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TEMA 9: MODULACION-DEMODULACION Electrónica General y Aplicada1999

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TRANSMISION DE SEÑALES ANALOGICAS Y DIGITALES

La comunicación entre dos puntos sea analógica o digital, tienen consideraciones encomún:

1º Si la distancia es corta algunos metros o fracción de ello. 2º Si la distancia es larga, centena de metros o varios Km.

En el primer caso es común ver transmisiones serie (monitor y teclado) y paralelo (o cuasiparalelo) en el caso de las impresoras (conexión tipo centronic).Cuasi paralelo se dice al tipo Centronic, porque transmite en paralelo en 8 bits (más laslíneas de Control). Las CPU actuales son de 16, 32 bits.En el segundo caso, la transmisión - recepción, de allí el término ¨transceptor¨ (transmisor/ receptor), en adelante Tx / Rx, la comunicación es siempre SERIE, por razones prácticasy económicas.La transmisión analógica serie que todos conocemos, es la radiodifusión y aquí surge laprimera inquietud ¿Cómo transmitir la banda de Audio (20 Hz a 20 KHz aprox.), donde vapor el aire y a varios Km la palabra y la música?.Si hubiera que hacer una antena para la banda de Audio, se deben respetar los aspectostécnicos de diseño, que fundamenta a antenas de longitud de dimensiones l/2, l/4 o l/8de longitud de onda.

λ: longitud de onda.

ƒ: frecuencia de la onda.c: velocidad de la luz, en el vacío 300.000 Km / s, varía con el medio, en el aire 299.600Km / s

Siendo la relación c= λ.ƒ

Imaginemos la señal de audio de mayor ƒ = 20 Khz.

λ= (299.600 Km) = 14.980 m (más de 14 Km) (20.000 Hz.)El tamaño de la antena sería 1/2, 1/4, o 1/8 de ese valor, lo que demuestra lo impráctico.Además un e interatómico es:

E = h . ƒ

h : constante de Plank


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quiere decir que a menor frecuencia el circuito electrónico debe suministrar mayorpotencia para propagar dicha señal. Esto es válido a nivel interatómico, a nivel macro,(ver APENDICE A).¿Cómo se solucionan ambos inconvenientes, de propagar a gran distancia una señal y ala vez reducir al mínimo la longitud de antena y la energía para transmitir?

Respuesta: “MODULANDO”

MODULACION Y DEMODULACION

Existen varios métodos de modulación, pero concentraremos la atención en los de mayoruso:- Modulación de Amplitud.- Modulación de Frecuencia.- Modulación de Fase.Desde el punto de vista matemático es el producto de 2 señales de diferentesfrecuencias.

modulación = portadora x moduladoraportadora (carrier)

ec(t) = Ac cos(ωc t + Φ)

variar variar variar fase amplitud(AM) frecuencia(FM) (PM)

moduladora(modulater) es la información, el mensaje propiamente dicho.

em(t) = Am cos ωm t

La demodulación, es el proceso inverso, que se realiza a la llegada de una señalmodulada, para decodificar el mensaje, (moduladora) separándolo de la portadora.


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MODULACION DE AMPLITUD (AM)Es la más antigua y sigue vigente, obsérvese que cada emisora radial, tiene unafrecuencia asignada por la Comisión Nacional de Comunicaciones(CNC) y con ella llegaa los hogares.Esta frecuencia, es fija y en la misma provincia o región, no puede ser ocupada por otrousuario, esta frecuencia se llama Portadora, y el mensaje ( la palabra o la música) es laquien modula y esto se llama Moduladora. El valor instantáneo de la portadora:

e = Ac cos ωc t

por ejemplo una emisora de 760 KHz, transmitida así como tal, es una señal cosenoidal(o senoidal), que no lleva información. Si definimos a A1 como amplitud que depende dela moduladora.Cuando la moduladora esta ausente

e = A1 cos ωc t = Ac cos ωc t(portadora solamente)

Cuando la moduladora está presente

A1 = Ac + K Am cos ωm t Esto representa la tensión moduladora y

k un factor de proporcionalidad

Obviamente: los circuitos electrónicos se diseñan para que cumplan con el producto deportadora y moduladora.La expresión completa

(-1-) e = (Ac + K.Am cos wm t) .cos wc t

Amplitud Frecuencia

recordando cosa. cosb= 1/2 cos(a-b)+1/2 cos(a+b), la expresión se convierte


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(-2-) e = Ac cos ω c t + K.Am .[cos (ω c -ω m)t+cos (ω c +ω m)t] 2

viendo la ecuación, se observan 3 frecuencias

ωc ; (ωc + ωm) y (ωc - ωm)

Figura:TR09_01.Se puede graficar la amplitud en función de la frecuencia, se llama gráfico de espectro defrecuencia. El siguiente gráfico es tridimencional al planar Avs. f (espectro de frecuencia)se le agrega el eje de tiempo para observar con más claridad.


