TRANSPORTE DE SEDIMENTOS EN RÍOS ALUVIALES TRANSPORTE DE …

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TRANSPORTE DE SEDIMENTOS EN RÍOS ALUVIALES

JESÚS ABEL MEJÍA MARCACUZCO

JAVIER ANTONIO GOICOCHEA RÍOS

Gestión Integrada de losRECURSOS HÍDRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA

LA MOLINA


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JESÚS ABEL MEJÍA M.

© Jesús Abel Mejía Marcacuzco© Universidad Nacional Agraria La MolinaAv. La Molina s/n La Molina

Derechos reservados

ISBN: N° 978-612-4147-77-7Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2017-01767 Primera Edición: Febrero 2017 – Tiraje: 500 ejemplaresImpreso en Perú – Printed in Perú

Diseño y diagramación de carátula:Roxana Perales Flores

Diseño, diagramación e impresión: Q&P Impresores S.R.L.Av. Ignacio Merino 1546 Lince - Lima [email protected] 2017

Queda prohibida por la Ley del Perú la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, químico, óptico, incluyendo sistema de fotocopiado, sin autorización escrita de la Universidad Nacional Agraria La Molina y del Autor. Todos los conceptos expresados en la presente obra son responsabilidad del autor.

Jesús Abel Mejía Marcacuzco


Lima: 2017; 214 p.

Ph.D. EnriquE ricarDo FlorEs MariazzarEctor

Dr. JorgE alFonso alarcón novoavicErrEctor acaDéMico

Dra. carMEn Eloisa vElEzMoro sánchEzvicErrEctora DE invEstigación

Dr. José carlos vilcaPoMaJEFE DE FonDo EDitorial

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

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“ Muchas personas deben la grandeza de sus vidas a los problemas y obstáculos que tuvieron que vencer”

SPURGEON

La elaboración de este libro no hubiera sido posible sin el interés y ánimo que nos brindaron colegas, estudiantes y amigos; en especial profesores del Departamento Académico de Recursos Hídricos de la Facultad de Ingeniería Agrícola y estudiantes del Programa de Maestría y de Doctorado en Recursos Hídricos de la Universidad Nacional Agraria La Molina, con quienes compartimos puntos de vista sobre la materia que motivaron a producir un trabajo, en lo possible, con cierta claridad sobre los temas tratados.

Dedico este trabajo a la memoria de mis padres Lucio y Laura, personas humildes, que supieron orientar sus hijos para enfrentar la vida con dignidad y perseverancia.

A mi esposa Redina, mi hijo Luis Abel y mis hermanos Lucio, Aquilino, Aydé, José y René por sus consejos y apoyo permanente.

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Contenido

Presentación 9

I ESTUDIO DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS EN RÍOS 11

1.1 Introducción 111.2 Importancia del estudio de transporte de sedimentos 121.3 Métodos de investigación en transporte de sedimentos 131.4 Modelos hidráulicos 15

II MORFOLOGÍA FLUVIAL 23

2.1 Procesosfluviales 232.2 Clasificaciónderíos 25

III HIDRÁULICA DE RÍOS ALUVIALES 35

3.1 Introducción 353.2 Características hidráulicas de ríos aluviales 363.3 Información básica para cálculos hidráulicos en ríos 373.4 Ecuación de conservación de masa 423.5 Ecuación de cantidad de movimiento 443.6 Solución numérica de la onda cinemática 463.7 Solución numérica de las ecuaciones de Saint Venant 513.8 Método de las características 523.9 Métododediferenciasfinitas 563.10 Métododevolúmenesfinitos 603.11 Flujo unidimensional en régimen permanente 623.12 Flujo bidimensional en régimen permanente 683.13 Flujo unidimensional en régimen transitorio 76

IV PROPIEDADES DE LOS SEDIMENTOS 83

4.1 Propiedades individuales de las partículas de sedimento 834.2 Propiedades de los sedimentos en conjunto 87

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V INICIO DE MOVIMIENTO Y DISEÑO DE CANALES ESTABLES 97

5.1 Introducción 975.2 Condición crítica de inicio del movimiento 985.3 Análisis de Shields 1005.4 Estabilidad de una partícula en la pared del canal 1025.5 Criterio de la velocidad permisible 1035.6 Criterio de la fuerza tractiva 1055.7 Ecuaciones empíricas para el cálculo de la fuerza tractiva crítica 107

VI CONFIGURACIÓN DEL LECHO EN RÍOS ALUVIALES 117

6.1 Introducción 1176.2 Clasificacióndelasconfiguracionesdellecho 1176.3 Prediccióndelasconfiguracionesdellecho 119

VII DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES Y RESISTENCIA AL FLUJO 127

7.1 Introducción 1277.2 Distribucióndevelocidadesparaflujoturbulento 1277.3 Parámetroscomunesquedescribenlaresistenciaalflujo 1317.4 Ecuaciones de resistencia global en cauces de lecho móvil 1337.5 Ecuacionesderesistenciaalflujoconsubdivisióndelaresistencia 136

VIII TRANSPORTE DE SEDIMENTOS DE FONDO 147

8.1 Introducción 1478.2 Ecuación de Du Boys 1488.3 Ecuación de Meyer Peter y Muller 1508.4 Ecuación de Shields 1528.5 Ecuación de Einstein-Brown 1528.6 Ecuación de Rottner 1538.7 Ecuación de Garde y Albertson 1548.8 Ecuación de Misri, Garde y Ranga Raju 1558.9 Ecuación de Einstein 1578.10 Ecuación de Kalinske 1628.11 Ecuación de Engelund y Fredsoe 1648.12 Ecuación de Yalin 1648.13 Ecuación de Bagnold 1658.14 Ecuación de Van Rijn 1668.15 Ecuación de Parker 166

IX TRANSPORTE SÓLIDO EN SUSPENSIÓN 177

9.1 Mecanismo de suspensión 1779.2 Integración de la ecuación de concentración de sedimentos 178

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9.3 Ecuación de Einstein para el transporte sólido en suspensión 1819.4 Ecuación de Lane y Kalinske para el transporte sólido en suspensión 1829.5 Ecuación de Garde y Pande 1829.6 Ecuación de Bagnold 1839.7 Ecuación de Bijker 1839.8 Ecuación de Van Rijn 184

X TRANSPORTE SÓLIDO TOTAL 193

10.1 Introducción 19310.2 Ecuación de Laursen 19410.3 Ecuación de Garde y Datari 19510.4 Ecuación de Graf y Acaroglu 19510.5 Ecuación de Bagnold 19510.6 Ecuación de Engelund y Hansen 19510.7 Ecuación de Yang 19610.8 Ecuación de Ackers y White 19610.9 Ecuación de Shen y Hung 19710.10 Ecuación de Raju 197

XI REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 207

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PresentaCión

La Universidad Nacional Agraria La Molina pone a disposición de estudiantes y profesionales el libro titulado “Transporte de Sedimentos en Ríos Aluviales”, el cual constituye un valioso aporte al desarrollo de la ingeniería en el país. Esta publicación se realiza dentro del programa de publicaciones del Fondo Editorial de esta casa de estudios, la cual viene publicando libros de las diferentes especialidades que abarca la universidad y cuyos autores son profesores de este centro superior de estudios.

El Dr. Jesús Abel Mejía Marcacuzco, autor del libro, profesor Principal del Departamento de Recursos Hídricos de la Facultad de Ingeniería Agrícola, es un profesional de gran prestigio, con una amplia experiencia en el campo de la ingeniería de Recursos Hídricos, autor de diversas publicaciones sobre temas relacionados a recursos hídricos.

Lacaracterísticafundamentaldelaproducciónbibliográficadelautorson:claridadenellenguaje, estructuración didáctica de la obra, claros objetivos y sobre todo, aplicaciones prácticas muy precisas a la realidad nacional. Este libro será de gran utilidad para los profesionales y estudiantes de ciencias e ingeniería, en cuyos capítulos se incluyen temas muy importantes como la morfología fluvial, la hidráulica de ríos, las propiedades de los sedimentos, la configuración dellecho,lasecuacionesderesistenciaalflujo,eldiseñodecanalesestables,laestimacióndel transporte de sedimentos por arrastre de fondo, en suspensión y transporte total, entre otros.

Fondo EditorialUniversidad Nacional Agraria La Molina

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Capítulo I

estudio del transPorte de sedimentos en ríos

1.1 Introducción

Los principales problemas concernientes a ríos aluviales se pueden dividir en tres principalestipos:1)relacionadoalflujodeaguaenríos,2)relacionadoaltransportedesedimentosy3)relacionadoaldesarrollodellechodelrío.

Elpresentetextoaborda,conmayorénfasis,altemadelflujodeaguaenríosrelacionadosal transporte de sedimentos, con la finalidad de presentar algunas técnicas, métodos,aproximaciones y formulaciones matemáticas disponibles para la estimación del caudal sólido transportado por los ríos aluviales.

El conocimiento del transporte de sedimentos es muy importante para realizar el análisis hidráulico del río y los ajustes a la dinámica de los sistemas del río, que son el resultado de múltiples fenómenos complejos en los cauces naturales. La aplicación de estos estudios beneficiará, entre otros, el desarrollo de actividades de preservación y la generaciónde respuestas a las preocupaciones medioambientales actuales; siendo algunas de sus aplicaciones:sedimentaciónenembalses,erosiónysedimentaciónencaucesnaturales,erosiones localizadas como es el caso de socavación alrededor de pilares de puentes, diseñodeestructurasdecaptación,etc.

La gran cantidad de ecuaciones del cálculo del transporte de sedimentos en cauces aluviales que han evolucionado a través del tiempo, han restringido, en cierto sentido, laeficaciadelasmismas,motivoporelcualelingenierodebeincluirensusestudios,métodos y aproximaciones. Para resolver el problema existen básicamente dos enfoques el determinístico, que procura expresar en ecuaciones el fenómeno físico del transporte de sedimentos y el empírico que procura obtener relaciones entre las variables, directamente a través de datos obtenidos y medidos en campo o en estudios de laboratorio.

El transporte de sedimentos involucra una interacción compleja entre las numerosas variables interrelacionadas como el caudal, la velocidad, la pendiente del río, la

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profundidad, el esfuerzo cortante, la potencia de la corriente, la rugosidad del cauce, el Número de Froude y otros, que dieron origen a diferentes tipos de ecuaciones cuya aplicaciónaunríoespecíficopuedendarresultadosdrásticamentediferentes.Estetipodeanálisis nos cuestiona respecto a la exactitud y validez de las ecuaciones y a la necesidad de comprobar y calibrar adecuadamente las ecuaciones con datos medidos en campo y otra serie de factores, como por ejemplo, condiciones hidrológicas locales, condiciones geomorfológicas globales, etc., y tantas otras variables de las que dependerá la exactitud de nuestra ecuación, que en cierta medida será una muy buena aproximación a los fenómenos físicos del transporte de material sólido que ocurre en las corrientes de agua naturales.

En el presente libro se pretende presentar el estado actual del conocimiento acerca de la mecánica de transporte de sedimentos aplicados a ríos aluviales con una descripción ámplia de la base teórica y problemas de aplicación a diferentes casos.

1.2 Importancia del Estudio de Transporte de Sedimentos

El estudio de transporte de sedimentos es importante en la solución de los siguientes problemasdeIngenieríahidráulica:

Proyectos de Ingeniería de Ríos: Protección de taludes contra la socavación, mejoramientodecanalesparanavegación,diseñodebocatomasenríosquetransportansedimentos, estructuras de control de inundaciones.

Estructuras de cruce de ríos: Diseñodepuentes,líneasdetuberías,etc.Laseguridadde tales estructuras depende principalmente de la erosión. El colapso de la mayoría de los puentes se debe al alto grado de socavación de los ríos aluviales.

Estructuras de represamiento de ríos: Presas,vertederos(aliviaderos),barrajes,etc.Elflujoenríostienedostiposdeefectoseneltransportedesedimentos.Elremansocausadoinduce la sedimentación aguas arriba y la erosión aguas abajo. Por lo tanto la estabilidad de dichas estructuras depende del efecto de sedimentos locales.

Estructuras de Puertos: Las estructuras de puertos ubicadas en márgenes de los ríos, deben ser protegidas contra la deposición de sedimentos, debido a la disminución del tirante, lo que produce problemas de operación en puertos.

En canales de irrigación: Conlleva a un alto costo de mantenimiento debido a que el sedimentosedepositaentramosmuylargosdelcanal.Lasoluciónconsisteeneldiseñoadecuadode labocatomaoeldiseñodealgunaestructurade sedimentaciónantesdelingreso al canal principal.

En reservorios: La deposición de sedimentos trae consigo la reducción de la vida útil del reservorio,porloquesedebendiseñarestructurasqueevitenelingresodesedimentosalreservorio.

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En general son dos los tipos de problemas que se encuentran en todo estudio de sedimentos enconexiónconeldiseñodeestructurasdeproyectosdeingenieríaahidráulica.

Problema Tipo A

Problema donde los valores relativos de transporte de sedimentos es de interés principal (Incrementoodecrementodelacapacidaddetransporte).Estetipodeproblemasocurreen el estudio de estructuras de ríos, en el cual el cambio relativo de la capacidad de transporteesesencial.Sedebeentenderquepasarádespuésqueunaestructuracomo:muros de encausamiento, barrajes, diques o terraplenes se construyen y obstruyan parte delflujoenelrío.Elbuenentendimientodelmecanismodeltransportedesedimentosesesencial para manejar estos problemas.

Problema Tipo B

Problema en el cual la cantidad absoluta del sedimento transportado por el río debe ser determinado o estimado. Este tipo de problemas se encuentran en caso como la sedimentación en reservorios o en el cálculo de la deformación del canal, donde dicha deformación es función del tiempo y viene a ser un aspecto esencial en la predicción. En tales casos un valor absoluto de la sedimentación o erosión debe ser estimado. Ello implica el conocimiento no solo el mecanismo del transporte de sedimentos sino también de las constantes que intervienen en las ecuaciones de transporte. Debido a que las fórmulas de transporte de sedimentos no son de tipo general las constantes de las fórmulas, deben ser obtenidas por calibración en el respectivo río mediante mediciones apropiadas.

En todo problema de ingeniería, donde se tenga que estudiar el transporte de sedimentos, esimportantedefinirexactamenteelobjetivodelestudiooinvestigacióneidentificareltipodeproblemaantesmencionado.Unavezdefinidoelproblemasepuedeaplicarunmétodoespecíficoyapropiadoparaelestudioquepodríaserinvestigacionesdecampo,de laboratorio o modelamiento matemático, etc.

1.3 Métodos de Investigación en Transporte de Sedimentos

Una vez definido el problema de Ingeniería y el objetivo del estudio de sedimento,el método de investigación puede ser escogido. Las siguientes actividades pueden considerarse:

a) Formulación de un modelo descriptivo

Casi siempre al inicio del estudio, la formulación matemática del problema es difícil. En estos casos es mejor empezar con un modelo descriptivo o una interpretación fenomenológica del problema a ser resuelto.

b) Observaciones y mediciones de campo

Es muy raro que todos los datos necesarios estén disponibles para el estudio, puesto que

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lainformaciónnecesariaesespecífica.Lainvestigacióndecampopermitelaformulacióninicial de los objetivos de un modelo descriptivo. Estas investigaciones generalmente conllevan a problemas debido a que por ejemplo, la muestra de datos no puede ser usada en los cálculos siguientes, por lo que se pierde dinero y tiempo. En general una investigación de campo es muy cara y requiere de mucho tiempo para llegar a conclusiones valederas.

c) Observaciones en flumes y experimentos

Debido a que las observaciones y mediciones de campo están limitadas por la disponibilidad de tiempo y condiciones hidrológicas no es posible controlar todos los parámetros que afectan el transporte de sedimentos, por lo que deben ser soportados por observaciones y experimentos en laboratorio, los cuales resultan ser menos costosos y fácil de organizar enunlaboratoriodehidráulicaapequeñaescala.Ciertaspropiedadesimportantesdelossedimentos pueden ser determinadas en laboratorio, como las condiciones críticas del movimiento incipiente, propiedades de sedimentación de las partículas, etc. Los valores obtenidos en laboratorio no son exactamente los que corresponden a los obtenidos en el río, sin embargo mantienen una buena correlación. Las constantes de las fórmulas de transporte de sedimentos en la mayoría de los casos, han sido obtenidas en experimentos de laboratorio, por lo que se debe hacer mediciones de campo para comparaciones y correcciones.

d) Relaciones empíricas y fórmulas

Una amplia variedad de fórmulas empíricas han sido desarrolladas y pueden ser usadas para la estimación preliminar del transporte de sedimentos, erosión o sedimentación. Se debetenerpresentequeestasfórmulaspordefiniciónpuedendarsolovaloresmedios,más no la cantidad exacta. Estas fórmulas han sido probadas por muchos autores, encontrándose diferencias muy grandes entre los resultados en el orden de varios cientos de por ciento. En algunos casos la comparación con mediciones de campo no es posible, como tampoco es posible determinar que fórmulas puede dar mejores resultados, solo la experiencia y el criterio ingenieril permite recomendar una determinada fórmula, en base a un análisis de sensibilidad.

e) Modelación matemática

Definidoelproblemaylosobjetivosdelestudioyhabiendocoleccionandounacantidadnecesariadedatosdecampo(Soportadosporexperimentosdelaboratorio)yhabiendoseleccionado una determinada fórmula empírica para ser usada en los cálculos, puede considerarse que las condiciones están dadas para la formulación de un modelo matemático que consiste de un conjunto de cálculos matemáticos complejos que puede predecir la solución del problema de transporte de sedimentos. La calibración del modelo es una de las fases más importantes, pero no siempre es posible realizarlo, debido a las dificultadesdedisponesdedatosdecamposuficientesparalacomparaciónderesultadosentre los valores predichos y observados. El análisis de sensibilidad del modelo da una buena indicación al investigador sobre si la dirección de la investigación es la correcta o no, en todo caso que otras investigaciones adicionales se deben realizar.

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f) Modelos escalares

Debido a las limitaciones de la modelación matemática como por ejemplo la no resolución de problemas bidimensionales y tridimensionales y teniendo en cuenta el punto de vista económico, los modelos físicos son por lo tanto indispensables en la investigación de la ingeniería hidráulica. Sin embargo existen grandes dificultades en la aplicación demodelosescalaresaproblemasdetransportedesedimentos.Apesarqueelpatróndeflujopuede ser simulado con un alto grado de precisión, el movimiento del sedimento solo puede ser reproducido en el modelo de manera cualitativa. Las relaciones de similitud pueden ser deducidas a partir de fórmulas mediante el cual el transporte de sedimento puede ser estimado. A veces es necesario combinar el modelo matemático con el modelo físico, por lo tanto el movimiento de sedimentos pueden ser calculados mediante las fórmulas disponibles. Este tipo de modelos se le conoce como modelos híbridos.

1.4 Modelos Hidráulicos

Escualquiermodelofísicoparalasimulacióndelflujo,estadodelflujoyeventos,losqueconciernen a problemas de Ingeniería Hidráulica. En general los modelos hidráulicos son reproduccionesapequeñaescaladelprototipoenlaboratorio,quepuedenserenalgunoscasosaescala1:1.Enestecasounaparterepresentativadelprototipoesconstruidaenel laboratorio, donde el proceso del flujo y sus efectos pueden ser investigados bajocondiciones de frontera controlable. Este caso ocurre cuando los resultados en modelos depequeñaescalasoncuestionables.

En las pruebas de los modelos hidráulicos es usual el uso del agua, por lo que está disponible en abundancia, lo que permite ventajas económicas y de comparación con otrosfluidos.Enelestudiodetransportedesedimentos,porelcontrariosehanllevadoacabo modelos con glicerina en vez de agua y carbón en vez de arena.

a) Mecanismos de Similitud:

Lasimilitudentreelprototipoyelmodeloimplica:Similitudgeométrica,cinemáticaydinámica.

Similitud geométrica: La similitud geométrica del modelo se da cuando todas las longitudes geométricas del prototipo (Lp), mantienen una relación constante con lacorrespondiente longitud del modelo (Lm).

Escala=

p

m

LL

longitudesdeescaladeFactor== L

m

p

LL

η

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Similitud cinemática: Requiere que los eventos que dependen del tiempo en el prototipo, mantengan una relación constante con los del modelo.

Tiempo de escala deFactor==

m

pT T

Tη

Similitud Dinámica: Es necesario asegurar que la relación entre los esfuerzos en el prototipo y en el modelo tenga una relación constante.

Fuerzas de escala deFactor==

m

pF F

Fη

b) Reglas de cálculo

Siconsideramoslosparámetrosx,y,zsecumpliráque:

( ) ( ) ( )cz

by

ax

cba zyx ηηη =⇒=

tzxytzxy ηηηη ++≠⇒++=

Porejemplosiconsideramos:

1 : 1son y

2

2

gsiyg

vg

PZH ρρ

++=

⇒≠ zH ηη La presión no puede ser puesta a escala ya que zH ηη ≠ . Esto es conocido como efecto de escala desde que Hη no tiene la misma escala que zη .

Leyes escalares: Son leyes válidas tanto en el prototipo como en el modelo como por ejemplo:LaecuacióndeChezyoManning.

c) Limitaciones del Modelo Hidráulico:

• El modelo hidráulico debe tener ciertas dimensiones, las cuales son limitadas por el área disponible en el laboratorio, la capacidad de la bomba y por las condiciones de similitud.

• Unodelosproblemaseseltamañodelmodelo,debidoainadecuadasescalas.Asíel

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efecto de la viscosidad viene a ser importante cuando la escala del modelo es muy pequeñaypuedellegaraestarencontradicciónconelprototipo.Estoimplicadaruna escala mínima. En general, se requiere que el número de Reynolds en el modelo siempresealosuficientementealtoparaasegurarcondicionesdeflujoturbulentoenel modelo cuando en el prototipo lo es.

• Otra limitación está dada por la influencia de la tensión superficial dado por elnúmero de Weber. En el prototipo este valor es generalmente muy bajo que la influenciadelatensiónsuperficialpuedeserdespreciado,estonoesnecesariamenteciertoenunmodelodeescalapequeña.

Las limitaciones antes mencionadas pueden ser salvadas mediante la distorsión de escalas. Esto implica que la escala vertical del modelo sea mayor a la escala horizontal o longitudinal,locualtieneciertasventajasenlamedicióndelflujoyenelmayoresfuerzode corte tanto en las paredes como en el fondo. La limitación esencial de usar los modelos con escalas verticales distorsionadas es que el factor de escala de las componentes horizontales de velocidad, vη , es diferente al factor de escala de las velocidades verticales wη .

m

pw

m

pv W

WVV

=≠= ηη

Esto implica que los modelos distorsionados son sólo aceptables siempre y cuando los componentesdelavelocidadverticalsondespreciables(W=0).

d) Leyes del Modelo

Ley del Modelo de Euler

Elflujo es debido exclusivamente a las fuerzas de presión y fuerzas de inercia comoreacción,lainfluenciadelaviscosidadygravedadsondespreciables.EstacaracterizadoademásporelparámetrodeEulerqueesfuncióndelaformadelasfronterasdeflujo.Porlo tanto el modelo es una representación geométrica y similar del prototipo. La magnitud delnúmerodeEuleresindependientedelvalorabsolutodeltamañodelmodelo,delavelocidaddeflujo,deladensidaddelfluidoodelapresión.Enestecasonoexisteescalade velocidad, el resultado puede ser transformado directamente a otra velocidad arbitraria, dimensionesodensidaddelfluido.

Ley del modelo de Reynolds

Enelflujoessignificativoelefectodelaviscosidad.

1===

µηηηη

η LvpR

m

p

RR

18


Sisetrabajaconelmismofluido: 1== µρ ηη

p

m

m

p

Lv L

LVV

==⇒ ;1η

η

Estoimplicaqueenunmodelopequeñoaescaladeviscosidaddebesermayorqueeldelprototipo.

Longitud:

m

pL L

L=η

Area:

( )22

Lm

p

m

pA L

LAA

ηη =

==

Velocidad: ( ) 1−= Lv ηη

Tiempo: ( )2

LL

T ηηη

ην

==

Descargas: LAQ ηηηη ν ==

Ley del modelo de Froude

Elflujoesinfluenciadoporlagravedadcomoenelflujodecanalesabiertos,enestecasose requiere similitud geométrica e igualdad del número de Froude tanto en el modelo como en el prototipo.

= Velocidad

= Longitud

= Área

= Tiempo

= Descarga

M

Pg

Lg

vF g

gsi ==== 1;1 ηηη

ηη

( ) 2/1Lηην =

M

PL L

L=η

( )2LA ηη =

( ) 2/1L

LT η

ηη

ην

==

( ) ( ) ( ) 2/522/1LLLAQ ηηηηηη ν ===

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Ejemplo 1.1:

Consideremos el flujo de aire a través de un orificio de 2.0 cm., a una diferencia depresiónΔp=4N/cm2aunavelocidadde34m/s.Cuálseráladiferenciadepresiónenelprototipoconaguaparaunorificiode10cm.yunavelocidadde6m/s.

pp

pp

mm

mm P

VE

PV

Eρρ /2/2 ∆

==∆

=

∆=∆⇒

∆=

∆ m

p

m

pmp

pp

p

mm

m

VV

PPPV

PV

ρρ

ρρ

222

/2/2

2

2

N/cm 573464 =

=∆

aire

aguapP

ρρ

Ejemplo 1.2:

Recomendar un modelo de escala conveniente para un vertedero, asumiendo que la máximacapacidaddebombeodellaboratorioes90l/s.Lamínimaalturadeaguaenelmodelo no debe ser menor que 6 mm. La longitud de cresta en el prototipo L = 18 m. yelcoeficientededescargam=0.4.Elmáximoflujoenelríoes

8

Consideremos el flujo de aire a través de un orificio de 2.0 cm., a una diferencia de presión Δp = 4 N/cm2 a una velocidad de 34 m/s. Cuál será la diferencia de presión en el prototipo con agua geométrica para un orificio de 10 cm. y una velocidad de 6 m/s.

pp

pp

mm

mm P

VE

PV

Eρρ /2/2 ∆

==∆

=

∆=∆⇒

∆=

∆ m

p

m

pmp

pp

p

mm

m

VV

PPPV

PV

ρρ

ρρ

222

/2/2

22

Nw/cm573464 =

=∆

aire

aguapP

ρρ

Ejemplo 1.2:

Recomendar un modelo de escala conveniente para un vertedero, asumiendo que la máxima capacidad de bombeo del laboratorio es ./90 segltQ LAB

MAX = La mínima altura de agua en el modelo no debe ser menor que 6 mm. La longitud de cresta en el prototipo L = 18 m. y el coeficiente de descarga m = 0.4. El máximo flujo en el río es /seg.m30 3=MAXQy el /seg.m1 3=MINQ

Solución:

Para el flujo sobre el vertedero:

32gHmLQ =

322

2

2 LgmQH F =

Para QMIN = 1 m3/seg.

mm100m.1.018481.92

13

22

2

==×××

=FH

En el modelo mm.6≥MODMINH

60.166

100===

M

PH H

Hη (Se puede aproximar a 15)

15=Hη (Puede ser satisfactorio)

Chequeando la máxima descarga para el modelo LABMAX

MODMAX QQ ≤

y el

8

Consideremos el flujo de aire a través de un orificio de 2.0 cm., a una diferencia de presión Δp = 4 N/cm2 a una velocidad de 34 m/s. Cuál será la diferencia de presión en el prototipo con agua geométrica para un orificio de 10 cm. y una velocidad de 6 m/s.

pp

pp

mm

mm P

VE

PV

Eρρ /2/2 ∆

==∆

=

∆=∆⇒

∆=

∆ m

p

m

pmp

pp

p

mm

m

VV

PPPV

PV

ρρ

ρρ

222

/2/2

22

Nw/cm573464 =

=∆

aire

aguapP

ρρ

Ejemplo 1.2:

Recomendar un modelo de escala conveniente para un vertedero, asumiendo que la máxima capacidad de bombeo del laboratorio es ./90 segltQ LAB

MAX = La mínima altura de agua en el modelo no debe ser menor que 6 mm. La longitud de cresta en el prototipo L = 18 m. y el coeficiente de descarga m = 0.4. El máximo flujo en el río es /seg.m30 3=MAXQy el /seg.m1 3=MINQ

Solución:

Para el flujo sobre el vertedero:

32gHmLQ =

322

2

2 LgmQH F =


mm100m.1.018481.92

13

22

2

==×××

=FH

En el modelo mm.6≥MODMINH

60.166

100===

M

PH H

Hη (Se puede aproximar a 15)

15=Hη (Puede ser satisfactorio)


MODMAX QQ ≤

Solución:

Paraelflujosobreelvertedero:

32gHmLQ =

3

22

2

2 LgmQH F =


mm 100 m. 1.0

18481.921

322

2

==×××

=FH

En el modelo mm. 6≥MODMINH

20


60.16

6100

===M

PH H

Hη (Sepuedeaproximara15)

15=Hη (Puedesersatisfactorio)


MODMAX QQ ≤

( ) ( ) ( ) 2/52/52/5 15==⇒= LM

PLQ Q

Qηηη

( )lt/seg. 42.34

15 2/5 == PQQM (Elcualessatisfactorio)

La longitud de la cresta del vertedero

m. 2.1

1518

===L

PM

LLη

Ejemplo 1.3:

Para el siguiente esquema de un río en meandro recomendar una adecuada escala para el modelo, comentar la superficie rugosa del modelo y estimar la máxima descargapara el modelo. Qmin = 300 m3/s;W (espejo de agua) = 50m; h (tirantemedio) = 4m;n(coeficientedeManning)=0.035;Qmax = 850 m3/s.Disponibilidaddelongitudenlaboratorio L = 18.0 m.

L = 7.1 km

Solución:

Lamayorlongitudhorizontalesdeterminadaporlalongituddellaboratorio:

400:14004.394

187100

⇒≅==Lη

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Factordedistorsión:

80:1805

4005 ⇒==⇒= hD η

El número de Reynolds

υMM RV en el modelo tiene que ser chequeado para saber si el

flujoesturbulentoono.

Para

m/seg. 5.1504

300V/segm 300 P3 =

×=⇒=MINQ

( ) m/seg168.0

805.1

2/12/1 ==⇒== Mh

M

P VVV

ηην

Radiohidráulico:

WM

MM

M

MM hW

hWPAR

2+==

donde:

m 05.0

804===

h

PM

hhη

m 125.0

40050

===L

PM

WWη

m 028.0

225.01025.6 3

=×

=−

MR

41001014.10.028168.0Re 6 =

××

= −M

Elflujoenelmodeloescompletamenteturbulento(turbulentoliso),loquesignificaquelas mayores pérdidas se producen por la rugosidad.

ParalaecuacióndeManning:

2/13/2

=

M

P

M

P

P

M

M

P

SS

RR

nn

VV

22


Si el modelo y prototipo son anchos y planos (RP = hP, RM = hM),paralaleydeFroude:

( ) ( )

2/13/22/1

==

L

hh

P

Mhv n

nηη

ηηη ( )

( ) 2/1

3/2

L

h

M

P

nn

ηη

=

( )( ) 2/1

6/1

Dnn h

M

P η= Para un modelo distorsionado

( ) 6/1L

M

P

nn

η= Paraunmodelonodistorsionado: D=1,ηh = ηL

Larugosidaddelmodelorequerido:

( )0377.0

805035.0 6/1

2/1

6/1

2/1

=×==h

PMDnnη

El modelo tiene que ser más rugoso.

Descargamáximadelmodelo:

( )lt/seg 2.97

80400850

2/32/3 =×

==hL

PM

QQηη

23


2 MORFOLOGÍA FLUVIAL

2.1 Procesos Fluviales

Lamorfologíaderíosestudialaestructurayformadelosríos,incluyendolaconfiguracióndelcauceenplanta,lascaracterísticasdelperfilalolargodelcauce,lageometríadelassecciones transversales y la forma del fondo.

El proceso de formación de los cauces es parte de un ciclo geomorfológico accionado permanentemente por las características del entorno (geología, geotecnia, suelos, hidráulica,hidrología,capacidaddetransporte,antrópico,etc.),queasuvezcondicionanla dinámica de la corriente haciendo que los cauces tomen formas que son la respuesta a leyes físicas que gobiernan la mecánica del transporte de agua y sedimentos. En consecuencia el río es un sistema altamente inestable que permanentemente sedimenta y erosiona algunas zonas del lecho y las orillas.

La mecánica del proceso fluvial comprende el balance de la energía potencial delsistemafluvialdonde laenergíadelflujodeagua(fuerza impulsor)esequilibradaporlacapacidaddelsistemadeconsumirestaenergía(fuerzaderesistencia).Estebalanceoequilibrio dinámico es una función de la pendiente del río, de la rugosidad del material queconformaelcauce(sedimentos),velocidaddeflujo,climaycambiosenelanchoyprofundidad de la sección de canal. Estos factores son obtenidos a partir de observaciones ymedicionesdecampoydeunabuenacomprensióndelahistoriadelsistemafluvial.

Capítulo II

morfología fluvial

24


Figura 2.1: Esquema de balance de energía en un río según Lane (https://riverrestoration.wikispaces.com/Fluvial+geomorphology+2)

Modificado de: Fluvial Geomorphology. CE 598 River Restoration. Lyle C. Begay February 20, 2012

Una representación ampliamente aceptada del concepto de equilibrio es el balance de Lane, relación que ilustra los cambios en un sistema que dependen de cuatro factores principalesenlafórmula: (Fuerzas de resistencia) QsD50 α QWS (fuerzas impulsoras) Donde Qs es el material del lecho, D50eseltamañodegranomediodelmaterialdellecho,Qw es la descarga dominante, y S es la pendiente del cauce. El balance de Lane de fuerzas de resistencia versus fuerzas impulsoras muestra que el cambio en uno de los factores causa un cambio en otro factor que resulta en erosión o sedimentación. Mediante esta relación, el sistema está en equilibrio si el sedimento es transportado dentro y fuera del tramo.

Las formas de los cursos de agua son muy variadas y son el resultado de la interacción de muchas variables (caudal, ancho, profundidad, velocidad, pendiente, rugosidad del materialdellecho,tamañodelacargadesedimento,volumendesedimentotransportado).Cambiospequeñosenunavariablelleganaafectarelcauceconconsecuenciasparaelentorno. Es necesario hacer notar que muchas veces, en los factores anteriores, son más importantessusinterrelaciones,quelainfluenciadecadaunoporseparado.

Elsistemafluvialqueasocialaspendientes(altas,moderadasysuaves)yalosprocesosde producción, transporte y deposición de sedimentos respectivamente fue presentada por Schumm(1977).Lasvariacionesenelperfil,engeneralvanasociadasacambiosenlageometríaenplantayenlaseccióntransversal:

25


Figure 2.2: El sistema fluvial en tres zonas: producción, transferencia y deposición (Living in the Environment: An Introduction to Environmental Science, 1990)Fluvial Geomorphology. CE 598 River Restoration. Lyle C. Begay February 20, 2012

2.2 Clasificación de Ríos

Los ríos pueden clasificarse de diferentesmaneras, dependiendo de su tamaño, de sumorfología y características de los sedimentos. De acuerdo a su magnitud los ríos pueden sertorrentes,riachuelos,arroyosyríos(pequeños,medianosygrandes).Aquellosríoscuyoflujoproduceerosiónytransportanpartedeestematerial,sonconocidoscomoríosaluviales.

a) Según su edad

LaclasificacióninicialpropuestaporDavis(1899),determinatresedadesdeloscauces(juventud,madurezyvejez)asociadosprincipalmenteasuspendientes(altas,moderadasysuaves).Apesardeserdesarrolladohacetantotiempo,estesistemadeclasificaciónaúnes frecuentemente utilizado, puesto que es sencillo, simple y llena un vacío y es usualmente representadaporelperfillongitudinaldelcauce,comoseindicaacontinuación,[27]:

El estado de juventudestádominadaporerosiónverticalysecaracterizapor:

Seencuentranenzonasdemontaña Tienen pendientes altas Se presenta erosión del fondo

26


Existen numerosos tributarios cortos y rectos Sección transversal en forma de V Llanura de inundación pobremente desarrollada Rápidos y cascadas a través de lecho rocoso Pocos o nulos meandros

En el estado de madurezlaerosiónlateralesmuyimportanteysecaracterizanpor:

Se presentan en valles amplios Tienen pendientes relativamente bajas La erosión de las márgenes ha reemplazado a la erosión del fondo Son estables La sección transversal en cada tramo es capaz de transportar la carga de sedimento

en todo su recorrido Drenaje bien integrado Algunos controles estructurales de los tributarios Existe llanura de inundación con muchos meandros Ancho del valle equivalente al ancho de la campana del meandro En el paisaje es muy importante la pendiente

La erosión lateral domina el estado de vejez, se presenta poca erosión, prima la deposición; algunasdelasprincipalescaracterísticasson:

Valles amplios y planicies cuyo ancho es 15 a 20 veces mayor que el ancho de los meandros

Amplia llanura de inundación con amplio sistemas de meandros Las pendientes son muy bajas Se forman depósitos naturales de sedimentos, a lo largo de las márgenes Frecuentemente se forman amplias planicies y pantanos en las zonas vecinas a las

márgenes del río Los ríos viejos no tienen rápidas o caídas, pero cerca de ellos pueden haber lagos

con forma de herradura, que son restos de meandros abandonados y que se cortaron en forma natural

b) Según su estabilidad

Enríossedistinguentrescondicionesdeestabilidad:estática,dinámicaymorfológica,[27]:

Estática: Un cauce tiene estabilidad estática, cuando la corriente es capaz de arrastrar sedimentos en el fondo, pero no puede mover y arrastrar las partículas o los elementos de las orillas. Como ejemplo se tienen los tramos de ríos en que las márgenes son rocosas o tienen muy alta cohesión.

Dinámica: Un cauce tiene estabilidad dinámica cuando las variaciones de la corriente, los materiales del fondo y de las orillas y los sedimentos transportados han formado

27


una pendiente y una sección que no cambian apreciablemente año con año. En estacondición, el río sufre desplazamientos laterales continuos en las curvas, con erosiones en las márgenes exteriores y depósito de sedimento en las interiores. Todos los gastos, antes de producirse un desbordamiento, escurren por un único cauce que no tiene islas o bifurcaciones. Un ejemplo son los ríos de planicie formados por un único cauce. Por el contrario, existe inestabilidad dinámica cuando el desplazamiento lateral de los meandros es muy intenso y por lo tanto, el corte natural de ellos ocurre muy frecuentemente.

Morfológica: Este grado de estabilidad es el concepto más amplio; es decir, en cualquier cauce natural, la pendiente de un tramo cualquiera, el ancho y el tirante de su sección transversal, así como el número de brazos en que se divide el cauce, dependen del gasto líquido que escurre anualmente y de su distribución, de las características físicas de los materiales que forman el fondo y orillas, y de la calidad y cantidad del sedimento, que es transportado; éste llega al tramo, tanto procedente de aguas arriba como de aportaciones laterales. En otras palabras, cualquier corriente natural no alterada por factores humanos tiene estabilidad morfológica, por ello un cauce que en forma natural tiene estabilidad estática o dinámica, también la tiene morfológica.

c) Según el tipo de cauce

UnaclasificaciónalolargodelrecorridodeunríofuepropuestaporLojtin,enfuncióndela relación entre el diámetro de la partícula de fondo en metros y la pendiente hidráulica (D/S)yelNúmerodeFroudeFr:

Tabla 2.1: Clasificación según el tipo de cauce(Gracia S., J. y Maza A. J. A., 1997)

Tipo de cauce D/S FrAltamontaña >10 >1Montaña > 7 0.7 a 1.0Faldasdemontaña >6 0.045 a 0.7Intermedio >5 0.2 a 0.45Planicie(ríocaudaloso) >2 0.14 a 0.44Planicie(ríopococaudaloso) >1 0.44 a 0.55

d) Según el patrón de alineamiento del cauce

El patrón de alineamiento está íntimamente relacionado con los procesos de erosión y transporte de sedimentos y por ende con la estabilidad lateral de la misma. Depende de la composición litológica y de las estructuras geológicas. Se presentan tres patrones de canal, dependiendo de su sinuosidad, recto, trenzado y en meandro o serpenteado, (LeopoldyWolman,1957).

28


Figura 2.3: Patrones de canal aluvial, Schumm (1977)Modificado de: de Simons & Sentürk

Rectos: Canales rectos son aquellos que presentan una sinuosidad menor de 1.5 en un cauce único; rara vez se presentan en la naturaleza, y sólo se observan en tramos relativamente cortos, excepto cuando discurren por una falla geológica. En estos casos el valle es estrecho y la estabilidad lateral del canal es alta debido al control geológico ante los procesos de migración lateral. Aun cuando los ríos sean rectos, el thalweg (línea demayorprofundidad)presentaunlineamientosinuoso,discurriendoatravésdebarrasalternas(Posada,1994).Losríosdemontañageneralmentesonrectosysuperfilpresentaunaconfiguracióndesaltosocruceypozos,einclusoenlaspartesaltasdelacuencasepuedenpresentarcascadas(Rosgen,1996).

Trenzados: Cauce conformado por material no cohesivo (gravas) que presentanmúltiplescanalesdeflujo(Leopold,1957)separadosporbarrastransversalesdebidoauna gran carga de sedimentos. La pendiente es generalmente alta, la sección transversal esanchaylaprofundidadbaja.Debidoalafluctuacióndelavelocidadenflujoturbulentocon profundidades bajas, ocurre la deposición del material grueso en barras centrales y lateralesquedirigenelflujohacialosbancoscausandosuinestabilidad(Rosgen,1996).Otra causa de trenzamiento es la presencia de bancos fácilmente erosionables que tienden a ampliarse para flujos altos y después formar barras e islas. Estos cauces presentandificultades para la construcción de estructuras por sermuy anchos, poco profundos,tener estratos aluviales de gran espesor, son inestables, transportan grandes cantidades de sedimentos, y en general, son impredecibles.

29


Meándricos o serpenteados: La característica principal es la presencia de una serie de curvas de sentido contrario conectadas por tramos rectos, que forman pozos en la parte externa de los curvas y zonas de cruce localizadas entre éstas; El cauce está conformado por unúnicocanaldeflujoconunasinuosidadsuperiora1.5(Leopold,1957);laspendientesdel canal son más bajas que en los ríos trenzados y la carga de sedimentos está compuesta dematerial fino, principalmente arenas.Usualmente en los ríos serpenteantes el vallees muy amplio. En cauces meándricos, el thalweg se mueve transversalmente y origina la formación de curvaturas en forma de S, las que en general, se deben a procesos de erosión y de sedimentación. Al dirigirse la corriente hacia un banco, ésta sufre erosión, la corrienteesdeflectadaysevaaatacarelbancoopuestoaguasabajo.Lafuerzacentrífugaen la curvatura causaunapendiente transversal en la superficiedel agua, formándosemuchasvecesflujohelicoidalqueremuevepartículasdelaparteexternadelacurvaylas transporta al lado opuesto en donde se depositan. Las velocidades son más bajas en la parte interna de las curvas dando lugar a sedimentación o formación de barras.

Figura 2.4: Flujo de agua en un meandro(Modificado de: Fundamentals Of Geomorphology, Richard John Huggett, 2007)

30


Figura 2.5: Parámetros que describen el meandro(Modificado de: Fundamentals Of Geomorphology, Richard John Huggett, 2007)

Ramificados o anastomozados: Cuando los cauces presentan islas en su interior que permaneceunoomásañosensumismositiosoncubiertasporvegetaciónylosríosseconsideranramificadosoanastomozados.

e) Según la estabilidad del cauce

Shumm(1977)usóuncriteriode laestabilidaddelcanalasociándoloconelmododetransporte de sedimentos de fondo, mixto y en suspensión para diferentes patrones de alineamientocomocanalrecto,canalserpenteante,canaltrenzadoyramificado,conforme,puedeverseenlafigura.

Figura 2.6: Clasificación de ríos de acuerdo a los patrones de alineamiento del cauce y la carga o transporte de sedimentos

Fuente: Fundamentals Of Geomorphology, Richard John Huggett, 2007 adaptado de Schumm (1981, 1985b) y Knighton y Nanson (1993)

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f) Según el material del cauce

Cohesivo: Cauces alojados en materiales predominantemente arcillosos y limosos.

Aluvial: Caucesformadosporpartículasdematerialsueltoqueseclasificanasuvez,según el predominio del material grueso, en boleo y cantos rodados si Dm > 64 mm, en grava y arena si 64 > Dm > 2 mm y en arenoso si 2 > Dm > 0.062 mm, en donde Dm el diámetro medio de las partículas.

Roca: Canalesenlechoderocasondefinidoscomoaquellosenloscualesmásdel50%de su frontera presenta la roca expuesta o está cubierto por un revestimiento aluvial, el cual es ampliamente movilizado durante las crecientes, tal que la geometría en roca subyacenteinfluenciafuertementeelflujoyeltransportedesedimentos(Tinker&Wohl,1998).Losprocesosdeerosiónenloslechosrocosossedebenafenómenosdecorrosión,cavitaciónyalasfuerzashidrodinámicasygeneralmentesemanifiestanenellargoplazo.

Acorazados: Sonaquelloscaucesdondedebidoaloextendidodelagranulometría(σg >3),puedeocurrirelarrastredelaspartículasmásfinas,loquepermitelaformacióndeunacapaprotectoraocorazadematerialgruesoensusuperficie,quemantienedebajodeellatodalagranulometríaoriginalincluyendolosgranosmásfinos.

Material bien graduado o con granulometría extendida: Son aquellos en que la desviaciónestándardelosdiámetrosesmayorque3(σg>3).Entranenestaclasificaciónlossedimentosdelfondocompuestosporunagranvariedaddetamaños.

Material mal graduado o de granulometría uniforme: Sepresentancuandoσg < 3.

g) Según los grados de libertad

Un grado de libertad: Cuando al variar el gasto en un cauce o canal solo varía la profundidad del agua, se dice que existe un grado de libertad. Esto ocurre si el fondo, las paredes y la pendiente no cambian al variar el gasto; por ejemplo, un canal revestido. Cuando se tiene un grado de libertad no existe transporte de sedimentos.

Dos grados de libertad: Cuando sólo pueden variar la profundidad del agua y la pendiente, se dice que el cauce tiene dos grados de libertad. Esto puede ocurrir cuando las márgenes son muy resistentes pero el fondo no.

Tres grados de libertad: Si además del tirante y la pendiente, también pueden alterarse las márgenes y ajustarse al ancho, se dice que el cauce tiene tres grados de libertad.

h) Según su comportamiento

Torrentes: cursosdeaguaenzonasdemontaña,pendientelongitudinal>5%,piedras,cantos rodados, grava y arena, predomina el transporte de fondo, respuesta rápida a las lluvias, crecientes violentas y de corta duración.

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Ríos torrenciales: suelen presentarse en las zonas de piedemonte, donde los torrentes depositan sus sedimentos, se suaviza la pendiente y comienzan a aparecer las características fluviales.

Ríos: caudalesimportantes,variacioneslentasdecaudal,pendientelongitudinal<1%,lechos de arena, limo y arcilla, predomina el transporte en suspensión. Las crecientes se formanlentamenteysondelargaduración(días,meses).

i) Clasificación de ríos naturales según Rosgen

Rosgen(1994)analizólosdiferentessistemasdeclasificaciónexistentesensumomentoyagregóaspectosgeomorfológicosparaofrecerunsistemadeclasificaciónquepermiteconocer la evolución de los cauces según los procesos actuales que se presentan. La metodología de Rosgen consta de cuatro niveles que comprenden desde una descripción cualitativa general hasta una evaluación cuantitativa detallada.

El Nivel I busca la caracterización geomorfológico general del cauce (cualitativa) encategoría de ríos como A, B, C, D, DA, E, F y G. El Nivel IIconllevaalaclasificacióny descripción morfológica y requiere mediciones de campo y asigna números del 1 al 6 a cada tipo de río para describir el material de fondo dominante. El nivel III corresponde a una evaluación de la condición del río y su estabilidad; esto requiere una evaluación y prediccióndeerosióndelcauce,condicionesdelasorillas,modificacionesdelcauceyotras características. El nivel IVcorrespondealaverificacióndelasprediccioneshechasen el nivel III y consiste del transporte de sedimentos, flujo en ríos ymediciones deestabilidad.

Tabla 2.2: Clasificación de los materiales del lecho del río (Rosgen, 1994)

Tipo de material Nomenclatura Diámetro de partícula D50 (mm)Lecho rocoso 1 >2048.0

Piedras 2 256.0 – 2048.0Cantos 3 64.0 – 256.0Gravas 4 2.0 – 64.0Arenas 5 0.062 – 2.0Limo/arcilla 6 <0.062

Grado de encajonamiento: es la relación entre el ancho del cauce propenso a inundación y el ancho del río a banco lleno.

La sinuosidad de un río mide por la relación entre la distancia que separa dos puntos a lo largo de la parte más profunda del cauce, o thalweg y la distancia en línea recta entre ellos. Un cauce en línea recta tiene una sinuosidad de 1.0, mientras que los ríos meándricostienensinuosidadmayorde1.5.https://es.wikipedia.org/

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Figura 2.7: Vista longitudinal, transversal y de planta de los principales tipos de ríos Modificado de: Proceedings of the Conference on Management of Landscapes Disturbed by

Channel Incision, 1997

Figura 2.8: Clasificación de ríos naturales según Rosgen, 1994 Modificado de: Proceedings of the Conference on Management of Landscapes Disturbed by

Channel Incision, 1997

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Figura 2.9: Cañon en meandro de 350 m de profundidad; río San Juan en Utah, USA Fuente: Fundamentals Of Geomorphology, Richard John Huggett, 2007

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Capítulo III

HidráuliCa de ríos aluviales

3 HIDRÁULICA DE RÍOS ALUVIALES3.1 Introducción

El flujo de agua en cauces naturales y la escorrentía sobre la cuenca son procesosdistribuidos o fenómenos hidráulicos porque el caudal, la velocidad y la profundidad varían en el espacio y el tiempo. Las estimaciones a lo largo de estos cauces o ríos pueden obtenerse utilizando el modelo de tránsito hidráulico. Este tipo de modelos está basado en ecuaciones diferenciales parciales (ecuaciones de Saint-Venant) que permiten elcálculo del caudal y del nivel de agua como funciones del espacio y del tiempo.

El cálculo del nivel de agua en un cauce natural es necesario porque este nivel delinea el área de inundación y determina la altura requerida por estructuras tales como puentes y diques; el cálculo de los caudales de avenidas también es importante, primero porque el caudaldeterminaelniveldelagua,ysegundo,porqueeldiseñodecualquierestructurade almacenamiento tal como un embalse requiere de una estimación del hidrograma de flujodeentrada.Comoalternativaalusodeunmodelodetránsitohidráulicodeavenidas,está el uso de un modelo hidrológico para calcular el caudal en el lugar deseado y luego calcularelcorrespondienteniveldeaguasuponiendounflujopermanentenouniformea lo largo del canal en ese lugar. La ventaja de un modelo hidráulico es que calcula el caudal y el nivel de agua simultáneamente y no por separado, de tal manera que el modeloaproximamejorlanaturalezadeflujonopermanentenouniformepropiodelapropagación de una onda de avenida en el canal.

Elprocesorealdeflujoenríosvaríanenlastresdimensionesespaciales;porejemplo,lavelocidadenunríovaríaalolargoyaloanchodelmismoytambiéndesdelasuperficiedel agua hasta el lecho del río. Sin embargo, para muchas aplicaciones prácticas, las variaciones espaciales de la velocidad a lo ancho del canal y con respecto a la profundidad puedenignorarse,detalmaneraqueelflujopuedeaproximarsecomounidimensionalalolargodelcanaloenladireccióndeflujo.LasecuacionesdeSaintVenant,desarrolladasporprimeravezporBarredeSaintVenanten1871,describenelflujounidimensionalnopermanente en un canal abierto, que es aplicable en este caso.

36


Elflujodeaguaenríosesunproblematridimensionalynopermanenteysucálculoesmuycomplicado,por loquepuede ser simplificadoa su formaunidimensionaldondela profundidad y la velocidad varían solamente en la dirección longitudinal del canal; asumiendolassiguienteshipótesis,[33]:

• Variación hidrostática de la presión que implica que las aceleraciones verticales pueden despreciarse.

• Pendientedecanalpequeñayellechoesfijo;esdecir,losefectosdesocavaciónydeposición son despreciables.

• Los efectos de fricción y turbulencia pueden ser compensados por la introducción de una fuerza de resistencia proporcional al tirante y al cuadrado de la velocidad media. Delmismomodo los coeficientesde resistenciaparaflujo turbulento,uniformeypermanente son aplicables de tal forma que relaciones tales como la ecuación de Manning pueden utilizarse para describir los efectos de resistencia.

• Anchodelcanalmuygrandedetalformaquelainfluenciadelasparedeslateralesesmuypequeñasobreelflujomedioenelcanal.

• Elfluidoesincompresibleydedensidadconstantealolargodelflujo.

3.2 Características Hidráulicas de Ríos Aluviales

Elflujoenlosríosestridimensional,noestableyturbulento.Latridimensionalidadesunaconsecuenciadelainfluenciadelafuerzacentrífugaenlascurvasylainestabilidades el resultado del régimen hidrológico del río.

a) La resistencia hidráulicaesinfluenciadapormuchosparámetros,talescomo:

La Resistencia debido a la forma del lecho: Es muy conocido que existe una relación mutua entre la forma del lecho del río y las características hidráulicas del flujo.Hastaahoranoexisteunmétodototalmenteaceptableparapredecirelefectocuantitativo de la forma del lecho en la resistencia del canal.

La resistencia de granos: Dependedeltamañoyformadelosgranosqueformanelperímetromojado.Estetipoderesistenciaesdirectamenteproporcionalaltamañode los granos de sedimento.

La no uniformidad de las secciones transversales: La no uniformidad de la sección del río es la causa de una resistencia adicional.

El alineamiento del canal: La geometría del canal visto en planta, causa resistencia y curvatura muy pronunciadas, incrementan la resistencia hidráulica seriamente.

b) Las características morfológicas: Variabilidad de formas del cauce en el tiempo y espacio. Los cálculos hidráulicos deben comprender las diferentes fases de desarrollo de la sección del río.

37


c) Las características de los sedimentos, varíaneneltiempoyelespacio:

Tamañodepartículas.Distribucióndeltamañodepartículas.Cantidad de sedimentos.Concentración de los sedimentos, etc.

3.3 Información Básica para Cálculos Hidráulicos en Ríos

Los datos básicos requeridos para los cálculos hidráulicos son muy heterogéneos siendo losmásimportantes:

a) Datos Hidrológicos

22

3.2 Características Hidráulicas de Ríos Aluviales

El flujo en los ríos es tridimensional, no estable y turbulento. La tridimensionalidad es una consecuencia de la influencia de la fuerza centrífuga en las curvas y la inestabilidad es el resultado del régimen hidrológico del río.

a) La resistencia hidráulica es influenciada por muchos parámetros, tales como:

La Resistencia debido a la forma del lecho: Es muy conocido que existe una relación mutua entre la forma del lecho del río y las características hidráulicas del flujo. Hasta ahora no existe un método totalmente aceptable para predecir el efecto cuantitativo de la forma del lecho en la resistencia del canal.

La resistencia de granos: Depende del tamaño y forma de los granos que forman el perímetro mojado. Este tipo de resistencia es directamente proporcional al tamaño de los granos de sedimento.

La no uniformidad de las secciones transversales: La no uniformidad de la sección del río es la causa de una resistencia adicional.

El alineamiento del canal: La geometría del canal visto en planta, causa resistencia y curvatura muy pronunciadas, incrementan la resistencia hidráulica seriamente.

b) Las características morfológicas: Variabilidad de formas del cauce en el tiempo y espacio. Los cálculos hidráulicos deben comprender las diferentes fases de desarrollo de la sección del río.

c) Las características de los sedimentos, varían en el tiempo y el espacio:

Tamaño de partículas. Distribución del tamaño de partículas. Cantidad de sedimentos. Concentración de los sedimentos, etc.

3.3 Información Básica para Cálculos Hidráulicos en Ríos

Los datos básicos requeridos para los cálculos hidráulicos son muy heterogéneos siendo los más importantes:

a) Datos Hidrológicos

Figura 3.1: Funciones Hidrológicas Continuas

El nivel del agua y las descargas son los datos hidrológicos más importantes:

t

Z

Altura-Tiempo

t

Q

Hidrograma

Q

Z

Altura-Descarga

Figura 3.1: Funciones Hidrológicas Continuas

Elniveldelaguaylasdescargassonlosdatoshidrológicosmásimportantes:

Valoresdiscretos:(alturasdeaguaydescargas). Funciones continuas: Z(t) [Water StageCurves] ó curva altura – tiempo,Q(t) ó

HidrogramasyQ(z)[Dischargeratingcurve]ócurvaaltura–descarga.

Las curvas Z(t) yQ(t) son usadas como condiciones de frontera aguas arriba yQ(z)comocondicióndefronteraaguasabajo.La influenciade la inestabilidaddel régimenhidráulico del río, causa una curva de alturas-descarga cerrada, Figura 3.2a. El cambio de configuracióndellechodelríoescausadeunadiscontinuidaddelacurvaaltura-descarga,Figura3.2b.Lainfluenciadelostributariosenuncanalprincipalsoncausantesdelascurvas altura-descarga paramétricas, Figura 3.2c. Los ríos muy anchos y con áreas de inundación pueden causar cambios imperceptibles en el nivel de agua durante periodos de crecida de agua y generan las llamadas curvas altura-descarga no sensitivas, Figura 3.2d.

38


Figura 3.2: Irregularidades de la Curva Altura-Descarga

Conlafinalidaddeevitaralgunadeéstasirregularidadesdelascurvasalturadescargaesimportanteseleccionarunsitioapropiadoparalaestacióndemedida:

Tramo recto del río, con sección uniforme. Tramo estable del río. Mediadenivelesdeaguafueradelainfluenciadelremanso. Estructuras de medición apropiadas y en buenas condiciones.

b) Datos Morfológicos:

23

Valores discretos: (alturas de agua y descargas). Funciones continuas: Z(t) [Water Stage Curves] ó curva altura – tiempo, Q(t) ó

Hidrogramas y Q(z) [Discharge rating curve] ó curva altura – descarga.

