TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE : TFD et PRINCIPE des ...bravo.univ-tln.fr/er/Ressources/Scilab/DFT/ressources/Chap2_TFD.pdf · ENSI CAEN – Informatique 1A - La transformée de

ENSI Caen - Informatique 1A

M.FRIKEL - G.BINET 2008 –2009

�� TRANSFORMEE

DE FOURIER DISCRETE : TFD

et

PRINCIPE des

ANALYSEURS DE SPECTRE

"numériques".

ENSI Caen - Informatique 1A

M.FRIKEL - G.BINET 2008 –2009

I TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE. ................................................................................1

DEFINITION MATHEMATIQUE: .....................................................................................................1

Transformation directe: ....................................................................................................................1 Transformation inverse:....................................................................................................................1 Réalisation pratique:.........................................................................................................................1

II. ESTIMATION DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX ................................2

II.1 PRINCIPE: ........................................................................................................................................2 II.2 CAS GENERAL :................................................................................................................................3

III SIGNAUX PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER.....................................................3

III.1 SIGNAUX PERIODIQUES, SIGNAUX DISCRETS : ................................................................................3 Signaux périodiques:.........................................................................................................................3 Signaux discrets: ...............................................................................................................................4

III.2 SIGNAUX ECHANTILLONNES ET PERIODIQUES : ..............................................................................4 Transformation de Fourier directe :.................................................................................................4 Transformation de Fourier inverse : ................................................................................................5 Conclusion : ......................................................................................................................................5

III.3 LIEN AVEC LA SERIE DE FOURIER: ..................................................................................................5 Application pratique: ........................................................................................................................6

IV QUELQUES APPLICATIONS DE LA TFD..................................................................................6

IV.1 AMELIORATION DE LA PRECISION FREQUENTIELLE: .......................................................................7 Problème:..........................................................................................................................................7 Interpolation fréquentielle ("zero padding"): ...................................................................................7

IV 2 INTERPOLATION TEMPORELLE:.......................................................................................................7 Problème:..........................................................................................................................................7 Propriétés de base: ...........................................................................................................................7 exemple: ............................................................................................................................................8 Interpolation temporelle: ..................................................................................................................9 Réalisation pratique:.......................................................................................................................10 Applications: ...................................................................................................................................10

V ANALYSEUR DE SPECTE - FENETRES DE PONDERATION...............................................11

V.1 ANALYSEUR DE SPECTRE "NUMERIQUE" (PRINCIPE):.....................................................................11 V.2 ELARGISSEMENT DES RAIES: .........................................................................................................11

Cas des sinusoïdes: .........................................................................................................................11 Explication:.....................................................................................................................................12 Cas général :...................................................................................................................................13

V.3 LIMITE DE RESOLUTION :...............................................................................................................13 V.4 UTILISATION D’UNE FENETRE :......................................................................................................14

Fenêtre rectangulaire : ...................................................................................................................14 Fenêtre de Hanning : ......................................................................................................................15 Fenêtre de Hamming : ....................................................................................................................15 Autres fenêtres : ..............................................................................................................................16

ENSI CAEN – Informatique 1A - La transformée de Fourier discrète -

M.FRIKEL - G.BINET SigTFD

1

TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (TFD). APPLICATION aux

ANALYSEURS DE SPECTRE.

La transformée de Fourier discrète est la transformée de Fourier « exacte » d’un signal périodique et

discret. Elle est très simple à calculer à partir de séries mathématiques limitées et ce calcul s’implante

facilement sur calculateur ou circuit spécialisé (DSP) avec un algorithme FFT(Fast Fourier Transform)

permettant d’en accélérer le temps de calcul de plusieurs centaines de fois. Moyennant quelques précautions

d’emploi, elle permet d’approximer en un temps record la transformée de Fourier d’un signal continu à partir de

sa version échantillonnée d’où le grand intérêt de cette transformation pour les ingénieurs, scientifiques et

traiteurs de signaux.

I TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE. DEFINITION MATHEMATIQUE:

Mathématiquement, la transformée de Fourier discrète est une transformation qui fait correspondre deux séries

de données de N points chacune:

{xk} ↔↔↔↔ {Xn} avec k,n entiers ≥0 ∉ [0 ; N-1]

Transformation directe:

��

�

��

�= �

−

=

π−1N

0k

Nkn2j

kn exX

Transformation inverse:

��

�

��

�= �

−

=

π1N

0n

Nkn2j

nk eXN1x

Réalisation pratique:

Pour calculer ces séries il existe un algorithme de transformée de Fourier rapide ou FFT (Fast Fourier

Transform) qui dans le cas où N = 2M est particulièrement performant (en utilisant cet algorithme pour N= 1024,

le temps de calcul est divisé par un facteur environ 1000 par rapport à l'utilisation directe de la définition.

Implanté sur des ordinateurs ou réalisations à base de processeurs actuels, il dure moins d'une µs). Cet

algorithme très célèbre est largement étudié dans les cours d'informatique et d'algorithmique.



2

II. ESTIMATION DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX II.1 Principe:

Echantillonnons à la période Ts un signal continu xc(t) pendant un temps d'acquisition Ta. Ce temps

d'acquisition dure N échantillons d'où la relation : Ta = N.Ts

Le signal échantillonné est :

0)NTt(x )kT(x x )kTt( x )kTt()t(x )t(x scsck1N

0ksk

ksc ≈≥=−δ=−δ= ��

−

=

+∞

−∞=



3

En prenant la transformée de Fourier des deux membres :

[ ] ��−

=

π−+∞

−∞=

+∞

−∞==−=−δ⊗=

1N

0k

fkT2jksc

ks

kssc

se x )kff(X.f )kff(f )f(X )t(xTF

Cette relation rappelle le fait que le spectre est continu et périodique. Si nous calculons N points de ce spectre

pour les fréquences f = n.fs/N avec n ∈ [0 ; N-1] en absence de repliement nous obtenons N points du spectre

fréquentiel tels que:

n1N

0k

Nkn2j

ks

cs X e x )Nnf(X f == �

−

=

π−

en remarquant que fs/N = 1/Ta, nous obtenons donc, si l’effet du repliement est négligeable une bonne

approximation de la transformée de Fourier du signal :

Xn ≈≈≈≈ fs.Xc(n/Ta)

• 1/Ta est l'intervalle entre deux points fréquentiels ou pas fréquentiel.

• 1/Ts est la largeur de la bande [ 0 ; 1 ] sur laquelle est effectuée l'estimation

• Nous mesurons N points en temporel et estimons ainsi N points en fréquentiel.

II.2 Cas général :

�� repliement de terme

aac

0ks

"principal" terme

acsnn

1N

0k

Nkn2j

kaa

csk

) TnkN T

n (X f)Tn(X fX X e x ) T

nkN Tn (X f −+=�==− ��

≠

−

=

π−+∞

−∞=

Il faut donc soigneusement éviter le repliement

III SIGNAUX PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER III.1 Signaux périodiques, signaux discrets : Signaux périodiques:

Un signal périodique possède une décomposition en série de Fourier à termes complexes:

[ ] ��

�

∞+

−∞=

∞+

−∞=

π

π−+∞

−∞=

π

−δ==�

==

n0n

n

tnf2jn

)T(

tnf2j

0n

n

tnf2jn

)nff(CeTFC)]t(x[TF

dte)t(xT1CaveceC)t(x

0

0

00

� la transformée de Fourier d'un signal périodique est discrète: Signal périodique �� TF discrète



4

Signaux discrets:

Un signal échantillonné x(t) est obtenu à partir d'un signal continu xc(t).

