Transitorios en Redes Electricas-Melgoza (2007)

Transitorios en RedesElectricas

Enrique Melgoza Vazquez

Instituto Tecnologico de Morelia

Junio 2007

ii

Prefacio

La ocurrencia de fenomenos transitorios en redes electricas es inevitable: yasea por maniobras propias de la operacion de tales redes, por fallas en algunpunto, o la presencia de sobretensiones atmosfericas, el hecho es que en todared electrica van a ocurrir fenomenos de relativamente corta duracion queson la transicion de un estado de la red a otro.

El estudio de los fenomenos transitorios en redes electricas es importanteporque durante la ocurrencia de tales condiciones se presentan las magnitudesmas elevadas de voltajes y corrientes. Esta caracterıstica no deja de ser pecu-liar: aunque la mayor parte del tiempo el sistema opere en el estado estable,los esfuerzos mas severos, tanto mecanicos como termicos y dielectricos, dehecho ocurren durante los breves periodos de duracion de los transitorios.Puesto que la especificacion, seleccion y diseno de los equipos deben basarseen el conocimiento de las maximas magnitudes esperadas de las variableselectricas, es necesario estimar tales magnitudes mediante el analisis de suscausas.

Antes de llevar a cabo el analisis de los fenomenos transitorios, debecontarse con modelos matematicos de los equipos y componentes envueltosen el disturbio. Generalmente el modelo de un equipo para un estudio detransitorios es distinto del modelo para un estudio en estado estacionario,y por lo general mucho mas elaborado y complejo. Por ejemplo, el modelode estado estacionario de un transformador es una impedancia serie; paraun estudio de transitorios en el que interese la distribucion interna de lassobretensiones en el devanado del transformador, por ejemplo, secciones de labobina se modelan individualmente, con capacitancias a tierra e inductanciasmutuas.

Estas notas tienen la finalidad de presentar los fundamentos de analisis defenomenos transitorios en redes electricas. Se repasan las tecnicas de analisisde circuitos de parametros concentrados, puesto que muchos fenomenos de

iii

iv PREFACIO

conmutacion pueden estudiarse mediante ese tipo de modelos. Las solucionesanalıticas para los casos mas simples proporcionan una perspectiva util parael analista acerca de cual es el comportamiento esperado. Puesto que pararedes mas grandes la solucion analıtica resulta impractica, se consideran al-gunos metodos de simulacion, es decir de calculo numerico; un punto nove-doso en este aspecto es la inclusion de una seccion sobre la sıntesis y solucionnumerica de ecuaciones de estado. Con ellas, es posible simular transitorioselectricos aun cuando no se cuente con un programa computacional especial-izado.

Existen complejos paquetes computacionales para el estudio de fenomenostransitorios, tanto gratuitos como comerciales. ATP (Alternative TransientsProgram) y EMTP (Electromagnetic Transientes Program) son ejemplos decada categorıa. El principio de discretizacion en que se basan estos paquetesse discute, y se presentan ejemplos de su uso. Con esas bases es posiblepresentar las caracterısticas de disturbios originados por el cierre o aperturade interruptores en la red, los denominados transitorios de conmutacion.

Los puntos anteriores se desarrollan desde el punto de vista de modelos deparametros concentrados. Sin embargo, la presencia de lıneas de transmisionlargas hace necesario considerar que la propagacion de un disturbio en unextremo tarda un tiempo en aparecer en el otro. Un modelo de parametrosdistribuıdos es entonces necesario, el cual una vez determinado se utiliza enel analisis de condiciones peculiares no observadas en redes de parametrosconcentrados.

A lo largo de la presentacion se presentan modelos simples de los compo-nentes del sistema, los cuales se juzgan adecuados para el tipo de fenomenotransitorio discutido. Sin embargo, el lector debe recordar que un modelodado no es siempre aplicable a otras situaciones: si el rango de frecuenciasdel fenomeno cambia radicalmente, el modelo puede resultar por completoinadecuado.

Contenido

Prefacio iii

I Metodos de solucion y simulacion 1

1 Metodos de solucion 31.1 Circuitos de parametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Naturaleza de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ecuaciones homogeneas de primer orden . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Constante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Ecuacion de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Ecuaciones no homogeneas de primer orden . . . . . . . . . . 101.4.1 Metodo del factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Metodo de separacion de variables . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Ecuaciones homogeneas de segundo orden . . . . . . . . . . . 121.5.1 Circuito sin amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Circuito con amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden . . . . . . . . . . 191.7 Transformacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Metodos de simulacion 252.1 Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Conceptos de topologıa de redes . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Determinacion directa de las ecuaciones . . . . . . . . 282.1.3 Analisis nodal modificado . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.4 Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

v

vi CONTENIDO

2.1.5 Componentes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.6 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Circuitos asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 Circuito asociado de un inductor . . . . . . . . . . . . 412.2.2 Circuito asociado de un capacitor . . . . . . . . . . . . 422.2.3 Proceso de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II Programas de simulacion 45

3 Introduccion a Matlab 473.1 Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Matrices y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Solucion de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Lenguaje de programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Graficacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.1 Figuras geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.7 Otros comandos utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Introduccion al ATP 614.1 Capacidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 ATP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Como obtener el programa . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2 Instalacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.3 Uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Graficadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4 ATPDRAW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.1 Instalacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.2 Uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III Transitorios en redes de parametros concentra-dos 79

5 Modelado de componentes en baja frecuencia 815.1 Modelo de la fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Equivalente de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

CONTENIDO vii

5.1.2 Mejoras al modelo de equivalente de Thevenin . . . . . 82

5.2 Modelo de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.1 Modelo de cargas compensadas . . . . . . . . . . . . . 84

5.3 Modelado de bancos de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.1 Resistencia de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4 Apartarrayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4.1 Modelado de apartarrayos de ZnO . . . . . . . . . . . . 87

6 Transitorios de conmutacion 91

6.1 Energizacion de un circuito LR serie . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Energizacion de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 Energizacion de segunda etapa de capacitores . . . . . 96

6.3 Interrupcion de un corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.1 Conmutacion con resistores . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4 Desenergizacion de carga inductiva . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.1 Desenergizacion de cargas CLR . . . . . . . . . . . . . 113

6.5 Corte de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6 Re-ignicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.6.1 Re-ignicion al desconectar capacitores . . . . . . . . . . 117

6.6.2 Re-ignicion al desconectar inductores . . . . . . . . . . 118

7 Transitorios en transformadores 123

7.1 Modelado de transformadores para bajas frecuencias . . . . . . 123

7.1.1 Datos requeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.1.2 Impedancia serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.1.3 Rama de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.1.4 Inductancia inicial de magnetizacion . . . . . . . . . . 126

7.1.5 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2 Corriente de irrupcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.1 Analisis del fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.3 Ferro-resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.3.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4 Transferencia capacitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.5 Transitorios en devanados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

viii CONTENIDO

IV Redes de parametros distribuıdos 139

8 Lıneas de transmision 1418.1 La ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2 Reflexion y refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.3 Terminaciones de lıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3.1 Lınea terminada en corto circuito . . . . . . . . . . . . 1468.3.2 Lınea terminada en circuito abierto . . . . . . . . . . . 1478.3.3 Terminacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4 Lıneas de transmision de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.1 Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.2 Multiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.3 Acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4.4 Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Parte I

Metodos de solucion ysimulacion

1

Capıtulo 1

Metodos de solucion

1.1 Circuitos de parametros concentrados

Se dice que se tiene un modelo de circuito de parametros concentrados cuandolos elementos que forman al sistema se representan mediante los elementosideales:

• Resistor:v = Ri, (1.1)

• Inductor:

v = Ldi

dt, (1.2)

• Capacitor:

i = Cdv

dt, (1.3)

donde v es el voltaje presente en el elemento, e i la corriente a traves delmismo. Por convencion, corriente positiva entra por la terminal de mayorpotencial. Los parametros R, L, C reciben el nombre de resistencia, in-ductancia y capacitancia, respectivamente. Generalmente asumen un valorconstante y se dice que el componente es lineal; si dependen de la variablefuente (por ejemplo si L depende de la magnitud de i como es el caso de com-ponentes magneticamente saturables), entonces se habla de componentes nolineales.

Ademas de los elementos senalados, otros componentes circuito utilizadosen modelos de redes electricas son los siguientes:

3

4 CAPITULO 1. METODOS DE SOLUCION

• Fuentes independientes:

v = v(t) (1.4)

i = i(t) (1.5)

• Transformador ideal:v1

v2

= a (1.6)

i1i2

=1

a(1.7)

P1 = v1i1 = av2i2a

= v2i2 = P2. (1.8)

Tambien existen fuentes dependientes. Un elemento comun en las redeselectricas es el interruptor (cortacircuitos), que en ocasiones no se incluyecomo tal en los modelos de circuito, sino que se toma en cuenta en las ecua-ciones respectivas como condicion inicial o cambios en la topologıa de la red.

En ultima instancia, un modelo es una representacion de una situacionfısica real y en general es preferible tener un modelo simple (entre otras cosasporque permite una solucion analıtica). Sin embargo, un modelo demasiadosimplificado no capturara el verdadero comportamiento del sistema. Con-sidere el caso de un banco de capacitores con dos etapas en una subestacion.Un modelo del sistema podrıa ser el mostrado en la Figura 1.1. La fuente ysu impedancia se representan mediante los parametros vs, Rs y Ls, mientrasque las etapas capacitivas son C1 y C2. Rb y Lb representan la resistenciae inductancia del bus entre las dos estapas; se han agregado porque de otramanera se tendrıa una condicion no permitida al cerrar los capacitores C1

y C2 con distintos voltajes en cada uno de ellos. Mas aun, una resistenciasimple no reflejarıa el fenomeno de oscilacion de alta frecuencia observable almomento de la energizacion de la segunda etapa, y una inductancia simpleno da lugar a la atenuacion observada. Entonces, el circuito mostrado es laconfiguracion mas simple que modela la situacion real.

El proposito de este capıtulo es repasar algunos metodos de solucion ex-acta de las ecuaciones de circuito, para aquellos casos en los que un modelode parametros concentrados es adecuado.

1.2. NATURALEZA DE LAS ECUACIONES 5

Vs

Rs Ls

S1 S2

C1 C2

Rb Lb

Figura 1.1: Modelo de circuito para un banco de capacitores de dos etapas.

1.2 Naturaleza de las ecuaciones

Para circuitos de parametros concentrados simples, puede obtenerse unasolucion analıtica. Este tipo de solucion es preferible porque el efecto decada uno de los factores en el problema puede determinarse con facilidaden la mayorıa de los casos. El comportamiento del sistema se puede captarentonces con mas rapidez.

Puesto que los elemento comunes de circuitos son descritos por ecua-ciones con una sola variable independiente (el tiempo, t), las ecuaciones quedescriben a los sistemas electricos de parametros concentrados son diferen-ciales ordinarias. Este tipo de ecuaciones puede resolverse en el caso lineal decualquier orden, y algunos casos no lineales [1]. Algunos metodos de solucionse discuten en las secciones siguientes.

1.3 Ecuaciones homogeneas de primer orden

Este es el caso mas simple: un solo elemento almacenador de energıa, sinfuentes independientes en la red. La ecuacion resultante es entonces unaecuacion diferencial homogenea de primer orden.

1.3.1 Circuito RL

Como ejemplo, para el circuito de la Figura 1.2 con una condicion inicialiL(0) = I0, usando la ley de corrientes de Kirchhoff:

iR + iL = 0 (1.9)


i i+

-

vR L

R L

Figura 1.2: Circuito RL.

v

R+

1

L

∫ t

0vdt + iL(0) = 0 (1.10)

Derivando y multiplicando por R se llega a:

dv

dt+

R

Lv = 0, (1.11)

que efectivamente es una ecuacion diferencial homogenea de primer orden (ylineal en este caso). Observe que la ecuacion del circuito quedo en terminosde la variable de voltaje v. La solucion de esta ecuacion se puede escribirdirectamente, y es una funcion exponencial:

v = ke−RL

t. (1.12)

El valor de la constante k se obtiene sustituyendo la condicion inicial v(0) =V0. Como la corriente I0 fue especificada como condicion inicial, el voltajeinicial se calcula mediante:

v(0) = V0 = −RI0 = k. (1.13)

La solucion particular es entonces:

v = V0e−R

Lt. (1.14)

En terminos graficos, la solucion obtenida es como se muestra en la Figura1.3 (para I0 > 0, es decir, V0 < 0.

1.3. ECUACIONES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN 7

0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Figura 1.3: Voltaje en el circuito RL.

1.3.2 Constante de tiempo

La caracterıstica curva de decaimiento exponencial nos resulta familiar. Loque la hace particular al circuito estudiado es el exponente −R/L. Unamanera de captar la naturaleza de la respuesta del circuito cuando se varıansus parametros es re-escribir la solucion (1.14) de la forma

v = V0e− t

τ , (1.15)

donde τ recibe el nombre de “constante de tiempo” del circuito. v tomaralos valores mostrados en la Tabla 1.1 para valores enteros de t/τ . Observeque 0.3682 = 0.135, 0.3683 = 0.050, etc. Es decir, para cada intervalo igual ala constante de tiempo, el voltaje disminuye al 36.8% del valor al inicio delintervalo. Para t = 5τ , el transitorio practicamente ha terminado.

Para nuestro circuito, la constante de tiempo esta dada por

τ =L

R. (1.16)

Si L se mantiene sin cambio y R se incrementa, la constante de tiempo dis-minuye, es decir, el transitorio se desvanece mas rapidamente. Puede pen-sarse que la energıa almacenada en el campo magnetico de la inductancia sedisipa mas rapidamente cuando se incrementa la resistencia. Si la resistenciase disminuye, la energıa se disipara mas lentamente o, equivalentemente, la


Tabla 1.1: Valores sucesivos de v para el circuito RL.

t/τ v0 V0

1 0.368V0

2 0.135V0

3 0.050V0

4 0.018V0

5 0.007V0

constante de tiempo aumenta. Una analisis similar indica que la constantede tiempo aumenta con la inductancia.

1.3.3 Ecuacion de corriente

En el mismo circuito, si usamos la ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

−RiR + LdiLdt

= 0, (1.17)

−iR = iL = i, (1.18)

di

dt+

R

Li = 0, (1.19)

que es, matematicamente, la misma ecuacion que (1.11) y por lo tanto tienela solucion

i = I0e−R

Lt. (1.20)

La naturaleza exponencial de esta respuesta es la misma que en el caso de lasolucion para el voltaje. El efecto de los parametros R, L en la respuesta esel mismo ya discutido. En el caso lımite en que R → 0, τ →∞, es decir, lacorriente no decae sino que se conserva en el nivel inicial I0; este serıa el casopara un inductor construıdo con alambre superconductor y puesto en cortocircuito.

Observe que el termino e−(R/L) t aparece en los dos casos anteriores. Sepuede pensar que este es la “huella digital” de la configuracion, el compor-tamiento que la caracteriza. Conocer este comportamiento, para este y otroscircuitos comunes, permite tener una idea de la evolucion de la respuesta enotras situaciones, aun antes de solucionar las ecuaciones.

1.3. ECUACIONES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN 9

i i+

-

vR

R C

C

Figura 1.4: Circuito RC.

1.3.4 Circuito RC

El mismo tipo de respuesta exponencial aparece en circuitos RC. Para elcircuito de la Figura 1.4, la solucion en terminos de voltajes es:

iR + iC = 0 (1.21)

dv

dt+

1

RCv = 0 (1.22)

v = V0e− t

RC . (1.23)

En terminos de corrientes, la solucion es:

R iC +1

C

∫iCdt = 0 (1.24)

di

dt+

1

RCi = 0 (1.25)

i = I0e− t

RC , (1.26)

donde la condicion inicial I0 esta relacionada con el voltaje inicial de acuerdocon

I0 = −V0

R. (1.27)

La constante de tiempo es τ = RC. Tanto la respuesta de voltaje como lade corriente presentan la caracterıstica exponencial con identica constante detiempo. Ahora un aumento en la resistencia da lugar a una evolucion maslenta (aumenta la constante de tiempo), el mismo efecto que tiene aumentarla capacitancia.


+−

Vs

R

L

i

Figura 1.5: Circuito RL con fuente.

1.4 Ecuaciones no homogeneas de primer or-

den

Cuando existe una fuente independiente en el circuito, la ecuacion diferencialtiene un termino que depende solamente del tiempo. Por ejemplo, para elcircuito de la Figura 1.5:

vs = Ri + Ldi

dt. (1.28)

Reordenando terminos:di

dt+

R

Li =

vs

L. (1.29)

1.4.1 Metodo del factor integrante

La ecuacion resultante es no homogenea y puede resolverse multiplicando porun factor integrante, en este caso e

RL

t:

eRL

t di

dt+

R

Le

RL

ti = eRL

t vs

L. (1.30)

Se puede apreciar que el lado izquierdo de la ultima ecuacion es la derivadade un producto:

d

dt

(e

RL

ti)

= eRL

t vs

L. (1.31)

Integrando en ambos lados:

eRL

t i =∫ t

0e

RL

t vs

Ldt + k, (1.32)

1.4. ECUACIONES NO HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN 11

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 1.6: Corriente en el circuito RL con fuente.

i = e−RL

t∫ t

0e

RL

t vs

Ldt + ke−

RL

t. (1.33)

Una vez especificada la funcion vs(t), se puede integrar esta ultima expresion.Por ejemplo, para vs = Vs (fuente de voltaje constante). se tiene:

i =Vs

Le−

RL

t∫ t

0e

RL

tdt + ke−RL

t, (1.34)

i =Vs

Le−

RL

t[L

Re

RL

t]t

0+ ke−

RL

t, (1.35)

i =Vs

R

(1− e−

RL

t)

+ ke−RL

t. (1.36)

La constante k se evalua sustituyendo la condicion inicial i(0) = I0. ConI0 = 0, la solucion particular es:

i(t) =Vs

R

(1− e−

RL

t). (1.37)

La solucion se muestra en la Figura 1.6. Nuevamente, la componente ex-ponencial con constante de tiempo τ = L/R juega un papel primordial enla forma de la respuesta, tanto ası que esta puede considerarse propia de laconfiguracion del circuito.


1.4.2 Metodo de separacion de variables

La ecuacion (1.29) tambien puede resolverse usando el metodo de separacionde variables cuando vs = Vs (constante). Re-escribiendo (1.29) se tiene

Ldi

dt= Vs −Ri, (1.38)

di

Vs −Ri=

dt

L. (1.39)

Integrando:

ln (Vs −Ri) = −R

Lt + k, (1.40)

Vs −Ri = ke−RL

t. (1.41)

Despejando i:

i =Vs

R− ke−

RL

t. (1.42)

Si i(0) = 0, entonces:

i =Vs

R

(1− e−

RL

t), (1.43)

que es (1.37). La solucion por el metodo de separacion de variables es massimple en este caso, pero es menos general que la solucion usando el metododel factor integrante. Por ejemplo, si la fuente es variante en el tiempo, elmetodo de separacion de variables no se puede aplicar.

1.5 Ecuaciones homogeneas de segundo or-

den

Cuando existen dos elementos almacenadores de energıa en el circuito, laecuacion diferencial resultante es de segundo orden, es decir aparece una se-gunda derivada, o bien se tienen dos ecuaciones diferenciales de primer ordenacopladas. Por lo mismo, es necesario especificar dos condiciones iniciales.La solucion general contendra dos constantes por determinar.

1.5. ECUACIONES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN 13

1.5.1 Circuito sin amortiguamiento

Considere el circuito LC de la Figura 1.7. Usando la ley de corrientes deKirchhoff:

Cdv

dt+

1

L

∫vdt = 0. (1.44)

Derivando y dividiendo por C:

d2v

dt2+

1

LCv = 0. (1.45)

Si se usa la ley de voltajes de Kirchhoff, la ecuacion que se obtiene es:

d2i

dt2+

1

LCi = 0, (1.46)

donde i es la corriente de referencia en el inductor. Esta ecuacion es de lamisma forma que (1.45), y por lo tanto tiene la misma solucion general. Enel caso de la ecuacion de voltaje (1.45), la solucion se puede escribir como

v = k1e+jω0t + k2e

−jω0t, (1.47)

donde ω0 = 1/√

LC. Haciendo uso de la identidad de Euler

e±jθ = cosθ ± jsenθ, (1.48)

se llega av = k1 cos ω0t + k2senω0t = k1cos (ω0t + k2) , (1.49)

donde las constantes k1, k2 dependen de las condiciones iniciales. Dado que laecuacion diferencial es de segundo orden, las condiciones iniciales requeridasson v(0) y v′(0), es decir, el voltaje inicial y su derivada. Sin embargo, esmas factible que se especifiquen las condiciones iniciales v(0) e i(0). El valorde la derivada inicial del voltaje v′(0) puede determinarse recordando que

iC = Cd

dt(vC), (1.50)

de donde

v′(0) =1

CiC(0) = − 1

Ci(0) (1.51)

puesto que la corriente de referencia en el capacitor tiene sentido opuestoa la de referencia en nuestra ecuacion (la de la inductancia). La respuesta


dada por (1.49) es una forma de onda senoidal con frecuencia ω0, sin amor-tiguamiento (es decir, con amplitud maxima constante). Observe la natu-raleza fundamentalmente distinta de la respuesta de este circuito LC respectoa los circuitos de primer orden RL y RC considerados anteriormente. La os-cilacion es el resultado de que la energıa se almacena y libera alternadamenteentre el capacitor y el inductor (en forma de campo electrico y magneticorespectivamente).

La solucion particular para el caso v(0) = V0, i(0) = 0 (equivalentementev′(0) = 0) se determina evaluando las constantes k1, k2. Sustituyendo laprimera condicion inicial:

V0 = k1cos(k2). (1.52)

Derivando la solucion (1.49) y sustituyendo la segunda condicion inicial:

0 = −k1sen(k2). (1.53)

Despejando k2 de (1.52) y sustituyendo en (1.53):

0 = −ω0 V0senk2

cosk2

= −ω0 V0 tan k2, (1.54)

tan k2 = 0, (1.55)

k2 = 0 k1 = V0, (1.56)

y la solucion particular esv = V0cosω0t. (1.57)

La corriente se puede obtener facilmente a partir de (1.50), quedando

i = ω0CV0senω0t. (1.58)

En la Figura 1.8 se muestran el voltaje y la corriente para este circuito. Sepuede ver que el voltaje es maximo cuando la corriente es cero, y que lacorriente es maxima cuando el voltaje es cero. Fısicamente, toda la energıadel sistema esta almacenada en el capacitor cuando i = 0 y toda en el inductorcuando v = 0.

La frecuencia de la oscilacion es ω0 = 1/√

LC. Un aumento en la induc-tancia y/o en la capacitancia conlleva una disminucion en la frecuencia deoscilacion. Por el contrario, una disminucion del producto LC implica unaumento en la frecuencia de oscilacion.


i i+

-

vL

L

C

C

i

Figura 1.7: Circuito LC autonomo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

VoltajeCorriente

Figura 1.8: Voltaje y corriente en el circuito LC autonomo.


1.5.2 Circuito con amortiguamiento

Si se introduce una resistencia en el circuito, se tiene entonces la configuracionde la Figura 1.9, donde la ecuacion en terminos de la corriente se obtiene luegode aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff:

Ri + Ldi

dt+

1

C

∫i dt, (1.59)

que despues de derivar y dividir por L queda:

d2i

dt2+

R

L

di

dt+

1

LCi = 0. (1.60)

La ecuacion caracterıstica es

s2 +R

Ls +

1

LC= 0, (1.61)

y la solucion general de la ecuacion diferencial se puede escribir como

i = k1es1t + k2e

s2t, (1.62)

donde

s1,2 =−R

L±

√(RL

)2 − 4LC

2. (1.63)

La naturalez especıfica de esta funcion depende de si las raıces son reales ocomplejas. Para el caso en que el termino dentro del signo de la raız es mayor,igual o menor que cero, se tiene un sistema sobreamortiguado, crıticamenteamortiguado o subamortiguado (oscilatorio), respectivamente. La oscilacion,sin embargo, decae con el tiempo debido a la presencia del resitor R. Lasrespuestas posibles se ilustran en las Figuras 1.10 a 1.12, para condicionesiniciales i(0) = 0, vc(0) = 1 (o, equivalentemente, di/dt = −1/L) y losparametros en cada caso dados por:

• Caso subamortiguado:

R = 1, L = 1, C = 1.

• Caso crıticamente amortiguado:

R = 2, L = 1, C = 1.

