j)tsin(TF

)()()tcos(TF

000

000

E.4. Exponentielle causale Cherchons la transformée de Fourier de la fonction suivante :

unitééchelon)t(uavec)t(ue)t(f at == − Nous pouvons écrire :


[ ] ∫∫∞+ ω+−∞+

∞−ω−−− ==

0

t)ja(tjatat dtedte)t(ue)t(ueTF

[ ] [ ]+∞

ω+−−+∞

ω+−−

ω+=

ω+=

0

tj)aIm(t)aRe(

0

t)ja(at eeja

1e

ja

1)t(ueTF

Donc :

[ ] 0)aRe(sija

1)t(ueTF at >

ω+=−

D’autre part nous savons que :

[ ]

ω+ω=−

ja

1

d

dj)t(uetTF at

Donc :

[ ] 0)aRe(si)ja(

1)t(uetTF

2at >

ω+=−

E.5. Exponentielle symétrique Cherchons la transformée de Fourier de la fonction suivante :

tae)t(f −= Nous pouvons écrire :

∫∫∞+ ω−−

∞−ω−− +=

0

tjat0 tjatta dteedteeeTF

∫∫∞+ ω+−

∞−ω−− +=

0

t)ja(0 t)ja(ta dtedteeTF

+∞ω+−

∞−

ω−−

ω+−+

ω−=

0

t)ja(0

t)ja(ta eja

1e

ja

1eTF

Ce qui nous donne si la partie réelle de a est positive :

22ta

a

a2

ja

1

ja

1eTF

ω+=

ω++

ω−=

−

Soit :

0)aRe(sia

a2eTF

22ta >

ω+=

−


E.6. Fonction signe Nous pouvons également calculer :

∫∫∞+ ω−−

∞−ω−− +−=

0

tjat0 tjatta dteedteee)tsgn(TF

22ta

a

j2

ja

1

ja

1e)tsgn(TF

ω+ω−=

ω++

ω−−=

−

Donc :

0)aRe(sia

j2e)tsgn(TF

22ta >

ω+ω−=

−

Ce résultat nous permet de calculer la transformée de la fonction signe en utilisant :

ta

0ae)tsgn(lim)tsgn( −

→=

Comme l’intégrale :

0dt)tsgn( =∫∞+

∞−

est définie, nous pouvons écrire :

[ ]2

ta

0a

ta

0a

j2e)tsgn(TFlime)tsgn(limTF)tsgn(TF

ωω−=

=

= −

→

−

→

[ ] 0pourj

2)tsgn(TF ≠ω

ω=

E.7. Echelon unité Nous ne pouvons pas calculer directement la transformée de Fourier de la fonction échelon, mais nous pouvons exprimer celle-ci à l’aide de la fonction signe :

[ ])tsgn(12

1)t(u1)t(u2)tsgn( +=⇔−=

Nous pouvons donc écrire :

[ ] [ ]{ }

ω+ωδπ=+=

j

2)(2

2

1)t(signTF)1(TF

2

1)t(uTF

[ ]ω

+ωδπ=j

1)()t(uTF


E.8. Gaussienne centrée réduite Calculons la transformée de Fourier de :

2/t 2

e)t(f −= Une méthode consiste à passer par la dérivée :

)t(ftetdt

)t(df 2/t 2

−=−= −

Prenons la transformée de cette équation, il vient :

[ ]ωω−=ωω⇔−=

d

)j(dFj)j(Fj)t(ftTF

dt

)t(dfTF

Ce qui nous donne :

2/2

eK)j(Fd)j(F

)j(dF ω−=ω⇔ωω−=ωω

Pour calculer la constante K remarquons que :

=→==== ∫∫∫∞+

∞−−∞+

∞−−∞+

∞− 2

tutdue2dtedt)t(f)0(FK

22 u2/t

Donc :

π= 2K

Ce qui nous donne :

( ) 2/2/t 22

e2eTF ω−− π=

A une normalisation près, la transformée de Fourier d’une gaussienne centrée réduite est une gaussienne centrée réduite.

