transito-IES Poetas Andaluces - GLORIA...Title: transito-IES Poetas Andaluces Author: Miquel Serra-Ricart Created Date: 10/18/2013 4:06:59 PM

I.E.S. Poetas Andaluces

1

Determinación experimental de la distancia Tierra Sol a partir del tránsito de Venus 2012

Objetivo:

Determinación experimental de la distancia Tierra-‐Sol empleando imágenes del tránsito de Venus de junio del 2012.

Metodología:

Se determinará la paralaje diferencial de Venus mediante el método de las “sombras”, que básicamente consiste en medir la distancia angular entre los centros de la sombra de Venus por superposición de dos imágenes obtenidas simultáneamente desde dos localizaciones geográficas diferentes.

Estas imágenes han sido tomadas del Proyecto Gloria (GLObal Robotic-‐telescopes Intelligent Array) que consiste en la primera red de telescopio robotizado del mundo de acceso libre (http://gloria-‐project.eu). El Proyecto GLORIA, en colaboración con institutos y organizaciones, llevó a cabo varias expediciones para realizar el seguimiento del tránsito de Venus. En particular, el Instituto de Astrofísica de Canarias, realizó la retransmisión y grabación de este evento desde tres lugares diferentes, ubicados en Noruega, Japón y Australia. Nosotros utilizamos las imágenes obtenidas desde estas dos últimas localizaciones.

Una vez determinada la paralaje de Venus, aplicando los cálculos que se indican a continuación, hallaremos la paralaje solar y la distancia Tierra-‐Sol.

Cálculo aproximado de la distancia Tierra-‐Sol mediante el tránsito de Venus

Sean dos observadores situados en diferentes hemisferios, pero a lo largo del mismo meridiano. Estas posiciones serán M1 y M2. Desde las cuales observarán Venus sobre el disco solar en V1 y V2, respectivamente.

Para simplificar mucho el problema vamos a hacer las siguientes suposiciones:

§ Puesto que las distancias son considerables, tomaremos tan 𝜋! ≅ π! (𝜋! 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠).

§ Consideraremos que los dos observadores (M1 y M2), sus proyecciones en la superficie solar (V1 y V2), el centro de la Tierra (O), el del Sol (C) y Venus (V) son coplanarios durante todo el tránsito (Realmente esto no se cumple, véase la figura de abajo, pero facilita los cálculos).

§ Asumiremos que La Tierra, Venus y el Sol están alineados, de manera que la distancia entre Venus y la Tierra sea la diferencia entre las distancias al Sol de estos dos planetas.

§ Por último, supondremos que las órbitas de Venus y la Tierra alrededor del Sol son circulares.


2

Q

Ya que los triángulos M1QC y M2QV tienen en común el ángulo Q, la suma de los otros dos ángulos en cada triángulo ha de ser igual:

𝜋! + 𝐷! = 𝜋! + 𝐷!

Por lo que:

𝜋! − 𝜋! = 𝐷! − 𝐷! = ∆𝜋

∆𝜋 es la separación entre las dos proyecciones de Venus sobre el disco solar. Ésta es la única cantidad objetivable que determinaremos a partir de la separación de la posición del centro de Venus en dos fotografías tomadas en el mismo instante desde cada observatorio.

A partir de: 𝜋! − 𝜋! = ∆𝜋

Podemos escribir:

∆𝜋 = 𝜋!!!!!− 1 (1)

La paralaje de Venus, 𝜋!, viene dada por:

Observación del tránsito de Venus por delante del disco del Sol desde dos localidades M1 y M2 diferentes en un mismo instante de tiempo

Posiciones de las proyecciones de Venus sobre el disco del Sol


3

𝜋! =𝑀!𝑀!

𝑟!"#$$%!!"#$%=𝑀!𝑀!

𝑟! − 𝑟!

Donde 𝑟!es la distancia Tierra-‐Sol y 𝑟! es la distancia Venus-‐Sol.

La paralaje del Sol, 𝜋! vale:

𝜋! =𝑀!𝑀!

𝑟!