• Caso sobreamortiguado:

R = 4, L = 1, C = 1.


LC

i R

Figura 1.9: Circuito RLC autonomo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Var

iabl

es d

e es

tado

VcIL

Figura 1.10: Respuestas del circuito RLC autonomo (caso subamortiguado).


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Var

iabl

es d

e es

tado

VcIL

Figura 1.11: Respuestas del circuito RLC autonomo (caso crıticamente amor-tiguado).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Var

iabl

es d

e es

tado

VcIL

Figura 1.12: Respuestas del circuito RLC autonomo (caso sobreamor-tiguado).

1.6. ECUACIONES NO HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN 19

1.6 Ecuaciones no homogeneas de segundo or-

den

Para el circuito mostrado en la Figura 1.13, si la variable de interes es lacorriente, la ecuacion a resolver es

vs = Ldi

dt+

1

C

∫idt, (1.64)

o bien

vs = LCd2vc

dt2+ vc, (1.65)

si el voltaje en el capacitor es de interes. Esta ultima es una ecuacion difer-encial no homogenea de segundo orden. Su solucion consta de dos partes:la solucion de la ecuacion homogenea correspondiente, y la solucion comple-mentaria, cuya forma depende de la funcion independiente en la ecuacion.Si vs = Vs (constante), la solucion que se propone es vc = V , y la solucioncompleta es de la forma:

vc = k1cos(ω0t + k2) + V (1.66)

(la solucion de la ecuacion homogenea se habıa obtenido anteriormente).Sustituyendo la solucion completa en la ecuacion diferencial:

k1ω20cos(ω0t + k2) +

k1

LCcos(ω0t + k2) +

V

LC=

Vs

LC(1.67)

Igualando los coeficientes de los terminos constantes:

V = Vs. (1.68)

Para las condiciones iniciales vc(0) = V0 y v′c(0) = 0 (esta ultima equivalentea i(0) = 0):

vc(0) = k1 cos(k2) + Vs = V0, (1.69)

v′(0) = −k2 ω0 sen(k2) = 0, (1.70)

de dondek2 = 0, (1.71)

k1 = V0 − Vs. (1.72)


+−Vs C

L

Figura 1.13: Circuito LC con fuente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Vo=+1Vo=+2Vo= −1

Figura 1.14: Voltaje en el capacitor en el circuito LC con fuente.

La solucion particular es entonces

vc = (V0 − Vs)cosω0t + V s. (1.73)

Esta solucion se ha graficado para varios valores de V0 en la Figura 1.14.Observe que los parametros L y C del circuito determinan la frecuencia dela oscilacion, pero la magnitud maxima del voltaje depende de la diferenciaentre el voltaje aplicado y el voltaje remanente en el capacitor.

Si el voltaje de la fuente coincide con el voltaje remanente en el capacitor,el termino oscilatorio desaparece. En un circuito real, debe haber ciertaresistencia, de modo que la oscilacion se ira amortiguando gradualmentehasta que vc alcance el valor de voltaje de la fuente.

1.7. TRANSFORMACION DE LAPLACE 21

1.7 Transformacion de Laplace

Los metodos de solucion de las secciones anteriores son directos, es decir, setrabaja directamente con la ecuacion. Existe una alternativa consistente entransformar la ecuacion de manera que su solucion resulte mas sencilla. Latransformacion de Laplace es la mas comun de las transformaciones aplicadasa ecuaciones diferenciales; su atractivo es que la ecuacion se transforma aalgebraica, a partir de la cual es posible obtener facilmente la variable deinteres despues de aplicar la transformacion inversa.

La transformacion de Laplace se define por

F (s) = limτ→∞

∫ τ

0f(t)e−stdt, (1.74)

es decir, la funcion en el tiempo f(t) se transforma a la funcion en el dominiode la frecuencia F (s):

f(t) → F (s). (1.75)

Existen textos donde se pueden encontrar las transformaciones para las fun-ciones mas comunes, ası como sus inversas; algunas de ellas se presentan enla tabla 1.2.

Un ejemplo ayudara a recordar el procedimiento a seguir. Para el circuitoLC con fuente, si la variable de interes es la corriente, se llega a la ecuacion(1.64). Transformando:

sLI − Li(0) +I

sC+

1

sC

∫ 0

−∞i(τ)dτ =

Vs

s. (1.76)

Se puede ver que la integral en esta expresion representa el voltaje inicial enel capacitor:

1

C

∫ 0

−∞i(τ)dτ =

q(0)

C= vc(0). (1.77)

Las condiciones iniciales requeridas son entonces i(0) y vc(0). Observe queel metodo de transformacion incorpora las condiciones iniciales de maneranatural. Despejando I(s):

I =CVs + sLCi0 − v0

s2LC + 1. (1.78)

Si i0 = i(0) = 0 y v0 = v(0) = 0, la corriente transformada queda

I =CVs

s2LC + 1=

Vs

L

s2 + 1LC

, (1.79)


Tabla 1.2: Transformacion de Laplace de algunas funciones.

f = k F = ks

f = kt F = ks2

f = eat F = 1s−a

f = senωt F = ωs2+ω2

f = cosωt F = ss2+ω2

f = dgdt

F = sG− g(0)

f =∫ t−∞ g(τ)dτ F = G

s+ 1

s

∫ 0−∞ g(τ)dτ

y recordando que se habıa definido ω0 = 1/√

LC se tiene

I =

√C

LVs

ω0

s2 + ω20

. (1.80)

Efectuando la transformacion inversa:

i(t) =

√C

LVssenω0t. (1.81)

Este ejemplo ilustra el hecho de que el metodo de transformacion es aplicabletanto a ecuaciones diferenciales como integrales e integro-diferenciales.

Para el mismo circuito, si la variable de interes es el voltaje en el capacitor,la ecuacion (1.65) resulta. En terminos de ω0, la ecuacion es

d2vc

dt2+ ω2

0vc = ω20Vs, (1.82)

la cual, una vez transformada lleva a

(s2 + ω20)Vc =

ω20Vs

s+ svc(0) + v′c(0). (1.83)

1.7. TRANSFORMACION DE LAPLACE 23

Para vc(0) = V0 y v′c(0) = 0:

Vc =ω2

0Vs

s(s2 + ω20)

+sV0

s2 + ω20

. (1.84)

La inversa del segundo termino en el lado derecho es cos ω0t. Para invertirel primer termino del lado derecho, se usa la descomposicion en fraccionesparciales siguiente:

ω20

s(s2 + ω20)

=1

s− s

s2 + ω20

. (1.85)

De este modo,vc(t) = Vs − (Vs − V0)cosω0t, (1.86)

que es la solucion que se habıa obtenido anteriormente.


Capıtulo 2

Metodos de simulacion

Los metodos de solucion que han sido presentados se aplican a circuitossimples. Cuando se tienen redes extensas, la solucion exacta es impractica;mas aun, si existen componentes no lineales, por lo general no es posibleencontrar la solucion. Sin embargo, sı es posible recurrir a la simulacionnumerica del circuito y a partir de ella extraer informacion pertinente.

Existen varias maneras de simular el comportamiento de un circuito.Si las ecuaciones del sistema se escriben de forma que las derivadas seanexplıcitas (es decir mediante una ecuacion de estado), entonces se puedeusar un programa de solucion de EDOs (ecuaciones diferenciales ordinarias)comun, por ejemplo uno basado en las formulas de Runge-Kutta, Adams-Moulton, etc. Si no es posible escribir las ecuaciones de estado, puede in-tentarse escribir un sistema de ecuaciones diferencial-algebraicas (EDAs) yusar algun programa especıfico basado, por ejemplo, en las formulas de difer-enciacion regresiva (BDF por sus siglas en ingles) o el metodo implıcito deRunge-Kutta. Ambos enfoques se discuten en el presente capıtulo.

Otra posibilidad, comunmente usada en la practica para estudios a granescala, consiste en recurrir a un paquete computacional especializado que dis-cretiza los elementos de circuito antes de ensamblar el sistema de ecuaciones;como resultado, se resuelve una red resistiva equivalente. La implementacionde este enfoque de circuitos asociados en computadora ha resultado en ladisponibilidad de varios programas especializados, tales como EMTP, SPICE,etc. Matematicamente, este enfoque es equivalente al de solucion de EDAs,pero el uso real de uno y otro difiere notablemente en los detalles.

Los metodos de simulacion apuntados se discuten a continuacion. Cadauno tiene ventajas y desventajas y la eleccion de uno de ellos depende de la

25

26 CAPITULO 2. METODOS DE SIMULACION

naturaleza del problema. Por ejemplo, para problemas pequenos o para unaexploracion inicial del problema, la primera opcion es intentar una solucionanalıtica. Si esto no es posible o se vuelve innecesariamente complicado,es posible plantear el enfoque de ecuaciones de estado. Muchos problemaspracticos pueden resolverse mediante este enfoque. Por ultimo, para proble-mas a gran escala se requiere utilizar un programa especializado de simulacionde transitorios en sistemas de potencia. Esta opcion, sin embargo, tiene elcosto que implica aprender el manejo de tal programa, que a menudo puederesultar complejo. Para problemas pequenos, tal costo puede no estar justi-ficado y es por ello que en este capıtulo se presentan ambas alternativas desimulacion de transitorios.

Es necesario hacer notar que los metodos que se presentan en este capıtulono son los unicos que se pueden emplear. Se han propuesto un gran numero detecnicas de analisis y solucion que no mencionaremos. Un ejemplo notable esel analisis en el dominio complejo o analisis en la frecuencia, que contrasta conlos metodos de analisis en el dominio del tiempo que se discuten enseguida.

2.1 Ecuaciones de estado

Varios metodos para aproximar la solucion de la ecuacion de estado general

x = f(x) (2.1)

han sido implementados en rutinas de computadora. Se trata de solucionarun sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), para lo cual secuenta con varios metodos bien conocidos; el metodo explıcito de Runge-Kutta es uno de ellos.

Muchas de las rutinas implementadas estan disponibles publicamente, in-cluyendo su codigo fuente, en depositos de rutinas cientıficas, o han sido incor-poradas en entornos de calculo numerico de uso general. Las mas avanzadasincorporan previsiones para variar el paso de integracion automaticamente,cumpliendo con una cota de error. En resumen, la alta disponibilidad yconfiabilidad de estas rutinas las hacen una alternativa atractiva en la simu-lacion de sistemas dinamicos en general, y de transitorios en redes electricasen nuestro caso. En particular, su uso es ventajoso dado que no se requierepasar por el proceso de aprendizaje de otras herramientas de simulacion masespecializadas.

2.1. ECUACIONES DE ESTADO 27

En esta seccion se discuten dos metodos para la determinacion de lasecuaciones de estado: uno basado en conceptos de topologıa de redes y otrobasado en el analisis nodal modificado. Posteriormente se ilustra el pro-cedimiento de simulacion y se discuten algunos casos especiales, incluyendocomponentes no lineales y transformadores.

2.1.1 Conceptos de topologıa de redes

Antes de presentar la metodologıa para la sıntesis de las ecuaciones de estado,conviene repasar algunos conceptos de topologıa de redes [2]. Partiendo delos conceptos de nodo y rama, que se asumen conocidos por el lector, sedefinen:

• Grafico. El conjunto de nodos N y de ramas R tales que cada ramaincide en dos nodos:

G = (N ,R). (2.2)

• Subgrafico. Si N1 ∈ N y R1 ∈ R, entonces si G1 = (N1,R1) es a suvez un grafico, se le llama subgrafico de G.

• Lazo. Dado un grafico conectado G, un lazo L se define como unsubgrafico conectado de G tal que exactamente dos ramas inciden encada nodo.

• Arbol. Un arbol de un grafico conectado G es un subgrafico que es a suvez conectado, contiene todos los nodos de G y no contiene lazos. Lasramas que no pertenecen al arbol se llaman cuerdas.

• Conjunto de corte. Dado un grafico conectado G, un conjunto de ramasC ∈ R forma un conjunto de corte si la remocion de todas las ramasde C deja un grafico desconectado, y la remocion de todas excepto unarama de C deja un grafico conectado.

Con estas definiciones, citamos el Teorema Fundamental de Graficos:

Dado un grafico conectado G con n nodos y r ramas, y un arbolA de G,

1. Existe una trayectoria unica a traves del arbol entre cua-lesquiera dos nodos.


2. Existen n− 1 ramas en el arbol y r − (n− 1) cuerdas.

3. Cada rama del arbol junto con algunas cuerdas define unconjunto de corte, llamado el conjunto de corte fundamentalasociado con esa rama del arbol.

4. Cada cuerda y la trayectoria unica en el arbol entre sus dosnodos constituyen un lazo unico, llamado lazo fundamentalasociado con esa cuerda.

2.1.2 Determinacion directa de las ecuaciones

El proceso a seguir puede ilustrarse con el ejemplo de la Figura 2.1. Elmetodo que se describe a continuacion para escribir las ecuaciones de estadofunciona para muchas redes de interes:

1. Seleccionar un arbol a partir del grafico del circuito, que incluya a todoslos capacitores y ningun inductor. Note que si un circuito tiene un lazode capacitores o un conjunto de corte de inductores, entonces no sepuede encontrar un arbol apropiado y el metodo falla. Para nuestroejemplo, seleccionamos el arbol mostrado en la Figura 2.2.

2. Se seleccionan como variables de estado los voltajes en los capacitoresy las corrientes en los inductores. En nuestro caso, las variables deestado son v1, v2, iL.

3. Para cada conjunto de corte fundamental definido por un capacitor,escribir una ecuacion a partir de la ley de corrientes de Kirchhoff, enterminos de las otras variables de estado y de las variables de entrada(fuentes independientes). Para el ejemplo presentado, los conjuntos decorte definidos por los capacitores se muestran en la Figura 2.2, y lasecuaciones son:

v1 − vs

R1

+ C1dv1

dt+ iL = 0, (2.3)

−iL + C2dv2

dt+

v2

R2

= 0. (2.4)

4. Para cada lazo fundamental definido por un inductor, escribir unaecuacion a partir de la ley de voltajes de Kirchhoff. En el caso pre-sente, la ecuacion resultante es:

−v1 + LdiLdt

+ v2 = 0. (2.5)


+−

R1 L

R2C2C1Vs

Figura 2.1: Circuito de ejemplo.

I

II

Figura 2.2: Arbol para circuito de ejemplo y conjuntos de corte asociadoscon los capacitores.

Las derivadas se pueden poner de manera explıcita:

dv1

dt= − v1

C1R1

− iLC1

+vs

C1R1

, (2.6)

dv2

dt= − v2

C2R2

+iLC2

, (2.7)

diLdt

=v1

L− v2

L. (2.8)

Estas son las ecuaciones de estado para el circuito de ejemplo. Para este casolineal, las ecuaciones anteriores se pueden poner en forma matricial:

dv1

dt

dv2

dt

diLdt

=

− 1C1R1

0 − 1C1

0 − 1C2R2

1C2

1L

− 1L

0

v1

v2

iL

+

1C1R1

0

0

vs. (2.9)


2.1.3 Analisis nodal modificado

Un metodo ligeramente diferente de plantear las ecuaciones de estado surgeempleando el metodo de analisis nodal convencional. En el, se escribe unaecuacion de equilibrio de corriente para cada nodo, y los voltajes de nodo atierra son las incognitas del problema. Para ramas capacitivas, la corrientees proporcional a la derivada del voltaje, de modo que esa rama contribuyeun termino derivativo a la ecuacion. Si embargo, en inductores la corrientees la integral del voltaje, por lo que se requiere realizar una derivacion dela ecuacion para ese nodo de manera que se elimine la integral. Si haycapacitancias conectadas a ese nodo, esto resulta en segundas derivadas, lascuales hay que transformar nuevamente a primeras derivadas introduciendouna variable adicional y una segunda ecuacion.

En el analisis nodal modificado, la corriente en el inductor no se poneen terminos de los voltajes, sino que se conserva como variable de estado yse agrega la ecuacion diferencial que describe a la inductancia. Entonces, setiene un termino diferencial por cada capacitor y uno por cada inductor, aligual que cuando se recurre al metodo de arbol para plantear las ecuaciones.Sin embargo, en el caso del analisis nodal modificado puede requerirse masmanipulacion algebraica para poner las ecuaciones en forma adecuada. Porejemplo, si existen dos capacitores conectados a un nodo, la ecuacion de cor-rientes para ese nodo contendra dos derivadas y se requiere eliminar una deellas para que las ecuaciones queden de la forma requerida (o bien puedeutilizarse el procedimiento descrito mas adelante en la seccion de transfor-madores).

2.1.4 Simulacion

Las ecuaciones del sistema son usadas como datos de entrada a un programade solucion de EDOs; con fines ilustrativos la discusion siguiente asume quese emplearan los solucionadores incluidos en el entorno de calculo Matlab.

Puesto que los parametros y las condiciones iniciales deben tener un valorespecıfico, cada solucion es particular a esos valores y es mas difıcil discernirla naturaleza de la respuesta y el efecto de los parametros. Por otra parte,dado que los equipos de computo cada vez son mas poderosos, la solucion deun caso particular toma solo unos pocos minutos o segundos.

Para el caso de ejemplo, deben de asignarse valores numericos a losparametros R1, R2, C1, C2, L, y especificar la fuente vs y las condiciones


iniciales v1(0), v2(0), iL(0). Considere el caso en el que las condiciones ini-ciales son cero y se aplica una fuente de voltaje constante en t = 0, con losparametros dados por:

vs = 100V,

R1 = R2 = 1Ω,

L = 1mH,

C1 = C2 = 5µF.

El codigo siguiente se puede almacenar en un archivo de texto, bajo el nom-bre “ejemplo.m”, y usarse como entrada para simular el circuito usando lossolucionadores de EDOs de Matlab:

function dotx = ejemplo(t,x)

% Funcion de estado para circuito de ejemplo.

% Parametros:

Vs = 100;

R1 = 1;

R2 = 1;

C1 = 5e-6;

C2 = 5e-6;

L = 1e-3;

dotx = zeros(3,1);

dotx(1) = -x(1)/(C1*R1) - x(3)/C1 + Vs/(C1*R1);

dotx(2) = -x(2)/(C2*R2) + x(3)/C2;

dotx(3) = x(1)/L - x(2)/L;

Asumiendo que el archivo esta en alguno de los directorios de la ruta deMatlab, la simulacion se inicia con el comando

>> [t,x] = ode113(’ejemplo’,[0,0.005],[0 0 0]);

Este comando se interpreta ası: llamar la rutina de solucion ode113, con lafuncion de estado “ejemplo.m” como argumento; simular de t = 0 a t = 0.005segundos, con condiciones iniciales cero y almacenando el resultado en lasvariables t, x.

Podemos desplegar graficamente la solucion con el comando


>> plot(t,x)

(despliega todas las variables de estado), o con

>> plot(t,x(:,1))

(despliega la primera variable de estado).

La Figura 2.3 muestra la respuesta del circuito. v2 e iL se comportan comoen un circuito LC sobreamortiguado. En cambio, v1 exhibe una respuestaque no se habıa observado: crece exponencialmente con una constante detiempo pequena y decrece exponencialmente con una constante de tiempomayor. Se alcanzo el valor de estado estable en alrededor de 3.3ms (no semuestra todo el periodo transitorio). El solucionador requirio de 685 pasos(de longitud variable) para completar la simulacion.

A partir de la experiencia previa podemos suponer que la naturaleza dela respuesta se modifica al cambiar el valor de las resistencias. Por ejemplo,si R2 se aumenta, C2 intercambiara mas energıa con la porcion LC serie, porlo que la respuesta probablemente sea oscilatoria. Con R2 = 10, se puedeobservar que las tres variables de estado oscilan alrededor de su valor deestado estable, el cual alcanzan rapidamente (0.6ms), Figura 2.4.

Con R2 = 100, la oscilacion es mas evidente. v1 se carga rapidamente aun voltaje cercano al de la fuente (con pequenas oscilaciones). Sin embargo,v2 alcanza un valor pico de aproximadamente 170V, que es 70% mas que suvalor final. El transitorio dura aproximadamente 3ms; el periodo inicial semuestra en la Figura 2.5.

2.1.5 Componentes no lineales

El metodo de simulacion usando variables de estado puede ser aplicado in-cluso cuando se tengan elementos no lineales. La discusion se centra en elcaso de inductores no lineales, porque tales componentes se presentan co-munmente.

Funcion de flujo enlazado

Suponga que se tiene un inductor no lineal descrito por la funcion

λ = λ(i). (2.10)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 10−3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Var

iabl

es d

e es

tado

V1V2IL

Figura 2.3: Variables de estado del caso de ejemplo, R2 = 1Ω.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 10−3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Var

iabl

es d

e es

tado

V1V2IL



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 10−3

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Tiempo (s)

Var

iabl

es d

e es

tado

V1V2IL


Dado que el voltaje en el inductor esta definido por la ley de Faraday

vL =dλ

dt, (2.11)

se tiene que

vL =dλ

di

di

dt. (2.12)

En el circuito de ejemplo, la ecuacion en el lazo del inductor se modifica paraquedar:

−v1 +dλ

di

di

dt+ v2 = 0, (2.13)

y la ecuacion de estado queda

di

dt=

1dλdi

(v1 − v2) . (2.14)

Como ejemplo, considere el circuito de la Figura 2.6, que representa laenergizacion de un inductor no lineal a traves de una fuente senoidal con unaresistencia dada. Los parametros de este circuito son vs = 5 cos(t), R = 1Ω,y un inductor cuyo flujo enlazado es una funcion de la corriente dada porλ = tanh(i).

En la Figura 2.7 se muestra la grafica del flujo enlazado como funcionde la corriente para este caso. Hay que recordar que esta es una funcion


Vs

R

L

i

Figura 2.6: Circuito RL con fuente, con inductor no lineal.

idealizada; sin embargo, se puede usar para aproximar un inductor real si seagregan las constantes adecuadas. La funcion de estado en lenguaje Matlabes la siguiente:

function dotx = circuito_vrl_nl(t,x)

% Funcion de estado para circuito RL con fuente,

% inductancia no lineal.

% Parametros:

Vs = 5*cos(t);

R = 1;

D = ( sech(x) )^2;

dotx = zeros(1,1);

dotx(1) = ( Vs - R*x(1) ) / D;

La respuesta de corriente del circuito descrito se presenta en la Figura2.8. La tıpica forma de onda de corriente de magnetizacion es observable.Este ejemplo muestra un caso relativamente sencillo de plantear, que sinembargo no es trivial de resolver analıticamente. Es en estos casos en los quees ventajoso contar con una herramienta de simulacion.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Corriente (A)

En

cad

enam

ien

to d

e fl

ujo

(V

s)

Figura 2.7: Encadenamiento de flujo λ = tanh(i).

0 5 10 15−6

−4

−2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

Figura 2.8: Respuesta de corriente del circuito RL con fuente, con inductorno lineal.


Funcion de inductancia

Otra posibilidad es que se conozca la funcion de inductancia no lineal L(i).En este caso, el voltaje en el inductor esta dado por:

vL =d

dt(Li) = L

di

dt+ i

dL

dt= L

di

dt+ i

dL

di

di

dt=

(L + i

dL

di

)di

dt, (2.15)

y la ecuacion de estado de nuestro primer ejemplo queda:

di

dt=

1

L + idLdi

(v1 − v2) . (2.16)

2.1.6 Transformadores

Un caso importante para el que es difıcil escribir explıcitamente las ecuacionesde estado es cuando se tienen transformadores. Para un transformador dedos devanados, se pueden escribir las ecuaciones de voltaje como sigue:

v1 = R1i1 + L1di1dt

+ L11di1dt

+ L12di2dt

, (2.17)

v2 = R2i2 + L2di2dt

+ L21di1dt

+ L22di2dt

, (2.18)

donde R1 es la resistencia del devanado primario, L1 su inductancia de dis-persion, L11 su inductancia propia, con terminos similares para el devanadosecundario.L12 es la inductancia mutua entre devanados. Puesto que ambasderivadas de corriente aparecen en una misma expresion, la ecuacion de es-tado no puede escribirse directamente y no es posible usar solucionadores deEDOs. Por otra parte, las ecuaciones son de la forma

f(x,x, t) = 0, (2.19)

por lo que es posible, en principio, usar un solucionador general de EDAs, obien uno de los simuladores especializados basados en el concepto de circuitosasociados.

Considere el caso presentado en la Figura 2.9, que representa un trans-formador conectado a una fuente de voltaje senoidal, con carga CLR en elsecundario. Se considerara que el transformador es no saturable, lo cual esuna primera aproximacion valida si la corriente no excede el valor nominal.