E.9. Porte Considérons la transformée de Fourier de la fonction porte unité :

[ ] ∫∫+

−ω−∞+

∞−ω− =Π=Π

1

1

tjtj dtedte)t()t(TF

[ ] )(Sinc2)sin(

2j

ee

j

e)t(TF

jj1

1

tjω=

ωω=

ω−=

ω−=Π

ω−ω+

−

ω−

La fonction sinus cardinal, dont l’allure est illustrée par la figure 3-1, est définie par :


x

)xsin()x(Sinc =

Elle est égale à 1 pour x = 0. C’est une fonction pseudo-périodique de pseudo-période 2π qui s’annule pour x = kπ (k ≠ 0).

Fig. 3-1 : Allure de la fonction sinus cardinal Pour une porte de largeur a nous avons :

ωω=ω=

Π )asin(2)a(Sinca2

a

tTF

Lorsque la largeur de la porte augmente, la largeur du pic diminue et sa hauteur augmente.

E.10. Triangle Calculons la transformée de Fourier du triangle unité Λ(t) :

[ ] ∫∫+ ω−

−ω− −++=Λ

1

0

tj0

1

tj dte)t1(dte)t1()t(TF

[ ] ∫∫∫+ ω−

−ω−+

−ω− −+=Λ

1

0

tj0

1

tj1

1

tj dtetdtetdte)t(TF

[ ] ∫∫∫+ ω−

+ω+

−ω− −+=Λ

1

0

tj0

1

uj1

1

tj dtetdueudte)t(TF

[ ] ( )∫∫+ ω−ω+

−ω− +−=Λ

1

0

tjtj1

1

tj dteetdte)t(TF

[ ] ∫∫++

−ω− ω−=Λ

1

0

1

1

tj dt)tcos(t2dte)t(TF


Calculons les deux intégrales séparément :

)(Sinc2)sin(

2j

ee

j

edte

tjtj1

1

tj1

1

tj ω=ω

ω=ω

−=

ω−=

ω−ω+

−

ω−+

−ω−∫

et

1

02

1

0

1

0

1

0

)tcos()sin(dt

)tsin()tsin(tdt)tcos(t

ωω−−

ωω=

ωω−

ωω=ω ∫∫

++

ω−ω=ω

ω

−ω

ω=ω

ω−−ω

ω=ω∫+

2Sinc

2

1)(Sinc

2sin2

)sin()cos(1)sin(dt)tcos(t 2

2

2

2

1

0

Ce qui nous donne :

[ ]

ω+ω−ω=Λ2

Sinc)(Sinc2)(Sinc2)t(TF 2

[ ]

ω=Λ2

Sinc)t(TF 2

Fig. 3-2 : Allure de Sinc2(x) Pour un triangle de largeur a nous avons :

ω=

Λ2

aSinca

a

tTF 2


E.11. Peigne de Dirac Le peigne de Dirac de période T peut être obtenu à partir de la "dérivée" d’un signal périodique en dents de scie défini par :

[T)1n(,nT[tpourT

nTt)t(s +∈−=

En effet ce signal a pour dérivée généralisée :

)t(T

1)nTt(

T

1

dt

)t(sdT

n

∆−=−δ−= ∑+∞

−∞=

Nous pouvons décomposer le signal périodique s(t) en une série de Fourier à termes complexes :

T

2avecec)t(s

n

tnjn

π=ω= ∑+∞

−∞=

ω

et :

∫∫ ω−ω− ==T

0

tnj2

T

0

tnjn dtet

T

1dte)t(s

T

1c

Commençons par n = 0 :

2

1

2

t

T

1dtt

T

1c

T

0

2

2

T

020 =

== ∫

Pour n ≠ 0, nous pouvons utiliser la primitive suivante :

ta2

ta ea

ta1dtet −− +−=∫

Ce qui nous donne :