Las curvas Z(t) y Q(t) son usadas como condiciones de frontera aguas arriba y Q(z) como condición de frontera aguas abajo. La influencia de la inestabilidad del régimen hidráulico del río, causa una curva de alturas-descarga cerrada, Figura 3.2a. El cambio de configuración del lecho del río es causa de una discontinuidad de la curva altura-descarga, Figura 3.2b. La influencia de los tributarios en un canal principal son causantes de las curvas altura-descarga paramétricas, Figura 3.2c. Los ríos muy anchos y con áreas de inundación puedencausar cambios imperceptibles en el nivel de agua durante periodos de crecida de agua y generan las llamadas curvas altura-descarga no sensitivas, Figura 3.2d.


Con la finalidad de evitar alguna de éstas irregularidades de las curvas altura descarga es importante seleccionar un sitio apropiado para la estación de medida:

Tramo recto del río, con sección uniforme. Tramo estable del río. Media de niveles de agua fuera de la influencia del remanso. Estructuras de medición apropiadas y en buenas condiciones.


Q

Z

(a)

Q

Z

(b)

t1

t2

t3

Q

Z

(c)

Z1

Z2

Z3

Q

Z

(d)

X (km)

F

a) F versus X y parámetro Q

b) Curvatura (C/R) versus X

Q1

Q2

Q3

O1

O2

O3

O4

C/R

C/R

X (km)

Figura 3.3: Variación de la Función Morfológica a lo largo del RíoFigura 3.3: Variación de la Función Morfológica a lo largo del Río

Losdatosbásicosdemorfología,estándefinidosporlasdiferentesfasesdedesarrollodelcanal, bajo diferentes condiciones hidrológicas. Las características geométricas del río varían en el tiempo y espacio por ello la descripción de la geometría del canal debe ser hecha estadísticamente. Los valores medios de sección son usados por las teorías clásicas, los cuales son inadecuados para describir dicho fenómeno tan complejo. El primer paso deaplicacióndelaestadísticaalanálisisgeomorfológico,esladefinicióndelosvaloreshidráulicos:anchodelrío(B),áreahidráulica(A),radiohidráulico(R),etc.Unavezqueel parámetro es escogido, su variación a lo largo del cauce, puede ser representada por mediodeunperfilmorfológicolongitudinal(F),Figura3.3.

23

Valores discretos: (alturas de agua y descargas). Funciones continuas: Z(t) [Water Stage Curves] ó curva altura – tiempo, Q(t) ó

Hidrogramas y Q(z) [Discharge rating curve] ó curva altura – descarga.

Las curvas Z(t) y Q(t) son usadas como condiciones de frontera aguas arriba y Q(z) como condición de frontera aguas abajo. La influencia de la inestabilidad del régimen hidráulico del río, causa una curva de alturas-descarga cerrada, Figura 3.2a. El cambio de configuración del lecho del río es causa de una discontinuidad de la curva altura-descarga, Figura 3.2b. La influencia de los tributarios en un canal principal son causantes de las curvas altura-descarga paramétricas, Figura 3.2c. Los ríos muy anchos y con áreas de inundación puedencausar cambios imperceptibles en el nivel de agua durante periodos de crecida de agua y generan las llamadas curvas altura-descarga no sensitivas, Figura 3.2d.


Con la finalidad de evitar alguna de éstas irregularidades de las curvas altura descarga es importante seleccionar un sitio apropiado para la estación de medida:

Tramo recto del río, con sección uniforme. Tramo estable del río. Media de niveles de agua fuera de la influencia del remanso. Estructuras de medición apropiadas y en buenas condiciones.


Q

Z

(a)

Q

Z

(b)

t1

t2

t3

Q

Z

(c)

Z1

Z2

Z3

Q

Z

(d)

X (km)

F

a) F versus X y parámetro Q

b) Curvatura (C/R) versus X

Q1

Q2

Q3

O1

O2

O3

O4

C/R

C/R

X (km)

Figura 3.3: Variación de la Función Morfológica a lo largo del Río

39


Unavezqueunparámetromorfológicoesrepresentadoenunperfillongitudinal,puedeser tratado mediante métodos estadísticos conocidos. El método estadístico elemental más conocido es el ajuste de los datos a funciones de distribución teóricas y el cálculo de sus momentos estadísticos, Figura 3.4.

24

Los datos básicos de morfología, están definidos por las diferentes fases de desarrollo del canal, bajo diferentes condiciones hidrológicas. Las características geométricas del río varían en el tiempo y espacio por ello la descripción de la geometría del canal debe ser hecha estadísticamente. Los valores medios de sección son usados por las teorías clásicas, los cuales son inadecuados para describir dicho fenómeno tan complejo. El primer paso de aplicación de la estadística al análisis geomorfológico, es la definición de los valores hidráulicos: ancho del río (B), área hidráulica (A), radio hidráulico (R), etc. Una vez que el parámetro es escogido, su variación a lo largo del cauce, puede ser representada por medio de un perfil morfológico longitudinal (F), Figura 3.3.

Una vez que un parámetro morfológico es representado en un perfil longitudinal, puede ser tratado mediante métodos estadísticos conocidos. El método estadístico elemental más conocido es el ajuste de los datos a funciones de distribución teóricas y el cálculo de sus momentos estadísticos, Figura 3.4.

Si los cálculos hidráulicos son hechos manualmente se debe realizar lo siguiente:

Establecer una sección promedio del río. Establecer un parámetro morfológico promedio a lo largo del cauce.

Para establecer la sección promedio se debe tener en cuenta el nivel del agua correspondiente a la descarga media anual, con el cual se determina un punto tal como A que es la intersección de este nivel de agua y una de las orillas del río, Figura 3.5.

( )∫=Z

OdzzBA Área en m2

P ≅ B(z) Perímetro mojado en m.

( )( )

( )( )zBzA

zPzAR ≅= Radio hidráulico en m.

Frecuencia Absoluta (%)

F

Figura 3.4: Distribución de Frecuencias Empíricas de la Función Morfológica (F)

FrecuenciaRelativa

Función Morfológica (F)

X (km)

F Q1

Q2

∆X

A 1 2 3 4

Figura 3.5: Sección y Función Morfológica Promedio


Siloscálculoshidráulicossonhechosmanualmentesedeberealizarlosiguiente:



A =

24






( )∫=Z

OdzzBA Área en m2


( )( )

( )( )zBzA



F


FrecuenciaRelativa


X (km)

F Q1

Q2

∆X

A 1 2 3 4


Área en m2

P @B(z) Perímetromojadoenm.

24






( )∫=Z

OdzzBA Área en m2


( )( )

( )( )zBzA



F


FrecuenciaRelativa


X (km)

F Q1

Q2

∆X

A 1 2 3 4


Radio hidráulico en m.

24






( )∫=Z

OdzzBA Área en m2


( )( )

( )( )zBzA



F


FrecuenciaRelativa


X (km)

F Q1

Q2

∆X

A 1 2 3 4

Figura 3.5: Sección y Función Morfológica PromedioFigura 3.5: Sección y Función Morfológica Promedio

40


Si la sección del río es compuesta, debe ser tratada como una suma de áreas parciales. El transporte para cada sección es calculado separadamente, asumiendo horizontal el nivel deaguayconsiderandoelcoeficientederugosidadigualencadacaso.

25

Si la sección del río es compuesta, debe ser tratada como una suma de áreas parciales. El transporte para cada sección es calculado separadamente, asumiendo horizontal el nivel de agua y considerando el coeficiente de rugosidad igual en cada caso.

El factor de Transporte para la sección promedio es. Cuando los cálculos se realizan a mano es necesario construir las curvas de transporte para secciones compuestas, Figura 3.6.

( ) ( ) ( )[ ] 3/22/1

1 sRzAnS

QzK ⋅== Factor de transporte en m/seg.

S = pendiente de las líneas de energía.n = coeficiente de rugosidad de Manning.K = factor de transporte.

Si los cálculos hidráulicos son realizados con ayuda de una computadora no es necesario tomar una sección promedio y no será necesario preparar las curvas de (nK) previamente.Las secciones son definidas por funciones B = B(z), o por las coordenadas de un conjunto de puntos característicos de la sección. Las otras funciones A(z), R(z), nK(z), etc. pueden ser calculadas directamente mediante programas sencillos de computación.

c) Datos Hidráulicos:

Es bien conocido que para el cálculo hidráulico de la velocidad media de un flujo uniforme turbulento en canales abiertos se emplea la fórmula de Chezy (o fórmula del flujo uniforme).

RSCV =

V = Velocidad meda (m/s).C = Coeficiente de ChezyR = Radio hidráulico S = Pendiente de la línea de energía.

Según Manning: n

RC6/1

= por lo tanto:

2/13/2

2/12/16/1

Sn

RSRn

RV == (Unidades métricas)

Esta fórmula de Manning es muy popular en todo el mundo por su simplicidad y los resultados satisfactorios obtenidos. En Rusia, es muy usada la fórmula de PAVLOVSKY:

1 2 m-1 m

nK=AR2/3

Z

Figura 3.6: Construcción de la Función de TransporteFigura 3.6: Construcción de la Función de Transporte

El factor de Transporte para la sección promedio es K. Cuando los cálculos se realizan a mano es necesario construir las curvas de transporte para secciones compuestas, Figura 3.6.

25



( ) ( ) ( )[ ] 3/22/1

1 sRzAnS






RSCV =


Según Manning: n

RC6/1

= por lo tanto:

2/13/2

2/12/16/1

Sn

RSRn



1 2 m-1 m

nK=AR2/3

Z

Figura 3.6: Construcción de la Función de Transporte

Factordetransporteenm/seg.

S = pendiente de las líneas de energía.n=coeficientederugosidaddeManning.K = factor de transporte.

Si los cálculos hidráulicos son realizados con ayuda de una computadora no es necesario tomarunasecciónpromedioynoseránecesarioprepararlascurvasde(nK)previamente.LasseccionessondefinidasporfuncionesB=B(z),oporlascoordenadasdeunconjuntodepuntoscaracterísticosdelasección.LasotrasfuncionesA(z),R(z),nK(z),etc.puedenser calculadas directamente mediante programas sencillos de computación.


Es bien conocido que para el cálculo hidráulico de la velocidad media de un flujouniforme turbulento en canales abiertos se emplea la fórmula de Chezy (o fórmula del flujouniforme).

25



( ) ( ) ( )[ ] 3/22/1

1 sRzAnS






RSCV =


Según Manning: n

RC6/1

= por lo tanto:

2/13/2

2/12/16/1

Sn

RSRn



1 2 m-1 m

nK=AR2/3

Z


V=Velocidadmeda(m/s).C=CoeficientedeChezyR = Radio hidráulico S = Pendiente de la línea de energía.

41


SegúnManning:

25



( ) ( ) ( )[ ] 3/22/1

1 sRzAnS






RSCV =


Según Manning: n

RC6/1

= por lo tanto:

2/13/2

2/12/16/1

Sn

RSRn



1 2 m-1 m

nK=AR2/3

Z


porlotanto:

25



( ) ( ) ( )[ ] 3/22/1

1 sRzAnS






RSCV =


Según Manning: n

RC6/1

= por lo tanto:

2/13/2

2/12/16/1

Sn

RSRn



1 2 m-1 m

nK=AR2/3

Z


(Unidadesmétricas)

Esta fórmula de Manning es muy popular en todo el mundo por su simplicidad y los

resultadossatisfactoriosobtenidos.EnRusia,esmuyusadalafórmuladePAVLOVSKY:

26

,1 yRn

C = donde: ( )10.075.013.050.2 −−−= nRny el exponente “y” depende del

coeficiente de rugosidad “n” y del Radio Hidráulico “R” ésta fórmula es válida para: 0.10 ≤ R≤ 3.0 n y 0.011 ≤ n ≤ 0.040

En los cursos naturales, los factores que afectan el coeficiente de rugosidad son:

Rugosidad base o de superficie. Vegetación en el cauce. Irregularidades en el cauce. Presencia de meandros Características del régimen hidráulico

n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4)m

n0 : Valor básico de n para canal recto uniforme y liso.n1 : Corrección debido a irregularidades de la superficie.n2 : Corrección debido a la variación en forma y tamaño de la sección transversaln3 : Corrección debido a la presencia de obstrucciones.n4 : Corrección debido a la presencia de vegetación.m : Corrección debida a la presencia de meandros.

Tabla 3.1: Correcciones para el Coeficiente de Rugosidad de Manning

n0 tipo de material

tierra 0.020roca cortada 0.025grava fina 0.024grava gruesa 0.028

n1 grado de irregularidad

despreciable 0.000poco 0.005moderado 0.010severo 0.020

n2 variación de la seccióngradual 0.000ocasional 0.005frecuente 0.010 - 0.015

n3 grado de obstrucciones

despreciable 0.000poco 0.010 - 0.015apreciable 0.020 - 0.030severo 0.040 - 0.060

n4 grado de vegetación

baja 0.005 - 0.010media 0.010 - 0.025alta 0.025 - 0.050muy alta 0.050 - 0.100

m cantidad de meandrosdespreciable 1.000apreciable 1.150severo 1.300

3.4 Ecuación de Conservación de Masa

Con referencia al volumen de control de la Figura 3.7: Q, h, A y T son la descarga, el tirante, el área mojada y el espejo de agua en el centro del volumen de control respectivamente enel instante t. El principio de conservación de masa implica que el flujo neto a través del volumen de control en el intervalo ∆t debe ser igual al cambio en volumen del volumen de control en el mismo intervalo, [33]:

donde:

26

,1 yRn

C = donde: ( )10.075.013.050.2 −−−= nRny el exponente “y” depende del

coeficiente de rugosidad “n” y del Radio Hidráulico “R” ésta fórmula es válida para: 0.10 ≤ R≤ 3.0 n y 0.011 ≤ n ≤ 0.040

En los cursos naturales, los factores que afectan el coeficiente de rugosidad son:

Rugosidad base o de superficie. Vegetación en el cauce. Irregularidades en el cauce. Presencia de meandros Características del régimen hidráulico

n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4)m

n0 : Valor básico de n para canal recto uniforme y liso.n1 : Corrección debido a irregularidades de la superficie.n2 : Corrección debido a la variación en forma y tamaño de la sección transversaln3 : Corrección debido a la presencia de obstrucciones.n4 : Corrección debido a la presencia de vegetación.m : Corrección debida a la presencia de meandros.


n0 tipo de material

tierra 0.020roca cortada 0.025grava fina 0.024grava gruesa 0.028










Con referencia al volumen de control de la Figura 3.7: Q, h, A y T son la descarga, el tirante, el área mojada y el espejo de agua en el centro del volumen de control respectivamente enel instante t. El principio de conservación de masa implica que el flujo neto a través del volumen de control en el intervalo ∆t debe ser igual al cambio en volumen del volumen de control en el mismo intervalo, [33]:

el exponente “y”

dependedel coeficientede rugosidad “n” y del Radio Hidráulico “R” ésta fórmula es válidapara:0.10≤R≤3.0y0.011≤n≤0.040

Enloscursosnaturales,losfactoresqueafectanelcoeficientederugosidadson:

Rugosidadbaseodesuperficie. Vegetación en el cauce. Irregularidades en el cauce. Presencia de meandros Características del régimen hidráulico

n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4)m

n0 :Valorbásicodenparacanalrectouniformeyliso.n1 :Correccióndebidoairregularidadesdelasuperficie.n2 :Correccióndebidoalavariaciónenformaytamañodelaseccióntransversaln3 :Correccióndebidoalapresenciadeobstrucciones.n4 :Correccióndebidoalapresenciadevegetación.m :Correccióndebidaalapresenciademeandros.

42



n0 tipo de material

tierra 0.020roca cortada 0.025gravafina 0.024grava gruesa 0.028










ConreferenciaalvolumendecontroldelaFigura3.7:Q,h,AyTsonladescarga,eltirante,el área mojada y el espejo de agua en el centro del volumen de control respectivamente en elinstantet.Elprincipiodeconservacióndemasaimplicaqueelflujonetoatravésdelvolumen de control en el intervalo Dt debe ser igual al cambio en volumen del volumen decontrolenelmismointervalo,[33]:

27

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ ∆∆∆∆∆∆∆

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

+−

∂∂

−)(

(3.1)

Figura 3.7: Descarga a través de un volumen de control

Por lo tanto, la ecuación de conservación de masa resulta:

0=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

thB

xQ

tA

xQ

(3.2)

En términos de la velocidad: Q = UA, se obtiene:

0xhBU

xUA

thB

xAU

tA

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

(3.3)

Para un canal rectangular: A = Bh, por lo que la ecuación (3.3) se reduce a:

0th

xUh

xhU

th

xUh

=++=+)()()(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.4)

En caso de existir un flujo de salida o entrada lateral al canal, en el tramo considerado, se tiene:

qtA

xAU

±=∂∂

+∂

∂ )((3.5)

3.5 Ecuación de Cantidad de Movimiento

Es conocido que la aceleración total en la dirección del flujo es:

xUU

tUa

∂∂

∂∂

+= (3.6)

Entonces, la ecuación de movimiento para el tramo considerado es:

∆x

Q2x

xQQ ∆∂∂

−

2x

xQQ ∆∂∂

+h

A , T

(3.1)

43


27

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ ∆∆∆∆∆∆∆

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

+−

∂∂

−)(

(3.1)



0=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

thB

xQ

tA

xQ

(3.2)


0xhBU

xUA

thB

xAU

tA

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

(3.3)


0th

xUh

xhU

th

xUh

=++=+)()()(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.4)


qtA

xAU

±=∂∂

+∂

∂ )((3.5)



xUU

tUa

∂∂

∂∂

+= (3.6)


∆x

Q2x

xQQ ∆∂∂

−

2x

xQQ ∆∂∂

+h

A , T


Porlotanto,laecuacióndeconservacióndemasaresulta:

27

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ ∆∆∆∆∆∆∆

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

+−

∂∂

−)(

(3.1)



0=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

thB

xQ

tA

xQ

(3.2)


0xhBU

xUA

thB

xAU

tA

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

(3.3)


0th

xUh

xhU

th

xUh

=++=+)()()(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.4)


qtA

xAU

±=∂∂

+∂

∂ )((3.5)



xUU

tUa

∂∂

∂∂

+= (3.6)


∆x

Q2x

xQQ ∆∂∂

−

2x

xQQ ∆∂∂

+h

A , T

(3.2)

Entérminosdelavelocidad:Q=UA,seobtiene:

27

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ ∆∆∆∆∆∆∆

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

+−

∂∂

−)(

(3.1)



0=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

thB

xQ

tA

xQ

(3.2)


0xhBU

xUA

thB

xAU

tA

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

(3.3)


0th

xUh

xhU

th

xUh

=++=+)()()(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.4)


qtA

xAU

±=∂∂

+∂

∂ )((3.5)



xUU

tUa

∂∂

∂∂

+= (3.6)


∆x

Q2x

xQQ ∆∂∂

−

2x

xQQ ∆∂∂

+h

A , T

(3.3)

Parauncanalrectangular:A=Bh,porloquelaecuación(3.3)sereducea:

27

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ ∆∆∆∆∆∆∆

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

+−

∂∂

−)(

(3.1)



0=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

thB

xQ

tA

xQ

(3.2)


0xhBU

xUA

thB

xAU

tA

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

(3.3)


0th

xUh

xhU

th

xUh

=++=+)()()(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.4)


qtA

xAU

±=∂∂

+∂

∂ )((3.5)



xUU

tUa

∂∂

∂∂

+= (3.6)


∆x

Q2x

xQQ ∆∂∂

−

2x

xQQ ∆∂∂

+h

A , T

(3.4)

Encasodeexistirunflujodesalidaoentradalateralalcanal,eneltramoconsiderado,setiene:

27

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ ∆∆∆∆∆∆∆

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

+−

∂∂

−)(

(3.1)



0=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

thB

xQ

tA

xQ

(3.2)


0xhBU

xUA

thB

xAU

tA

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

(3.3)


0th

xUh

xhU

th

xUh

=++=+)()()(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.4)


qtA

xAU

±=∂∂

+∂

∂ )((3.5)



xUU

tUa

∂∂

∂∂

+= (3.6)


∆x

Q2x

xQQ ∆∂∂

−

2x

xQQ ∆∂∂

+h

A , T

(3.5)

44



Esconocidoquelaaceleracióntotalenladireccióndelflujoes:

27

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ ∆∆∆∆∆∆∆

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

+−

∂∂

−)(

(3.1)



0=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

thB

xQ

tA

xQ

(3.2)


0xhBU

xUA

thB

xAU

tA

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

(3.3)


0th

xUh

xhU

th

xUh

=++=+)()()(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.4)


qtA

xAU

±=∂∂

+∂

∂ )((3.5)



xUU

tUa

∂∂

∂∂

+= (3.6)


∆x

Q2x

xQQ ∆∂∂

−

2x

xQQ ∆∂∂

+h

A , T

(3.6)

Entonces,laecuacióndemovimientoparaeltramoconsideradoes:

28

xPYgAx

UUt

UxA 0 ∆τ∆ρ∂∂

∂∂∆ρ −−=

+ (3.7)

Figura 3.8: Esquema para la deducción de la ecuación de momento

Teniendo en consideración que: τ0 = ρgRSf , P = A/R , ∆Y/∆x ≅ ∂Y/∂x , Y = z + h y ∂z/∂x = -So la ecuación (3.7) se transforma en términos de la velocidad y profundidad en:

( ) 0=−+++

friccionfuerza

of

gravedadfuerza

presionfuerza

convectivanaceleracio

localnaceleracio

SSgxhg

xUU

tU

∂∂

∂∂

∂∂

(3.8)

En términos de la velocidad y área se tiene:

( ) 0SSxA

Bg

xUU

tU

of =−+++∂∂

∂∂

∂∂

(3.9)

En términos del caudal, área y profundidad se tiene:

( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

(3.10)

Simplificación de las ecuaciones y definición de tipos de onda

• Modelo de Onda Cinemática: ( ) 0SSgA of =−

• Modelo de Onda de Difusa: ( ) 0SSgAxhgA of =−+

∂∂

• Modelo de Onda Dinámica: ( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

∆x

Y h

A , P

z

Nivel de referencia

Fondo

Q

(3.7)


Teniendo en consideración que:τ0 = ρgRSf , P = A/R , ΔY/Δx ~ дY/дx , Y = z + h y дz/дx = - So laecuación(3.7)setransformaentérminosdelavelocidadyprofundidaden:

28

xPYgAx

UUt


∂∂∆ρ −−=

+ (3.7)



( ) 0=−+++

friccionfuerza

of

gravedadfuerza

presionfuerza


localnaceleracio

SSgxhg

xUU

tU

∂∂

∂∂

∂∂

(3.8)


( ) 0SSxA

Bg

xUU

tU

of =−+++∂∂

∂∂

∂∂

(3.9)


( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

(3.10)




∂∂


AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

∆x

Y h

A , P

z

Nivel de referencia

Fondo

Q

(3.8)

Entérminosdelavelocidadyáreasetiene:

28

xPYgAx

UUt


∂∂∆ρ −−=

+ (3.7)



( ) 0=−+++

friccionfuerza

of

gravedadfuerza

presionfuerza


localnaceleracio

SSgxhg

xUU

tU

∂∂

∂∂

∂∂

(3.8)


( ) 0SSxA

Bg

xUU

tU

of =−+++∂∂

∂∂

∂∂

(3.9)


( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

(3.10)




∂∂


AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

∆x

Y h

A , P

z

Nivel de referencia

Fondo

Q

(3.9)

28

xPYgAx

UUt


∂∂∆ρ −−=

+ (3.7)



( ) 0=−+++

friccionfuerza

of

gravedadfuerza

presionfuerza


localnaceleracio

SSgxhg

xUU

tU

∂∂

∂∂

∂∂

(3.8)


( ) 0SSxA

Bg

xUU

tU

of =−+++∂∂

∂∂

∂∂

(3.9)


( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

(3.10)




∂∂


AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

∆x

Y h

A , P

z

Nivel de referencia

Fondo

Q

45


Entérminosdelcaudal,áreayprofundidadsetiene:

28

xPYgAx

UUt


∂∂∆ρ −−=

+ (3.7)



( ) 0=−+++

friccionfuerza

of

gravedadfuerza

presionfuerza


localnaceleracio

SSgxhg

xUU

tU

∂∂

∂∂

∂∂

(3.8)


( ) 0SSxA

Bg

xUU

tU

of =−+++∂∂

∂∂

∂∂

(3.9)


( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

(3.10)




∂∂


AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

∆x

Y h

A , P

z

Nivel de referencia

Fondo

Q

(3.10)


• ModelodeOndaCinemática:

• ModelodeOndadeDifusa:

• ModelodeOndaDinámica:

Diferencia entre onda cinemática y onda dinámica

29


Figura 3.9: Ondas dinámica y cinemática vistas por un observador

Criterio de Ponce V. M., para la definición del tipo de onda:

• Modelo de Onda Cinemática: 171hgTS

21

o ≥

• Modelo de Onda de Difusa: 171hgTS30

21

o <

≤

• Modelo de Onda Dinámica: 30hgTS

21

o <

Siendo T el período de la onda, g la aceleración de la gravedad y h la profundidad media.

Las ondas cinemáticas dominan el flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión no son importantes y las ondas dinámicas dominan el flujo cuando estas fuerzas son importantes, como el movimiento de una gran onda de avenida en un río ancho. En una onda cinemática, las fuerzas de gravedad y de fricción están balanceadas de tal manera que el flujo no se acelera apreciablemente. La figura 3.9 ilustra la diferencia entre el movimiento de una onda cinemática y una onda dinámica en un una longitud de tramo diferencial desde el punto de vista de un observador estacionario a la orilla del río. Para una onda cinemática, la línea de energía total es paralela al fondo del canal y el flujo es uniforme y permanente (So = Sf)dentro del tramo considerado, mientras que para una onda dinámica la línea de energía total y la elevación de la superficie de agua no son paralelas al lecho en el tramo diferencial considerado.

1 2

Observador

∆x

1 2∆x

3∆t

2∆t

∆t

Onda Dinámica 1 2∆x

3∆t

2∆t

∆t

Onda Cinemática


28

xPYgAx

UUt


∂∂∆ρ −−=

+ (3.7)



( ) 0=−+++

friccionfuerza

of

gravedadfuerza

presionfuerza


localnaceleracio

SSgxhg

xUU

tU

∂∂

∂∂

∂∂

(3.8)


( ) 0SSxA

Bg

xUU

tU

of =−+++∂∂

∂∂

∂∂

(3.9)


( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

(3.10)




∂∂


AQ

xtQ

of

2

=−++

+

∂∂

∂∂

∂∂

∆x

Y h

A , P

z

Nivel de referencia

Fondo

Q

46



• ModelodeOndaCinemática:

• ModelodeOndadeDifusa:

• ModelodeOndaDinámica:


Lasondascinemáticasdominanelflujocuandolasfuerzasinercialesydepresiónnosonimportantesylasondasdinámicasdominanelflujocuandoestasfuerzassonimportantes,como el movimiento de una gran onda de avenida en un río ancho. En una onda cinemática, lasfuerzasdegravedadydefricciónestánbalanceadasdetalmaneraqueelflujonoseaceleraapreciablemente.Lafigura3.9ilustraladiferenciaentreelmovimientodeunaonda cinemática y una onda dinámica en un una longitud de tramo diferencial desde el punto de vista de un observador estacionario a la orilla del río. Para una onda cinemática, lalíneadeenergíatotalesparalelaalfondodelcanalyelflujoesuniformeypermanente(So = Sf)dentrodeltramoconsiderado,mientrasqueparaunaondadinámicalalíneadeenergíatotalylaelevacióndelasuperficiedeaguanosonparalelasallechoeneltramodiferencial considerado.

3.6 Solución Numérica de la Onda Cinemática

Para una onda cinemática, los términos de aceleración y de presión en la ecuación de momento son despreciables, luego el movimiento de la onda se describe principalmente porlaecuacióndecontinuidad.Elnombrecinemáticaserefierealmovimientosintenerencuentalainfluenciadelamasaylafuerza,mientrasqueendinámicaseincluyenestascantidades. Lasecuacionesquegobiernanelmodelodeondacinemáticason:

Conservacióndemasa:

30


Para una onda cinemática, los términos de aceleración y de presión en la ecuación de momento son despreciables, luego el movimiento de la onda se describe principalmente por la ecuación de continuidad. El nombre cinemática se refiere al movimiento sin tener en cuenta la influencia de la masa y la fuerza, mientras que en dinámica se incluyen estas cantidades.

Las ecuaciones que gobiernan el modelo de onda cinemática son:

Conservación de masa: qtA

xQ

=∂∂

+∂∂

(3.11)

Conservación de Momento: ( ) 0=− of SS (3.12)

La relación del área con el caudal puede generalizarse mediante la siguiente ecuación:

βαQA = (3.13)

Para el caso de la ecuación de Manning, se tiene:

5/3

5/33/2

QS

nPQAo

== βα (3.14)

La ecuación (3.11) tiene dos variables dependientes, A y Q, pero A puede eliminarse diferenciando la ecuación (3.13):

∂∂

+∂∂ −

tQQ

tA 1βαβ (3.15)

Reemplazando (3.15) en (3.11) se obtiene:

qtQQ

xQ

=

∂∂

+∂∂ −1βαβ (3.16)

De este modo se han combinado las ecuaciones de continuidad y momento de la onda cinemática para producir una ecuación con Q como la única variable dependiente. El objetivo de la solución numérica es resolver la ecuación (3.16) para determinar elhidrograma de salida Q(x,t) en cada uno de los puntos de la malla x-t, dados los parámetros del canal α y β, el flujo lateral q(t) y las condiciones iniciales y de contorno o frontera. La solución numérica es más flexible que la analítica y puede manejar con mayor facilidad las variaciones en las propiedades del canal y en las condiciones iniciales y de frontera, y sirve como una introducción a la solución numérica de la onda dinámica, presentada más adelante.

Para resolver la ecuación (3.16) en forma numérica, las derivadas espaciales y temporales de Q se aproximan en la malla x-t tal como se muestra en la figura 3.10. El valor desconocido es 1

1++j

iQ . Los valores de Q en la j-ésima línea de tiempo se han determinado

previamente, lo mismo que 1+jiQ . A continuación se describe el esquema lineal de

(3.11)

ConservacióndeMomento:

30





xQ

=∂∂

+∂∂

(3.11)



βαQA = (3.13)


5/3

5/33/2

QS

nPQAo

== βα (3.14)


∂∂

+∂∂ −

tQQ

tA 1βαβ (3.15)


qtQQ

xQ

=

∂∂

+∂∂ −1βαβ (3.16)



1++j



(3.12) Larelacióndeláreaconelcaudalpuedegeneralizarsemediantelasiguienteecuación:

βαQA = (3.13)

29




• Modelo de Onda Cinemática: 171hgTS

21

o ≥

• Modelo de Onda de Difusa: 171hgTS30

21

o <

≤

• Modelo de Onda Dinámica: 30hgTS

21

o <


Las ondas cinemáticas dominan el flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión no son importantes y las ondas dinámicas dominan el flujo cuando estas fuerzas son importantes, como el movimiento de una gran onda de avenida en un río ancho. En una onda cinemática, las fuerzas de gravedad y de fricción están balanceadas de tal manera que el flujo no se acelera apreciablemente. La figura 3.9 ilustra la diferencia entre el movimiento de una onda cinemática y una onda dinámica en un una longitud de tramo diferencial desde el punto de vista de un observador estacionario a la orilla del río. Para una onda cinemática, la línea de energía total es paralela al fondo del canal y el flujo es uniforme y permanente (So = Sf)dentro del tramo considerado, mientras que para una onda dinámica la línea de energía total y la elevación de la superficie de agua no son paralelas al lecho en el tramo diferencial considerado.

1 2

Observador

∆x

1 2∆x

3∆t

2∆t

∆t

Onda Dinámica 1 2∆x

3∆t

2∆t

∆t

Onda Cinemática

47


ParaelcasodelaecuacióndeManning,setiene:

30





xQ

=∂∂

+∂∂

(3.11)



βαQA = (3.13)


5/3

5/33/2

QS

nPQAo

== βα (3.14)


∂∂

+∂∂ −

tQQ

tA 1βαβ (3.15)


qtQQ

xQ

=

∂∂

+∂∂ −1βαβ (3.16)



1++j



(3.14)

La ecuación (3.11) tiene dos variables dependientes,A yQ, peroA puede eliminarsediferenciandolaecuación(3.13):

30





xQ

=∂∂

+∂∂

(3.11)



βαQA = (3.13)


5/3

5/33/2

QS

nPQAo

== βα (3.14)


∂∂

+∂∂ −

tQQ

tA 1βαβ (3.15)


qtQQ

xQ

=

∂∂

+∂∂ −1βαβ (3.16)



1++j



(3.15)

Reemplazando(3.15)en(3.11)seobtiene:

30





xQ

=∂∂

+∂∂

(3.11)



βαQA = (3.13)


5/3

5/33/2

QS

nPQAo

== βα (3.14)


∂∂

+∂∂ −

tQQ

tA 1βαβ (3.15)


qtQQ

xQ

=

∂∂

+∂∂ −1βαβ (3.16)



1++j



(3.16)

De este modo se han combinado las ecuaciones de continuidad y momento de la onda cinemática para producir una ecuación con Q como la única variable dependiente. El objetivo de la solución numérica es resolver la ecuación (3.16) para determinar elhidrogramadesalidaQ(x,t)encadaunodelospuntosdelamallax-t,dadoslosparámetrosdel canal a y b,elflujolateralq(t)ylascondicionesinicialesydecontornoofrontera.Lasoluciónnuméricaesmásflexiblequelaanalíticaypuedemanejarconmayorfacilidadlas variaciones en las propiedades del canal y en las condiciones iniciales y de frontera, y sirve como una introducción a la solución numérica de la onda dinámica, presentada más adelante.

Para resolver la ecuación (3.16) en forma numérica, las derivadas espaciales ytemporales deQ se aproximan en lamalla x-t tal como semuestra en lafigura 3.10.El valor desconocido es 1

1++j

iQ . Los valores de Q en la j-ésima línea de tiempo se han determinado previamente, lo mismo que 1+j

iQ . A continuación se describe el esquema lineal de discretización para plantear las ecuaciones en diferencias finitas, en el cual

11++j

iQ se calcula como una función lineal de los valores conocidos de Q .

48


Figura 3.10: Esquema de Diferencias Finitas para la Solución de la Onda Cinemática

Conelfindeplantearlasecuacionesdediferenciasfinitasseusaunmétododediferenciasregresivasohaciaatrás.Laformadediferenciasfinitasdeladerivadaespacialde 1

1++j

iQ se encuentra sustituyendo los valores de Q en el tiempo j+1.

(3.17)

Laformaendiferenciasfinitasdeladerivadatemporalseencuentrademanerasimilaralsustituir los valores de Q en el tiempo j+1.

(3.18)

31

discretización para plantear las ecuaciones en diferencias finitas, en el cual 11++j



Con el fin de plantear las ecuaciones de diferencias finitas se usa un método de diferencias regresivas o hacia atrás. La forma de diferencias finitas de la derivada espacial de 1

1++j


xQQ

xQ j

ij

i

∆−

=∂∂ ++

+11

1 (3.17)

La forma en diferencias finitas de la derivada temporal se encuentra de manera similar al sustituir los valores de Q en el tiempo j+1.

tQQ

tQ j

ij

i

∆−

=∂∂ +

++ 1

11 (3.18)

Si se utilizara el valor 11++j

iQ en lugar de Q en el término 1−βαβQ de la ecuación (3.16), la

ecuación resultante sería no lineal en 11++j

iQ . Para crear una ecuación lineal, el valor de Qusado en el término 1−βαβQ se encuentra al promediar los valores de la diagonal de la figura3.10:

2

11

++ +

≅j

ij

i QQQ (3.19a)

El valor del caudal lateral q se encuentra promediando los valores en la (i + 1)-ésima línea de distancia (se supone que éstos están dados en el problema):

11++j

iQxQ∂∂

jiQ

jiQ 1+

1+jiQ

∆t

∆x

j∆t

(j+1)∆t

i∆x (i+1)∆x

tQ∂∂Q

t

x

31





1++j


xQQ

xQ j

ij

i

∆−

=∂∂ ++

+11

1 (3.17)


tQQ

tQ j

ij

i

∆−

=∂∂ +

++ 1

11 (3.18)





2

11

++ +

≅j

ij

i QQQ (3.19a)


11++j

iQxQ∂∂

jiQ

jiQ 1+

1+jiQ

∆t

∆x

j∆t

(j+1)∆t

i∆x (i+1)∆x

tQ∂∂Q

t

x

31





1++j


xQQ

xQ j

ij

i

∆−

=∂∂ ++

+11

1 (3.17)


tQQ

tQ j

ij

i

∆−

=∂∂ +

++ 1

11 (3.18)





2

11

++ +

≅j

ij

i QQQ (3.19a)


11++j

iQxQ∂∂

jiQ

jiQ 1+

1+jiQ

∆t

∆x

j∆t

(j+1)∆t

i∆x (i+1)∆x

tQ∂∂Q

t

x

49



iQ en lugar de Q en el término

31





1++j


xQQ

xQ j

ij

i

∆−

=∂∂ ++

+11

1 (3.17)


tQQ

tQ j

ij

i

∆−

=∂∂ +

++ 1

11 (3.18)





2

11

++ +

≅j

ij

i QQQ (3.19a)


11++j

iQxQ∂∂

jiQ

jiQ 1+

1+jiQ

∆t

∆x

j∆t

(j+1)∆t

i∆x (i+1)∆x

tQ∂∂Q

t

x

delaecuación(3.16),la ecuación resultante sería no lineal en 1

1++j

iQ . Para crear una ecuación lineal, el valor de Q usado en el término

31





1++j


xQQ

xQ j

ij

i

∆−

=∂∂ ++

+11

1 (3.17)


tQQ

tQ j

ij

i

∆−

=∂∂ +

++ 1

11 (3.18)





2

11

++ +

≅j

ij

i QQQ (3.19a)


11++j

iQxQ∂∂

jiQ

jiQ 1+

1+jiQ

∆t

∆x

j∆t

(j+1)∆t

i∆x (i+1)∆x

tQ∂∂Q

t

x

se encuentra al promediar los valores de la diagonal de lafigura3.10:

31





1++j


xQQ

xQ j

ij

i

∆−

=∂∂ ++

+11

1 (3.17)


tQQ

tQ j

ij

i

∆−

=∂∂ +

++ 1

11 (3.18)





2

11

++ +

≅j

ij

i QQQ (3.19a)


11++j

iQxQ∂∂

jiQ

jiQ 1+

1+jiQ

∆t

∆x

j∆t

(j+1)∆t

i∆x (i+1)∆x

tQ∂∂Q

t

x

(3.19a)

Elvalordelcaudallateralqseencuentrapromediandolosvaloresenla(i+1)-ésimalíneadedistancia(sesuponequeéstosestándadosenelproblema):

32

21

11

ji

ji qq

q +++ +

≅ (3.19b)

Sustituyendo las ecuaciones (3.17), (3.18), (3.19a) y (3.19b) en la ecuación (3.16) se obtiene la forma de diferencias finitas de la onda cinemática lineal:

221

111

11

111

111

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji qq

tQQQQ

xQQ +

+++

++

−++

+++ +

=

∆−

++

∆−

β

αβ (3.20)

Despejando la incógnita 11++j

iQ , resulta:

++

∆∆

+∆+

++

∆∆

=−+

+

+++

−++

++

++ 11

1

11

1

111

11

11

2

22β

β

αβ

αβ

ji

ji

ji

ji

ji

jij

ij

i

ji

QQxt

qqt

QQQQ

xt

Q (3.21)

Ejemplo 3.1

Calcular el hidrograma de salida para un tramo de 1600 metros de un canal seccionados cada 200 metros, empleando el modelo de onda cinemática. El canal tiene una pendiente igual a S = 0.005, coeficiente de rugosidad de Manning n = 0.03, ancho o perímetro P = 60 metros y el hidrograma de entrada corresponde a los valores de caudal dado en la sección de ingreso.

Solución

A continuación se presenta la solución numérica, calculada con EXCEL

Tabla 3.2: Resultados de tránsito hidráulico de onda cinemática

Dt 120 segundos S 0.005 a 3.07

Dx 200 metros n 0.03 b 0.6

Dtt 2 minutos P 60

X = 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600j T i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(min) Ingreso Salida 2Salida

3Salida

4Salida

5Salida

6Salida

7Salida

8Salida

91 0 5 5 5 5 5 5 5 5 52 2 8 6.22 5.48 5.19 5.07 5.03 5.01 5.00 5.003 4 15 10.22 7.50 6.12 5.48 5.20 5.09 5.04 5.014 6 40 26.34 16.96 11.15 7.93 6.32 5.57 5.24 5.105 8 85 62.64 43.76 29.09 18.74 12.18 8.47 6.57 5.696 10 125 104.21 82.77 62.33 44.39 30.00 19.55 12.75 8.817 12 110 108.14 99.72 86.77 71.26 55.16 40.23 27.77 18.488 14 75 86.12 90.66 89.35 83.07 72.99 60.55 47.34 34.879 16 40 57.04 68.97 76.07 78.51 76.56 70.77 61.97 51.28

10 18 20 35.43 48.42 58.67 65.85 69.69 70.08 67.12 61.1711 20 13 23.37 33.97 43.82 52.25 58.75 62.91 64.45 63.24

(3.19b)

Sustituyendo las ecuaciones (3.17), (3.18), (3.19a) y (3.19b) en la ecuación (3.16) seobtienelaformadediferenciasfinitasdelaondacinemáticalineal:

32

21

11

ji

ji qq

q +++ +

≅ (3.19b)


221

111

11

111

111

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji qq

tQQQQ

xQQ +

+++

++

−++

+++ +

=

∆−

++

∆−

β

αβ (3.20)


iQ , resulta:

++

∆∆

+∆+

++

∆∆

=−+

+

+++

−++

++

++ 11

1

11

1

111

11

11

2

22β

β

αβ

αβ

ji

ji

ji

ji

ji

jij

ij

i

ji

QQxt

qqt

QQQQ

xt

Q (3.21)

Ejemplo 3.1


Solución




Dx 200 metros n 0.03 b 0.6

Dtt 2 minutos P 60

X = 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600j T i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9


3Salida

4Salida

5Salida

6Salida

7Salida

8Salida

91 0 5 5 5 5 5 5 5 5 52 2 8 6.22 5.48 5.19 5.07 5.03 5.01 5.00 5.003 4 15 10.22 7.50 6.12 5.48 5.20 5.09 5.04 5.014 6 40 26.34 16.96 11.15 7.93 6.32 5.57 5.24 5.105 8 85 62.64 43.76 29.09 18.74 12.18 8.47 6.57 5.696 10 125 104.21 82.77 62.33 44.39 30.00 19.55 12.75 8.817 12 110 108.14 99.72 86.77 71.26 55.16 40.23 27.77 18.488 14 75 86.12 90.66 89.35 83.07 72.99 60.55 47.34 34.879 16 40 57.04 68.97 76.07 78.51 76.56 70.77 61.97 51.28

10 18 20 35.43 48.42 58.67 65.85 69.69 70.08 67.12 61.1711 20 13 23.37 33.97 43.82 52.25 58.75 62.91 64.45 63.24

(3.20)


iQ ,resulta:

32

21

11

ji

ji qq

q +++ +

≅ (3.19b)


221

111

11

111

111

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji qq

tQQQQ

xQQ +

+++

++

−++

+++ +

=

∆−

++

∆−

β

αβ (3.20)


iQ , resulta:

++

∆∆

+∆+

++

∆∆

=−+

+

+++

−++

++

++ 11

1

11

1

111

11

11

2

22β

β

αβ

αβ

ji

ji

ji

ji

ji

jij

ij

i

ji

QQxt

qqt

QQQQ

xt

Q (3.21)

Ejemplo 3.1


Solución




Dx 200 metros n 0.03 b 0.6

Dtt 2 minutos P 60

X = 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600j T i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9


3Salida

4Salida

5Salida

6Salida

7Salida

8Salida

91 0 5 5 5 5 5 5 5 5 52 2 8 6.22 5.48 5.19 5.07 5.03 5.01 5.00 5.003 4 15 10.22 7.50 6.12 5.48 5.20 5.09 5.04 5.014 6 40 26.34 16.96 11.15 7.93 6.32 5.57 5.24 5.105 8 85 62.64 43.76 29.09 18.74 12.18 8.47 6.57 5.696 10 125 104.21 82.77 62.33 44.39 30.00 19.55 12.75 8.817 12 110 108.14 99.72 86.77 71.26 55.16 40.23 27.77 18.488 14 75 86.12 90.66 89.35 83.07 72.99 60.55 47.34 34.879 16 40 57.04 68.97 76.07 78.51 76.56 70.77 61.97 51.28

10 18 20 35.43 48.42 58.67 65.85 69.69 70.08 67.12 61.1711 20 13 23.37 33.97 43.82 52.25 58.75 62.91 64.45 63.24

(3.21)

Ejemplo 3.1

Calcular el hidrograma de salida para un tramo de 1600 metros de un canal seccionados cada 200 metros, empleando el modelo de onda cinemática. El canal tiene una pendiente igualaS=0.005,coeficientederugosidaddeManningn=0.03,anchooperímetroP= 60 metros y el hidrograma de entrada corresponde a los valores de caudal dado en la sección de ingreso.

50


Solución



Dt 120 segundos S 0.005 a 3.07Dx 200 metros n 0.03 b 0.6Dtt 2 minutos P 60

X = 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600j T i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (min) Ingreso Salida 2 Salida 3 Salida 4 Salida 5 Salida 6 Salida 7 Salida 8 Salida 91 0 5 5 5 5 5 5 5 5 52 2 8 6.22 5.48 5.19 5.07 5.03 5.01 5.00 5.003 4 15 10.22 7.50 6.12 5.48 5.20 5.09 5.04 5.014 6 40 26.34 16.96 11.15 7.93 6.32 5.57 5.24 5.105 8 85 62.64 43.76 29.09 18.74 12.18 8.47 6.57 5.696 10 125 104.21 82.77 62.33 44.39 30.00 19.55 12.75 8.817 12 110 108.14 99.72 86.77 71.26 55.16 40.23 27.77 18.488 14 75 86.12 90.66 89.35 83.07 72.99 60.55 47.34 34.879 16 40 57.04 68.97 76.07 78.51 76.56 70.77 61.97 51.28

10 18 20 35.43 48.42 58.67 65.85 69.69 70.08 67.12 61.1711 20 13 23.37 33.97 43.82 52.25 58.75 62.91 64.45 63.2412 22 10 16.67 24.59 32.82 40.73 47.79 53.56 57.65 59.7413 24 7 12.16 18.25 24.91 31.74 38.38 44.44 49.59 53.4714 26 5 9.05 13.83 19.20 24.93 30.79 36.51 41.81 46.4315 28 5 7.37 10.89 15.12 19.84 24.85 29.97 34.98 39.6916 30 5 6.42 8.94 12.23 16.06 20.27 24.72 29.25 33.7117 32 5 5.86 7.65 10.17 13.25 16.76 20.56 24.55 28.6218 34 5 5.52 6.78 8.70 11.17 14.06 17.28 20.75 24.37

51


Figura 3.11: Tránsito Hidráulico – Modelo de Onda Cinemática

3.7 Solución Numérica de las Ecuaciones de Saint Venant

Las ecuaciones de Saint Venant conformados por la ecuación de conservación de masa y de momento o cantidad de movimiento son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de tipohiperbólicoconcoeficientesvariablesengeneral.Debidoadificultadesmatemáticas,estas ecuaciones no pueden ser integrados de manera exacta, introduciéndose por lo tanto muchas simplificaciones.Antes de introducir otras aproximaciones, en algunos casos,estasecuacionessontransformadasalascorrespondientesalflujogradualmentevariadono permanente en canales abiertos que son ecuaciones diferenciales simples, que pueden ser resueltos en forma general.

Del punto de vista de ingeniería, lamayoría de soluciones de las ecuaciones deflujoinestable en ríos son numéricos y determinadas mediante el uso de computadoras digitales. Existen diferentes técnicas numéricas, que pueden ser usados. Algunos de ellos son descartados por la falta de precisión en la solución o por el empleo de mucho tiempo de máquina; otros parecen mostrar relativamente, buenas soluciones, sin embargo no existehastaelmomentodefinidoquemétodoeselmejor.Larespuestasedadeacuerdoal problema y facilidades de cómputo.

Existen varios métodos para la solución de ecuaciones diferenciales hiperbólicas en derivadosparciales,quedescribeelflujoinestableunidimensionalenríos,estosson:elmétododelascaracterísticas,elmétododediferenciasfinitas,elmétododeloselementosfinitosyelmétododelosvolúmenesfinitos.

33

12 22 10 16.67 24.59 32.82 40.73 47.79 53.56 57.65 59.7413 24 7 12.16 18.25 24.91 31.74 38.38 44.44 49.59 53.4714 26 5 9.05 13.83 19.20 24.93 30.79 36.51 41.81 46.4315 28 5 7.37 10.89 15.12 19.84 24.85 29.97 34.98 39.6916 30 5 6.42 8.94 12.23 16.06 20.27 24.72 29.25 33.7117 32 5 5.86 7.65 10.17 13.25 16.76 20.56 24.55 28.6218 34 5 5.52 6.78 8.70 11.17 14.06 17.28 20.75 24.37

Figura 3.11: Tránsito Hidráulico – Modelo de Onda Cinemática

3.7 Solución Numérica de las Ecuaciones de Saint Venant

Las ecuaciones de Saint Venant conformados por la ecuación de conservación de masa y de momento o cantidad de movimiento son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de tipo hiperbólico con coeficientes variables en general. Debido a dificultades matemáticas, estas ecuaciones no pueden ser integrados de manera exacta, introduciéndose por lo tanto muchas simplificaciones. Antes de introducir otras aproximaciones, en algunos casos, estas ecuaciones son transformadas a las correspondientes al flujo gradualmente variado no permanente en canales abiertos que son ecuaciones diferenciales simples, que pueden ser resueltos en forma general.

Del punto de vista de ingeniería, la mayoría de soluciones de las ecuaciones de flujo inestable en ríos son numéricos y determinadas mediante el uso de computadoras digitales. Existen diferentes técnicas numéricas, que pueden ser usados. Algunos de ellos son descartados por la falta de precisión en la solución o por el empleo de mucho tiempo de máquina; otros parecen mostrar relativamente, buenas soluciones, sin embargo no existe hasta el momento definido que método es el mejor. La respuesta se da de acuerdo al problema y facilidades de cómputo.

Existen varios métodos para la solución de ecuaciones diferenciales hiperbólicas en derivados parciales, que describe el flujo inestable unidimensional en ríos, estos son: el método de las características, el método de diferencias finitas, el método de los elementos finitos y el método de los volúmenes finitos.

52


3.8 Método de las Características

Está basado en ecuaciones básicas escritas en forma característica. El método de las características puede ser descrito como una técnica donde la solución de dos ecuaciones diferenciales simultáneas en derivadas parciales, pueden ser reemplazados por un problemadecuatroecuacionesdiferencialesordinarias,[33].

El método de las características puede orientarse a problemas impuestos por la naturaleza, pero con serias dificultades, sin embargo este método tiene un papel importante endeterminarlosvaloresdefronteraenmuchospuntosfijosparaelmétododediferenciasfinitas.

Escribiendonuevamentelasecuaciones(3.3)y(3.8)delaformasiguiente:

34


Está basado en ecuaciones básicas escritas en forma característica. El método de lascaracterísticas puede ser descrito como una técnica donde la solución de dos ecuaciones diferenciales simultáneas en derivadas parciales, pueden ser reemplazados por un problema de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias, [33].

El método de las características puede orientarse a problemas impuestos por la naturaleza, pero con serias dificultades, sin embargo este método tiene un papel importante en determinar los valores de frontera en muchos puntos fijos para el método de diferencias finitas.

Escribiendo nuevamente las ecuaciones (3.3) y (3.8) de la forma siguiente:

0x

UAxhBU

thBL1 =

++=

∂∂

∂∂

∂∂λ (3.22)

( ) 0SSgxhg

xUU

tUL of2 =−+++=

∂∂

∂∂

∂∂

(3.23)

Sumando y ordenando convenientemente las ecuaciones (3.22) y (3.23):

( ) ( ) 0SSgth

xh

BgUB

xUAU

tUL of =−+

+

++

++=

∂∂

∂∂

λλ

∂∂λ

∂∂

(3.24)

En la ecuación anterior, dos valores reales distintos de λ pueden proporcionar dos ecuaciones en términos de dos variables U y h, que de alguna manera representan las ecuaciones (3.22) y (3.23). Una selección apropiada de dos valores particulares de λpermite simplificar la ecuación (3.24). En general las variables U y h son funciones de x y t. Si consideramos que la variable independiente x es función del tiempo t, del cálculo diferencial, se obtiene:

th

dtdx

xh

dtdh

∂∂

+∂∂

= (3.25)

tU

dtdx

xU

dtdU

∂∂

+∂∂

= (3.26)

Ahora, examinando la ecuación (3.24) y teniendo en cuenta las ecuaciones (3.25) y (3.26),se puede notar que:

BgUAU

dtdx

λλ +=+= (3.27)

por lo que la ecuación (3.24) se transforma en una ecuación diferencial ordinaria:

( ) 0SSgdtdhB

dtdU

of =−++ λ (3.28)

La solución de la ecuación (3.27) permite obtener dos valores particulares de λ:

(3.22)

34





0x

UAxhBU

thBL1 =

++=

∂∂

∂∂

∂∂λ (3.22)

( ) 0SSgxhg

xUU

tUL of2 =−+++=

∂∂

∂∂

∂∂

(3.23)


( ) ( ) 0SSgth

xh

BgUB

xUAU

tUL of =−+

+

++

++=

∂∂

∂∂

λλ

∂∂λ

∂∂

(3.24)


th

dtdx

xh

dtdh

∂∂

+∂∂

= (3.25)

tU

dtdx

xU

dtdU

∂∂

+∂∂

= (3.26)


BgUAU

dtdx

λλ +=+= (3.27)


( ) 0SSgdtdhB

dtdU

of =−++ λ (3.28)


(3.23)

Sumandoyordenandoconvenientementelasecuaciones(3.22)y(3.23):

34





0x

UAxhBU

thBL1 =

++=

∂∂

∂∂

∂∂

λ (3.22)

( ) 0SSgxhg

xUU

tUL of2 =−+++=

∂∂

∂∂

∂∂

(3.23)


( ) ( ) 0SSgth

xh

BgUB

xUAU

tUL of =−+

+

++

++=

∂∂

∂∂

λλ

∂∂

λ∂∂

(3.24)


th

dtdx

xh

dtdh

∂∂

+∂∂

= (3.25)

tU

dtdx

xU

dtdU

∂∂

+∂∂

= (3.26)


BgUAU

dtdx

λλ +=+= (3.27)


( ) 0SSgdtdhB

dtdU

of =−++ λ (3.28)


(3.24)

En la ecuación anterior, dos valores reales distintos de l pueden proporcionar dos ecuaciones en términos de dos variables U y h, que de alguna manera representan las ecuaciones (3.22) y (3.23).Una selección apropiada de dos valores particulares del permitesimplificarlaecuación(3.24).EngenerallasvariablesUyhsonfuncionesdexy t. Si consideramos que la variable independiente x es función del tiempo t, del cálculo diferencial,seobtiene:

(3.25)

34





0x

UAxhBU

thBL1 =

++=

∂∂

∂∂

∂∂λ (3.22)

( ) 0SSgxhg

xUU

tUL of2 =−+++=

∂∂

∂∂

∂∂

(3.23)


( ) ( ) 0SSgth

xh

BgUB

xUAU

tUL of =−+

+

++

++=

∂∂

∂∂

λλ

∂∂λ

∂∂

(3.24)


th

dtdx

xh

dtdh

∂∂

+∂∂

= (3.25)

tU

dtdx

xU

dtdU

∂∂

+∂∂

= (3.26)


BgUAU

dtdx

λλ +=+= (3.27)


( ) 0SSgdtdhB

dtdU

of =−++ λ (3.28)


(3.26)

53


Ahora,examinandolaecuación(3.24)yteniendoencuentalasecuaciones(3.25)y(3.26),sepuedenotarque:

34





0x

UAxhBU

thBL1 =

++=

∂∂

∂∂

∂∂λ (3.22)

( ) 0SSgxhg

xUU

tUL of2 =−+++=

∂∂

∂∂

∂∂

(3.23)


( ) ( ) 0SSgth

xh

BgUB

xUAU

tUL of =−+

+

++

++=

∂∂

∂∂

λλ

∂∂λ

∂∂

(3.24)


th

dtdx

xh

dtdh

∂∂

+∂∂

= (3.25)

tU

dtdx

xU

dtdU

∂∂

+∂∂

= (3.26)


BgUAU

dtdx

λλ +=+= (3.27)


( ) 0SSgdtdhB

dtdU

of =−++ λ (3.28)


(3.27)

porloquelaecuación(3.24)setransformaenunaecuacióndiferencialordinaria:

34





0x

UAxhBU

thBL1 =

++=

∂∂

∂∂

∂∂λ (3.22)

( ) 0SSgxhg

xUU

tUL of2 =−+++=

∂∂

∂∂

∂∂

(3.23)


( ) ( ) 0SSgth

xh

BgUB

xUAU

tUL of =−+

+

++

++=

∂∂

∂∂

λλ

∂∂λ

∂∂

(3.24)


th

dtdx

xh

dtdh

∂∂

+∂∂

= (3.25)

tU

dtdx

xU

dtdU

∂∂

+∂∂

= (3.26)


BgUAU

dtdx

λλ +=+= (3.27)


( ) 0SSgdtdhB

dtdU

of =−++ λ (3.28)


(3.28)

Lasolucióndelaecuación(3.27)permiteobtenerdosvaloresparticularesdel:

35

ABg

±=λ (3.29)

Reemplazando estos valores de λ en la ecuación (3.27), la forma particular donde x y t son relacionados está dado por:

cUBgAU

dtdx

±=±= (3.30)

Donde c es la celeridad de onda que para el caso de canal rectangular se simplifica a: c = (gh)1/2. Si el valor positivo de λ es usado en la ecuación (3.28) el valor positivo de λ debe ser usado en la ecuación (3.30); existiendo similar paralelismo para los valores negativos. La substitución de estos valores de λ en la ecuación (3.28) permite obtener dos pares de ecuaciones que pueden ser agrupados e identificados como ecuaciones C+ y C-

( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−++ (3.31)

C+

cUdtdx

+= (3.32)

( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−+− (3.33)

C-

cUdtdx

−= (3.34)

De esta manera los dos valores reales de λ fueron usadas para convertir las dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en dos ecuaciones diferenciales totales. Si las variables dependientes son conocidas en A y B, las ecuaciones del (3.31) al (3.34) pueden ser integradas en términos de las 4 variables desconocidas en P.