El lector puede verificar que, tomando las corrientes primaria y secundariadel transformador como variables de estado i1 e i2, la corriente en el inductorde carga como variable de estado i3 y el voltaje en el capacitor de carga comovariable de estado v4, las ecuaciones resultantes son:

(L1 + L11)di1dt

+ L12di2dt

= vs −R1i1 (2.20)

L21di1dt

+ (L2 + L22)di2dt

= v4 −R2i2 (2.21)

L3di3dt

= v4 (2.22)

Cdv4

dt= −i2 − i3 − v4

R3

(2.23)

La anterior forma una ecuacion de estado implıcita, es decir las derivadas noaparecen libres en el lado izquierdo. Para este caso lineal es posible resolver elsistema de ecuaciones y obtener el vector de estados en forma explıcita, peroel procedimiento tendrıa que repetirse para cada paso de integracion. Unaforma mas conveniente de simular el circuito es utilizando un simulador deEDAs. Por ejemplo, algunos solucionadores de Matlab permiten especificarla matriz de ’masa’. La funcion de estado quedarıa entonces:

function dotx = transformador(t,x)

% Funcion de estado para circuito con transformador: carga CLR.

% Nota: la matriz de "masa" se especifica separadamente.

% Parametros:

Vs = 440*sqrt(2)*cos(2*pi*60*t);

R1 = 0.16;

R2 = 0.08;

R3 = 100;

dotx = zeros(4,1);

dotx(1) = Vs - R1*x(1);

dotx(2) = -R2*x(2) + x(4);

dotx(3) = x(4);

dotx(4) = -x(2) - x(3) - x(4)/R3;

2.2. CIRCUITOS ASOCIADOS 39

% Uso:

% >> B = [ 850e-6+265e-3 -132e-3 0 0; ...

% -132e-3 212e-6+66e-3 0 0; ...

% 0 0 0.1 0; ...

% 0 0 0 1e-3 ];

% >> options = odeset(’Mass’,B);

% >> [t,x] = ode15s(@transformador, [0 0.1], [0 0 0 0], options);

En el mismo archivo, en forma de comentarios al final, se encuentranlas instrucciones para simular utilizando derivadas no explıcitas. Convieneaclarar que si la matriz de ’masa’ cambia ya sea por ser funcion del tiempoo de las variables de estado, el procedimiento es distinto; el lector debe con-sultar la ayuda de Matlab para estos casos.

En la Figura 2.10 se muestran las corrientes primaria y secundaria deltransformador, y el voltaje en la carga se muestra en la Figura 2.11. Observecomo aunque se trata de un circuito lineal, la interaccion de la carga y eltrasformador da origen a una distorsion inicial en la forma de onda de lascorrientes. El voltaje muestra la superposicion de senales de dos frecuencias,que de acuerdo a lo expuesto anteriormente son la frecuencia fundamental yla frecuencia transitoria del circuito LC de la carga. Tambien es de notar lamagnitud de la sobrecorriente de energizacion.

Los resultados obtenidos sirven para ilustrar el procedimiento general, yno deben tomarse como representativos del fenomeno de energizacion de car-gas a traves de transformadores. Por ejemplo, la magnitud de las corrientesimplica que en la practica ocurrira cierta saturacion y por lo mismo el modelolineal no es totalmente adecuado. Ademas, no se reproduce el fenomeno decorriente de irrupcion; este fenomeno se discute en una seccion posterior.

2.2 Circuitos asociados

La solucion de redes resistivas por computadora es una tecnologıa que hallegado a ser muy eficiente, lo cual es afortunado entre otras razones porquela solucion de circuitos dinamicos puede reducirse a la de una red puramenteresistiva para cada paso de tiempo. La manera en que esto es posible esdiscretizando localmente, es decir antes de ensamblar, los componentes delcircuito [3].


Vs

R1 L1

T1

R2 L2

R3 L3 C

Figura 2.9: Transformador con carga CLR.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08−500

−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

Tiempo (s)

Cor

rient

es (

A)

I1I2

Figura 2.10: Corrientes en los devanados del transformador para energizacionde carga CLR.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08−500

−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

500

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Figura 2.11: Voltaje en la carga CLR del transformador.

2.2.1 Circuito asociado de un inductor

Para un inductor lineal, la ecuacion basica del componente considerado demanera aislada es

v(t) = Ldi

dt, (2.24)

la cual puede integrarse para obtener la corriente:

i(t) =1

L

∫ t

t0v(τ)dτ + i(t0). (2.25)

La clave reside en la discretizacion de esta integral. Aplicando alguna formulaaproximada, por ejemplo la regla trapezoidal, la corriente es:

i(t) ≈ h

2L[v(t) + v(t0)] + i(t0), (2.26)

donde h = t− t0 es el paso de integracion. Re-arreglando esta expresion, sellega a

i ≈ hv

2L+

[i(t0) +

h v(t0)

2L

], (2.27)

que, despues de examen cuidadoso, puede verse que corresponde a la redresistiva mostrada en la Figura 2.12. A esta red se le llama “circuito asociado”de la inductancia.


R=2L/h I=i(t0)+hv(t0)/2L

Figura 2.12: Circuito resistivo asociado con un inductor lineal.

2.2.2 Circuito asociado de un capacitor

Para un capacitor, la corriente es la derivada del voltaje en terminales:

i(t) = Cdv

dt.

Integrando, el voltaje esta dado por

v(t) =1

C

∫ t

t0i(τ)dτ + v(t0), (2.28)

que se puede aproximar mediante alguna formula discreta. Usando nueva-mente la regla trapezoidal, se obtiene

v(t) ≈ h

2C[i(t) + i(t0)] + v(t0). (2.29)

La corriente se puede despejar de esta ecuacion para obtener:

i(t) ≈ 2C v

h−

[2C v(t0)

h+ i(t0)

](2.30)

Una red resistiva que tiene esta ecuacion caracterıstica es la mostrada en laFigura 2.13. A esta red se le llama “circuito asociado” del capacitor.

2.2.3 Proceso de simulacion

Otros componentes de redes electricas tienen circuitos asociados similaresa los presentados arriba. Por ejemplo, una lınea de transmision se modela


R=h/2C I=-2Cv(t0)/h - i(t0)

Figura 2.13: Circuito resistivo asociado con un capacitor lineal.

como una red de dos puertos formada por resistencias y fuentes de corrientedependientes. La resistencias no necesitan modificacion para incluirse en lared discreta, mientras que la conmutacion de interruptores se simula cam-biando la topologıa de la red. Los detalles dependen de la implementacionen particular, pero podemos anotar las siguientes ideas generales.

Dadas la condiciones iniciales i(0) para todas las ramas del circuito, seensambla una red que contiene solamente resistencias, fuentes de corriente yfuentes de voltaje, la cual es el equivalente discreto del circuito original parat = h. La solucion de esta red resistiva consiste en un conjunto de voltajesnodales v(h), a partir del cual se determinan las corrientes de rama i(h). Elproceso se repite entonces para obtener v(2h), v(3h), etc.

Es decir, la simulacion dinamica del circuito se lleva a cabo resolviendouna serie de redes resistivas correspondientes cada una a un paso de inte-gracion. El enfoque esbozado es el principio en el que estan basados algunosde los simuladores de circuito mas utilizados:

• EMTP/ATP. Programa de simulacion de transitorios orientado a redeselectricas, con soporte para los componentes mas comunes como lıneasde transmision, transformadores e incluso elementos de electronica depotencia. EMTP es la implementacion original, que ahora se comer-cializa. ATP es una version equivalente disponible sin costo.

• SPICE. Programa de simulacion orientado a circuitos electronicos. Sulibrerıa incluye muchos componentes discretos (p.ej. transistores).


Parte II

Programas de simulacion

45

Capıtulo 3

Introduccion a Matlab

Matlab es un entorno interactivo de calculo. Su nombre significa “MatrixLaboratory”, pues su enfasis es la manipulacion y calculo con matrices; sinembargo cuenta con otros recursos que lo convierten en una herramienta muyconveniente para el desarrollo de metodos numericos. Entre otras facilidades,ofrece rutinas de graficacion, funciones matematicas, y solucion directa e iter-ativa de ecuaciones algebraicas lineales. El lenguaje Matlab es una lenguajede alto nivel que aprovecha las rutinas disponibles en el entorno, y puedeusarse para extender las capacidades del mismo a traves de la adicion denuevas funciones definidas por el usuario.

La sintaxis del lenguaje Matlab se parece mucho a la notacion matematicaconvencional, por lo que es relativamente sencilla de aprender. Es un lenguajeinterpretado, lo que significa que las operaciones no se convierten a lenguajemaquina sino que se ejecutan directamente en el espacio de memoria delprograma. Por esta razon, los programas en lenguaje Matlab pueden requerirun tiempo de ejecucion mayor comparado con el de un lenguaje compiladocomo C.

3.1 Entorno

El entorno de Matlab es una ventana de comandos en modo texto. El sımbolode peticion de comandos es >>. La version se muestra con el comando

>> ver--------------------------------------------------MATLAB Version 5.2.0.3084 on PCWIN

47

48 CAPITULO 3. INTRODUCCION A MATLAB

MATLAB License Identification Number: 107815--------------------------------------------------

Las operaciones aritmeticas utilizan los operadores usuales. El resultadode un comando se despliega despues de entrarlo:

>> sqrt(4^3) - 2/10ans =

7.8

Note que el resultado en este caso se retorna en la variable automatica“ans”. Tambien se puede especificar el nombre de la variable de retorno:

>> y = 2+2y =

4

Todo lo que siga al signo “%” se toma como un comentario y es ignoradopor el procesador de comandos:

>> %Comentario>>

Se ejecuta un comando del sistema operativo con el sımbolo “!”:

>> ! del temp.txt>>

Un listado de las variables actualmente definidas en el entorno resulta de

>> whoans y

A veces es conveniente respaldar a disco las variables actuales. lo cual sehace con

>> save caso1

Esta operacion resulta en un archivo “caso1.mat” en el directorio actual.En una sesion posterior se recuperan la variables con

>> load caso1

El directorio de trabajo se muestra con

3.1. ENTORNO 49

>> cdc:\emelgoza\fld\mlb

y puede cambiarse de la manera usual.Se obtiene ayuda en lınea con el comando

>> helpHELP topics:

matlab\general - General purpose commands.matlab\ops - Operators and special characters.matlab\lang - Programming language constructs.matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation.matlab\elfun - Elementary math functions.matlab\specfun - Specialized math functions.matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra.matlab\datafun - Data analysis and Fourier transforms.matlab\polyfun - Interpolation and polynomials.matlab\funfun - Function functions and ODE solvers.matlab\sparfun - Sparse matrices.matlab\graph2d - Two dimensional graphs.matlab\graph3d - Three dimensional graphs.matlab\specgraph - Specialized graphs.matlab\graphics - Handle Graphics.matlab\uitools - Graphical user interface tools.matlab\strfun - Character strings.matlab\iofun - File input/output.matlab\timefun - Time and dates.matlab\datatypes - Data types and structures.matlab\winfun - Windows Operating System Interface Files (DDE/ActiveX)matlab\demos - Examples and demonstrations.toolbox\pde - Partial Differential Equation Toolbox.toolbox\tour - MATLAB Tourtoolbox\local - Preferences.

For more help on directory/topic, type "help topic".

La ayuda para un comando en particular, por ejemplo “format”, se ob-tiene con el comando

>> help format


FORMAT Set output format.All computations in MATLAB are done in double precision.FORMAT may be used to switch between different outputdisplay formats as follows:FORMAT Default. Same as SHORT.FORMAT SHORT Scaled fixed point format with 5 digits.FORMAT LONG Scaled fixed point format with 15 digits.FORMAT SHORT E Floating point format with 5 digits.FORMAT LONG E Floating point format with 15 digits.FORMAT SHORT G Best of fixed or floating point format with 5 digits.FORMAT LONG G Best of fixed or floating point format with 15 digits.FORMAT HEX Hexadecimal format.FORMAT + The symbols +, - and blank are printed

for positive, negative and zero elements.Imaginary parts are ignored.

FORMAT BANK Fixed format for dollars and cents.FORMAT RAT Approximation by ratio of small integers.

Spacing:FORMAT COMPACT Suppress extra line-feeds.FORMAT LOOSE Puts the extra line-feeds back in.

3.2 Matrices y vectores

Un vector se define listando sus componentes. Un vector fila es, por ejemplo:

>> a = [0, 2, 3]a =

0 2 3

Las comas son opcionales. Para denotar un nuevo renglon, se usa puntoy coma. El siguiente es un vector columna:

>> b = [0; 81; 7; -19]0

817

-19

Una matriz se define listando sus filas:

3.2. MATRICES Y VECTORES 51

>> A = [1 1 1 1; 0 2 3 4; 0 1 2 3; 5 2 1 0]A =

1 1 1 10 2 3 40 1 2 35 2 1 0

Una comilla denota transposicion:

>> A’ans =

1 0 0 51 2 1 21 3 2 11 4 3 0

Tambien se hubiera podido utilizar

>> transpose(A)

Se accede a renglones individuales con:

>> A(2,:)ans =

0 2 3 4

o bien a columnas individuales:

>> A(:,4)ans =

1430

En estos ejemplo, los dos puntos denotan todo el rango. Tambien sepuede especificar una submatriz

A(1:2,1:3)ans =

1 1 10 2 3

La suma de matrices usa la notacion convencional:


B = A + A’B =

2 1 1 61 4 4 61 4 4 46 6 4 0

Otras operaciones con matrices son la sustraccion y la multiplicacion:

>> A - A’ans =

0 1 1 -4-1 0 2 2-1 -2 0 24 -2 -2 0

>> A * A’ans =

4 9 6 89 29 20 76 20 14 48 7 4 30

Para eliminar ciertas entradas de un vector o matriz:

>> B = A;>> B(:,4) = []B =

1 1 10 2 30 1 25 2 1

3.3 Funciones matriciales

Las siguientes son funciones de matrices, es decir, tienen una matriz comoargumento: la inversa, el determinante, el rango, el numero de condicion, yla traza. Se evaluan con los comandos siguientes (se ha eliminado la salidautilizando punto y coma al final del comando):

3.3. FUNCIONES MATRICIALES 53

>> B = inv(A);>> b = det(A);>> b = rank(A);>> b = cond(A);>> b = trace(A);

Los valores y vectores propios de la matriz son

>> [vec, val] = eig(A)vec =

0.28377 0.11868 0.14658 -3.4597e-0160.69383 -0.35603 -0.29976 -0.408250.45215 -0.59339 -0.64398 0.81650.48336 0.71207 0.68844 -0.40825

val =6.7417 0 0 0

0 -1 0 00 0 -0.74166 00 0 0 -4.1111e-016

Este es un ejemplo de un comando que retorna varios valores. Las colum-nas de “vec” son los vectores propios y las entradas diagonanes de “val” sonlos valores propios.

Varias factorizaciones de matrices son posibles: LU, descomposicion envalores singulares, QR. Las llamadas respectivas son:

>> B = lu(A);>> B = svd(A);>> B = qr(A);

Es posible generar matrices especiales: unitarias, de ceros, aleatorias,cuadrados magicos. Por ejemplo:

>> eye(3)ans =

1 0 00 1 00 0 1

>> zeros(2,4)ans =

0 0 0 00 0 0 0


>> rand(2,2)ans =

0.95013 0.606840.23114 0.48598

>> magic(4)ans =

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1

Cuando una matriz tiene muchas entrads nulas, es conveniente almace-narla como matriz dispersa:

>> C = eye(10);>> C = sparse(C)C =

(1,1) 1(2,2) 1(3,3) 1(4,4) 1(5,5) 1(6,6) 1(7,7) 1(8,8) 1(9,9) 1

(10,10) 1

En el ejemplo, se convirtio una matriz llena a dispersa. En la practica,es mas usual generar un listado de entradas y construir la matriz dispersa dedimension m× n con el comando

>> C = sparse( renglones, columnas, valores, m, n)

3.4 Solucion de ecuaciones lineales

Una de las operaciones mas frecuentemente utilizadas es la solucion del sis-tema lineal de ecuaciones Ax = b. En Matlab, se utiliza una diagonalinvertida para calcular x:

3.5. LENGUAJE DE PROGRAMACION 55

>> A = [ 2 1 1 6; 1 4 4 6; 1 4 4 4; 6 6 4 0 ]A =

2 1 1 61 4 4 61 4 4 46 6 4 0

>> b = [ 0; 81; 7; -19 ]b =

0817

-19>> x = A\bx =

-106.71327.79-336.36

37

3.5 Lenguaje de programacion

El usuario de Matlab puede agregar sus propias funciones. Para definir unanueva funcion, por ejemplo f(x) = x2, se crea un archivo de texto que eneste caso llamaremos “cuadrado.m”. La extension es importante: Matlabbusca en el directorio de trabajo o en la ruta hasta encontrar un archivo conel nombre de la funcion y extension “.m”. El contenido de tal archivo es ladefinicion de la funcion:

function f=cuadrado(x)f = x*x;return

Matlab ofrece las capacidades usuales de los lenguajes de programacionestructurados como son ciclos y operaciones logicas. Un ciclo que se ejecutaun numero fijo de veces es (a menos que se encuentre el comando BREAK):

FOR variable = expresion : expresioncomandos (BREAK)

END

Un ciclo que se ejecuta tantas veces como se cumpla la condicion deprueba:


WHILE expresioncomandos (BREAK)

END

La estructura logica estandar es:

IF expresioncomandos

ELSEIF expresioncomandos

ELSEcomandos

END

Los operadores logicos AND, OR, NOT, EQUALS, se representan medi-ante los sımbolos &, |, ˜ , ==. Una accion que depende del valor de unavariable se implementa con:

SWITCH expresion_1CASE expresion_2comandos

CASE expresion_3, expresion_4, .. comandos

OTHERWISE,comandos

END

Una de las ventajas de Matlab es que las variables no tienen tipo fijo. Esdecir, un nombre de variable puede emplearse para almacenar un escalar (en-tero o real), un vector, una matriz, etc. El tipo se determina dinamicamenteal declarar la variable, y se puede cambiar subsecuentemente. Tambien esposible definir estructuras de datos; por ejemplo, para definir una variableque almacene los pormenores de una chica, se podrıa escribir:

>> Patricia.Edad = 22;>> Patricia.Telefono = 123456;>> Patricia.Medidas = [90 60 90]Patricia =

Edad: 22Telefono: 123456Medidas: [90 60 90]

3.6. GRAFICACION 57

3.6 Graficacion

Una de las capacidades mas convenientes de Matlab es la facilidad con que sepueden construir graficos de variables y funciones. Por ejemplo, la secuenciasiguiente produce el grafico de la Fig.3.1

>> x = 0 : 0.1 : 5;>> y = sin(x) .* exp(-x);>> plot(x,y)>> grid on>> xlabel(´x´)>> ylabel(’y’)>> title(’Grafico’)>> print -deps funcion.eps

El primero de estos comandos produce un vector de puntos igualmenteespaciados en x, los cuales se usan para evaluar la funcion y en el segundocomando. Observe que se debe utilizar el sımbolo .* para indicar la multi-plicacion uno a uno de los elementos del vector; de otra manera, el sımbolo* por sı solo indicarıa multiplicacion matricial. El comando para graficar essimplemente “plot”. Los comandos restantes agregan la rejilla, etiquetas delos ejes y tıtulo. El ultimo de los comandos produce un archivo de disco enformato EPS (Encapsulated PostScript), el cual es util cuando se requiere in-sertar graficos en algun documento (existen otros formatos de salida posibles:consultar la ayuda de “print”).

3.6.1 Figuras geometricas

En nuestro caso, es conveniente desplegar en pantalla entidades geometricasvarias, como lıneas y polıgonos. Algunos comandos para tal efecto se listanenseguida.

• axis off - Suprime los ejes de coordenadas de la salida grafica.

• axis auto - Seleciona automaticamente los lımites de graficacion.

• axis equal - Fija iguales escalas para loos ejes de coordenadas. Estoevita que las figuras aparezcan deformadas.

Para trazar lıneas o polıgonos en un color especıfico, se usa el comando

>> line( x, y,’Color’,[0,0,0])


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

y

Grafico

Figura 3.1: Grafico de la funcion y(x) = sen(x)e−x

En el comando anterior, x y y son los vectores de coordenadas y el colorse especifica mediante ındices RGB (rojo, verde, azul) de 0 a 1. Si el numerode coordenadas es 2, se traza una lınea. Si es 3 o mas, se traza una lıneaentre cada par de puntos consecutivos.

Para desplegar polıgonos se usa el comando

>> patch( x, y, Color)

Los argumentos son las coordenadas de los vertices y el color de relleno, elcual puede se plano o interpolado. El siguiente comando se usa para colocartexto en una posicion dada del grafico. El significado de los argumentos esevidente:

>> text(x,y,’text’,’Color’,TextColor,’FontSize’,7)

3.7 Otros comandos utiles

Los siguientes comandos son utiles en ciertas situaciones. Se muestra elnombre del comando y una breve descripcion de su funcion. Para mayoresdetalles sobre su uso, se debe consultar la ayuda en lınea.

3.7. OTROS COMANDOS UTILES 59

• disp - Despliega un mensaje en la ventana de comandos.

• error - Despliega un mensaje de error en la ventana de comandos ydetiene la ejecucion de la funcion.

• fclose - Cerrar archivo en disco.

• find - Retorna el numero de elementos en una matriz que cumplen unacondicion.

• fopen - Abrir archivo en disco.

• fprintf - Escribir a archivo en disco.

• length - Retorna el numero de elementos en un vector o matriz.

• max - Retorna el valor maximo de un vector o matriz.

• min - Retorna el valor mınimo de un vector o matriz.

• size - Retorna el numero de filas y columnas de una matriz.

• sort - Ordenar entradas de vector o matriz.

• sortrows - Ordenar una matriz por renglones.

• spy - Muestra graficamente las entradas no nulas de una matriz.


Capıtulo 4

Introduccion al ATP

Antes de la existencia de computadoras digitales, los simuladores TNA (Tran-sient Network Analyzers) eran el medio mas comun para realizar estudiosde transitorios en redes. Un TNA consiste en elementos fısicos (reactores,transformadores, maquinas de tamano reducido), conectados a un sistema demedicion y control y complementados con una computadora analogica. Esdecir, un analisis de la operacion de un sistema de potencia se hacıa en unmodelo a escala del mismo.

Con el surgimiento de las computadoras digitales, se dio la posibilidadde utilizar calculos que realizan la tarea anteriormente hecha por un TNA.EMTP (Electromagnetic Transients Program) es el nombre de uno de losprimeros programas de simulacion de transitorios en redes electricas [3]. Fueoriginalmente desarrollado a finales de la decada de 1960 por el Dr. HermannDommel, quien llevo el programa a la BPA (Boneville Power Administration,Oregon, USA). Posteriormente el EPRI (Electric Power Research Institute)continuo el desarrollo de manera privada. El cambio de licencia ocurrioen 1984, ano en el que surgio la version ATP (Alternative Transients Pro-gram); desde entonces ambos programas siguen rutas de desarrollo distintas.Dado que la BPA es una companıa estatal, el programa ATP esta disponiblepublicamente a usuarios de todo el mundo, siempre y cuando se cumpla unaserie de requisitos.

En este capıtulo se describen los fundamentos del ATP, pero dado eltamano y complejidad del programa no es posible cubrir toda la informacionexistente. El lector interesado puede encontrar material adicional en lasfuentes siguientes:

61

62 CAPITULO 4. INTRODUCCION AL ATP

Comite Argentino de Usuarios del EMTP/ATP:

http://www.iitree-unlp.org.ar/caue/claue

European EMTP Users Group:

http://www.eeug.org

4.1 Capacidades

EL ATP es un programa digital para la simulacion de transitorios electro-magneticos (un nombre acunado por el Dr. Dommel que se refiere a transito-rios en redes electricas). Tambien puede utilizarse para simular transitorioselectromecanicos y de sistemas de control. El hilo comun es la simulacion defenomenos transitorios en sistemas electricos de potencia.

Tıpicamente, un estudio de transitorios en redes electricas puede em-plearse para realizar estudios de diseno del sistema, por ejemplo coordinacionde aislamiento, dimensionamiento de los equipos, especificacion de los equiposde proteccion, y diseno de los sistemas de control. Otra aplicacion comun esen el analisis de problemas de operacion, como diagnostico de fallas.

El ATP tiene soporte para modelar los fenomenos siguientes:

• Transitorios en redes con elementos concentrados, lıneas aereas, cables.