��+∞

−∞=

+∞

−∞=−δ=−δ=

ksc

ksk )kTt().t(x)kTt(x)t(x

��+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

π− −=−δ⊗==n

scsn

ssck

fkT2jk )nff(Xf)nff(f)f(Xex)]t(x[TF s

� la transformée de Fourier d'un signal discret est périodique: Signal discret �� TF périodique

III.2 Signaux échantillonnés et périodiques : Hypothèse: Le nombre N d’échantillons par période est supposé entier :T0 = N.Ts � f0.Ts = 1/N. Transformation de Fourier directe :

Le signal périodique et échantillonné peut être modélisé par un motif discret de durée T0 = N.Ts périodisé:

��+∞

−∞=

−

=−δ⊗�

�

��

�−δ=

n0

1N

0kskep )nTt()kTt(x)t(x

[ ]

� ��

��

∞+

−∞=

−

=

π−∞+

−∞=

−

=

π−

+∞

−∞=

−

=

π−

−δ��

�

��

�=−δ�

�

��

�=

−δ��

��

�==

n0

1N

0k

Nkn2j

k0n

01N

0k

Tknf2jk0

n00

1N

0k

kfT2jkepep

)nff(exf)nff(exf

)nff(f.ex)f(X)t(xTF

s0

s

{xk} étant la série d'échantillons du motif du signal échantillonné périodique, nous voyons apparaître sa

transformée de Fourier discrète {Xn} et:

[ ] ��∞+

−∞=

−

=

π−−δ==�

��

�

��

�=

n0n0epep

1N

0k

Nkn2j

kn )nff(Xf)f(X)t(xTFexX

0 Ts 2Ts

T0=N.Ts

t



5

Remarques:

• Xn est la transformée de Fourier du motif temporel échantillonné prise pour la valeur

f = n.f0.

• Xn+αN = Xn ∀α la TF est périodique de période fréquentielle N.f0 = fs soit la largeur de la bande de

Shannon. (propriété déjà vue, typique d'un signal discret).

• La TF est échantillonnée avec la périodicité fréquentielle f0 (propriété d'un signal périodique).

Transformation de Fourier inverse :

La procédure est la même que pour la transformée directe puisque nous avons un spectre à la fois

discret et périodique. La transformée de Fourier Xep(f) est donc un motif fréquentiel de largeur fs échantillonné à

la cadence f0 et périodisé à la distance fs. Ceci peut s’écrire mathématiquement sous la forme :

��

�

∞+

−∞=

−

=

∞+

−∞=

−

=

π−

−δ⊗��

��

�−δ=−δ=

��

�

��

�=

ks

1N

0n0n0

n0n0ep

1N

0k

Nkn2j

kn

)kff()nff(Xf)nff(Xf)f(X

exX

La transformation de Fourier inverse donne

[ ]

�

� ��

��

∞+

−∞=

∞+

−∞=

−

=

π∞+

−∞=

−

=

π

+∞

−∞=

−

=

π−

−δ==

−δ��

�

��

�=−δ�

�

��

�=

−δ��

��

�=

kskep

ks

1N

0n

Nnk2j

nk

s1N

0n

kTnf2jns0

kss

1N

0n

tnf2jn0ep

1

)kTt(x)t(x

)kTt(eXN1)kTt(eXTf

)kTt(T.eXf)f(XTF

s0

0

d'où l'expression de la transformée de Fourier discrète inverse (TFD-1) :

��

�

��

�= �

−

=

π1N

0n

Nkn2j

nk eXN1x

Conclusion :

La transformée de Fourier Discrète (TFD) est la manière rigoureuse de calculer la transformée de

Fourier d'un signal à la fois périodique et discret. La TFD et sa transformation inverse permettent de relier les

échantillons {xk} du motif du signal périodique aux échantillons {Xn} du motif de sa transformée de Fourier.