( ) 0dtSSgdhc1gUU P

A

P

A

t

t of

h

hAP =−++− ∫∫ (3.35)

C+

( )dtcUgxx P

A

t

tAP ∫ +=− (3.36)

( ) 0dtSSgdhc1gUU P

B

P

B

t

t of

h

hBP =−+−− ∫∫ (3.37)

C-

( )dtcUgxx P

B

t

tBP ∫ −=− (3.38)

(3.29)

Reemplazando estos valores de lenlaecuación(3.27),laformaparticulardondexytsonrelacionadosestádadopor:

35

ABg

±=λ (3.29)


cUBgAU

dtdx

±=±= (3.30)


( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−++ (3.31)

C+

cUdtdx

+= (3.32)

( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−+− (3.33)

C-

cUdtdx

−= (3.34)


( ) 0dtSSgdhc1gUU P

A

P

A

t

t of

h

hAP =−++− ∫∫ (3.35)

C+

( )dtcUgxx P

A

t

tAP ∫ +=− (3.36)

( ) 0dtSSgdhc1gUU P

B

P

B

t

t of

h

hBP =−+−− ∫∫ (3.37)

C-

( )dtcUgxx P

B

t

tBP ∫ −=− (3.38)

(3.30)

Donde c eslaceleridaddeondaqueparaelcasodecanalrectangularsesimplificaa:c = (gh)1/2. Si el valor positivo de lesusadoenlaecuación(3.28)elvalorpositivodel debe serusadoenlaecuación(3.30);existiendosimilarparalelismoparalosvaloresnegativos.La substitución de estos valores de lenlaecuación(3.28)permiteobtenerdosparesdeecuacionesquepuedenseragrupadoseidentificadoscomoecuacionesC+ y C-

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

35

ABg

±=λ (3.29)


cUBgAU

dtdx

±=±= (3.30)


( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−++ (3.31)

C+

cUdtdx

+= (3.32)

( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−+− (3.33)

C-

cUdtdx

−= (3.34)


( ) 0dtSSgdhc1gUU P

A

P

A

t

t of

h

hAP =−++− ∫∫ (3.35)

C+

( )dtcUgxx P

A

t

tAP ∫ +=− (3.36)

( ) 0dtSSgdhc1gUU P

B

P

B

t

t of

h

hBP =−+−− ∫∫ (3.37)

C-

( )dtcUgxx P

B

t

tBP ∫ −=− (3.38)

54


De esta manera los dos valores reales de l fueron usadas para convertir las dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en dos ecuaciones diferenciales totales. Si las variablesdependientessonconocidasenAyB,lasecuacionesdel(3.31)al(3.34)puedenser integradas en términos de las 4 variables desconocidas en P.

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

Figura 3.12: Líneas Características en el plano x-t

Es conveniente visualizar como la solución se desarrolla en el plano de variables independientes (x,t) de la Figura 3.12. La integración de las ecuaciones del (3.35) al(3.38),generalmente,sonhechasmediantelareglatrapezoidalloquegeneraunconjuntode ecuaciones algebraicas que conducen a una solución estable, siempre que sea satisfecha lacondicióndeCOURANT-LEWY-FRICDRICHS:

36


Es conveniente visualizar como la solución se desarrolla en el plano de variables independientes (x,t) de la Figura 3.12. La integración de las ecuaciones del (3.35) al (3.38),generalmente, son hechas mediante la regla trapezoidal lo que genera un conjunto de ecuaciones algebraicas que conducen a una solución estable, siempre que sea satisfecha la condición de COURANT-LEWY-FRICDRICHS:

cUxt+

≤∆∆ (3.39)

Las ecuaciones resultantes son no lineales y será necesario un procedimiento iterativo para su solución como el método de Newton-Raphson.

Alternativamente puede considerarse la integración de primer orden como satisfactorio, en la mayoría de los casos. Esto permite una solución explícita el cual es estable cuando el flujo lateral y la fricción son pequeños. El canal debe ser dividido en tramos iguales ∆x y debe ser seleccionado un valor apropiado de ∆t de modo que satisfaga la condición de Courant. La integración de primer orden de las ecuaciones del (3.35) al (3.38) son:

( ) ( ) 0tSSghhcgUU ofAAPA

AP =−+−+− ∆ (3.40)

C+

( ) tcUxx AAAP ∆+=− (3.41)

( ) ( ) 0tSSghhcgUU ofBBPB

BP =−+−−− ∆ (3.42)

C-

( ) tcUxx BABP ∆−=− (3.43)

La solución del problema será definido para t>to, donde (to) corresponde el estado de flujo estable o permanente. Se asume que en los puntos 1, 2, 3, …, N (Figura 3.13), las funciones o valores de las variables dependientes representan las condiciones iniciales y son conocidas. El objetivo es llenar los puntos interiores del plano (x,t) en una red de características, de tal modo que las variables dependientes quedan definidos por las intersecciones. Esto quiere decir que empezando de los puntos conocidos 1, 2, 3, …, N los valores de las dos variables dependientes y de las dos independientes en los puntos interiores pueden ser calculados resolviendo el sistema de ecuaciones (3.40) al (3.43).Siguiendo el procedimiento descrito, el plano (x,t) completo puede ser llenado con características, como el mostrado en la Figura 3.13, tal que las variables dependientes estén definidos por las intersecciones. La estabilidad de la solución es probado, chequeando si

P

A B

C+C-

x

t

O

(3.39)


35

ABg

±=λ (3.29)


cUBgAU

dtdx

±=±= (3.30)


( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−++ (3.31)

C+

cUdtdx

+= (3.32)

( ) 0SSgdtdh

cg

dtdU

of =−+− (3.33)

C-

cUdtdx

−= (3.34)


( ) 0dtSSgdhc1gUU P

A

P

A

t

t of

h

hAP =−++− ∫∫ (3.35)

C+

( )dtcUgxx P

A

t

tAP ∫ +=− (3.36)

( ) 0dtSSgdhc1gUU P

B

P

B

t

t of

h

hBP =−+−− ∫∫ (3.37)

C-

( )dtcUgxx P

B

t

tBP ∫ −=− (3.38)36



cUxt+

≤∆∆ (3.39)




AP =−+−+− ∆ (3.40)

C+

( ) tcUxx AAAP ∆+=− (3.41)


BP =−+−−− ∆ (3.42)

C-

( ) tcUxx BABP ∆−=− (3.43)


P

A B

C+C-

x

t

O

55


Alternativamente puede considerarse la integración de primer orden como satisfactorio, en la mayoría de los casos. Esto permite una solución explícita el cual es estable cuando elflujolateralylafricciónsonpequeños.ElcanaldebeserdivididoentramosigualesDx y debe ser seleccionado un valor apropiado de Dt de modo que satisfaga la condición de Courant.Laintegracióndeprimerordendelasecuacionesdel(3.35)al(3.38)son:

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

Lasolucióndelproblemaserádefinidopara t>to, donde (to)correspondeelestadodeflujoestableopermanente.Seasumequeenlospuntos1,2,3,…,N(Figura3.13),lasfunciones o valores de las variables dependientes representan las condiciones iniciales ysonconocidas.El objetivoes llenar lospuntos interioresdelplano(x,t)enunareddecaracterísticas,detalmodoquelasvariablesdependientesquedandefinidosporlasintersecciones.Estoquieredecirqueempezandodelospuntosconocidos1,2,3,…,Nlosvalores de las dos variables dependientes y de las dos independientes en los puntos interiores puedensercalculadosresolviendoelsistemadeecuaciones(3.40)al(3.43).Siguiendoelprocedimientodescrito,elplano(x,t)completopuedeserllenadoconcaracterísticas,comoelmostradoenlaFigura3.13,talquelasvariablesdependientesesténdefinidospor las intersecciones. La estabilidad de la solución es probado, chequeando si una parte de la solución particular, quizás inicialmente, una parte no importante es probable se esté desarrollando fuera del límite; ello puede malograr todo el proceso de cálculo.

36



cUxt+

≤∆∆ (3.39)




AP =−+−+− ∆ (3.40)

C+

( ) tcUxx AAAP ∆+=− (3.41)


BP =−+−−− ∆ (3.42)

C-

( ) tcUxx BABP ∆−=− (3.43)


P

A B

C+C-

x

t

O

37

una parte de la solución particular, quizás inicialmente, una parte no importante es probable se esté desarrollando fuera del límite; ello puede malograr todo el proceso de cálculo.

Las condiciones de contorno son especificados en las fronteras. El número de condiciones debe ser exactamente igual al número de características que se originan en la frontera. Las cuatro posibilidades de condiciones de contorno son mostrados en la Figura 3.14, [33]:

Caso a: La condición es especificado en la frontera aguas arriba y se usa la ecuación de característica negativa R-M para calcular el segundo punto de variable dependiente en el punto M.

Caso b: Si una condición está dado en la frontera aguas abajo, se usa la ecuación característica positiva a lo largo de L-M.Caso c: La variable dependiente debe ser especificada a lo largo de la frontera, de tal modo que los valores en M son conocidos antes de la solución.

Caso d: Si no son especificadas las condiciones de frontera, las incógnitas deben ser interpoladas entre L-M ó R-M, para obtener los variables dependientes en la frontera.

C+ C-

1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

2∆

∆t

t=

3∆

Figura 3.13: Disposición de las líneas características en una malla del plano x-t

Condiciones de contorno aguas abajo

Condiciones de contorno aguas arriba

x

t

Las condiciones iniciales se establece para régimen permanente:



Flujo Subcrítico MM


R L

R

L

a) b)

c) d)

Figura 3.14: Condiciones de Contorno


56


Lascondicionesdecontornosonespecificadosenlasfronteras.Elnúmerodecondicionesdebe ser exactamente igual al número de características que se originan en la frontera. Las cuatro posibilidades de condiciones de contorno son mostrados en la Figura 3.14, [33]:

37

una parte de la solución particular, quizás inicialmente, una parte no importante es probable se esté desarrollando fuera del límite; ello puede malograr todo el proceso de cálculo.

Las condiciones de contorno son especificados en las fronteras. El número de condiciones debe ser exactamente igual al número de características que se originan en la frontera. Las cuatro posibilidades de condiciones de contorno son mostrados en la Figura 3.14, [33]:

Caso a: La condición es especificado en la frontera aguas arriba y se usa la ecuación de característica negativa R-M para calcular el segundo punto de variable dependiente en el punto M.

Caso b: Si una condición está dado en la frontera aguas abajo, se usa la ecuación característica positiva a lo largo de L-M.Caso c: La variable dependiente debe ser especificada a lo largo de la frontera, de tal modo que los valores en M son conocidos antes de la solución.

Caso d: Si no son especificadas las condiciones de frontera, las incógnitas deben ser interpoladas entre L-M ó R-M, para obtener los variables dependientes en la frontera.

C+ C-

1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

2∆

∆t

t=

3∆




x

t

Las condiciones iniciales se establece para régimen permanente:





R L

R

L

a) b)

c) d)

Figura 3.14: Condiciones de ContornoCaso a: Lacondiciónesespecificadoenlafronteraaguasarribayseusalaecuacióndecaracterística negativa R-M para calcular el segundo punto de variable dependiente en el punto M.Caso b: Si una condición está dado en la frontera aguas abajo, se usa la ecuación característica positiva a lo largo de L-M.Caso c:Lavariabledependientedebeserespecificadaa lo largode la frontera,de talmodo que los valores en M son conocidos antes de la solución.Caso d: Si no son especificadas las condiciones de frontera, las incógnitas deben serinterpoladas entre L-M ó R-M, para obtener los variables dependientes en la frontera.

3.9 Método de las Diferencias Finitas

En la actualidad existen una gran variedad de esquemas numéricos en diferencias finitasparalasoluciónaproximadadelasecuacionesdiferencialesdeSaintVenant.Laaplicación de estos esquemas a las ecuaciones diferenciales parciales resulta en ecuaciones algebraicas para las variables desconocidas.

a) Esquema Explícito

En el esquema explícito las ecuaciones de Saint Venant son convertidos en un conjunto de ecuacionesalgebraicasdetalformaquelasvariablesdesconocidas(Uyh)alfinaldecadapaso de discretización en el tiempo son expresados en términos de los valores conocidos del paso anterior. Considerando, por ejemplo, el esquema de discretización difusivo de la

57


Figura 3.15, se tiene que los valores de Uji-1 y hj

i+1 son conocidos y se desea conocer los valores de Ui

j+1 y hi j+1.

38


En la actualidad existen una gran variedad de esquemas numéricos en diferencias finitas para la solución aproximada de las ecuaciones diferenciales de Saint Venant. La aplicación de estos esquemas a las ecuaciones diferenciales parciales resulta en ecuaciones algebraicas para las variables desconocidas.


En el esquema explícito las ecuaciones de Saint Venant son convertidos en un conjunto de ecuaciones algebraicas de tal forma que las variables desconocidas (U y h) al final de cada paso de discretización en el tiempo son expresados en términos de los valores conocidos del paso anterior. Considerando, por ejemplo, el esquema de discretización difusivo de la Figura 3.15, se tiene que los valores de Uj

i-1 y hji+1 son conocidos y se desea conocer los

valores de Uij+1 y hi

j+1.

Figura 3.15: Esquema explícito difusivo en diferencias finitas

De este modo las aproximaciones en diferencias finitas de las derivadas de las ecuaciones de Saint Venant son, [18]:

t2hhh2

t2

hhh

th j

1ij

1i1j

i

j1i

j1i1j

i

∆∆+−

++−+

−−=

+−

=∂∂

t2UUU2

t2

UUU

tU j

1ij

1i1j

i

j1i

j1i1j

i

∆∆+−

++−+

−−=

+−

=∂∂

x2hh

xh j

1ij

1i

∆−+ −

=∂∂

;x2UU

xU j

1ij

1i

∆−+ −

=∂∂

;x2QQ

xQ j

1ij

1i

∆−+ −

=∂∂

2UUU

j1i

j1ij

i−+ +

=2

hhhj

1ij

1iji

−+ +=

2AAA

j1i

j1ij

i−+ +

=2

SSSj

1ij

1iji

−+ +=

Substituyendo estas aproximaciones en diferencias finitas en las ecuaciones de Saint Vanant: ecuación de conservación de masa (3.2) y ecuación de momento (3.8) y ordenando se obtiene:

1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

j+2

j+1

t=j

j+3



x

t

Las condiciones iniciales se establecen para régimen permanente:

(i,j+1


DeestemodolasaproximacionesendiferenciasfinitasdelasderivadasdelasecuacionesdeSaintVenantson,[18]:

38


En la actualidad existen una gran variedad de esquemas numéricos en diferencias finitas para la solución aproximada de las ecuaciones diferenciales de Saint Venant. La aplicación de estos esquemas a las ecuaciones diferenciales parciales resulta en ecuaciones algebraicas para las variables desconocidas.


En el esquema explícito las ecuaciones de Saint Venant son convertidos en un conjunto de ecuaciones algebraicas de tal forma que las variables desconocidas (U y h) al final de cada paso de discretización en el tiempo son expresados en términos de los valores conocidos del paso anterior. Considerando, por ejemplo, el esquema de discretización difusivo de la Figura 3.15, se tiene que los valores de Uj

i-1 y hji+1 son conocidos y se desea conocer los

valores de Uij+1 y hi

j+1.


De este modo las aproximaciones en diferencias finitas de las derivadas de las ecuaciones de Saint Venant son, [18]:

t2hhh2

t2

hhh

th j

1ij

1i1j

i

j1i

j1i1j

i

∆∆+−

++−+

−−=

+−

=∂∂

t2UUU2

t2

UUU

tU j

1ij

1i1j

i

j1i

j1i1j

i

∆∆+−

++−+

−−=

+−

=∂∂

x2hh

xh j

1ij

1i

∆−+ −

=∂∂

;x2UU

xU j

1ij

1i

∆−+ −

=∂∂

;x2QQ

xQ j

1ij

1i

∆−+ −

=∂∂

2UUU

j1i

j1ij

i−+ +

=2

hhhj

1ij

1iji

−+ +=

2AAA

j1i

j1ij

i−+ +

=2

SSSj

1ij

1iji

−+ +=

Substituyendo estas aproximaciones en diferencias finitas en las ecuaciones de Saint Vanant: ecuación de conservación de masa (3.2) y ecuación de momento (3.8) y ordenando se obtiene:

1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

j+2

j+1

t=j

j+3



x

t

Las condiciones iniciales se establecen para régimen permanente:

(i,j+1

Substituyendo estas aproximaciones en diferencias finitas en las ecuaciones de SaintVanant:ecuacióndeconservacióndemasa(3.2)yecuacióndemomento(3.8)yordenandoseobtiene:

58


Ecuación de continuidad:

39


( ) ( ) j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1ij1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1i1j

i BBUhBUhB

xthh

21

BBQQ

xthh

21h

−+

−−−++++−

−+

−++−

+

+−

−+=+−

−+=∆∆

∆∆

(3.44)

para canal rectangular:

( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

1ji UhUh

x2thh

21QQ

xB2thh

21h −−+++−−++−

+ −−+=−−+=∆∆

∆∆

(3.45)

Ecuación de momento:

( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i0

j1i

j1i

2j1i

2j1i

j1i

j1i

1ji SS

2tgtSghh

x2tgUU

x4tUU

21U +−−+−++−

+ +−+−−−−+=∆∆

∆∆

∆∆

(3.46)

b) Esquema Implícito

En este esquema los valores no conocidos en el paso de tiempo (j+1) ocurrenimplícitamente en las ecuaciones en diferencias finitas. El método implícito fue desarrollado debido a las limitaciones impuestas en la selección de ∆t en el esquema explícito, [18].

Figura 3.16: Esquema implícito de cuatro puntos en diferencias finitas

Las derivadas en (x) en el esquema implícito dependen de los parámetros del flujo “conocidos” en el paso de tiempo (j) y “desconocidos” en el paso (j+1). Esto significa que el par de ecuaciones algebraicas escritas para cualquier punto del plano (x,t) consiste de seis valores desconocidos. Pero, dos pares de ecuaciones escritas para los puntos adyacentes, consisten de ocho incógnitas, etc. Esto significa que si se escribe las N ecuaciones para todas las secciones del canal, entonces las N-2 ecuaciones escritas para los puntos interiores consistirán de 2N incógnitas, cuatro incógnitas más. Para resolver este problema, cuatro ecuaciones adicionales debe ser introducido: las ecuaciones características positivas y negativas y dos condiciones de contorno. Como resultado se obtiene 2N ecuaciones con 2N incógnitas. Estas ecuaciones algebraicas son lineales, si los coeficientes en la ecuación original son derivadas para el tiempo (j) “conocido”.

Este sistema no puede ser resuelto explícitamente. La solución es más compleja que en el caso del esquema explícito, pero tiene la gran ventaja de no presentar inestabilidad para cualquier ∆t y ∆x seleccionados. En referencia a la Figura 3.16 las aproximaciones en diferencias finitas de las derivadas de las ecuaciones de Saint Venant, bajo el esquema implícito de cuatro puntos son, [18]:

1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

j+2

j+1

t=j

j+3



x

t

Las condiciones iniciales se establecen para régimen permanente

(i,j+1 (i+1,j+1)(i-1,j+1)

(3.44)

paracanalrectangular:

39


( ) ( ) j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1ij1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1i1j

i BBUhBUhB

xthh

21

BBQQ

xthh

21h

−+

−−−++++−

−+

−++−

+

+−

−+=+−

−+=∆∆

∆∆

(3.44)


( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

1ji UhUh

x2thh

21QQ

xB2thh

21h −−+++−−++−

+ −−+=−−+=∆∆

∆∆

(3.45)


( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i0

j1i

j1i

2j1i

2j1i

j1i

j1i

1ji SS

2tgtSghh

x2tgUU

x4tUU

21U +−−+−++−

+ +−+−−−−+=∆∆

∆∆

∆∆

(3.46)






1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

j+2

j+1

t=j

j+3



x

t


(i,j+1 (i+1,j+1)(i-1,j+1)

(3.45)


39


( ) ( ) j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1ij1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1i1j

i BBUhBUhB

xthh

21

BBQQ

xthh

21h

−+

−−−++++−

−+

−++−

+

+−

−+=+−

−+=∆∆

∆∆

(3.44)


( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

1ji UhUh

x2thh

21QQ

xB2thh

21h −−+++−−++−

+ −−+=−−+=∆∆

∆∆

(3.45)


( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i0

j1i

j1i

2j1i

2j1i

j1i

j1i

1ji SS

2tgtSghh

x2tgUU

x4tUU

21U +−−+−++−

+ +−+−−−−+=∆∆

∆∆

∆∆

(3.46)






1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

j+2

j+1

t=j

j+3



x

t


(i,j+1 (i+1,j+1)(i-1,j+1)

(3.46)


Enesteesquemalosvaloresnoconocidosenelpasodetiempo(j+1)ocurrenimplícitamenteenlasecuacionesendiferenciasfinitas.Elmétodoimplícitofuedesarrolladodebidoalaslimitaciones impuestas en la selección de Dtenelesquemaexplícito,[18].

39


( ) ( ) j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1ij1i

j1i

j1i

j1ij

1ij

1i1j

i BBUhBUhB

xthh

21

BBQQ

xthh

21h

−+

−−−++++−

−+

−++−

+

+−

−+=+−

−+=∆∆

∆∆

(3.44)


( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

j1i

1ji UhUh

x2thh

21QQ

xB2thh

21h −−+++−−++−

+ −−+=−−+=∆∆

∆∆

(3.45)


( ) ( ) ( ) ( )j1i

j1i0

j1i

j1i

2j1i

2j1i

j1i

j1i

1ji SS

2tgtSghh

x2tgUU

x4tUU

21U +−−+−++−

+ +−+−−−−+=∆∆

∆∆

∆∆

(3.46)






1 2 i-1 i i+ N-1 N

∆x∆t

j+2

j+1

t=j

j+3



x

t


(i,j+1 (i+1,j+1)(i-1,j+1)


Las derivadas en (x) en el esquema implícito dependen de los parámetros del flujo“conocidos”enelpasodetiempo(j)y“desconocidos”enelpaso(j+1).Estosignificaqueelpardeecuacionesalgebraicasescritasparacualquierpuntodelplano(x,t)consistede seis valores desconocidos. Pero, dos pares de ecuaciones escritas para los puntos adyacentes, consisten de ocho incógnitas, etc. Esto significa que si se escribe las Necuaciones para todas las secciones del canal, entonces las N-2 ecuaciones escritas para

59


los puntos interiores consistirán de 2N incógnitas, cuatro incógnitas más. Para resolver este problema, cuatro ecuaciones adicionales debe ser introducido: las ecuacionescaracterísticas positivas y negativas y dos condiciones de contorno. Como resultado se obtiene 2N ecuaciones con 2N incógnitas. Estas ecuaciones algebraicas son lineales, si loscoeficientesenlaecuaciónoriginalsonderivadasparaeltiempo(j)“conocido”.

Este sistema no puede ser resuelto explícitamente. La solución es más compleja que en el caso del esquema explícito, pero tiene la gran ventaja de no presentar inestabilidad para cualquier Dt y Dx seleccionados. En referencia a la Figura 3.16 las aproximaciones endiferenciasfinitasdelasderivadasdelasecuacionesdeSaintVenant,bajoelesquemaimplícitodecuatropuntosson,[18]:

40

( )j1i

ji

1j1i

1ji

j1i

1j1i

ji

1ji hhhh

t21

thh

thh

21

th

+++

++++

+

−−+=

−+

−=

∂∂

∆∆∆(3.47)

( )j1i

ji

1j1i

1ji

j1i

1j1i

ji

1ji UUUU

t21

tUU

tUU

21

tU

+++

++++

+

−−+=

−+

−=

∂∂

∆∆∆(3.48)

( )ji

1ji

j1i

1j1i

ji

j1i

1ji

1j1i hhhh

x21

xhh

xhh

21

xh

−−+=

−+

−=

∂∂ +

+++

+++

+

∆∆∆(3.49)

( )ji

1ji

j1i

1j1i

ji

j1i

1ji

1j1i UUUU

x21

xUU

xUU

21

xU

−−+=

−+

−=

∂∂ +

+++

+++

+

∆∆∆(3.50)

Problemas propuestos1. Escoger el modelo de onda de flujo transitorio para los siguientes casos:

• Q = 200 m3/s; B = 50 m; h = 4 m; So = 0.0003 m/m; T = 48 h.• U = 1.2 m/s; h = 0.3 m; So = 0.01 m/m; T = 2 h.

2. Para un río de sección rectangular de ancho igual a 10 m; coeficiente de Manning igual a 0.016 y pendiente igual a 0.0001, se dispone de la siguiente información, para el plano (x,t):• Punto 1: x1 = 200; t1 = 42 s; h1 = 2.0 m; U1 = 1.0 m/s• Punto 2: x2 = 300; t2 = 40 s; h2 = 1.8 m; U2 = 0.8 m/s

Mediante el método de las características, determinar la ubicación del punto 3 y verificar la estabilidad numérica de cálculo.

3. Para un canal rectangular de ancho 10 m , coeficiente de rugosidad de Manning igual a 0.016 y pendiente de 0.0006, se tiene la siguiente información tabular, en el tiempo j, para tres secciones distanciadas a 600 m entre ellas:

SecciónProgresiva

(m)Caudal

m3/sCota fondo

(m)Cota de agua

(m)Profundidad

(m)Area(m2)

Sf

1 0 55 0.72 2.72 2.0 20 0.0012

2 600 51 0.36 2.26 1.9 19 0.0012

3 1200 47 0.00 1.80 1.8 18 0.0012

4. Usando el esquema explícito de diferencias finitas calcular la descarga y la elevación del nivel de agua en la sección 2 después de 60 segundos. Asumir que no existe flujo lateral en el canal y verificar la estabilidad numérica.

3

1 2

C+

C-

x

t

O

(3.47) (3.48) (3.49) (3.50)

Problemas propuestos1. Escogerelmodelodeondadeflujotransitorioparalossiguientescasos:

• Q = 200 m3/s;B=50m;h= 4 m; So=0.0003m/m;T=48h.• U=1.2m/s;h=0.3m;So=0.01m/m;T=2h.

2. Paraunríodesecciónrectangulardeanchoiguala10m;coeficientedeManningigual a 0.016 y pendiente igual a 0.0001, se dispone de la siguiente información, para elplano(x,t):• Punto1:x1 = 200; t1 = 42 s; h1 = 2.0 m; U1=1.0m/s• Punto2:x2 = 300; t2 = 40 s; h2 = 1.8 m; U2=0.8m/s

Mediante el método de las características, determinar la ubicación del punto 3 y verificarlaestabilidadnuméricadecálculo.

40

( )j1i

ji

1j1i

1ji

j1i

1j1i

ji

1ji hhhh

t21

thh

thh

21

th

+++

++++

+

−−+=

−+

−=

∂∂

∆∆∆(3.47)

( )j1i

ji

1j1i

1ji

j1i

1j1i

ji

1ji UUUU

t21

tUU

tUU

21

tU

+++

++++

+

−−+=

−+

−=

∂∂

∆∆∆(3.48)

( )ji

1ji

j1i

1j1i

ji

j1i

1ji

1j1i hhhh

x21

xhh

xhh

21

xh

−−+=

−+

−=

∂∂ +

+++

+++

+

∆∆∆(3.49)

( )ji

1ji

j1i

1j1i

ji

j1i

1ji

1j1i UUUU

x21

xUU

xUU

21

xU

−−+=

−+

−=

∂∂ +

+++

+++

+

∆∆∆(3.50)

Problemas propuestos1. Escoger el modelo de onda de flujo transitorio para los siguientes casos:

• Q = 200 m3/s; B = 50 m; h = 4 m; So = 0.0003 m/m; T = 48 h.• U = 1.2 m/s; h = 0.3 m; So = 0.01 m/m; T = 2 h.

2. Para un río de sección rectangular de ancho igual a 10 m; coeficiente de Manning igual a 0.016 y pendiente igual a 0.0001, se dispone de la siguiente información, para el plano (x,t):• Punto 1: x1 = 200; t1 = 42 s; h1 = 2.0 m; U1 = 1.0 m/s• Punto 2: x2 = 300; t2 = 40 s; h2 = 1.8 m; U2 = 0.8 m/s

Mediante el método de las características, determinar la ubicación del punto 3 y verificar la estabilidad numérica de cálculo.

3. Para un canal rectangular de ancho 10 m , coeficiente de rugosidad de Manning igual a 0.016 y pendiente de 0.0006, se tiene la siguiente información tabular, en el tiempo j, para tres secciones distanciadas a 600 m entre ellas:

SecciónProgresiva

(m)Caudal

m3/sCota fondo

(m)Cota de agua

(m)Profundidad

(m)Area(m2)

Sf

1 0 55 0.72 2.72 2.0 20 0.0012

2 600 51 0.36 2.26 1.9 19 0.0012

3 1200 47 0.00 1.80 1.8 18 0.0012

4. Usando el esquema explícito de diferencias finitas calcular la descarga y la elevación del nivel de agua en la sección 2 después de 60 segundos. Asumir que no existe flujo lateral en el canal y verificar la estabilidad numérica.

3

1 2

C+

C-

x

t

O

60


3. Parauncanalrectangulardeancho10m,coeficientederugosidaddeManningiguala 0.016 y pendiente de 0.0006, se tiene la siguiente información tabular, en el tiempo j,paratresseccionesdistanciadasa600mentreellas:

Sección Progresiva(m)

Caudalm3/s

Cota fondo(m)

Cota de agua(m)

Profundidad(m)

Area(m2) Sf

1 0 55 0.72 2.72 2.0 20 0.00122 600 51 0.36 2.26 1.9 19 0.00123 1200 47 0.00 1.80 1.8 18 0.0012

4. Usandoelesquemaexplícitodediferenciasfinitascalcularladescargaylaelevacióndelniveldeaguaenlasección2despuésde60segundos.Asumirquenoexisteflujolateralenelcanalyverificarlaestabilidadnumérica.

3.10 Método de Volúmenes Finitos

Las leyesdeconservaciónde lamasaydemomentoenelmovimientode losfluidospueden ser expresadas matemáticamente, tanto en la forma diferencial, como de la forma integral. Cuando un esquema numérico es aplicado a las ecuaciones diferenciales, el dominio de la solución es dividido en puntos discretos sobre el cual las ecuaciones diferenciales son resueltas. De otro modo, cuando las formas integrales de las ecuaciones sonutilizadas, eldominiode la soluciónesdivididoenpequeñosvolúmenes (oáreaspara el caso bidimensional), donde las leyes de conservación son aplicadas a estosvolúmenesfinitos.Comonoexisteunasoluciónanalíticaparaestesistemadeecuacionesdiferenciales, deben ser empleadas soluciones numéricas como los métodos de diferencias finitas(MDF)oelementos finitos(MEF).

DeacuerdoconEIGER(1988),lamayordificultadparalaaplicacióndeestosmétodoses la no linealidad de las ecuaciones algebraicas resultantes de la discretización de las ecuacionesdiferencialesnolineales.Sedeberecordarqueelmétododediferenciasfinitastuvo todo su desarrollo basado en los sistemas coordenados ortogonales. Por esta razón, muchas personas aún vinculan elMDF con la solución de las ecuaciones de flujo endominios conformados por puntos discretos igualmente espaciados, dejándose por lo tanto,pormuchotiempo,paraunsegundoplanoelproblemadeflujosobregeometríascomplejas. Como la mayoría de los dominios físicos poseen formas irregulares, debe ser efectuada una transformación de coordenadas del espacio físico al espacio computacional yaunasí,puedecrearseriasdificultadesenlaprecisiónyconvergenciadelasolución,debido a un inapropiado nivel de discretización o la situaciones físicas intrínsicamente inestables.

MALISKA(1995)indicaquelaaplicacióndelMEFenfluidosfueretardada,porquelaecuación diferencial a resolver necesitaba de un principio variacional, ya que la ecuación de Navier-Stokes no tiene esta propiedad. Hasta el inicio de la década de 70, se tenía el MDFcongranexperienciaeneláreadefluidos,perosinhabilidadesparatratargeometríascomplejas; y el MEF, hábil en el tratamiento de la geometría, pero sin herramientas

61


para tratar los términos convectivos presentes en las ecuaciones del movimiento. Aun suplantando la cuestión del principio variacional, a través del uso del método de Galerkin yotrasvariantes,elMEFnotuvosucesoinmediatoenelcasodeproblemasdefluidos,toda vez que el método de Galerkin (equivalente al uso de diferencias centrales en el MDF) es adecuado solo para problemas puramente difusivos. Este y otros problemassimilares, motivaron investigaciones para el desarrollo del método de los volúmenes finitos(MVF),enelcuallasecuacionesaproximadassonobtenidasatravésdebalancesdeconservacióndelapropiedadenvuelta(masa,momento,entalpía,etc.)enelvolumenelemental.Laposibilidaddeasociarlainterpretaciónfísicaconlamatemáticainfluyódemodo considerable para que los analistas envueltos con el MDF pasasen la usar el MVF.

El método de volúmenes finitos o volúmenes de control (MVF), fue ampliamenteusadoenmodelosdeturbulenciaypuedeserclasificadocomounacombinacióndelosmétodosdediferenciasfinitasyelementosfinitos.PresentacionesclarasdeestemétodopuedenservistosenMALISKA(1995),VALLE(1995),PATANKAR(1980),CHOWetal. (1996),BALIGAyPATANKAR(1983a/83b),VANDOORMAALyRAITHBY(1984),VASCONCELLOS(1993),MENEGHINI(1989),SILVA(1991),EIGER(1988),PATANKARySPALDING(1972),RASTOGIyRODI(1978)yotros.Enlasolucióndelasecuacionesdeflujorasoencanales,serecomiendaaplicarelmétododevolúmenesfinitosovolúmenesdecontrol(MVF),porelhechodequeelMVF,alcrearsusecuacionesaproximadas, está realizando un balance de la propiedad al nivel de volúmenes de control.

Con la finalidad demostrar el procedimiento de discretización y el acoplamiento delaprofundidadcon lavelocidaddelflujo sepresentan lasecuacionesdeconservacióndemasaydecantidaddemovimientoparaflujorasobidimensionalcontresvariablesprimitivas U, V y h, en la forma conservativa:

42

y de cantidad de movimiento para flujo raso bidimensional con tres variables primitivas U, Vy h, en la forma conservativa:

0)()(=++

yVh

xUh

th

∂∂

∂∂

∂∂

(3.51)

+

+−

−−=++

yUh

yxUh

xh

xg

xzgh

yVUh

xUUh

tUh bx

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.52)

+

+−

−−=++

yVh

yxVh

xh

yg

yzgh

yVVh

xUVh

tVh by

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.53)

Es importante notar que el conjunto de ecuaciones en la forma no conservativa envuelven cuatro variables (U, V, h y p), mientras en las ecuaciones en la forma conservativa, existen solo tres variables dependientes (U, V y h). En las ecuaciones (3.51) a (3.53), se puede ver que el campo de velocidades es proporcional al cuadrado de la profundidad y a la misma profundidad. Además de eso cada término de estas ecuaciones envuelve la profundidad. Esto implica que la interacción entre el campo de velocidades y la profundidad, en las ecuaciones en la forma conservativa, es fuerte en relación a las ecuaciones en la forma no conservativa.

3.11 Flujo Unidimensional en Régimen Permanente

a) Ecuaciones en la Forma Conservativa

0)(=

xUh∂

∂(3.54)

+−

−−=

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh bx

2)( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ (3.55)

Donde:

ghp ρ= presión hidrostática (3.56a)

xzgg x ∂

∂−= gravedad en la dirección del flujo (3.56b)

23/1

22 U

hgnUCbbxρρτ == tensión cortante en el fondo (3.56c)

hU *6

=κε coeficiente de difusión (3.56d)

Uh

ngUCU 6/1

2/12/1

* == velocidad de corte (3.56e)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

Es importante notar que el conjunto de ecuaciones en la forma no conservativa envuelven cuatrovariables(U,V,hyp),mientrasenlasecuacionesenlaformaconservativa,existensolotresvariablesdependientes(U,Vyh).Enlasecuaciones(3.51)a(3.53),sepuedeverque el campo de velocidades es proporcional al cuadrado de la profundidad y a la misma profundidad. Además de eso cada término de estas ecuaciones envuelve la profundidad. Esto implica que la interacción entre el campo de velocidades y la profundidad, en las ecuaciones en la forma conservativa, es fuerte en relación a las ecuaciones en la forma no conservativa.

62




42


0)()(=++

yVh

xUh

th

∂∂

∂∂

∂∂

(3.51)

+

+−

−−=++

yUh

yxUh

xh

xg

xzgh

yVUh

xUUh

tUh bx

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.52)

+

+−

−−=++

yVh

yxVh

xh

yg

yzgh

yVVh

xUVh

tVh by

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.53)




0)(=

xUh∂

∂(3.54)

+−

−−=

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh bx

2)( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ (3.55)

Donde:


xzgg x ∂


23/1

22 U


hU *6


Uh

ngUCU 6/1

2/12/1


(3.54)

42


0)()(=++

yVh

xUh

th

∂∂

∂∂

∂∂

(3.51)

+

+−

−−=++

yUh

yxUh

xh

xg

xzgh

yVUh

xUUh

tUh bx

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.52)

+

+−

−−=++

yVh

yxVh

xh

yg

yzgh

yVVh

xUVh

tVh by

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.53)




0)(=

xUh∂

∂(3.54)

+−

−−=

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh bx

2)( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ (3.55)

Donde:


xzgg x ∂


23/1

22 U


hU *6


Uh

ngUCU 6/1

2/12/1


(3.55)

Donde:

42


0)()(=++

yVh

xUh

th

∂∂

∂∂

∂∂

(3.51)

+

+−

−−=++

yUh

yxUh

xh

xg

xzgh

yVUh

xUUh

tUh bx

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.52)

+

+−

−−=++

yVh

yxVh

xh

yg

yzgh

yVVh

xUVh

tVh by

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()()( 2

(3.53)




0)(=

xUh∂

∂(3.54)

+−

−−=

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh bx

2)( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ (3.55)

Donde:


xzgg x ∂


23/1

22 U


hU *6


Uh

ngUCU 6/1

2/12/1


presiónhidrostática (3.56a)

gravedadenladireccióndelflujo (3.56b)

tensióncortanteenelfondo (3.56c)

coeficientededifusión (3.56d)

velocidaddecorte (3.56e)

b) Definición de los volúmenes de control para las variables dependientes

43


Figura 3.17: Volúmenes de Control para u y h

c) Discretización de la Ecuación de Conservación de la Masa

La ecuación de conservación de masa, ecuación (3.54) es discretizada a través de la integración espacial de sus términos en el volumen de control mostrado en la Figura 3.17como y considerando la intensidad de convección (F = hU), la ecuación se transforma en:

0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)

d) Discretización de la Ecuación de Momento

Para integrar la ecuación de momento en la dirección X, en el volumen de control de la malla escalonada de la Figura 3.17, será necesario escribir la ecuación (3.55) en la forma de ecuación de transporte con Φ = U y tomando en cuenta que τbx está dada por la ecuación (3.56c), tenemos:

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)

Definiendo el flujo total en la dirección X como: x

hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y tomando en cuenta

que Uhgn

bx Φ= 3/1

2ρτ la ecuación (3.61) se transforma en:

• • •• ••PW Ew e

uu

x

Volumen de control para h

h

• • •• ••PW Ew e

uu

x

Volumen de control para u


63



La ecuación de conservación demasa, ecuación (3.54) es discretizada a través de laintegración espacial de sus términos en el volumen de control mostrado en la Figura 3.17 comoyconsiderandolaintensidaddeconvección(F=hU),laecuaciónsetransformaen:

43





0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


• • •• ••PW Ew e

uu

x


h

• • •• ••PW Ew e

uu

x


(3.57)

43





0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


• • •• ••PW Ew e

uu

x


h

• • •• ••PW Ew e

uu

x


(3.58)

43





0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


• • •• ••PW Ew e

uu

x


h

• • •• ••PW Ew e

uu

x


(3.59)

43





0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


• • •• ••PW Ew e

uu

x


h

• • •• ••PW Ew e

uu

x


(3.60)


Para integrar la ecuación de momento en la dirección X, en el volumen de control de lamallaescalonadade laFigura3.17, seránecesarioescribir la ecuación (3.55)en laforma de ecuación de transporte con F = U y tomando en cuenta que tbx está dada por la ecuación(3.56c),tenemos:

43





0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


• • •• ••PW Ew e

uu

x


h

• • •• ••PW Ew e

uu

x


(3.61)

Definiendo el flujo total en la dirección X como:

43





0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


• • •• ••PW Ew e

uu

x


h

• • •• ••PW Ew e

uu

x


y tomando en

cuenta que

43





0)(=∫

e

wdx

xUh∂

∂(3.57)

( ) ( ) 0=− we UhUh (3.58)

( ) ( ) 0=+−+ wWPeEP UhhUhh (3.59)

0=− we FF (3.60)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

−

−−=

Φ

−Φ

2)( 2

(3.61)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


• • •• ••PW Ew e

uu

x


h

• • •• ••PW Ew e

uu

x


laecuación(3.61)setransformaen:

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)

La integración de la ecuación anterior puede ser escrita de la siguiente manera:

∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)

( ) ( )( ) ( ) UxhgnhhgzzhhgJJ wewewewe Φ∆−−−−+−=−

22 3/1

222 (3.64)

Si la ecuación (3.60) fuera multiplicada por ΦP y sustraída de la ecuación (3.64), se obtiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) PPwewewePwwPee UxhgnhhgzzhhgFJFJ Φ∆−−−−+−=Φ−−Φ−

22 3/1

222 (3.65)

De acuerdo a la ecuación (20.38): ( )EPEPee aFJ Φ−Φ=Φ− ; ( )PWWPww aFJ Φ−Φ=Φ− yteniendo en cuenta que ΦP = UP, la ecuación (3.65) se transforma en:

( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2

22 wewewePPPWWEPE hhgzzhhgUxhgnaa −−−+−=Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ (3.66)

Ordenando adecuadamente, se tiene:

( )( ) ( )223/1

2

22- weweweWWEEPPWE hhgzzhhgaaxU

hgnaa −−−+Φ+Φ=Φ

∆++ (3.67)

En forma compacta, la ecuación de discretización se puede escribir de la siguiente manera:

oWWEEPP aaaa +Φ+Φ=Φ (3.68a)

oWWEEPP aUaUaUa ++= (3.68b)

Usando el esquema de la Ley Potencial (tabla 20.1), se obtiene finalmente los valores de los coeficientes de la ecuación de discretización:

( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)

( ) ( )( )weweweo zzhhghhga −+−−−=22

22 (3.69d)

(3.62)

Laintegracióndelaecuaciónanteriorpuedeserescritadelasiguientemanera:

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

(3.63)

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

(3.64)

64


Silaecuación(3.60)fueramultiplicadaporFPysustraídadelaecuación(3.64),seobtiene:

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

(3.65)

DeacuerdoaPatankar(1980):

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

y teniendo en cuenta que FP = UP,laecuación(3.65)setransformaen:

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

(3.66)

Ordenandoadecuadamente,setiene:

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

(3.67)


44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

(3.68a)

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

(3.68b)

Usando el esquema de la Ley Potencial [17],seobtienefinalmentelosvaloresdeloscoeficientesdelaecuacióndediscretización:

(3.69a)

(3.69b)

(3.69c)

(3.69d)

44

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ bxx h

xg

xzgh

xJ

−

−−=

2

2

(3.62)


∫∫∫∫ Φ−

−−= Udx

hgndxh

xgdx

xzhgdx

xJ x

3/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

(3.63)


22 3/1

222 (3.64)



22 3/1

222 (3.65)


( ) ( ) ( )( ) ( )223/1

2



( )( ) ( )223/1

2



∆++ (3.67)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

yha −+

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

yha ++

∆−

∆∆

= ,0max1.0

1,0max5

εε

(3.69b)

PWEP xUhgnaaa 3/1

2

∆++= (3.69c)


22 (3.69d)

65


e) Acoplamiento profundidad - velocidad

Para el tratamiento de las no linealidades de las ecuaciones de momento discretizadas, es introducido normalmente un factor de sub-relajación a.PATANKAR(1980)yVANDOORMAALyRAITHBY(1984)introducenelfactordesub-relajación,enlaecuación(3.67)o(3.68),delasiguientemanera:

( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.70)

Donde UP* es el valor de UP de la iteración anterior; ∑ += WWEEnbnb UaUaUa . La

ecuación(3.70)puedeserescritacomo:

( ) ( )wezwehcnbnbPP hhahhaaUaUa ++−++= ∑ 22α (3.71)

donde:

45


Para el tratamiento de las no linealidades de las ecuaciones de momento discretizadas, es introducido normalmente un factor de sub-relajación α. PATANKAR (1980) y VAN DOORMAAL y RAITHBY (1984) introducen el factor de sub-relajación, en la ecuación (3.67)o (3.68), de la siguiente manera:

( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.70)

Donde UP* es el valor de UP de la iteración anterior; ∑ += WWEEnbnb UaUaUa . La ecuación

(3.70) puede ser escrita como:


donde: ( ) *1 PPc Uaa α−= ;2gah α−= ;

( )2

wez

zzga

−−= α

Dado un valor estimado de h*, el campo de velocidades U* son calculadas a partir de la siguiente ecuación:

( ) ( )***2*2******wezwehcnbnbPP hhahhaaUaUa ++−++= ∑α (3.72)

Donde el superíndice (*) denota que los coeficientes son calculados basados en los valores de h*. Generalmente los valores de U* y h* no satisfacen la ecuación de continuidad. Si las correcciones de la profundidad y de la velocidad fueran h’ y U’, entonces los valores corregidos de la profundidad y de las velocidades serán:

'* hhh += (3.73a)

'* UUU += (3.73b)

Para encontrar la relación entre la corrección de la profundidad y las correcciones de las velocidades, sustraemos la ecuación (3.72) de la ecuación (3.71):

( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

+ wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−+

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.74)

A continuación se describe el procedimiento para el acoplamiento profundidad-velocidad:

Asumiendo que aP ≅ aP* y anb ≅ anb

* y tomando en cuenta que ah = ah* y az = az

*; la ecuación (3.74) se transforma en:

( ) ( ) ( ) ( )**2*2*22** + wewezwewehnbnbnbPPP hhhhahhhhaUUaUUa −−++−−+−=− ∑α (3.75)

Dado un valor estimado de h*, el campo de velocidades U* son calculadas a partir de la siguienteecuación:


Dondeelsuperíndice(*)denotaqueloscoeficientessoncalculadosbasadosenlosvaloresde h*. Generalmente los valores de U* y h* no satisfacen la ecuación de continuidad. Si las correcciones de la profundidad y de la velocidad fueran h’ y U’, entonces los valores corregidosdelaprofundidadydelasvelocidadesserán:

'* hhh +=

(3.73a)

'* UUU +=

(3.73b)

Para encontrar la relación entre la corrección de la profundidad y las correcciones de las velocidades,sustraemoslaecuación(3.72)delaecuación(3.71):

( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

+ wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−+

−−−+−=− ∑ ∑αα (3.74)

66



Asumiendo que aP @ aP* y anb @ anb


*; la ecuación (3.74)setransformaen:


46

( ) ( )''2*2*22''wezwewehnbnbPP hhahhhhaUaUa ++−−+= ∑ +α (3.76)

Restando el término ∑ 'PnbUaα de ambos lados de la ecuación (3.76), se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )''2*2*22'''wezwewehPnbnbPnbP hhahhhhaUUaUaa ++−−+−=− ∑∑ +αα (3.77)

Siguiendo el procedimiento del algoritmo SIMPLEC el término ( )∑ − ''Pnbnb UUaα de la

ecuación (3.77) es despreciado y se obtiene:

( ) ( ) ( )''2*2*22'wezwewehPnbP hhahhhhaUaa ++−−=− ∑ +α (3.78)

A través de un procedimiento algebraico y tomando en cuenta que h = h’+ h* la ecuación (3.78), puede ahora ser escrita como:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )''2'2'**''''**'wezwehwewehwewehPnbP hhahhahhhhahhhhaUaa +−+−++−+=− ∑ +α

(3.79)

Es razonable despreciar, en la ecuación (3.79), el tercer término del miembro de la derecha por contener cantidades pequeñas de segundo orden. Del mismo modo el segundo y el último término del miembro de la derecha es quitada porque en la fase de corrección, son las diferencias de las correcciones de la profundidad que orientan la corrección de la velocidad. Por consiguiente la ecuación resultante es:

( ) ( )( )''**'wewehPnbP hhhhaUaa −+=− ∑α (3.80)

( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.81)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**

Las velocidades en las caras del volumen de control Ue, Uw, son expresadas en forma de lasecuaciones (3.82a) y (3.82b):

( )''*PEehee hhdUU −+= (3.82a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.82b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.76)

Restando el término ∑ 'Pnb Uaα deambosladosdelaecuación(3.76),seobtiene:

46









(3.79)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.81)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**




donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.77)

Siguiendo el procedimiento del algoritmo SIMPLEC el término ( )∑ − ''Pnbnb UUaα

delaecuación(3.77)esdespreciadoyseobtiene:

( ) ( ) ( )''2*2*22'wezwewehPnbP hhahhhhaUaa ++−−=− ∑ +α

(3.78)

A través de un procedimiento algebraico y tomando en cuenta que h = h’+ h* la ecuación (3.78),puedeahoraserescritacomo:

46









(3.79)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.81)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**




donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.79)

Esrazonabledespreciar,enlaecuación(3.79),eltercertérminodelmiembrodeladerechaporcontenercantidadespequeñasdesegundoorden.Delmismomodoelsegundoyelúltimo término del miembro de la derecha es quitada porque en la fase de corrección, son las diferencias de las correcciones de la profundidad que orientan la corrección de la velocidad.Porconsiguientelaecuaciónresultantees:

(3.80)

(3.81)

donde:

46









(3.79)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.81)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**




donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

46









(3.79)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.81)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**




donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

67


Las velocidades en las caras del volumen de control Ue, Uw, son expresadas en forma de lasecuaciones(3.82a)y(3.82b):

46









(3.79)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.81)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**




donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.82a)

(3.82b)

donde:

Silasecuaciones(3.82a)y(3.82b)sonsustituidasenlaecuacióndecontinuidad(3.59),seráobtenidafinalmentelaecuacióndecorreccióndelaprofundidad:

47

Si las ecuaciones (3.82a) y (3.82b) son sustituidas en la ecuación de continuidad (3.59),será obtenida finalmente la ecuación de corrección de la profundidad:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0''***''*** =−++−−++ WPwhwWPPEeheEP hhdUhhhhdUhh (3.83)

oWWEEPP chchchc ++= ''' (3.84)

donde: ( ) ehEPE dhhc ** +=

( ) whWPW dhhc ** +=

WEP ccc +=

( ) ( ) ******wWPeEPo UhhUhhc +−+=

Se puede notar que el término co representa básicamente el lado izquierdo de la ecuación de continuidad discretizada (3.59). Cuando la convergencia es alcanzada, co y la corrección de la profundidad h’ serán iguales a cero. Por eso el término co es usualmente llamada como“masa residual” y la suma del valor absoluto de este término en todo el dominio sirve como un indicador de la convergencia durante la solución numérica.

f) Algoritmo de solución numérica

Ahora estamos en condiciones de presentar el algoritmo de solución numérica, similar al SIMPLEC, para resolver el problema de acoplamiento profundidad-velocidad:

1. Estimar los campos de velocidades y profundidades (h* ).2. Resolver las ecuación de momento (3.72), con α = 0,5 y usando h* para obtener U*.3. Resolver la ecuación de corrección de profundidades (3.84) para obtener h’.4. Calcular h a través de: h = h* + αhh’. El factor de sub-relajación αh varía entre 0 y 1

dependiendo de la complejidad del flujo.5. Corregir U*, obteniendo el campo de velocidades U a partir de la ecuación (3.81).6. Hacer h* = h y recomenzar en el ítem (2) hasta la convergencia.

3.12 Flujo Bidimensional en Régimen Permanente


0)()(=+

yVh

xUh

∂∂

∂∂

(3.85)

+

+−

−−=+

yUh

yxUh

xh

xg

xzgh

yVUh

xUUh bx

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()( 2

(3.86)

+

+−

−−=+

yVh

yxVh

xh

yg

yzgh

yVVh

xUVh by

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()( 2

(3.87)

ghp ρ=xzgg x ∂

∂−=

yzgg y ∂

∂−= hU *6

=κε

(3.83)

(3.84)

donde:

Se puede notar que el término co representa básicamente el lado izquierdo de la ecuación de continuidaddiscretizada(3.59).Cuandolaconvergenciaesalcanzada,co y la corrección de la profundidad h’ serán iguales a cero. Por eso el término co es usualmente llamada como “masa residual” y la suma del valor absoluto de este término en todo el dominio sirve como un indicador de la convergencia durante la solución numérica.


Ahora estamos en condiciones de presentar el algoritmo de solución numérica, similar al SIMPLEC,pararesolverelproblemadeacoplamientoprofundidad-velocidad:

1. Estimar los campos de velocidades y profundidades (h* ).2. Resolverlasecuacióndemomento(3.72),cona = 0,5 y usando h* para obtener U*.

46









(3.79)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.81)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**




donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

** 47






WEP ccc +=









0)()(=+

yVh

xUh

∂∂

∂∂

(3.85)

+

+−

−−=+

yUh

yxUh

xh

xg

xzgh

yVUh

xUUh bx

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()( 2

(3.86)

+

+−

−−=+

yVh

yxVh

xh

yg

yzgh

yVVh

xUVh by

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()( 2

(3.87)

ghp ρ=xzgg x ∂

∂−=

yzgg y ∂

∂−= hU *6

=κε

68


3. Resolverlaecuacióndecorreccióndeprofundidades(3.84)paraobtenerh’.4. Calcularhatravésde:h=h* + ahh’. El factor de sub-relajación ah varía entre 0 y 1

dependiendodelacomplejidaddelflujo.5. Corregir U*,obteniendoelcampodevelocidadesUapartirdelaecuación(3.81).6. Hacer h*=hyrecomenzarenelítem(2)hastalaconvergencia.



(3.85)

47






WEP ccc +=









0)()(=+

yVh

xUh

∂∂

∂∂

(3.85)

+

+−

−−=+

yUh

yxUh

xh

xg

xzgh

yVUh

xUUh bx

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()( 2

(3.86)

+

+−

−−=+

yVh

yxVh

xh

yg

yzgh

yVVh

xUVh by

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2)()( 2

(3.87)

ghp ρ=xzgg x ∂

∂−=

yzgg y ∂

∂−= hU *6

=κε

(3.86)

(3.87)

(3.88a)

(3.88b)

Lamalla escalonada (Figura3.18) y elmétododevolúmenesde control junto con elesquema de la ley potencial para los términos convectivos y difusivos serán aplicados para obtener las ecuaciones de discretización. Los detalles de discretización de las ecuaciones sonpresentadasenelcapítuloanterioropuedenservistosenPATANKAR(1980).