• Transitorios de conmutacion: cierre y apertura de interruptores, ener-gizacion de reactores y capacitores, recierres, voltajes de recobro, etc.

• Estudios determinısticos y probabilıticos de transitorios de conmutacion.

• Descargas atmosfericas: arqueos, voltajes inducidos, propagacion deimpulsos, apartarrayos.

• Armonicos en sistemas electricos.

• Ferrorresonancia.

• Flujo de potencia polifasico en estado estable.

• Transitorios en componentes de electronica de potencia.

• Transmision en alta tension en corriente directa.

• Arranque de motores.

4.1. CAPACIDADES 63

• Resonancia subsıncrona, rechazo de carga.

La lista seguramente es incompleta. De hecho, dado que se trata de unsimulador de redes, cualquier fenomeno que acepte descripcion en terminos deredes discretas puede simularse en ATP, por ejemplo transferencia de calor,flujo en ductos, etc. El usuario tiene una variedad de elementos con los cualesconstruir su modelo. Algunos de estos elementos son:

• Elementos concentrados: Resistencia, capacitancia, inductancia. Estosdos ultimos pueden tener condiciones iniciales fijadas por el usuario,o calculadas mediante una corrida de flujos polifasicos. Pueden serelementos monofasicos o matriciales.

• Inductores y resisores no lineales: estos se usan para representar nucleossaturables y apartarrayos.

• Varios tipos de modelos de lıneas de transmision y cables: secciones pi,modelos distribuıdos, con dependencia de la frecuencia, etc.

• Interruptores: bajo esta denominacion se agrupan interruptores de po-tencia, diodos, SCRs, etc.

• Fuentes: de voltaje y corriente de diversas formas de onda, incluyendopor supuesto fuentes senoidales a frecuencia constante y fuentes tipoimpulso.

• Maquina universal: puede representar maquinas de induccion, sıncronasy de corriente directa.

• Sistemas de control: se emula una computadora analogica que calculala respuesta del sistema de control. Existen dos herramientas que im-plementan esta funcionalidad.

El esquema de integracion usado en el ATP es la regla trapezoidal. Las vari-ables de salida son corrientes de rama, voltajes de nodo, energıas, potenciasy variables de control.


4.2 ATP

4.2.1 Como obtener el programa

Para poder acceder al programa ATP, se requiere que el usuario se registrellenando y firmando una forma. Una vez aprobado, recibe el nombre deusuario y contrasena para acceder al deposito de los programas en los sitios deinternet de los grupos de usuarios europeo y japones. En esos sitios segurosse encuentran tanto el programa principal como programas de soporte ydocumentacion. En Mexico, se puede pedir una licencia de uso a traves de:

Francisco Javier Pe~naloza Sanchez

Tel.: 01 (443) 322 5262, 5263

Fax : 01 (443) 322 7276

E-mail: [email protected]

CFE Div. Centro Occidente

Delegacion del LAPEM

Av. Ventura Puente No. 1653

Morelia, Mich, MEX CP 58290

4.2.2 Instalacion

La instalacion del programa ATP puede resultar complicada o directa, depen-diendo del sistema usado. Durante mucho tiempo la unica version disponibleen sistemas DOS y Windows estaba basada en un extensor de memoria: elsistema operativo DOS tiene un lımite de memoria de 656KB y para podercorrer ATP se requiere mas memoria que esta, por lo que se recurrio a unprograma especial que engana al sistema operativo. Esta version se conocecon el nombre del programa extensor, Salford; es un tanto difıcil de insta-lar y actualmente existen versiones alternativas. No describiremos aquı lainstalacion de versiones Salford.

Para las versiones modernas como MINGW32 y Watcom, la instalacionse limita a reunir los archivos ejecutables y librerıas en un subdirectorio,fijar la ruta del sistema operativo para incluirlo y especificar una variable deentorno.

Por ejemplo, para instalar la version MINGW32 en Windows 95/98/NT/XP,se procede como sigue:

4.2. ATP 65

1. Descomprimir los archivos del paquete ZIP, colocandolos en un subdi-rectorio, por ejemplo

c:\ATP\BIN

2. Agregar las lıneas siguientes al archivo AUTOEXEC.BAT en el direc-torio raız del disco de arranque:

PATH=%PATH%;C:\ATP\BIN

SET GNUDIR=C:\ATP\BIN\

Observe la diagonal inversa en la ultima lınea.

3. Reiniciar la computadora.

4.2.3 Uso

El programa ATP no es interactivo, sino que ejecuta la simulacion utilizandolos datos contenidos en un archivo de texto con formato especial. Este archivocontiene informacion como el tamano del paso de integracion, el intervalo desimulacion, la descripcion de los componentes, y la peticion de las variablesa reportar. El archivo de datos tiene una extension ATP, DAT, o alguna otradeterminada por el usuario. El resultado es un archivo de variables de salidacon extension PL4, que puede utilizarse como entrada para un programa degraficacion. Tambien se generan archivos de diagnostico con extension LIS(u otra especificada por el usuario) y DBG. El archivo LIS le da al usuarioun reporte de la ejecucion del programa, y es util para determinar errores enel modelo si es que los hay. El archivo DBG contiene informacion util paralos programadores, y generalmente el usuario no esta interesado en los datosque contiene.

Un ejemplo es conveniente aquı. Considere el circuito mostrado en laFigura 4.1. Para poder simular este circuito en ATP, es necesario escribir unarchivo de datos utilizando algun procesador de texto. Este archivo toma lasiguiente forma:

BEGIN NEW DATA CASE

C

C dT >< Tmax >< Xopt >< Copt >

.001 .1

500 1 1 1 1 0 0 1 0

C 1 2 3 4 5 6 7 8


C 345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

/BRANCH

C < n 1>< n 2><ref1><ref2>< R >< L >< C >

C < n 1>< n 2><ref1><ref2>< R >< A >< B ><Leng><><>0

SRC NOD1 1. 0

NOD1 NOD2 3. 0

NOD1 1. 3

NOD2 3. 3

/SWITCH

C < n 1>< n 2>< Tclose ><Top/Tde >< Ie ><Vf/CLOP >< type >

/SOURCE

C < n 1><>< Ampl. >< Freq. ><Phase/T0>< A1 >< T1 >< TSTART >< TSTOP >

11SRC 0 100. 1.

/INITIAL

/OUTPUT

BLANK BRANCH

BLANK SWITCH

BLANK SOURCE

BLANK INITIAL

BLANK OUTPUT

BLANK PLOT

BEGIN NEW DATA CASE

BLANK

Observe como el formato de este archivo de datos es rıgido: las tarjetas opalabras clave deben ir en un orden especıfico,y los datos en un renglon debenir en ciertas columnas. El formato requerido esta documentado en el Rule-Book, el manual de usuario del programa [4]. La especificacion del sistema asimular debe contemplar las ramas, transformadores, lıneas, interruptores yfuentes que conforman el modelo.

El usuario debe especificar, aparte del modelo del sistema a simular, unaserie de variables que controlan la ejecucion del programa, por ejemplo eltamano del paso de integracion y el tiempo total a simular. Enseguida secomentan algunas de esta variables, ası como criterios para su seleccion; unadescripcion detallada de estas variables se puede encontrar en [4].

• DELTAT - Esta variable controla el tamano del paso de tiempo (em-pleado en la integracion numerica). Obviamente debe ser siempremayor que cero, y su valor no debe ser muy grande. En general, el valorde DELTAT deberıa ser tal que resulte en diez puntos de muestreo enla maxima frecuencia de interes.

• TMAX - Especifica el periodo de tiempo a simular. La simulacionarranca siempre en t = 0, de modo que si TMAX es negativo o cero,el programa ejecuta una solucion en estado estacionario pero no lasimulacion del transitorio.

4.2. ATP 67

+−Vs

R1 R2

L1 L2

Figura 4.1: Circuito RL-RL de ejemplo.

• XOPT - Es la frecuancia del sistema a la cual se especifican las reactan-cias inductivas en el modelo. Si este valor es cero o esta en blanco, lasinductancias se asumen dadas en mH. Si es un numero positivo, las in-ductancias se asumen dadas como reactancias calculadas a la frecuenciaXOPT.

• COPT - Es la frecuancia del sistema a la cual se especifican las reactan-cias capacitivas en el modelo. Si este valor es cero o esta en blanco, lasinductancias se asumen dadas en µH. Si es un numero positivo, las in-ductancias se asumen dadas como reactancias calculadas a la frecuenciaXOPT.

El programa se corre en una ventana de comandos. Por ejemplo, ensistemas DOS y Windows, si el ejecutable tiene el nombre TPBIG.EXE y estaen la ruta del sistema operativo, entonces se puede llamar desde cualquiersubdirectorio:

c:\emelgoza\atp\dat\tpbig

ATP started at 08:33:51 on Wednesday, 01 January 2003

EMTP begins. Send one of the following alternatives.

SPY, file_name, DISK, HELP, GO, KEY, STOP, BOTH, DIR:

HELP proporciona una breve descripcion de cada comando. El caso mascomun es el de pasar directamente el nombre del archivo de datos; se debeproporcionar el nombre completo, incluyendo su extension. Se puede incluirla ruta completa en caso de que el archivo resida en un subdirectorio distintoal actual, pero este caso no es comun: usualmente se inicia el programa enel directorio que contiene los archivos de datos del usuario. Por omision, elreporte de ejecucion se muestra en pantalla solamente mientras que el archivo


de variables de salida PL4 se escribe a disco. Para especificar que se deseaun archivo de reporte de ejecucion, se especifica el comando DISK (reportesolo a disco) o bien BOTH (reporte a pantalla y a disco).

Si todo va bien, el programa se ejecutara sin problemas y generara elarchivo de diagnostico:Alternative Transients Program (ATP), GNU Linux or DOS. All rights reserved by Can/Am user group of Portland, Oregon, USA.

Date (dd-mth-yy) and time of day (hh.mm.ss) = 14-Feb-03 00:20:18 Name of disk plot file is \emelgoza\atp\dat\circuito-rlrl.pl4

Consult the 860-page ATP Rule Book of the Can/Am EMTP User Group in Portland, Oregon, USA. Source code date is 06 September 2002.

Total size of LABCOM tables = 500638 INTEGER words. VARDIM List Sizes follow : 1502 1800 3K 300 15K 240

4200 10500 450 960 300 300 30K 120 21600 240 24 30 9600 5160 600 2100 24K 18 2400 504 150 42K 6 12

--------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------

Descriptive interpretation of input data cards. | Input data card images are shown below, all 80 columns, character by character

0 1 2 3 4 5 6 7 8

012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

--------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------

Comment card. KOMPAR > 0. |C data:C:\EMELGOZA\ATP\DAT\CIRCUITO-RLRL.ATP

Marker card preceding new EMTP data case. |BEGIN NEW DATA CASE

Comment card. KOMPAR > 0. |C --------------------------------------------------------

Comment card. KOMPAR > 0. |C Generated by ATPDRAW Febrero, Viernes 14, 2003

Comment card. KOMPAR > 0. |C A Bonneville Power Administration program

Comment card. KOMPAR > 0. |C Programmed by H. K. Høidalen at SEfAS - NORWAY 1994-2002

Comment card. KOMPAR > 0. |C --------------------------------------------------------

Comment card. KOMPAR > 0. |C dT >< Tmax >< Xopt >< Copt >

Misc. data. 1.000E-03 1.000E-01 0.000E+00 | .001 .1

Misc. data. 500 1 1 1 1 0 0 1 0 0 | 500 1 1 1 1 0 0 1 0

Comment card. KOMPAR > 0. |C 1 2 3 4 5 6 7 8

Comment card. KOMPAR > 0. |C 345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

Comment card. KOMPAR > 0. |C < n 1>< n 2><ref1><ref2>< R >< L >< C >

Comment card. KOMPAR > 0. |C < n 1>< n 2><ref1><ref2>< R >< A >< B ><Leng><><>0

Series R-L-C. 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 | SRC NOD1 1. 0

Series R-L-C. 3.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 | NOD1 NOD2 3. 0

Series R-L-C. 0.000E+00 1.000E-03 0.000E+00 | NOD1 1. 3

Series R-L-C. 0.000E+00 3.000E-03 0.000E+00 | NOD2 3. 3

Blank card ending branches. IBR, NTOT = 4 4 |BLANK BRANCH

Comment card. KOMPAR > 0. |C < n 1>< n 2>< Tclose ><Top/Tde >< Ie ><Vf/CLOP >< type >

Blank card ending switches. KSWTCH = 0. |BLANK SWITCH

Comment card. KOMPAR > 0. |C < n 1><>< Ampl. >< Freq. ><Phase/T0>< A1 >< T1 >< TSTART >< TSTOP >

Source. 1.00E+02 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 |11SRC 0 100. 1.

Blank card ends electric sources. KCONST = 1 |BLANK SOURCE

List of input elements that are connected to each node. Only the physical connections of multi-phase lines are shown (capacitive

and inductive coupling are ignored). Repeated entries indicate parallel connections. Switches are included, although sources

(including rotating machinery) are omitted -- except that U.M. usage produces extra, internally-defined nodes "UMXXXX".

--------------+------------------------------

From bus name | Names of all adjacent busses.

--------------+------------------------------

SRC |NOD1 *

NOD1 |TERRA *SRC *NOD2 *

NOD2 |TERRA *NOD1 *

TERRA |NOD1 *NOD2 *

--------------+------------------------------

Blank card ending requests for output variables. |BLANK OUTPUT

Column headings for the 4 EMTP output variables follow. These are divided among the 5 possible classes as follows ....

First 2 output variables are electric-network voltage differences (upper voltage minus lower voltage);

Next 2 output variables are branch currents (flowing from the upper node to the lower node);

Step Time NOD1 NOD2 NOD1 NOD2

TERRA TERRA TERRA TERRA

0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

% % % % % % Final time step, PLTFIL dumps plot data to ".PL4" disk file.

Done dumping plot points to C-like disk file.

100 0.1 .14211E-13 -.158E-14 100. .4737E-14

Extrema of output variables follow. Order and column positioning are the same as for the preceding time-step loop output.

Variable maxima : 62.0689655 41.3793103 100. 11.17717

Times of maxima : .1E-2 .1E-2 .062 .002

Variable minima : 0.0 -15.6956 0.0 0.0

Times of minima : 0.0 .002 0.0 0.0

Blank card terminating all plot cards. |BLANK PLOT

Actual List Sizes for the preceding solution follow. 14-Feb-03 00:20:19

Size 1-10: 4 4 4 1 10 0 7 0 0 0

Size 11-20: 0 4 -9999 -9999 -9999 0 0 0 23 0

4.2. ATP 69

Size 21-30: 0 0 2 0 -9999 0 -9999 -9999 -9999 0

Seconds for overlays 1-5 : 0.020 0.000 0.020 -- (CP: Wait; Real)

Seconds for overlays 6-11 : 0.000 0.000 0.000

Seconds for overlays 12-15 : 0.000 0.000 0.000

Seconds for time-step loop : 0.000 0.000 0.000

Seconds after DELTAT-loop : 0.000 0.000 0.000

---------------------------

Totals : 0.020 0.000 0.020

Como ya se ha dicho, la mayor utilidad de este archivo de diagnostico esque proporciona mensajes que pueden emplearse para determinar la fuentede error si es que lo hay. La topologıa de la red puede verificarse aquı.Tambien permite realizar una evaluacion inicial de los resultados (por ejem-plo, los valores maximos observados), para determinar si los resultados soncoherentes.

La forma de la salida de diagnostico puede adaptarse mediante las vari-ables listadas enseguida. Estas variables se fijan en el archivo de datos; paramayor detalle se debe consultar [4].

• IOUT - La frecuencia con la que se imprimen los valores tomados porlas variables seleccionadas para salida. Si IOUT=10, se imprime elresultado cada 10 pasos de integracion.

• IPLOT - Semejante a IPRINT, pero referido a los datos empleadospara graficar el resultado. Un valor de 1 es recomendable.

• IDOUBL - Un valor de 1 en esta variable ocasiona un reporte de latopologıa del modelo.

• KSSOUT - Un valor de 1 hace que la salida incluya un reporte de lasolucion de estado estacionario (ejecutada previamente a la simulaciondel transitorio con fines de inicializacion).

• MAXOUT - Un valor de 1 hace que se imprima un reporte de los valoresmaximos y mınimos y el tiempo en el cual ocurren.

• ICAT - Un valor de 1 hace que los datos de la simulacion se almacenenen un archivo (con extension PL4) que puede posteriormente graficarseo procesarse con un programa especial.

• NENERG - Un valor mayor que 0 especifica una simulacion proba-bilıstica.

El otro archivo de diagnostico (DBG) luce ası:


RFUNL1 connects diagnostic file. IPRSUP = -1 in STARTUP suppresses such output (see Jan, 96, newsletter).

RFUNL1 connects DEBUG.LIS file. IPRSUP = -1 in STARTUP suppresses such output (see Jan, 96, newsletter).

GNU RFUNL1 defines SLOT1 =

both C:\emelgoza\atp\dat\circuito-RLRL.atp s -r KPARAM = 1

RSTART, old and new LIMCRD = 0 30000

RFUNL1 sets final LINUSE = -1

Exit LOWCAS with TEXT(1:K2) =.lis

Exit LOWCAS with TEXT(1:K2) =.pch

Exit LOWCAS with TEXT(1:K2) =.pl4

Begin LFLUSH by setting L6HAND = -99.

over1 defines DENABL = ENABLE

Top of CIMAG4. KPARAM = 1

Top of CIMAG4. SLOT1 =

both C:\emelgoza\atp\dat\circuito-RLRL.atp s -r

CIMAG4 checks for FILE. J = 0

CIMAG4 loads param. KPARAM, J = 1 4

CIMAG4 loads param CIM132 =

both

CIMKEY uses LINUSE, N = -1 0

CIMKEY right-most nonblank N32 = 4

Bottom of CIMKEY. N36, N32, CIM132(1:N32) = 0 4both

over1 finds column KWCOMM, KILL = 57 0






C:\emelgoza\atp\dat\circuito-RLRL.atp



Bottom of CIMKEY. N36, N32, CIM132(1:N32) = 0 37

C:\emelgoza\atp\dat\circuito-RLRL.atp

over1 finds column KWCOMM, KILL = 0 0

Input data file JUNIT6(1:N8) =C:\EMELGOZA\ATP\DAT\CIRCUITO-RLRL.ATP

Input arg? k, L, INCDAT, KCARD1 = 132 0 0 1

allocated array2 in writ10,limitcards,nextblock= 30000 20000

allocated array3 in writ10,limitcards,nextblock= 60000 30000

Begin new DIMENS. NCHARG, LISBEG = -55222 -22666

Initialize. LUNDAT, LUNIT6, NUMDCD, LISBEG = 3 6 0 -22666

DIMENS builds BUFF77 =

C:\ATP\BIN\listsize.dat

length LENPTH = 11

DIMEN1 builds BUFF77 =

C:\ATP\BIN\listsize.dat

length LENPTH = 11

Exit new DIMENS. LISBEG = 0

Begin new DIMENS. NCHARG, LISBEG = 20 0

Done 20. LSIZE(1:8) = 0 240000 29 3 23 24000 1 1502


OVER1 checks LSTAT(14) = 0

Enter loop with top at SN 2338 J, KCARD2, kill = 1 32 0

Out of loop ending below SN 2382. KSLASH, kill = 1 0

Over1 after EMTSPY. kill = 0

Over1 checks NUMDCD, KASEND, KCARD2, LLBUFF = 0 5 26 -3333

^^^^ Top "SUBR1". NUMDCD, KASEND, KCARD2 = 0 5 26

Top SUBR1 saves XMAXMX, TENERG = 2. 1.E+020

subr1 sets LUNIT4, MOPLOT = -4 1


Begin TAPSAV/TAPSIZ.

Done ENTRY TAPSIZ. N3 = 2002552

Bytes of LABCOM from TAPSIZ. N6 = 2002552


LU2OPN ready to open with FNAME =dum12345.bin

LU2OPN ready to open with FSTAT =SCRATCH

Exit LOWCAS with TEXT(1:K2) =c:\emelgoza\atp\dat\circuito-rlrl.pl4

SYSDEP ready to read LUNIT6 file name. KPARAM = 44






-r



Revise this to before -r, N32 = 4

Bottom of CIMKEY. N36, N32, CIM132(1:N32) = 0 4 -r

Keyboard defines CIM132 =

4.2. ATP 71

-R

Parallel name begins with FILNAM =

c:\emelgoza\atp\dat\circuito-rlrl.lis

Salford SYSDEP. MAXKNT, MNT, ICAT, TMAX = 0 0 0 0.000000E+00

L4BYTE, ansi32L = 1

c:\emelgoza\atp\dat\circuito-rlrl.pl4

SYSDEP considers NUMRUN, KTRPL4 = 0 -6666

SYSDEP ready to delete old C-like .PL4 file. ANSI32L =

c:\emelgoza\atp\dat\circuito-rlrl.pl4

SYSDEP disconnects PL4? L4HAND, IERROR = 0 0

After C-like .PL4 delete.

Salford sysdep. L4HAND, IERROR = 10 0

Next, exit SYSDEP with KTRPL4 = -6666

SUBR1 near bottom, 1. NOTPPL = 1

Begin ENTRY OV1FLT of SUBR1.


Done 20. LSIZE(1:8) = 0 240000 29 3 23 24000 1 1502


SUBR15 sets new MIMSTP, JNDSTP = 9999999 7

Salford HEADL4 begins writing C-like header.

NUMBUS, NCHAIN = 0 15

After rewind. L4HAND, IERROR = 10 0

After 19-byte date/time. IERROR = 0

After 7 integers of C-like header. IERROR = 0

Done with C-like PL4 header. IPRSOV(23) = 158

TGRUNT. Wall-clock times for the time-step loop are: 00:20:19 00:20:19

MAIN20 checks KTRPL4, KEXACT = -6666 0

Salford HEADL4/PLTEND. L4BYTE, ICAT = 2178 1

L4HAND positioned on byte 43. N8 = 43

Salford HEADL4/PLTEND done. L4BYTE = 2178

TGRUNT. Wall-clock times for the time-step loop are: 00:20:19 00:20:19

Dummy ENTRY ENDPLT in SUBROUTINE EXTRA.

Top of LU4CLS. ICAT, LUNIT4, L4BYTE, L4HAND = 1 -4 2178 10

LU4CLS disconnects PL4. L4HAND, IERROR = 10 0

LU4CLS checks KPARAM, NCHAIN, KILL = -1 29 0

Begin new DIMENS. NCHARG, LISBEG = -66444 0

Top reinitializes. Set LISBEG = -22666.

Exit new DIMENS. LISBEG = -22666

End. M4PLOT, NOTMAX, KFILE5, LOCKBR = 2 0 0 0

OVER1 after EMTSPY. LSTAT(14) = 0

Enter loop with top at SN 2338 J, KCARD2, kill = 1 2 0

Out of loop ending below SN 2382. KSLASH, kill = 0 0

Over1 after EMTSPY. kill = 0

Over1 checks NUMDCD, KASEND, KCARD2, LLBUFF = 0 5 2 1025

Este reporte contiene informacion sobre dimensionamiento de las vari-ables, procesos ejecutados, directorios y archivos de entrada y salida, etc.Puede ser util si se tiene conocimiento avanzado de la operacion del simu-lador, o bien como referencia al reportar problemas a los desarrolladores.

Si no se encontraron errores en el archivo de datos, el programa generacomo resultado de la simulacion un archivo de graficacion con extension PL4.Se trata de un archivo binario, el cual puede servir de entrada a una variedadde graficadores que lo reconocen, o bien a una fuente de voltaje/corriente quereproduce la senal transitoria en tiempo real.

El proceso descrito es el uso tradicional del programa ATP. Es lo que sellama un proceso por lotes, donde tıpicamente se simula una secuencia decasos previamente elaborados, y se examinan los resultados posteriormente.Este tipo de proceso es reminiscente de la epoca de las computadoras mul-tiusuario, las tarjetas perforadas y las terminales tipo texto. Y aunque taluso sigue siendo perfectamente operativo, las posibilidades graficas de las


computadoras actuales y la generalizacion del paradigma de ventanas/ratonposibilitan un enfoque mas interactivo.

4.3 Graficadores

Existe un variedad de programas de graficacion aplicables. La razon es queel analisis de los resultados no se hace sobre el listado de las variables, sinoen una grafica que proporciona informacion de maneras que un humano com-prende mejor. Algunos de los graficadores disponibles son:

• GTPPLOT. Es el graficador nativo para ATP. Tiene un gran numerode opciones y puede mostrar varias graficas provenientes de archivosdistintos, pero puede resultar complicado para usuarios ocasionales.Por otra parte, ofrece herramientas de analisis no disponibles en otrosgraficadores, como analisis armonico.