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Figura:TR09_02.

NOTA: w y f se pueden graficar en el mismo eje porque la única diferencia es unaconstante 2p

volviendo a la ecuación (-1-)

(1) e = Ac (1+ K.Am cos ωm t) .cos ωc t Ac

K.Am = m = índice de modulación

Acreemplazando en (-2-)

(2) e = Ac cos ωc t + m.Ac . [cos 2p (φc-φm) t + cos 2p (φc + φm)]

m = varía de 0 a 1 ó 0 a 100%


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Figura:TR09_03.

Figura:TR09_04.

Esto se llama sobremodulación y genera distorsión por intermodulación. (m > 1)La señal modulada, se propaga por el aire y a la llegada a la antena del receptor (algunosmicro Volt), la señal de radiofrecuencia se amplifica y luego se convierte a una frecuencia


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estandarizada (normalizada a 455/465 KHz. EE.UU/Argentina), se llama Frecuenciaintermedia (F.I.), se amplifica nuevamente, luego se separa a la portadora del mensaje(moduladora), esta etapa se llama detección, y luego a las etapas de Amplificación deAudio.

Figura:TR09_05.

El rectificador y detector más simple es el siguiente

Figura:TR09_06.

CF es pequeño (≅ 100 pF ), de manera que Xc para la portadora es un cortocircuito Xc ≅0 y para la Moduladora es un circuito abierto (Xc ≅ INFINITO)El diodo detector es de Ge o de Si tecnología Schottky ambos con Vd = 0,2V .


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MODULACION DE FRECUENCIA (FM)

En esta modulación, la amplitud de portadora se mantiene constante y lo que varía es sufrecuencia en función de la Moduladora.

portadora e = Ac cos ωc tmoduladora e = Am cos ωm t

señal modulada

(-3-) e = Ac cos(ωc t + kf Am sen ωm t) wm

multiplicando y dividiendo por 2p es:

kf . Am/2p= mf = ∆f= δ ωm fm

2pδ : índice de modulación de frecuencia

∆f: normalizado a 5 KHz

Señalmoduladora

Señalmodulada enfrecuencia


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Figura:TR09_07.

A mayor amplitud de la moduladora aumenta la frecuencia de la portadora.Cuando la moduladora cruza por cero, mantiene la frecuencia original de portadora. Lanorma internacional requiere que el corrimiento de frecuencia entre el mínimo y máximo

espacio(desviación de frecuencia) sea solamente de 5 KHz., ∆f = 5 KHz.

RECEPCION DE FRECUENCIA MODULADA

Se recibe por antena, se amplifica, se convierte a F.I. que para la F.M. es 10,4 KHz, eldetector se llama discriminador y se obtiene el mensaje, luego se amplifica comocualquier señalde audio.El discriminador es un circuito que a las variaciones de frecuencias recibidas lasconvierte en variaciones de amplitud.El discriminador es un variador fasorial (vectorial).

MODULACION Y DEMODULACION POR FASE(PM)

A la FM, si el circuito electrónico se encarga de evaluar el corrimiento de fase (Phase) ocruces por cero de la señal modulada en FM, el concepto es que estamos modulando porfase.

PM : Phase Modulation.

DEMODULACION DE PMEs idéntico a la recepción de FM, pero la decodificación de la señal deinterés(moduladora) es por la detección de FASE de esa señal.

Graficar la ecuación (-3-)

e = Ac cos( ωc t + kf Am sen ωm t) ωm

a b


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Tiene la forma cos (a+b) =[cos a . cos b - sen a . sen b] da una serie de Bessel

Figura:TR09_08.