48

U C U Vgnh

U Vb* /( ) ( )= + = +2 22

1 32 2

τ ρρ

bx bC U U Vgn

hU U V= + = +2 2

2

1 32 2

/ (3.88a)

τ ρρ

by bC V U Vgn

hV U V= + = +2 2

2

1 32 2

/ (3.88b)

La malla escalonada (Figura 3.18) y el método de volúmenes de control junto con el esquema de la ley potencial para los términos convectivos y difusivos serán aplicados para obtener las ecuaciones de discretización. Los detalles de discretización de las ecuaciones son presentadas en el capítulo anterior o pueden ser vistos en PATANKAR (1980).

b) Discretización de la Ecuación de Conservación de la Masa

Figura 3.18: Disposición de los volúmenes de control para h, U, V

La ecuación de conservación de masa, ecuación (3.85) es discretizada a través de la integración espacial de sus términos en el volumen de control mostrado en la Figura 3.18como:

0)()(=+ ∫ ∫∫ ∫ dydx

yVhdxdy

xUh e

w

n

s

n

s

e

w ∂∂

∂∂

(3.89)

EW

S

ew

s

n1 2

34

2

34

1

P

N

h, z U V

VC para V

VC para UVC para h

69



48

U C U Vgnh

U Vb* /( ) ( )= + = +2 22

1 32 2

τ ρρ

bx bC U U Vgn

hU U V= + = +2 2

2

1 32 2

/ (3.88a)

τ ρρ

by bC V U Vgn

hV U V= + = +2 2

2

1 32 2

/ (3.88b)





0)()(=+ ∫ ∫∫ ∫ dydx

yVhdxdy

xUh e

w

n

s

n

s

e

w ∂∂

∂∂

(3.89)

EW

S

ew

s

n1 2

34

2

34

1

P

N

h, z U V

VC para V

VC para UVC para h


La ecuación de conservación demasa, ecuación (3.85) es discretizada a través de laintegración espacial de sus términos en el volumen de control mostrado en la Figura 3.18 como:

48

U C U Vgnh

U Vb* /( ) ( )= + = +2 22

1 32 2

τ ρρ

bx bC U U Vgn

hU U V= + = +2 2

2

1 32 2

/ (3.88a)

τ ρρ

by bC V U Vgn

hV U V= + = +2 2

2

1 32 2

/ (3.88b)





0)()(=+ ∫ ∫∫ ∫ dydx

yVhdxdy

xUh e

w

n

s

n

s

e

w ∂∂

∂∂

(3.89)

EW

S

ew

s

n1 2

34

2

34

1

P

N

h, z U V

VC para V

VC para UVC para h

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)

( ) ( ) ( ) ( ) 0=∆+−∆++∆+−∆+ xVhhxVhhyUhhyUhh sSPnNPwWPeEP (3.91)

Para calcular las profundidades en las caras del volumen de control, fue usada una interpolación lineal entre dos puntos adyacentes de la malla. En términos de la intensidad de convección hUFx = y hVFy = , la ecuación (3.90) se transforma en:

[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)

c) Discretización de la Ecuación de Momento en la Dirección X

Para integrar la ecuación de momento en la dirección X, en el volumen de control de la malla escalonada de la Figura 3.18, será necesario escribir la ecuación (3.86) en la forma de ecuación de transporte con Φ = U y tomando en cuenta que τbx está dada por la ecuación (3.88a), tenemos:

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)

Definiendo los flujos totales en las direcciones X y Y como: x

hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂

∂ε Φ−Φ= y tomando en cuenta que 22

3/1

2

VUhgn

bx +Φ=ρτ , la integración de la

ecuación (3.93) puede ser escrita de la siguiente manera:

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)

Siguiendo el procedimiento descrito en el capítulo anterior y usando el esquema de discretización de la Ley Potencial [17], se obtiene finalmente la siguiente ecuación de discretización en la dirección X:

(3.89)

(3.90)

(3.91)

Para calcular las profundidades en las caras del volumen de control, fue usada una interpolación lineal entre dos puntos adyacentes de la malla. En términos de la intensidad de convección

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


y

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


,laecuación(3.90)setransformaen:

70


49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


(3.92)


Para integrar la ecuación de momento en la dirección X, en el volumen de control de lamallaescalonadade laFigura3.18, seránecesarioescribir la ecuación (3.86)en laforma de ecuación de transporte con F = U y tomando en cuenta que tbx está dada por la ecuación(3.88a),tenemos:

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


(3.93)

DefiniendolosflujostotalesenlasdireccionesXyYcomo:

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


y

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


y tomando en cuenta que

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


, la integración de la

ecuación(3.93)puedeserescritadelasiguientemanera:

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


(3.94)

(3.95)

Si la ecuación (3.92) fueramultiplicada porFP y sustraída de la ecuación (3.95), seobtiene:

49

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=∆−+∆− xVhVhyUhUh snwe (3.90)



[ ] [ ] 0=∆−+∆− xFFyFF snwe (3.92)



ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

yh

yyVh

xh

xxUh

−

−−=

Φ−

Φ+

Φ

−Φ

2)()( 2

(3.93)


hUhJ x ∂∂ε Φ

−Φ= y

yhVhJ y ∂


3/1

2

VUhgn



∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

+Φ−

−

−=+

dxdyVUhgndxdyh

xg

dxdyxzhgdxdy

yJ

dxdyx

J yx

223/1

22

2∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.94)

( ) ( ) ( )

( ) 223/1

222

2

2

VUyxhgnyhhg

yzzhh

gxJJyJJ

we

wewe

snwe

+Φ∆∆−∆−−

∆−+

−=∆−+∆−(3.95)


( ) ( ) ( ) ( )22

3/1

2

PPPo

PssPnnPwwPee

VUyxhgna

xFJxFJyFJyFJ

+Φ∆∆−=

∆Φ−−∆Φ−+∆Φ−−∆Φ−(3.96)


(3.96)

Siguiendo el procedimiento descrito en el capítulo anterior y usando el esquema de discretización de la Ley Potencial [17],seobtienefinalmentelasiguienteecuacióndediscretizaciónenladirecciónX:

oSSNNWWEEPP aUaUaUaUaUa ++++= (3.97)

71


donde:

50


donde:

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

a ee

eeE ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98a)

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

a ww

wwW ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98b)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

a nn

nnN ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98c)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

a ss

ssS ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98d)

( ) ( )wewe

weo zzyhh

ghhyga −∆+

−−∆−=22

22 (3.98e)

223/1

2

PPSNWEP VUyxhgnaaaaa +∆∆++++= (3.98f)

44321 VVVV

VP+++

= (Figura 3.18) (3.98g)

d) Discretización de la Ecuación de Momento en la Dirección Y

Aplicando el mismo procedimiento del caso de la ecuación de momento en la dirección X, se obtiene, la siguiente ecuación de discretización de momento en la dirección Y:

oSSNNWWEEPP bVbVbVbVbVb ++++= (3.99)

donde:

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

b ee

eeE ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100a)

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

b ww

wwW ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100b)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

b nn

nnN ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100c)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

b ss

ssS ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100d)

( ) ( )snsn

sno zzxhh

ghhxgb −∆+

−−∆−=22

22 (3.100e)

(3.98a)

(3.98b)

(3.98c)

(3.98d) (3.98e)

(3.98f) (3.98g)

(verFigura3.18)

72



Aplicando el mismo procedimiento del caso de la ecuación de momento en la dirección X,seobtiene,lasiguienteecuacióndediscretizacióndemomentoenladirecciónY:


donde:

50


donde:

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

a ee

eeE ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98a)

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

a ww

wwW ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98b)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

a nn

nnN ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98c)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

a ss

ssS ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.98d)

( ) ( )wewe

weo zzyhh

ghhyga −∆+

−−∆−=22

22 (3.98e)

223/1

2

PPSNWEP VUyxhgnaaaaa +∆∆++++= (3.98f)

44321 VVVV

VP+++

= (Figura 3.18) (3.98g)


Aplicando el mismo procedimiento del caso de la ecuación de momento en la dirección X, se obtiene, la siguiente ecuación de discretización de momento en la dirección Y:


donde:

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

b ee

eeE ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100a)

( ) ( ){ }yhUxU

xyh

b ww

wwW ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100b)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

b nn

nnN ,0max

1.01,0max

5

∆−+

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100c)

( ) ( ){ }xhVyV

yxh

b ss

ssS ,0max

1.01,0max

5

∆++

∆−

∆∆

=ε

ε(3.100d)

( ) ( )snsn

sno zzxhh

ghhxgb −∆+

−−∆−=22

22 (3.100e)

(3.100a) (3.100b)

(3.100c)

(3.100d)

(3.100e) (3.100f) (3.100g)


Para el tratamiento de las no linealidades de las ecuaciones de momento discretizadas, es introducido normalmente un factor de sub-relajación a.PATANKAR(1980)yVANDOORMAALyRAITHBY(1984)introducenelfactordesub-relajación,enlaecuación(3.97)y(3.99),delasiguientemanera:

(3.101)

(3.102)

51

223/1

2

PPSNWEP VUyxhgnbbbb +∆∆++++= (3.100f)

44321 UUUU

U P+++

= (Figura 3.18) (3.100g)


Para el tratamiento de las no linealidades de las ecuaciones de momento discretizadas, es introducido normalmente un factor de sub-relajación α. PATANKAR (1980) y VAN DOORMAAL y RAITHBY (1984) introducen el factor de sub-relajación, en la ecuación (3.97)y (3.99), de la siguiente manera:

( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.101)

( ) *1PPonbnbP

P VbbVbVbαα

α−

++= ∑ (3.102)

Donde UP* y VP

* son los valores de UP y VP de la iteración anterior respectivamente;

∑ +++= SSNNWWEEnbnb UaUaUaUaUa ; ∑ +++= SSNNWWEEnbnb VbVbVbVbVb . Las ecuaciones (3.101) y (3.102) pueden ser escritas como:


( ) ( )snzsnhcnbnbPP hhbhhbbVbVb ++−++= ∑ 22α (3.104)

donde: ( ) *1 PPc Uaa α−= ; ygah 2∆−= α ;

( )y

zzga we

z 2∆

−−= α

( ) *1 PPc Vbb α−= ; xgbh 2∆−= α ;

( )x

zzgb sn

z 2∆

−−= α

Dado un valor estimado de h*, el campo de velocidades U* y V* son calculadas a partir de las siguientes ecuaciones:


( ) ( )**2*2******snzsnhcnbnbPP hhbhhbbVbVb ++−++= ∑α (3.106)

Donde el superíndice (*) denota que los coeficientes son calculados basados en los valores de h*. Generalmente los valores de U*, V* y h* no satisfacen la ecuación de continuidad. Si las correcciones de la profundidad y de las velocidades fueran h’, U’ y V’, entonces los valores corregidos de la profundidad y de las velocidades serán:

'* hhh += (3.107a)

'* UUU += (3.107b)

(verFigura3.18)

73


Donde UP* y VP


51

223/1

2


44321 UUUU

U P+++

= (Figura 3.18) (3.100g)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.101)

( ) *1PPonbnbP

P VbbVbVbαα

α−

++= ∑ (3.102)

Donde UP* y VP






( )y

zzga we

z 2∆

−−= α

( ) *1 PPc Vbb α−= ; xgbh 2∆−= α ;

( )x

zzgb sn

z 2∆

−−= α





'* hhh += (3.107a)

'* UUU += (3.107b)

.

Lasecuaciones(3.101)y(3.102)puedenserescritascomo:

51

223/1

2


44321 UUUU

U P+++

= (Figura 3.18) (3.100g)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.101)

( ) *1PPonbnbP

P VbbVbVbαα

α−

++= ∑ (3.102)

Donde UP* y VP






( )y

zzga we

z 2∆

−−= α

( ) *1 PPc Vbb α−= ; xgbh 2∆−= α ;

( )x

zzgb sn

z 2∆

−−= α





'* hhh += (3.107a)

'* UUU += (3.107b)

(3.103)

(3.104)

donde:

51

223/1

2


44321 UUUU

U P+++

= (Figura 3.18) (3.100g)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.101)

( ) *1PPonbnbP

P VbbVbVbαα

α−

++= ∑ (3.102)

Donde UP* y VP






( )y

zzga we

z 2∆

−−= α

( ) *1 PPc Vbb α−= ; xgbh 2∆−= α ;

( )x

zzgb sn

z 2∆

−−= α





'* hhh += (3.107a)

'* UUU += (3.107b)

Dado un valor estimado de h*, el campo de velocidades U* y V* son calculadas a partir de lassiguientesecuaciones:

51

223/1

2


44321 UUUU

U P+++

= (Figura 3.18) (3.100g)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.101)

( ) *1PPonbnbP

P VbbVbVbαα

α−

++= ∑ (3.102)

Donde UP* y VP






( )y

zzga we

z 2∆

−−= α

( ) *1 PPc Vbb α−= ; xgbh 2∆−= α ;

( )x

zzgb sn

z 2∆

−−= α





'* hhh += (3.107a)

'* UUU += (3.107b)

(3.105)

(3.106)

Dondeelsuperíndice(*)denotaqueloscoeficientessoncalculadosbasadosenlosvaloresde h*. Generalmente los valores de U*, V* y h* no satisfacen la ecuación de continuidad. Si las correcciones de la profundidad y de las velocidades fueran h’, U’ y V’, entonces los valorescorregidosdelaprofundidadydelasvelocidadesserán:

51

223/1

2


44321 UUUU

U P+++

= (Figura 3.18) (3.100g)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.101)

( ) *1PPonbnbP

P VbbVbVbαα

α−

++= ∑ (3.102)

Donde UP* y VP






( )y

zzga we

z 2∆

−−= α

( ) *1 PPc Vbb α−= ; xgbh 2∆−= α ;

( )x

zzgb sn

z 2∆

−−= α





'* hhh += (3.107a)

'* UUU += (3.107b)

52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)





( ) ( )''2*2*22'' + wezwewehnbnbPP hhahhhhaUaUa ++−−+= ∑α (3.109)

La sustracción del término ∑ 'PnbUaα en ambos lados de la ecuación (3.109) proporciona:

( ) ( ) ( ) ( )''2*2*22''' + wezwewehPnbnbPnbP hhahhhhaUUaUaa ++−−+−=− ∑∑ αα (3.110)



( ) ( ) ( )''2*2*22' + wezwewehPnbP hhahhhhaUaa ++−−=− ∑α (3.111)


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)

Es razonable despreciar, en la ecuación (3.112), el tercer término del miembro de la derecha por contener cantidades pequeñas de segundo orden. Del mismo modo el segundo y el último término del miembro de la derecha es quitada porque en la fase de corrección, son las diferencias de las correcciones de la profundidad que orientan la corrección de la velocidad en la ecuación (3.112). Por consiguiente la ecuación resultante es:

( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)

Siguiendo el mismo procedimiento, se encuentra una ecuación similar para V:

( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

(3.107a)

(3.107b)

(3.107c)

74



52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

(3.108)

Acontinuaciónsedescribeelprocedimientoparaelacoplamientoprofundidad-velocidad:



*; la ecuación (3.108)setransformaen:

52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

(3.109)

La sustracción del término

52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

en ambos lados de la ecuación (3.109)proporciona:

52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

(3.110)

Siguiendo el procedimiento del algoritmo SIMPLEC el término

52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

de laecuación(3.110)esdespreciadoyseobtiene:

52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

(3.111)


52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

(3.112)

Es razonable despreciar, en la ecuación (3.112), el tercer término delmiembro de laderechaporcontenercantidadespequeñasdesegundoorden.Delmismomodoelsegundoy el último término del miembro de la derecha es quitada porque en la fase de corrección, son las diferencias de las correcciones de la profundidad que orientan la corrección de la velocidadenlaecuación(3.112).Porconsiguientelaecuaciónresultantees:

52

'* VVV += (3.107c)


( ) ( )( ) ( )***

2*2**22****

wezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

hhahha

hhahhaUaUaUaUa

+−++

−−−+−=− ∑ ∑αα(3.108)












( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.112)


( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.113)


( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α(3.114)

(3.113)

75



( )( )( ) ( )''*''

***

snvhPsnnbP

snhPP hhdVhh

bbhhb

VV −+=−−

++=

∑α

(3.114)

donde:

53

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

snhvh bb

hhbd

α

**

Las velocidades en las caras del volumen de control Ue, Uw, Vn y Vs son expresadas como:

( )''*PEehee hhdUU −+= (3.115a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.115b)

( )''*PNnhnn hhdVV −+= (3.116a)

( )''*SPshss hhdVV −+= (3.116b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

( )( )∑−

+=

nbP

PNhnh bb

hhbd

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

SPhsh bb

hhbd

α

**

Si las ecuaciones (3.115) y (3.116) son sustituidas en la ecuación de continuidad (3.91), será obtenida finalmente la ecuación de corrección de la profundidad:

oSSNNWWEEPP chchchchchc ++++= ''''' (3.117)

donde: ( ) ehEPE ydhhc ** ∆+= ( ) whWPW ydhhc ** ∆+=

( ) nhNPN xdhhc ** ∆+= ( ) shSPS xdhhc ** ∆+=

SNWEP ccccc +++=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] xVhhVhhyUhhUhhc sSPnNPwWPeEPo************ ∆+−++∆+−+=

Se puede notar que el término co representa básicamente el lado izquierdo de la ecuación de continuidad discretizada (3.91). Cuando la convergencia es alcanzada, co y la corrección de la profundidad h’ serán iguales a cero. Por eso el término co es usualmente llamada de“masa residual” y la suma del valor absoluto de este término en todo el dominio sirve como un indicador de la convergencia durante la solución numérica.



1. Estimar los campos de velocidades y profundidades (h* ).2. Resolver las ecuaciones de momento, ecuaciones (3.105) y (3.106), con α = 0,5 y

usando h* para obtener U* y V*. 3. Resolver la ecuación de corrección de profundidades (3.117) para obtener h’.4. Calcular h a través de: h = h* + αhh’. El factor de sub-relajación αh varía entre 0 y 1

dependiendo de la complejidad del flujo.5. Corregir U* y V*, obteniendo el campo de velocidades U y V a partir de las ecuaciones

(3.113) y (3.114).6. Hacer h* = h y recomenzar en el ítem (2) hasta la convergencia.

Las velocidades en las caras del volumen de control Ue, Uw, Vn y Vssonexpresadascomo:

53

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

snhvh bb

hhbd

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.115a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.115b)

( )''*PNnhnn hhdVV −+= (3.116a)

( )''*SPshss hhdVV −+= (3.116b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

( )( )∑−

+=

nbP

PNhnh bb

hhbd

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

SPhsh bb

hhbd

α

**





SNWEP ccccc +++=









(3.115a)

(3.115b)

(3.116a)

(3.116b)

donde:

53

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

snhvh bb

hhbd

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.115a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.115b)

( )''*PNnhnn hhdVV −+= (3.116a)

( )''*SPshss hhdVV −+= (3.116b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

( )( )∑−

+=

nbP

PNhnh bb

hhbd

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

SPhsh bb

hhbd

α

**





SNWEP ccccc +++=









Silasecuaciones(3.115)y(3.116)sonsustituidasenlaecuacióndecontinuidad(3.91),seráobtenidafinalmentelaecuacióndecorreccióndelaprofundidad:

53

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

snhvh bb

hhbd

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.115a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.115b)

( )''*PNnhnn hhdVV −+= (3.116a)

( )''*SPshss hhdVV −+= (3.116b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

( )( )∑−

+=

nbP

PNhnh bb

hhbd

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

SPhsh bb

hhbd

α

**





SNWEP ccccc +++=









(3.117)

donde:

53

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

snhvh bb

hhbd

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.115a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.115b)

( )''*PNnhnn hhdVV −+= (3.116a)

( )''*SPshss hhdVV −+= (3.116b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

( )( )∑−

+=

nbP

PNhnh bb

hhbd

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

SPhsh bb

hhbd

α

**





SNWEP ccccc +++=









76


Se puede notar que el término co representa básicamente el lado izquierdo de la ecuación decontinuidaddiscretizada(3.91).Cuandolaconvergenciaesalcanzada,co y la corrección de la profundidad h’ serán iguales a cero. Por eso el término co es usualmente llamada de “masa residual” y la suma del valor absoluto de este término en todo el dominio sirve como un indicador de la convergencia durante la solución numérica.


Ahora estamos en condiciones de presentar el algoritmo de solución numérica, similar al SIMPLEC,pararesolverelproblemadeacoplamientoprofundidad-velocidad:

1. Estimarloscamposdevelocidadesyprofundidades(h*).2. Resolverlasecuacionesdemomento,ecuaciones(3.105)y(3.106),cona = 0,5 y

usando h* para obtener U* y V*. 3. Resolverlaecuacióndecorreccióndeprofundidades(3.117)paraobtenerh’.4. Calcularhatravésde:h=h* + ahh’. El factor de sub-relajación ah varía entre 0 y 1

dependiendodelacomplejidaddelflujo.5. Corregir U* y V*, obteniendo el campo de velocidades U y V a partir de las

ecuaciones(3.113)y(3.114).6. Hacerh*=hyrecomenzarenelítem(2)hastalaconvergencia.

3.13 Flujo Unidimensional en Régimen Transitorio

a) Ecuaciones en la forma conservativa

(3.118)

(3.119)

54



0))=+

xUh

th ((

∂∂

∂∂

(3.118)

+−

−−=+

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh

tUh bx

2)()( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (3.119)

b) Discretización de la ecuación de conservación de la masa

La ecuación de conservación de masa, ecuación (3.118) es discretizada a través de la integración espacial y temporal de sus términos considerando el volumen de control unidimensional mostrado en la Figura 3.17 y teniendo en cuenta la intensidad de convección (F = hU):

0)(=+ ∫ ∫∫ ∫

∆+∆+dtdx

xUhdxdt

th tt

t

e

w

e

w

tt

t ∂∂

∂∂

(3.120)

( ) ( ) ( ){ } 00 =∆−+∆− tUhUhxhh wePP (3.121)

( ) ( ) ( ) 00 =∆∆

−+−txhhUhUh PPwe (3.122)

( ) 00 =∆∆

−+−txhhFF PPwe (3.123)

( ) ( ) ( ) 02 0 =∆∆

−++−+txhhUhhUhh PPwWPeEP (3.124)

c) Discretización de la ecuación de momento

Para integrar la ecuación de momento en la dirección X, en el volumen de control de la malla escalonada de la Figura 3.17, será necesario escribir la ecuación (3.119) en la forma de ecuación de transporte con Φ = U:

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

tUh

−

−−=

Φ

−Φ

+2

)()( 2

(3.125)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1

2ρτ , la integración de la ecuación (3.125) puede ser escrita como:

77



Laecuaciónde conservacióndemasa, ecuación (3.118) esdiscretizada a travésde laintegración espacial y temporal de sus términos considerando el volumen de control unidimensional mostrado en la Figura 3.17 y teniendo en cuenta la intensidad de convección (F = hU):

54



0))=+

xUh

th ((

∂∂

∂∂

(3.118)

+−

−−=+

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh

tUh bx

2)()( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (3.119)



0)(=+ ∫ ∫∫ ∫

∆+∆+dtdx

xUhdxdt

th tt

t

e

w

e

w

tt

t ∂∂

∂∂

(3.120)

( ) ( ) ( ){ } 00 =∆−+∆− tUhUhxhh wePP (3.121)

( ) ( ) ( ) 00 =∆∆


( ) 00 =∆∆


( ) ( ) ( ) 02 0 =∆∆




ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

tUh

−

−−=

Φ

−Φ

+2

)()( 2

(3.125)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


(3.120)

(3.121)

(3.122)

(3.123)

(3.124)


Para integrar la ecuación de momento en la dirección X, en el volumen de control de la mallaescalonadadelaFigura3.17,seránecesarioescribirlaecuación(3.119)enlaformade ecuación de transporte con F=U:

54



0))=+

xUh

th ((

∂∂

∂∂

(3.118)

+−

−−=+

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh

tUh bx

2)()( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (3.119)



0)(=+ ∫ ∫∫ ∫

∆+∆+dtdx

xUhdxdt

th tt

t

e

w

e

w

tt

t ∂∂

∂∂

(3.120)

( ) ( ) ( ){ } 00 =∆−+∆− tUhUhxhh wePP (3.121)

( ) ( ) ( ) 00 =∆∆


( ) 00 =∆∆


( ) ( ) ( ) 02 0 =∆∆




ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

tUh

−

−−=

Φ

−Φ

+2

)()( 2

(3.125)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


(3.125)

DefiniendoelflujototalenladirecciónXcomo:

54



0))=+

xUh

th ((

∂∂

∂∂

(3.118)

+−

−−=+

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh

tUh bx

2)()( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (3.119)



0)(=+ ∫ ∫∫ ∫

∆+∆+dtdx

xUhdxdt

th tt

t

e

w

e

w

tt

t ∂∂

∂∂

(3.120)

( ) ( ) ( ){ } 00 =∆−+∆− tUhUhxhh wePP (3.121)

( ) ( ) ( ) 00 =∆∆


( ) 00 =∆∆


( ) ( ) ( ) 02 0 =∆∆




ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

tUh

−

−−=

Φ

−Φ

+2

)()( 2

(3.125)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1


y tomando en cuenta

que

54



0))=+

xUh

th ((

∂∂

∂∂

(3.118)

+−

−−=+

xUh

xh

xg

xzgh

xUUh

tUh bx

2)()( 2

∂∂ε

∂∂

ρτ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (3.119)



0)(=+ ∫ ∫∫ ∫

∆+∆+dtdx

xUhdxdt

th tt

t

e

w

e

w

tt

t ∂∂

∂∂

(3.120)

( ) ( ) ( ){ } 00 =∆−+∆− tUhUhxhh wePP (3.121)

( ) ( ) ( ) 00 =∆∆


( ) 00 =∆∆


( ) ( ) ( ) 02 0 =∆∆




ρτ

∂∂

∂∂

∂∂ε

∂∂

∂∂

∂∂ bxh

xg

xzgh

xh

xxUh

tUh

−

−−=

Φ

−Φ

+2

)()( 2

(3.125)


hUhJ x ∂∂ε Φ


que Uhgn

bx Φ= 3/1

2ρτ , la integración de la ecuación (3.125) puede ser escrita como:,laintegracióndelaecuación(3.125)puedeserescritacomo:

55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe

wewePPPP ∆Φ−−−−

+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )

( )( ) ( )txUhhhgzzhhg

Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

(3.126)

78


55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe


+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )


Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

(3.127)

Silaecuación(3.123)fueramultiplicadaporFPysustraídadelaecuación(3.127),seobtiene:

55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe


+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )


Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

(3.128)

Deacuerdoalaecuación(20.38):

55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe


+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )


Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

y teniendo en cuenta que FP = UP,laecuación(3.128)setransformaen:

55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe


+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )


Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

(3.129)

Ordenandoadecuadamente,setiene:

55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe


+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )


Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

(3.130)

Enformacompacta,laecuacióndediscretizaciónsepuedeescribirdelasiguientemanera:

55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe


+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )


Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

(3.131a)

(3.131b)

Usando el esquema de la Ley Potencial(tabla20.1),seobtienefinalmentelosvaloresdeloscoeficientesdelaecuacióndediscretización:

55

dtdxUhgnh

xg

xzghdtdx

xJ

dtdxt

hU tt

t

e

w

tt

t

e

wxtt

t

e

w ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆+∆+∆+

Φ−

−−=+ 3/1

22

2)(

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(3.126)

( ) ( ) ( ) ( ) xUhgnhhgzz

hhgJJ

txUhUh Pwewe


+−=−+

∆∆

− 3/1

22200

22(3.127)


( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) PPwewewe

PwwPeeP

PPPPPP

Uxhgnhhgzzhhg

FJFJt

xhhtxUhUh

Φ∆−−−−+−=

Φ−−Φ−+∆∆Φ

−−∆∆

−

3/1

222

000

22

(3.128)


( ) ( )


Uxhgnaa

txh

PPwewewe

PPPWWEPEPP

∆∆

+−−−+−=

Φ∆+Φ−Φ−Φ−Φ+∆∆

Φ

0022

3/1

20

22

(3.129)


( )( )

( )txUhhhg

zzhhgaatxhxU

hgnaa

PPwe

weweWWEEPPPWE

∆∆

+−−

−+−Φ+Φ=Φ

∆∆

+∆++

0022

03/1

2

2

2 (3.130)





( ) ( ){ }ee

eeE hU

xUx

ha −+

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132a)

( ) ( ){ }ww

wwW hU

xUx

ha ++

∆−

∆= ,0max

1.01,0max

5

εε

(3.132b)

(3.132a)

(3.132b)

79


56

txhxU

hgnaaa PPWEP ∆

∆+∆++= 0

3/1

2

(3.132c)


PPwewewe ∆∆

+−−−+−= 0022o 22

a (3.132d)

d) Acoplamiento profundidad - velocidad

Para el tratamiento de las no linealidades de las ecuaciones de momento discretizadas, es introducido normalmente un factor de sub-relajación α. PATANKAR (1980) y VAN DOORMAAL y RAITHBY (1984) introducen el factor de sub-relajación, en la ecuación (3.131b), de la siguiente manera:

( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.133)



( ) ( ) twezwehcnbnbPP ahhahhaaUaUa +++−++= ∑ 22α (3.134)

Donde:

( ) *1 PPc Uaa α−=2gah α−=

( )2

wez

zzga

−−= α

txUha PPt ∆

∆= 00α


( ) ( ) ****2*2******twezwehcnbnbPP ahhahhaaUaUa +++−++= ∑α (3.135)


'* hhh += (3.136a)

'* UUU += (3.136b)


( ) ( )( ) ( ) ****

2*2**22****

+ ttwezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

aahhahha

hhahhaUaUaUaUa

−++−+

−−−+−=− ∑∑ αα(3.137)

Ahora, el procedimiento para el acoplamiento profundidad-velocidad es descrito a continuación:

(3.132c)

(3.132d)


Para el tratamiento de las no linealidades de las ecuaciones de momento discretizadas, es introducido normalmente un factor de sub-relajación a.PATANKAR(1980)yVANDOORMAALyRAITHBY(1984)introducenelfactordesub-relajación,enlaecuación(3.131b),delasiguientemanera:

56

txhxU

hgnaaa PPWEP ∆

∆+∆++= 0

3/1

2

(3.132c)


PPwewewe ∆∆

+−−−+−= 0022o 22

a (3.132d)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.133)




Donde:


( )2

wez

zzga

−−= α

txUha PPt ∆

∆= 00α




'* hhh += (3.136a)

'* UUU += (3.136b)


( ) ( )( ) ( ) ****

2*2**22****

+ ttwezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

aahhahha

hhahhaUaUaUaUa

−++−+

−−−+−=− ∑∑ αα(3.137)


(3.133)

Donde UP* es el valor de UPde la iteraciónanterior; .Laecuación(3.133)puede ser

escritacomo:

56

txhxU

hgnaaa PPWEP ∆

∆+∆++= 0

3/1

2

(3.132c)


PPwewewe ∆∆

+−−−+−= 0022o 22

a (3.132d)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.133)




Donde:


( )2

wez

zzga

−−= α

txUha PPt ∆

∆= 00α




'* hhh += (3.136a)

'* UUU += (3.136b)


( ) ( )( ) ( ) ****

2*2**22****

+ ttwezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

aahhahha

hhahhaUaUaUaUa

−++−+

−−−+−=− ∑∑ αα(3.137)


(3.134)

Donde:

56

txhxU

hgnaaa PPWEP ∆

∆+∆++= 0

3/1

2

(3.132c)


PPwewewe ∆∆

+−−−+−= 0022o 22

a (3.132d)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.133)




Donde:


( )2

wez

zzga

−−= α

txUha PPt ∆

∆= 00α




'* hhh += (3.136a)

'* UUU += (3.136b)


( ) ( )( ) ( ) ****

2*2**22****

+ ttwezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

aahhahha

hhahhaUaUaUaUa

−++−+

−−−+−=− ∑∑ αα(3.137)


Dado un valor estimado de h*, el campo de velocidades U* son calculadas a partir de la siguienteecuación:

56

txhxU

hgnaaa PPWEP ∆

∆+∆++= 0

3/1

2

(3.132c)


PPwewewe ∆∆

+−−−+−= 0022o 22

a (3.132d)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.133)




Donde:


( )2

wez

zzga

−−= α

txUha PPt ∆

∆= 00α




'* hhh += (3.136a)

'* UUU += (3.136b)


( ) ( )( ) ( ) ****

2*2**22****

+ ttwezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

aahhahha

hhahhaUaUaUaUa

−++−+

−−−+−=− ∑∑ αα(3.137)


(3.135)

80


Dondeelsuperíndice(*)denotaqueloscoeficientessoncalculadosbasadosenlosvaloresde h*. Generalmente los valores de U* y h* no satisfacen la ecuación de continuidad. Si las correcciones de la profundidad y de la velocidad fueran h’ y U’, entonces los valores corregidosdelaprofundidadydelasvelocidadesserán:

56

txhxU

hgnaaa PPWEP ∆

∆+∆++= 0

3/1

2

(3.132c)


PPwewewe ∆∆

+−−−+−= 0022o 22

a (3.132d)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.133)




Donde:


( )2

wez

zzga

−−= α

txUha PPt ∆

∆= 00α




'* hhh += (3.136a)

'* UUU += (3.136b)


( ) ( )( ) ( ) ****

2*2**22****

+ ttwezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

aahhahha

hhahhaUaUaUaUa

−++−+

−−−+−=− ∑∑ αα(3.137)


(3.136a)

(3.136b)


56

txhxU

hgnaaa PPWEP ∆

∆+∆++= 0

3/1

2

(3.132c)


PPwewewe ∆∆

+−−−+−= 0022o 22

a (3.132d)



( ) *1PPonbnbP

P UaaUaUaαα

α−

++= ∑ (3.133)




Donde:


( )2

wez

zzga

−−= α

txUha PPt ∆

∆= 00α




'* hhh += (3.136a)

'* UUU += (3.136b)


( ) ( )( ) ( ) ****

2*2**22****

+ ttwezwez

wehwehnbnbnbnbPPPP

aahhahha

hhahhaUaUaUaUa

−++−+

−−−+−=− ∑∑ αα(3.137)


(3.137)



* y tomando en cuenta que ah = ah* ; az = az

* ; at = at* la

ecuación(3.137)setransformaen:

57



* ; at = at* la

ecuación (3.137) se transforma en:



Restando ∑ 'PnbUaα a ambos lados de la ecuación (3.139) se obtiene:






( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**

Las velocidades en las caras del volumen de control Ue, Uw, son expresadas como:

( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.138)

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.139)

Restando

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

aambosladosdelaecuación(3.139)seobtiene:

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.140)

Siguiendo el procedimiento del algoritmo SIMPLEC el término

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

de la ecuación(3.140)esdespreciadoyseobtiene:

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.141)

81



57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.142)

Es razonable despreciar, en la ecuación (3.142), el tercer término delmiembro de laderechaporcontenercantidadespequeñasdesegundoorden.Delmismomodoelsegundoy el último término del miembro de la derecha es quitada porque en la fase de corrección, son las diferencias de las correcciones de la profundidad que orientan la corrección de la velocidadenlaecuación(3.142).Porconsiguientelaecuaciónresultantees:

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

(3.143)

(3.144)

donde:

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

Las velocidades en las caras del volumen de control Ue, Uw,sonexpresadascomo:

(3.145a)

(3.145b)

donde:

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

57



* ; at = at* la










( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )''

2'2'**''''**'

+ wez

wehwewehwewehPnbP

hha

hhahhhhahhhhaUaa

+

−+−++−+=− ∑α (3.142)



( )( )( ) ( )''*''

***

weuhPwenbP

wehPP hhdUhh

aahha

UU −+=−−

++=

∑α(3.144)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

wehuh aa

hhad

α

**


( )''*PEehee hhdUU −+= (3.145a)

( )''*WPwhww hhdUU −+= (3.145b)

donde:( )

( )∑−+

=nbP

EPheh aa

hhad

α

** ( )( )∑−

+=

nbP

WPhwh aa

hhad

α

**

82


Si las ecuaciones (3.145) son sustituidas en la ecuación de continuidad (3.124), seráobtenidafinalmentelaecuacióndecorreccióndelaprofundidad:

58

Si las ecuaciones (3.145) son sustituidas en la ecuación de continuidad (3.124), será obtenida finalmente la ecuación de corrección de la profundidad:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 02 0*''***''*** =∆∆

−+−++−−++txhhhhdUhhhhdUhh PPWPwhwWPPEeheEP (3.146)




WEP ccc +=

( ) ( ) ( )txhhUhhUhhc PPwWPeEPo ∆

∆−++−+= 0******* 2

Se puede notar que el término co representa básicamente el lado izquierdo de la ecuación de continuidad discretizada (3.124). Cuando la convergencia es alcanzada, co y la corrección de la profundidad h’ será iguales a cero. Por eso el término co es usualmente llamada de“masa residual” y la suma del valor absoluto de este término en todo el dominio sirve como un indicador de la convergencia durante la solución numérica.

e) Algoritmo de solución numérica

Ahora estamos en condiciones de presentar el algoritmo de solución numérica, para cada nivel de tiempo, similar al SIMPLEC, para resolver el problema de acoplamiento profundidad-velocidad:

1. Estimar los campos de velocidades y profundidades (h* ).2. Resolver la ecuación de momento (3.135) con α = 0,5 y usando h* para obtener U*.3. Resolver la ecuación de corrección de profundidades (3.147) para obtener h’.4. Calcular h a través de: h = h’+ h*. El factor de sub-relajación αh varía entre 0 y 1

dependiendo de la complejidad del flujo.5. Corregir U*, obteniendo el campo de velocidades U a partir de la ecuación (3.144)6. Hacer h* = h y recomenzar en el ítem (2) hasta la convergencia.

(3.146)

(3.147)

donde:

Se puede notar que el término co representa básicamente el lado izquierdo de la ecuación de continuidaddiscretizada(3.124).Cuandolaconvergenciaesalcanzada,co y la corrección de la profundidad h’ será iguales a cero. Por eso el término co es usualmente llamada de “masa residual” y la suma del valor absoluto de este término en todo el dominio sirve como un indicador de la convergencia durante la solución numérica.



1. Estimar los campos de velocidades y profundidades (h* ).2. Resolverlaecuacióndemomento(3.135)cona = 0,5 y usando h* para obtener U*.3. Resolverlaecuacióndecorreccióndeprofundidades(3.147)paraobtenerh’.4. Calcular hatravésde:h=h’+ h*. El factor de sub-relajación ah varía entre 0 y 1

dependiendodelacomplejidaddelflujo.5. Corregir U*,obteniendoelcampodevelocidadesUapartirdelaecuación(3.144)6. Hacer h*=hyrecomenzarenelítem(2)hastalaconvergencia.

58

Si las ecuaciones (3.145) son sustituidas en la ecuación de continuidad (3.124), será obtenida finalmente la ecuación de corrección de la profundidad:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 02 0*''***''*** =∆∆

−+−++−−++txhhhhdUhhhhdUhh PPWPwhwWPPEeheEP (3.146)




WEP ccc +=

( ) ( ) ( )txhhUhhUhhc PPwWPeEPo ∆

∆−++−+= 0******* 2

Se puede notar que el término co representa básicamente el lado izquierdo de la ecuación de continuidad discretizada (3.124). Cuando la convergencia es alcanzada, co y la corrección de la profundidad h’ será iguales a cero. Por eso el término co es usualmente llamada de“masa residual” y la suma del valor absoluto de este término en todo el dominio sirve como un indicador de la convergencia durante la solución numérica.



1. Estimar los campos de velocidades y profundidades (h* ).2. Resolver la ecuación de momento (3.135) con α = 0,5 y usando h* para obtener U*.3. Resolver la ecuación de corrección de profundidades (3.147) para obtener h’.4. Calcular h a través de: h = h’+ h*. El factor de sub-relajación αh varía entre 0 y 1

dependiendo de la complejidad del flujo.5. Corregir U*, obteniendo el campo de velocidades U a partir de la ecuación (3.144)6. Hacer h* = h y recomenzar en el ítem (2) hasta la convergencia.

83


Capítulo IV

ProPiedades de los sedimentos

4 PROPIEDADES DE LOS SEDIMENTOS

Laspropiedadesdelossedimentos,puedensersubdivididasendosgrupos:Elprimeroque corresponde a las propiedades individuales del sedimento y el segundo a las propiedades de un conjunto de sedimentos. Las propiedades individuales más importantes en el fenómeno de transporte sólido son: el tamaño del sedimento, lavelocidad de sedimentación, peso específico y la forma la partícula. Las propiedadesdelossedimentosenconjuntoquepresentanmayorinterésprácticoson:ladistribucióngranulométrica, la porosidad, el peso específico aparente y el ángulo de reposo delmaterial sólido.

4.1 Propiedades Individuales de las Partículas de Sedimento

a) Tamaño de la Partícula

De las diferentes propiedades individuales de los sedimentos, el tamaño, es la demayor importancia desde el punto de vista de la ingeniería hidráulica, no solo porque la dimensión geométrica sea la mas fácil de medir, sino que otras propiedades como la formaypesoespecíficovaríanconeltamañodelapartícula.Tantolarugosidaddellechocomo el movimiento del material es caracterizada por esta propiedad.

Eltamañodelapartículasólida,normalmenteesdefinidoporeldiámetrocaracterístico.Existen tres diámetros característicos recomendados por el Subcommittee on Sediment TerminologyoftheAmericanGeophysicalUnion:

Diámetro de Tamizado: Es la dimensión de la menor malla del tamiz que deja pasar la partícula sólida.

Diámetro de Sedimentación: Es el diámetro de la esfera de igual densidad, que sedimenta con la misma velocidad que una partícula sólida dada, cuando sumergimos en el mismo fluidoalamismatemperatura.

84


Diámetro Nominal: Es el diámetro de la esfera del mismo volumen que el de la partícula sólida.

Tabla 4.1: Clasificación de los Sedimentos Según su Tamaño (A.G.U.)

Nomenclatura Intervalo (mm) Nomenclatura Intervalo (mm)

Arcillamuyfina 0.00024 - 0.00050 Limomuyfino 0.004 - 0.008Arcillafina 0.0005 - 0.001 Limofino 0.008 - 0.016Arcilla media 0.001 - 0.002 Limo medio 0.016 - 0.031Arcilla gruesa 0.002 - 0.004 Limo grueso 0.031 - 0.62Arenamuyfina 0.062 - 0.125 Gravamuyfina 2.0 - 4.0Arenafina 0.125 - 0.25 Gravafina 4.0 - 8.0Arena media 0.25 - 0.50 Grava media 8.0 - 16.0Arena gruesa 0.50 - 1.00 Grava gruesa 16.0 - 32.0Arena muy gruesa 1.00 - 2.00 Grava muy gruesa 32.0 - 64.0

b) Forma del Sedimento

Lainfluenciadelaformadelossedimentossemanifiestaenotraspropiedadesdelsedimento,como la velocidad de sedimentación, porosidad, movimiento del material en el fondo del río,etc.Existenunaseriedeparámetrosutilizadosenlaingenieríaparadefinirlaformadelsedimento;siendolosmásimportanteslaesfericidadyelfactordeforma:

60

La influencia de la forma de los sedimentos se manifiesta en otras propiedades del sedimento, como la velocidad de sedimentación, porosidad, movimiento del material en el fondo del río, etc. Existen una serie de parámetros utilizados en la ingeniería para definir la forma del sedimento; siendo los más importantes la esfericidad y el factor de forma:

Esfericidadvolumen de la particula

vol de la esfera circunscrita=

.

13

(4.1)

Factor de Forma Sca bF= =

.(4.2)

Donde: a, b y c son las dimensiones de la partícula medidas en una base ortogonal, siendo c la mayor dimensión.

Estudios realizados por McNown y Malaika en 1950 y Albertson en 1953 llegaron a la conclusión de que existe una estrecha relación entre el factor de forma y la velocidad de sedimentación de la partícula. De acuerdo con el Inter-Agency Committee on Water Resources - Report N° 12, fue verificado que el factor de forma para las arenas naturales es del orden de 0.7.

c) Peso Específico del Sedimento

El peso específico del sedimento depende de su composición mineralógica. Muchos estudios demuestran que existe una estrecha relación entre el tamaño de sedimento y su composición mineralógica; siendo así, los materiales más groseros estarán constituidos de materiales más resistentes a los desgastes mecánicos, como el cuarzo. A medida que la granulometría disminuye hay una reducción de la cantidad de cuarzo y un aumento en la cantidad de materiales menos resistentes, como la caulinita por ejemplo.

De manera general, la composición mineralógica de los sedimentos de los cursos de agua naturales está constituido predominantemente de materiales de cuarzo, adoptándose los siguientes valores para el peso específico:

γS = 2650 Kg/m3 (peso específico de sedimento seco)γ′S = 1650 Kg/m3 (peso específico del sedimento sumergido)

d) Velocidad de Sedimentación

Si se deja caer una partícula esférica en el interior de un fluido; ella parte desde el reposo hasta lograr una velocidad final. Para obtener esta velocidad se hace un balance de fuerzas que debe ser cero.

F F B WD= + + =∑ 0 (4.3)

FD = Fuerza resistente del fluido (Drag force) = C AD ρω 2

2

B = Empuje del líquido sobre la esfera =π

γD3

6

W = Peso de la partícula =π

γD

S

3

6

(4.1)

(4.2)

Donde:a,bycsonlasdimensionesdelapartículamedidasenunabaseortogonal,siendoc la mayor dimensión.

Estudios realizados por McNown y Malaika en 1950 y Albertson en 1953 llegaron a la conclusión de que existe una estrecha relación entre el factor de forma y la velocidad de sedimentación de la partícula. De acuerdo con el Inter-Agency Committee on Water Resources - Report N°12,fueverificadoqueelfactordeformaparalasarenasnaturaleses del orden de 0.7.


El peso específico del sedimento depende de su composición mineralógica. Muchosestudiosdemuestranqueexisteunaestrecharelaciónentreeltamañodesedimentoysu

85


composición mineralógica; siendo así, los materiales más groseros estarán constituidos de materiales más resistentes a los desgastes mecánicos, como el cuarzo. A medida que la granulometría disminuye hay una reducción de la cantidad de cuarzo y un aumento en la cantidad de materiales menos resistentes, como la caulinita por ejemplo.

De manera general, la composición mineralógica de los sedimentos de los cursos de agua naturales está constituido predominantemente de materiales de cuarzo, adoptándose los siguientesvaloresparaelpesoespecífico:

ᵧS =2650Kg/m3 (pesoespecíficodesedimentoseco)

ᵧ′S=1650Kg/m3(pesoespecíficodelsedimentosumergido)


Sisedejacaerunapartículaesféricaenelinteriordeunfluido;ellapartedesdeelreposohastalograrunavelocidadfinal.Paraobtenerestavelocidadsehaceunbalancedefuerzasque debe ser cero.

60




.

13

(4.1)


.(4.2)









F F B WD= + + =∑ 0 (4.3)


2


γD3

6


γD

S

3

6

(4.3)

60




.

13

(4.1)


.(4.2)









F F B WD= + + =∑ 0 (4.3)


2


γD3

6


γD

S

3

6

61

CD = Coeficiente de arrastre γS = Peso específico de la partículaρ = Densidad del fluido γ = Peso específico del fluido = ρgω = Velocidad de sedimentación D = Diámetro de la partícula

A = Área proyectada de la esfera = π D2

4ν = Viscosidad cinemática del agua

Reemplazando en la ecuación (4.3) se tiene:

ωγ γγ

2 43

=−

D gCD

S.(4.4)

Se sabe que el coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y del factor de

forma de la partícula: C f R SFD e= ( , ) , donde: RD

e =ωυ

.

Para Re < 0.1; STOKES, [24], indica que:DR

Ce

D2424ων

== ; entonces:

−=

γγγ

νω SgD 2

181 (4.5)

Figura 4.1: Coeficiente de arrastre vs Número de Reynolds (after Rouse 1938)Adaptado de: Hydraulics of Sediment Transport, Graf, 1971

Para Re > 0.1; el valor de CD se obtiene de experimentos de laboratorio. El gráfico de ROUSSE, [10], muestra la variación de CD con el número de Reynolds de la partícula, Re,

Reemplazandoenlaecuación(4.3)setiene:

61





ωγ γγ

2 43

=−

D gCD

S.(4.4)



e =ωυ

.


Ce

D2424ων

== ; entonces:

−=

γγγ

νω SgD 2

181 (4.5)



(4.4)

86


SesabequeelcoeficientedearrastredependedelnúmerodeReynoldsydelfactorde

formadelapartícula:

61





ωγ γγ

2 43

=−

D gCD

S.(4.4)



e =ωυ

.


Ce

D2424ων

== ; entonces:

−=

γγγ

νω SgD 2

181 (4.5)



,donde:

61





ωγ γγ

2 43

=−

D gCD

S.(4.4)



e =ωυ

.


Ce

D2424ων

== ; entonces:

−=

γγγ

νω SgD 2

181 (4.5)



.

ParaRe<0.1;STOKES,[24],indicaque:

61





ωγ γγ

2 43

=−

D gCD

S.(4.4)



e =ωυ

.


Ce

D2424ων

== ; entonces:

−=

γγγ

νω SgD 2

181 (4.5)



;entonces:

61





ωγ γγ

2 43

=−

D gCD

S.(4.4)



e =ωυ

.


Ce

D2424ων

== ; entonces:

−=

γγγ

νω SgD 2

181 (4.5)



(4.5)


Para Re > 0.1; el valor de CDseobtienedeexperimentosdelaboratorio.ElgráficodeROUSSE,[10],muestralavariacióndeCD con el número de Reynolds de la partícula, Re, (Figura4.1).Enestecasolaresistenciatotalalmovimientodelapartículaeslasumadelaresistenciaviscosaylaresistenciaalimpacto;entoncessetiene:

62

(Figura 4.1). En este caso la resistencia total al movimiento de la partícula es la suma de la resistencia viscosa y la resistencia al impacto; entonces se tiene:

( )πγ γ π µω

πρω

DD

DS

STOKESRUBEY

3 22

63

4− = +

se deduce por consiguiente que: CRD

e= +

242

Simplificando se obtiene la ecuación de RUBEY, [14]:

( ) ( )D

DgDD

DD

SS νρρρν

ρµ

ργγ

ρµω 6

32366

3236

2

2

22

2

−−

+=−−

+= (4.6a)

Figura 4.2: Velocidad de sedimentación según RubeyAdaptado de: Einstein [6]

La representación matemática aproximada es:

( ) ( ) ( ) ( ) 9806.0log7877.0log266.0log068.0log0028.0log 234 ++−+−= DDDDω (4.6b)

4.2 Propiedades de los Sedimentos en Conjunto

a) Distribución Granulométrica

Para sedimentos de granulometría uniforme, existe un único diámetro característico, mientras que para una mezcla no uniforme, se puede definir más de un diámetro característico. Simons y Senturk, [24], definen los siguientes diámetros característicos:

sededuceporconsiguienteque:

62


( )πγ γ π µω

πρω

DD

DS

STOKESRUBEY

3 22

63

4− = +


e= +

242


( ) ( )D

DgDD

DD

SS νρρρν

ρµ

ργγ

ρµω 6

32366

3236

2

2

22

2

−−

+=−−

+= (4.6a)







61





ωγ γγ

2 43

=−

D gCD

S.(4.4)



e =ωυ

.


Ce

D2424ων

== ; entonces:

−=

γγγ

νω SgD 2

181 (4.5)



87


SimplificandoseobtienelaecuacióndeRUBEY,[14]:

62


( )πγ γ π µω

πρω

DD

DS

STOKESRUBEY

3 22

63

4− = +


e= +

242


( ) ( )D

DgDD

DD

SS νρρρν

ρµ

ργγ

ρµω 6

32366

3236

2

2

22

2

−−

+=−−

+= (4.6a)







(4.6a)


Larepresentaciónmatemáticaaproximadaes:

62


( )πγ γ π µω

πρω

DD

DS

STOKESRUBEY

3 22

63

4− = +


e= +

242


( ) ( )D

DgDD

DD

SS νρρρν

ρµ

ργγ

ρµω 6

32366

3236

2

2

22

2

−−

+=−−

+= (4.6a)







(4.6b)

4.2 Propiedades de los Sedimentos en Conjunto a) Distribución Granulométrica

Para sedimentos de granulometría uniforme, existe un único diámetro característico, mientras que para una mezcla no uniforme, se puede definir más de un diámetrocaracterístico.SimonsySenturk,[24],definenlossiguientesdiámetroscaracterísticos:

62


( )πγ γ π µω

πρω

DD

DS

STOKESRUBEY

3 22

63

4− = +


e= +

242


( ) ( )D

DgDD

DD

SS νρρρν

ρµ

ργγ

ρµω 6

32366

3236

2

2

22

2

−−

+=−−

+= (4.6a)







88


D35:Diámetrodelamallapordondepasanel35%delossedimentosdelamuestra.Eseldiámetro característico propuesto por Einstein para representar el diámetro de la muestra.D40: Diámetro usado por Schoklitsch, para representar la muestra.D50: Diámetro que en muchos casos representa el diámetro medio. Shields, utilizó este diámetro para su estudio del inicio de movimiento.D65: Diámetro utilizado por Einstein para representar la rugosidad de los granos.D84 y D16: Diámetros derivados de un análisis probabilístico. Estos diámetros son utilizadosparadefinirlamediageométricaylagraduacióndelmaterial.Dm:Diámetromedioaritmético.Sepuedeobtenerde:

63

D35: Diámetro de la malla por donde pasan el 35% de los sedimentos de la muestra. Es el diámetro característico propuesto por Einstein para representar el diámetro de la muestra.D40: Diámetro usado por Schoklitsch, para representar la muestra.D50: Diámetro que en muchos casos representa el diámetro medio. Shields, utilizó este diámetro para su estudio del inicio de movimiento.D65: Diámetro utilizado por Einstein para representar la rugosidad de los granos.D84 y D16: Diámetros derivados de un análisis probabilístico. Estos diámetros son utilizados para definir la media geométrica y la graduación del material.Dm: Diámetro medio aritmético. Se puede obtener de:

DD D D D D

mn n i i

i

n

=+ + + +

==∑∆ ∆ ∆ ∆ ∆1 1 2 2 3 3

1100 100...........

(4.7)

∆i : representa una porción del porcentaje del gráfico de distribución granulométricaDi : valor medio del diámetro que corresponde a ∆i.Dg: Diámetro medio geométrico; definido por:

Log D Log Dg i i= ∑1100

∆ (4.8)

b) Distribución de Frecuencias de los Sedimentos

La distribución de frecuencias de las partículas de sedimentos, es una aproximación probabilística utilizado para describir el sedimento transportado por el río.

Histograma: Es el gráfico entre los porcentajes de la muestra que pasan la malla y el respectivo diámetro de la malla.

Polígono de Frecuencias: Este gráfico es preparado con los mismos datos usados en la elaboración del histograma. La frecuencia es ploteada con la marca de clase del intervalo.

Curva de Frecuencia Acumulada: Es el gráfico entre el porcentaje acumulado y el diámetro de la partícula. La curva de frecuencia acumulada puede plotearse en diferentes escalas. La curva de frecuencias puede ser representada por la ecuación de distribución normal de Gauss:

( )2

2

2

21)( σ

µ

πσ

−−

=iD

i eDf (4.9)

Donde µ es la media y σ la desviación estándar. Los cálculos de µ y σ, pueden realizarse con los datos presentados en la tabla de distribución de frecuencias.

c) Porosidad

La porosidad es definida como la razón entre el volumen de vacíos y el volumen total ocupado por el material sedimentado, expresado en porcentaje:

Pvolumen de vacios

volumen totalo = (4.10)

(4.7)

Di:representaunaporcióndelporcentajedelgráficodedistribucióngranulométricaDi:valormediodeldiámetroquecorrespondeaDi.Dg:Diámetromediogeométrico;definidopor:

63


DD D D D D

mn n i i

i

n

=+ + + +

==∑∆ ∆ ∆ ∆ ∆1 1 2 2 3 3

1100 100...........

(4.7)



∆ (4.8)






( )2

2

2

21)( σ

µ

πσ

−−

=iD

i eDf (4.9)


c) Porosidad


Pvolumen de vacios


(4.8)



Histograma:Eselgráficoentrelosporcentajesdelamuestraquepasanlamallayelrespectivo diámetro de la malla.

Polígono de Frecuencias: Estegráficoespreparadoconlosmismosdatosusadosenlaelaboración del histograma. La frecuencia es ploteada con la marca de clase del intervalo.

Curva de Frecuencia Acumulada: Es el gráfico entre el porcentaje acumulado y eldiámetro de la partícula. La curva de frecuencia acumulada puede plotearse en diferentes escalas. La curva de frecuencias puede ser representada por la ecuación de distribución normaldeGauss:

63


DD D D D D

mn n i i

i

n

=+ + + +

==∑∆ ∆ ∆ ∆ ∆1 1 2 2 3 3

1100 100...........

(4.7)



∆ (4.8)






( )2

2

2

21)( σ

µ

πσ

−−

=iD

i eDf (4.9)


c) Porosidad


Pvolumen de vacios


(4.9)

Donde m es la media y s la desviación estándar. Los cálculos de m y s, pueden realizarse con los datos presentados en la tabla de distribución de frecuencias.

89


c) Porosidad

Laporosidadesdefinidacomolarazónentreelvolumendevacíosyelvolumentotalocupadoporelmaterialsedimentado,expresadoenporcentaje:

63


DD D D D D

mn n i i

i

n

=+ + + +

==∑∆ ∆ ∆ ∆ ∆1 1 2 2 3 3

1100 100...........

(4.7)



∆ (4.8)






( )2

2

2

21)( σ

µ

πσ

−−

=iD

i eDf (4.9)


c) Porosidad


Pvolumen de vacios

volumen totalo = (4.10) (4.10)

d) Peso Específico Aparente

Elpesoespecíficoaparenteeslarazónentreelpesodelmaterialsedimentadoyelvolumentotal por este ocupado.

64


El peso específico aparente es la razón entre el peso del material sedimentado y el volumen total por este ocupado.

γ S

peso del materialvolumen del material volumen de vacios

=+

(4.11)

Dentro de los diversos factores que afectan el valor del peso específico aparente, el másimportante, probablemente, sea la operación de embalses. Esto porque, dependiendo de la operación del embalse, el volumen sedimentado podrá estar o no sumergido, afectando de sobremanera su peso específico aparente. El grado de consolidación del material sedimentado depende de su tamaño. Los materiales de granulometría fina presentan bajos valores en su peso específico aparente en el periodo inicial, aumentando estos valores con el correr del tiempo.

e) Ángulo de Reposo

El ángulo de reposo del sedimento es un dato importante en el estudio de las condiciones de inicio del movimiento, proyecto de canales y otros problemas de hidráulica fluvial. En relación a otros estudios, poco se ha hecho en la determinación del ángulo de reposo del sedimento sumergido. Gibson en 1946, propuso la siguiente relación:

tan . ..

.φγ γγ

=−

K D rS0 125

0 190 25 (4.12)

φ = Angulo de reposo del sedimento sumergidoD = Diámetro medio de la muestra comprendidos entre 0.13 mm y 0.49 mm.r = Razón entre el mayor y la menor dimensión del sedimentoK = Constante igual a 0.61

(4.11)

Dentrodelosdiversosfactoresqueafectanelvalordelpesoespecíficoaparente,elmásimportante, probablemente, sea la operación de embalses. Esto porque, dependiendo de la operación del embalse, el volumen sedimentado podrá estar o no sumergido, afectando de sobremanera su peso específico aparente. El grado de consolidación del materialsedimentadodependedesutamaño.Losmaterialesdegranulometríafinapresentanbajosvaloresensupesoespecíficoaparenteenelperiodoinicial,aumentandoestosvaloresconel correr del tiempo.


El ángulo de reposo del sedimento es un dato importante en el estudio de las condiciones deiniciodelmovimiento,proyectodecanalesyotrosproblemasdehidráulicafluvial.Enrelación a otros estudios, poco se ha hecho en la determinación del ángulo de reposo del sedimentosumergido.Gibsonen1946,propusolasiguienterelación:

64



γ S


=+

(4.11)




tan . ..

.φγ γγ

=−

K D rS0 125

0 190 25 (4.12)


(4.12)

64



γ S


=+

(4.11)




tan . ..

.φγ γγ

=−

K D rS0 125

0 190 25 (4.12)


= Angulo de reposo del sedimento sumergidoD = Diámetro medio de la muestra comprendidos entre 0.13 mm y 0.49 mm.r = Razón entre el mayor y la menor dimensión del sedimentoK = Constante igual a 0.61

90


Figura 4.3: Ángulo de reposo del material, (Lane, 1953)

Otra proposición para el cálculo del ángulo de reposo es la de Lane en 1953, que da el ángulo de fricción en función del diámetro y la forma del sedimento, como puede ser observado en la Figura 4.3.

65

Figura 4.3: Ángulo de reposo del material, (Lane, 1953)Otra proposición para el cálculo del ángulo de reposo es la de Lane en 1953, que da el ángulo de fricción en función del diámetro y la forma del sedimento, como puede ser observado en la Figura 4.3.

Ejemplo 4.1:

Para la muestra de sedimentos del río Muymanu, presentados en una tabla de distribución de frecuencias, determinar:

a) La media, desviación estándar y coeficiente de variaciónb) Graficar el histograma y polígono de frecuencias y frecuencia acumulada.c) Probar mediante el estadístico Chi cuadrado, si la distribución de sedimentos se ajusta a

una distribución normal.d) Graficar la curva granulométrica y determinar los diámetros característicos de la muestra

de sedimentos.

Solución:

a) Para datos agrupados en tabla de distribución de frecuencias:

Tabla de distribución de frecuencias de sedimentos (mm)

Límiteinferior

LímiteSuperior

Marca deClase Di

FrecuenciaAbsoluta fi

fiDi fi(Di – Dp)2 ∑fi

0 0.2 0.1 3 0.3 0.47 3.00.2 0.4 0.3 29 8.7 1.09 32.00.4 0.6 0.5 42 21.0 0.00 74.0

91


Ejemplo 4.1:

Para la muestra de sedimentos del río Muymanu, presentados en una tabla de distribución defrecuencias,determinar:

a) Lamedia,desviaciónestándarycoeficientedevariaciónb) Graficarelhistogramaypolígonodefrecuenciasyfrecuenciaacumulada.c) Probar mediante el estadístico Chi cuadrado, si la distribución de sedimentos se ajusta

a una distribución normal.d) Graficar la curva granulométrica y determinar los diámetros característicos de la

muestra de sedimentos.