Dividiendo !! !!

tenemos:

𝜋!𝜋!

=𝑟!

𝑟! − 𝑟!

Sustituyendo en (1), resulta:

∆𝜋 = 𝜋!𝑟!

𝑟! − 𝑟!− 1 =

𝜋! · 𝑟!𝑟! − 𝑟!

Despejando la paralaje solar, 𝜋!:

𝜋! = ∆𝜋 !!!!− 1 (2)

Para determinar el valor de la razón !!!! hemos de hacer uso de la Tercera Ley de Kepler, que

relaciona los cuadrados de los períodos de revolución planetarios con los cubos de la distancia al Sol:

𝑇!"#$%&#!

𝑟!"#$%&#! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

El valor de la constante incluye la suma de la masa solar con la del planeta, despreciando esta última frente a la masa del Sol, la constante sería la misma para Venus y para la Tierra, pudiendo escribir que:

𝑇!!

𝑟!!=𝑇!!

𝑟!!

Que podemos reescribir como:

𝑟!𝑟!

!=

𝑇!𝑇!

!=

365.25224.7

!

Resultando que: 𝑟! 𝑟! = 1.38248

Sustituyendo este valor en (2), queda:

𝜋! = 0.38248 · ∆𝜋


4

Dado que mediremos ∆𝜋 sobre las fotografías (superponiéndolas), hemos de transformar esa medida de longitud a medida angular en radianes. Para lo que debemos tener en cuenta el diámetro aparente del Sol (31.5 ´). El valor en radianes de ∆𝜋 viene dado por:

∆𝜋 = 31,5 ·𝜋

10800·𝑉! − 𝑉!𝐷

Donde 𝑉! − 𝑉! es la separación entre los centros de la proyección de Venus de cada fotografía y D es el tamaño del disco solar en la fotografía.

Obtenida la paralaje solar, el cálculo de la distancia al Sol, 𝑟! (Unidad Astronómica), se consigue de:

Falta para aplicarla determinar la distancia entre los observadores. Si éstos se encuentran en diferente hemisferio, la distancia 𝑀!𝑀! viene dada por:

𝑀!𝑀! = 2𝑅 sin𝜆! + 𝜆!2

Donde 𝜆! 𝑦 𝜆! son las latitudes de cada observador.

Instrumental y localización de los observatorios:

Las observaciones y la grabación de las imágenes se realizaron desde dos ubicaciones terrestres distantes, desde las que el tránsito era visible en su totalidad y con longitudes geográficas similares:

Cairns (Australia): Latitud: -‐16º55´24.237´´ Longitud: 145º46´25.864´´

Sapporo (Japón): Latitud: 43º3´43.545´´ Longitud: 141º21´15.755´´

El instrumental empleado, en ambas localizaciones, fue un telescopio VIXEN, modelo VMC110L, con una relación focal f/9.4 (equivalente a 1035 mm) y una apertura de 110 mm. Empleándose un filtro solar adecuado. En el foco de este telescopio se acoplará una cámara Canon 5D Mark II de 21 Mpix. Así el tamaño del disco solar en el plano de la cámara será de unos 1630 píxeles. Este equipo se montó sobre una montura Astrotrack.

Como programa informático para efectuar las medidas en las imágenes utilizamos el GIMP 2.8.4 de GNU (acceso libre).

Procedimiento:

Las imágenes las descargamos de: http://www.sky-‐live/vt2012/venus2.html, emparejándolas por proximidad en el tiempo las procedentes de Cairns con las de Sapporo. Entre todas, hicimos una selección de 5 parejas (aquellas que se mostraban más nítidas). Señalamos los enlaces:

𝑟! =𝑀!𝑀!

𝜋!


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1ª Pareja:

Cairn-‐Australia: http://www.sky-‐live.tv/liveimages/vt2012/australia/australia-‐2012-‐06-‐05-‐23-‐12-‐35-‐0086.JPG

Sapporo-‐Japón: http://www.sky-‐live.tv/liveimages/vt2012/japan/japan-‐2012-‐06-‐05-‐23-‐12-‐59-‐0086.JPG

2ª Pareja:



3ª Pareja:



4ª Pareja:



5ª Pareja:




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Mancha III

Venus Mancha I

Mancha II

Mancha IV

En esta figura se señalan la sombra de Venus sobre la superficie solar y una serie de manchas solares que utilizamos como referencias para determinar la paralaje diferencial (Δπ) de Venus.