La función de Bessel, da un conjunto de armónicas con la característica de dar unarespuesta de fase lineal y retardo constante para un rango limitado de frecuencia.Justamente desde el punto de vista práctico, cualquier modulación tiene acotado un rangolimitado de ancho de banda de frecuencia.

MODULACION DE SEÑALES DIGITALES

Transmitir señales digitales siempre es un compromiso: velocidad es inversamenteproporcional a la distancia.A medida que la distancia es mayor los 0s y 1s (0V y +V), propagados por los medios detransmisión: cables, líneas telefónicas; por la atenuación, impedancia (R, L, C), generaretardos, solapamiento y no se entiende la información.La fibra óptica se libera de R, L, C, pero tiene otras pérdidas por propagación de la luz através de un vidrio especial.

Figura:TR09_09.

Para evitar esos inconvenientes y no tener que sacrificar la velocidad, se hace necesariola MODULACION.


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En general para velocidades > 1.200 bps (bits por segundo) y distancia > 300 m serecomienda algún tipo de Modulación.

Las modulaciones analógicas más usadas:1º FSK (Frecuency Shift Keying).2º DPSK (Differencial Phase Shift Keying).3º AM (Amplitude Modulated). ASK(Amplitude Shift Keying)

No confundir con CODIFICACION, banda base, Manchester, etc.

MODULACION ES DIFERENTE DE CODIFICACION

El principio de la modulación de los 1s y 0s, es dar un carácter analógico a los mismos,para hacer posible la transmisión a grandes distancias, con cables, líneas telefónicas, RFhay ruidos presentes y no hay que perder información, es decir una tasa de erroraceptable, error menor a 1 bit cada 107 bits transmitidos. Esta modulación en el ambientedigital se conoce como transmisión en banda ancha.

MODULACION FSKEs una modulación en frecuencia. Para una portadora de 1.700 Hz. es modulada en 500Hz. para representar los estados binarios.

1.200 Hz. = 0 -500 Hz= 02.200 Hz. = 1 +500Hz=1

Aplicación:En bajas velocidades, comandos de teleimpresoras y apta para via telefónica, RF y entelemetría. Su velocidad límite es aproximadamente de 1.800 bps(bits por segundo)

MODULACION DPSKTrabaja bajo el principio de diferenciar a la fase, de manera que cuando se desplaza 180ºlee un ¨0¨, caso contrario un ¨1¨.Aplicación:Para velocidades mayores a 2.000 bps, la mayoría de los MODEMs de 4.800 y 9.600 bpstrabajan bajo esta modulación.Importante:Esta técnica de modulación es operar en 4 u 8 fases, para enviar el doble o triple dedatos en el mismo ancho de banda. Allí aparecen los modems 36.000 bps o superiores. Ancho de banda de telefonía o canal de voz es de 300 Hz. a 3.000 Hz.


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Otro aspecto interesante de la modulación que un canal de voz reducido se puede enviarinformación a velocidad alta.

Figura:TR09_10.

MODULACION EN AMPLITUD (ASK)

Figura:TR09_11.


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Esta permite lograr diferentes niveles de modulación de amplitud (por ejemplo 4 niveles),permite enviar el doble de datos en el mismo instante de tiempo, pero es más susceptiblea los ruidos que la FSK y DPSK.El ruído más común es por amplitud.

CONCLUSIONLas más populares FSK y DPSK.

MODEMEl origen de la palabra MOdulador DEModulador.Es un circuito electrónico que puede modular y demodular simultáneamente. Cualquierade las técnicas antes mencionadas FSK, DPSK suelen venir en condiciones normales enel mismo modem.INTRODUCCION:Desde una computadora o sistema con microprocesador, a través de la unidad Paralelo -Serie es posible transmitir y recibir con 3 líneas “como mínimo”.Típica conexión mínima de un puerto serie RS-232C.

Figura:TR09_12.

En distancia corta esto es posible.Pero siempre hay que tener presente VELOCIDAD Vs. DISTANCIASon inversamente proporcionales entre sí. Cuando la distancia hace insegura latransmisión se hace imprescindible el uso de Modem.MODEM externo (external), tiene gabinete propio y se conecta al puerto serie RS-232Cde la computadora o el controlador.MODEM interno (internal), es una placa que se inserta en el slot de la computadora ocontrolador. Ambos MODEM´s funcionan y sirven por igual.Lo normal para manejarlo con computadora es que se acompaña con un utilitario(Software), para inicializar las condiciones de comunicación, tiene menú y ayuda, que norequiere curso especial de manejo.¿Qué hace el MODEM?