Solución:

a) Para datos agrupados en tabla de distribución de frecuencias:

Tabla de distribución de frecuencias de sedimentos (mm)

Límiteinferior

LímiteSuperior

Marca deClase Di

FrecuenciaAbsoluta fi

fiDi fi(Di – Dp)2 ∑fi

0 0.2 0.1 3 0.3 0.47 3.00.2 0.4 0.3 29 8.7 1.09 32.00.4 0.6 0.5 42 21.0 0.00 74.00.6 0.8 0.7 20 14.0 0.85 94.00.8 1.0 0.9 6 5.4 0.99 100.0

Suma 100 49.4 3.40 100.0

Media:

Varianzamuestral:

Desviaciónestándar:

Coeficientedevariación:

66

0.6 0.8 0.7 20 14.0 0.85 94.00.8 1.0 0.9 6 5.4 0.99 100.0

Suma 100 49.4 3.40 100.0

Media: mm494.0100

4.49====

∑N

DfDD

k

iii

p

Varianza muestral: 034.01100

40.31

)( 2

2 =−

=−

−=∑

N

DDfS

k

iii

Desviación estándar: mm185.0034.02 === SS

Coeficiente de variación: 375.0494.0185.0

===DScv

b) Gráfico de histograma, polígono de frecuencias y frecuencia acumulada

3

29

42

20

605

1015202530354045

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

% e

n pe

so

Diámetro de partícula en mm

0 332

74

94 100

0102030405060708090

100

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

% e

n pe

so


92


b) Gráfico de histograma, polígono de frecuencias y frecuencia acumulada

3

29

42

20

605

1015202530354045

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

% e

n pe

so


0 332

74

94 100

0102030405060708090

100

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

% e

n pe

so


c) Prueba de ajuste Chi cuadrado, para una distribución normal.

Tabla de distribución de frecuencias para la prueba Chi-cuadrado

IC(mm)

MC(mm) FAO FRO Límite

Clase F(Z) FRE FAE

0.0-0.2 0.1 3 0.03 0.0 -2.600 0.0047 0.0562 5.620.2-0.4 0.3 29 0.29 0.2 -1.547 0.0609 0.2495 24.950.4-0.6 0.5 42 0.42 0.4 -0.495 0.3104 0.4011 40.110.6-0.8 0.7 20 0.20 0.6 0.558 0.7115 0.2348 23.480.8-1.0 0.9 6 0.06 0.8 1.611 0.9464 0.0498 4.98

1.0 2.663 0.9961

Suma 100 1.00 Suma 0.99 99.15

SDDZ −

=

93


N: Porcentajetotaldelamuestraenpeso100D : Diámetropromediodelaspartículas(0.494mm)S: Desviaciónestándardelaspartículas(0.185mm)IC: IntervalodeclaseyMC:MarcadeclaseFAO: FrecuenciaabsolutaobservadaFRO: FrecuenciarelativaobservadaZ: ValordeestadísticoZparacadalímitedeclaseF(Z): ProbabilidaddeencontrarvaloresmenoresoigualesaZFRE: Frecuenciarelativaesperada(diferenciaentredosvaloresconsecutivosdeF(Z))FAE: Frecuenciaabsolutaesperada(FRExN)

Ajuste por Chi-cuadrado (x²)

Para a = 0.05; (1 - a)=0.95;G.L.=5-2-1=2.Delatabla:

67



IC(mm)


Clase SDDZ −

= F(Z) FRE FAE

0.0-0.2 0.1 3 0.03 0.0 -2.600 0.0047 0.0562 5.62 0.2-0.4 0.3 29 0.29 0.2 -1.547 0.0609 0.2495 24.95 0.4-0.6 0.5 42 0.42 0.4 -0.495 0.3104 0.4011 40.11 0.6-0.8 0.7 20 0.20 0.6 0.558 0.7115 0.2348 23.48 0.8-1.0 0.9 6 0.06 0.8 1.611 0.9464 0.0498 4.98

1.0 2.663 0.9961

Suma 100 1.00 Suma 0.99 99.15

N: Porcentaje total de la muestra en peso 100D : Diámetro promedio de las partículas (0.494 mm)S: Desviación estándar de las partículas (0.185 mm)IC: Intervalo de clase y MC: Marca de claseFAO: Frecuencia absoluta observadaFRO: Frecuencia relativa observadaZ: Valor de estadístico Z para cada límite de claseF(Z): Probabilidad de encontrar valores menores o iguales a ZFRE: Frecuencia relativa esperada (diferencia entre dos valores consecutivos de F(Z))FAE: Frecuencia absoluta esperada (FRExN)

Ajuste por Chi-cuadrado (χ²)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 696.298.4

²98.46048.23

²48.232011.40

²11.404295.24

²95.242962.562.53 2

2 =−

+−

+−

+−

+−

≅cχ

Para α = 0.05; (1 - α) = 0.95; G.L. = 5-2-1=2. De la tabla: 22,95.0χ se obtiene 991.52 =tχ

Conclusión

Como 2cχ (calculado) < 2

tχ (tabular) se concluye que el conjunto de datos analizados se ajustan a una distribución normal (estadísticamente).

se obtiene 991.52 =tχ

Conclusión

Como 2cχ (calculado)< 2

tχ (tabular)seconcluyequeelconjuntodedatosanalizadosseajustanaunadistribuciónnormal(estadísticamente).

0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Frec

uenc

ia re

lativ

a


ObservadaEsperada

Frecuencia relativa observada versus frecuencia relativa esperada o Normal

67



IC(mm)


Clase SDDZ −

= F(Z) FRE FAE

0.0-0.2 0.1 3 0.03 0.0 -2.600 0.0047 0.0562 5.62 0.2-0.4 0.3 29 0.29 0.2 -1.547 0.0609 0.2495 24.95 0.4-0.6 0.5 42 0.42 0.4 -0.495 0.3104 0.4011 40.11 0.6-0.8 0.7 20 0.20 0.6 0.558 0.7115 0.2348 23.48 0.8-1.0 0.9 6 0.06 0.8 1.611 0.9464 0.0498 4.98

1.0 2.663 0.9961

Suma 100 1.00 Suma 0.99 99.15

N: Porcentaje total de la muestra en peso 100D : Diámetro promedio de las partículas (0.494 mm)S: Desviación estándar de las partículas (0.185 mm)IC: Intervalo de clase y MC: Marca de claseFAO: Frecuencia absoluta observadaFRO: Frecuencia relativa observadaZ: Valor de estadístico Z para cada límite de claseF(Z): Probabilidad de encontrar valores menores o iguales a ZFRE: Frecuencia relativa esperada (diferencia entre dos valores consecutivos de F(Z))FAE: Frecuencia absoluta esperada (FRExN)

Ajuste por Chi-cuadrado (χ²)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 696.298.4

²98.46048.23

²48.232011.40

²11.404295.24

²95.242962.562.53 2

2 =−

+−

+−

+−

+−

≅cχ

Para α = 0.05; (1 - α) = 0.95; G.L. = 5-2-1=2. De la tabla: 22,95.0χ se obtiene 991.52 =tχ

Conclusión

Como 2cχ (calculado) < 2

tχ (tabular) se concluye que el conjunto de datos analizados se ajustan a una distribución normal (estadísticamente).

94


d) Gráfica de la curva granulométrica y obtención de los diámetros característicos

0102030405060708090

100

0.1 1.0

Poce

ntaj

e qu

e Pa

sa (%

)

Diámetro de la Partícula (mm)

Datos para el gráfico de la curva granulométrica

DiámetroD (mm) % que pasa

0.10 00.20 30.40 320.60 740.80 941.00 1000.517 Media0.349 Desv. Est.

Tabla de cálculo para la media y desviación estándar geométrica

Di (mm) ∆i (%) ∆i.Di Log Di ∆i.logDi0.250 20 5.00 -0.602 -12.0410.390 20 7.80 -0.409 -8.1790.490 20 9.80 -0.310 -6.1960.580 20 11.60 -0.237 -4.7310.750 20 15.00 -0.125 -2.499suma 100 49.20 suma -33.646

95


Media aritmética

69


Media aritmética

mm49.0100

20.49100100

...........1

332211 ==∆

=∆++∆+∆+∆

= ∑=

n

i

iinnm

DDDDDD

Desviación estándar geométrica

mm46.010336.0100

646.33100

1 336.0 ==⇒−=−

=∆= −∑ giig DDLogDLog

Diámetros característicos

D16 0.30D35 0.42D40 0.45D50 0.49D60 0.53D65 0.55D84 0.68D90 0.75Dm 0.49Dg 0.46


69


Media aritmética

mm49.0100

20.49100100

...........1

332211 ==∆

=∆++∆+∆+∆

= ∑=

n

i

iinnm

DDDDDD


mm46.010336.0100

646.33100

1 336.0 ==⇒−=−

=∆= −∑ giig DDLogDLog


D16 0.30D35 0.42D40 0.45D50 0.49D60 0.53D65 0.55D84 0.68D90 0.75Dm 0.49Dg 0.46


D16 0.30D35 0.42D40 0.45D50 0.49D60 0.53D65 0.55D84 0.68D90 0.75Dm 0.49Dg 0.46

96


97


Capítulo V

iniCio de movimiento y diseño de Canales estables

5.1 Introducción

El inicio de movimiento de las partículas, que componen el lecho, ocurre cuando los esfuerzos hidrodinámicos actuantes superan los esfuerzos de resistencia. Este inicio demovimiento no es instantáneo para todas las partículas de un determinado tamañoque cubren el lecho. Solo una parte de estas partículas entran en movimiento, mientras queotrapartepermaneceen reposo.Esto sedebea lanaturaleza turbulentadelflujo,que determina la fuerza tractiva sobre la partícula. La condición Crítica de Inicio de Transporteesdefinidacomoelestadoenqueunaparterepresentativadelmaterialdellecho empieza a moverse. Esta condición es determinada a través de observaciones y tiene un carácter subjetivo.

Losesfuerzosderesistencia,almovimientodelaspartículas,dependendeltamañoylacomposicióngranulométricadelossedimentos.Lossedimentosmuyfinos,quecontienenuna cantidad apreciable de limos y arcillas, resisten al movimiento a través de esfuerzos de cohesión. La complejidad del fenómeno de cohesión entre las partículas, quizás sea el factor principal para explicar la existencia de poquísimos trabajos relativos a este tipo de material. Los sedimentos no cohesivos, constituidos por las arenas, gravas y piedras resisten al movimiento, principalmente, debido al peso de los granos. En este trabajo serán considerados solo el caso de sedimentos no cohesivos.

Existen básicamente dos tipos de enfoques del problema, que comprenden casi la totalidad delostrabajosexistentes:Elprimero,eselcriteriodeutilizacióndelavelocidadcríticayel segundo el criterio de utilización de la fuerza tractiva crítica.

98


5.2 Condición Crítica de Inicio del Movimiento

69

5 INICIO DE MOVIMIENTO Y DISEÑO DE CANALES ESTABLES

5.1 Introducción

El inicio de movimiento de las partículas, que componen el lecho, ocurre cuando los esfuerzos hidrodinámicos actuantes superan los esfuerzos de resistencia. Este inicio de movimiento no es instantáneo para todas las partículas de un determinado tamaño que cubren el lecho. Solo una parte de estas partículas entran en movimiento, mientras que otra parte permanece en reposo. Esto se debe a la naturaleza turbulenta del flujo, que determina la fuerza tractiva sobre la partícula. La condición Crítica de Inicio de Transporte es definida como el estado en que una parte representativa del material del lecho empieza a moverse. Esta condición es determinada a través de observaciones y tiene un carácter subjetivo.

Los esfuerzos de resistencia, al movimiento de las partículas, dependen del tamaño y la composición granulométrica de los sedimentos. Los sedimentos muy finos, que contienen una cantidad apreciable de limos y arcillas, resisten al movimiento a través de esfuerzos de cohesión. La complejidad del fenómeno de cohesión entre las partículas, quizás sea el factor principal para explicar la existencia de poquísimos trabajos relativos a este tipo de material. Los sedimentos no cohesivos, constituidos por las arenas, gravas y piedras resisten al movimiento, principalmente, debido al peso de los granos. En este trabajo seránconsiderados solo el caso de sedimentos no cohesivos.

Existen básicamente dos tipos de enfoques del problema, que comprenden casi la totalidad de los trabajos existentes: El primero, es el criterio de utilización de la velocidad crítica y el segundo el criterio de utilización de la fuerza tractiva crítica.

5.2 Condición Crítica de Inicio del Movimiento

Figura 5.1: Flujo Alrededor de una Partícula en Reposo

Cuando la fuerza hidrodinámica actuante sobre la partícula de sedimento, alcanza un valor tal que la partícula se mueva; se dice que se ha alcanzado la condición crítica de inicio del movimiento. Las fuerzas actuantes sobre la partícula que se encuentran en el fondo del río son: el peso sumergido de la partícula, la fuerza de sustentación y la fuerza de arrastre. Usualmente la fuerza de sustentación no aparece explícitamente en el análisis teórico,

a1

a2

C

G

Fg

FD

φθ

θ

a) Flujo Laminar

a1

C

G

Fg

FD

φθ

θ

b) Flujo Turbulento

FL

Figura 5.1: Flujo Alrededor de una Partícula en Reposo

Cuando la fuerza hidrodinámica actuante sobre la partícula de sedimento, alcanza un valor tal que la partícula se mueva; se dice que se ha alcanzado la condición crítica de inicio del movimiento. Las fuerzas actuantes sobre la partícula que se encuentran en el fondo del ríoson:elpesosumergidodelapartícula,lafuerzadesustentaciónylafuerzadearrastre.Usualmente la fuerza de sustentación no aparece explícitamente en el análisis teórico, porque la sustentación depende de las mismas variables que el arrastre y las constantes en las ecuaciones teóricas resultantes son determinados empíricamente. Las Figuras 5.1a y 5.1b muestran las fuerzas actuante sobre una partícula de sedimento sumergida para el casodeflujolaminaryturbulentorespectivamente.

70

porque la sustentación depende de las mismas variables que el arrastre y las constantes en las ecuaciones teóricas resultantes son determinados empíricamente. Las Figuras 5.1a y 5.1b muestran las fuerzas actuante sobre una partícula de sedimento sumergida para el caso de flujo laminar y turbulento respectivamente.

F C DD o= τ 22 fuerza de arrastre

( )F C Dg s= −13 γ γ fuerza de gravedad (Flujo Laminar)

F C Dg s= 13γ fuerza de gravedad (Flujo Turbulento)

F C C DU

L L= 32

2

2ρ fuerza de sustentación

En la Figura 5.1 y en las ecuaciones anteriores: θ es la pendiente del canal, φ el ángulo de reposo del material, C1 el coeficiente de uniformidad del material e igual a π/6 para partículas esféricas; C2 y C3 coeficientes de forma y D el diámetro característico de la partícula.

a) Análisis para Flujo Laminar: Cuando el flujo es laminar, el efecto viscoso predomina y el flujo bordea la partícula y la resultante de la fuerza de arrastre actúa por encima del punto C. White, [24], en 1940 estudió el equilibrio de una partícula en flujo laminar y determinó la siguiente ecuación para definir el esfuerzo de corte crítico:

( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)

Tomando momentos con respecto al punto G de la Figura 5.1a, se obtiene:

( )C D a sen C D as o13

1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)

Para una condición crítica: τo = τc; entonces la ecuación (5.2) se transforma en:

( )( )τ γ γ φ θ θc s

C aC a

D= − −1 1

2 2tan tan cos (5.3)

Desde el punto de vista de ingeniería θ es muy pequeño por lo que: tanθ ≅ 0 y cosθ ≅ 1:

( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)

De la ecuación (5.1) se obtiene que: C aC a

k1 1

2 20 18= = ,

b) Análisis para Flujo Turbulento: De la Figura 5.1b, se puede ver que a1 = a2, por lo que

kCC

= 1

2y la ecuación (5.4) se transforma en:

( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

fuerza de arrastre

fuerzadegravedad(FlujoLaminar)

fuerzadegravedad(FlujoTurbulento)

fuerza de sustentación

EnlaFigura5.1yenlasecuacionesanteriores:θ eslapendientedelcanal,ϕelángulode reposo del material, C1 elcoeficientedeuniformidaddelmaterialeigualap/6para

99


partículas esféricas; C2 y C3 coeficientesdeformayD el diámetro característico de la partícula.

a) Análisis para Flujo Laminar:Cuandoelflujoeslaminar,elefectoviscosopredominayelflujobordealapartículaylaresultantedelafuerzadearrastreactúaporencimadelpunto C. White,[24],en1940estudióelequilibriodeunapartículaenflujolaminarydeterminólasiguienteecuaciónparadefinirelesfuerzodecortecrítico:

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

(5.1)

TomandomomentosconrespectoalpuntoGdelaFigura5.1a,seobtiene:

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

(5.2)

Paraunacondicióncrítica:τo = τc;entonceslaecuación(5.2)setransformaen:

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

(5.3)

Desde el punto de vista de ingeniería

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

esmuypequeñoporloque:tan

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

@ 0 y cos

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

@1:

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

(5.4)

Delaecuación(5.1)seobtieneque:

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

b) Análisis para Flujo Turbulento: De la Figura 5.1b, se puede ver que a1 = a2, por lo

que

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5)

ylaecuación(5.4)setransformaen:

70





F C C DU

L L= 32

2




( )τ γ γ φc sD= −018. tan (5.1)



1 22

2γ γ φ θ τ φ− − =. ( ) .cos (5.2)



C aC a

D= − −1 1



( )τ γ γ φc s

C aC a

D= −1 1

2 2tan (5.4)


k1 1

2 20 18= = ,


kCC

= 1


( )τγ γ

φc

sDk

−= . tan (5.5) (5.5)

Elprimermiembrodelaecuación(5.5)esunadimensionalquerelacionalafuerzadearrastreylafuerzagravitacionalyesmuyusadoenladefinicióndeiniciodelmovimientode la partícula.

100


5.3 Análisis de Shields Shields,[3],fueelprimeroenestudiareliniciodelmovimientodelapartículaconsiderandolas fuerzas que actúan sobre ella y aplicando los principios de similitud. Este análisis se presentaendetalleacontinuación:

La fuerza, F, requerida para mover una partícula de tamaño D y de específico

71

El primer miembro de la ecuación (5.5) es un adimensional que relaciona la fuerza de arrastre y la fuerza gravitacional y es muy usado en la definición de inicio del movimiento de la partícula.

5.3 Análisis de Shields

Shields, [3], fue el primero en estudiar el inicio del movimiento de la partícula considerandolas fuerzas que actúan sobre ella y aplicando los principios de similitud. Este análisis se presenta en detalle a continuación:

La fuerza, F, requerida para mover una partícula de tamaño D y de específico γS

desplazado dentro de un fluido de peso específico γ es: ( )F C Ds= −13γ γ ; donde C1 es un

coeficiente que depende solo de las características del sedimento como forma de la partícula. De manera similar, la fuerza hidrodinámica ejercida por el fluido sobre la partícula es:

F Cu

C DDa

1

2

22

2= ρ ; donde ua es la velocidad característica, CD es el coeficiente de arrastre

de la partícula al número de Reynolds correspondiente a ua , y C2 es un coeficiente tal que C2D2 da el área proyectada de la partícula. La velocidad característica ua puede ser tomado como la velocidad en el tope de la partícula, ud. Empleando la ecuación de Karman-Prandtl

para la distribución de velocidad, ud puede ser expresado como:

=νDuf

uud *

1*

, donde u*

es la velocidad de corte dada por τρ

o . Como

=ν

DufC d

D 2 puede asumirse que

=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe

** = , F1 puede ser expresado como:

( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *

ρIgualando F y F1 para una condición de movimiento

incipiente e introduciendo la letra “c” para denotar la condición crítica, se obtiene:

( ) ( ) ( )C D f R u f R C Ds e c c e c13

32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce

** = y u c* la velocidad de corte para un movimiento incipiente. Así para partículas

de una forma dada, la condición crítica de movimiento incipiente es: ( ) ( )τγ γ

c

se cD

f R−

= * .

La Figura 5.2 muestra la variación de ( )τ

γ γc

s D−con Re c* , obtenido por Shields basado en

datos experimentales. La correlación obtenida en la Figura 5.2 es significativa y se puede afirmar que Re*c es proporcional a la relación entre el tamaño de la partícula y el espesor de la subcapa límite laminar: D/δ’. De esta forma el gráfico representado por la Figura 5.2 es similar al gráfico del factor de fricción para tuberías en la zona de transición. La porción delínea recta del lado izquierdo del gráfico representa el caso donde δ’>>D, y la partícula esta sumergida completamente en la subcapa laminar. Cuando el espesor de la subcapa laminar es del mismo orden de magnitud que D, la turbulencia disturba la subcapa laminar y afecta el flujo alrededor de la partícula. La depresión en la curva de la Figura 5.2 para

S desplazadodentrodeunfluidodepesoespecífico

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



es:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



; donde C1 esuncoeficientequedependesolodelascaracterísticasdelsedimentocomoformadelapartícula.Demanerasimilar,lafuerzahidrodinámicaejercidaporelfluidosobrelapartículaes:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



; donde ua es la velocidad característica, CDeselcoeficientede

arrastre de la partícula al número de Reynolds correspondiente a ua , y C2esuncoeficiente

tal que C2D2

da el área proyectada de la partícula. La velocidad característica ua puede

ser tomado como la velocidad en el tope de la partícula, ud. Empleando la ecuación

de Karman-Prandtl para la distribución de velocidad, ud puede ser expresado como:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



, donde u* es la velocidad de corte dada por

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



. Como

puede asumirse que

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



. Denotando

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



, F1 puede ser expresado

como:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



Igualando F y F1 para una condición de movimiento

incipienteeintroduciendolaletra“c”paradenotarlacondicióncrítica,seobtiene:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



de donde:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



siendo:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



la velocidad de corte para un movimiento incipiente. Así para partículas

de una forma dada, la condicióncríticademovimientoincipientees:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



. La Figura 5.2 muestra la variación de

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



, obtenido por Shields basado endatosexperimentales.Lacorrelaciónobtenidaen laFigura5.2essignificativaysepuedeafirmarqueRe*cesproporcionalalarelaciónentreeltamañodelapartículayelespesordelasubcapalímitelaminar:

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



.DeestaformaelgráficorepresentadoporlaFigura5.2essimilaralgráficodelfactordefricciónparatuberíasenlazonadetransición.Laporcióndelínearectadelladoizquierdodelgráficorepresentaelcasodonde

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



y la partícula esta sumergida completamente en la subcapa laminar. Cuando el espesor de la subcapa laminar es del mismo orden de magnitud que D, la turbulencia disturba la subcapalaminaryafectaelflujoalrededordelapartícula.LadepresiónenlacurvadelaFigura 5.2 para 0.25<Re*c<40 representa este caso. Cuando

72

0.25<Re*c<40 representa este caso. Cuando δ’<<D, la subcapa laminar es destruida y

( )Ds

c

γγτ−

para el movimiento incipiente llega a ser independiente de D/δ’. Así para

materiales muy gruesos en el movimiento incipiente se da: ( ) 06.0=− Ds

c

γγτ

.

Figura 5.2: Diagrama de Shields para movimiento incipienteFuente: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988

El esfuerzo de corte crítico puede estimarse a partir de las siguientes ecuaciones:

Para: 500* <νDu

( ) 9383.0log9344.0log2579.0log1631.0log054.0log *2

*3

*4

* −

−

+

+

−=

− ννννγγτ DuDuDuDu

Ds

c (5.6a)

Para: ( ) 06.0500* =−

⇒≥D

Du

s

c

γγτ

ν(5.6b)

, la subcapa laminar es

71







F Cu

C DDa

1

2

22




=νDuf

uud *

1*

, donde u*


o . Como

=ν

DufC d


=νDufCD

*3 . Denotando

νDuRe


( ) ( )F f R u f R C De e1 32

12

22

2= * * *




32

12

22

2γ γ

ρ− = * * * de donde: ( ) ( )ρ

γ γu

DC

Cf Rc

se c

**

21

2

2−

= siendo:

νDu

R cce



c

se cD

f R−

= * .


γ γc



101


destruida y

72


( )Ds

c

γγτ−



c

γγτ

.



Para: 500* <νDu


*3

*4

* −

−

+

+

−=


Ds

c (5.6a)

Para: ( ) 06.0500* =−

⇒≥D

Du

s

c

γγτ

ν(5.6b)

para el movimiento incipiente llega a ser independiente de

72


( )Ds

c

γγτ−



c

γγτ

.



Para: 500* <νDu


*3

*4

* −

−

+

+

−=


Ds

c (5.6a)

Para: ( ) 06.0500* =−

⇒≥D

Du

s

c

γγτ

ν(5.6b)

.Asíparamaterialesmuygruesosenelmovimientoincipienteseda:

72


( )Ds

c

γγτ−



c

γγτ

.



Para: 500* <νDu


*3

*4

* −

−

+

+

−=


Ds

c (5.6a)

Para: ( ) 06.0500* =−

⇒≥D

Du

s

c

γγτ

ν(5.6b)

72


( )Ds

c

γγτ−



c

γγτ

.



Para: 500* <νDu


*3

*4

* −

−

+

+

−=


Ds

c (5.6a)

Para: ( ) 06.0500* =−

⇒≥D

Du

s

c

γγτ

ν(5.6b)


Elesfuerzodecortecríticopuedeestimarseapartirdelassiguientesecuaciones:

Para: 500* <νDu


*3

*4

* −

−

+

+

−=


Ds

c (5.6a)

Para:

72


( )Ds

c

γγτ−



c

γγτ

.



Para: 500* <νDu


*3

*4

* −

−

+

+

−=


Ds

c (5.6a)

Para: ( ) 06.0500* =−

⇒≥D

Du

s

c

γγτ

ν(5.6b) (5.6b)

102


5.4 Estabilidad de una Partícula en la Pared del Canal

Figura 5.3: Fuerzas sobre la partícula de sedimento en el talud del canal(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

Lafuerzatractivaylavelocidaddecorte,estándadospor:

73



La fuerza tractiva y la velocidad de corte, están dados por:

2*u

gRS

==

γγτ (5.7)

gRSu ==ρτ

* (5.8)

El criterio del inicio del movimiento lo establecen u* y τ. Haciendo referencia a la figura 5.3podemos calcular la relación entre los esfuerzos de corte en los lados y el fondo del canal:

( )22 sentancos θφθ WFW D +=× , de donde se desprende, que:

2222 sentancos lss a τθγφθγ ×+×=××

Resolviendo convenientemente la ecuación podemos despejar para τl:

−

××=

φθφθγ

τ 2

2

tantan1

tancosa

sl

(5.7)

(5.8)

El criterio del inicio del movimiento lo establecen u* y t.Haciendoreferenciaalafigura5.3 podemos calcular la relación entre los esfuerzos de corte en los lados y el fondo del canal:

73




2*u

gRS

==

γγτ (5.7)

gRSu ==ρτ

* (5.8)





−

××=

φθφθγ

τ 2

2

tantan1

tancosa

sl

,dedondesedesprende,que:

73




2*u

gRS

==

γγτ (5.7)

gRSu ==ρτ

* (5.8)





−

××=

φθφθγ

τ 2

2

tantan1

tancosa

sl

103


Resolviendo convenientemente la ecuación podemos despejar para tl:

73




2*u

gRS

==

γγτ (5.7)

gRSu ==ρτ

* (5.8)





−

××=

φθφθγ

τ 2

2

tantan1

tancosa

sl

Cuandoθ=0tenemoselcasodesuperficieaniveldelfondodelcanal:

74

Cuando θ=0 tenemos el caso de superficie a nivel del fondo del canal:( )

as

fφγ

τtan×

=

φθ

φθθ

ττ

2

2

2

2

sensen1

tantan1cos −=−==

f

lK (5.9)

Esta relación es solo función de la inclinación de las paredes del canal y del ángulo de fricción interna del material. En las expresiones anteriores podemos identificar las siguientes variables:

lfl y ττ : fuerza tractiva en el lado y el fondo del canal en kg/m²

sy γγ : pesos específicos del agua y del sedimento en kg/m3

θ y ϕ: ángulo de inclinación de la pared del canal y ángulo de reposo del materialR y S: radio hidráulico y pendiente de la línea de energíaK: relación entre los esfuerzos de corte del lado y del fondo del canal

5.5 Criterio de la Velocidad Permisible

En el diseño de canales estables es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

• La base (b) es función del caudal. El mínimo es que permita el trabajo de excavación a máquina o a mano.

• La Relación b/y recomendables también es función del caudal. Así para caudales pequeños esta relación puede estar comprendida entre 2.5 y 4.

• Las pendientes de canales de tierra deben variar entre 0.0005 para suelos sueltos hasta 0.005 para suelos arcillosos.

• Los taludes pueden variar desde 3 en suelos muy sueltos hasta taludes verticales enronas rocosas.

• Las proyundidades mínimas y máximas deben permitir trabajos de mantenimiento y el control de algas.

• El bordo libre en canales de tierra, dependiendo de su magnitud, pueden variar desde 15 cm hasta 100 cm.

Este criterio considera que el movimiento ocurre debido a la acción del impacto del flujo sobre la partícula. La velocidad de referencia, que puede ser una velocidad en las proximidades del lecho, o velocidad media, es relacionada con el diámetro de la partícula. Las primeras observaciones de la condición de velocidad crítica para el inicio de movimiento fueron hechas por DuBuat, [24] en 1786 y otro ejemplo clásico es el trabajo de Fortier y Scobey, [24], (1926), que fijaron las velocidades permisibles en canales que fueron usados en diseño de canales por muchos años. El trabajo de Hjulstrom, [19], (1935), luego de un análisis extenso de datos obtenidos por diversos autores, dio como resultado una relación entre la velocidad media del flujo en el inicio del movimiento y el tamaño de los sedimentos, representada por la Figura 5.4. Las curvas fueron determinadas para flujos con profundidad mínima de 1.0 m.

La crítica a este método es que la velocidad no es suficiente para proveer informaciones sobre el inicio de movimiento de las partículas. Se sabe que dos flujos con la misma fuerza tractiva en el fondo, granulometrías idénticas y las mismas distribuciones de velocidades, pueden tener velocidades medias diferentes si las profundidades fuesen diferentes. Por

74

Cuando θ=0 tenemos el caso de superficie a nivel del fondo del canal:( )

as

fφγ

τtan×

=

φθ

φθθ

ττ

2

2

2

2

sensen1

tantan1cos −=−==

f

lK (5.9)

Esta relación es solo función de la inclinación de las paredes del canal y del ángulo de fricción interna del material. En las expresiones anteriores podemos identificar las siguientes variables:

lfl y ττ : fuerza tractiva en el lado y el fondo del canal en kg/m²

sy γγ : pesos específicos del agua y del sedimento en kg/m3

θ y ϕ: ángulo de inclinación de la pared del canal y ángulo de reposo del materialR y S: radio hidráulico y pendiente de la línea de energíaK: relación entre los esfuerzos de corte del lado y del fondo del canal


En el diseño de canales estables es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

• La base (b) es función del caudal. El mínimo es que permita el trabajo de excavación a máquina o a mano.

• La Relación b/y recomendables también es función del caudal. Así para caudales pequeños esta relación puede estar comprendida entre 2.5 y 4.


• Los taludes pueden variar desde 3 en suelos muy sueltos hasta taludes verticales enronas rocosas.



Este criterio considera que el movimiento ocurre debido a la acción del impacto del flujo sobre la partícula. La velocidad de referencia, que puede ser una velocidad en las proximidades del lecho, o velocidad media, es relacionada con el diámetro de la partícula. Las primeras observaciones de la condición de velocidad crítica para el inicio de movimiento fueron hechas por DuBuat, [24] en 1786 y otro ejemplo clásico es el trabajo de Fortier y Scobey, [24], (1926), que fijaron las velocidades permisibles en canales que fueron usados en diseño de canales por muchos años. El trabajo de Hjulstrom, [19], (1935), luego de un análisis extenso de datos obtenidos por diversos autores, dio como resultado una relación entre la velocidad media del flujo en el inicio del movimiento y el tamaño de los sedimentos, representada por la Figura 5.4. Las curvas fueron determinadas para flujos con profundidad mínima de 1.0 m.

La crítica a este método es que la velocidad no es suficiente para proveer informaciones sobre el inicio de movimiento de las partículas. Se sabe que dos flujos con la misma fuerza tractiva en el fondo, granulometrías idénticas y las mismas distribuciones de velocidades, pueden tener velocidades medias diferentes si las profundidades fuesen diferentes. Por

(5.9)

Esta relación es solo función de la inclinación de las paredes del canal y del ángulo de fricción interna delmaterial.En las expresiones anteriores podemos identificar lassiguientesvariables:τlyτf:fuerzatractivaenelladoyelfondodelcanalenkg/m²

sy γγ :pesosespecíficosdelaguaydelsedimentoenkg/m3

θyϕ:ángulodeinclinacióndelapareddelcanalyángulodereposodelmaterialRyS:radiohidráulicoypendientedelalíneadeenergíaK:relaciónentrelosesfuerzosdecortedelladoydelfondodelcanal


Eneldiseñodecanalesestablesesnecesariotenerencuentalassiguientesconsideraciones:

• Labase(b)esfuncióndelcaudal.Elmínimoesquepermitaeltrabajodeexcavacióna máquina o a mano.

• LaRelaciónb/y recomendables tambiénes funcióndel caudal.Asípara caudalespequeñosestarelaciónpuedeestarcomprendidaentre2.5y4.


• Los taludes pueden variar desde 3 en suelos muy sueltos hasta taludes verticales en ronas rocosas.



Este criterio considera que el movimiento ocurre debido a la acción del impacto del flujosobrelapartícula.Lavelocidaddereferencia,quepuedeserunavelocidadenlasproximidades del lecho, o velocidad media, es relacionada con el diámetro de la partícula. Las primeras observaciones de la condición de velocidad crítica para el inicio de movimientofueronhechasporDuBuat,[24]en1786yotroejemploclásicoeseltrabajode Fortier y Scobey, [24], (1926), que fijaron las velocidades permisibles en canalesquefueronusadosendiseñodecanalespormuchosaños.EltrabajodeHjulstrom,[19],(1935),luegodeunanálisisextensodedatosobtenidospordiversosautores,diocomo

104


resultadounarelaciónentrelavelocidadmediadelflujoeneliniciodelmovimientoyeltamañodelossedimentos,representadaporlaFigura5.4.Lascurvasfuerondeterminadasparaflujosconprofundidadmínimade1.0m.

Lacríticaaestemétodoesquelavelocidadnoessuficienteparaproveerinformacionessobreeliniciodemovimientodelaspartículas.Sesabequedosflujosconlamismafuerzatractiva en el fondo, granulometrías idénticas y las mismas distribuciones de velocidades, pueden tener velocidades medias diferentes si las profundidades fuesen diferentes. Por esta razón, es recomendable que se emplee el criterio del esfuerzo crítico de corte siempre que sea posible.

75

esta razón, es recomendable que se emplee el criterio del esfuerzo crítico de corte siempre que sea posible.

Figura 5.4: Criterio de Erosión y Deposición [Hjulstrom 1935]Modificado de: Soil Erosion; Morgan 1979

Tabla 5.1: Velocidades Máximas Permisibles Propuestas por Fortier y Scoby (1926)

Tipo de Material Coeficiente nde Manning

Agua Clara (m/s)

Agua con limo coloidal (m/s)

Agua con limo, arena y grava (m/s)

arena fina coloidal 0,020 0,46 0,76 0,46greda arenosa no coloidal 0,020 0,53 0,76 0,61Greda limoso no coloidal 0,020 0,61 0,91 0,61limo aluvial 0,020 0,61 1,07 0,61greda firme 0,020 0,76 1,07 0,69ceniza volcánica 0,020 0,76 1,07 0,61grava fina 0,020 0,76 1,52 1,14arcilla dura coloidal 0,025 1,14 1,52 0,91greda graduada a guijarro 0,030 1,14 1,52 1,52limo aluvial coloidal 0,025 1,14 1,52 0,91limo graduada a guijarro 0,030 1,22 1,68 1,52grava gruesa 0,025 1,22 1,83 1,98guijarro y ripio 0,035 1,52 1,68 1,98capas duras 0,025 1,83 1,83 1,52

5.6 Criterio de la Fuerza Tractiva Crítica

El raciocinio de este enfoque es que el esfuerzo de corte ejercido por el flujo sobre el lecho, es el principal responsable por el inicio del movimiento.



105



Agua Clara (m/s)


Agua con limo,

arena y grava (m/s)

arenafinacoloidal 0,020 0,46 0,76 0,46greda arenosa no coloidal 0,020 0,53 0,76 0,61

Greda limoso no coloidal 0,020 0,61 0,91 0,61

limo aluvial 0,020 0,61 1,07 0,61

gredafirme 0,020 0,76 1,07 0,69

ceniza volcánica 0,020 0,76 1,07 0,61

gravafina 0,020 0,76 1,52 1,14arcilla dura coloidal 0,025 1,14 1,52 0,91

greda graduada a guijarro 0,030 1,14 1,52 1,52

limo aluvial coloidal 0,025 1,14 1,52 0,91

limo graduada a guijarro 0,030 1,22 1,68 1,52

grava gruesa 0,025 1,22 1,83 1,98

guijarro y ripio 0,035 1,52 1,68 1,98

capas duras 0,025 1,83 1,83 1,52


Elraciociniodeesteenfoqueesqueelesfuerzodecorteejercidoporelflujosobreellecho, es el principal responsable por el inicio del movimiento.

75

esta razón, es recomendable que se emplee el criterio del esfuerzo crítico de corte siempre que sea posible.




Agua Clara (m/s)


Agua con limo, arena y grava (m/s)

arena fina coloidal 0,020 0,46 0,76 0,46greda arenosa no coloidal 0,020 0,53 0,76 0,61Greda limoso no coloidal 0,020 0,61 0,91 0,61limo aluvial 0,020 0,61 1,07 0,61greda firme 0,020 0,76 1,07 0,69ceniza volcánica 0,020 0,76 1,07 0,61grava fina 0,020 0,76 1,52 1,14arcilla dura coloidal 0,025 1,14 1,52 0,91greda graduada a guijarro 0,030 1,14 1,52 1,52limo aluvial coloidal 0,025 1,14 1,52 0,91limo graduada a guijarro 0,030 1,22 1,68 1,52grava gruesa 0,025 1,22 1,83 1,98guijarro y ripio 0,035 1,52 1,68 1,98capas duras 0,025 1,83 1,83 1,52


El raciocinio de este enfoque es que el esfuerzo de corte ejercido por el flujo sobre el lecho, es el principal responsable por el inicio del movimiento.

Figura 5.5: Distribución del esfuerzo cortante en la sección de canal(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

106


Figura 5.6: Esfuerzo de corte máximo en el fondo del canal(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

Figura 5.7: Esfuerzo de corte máximo en los lados del canal(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

107


5.7 Ecuaciones empíricas para el cálculo del esfuerzo de corte crítico

a) Ecuación de Kramer:

Obtenida en canales experimentales de 14 m de longitud, 0.81 m de ancho y 0.30 m de profundidadusandopartículasdecuarzodedensidadrelativade2.70:

76

Figura 5.5: Distribución del esfuerzo cortante en la sección de canal(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

Figura 5.6: Esfuerzo de corte máximo en el fondo del canal(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

Figura 5.7: Esfuerzo de corte máximo en los lados del canal(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

5.7 Ecuaciones empíricas para el cálculo del esfuerzo de corte crítico

a) Ecuación de Kramer:

Obtenida en canales experimentales de 14 m de longitud, 0.81 m de ancho y 0.30 m de profundidad usando partículas de cuarzo de densidad relativa de 2.70:

( )τ γ γc s

DM

= −−10

6

4

(5.10) (5.10)

tc:FuerzatractivacríticaenN/m2

γS :PesoespecíficodelsedimentoenN/m3

γ:PesoespecíficodelaguaenN/m3

D:Diámetromedioenmm.(Debedevariarentre0.24mmy6.52mm.)M:CoeficientedeuniformidaddeKramer.(Debevariarentre0.265y1.0)

b) Ecuación de USWES: LaUnitedStatesWaterwaysExperimentalStation,proponelasiguienteecuación:

77

τc : Fuerza tractiva crítica en N/m2

γS : Peso específico del sedimento en N/m3

γ : Peso específico del agua en N/m3

D : Diámetro medio en mm. (Debe de variar entre 0.24 mm y 6.52 mm.)M : Coeficiente de uniformidad de Kramer. (Debe variar entre 0.265 y1.0)

b) Ecuación de USWES:

La United States Waterways Experimental Station, propone la siguiente ecuación:

τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)


ρS : Densidad del sedimento en Kg/m3

ρ : Densidad del agua en Kg/m3

D : Diámetro medio en mm. (Debe de variar entre 0.205 mm y 4.077 mm.)M : Coeficiente de uniformidad de Kramer. (Debe variar entre 0.28 y 0.643)

c) Ecuación de Chang:

CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.


ρS : Densidad del sedimento en Kg/m3 . (varía entre 2050 y 3890)ρ : Densidad del agua en Kg/m3


d) Ecuación de Krey:

τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)


ρs : Densidad del sedimento en Kg/m3 ρ : Densidad del agua en Kg/m3

D : Diámetro medio en mm.

e) Ecuación de Indri:

Cuando D entonces DMc

s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ


ρS : Densidad del sedimento en Kg/m3 ρ : Densidad del agua en Kg/m3


(5.11)


ρS :DensidaddelsedimentoenKg/m3

ρ :DensidaddelaguaenKg/m3

D:Diámetromedioenmm.(Debedevariarentre0.205mmy4.077mm.)M:CoeficientedeuniformidaddeKramer.(Debevariarentre0.28y0.643)


77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ




(5.12)


ρS :DensidaddelsedimentoenKg/m3.(varíaentre2050y3890)

ρ :DensidaddelaguaenKg/m3

D:Diámetromedioenmm.(Debedevariarentre0.134mmy8.09mm.)

108


M:CoeficientedeuniformidaddeKramer.(Debevariarentre0.23y1.0)


77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ




(5.13)


77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ



D : Diámetro medio en mm.s :DensidaddelsedimentoenKg/m

3

77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ



D : Diámetro medio en mm. :DensidaddelaguaenKg/m3

D:Diámetromedioenmm.


77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ




(5.14)


77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ



D : Diámetro medio en mm.S :DensidaddelsedimentoenKg/m

3

77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ



D : Diámetro medio en mm. :DensidaddelaguaenKg/m3

D:Diámetromedioenmm.M:CoeficientedeuniformidaddeKramer.

f) Ecuación de Schoklitsch:

78

M : Coeficiente de uniformidad de Kramer.


( )τ γ γ γ ηc s s D= −0 201 3. (5.15)


γS : Peso específico del sedimento en N/m3 γ : Peso específico del agua en N/m3

D : Diámetro medio en m.η : Coeficiente que depende de la forma de la partícula. (Varían entre 1.0 y 4.4)

g) Gráfico de Lane:

Otro trabajo interesante, fue desarrollado por Lane, [22], (1953), que empleó un número considerable de datos de campo generando el diagrama de la Figura 5.8. Este trabajo tiene como mérito, el hecho de abarcar un amplio campo de tamaños de sedimentos y considerar el material transportado en suspensión.

Figura 5.8: Fuerza Tractiva Crítica [Lane, 1953]Modificado de: Sediment Transport Technology; Simons and Senturk, 1976

Ejemplo 5.1:

Un canal de tierra será excavado en tierra de material uniforme con D = 2 mm y ρs = 2650 kg/m3. El canal tendrá una pendiente S = 0.0005 y una profundidad de h = 2 m. Es el lecho del canal estable?.

Solución:

2f

223 /mkg1N/m81.90005.0m2m/s81.9kg/m1000 ==×××=== hSghS γρτ

(5.15)

tc :FuerzatractivacríticaenN/m2

78



( )τ γ γ γ ηc s s D= −0 201 3. (5.15)







Ejemplo 5.1:


Solución:

2f


S :PesoespecíficodelsedimentoenN/m3

78



( )τ γ γ γ ηc s s D= −0 201 3. (5.15)







Ejemplo 5.1:


Solución:

2f


:PesoespecíficodelaguaenN/m3

D:Diámetromedioenm.h:Coeficientequedependedelaformadelapartícula.(Varíanentre1.0y4.4)

g) Gráfico de Lane: Otrotrabajointeresante,fuedesarrolladoporLane,[22],(1953),queempleóunnúmeroconsiderable de datos de campo generando el diagrama de la Figura 5.8. Este trabajo tienecomomérito,elhechodeabarcarunampliocampodetamañosdesedimentosyconsiderar el material transportado en suspensión.

77







τρ ρρc

s DM

=−

0 285

12

. (5.11)






CuandoDM

entoncesDM

sc

s> 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 216

12

.

(5.12)

CuandoDM

entoncesDM

sc

s< 2.0ρ ρρ

τρ ρρ

−

=

−

0 304

12

.





τρ ρρc

s D=−

0 754. (5.13)






s mm;< =−

+10 0130

1012. . .τ

ρ ρρ

(5.14)

Cuando D entoncesMc

s mm;> =−

−10 0538

10 73. . .τ

ρ ρρ




109


78



( )τ γ γ γ ηc s s D= −0 201 3. (5.15)







Ejemplo 5.1:


Solución:

2f



Ejemplo 5.1:

UncanaldetierraseráexcavadoentierradematerialuniformeconD=2mmyρs = 2650 kg/m3.ElcanaltendráunapendienteS=0.0005yunaprofundidaddeh=2m.Esellecho del canal estable?.

Solución:

78



( )τ γ γ γ ηc s s D= −0 201 3. (5.15)







Ejemplo 5.1:


Solución:

2f


110


79

m/s099.0kg/m1000N/m81.9

3

2

* ==== ghSUρτ

200198/sm10

0.002mm/s099.026

** ≅=

×== −ν

DUR

303.0m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650(

9.81N/m)()( 233

2

* =××−

=−

=−

=DgD ss γγ

τρρττ

Del Diagrama de Shields se observa que la intersección del Número de Reynolds con el esfuerzo de corte adimensional cae en la zona de movimiento (por encima de la curva crítica). Por lo tanto el canal será no estable.

A fin de diseñar el canal estable; debemos interceptar, en el diagrama de Shields la curva crítica con el número de Reynolds. Así para un Reylnolds de 200 se tiene un esfuerzo de corte adimensional de 0.052. De este modo:

2233* N/m68.1052.0

m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

que correspondería a un valor de m34.00005.0m/s81.9kg/m1000

N/m68.123

2

=××

==gS

h c

ρτ

Ejemplo 5.2:

Un canal ancho de tierra es excavado en tierra de material uniforme con D = 3 mm y ρs =2650 kg/m3. Si la pendiente del canal es S = 0.0005; calcular el caudal permisible.

Solución:

Asumiendo un valor de 0.06 para el esfuerzo de corte adimensional crítico:

2233* N/m91.206.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s054.0kg/m1000N/m91.2

3

2

* ===ρτU

165162/sm10

0.003mm/s054.026

** ≅=

×== −ν

DUR



Del Diagrama de Shields se observa que la intersección del Número de Reynolds con el esfuerzo de corte adimensional cae en la zona de movimiento (por encima de la curva crítica).Porlotantoelcanalseráno estable.

Afindediseñarelcanalestable;debemosinterceptar,eneldiagramadeShieldslacurvacrítica con el número de Reynolds. Así para un Reylnolds de 200 se tiene un esfuerzo de corteadimensionalde0.052.Deestemodo:

79

m/s099.0kg/m1000N/m81.9

3

2

* ==== ghSUρτ

200198/sm10

0.002mm/s099.026

** ≅=

×== −ν

DUR

303.0m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650(

9.81N/m)()( 233

2

* =××−

=−

=−

=DgD ss γγ

τρρττ



2233* N/m68.1052.0

m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ


N/m68.123

2

=××

==gS

h c

ρτ

Ejemplo 5.2:


Solución:


2233* N/m91.206.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s054.0kg/m1000N/m91.2

3

2

* ===ρτU

165162/sm10

0.003mm/s054.026

** ≅=

×== −ν

DUR



que correspondería a un valor de

79

m/s099.0kg/m1000N/m81.9

3

2

* ==== ghSUρτ

200198/sm10

0.002mm/s099.026

** ≅=

×== −ν

DUR

303.0m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650(

9.81N/m)()( 233

2

* =××−

=−

=−

=DgD ss γγ

τρρττ



2233* N/m68.1052.0

m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ


N/m68.123

2

=××

==gS

h c

ρτ

Ejemplo 5.2:


Solución:


2233* N/m91.206.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s054.0kg/m1000N/m91.2

3

2

* ===ρτU

165162/sm10

0.003mm/s054.026

** ≅=

×== −ν

DUR



Ejemplo 5.2:

UncanalanchodetierraesexcavadoentierradematerialuniformeconD=3mmyρs = 2650kg/m3.SilapendientedelcanalesS=0.0005;calcularelcaudalpermisible.

Solución:

Asumiendounvalorde0.06paraelesfuerzodecorteadimensionalcrítico:

79

m/s099.0kg/m1000N/m81.9

3

2

* ==== ghSUρτ

200198/sm10

0.002mm/s099.026

** ≅=

×== −ν

DUR

303.0m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650(

9.81N/m)()( 233

2

* =××−

=−

=−

=DgD ss γγ

τρρττ



2233* N/m68.1052.0

m002.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ


N/m68.123

2

=××

==gS

h c

ρτ

Ejemplo 5.2:


Solución:


2233* N/m91.206.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s054.0kg/m1000N/m91.2

3

2

* ===ρτU

165162/sm10

0.003mm/s054.026

** ≅=

×== −ν

DUR



111


Del Diagrama de Shields se observa que la intersección del Número de Reynolds con el esfuerzo de corte adimensional cae en la zona de movimiento (por encima de la curva crítica).Porlotantoelcanalseráno estable.

Asumiendounvalorde0.04paraelesfuerzodecorteadimensionalcrítico:80

2233* N/m94.104.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s044.0kg/m1000N/m94.1

3

2

* ===ρτU

130132/sm10

0.003mm/s044.026

** ≅=

×== −ν

DUR

Del Diagrama de Shields se observa que la intersección del Número de Reynolds con el esfuerzo de corte adimensional cae por debajo de la curva crítica. Por lo tanto podríamos considerar el canal como estable.

El tirante, es: m98.10001.0m/s81.9kg/m1000

N/m94.123

2

=××

==gS

hρτ

El coeficiente de Chezy, puede obtenerse de:

Ks = D = 0.003 m m0002.0m/s044.0

/sm10101026

*

=×

==−

Uνδ

69.640002.0

72003.0

12log18

72

12log18 =

×+=

+=

δsKC

De la ecuación de Chezy: m/s91.00001.098.169.64 =×== hSCU

Caudal específico: q = hU = 1.98x0.91= 1.802 m2/s

Ejemplo 5.3:

Diseñar un canal de tierra usando el criterio de la máxima velocidad permisible para transportar agua con partículas coloidales con un caudal de Q = 10 m3/s. El material de excavación es franco arenoso, con:D50 = 2.5 mmρs = 2700 kg/m3

g = 10 m/s2

ϕ = 36º

S = 0.0006

Solución:


Eltirante,es:

80

2233* N/m94.104.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s044.0kg/m1000N/m94.1

3

2

* ===ρτU

130132/sm10

0.003mm/s044.026

** ≅=

×== −ν

DUR



N/m94.123

2

=××

==gS

hρτ


Ks = D = 0.003 m m0002.0m/s044.0

/sm10101026

*

=×

==−

Uνδ

69.640002.0

72003.0

12log18

72

12log18 =

×+=

+=

δsKC



Ejemplo 5.3:


g = 10 m/s2

ϕ = 36º

S = 0.0006

Solución:

ElcoeficientedeChezy,puedeobtenersede:

Ks = D = 0.003 m

80

2233* N/m94.104.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s044.0kg/m1000N/m94.1

3

2

* ===ρτU

130132/sm10

0.003mm/s044.026

** ≅=

×== −ν

DUR



N/m94.123

2

=××

==gS

hρτ


Ks = D = 0.003 m m0002.0m/s044.0

/sm10101026

*

=×

==−

Uνδ

69.640002.0

72003.0

12log18

72

12log18 =

×+=

+=

δsKC



Ejemplo 5.3:


g = 10 m/s2

ϕ = 36º

S = 0.0006

Solución:

80

2233* N/m94.104.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s044.0kg/m1000N/m94.1

3

2

* ===ρτU

130132/sm10

0.003mm/s044.026

** ≅=

×== −ν

DUR



N/m94.123

2

=××

==gS

hρτ


Ks = D = 0.003 m m0002.0m/s044.0

/sm10101026

*

=×

==−

Uνδ

69.640002.0

72003.0

12log18

72

12log18 =

×+=

+=

δsKC



Ejemplo 5.3:


g = 10 m/s2

ϕ = 36º

S = 0.0006

Solución:

DelaecuacióndeChezy:

80

2233* N/m94.104.0

m003.0m/s81.9)kg/m1000kg/m2650()(=⇒=

××−=

−= c

c

s

c

gDτ

τρρ

ττ

m/s044.0kg/m1000N/m94.1

3

2

* ===ρτU

130132/sm10

0.003mm/s044.026

** ≅=

×== −ν

DUR



N/m94.123

2

=××

==gS

hρτ


Ks = D = 0.003 m m0002.0m/s044.0

/sm10101026

*

=×

==−

Uνδ

69.640002.0

72003.0

12log18

72

12log18 =

×+=

+=

δsKC



Ejemplo 5.3:


g = 10 m/s2

ϕ = 36º

S = 0.0006

Solución:

Caudalespecífico:q = hU = 1.98x0.91= 1.802 m2/s

112


Ejemplo 5.3:

Diseñar un canal de tierra usando el criterio de lamáxima velocidad permisible paratransportar agua con partículas coloidales con un caudal de Q = 10 m3/s.Elmaterialdeexcavaciónesfrancoarenoso,con:D50 = 2.5 mmρs=2700kg/m

3

g=10m/s2

ϕ=36º

S = 0.0006

Solución:

1) determinar la velocidad máxima permisible a partir de las f’ormulas o tablas. Experimentales como ladeFortieryScobey,Tabla5.1.Dedonde:Uper = 0.53 m/s

2) Calcularelárea:A=Q/Uper=10/0.53=18.87m2

3) Seleccionareltalud:z=1.5(verrecomendaciones)

4) Con la ecuación de Manning con n = 0.028 se tiene:

81

1) determinar la velocidad máxima permisible a partir de las f’ormulas o tablas.Experimentales como la de Fortier y Scobey, Tabla 5.1. De donde: Uper = 0.53 m/s

2) Calcular el área: A = Q/Uper = 10/0.53 = 18.87 m2

3) Seleccionar el talud: z = 1.5 (ver recomendaciones)

4) Con la ecuación de Manning con n = 0.028 se tiene: 2/13/2 SRnAQ =

( ) 2/13/2 0006.0028.027.1810 R= de donde: R = 0.47 m

5) Determinamos el perímetro para la sección trapezoidal:

47.012

87.182=

++==

zybPAR de donde: m01.40

48.087.1812 2 ==++= zybP

6) Las ecuaciones para el área A = (b + zy)y = 18.87 m2 y el perímetro son resueltas simultáneamente para obtener los valores de b e y: b = 38.27 m e y = 0.48 m

Un procedimiento alternativo consiste en asumir un valor para la relación b/y, sea este valor igual a 2.5. Luego se tienen las siguientes ecuaciones:

b = 2.5yA = (b + 1.5y)y = 18.87

Resolviendo las dos ecuaciones se tiene: b = 5.43 m ; y = 2.17 m

Existen diferencias significativas entre los resultados de ambos procedimientos. Estas diferencias no son aceptables aun considerando que el aspecto de ingeniería es más arte y experiencia que ciencia.

Ejemplo 5.4:

Diseñar un canal de tierra usando el criterio de la fuerza tractiva crítica con la siguiente información: Q = 1.45 m3/s, el material de excavación esta compuesto por grava cuya granulometría es la siguiente:

D50 = 1.2 cm γs = 2.7 Tn/m3 g = 9.81 m/s2 S = 0.0006 n = 0.022

Solución:

1. A partir de la figura 4.3 se obtiene el ángulo de reposo del material: ϕ = 36º. Entonces tan(36º) = 0.727.

2. Escogemos un talud z = 1.5, para este valor el ángulo de inclinación θ de la pared del canal es: θ = 33.69º. Como ϕ > θ, el valor escogido para el talud es correcto.

3. El esfuerzo de corte máximo en los lados del canal (τml), es obtenido a partir de la figura 5.7 para una relación asumida de b/y = 3.5

RRRSRS mlml 63.00006.0100005.105.105.1 =×××==⇒= γτ

γτ

81





( ) 2/13/2 0006.0028.027.1810 R= de donde: R = 0.47 m


47.012

87.182=

++==


48.087.1812 2 ==++= zybP



b = 2.5yA = (b + 1.5y)y = 18.87



Ejemplo 5.4:


D50 = 1.2 cm γs = 2.7 Tn/m3 g = 9.81 m/s2 S = 0.0006 n = 0.022

Solución:




RRRSRS mlml 63.00006.0100005.105.105.1 =×××==⇒= γτ

γτ

dedonde:R=0.47m

5) Determinamoselperímetroparalaseccióntrapezoidal:

81





( ) 2/13/2 0006.0028.027.1810 R= de donde: R = 0.47 m


47.012

87.182=

++==


48.087.1812 2 ==++= zybP



b = 2.5yA = (b + 1.5y)y = 18.87



Ejemplo 5.4:


D50 = 1.2 cm γs = 2.7 Tn/m3 g = 9.81 m/s2 S = 0.0006 n = 0.022

Solución:




RRRSRS mlml 63.00006.0100005.105.105.1 =×××==⇒= γτ

γτ

6) LasecuacionesparaeláreaA=(b+zy)y=18.87m2 y el perímetro son resueltas simultáneamenteparaobtenerlosvaloresdebey:b=38.27mey=0.48m

Unprocedimientoalternativoconsisteenasumirunvalorparalarelaciónb/y,seaestevaloriguala2.5.Luegosetienenlassiguientesecuaciones:

b = 2.5yA=(b+1.5y)y=18.87

Resolviendolasdosecuacionessetiene:b=5.43m;y=2.17m

Existen diferencias significativas entre los resultados de ambos procedimientos.Estasdiferencias no son aceptables aun considerando que el aspecto de ingeniería es más arte y experiencia que ciencia.