2Tjn

2

T

0

tjn22n

)Tjn(

1e

)Tjn(

Tjn1e

)jn(

tjn1

T

1c

ω+

ω

ω+−=

ω

ω+−= ω−ω−

Soit :

π=

πω+

π

π+−=n2

j

)2jn(

1

)2jn(

2jn1c

22n


Nous avons donc pour la série de Fourier du signal en dents de scie :

∑+∞

≠−∞=

ωπ

+=

0nn

tjnen

1

2

j

2

1)t(s

Dérivons :

∑∑+∞

≠−∞=

ω+∞

≠−∞=

ωπ

ω−=ωπ

=

0nn

tjn

0nn

tjn e2

en

jn

2

j

dt

)t(sd

Ce qui nous donne pour le peigne de Dirac :

∑+∞

≠−∞=

ω+=−=∆

0nn

tjnT e

T

1

T

1

dt

)t(sd

T

1)t(

Nous avons donc le développement en série de Fourier du peigne de Dirac :

∑∑+∞

−∞=

π+∞

−∞=

ω ==∆n

T/t2jn

n

tjnT e

T

1e

T

1)t(

Nous en déduisons la transformée de Fourier du peigne de Dirac :

[ ] ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−νδ=

π−ωδπ=∆nn

T T

n

T

1

T

n2

T

2)t(TF

La transformée du peigne de Dirac est un autre peigne de Dirac.

E.12. Influence de l’intervalle de mesure Le transformée de Fourier est définie par une intégrale sur un intervalle infini. Or dans la pratique les transformées de Fourier ne peuvent sont accessibles que sur des intervalles limités. Etudions la conséquence d’un intervalle de mesure fini. Considérons un signal sinusoïdal, par exemple :

)tcos()t(f 0ω=

Supposons que celui-ci est enregistré et analysé sur un intervalle [-a, a]. Sur la figure 3-3 nous nous sommes limités à quatre périodes (a = 2 T). Le signal réel correspond au signal f(t) multiplié par une porte de demi-largeur a :

Πω=

Π=a

t)tcos(

a

t)t(f)t(s 0


Fig. 3-3 : Signal limité en temps Calculons la transformée de Fourier de ce signal. Celle-ci s’obtient à partir du produit de convolution des transformées de Fourier des deux fonctions :

[ ] [ ]

ω=

Π

ω+ωδ+ω−ωδπ=ω

)a(Sinca2a

tTF

)()(tcos(TF 000

Ce qui nous donne :

[ ] [ ]∫∞+

∞− πω+−ωδ+ω−−ωδπ=

2

du)u()u()au(Sinca2)t(sTF 00

Soit : [ ] [ ] [ ]a)(Sincaa)(Sinca)t(sTF 00 ω+ω+ω−ω=

Il est facile de monter que cette transformée est une fonction paire. Elle est représentée sur les figures 3-4 et 3-5 pour un intervalle dont la demi-largeur est égale à 2 et 5 périodes respectivement.

Fig. 3-4 : Transformée d’une sinusoïde limitée à 4 périodes


Fig. 3-5 : Transformée d’une sinusoïde limitée à 10 périodes Nous observons deux lobes autour de ω0 et -ω0. La largeur de ces lobes diminue lorsque a augmente. Dans le premier chapitre nous avons rappelé que la distribution de Dirac est la limite de certaines fonctions, dont :

επ=δ

→ε

tsin

t

1lim)t(

0

En utilisant cette propriété il est facile de montrer que :

[ ] [ ])()()t(sTFlim 00a

ω+ωδ+ω−ωδπ=∞→

Lorsque la largeur de l’intervalle tend vers l’infini nous retrouvons la transformée de Fourier du cosinus. Il est donc important de pouvoir déterminer la transformée d’un signal sur un intervalle aussi large que possible.