III.3 lien avec la série de Fourier:

Un signal périodique se décompose en série de Fourier et nous pouvons l'échantillonner en prenant N

échantillons par période T0=NTs:

��

�

��

�===��

�

��

�= ��

∞+

−∞=

π∞+

−∞=

π

m

Nmk2j

mspkm

tmf2jmp eC )kTt(x x e C )t(x 0



6

Calculons la TFD:

��

�

��

�

��

�

��

�=

��

�

��

�= � ��

−

=

π−∞+

−∞=

π−

=

π− 1N

0k

Nkn2j

m

Nmk2j

m1N

0k

Nkn2j

kn eeCexX

D'où la relation:

�

� ��

∞+

−∞=

−π−−π

∞+

−∞=

−

=

−π−

=

∞+

−∞=

−π

��

�

�

��

�

�

−π−π=

��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�=

m

N)nm(j)nm(j

m

m

1N

0k

Nk)nm(2j

m1N

0k m

Nk)nm(2j

mn

N)nm(2sin

)nm(2sineeC

eCeCX

Le coefficient de Cm est tel que: ��

α=−α≠−

=−π−π

NnmpourNNnmpour0

N)nm(2sin

)nm(2sin

d'où: ��

��

repliementdeterme

0Nn

"principal"terme

nNnn C.NC.NC.NX ��≠α

α++∞

−∞=αα+ +==

Dans certaines conditions liées à l’absence de repliement subsiste seul le terme principal correspondant à α=0

et on aura la relation :

Xn ≈≈≈≈ N.Cn

Application pratique:

La TFD des échantillons d'un signal périodique est une évaluation du coefficient de décomposition en

série de Fourier à termes complexes de ce signal. Cette estimation sera rigoureuse si nous respectons lors de

l’échantillonnage la condition de Shannon. Par ailleurs il ne faut pas oublier la condition T0 = N.Ts c’est à dire un

nombre entier d’échantillons dans une période du signal (le non respect ,de cette condition est vu plus tard dans

le chapitre V)

Nous disposons ainsi d’une méthode numérique de calcul de la série de Fourier permettant de remplacer le

calcul d’une intégrale par celui d’une série de nombre finis de termes.

IV QUELQUES APPLICATIONS DE LA TFD

Une fois les acquisitions du signal réalisées, il n’est pas toujours possible de les recommencer. Pour

obtenir des "données" supplémentaires sur le signal, il n'est pas théoriquement nécessaire de reprendre

l'acquisition car, si l'échantillonnage a été correctement effectué, le théorème de reconstruction prouve que le

signal échantillonné contient autant "d'indications" que le signal continu d'origine. Les "données" recherchées

peuvent ainsi être obtenues directement à partir du fichier. De nombreuse applications utilisent ce fait

cependant, elles sont déduites des deux grandes méthodes d'interpolation permettant d'augmenter soit la

précision fréquentielle soit la précision temporelle.



7

IV.1 Amélioration de la précision fréquentielle:

Problème:

Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon. Nous avons acquis N points de ce

signal qui, grâce à la TFD, nous ont permis d'obtenir une estimation de sa transformée de Fourier en N points

répartis dans la bande de fréquences de Shannon. Nous avons montré que l'écart entre deux de ces points

adjacents est de f0 = fs/N. f0 constituera ainsi notre précision fréquentielle.

Cette précision ne nous convient pas et nous souhaitons l'améliorer sans pour autant reprendre l'expérience.

Est-ce possible?

Interpolation fréquentielle ("zero padding"):

Le problème précédent est possible et même trivial. Il suffit d'avoir rempli une condition: éviter une

troncature temporelle lors de l'acquisition du signal.

Le temps d'acquisition du signal est T0 = N.Ts. Nous évitons la troncature si à t = T0 le signal est terminé

c'est à dire supposé pratiquement nul. Pour augmenter la précision fréquentielle il faut diminuer f0 soit

augmenter T0. Si le signal n'a pas été tronqué lors de la première acquisition, augmenter T0 revient à faire

l'acquisition d'échantillons supplémentaires de valeur nulle. Inutile de refaire une manipulation pour cela, il suffit

de les ajouter à la fin du fichier de données. Donc pour augmenter la précision fréquentielle, il suffit d'ajouter

autant de zéros que souhaité en fin de fichier ("zéro padding") puis de traiter celui-ci.