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Modular la señal proveniente del puerto RS-232C. A la llegada, el otro modem demodulay transfiere al otro RS-232C¿Qué son tipos de canales de comunicación?Hay tres tipos básicos de canales.Supongamos una comunicación entre 2 puntos A y B

Figura:TR09_13.

En el full-duplex no hay línea de masa unida entre los 2 puntos de comunicación.Es bidireccional, transmiten y reciben simultáneamente .

Ejemplos

simplex: terminales de comprobación en supermercados, salidas a impresoras, es dedos hilos(señal y masa)semiduplex: es en realidad de 2 hilos (señal y masa), su uso más común el transceptor,pulsar para hablar, soltar para escuchar, el pulsador se le llama PTT (Push To Talk).duplex: Es también de 2 hilos, comunicación con Modem por teléfono, RF, computadorasy en FAX.¿Cómo trabaja el MODEM?Cada Modem tiene 2 etapas Transmisor (Tx) Receptor (Rx) y para adaptarse a 2 hilos ypoder entablar enlace semi o full duplex en la línea dispone de un DUPLEXOR.El duplexor a la llegada, se encuentra con las mezclas de señales y deriva la Tx por unlado y Rx por el otro. El duplexor a la salida recibe Tx y Rx por separado y los mezcla paraingresarlo a la línea de 2 hilos.


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Figura:TR09_14.

DUPLEXOR

Figura:TR09_15.El viejo teléfono ya tenía duplexor (bobinas L),el duplexor es el que permite hablar yescuchar simultáneamente.En una comunicación por teléfono de dos MODEM´s en full-duplex hay presente 4señales.

Tx1 ----->Rx2 2 Tx : Tx1 y Tx2 Rx1<----- Tx2 + 2 Estados : f1=0 f2=1 4 combinaciones posibles. NORMAS DE TRANSMISION PARA MODEM

Hay 2 universalesCCITT:(Comité Consultivo Internacional Telegráfico y Telecomunicaciones), del mercadocomún Europeo.BELL o E.I.A.: usadas en EE.UU.Cada norma define la frecuencia para el ¨0¨y el ¨1¨.


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Cada modem, se le puede definir como ORIGINADOR o RESPONDEDOR(ORIGINATE-ANSWER)

BELL:Originador: 0=1070 Hz. 1= 1270 Hz. Respondedor: 0=2025 Hz 1=2.225 Hz. Ancho de Banda 200 Hz

CCITT:Originador: 0=980 Hz. 1= 1180 Hz. Respondedor: 0=1650 Hz 1=1850 Hz.

Ancho de Banda 200 Hz

Ancho de banda de originador: 200Hz.Ancho de banda de respondedor: 200 Hz.

De allí que dos MODEM´s en Full-duplex hay presente 4 frecuencias, supongamos enNorma BELL

Figura:TR09_16.En semiduplex de a 2 frecuencias por vez, y en simplex 2 frecuencias solamente.

TRANSCEPTORES VHF O UHF


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Son los de mayor uso, su costo es competitivo. Que sea VHF o UHF se refiere a la bandade frecuencia en que se comunican. Todos trabajan en FM.Cada país determina las frecuencias de cada banda en general. Se unifica el criterio demayor uso (U.S.A y M.C. Europeo)VHF : Very High FrecuencyUHF : Ultra High FrecuencyRango de frecuencia:

Amplitud modulada 530 a 1600 KHzBanda ciudadana 50 a 108 MHzVHF banda baja: aficionados 144 a 154 MHzVHF banda baja: TV 174 a 216 MHzVHF banda alta 240 a 290 MHzUHF 470 a 940 MHzAviaciónSeguridad

a partir de 1.000 Mhz = 1 GHz se consideran microondas.Banda ciudadana son los radio taxi, emisora FM cercanas, etc.

VELOCIDADES DE MODEM´s (En equipos industriales)Las más comunes 300, 600, 1.200, 2.400, 4.800, 9.600 y 19.200 baudios, además hayque especificar la norma CCITT o BELL.

MODEM´s SINCRONICOS Y ASINCRONICOS:Sincrónico: dentro de la información que llega, existe un bit adicional por cada byte quees el pulso del clock.Asincrónico: La información que llega se decodifica con el clock local.El éxito, que ambos clock cumplan con la norma y frecuencia.