E.13. Modulation d’amplitude Soient x(t) un signal et X(ν) sa transformée de Fourier. Nous considérons le signal y(t) obtenu en multipliant le signal x(t) par une sinusoïde de fréquence ν0. Par exemple :

)t2cos()t(x)t(y 0νπ=

On parle de modulation d’amplitude d’une porteuse. Etudions la transformée de Fourier du signal y(t). Nous avons :

)]t2[cos(TF*)]t(x[TF)]t2cos()t(x[TF)]t(y[TF 00 νπ=νπ=

Soit :

[ ] [ ])(X)(X2

1)()(

2

1*)(X)(Y 0000 ν+ν+ν−ν=ν+νδ+ν−νδν=ν


Ce résultat est illustré par les deux figures 3-6 et 3-7. La première correspond à la transformée du signal original et la seconde à la transformée du signal modulé. Nous observons deux copies du spectre original décalées de la fréquence de la porteuse.

Fig. 3-6 : Transformée du signal x(t)

Fig. 3-7 : Transformée du signal modulé y(t)


F. Annexe

F.1. Formulaire Nous avons rassemblé ici sous forme de deux tables quelques propriétés de la transformation de Fourier et les transformées de quelques fonctions.

f(t) F(jω) ou F(ν)

dt

)t(fd )j(Fj ωω

n

n

dt

)t(fd )j(F)j( n ωω

)t(ft ω

ωd

)j(Fdj

)t(ftn n

nn

d

)j(Fdj

ωω

)at(f − )j(Fe aj ωω− )t(g)t(f )(G)(H ν∗ν )t(g)t(f ∗ )j(G)j(F ωω

)ta(f 0apoura

jFa

1 ≠

ω

)t(fe tj 0ω− [ ])(jF 0ω−ω

)t(f − )j(F ω−

)t(f * )j(F* ω−

Table 3-1 : Propriétés de la transformée de Fourier


f(t) F(jω) ou F(ν)

)t(δ 1

)at( −δ aje ω− 1 )(2 ωδπ

tj 0e ω )(2 0ω−ωδπ

)tcos( 0ω [ ])()( 00 ω+ωδ+ω−ωδπ

)tsin( 0ω [ ])()(j 00 ω−ωδ−ω+ωδπ

)t(ue ta− 0)aRe(si)ja(

12

>ω+

tae− 0)aRe(sia

a222

>ω+

2/t 2

e− 2/2

e2 ω−π

tae)tsgn( − 0)aRe(sia

j222

>ω+

ω−

)tsgn( 0pourj

2 ≠ωω

)t(u ω

+ωδπj

1)(

)t(Π )(Sinc2 ω

)t(Λ

ω2

Sinc2

)t(T∆ )(T

1T/1 ν∆

Table 3-2 : Quelques transformées de Fourier

F.2. Transformée d’une transformée Soient f une fonction et F sa transformée de Fourier. Utilisons cette dernière comme une fonction du temps et calculons sa transformée. Nous définissons F(t) par :

∫∞+

∞−−= due)u(f)t(F utj

Sa transformée de Fourier est donnée par :

[ ] ∫ ∫∫∞+

∞−ω−∞+

∞−−∞+

∞−ω−

== dtedue)u(fdte)t(F)t(FTF tjutjtj

Soit :


[ ] ∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−ω+−= dtdue)u(f)t(FTF )u(tj

Nous pouvons inverser l’ordre des intégrales :

[ ] ∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−ω+−

= dudte)u(f)t(FTF )u(tj

Nous reconnaissons dans le terme entre crochets l’expression de la transformée de Fourier de l’unité, soit :

)u(2dte )u(tj ω+δπ=∫∞+

∞−ω+−

Ce qui nous donne :

[ ] )(f2du)u()u(f2)t(FTF ω−π=ω+δπ= ∫∞+

∞−

Ce résultat nous permet, par exemple, de déterminer les transformées de Fourier de Sinc et Sinc2. En nous souvenant que les fonctions porte et triangle sont paires, nous avons :

[ ] )()t(SincTF ωΠπ=

[ ]

ωΛπ=ωΛπ=

2)t(SincTFou)(2

2

tSincTF 22

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Transformée de Fourier