113


Ejemplo 5.4:

Diseñaruncanaldetierrausandoelcriteriodelafuerzatractivacríticaconlasiguienteinformación:Q=1.45m3/s,elmaterialdeexcavaciónestacompuestoporgravacuyagranulometríaeslasiguiente:

D50 = 1.2 cm gs=2.7Tn/m3 g=9.81m/s2 S = 0.0006 n = 0.022

Solución:

1. A partir de la figura 4.3 se obtiene el ángulo de reposo delmaterial: ϕ = 36º. Entonces tan(36º)=0.727.

2. Escogemos un talud z = 1.5, para este valor el ángulo de inclinación q de la pared delcanales:q = 33.69º.Comoϕ>q, el valor escogido para el talud es correcto.

3. El esfuerzo de corte máximo en los lados del canal (tml),esobtenidoapartirdelafigura5.7paraunarelaciónasumidadeb/y=3.5

81





( ) 2/13/2 0006.0028.027.1810 R= de donde: R = 0.47 m


47.012

87.182=

++==


48.087.1812 2 ==++= zybP



b = 2.5yA = (b + 1.5y)y = 18.87



Ejemplo 5.4:


D50 = 1.2 cm γs = 2.7 Tn/m3 g = 9.81 m/s2 S = 0.0006 n = 0.022

Solución:




RRRSRS mlml 63.00006.0100005.105.105.1 =×××==⇒= γτ

γτ

4. CalculamoselvalordelcoeficienteKapartirdeconϕ=36º y q=33.69°:

82

4. Calculamos el valor del coeficiente K a partir de con ϕ = 36º y θ = 33.69°:

33.036tan

69.33tan169.33costantan1cos 2

2

2

2

=−=−=φθθK

5. Determinamos la fuerza tractiva crítica en el fondo a partir de la figura 5.8: τcf = 0.9 Kg/m2, con: D50 = 1.2 cm = 12 mm.

6. Calculamos la fuerza tractiva crítica en el lado del canal (τcl):τcl = τcf.K = 0.9x0.33 = 0.3 Kg/m2

7. Para un movimiento incipiente: τcl = τml; entonces: 0.3 = 0.63R. Por tanto: R = 0.48m.

8. De la ecuación de Manning calculamos el área:2

2/13/22/13/22/13/2 m12.2

0006.048.0022.045.1

=××

==⇒=SR

QnASRnAQ

9. Con A = (b + 1.5y)y = 2.12 ; b/y = 3.5, se obtiene: y = 0.65 m y b = 2.28 m.

10. El ancho de la base es: b = 3.5 x 0.48 = 1.68 m

Ejemplo 5.5:

Un canal trapezoidal de tierra debe ser diseñado para transportar 50 m3/s con una pendiente de 0.0015. El material del lecho es angular con diámetro medio Dm = 40 mm, D90

= 70 mm y peso específico del sedimento γs = 2.68 ton/m3.

Solución

Asumiendo que el material es angular con un ángulo de reposo de 40°. Para un talud estable el ángulo de inclinación del lado del canal debe ser menor que el ángulo de reposo del material (θ < ϕ), por lo que se escoge para z = 2. Luego determinamos la fuerza tractiva crítica en el fondo del canal: τcf = 3.5 Kg/m2, obtenido de la figura 5.8.

La relación de esfuerzos de corte se obtiene de φθθ 2

2

tantan1cos −=K resultando K = 0.51.

La fuerza tractiva crítica en el lado del canal es: τcl = Kτcf = 0.51x3.5 = 1.785 Kg/m2.

El radio hidráulico correspondiente a la fuerza tractiva crítica en el lado del canal se calcula:

τcl = γRS = 1.785; resultando: R = 1.19 m

Para R = 1.19 m se calcula la velocidad media mediante la ecuación de Manning, calculando previamente el valor de n mediante la fórmula de Meyer Peter:

028.02607.0

26

6/16/190 ===

Dn

5. Determinamoslafuerzatractivacríticaenelfondoapartirdelafigura5.8:tcf = 0.9Kg/m2,con:D50 = 1.2 cm = 12 mm.

6. Calculamos la fuerza tractiva crítica en el lado del canal (tcl):tcl = tcf.K=0.9x0.33=0.3Kg/m

2

7. Paraunmovimientoincipiente:tcl = tml;entonces:0.3=0.63R.Portanto:R=0.48 m.

8. DelaecuacióndeManningcalculamoselárea:

82


33.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK





2/13/22/13/22/13/2 m12.2

0006.048.0022.045.1

=××

==⇒=SR

QnASRnAQ



Ejemplo 5.5:



Solución



2






028.02607.0

26

6/16/190 ===

Dn

9. Con A=(b+1.5y)y=2.12;b/y=3.5,seobtiene:y=0.65myb=2.28m.

10. Elanchodelabasees: b=3.5x0.48=1.68m

114


Ejemplo 5.5:

Un canal trapezoidal de tierra debe ser diseñado para transportar 50 m3/s con unapendiente de 0.0015. El material del lecho es angular con diámetro medio Dm = 40 mm, D90=70mmypesoespecíficodelsedimentogs=2.68ton/m

3.

Solución

Asumiendo que el material es angular con un ángulo de reposo de 40°. Para un talud estable el ángulo de inclinación del lado del canal debe ser menor que el ángulo de reposo del material (q <ϕ), por lo que se escogepara z=2.Luegodeterminamos la fuerzatractivacríticaenelfondodelcanal:tcf=3.5Kg/m

2,obtenidodelafigura5.8.

La relación de esfuerzos de corte se obtiene de

82


33.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK





2/13/22/13/22/13/2 m12.2

0006.048.0022.045.1

=××

==⇒=SR

QnASRnAQ



Ejemplo 5.5:



Solución



2






028.02607.0

26

6/16/190 ===

Dn

resultando K = 0.51. Lafuerzatractivacríticaenelladodelcanales:tcl = Ktcf=0.51x3.5=1.785Kg/m

2.


tcl = gRS=1.785;resultando:R=1.19m

Para R = 1.19 m se calcula la velocidad media mediante la ecuación de Manning, calculandopreviamenteelvalordenmediantelafórmuladeMeyerPeter:

82


33.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK





2/13/22/13/22/13/2 m12.2

0006.048.0022.045.1

=××

==⇒=SR

QnASRnAQ



Ejemplo 5.5:



Solución



2






028.02607.0

26

6/16/190 ===

Dn

83

m/s76.10015.019.1028.011 2/13/22/13/2 =×=⇒= USR

nU

Ahora las dimensiones de la sección del canal pueden ser calculados :

A = Q/U = (b + 1.5y) = 28.41

19.11241.28

2=

++==

zybPAR

Resolviendo estos dos ecuaciones tenemos: b = 18.99 m; y = 1.35 m

Ejemplo 5.6:

Calcular el tamaño mínimo de piedra que se necesita para proteger los bancos y el fondo del canal, teniendo la siguiente información:

Esfuerzo de corte máximo en el fondo del canal: τmf = 5.87 Kg/m2

Esfuerzo de corte máximo en el lado del canal: τml = 5.38 Kg/m2

Talud del banco: z = 2.5 θ = 21.8º

γs = 2650 Kg/m3 Vis = 10-6 m2/s ϕ = 36º

Solución:

Usando la fórmula de Meyer Peter:

−==

γγγγττ s

mfcf D50047.0

m0756.010002650

10001000047.0

87.5047.050 =

−×=

−

=γγ

γγ

τ

s

mfD

Chequeando los parámetros de fondo:

m/s242.01000

81.997.5* =

×==

γτ g

u mff

1829510

0756.0242.0Re 6^50* =

×== −ν

DU f (completamente turbulento)

Por lo tanto el D50 = 7.6 cm, es el tamaño crítico para el ripiado, para un fondo estable, de acuerdo al criterio de Meyer Peter.

Según Lane, para el esfuerzo crítico en el lado del canal se tiene que: τcl = τml = 5.38 Kg/m2

77.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK

Mediante la relación de esfuerzos de corte, se tiene: τcf = τcl/K = 5.38/0.77 = 6.987 Kg/m2

Ahoralasdimensionesdelaseccióndelcanalpuedensercalculados:

A=Q/U=(b+1.5y)=28.41

83

m/s76.10015.019.1028.011 2/13/22/13/2 =×=⇒= USR

nU


A = Q/U = (b + 1.5y) = 28.41

19.11241.28

2=

++==

zybPAR


Ejemplo 5.6:





γs = 2650 Kg/m3 Vis = 10-6 m2/s ϕ = 36º

Solución:


−==

γγγγττ s

mfcf D50047.0

m0756.010002650

10001000047.0

87.5047.050 =

−×=

−

=γγ

γγ

τ

s

mfD


m/s242.01000

81.997.5* =

×==

γτ g

u mff

1829510

0756.0242.0Re 6^50* =

×== −ν




77.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK


Resolviendoestosdosecuacionestenemos:b=18.99m;y=1.35m

115


Ejemplo 5.6:

Calculareltamañomínimodepiedraquesenecesitaparaprotegerlosbancosyelfondodelcanal,teniendolasiguienteinformación:

Esfuerzodecortemáximoenelfondodelcanal: tmf=5.87Kg/m2

Esfuerzodecortemáximoenelladodelcanal: tml=5.38Kg/m2

Taluddelbanco:z=2.5 q = 21.8º

gs=2650Kg/m3 Vis = 10-6 m2/s ϕ=36º

Solución:

UsandolafórmuladeMeyerPeter:

83

m/s76.10015.019.1028.011 2/13/22/13/2 =×=⇒= USR

nU


A = Q/U = (b + 1.5y) = 28.41

19.11241.28

2=

++==

zybPAR


Ejemplo 5.6:





γs = 2650 Kg/m3 Vis = 10-6 m2/s ϕ = 36º

Solución:


−==

γγγγττ s

mfcf D50047.0

m0756.010002650

10001000047.0

87.5047.050 =

−×=

−

=γγ

γγ

τ

s

mfD


m/s242.01000

81.997.5* =

×==

γτ g

u mff

1829510

0756.0242.0Re 6^50* =

×== −ν




77.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK


83

m/s76.10015.019.1028.011 2/13/22/13/2 =×=⇒= USR

nU


A = Q/U = (b + 1.5y) = 28.41

19.11241.28

2=

++==

zybPAR


Ejemplo 5.6:





γs = 2650 Kg/m3 Vis = 10-6 m2/s ϕ = 36º

Solución:


−==

γγγγττ s

mfcf D50047.0

m0756.010002650

10001000047.0

87.5047.050 =

−×=

−

=γγ

γγ

τ

s

mfD


m/s242.01000

81.997.5* =

×==

γτ g

u mff

1829510

0756.0242.0Re 6^50* =

×== −ν




77.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK


Chequeandolosparámetrosdefondo:

83

m/s76.10015.019.1028.011 2/13/22/13/2 =×=⇒= USR

nU


A = Q/U = (b + 1.5y) = 28.41

19.11241.28

2=

++==

zybPAR


Ejemplo 5.6:





γs = 2650 Kg/m3 Vis = 10-6 m2/s ϕ = 36º

Solución:


−==

γγγγττ s

mfcf D50047.0

m0756.010002650

10001000047.0

87.5047.050 =

−×=

−

=γγ

γγ

τ

s

mfD


m/s242.01000

81.997.5* =

×==

γτ g

u mff

1829510

0756.0242.0Re 6^50* =

×== −ν




77.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK


Por lo tanto el D50=7.6cm,eseltamañocríticoparaelripiado,paraunfondoestable,de acuerdo al criterio de Meyer Peter.SegúnLane,paraelesfuerzocríticoenelladodelcanalsetieneque:tcl = tml=5.38Kg/m

2

83

m/s76.10015.019.1028.011 2/13/22/13/2 =×=⇒= USR

nU


A = Q/U = (b + 1.5y) = 28.41

19.11241.28

2=

++==

zybPAR


Ejemplo 5.6:





γs = 2650 Kg/m3 Vis = 10-6 m2/s ϕ = 36º

Solución:


−==

γγγγττ s

mfcf D50047.0

m0756.010002650

10001000047.0

87.5047.050 =

−×=

−

=γγ

γγ

τ

s

mfD


m/s242.01000

81.997.5* =

×==

γτ g

u mff

1829510

0756.0242.0Re 6^50* =

×== −ν




77.036tan


2

2

2

=−=−=φθθK

Mediante la relación de esfuerzos de corte, se tiene: τcf = τcl/K = 5.38/0.77 = 6.987 Kg/m2Mediantelarelacióndeesfuerzosdecorte,setiene:tcf = tcl/K=5.38/0.77=6.987Kg/m2

EntrandoconestevalornuevamentealaecuacióndeMeyerPeter;obtenemos:

84

Entrando con este valor nuevamente a la ecuación de Meyer Peter; obtenemos:

m09.010002650

10001000047.0

987.6047.050 =

−×=

−

=γγ

γγ

τ

s

mfD

Por lo tanto el tamaño de piedra requerido para estabilizar los lados del canal es de 9 cm.Porlotantoeltamañodepiedrarequeridoparaestabilizarlosladosdelcanalesde9cm.

116


117


Capítulo VI

ConfiguraCión del leCHo en rios aluviales

6.1 Introducción

Elrégimendeflujoenlechomóvil,esdefinido,porGardeyAlbertson,[9],(1959),delasiguientemanera:Lanaturalezadelaconfiguracióndellechoydelasuperficielíquidavaríadeacuerdocon lascaracterísticasdel sedimento,delflujoy/ocaracterísticasdelfluido.Estostiposdeconfiguracionestantodellechocomodelasuperficielíquidasonclasificadosdeacuerdoconsuscaracterísticasydenominados“RegímenesdeFlujo”.Sedebetomarcuidadodenoconfundirestadefiniciónconotrasnomenclaturassemejantesde la hidráulica de canales. Los diferentes regímenes de flujo fueron observados encanalesnaturalesydescritosporAlbertson,SimonsyRichardson,[24],(1961);apartirdelreposoyporsucesióndeocurrenciasconformelavelocidaddelflujoaumente.

6.2 Clasificación de las Configuraciones del Lecho

a) Fondo Plano: Hasta el momento en que los sedimentos no alcanzan las condiciones límites para el inicio del movimiento, el lecho se mantiene en reposo.

b) Rizos:Cuandoelsedimentoiniciaelmovimiento,ocurrenpequeñasdeformacionescuyo corte longitudinal se asemeja a los dientes de una sierra. En general el talud de aguas arriba es bastante suave y el de aguas abajo mas inclinado, alcanzando el ángulo dereposonaturaldelsedimento.Sielmaterialdefondofuerafino,losrizosseformanrápidamente, luego del inicio del movimiento. Los materiales groseros con diámetros del orden de 1.0 mm o mayor, no producen este tipo de formación y el lecho permanece plano por mas tiempo hasta la aparición de las dunas.

c) Dunas: Cuando la velocidad aumenta, aparecen conformaciones periódicas mayores, con una forma semejante al de los rizos y con la superficiemás irregular. Las dunaspueden alcanzar grandes proporciones, que a veces reciben el nombre de bancos. Si el materialdellechofuerarelativamentefinopuedeocurrirlaformaciónderizoseneldorsode las dunas, que a su vez pueden ser barridas a medida que la velocidad aumenta.

118


d) Transición: El régimen de transición se caracteriza por una situación bastante inestable, dondepuedenocurrircambiosrápidosenlaformadelasuperficielibreydellechoconsolo pequeños cambios de las condiciones de flujo. Generalmente ocurre cuando elnúmero de Froude es del orden de 0.8. Con el aumento progresivo de la velocidad, las dunas se van alargando y disminuyendo en amplitud y si el material fuera relativamente fino,ellechopuedepasaralaformaplana.

e) Antidunas:Cuandoelflujoalcanzaelrégimentorrencialosupercrítico,sedesarrollannuevas ondulaciones en el fondo de una forma aproximada a la sinusoidal en fase con lasondasde la superficie libre, siendoestas, engeneral demayor amplitud.Estadenominaciónesdesignadaporelhechodequeengeneraleste tipodeconfiguracióntiene un recorrido en sentido contrario al de las dunas, o sea hacia aguas arriba; pero también pueden mantenerse estacionarias o desplazarse hacia aguas abajo.

f) Régimen de Rápidos: En este régimen ocurre una sucesión de regímenes rápidos y lentosseparadosporresaltoshidráulicos.Ocurrenenlosestadosavanzadosdelflujo.

Un resumen de un estudio exhaustivo realizado por el U.S. Geologycal Survey; Colorado StateUniversity,sobredeformacionesdellecho,fuepreparadoporSimonsyotros,[3],(1961),lamismaquesemuestraenlaTabla6.1

85

Un resumen de un estudio exhaustivo realizado por el U.S. Geologycal Survey; Colorado State University, sobre deformaciones del lecho, fue preparado por Simons y otros, [3],(1961), la misma que se muestra en la Tabla 6.1

Figura 6.1: Formas de lecho idealizado (Simons 1961)(Modificado de: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

Tabla 6.1: Características de las Diferentes Configuraciones del Lecho

Régimen de Flujo

Forma del Lecho ConcentracP.P.M.

Forma de transporte

Sólido

Tipo de Rugosidad

Coefic. de rugosidad

C/√gRégimen Inferior

- Rizos- Rizos sobre dunas- Dunas

10 - 200100 - 1200200 - 2000

Saltos discretos

Predomina la rugosidad de

forma

7,8 - 12,4--

7,0 - 13,2Transición - Dunas en remoción 1000 - 3000 ---- Variable 7,0 - 20,0Régimen Superior

- Fondo plano- Antidunas- Rápidos con resaltos

2000 - 600020002000

Continuo Predomina la rugosidad del

grano

16,3 - 20,010,8 - 10,79,4 - 10,7

6.3 Predicción de las Configuraciones del Lecho

a) Criterio de Liu, Albertson, Simons y Richardson (1961)

Liu, en 1957 presentó un criterio, relacionando los parámetros:u*

ωy

νDu* , restringido solo

al régimen de rizos. Posteriormente Albertson, Simons y Richardson, propusieron un criterio, relacionando estos mismos parámetros, válido para todos los regímenes de flujo,


119



Régimen de Flujo Forma del Lecho Concentrac

P.P.M.

Forma de transporte

Sólido

Tipo de Rugosidad


C/√g

Régimen Inferior


10 - 200100 - 1200200 - 2000

Saltos discretos

Predomina la rugosidad

de forma

7,8 - 12,4--

7,0 - 13,2Transición - Dunas en remoción 1000 - 3000 ---- Variable 7,0 - 20,0

Régimen Superior


2000 - 600020002000

ContinuoPredomina

la rugosidad del grano

16,3 - 20,010,8 - 10,79,4 - 10,7



Liu,en1957presentóuncriterio,relacionandolosparámetros:

85




Régimen de Flujo


Forma de transporte

Sólido

Tipo de Rugosidad




10 - 200100 - 1200200 - 2000

Saltos discretos


forma

7,8 - 12,4--



2000 - 600020002000


grano

16,3 - 20,010,8 - 10,79,4 - 10,7




ωy



y

85




Régimen de Flujo


Forma de transporte

Sólido

Tipo de Rugosidad




10 - 200100 - 1200200 - 2000

Saltos discretos


forma

7,8 - 12,4--



2000 - 600020002000


grano

16,3 - 20,010,8 - 10,79,4 - 10,7




ωy



, restringido

solo al régimen de rizos. Posteriormente Albertson, Simons y Richardson, propusieron un

criterio,relacionandoestosmismosparámetros,válidoparatodoslosregímenesdeflujo,

(Figura6.2).Lacríticaaestemétodoesquenoconsideraunparámetroquecaractericeel

estadodelflujocomoeselnúmerodeFroude.

86

(Figura 6.2). La crítica a este método es que no considera un parámetro que caracterice el estado del flujo como es el número de Froude.

Figura 6.2: Criterio de Liu para la Configuración de Fondo (Simons 1961)Modificado de: Principles and Concepts of Fluvial Hydraulics, D. Muskatirovic, Beograd 1983

b) Criterio de Garde y Albertson (1959)

Figura 6.3: Criterio de Régimen de Flujo (Garde y Albertson 1959)Modificado de Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde,

Ranga Raju 1977


120



86

(Figura 6.2). La crítica a este método es que no considera un parámetro que caracterice el estado del flujo como es el número de Froude.



Figura 6.3: Criterio de Régimen de Flujo (Garde y Albertson 1959)Modificado de Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde,

Ranga Raju 1977

Figura 6.3: Criterio de Régimen de Flujo (Garde y Albertson 1959)Modificado de Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems;

Garde, Ranga Raju 1977

GardeyAlbertson,partiendodelsupuestodequeelestadodeflujo,caracterizadoporen

número de Froude, sería un segundo parámetro importante, establecieron un criterio para

predecirlosregímenesdeflujorelacionando:

87

Garde y Albertson, partiendo del supuesto de que el estado de flujo, caracterizado por en número de Froude, sería un segundo parámetro importante, establecieron un criterio para

predecir los regímenes de flujo relacionando: ( )ττ

γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).

c) Criterio de Garde y Ranga-Raju (1963)

Este método fue desarrollado en función de un método de cálculo de resistencia al flujo,

propuesto por los autores. En este método son relacionadosRD

yγ

γ γS

S −; como se ve en

la Figura 6.4. S y R son la pendiente y el radio hidráulico respectivamente.

Figura 6.4: Criterio de Régimen de Flujo (Garde y Ranga Raju 1963)Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde,

Ranga Raju 1977

d) Criterio de Engelund y Hansen (1966)

A partir de un análisis teorico, Engelund y Hansen propusieron un criterio, relacionando los

siguientes parámetros: Uu*

y FUgR

= ; siendo U la velocidad media, F el número de

Froude y u gRS o* = =

τρ

la velocidad de corte. Ver Figura 6.5.

y

87



γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).




yγ

γ γS




Ranga Raju 1977




y FUgR



τρ


(Figura6.3).


Estemétodofuedesarrolladoenfuncióndeunmétododecálculoderesistenciaalflujo,

propuesto por los autores. En este método son relacionados

87



γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).




yγ

γ γS




Ranga Raju 1977




y FUgR



τρ


y

87



γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).




yγ

γ γS




Ranga Raju 1977




y FUgR



τρ


; como se ve

en la Figura 6.4. S y R son la pendiente y el radio hidráulico respectivamente.

121


87



γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).




yγ

γ γS




Ranga Raju 1977




y FUgR



τρ


Figura 6.4: Criterio de Régimen de Flujo (Garde y Ranga Raju 1963)Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems;



A partir de un análisis teorico, Engelund y Hansen propusieron un criterio, relacionando

lossiguientesparámetros:

87



γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).




yγ

γ γS




Ranga Raju 1977




y FUgR



τρ


y

87



γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).




yγ

γ γS




Ranga Raju 1977




y FUgR



τρ


; siendo U la velocidad media, F el número de

Froude y

87



γ γ* = −o

S Dy F

ugR

= ; (Figura 6.3).




yγ

γ γS




Ranga Raju 1977




y FUgR



τρ

la velocidad de corte. Ver Figura 6.5. la velocidad de corte. Ver Figura 6.5.

122


88

Figura 6.5: Criterio de Régimen, (Engelund 1966)

e) Criterio de Régimen de Bogardi (1959)

Figura 6.6: Criterio de Régimen de Flujo (Bogardi 1959)Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde,

Ranga Raju 1977


123



88



Figura 6.6: Criterio de Régimen de Flujo (Bogardi 1959)Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde,

Ranga Raju 1977

Figura 6.6: Criterio de Régimen de Flujo (Bogardi 1959)Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems;


Bogardi[9],propusouncriterioquerelaciona

89

Bogardi [9], propuso un criterio que relaciona gDu*

2 con el diámetro de la partícula, D, como

se ve en la Figura 6.6.

f) Criterio de Régimen de Simons y Richardson (1962)

Este criterio relaciona la potencia del río (Uτo) con el diámetro de la partícula, D, como se muestra en la Figura 6.7.

Figura 6.7: Criterio de Régimen de Flujo basado en la potencia del río y tamaño de sedimento (Simons y Richardson 1962)

Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde, Ranga Raju 1977

con el diámetro de la partícula, D, como se ve en la Figura 6.6.

124



Este criterio relaciona la potencia del río (U

89








)coneldiámetrodelapartícula,D, como se muestra en la Figura 6.7.

89










125


Ejemplo 6.1:

Un río aluvial tiene una profundidad h = 2 m, lecho compuesto de material uniforme D =1.5mm.LavelocidadmediaU=0.6m/sycoeficientedeChezyC=63m1/2/s.Queconfiguracióndelechoesesperadosegún:

a) Simons – Liub) Simons y Richardsonc) Engelundd) Garde – Albertson

Solución:

DelaecuacióndeChezy,calculamoslapendiente:

90

Ejemplo 6.1:

Un río aluvial tiene una profundidad h = 2 m, lecho compuesto de material uniforme D = 1.5 mm. La velocidad media U = 0.6 m/s y coeficiente de Chezy C = 63 m1/2/s. Que configuración de lecho es esperado según:


Solución:

De la ecuación de Chezy, calculamos la pendiente:

000045.02636.0 =⇒=== SShSCU

a) Configuración según Simons – Liu:

( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu

De la figura 6.2, se observa que la intersección cae en la zona de Dunas

b) Configuración según Simons y Richardson

222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ

Potencia del río: N/m.s53.06.089.0 =×=Uoτ

De la figura 6.7, se observa que la intersección cae fuera del rango, cercana a la zona de transición. De acuerdo a este criterio no se puede definir con claridad la configuración del lecho.


90

Ejemplo 6.1:



Solución:


000045.02636.0 =⇒=== SShSCU


( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu



222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ



90

Ejemplo 6.1:



Solución:


000045.02636.0 =⇒=== SShSCU


( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu



222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ



90

Ejemplo 6.1:



Solución:


000045.02636.0 =⇒=== SShSCU


( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu



222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ



90

Ejemplo 6.1:



Solución:


000045.02636.0 =⇒=== SShSCU


( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu



222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ



90

Ejemplo 6.1:



Solución:


000045.02636.0 =⇒=== SShSCU


( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu



222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ



Delafigura6.2,seobservaquelainterseccióncaeenlazonadeDunas

126



90

Ejemplo 6.1:



Solución:


000045.02636.0 =⇒=== SShSCU


( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu



222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ



Potenciadelrío:

90

Ejemplo 6.1:



Solución:


000045.02636.0 =⇒=== SShSCU


( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s123.00015.01060015.0

10001000265081.9

32

0015.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

m/s03.0000045.0281.9* =××=== gRSu o

ρτ

24.0123.003.0* ==

ωu

45000001.0

0015.003.0Re ** ≅

×==

νDu



222* kg/m09.0N/m89.003.01000 ==×== uo ρτ



Delafigura6.7,seobservaquelainterseccióncaefueradelrango,cercanaalazonadetransición.Deacuerdoaestecriterionosepuededefinirconclaridadlaconfiguracióndel lecho.

c) Configuración según Engelund

91


14.0281.9

6.0=

×==

ghUFr

Asumiendo que: 2003.06.0

''

*** ≅=⇒≅

uUuu


d) Configuración según Garde - Albertson

( ) ( ) 04.00015.081.910002650

89.0=

××−=

− gDs

o

ρρτ

14.0281.9

6.0=

×==

ghUFr

De la figura 6.3, se observa que la intersección cae en la zona de Rizos y Dunas

Asumiendoque:

91


14.0281.9

6.0=

×==

ghUFr


''

*** ≅=⇒≅

uUuu



( ) ( ) 04.00015.081.910002650

89.0=

××−=

− gDs

o

ρρτ

14.0281.9

6.0=

×==

ghUFr

De la figura 6.3, se observa que la intersección cae en la zona de Rizos y Dunas

Delafigura6.5,seobservaquelainterseccióncaeenlazonadeDunas


91


14.0281.9

6.0=

×==

ghUFr


''

*** ≅=⇒≅

uUuu



( ) ( ) 04.00015.081.910002650

89.0=

××−=

− gDs

o

ρρτ

14.0281.9

6.0=

×==

ghUFr

De la figura 6.3, se observa que la intersección cae en la zona de Rizos y DunasDelafigura6.3,seobservaquelainterseccióncaeenlazonadeRizos y Dunas

127


Capítulo VII

distribuCión de veloCidades y resistenCia al flujo

7.1 Introducción

Enel casodeflujopermanenteyuniforme sobreun contornofijoomóvil existeunarelación entre la velocidad media U, el radio hidráulico R, la pendiente del canal S y las características del canal. Tales relaciones son comúnmente conocidas como las EQUACIONES DE RESISTENCIA. En cauces de lecho fijo, las ecuaciones deManning, Chezy y las ecuaciones logarítmicas deducidas por Keulegan, [9], soncomúnmente usados.

Elconocimientode lasecuacionesde resistenciaalflujoes importanteparaeldiseñode canales de irrigación, trabajos de mejoramiento de ríos, estudios de transporte de sedimentos, etc. Además de conocer la velocidad media es importante conocer la distribución vertical de la velocidad. La predicción de la resistencia al flujo y ladistribución de velocidades en cauces de lecho móvil como es el caso de ríos aluviales es muycomplicadodebidoadosfactores:Primeroporquelaconfiguracióndellechocambiacuando cambia las condiciones del flujo que hace extremadamente difícil describir laresistencia y segundo porque una parte de los sedimentos transportados es en estado de suspensiónquetieneunainfluenciasignificativaenladistribucióndevelocidadesylavelocidad media.

7.2 Distribución de Velocidades para Flujo Turbulento

La presencia de contorno irregular en un canal abierto hace que el vector de velocidades tenga componentes no solo en la dirección longitudinal, sino en la dirección transversal y vertical. En un análisis macro, la componente más importante es la longitudinal, que dependedelageometríadelcanal.Lainfluenciadelageometríadelcanalesnotoria;lavelocidad en el lecho del canal es cero y crece progresivamente con la distancia desde la pared.Lamáximavelocidadocurreaciertadistanciadelasuperficiedeagua,debidoalaexistencia de fuerzas como la del viento.

128


92

7 DISTRIBUCION DE VELOCIDADES Y RESISTENCIA AL FLUJO

7.1 Introducción

En el caso de flujo permanente y uniforme sobre un contorno fijo o móvil existe una relación entre la velocidad media U, el radio hidráulico R, la pendiente del canal S y las características del canal. Tales relaciones son comúnmente conocidas como las EQUACIONES DE RESISTENCIA. En cauces de lecho fijo, las ecuaciones de Manning, Chezy y las ecuaciones logarítmicas deducidas por Keulegan, [9], son comúnmente usados.

El conocimiento de las ecuaciones de resistencia al flujo es importante para el diseño de canales de irrigación, trabajos de mejoramiento de ríos, estudios de transporte de sedimentos, etc. Además de conocer la velocidad media es importante conocer la distribución vertical de la velocidad. La predicción de la resistencia al flujo y la distribución de velocidades en cauces de lecho móvil como es el caso de ríos aluviales es muy complicado debido a dos factores: Primero porque la configuración del lecho cambia cuando cambia las condiciones del flujo que hace extremadamente difícil describir la resistencia y segundo porque una parte de los sedimentos transportados es en estado de suspensión que tiene una influencia significativa en la distribución de velocidades y la velocidad media.

7.2 Distribución de Velocidades para Flujo Turbulento

La presencia de contorno irregular en un canal abierto hace que el vector de velocidades tenga componentes no solo en la dirección longitudinal, sino en la dirección transversal y vertical. En un análisis macro, la componente más importante es la longitudinal, que depende de la geometría del canal. La influencia de la geometría del canal es notoria; la velocidad en el lecho del canal es cero y crece progresivamente con la distancia desde la pared. La máxima velocidad ocurre a cierta distancia de la superficie de agua, debido a la existencia de fuerzas como la del viento.

Figura 7.1: Distribución de velocidades en un canal natural(Fuente: Flow in Open Channels, K. Subramanya, 1989)

La distribución de velocidades típica corresponde a un perfil del tipo logarítmica o potencial. Las observaciones de campo en ríos y canales muestran que la velocidad media, vm, en

Figura 7.1: Distribución de velocidades en un canal natural

(Fuente: Flow in Open Channels, K. Subramanya, 1989)

La distribución de velocidades típica corresponde a un perfil del tipo logarítmica o

potencial. Las observaciones de campo en ríos y canales muestran que la velocidad

media, vm, en cualquier vertical ocurre a 0.6 de la profundidad (vm= v0.6)medidadesde

lasuperficie;posteriormenteseencontróqueestavelocidadesestimadapor:vm= (v0.2 +

v0.8)/2.

Esta propiedad de la distribución de velocidades es comúnmente usada en las prácticas de

medicióndecaudalesoaforos.Lavelocidadmediatambiénpuedeestimarsecomo:vm=

kvs, donde vseslavelocidadenlasuperficieykuncoeficientequevaríaentre0.8y0.95.

El valor apropiado de k se estima mediante una calibración en campo y es apropiada para

elaforoconflotadores.

Para entender mejor los problemas asociados con la distribución de velocidades y la

resistencia al flujo en cauces aluviales, es necesario proveer una información breve

sobrecanalesde lechofijo.Esprácticageneralestos resultados sonaplicadosacasos

particularesdeflujoencaucesdelechomóvil:

La ley de distribución de velocidades tanto para flujo hidráulicamente liso como

hidráulicamente rugoso, puede ser derivada de la ecuación de esfuerzo cortante obtenido

de la teoría de longitud demezcla para flujo turbulento:

93

cualquier vertical ocurre a 0.6 de la profundidad (vm= v0.6) medida desde la superficie;posteriormente se encontró que esta velocidad es estimada por: vm= (v0.2 + v0.8)/2.

Esta propiedad de la distribución de velocidades es comúnmente usada en las prácticas de medición de caudales o aforos. La velocidad media también puede estimarse como: vm=kvs, donde vs es la velocidad en la superficie y k un coeficiente que varía entre 0.8 y 0.95. El valor apropiado de k se estima mediante una calibración en campo y es apropiada para el aforo con flotadores.

Para entender mejor los problemas asociados con la distribución de velocidades y la resistencia al flujo en cauces aluviales, es necesario proveer una información breve sobre canales de lecho fijo. Es práctica general estos resultados son aplicados a casos particulares de flujo en cauces de lecho móvil:

La ley de distribución de velocidades tanto para flujo hidráulicamente liso como hidráulicamente rugoso, puede ser derivada de la ecuación de esfuerzo cortante obtenido

de la teoría de longitud de mezcla para flujo turbulento:2

22

=

dyduyρκτ (k = 0.4,

constante de Von Karman) que combinado con la ecuación de la velocidad de corte:

gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu

κ*= . Integrando, esta última, con y’ como la distancia tal

que u es cero cuando y = y’, se obtiene:

=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)

Según los experimentos de Nikuradse, para diferentes tipos de superficie:107

'' δ=y para

superficie hidráulicamente lisa;30

' sky = para superficie hidráulicamente rugosa y

*

6.11'uνδ = espesor de la subcapa laminar. Combinando las ecuaciones, se obtiene:

Figura 7.2: Rugosidad de fondo(Fuente: Elaboración propia)

uu

u y

*

*. log .=

+575 55

υRégimen hidráulicamente liso (7.2a)

uu

yKs*

. log .=

+575 85 Régimen hidráulicamente rugoso (7.2b)

ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

(k = 0.4,

129


constante deVonKarman) que combinado con la ecuación de la velocidad de corte:

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

,resulta:

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

. Integrando, esta última, con y’ como la distancia

tal que u es cero cuando y = y’, seobtiene:

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

(7.1)

Según los experimentos de Nikuradse, para diferentes tipos de superficie:

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

para superficie hidráulicamente lisa;

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

para superficie hidráulicamente rugosa

y

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

espesordelasubcapalaminar.Combinandolasecuaciones,seobtiene:

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

Figura 7.2: Rugosidad de fondo (Fuente: Elaboración propia)

93






22

=



gRSu ==ρτ

* , resulta: y

udydu



=

=

=

'log75.5

'ln5.2

'ln1

* yy

yy

yy

kuu (7.1)


'' δ=y para



*



uu

u y

*

*. log .=

+575 55


uu

yKs*

. log .=


ks

flujo δ' ks

flujo

δ'

Régimenhidráulicamenteliso (7.2a)

Régimenhidráulicamenterugoso (7.2b)

Paraunasuperficieentransición: (7.2c)

94

cky

uu

s

+

= log75.5

*

Para una superficie en transición: (7.2c)

86.0'

para5118.5'

6913.4 ≤+=δδ

ss kkc

8.00.86para5568.9'

0708.0'

0076.02

<<+−

−=

δ'kkk

c sss

δδ

0.8'

para5.8 ≥=δ

skc

Tabla 7.1: Valores de c en función de ks/δ'

ks/δ' 0.3 0.5 0.8 0.9 2.6 5.2 ≥8.0

c 6.8 7.8 9.3 9.5 9.3 9.0 8.5

Ks es la rugosidad equivalente del lecho. Por integración de la ecuación (7.2) a lo largo de la profundidad y en base a los datos experimentales de Bazin, Keulegan, [9], obtuvo las siguientes ecuaciones logarítmicas de distribución de velocidades:

25.3log75.5 *

*

+

=ν

RuuU Régimen hidráulicamente liso (7.3a)

25.6log75.5*

+

=

sKR

uU Régimen hidráulicamente rugoso (7.3b)

=

skRx

uU 27.12log75.5

*

0.6250. ≤≤δ'ks Régimen en transición (7.3c)

0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.1 1 10 100

x

ks/δ'Figura 7.3: Factor de corrección x de la distribución logarítmica de velocidades; Einstein,

1950(Fuente: Hydraulics of Sediment Transport; W. H. Graf, 1971)

Tabla 7.2: Valores de x en función de ks/δ'(Fuente: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde, Ranga Raju 1977)

94

cky

uu

s

+

= log75.5

*


86.0'

para5118.5'

6913.4 ≤+=δδ

ss kkc

8.00.86para5568.9'

0708.0'

0076.02

<<+−

−=

δ'kkk

c sss

δδ

0.8'

para5.8 ≥=δ

skc


ks/δ' 0.3 0.5 0.8 0.9 2.6 5.2 ≥8.0

c 6.8 7.8 9.3 9.5 9.3 9.0 8.5


25.3log75.5 *

*

+

=ν


25.6log75.5*

+

=

sKR


=

skRx

uU 27.12log75.5

*


0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.1 1 10 100

x




130


94

cky

uu

s

+

= log75.5

*


86.0'

para5118.5'

6913.4 ≤+=δδ

ss kkc

8.00.86para5568.9'

0708.0'

0076.02

<<+−

−=

δ'kkk

c sss

δδ

0.8'

para5.8 ≥=δ

skc


ks/δ' 0.3 0.5 0.8 0.9 2.6 5.2 ≥8.0

c 6.8 7.8 9.3 9.5 9.3 9.0 8.5


25.3log75.5 *

*

+

=ν


25.6log75.5*

+

=

sKR


=

skRx

uU 27.12log75.5

*


0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.1 1 10 100

x




Tabla 7.1: Valores de c en función de ks/δ’

ks/δ’ 0.3 0.5 0.8 0.9 2.6 5.2 ≥8.0

c 6.8 7.8 9.3 9.5 9.3 9.0 8.5

Ks eslarugosidadequivalentedellecho.Porintegracióndelaecuación(7.2)alolargo de la profundidad y en base a los datos experimentales de Bazin, Keulegan, [9],obtuvolassiguientesecuacioneslogarítmicasdedistribucióndevelocidades:

94

cky

uu

s

+

= log75.5

*


86.0'

para5118.5'

6913.4 ≤+=δδ

ss kkc

8.00.86para5568.9'

0708.0'

0076.02

<<+−

−=

δ'kkk

c sss

δδ

0.8'

para5.8 ≥=δ

skc


ks/δ' 0.3 0.5 0.8 0.9 2.6 5.2 ≥8.0

c 6.8 7.8 9.3 9.5 9.3 9.0 8.5


25.3log75.5 *

*

+

=ν


25.6log75.5*

+

=

sKR


=

skRx

uU 27.12log75.5

*


0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.1 1 10 100

x




Régimenhidráulicamenteliso (7.3a)

Régimenhidráulicamenterugoso (7.3b)

94

cky

uu

s

+

= log75.5

*


86.0'

para5118.5'

6913.4 ≤+=δδ

ss kkc

8.00.86para5568.9'

0708.0'

0076.02

<<+−

−=

δ'kkk

c sss

δδ

0.8'

para5.8 ≥=δ

skc


ks/δ' 0.3 0.5 0.8 0.9 2.6 5.2 ≥8.0

c 6.8 7.8 9.3 9.5 9.3 9.0 8.5


25.3log75.5 *

*

+

=ν


25.6log75.5*

+

=

sKR


=

skRx

uU 27.12log75.5

*


0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.1 1 10 100

x




Régimenentransición(7.3c)

0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.1 1 10 100

x

ks/δ'

Figura 7.3: Factor de corrección x de la distribución logarítmica de velocidades; Einstein, 1950

(Fuente: Hydraulics of Sediment Transport; W. H. Graf, 1971)

131


Tabla 7.2: Valores de x en función de ks/δ’(Fuente: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde, Ranga Raju 1977)

0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00

Alternativamente la estimación del valor de x puede calcularse, cuando ks/δ’<10 por:

95

δ'D

δ'ks 65= 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00

Alternativamente la estimación del valor de x puede calcularse, cuando ks/δ' < 10 por:

6094.1'

log0835.0'

log6491.2-'

log0741.1'

log7815.2'

log8385.0'

log91.023456

+

−

+

+

−

−=

δδδδδδssssss kkkkkk

x

Para ks/δ' > 10 , x = 1

7.3 Parámetros Comunes que Describen la Resistencia al Flujo

Tres son los parámetros más comunes para describir la resistencia al flujo permanente y uniforme: (1) El factor de fricción de Darcy-Weisbach, f; (2) el factor de resistencia de Chezy, C y el coeficiente de rugosidad de Manning, n.

Ecuación de Darcy-Weisbach:

Desarrollado para la pérdida de carga en flujo en tuberías es:

gU

DLfh f 2

2

= (7.4a)

Desde que el diámetro D = 4R y la pendiente de la línea de energía Sf = hf/L, la ecuación anterior puede escribirse como:

22

88

r

ff

FS

UgRS

f == (7.4b)

Donde Fr es el número de Froude, U la velocidad media y R el radio hidráulico. En términos de la velocidad de corte fgRSU =* , se tiene:

2

2*

*

88Uuf

fuU

=⇒= (7.4c)

Ecuación de Chezy y de Manning

fRSCU = (7.5a)

Un

R S=1 2

312 (7.5b)

En las ecuaciones de Chezy y Manning: U es la velocidad media del flujo, R es el radio hidráulico, S la pendiente de la línea de energía, C es el coeficiente de Chezy y n el coeficiente de rugosidad de Manning. Los valores de n para diferentes tipos de superficies están dados en Chow Ven Te [4]. Comparando ambas ecuaciones se obtiene la siguiente relación adimensional:

Para ks/δ’>10,x=1


Tressonlosparámetrosmáscomunesparadescribirlaresistenciaalflujopermanenteyuniforme:(1)ElfactordefriccióndeDarcy-Weisbach,f;(2)elfactorderesistenciadeChezy,CyelcoeficientederugosidaddeManning,n.


Desarrolladoparalapérdidadecargaenflujoentuberíases:

95

δ'D

δ'ks 65= 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00


6094.1'

log0835.0'

log6491.2-'

log0741.1'

log7815.2'

log8385.0'

log91.023456

+

−

+

+

−

−=


x

Para ks/δ' > 10 , x = 1





gU

DLfh f 2

2

= (7.4a)


22

88

r

ff

FS

UgRS

f == (7.4b)


2

2*

*

88Uuf

fuU

=⇒= (7.4c)


fRSCU = (7.5a)

Un

R S=1 2

312 (7.5b)


(7.4a)

Desde que el diámetro D = 4R y la pendiente de la línea de energía Sf = hf/L,laecuaciónanteriorpuedeescribirsecomo:

95

δ'D

δ'ks 65= 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00


6094.1'

log0835.0'

log6491.2-'

log0741.1'

log7815.2'

log8385.0'

log91.023456

+

−

+

+

−

−=


x

Para ks/δ' > 10 , x = 1





gU

DLfh f 2

2

= (7.4a)


22

88

r

ff

FS

UgRS

f == (7.4b)


2

2*

*

88Uuf

fuU

=⇒= (7.4c)


fRSCU = (7.5a)

Un

R S=1 2

312 (7.5b)


(7.4b)

Donde Fr es el número de Froude, U la velocidad media y R el radio hidráulico. En

términos de la velocidad de corte

95

δ'D

δ'ks 65= 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00


6094.1'

log0835.0'

log6491.2-'

log0741.1'

log7815.2'

log8385.0'

log91.023456

+

−

+

+

−

−=


x

Para ks/δ' > 10 , x = 1





gU

DLfh f 2

2

= (7.4a)


22

88

r

ff

FS

UgRS

f == (7.4b)


2

2*

*

88Uuf

fuU

=⇒= (7.4c)


fRSCU = (7.5a)

Un

R S=1 2

312 (7.5b)


,setiene:

95

δ'D

δ'ks 65= 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00


6094.1'

log0835.0'

log6491.2-'

log0741.1'

log7815.2'

log8385.0'

log91.023456

+

−

+

+

−

−=


x

Para ks/δ' > 10 , x = 1





gU

DLfh f 2

2

= (7.4a)


22

88

r

ff

FS

UgRS

f == (7.4b)


2

2*

*

88Uuf

fuU

=⇒= (7.4c)


fRSCU = (7.5a)

Un

R S=1 2

312 (7.5b)


132


95

δ'D

δ'ks 65= 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00


6094.1'

log0835.0'

log6491.2-'

log0741.1'

log7815.2'

log8385.0'

log91.023456

+

−

+

+

−

−=


x

Para ks/δ' > 10 , x = 1





gU

DLfh f 2

2

= (7.4a)


22

88

r

ff

FS

UgRS

f == (7.4b)


2

2*

*

88Uuf

fuU

=⇒= (7.4c)


fRSCU = (7.5a)

Un

R S=1 2

312 (7.5b)


(7.4c)


95

δ'D

δ'ks 65= 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0

x 0.70 1.00 1.38 1.56 1.61 1.38 1.10 1.03 1.00


6094.1'

log0835.0'

log6491.2-'

log0741.1'

log7815.2'

log8385.0'

log91.023456

+

−

+

+

−

−=


x

Para ks/δ' > 10 , x = 1





gU

DLfh f 2

2

= (7.4a)


22

88

r

ff

FS

UgRS

f == (7.4b)


2

2*

*

88Uuf

fuU

=⇒= (7.4c)


fRSCU = (7.5a)

Un

R S=1 2

312 (7.5b)


(7.5a)

(7.5b)

EnlasecuacionesdeChezyyManning:Ueslavelocidadmediadelflujo,R es el radio hidráulico, S la pendiente de la línea de energía, C es el coeficiente deChezy y n el coeficientederugosidaddeManning.LosvaloresdenparadiferentestiposdesuperficiesestándadosenChowVenTe[4].Comparandoambasecuacionesseobtienelasiguienterelaciónadimensional:

96

gnR

gC

uU 6

1

*

== (7.6a)

Relacionando la ecuación de Chezy y la ecuación de Darcy-Weisbach, se obtiene:

fgC 18

= (7.6b)

Ecuación de Strickler

Una relación usual es establecida igualando las ecuaciones (7.3b) y (7.6a):

Rn g

RKs

16

575 6 25=

+. log . (7.7)

La ecuación (7.7) puede ser aproximada por la relación lineal siguiente, con Ks en metros:

2424

61

61

61

s

s

Kn

KR

nR

=⇒

= (7.8)

Strickler, [24], en 1923 analizó datos de varios ríos de Suiza y encontró que nD

= 50

16

21.

Cuando el material de fondo no es uniforme, Meyer-Peper y Muller (1948) propone para el

valor de Ks el diámetro D90,26

61

90Dn = mientras que Einstein (1950) propone el valor de D65,

24

61

65Dn = ; estas diferentes proposiciones, de manera general, no introduce un error grande

en el cálculo de n debido a que el diámetro de la partícula está elevada a la potencia 1/6.

7.4 Ecuaciones de Resistencia Global en Cauces de Lecho Móvil

Muchos métodos han sido desarrollados con el objetivo de relacionar los parámetros hidráulicos, geométricos y sedimentométricos. Estos métodos pueden ser divididos en dos grandes grupos, cada uno con un determinado enfoque del problema. El primer grupo trata la resistencia al flujo como un todo y utiliza expresiones matemáticas relativamente simples, de naturaleza empírica, relacionando los parámetros que intervienen en el fenómeno. En el segundo grupo se considera que la resistencia al flujo es debida a la suma de dos efectos: de la “Rugosidad de Granos” que es función solo de la geometría de los sedimentos y de la “Rugosidad de Forma” que corresponde a la parte de resistencia debido a la conformación del lecho.

a) Fórmula Japonesa

(7.6)

RelacionandolaecuacióndeChezyylaecuacióndeDarcy-Weisbach,seobtiene:

96

gnR

gC

uU 6

1

*

== (7.6a)


fgC 18

= (7.6b)



Rn g

RKs

16

575 6 25=

+. log . (7.7)


2424

61

61

61

s

s

Kn

KR

nR

=⇒

= (7.8)


= 50

16

21.



61


24

61






(7.7)


Unarelaciónusualesestablecidaigualandolasecuaciones(7.3b)y(7.6):

96

gnR

gC

uU 6

1

*

== (7.6a)


fgC 18

= (7.6b)



Rn g

RKs

16

575 6 25=

+. log . (7.7)


2424

61

61

61

s

s

Kn

KR

nR

=⇒

= (7.8)


= 50

16

21.



61


24

61






(7.8)

133


Laecuación(7.8)puedeseraproximadaporlarelaciónlinealsiguiente,conKs en metros:

96

gnR

gC

uU 6

1

*

== (7.6a)


fgC 18

= (7.6b)



Rn g

RKs

16

575 6 25=

+. log . (7.7)


2424

61

61

61

s

s

Kn

KR

nR

=⇒

= (7.8)


= 50

16

21.



61


24

61






(7.9)

Strickler, [24], en1923analizódatosdevarios ríosdeSuizayencontróque

96

gnR

gC

uU 6

1

*

== (7.6a)


fgC 18

= (7.6b)



Rn g

RKs

16

575 6 25=

+. log . (7.7)


2424

61

61

61

s

s

Kn

KR

nR

=⇒

= (7.8)


= 50

16

21.



61


24

61






.Cuandoelmaterialde fondonoesuniforme,Meyer-PeperyMuller (1948)propone

para el valor de Ks el diámetro D90,

96

gnR

gC

uU 6

1

*

== (7.6a)


fgC 18

= (7.6b)



Rn g

RKs

16

575 6 25=

+. log . (7.7)


2424

61

61

61

s

s

Kn

KR

nR

=⇒

= (7.8)


= 50

16

21.



61


24

61






mientras queEinstein (1950) propone el

valor de D65,

96

gnR

gC

uU 6

1

*

== (7.6a)


fgC 18

= (7.6b)



Rn g

RKs

16

575 6 25=

+. log . (7.7)


2424

61

61

61

s

s

Kn

KR

nR

=⇒

= (7.8)


= 50

16

21.



61


24

61






; estas diferentes proposiciones, de manera general, no introduce

un error grande en el cálculo de n debido a que el diámetro de la partícula está elevada a

lapotencia1/6.


Muchos métodos han sido desarrollados con el objetivo de relacionar los parámetros hidráulicos, geométricos y sedimentométricos. Estos métodos pueden ser divididos en dos grandes grupos, cada uno con un determinado enfoque del problema. El primer grupo tratalaresistenciaalflujocomountodoyutilizaexpresionesmatemáticasrelativamentesimples, de naturaleza empírica, relacionando los parámetros que intervienen en el fenómeno.Enel segundogruposeconsideraque la resistenciaalflujoesdebidaa lasumadedosefectos:dela“Rugosidad de Granos” que es función solo de la geometría de los sedimentos y de la “Rugosidad de Forma” que corresponde a la parte de resistencia debido a la conformación del lecho.


Tomando como base la ecuación de distribución logarítmica de velocidades, investigadores japoneses estudiaron la variación de Ksenfuncióndeparámetrosapropiados:

97

Tomando como base la ecuación de distribución logarítmica de velocidades, investigadores japoneses estudiaron la variación de Ks en función de parámetros apropiados:

6log75.5*

+

=

sKR

uU (7.10)

Tsubaki y Furuya, [9], y con datos de ríos de Japón, obtuvieron la siguiente expresión paraKs en régimen de rizos y dunas:

−=

−21

*225.0148.3log τDK s (7.11)

donde: ( )τγγ γ*

*=−

ugD S

2

Ishihara, Iwagaki y Sueishi, [14], mediante experimentos de laboratorio, obtuvieron la siguiente ecuación para el régimen de fondo plano:

KD

s = 10 0 769τ *. (7.12)

b) Método de Garde-Ranga Raju (1966)

Partiendo del análisis dimensional del flujo bifásico, Garde y Ranga Raju, [14], establecieron la siguiente relación funcional:

−=

− νγγγ

φ

γγγ

23

21

,, DgSDR

gD

Uss

(7.13a)

El adimensional:ν

23

21

Dgque refleja la influencia de la viscosidad no es considerado en una

primera aproximación, restringiendo la fórmula a flujo en régimen turbulento rugoso.

21

32

−

=

−γγγ

γγγ ss

SDRK

gD

U(7.13b)

K = 7.66 (fondo plano) K = 3.20 (rizos y dunas) K = 6.00 (transición y antidunas)

c) Fórmula de Paris:

Usando una gran cantidad de datos de campo y de laboratorio, Paris, [9] presentó la siguiente fórmula para flujo subcrítico en ríos aluviales:

(7.10)

Tsubaki y Furuya,[9],ycondatosderíosdeJapón,obtuvieronlasiguienteexpresiónpara Ksenrégimenderizosydunas:

134


97


6log75.5*

+

=

sKR

uU (7.10)


−=

−21

*225.0148.3log τDK s (7.11)


*=−

ugD S

2


KD

s = 10 0 769τ *. (7.12)



−=

− νγγγ

φ

γγγ

23

21

,, DgSDR

gD

Uss

(7.13a)

El adimensional:ν

23

21



21

32

−

=

−γγγ

γγγ ss

SDRK

gD

U(7.13b)




(7.11)

donde:

97


6log75.5*

+

=

sKR

uU (7.10)


−=

−21

*225.0148.3log τDK s (7.11)


*=−

ugD S

2


KD

s = 10 0 769τ *. (7.12)



−=

− νγγγ

φ

γγγ

23

21

,, DgSDR

gD

Uss

(7.13a)

El adimensional:ν

23

21



21

32

−

=

−γγγ

γγγ ss

SDRK

gD

U(7.13b)




Ishihara, Iwagaki y Sueishi,[14],medianteexperimentosdelaboratorio,obtuvieronlasiguienteecuaciónparaelrégimendefondoplano:

97


6log75.5*

+

=

sKR

uU (7.10)


−=

−21

*225.0148.3log τDK s (7.11)


*=−

ugD S

2


KD

s = 10 0 769τ *. (7.12)



−=

− νγγγ

φ

γγγ

23

21

,, DgSDR

gD

Uss

(7.13a)

El adimensional:ν

23

21



21

32

−

=

−γγγ

γγγ ss

SDRK

gD

U(7.13b)




(7.12)


Partiendo del análisis dimensional del flujo bifásico, Garde y Ranga Raju, [14],establecieronlasiguienterelaciónfuncional:

97


6log75.5*

+

=

sKR

uU (7.10)


−=

−21

*225.0148.3log τDK s (7.11)


*=−

ugD S

2


KD

s = 10 0 769τ *. (7.12)



−=

− νγγγ

φ

γγγ

23

21

,, DgSDR

gD

Uss

(7.13a)

El adimensional:ν

23

21



21

32

−

=

−γγγ

γγγ ss

SDRK

gD

U(7.13b)




(7.13a)

Eladimensional:

97


6log75.5*

+

=

sKR

uU (7.10)


−=

−21

*225.0148.3log τDK s (7.11)


*=−

ugD S

2


KD

s = 10 0 769τ *. (7.12)



−=

− νγγγ

φ

γγγ

23

21

,, DgSDR

gD

Uss

(7.13a)

El adimensional:ν

23

21



21

32

−

=

−γγγ

γγγ ss

SDRK

gD

U(7.13b)




quereflejalainfluenciadelaviscosidadnoesconsideradoen

una primeraaproximación,restringiendolafórmulaaflujoenrégimenturbulentorugoso.

97


6log75.5*

+

=

sKR

uU (7.10)


−=

−21

*225.0148.3log τDK s (7.11)


*=−

ugD S

2


KD

s = 10 0 769τ *. (7.12)



−=

− νγγγ

φ

γγγ

23

21

,, DgSDR

gD

Uss

(7.13a)

El adimensional:ν

23

21



21

32

−

=

−γγγ

γγγ ss

SDRK

gD

U(7.13b)




(7.13b)

K =7.66(fondoplano) K=3.20(rizosydunas) K=6.00(transiciónyantidunas)

135



Usando una gran cantidad de datos de campo y de laboratorio, Paris, [9] presentó lasiguientefórmulaparaflujosubcríticoenríosaluviales:

98

2

*

*

*

* log12.0log47.01

+

−=

ccoCC

ττ

ττ

(7.14)


*c

c

s

ugD

=−

2

es el adimensional referido al esfuerzo de corte crítico obtenido

del gráfico de Shields; C es el coeficiente de Chezy para la profundidad actual del río; Co esel coeficiente de Chezy para la condición crítica, obtenida de:

=

35

10log32Dh

C co (7.15)

donde hc es la profundidad bajo condiciones críticas para una pendiente S, dada:

( )h

DSc

c s=−τ γ γ

γ* 35 (7.16)

d) Método de Brownlie (1983):

Esta es una de las más recientes contribuciones sobre resistencia al flujo. Se diferencia de los otros métodos por partir de un análisis dimensional y establecer relaciones funcionales simples:

qgD

RD

S

g3

1 529 0 389

0 1614 57=

.

. .

.σ(régimen de rizos y dunas) (7.17a)

qgD

RD

S

g3

1 60 0 46

0 1287 51=

.

. .

.σ(régimen de antidunas y rápidos) (7.17b)

En estas ecuaciones q representa el caudal líquido por unidad de ancho y σg la desviación estándar geométrica de los sedimentos.