• PCPLOT. Es un programa en modo texto (pantalla completa) bajoDOS. Permite guardar graficos en archivo en formato HPGL. Presentaalgunos problemas cuando se ejecuta bajo el sistema operativo Win-dows XP.

• PLOTXY. Es un graficador para Windows, con interfaz clara y capaci-dad para multiples archivos. El grafico puede copiarse al portapapelesy pegarse en documentos. Muy conveniente para uso interactivo.

• PL42MAT. Este no es un graficador en sı, sino un programa que con-vierte los archivos PL4 a archivos MAT, que pueden ser importados enMatlab y examinados allı con las herramientas disponibles. Los graficosde estas notas se realizaron con esta herramienta.

Para el caso de ejemplo de la seccion anterior, las graficas de las variables desalida se muestran en las Figuras 4.2 y 4.3.

La instalacion de los graficadores mencionados se reduce a copiar elarchivo ejecutable en un directorio adecuado. Su uso es relativamente simple,quizas con la excepcion de GTPPLOT.

4.3. GRAFICADORES 73

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−20

0

20

40

60

80

100

Tiempo (s)

Vol

taje

s (V

)V1V2

Figura 4.2: Voltajes nodales para circuito RL-RL

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Co

rrie

nte

s (A

)

I1I2

Figura 4.3: Corrientes en los inductores para circuito RL-RL.


4.4 ATPDRAW

El programa de captura esquematica ATPDRAW le proporciona al simuladorATP una interfaz grafica interactiva, adecuada a las expectativas de muchosde los usuarios. ATPDRAW permite capturar el esquema del circuito o mo-delo de la red, genera el archivo de datos correspondiente, y opcionalmentellama al simulador ATP y al graficador. De esta manera, se puede realizarun analisis completo sin salir de la interfaz grafica y tambien sin tener queescribir el archivo de datos. Para un usuario ocasional del ATP, esto repre-senta una gran ventaja, porque se hace innesario conocer a detalle las reglasde formato de datos.

4.4.1 Instalacion

Dado que se trata de una aplicacion nativa de Windows, ATPDRAW vienecon un instalador que se encarga del proceso. Por otra parte, configurar elprograma para que pueda llamar a ATP y un graficador es un poco mascomplicado. El proceso es el siguiente, asumiendo que se instala ATPDRAWen el directorio

C:\ATP\ATPDRAW

y que se tiene la version MINGW32 de ATP:

1. Descomprimir los archivos de la distribucion de ATPDRAW.

2. Instalar ATPDRAW corriendo SETUP.EXE.

3. Especificar cual version de ATP ejecutar:

TOOLS --> OPTIONS --> PREFERENCES --> ATP

Asignar C:\ATP\ATPDRAW\RUNATP_G.BAT

ATP --> EDIT COMMANDS --> Run ATP (file)

Asignar C:\ATP\ATPDRAW\RUNATP_G.BAT

4. Especificar cual graficador ejecutar:

ATP --> EDIT COMMANDS --> Run PLOTXY

Asignar C:\ATP\VARIOS\PLOTXY.EXE

4.4. ATPDRAW 75

Los detalles pueden variar ligeramente, dependiendo de la version uti-lizada, pero el proceso debe ser muy similar. Una vez terminada la config-uracion, ATPDRAW se puede utilizar como centro de control para las tresetapas que componen un estudio interactivo: generacion del archivo, simu-lacion y graficacion de los resultados.

4.4.2 Uso

Captura esquematica

Dado que es un programa basado en ventanas, ATPDRAW sigue las con-venciones usuales y por lo tanto es facil de usar. Sin embargo, ATP es unpaquete complejo y por lo tanto la interaccion con ATPDRAW puede resultarconfusa para aquellos usuarios no familiarizados con ambos programas. Serecomienda que el lector consulte el manual del usuario del ATPDRAW, elcual viene con la distribucion del programa. Aquı solo apuntaremos algunosconceptos basicos del manejo del ATPDRAW.

El programa tiene los componentes usuales: barra de menus, barra deherramientas, barra de componentes, botones de vantanas. Se pueden tenervarios esquemas, cada uno en su ventana separada. Para editar el esquema,se sigue el siguiente procedimiento:

• Los componentes del modelo se insertan de un menu que aparece al pul-sar el boton derecho del raton. Los componentes estan agrupados porcategorıas (fuentes, elementos concentrados, interruptores, medidores).

• Una vez seleccionado un componente del menu, este aparece en la ven-tana de esquema, con una caja que indica que esta seleccionado. Sepuede arrastrar la caja para colocar el componente en la posicion de-seada; para girar el componente se pulsa el boton derecho del raton.

• Lıneas de conexion entre nodos se trazan pulsando el raton encima delnodo de origen y de nuevo en el nodo destino.

• Los valores de los componentes se especifican en un menu que aparecedando doble pulso encima del sımbolo del componente. Existe un botonde ayuda que proporciona una explicacion acerca de los valores a fijar.

• Para los componentes de rama, se puede solicitar el reporte de voltaje,corriente, ambos, potencia, energıa o ambas, o bien utilizar medidoresdedicados.


Figura 4.4: Esquema del circuito RL-RL en ATPDRAW.

• Los nombres de los nodos se pueden especificar dando doble pulsoencima del nodo. En el menu que aparece tambien se puede aterrizarel nodo.

• Un componente no visitado toma valores por omision, y aparece encolor rojo.

• Un nodo no visitado toma nombre por omision y aparece en color rojo.

En la Figura 4.4 se muestra el esquema del circuito RL-RL tal y comoaparece en ATPDRAW.

Simulacion y analisis

Una vez completado el esquema de la red, estamos listos para simularla. Paraello, se siguen una secuencia parecida a la siguiente:

• Seleccionar el paso de integracion y el tiempo de paro, en el menu ATP- Settings.

• Generar el archivo de datos en el menu ATP - Make File As.

• Opcionalmente, verificar y editar el archivo de datos en el menu ATP- Edit ATP-file.

• Llamar al simulador ATP en el menu ATP - run ATP.

4.4. ATPDRAW 77

• Los mensajes aparecen en pantalla pero desaparecen rapidamente. Paraverificar que no haya errores en la simulacion, abrir el archivo de di-agnostico con el menu ATP - Edit LIS-file.

• Si la simulacion termino exitosamente, examinar las variables de salidacon un graficador, con el menu ATP - PlotXY u otro que haya sidoagregado.


Parte III

Transitorios en redes deparametros concentrados

79

Capıtulo 5

Modelado de componentes enbaja frecuencia

Es evidente que antes de poder llevar a cabo la simulacion de un eventotransitorio, debe de especificarse un modelo de los componentes que for-man el sistema bajo estudio. Por ejemplo, ¿debe representarse el punto dealimentacion como una fuente ideal, o con una fuente con impedancia? y¿como se calculan sus parametros en el segundo caso?

En este capıtulo se presentan algunos criterios para la determinacion delos modelos a emplear. El enfasis de estos modelos es la simulacion de tran-sitorios de baja frecuencia, es decir en el rango de unos cuantos kHz, con elobjeto que nos sean utiles para el estudio de transitorios de conmutacion.

Se consideran solamente algunos de los componentes de los sistema electri-cos. Aparatos tales como transformadores y lıneas de transmision se discutenen capıtulos separados.

5.1 Modelo de la fuente

Tıpicamente, un sistema de potencia contiene un gran numero de generado-res, transformadores y lıneas de transmision. No es posible considerar condetalle todos estos componentes, por lo que el sistema de potencia debe derepresentarse mediante algun modelo simplificado. El modelo mas simple esuna fuente ideal de voltaje, pero este modelo no es muy bueno puesto queignora el efecto de regulacion y el hecho de que la corriente de falla estalimitada por la impedancia del sistema.

81

82CAPITULO 5. MODELADO DE COMPONENTES EN BAJA FRECUENCIA

5.1.1 Equivalente de Thevenin

Un modelo un poco mas realista es el de un equivalente de Thevenin, calcu-lado a partir de un estudio de corto circuito de la siguiente forma. A partirde la corriente de falla trifasica I3φ y monofasica I1φ, las impedancias desecuencia del sistema estan dadas por [5]:

Z+ =1

I3φ

,

Z0 =3

I1φ

− 2

I3φ

.

En cantidades de fase, se tendrıa que la impedancia del sistema es una matrizde dimension 3x3 con terminos diagonales Zs y no diagonales Zm dados por

Zs =1

3(Z0 + 2Z+),

Zm =1

3(Z0 − Z+).

En consecuencia, la impedancia equivalente del sistema incluye acoplamientoentre las fases. Tambien se observa que el equivalente es del tipo RL, es decirtoma en cuenta solamente la inductancia en el sistema.

5.1.2 Mejoras al modelo de equivalente de Thevenin

Puesto que, en el modelo del sistema mediante el equivalente de Thevenin,el valor de las corrientes de falla se calcula a la frecuencia del sistema, laimpedancia ası obtenida es valida solamente para esa frecuencia, y por lotanto no recomendable para estudios de transitorios. Sin embargo, el modelopuede mejorarse con las consideraciones enumeradas enseguida.

Capacitancias

En el modelo del sistema mediante el equivalente de Thevenin, se ignoran lascapacitancias presentes por efecto de lıneas de transmision, cables, aislamien-tos y otros elementos. A mayor frecuencia del transitorio, estas capacitanciasse tornan mas importantes; por lo tanto, un modelo mejorado consiste enagregar las capacitancias de mayor magnitud que esten dispuestas en puntoscercanos.

5.1. MODELO DE LA FUENTE 83

Es recomendable incluso modelar explıcitamente las lıneas largas o cablesinmediantamente atras del punto de estudio, y preferentemente mediante unmodelo de parametros distribuıdos en funcion de la frecuencia. Con esto lacapacitancia de tales elementos y su respuesta para transitorios de frecuenciasaltas se toman en cuenta adecuadamente.

Lıneas continuadas

Si una lınea de transmision parte del punto bajo estudio, pero conecta aporciones radiales del sistema que no desean modelarse detalladamente, esaporcion del sistema puede representarse mediante una resistencia a tierra, conun valor igual al de la impedancia caracterıstica de la lınea. De esta manera,una parte de la energıa del transitorio puede tomar este camino como harıaen la realidad.

Mejor aun, puede representarse a la lınea mediante su modelo de para-metros distribuıdos y una terminacion resistiva igual a la impedancia carac-terıstica. Con esto la capacitancia de la lınea se toma en cuenta.

En ambos casos, se esta omitiendo el efecto de las ondas reflejadas enla carga conectada a la lınea, pero por otra parte el modelado se conservasimple y compacto.

Resistencia por efecto piel

Es bien sabido que, debido al efecto piel, la resistencia efectiva de un conduc-tor es una funcion de la frecuencia que transporta: a mayor frecuencia, mayorresistencia. Por eso mismo, un modelo frecuentemente empleado consiste enagregar una resistencia en paralelo a la impedancia de Thevenin, de un valorrelativamente elevado.

Para bajas frecuencias, la impedancia de Thevenin es mucho menor que laresistencia en paralelo, por lo que practicamente solo influye la primera. Porotra parte, para altas frecuencias la impedancia de Thevenin toma valoreselevados, y la resistencia en paralelo tiene mucho mayor influencia.

Medicion de la respuesta a la frecuencia

La respuesta a la frecuencia del sistema puede determinarse mediante medi-ciones con equipos especializados. Luego, esta respuesta se representa medi-ante una red RLC sintetizada para reproducir estas mediciones.


5.2 Modelo de la carga

Una manera de representar las cargas en un bus dado es mediante una ramaRL serie, puesto que por lo general las cargas son inductivas en los sistemaselectricos. Asumiendo que se conoce la potencia aparente SL y el factor depotencia fp de la carga, ası como su voltaje de lınea VL, la impedancia de lacarga esta dada por:

ZL =V 2

L

SL

bacos(fp) (5.1)

para una carga conectada en Y. La resistencia RL y reactancia de carga XL

son entonces las partes real e imaginaria de esta impedancia de carga:

RL = ReZL, (5.2)

XL = ImZL. (5.3)

La inductancia de carga es

LL =XL

2πf, (5.4)

donde f es la frecuencia del sistema.Por ejemplo, considere una carga de 1MVA a 13.8KV, 60Hz, conectada

en Y, con un fp de 0.85 en atraso. Con estos datos, y aplicando las formulasenunciadas en esta seccion, se tiene que resistencia de carga es 161.9Ω, y suinductancia 266.1mH.

5.2.1 Modelo de cargas compensadas

Frecuentemente se tienen cargas inductivas a las cuales se agrega un capacitorpara compensacion del factor de potencia. En ese caso, la carga RL semodela segun el procedimiento discutido arriba, pero se debe agregar unarama capacitiva en paralelo con la carga. La capacitancia del banco se calculamediante las expresiones siguientes.

Considere una carga que demanda una potencia aparente S, y tiene unfactor de potencia fp1. Para corregir el factor de potencia a fp2, debe agre-garse un capacitor con una potencia reactiva dada por:

∆Q = P (tgθ1 − tgθ2), (5.5)

dondeP = fp1 S,

5.3. MODELADO DE BANCOS DE CAPACITORES 85

θ1 = acos(fp1), θ2 = acos(fp2).

Por ejemplo, una carga de 200MVA con factor de potencia de 0.8 enatraso, requiere un banco de capacitores de 67.3MVA para que el factor depotencia se corrija a 0.95.

El valor ası calculado para ∆Q se emplea para determinar el valor de lacapacitancia. Los detalles de este procedimiento se discuten en la siguienteseccion.

5.3 Modelado de bancos de capacitores

Un banco de capacitores se especifica mediante la magnitud de la potenciareactiva que proporciona (VARs), y el voltaje nominal. Ya sea que la po-tencia reactiva se conozca a partir de los datos del sistema, o se calcule paracompensar el factor de potencia (segun se discutio en la seccion precedente),debemos determinar el valor efectivo de capacitancia del banco para fines deingreso de los datos en los programas de simulacion.

Si S3φ es la potencia reactiva total de un banco trifasico de capacitores yVL el voltaje de lınea nominal, entonces para una conexion en Y, la reactanciacapacitiva por fase esta dada por:

Xc =V 2

L

S3φ

,

mientras que si la conexion es ∆, esta dada por:

Xc = 3V 2

L

S3φ

.

Se puede comprobar que estas dos expresiones se reducen a la expresion porfase siguiente:

Z =V 2

φ

S1φ

,

donde S1φ es la potencia reactiva por fase y Vφ es el voltaje de fase.Una vez calculada la reactancia capacitiva, la capacitancia se determina

mediante

C =1

ωXc

.


5.3.1 Resistencia de descarga

Ademas del elemento capacitivo, un modelo realista de un banco de capac-itores debe incluir la resistencia de descarga. Esta resistencia se adiciona alas unidades capacitivas con el fin de permitir la descarga de las placas enun tiempo razonable despues de que el banco haya sido desenergizado. Estadescarga es requerida tanto por razones de seguridad como para evitar enlo posible sobrevoltajes excesivos cuando se re-energiza con carga atrapada,como se vera cuando consideremos la energizacion de bancos de capacitores.

La resistencia de descarga obviamente debe ir colocada en paralelo con elcapacitor. Su valor puede determinarse a partir del tiempo especificado pracompletar la descarga. Para la combinacion RC en paralelo, la constante detiempo esta dada por

τ = RC

y tdescarga = 5τ es el tiempo requerido para eliminar la carga atrapada. En-tonces, el valor requerido de resistencia esta dado por

R =tdescarga

5C.

Los tiempos de descarga especificados son del orden de minutos generalmente.

5.4 Apartarrayos

Un apartarrayos es un resistor no lineal dependiente del voltaje: para valoresde voltaje normales, este elemento presenta una resistencia muy elevada ypor lo tanto actua practicamente como un circuito abierto. Para valores devoltaje elevados, la resistencia disminuye apreciablemente y por lo tanto elelemento actua como un dren que conduce corriente a tierra (o entre sus dosextremos) con una caıda de tension muy baja. La intencion es que de estaforma la tension que aparece en el equipo que se esta protegiendo resultemucho menor que si no existiera el apartarrayos.

Existen varias configuraciones y tecnologıas capaces de actuar de la man-era descrita. Quizas el elemento de proteccion de sobrevoltajes mas simplees un descargador de varillas. Un arreglo de punta - punta se coloca en elequipo que se quiere proteger, por ejemplo una boquilla de transformador.Cuando se presenta una sobretension, se establece un arco electrico externoen el arreglo de varillas, dando por resultado que el voltaje aplicado al equipo

5.4. APARTARRAYOS 87

es el voltaje del arco, que idealmente toma valores bajos y por lo tanto pro-tege al aparato contra sobretensiones. La desventaja de este enfoque es queentonces se establece una falla a tierra, que puede autosostenerse (es decir,el arco puede no extinguirse en el cruce por cero de la corriente). Entonces,debe operar el esquema de proteccion contra fallas del sistema.

En vista de la dificultad senalada, en la actualidad se utilizan resistoresno lineales para efectuar la proteccion contra sobretensiones. Historicamente,el primer material usado con este proposito fue el carburo de silicio (SiC).Este material tiene una cracterıstica v− i tal que no permite su uso continuo;es decir, si se conectara directamente a la lınea, la corriente de estado estableserıa de magnitud inaceptable, lo cual podrıa dar lugar a la destruccion delmaterial. Para evitar la conduccion de corriente bajo voltajes normales yposibilitar la conduccion cuando el voltaje se eleva, se utilizan explosores(camaras de arqueo) en serie con el resistor no lineal. De esta manera, unavez establecido el arco electrico cuando ocurre una sobretension, el resitorno lineal controla el voltaje impreso en el equipo protegido. Una vez quedisminuye la sobretension, se deben tener medios para extinguir el arco yaislar el resistor no lineal. La tecnologıa que implica este tipo de apartar-rayos es bastante compleja, porque se necesitan entre otras cosas resistoresgraduadores para uniformizar la distribucion de potencial entre las secciones,y las camaras de arqueo deben contar con medios para extinguir el arco.

Las dificultades senaladas para los apartarrayos de SiC se evitan recu-rriendo a un material con una mayor no-linealidad. Este material es el oxidode zinc (ZnO), el cual tiene una caracterıstica v − i mejorada que posibilitala aplicacion del elemento directamente conectado a la lınea, es decir sinnecesidad de camaras de arqueo. Entonces el apartarrayos esta formado sim-plemente por una columna de varistores encapsulados en un cuerpo aislante.Esta tecnologıa ha desplazado por completo a la de carburo de silicio, y enla actualidad los apartarrayos pueden hacerse tan ligeros y delgados comopara ser usados incluso en la proteccion de lıneas de transmision. Desde elpunto de vista de operacion, la estabilidad termica de apartarrayos de oxidometalico es la principal limitante.

5.4.1 Modelado de apartarrayos de ZnO

Debido a su importancia tecnica, unicamente consideraremos el modelado deapartarrayos de oxido de zinc. Para ello, debemos presentar la terminologausada por los fabricantes en su literatura tecnica.


Tabla 5.1: Caracterıstica v − i para apartarrayos de 96kV.

v(kV ) i(A)112 0.001160 0.01166.4 0.1172.8 1.0185.6 10192 100211.1 1000249.6 10000

• MOV (Metal Oxide Varistor) es una pastilla o disco que forma la unidadbasica con la que se construyen los apartarrayos. Este es el elemento re-sistivo no lineal. Cuando se colocan varios varistores en serie (formandouna columna), se varıa el voltaje nominal del apartarrayos.

• MCOV (Maximum continuous operating voltaje) es el valor maximodel voltaje que puede aplicarse al apartarrayos en operacion continua.En caso de que el voltaje aplicado sea mayor que el MCOV, la corri-ente drenada resultara excesiva y la unidad sufrira un colapso termico,destruyendose.

• El voltaje nominal es el maximo valor de tension para el cual el apartar-rayos pasa la prueba de ciclo de trabajo. Tıpicamente el voltaje nominales un poco mayor que el MCOV.

Por ejemplo, un apartarrayos con voltaje nominal de 96kV (rms), tiene unMCOV de 76 kV (rms). Se emplearıa posiblemente en un sistema con unvoltaje de lınea de 115kV (para el cual la tension a tierra es 66kV, de modoque se tienen 10kV de margen de seguridad para el MCOV).

La caracterıstica de voltaje-corriente para los varistores es no lineal. Porejemplo, para el apartarrayos de 96kV, esta relacion es como se muestra enla Tabla 5.1.

Se puede emplear esta relacion v− i para cualquier apartarrayos de ZnOde 96kV, sin importar el fabricante, pues las variaciones en los valores entreun fabricante y otro son pequenas. Ademas, puesto que los valores de voltaje

5.4. APARTARRAYOS 89

nominal cambian segun el numero de varistores apilados en una unidad, sepueden escalar los valores de la Tabla 5.1 para obtener las caracterısticasv − i de otros apartarrayos con diferentes voltajes nominales; por ejemplo,para obtener la curva de un apartarrayos con voltaje nominal de 12kV, sedividen los voltajes de la tabla entre 8 (que resulta de dividr 96/12), dejandolas corrientes sin cambio.


Capıtulo 6

Transitorios de conmutacion

Un transitorio se inicia cuando ocurre un cambio subito en las condicionesdel circuito, frecuentemente debido a una operacion de cierre o apertura deun interruptor. Muchos casos importantes de transitorios debidos a con-mutacion pueden analizarse (o simularse) utilizando modelos de circuito deparametros concentrados. Algunos de los casos mas comunes son el cierre deun interruptor para energizar una carga o falla, y la apertura del interruptorpara despejarla [6]. Estos y otros casos se consideran en este capıtulo.

6.1 Energizacion de un circuito LR serie

Para el circuito mostrado en la Figura 6.1, la ecuacion de corriente es

Ri + Ldi

dt= Vmsen(ωt + θ). (6.1)

Este circuito puede representar la energizacion de un circuito de distribuciondonde la impedancia de la fuente mas la impedancia de la carga han sidorepresentadas por el resistor y el inductor en serie; el angulo θ se ha incluidoen la ecuacion para posibilitar el cierre en cualquier punto de la onda devoltaje. El circuito tambien representa las condiciones que ocurren cuandoun interruptor cierra con falla presente en la lınea.

Usando fasores, el estado estable al finalizar el transitorio esta dado por

I =V

Z, (6.2)

Z = R + jωL = (|Z|, φ), (6.3)

91

92 CAPITULO 6. TRANSITORIOS DE CONMUTACION

φ =R

|Z| =R√

R2 + ω2L2, (6.4)

I =Vm

|Z|sen(ωt + θ − φ). (6.5)

La corriente, sin embargo, debe partir de cero (no puede existir una corrienteantes de cerrar el interruptor). Ademas, dado que se trata de un circuito

LR, la respuesta transitoria debe contener el termino exponencial e−RL

t. Lasolucion de la ecuacion diferencial puede obtenerse usando la tranformacionde Laplace, o mediante el metodo del factor integrante, quedando

i(t) =Vm√

R2 + ω2L2

[sen(ωt + θ − φ)− sen(θ − φ)e−

RL

t]. (6.6)

Se observa que, efectivamente, se tiene la corriente de estado estable a la cualse le suma un termino exponencial; la corriente inicia en cero. Debe notarseque en el caso especial en que θ = φ el termino exponencial desaparece y setiene solamente la solucion de estado estable, es decir, no ocurre un transi-torio. Por otra parte, si el interruptor cierra cuando θ − φ = ±π

2, entonces

el termino transitorio alcanza su valor maximo y la corriente resultante escercana al doble de su magnitud de estado estable.

Como ejemplo, considere el caso de un sistema de 13.8kV cuando se cierraun interruptor con falla de impedancia 0.02+j0.43Ω. El valor pico de lacorriente depende del instante preciso en que se cierre el interruptor en laonda de voltaje de la fuente. En la Figura 6.2, se muestran algunas de lascorrientes posibles. Para un angulo de cierre de 0 grados, la onda de corrientees casi simetrica, y de hecho es difıcil percibir la componente transitoria.En cambio, para un angulo de cierre de 90 grados, la onda de corriente estotalmente asimetrica; con esto se quiere decir que la onda esta desplazada en1pu respecto al valor de estado estable. El desplazamiento va disminuyendoexponencialmente, pero en los primeros picos de corriente se tienen valoresque son el doble de los picos en estado estable.