SISTEMA HALF-DUPLEX y FULL-DUPLEXEl full-duplex es más veloz y necesario para velocidades de 4.800 bps o mayores, pero serequieren en comunicaciones por RF disponer de 2 frecuencias portadoras f1 y f2. Lasfrecuencias se gestionan ante la CNT.El semiduplex se aplica mucho hasta 2.400 bps, cuando hay una estación central ymuchos puntos de comunicación en RF, requiere una sola frecuencia f1, (una portadora).En telefonía, se usan ambos, en cable y fibras ópticas también.

CODIFICACION DIGITAL(Banda Base)


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A diferencia de las modulaciones analógicas(FSK,DPSK,ASK) que se llamancomunicaciones en banda ancha, existen más de 10 formas de codificar informacióndigital o en banda base.Se describirán algunas.En Binario:Es la más simple, se respeta el período ∆t = 0 para detectar el estado 0 o 1

.

Figura:TR09_17.∆t: período de cada bit

A veces se envía un pulso de sincronismo al final de la transferencia de datos. Se deberespetar que, tanto transmisor y receptor tienen que tener clock a igual frecuencia.

Aplicaciones:En bajas velocidades y corta distancia, es el método de más bajo costo.

CODIGO MANCHESTERPara evitar corrimientos de los clock´s y aumentar la confiabilidad.Hay diversas formas de codificar la información binaria, todas, con el objeto de bajar lasinterferencias por ruido que generan falsas lecturas (falsos pulsos).La codificación MANCHESTER o Bifase L (Biphase Level) es una de las codificaciónesbifásicas, una vez, durante el intervalo de cada bit, eso lo mantiene sincronizado.El código Manchester, usa un cambio en la mitad de cada intervalo de bit, pararepresentar el valor binario.Una transición de baja a alto ( ), representa “O” lógico (space) y una transición de altoa bajo ( ), representa un “1” lógico (mark)


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Figura:TR09_18.

El bit es codificado en la mitad del intervalo de cada bit,

= 0 = 1 Obsérvese cuando hay dos “1s! ó

dos “Os” consecutivos cambia el ancho de la onda cuadrada, pero eso no tieneimportancia, porque en recepción se evalúa en la mitad del período si el flanco escreciente o decreciente.Hay un cambio de nivel en la mitad del período del bit remitido, independiente que seaeste 0 ó 1; algunos autores lo llaman Manchester Diferencial, porque permite transmitirdatos y clock. El que cambie siempre en la mitad del período del bit, permite elsincronismo en el circuito de recepción.Aparte del Manchester hay tres formas diferentes de codificación bifásica, son las másusadas en almacenamiento en disco, de mediana velocidad.

Esquema de un Decodificador Manchester con microprocesador (µP)

Descripción:

1)El primer bit de dato, genera una interrupción por software. El inversor-separador(buffer) esta habilitado por el(µP) y también la interrupción por hardware.2)La interrupción por hardware, inicia un conteo de tiempo por soft es un retardo (delay)de tiempo T.3)Cumplido T, ya se está en el otro medio período del siguiente bit y se habilita el ingresodel dato al Registro Serie.

Ventaja: No hay corriente de clock en la recepción porque se actualiza cada vez que secumple un período T.

Información complementaria de la Codificación MANCHESTER


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Es un sistema de mediana velocidad 192 Kbit / s, otros autores dicen hasta 1Mbit/s,ensayado hasta 120 m con cable telefónico, doble envainado(par trenzado) con muybuenos resultados.Aplicaciones: entre CPU y terminales impresoras alejadas; que permite unirlas con unasola línea telefónica.Este circuito necesita estar sincronizado para funcionar correctamente. Esto se logra conla primera sucesión 1⇒ 0ó 0⇒ 1 que llegue.

Figura:TR09_19.

Lo que indica que en la decodificación el primer bit no es válido y se usa de sincronismo.

Figura:TR09_20.


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Figura:TR09_21.Manchester diferencial, es otra codificación que permite transmitir datos y clock en unamisma forma de onda.Hay un cambio de nivel en la mitad del período del bit remitido, cualquiera sea éste 0 o 1

Figura:TR09_22.