• premier fichier N points → précision fréquentielle fs/N.

• deuxième fichier N points + M zéros → nouvelle précision fréquentielle fs/(N+M).

IV 2 Interpolation temporelle:

C'est le même problème que précédemment mais en permutant le rôle du temps et des fréquences.

Cependant cela n'est pas évident au premier abord et nous allons tenter de montrer ce résultat ainsi que les

dispositions pratiques qui permettent de l'obtenir.

Problème:

Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon et nous avons acquis N points de

ce signal. En réalité ce nombre de points est insuffisant et nous voulons des points "intermédiaires". Pour

obtenir ce résultat, il faudrait recommencer l'acquisition avec une période d'échantillonnage plus faible

cependant, le signal échantillonné contenant toutes les informations du signal continu, il doit suffire pour

retrouver ces échantillons et éviter de refaire l'expérience.

Propriétés de base:

Nous avons un signal continu xc(t) échantillonné à une période Ts1 pendant un temps d'acquisition T0 =

N.Ts1 ce qui nous donne le signal x1(t).



8

Supposons le même signal xc(t) échantillonné à la période Ts2 pendant le même temps T0 = M.N.Ts2. Ceci

donne un autre signal x2(t) possédant M fois plus d'échantillons que x1(t).

Quelles sont les points communs et les différences entre x1(t) et x2(t)?

• Les deux signaux proviennent du même signal continu xc(t) et ont même durée T0 � l'intervalle entre

les échantillons fréquentiels est le même dans les deux cas = f0 = 1/T0.

• Pour les deux la condition de Shannon est supposée respectée � Ts2<Ts1<1/(2 fmax), (fmax étant la plus

haute fréquence du spectre de xc(t)).

• La largeur de la bande de Shannon pour x1(t) est 1/Ts1 = N/T0.

• La largeur de la bande de Shannon pour x2(t) est 1/Ts2 = M.N/T0 soit M fois plus large que celle

associée à x1(t). Le théorème de Shannon étant respecté dans les deux cas, le spectre de x2(t) est

donc le même que celui de x1(t) mais sur une bande de Shannon plus large � le spectre de x2(t) est le

spectre de x1(t) complété par des zéros.

Nous retrouvons ici l'analogie avec le "zéro padding": pour interpoler un signal temporel, il suffit de sur-

échantillonner à la période désirée et de faire en sorte que son spectre de fréquence soit complété par des

zéros.

exemple:

xc(t)=t2 exp(-3.t) T0 = 3s.

Ce signal à la forme ci-contre:

En choisisant: Ts1 = 0,15s Ts2 = 0,05s

� N = 20 M = 3

Les spectres et bandes de Shannon associées sont les suivants:



9

Interpolation temporelle:

Il faut donc changer de période d'échantillonnage, la diminuer. La méthode est basée sur la propriété

que nous venons de voir et se fait en trois étapes illustrées par l'exemple choisi:

étape 1: Echantillonnage du signal à la période Ts1 conformément au théorème de Shannon.

Etape 2:

Changement de période d'échantillonnage, nous intercalons (M-1) zéros entre les échantillons du fichier

→ nouvelle période d'échantillonnage Ts2 = Ts1/M et extension de la bande de fréquence de Shannon.

En effet, les données numériques sont inchangées (des zéros ne donnent rien dans la TFD).