7

El proceso seguido para determinar Δπ fue medir la distancia desde el centro de la sombra de Venus hasta el centro de cada mancha, esas medidas se realizaron en cada pareja de imágenes. La diferencia nos proporciona la separación angular entre los centros de las sombras de Venus visto desde cada observatorio. Estas mediciones se realizaron directamente sobre la imagen en formato digital, empleándose para ello el programa de edición de imagen GIMP. Los valores se obtuvieron directamente en mm. La conversión a radianes y el tratamiento matemático (aproximado) para obtener a partir de este observable la paralaje solar y con ello la distancia Tierra-‐Sol se ha descrito anteriormente.

Resultados:

1ª Pareja: Imágenes Cairn#86-‐Sapporo#86

Cairn

23:12:35

Sapporo

23:12:59 Δπ

(mm)

Δπ

(mm)

Δπ

(rd) x10-‐4 πS

(rd)x10-‐5

rT

(Km)x106 Distancia Venus-‐mancha en mm

V-‐I 141,7 137,8 3,9

3,4 1,1 4,2 151,8 V-‐II 180,5 176,8 3,7

V-‐III 187,0 183,4 3,6

V-‐IV 114,6 112,2 2,4


Cairn

23:13:36

Sapporo

23:13:59 Δπ

(mm)

Δπ

(mm)

Δπ

(rd) x10-‐4 πS

(rd)x10-‐5

rT


V-‐I 141,6 137,6 4,0

3,4 1,1 4,2 150,7 V-‐II 180,5 176,9 3,6

V-‐III 187,2 183,6 3,6

V-‐IV 114,8 112,3 2,5


8


Cairn

23:14:36

Sapporo

23:14:59 Δπ

(mm)

Δπ

(mm)

Δπ

(rd) x10-‐4 πS

(rd)x10-‐5

rT


V-‐I 141,6 137,6 4,0

3,4 1,1 4,1 154,1 V-‐II 180,3 176,6 3,7

V-‐III 186,9 183,5 3,4

V-‐IV 114,4 112,1 2,3


Cairn

23:22:38

Sapporo

23:22:59 Δπ

(mm)

Δπ

(mm)

Δπ

(rd) x10-‐4 πS

(rd)x10-‐5

rT


V-‐I 141,7 137,9 3,8

3,4 1,1 4,2 152,9 V-‐II 180,3 176,6 3,7

V-‐III 186,9 183,3 3,6

V-‐IV 114,7 112,3 2,4


Cairn

23:23:38

Sapporo

23:24:00 Δπ

(mm)

Δπ

(mm)

Δπ

(rd) x10-‐4 πS

(rd)x10-‐5

rT


V-‐I 141,7 137,6 4,1

3,4 1,1 4,1 154,1 V-‐II 180,4 177,0 3,4

V-‐III 186,7 183,2 3,5

V-‐IV 114,6 112,2 2,4


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El diámetro solar en todas las imágenes: 284,0 mm

La distancia entre los observadores: 6370 Km

El valor medio de la distancia Tierra-‐Sol resulta ser: 152,7·∙106 Km

Tomando como valor medio de la distancia Tierra-‐Sol de la bibliografía (http://solarsystem.nasa.gov/planets/profile.cfm?Object=Earth&Display=Facts ): 149,6·∙106Km

Resulta un error relativo de 2,1%

Nota: La fecha del tránsito 5/6 junio coloca a la Tierra más próxima a su situación del afelio (152,1·∙!06) lo que implicaría una mejora de la calidad de nuestra medición.

Referencias bibliográficas

Ø http://www.astroaula.com/aula/

Ø http://gloria-‐project.eu

Ø http://www.sky-‐live/vt2012/venus2.html

Documents

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