Esta condicion de doble corriente debe considerarse al especificar un in-terruptor. Dado que en el caso trifasico los voltajes estan separados por120, hay una alta probabilidad de que tal condicion se presente en una delas fases en cada operacion de cierre. El interruptor debe soportar los es-fuerzos electricos, mecanicos y termicos resultantes. Por ejemplo, la fuerzaelectromagnetica depende del cuadrado de la corriente, de manera que parauna corriente del doble del valor base se tiene una fuerza cuatro veces mayor.

6.1. ENERGIZACION DE UN CIRCUITO LR SERIE 93

Vs

R

L

Figura 6.1: Energizacion de un circuito LR

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

4

Tiempo (s)

Cor

rient

es (

A)

090

Figura 6.2: Corrientes de falla transitorias para un circuito de distribucion.La magnitud de los primeros picos depende del instante de cierre.

Mas aun, si el interruptor recibe la orden de apertura bajo la condicion decorriente asimetrica, resulta que la corriente efectiva que ha de interrumpir esmayor que el valor de la corriente de falla de estado estable. La probabilidadde que ocurran re-encendidos del arco es mayor en este caso.

La rapidez con que decae el termino transitorio depende de la constantede tiempo del circuito τ = L

R. Es usual expresar esta relacion en terminos de

reactancia, y se habla entonces de la relacion XR

del circuito.


6.2 Energizacion de capacitores

Es comun emplear bancos de capacitores para soporte de voltaje y correcciondel factor de potencia. Sin embargo, durante su energizacion puede ocurrir unvoltaje de hasta 3 veces el nominal (si existe carga atrapada de la polaridadcontraria), segun se ha visto anteriormente. Para el circuito mostrado en laFigura 6.3, que emplea una fuente de voltaje constante, se obtuvo la solucionpara el voltaje en el capacitor

vc = (V0 − Vs)cosω0t + Vs, (6.7)

para vc(0) = V0. La corriente de energizacion del capacitor esta dada entoncespor

ic = C(V0 − Vs)ω0 senω0t =

√C

L(V0 − Vs)senω0t. (6.8)

Esta expresion puede utilizarse para aproximar la solucion cuando el voltajede la fuente es de CA, dado que la frecuencia de la oscilacion ω0 sera por logeneral mucho mayor que la frecuencia de operacion del sistema (60Hz). Porejemplo, para un banco trifasico de capacitores de 5MVAR a 13.8kV, en unpunto que tiene un nivel de falla de 20kA, la corriente nominal del banco decapacitores es

I =5× 106

√3× 13, 800

= 209A, (6.9)

mientras que la inductancia de la fuente es:

XL =13, 800√

3× (20, 000)= 0.4Ω (6.10)

L =XL

377= 1.06mH. (6.11)

Por otra parte, la capacitancia de una unidad monofasica es

Xc =13, 800√3× 209

= 38Ω (6.12)

C =1

377×Xc

= 70µF (6.13)

La frecuencia de la corriente de irrupcion esta dada por

ω0 =1√LC

= 3681 rad/s, (6.14)

6.2. ENERGIZACION DE CAPACITORES 95

(586Hz), lo cual justifica el que se haya considerado constante el voltaje dela fuente. La magnitud de esta corriente es (con Vs maximo y V0 nulo):

imax =

√70× 10−6

1.06× 10−3

√2(13, 800)√

3= 2896A, (6.15)

que es casi 14 veces la corriente nominal del banco de capacitores. Si existecarga atrapada tal que V0 = −Vs, la corriente maxima de de 5790A o casi28 veces el valor nominal. En la practica, es requerimiento de norma quelos bancos de capacitores se descarguen en un lapso corto (5 minutos), y porlo general se instalan controles de tiempo que evitan la re-energizacion delbanco hasta que haya transcurrido un lapso seguro. Tambien es comun eluso de reactores que limitan la magnitud de la corriente de irrupcion.

En el analisis anterior, no se considero el efecto de la resistencia en elcircuito. Existe tanto una resistencia en serie con la fuente que es la de losconductores de las lıneas y el bus, como una resistencia en paralelo con el ca-pacitor, que representa tanto las resistencias de descarga como la resistenciade fuga del dielectrico. La resistencia serie tiene un valor dependiente de lafrecuencia, ası que estrictamente es incorrecto asignarle un valor constante;sin embargo, presentaremos un caso donde esto se asume.

Con los valores de voltaje, inductancia y capacitancia utilizados arriba,agregamos una resistencia de la fuente de 0.02 Ω y una resistencia en paralelocon el capacitor de 100Ω (este ultimo valor no es necesariamente represen-tativo). En las Figuras 6.4 y 6.5 se muestran el voltaje y la corriente deirrupcion en el capacitor, cuando existe un voltaje inicial de polaridad o-puesta a la de la fuente y el instante de cierre coincide con el pico positivode la fuente. La magnitud del sobrevoltaje esta de acuerdo al analisis sim-plificado presentado arriba: es de tres veces el valor nominal; la componentede alta frecuencia se puede percibir tambien.

La corriente tambien tiene una magnitud acorde con el analisis simpli-ficado. Las resistencias causan la atenuacion de la componente de alta fre-cuencia. Como se ha dicho, el valor asignado a la resistencia del capacitorpuede no ser representativo; esto significa que el tiempo de amortiguamientopuede a su vez no serlo, pero el comportamiento general es el esperado

Las Figuras 6.6 y 6.7 muestran el comportamiento cuando se agrega unreactor de 10mH en serie con el banco de capacitores a energizar. La fre-cuencia del transitorio disminuye como es de esperar, y la magnitud de lacorriente es ahora mucho mas favorable, alrededor de 4 veces en el peor caso


Vs

L

C

Figura 6.3: Circuito simplificado para energizacion de capacitor.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Figura 6.4: Voltaje de energizacion en el capacitor.

(comparado com 28 veces sin reactor). Con menor frecuencia, el primer picodel voltaje alcanza 2.5pu, en lugar de 3pu, pero la adicion del reactor esclaramente mas efectiva para reducir la corriente de irrupcion que el voltajeen el capacitor.

6.2.1 Energizacion de segunda etapa de capacitores

Es comun encontrar que el banco de capacitores esta dividido en dos eta-pas. Para el ejemplo anterior, considerando que existe una segunda etapade 5MVAR y que la inductancia entre los dos bancos es 30µH, e ignorandoinicialmente el efecto de la fuente, se tendrıa el circuito mostrado en la Figura


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08−6000

−4000

−2000

0

2000

4000

6000

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

Figura 6.5: Corriente de energizacion en el capacitor.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Figura 6.6: Voltaje de energizacion en el capacitor con reactor limitador.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

Figura 6.7: Corriente de energizacion en el capacitor con reactor limitador.

6.8. La capacitancia equivalente es

C =C1C2

C1 + C2

= 35µF. (6.16)

Si C1 esta cargado al voltaje maximo al energizar C2, la corriente maximade irrupcion en este ultimo y su frecuencia son

i =

√35× 10−6

30× 10−6

√2× (13, 800)√

3= 12.1kA, (6.17)

ω0 =1√

35× 30× 10−12= 30, 800 rad/s (6.18)

(4.9kHz). El efecto de tales corrientes de magnitud y frecuencia elevadaspuede ser severo en cuanto a los esfuerzos mecanicos, induccion en circuitosvecinos, malfuncionamiento de esquemas de control o proteccion, etc. Ya sedijo que para evitarlas puede agregarse un reactor en serie para limitar tantola magnitud como la frecuencia.

Otra alternativa es recurrir al cierre sincronizado del interruptor; la ideaes que si el interruptor cierra cuando el voltaje a traves de sus contactoses cero, entonces no ocurre el transitorio de voltaje y corriente. Se requiereuna operacion muy confiable y tiempos de cierre consistentes, algo que pocosinterruptores cumplen.


Consideramos ahora el efecto de la fuente en la energizacion del segundobanco de capacitores. Dado que la inductancia entre los dos bancos de capac-itores es tan reducida comparada con la inductancia de la fuente, el transi-torio entre bancos es mucho mas rapido y los dos bancos alcanzan un voltajecomun que se obtiene despejando de la expresion

C1V1 + C2V2 = (C1 + C2)V∞. (6.19)

En nuestro caso, V∞ = 5, 633V. Se inicia entonces un segundo transitorio quellevara a este voltaje comun al nivel de voltaje de la fuente, para el cual lacorriente maxima y su frecuencia estan dadas por

i =

√140× 10−6

1.06× 10−3

(5, 633−

√2√313, 800

)= −2kA (6.20)

ω0 =1√

1.06 10−3 140 10−6= 2596 rad/s (6.21)

(413Hz). Note que esta segunda frecuencia es mucho menor que 4.9kHz, porlo que es valido separar el analisis en dos partes: el primer transitorio sucedemucho mas rapido y el segundo continua en una escala de tiempo mayor.

En la Figura 6.9 se muestra el voltaje en el primer capacitor al energizar lasegunda etapa. El voltaje de la segunda etapa es practicamente igual, salvopor pequenısimas diferencias explicadas por la resistencia e inductancia quesepara ambas etapas. A la onda de frecuencia del sistema subitamente se lesuperpone el transitorio rapido inicial; la escala de tiempo es tal que es difıcildeterminar la frecuencia a partir de la grafica. El voltaje de alta frecuenciase resta del voltaje fundamental porque la carga almacenada en el primercapacitor se empieza a transferir al segundo; por esta razon el pico es menossevero. La segunda frecuencia transitoria tambien puede apreciarse.

Por su parte, la corriente de irrupcion en el segundo capacitor es comose muestra en la Figura 6.10. Aunque el transitorio de voltaje no fu tansevero, el de corriente si lo es: se alcanza una magnitud de mas del doble decorriente comparado con la energizacion del primer banco, y la frecuencia yase vio que es muy alta; esto implica mayores posibilidades de interferenciacon circuitos cercanos, incluidos los circuitos de control y proteccion.

Es interesante observar que la corriente de alta frecuencia de irrupcionen el segundo banco esta limitada al tramo que conecta ambas etapas. Esdecir, esta corriente no se propaga a la fuente, segun se aprecia en la Figura


C1 C2

L12

Figura 6.8: Circuito reducido (se desprecia inicialmente el efecto de la fuente)para energizacion de segunda etapa capacitiva.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Figura 6.9: Voltaje en los capacitores al energizar segunda etapa.

6.11. Solo la segunda componente de frecuencia transitoria es observable enla fuente.

Conviene examinar el mismo caso cuando se usan reactores limitadores.Si cada etapa de capacitores tiene un reactor de 5mH en serie, los resultadosson como los presentados en las Figuras 6.12 y 6.13. En este casso existe so-lamente una frecuencia transitoria la cual es mucho menor. Las magnitudesde los voltajes a tierra en el reactor apenas crecen, aunque contienen compo-nentes de frecuencia transitoria. En los capacitores, sin embargo, el voltajealcanza 2pu. La corriente sigue siendo elevada respecto al valor nominal, convalores en la escala de kA.


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

Figura 6.10: Corriente de irrupcion en la segunda etapa del banco de capac-itores.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−3000

−2000

−1000

0

1000

2000

3000

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

Figura 6.11: Corriente en la fuente al energizar segunda etapa de banco decapacitores.


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Vc1VrVc2

Figura 6.12: Voltaje a tierra de los capacitores y uno de los reactores alenergizar segunda etapa.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

IsIc1Ic2

Figura 6.13: Corriente en la fuente y en los capacitores (y reactores) alenergizar segunda etapa.

6.3. INTERRUPCION DE UN CORTO CIRCUITO 103

6.3 Interrupcion de un corto circuito

El llamado voltaje de recobro tiene gran importancia para la extincion exitosadel arco electrico en un interruptor. El arco se establece cuando los contactosse separan, y solo se extingue en uno de los cruces por cero de la onda decorriente alterna. El circuito de la Figura 6.14 modela el proceso; Rf es laresistencia de falla, C es la capacitancia dispersa del interruptor y equipocontiguo, y va el es el voltaje del arco. Para va = 0 y Rf = 0 (voltaje de arcoy resistencia de falla despreciables), el circuito equivalente al momento deocurrir la falla es puramente inductivo; entonces, cuando se presente el crucepor cero de la corriente, el voltaje de la fuente esta en su punto maximo.Como resultado, la ecuacion de corriente es

Ldi

dt+ vc = Vmcosωt. (6.22)

Sustituyendo la ecuacion de corriente en el capacitor, se llega a

d2vc

dt2+

1

LCvc =

Vm

LCcosωt, (6.23)

con condiciones iniciales vc(0) = 0, v′c(0) = 0. La solucion es

vc =ω2

0

ω20 − ω2

Vm (cosωt− cosω0t) , (6.24)

donde ω es la frecuencia angular de la fuente de alimentacion y ω0 = 1/√

LCes la frecuencia angular natural del circuito LC. Como ω0 À ω, la anteriorexpresion se simplifica a

vc ≈ Vm (cos ωt− cos ω0t) . (6.25)

Mas aun, si la atencion se restringe al periodo cercano al inicio del transitorio,es decir el que sigue a la interrupcion, se tiene

vc ≈ Vm (1− cos ω0t) . (6.26)

vc es el voltaje que aparece entre los contactos del interruptor y se denomina“Voltaje Transitorio de Recobro” (en ingles, Transient Recovery Voltage,TRV). Se puede ver que este se acerca al doble del valor pico del voltaje dela fuente.


En la Figura 6.15 se muestra el TRV resultante con los datos mencionadosarriba, mas una resistencia de la fuente de 0.02 Ω y una resistencia de fugadel interruptor de 50,000 Ω. Estas resistencias son las responsables de laatenuacion.

Cuanto menor sea el producto LC, mayor sera la frecuencia de la os-cilacion. Tanto ası que si el voltaje entre contactos del interruptor aumentamas rapidamente que el incremento de la la rigidez dielectrica en el mediointerelectrodico, se produce una descarga llamada re-ignicion del arco, locual resulta en que la corriente de falla persiste por lo menos otro mediociclo (cuando ocurre otro cruce por cero de la corriente). Para cuantificaresta condicion se usa el termino “Razon de Aumento del Voltaje de Recobro”(Rate of Rise of Recovery Voltage, RRRV). Esta es una cantidad asociada conel circuito y da una medida de la severidad del transitorio que debe soportarel interruptor. Por ejemplo, si L =1mH, C =400pF y vs = 13, 800 cos ωt:

ω0 = 1.58 · 106, (6.27)

f0 =ω0

2π= 252KHz, (6.28)

T0 =1

f0

= 4µs. (6.29)

Para estos datos, el RRRV es

RRRV =13, 800 · √2√

3 · 10−6= 11.25

kV

µs, (6.30)

que es un requerimiento muy severo para el interruptor.

En el analisis precedente, se asumio que se esta interrumpiendo una corri-ente simetrica. Si este no es el caso, entonces el cruce por cero de la onda decorriente no ocurre con voltaje maximo, por lo que el transitorio de voltaje(TRV) es un poco menor. En la Figura 6.16 se ilustra el fenomeno; se ob-serva que el TRV esta desplazado en -4kV aproximadamente, y por lo tantoel RRRV sera un poco menor. Entonces, desde el punto de vista del voltajede recobro, la interrupcion con corriente asimetrica es menos demandantepara el interruptor. Esto se ve compensado, sin embargo por la mayor mag-nitud de la corriente, que causa una mayor temperatura del arco previa a lainterrupcion.

6.3. INTERRUPCION DE UN CORTO CIRCUITO 105

Vs

L

C R

+ -Va

Figura 6.14: Modelo de circuito para apertura de interruptor.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10−4

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsTRV10xIb

Figura 6.15: Voltaje de recobro en el interruptor, comparado con el voltajede la fuente. La corriente en el interruptor se muestra tambien, escalada porun factor de 10.


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsTRVIb

Figura 6.16: Voltaje de recobro en el interruptor, cuando se interrumpecorriente asimetrica.

6.3.1 Conmutacion con resistores

Algunos interruptores emplean resistores en paralelo con los contactos princi-pales para limitar el voltaje transitorio. El mecanismo que se explota es el deintroducir amortiguamiento en el circuito para hacer menos severo el voltajede recobro. Por otra parte, en interruptores multicamara puede emplearseresistores para distribuir uniformemente el voltaje entre etapas. El esquemade un circuito cuando se emplea un resistor derivado se presenta en la Figura6.17.

La operacion de interrupcion de corriente inicia cuando se abren los con-tactos principales. Debido a la presencia de la resistencia auxiliar, la cual enese momento esta en paralelo con la capacitancia dispersa del interruptor,el voltaje de recobro es menor que el que se presentarıa sin resistor de con-mutacion. Se observa que se hace necesario emplear un interruptor auxiliarpara retirar la resistencia de conmutacion despues de un tiempo; la aperturade los contactos auxiliares no origina un transitorio de recobro porque en estecaso el circuito se vuelve predominantemente resistivo y en el instante de laapertura tanto el voltaje de la fuente como la corriente estan cruzando porcero.

El mismo circuito cuyo TRV se presento en la Figura 6.15 tiene, si seagrega un resistor de conmutacion de 2kΩ, el TRV presentado en la Figura

6.4. DESENERGIZACION DE CARGA INDUCTIVA 107

6.18 para el caso de interrupcion de corriente simetrica. La escala de tiempoes menor en esta segunda grafica, y una comparacion de ambos TRV muestraque en el segundo caso la magnitud se ha reducido de 22kV a 14kV. La razones que la energıa del capacitor, que antes se transferıa a la inductancia dela fuente y por ello alcanzaba un valor de 2pu, ahora se comparte con elresistor, el cual la disipa y en el proceso limita el valor del voltaje alcanzado.El amortiguamiento es muy rapido: solo se observan un ciclo del transitoriode recuperacion.

Esta no es toda la historia, sin embargo, porque aun ha de abrirse el inter-ruptor auxiliar para desconectar el interruptor de conmutacion del circuito.El transitorio completo se muestra en la Figura 6.19. La oscilacion del primertransitorio es apenas perceptible en esa escala de tiempo y parece mas bienuna lınea vertical o pulso en t=0.00265s. Una vez que se ha amortiguado esteprimer transitorio el TRV toma el valor del voltaje de la fuente. El segundojuego de contactos abre y la corriente se interrumpe al cabo de medio ciclo.Esta vez, sin embargo, el voltaje en el capacitor es nulo y por lo tanto noocurre un transitorio de recobro.

El valor del resistor de conmutacion determina la magnitud del TRV.Dado que la capacitancia dispersa y el resistor de conmutacion forman uncircuito RC en paralelo, su constante de tiempo es τ = RC, por lo quea menor resistencia corresponde un amortiguamiento mas rapido y por lomismo un menor TRV.

En la Figura 6.20 se presenta la corriente que debe conducir el resistorde conmutacion. En la etapa de diseno, cuando se dimensiona el resistorde conmutacion, es importante considerar el comportamiento de la poten-cia y energıa disipadas en el resistor de conmutacion. Estas cantidades sepresentan en las Figuras 6.21 y 6.22.

6.4 Desenergizacion de carga inductiva

Cuando se abre una carga inductiva, se puede emplear como modelo el cir-cuito mostrado en la Figura 6.23, donde L1 es la inductancia de la fuente,C1 y C2 son las capacitancias dispersas en el lado de la fuente y en el ladode la carga, respectivamente, y L2 es la inductancia de la carga. El mismocircuito se presenta cuando se desenergiza un transformador sin carga, encuyo caso C2 representa la capacitancia del devanado y L2 la inductancia demagnetizacion.


Vs

L

C R

Ra Sa

S

Figura 6.17: Modelo de circuito para apertura con resistor de conmutacion.

2.63 2.632 2.634 2.636 2.638 2.64 2.642 2.644 2.646 2.648 2.65

x 10−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsTRVIs

Figura 6.18: Voltaje de recobro en el interruptor con resistor de conmutacion:apertura de los contactos principales.


0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10−3

−15000

−10000

−5000

0

5000

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsTRV

Figura 6.19: Voltaje de recobro en el interruptor con resistor de conmutacion:transitorio completo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10−3

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

Figura 6.20: Corriente en el resistor de conmutacion.


0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10−3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

4

Tiempo (s)

Pot

enci

a (W

)

Figura 6.21: Potencia disipada en el resistor de conmutacion.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10−3

0

50

100

150

Tiempo (s)

Ene

rgia

(J)

Figura 6.22: Energıa disipada en el resistor de conmutacion.


Vs

L1

C1 C2 L2

Figura 6.23: Modelo de circuito para desconexion de carga inductiva

En el estado estable (con la carga energizada), el voltaje en los capacitoresesta dado por

L2

L1 + L2

vs, (6.31)

(las capacitancias son muy pequenas y se desprecian en esta expresion). Perocomo L2 À L1, ambos capacitores estan cargados a un voltaje cercano al dela fuente vs antes de la apertura del interruptor. Tambien, dado que la cargaes inductiva, cuando se alcanza un cruce por cero de la corriente, el voltajede la fuente es maximo. Cuando el arco se extingue en el interruptor, lasdos mitades del circuito evolucionan de manera independiente. En el ladode la fuente, C1 y L1 forman un circuito LC independiente que oscila a lafrecuencia

ω1 =1√

L1C1

, (6.32)

mientras que en el lado de la carga la oscilacion es a frecuencia

ω2 =1√

L2C2

. (6.33)

El voltaje entre contactos en el interruptor es la diferencia entre los volta-jes en los capacitores. Para el caso usual en que ω1 > ω2, se tiene la situacionilustrada en las Figuras 6.24 y 6.25. El voltaje final en C1 es el de la fuente,mientras que en el lado de la carga el voltaje final es cero. El TRV alcanzaun poco menos de 2pu, pero el tiempo en el que lo hace esta dado por lafrecuencia del transitorio en el lado carga; asumiendo que se trata de la de-senergizacion de un transformador, esta frecuencia no es tan elevada porquetanto la capacitancia como la inductancia en el lado secundario son relativa-mente altas. Entonces, el RRRV no alcanza valores elevados.


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Vc1Vc2

Figura 6.24: Voltaje en los capacitancias del lado fuente y lado carga cuandose desenergiza una carga inductiva

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

TRVVs

Figura 6.25: Voltaje de la fuente y de recobro cuando se desenergiza unacarga inductiva

6.5. CORTE DE CORRIENTE 113

Vs

Figura 6.26: Modelo de circuito para desconexion de carga inductivo-resistiva

6.4.1 Desenergizacion de cargas CLR

En muchos casos una carga electrica se puede representar mediante un cir-cuito RL serie o paralelo paralelo; a menor factor de potencia de la carga maspredominara la inductancia. Cuando la carga se desconecta, su capacitanciaefectiva determina la forma del transitorio generado. La capacitancia en elcircuito puede ser dispersa o representar un banco de correccion del factorde potencia; en cualquier caso, un circuito que modela el proceso es comoel mostrado en la Figura 6.26. Un caso que cae dentro de esta categorıa esel de un horno de arco electrico, el cual puede representarse mediante unacombinacion serie de resistencia e inductancia, mientras que la capacitanciaen paralelo serıa la debida al banco de capacitores usado para correccion delfactor de potencia.

La respuesta del circuito es similar a la del lado secundario en las Figuras6.24 y 6.25. Es decir, el voltaje y la corriente se amortiguan hasta cero conuna frecuencia determinada por L y C, y el TRV es la diferencia entre elvoltaje de la fuente y el voltaje del lado de la carga. Un valor cercano a 2puresulta tambien.

Para una carga puramente resistiva, el voltaje y la corriente van en fasey no ocurre un transitorio

6.5 Corte de corriente

En el proceso de apertura de un interruptor, aun cuando los contactos se sep-aran la corriente electrica continua fluyendo en la forma de un arco electrico,el cual es extinguido mediante algun proceso fısico tal como elongacion, en-friamiento, etc. Idealmente, el arco se extingue cuando la onda de corrientealterna cruza por cero; sin embargo, en algunos casos el proceso de extincion


del arco es tan eficiente que la corriente es interrumpida abruptamente antesdel cruce por cero. A esta interrupcion prematura se le llama “corte de cor-riente” y puede originar un sobrevoltaje en ciertos casos como por ejemplocuando se interrumpe la corriente de magnetizacion de un transformador sincarga, o cuando se desconecta un reactor e derivacion.

La caracterıstica fundamental de tales fenomenos es que existe una energıaalmacenada en forma de campo magnetico, dada por

Wm =1

2Lmi2. (6.34)

Si al momento de abrir el interruptor se presenta una supresion de corriente,esta energıa debe ser liberada a traves de la capacitancia y resistencia delcircuito del lado de la carga porque la corriente en el inductor no puede cesarsubitamente. El circuito de la Figura 6.26 ilustra los elementos del caso.