Soit x(t) le signal échantillonné à la période Ts1 (N échantillons) et y(t) le signal obtenu avec des zéros intercalés

donc de période d'échantillonnage Ts2 (M.N échantillons).

y(t) est tel que : yp = xk pour p = M.k et yp = 0 pour p ≠ M.k

le calcul de la TFD nous donne :

��

�

��

�= �

−

=

π−1N

0k

Nkn2j

kn exX n ∉[ 0 ; N - 1 ] ��

�

�

��

�

�= �

−

=

π−1N.M

0p

N.Mpq2j

pq eyY q ∉[ 0 ; M.N - 1 ]

les seuls échantillons yp non nuls étant pour p = M.k nous pouvons effectuer le changement de variable et:

q1N

0k

Nkq2j

k1N

0k

N.Mkq.M2j

k.Mq X e x e y Y === ��−

=

π−−

=

π− q ∉[ 0 ; M.N - 1 ]

le nouveau signal ainsi obtenu a donc même transformée de Fourier que le précédent, seule la bande de

fréquence de Shannon est changée puisque multipliée par M. Nous représentons donc M bandes de Shannon

du signal x(t).



10

Etape 3:

Nous effectuons un filtrage passe-bas de fréquence de coupure 1/(2.Ts1) = largeur de la bande de Shannon du

premier signal � nous mettons à zéro les échantillons fréquentiels ajoutés.

Réalisation pratique:

Applications:

C'est une méthode de compression du signal discret, il suffit de stocker juste les données nécessaires

correspondant à une période d'échantillonnage Ts1 voisine de l'échantillonnage critique. Si un besoin

d'échantillons se fait ressentir, la technique ci-dessus permet de les retrouver en temps réel.

L'un des domaines d'utilisation de ce procédé est le CD audio. A l'heure actuelle, un enregistrement

musical est effectué à la limite de la fréquence de Shannon mais cela est insuffisant pour obtenir une restitution

satisfaisante car il faut reconstruire un signal continu en temps réel. Pour cela, à la lecture du CD il est procédé

à une interpolation avec M = 8 pour fournir le signal de qualité satisfaisante. Le stockage sur le CD y a quand

même gagné ce facteur 8.

Signal x1(t) discret

Zéros intercalés

Signal continu xc(t) Signal x1(t)

discret

Filtre anti-repliement

Stockage x1(t) échantillonné Ts1

Ts1

Filtre passe-bas Ts2

Zéros



11

V ANALYSEUR DE SPECTE - FENETRES DE PONDERATION. V.1 Analyseur de spectre "numérique" (principe):

Au chapitre III nous avons montré que si nous calculons la TFD des échantillons d'un signal continu

xc(t) de transformée de Fourier Xc(f) ,celle-ci nous donne:

��

repliementdeterme

00c0k

s

"principal"terme

0csn )kNfnf(Xf)nf(XfX −+= �≠

Si l’effet du repliement est négligeable, la TFD devient une bonne approximation de la transformée de Fourier

du signal :

Xn ≈≈≈≈ fs Xc(nf0)

Déjà discuté, le résultat précédent montre que:

• La TFD appliquée à un signal quelconque permet d'avoir une estimation de la valeur de sa transformée

de Fourier en N points distants de f0 = fs/N.

• Pour cela, la TFD permet de remplacer une intégrale par une série à nombre fini de termes ce qui est

une méthode numérique qui s’implante très facilement sur calculateur, microprocesseur ou processeur

de signal (DSP).

• Il a été développé des algorithmes mathématiques dits FFT (Fast Fourier Transform) qui accélèrent le

temps de calcul dans certains cas par des facteurs 100 voire 1000 et calculer une TFD sur 1024 points

peut être une opération qui ne prend que quelques µs. De ce fait, la TFD et FFT sont devenus des

outils puissants de traitement de signal.

Nous avons ici tous les ingrédients permettant de développer un appareil performant pour l'analyse de Fourier:

analyseur de spectre.

V.2 Elargissement des raies: Cas des sinusoïdes:

Le signal dont le spectre de fréquences est le plus simple est le signal sinusoïdal de période Tp. Son spectre ne

contient théoriquement que deux raies aux fréquences 1/Tp et –1/Tp. Ceci est montré sur la figure ci-dessous.



12

Pour obtenir ce résultat, nous avons utilisé un temps d'acquisition Ta du signal égal à un nombre entier de fois

la période Tp de la sinusoïde. Si cette condition n'est pas vérifiée nous obtenons le résultat suivant : nous ne

retrouvons plus deux raies mais un spectre dit élargi.