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Apéndice A:

Potencia de radiofrecuencia (RF) y Potencia Emitida.

1-Potencia de RF.

Esta referida a la potencia de la etapa de salida de un amplificador clase C. Vcc : Tensión Alimentación. R1

c : Es la carga total de colector que incluye el circuito resonante.

En forma general:

0 < k ≤1

Cada tipo de modulación a esa expresión le agrega particularidades, por ejemplo en AM(amplitud modulada)

Po = Vcc.Ic (1+ m2 ) 2m: índice de modulación 0 ≤ m ≤ 1 sí m > 1 hay sobremodulación

2-Potencia Emitida.

Es la potencia emitida por la antena al medio de propagación.Las antenas son una especialidad de las radiocomunicaciones, su formato geométrico,longitud en función de la frecuencia, medio y forma de propagación etc. no es motivo deesta materia.

2h. p. Ι2 L2 cos2 ω ( t-r )Pot. emitida= v 3 λ 2


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η: Impedencia intrínsica para onda plana;µ para el vacío 376,7 W permeabilidad del medio E=permitividad del medio.Ι: corriente efectiva en la antenaL: longitud en m. de la antenar: distencia de la antena receptora a la transmisorav: velocidad de la luz en el aireλ: longitud de onda de la señal, en m.

Observando lo desarrollado en 1- y 2-.

Dá una idea que, para llegar a comunicarse entre 2 puntos distantes es necesario elcálculo de potencia de RF, pero también es cierto que para ese mismo enlace, una señalde mayor frecuencia (menor ), requiere menos potencia de RF, porque en antena se logramayor Ganancia.Esta comparación es válida si se hace con líneas de transmisión (coaxil, conectores,guías de anda, antenas) de igual valores de pérdida.

Por otro lado.

Cuando una onda se propaga en un medio (aire sin obstáculos), aparecen pérdidas pordifracción S. E=E0 . S

E: intensidad de Campo en el medio.E0: intensidad de Campo en el espacio libre.S: pérdidas por difracción. Con obstáculos estas pérdidas aumentan.menor S mayor pérdidas.

sU

=1

2 π . U

Hcrs

= rs d dd d= +λ 1 2

1 2.

U: parámetro que indica mínima distancia entre 2 conductores o un conductor y tierra(cleanrance parameter)Hc: altura de obstrucción.rs : primera zona de fresnelλ : long. de onda en m.


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T Antena de Transmisión

Ñ =cf

=3 10

1

8x m ss

//

Ñ R Antena de Recepción

d2 d1 R1 Antena imagen Difracción: es el rodeo al pasar la onda por un objeto o partícula del aire, que causainterferencias entre las diversas componentes esparcidas por el espacio de propagación.Otra conclusión:La mayor F de la onda de radio (menor λ), disminuye el valor de S, indicando que > fmayor perdida en el espacio de propagación.

NO OBSTANTE

Las antenas a mayor frecuencia son de mayor rendimiento y compensa ampliamente laspérdidas por difracción.

Por eso a mayor frecuencia, menor potencia eléctrica de transmisión.


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ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

NOMBRE MEDIO DE TRANSMISION APLICACIÓN

Ultravioleta 1015Hz Visible Fibras ópticas Rayo Láser Experimental

Infrarrojo 1014Hz

Experimental 100GHz

Onda multimétrica Microondas Navegación Super alta Fre- Guía de ondas Satélite-Saté- cuencia Microondas Tierra-Satélite 10GHz 1cm. Radar 100MHz UHF TV 10cm Ultra alta frecuencia SHF. Aeronáutica 1m Muy alta fre- VHF TV y FM 10MHz cuencia VHF 10cm Onda Corta Radio Alta frecuencia Cable Coaxil HF Negocios 100m Radio Amateur 1MHz Media frecuen- Internacional cia Banda Ciudadana HF 1km AM Broadcasting 100KHz Baja frecuencia LF Aeronáutica 10km Onda Larga Cable Submarino Muy baja frecuen- Navegación cia Pares de cables Radio trans- 10KHz VLF oceániconico100km Audio Telefonía 1KHz Telegrafía

Long. de onda Frecuencia


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♦♦FIN TEMA9♦♦

Corregido por: Hernando Castillo, Ayudante de segunda año 1999Revisado por: Adolfo González, Profesor Adjunto, año 1999

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