7.5 Ecuaciones de Resistencia al Flujo con Subdivisión de la Resistencia

a) Ecuación de Einstein - Barbarosa (1952)

Este es el primer método desarrollado considerando la subdivisión de la resistencia al flujo. La resistencia total fue dividida en la suma de las resistencias debida al tamaño de los granos de arena y debida a la conformación del fondo.

τ τ τo o o= +' " (7.18)

Donde τo’ y τo” son los esfuerzos de corte correspondientes a la resistencia de los granos y de forma respectivamente. En términos del radio hidráulico la ecuación (7.18) se transforma en: γRS = γR’S + γR’’S, donde:

(7.14)

donde:

98

2

*

*

*

* log12.0log47.01

+

−=

ccoCC

ττ

ττ

(7.14)


*c

c

s

ugD

=−

2



=

35

10log32Dh

C co (7.15)


( )h

DSc

c s=−τ γ γ

γ* 35 (7.16)



qgD

RD

S

g3

1 529 0 389

0 1614 57=

.

. .


qgD

RD

S

g3

1 60 0 46

0 1287 51=

.

. .






τ τ τo o o= +' " (7.18)


es el adimensional referido al esfuerzo de corte crítico

obtenidodelgráficodeShields;C es el coeficientedeChezyparalaprofundidadactual

del río; CoeselcoeficientedeChezyparalacondicióncrítica,obtenidade:

98

2

*

*

*

* log12.0log47.01

+

−=

ccoCC

ττ

ττ

(7.14)


*c

c

s

ugD

=−

2



=

35

10log32Dh

C co (7.15)


( )h

DSc

c s=−τ γ γ

γ* 35 (7.16)



qgD

RD

S

g3

1 529 0 389

0 1614 57=

.

. .


qgD

RD

S

g3

1 60 0 46

0 1287 51=

.

. .






τ τ τo o o= +' " (7.18)


(7.15)

donde hc es la profundidad bajo condiciones críticas para una pendiente S,dada:

98

2

*

*

*

* log12.0log47.01

+

−=

ccoCC

ττ

ττ

(7.14)


*c

c

s

ugD

=−

2



=

35

10log32Dh

C co (7.15)


( )h

DSc

c s=−τ γ γ

γ* 35 (7.16)



qgD

RD

S

g3

1 529 0 389

0 1614 57=

.

. .


qgD

RD

S

g3

1 60 0 46

0 1287 51=

.

. .






τ τ τo o o= +' " (7.18)


(7.16)

d) Método de Brownlie (1983): Estaesunadelasmásrecientescontribucionessobreresistenciaalflujo.Sediferenciadelos otros métodos por partir de un análisis dimensional y establecer relaciones funcionales simples:

98

2

*

*

*

* log12.0log47.01

+

−=

ccoCC

ττ

ττ

(7.14)


*c

c

s

ugD

=−

2



=

35

10log32Dh

C co (7.15)


( )h

DSc

c s=−τ γ γ

γ* 35 (7.16)



qgD

RD

S

g3

1 529 0 389

0 1614 57=

.

. .


qgD

RD

S

g3

1 60 0 46

0 1287 51=

.

. .






τ τ τo o o= +' " (7.18)


(régimenderizosydunas) (7.17a)

(régimendeantidunasyrápidos) (7.17b)


136




Este es el primer método desarrollado considerando la subdivisión de la resistencia al flujo.Laresistenciatotalfuedivididaenlasumadelasresistenciasdebidaaltamañodelos granos de arena y debida a la conformación del fondo.

98

2

*

*

*

* log12.0log47.01

+

−=

ccoCC

ττ

ττ

(7.14)


*c

c

s

ugD

=−

2



=

35

10log32Dh

C co (7.15)


( )h

DSc

c s=−τ γ γ

γ* 35 (7.16)



qgD

RD

S

g3

1 529 0 389

0 1614 57=

.

. .


qgD

RD

S

g3

1 60 0 46

0 1287 51=

.

. .






τ τ τo o o= +' " (7.18)


(7.18)

Donde to’ y to” son los esfuerzos de corte correspondientes a la resistencia de los granos ydeformarespectivamente.Entérminosdelradiohidráulicolaecuación(7.18)setransformaen:gRS = gR’S + gR’’S,donde:

99

R R R= +' " (7.19)

R’ y R” son los radios hidráulicos correspondientes a las resistencias del grano y de la forma del lecho respectivamente. Para una configuración de fondo plano y un régimen hidráulicamente rugoso, el coeficiente de Manning es dado por la ecuación de Strickler, ecuación (7.8), con Ks = D65:

24'

61

65Dn = (7.20)

Combinando las ecuaciones (7.20) y (7.6) y usando R’ para el radio hidráulico, se tiene:

61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '

''*oSgRu == . La ecuación anterior puede ser reemplazada por la siguiente

ecuación logarítmica para el cálculo de la resistencia al flujo debido a la rugosidad del grano. Esta ecuación fue presentada por Keulegan en 1938, [6] y tiene un mayor soporte teórico:

=

65*

'27.12log75.5' D

RuU Régimen hidráulicamente rugoso (7.22)

=

65*

'27.12log75.5' D

xRuU Régimen hidráulicamente liso y rugoso (7.23)

Siendo x un factor de corrección que es función de D65/δ‘ , mostrado en la Figura 5.1.

La resistencia debida a la configuración del fondo, (resistencia debida a forma), es debida a la presencia de ondulaciones en el lecho y esta representada por el número adimensional

"*uU

, que según los autores depende del transporte de fondo, que a su vez es función del

parámetro adimensional Ψ' , o sea )'("*

Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)

Utilizando diversos datos de laboratorio y de ríos naturales, Einstein y Barbarosa, definieron la relación gráfica de la Figura 7.4.

Para la construcción de las curvas de altura - descarga, se requiere de un procedimiento de aproximación asumiendo un valor razonable de R’ se calcula R” hasta satisfacer la condición de que: R = R’+ R”.

(7.19)

R’ y R” son los radios hidráulicos correspondientes a las resistencias del grano y de la formadellechorespectivamente.Paraunaconfiguracióndefondoplanoyunrégimenhidráulicamenterugoso,elcoeficientedeManningesdadoporlaecuacióndeStrickler,ecuación(7.8),conKs = D65:

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



(7.20)

Combinandolasecuaciones(7.20)y(7.6)yusandoR’paraelradiohidráulico,setiene:

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



(7.21)

Donde

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



. La ecuación anterior puede ser reemplazada por

la siguiente ecuación logarítmica para el cálculo de la resistencia al flujo debido a la

rugosidaddelgrano.EstaecuaciónfuepresentadaporKeuleganen1938,[6]ytieneun

mayorsoporteteórico:

137


99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



Régimenhidráulicamenterugoso (7.22)

Régimenhidráulicamentelisoyrugoso (7.23)

Siendo x un factor de corrección que es función de

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



, mostrado en la Figura 7.3.

La resistenciadebidaalaconfiguracióndelfondo,(resistenciadebidaaforma),esdebida

a la presencia de ondulaciones en el lecho y esta representada por el número adimensional

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)




parámetro adimensional

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



, o sea

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



siendo

99

R R R= +' " (7.19)


24'

61

65Dn = (7.20)


61

65*

'66.7'

=

DR

uU

(7.21)

Dondeρτ '



=

65*

'27.12log75.5' D


=

65*

'27.12log75.5' D




"*uU



Ψ= fuU

; siendo

( ) ( )SRDD s

o

s

''' 3535

γγγ

τγγ −

=−

=Ψ (7.24)



(7.24)

Utilizando diversos datos de laboratorio y de ríos naturales, Einstein y Barbarosa, definieronlarelacióngráficadelaFigura7.4.

Para la construcción de las curvas de altura - descarga, se requiere de un procedimiento de aproximación asumiendo un valor razonable de R’ se calcula R” hasta satisfacer la condicióndeque: R = R’+ R”.

100

Figura 7.4: Resistencia de forma del lecho según Einstein y Barbarosa (1952)(Fuente: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

b) Ecuación de Engelund

Como fue hecho por Einstein y Barbaroza, Engelund, propuso la separación del esfuerzo de corte y el radio hidráulico. Engelund encontró en sus experimentos que la resistencia del fondo plano con movimiento de sedimentos es mayor que el del fondo plano sin transporte de sedimentos. La resistencia de granos puede ser representada por la siguiente ecuación:

0.62

'log75.5' 65*

+

=

DR

uU (7.25)

Usando la ecuación anterior R’ y R” fueron calculados para datos obtenidos en laboratorio y

de campo, encontrando que ( )τ

γ γo

s D'

− 35

es una función de ( )τ

γ γo

s D− 35

y el régimen de

flujo; como muestra la Figura 7.5. Engelund también propuso que el régimen de flujo es

determinado del criterio de relacionar en número de Froude con '*u

U , criterio de Engelund y

Hansen. Para la determinación de la velocidad media el régimen de flujo puede ser asumido y luego R’ obtenida con la ayuda de la Figura 7.5. Luego la velocidad media es determinada mediante la ecuación (7.25). Finalmente el régimen de flujo debe ser chequeado bajo el criterio antes mencionado. Si el régimen predecido no concuerda con lo asumido, será necesaria una segunda iteración.

Figura 7.4: Resistencia de forma del lecho según Einstein y Barbarosa (1952) (Fuente: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

138



Como fue hecho por Einstein y Barbaroza, Engelund, propuso la separación del esfuerzo de corte y el radio hidráulico. Engelund encontró en sus experimentos que la resistencia del fondo plano con movimiento de sedimentos es mayor que el del fondo plano sin transporte desedimentos.Laresistenciadegranospuedeserrepresentadaporlasiguienteecuación:

100




0.62

'log75.5' 65*

+

=

DR

uU (7.25)



γ γo

s D'

− 35


γ γo

s D− 35

y el régimen de



U, criterio de Engelund y


(7.25)

Usando la ecuación anterior R’ y R” fueron calculados para datos obtenidos en laboratorio

y de campo, encontrando que

100




0.62

'log75.5' 65*

+

=

DR

uU (7.25)



γ γo

s D'

− 35


γ γo

s D− 35

y el régimen de





es una función de

100




0.62

'log75.5' 65*

+

=

DR

uU (7.25)



γ γo

s D'

− 35


γ γo

s D− 35

y el régimen de





y el régimen

de flujo; comomuestra la Figura 7.5. Engelund también propuso que el régimen de

flujoesdeterminadodelcriteriode relacionarennúmerodeFroudecon

100




0.62

'log75.5' 65*

+

=

DR

uU (7.25)



γ γo

s D'

− 35


γ γo

s D− 35

y el régimen de





, criterio

deEngelundyHansen.Paraladeterminacióndelavelocidadmediaelrégimendeflujo

puede ser asumido y luego R’ obtenida con la ayuda de la Figura 7.5. Luego la velocidad

mediaesdeterminadamediantelaecuación(7.25).Finalmenteelrégimendeflujodebe

ser chequeado bajo el criterio antes mencionado. Si el régimen predecido no concuerda

con lo asumido, será necesaria una segunda iteración.

101

Figura 7.5: Relación de Engelund entre el esfuerzo de corte de granos y el esfuerzo total(Fuente: Fluvial Processes in River Engineering; Howard H. Chang, 1988)

Ejemplo 7.1:

Agua con viscosidad cinemática igual a 10-6 m2/s fluye a través de un canal trapezoidal de rugosidad uniforme ks = 3 mm, ancho de la base b= 3 m y talud z = 1. La profundidad de agua es 0.5 m y la pendiente del canal igual a 0.0001. Calcular la velocidad media.

Solución:

m396.0115.0235.015.03

12 2

2

2

2

=+×+

×+×=

++

+==

zybzyby

PAR

m/s0197.00001.0396.081.9* =××== gRSu

mm59.0m1059.00197.0

106.116.11' 36

*

=×=×

== −−

uνδ

iónen transicsuperficieunaaecorrespond0.609.559.03

'⇒<==

δsk

El valor del factor de corrección para 5.09 es x = 1.04; por lo tanto:

m/s366.0103

04.1396.027.12log75.50197.0

27.12log75.5 3*

=⇒

×××

=⇒

= − UU

kRx

uU

s


139


Ejemplo 7.1:

Agua con viscosidad cinemática igual a 10-6 m2/sfluyeatravésdeuncanaltrapezoidalderugosidad uniforme ks = 3 mm, ancho de la base b= 3 m y talud z = 1. La profundidad de agua es 0.5 m y la pendiente del canal igual a 0.0001. Calcular la velocidad media.

Solución:

101


Ejemplo 7.1:


Solución:

m396.0115.0235.015.03

12 2

2

2

2

=+×+

×+×=

++

+==

zybzyby

PAR

m/s0197.00001.0396.081.9* =××== gRSu

mm59.0m1059.00197.0

106.116.11' 36

*

=×=×

== −−

uνδ


'⇒<==

δsk


m/s366.0103

04.1396.027.12log75.50197.0

27.12log75.5 3*

=⇒

×××

=⇒

= − UU

kRx

uU

s

101


Ejemplo 7.1:


Solución:

m396.0115.0235.015.03

12 2

2

2

2

=+×+

×+×=

++

+==

zybzyby

PAR

m/s0197.00001.0396.081.9* =××== gRSu

mm59.0m1059.00197.0

106.116.11' 36

*

=×=×

== −−

uνδ


'⇒<==

δsk


m/s366.0103

04.1396.027.12log75.50197.0

27.12log75.5 3*

=⇒

×××

=⇒

= − UU

kRx

uU

s

Elvalordelfactordecorrecciónpara5.09esx=1.04;porlotanto:

101


Ejemplo 7.1:


Solución:

m396.0115.0235.015.03

12 2

2

2

2

=+×+

×+×=

++

+==

zybzyby

PAR

m/s0197.00001.0396.081.9* =××== gRSu

mm59.0m1059.00197.0

106.116.11' 36

*

=×=×

== −−

uνδ


'⇒<==

δsk


m/s366.0103

04.1396.027.12log75.50197.0

27.12log75.5 3*

=⇒

×××

=⇒

= − UU

kRx

uU

s

Ejemplo 7.2:

Determinar la curva de profundidad-descarga, para el río Muymanu, aplicando las diferentesecuacionesderesistenciaalflujo.

Tabla 7.3: Mediciones de campo y cálculos previos para cinco secciones del río

Sección Progresiva Cota Agua Area Perímetro Velocidad Caudal Pendiente

(m) (msnm) (m2) (m) (m/s) (m3/s) del tramo1 0.0 192.50 100.48 30.38 0.59 59.58 2 58.0 192.45 100.65 34.00 0.57 57.07 0.000863 98.0 192.42 102.85 32.39 0.58 59.65 0.000754 153.0 192.38 69.27 23.67 0.86 59.64 0.000735 224.0 192.33 117.53 34.64 0.50 58.17 0.00070

valores promedios 192.42 98.15 31.01 0.62 58.82 0.00076

140


Tabla 7.4: Cálculo de los coeficientes de rugosidad para cinco secciones del río

Sección Progresiva n Profundidad R u* f C

(m) Manning y (m) (m) m/s Darcy Chezy

1 0.0 5.50 3.31

2 58.0 0.108 5.45 2.96 0.16 0.623 11.223

3 98.0 0.101 5.42 3.18 0.15 0.556 11.884

4 153.0 0.079 5.38 2.93 0.14 0.225 18.664

5 224.0 0.085 5.33 3.39 0.15 0.765 10.127


Tabla 7.5: Mediciones de una sección transversal representativa del río

Distancia (m) 0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0 28.0 30.0Cota (msnm) 192.5 190.0 189.0 187.5 187.0 187.5 189.0 191.0 192.5

102

Ejemplo 7.2:

Determinar la curva de profundidad-descarga, para el río Muymanu, aplicando las diferentes ecuaciones de resistencia al flujo.

Tabla 7.3: Mediciones de campo y cálculos previos para cinco secciones del río

Sección Progresiva Cota Agua Area Perímetro Velocidad Caudal Pendiente(m) (msnm) (m2) (m) (m/s) (m3/s) del tramo

1 0.0 192.50 100.48 30.38 0.59 59.582 58.0 192.45 100.65 34.00 0.57 57.07 0.000863 98.0 192.42 102.85 32.39 0.58 59.65 0.000754 153.0 192.38 69.27 23.67 0.86 59.64 0.000735 224.0 192.33 117.53 34.64 0.50 58.17 0.00070


Tabla 7.4: Cálculo de los coeficientes de rugosidad para cinco secciones del río

Sección Progresiva n Profundidad R u* f C(m) Manning y (m) (m) m/s Darcy Chezy

1 0.0 5.50 3.312 58.0 0.108 5.45 2.96 0.16 0.623 11.2233 98.0 0.101 5.42 3.18 0.15 0.556 11.8844 153.0 0.079 5.38 2.93 0.14 0.225 18.6645 224.0 0.085 5.33 3.39 0.15 0.765 10.127


Tabla 7.5: Mediciones de una sección transversal representativa del río

Distancia (m) 0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0 28.0 30.0Cota (msnm) 192.5 190.0 189.0 187.5 187.0 187.5 189.0 191.0 192.5

187

188

189

190

191

192

0 5 10 15 20 25 30

Cot

a (m

snm

)

Distancia desde la margen izquierda (m)

Figura 7.6: Sección transversal del río MuymanuFigura 7.6: Sección transversal del río Muymanu

141


Pesoespefíficodelmaterialdellecho:

103

Peso espefífico del material del lecho: 3kg/m2650=sγPeso espefífico del agua: 3kg/m1000=γViscosidad cinemática del agua: /sm10 26−=νCoeficiente de rugosidad de Manning: n = 0.093Pendiente promedio del río: S = 0.00076Aceleración de la gravedad: g = 9.81 m/s2

Diámetros característicos de partículas: D35 = 0.42 mm = 0.00042 mD50 = 0.49 mm = 0.00049 mD65 = 0.55 mm = 0.00055 mD90 = 0.75 mm = 0.00075 mDm = 0.49 mm = 0.00049 mDg = 0.46 mm = 0.00046 m

Tabla 7.6: Cálculo de parámetros hidráulicos del río

y A P T R U Q τ0 τ* (m) (m2) (m) (m) (m) (m/s) (m3/s) (kg/m2)

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.0000.50 2.00 8.06 8.00 0.25 0.12 0.23 0.189 0.2331.00 6.65 10.76 10.50 0.62 0.22 1.43 0.470 0.5811.50 12.65 14.11 13.70 0.90 0.28 3.49 0.681 0.8432.00 20.15 16.62 16.00 1.21 0.34 6.79 0.921 1.1402.50 28.90 19.80 19.00 1.46 0.38 11.02 1.109 1.3723.00 39.15 22.98 22.00 1.70 0.42 16.55 1.295 1.6013.50 50.65 25.12 23.90 2.02 0.47 23.96 1.532 1.8954.00 63.00 27.10 25.60 2.32 0.52 32.77 1.767 2.1854.50 76.20 28.91 27.10 2.64 0.57 43.10 2.003 2.4785.00 89.95 30.55 28.40 2.94 0.61 54.78 2.238 2.7685.50 104.50 32.44 30.00 3.22 0.65 67.57 2.448 3.028

A = 2.4057y2 + 6.219y - 1.3124

P = 5.4541y + 4.7055

R = 0.5848y - 0.0014

Q = 2.6599y2 - 2.5362y + 0.7436

0

20

40

60

80

100

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Pará

met

ros

hidr

áulic

os

Profundidad Y en metros

A

P

Q

R

Figura 7.7: Variación de los Parámetros Hidráulicos con la Profundidad

Pesoespefíficodelagua:

103





0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.0000.50 2.00 8.06 8.00 0.25 0.12 0.23 0.189 0.2331.00 6.65 10.76 10.50 0.62 0.22 1.43 0.470 0.5811.50 12.65 14.11 13.70 0.90 0.28 3.49 0.681 0.8432.00 20.15 16.62 16.00 1.21 0.34 6.79 0.921 1.1402.50 28.90 19.80 19.00 1.46 0.38 11.02 1.109 1.3723.00 39.15 22.98 22.00 1.70 0.42 16.55 1.295 1.6013.50 50.65 25.12 23.90 2.02 0.47 23.96 1.532 1.8954.00 63.00 27.10 25.60 2.32 0.52 32.77 1.767 2.1854.50 76.20 28.91 27.10 2.64 0.57 43.10 2.003 2.4785.00 89.95 30.55 28.40 2.94 0.61 54.78 2.238 2.7685.50 104.50 32.44 30.00 3.22 0.65 67.57 2.448 3.028

A = 2.4057y2 + 6.219y - 1.3124

P = 5.4541y + 4.7055

R = 0.5848y - 0.0014

Q = 2.6599y2 - 2.5362y + 0.7436

0

20

40

60

80

100

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Pará

met

ros

hidr

áulic

os


A

P

Q

R


Viscosidadcinemáticadelagua:

103





0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.0000.50 2.00 8.06 8.00 0.25 0.12 0.23 0.189 0.2331.00 6.65 10.76 10.50 0.62 0.22 1.43 0.470 0.5811.50 12.65 14.11 13.70 0.90 0.28 3.49 0.681 0.8432.00 20.15 16.62 16.00 1.21 0.34 6.79 0.921 1.1402.50 28.90 19.80 19.00 1.46 0.38 11.02 1.109 1.3723.00 39.15 22.98 22.00 1.70 0.42 16.55 1.295 1.6013.50 50.65 25.12 23.90 2.02 0.47 23.96 1.532 1.8954.00 63.00 27.10 25.60 2.32 0.52 32.77 1.767 2.1854.50 76.20 28.91 27.10 2.64 0.57 43.10 2.003 2.4785.00 89.95 30.55 28.40 2.94 0.61 54.78 2.238 2.7685.50 104.50 32.44 30.00 3.22 0.65 67.57 2.448 3.028

A = 2.4057y2 + 6.219y - 1.3124

P = 5.4541y + 4.7055

R = 0.5848y - 0.0014

Q = 2.6599y2 - 2.5362y + 0.7436

0

20

40

60

80

100

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Pará

met

ros

hidr

áulic

os


A

P

Q

R


CoeficientederugosidaddeManning: n=0.093

Pendientepromediodelrío: S=0.00076

Aceleracióndelagravedad: g=9.81m/s2

Diámetroscaracterísticosdepartículas: D35 = 0.42 mm = 0.00042 m

D50 = 0.49 mm = 0.00049 m

D65 = 0.55 mm = 0.00055 m

D90 = 0.75 mm = 0.00075 m

Dm = 0.49 mm = 0.00049 m

Dg = 0.46 mm = 0.00046 m


y A P T R U Q τ0 τ*

(m) (m2) (m) (m) (m) (m/s) (m3/s) (kg/m2)

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000

0.50 2.00 8.06 8.00 0.25 0.12 0.23 0.189 0.233

1.00 6.65 10.76 10.50 0.62 0.22 1.43 0.470 0.581

1.50 12.65 14.11 13.70 0.90 0.28 3.49 0.681 0.843

2.00 20.15 16.62 16.00 1.21 0.34 6.79 0.921 1.140

2.50 28.90 19.80 19.00 1.46 0.38 11.02 1.109 1.372

3.00 39.15 22.98 22.00 1.70 0.42 16.55 1.295 1.601

3.50 50.65 25.12 23.90 2.02 0.47 23.96 1.532 1.895

4.00 63.00 27.10 25.60 2.32 0.52 32.77 1.767 2.185

4.50 76.20 28.91 27.10 2.64 0.57 43.10 2.003 2.478

5.00 89.95 30.55 28.40 2.94 0.61 54.78 2.238 2.768

5.50 104.50 32.44 30.00 3.22 0.65 67.57 2.448 3.028

142


103





0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.0000.50 2.00 8.06 8.00 0.25 0.12 0.23 0.189 0.2331.00 6.65 10.76 10.50 0.62 0.22 1.43 0.470 0.5811.50 12.65 14.11 13.70 0.90 0.28 3.49 0.681 0.8432.00 20.15 16.62 16.00 1.21 0.34 6.79 0.921 1.1402.50 28.90 19.80 19.00 1.46 0.38 11.02 1.109 1.3723.00 39.15 22.98 22.00 1.70 0.42 16.55 1.295 1.6013.50 50.65 25.12 23.90 2.02 0.47 23.96 1.532 1.8954.00 63.00 27.10 25.60 2.32 0.52 32.77 1.767 2.1854.50 76.20 28.91 27.10 2.64 0.57 43.10 2.003 2.4785.00 89.95 30.55 28.40 2.94 0.61 54.78 2.238 2.7685.50 104.50 32.44 30.00 3.22 0.65 67.57 2.448 3.028

A = 2.4057y2 + 6.219y - 1.3124

P = 5.4541y + 4.7055

R = 0.5848y - 0.0014

Q = 2.6599y2 - 2.5362y + 0.7436

0

20

40

60

80

100

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Pará

met

ros

hidr

áulic

os


A

P

Q

R

Figura 7.7: Variación de los Parámetros Hidráulicos con la ProfundidadFigura 7.7: Variación de los Parámetros Hidráulicos con la Profundidad

Tabla 7.7: Aplicación de la Fórmula Japonesa

Tsubaki y Furuya Ishihara, Iwagaki y Sueishi

y u* τ* Ks U Q Ks U Q

(m) (m/s) (m) (m/s) (m3/s) (m) (m/s) (m3/s)

0.00 0.000 0.000 0.000 0 0 0 0 0

0.50 0.043 0.233 0.035 0.47 0.93 0.0016 0.80 0.38

1.00 0.068 0.581 0.139 0.66 4.39 0.0032 1.30 3.12

1.50 0.082 0.843 0.208 0.79 9.98 0.0043 1.58 8.62

2.00 0.095 1.140 0.273 0.92 18.62 0.0054 1.86 18.57

2.50 0.104 1.372 0.317 1.02 29.57 0.0062 2.05 32.06

3.00 0.113 1.601 0.356 1.12 43.72 0.0070 2.22 50.69

3.50 0.123 1.895 0.399 1.23 62.37 0.0080 2.43 77.62

4.00 0.132 2.185 0.437 1.34 84.38 0.0089 2.62 111.31

4.50 0.140 2.478 0.471 1.44 110.04 0.0098 2.80 152.64

5.00 0.148 2.768 0.501 1.54 138.93 0.0107 2.97 201.28

5.50 0.155 3.028 0.525 1.63 170.53 0.0115 3.11 255.84

143


Tabla 7.8: Aplicación de las fórmulas de Garde-Ranga Raju, Paris y Brownlie

Garde-Ranga Raju Paris Brownlie

y τ*U Q C U Q q Q

(m) (m/s) (m3/s) (m/s) (m3/s) (m3/s.m) (m3/s)0.00 0.000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.50 0.233 0.39 0.78 11.81 0.51 1.02 0.45 3.571.00 0.581 0.71 4.75 10.24 0.69 4.62 1.80 18.941.50 0.843 0.92 11.58 9.78 0.80 10.11 3.19 43.642.00 1.140 1.12 22.55 9.48 0.90 18.16 5.05 80.852.50 1.372 1.27 36.60 9.33 0.97 28.13 6.71 127.513.00 1.601 1.40 54.97 9.23 1.04 40.71 8.50 187.013.50 1.895 1.57 79.57 9.13 1.12 56.72 11.00 262.874.00 2.185 1.73 108.83 9.07 1.19 75.23 13.67 350.024.50 2.478 1.88 143.12 9.03 1.27 96.44 16.57 448.965.00 2.768 2.02 181.89 9.00 1.33 119.96 19.62 557.285.50 3.028 2.15 224.37 8.99 1.39 145.53 22.51 675.42

Tabla 7.9: Aplicación de la fórmula de Engelund

y A τ* τ*’ τo’ u’ * R’ U Q (m) (m2) (m/s) (m/s) (Kg/m2) (m/s) (m) (m/s) (m3/s)0.00 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000.50 2.00 0.233 0.022 0.015 0.012 0.020 0.16 0.321.00 6.65 0.581 0.135 0.094 0.030 0.123 0.54 3.581.50 12.65 0.843 0.284 0.197 0.044 0.259 0.86 10.922.00 20.15 1.140 0.520 0.360 0.059 0.474 1.26 25.322.50 28.90 1.372 0.753 0.522 0.072 0.687 1.58 45.643.00 39.15 1.601 1.026 0.711 0.084 0.935 1.91 74.693.50 50.65 1.895 1.437 0.996 0.099 1.310 2.34 118.584.00 63.00 2.185 1.910 1.324 0.114 1.742 2.78 175.164.50 76.20 2.478 2.456 1.702 0.129 2.239 3.23 246.385.00 89.95 2.768 3.064 2.123 0.144 2.794 3.69 332.065.50 104.50 3.028 3.668 2.542 0.158 3.344 4.11 429.47

144


Aplicación de la Ecuación de Einstein y Barbarosa

R’ asumido

105

5.00 89.95 2.768 3.064 2.123 0.144 2.794 3.69 332.065.50 104.50 3.028 3.668 2.542 0.158 3.344 4.11 429.47


R’ asumido SgRu ''* = '6.11'*uνδ = ks = D65

El valor de x se calcula del gráfico o en su defecto de la siguiente ecuación aproximada:

6094.1'

log0835.0'

log6491.2

'log0741.1

'log7815.2

'log8385.0

'log91.0

2

3456

+

−

−

+

+

−

−=

δδ

δδδδ

ss

ssss

kk

kkkkx

=

skRx

uU 27.12log75.5

'*

'' 35

SRDs

γγγ −

=Ψ

u*" se calcula del gráfico o en su defecto de la siguiente ecuación aproximada:

6008.1)'(log1309.1)'(log6281.0)'(log1546.0)'(log0111.0"

log 234

*

+Ψ−Ψ+Ψ−Ψ−=

uU

Una vez calculada U*" se calcula R” de: gS

uR2

*""= ; luego R = R’ + R”

Si R calculado es diferente al valor de R correspondiente al tirante de la Tabla 7.6, el proceso continua asumiendo un nuevo valor para R’.

Tabla 7.10: Aplicación del Método de Einstein y Barbarosa

y R' u*' δ' x U ψ' U/u*" u*" R" R A Q(m) (m) (m/s) (m) (m/s) (m/s) (m) (m) (m2) (m3/s)

0.00 0.000 0.000 0.00000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0.00 0.00 0.000.50 0.015 0.011 0.00110 1.39 0.16 60.79 3.91 0.041 0.23 0.25 2.00 0.321.00 0.098 0.027 0.00043 1.57 0.55 9.30 8.80 0.062 0.52 0.62 6.65 3.651.50 0.230 0.041 0.00028 1.40 0.92 3.96 13.02 0.071 0.67 0.90 12.65 11.622.00 0.800 0.077 0.00015 1.12 1.91 1.14 34.56 0.055 0.41 1.21 20.15 38.472.50 1.210 0.095 0.00012 1.06 2.43 0.75 56.17 0.043 0.25 1.46 28.90 70.343.00 1.520 0.106 0.00011 1.04 2.78 0.60 76.63 0.036 0.18 1.70 39.15 108.983.50 1.900 0.119 0.00010 1.03 3.18 0.48 107.18 0.030 0.12 2.02 50.65 160.824.00 2.240 0.129 0.00009 1.02 3.50 0.41 140.23 0.025 0.08 2.32 63.00 220.454.50 2.580 0.139 0.00008 1.02 3.80 0.35 179.29 0.021 0.06 2.64 76.20 289.845.00 2.890 0.147 0.00008 1.02 4.07 0.32 220.67 0.018 0.05 2.94 89.95 365.825.50 3.180 0.154 0.00008 1.02 4.30 0.29 264.79 0.016 0.04 3.22 104.50 449.62

El valor de x se calcula del gráfico o en su defecto de la siguiente ecuaciónaproximada:

105

5.00 89.95 2.768 3.064 2.123 0.144 2.794 3.69 332.065.50 104.50 3.028 3.668 2.542 0.158 3.344 4.11 429.47




6094.1'

log0835.0'

log6491.2

'log0741.1

'log7815.2

'log8385.0

'log91.0

2

3456

+

−

−

+

+

−

−=

δδ

δδδδ

ss

ssss

kk

kkkkx

=

skRx

uU 27.12log75.5

'*

'' 35

SRDs

γγγ −

=Ψ


6008.1)'(log1309.1)'(log6281.0)'(log1546.0)'(log0111.0"

log 234

*


uU


uR2

*""= ; luego R = R’ + R”




0.00 0.000 0.000 0.00000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0.00 0.00 0.000.50 0.015 0.011 0.00110 1.39 0.16 60.79 3.91 0.041 0.23 0.25 2.00 0.321.00 0.098 0.027 0.00043 1.57 0.55 9.30 8.80 0.062 0.52 0.62 6.65 3.651.50 0.230 0.041 0.00028 1.40 0.92 3.96 13.02 0.071 0.67 0.90 12.65 11.622.00 0.800 0.077 0.00015 1.12 1.91 1.14 34.56 0.055 0.41 1.21 20.15 38.472.50 1.210 0.095 0.00012 1.06 2.43 0.75 56.17 0.043 0.25 1.46 28.90 70.343.00 1.520 0.106 0.00011 1.04 2.78 0.60 76.63 0.036 0.18 1.70 39.15 108.983.50 1.900 0.119 0.00010 1.03 3.18 0.48 107.18 0.030 0.12 2.02 50.65 160.824.00 2.240 0.129 0.00009 1.02 3.50 0.41 140.23 0.025 0.08 2.32 63.00 220.454.50 2.580 0.139 0.00008 1.02 3.80 0.35 179.29 0.021 0.06 2.64 76.20 289.845.00 2.890 0.147 0.00008 1.02 4.07 0.32 220.67 0.018 0.05 2.94 89.95 365.825.50 3.180 0.154 0.00008 1.02 4.30 0.29 264.79 0.016 0.04 3.22 104.50 449.62

u*”secalculadelgráficooensudefectodelasiguienteecuaciónaproximada:

105

5.00 89.95 2.768 3.064 2.123 0.144 2.794 3.69 332.065.50 104.50 3.028 3.668 2.542 0.158 3.344 4.11 429.47




6094.1'

log0835.0'

log6491.2

'log0741.1

'log7815.2

'log8385.0

'log91.0

2

3456

+

−

−

+

+

−

−=

δδ

δδδδ

ss

ssss

kk

kkkkx

=

skRx

uU 27.12log75.5

'*

'' 35

SRDs

γγγ −

=Ψ


6008.1)'(log1309.1)'(log6281.0)'(log1546.0)'(log0111.0"

log 234

*


uU


uR2

*""= ; luego R = R’ + R”




0.00 0.000 0.000 0.00000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0.00 0.00 0.000.50 0.015 0.011 0.00110 1.39 0.16 60.79 3.91 0.041 0.23 0.25 2.00 0.321.00 0.098 0.027 0.00043 1.57 0.55 9.30 8.80 0.062 0.52 0.62 6.65 3.651.50 0.230 0.041 0.00028 1.40 0.92 3.96 13.02 0.071 0.67 0.90 12.65 11.622.00 0.800 0.077 0.00015 1.12 1.91 1.14 34.56 0.055 0.41 1.21 20.15 38.472.50 1.210 0.095 0.00012 1.06 2.43 0.75 56.17 0.043 0.25 1.46 28.90 70.343.00 1.520 0.106 0.00011 1.04 2.78 0.60 76.63 0.036 0.18 1.70 39.15 108.983.50 1.900 0.119 0.00010 1.03 3.18 0.48 107.18 0.030 0.12 2.02 50.65 160.824.00 2.240 0.129 0.00009 1.02 3.50 0.41 140.23 0.025 0.08 2.32 63.00 220.454.50 2.580 0.139 0.00008 1.02 3.80 0.35 179.29 0.021 0.06 2.64 76.20 289.845.00 2.890 0.147 0.00008 1.02 4.07 0.32 220.67 0.018 0.05 2.94 89.95 365.825.50 3.180 0.154 0.00008 1.02 4.30 0.29 264.79 0.016 0.04 3.22 104.50 449.62

Una vez calculada U*”secalculaR”de:

105

5.00 89.95 2.768 3.064 2.123 0.144 2.794 3.69 332.065.50 104.50 3.028 3.668 2.542 0.158 3.344 4.11 429.47




6094.1'

log0835.0'

log6491.2

'log0741.1

'log7815.2

'log8385.0

'log91.0

2

3456

+

−

−

+

+

−

−=

δδ

δδδδ

ss

ssss

kk

kkkkx

=

skRx

uU 27.12log75.5

'*

'' 35

SRDs

γγγ −

=Ψ


6008.1)'(log1309.1)'(log6281.0)'(log1546.0)'(log0111.0"

log 234

*


uU


uR2

*""= ; luego R = R’ + R”




0.00 0.000 0.000 0.00000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0.00 0.00 0.000.50 0.015 0.011 0.00110 1.39 0.16 60.79 3.91 0.041 0.23 0.25 2.00 0.321.00 0.098 0.027 0.00043 1.57 0.55 9.30 8.80 0.062 0.52 0.62 6.65 3.651.50 0.230 0.041 0.00028 1.40 0.92 3.96 13.02 0.071 0.67 0.90 12.65 11.622.00 0.800 0.077 0.00015 1.12 1.91 1.14 34.56 0.055 0.41 1.21 20.15 38.472.50 1.210 0.095 0.00012 1.06 2.43 0.75 56.17 0.043 0.25 1.46 28.90 70.343.00 1.520 0.106 0.00011 1.04 2.78 0.60 76.63 0.036 0.18 1.70 39.15 108.983.50 1.900 0.119 0.00010 1.03 3.18 0.48 107.18 0.030 0.12 2.02 50.65 160.824.00 2.240 0.129 0.00009 1.02 3.50 0.41 140.23 0.025 0.08 2.32 63.00 220.454.50 2.580 0.139 0.00008 1.02 3.80 0.35 179.29 0.021 0.06 2.64 76.20 289.845.00 2.890 0.147 0.00008 1.02 4.07 0.32 220.67 0.018 0.05 2.94 89.95 365.825.50 3.180 0.154 0.00008 1.02 4.30 0.29 264.79 0.016 0.04 3.22 104.50 449.62

; luego R = R’ + R”


145



y R’ u*’ δ’ x U ψ’ U/u*” u*” R” R A Q

(m) (m) (m/s) (m) (m/s) (m/s) (m) (m) (m2) (m3/s)

0.00 0.000 0.000 0.00000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0.00 0.00 0.00

0.50 0.015 0.011 0.00110 1.39 0.16 60.79 3.91 0.041 0.23 0.25 2.00 0.32

1.00 0.098 0.027 0.00043 1.57 0.55 9.30 8.80 0.062 0.52 0.62 6.65 3.65

1.50 0.230 0.041 0.00028 1.40 0.92 3.96 13.02 0.071 0.67 0.90 12.65 11.62

2.00 0.800 0.077 0.00015 1.12 1.91 1.14 34.56 0.055 0.41 1.21 20.15 38.47

2.50 1.210 0.095 0.00012 1.06 2.43 0.75 56.17 0.043 0.25 1.46 28.90 70.34

3.00 1.520 0.106 0.00011 1.04 2.78 0.60 76.63 0.036 0.18 1.70 39.15 108.98

3.50 1.900 0.119 0.00010 1.03 3.18 0.48 107.18 0.030 0.12 2.02 50.65 160.82

4.00 2.240 0.129 0.00009 1.02 3.50 0.41 140.23 0.025 0.08 2.32 63.00 220.45

4.50 2.580 0.139 0.00008 1.02 3.80 0.35 179.29 0.021 0.06 2.64 76.20 289.84

5.00 2.890 0.147 0.00008 1.02 4.07 0.32 220.67 0.018 0.05 2.94 89.95 365.82

5.50 3.180 0.154 0.00008 1.02 4.30 0.29 264.79 0.016 0.04 3.22 104.50 449.62

Tabla 7.11: Resumen de resultados de cálculo de resistencia al flujo

y Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s)

(m) Manning Tsubaki Ishihara Garde-Raju Paris Browlie Engelund Einstein

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.50 0.23 0.93 0.38 0.78 1.02 3.57 0.32 0.32

1.00 1.43 4.39 3.12 4.75 4.62 18.94 3.58 3.65

1.50 3.49 9.98 8.62 11.58 10.11 43.64 10.92 11.62

2.00 6.79 18.62 18.57 22.55 18.16 80.85 25.32 38.47

2.50 11.02 29.57 32.06 36.60 28.13 127.51 45.64 70.34

3.00 16.55 43.72 50.69 54.97 40.71 187.01 74.69 108.98

3.50 23.96 62.37 77.62 79.57 56.72 262.87 118.58 160.82

4.00 32.77 84.38 111.31 108.83 75.23 350.02 175.16 220.45

4.50 43.10 110.04 152.64 143.12 96.44 448.96 246.38 289.84

5.00 54.78 138.93 201.28 181.89 119.96 557.28 332.06 365.82

5.50 67.57 170.53 255.84 224.37 145.53 675.42 429.47 449.62

146


0

50

100

150

200

250

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Caud

al (

m3/

s)

Profundidad (m)

Manning Tsubaki Ishihara Garde-Raju Paris

Figura 7.8: Relación caudal – profundidad; Sección del Río Muymanu

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Caud

al (

m3/

s)

Profundidad (m)

Manning Browlie Engelund Einstein

Figura 7.9: Relación caudal – profundidad; Sección del Río Muymanu

147


Capítulo VIII

trasPorte de sedimentos de fondo

8.1 Introducción

Cuando el esfuerzo de corte promedio en el fondo excede la fuerza tractiva crítica para el material, estadísticamente las partículas del fondo empiezan a moverse en la dirección del flujo. Las partículas semueven de diferentes formas dependiendo delas condicionesdelflujo, tamañoypesoespecíficode laspartículas.Una formademovimiento de las partículas es por rodamiento o deslizamiento a lo largo del lecho. Tal tipo de movimiento es generalmente discontinuo; la partícula puede deslizarse o rodar por algún tiempo y quedar estacionario por otro tiempo y nuevamente empezar el movimiento por algún otro tiempo. El sedimento transportado de esta forma es conocido como transporte por contacto. Una segunda forma de movimiento del sedimento es conocida como transporte por saltación. Saltación es un modo importante de transporte en caso de materiales no cohesivos de velocidades de caída relativamente altas. El tercer modo de transporte es el transporte en suspensión; en este caso las partículasdesedimentosoncontinuamentesoportadosporlaturbulenciadelflujo.

A pesar de la existencia de modelos teóricos que explican razonablemente el transporte de fondo, no existe aun unmétodo de cálculo para cuantificar, “con precisión”, elvolumen de sedimentos transportados por un río. Los métodos de cálculo fueron desarrollados básicamente con datos de laboratorio, dado que las mediciones de campo son bastante escasas. Aun así los datos de laboratorio son afectados en su precisión porlasdificultadestécnicasdemedición.Cuandolossedimentossonmuyfinos,partede ella es transportada en suspensión y muchas veces considerada como transporte de fondo.

Partiendodeestasconsideracionessepuedeesperarunadiferenciasignificativaenlosresultados de la aplicación de los diferentes métodos de cálculo. Estos métodos de cálculo puedenserclasificadosdeacuerdoconlanaturalezadesuformulaciónen:

148


- Formulación de naturaleza empírica- Formulación basada en el análisis dimensional- Formulación teórico-experimental.

A. ECUACIONES DE NATURALEZA EMPÍRICA

8.2 Ecuación de Du Boys

La primera fórmula de transporte sólido de fondo fue propuesta por Du Boys en 1879, que imaginó el movimiento de los sedimentos de fondo en capas paralelas. La velocidad decadacapavaríadesdeunmáximoenlasuperficiedelfondoaceroenlacapainferior:

Deestamaneraelcaudalsólidoespecíficosería:

( )2

1 uNhNq sB∆

−∆= γ (8.1a)

Lafuerzaderesistenciadelfondodebeserigualalafuerzatractivaenelfondo:

107

8 TRASPORTE DE SEDIMENTOS DE FONDO

8.1 Introducción

Cuando el esfuerzo de corte promedio en el fondo excede la fuerza tractiva crítica para el material, estadísticamente las partículas del fondo empiezan a moverse en la dirección del flujo. Las partículas se mueven de diferentes formas dependiendo de las condiciones del flujo, tamaño y peso específico de las partículas. Una forma de movimiento de las partículas es por rodamiento o deslizamiento a lo largo del lecho. Tal tipo de movimiento es generalmente discontinuo; la partícula puede deslizarse o rodar por algún tiempo y quedar estacionario por otro tiempo y nuevamente empezar el movimiento por algún otro tiempo. Elsedimento transportado de esta forma es conocido como transporte por contacto. Una segunda forma de movimiento del sedimento es conocida como transporte por saltación.Saltación es un modo importante de transporte en caso de materiales no cohesivos de velocidades de caída relativamente altas. El tercer modo de transporte es el transporte en suspensión; en este caso las partículas de sedimento son continuamente soportados por la turbulencia del flujo.

A pesar de la existencia de modelos teóricos que explican razonablemente el transporte de fondo, no existe aun un método de cálculo para cuantificar, “con precisión”, el volumen de sedimentos transportados por un río. Los métodos de cálculo fueron desarrollados básicamente con datos de laboratorio, dado que las mediciones de campo son bastante escasas. Aun así los datos de laboratorio son afectados en su precisión por las dificultades técnicas de medición. Cuando los sedimentos son muy finos, parte de ella es transportada en suspensión y muchas veces considerada como transporte de fondo.

Partiendo de estas consideraciones se puede esperar una diferencia significativa en los resultados de la aplicación de los diferentes métodos de cálculo. Estos métodos de cálculo pueden ser clasificados de acuerdo con la naturaleza de su formulación en:

- Formulación de naturaleza empírica- Formulación basada en el análisis dimensional- Formulación teórico-experimental.

A. ECUACIONES DE NATURALEZA EMPÍRICA

8.2 Ecuación de Du Boys

La primera fórmula de transporte sólido de fondo fue propuesta por Du Boys en 1879, que imaginó el movimiento de los sedimentos de fondo en capas paralelas. La velocidad de cada capa varía desde un máximo en la superficie del fondo a cero en la capa inferior:

De esta manera el caudal sólido específico sería:

( )2

1 uNhNq sB∆

−∆= γ (8.1a)

La fuerza de resistencia del fondo debe ser igual a la fuerza tractiva en el fondo:

( ) φγγτ tanhNso ∆−= (8.1b) (8.1b)

Enlasecuacionesanteriores:N es el número de capas en movimiento, Δh el espesor de cada capa, Δu la variación de velocidad de las capas y ϕ el ángulo de reposo del material. El valor de n puede ser obtenido asumiendo que solo una capa se mueve bajo la condición crítica de movimiento

( ) φγγτ tanhsc ∆−= (8.2)

Igualandolasecuaciones(8.1b)y(8.2)seobtienequec

oNττ

= y reemplazando este valorenlaecuación(8.1)seobtiene:

( ) ( )cooc

coosB A

uhq τττ

ττττγ

−=−∆∆

= 22 (8.3)

Donde: 22 c

s uhA

τγ ∆∆

=

149


108

En las ecuaciones anteriores: N es el número de capas en movimiento, ∆h el espesor de cada capa, ∆u la variación de velocidad de las capas y φ el ángulo de reposo del material. El valor de n puede ser obtenido asumiendo que solo una capa se mueve bajo la condición crítica de movimiento


Igualando las ecuaciones (8.1b) y (8.2) se obtiene que c

oNττ

= y reemplazando este valor

en la ecuación (8.1) se obtiene:

( ) ( )cooc

coosB A

uhq τττ

ττττγ

−=−∆∆

= 22(8.3)

Donde: 22 c

s uhA

τγ ∆∆

=

Figura 8.1: Modelo de Transporte de Fondo de Du Boys(Modificado de: Sediment Transport Technology,Simons & Senturk, 1977)

Straub [9] determinó los valores de A para diferentes tamaños de sedimentos, que se presenta en la siguiente tabla.

Tabla 8.1: Variación de A y τc en función del diámetro de la partícula(Fuente: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde y Ranga Raju, 1977)

D(mm) τc (N/m2)

(A/γs) 106

(m6/N2.s)τc

(kg/m2)(A/γs) 106

(m3/kg.s)0.125 0.77 32.82 0.07808 0.003160.25 0.81 19.45 0.08298 0.001870.50 1.05 11.75 0.10744 0.001131.00 1.53 6.89 0.15627 0.000662.00 2.44 4.05 0.24903 0.000394.00 4.31 2.43 0.43935 0.00023

0

1

2

3

4

n

∆u

2∆u

3∆u

(N-1)∆u

∆h

superficie del fondo

superficie del agua

τo

h

h


Straub [9] determinó los valores deA para diferentes tamaños de sedimentos, que sepresenta en la siguiente tabla.

Tabla 8.1: Variación de A y τc en función del diámetro de la partícula(Fuente: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde y

Ranga Raju, 1977)

D(mm) τc (N/m2) (A/

108




oNττ



( ) ( )cooc

coosB A

uhq τττ

ττττγ

−=−∆∆

= 22(8.3)

Donde: 22 c

s uhA

τγ ∆∆

=




D(mm) τc (N/m2)

(A/γs) 106

(m6/N2.s)τc

(kg/m2)(A/γs) 106

(m3/kg.s)0.125 0.77 32.82 0.07808 0.003160.25 0.81 19.45 0.08298 0.001870.50 1.05 11.75 0.10744 0.001131.00 1.53 6.89 0.15627 0.000662.00 2.44 4.05 0.24903 0.000394.00 4.31 2.43 0.43935 0.00023

0

1

2

3

4

n

∆u

2∆u

3∆u

(N-1)∆u

∆h


superficie del agua

τo

h

h

s) 106 (m6/N2.s) τc (kg/m2) (A/

108




oNττ



( ) ( )cooc

coosB A

uhq τττ

ττττγ

−=−∆∆

= 22(8.3)

Donde: 22 c

s uhA

τγ ∆∆

=




D(mm) τc (N/m2)

(A/γs) 106

(m6/N2.s)τc

(kg/m2)(A/γs) 106

(m3/kg.s)0.125 0.77 32.82 0.07808 0.003160.25 0.81 19.45 0.08298 0.001870.50 1.05 11.75 0.10744 0.001131.00 1.53 6.89 0.15627 0.000662.00 2.44 4.05 0.24903 0.000394.00 4.31 2.43 0.43935 0.00023

0

1

2

3

4

n

∆u

2∆u

3∆u

(N-1)∆u

∆h


superficie del agua

τo

h

h

s) 106 (m3/kg.s)0.125 0.77 32.82 0.07808 0.003160.25 0.81 19.45 0.08298 0.001870.50 1.05 11.75 0.10744 0.001131.00 1.53 6.89 0.15627 0.000662.00 2.44 4.05 0.24903 0.000394.00 4.31 2.43 0.43935 0.00023

Los valores experimentales de la tabla anterior han permitido desarrollar las siguientes ecuaciones aproximadas para determinar el esfuerzo de corte crítico enkg/m2yelvalordeAconelpesoespecíficodelmaterialenkg/m3, en función deldiámetrodelapartículaDenmm:

150


0596.01106.00031.0 2 ++−= DDcτ (8.4a)

kg.sm 8227.1

3741.0−= DA

(8.4b)

Figura 8.2: Coeficiente de sedimento y fuerza tractiva crítica (Straub, 1935)(Fuente: Hydraulics of Sediment Transport; Graf, 1971)

Straub(1935)basadoenexperimentosdelaboratorioparapartículasdearenamedidaenmilímetros,obtuvolassiguientesrelaciones:

109

Los valores experimentales de la tabla anterior han permitido desarrollar las siguientes ecuaciones aproximadas para determinar el esfuerzo de corte crítico en kg/m2 y el valor de A con el peso específico del material en kg/m3, en función del diámetro de la partícula D en mm:

0596.01106.00031.0 2 ++−= DDcτ (8.4a)

kg.sm8227.1

3741.0−= DA (8.4b)

Figura 8.2: Coeficiente de sedimento y fuerza tractiva crítica (Straub, 1935)(Fuente: Hydraulics of Sediment Transport; Graf, 1971)

Straub (1935) basado en experimentos de laboratorio para partículas de arena medida en milímetros, obtuvo las siguientes relaciones:

/kg.smen 17.0 34/3D

A = (8.4c)

2kg/men 093.0061.0 Dc +=τ (8.4d)

8.3 Ecuación de Meyer-Peter y Muller (1948)

La ecuación empírica de mayor difusión y uso es la fórmula de Meyer-Peter y Muller, [27], desarrollada en el laboratorio de hidráulica de Zurich en el año de 1948. Ellos encontraron que no todo el esfuerzo de corte es empleada para el transporte de fondo sino que una parte de este esfuerzo es usado para vencer la resistencia de las ondulaciones del lecho y el transporte es solo función del esfuerzo de corte debido a los granos. Asi la pendiente fue separada en dos: S = S’ + S’’ siendo S’ la pendiente requerida para vencer la resistencia debido a los granos y S” la pendiente requerida para vencer la resistencia debida a la configuración o forma del fondo. El valor de S’ fue estimado usando la cuación de Manning:

(8.4c)

(8.4d)

8.3 Ecuación de Meyer-Peter y Muller (1948)

La ecuación empírica de mayor difusión y uso es la fórmula de Meyer-Peter y Muller,

[27], desarrollada en el laboratorio de hidráulica de Zurich en el año de 1948. Ellos

encontraron que no todo el esfuerzo de corte es empleada para el transporte de fondo sino

151


que una parte de este esfuerzo es usado para vencer la resistencia de las ondulaciones

del lecho y el transporte es solo función del esfuerzo de corte debido a los granos. Asi

la pendientefueseparadaendos:S=S’+S’’siendoS’ la pendiente requerida para

vencer la resistencia debido a los granos y S” la pendiente requerida para vencer la

resistenciadebidaalaconfiguraciónoformadelfondo.ElvalordeS’ fue estimado

usando lacuacióndeManning:

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16

26; D90 es expresada en m. Como: U

nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2

. Si el radio hidráulico es separada en sus componentes como en el caso de la

pendiente, tendremos: RR

nn

s'=

32

. Con estas consideraciones y luego de algunas

simplificaciones matemáticas, se obtiene finalmente la ecuación adimensional de Meyer-Peter y Muller:

( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)

La ecuación (8.5) fue derivada para datos que cubren los siguientes rangos:

Pendiente: S = 0.0004 a 0.02Diámetro de la partícula: D = 0.0004 m a 0.03 m (0.4 mm a 30 mm)Profundidad ≅ Radio hidráulico: R = 0.01 m a 1.20 m.Peso específico del sedimento: γs = 1250 a 4220 Kg/m3

La ecuación (8.5) puede ser modificado introduciendo algunos parámetros adimensionales:

nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)

Parámetro de flujo: ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s

Parámetro de Transporte: Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

B. ECUACIONES BASADAS EN EL ANÁLISIS DIMENSIONAL

Las ecuaciones de transporte de fondo que son presentadas a continuación, estan expresados en términos de parámetros adimensionales siguientes:

Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ

8.4 Ecuación de Shields (1936)

Shields [24] propuso la siguiente ecuación dimensionalmente homogenea:

con

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



es expresada

enm.Como:

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



entonces

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



. Si el radio hidráulico es separada

ensuscomponentescomoenelcasodelapendiente,tendremos:

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



. Con

estas consideraciones y luego de algunas simplificacionesmatemáticas, se obtiene

finalmentelaecuaciónadimensionaldeMeyer-PeteryMuller:

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



(8.5)

Laecuación(8.5)fuederivadaparadatosquecubrenlossiguientesrangos:

Pendiente: S = 0.0004 a 0.02Diámetrodelapartícula: D=0.0004ma0.03m(0.4mma30mm)Profundidad @Radiohidráulico: R = 0.01 m a 1.20 m.Pesoespecíficodelsedimento: gs=1250a4220Kg/m

3 Laecuación(8.5)puedesermodificadointroduciendoalgunosparámetrosadimensionales:

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



(8.6)

Parámetrodeflujo:

ParámetrodeTransporte:

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



152


B. ECUACIONES BASADAS EN EL ANÁLISIS DIMENSIONAL Las ecuaciones de transporte de fondo que son presentadas a continuación, estan expresadosentérminosdeparámetrosadimensionalessiguientes:

110

Un

R Ss

=1 2

312' con n

Ds =

90

16


nR S=

1 23

12 entonces

SS

nn

s'=

2



nn

s'=

32



( ) ( )nn

RSD g

q

D

s

s

B

ss

−= +

−

32

13

23

13

0 047 0 251γ

γ γγ

γγ γ

. . (8.5)




nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ (8.6)


γ γτ

γ γ* = −=

−

RSD Ds

o

s


qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121



Ru D

**=υ

; ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

; cUu

=*

Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

; hhD* = ; F

Ughd

s=

−γ

γ γ



8.4 Ecuación de Shields (1936) Shields[24]propusolasiguienteecuacióndimensionalmentehomogenea:

111

( )

−−

=

−

DSq

q

s

co

sB

γγττ

γγγ

10..

1(8.7)

Donde, q es el caudal líquido por unidad de ancho del río y qB el caudal sólido por unidad de ancho.

8.5 Ecuación de Einstein-Brown

Esta ecuación utiliza los parámetros Φ y Ψ, representados por las ecuaciones:

5.5para465.0

)182.0(5.5para40140

391.0

*3*

3

>Ψ=Φ

≥≤Ψ=

Ψ

=Φ

Ψ−Fe

F ττ(8.8a)

21

3

21

1

−

=ΦgD

q

ss

B

ρρρ

γ(8.8b)

( )*

1ττ

γγ=

−=Ψ

o

s D(8.8c)

21

32

21

32 136136

32

−

−

−

+=gDgD

Fss ρρρν

ρρρν (8.8d)

Figura 8.3: Función Φ versus 1/ψ en la ecuación de Einstein-Brown(Fuente: Fluvial Processes in River Engineering, H. Chang, 1988)


1.0)1(para996.121log63.241log979.12log *

2

<=Ψ

+

Ψ−

Ψ−=Φ τ (8.9a)

(8.7)



EstaecuaciónutilizalosparámetrosΦyΨ,representadosporlasecuaciones:

111

( )

−−

=

−

DSq

q

s

co

sB

γγττ

γγγ

10..

1(8.7)




5.5para465.0

)182.0(5.5para40140

391.0

*3*

3

>Ψ=Φ

≥≤Ψ=

Ψ

=Φ

Ψ−Fe

F ττ(8.8a)

21

3

21

1

−

=ΦgD

q

ss

B

ρρρ

γ(8.8b)

( )*

1ττ

γγ=

−=Ψ

o

s D(8.8c)

21

32

21

32 136136

32

−

−

−

+=gDgD

Fss ρρρν

ρρρν (8.8d)



1.0)1(para996.121log63.241log979.12log *

2

<=Ψ

+

Ψ−

Ψ−=Φ τ (8.9a)

(8.8a)

(8.8b)

153


Figura 8.3: Función Φ versus 1/ψ en la ecuación de Einstein-Brown (Fuente: Fluvial Processes in River Engineering, H. Chang, 1988)


0 (8.9a)

(8.9b)

8.6 Ecuación de Rottner (1959)

Rottner[9],mostroqueelfenómenodetransportedefondopuedeserdescritoporlossiguientescuatrogruposadimensionales:

111

( )

−−

=

−

DSq

q

s

co

sB

γγττ

γγγ

10..