Explication:

L'un des résultats fondamentaux de l'analyse Fourier est le principe d'incertitude. Si ∆T est l'étalement

de la distribution d'énergie dans le temps et ∆F l'étalement associé dans le domaine fréquentiel nous savons

que:

π≤∆∆ 41F.T

Nous pouvons traduire cette relation par : plus un signal est étendu dans le domaine temporel, moins il le sera

dans le domaine fréquentiel. L’utilisation de la TFD implique un nombre fini d’échantillons et donc un signal de

durée finie. Pour les signaux de longue durée (signaux tendant asymptotiquement vers une valeur non nulle,

signaux périodiques…) l’utilisation de la TFD introduira une troncature temporelle plus ou moins importante dont

l’effet peut être indésirable sur les raies du spectre du signal.

Exemple d’une sinusoïde :

Ce type de signal très étendu dans le temps donne théoriquement

lieu à un spectre avec deux raies spectrales de largeur nulle

(étalement fréquentiel faible).

[ ])ff()ff(2a)]t(x[TF

)kTf2cos(ax)kTt(x)t(x

pp

spkk

sk

+δ+−δ=�

π=−δ= �+∞

−∞=

Si nous estimons son spectre grâce à une TFD calculée sur N

points, cela revient à effectuer une troncature sur l'intervalle de

temps Ta = N.Ts ce qui limite l'étalement temporel du signal et doit

conduire à un étalement fréquentiel.

Le signal réel et sa transformée de Fourier seront :

��

�

��

�

+π+π

+−π

−π=�

��

��

�

ππ

⊗=� �

��

� −= π−

ap

ap

ap

apaa

a

afTjaa

a

aa

T)ff(

)T)ff(sin(

T)ff(

)T)ff(sin( T

2a )T,f(X

fT)fTsin(

eT )]t(x[TF )]T,t(x[TF T

2/Ttrect).t(x )T,t(x a

f

X(f)

fp -fp

a/2 a/2

-fs/2 fs/2

f

|X(f)|

fp -fp

aT0/2 aT0/2

-fs/2 fs/2



13

La troncature d'un signal sinusoïdal a deux conséquences:

• Plutôt que deux raies "fines", nous trouvons des raies "élargies" correspondant aux deux sinus cardinaux.

La largeur du lobe central (prise entre les deux premiers minima nuls) des raies est 2∆f = 2/Ta = 2/(NTs).

• Outre ce phénomène d’élargissement de la raie, il apparaît des lobes latéraux que nous pourrions être

tentés d’interpréter comme d’autres raies présentes au pied de la raie principale (phénomène d’apodisation

des raies par troncature). Pour un sinus cardinal, le premier lobe secondaire a une amplitude relative

d'environ 22% ce qui est loin d'être négligeable.

Cas général :

Un signal quelconque est une superposition de signaux sinusoïdaux et l’utilisation de la TFD a deux

conséquence sur les raies spectrales :

• Un élargissement d’autant plus grand que la troncature est importante. Cela nous limite dans la

séparation (la résolution) de raies voisines.

• L’apparition de raies secondaires qui peuvent cacher des raies principales d’une autre composante du

signal.

•

V.3 Limite de résolution : Si le signal est composé de deux sinusoïdes de fréquences voisines :

x(t)=a1 cos(2πf1t) + a2 cos(2πf2t)

Le spectre de ce signal doit comporter deux raies qui vont se trouver élargies par la troncature du signal. Quand

peut-on dissocier (séparer) ces deux raies ? Nous pouvons estimer cela en utilisant un critère correspondant à

un cas limite : c’est le critère de résolution de Rayleigh .

Critère : Deux raies d’un spectre sont considérées

comme séparables, si le maximum de l’une

correspond au premier minimum nul de l’autre.

En appelant 2�f la « largeur » d’une raie prise par

convention comme étant l’écart entre les

fréquences correspondant aux deux premiers

minima nuls encadrant le maximum de la raie, la limite

de résolution sera donc telle que |f2-f0|=�f.