La corriente proveniente del inductor cargara al capacitor. Asumiendoque la resistencia R es muy grande, se puede estimar el voltaje maximoalcanzado por por el capacitor, el cual ocurre cuando toda la energıa delcircuito reside en el campo electrico del capacitor:

1

2Lmi2 =

1

2Cv2 (6.35)

v =

√Lm

Ci. (6.36)

Consideremos un caso especıfico. Para un transformador de 1MVA, 13.8kVcon corriente de magetizacion de 1.5A (RMS) y capacitancia 5000pF, la in-ductancia de magnetizacion es

Lm =Vφ

ωIm

=13, 800√

3 · 377 · 1.5 = 14H, (6.37)

por lo que el voltaje maximo en el capacitor puede estimarse como

vMAX =

√14

5 · 10−9·√

2 · 1.5 = 112kV. (6.38)

asumiendo que se ha suprimido la corriente de magnetizacion en el pico. Notecuan elevado es este voltaje para un sistema de 13.8kV. En realidad este valortan alto no se alcanza porque la resistencia (perdidas) del circuito originan

6.5. CORTE DE CORRIENTE 115

un amortiguamiento, ademas de que el fenomeno de histeresis en el nucleodel transformador limita la energıa que puede ser liberada (el resto se disipaen forma de perdidas en el nucleo). Para el ejemplo anterior, suponiendo quela energıa liberada no excede a 30% de la energıa almacenada, se tendrıa queel voltaje alcanzado es

vMAX =

√14

5 · 10−9· 0.3 ·

√2 · 1.5 = 61kV. (6.39)

Debe notarse que la magnitud del sobrevoltaje es independiente del voltaje deoperacion del sistema. La probabilidad de dano al transformador es mayorpara sistemas de distribucion, dado que el nivel de aislamiento es menor(relativo al voltaje del sistema).

El factor√

Lm/C aparece en la expresion del sobrevoltaje. Si C es grande,

el sobrevoltaje es menor (por ejemplo para una longitud de cable). Si Lm esbaja, el sobrevoltaje es menor (por ejemplo para una maquina rotatoria).

En el analisis simplificado que se ha presentado no se ha tomado en cuentaque existe amortiguamiento debido a la resistencia de los conductores, con-ductancia de los aislamientos y perdidas por histeresis en el nucleo ferro-magnetico. Por lo mismo, el valor del sobrevoltaje que se observa en un casomas real es menor que el maximo predicho por el analisis simplificado. Con-siderando el mismo ejemplo presentado arriba, pero esta vez con la adicionde un resistor en paralelo que representa las perdidas en el nucleo del trans-formador, el circuito equivalente es el mismo que el mostrado en la Figura6.26. El valor del resistor correspondiente es de 25kΩ; este valor se obtienemidiendo el factor de potencia de la corriente de magnetizacion. Suponiendoque el interruptor corta la corriente pico de magnetizacion, se obtienen lasmagnitudes mostradas en la Figura 6.27 (la corriente se muestra escaladapor un factor de 104). Se observa que el voltaje en el capacitor alcanza unvalor de alrededor de 35kV, que es mucho menos de los que predice el analisissimplificado, pero aun de magnitud importante. El TRV es un poco mayor(40kV) debido a que se le suma el voltaje del lado de la fuente. Hemos vistoque en operaciones de apertura de un circuito con falla, el TRV puede al-canzar 2 veces el voltaje pico del sistema. En el caso ilustrado de corte decorriente, el TRV alcanza cerca de 4 veces el voltaje pico del sistema; sinemabrgo, lo hace con frecuencia mucho mas reducida y por lo mismo el valorRRRV puede no resultar tan severo.

El valor del sobrevoltaje desarrollado depende de la magnitud de la co-rriente cortada. Para la configuracion que hemos discutido, cuando el valor


0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10−3

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsVcTRVIx104

Figura 6.27: Voltajes transitorios cuando el interruptor corta una corrientede 2.12A

de la corriente cortada es la mitad de la corriente pico de magnetizacion,los voltajes son un poco menores, segun se aprecia en la Figura 6.28. Eneste caso, dado que la corriente interrumpida es menor, la onda de voltajeya ha llegado al semiciclo negativo y por lo mismo el TRV es menor (porqueel voltaje de la fuente se resta al del capacitor). El voltaje en el capacitor,que es el que aparece en terminales del transformador, es ahora el de mayormagnitud, alcanzando alrededor de 27kV.

6.6 Re-ignicion

En una seccion anterior se considero el voltaje que aparece entre contactos enun interruptor cuando se abre un circuito, al cual se le denomina voltaje derecobro (TRV). La rapidez con la que este voltaje alcanza su valor pico debeser menor que la de recuperacion de la capacidad aislante en el espacio entrecontactos; es decir, el RRRV debe ser menor que un valor dado. Cuandola rapidez de aumento del voltaje de recobro excede al valor de diseno delinterruptor, es casi seguro que un arco electrico se establece nuevamente. Esdecir, la interrupcion no es exitosa y se tiene lo que se conoce como unare-ignicion o re-encendido. En esta seccion se consideran las consecuenciasde tal fenomeno para cargas capacitivas e inductivas.

6.6. RE-IGNICION 117

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsVcTRVIx5x103

Figura 6.28: Voltajes transitorios cuando el interruptor corta una corrientede 1.06A

6.6.1 Re-ignicion al desconectar capacitores

Cuando se desconectan cargas capacitivas (por ejemplo cables o lıneas aereassin carga, bancos de correcion de factor de potencia, etc.) puede presen-tarse un escalamiento de voltaje si el interruptor re-enciende. Aunque laprobabilidad de que esto ocurra es baja, es necesario considerarla porque laconmutacion de capacitores es una operacion frecuente.

Consideremos primeramente una operacion exitosa de interrupcion decorriente capacitiva. Puesto que la corriente capacitiva adelanta al voltajede 90, cuando se interrumpe la corriente (en el cruce por cero), el capacitorqueda cargado al voltaje pico de la fuente. El voltaje en el capacitor en estadoestable es un poco mayor que el de la fuente debido al efecto Ferranti. Por suparte, el voltaje entre contactos del interruptor alcanza un valor de 2VMAX

medio ciclo despues (Figura 6.29). Si este voltaje es suficiente para provocaruna re-ignicion del arco, esto equivale a energizar el capacitor con cargaatrapada; ya conocemos las expresiones para la frecuencia y magnitud de lacorriente oscilatoria que resulta. Mas aun, el voltaje transitorio se acerca a 3veces el voltaje pico del sistema si la re-ignicion ocurre en VMAX . La secuenciase muestra en la Figura 6.30, en la que no se ha incluido la interrupcion delsegundo arco. Sin embargo, ya que el interruptor se encuentra en la posicionabierto y hubo un re-encendido, existe una alta probabilidad de que se logreuna segunda exticion del arco en alguno de los cruces por cero de la corriente


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsIx50VcTRV

Figura 6.29: Voltajes transitorios para una apertura exitosa de un banco decapacitores.

de irrupcion del capacitor. Asumiendo que esta interrupcion ocurre en elcruce por cero inmediato posterior al re-encendido, se presenta una secuenciacomo la mostrada en la Figura 6.31.

En este caso, el TRV es aun mas severo, segun se desprende de la Figura6.32. El TRV para la primera extincion del arco es de alta frecuencia perosu magnitud es tan reducida que no se alcanza a apreciar en la Figura. Larazon es que el voltaje del capacitor es practicamente igual al de la fuentecuando se inicia el transitorio. En cambio, para la segunda extincion del arcoel voltaje del capacitor es sustancialmente distinto al de la fuente porqueel transitorio de re-energizacion del capacitor aun no ha concluıdo. Comoresultado, el segundo TRV es mucho mas severo que el primero y eso aumentalas posibilidades de que ocurra un segundo re-encendido, y ası sucesivamente,con voltajes en el capacitor cada vez mayores. Teoricamente es posible que elproceso descrito se repita indefinidamente, resultando en voltajes de nivelescada vez mayores, hasta el punto en que se dane el capacitor o el interruptor,u ocurra un arqueo externo.

6.6.2 Re-ignicion al desconectar inductores

En la seccion anterior se considero el caso en el que el interruptor re-enciendeal desconectar un banco de capacitores. Dado que el TRV en la primera


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)VsIx50VcTRV

Figura 6.30: Voltajes transitorios para una apertura y reignicion de un bancode capacitores.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsVcIcx5

Figura 6.31: Voltajes transitorios para secuencia apertura - reignicion - aper-tura de un banco de capacitores.


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Figura 6.32: TRV para secuencia apertura - reignicion - apertura de un bancode capacitores.

apertura crece a un ritmo relativamente lento (frecuencia del sistema), laprobabilidad de que tal condicion se presente es baja porque los contactoshan tenido suficiente tiempo para separarse completamente para cuando sealcanza el maximo TRV. En cambio, para un circuito en el que domina lainductancia, es posible que se presente un cruce por cero de la corriente (ypor lo tanto una probable extincion del arco) en un instante para el que loscontactos apenas empiezan a separarse.

En un circuito inductivo, si la corriente se interrumpe exactamente en elcruce por cero, el voltaje de la fuente es maximo en ese instante. Esto semuestra en la Figura 6.33. Si la interrupcion ocurre cuando los contactosaun no se han separado completamente, existe la probabilidad de que ocurrauna reignicion del arco electrico. La corriente de re-ignicion es la suma de lacorriente en el inductor y la corriente en la capacitancia del devanado. Tieneuna componente de alta frecuencia y una componente a la frecuencia delsistema. Mientras esta corriente se establece, los contactos del interruptorcontinuan su viaje y favorecen una nueva interrupcion. Esta vez, sin embargo,la componente de alta frecuencia ocasiona que el cruce por cero de la corrienteen el interruptor ocurra cuando existe una corriente distinta de cero en elinductor. El resultado es que se inicia un fenomeno parecido al de supresionde corriente: la corriente en el inductor es forzada a cargar el capacitor,originando una elevacion en el voltaje del mismo. La Figura 6.34 muestra


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsVcTRV

Figura 6.33: Voltajes transitorios para apertura exitosa de carga inductiva.

los voltajes transitorios para una reignicion.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

4

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

VsVcTRV

Figura 6.34: Voltajes transitorios para apertura - reignicion - apertura decarga inductiva.

Capıtulo 7

Transitorios en transformadores

En las operaciones de conmutacion que envuelven transformadores y reac-tores, se presentan fenomenos que requieren consideracion especial. Ante-riormente se han presentado casos en los que se ha considerado suficientemodelar al transformador como una inductancian lineal; ahora se discutiranotros fenomenos para los cuales es necesario un modelo mas detallado dela caracterıstica de saturacion del nucleo ferromagnetico. Asimismo, hastael momento se ha representado a los transformadores como un todo, sinconsiderar los fenomenos que ocurren en el interior. En determinadas situa-ciones, es necesario examinar con mas detalle los fenomenos que ocurren en eldevanado, por ejemplo para determinar las tensiones que son transferidas ca-pacitivamente entre devanados, y la distribucion transitoria del voltaje entrevueltas y entre bobinas y tierra.

7.1 Modelado de transformadores para bajas

frecuencias

En esta seccion se propone un metodo de modelado de transformadores,adecuado para estudios de transitorios en bajas frecuencias, por ejemplola determinacion de corrientes de energizacion (inrush) o el diagnostico oprediccion de ferro-resonancia. En consecuencia, las capacitancias de los de-vanados se ignoran; en cambio, se incluyen las inductancias de dispersion yla inductancia de magnetizacion.

Con el metodo discutido es posible sintetizar un modelo del transformadoren base solamente a los datos de placa del mismo. Esto es una ventaja, porque

123

124 CAPITULO 7. TRANSITORIOS EN TRANSFORMADORES

en la practica resulta difıcil o inconveniente realizar pruebas de medicion deparametros de los transformadores, o bien no se dispone de los resultados delas pruebas efectuadas en fabrica.

La discusion considera un transformador trifasico, formado por tres mod-elos de transformador monofasico en donde se ignoran los efectos de aco-plamiento entre las fases o piernas del transformador. Cada transformadormonofasico se modela mediante el circuito equivalente clasico, al cual se leadiciona una rama de magnetizacion no lineal.

7.1.1 Datos requeridos

En la sıntesis del modelo se asume que se cuenta con los siguientes datos deltransformador:

• Capacidad nominal SB (VA).

• Voltajes nominales (primario y secundario) VB (V). Es comun emplearvalores de voltaje de lınea (VL).

• Porcentaje de impedancia serie %Z.

• Relacion X/R serie.

• Frecuencia de operacion f (Hz).

En la lista anterior, el subındice B indica cantidades “base”.

Probablemente la relacion X/R no se conozca. En ese caso, se puedeasumir un valor de 10 o algun otro a partir de la experiencia.

7.1.2 Impedancia serie

La impedancia serie del transformador (usualmente dada en porciento) es undato de placa. Esta determinada por la resistencia e inductancia de dispersionde los devanados.

El dato de impedancia o reactancia serie reportado en la placa del trans-formador representa la impedancia total, es decir la suma de la impedanciadel devanado primario y la del secundario. Podemos asignar la mitad de estaimpedancia a cada devanado.

7.1. MODELADO DE TRANSFORMADORES PARA BAJAS FRECUENCIAS125

El procedimiento para la determinacion de la impedancia serie en Ω escomo sigue. Primeramente se determina la impedancia base. Para unaconexion en Y, la impedancia base esta dada por:

ZB =V 2

L

SB

,

mientras que si la conexion es ∆, la impedancia base es:

ZB = 3V 2

L

SB

.

Se puede comprobar que estas dos expresiones se reducen a la expresion porfase siguiente:

ZB =V 2

φ

S1φ

.

La impedancia serie es entonces

ZS =%Z

100ZB

La reactancia serie se divide igualmente entre los dos devanados (primarioy secundario). Mas aun, puede asumirse que la impedancia es totalmentereactiva:

XL =ZS

2

Estrictamente, esto es incorrecto, pero el error es pequeno porque la re-sistencia del devanado regularmente es pequena comparada con la reactancia(recuerde que una valor tıpico de es X/R para transformadores es 10). Fi-nalmente, la resistencia del devanado esta dada por:

R =XL

X/R

El procedimiento anterior se efectua tanto para el lado primario comopara el secundario.

7.1.3 Rama de magnetizacion

El modelado del nucleo ferromagnetico del transformador puede efectuarseen base a la Tabla 7.1 . En ella se muestran datos de voltaje aplicado y


Tabla 7.1: Caracterıstica de magnetizacion en pu.

Vpu(RMS) Ipu(RMS)0.90 0.0051.00 0.0081.10 0.0151.20 0.0501.25 0.150

corriente de magnetizacion medida para un transformador en particular; losvalores han sido expresados en por unidad (pu), por lo que pueden aplicarsea cualquier otro transformador.

Al utilizar los datos de la Tabla 7.1, se esta asumiendo que las medicionesefectuadas a un transformador en particular pueden trasladarse y aplicarsea otro. Obviamente esto no es necesariamente correcto, pero el error intro-ducido se acepta a falta de mejores datos. Ademas, es de esperar que lostipos de acero empleados en transformadores, y los criterios de diseno delos mismos (p. ej. grado de saturacion) no varıen apreciablemente entrefabricantes.

7.1.4 Inductancia inicial de magnetizacion

En algunos programas de analisis de transitorios electromagneticos, por ejem-plo en ATP, se requiere especificar la inductancia de magnetizacion para bajasdensidades de flujo, con el objeto de realizar la inicializacion del modelo, queconsiste en una solucion en estado estacionario senoidal. Para ello, se requieredeterminar un par de valores de corriente de magnetizacion y encadenamientode flujo (I0, λ0), a partir de los cuales se determina una inductancia (lineal)de magnetizacion.

Estos valores se pueden calcular a partir de la Tabla 7.1: I0 es el valorde corriente de magnetizacion a voltaje nominal (1pu). Por otra parte, deacuerdo con la ley de Faraday las magnitudes de voltaje y encadenamientode flujo en el estado estacionario senoidal estan relacionadas por

V = ωλ.

Entonces, el valor de encadenamiento de flujo correspondiente a un nivel de

7.1. MODELADO DE TRANSFORMADORES PARA BAJAS FRECUENCIAS127

tension V0 esta dado por

λ0 =V0

2πf.

7.1.5 Ejemplo

Considere un transformador trifasico con los siguientes datos de placa:SB = 20MVA115kV ∆ / 13.8kV Y% Z = 9.6X/R = 10f = 60 Hz

Lado de alta tension

ZB =3× 1150002

20× 106= 1983.75Ω

ZS = 0.096× 1983.75 = 190.44Ω

XL =190.44

2= 95.22Ω

L =95.22

2× π × 60= 0.2525H

R =95.22

10= 9.522Ω

Lado de baja tension

ZB =138002

20× 106= 9.522Ω

ZS = 0.096× 9.522 = 0.9141Ω

XL =0.9141

2= 0.4571Ω

L =0.4571

2× π × 60= 0.0012H

R =0.4571

10= 0.04571Ω


Rama de magnetizacion

VB = 115000V

IB =20× 106

3× 115000= 57.97A

La curva de magnetizacion esta dada por los pares (v, i) (en volts y am-peres) siguientes:

(103500, 0.290)(115000, 0.464)(126500, 0.870)(138000, 2.900)(143750, 8.700)

Inductancia inicial de magnetizacion

I0 = 0.464A

λ0 =115000

2× π × 60= 305.04Wb

7.2 Corriente de irrupcion

Los ingenieros de protecciones estan familiarizados con el fenomeno de las co-rrientes de irrupcion (el termino en ingles es inrush) que se presentan cuandose energiza un transformador. En ocasiones, la proteccion de sobrecorrienteo diferencial opera y el interruptor abre inmediatemante despues de habercerrado. En esta seccion se analizara el fenomeno detras de este compor-tamiento.

La configuracion que analizaremos es la de una fuente de voltaje con de-terminada resistencia, que energiza una inductancia. El circuito es el mismoque el de la Figura 6.1, y ya se ha considerado el caso en el que la inductanciaes lineal: la corriente tiene una componente transitoria que disminuye expo-nencialmente, la magnitud de esta componente transitoria esta determinadapor el valor instantaneo del voltaje de la fuente al momento del cierre.

Podemos asumir que una situacion parecida va a ocurrir cuando la induc-tancia es no lineal, es decir cuando se tiene un transformador o reactor con

7.2. CORRIENTE DE IRRUPCION 129

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

010

Figura 7.1: Corrientes de irrupcion con angulos de cierre 0 y 10 grados.

nucleo ferromagnetico. Sin embargo, dado que la caracterıstica de magneti-zacion es similar a la mostrada en la Figura 2.7, la forma de la corriente va aser por completo distinta. Lo que sı se mantiene es la dependencia de la cor-riente resultante respecto al instante de cierre del interruptor. Por ejemplo,las Figuras 7.1 y 7.2 muestran la corriente para distintos angulos de cierrepara un transformador en baja tension. Para angulos pequenos, la corrientees casi senoidal, es decir con poca distorsion armonica, y su magnitud esrelativamente pequena. Sin embargo, para angulos de cierre mas cercanos alos 90 grados, se presentan corrientes de magnitudes de hasta dos ordenes demagnitud superiores, que ademas son asimetricas.

7.2.1 Analisis del fenomeno

Para comprender el fenomeno de energizacion de transformadores o reactorescon nucleo ferromagnetico, debemos recordar que el voltaje aplicado al de-vanado y el encadenamiento de flujo magnetico resultante estan relacionadospor (2.11). Asumiendo que el voltaje aplicado al momento de energizacion esuna funcion Vmsenωt, el encadenamiento de flujo debe ser −Λmcosωt + Λ0,donde Λ0 es el flujo remanente en el nucleo al momento de la energizacion(este valor es distinto de cero si el nucleo posee histeresis, y es cero de otramanera). Asumiendo que Λ0 es nulo, se tiene que el voltaje aplicado y el en-cadenamiento de flujo esperado deben ser como se muestra en la Figura 7.3.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−20

0

20

40

60

80

100

120

140

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

3090

Figura 7.2: Corrientes de irrupcion con angulos de cierre 30 y 90 grados.

Sin embargo, acabamos de establecer que el encadenamiento es cero al mo-mento de energizar; existe entonces una diferencia entre el encadenamientode estado estable y el existente al energizar. Esta diferencia no puede desa-parecer instantaneamente pues esto implicarıa un voltaje infinito. Ası pues,el encadenamiento debe iniciar en cero y no en el pico negativo, y su formade onda sigue a la del voltaje, segun se ilustra en la Figura 7.3. Entonces,aparece una magnitud de encadenamiento del doble de la magnitud normallo cual, cuando se combina con el hecho de que la curva de magnetizacion essaturada, explica la forma de onda de la corriente de irrupcion.

El regimen de corriente elevada no se mantiene indefinidamente, sino queva disminuyendo a medida que el encadenamiento de flujo va acercandose alvalor de estado estable. La rapidez con que esto sucede es una funcion dela resistencia del circuito, y por lo general es tal que se requieren tiemposdel orden de segundos para que se establezcan valores de estado estable.Se sigue aplicando el hecho de que la constante de tiempo es inversamenteproporcional a la resistencia. Estrictamente, dado que la inductancia es nolineal, y las perdidas en el nucleo del transformador se pueden representarcomo una resistencia adicional, no se puede hablar de constante de tiempoen el sentido de la relacion L/R, y la determinacion de la rapidez con quedecae el transitorio se torna en extremo complicada.

Para diferentes instantes de energizacion, la diferencia entre el encade-namiento final y el inicial es mayor o menor, y eso explica la variacion en

7.3. FERRO-RESONANCIA 131

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Enc

aden

amie

nto

de fl

ujo

(V s

)

VEF finalEF inicial

Figura 7.3: Voltaje aplicado y encadenamiento de flujo inicial y final.

la magnitud de la corriente de irrupcion. Asimismo, dado que el encade-namiento de flujo inicial esta desplazado hasta en 1pu, la corriente de ir-rupcion es unidireccional en algunos casos, y tiene una asimetrıa manifiesta.A medida que el flujo va acercandose al valor de estado estable, la asimetrıava desapareciendo.

En la anterior discusion, se ha asumido tacitamente que el transformadores monofasico. Para un transformador trifasico, dado que los voltajes estandesfasados en 120 grados, existe una alta probabilidad de que al menos unade las fases se energice con un angulo que provoque una corriente de ir-rupcion elevada. Para poner en perpectiva las magnitudes, se puede esperarque la corriente de magnetizacion de estado estable sea del orden de 5% dela corriente nominal, mientras que la corriente de irrupcion puede alcanzar300%.

7.3 Ferro-resonancia

En circuitos CL lineales, se dice que se tiene una condicion de resonanciacuando las impedancias de dos elementos se cancelan entre sı. Esto sucedeporque la impedancia capacitiva tiene signo opuesto a la impedancia induc-tiva, por lo que es posible que para ciertos valores de parametros y frecuenciaambas cantidades se anulen y se tenga una impedancia total muy baja. Lafrecuencia para la cual esto sucede se llama frecuencia de resonancia. Por


ejemplo, para un capacitor y un inductor conectados en serie, existe una fre-cuencia para la cual se observa resonancia serie. El circuito mostrado en laFigura 7.4 tiene una ecuacion de voltaje dada por

V s = VL + VC = I(jωL +1

jωC) (7.1)

Un posible diagrama fasorial de los voltajes y la corriente se muestran enla Figura 7.5. No solo la corriente resultante puede alcanzar valores muyelevados, sino que dado que los voltajes se cancelan, las magnitudes de voltajeen el capacitor y en el inductor pueden exceder cada uno el voltaje de la fuentey alcanzar tambien valores muy grandes.

Es claro que la condicion de resonancia debe evitarse en sistemas electricosde potencia o distribucion, pero en ocasiones puede presentarse, sobre todoen conjuncion con transformadores. Por eso mismo, cuando tal fenomeno sepresenta, se denomina ferro-resonancia, para enfatizar el hecho de que estapresente un nucleo saturable. La no linealidad del nucleo origina a su vezalgunos efectos particulares que consideramos a continuacion. Un ejemplo deuna condicion para la cual puede presentarse el fenomeno de ferro-resonanciase muestra en la Figura 7.6a. En esta, una de las fases del lado de altatension del transformador permanece conectada a la fuente, mientras que lasdos restantes estan abiertas; esto puede presentarse, por ejemplo, cuando dosde los fusibles se funden (condicion permanente) o bien momentaneamentecuando uno de los polos del interruptor cierra primero (condicion transitoria).El cable o lınea que va del fusible al transformador tiene cierta capacitancia,por lo que el circuito equivalente es como se muestra en la Figura 7.6b; seobserva que existe una conexion serie entre la inductancia del devanado y lacapacitancia del cable. La impedancia de la rama inductiva entre B y C esalta comparada con la de la combinacion inductancia-capacitancia, y puedeeliminarse del modelo.

7.3.1 Ejemplo

Para la configuracion mostrada en la Figura 7.4 pero tomando en cuenta laresistencia del devanado, siguiendo los metodos explicados previamente setiene que las ecuaciones de estado estan dadas por:

di

dt=

vs −Ri− vc

dλdi

(7.2)


L

CVs

Figura 7.4: Circuito CL serie. En ciertas situaciones, puede presentar elfenomeno de resonancia.

I

V

V

V

L

C

S

Figura 7.5: Diagrama fasorial para circuto CL serie.


A

Vs

B

C

G

G

A

B CVs

Figura 7.6: Transformador delta-estrella con dos fases abiertas y circuitoequivalente.


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

2500

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

Vs500xIcVc

Figura 7.7: Tensiones en la fuente y en el capacitor para un caso de ferro-resonancia.

dvc

dt=

iLC

(7.3)

Dependiendo de la combinacion de valores, la respuesta transitoria del cir-cuito cuando se conecta la fuente senoidal puede ser como ya se ha vistopara el caso de energizacion de bancos de capacitores. Sin embargo, si lacapacitancia es lo suficientemente grande y la inductancia se considera nolineal, entonces aparecen ciertos efectos peculiares, como los ilustrados en laFigura 7.7. Se obseva que la corriente tiene una forma de onda no simetricay alcanza caracterısticas de pulso en ciertos instantes; esto se debe a que elvoltaje en el inductor es elevado. Respecto al voltaje de la fuente, el capaci-tor alcanza valores de alrededor de 3 p.u. que coinciden con el cruce por cerode la corriente.

Es claro que una condicion ası no es aceptable. Si la configuracion delcircuito es permanente, por ejemplo el caso de una fase del transformadorconectada y dos fases abiertas, entonces existe la posibilidad de que aparezcaun dano al equipo. Si la condicion es transitoria, por ejemplo como resul-tado del cierre de un polo del interruptor antes que los otros dos, entoncesla condicion de alto voltaje no se mantiene por mucho tiempo y es menosprobable que se dane el equipo.


7.4 Transferencia capacitiva

Los devanados de los transformadores tienen una capacitancia entre vueltas ya tierra. En condiciones de operacion de estado estable, esta capacitancia nose toma en cuenta porque su impedancia es muy alta. Sin embargo, ya hemosvisto que cuando no existe una trayectoria alternativa, por ejemplo en lasoperaciones de desconexion, tal capacitancia juega un papel muy importante.Otra situacion en la que se hace necesario tomar en cuenta la capacitancia escuando el rango de frecuencias del fenomeno abarca valores de kHz, porqueen ese caso la impedancia capacitiva toma valores menores y porporciona porlo tanto trayectorias de corriente que usualmente no se consideran.

Por ejemplo, suponiendo que se esta considerando el efecto que un tran-sitorio de conmutacion en el lado de alta tension tiene sobre las cargas dellado de baja tension, podrıamos recurrir a un modelo del transformador comoel mostrado en la Figura 7.8. Las capacitancias a tierra modelan el mediodielectrico entre el devanado y el nucleo ferromagnetico, mientras que la ca-pacitancia entre devanados modela el medio dielectrico entre las bobinas dealta y baja tension. Para una frecuencia lo suficientemente alta, las inductan-cia propias y mutuas se comportan practicamente como un circuito abiertoy unicamente las capacitancias determinan el fenomeno.

La consecuencia de esta situacion es que, cuando ocurre un transitorio dealta frecuencia en uno de los lados del transformador, este se ve reflejado en elotro lado. Sin embargo, la relacion inductiva de transformacion no interviene,sino que la trayectoria proporcionada por la capacitancia entre devanados esresponsable por la transferencia del transitorio. A mayor frecuencia, menorimpedancia capacitiva; entonces, para frecuencias muy altas los devanadospracticamente estan conectados a un punto comun y el voltaje transitoriodel lado de alta, por ejemplo, se transfiere en su totalidad al lado de baja.

7.5 Transitorios en devanados

Un devanado de un transformador, o en general de cualquier maquina elec-trica, consiste en vueltas aisladas de un conductor sobre un nucleo ferro-magnetico. Electricamente, tal configuracion es en extremo complicada,porque existen capacitancias distribuıdas entre vueltas y entre conductor ytierra, y las vueltas consideradas individualmente se acoplan magneticamenteentre sı ademas de estar conectadas en serie. Por lo mismo, un modelo de-

7.5. TRANSITORIOS EN DEVANADOS 137

Figura 7.8: Modelo de circuito de un transformador para rango amplio defrecuencias.

tallado de esta configuracion puede llegar a ser muy complejo. Cuando elenfasis es en el efecto total, el devanado se puede representar mediante unoscuantos elementos concentrados, la inductancia y la capacitancia totales deldevanado por ejemplo.

Cuando el enfasis es en el comportamiento interno del devanado, se debeencontrar un modelo adecuado que permita determinar las cantidades de in-teres. Esta informacion es importante para el disenador del transformadoro maquina, porque le permite determinar los esfuerzos dielectricos a los queestara sometido el aparato durante su operacion. Los resultados obtenidostambien pueden serle utiles, por lo menos desde el punto de vista cuali-tativo, a quien opera el equipo, pues ayudan a explicar las causas de falladielectrica, y a proponer posibles remedios. Un modelo simple puede tomarsecomo punto de discusion. Mediante tecnicas de simplificacion de circuitos, sepuede mostrar que la red escalera de la Figura 7.9 es un posible modelo deldevanado [6]. Para asignar valores numericos a los parametros, se debe tenerinformacion dimensional y de los materiales utilizados. Este tipo de modeloes adecuado para estudios de transitorios de conmutacion; para transitoriosmas rapidos, por ejemplo para determinar la distribucion inicial de voltajesen el caso de descargas atmosfericas, se encuentra que las frecuencias involu-cradas son tan altas, que las inductancias en la red escalera actuan comobarreras a la corriente. En otras palabras, el flujo magnetico no alcanza a es-tablecerse y la red se puede simplificar mas aun a una red escalera capacitiva.La corriente que circula entonces es debida exclusivamente a la corriente dedesplazamiento en el asilamiento del devanado.

En la Figura 7.10 se muestran las tensiones en la vuelta inicial y en el


Figura 7.9: Red escalera que modela a un devanado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

6

Tiempo (s)

Vol

taje

(V

)

1000xIsViVm

Figura 7.10: Tensiones en la vuelta inicial y media de un devanado para unimpulso de corriente.

medio del devanado para el caso en que se aplica una corriente de impulsode 2x20µs, 1000A pico. Los parametros de la red escalera que modela aldevanado son: inductancia de 0.1mH, capacitancias a tierra de 2.5 µF , ycapacitancias entre vueltas de 370µF . El tipo de fuente de impulso que seutilizo modela una descarga atmosferica directa.

Parte IV

Redes de parametrosdistribuıdos

139

Capıtulo 8

Lıneas de transmision

Los casos transitorios considerados hasta ahora tienen la caracterıstica comunde que se han modelado a base de elementos de circuito de parametros concen-trados. En cualquier circuito o equipo, estos parametros (R, L, C) son en re-alidad cantidades distribuıdas, pero en muchos casos los resultados obtenidosson suficientemente realistas para justificar su uso.

En determinadas circunstancias, sin embargo, la naturaleza distribuıdade los componentes debe tomarse en cuenta. El caso obvio es el de lıneas detransmision, pero los devanados de maquinas rotatorias y transformadorestambien admiten una representacion distribuıda (sobre todo cuando se estu-dian transitorios rapidos y se esta interesado en las condiciones al interior deldevanado). Al contrario que en el caso concentrado, en un sistema distribuıdose observan ondas viajeras (de voltaje y corriente).

El comportamiento de lıneas electricas de transmision tiene algunos as-pectos comunes con otros fenomenos de propagacion como el flujo de agua enun canal y la transmision de sonido dentro de un tunel. Una red LC escaleratambien muestra algunas caracterısticas comunes si el numero de elementoses suficientemente grande.

En una lınea de transmision, un disturbio en el inicio viaja a traves de lalınea con velocidad finita, y es advertido al extremo de la lınea solo despuesde que ha transcurrido un intervalo de tiempo. La velocidad de propagaciones la velocidad con la que viajan las ondas electromagneticas en la lınea yesta determinada por sus caracterısticas fısicas. Esta velocidad es constantesi los parametros distribuıdos son constantes.

Algunas nociones validas en el caso de circuitos de parametros concen-trados dejan de tener validez en el caso de lıneas electricas. Por ejemplo, la

141

142 CAPITULO 8. LINEAS DE TRANSMISION

corriente que esta entrando en la lınea en un instante dado no necesariamentees igual a la que sale en el otro extremo.

8.1 La ecuacion de onda

Consideramos inicialmente una lınea de transmision de dos conductores, sinperdidas. Tal lınea tiene una cierta inductancia distribuıda que toma un valorl por unidad de longitud, y una capacitancia distribuıda que toma un valor cpor unidad de longitud. Consideramos un tramo de la lınea de longitud ∆xy concentramos la inductancia y la capacitancia en los elementos mostradosen la Figura 8.1. Entonces, usando las definiciones de la misma figura, setiene que el incremento de voltaje es

∆v = −l∆x∂i

∂t, (8.1)

que en el lımite se convierte en

∂v

∂x= −l

∂i

∂t. (8.2)

De igual manera, el incremento de corriente es

∆i = −c∆x∂v

∂t, (8.3)

que en el lımite queda∂i

∂x= −c

∂v

∂t. (8.4)

Estas son las dos ecuaciones de una lınea bifilar sin perdidas. Las ecua-ciones estan acopladas en v e i. Derivando una de ellas respecto a x y larestante respecto a t y sustituyendo, se obtienen las siguientes ecuacionesdesacopladas:

∂2v

∂x2=

1

ν2

∂2v

∂t2, (8.5)

∂2i

∂x2=

1

ν2

∂2i

∂t2, (8.6)

donde

ν =1√lc

(8.7)

8.1. LA ECUACION DE ONDA 143

La solucion general de ecuaciones de este tipo es de la forma

v = f1(x− νt) + f2(x + νt), (8.8)

segun fue demostrado por D’Alembert. Una solucion similar existe para lacorriente. Las funciones f1 y f2 representan ondas viajeras. Para compro-barlo, observe que en t = 0 se tiene que la funcion f1 vale f1(x), es decir unadistribucion espacial dada. Especialmente, para x = a se tiene f1(a). Paraun tiempo posterior, este valor f1(a) aparece en x = a+νt. Esto implica quela distribucion inicial f1(x) se ha desplazado en la direccion positiva de x.Similarmente, la onda f2 viaja en la direccion negativa de x. Ambas ondas sedesplazan con velocidad ν y por lo tanto a esta cantidad se le llama velocidadde propagacion.

Como consecuencia de las ecuaciones, un disturbio en algun punto de lalınea, como puede ser la aplicacion de un voltaje o una corriente, resulta enel inicio de dos pares de ondas viajeras: un par que viaja en la direccionpositiva (un voltaje acompanado de una corriente) y otro par en la direccionnegativa (nuevamente un voltaje acompanado de una corriente).

Suponiendo que se ha determinado la solucion (8.8) para el voltaje enla lınea, entonces (8.4) puede utilizarse para determinar la corriente, proce-diendo como sigue. Consideremos inicialmente el primer termino del ladoderecho de (8.8), y definamos

y = x− νt, (8.9)

de dondef1(x− νt) = f1(y). (8.10)

Sustituyendo esta expresion en (8.4) y usando la regla de la cadena:

∂i

∂x= −c

∂f1

∂y(−ν), (8.11)

la cual se puede integrar en x quedando

i =∫

xcν

∂f1

∂ydx. (8.12)

Sin embargo, de la definicion de y se desprende que dx = dy y se puedecambiar el dominio de integracion a y:

i =∫

ycν

∂f1

∂ydy = cνf1, (8.13)


+

-V

∆

∆

L

C

I

x∆ x

Figura 8.1: Elemento diferencial de una lınea de transmision de dos conduc-tores.

que despues de sustituir la expresion para ν queda

i =f1

Z0

, (8.14)

donde Z0 es la impedancia caracterıstica y esta dada por

Z0 =

√l

c. (8.15)

El mismo procedimiento se puede aplicar a la componente f2 de (8.8), por loque la solucion completa para la corriente es:

i =1

Z0

f1(x− νt)− 1

Z0

f2(x + νt). (8.16)

Se concluye que voltaje y corriente estan relacionados por la impedanciacaracterıstica Z0, pero el signo relativo de ambas cantidades depende delsentido de viaje de la onda: voltajes y corrientes viajando en el sentidopositivo tienen signos iguales, pero voltajes y corriente viajando en el sentidonegativo tienen signos contrarios.

8.2 Reflexion y refraccion

La corriente y el voltaje en una lınea de transmision estan relacionados porla constante Z0, la impedancia de la lınea. Cuando esta cambia de un punto

8.2. REFLEXION Y REFRACCION 145

a otro (en un punto de discontinuidad, por ejemplo la union de dos lıneasdistintas), debe ocurrir algun ajuste en la magnitud de voltajes y corrientes,el cual toma la forma de dos nuevos pares de ondas: un voltaje y una corrientereflajados que empiezan a viajar en sentido opuesto a la onda incidente, y unvoltaje y una corriente refractados en el mismo sentido que la onda incidente.

Considere por ejemplo la union de dos lıneas A y B tales que ZA > ZB,con un voltaje escalon v1 incidente. Entonces

i1 =v1

ZA

(8.17)

es la corriente incidente. Si la onda de voltaje reflejada se denota por v2 y larefractada por v3, entonces

i2 = − v2

ZA

, (8.18)

i3 =v3

ZB

. (8.19)

Corriente y voltaje deben ser continuos en la union, de donde

v1 + v2 = v3, (8.20)

i1 + i2 = i3. (8.21)

Sustituyendo en la ecuacion de corrientes:

v1

ZA

− v2

ZA

=v3

ZB

, (8.22)

que conduce al coeficiente de reflexion

v2 =(

ZB − ZA

ZA + ZB

)v1, (8.23)

y al coeficiente de refraccion

v3 =(

2ZB

ZA + ZB

)v1. (8.24)

En la Figura 8.2 se muestran los perfiles de voltaje y de corriente en unpunto de discontinuidad. Se puede apreciar que el efecto de un cambio deimpedancia en la lınea es la aparicion de ondas reflejadas; desde un puntode vista practico, por ejemplo en lıneas de transmision para comunicaciones,este reflejo es indeseable porque impide que la energıa enviada en un extremoalcance el otro; es por esta razon que se deben igualar las impedancias alconectar lıneas de transmision o cargas.


V1

Za Zb

I1

V2V3

I3I2

Figura 8.2: Ondas reflejadas y refractadas en un punto de cambio deimpedancia.

8.3 Terminaciones de lıneas

En la seccion anterior se discutio el efecto de un cambio de impedancia en lalınea. Una impedancia colocada al final de la lınea, por ejemplo una induc-tancia representando a una carga, es un caso de un cambio de impedancia,igual que los dos casos lımite de una lınea terminada en un corto circuito yuna lınea terminada en circuito abierto.

8.3.1 Lınea terminada en corto circuito

En una lınea terminada en corto circuito (es decir, en una impedancia cero),una onda incidente de voltaje da lugar a un voltaje reflejado que cancelaexactamente al voltaje incidente, puesto que el voltaje refractado es cero.Asumiendo que la lınea se energiza mediante un voltaje escalon, este em-pieza a viajar hacia el extremo hasta alcanzar el corto circuito. Si el voltajeincidente en este punto es v y la corriente i, las ondas reflejadas tendran mag-nitud −v e i respectivamente (recuerde que el signo de voltajes y corrienteses opuesto en el sentido negativo de viaje). Estas relaciones se traducen enque el voltaje en la lınea se cancela a medida que la onda reflejada viaja haciala fuente, pero la corriente se duplica (puesto que es la suma de la onda inci-dente original y de la onda de corriente reflejada). Cuando la onda reflejadallega a la fuente, y dado que se asume una fuente de voltaje constante en lamisma, se inicia una nueva onda de voltaje v en sentido positivo, con unacorriente i asociada que, sumada a las ondas de corriente que ya existıan enla lınea, arroja una magnitud de 3i. El proceso continua similarmente, de

8.3. TERMINACIONES DE LINEAS 147

manera que para un observador situado en un punto sobre la lınea, el voltajealterna entre v y 0, mientras que la corriente asume los valores 0, i, 2i, 3i,4i, .... Un observador situado en la fuente ve un voltaje constante v, y unacorriente i, 3i, 5i, ... Por su parte, un observador situado en el extremo dela lınea ve un voltaje siempre de 0, y una corriente 0, 2i, 4i, ...

8.3.2 Lınea terminada en circuito abierto

Para una lınea terminada en circuito abierto (es decir, en una impedancia in-finita), la corriente en la terminacion debe ser cero en todo momento. Cuandouna onda incidente de voltaje v1 llega al punto de terminacion (acompanadade una onda correspondiente de corriente i1), una nueva onda −i2 se iniciade modo que se cumpla la condicion de frontera; esta onda de corriente refle-jada va acompanada de una onda de voltaje +v2. Entonces, el voltaje en elextremo abierto es igual a 2 veces el voltaje de la fuente. Cuando las ondasreflejadas llegan a la fuente, que asumimos es de voltaje constante, se formauna onda de voltaje −v3 de modo que se cumpla la condicion de frontera devoltaje, acompanada de una corriente −i3. A su vez, cuando estas alcanzanel extremo abierto de la lınea, originan ondas −v4 y +i4 reflejadas que via-jan hacia la fuente. Un observador ubicado en la fuente percibe un voltajesiempre constante y una corriente que alterna entre +i y −i. Un observadoren el extremo abierto de la lınea percibe una corriente siempre nula, y unvoltaje que alterna entre 0 y 2v. Un observador ubicado en un punto de lalınea que no sea uno de sus extremos percibira un voltaje que pasa de 0 a v,2v, v, 0, etc, mientras que observara una corriente de 0, i, 0, −i, 0, etc.

8.3.3 Terminacion general

Para una terminacion general formada de componentes R,L y C, un analisiscualitativo como el presentado en los dos casos anteriores no es posible. Unadificultad que se presenta inmediatamente es decidir que valor de impeden-cia asignar al circuito de terminacion, si sabemos que para un elemento decircuito el valor de la impedancia depende de la frecuencia. Una manera demanejar el problema es recurriendo a la transformacion de Laplace, mediantela cual las impedancias del elemento terminal pueden usarse para determinarlos coeficientes de reflexion y refraccion.


8.4 Lıneas de transmision de potencia

El analisis y resultados presentados hasta ahora se aplican a lıneas bifilaressin perdidas. Sin embargo, las lıneas de transmision usadas para transmisionde potencia electrica son multiconductoras con retorno por tierra. Aunquealgunos de los resultados obtenidos siguen siendo aplicables, existen puntosque debemos considerar en este caso.

8.4.1 Resistencia

En primer lugar, dado que las lıneas reales tienen resistencia, es de esperarseque parte de la energıa transmitida vaya perdiendose conforme la onda viaja.Esto resulta en una distorsion de la onda viajera, es decir en un cambio de suforma de onda. No solo la resistencia serie de los cables, sino tambien perdidasdebidas a efecto corona contribuyen a las perdidas totales. Mas aun, laresistencia de la lınea es una funcion de la frecuencia de la onda transmitida,es decir, la resistencia en una funcion de la frecuencia. Si recordamos que unaonda arbitraria se puede considerar formada de una onda fundamental y unnumero de terminos armonicos, se puede ver que cada componente armonicase atenua de manera distinta, de acuerdo a su frecuencia, y frecuencias altasse atenuan mas rapidamente. Como resultado, una funcion de impulso comola de una descarga atmosferica, se distorsiona y atenua a medida que viajapor la lınea.

Aunque el terreno no se usa intencionalmente como conductor (la cor-riente de retorno por tierra es cero en condiciones balanceadas), intervienecuando se presentan condiciones de falla. La resistencia del terreno es tambiendependiente de la frecuencia.

8.4.2 Multiconductores

Las lıneas de transmision de potencia electrica son trifasicas, y es posible quecuenten con uno o mas cables de guarda. Tambien es frecuente que dos omas lıneas trifasicas se monten en la misma estructura, y esto constituye unalınea de transmision con n conductores. El analisis de tal sistema sigue lasmismas lıneas generales que para el caso de la lınea bifilar [7]. La ecuacionde la lınea de transmision es la forma matricial de (8.5), quedando:

∂2V

∂x2= LC

∂2V

∂t2, (8.25)

8.4. LINEAS DE TRANSMISION DE POTENCIA 149

donde L y C son las matrices de inductancia y capacitancia del sistema. Laecuacion matricial anterior cosnta de un numero de renglones igual al numerode conductores en la lınea. La matriz de inductancia tiene los terminosde inductancia propia de cada conductor en la entrada diagonal respectiva,mientras que los terminos de inductancia mutua son las entradas fuera de ladiagonal. Similarmente, la capacitancia a tierra es el termino diagonal, y lascapacitancias mutuas entre conductores son las entradas fuera de la diagonal.

Dado que se tienen n ecuaciones acopladas, existen n modos de propa-gacion en la lınea multiconductora, y cada modo tiene una velocidad depropagacion. La justificacion de esto es que, si se aplica una transformacionque diagonalice el sistema de ecuaciones, entonces se tendrıan n ecuacionesindependientes de lınea de transmision, y la propagacion en cada una de estaslıneas desacopladas se desarrolla con una velocidad distinta para cada modo.A este metodo de diagonalizar las ecuaciones y analizarlas en el dominiotransformado se le conoce como analisis modal.

8.4.3 Acoplamiento

Desde el punto de vista electrico, dos lıneas de transmision adyacentes formanun solo conjunto. De esta manera, un disturbio propagado en una de las lıneasaparecera en la otra por efecto del acoplamiento inductivo y capacitivo. Estosucede por ejemplo en el caso de interferencia en lıneas telefonicas debidoa un transitorio en una lınea de transmision de potencia electrica cercana.Otro caso es la induccion y consecuentes perdidas por acoplamiento de unalınea con tuberıa o vallas metalicas debajo de la misma.

Un caso relacionado es el acoplamiento de una descarga atmosferica conuna lınea. Existen dos mecanismos por los cuales una descarga atmosfericaafecta al sistema de transmision: puede suceder que la corriente de descargase drene a tierra a traves de los conductores de la lınea, o bien que unadescarga directa al suelo se acople electromagneticamente con la lınea y deesta manera se origine una sobretension en los conductores de la misma.

8.4.4 Modelado

Las consideraciones apuntadas en las secciones anteriores sirven para daral lector una idea de la complejidad que presenta el analisis transitorio delıneas de transmision. De la misma manera que la simulacion de circuitos conparametros concentrados es en muchos casos el unico recurso practico, ası la


simulacion de lıneas de transmision es un camino mas facil que la solucion ex-acta. Esta simulacion puede llevarse a cabo recurriendo a la descomposicionmodal mendionada arriba; este es el caso del programa ATP, por ejemplo.

Una complicacion es el hecho de que para poder simular el compor-tamiento de una lınea se ha de especificar un modelo e la misma que estaformado por las matrices de inductancia, capacitancia y, en el caso de lıneasde transmision con perdidas, de resistencia y conductancia. El calculo deestas matrices no es tarea sencilla, pero por lo mismo existen programas decomputacion especializados que pueden utilizarse para tal fin, por ejemploLCC (Line and Cable Constants).

Bibliografıa

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[3] H.W. Dommel. Digital computer solution of electromagnetic transients insingle- and multiphase networks. IEEE Transactions on Power Apparatusand Systems, 88:1801–1809, April 1969.

[4] Can/Am EMTP User Group. Alternative Transients Program Rule Book.1995.

[5] University of Wisconsin at Madison. Electromagnetic transients program(EMTP) workbook. EPRI, 1986.

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Documents

Transitorios en Redes Electricas-Melgoza (2007)