Ceci est illustré par les figures suivantes (elles correspondent à des raies avec fenêtre de Hamming étudiée

ensuite).



14

V.4 Utilisation d’une fenêtre :

Pour éviter ces inconvénients, nous pouvons réaliser une troncature avec pondération des

échantillons : fenêtre de pondération. La fenêtre doit être choisie de manière à ce que sa transformée de

Fourier ait un lobe central le plus étroit possible et des lobes latéraux d’amplitude la plus faible possible. Le

compromis entre ces deux exigences est réalisé par un certain nombre de fenêtres : Hanning, Hamming, etc…

Fenêtre rectangulaire :

C’est la troncature simple, son lobe central est de largeur 2�f = 2/T0 = 2/NTs et l’amplitude du premier lobe de

l’ordre de 22%.

L’effet des lobes latéraux se met en évidence sur le

traitement d’un signal composé de deux raies

théoriquement résolues mais d’amplitudes de

rapport 10. La TFD donne le résultat ci contre où la

"petite" raie est non détectable.



15

Fenêtre de Hanning :

Fenêtre dite en « cosinus », son lobe central est de largeur 2�f = 4/NTs et son premier lobe latéral d’amplitude

relative d’environ 3%

( ) ��

��

�π

π⊗��

��

��

��

� +δ+−δ+δ==�

��

��

� π+=

00

000

00

fT)fTsin(T)T

1f()T1f(4

1)f(21)f(F)]t(f[TF

)Tt(rect)T

t2cos(5,05,0)t(f

Nous perdons un facteur 2 en résolution spectrale

mais l’importance des lobes latéraux est moindre ce

qui permet par rapport à la troncature de mieux

séparer les raies d’amplitudes différentes. Ceci est

montré sur la figure ci-contre qui reprend le traitement

par TFD avec fenêtre de Hanning de l’exemple

précédent de deux raies théoriquement résolues et

d’amplitudes de rapport 10

Fenêtre de Hamming :

Dite en « cosinus rehaussé », son lobe central est de largeur 2�f = 4/NTs et ses lobes latéraux d’amplitude

relative inférieure à 1%.

)Tt(rect)

Tt2cos()1()t(f

00 ��

��

� πα−+α= . Le paramètre α est ajusté pour minimiser les lobes latéraux en particulier

le second => α=0,54 => )Tt(rect)

Tt2cos(46,054,0)t(f

00 ��

��

� π+= .



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Tout en concédant toujours un facteur 2 sur la résolution

de la fenêtre rectangulaire, l’importance des lobes

latéraux est moindre ce qui améliore le résultat de la

fenêtre de Hanning pour la détection de raies

d'amplitudes différentes. La figure ci-contre reprend le

traitement par TFD de l’exemple de deux raies

théoriquement résolues et d’amplitudes de rapport 10

avec une fenêtre de Hamming

Autres fenêtres :

De nombreuses autres fenêtres ont été développées. Elles sont aussi utilisées dans les méthodes de synthèse

des filtres RIF. Elles sont traitées à ce niveau, les analyseurs de spectre se contentant largement de celles que

nous venons d'étudier.

Signalons une fenêtre dite à « toit plat » (flat top) utilisée dans les analyseurs de spectre travaillant par TFD.

Lors de la restitution du spectre, et donc des différentes raies, l’utilisation d’une fenêtre peut introduire une

incertitude sur la mesure de l’amplitude de la raie. Pour comparer avec précision les amplitudes des diverses

raies d’un spectre, il vaut mieux utiliser une fenêtre de pondération qui les préserve : c’est le rôle de cette

fenêtre à « toit plat ».

Documents

TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE : TFD et PRINCIPE des ...bravo.univ-tln.fr/er/Ressources/Scilab/DFT/ressources/Chap2_TFD.pdf · ENSI CAEN – Informatique 1A - La transformée de