1(8.7)




5.5para465.0

)182.0(5.5para40140

391.0

*3*

3

>Ψ=Φ

≥≤Ψ=

Ψ

=Φ

Ψ−Fe

F ττ(8.8a)

21

3

21

1

−

=ΦgD

q

ss

B

ρρρ

γ(8.8b)

( )*

1ττ

γγ=

−=Ψ

o

s D(8.8c)

21

32

21

32 136136

32

−

−

−

+=gDgD

Fss ρρρν

ρρρν (8.8d)



1.0)1(para996.121log63.241log979.12log *

2

<=Ψ

+

Ψ−

Ψ−=Φ τ (8.9a)

(8.8c)

(8.8d)

111

( )

−−

=

−

DSq

q

s

co

sB

γγττ

γγγ

10..

1(8.7)




5.5para465.0

)182.0(5.5para40140

391.0

*3*

3

>Ψ=Φ

≥≤Ψ=

Ψ

=Φ

Ψ−Fe

F ττ(8.8a)

21

3

21

1

−

=ΦgD

q

ss

B

ρρρ

γ(8.8b)

( )*

1ττ

γγ=

−=Ψ

o

s D(8.8c)

21

32

21

32 136136

32

−

−

−

+=gDgD

Fss ρρρν

ρρρν (8.8d)



1.0)1(para996.121log63.241log979.12log *

2

<=Ψ

+

Ψ−

Ψ−=Φ τ (8.9a)

112

1.0)1(para5631.01log3332.0log * ≥=Ψ

+

Ψ=Φ τ (8.9b)


Rottner [9], mostro que el fenómeno de transporte de fondo puede ser descrito por los siguientes cuatro grupos adimensionales:

qgh

B

s sγγ

γ γ−

12

3

121

;hD

;Ugh s

γγ γ−

yS

s

γγ γ−

en forma general, estos adimensionales pueden ser escritos:

23

*

−Φh , h* , c

hτ *

*

12

yτ *

*hLa Figura 8.4 muestra la relación existente entre estos grupos adimensionales.

Figura 8.4: Relación de Rottner para el Transporte de Fondo [9](Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde y Ranga Raju, 1977)

8.7 Ecuación de Garde y Albertson (1961)

Garde y Albertson, verificaron que la mayoría de las ecuaciones de transporte de fondo pueden ser expresados de la siguiente forma:

112

1.0)1(para5631.01log3332.0log * ≥=Ψ

+

Ψ=Φ τ (8.9b)



qgh

B

s sγγ

γ γ−

12

3

121

;hD

;Ugh s

γγ γ−

yS

s

γγ γ−


23

*

−Φh , h* , c

hτ *

*

12

yτ *





154


enformageneral,estosadimensionalespuedenserescritos:

La Figura 8.4 muestra la relación existente entre estos grupos adimensionales.

Figura 8.4: Relación de Rottner para el Transporte de Fondo [9](Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems;

Garde y Ranga Raju, 1977)

8.7 Ecuación de Garde y Albertson (1961) GardeyAlbertson,verificaronquelamayoríadelasecuacionesdetransportedefondopuedenserexpresadosdelasiguienteforma:

113

( ) ( ) ( )qu D

fD D

fB

s

o

s

c

sc

** *γ

τγ γ

τγ γ

τ τ=−

−−

= − (8.10)

Si τ* es mucho mayor que τ*c , se puede escribir que: )( ** τfqB = donde: q

qu DB

B

s

*

*=

γ. La

Figura 8.5 representa la relación entre estos parámetros.

Figura 8.5: Relación de Garde y Albertson para el Transporte de Fondo(Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde y Ranga Raju, 1977)

La representación matemática aproximada puede obtenerse de:

( ) ( ) ( ) 0995.1log5291.1log0352.1log2311.1log *2

*3

** +++= τττBq (8.11a)

( ) ( ) ( ) 7236.0log4896.0log1107.0log0108.0log *2*3** −++= BBB qqqτ (8.11b)

8.8 Ecuación de Misri, Garde y Ranga Raju (1980)

Misri, Garde y Ranga Raju [14] analizaron una gran cantidad de datos de transporte de sedimentos de cuarzo uniformes. Basado en el argumento de que el esfuerzo de corte del grano es el responsable del movimiento de las partículas, ellos establecieron una relación

entre τ τ* *'=

nn

s

32

y Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

Φ= × ≤−362 10 0 0657 8. ' ' .*τ τ para * (8.12a)

(8.10)

112

1.0)1(para5631.01log3332.0log * ≥=Ψ

+

Ψ=Φ τ (8.9b)



qgh

B

s sγγ

γ γ−

12

3

121

;hD

;Ugh s

γγ γ−

yS

s

γγ γ−


23

*

−Φh , h* , c

hτ *

*

12

yτ *





112

1.0)1(para5631.01log3332.0log * ≥=Ψ

+

Ψ=Φ τ (8.9b)



qgh

B

s sγγ

γ γ−

12

3

121

;hD

;Ugh s

γγ γ−

yS

s

γγ γ−


23

*

−Φh , h* , c

hτ *

*

12

yτ *





155


Siτ* esmuchomayorqueτ*c,sepuedeescribirque: )( ** τfqB = donde:

113

( ) ( ) ( )qu D

fD D

fB

s

o

s

c

sc

** *γ

τγ γ

τγ γ

τ τ=−

−−

= − (8.10)


qu DB

B

s

*

*=

γ. La




( ) ( ) ( ) 0995.1log5291.1log0352.1log2311.1log *2

*3

** +++= τττBq (8.11a)




entre τ τ* *'=

nn

s

32

y Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

Φ= × ≤−362 10 0 0657 8. ' ' .*τ τ para * (8.12a)

.

La Figura 8.5 representa la relación entre estos parámetros.

Figura 8.5: Relación de Garde y Albertson para el Transporte de Fondo(Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems;

Garde y Ranga Raju, 1977)

Larepresentaciónmatemáticaaproximadapuedeobtenersede:

( ) ( ) ( ) 0995.1log5291.1log0352.1log2311.1log *2

*3

** +++= τττBq (8.11a)



Misri,GardeyRangaRaju[14]analizaronunagrancantidaddedatosdetransportede

sedimentos de cuarzo uniformes. Basado en el argumento de que el esfuerzo de corte del

grano es el responsable del movimiento de las partículas, ellos establecieron una relación

entre

113

( ) ( ) ( )qu D

fD D

fB

s

o

s

c

sc

** *γ

τγ γ

τγ γ

τ τ=−

−−

= − (8.10)


qu DB

B

s

*

*=

γ. La




( ) ( ) ( ) 0995.1log5291.1log0352.1log2311.1log *2

*3

** +++= τττBq (8.11a)




entre τ τ* *'=

nn

s

32

y Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

Φ= × ≤−362 10 0 0657 8. ' ' .*τ τ para * (8.12a)

113

( ) ( ) ( )qu D

fD D

fB

s

o

s

c

sc

** *γ

τγ γ

τγ γ

τ τ=−

−−

= − (8.10)


qu DB

B

s

*

*=

γ. La




( ) ( ) ( ) 0995.1log5291.1log0352.1log2311.1log *2

*3

** +++= τττBq (8.11a)




entre τ τ* *'=

nn

s

32

y Φ=−

qgD

B

s sγρ

ρ ρ

12

3

121

Φ= × ≤−362 10 0 0657 8. ' ' .*τ τ para * (8.12a)

156


(8.12a)

114

[ ] 065.0'para'105.95+1

'5.8*45.17.4

*6

8.1* ≥

×=Φ

−−τ

τ

τ(8.12b)

21

3

21

1

−

=ΦgD

q

ss

B

ρρρ

γ(8.12c)

C. ECUACIONES SEMI-TEÓRICAS

En términos generales las ecuaciones semi-teóricas consideran el movimiento individual de las partículas y usa ciertas ecuaciones para la velocidad y su movimiento. Observaciones realizadas muestran que las partículas en el fondo se mueven una cierta distancia y se detienen por un tiempo.

Para el análisis Engelund y Fredsoe [##], asumieron que la velocidad de flujo sobre la

superficie de la partícula es αu* con α constante; ( )42

22

*DUuC gDπαρ

− es la fuerza

tractiva ejercida sobre la partícula con Ug velocidad media de la partícula, CD el coeficiente

de draga o arrastre y βπρρρ

61

32Dg s

− como la fuerza de resistencia con β como el

coeficiente dinámico de fricción. Cuando la partícula se mueve con una velocidad constante se igualan las dos fuerzas, con β = tan 27° y CD = 0.6 y α = 9, se obtiene:

−=

*

*

*

7.01ττα cg

uU

(8.13a)

Con α = 9 y τ*c obtenido del diagrama de Shields, Kalinske determinó la velocidad instantánea de la partícula de sedimento, como:

)( crg uuU −= (8.13b)

Donde u es la velocidad instantánea del flujo al nivel de la partícula y ucr la velocidad crítica.

8.9 Ecuación de Einstein (1950)

Einstein, [13] y [25], fue el primero en concebir de manera casi teórica el problema de transporte de fondo. El método está basado en algunas premisas importantes, respaldadas por evidencias experimentales. En primer lugar, Einstein discrepa en parte con la idea de existencia de una condición crítica de inicio de movimiento, debido a que en sus observaciones todas las partículas de tamaño uniforme iniciaron el movimiento con un esfuerzo de corte menor que el crítico. Einstein, por lo tanto, asumió que la partícula de sedimento se mueve si la fuerza de sustentación hidrodinámica instantánea excede el peso sumergido de la partícula. Una vez en movimiento, la probabilidad de que la partícula se redeposite es igual en todos los puntos del fondo donde el flujo local no tiene la capacidad de desalojarlo nuevamente. Finalmente, la distancia promedio recorrido por cualquier partícula que se mueve en el fondo entre puntos consecutivos de deposición, se considera

(8.12b)

(8.12c)



ParaelanálisisEngelundyFredsoe[##],asumieronquelavelocidaddeflujosobrela

superficiedelapartículaesαu* con α constante; ( )42

22

*DUuC gDπαρ

− es la

fuerza tractiva ejercida sobre la partícula con Ug velocidad media de la partícula, CD

elcoeficientededragaoarrastrey βπρρρ

61

32Dg s

− como la fuerza de resistencia

conβcomoelcoeficientedinámicodefricción.Cuandolapartículasemueveconuna

velocidadconstanteseigualanlasdosfuerzas,conβ=tan27°yCD=0.6yα=9,se

obtiene:

−=

*

*

*

7.01ττα cg

uU

(8.13a)

Conα=9yτ*c obtenido del diagrama de Shields, Kalinske determinó la velocidadinstantáneadelapartículadesedimento,como:

114

[ ] 065.0'para'105.95+1

'5.8*45.17.4

*6

8.1* ≥

×=Φ

−−τ

τ

τ(8.12b)

21

3

21

1

−

=ΦgD

q

ss

B

ρρρ

γ(8.12c)



Para el análisis Engelund y Fredsoe [##], asumieron que la velocidad de flujo sobre la

superficie de la partícula es αu* con α constante; ( )42

22

*DUuC gDπαρ

− es la fuerza

tractiva ejercida sobre la partícula con Ug velocidad media de la partícula, CD el coeficiente

de draga o arrastre y βπρρρ

61

32Dg s

− como la fuerza de resistencia con β como el

coeficiente dinámico de fricción. Cuando la partícula se mueve con una velocidad constante se igualan las dos fuerzas, con β = tan 27° y CD = 0.6 y α = 9, se obtiene:

−=

*

*

*

7.01ττα cg

uU

(8.13a)

Con α = 9 y τ*c obtenido del diagrama de Shields, Kalinske determinó la velocidad instantánea de la partícula de sedimento, como:

)( crg uuU −= (8.13b)

Donde u es la velocidad instantánea del flujo al nivel de la partícula y ucr la velocidad crítica.

8.9 Ecuación de Einstein (1950)

Einstein, [13] y [25], fue el primero en concebir de manera casi teórica el problema de transporte de fondo. El método está basado en algunas premisas importantes, respaldadas por evidencias experimentales. En primer lugar, Einstein discrepa en parte con la idea de existencia de una condición crítica de inicio de movimiento, debido a que en sus observaciones todas las partículas de tamaño uniforme iniciaron el movimiento con un esfuerzo de corte menor que el crítico. Einstein, por lo tanto, asumió que la partícula de sedimento se mueve si la fuerza de sustentación hidrodinámica instantánea excede el peso sumergido de la partícula. Una vez en movimiento, la probabilidad de que la partícula se redeposite es igual en todos los puntos del fondo donde el flujo local no tiene la capacidad de desalojarlo nuevamente. Finalmente, la distancia promedio recorrido por cualquier partícula que se mueve en el fondo entre puntos consecutivos de deposición, se considera

(8.13b)

Dondeueslavelocidadinstantáneadelflujoalniveldelapartículayucr la velocidad crítica.

157


8.9 Ecuación de Einstein (1950) Einstein, [6]y[24], fueelprimeroenconcebirdemaneracasi teóricaelproblemadetransporte de fondo. El método está basado en algunas premisas importantes, respaldadas por evidencias experimentales. En primer lugar, Einstein discrepa en parte con la idea de existencia de una condición crítica de inicio de movimiento, debido a que en sus observacionestodaslaspartículasdetamañouniformeiniciaronelmovimientoconunesfuerzo de corte menor que el crítico. Einstein, por lo tanto, asumió que la partícula de sedimento se mueve si la fuerza de sustentación hidrodinámica instantánea excede el peso sumergido de la partícula. Una vez en movimiento, la probabilidad de que la partícula se redepositeesigualentodoslospuntosdelfondodondeelflujolocalnotienelacapacidadde desalojarlo nuevamente. Finalmente, la distancia promedio recorrido por cualquier partícula que se mueve en el fondo entre puntos consecutivos de deposición, se considera constante; para partículas de arena esta distancia fue encontrada aproximadamente igual a 100 veces el diámetro de la partícula.

Probabilidad de Erosión y Deposición:

Sea iB la fracción del caudal sólido transportado qB (peso/tiempo.ancho)deunrangode

tamañosdesedimentosrepresentadoporD.Reconociendoqueestaspartículasdetamaño

D tienen un salto igual a ALD y volumen igual a A2D3, el número de partículas depositadas

NDporunidaddetiempoyáreaes:

115

constante; para partículas de arena esta distancia fue encontrada aproximadamente igual a 100 veces el diámetro de la partícula.


Sea iB la fracción del caudal sólido transportado qB (peso/tiempo.ancho) de un rango de tamaños de sedimentos representado por D. Reconociendo que estas partículas de tamañoD tienen un salto igual a ALD y volumen igual a A2D3, el número de partículas depositadas

ND por unidad de tiempo y área es: sL

BB

sL

BBD ADA

qiDDAA

qiNγγ 2

432

== . Si ib representa la

fracción del sedimento de fondo del rango de tamaños anteriormente mencionados,

entonces el número de partículas existentes en una unidad de área del fondo es:i

A Db

12 ,

siendo A1D2 el área proyectada de la partícula. Si ps representa la probabilidad de que estas partículas sean erosionadas, entonces el número de partículas erosionadas por

unidad de tiempo y área es: Ni pA De

b s=1

2 . Si t1 es el tiempo necesario para reemplazar la

partícula del fondo por otra similar o tiempo de intercambio, la probabilidad p querepresenta la fracción del tiempo total durante el cual el intercambio ocurre puede ser

definido por: p = pst1 entonces: Ni p

A D teb=

12

1. Einstein asumió que t1 es proporcional a D/ω

y usando la ecuación (2.6) para la velocidad de sedimentación, t1 se expresa como:

γγρ

ω −==

s

DADA

t 33

1 . Reemplazando t1 en la ecuación para Ne se obtiene:

21

25

31 ρ

γγ

DAA

piN sb

e

−= . Igualando las tasas de deposición y erosión, en el equilibrio, se

obtiene:

21

25

312

4

ρ

γγγ

DAA

piADA

qi sb

sL

BB −= (8.14)

La probabilidad p puede también ser interpretado como la fracción del fondo donde, en cualquier tiempo, la sustentación excede el peso sumergido. La deposición de la partícula después de un salto de ALD es posible solo si p es muy pequeño. De otro modo la deposición no es posible en aquellos lugares donde la sustentación excede el peso sumergido. Así mientras que (1 - p) partículas son depositadas después de recorrer la longitud de salto de 100D, p partículas no son depositadas después de recorrer la distancia de 100D. De manera similar p(1 - p) partículas son depositadas luego de recorrer la distancia de 200D, mientras que p2 partículas no son depositadas en este tramo. Así la distancia promedio recorrida por las partículas en cada salto es dada por:

( ) ( )A D p p n DDpL

n

n= − + =−=

∞

∑ 1 110

λλ

, donde el valor numérico de 100 fue reemplazado por

. Si ib representa

la fraccióndel sedimentode fondodel rangode tamañosanteriormentemencionados,

entonceselnúmerodepartículasexistentesenunaunidaddeáreadelfondoes:

115





BB

sL

BBD ADA

qiDDAA

qiNγγ 2

432




A Db

12 ,



b s=1




A D teb=

12



γγρ

ω −==

s

DADA

t 33


21

25

31 ρ

γγ

DAA

piN sb

e


obtiene:

21

25

312

4

ρ

γγγ

DAA

piADA

qi sb

sL

BB −= (8.14)



n

n= − + =−=

∞

∑ 1 110

λλ


,

siendo A1D2 el área proyectada de la partícula. Si ps representa la probabilidad de que

estas partículas sean erosionadas, entonces el número de partículas erosionadas por

unidaddetiempoyáreaes:

115





BB

sL

BBD ADA

qiDDAA

qiNγγ 2

432




A Db

12 ,



b s=1




A D teb=

12



γγρ

ω −==

s

DADA

t 33


21

25

31 ρ

γγ

DAA

piN sb

e


obtiene:

21

25

312

4

ρ

γγγ

DAA

piADA

qi sb

sL

BB −= (8.14)



n

n= − + =−=

∞

∑ 1 110

λλ


. Si t1 es el tiempo necesario para reemplazar la

partícula del fondo por otra similar o tiempo de intercambio, la probabilidad p que

representa la fracción del tiempo total durante el cual el intercambio ocurre puede ser

definidopor:p = pst1 entonces:

115





BB

sL

BBD ADA

qiDDAA

qiNγγ 2

432




A Db

12 ,



b s=1




A D teb=

12



γγρ

ω −==

s

DADA

t 33


21

25

31 ρ

γγ

DAA

piN sb

e


obtiene:

21

25

312

4

ρ

γγγ

DAA

piADA

qi sb

sL

BB −= (8.14)



n

n= − + =−=

∞

∑ 1 110

λλ


. Einstein asumió que t1 es proporcional

a D/ωyusandolaecuación(2.6)paralavelocidaddesedimentación,t1seexpresacomo:

γγρ

ω −==

s

DADA

t 33


158


21

25

31

ρ

γγ

DAA

piN sb

e


obtiene:

115





BB

sL

BBD ADA

qiDDAA

qiNγγ 2

432




A Db

12 ,



b s=1




A D teb=

12



γγρ

ω −==

s

DADA

t 33


21

25

31 ρ

γγ

DAA

piN sb

e


obtiene:

21

25

312

4

ρ

γγγ

DAA

piADA

qi sb

sL

BB −= (8.14)



n

n= − + =−=

∞

∑ 1 110

λλ


(8.14)

La probabilidad p puede también ser interpretado como la fracción del fondo donde, en cualquier tiempo, la sustentación excede el peso sumergido. La deposición de la partícula después de un salto de ALD es posible solo si pesmuypequeño.Deotromodoladeposiciónno es posible en aquellos lugares donde la sustentación excede el peso sumergido. Así mientras que (1 - p) partículas son depositadas después de recorrer la longitud de salto de 100D, p partículas no son depositadas después de recorrer la distancia de 100D. De manera similar p(1 - p) partículas son depositadas luego de recorrer la distancia de 200D, mientras que p2 partículas no son depositadas en este tramo. Así la distancia promedio recorridaporlaspartículasencadasaltoesdadapor:,dondeelvalornuméricode100

fue reemplazado por una constante general λ. Reemplazando p

AL −=

1λ

y haciendo

116

una constante general λ. Reemplazando p

AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación

(8.12) queda simplificada de la siguiente forma:

***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)

Determinación de la Probabilidad p:

Como fue discutido anteriormente, p es la probabilidad de que el levante o sustentación sobre la partícula exceda al peso sumergido. El peso sumergido de la partícula puede ser escrito como: ( )γ γs A D− 2

3 y la fuerza de sustentación FL puede ser escrita como:

2

22

1uDACF LL ρ= (8.16)

Donde CL = 0.178 y u es la velocidad a la distancia de 0.35X medida del fondo. El valor deX esta dado por las siguientes ecuaciones:

XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'

6.11'*uνδ = y “x” es el factor de corrección de los efectos viscosos dado en la

Figura 7.3. Como las partículas de tamaño menores que X son protegidas por las partículas grandes, entonces la fuerza de sustentación para estas partículas debe ser corregida por división con el parámetro ξ, que es función de D/X. La variación de ξ con D/X es mostrada en la Figura 8.6. Otro factor introducido por Einstein es Y que es una corrección del coeficiente de sustentación; este factor no tiene una explicación racional. La variación de Ycon D65/δ‘ es mostrada en la Figura 8.7.La velocidad a la distancia de 0.35X desde el fondo fue obtenida usando la ecuación de distribución logarítmica de velocidades:

=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)

Combinando las ecuaciones (8.16) y (8.15), se obtiene:

( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη

Donde η es un parámetro que varia con el tiempo. Expresando p como la probabilidad de que W’/FL < 1, siendo W’ peso del sedimento sumergido; obtenemos:

( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

;laecuación(8.12)quedasimplificadadelasiguienteforma:

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

(8.15)

Determinación de la Probabilidad p: Como fue discutido anteriormente, p es la probabilidad de que el levante o sustentación sobre la partícula exceda al peso sumergido. El peso sumergido de la partícula puede ser escritocomo:

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

y la fuerza de sustentación FL puedeserescritacomo:

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

(8.16)

Donde CL = 0.178 y u es la velocidad a la distancia de 0.35X medida del fondo. El valor de Xestadadoporlassiguientesecuaciones:

159


116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

Donde

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

y “x” es el factor de corrección de los efectos viscosos dado en la

Figura7.3.ComolaspartículasdetamañomenoresqueX son protegidas por las partículas grandes, entonces la fuerza de sustentación para estas partículas debe ser corregida por división con el parámetro ξ, que es función de D/X. La variación de ξ con D/X es mostrada en la Figura 8.6. Otro factor introducido por Einstein es Y que es una corrección del coeficientedesustentación;estefactornotieneunaexplicaciónracional.LavariacióndeY con D65/δ‘ es mostrada en la Figura 8.7.

La velocidad a la distancia de 0.35X desde el fondo fue obtenida usando la ecuación de distribuciónlogarítmicadevelocidades:

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

(8.17)

Combinandolasecuaciones(8.16)y(8.15),seobtiene:

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

Donde η es un parámetro que varía con el tiempo. Expresando p como la probabilidad de que W’/FL < 1, siendo W’pesodelsedimentosumergido;obtenemos:

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

(8.18)

Donde:

116


AL −=

1λ

y haciendo AA AA* =

1 3

2λ; la ecuación


***

21

3

21

*1

1Φ=Φ=

−

=−

AiiA

gDq

iiA

pp

b

B

ss

B

b

B

ρρρ

γ(8.15)




2

22



XDx

Dx

= 0 77 65 65.'

si > 1.80δ

y XDx

= 139 65.'

δδ

' si < 1.80

Donde'



=

65*

)35.0(2.30log'75.5D

xXuu (8.17)


( )F A D uXx

DL =

+01782

57510 6

112

65

2

. . ' log.

*

ρη


( )1 2+ >ηβB

x

Ψ(8.18)

Donde: ( )

BA

A=

20178 575

2

12. .

( )SR

Ds

'ρρρ −

=Ψ β x

XxD

=

log

.10 6

65

Si los factores de corrección ξ e Ysonintroducidosenlainecuación(8.17),seobtiene:

(8.19)

117

Si los factores de corrección ξ e Y son introducidos en la inecuación (8.17), se obtiene:

( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB

'=β 2 y β = log( . )10 6 . Se puede notar que los factores de corrección X e Y

son iguales a la unidad para sedimentos uniformes, mientras que β/βx = 1 con x = 1.

Poniendo η*=η/ηo , donde ηo es la desviación estándar de η; B* = B’/ηo y ΨΨ

* =ξ β

βY

x

2

2 y

asumiendo que la probabilidad para los valores de η* se distribuyen de acuerdo a la distribución normal, la inecuación (8.18) puede ser simplificado para dar:

∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)

De la ecuación (8.13) pA

A=

+* *

* *

ΦΦ1

, además el valor para ηo fue encontrado igual a 0.5 y

para A* y B* los valores de 43.5 y 1/7 respectivamente. Reemplazando en la ecuación (8.19) se obtiene:

*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)

(Fuente: Fluvial Processes in River Engineering, H. Chang, 1988)

La representación matemática aproximada para el factor de protección es:

Figura 8.6: Factor de Protección [Einstein 1950]

Figura 8.7: Factor de Corrección de la Presión [Einstein 1950]

160


Donde:

117


( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB




* =ξ β

βY

x

2

2 y


∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)


A=

+* *

* *

ΦΦ1



*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)





y

117


( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB




* =ξ β

βY

x

2

2 y


∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)


A=

+* *

* *

ΦΦ1



*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)





. Se puede notar que los factores de corrección

X e Y son iguales a la unidad para sedimentos uniformes, mientras que β/ β x = 1 con x = 1.

Poniendo η*=η/ηo , donde ηo es la desviación estándar de η; B* = B’/ηo y

117


( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB




* =ξ β

βY

x

2

2 y


∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)


A=

+* *

* *

ΦΦ1



*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)





y asumiendo que la probabilidad para los valores de η* se distribuyen de acuerdo a la

distribuciónnormal,lainecuación(8.18)puedesersimplificadoparadar:

117


( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB




* =ξ β

βY

x

2

2 y


∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)


A=

+* *

* *

ΦΦ1



*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)





(8.20)

Delaecuación(8.13)

117


( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB




* =ξ β

βY

x

2

2 y


∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)


A=

+* *

* *

ΦΦ1



*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)





, además el valor para ηo fue encontrado igual

a 0.5 y para A* y B*losvaloresde43.5y1/7respectivamente.Reemplazandoenla

ecuación(8.19)seobtiene:

117


( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB




* =ξ β

βY

x

2

2 y


∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)


A=

+* *

* *

ΦΦ1



*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)





(8.21)

117


( )12

2+ >ηξ β

βYB

x

'Ψ(8.19)

Donde: BB




* =ξ β

βY

x

2

2 y


∫−Ψ

−Ψ−

−−=o

o

B

B

t dtepη

η

π

1

1

**

**

211 (8.20)


A=

+* *

* *

ΦΦ1



*

*

271

271**

**

1

1 5.4315.4311

111

*

*

2

**

**

2

Φ+Φ

=−=Φ+

Φ=−= ∫∫

−Ψ

−Ψ−

−

−Ψ

−Ψ−

− dteA

Adtep t

B

B

to

o

ππ

η

η

(8.21)






161


Larepresentaciónmatemáticaaproximadaparaelfactordeprotecciónes:

(8.22a)

0413.0log88.0log3495.3log1343.2log5.1 para23

+

−

+

=⇒>

XD

XD

XD

XD ξ (8.22b)

Larepresentaciónmatemáticaaproximadaparaelfactordecorreccióndelapresiónes:

0798.0log3657.0log2463.2log9707.1log2 para 652

653

6565 −

+

−

−=⇒<δδδδ

DDDY

D

(8.23a)

118

15.1para =⇒≤ ξXD

(8.22a)

0413.0log88.0log3495.3log1343.2log5.1para23

+

−

+

=⇒>

XD

XD

XD

XD ξ (8.22b)

La representación matemática aproximada para el factor de corrección de la presión es:

0798.0log3657.0log2463.2log9707.1log2para 652

653

6565 −

+

−

−=⇒<δδδδ

DDDY

D (8.23a)

0866.0log5759.0log4203.0log2para 652

6565 −

−

=⇒≥

δδδDD

YD

(8.23b)

Figura 8.8: Función de Transporte de Fondo [Einstein 1950](Fuente: Fluvial Processes in River Engineering, H. Chang, 1988)

La solución de la ecuación (8.21) para estos valores está representada en la Figura 8.8,cuya ecuación aproximada es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9125.0log944.0log4243.0-log4202.1

log4412.0log7155.1log2369.1log

*2

*3

*

4*

5*

6**

+Ψ−ΨΨ−

Ψ+Ψ+Ψ−=Φ(8.24)

8.10 Ecuación de Kalinske (1947)

(8.23b)


118


(8.22a)


+

−

+

=⇒>

XD

XD

XD

XD ξ (8.22b)



653

6565 −

+

−

−=⇒<δδδδ

DDDY

D (8.23a)

0866.0log5759.0log4203.0log2para 652

6565 −

−

=⇒≥

δδδDD

YD

(8.23b)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9125.0log944.0log4243.0-log4202.1


*2

*3

*

4*

5*

6**

+Ψ−ΨΨ−

Ψ+Ψ+Ψ−=Φ(8.24)


118


(8.22a)


+

−

+

=⇒>

XD

XD

XD

XD ξ (8.22b)



653

6565 −

+

−

−=⇒<δδδδ

DDDY

D (8.23a)

0866.0log5759.0log4203.0log2para 652

6565 −

−

=⇒≥

δδδDD

YD

(8.23b)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9125.0log944.0log4243.0-log4202.1


*2

*3

*

4*

5*

6**

+Ψ−ΨΨ−

Ψ+Ψ+Ψ−=Φ(8.24)


162


Lasolucióndelaecuación(8.21)paraestosvaloresestárepresentadaenlaFigura8.8,cuya ecuación aproximadaes:

118


(8.22a)


+

−

+

=⇒>

XD

XD

XD

XD ξ (8.22b)



653

6565 −

+

−

−=⇒<δδδδ

DDDY

D (8.23a)

0866.0log5759.0log4203.0log2para 652

6565 −

−

=⇒≥

δδδDD

YD

(8.23b)



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9125.0log944.0log4243.0-log4202.1


*2

*3

*

4*

5*

6**

+Ψ−ΨΨ−

Ψ+Ψ+Ψ−=Φ(8.24)


(8.24)


Kalinske, propuso una ecuación racional para el transporte de fondo basado en tres premisas importantes. En primer lugar, él considera que es necesaria una fuerza tractiva mínimadelfluidoparainiciarelmovimiento.Lasegundaconsideraciónesquelafuerzadelfluidoactuantesobrelapartículafluctúasobreunvalormedio.Finalmente,élconsideroquelarazóndetransportedefondoesfuncióndelnúmero,tamañoylavelocidadmediade las partículas en movimiento.

Fuerza Tractiva Crítica: si p1 es la fracción del fondo ocupado por los granos, el número degranosenunaunidaddeáreadelfondopuedeserescritocomo:p1/(πD2/4). La primera expresiónpropuestaporKaliskeparalafuerzatractivacrítica,es:

( )Dsc γγτ −= 232.0

(8.25a)

Luegointrodujounfactordecorreccióndelasfluctuacionesdepresióniguala0.5;según:

( )Dsc γγτ −= 116.0

(8.25b)

Posteriormenteencontróqueenelcasodeflujoturbulentolavelocidadmáximainstantáneacerca al fondo es aproximadamente 1.75 veces la velocidad media; por consiguiente, el máximoesfuerzodecortees1/3delesfuerzodecortepromedio,iguala:

119

Kalinske, propuso una ecuación racional para el transporte de fondo basado en tres premisas importantes. En primer lugar, él considera que es necesaria una fuerza tractiva mínima del fluido para iniciar el movimiento. La segunda consideración es que la fuerza del fluido actuante sobre la partícula fluctúa sobre un valor medio. Finalmente, él considero que la razón de transporte de fondo es función del número, tamaño y la velocidad media de las partículas en movimiento.

Fuerza Tractiva Crítica: si p1 es la fracción del fondo ocupado por los granos, el número de granos en una unidad de área del fondo puede ser escrito como: p1/(πD2/4). La primera expresión propuesta por Kaliske para la fuerza tractiva crítica, es:

( )Dsc γγτ −= 232.0 (8.25a)

Luego introdujo un factor de corrección de las fluctuaciones de presión igual a 0.5; según:

( )Dsc γγτ −= 116.0 (8.25b)

Posteriormente encontró que en el caso de flujo turbulento la velocidad máxima instantánea cerca al fondo es aproximadamente 1.75 veces la velocidad media; por consiguiente, el máximo esfuerzo de corte es 1/3 del esfuerzo de corte promedio, igual a:

( )τ γ γc s D= −0 039. (8.25c)

Ecuación de Transporte de Fondo: Según Kalinske la velocidad instantánea de la partícula está dada por: us = b(u – uc), siendo u la velocidad instantánea del flujo al nivel de la partícula, uc la velocidad crítica a la cual la partícula inicia el movimiento y b unaconstante igual a la unidad, obtenida mediante experimentos. La ecuación de transporte de sedimentos propuesta por Kalinske es:

qu D

UU

B

s

s

*.

γ= 2 57 (8.26)

Donde:

= rf

UU

o

cs ,ττ

, cuya relación se muestra en la Figura 8.9. En la ecuación anterior

Us es la velocidad media de las partículas, U la velocidad media del flujo y r es un parámetro para definir si el flujo es laminar o turbuleto. La ecuación (8.26) puede ser

expresada en terminos de los parámetros q

u DB

s* γ y

ττ

c

o; si r es asumido como 0.25 (flujo

turbulento), la Figura 8.9 puede ser empleada para calcular el transporte de fondo.

La representación matemática aproximada, de la ecuación de Kalinske, Figura 8.9, es:

4139.0log8894.0log062.0log0436.0*

2

*

3

*

+

−

+

=

s

B

s

B

s

B

o

c

DUq

DUq

DUq

γγγττ

(8.27a)

(8.25c)

Ecuación de Transporte de Fondo: Según Kalinske la velocidad instantánea de la partículaestádadapor:us = b(u – uc), siendo u lavelocidadinstantáneadelflujoalnivelde la partícula, uc la velocidad crítica a la cual la partícula inicia el movimiento y b una constante igual a la unidad, obtenida mediante experimentos. La ecuación de transporte desedimentospropuestaporKalinskees:

(8.26)

119



( )Dsc γγτ −= 232.0 (8.25a)


( )Dsc γγτ −= 116.0 (8.25b)


( )τ γ γc s D= −0 039. (8.25c)


qu D

UU

B

s

s

*.

γ= 2 57 (8.26)

Donde:

= rf

UU

o

cs ,ττ




u DB

s* γ y

ττ

c




4139.0log8894.0log062.0log0436.0*

2

*

3

*

+

−

+

=

s

B

s

B

s

B

o

c

DUq

DUq

DUq

γγγττ

(8.27a)

163


Donde:

119



( )Dsc γγτ −= 232.0 (8.25a)


( )Dsc γγτ −= 116.0 (8.25b)


( )τ γ γc s D= −0 039. (8.25c)


qu D

UU

B

s

s

*.

γ= 2 57 (8.26)

Donde:

= rf

UU

o

cs ,ττ




u DB

s* γ y

ττ

c




4139.0log8894.0log062.0log0436.0*

2

*

3

*

+

−

+

=

s

B

s

B

s

B

o

c

DUq

DUq

DUq

γγγττ

(8.27a)

, cuya relación se muestra en la Figura 8.9. En la ecuación

anterior Us es la velocidad media de las partículas, U lavelocidadmediadelflujoy r

esunparámetroparadefinirsielflujoeslaminaroturbuleto.Laecuación(8.26)puede

ser expresada en terminos de los parámetros

119



( )Dsc γγτ −= 232.0 (8.25a)


( )Dsc γγτ −= 116.0 (8.25b)


( )τ γ γc s D= −0 039. (8.25c)


qu D

UU

B

s

s

*.

γ= 2 57 (8.26)

Donde:

= rf

UU

o

cs ,ττ




u DB

s* γ y

ττ

c




4139.0log8894.0log062.0log0436.0*

2

*

3

*

+

−

+

=

s

B

s

B

s

B

o

c

DUq

DUq

DUq

γγγττ

(8.27a)

y

119



( )Dsc γγτ −= 232.0 (8.25a)


( )Dsc γγτ −= 116.0 (8.25b)


( )τ γ γc s D= −0 039. (8.25c)


qu D

UU

B

s

s

*.

γ= 2 57 (8.26)

Donde:

= rf

UU

o

cs ,ττ




u DB

s* γ y

ττ

c




4139.0log8894.0log062.0log0436.0*

2

*

3

*

+

−

+

=

s

B

s

B

s

B

o

c

DUq

DUq

DUq

γγγττ

(8.27a)

; si r es asumido como 0.25

(flujoturbulento),laFigura8.9puedeserempleadaparacalculareltransportedefondo.

Larepresentaciónmatemáticaaproximada,delaecuacióndeKalinske,Figura8.9,es:

119



( )Dsc γγτ −= 232.0 (8.25a)


( )Dsc γγτ −= 116.0 (8.25b)


( )τ γ γc s D= −0 039. (8.25c)


qu D

UU

B

s

s

*.

γ= 2 57 (8.26)

Donde:

= rf

UU

o

cs ,ττ




u DB

s* γ y

ττ

c




4139.0log8894.0log062.0log0436.0*

2

*

3

*

+

−

+

=

s

B

s

B

s

B

o

c

DUq

DUq

DUq

γγγττ

(8.27a) (8.27a)120

5243.06918.17823.02675.0log23

*

+

−

+

−=

o

c

o

c

o

c

s

B

DUq

ττ

ττ

ττ

γ(8.27b)

Figura 8.9: Relación de Kalinske para el Transporte de Fondo [35]Fuente: Hydraulics of Sediment Transport; Graf, 1971

8.11 Ecuación de Engelund y Fredsoe

Usando la relación de la velocidad de partícula y la probabilidad p del movimiento de la partícula en el fondo, Engelund y Fredsoe [9] obtuvieron la ecuación de transporte de fondoen peso por unidad de ancho, siguiente:

−=

*

**2

3 7.016 τ

τγπ csB u

DpDq (8.28a)

De otra forma:

( )css

B pgD

q**

21

3

21

7.051 ττρρ

ργ

−=

−

=Φ (8.28b)

(8.27b)


164



Usando la relación de la velocidad de partícula y la probabilidad p del movimiento de lapartículaenelfondo,EngelundyFredsoe[9]obtuvieronlaecuacióndetransportedefondoenpesoporunidaddeancho,siguiente:

120

5243.06918.17823.02675.0log23

*

+

−

+

−=

o

c

o

c

o

c

s

B

DUq

ττ

ττ

ττ

γ(8.27b)




−=

*

**2

3 7.016 τ

τγπ csB u

DpDq (8.28a)

De otra forma:

( )css

B pgD

q**

21

3

21

7.051 ττρρ

ργ

−=

−

=Φ (8.28b)

(8.28a)

Deotraforma:

120

5243.06918.17823.02675.0log23

*

+

−

+

−=

o

c

o

c

o

c

s

B

DUq

ττ

ττ

ττ

γ(8.27b)




−=

*

**2

3 7.016 τ

τγπ csB u

DpDq (8.28a)

De otra forma:

( )css

B pgD

q**

21

3

21

7.051 ττρρ

ργ

−=

−

=Φ (8.28b) (8.28b)

(8.28c)

8.12 Ecuación de Yalin

Yalinpresentalaecuacióndetransportedefondo,como:qB = GbUg, obteniendo para la

velocidaddepartícula,lasiguienteecuación:

121

41

4

**

267.01

1

−

+

=

c

p

ττ

(8.28c)


Yalin presenta la ecuación de transporte de fondo, como: qB = GbUg, obteniendo para la

velocidad de partícula, la siguiente ecuación:

+−= )1log(307.211

*τ

τ

aSaS

CuU g , donde C1 es

una constante, 4.0*45.2

=

ρρ

τ

s

ca y

−= 1

*

*

c

Sττ

τ .

Finalmente la ecuación de transporte de fondo se escribe como:

21

3

21

*1)1log(307.21

−

=

+−=Φ

gDqaS

aSSC

ss

B

ρρρ

γτ τ

ττ (8.29)

El valor de C = 0.635, fue encontrado en el Laboratorio de Zurich.

Figura 8.10: Ecuación de Transporte de Fondo de Yalin(Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde y Ranga Raju, 1977)


, donde C1 es

una constante,

121

41

4

**

267.01

1

−

+

=

c

p

ττ

(8.28c)




+−= )1log(307.211

*τ

τ

aSaS

CuU g , donde C1 es


=

ρρ

τ

s

ca y

−= 1

*

*

c

Sττ

τ .


21

3

21

*1)1log(307.21

−

=

+−=Φ

gDqaS

aSSC

ss

B

ρρρ

γτ τ

ττ (8.29)




.

Finalmente la ecuación de transporte de fondo se escribecomo:

121

41

4

**

267.01

1

−

+

=

c

p

ττ

(8.28c)




+−= )1log(307.211

*τ

τ

aSaS

CuU g , donde C1 es


=

ρρ

τ

s

ca y

−= 1

*

*

c

Sττ

τ .


21

3

21

*1)1log(307.21

−

=

+−=Φ

gDqaS

aSSC

ss

B

ρρρ

γτ τ

ττ (8.29)




(8.29)

ElvalordeC=0.635,fueencontradoenelLaboratoriodeZurich.

121

41

4

**

267.01

1

−

+

=

c

p

ττ

(8.28c)




+−= )1log(307.211

*τ

τ

aSaS

CuU g , donde C1 es


=

ρρ

τ

s

ca y

−= 1

*

*

c

Sττ

τ .


21

3

21

*1)1log(307.21

−

=

+−=Φ

gDqaS

aSSC

ss

B

ρρρ

γτ τ

ττ (8.29)




165


121

41

4

**

267.01

1

−

+

=

c

p

ττ

(8.28c)




+−= )1log(307.211

*τ

τ

aSaS

CuU g , donde C1 es


=

ρρ

τ

s

ca y

−= 1

*

*

c

Sττ

τ .


21

3

21

*1)1log(307.21

−

=

+−=Φ

gDqaS

aSSC

ss

B

ρρρ

γτ τ

ττ (8.29)




Figura 8.10: Ecuación de Transporte de Fondo de Yalin(Modificado de: Mechanics of Sediment Transportation and Alluvial Stream Problems; Garde y Ranga

Raju, 1977)


122

6079.0)(

log497.0)(

log1775.0)(

log0229.0)1log(*

2

*

3

*

+

−

+

−

+

−

=+DU

qDU

qDU

qaSs

B

s

B

s

B

γγγγγγτ(8.30a)

( ) ( ) 5862.4)1(532.22)1(251.39)1(643.23)(

log 23

*

−+++−+=− τττγγ

aSaSaSDU

q

s

B (8.30b)

8.13 Ecuación de Bagnold

Bagnold [30] presentó una aproximación semiteórica al problema de transporte de fondo, considerando que la resistencia total es la suma del esfuerzo de corte del flujo sobre la capa y el esfuerzo de corte debido a la colisión de las partículas de sedimentos; desarrollando la siguiente ecuación para el transporte de sedimentos de fondo.

( ) ( )θφθγγτ

tantancos −−=

s

obB

Ueq (8.31)

qB = transporte de fondo volumétrico (m2/s)τo = esfuerzo de corte en kg/m2

U = la velocidad media del flujoΦ = ángulo de fricción interna del materialtanΦ = 0.6 coeficiente dinámica de friccióntanθ = S (pendiente del cauce)eb = factor de eficiencia (0.1 – 0.2)

8.14 Ecuación de Van Rijn [28]

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 053.0DT

Dgq

s

B =

− ρρρ (8.32)

3.0*

1.22/1

350

2/1053.01

DT

gDq

sss

B

γρρρ

γ=

−

=Φ (8.33)

Parámetro de partícula

3/1

250*

−=

ρρρ

νsgDD (8.34)

Parámetro del estado de transporte

c

cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2* (8.35)

(8.30a)

(8.30b)


Bagnold[30]presentóunaaproximaciónsemiteóricaalproblemadetransportedefondo,considerandoquelaresistenciatotaleslasumadelesfuerzodecortedelflujosobrelacapay el esfuerzo de corte debido a la colisión de las partículas de sedimentos; desarrollando la siguiente ecuación para el transporte de sedimentos de fondo.

( ) ( )θφθγγτ

tantancos −−=

s

obB

Ueq

(8.31)

qB = transporte de fondo volumétrico (m2/s)τo=esfuerzodecorteenkg/m

2

U=lavelocidadmediadelflujoΦ = ángulo de fricción interna del materialtanΦ = 0.6coeficientedinámicadefriccióntanθ=S(pendientedelcauce)eb=factordeeficiencia(0.1–0.2)

166



122

6079.0)(

log497.0)(

log1775.0)(

log0229.0)1log(*

2

*

3

*

+

−

+

−

+

−

=+DU

qDU

qDU

qaSs

B

s

B

s

B


( ) ( ) 5862.4)1(532.22)1(251.39)1(643.23)(

log 23

*

−+++−+=− τττγγ

aSaSaSDU

q

s

B (8.30b)



( ) ( )θφθγγτ

tantancos −−=

s

obB

Ueq (8.31)




3.0*

1.22/1

5.150

2/1 053.0DT

Dgq

s

B =

− ρρρ (8.32)

3.0*

1.22/1

350

2/1053.01

DT

gDq

sss

B

γρρρ

γ=

−

=Φ (8.33)


3/1

250*

−=

ρρρ

νsgDD (8.34)


c

cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2* (8.35)

(8.32)

(8.33)


122

6079.0)(

log497.0)(

log1775.0)(

log0229.0)1log(*

2

*

3

*

+

−

+

−

+

−

=+DU

qDU

qDU

qaSs

B

s

B

s

B


( ) ( ) 5862.4)1(532.22)1(251.39)1(643.23)(

log 23

*

−+++−+=− τττγγ

aSaSaSDU

q

s

B (8.30b)



( ) ( )θφθγγτ

tantancos −−=

s

obB

Ueq (8.31)




3.0*

1.22/1

5.150

2/1 053.0DT

Dgq

s

B =

− ρρρ (8.32)

3.0*

1.22/1

350

2/1053.01

DT

gDq

sss

B

γρρρ

γ=

−

=Φ (8.33)


3/1

250*

−=

ρρρ

νsgDD (8.34)


c

cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2* (8.35)

(8.34)


122

6079.0)(

log497.0)(

log1775.0)(

log0229.0)1log(*

2

*

3

*

+

−

+

−

+

−

=+DU

qDU

qDU

qaSs

B

s

B

s

B


( ) ( ) 5862.4)1(532.22)1(251.39)1(643.23)(

log 23

*

−+++−+=− τττγγ

aSaSaSDU

q

s

B (8.30b)



( ) ( )θφθγγτ

tantancos −−=

s

obB

Ueq (8.31)




3.0*

1.22/1

5.150

2/1 053.0DT

Dgq

s

B =

− ρρρ (8.32)

3.0*

1.22/1

350

2/1053.01

DT

gDq

sss

B

γρρρ

γ=

−

=Φ (8.33)


3/1

250*

−=

ρρρ

νsgDD (8.34)


c

cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2* (8.35) (8.35)

123

( )*020.0

** 1055.0

2.1130.0 D

c eD

u −−++

= velocidad de corte crítico (puede obtenerse también del

diagrama de Shields); UCgu

''

5.0

* = es la velocidad de corte relativo a granos con

=

90312log18'D

RC como el coeficiente de Chezy relativo a granos y U la velocidad media

del flujo.

8.15 Ecuación de Parker (1982)

Desarrollado para cauces con material granular grueso. El parámetro adimensional propuesto para el transporte de fondo, es:

ghShSpqW

i

sBii

1*

ρρρ −

= (8.36a)

−

=Φρρ

ρτ srii

i DhS

* (8.36b)

iri D

D50* 0875.0=τ (8.36c)


( ) ( )[ ] 65.195.0para128.912.14exp0025.0 502

5050* <Φ<−Φ−−Φ=W (8.37a)

65.1para822.012.11 50

5.4

50

* >Φ

Φ

−=W (8.37b)

velocidad de corte crítico (puede obtenerse

tambiéndeldiagramadeShields);

123

( )*020.0

** 1055.0

2.1130.0 D

c eD

u −−++



''

5.0


=

90312log18'D


del flujo.



ghShSpqW

i

sBii

1*

ρρρ −

= (8.36a)

−

=Φρρ

ρτ srii

i DhS

* (8.36b)

iri D

D50* 0875.0=τ (8.36c)


( ) ( )[ ] 65.195.0para128.912.14exp0025.0 502

5050* <Φ<−Φ−−Φ=W (8.37a)

65.1para822.012.11 50

5.4

50

* >Φ

Φ

−=W (8.37b)

es la velocidad de corte relativo a

granos con

123

( )*020.0

** 1055.0

2.1130.0 D

c eD

u −−++



''

5.0


=

90312log18'D


del flujo.



ghShSpqW

i

sBii

1*

ρρρ −

= (8.36a)

−

=Φρρ

ρτ srii

i DhS

* (8.36b)

iri D

D50* 0875.0=τ (8.36c)


( ) ( )[ ] 65.195.0para128.912.14exp0025.0 502

5050* <Φ<−Φ−−Φ=W (8.37a)

65.1para822.012.11 50

5.4

50

* >Φ

Φ

−=W (8.37b)

comoelcoeficientedeChezyrelativoagranosyUla

velocidadmediadelflujo.


Desarrollado para cauces con material granular grueso. El parámetro adimensional propuestoparaeltransportedefondo,es:

123

( )*020.0

** 1055.0

2.1130.0 D

c eD

u −−++



''

5.0


=

90312log18'D


del flujo.



ghShSpqW

i

sBii

1*

ρρρ −

= (8.36a)

−

=Φρρ

ρτ srii

i DhS

* (8.36b)

iri D

D50* 0875.0=τ (8.36c)


( ) ( )[ ] 65.195.0para128.912.14exp0025.0 502

5050* <Φ<−Φ−−Φ=W (8.37a)

65.1para822.012.11 50

5.4

50

* >Φ

Φ

−=W (8.37b)

(8.36a)

167


123

( )*020.0

** 1055.0

2.1130.0 D

c eD

u −−++



''

5.0


=

90312log18'D


del flujo.



ghShSpqW

i

sBii

1*

ρρρ −

= (8.36a)

−

=Φρρ

ρτ srii

i DhS

* (8.36b)

iri D

D50* 0875.0=τ (8.36c)


( ) ( )[ ] 65.195.0para128.912.14exp0025.0 502

5050* <Φ<−Φ−−Φ=W (8.37a)

65.1para822.012.11 50

5.4

50

* >Φ

Φ

−=W (8.37b)

(8.36b)

(8.36c)

Larepresentaciónmatemáticaaproximadapuedeobtenersede:

123

( )*020.0

** 1055.0

2.1130.0 D

c eD

u −−++



''

5.0


=

90312log18'D


del flujo.



ghShSpqW

i

sBii

1*

ρρρ −

= (8.36a)

−

=Φρρ

ρτ srii

i DhS

* (8.36b)

iri D

D50* 0875.0=τ (8.36c)


( ) ( )[ ] 65.195.0para128.912.14exp0025.0 502

5050* <Φ<−Φ−−Φ=W (8.37a)

65.1para822.012.11 50

5.4

50

* >Φ

Φ

−=W (8.37b)

(8.37a)

(8.37b)

124

Figura 8.11: Gráfico de Φ versus W* [Parker et al., 1982](Fuente: Fluvial Processes in River Engineering, H. Chang, 1988)

Ejemplo 8.1:

Un río ancho de profundidad h = 3 m, ancho B = 100 m, velocidad media U = 1.2 m/s y pendiente S = 0.0002 tiene un fondo compuesto de una material con: D35 = 1.5 mm, Dm = 2 mm, D90 = 3 mm. Se pregunta:

a) Si existe transporte de sedimentos de fondob) Que tipo de configuración de fondo se tiene, según Simons-Liu.c) Calcular el transporte de sedimento de fondo usando: las ecuaciones de Meyer Peter,

y Muller, Van Rijn y Bagnolds

Solución:

a) De acuerdo a Meyer Peter y Muller la fuerza tractiva crítica para el material dado, es:

( ) ( ) 22 kg/m155.0N/m522.1002.081.910002650047.0047.0 ==××−=−= msc gDρρτEsfuerzo de corte en el fondo:

22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ

Como τo > τc se desprende que hay transporte de sedimento de fondo.

b) Para el diámetro de partícula igual Dm = 2 mm la velocidad de sedimentación, según Rubey está dada por:


168


Ejemplo 8.1:

Unríoanchodeprofundidadh=3m,anchoB=100m,velocidadmediaU=1.2m/sypendienteS=0.0002tieneunfondocompuestodeunamaterialcon:D35 = 1.5 mm, Dm = 2 mm, D90=3mm.Sepregunta:

a) Si existe transporte de sedimentos de fondob) Quetipodeconfiguracióndefondosetiene,segúnSimons-Liu.c) Calcularel transportede sedimentode fondousando: lasecuacionesdeMeyer

Peter, y Muller, Van Rijn y Bagnolds

Solución:


124


Ejemplo 8.1:




Solución:



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ



Esfuerzodecorteenelfondo:

124


Ejemplo 8.1:




Solución:



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ



Comoτo>τc se desprende que hay transporte de sedimento de fondo.

b) Para el diámetro de partícula igual Dm = 2 mm la velocidad de sedimentación, segúnRubeyestádadapor:

125

( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s144.0002.0106002.0

10001000265081.9

32

002.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω

Velocidad de corte: m/s077.01000

89.5* ==== gRSu o

ρτ

535.0144.0077.0* ==

ωu 154

10002.0077.0Re 6

** =

×== −ν

mDu

La configuración según Simons-Liu corresponde a DUNAS.

c) Cálculo del transporte de fondo

Aplicación de la ecuación de Meyer Peter y Muller:

32

*

23

25.0047.0 Φ+=

τ

nns

015.026

003.026

6/161

90 ===D

ns

025.00002.032.1

11 21

32

21

32

=××== SRU

n

( ) ( ) ( ) 182.0002.010002650

60.0* =

×−=

−=

−=

DDRS

s

o

s γγτ

γγγτ

nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ

056.025.0047.0182.0025.0015.0 3

223

=Φ⇒Φ+=×

21

3

21

21

3

21

002.081.91

100026501000

2650056.01

×

−==

−

=Φ B

ss

B qgD

qρρ

ργ

Por lo tanto: qB = 0.053 kg/m.s

Aplicación de la ecuación de Van Rijn

Velocidaddecorte:

125

( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s144.0002.0106002.0

10001000265081.9

32

002.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω


89.5* ==== gRSu o

ρτ

535.0144.0077.0* ==

ωu 154

10002.0077.0Re 6

** =

×== −ν

mDu




32

*

23

25.0047.0 Φ+=

τ

nns

015.026

003.026

6/161

90 ===D

ns

025.00002.032.1

11 21

32

21

32

=××== SRU

n

( ) ( ) ( ) 182.0002.010002650

60.0* =

×−=

−=

−=

DDRS

s

o

s γγτ

γγγτ

nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ

056.025.0047.0182.0025.0015.0 3

223

=Φ⇒Φ+=×

21

3

21

21

3

21

002.081.91

100026501000

2650056.01

×

−==

−

=Φ B

ss

B qgD

qρρ

ργ



125

( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s144.0002.0106002.0

10001000265081.9

32

002.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω


89.5* ==== gRSu o

ρτ

535.0144.0077.0* ==

ωu 154

10002.0077.0Re 6

** =

×== −ν

mDu




32

*

23

25.0047.0 Φ+=

τ

nns

015.026

003.026

6/161

90 ===D

ns

025.00002.032.1

11 21

32

21

32

=××== SRU

n

( ) ( ) ( ) 182.0002.010002650

60.0* =

×−=

−=

−=

DDRS

s

o

s γγτ

γγγτ

nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ

056.025.0047.0182.0025.0015.0 3

223

=Φ⇒Φ+=×

21

3

21

21

3

21

002.081.91

100026501000

2650056.01

×

−==

−

=Φ B

ss

B qgD

qρρ

ργ



169


LaconfiguraciónsegúnSimons-LiucorrespondeaDUNAS.



125

( )D

DgD

S νρρρνω 6

3236

2

2

−−

+=

( ) m/s144.0002.0106002.0

10001000265081.9

32

002.0)10(36 6

2

26

=×

−×−

××+=−−

ω


89.5* ==== gRSu o

ρτ

535.0144.0077.0* ==

ωu 154

10002.0077.0Re 6

** =

×== −ν

mDu




32

*

23

25.0047.0 Φ+=

τ

nns

015.026

003.026

6/161

90 ===D

ns

025.00002.032.1

11 21

32

21

32

=××== SRU

n

( ) ( ) ( ) 182.0002.010002650

60.0* =

×−=

−=

−=

DDRS

s

o

s γγτ

γγγτ

nn

s

= +

32 2

30 047 0 25τ * . . Φ

056.025.0047.0182.0025.0015.0 3

223

=Φ⇒Φ+=×

21

3

21

21

3

21

002.081.91

100026501000

2650056.01

×

−==

−

=Φ B

ss

B qgD

qρρ

ργ


Aplicación de la ecuación de Van RijnPorlotanto:qB = 0.053 kg/m.s


CoeficientedeChezyrelativoagranos:

126

Coeficiente de Chezy relativo a granos: 0.68002.03312log18

312log18'

50

=×

×==

DRC

Esfuerzo de corte de granos: 311.068

2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ

Parámetro de partícula: 59.501000

1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD

Velocidad de corte: 077.00002.0381.9* =××== gRSu

Número de Reynolds de corte: 15410

002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu

Del Diagrama de Shields:

( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ

Parámetro del estado de transporte: 195.2174.0

174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ


Aplicación de la ecuación de Bagnolds

22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ

6.0tan =φ 0002.0tan =θ 10002.0coscos ==θ eb = 0.1

( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

Esfuerzodecortedegranos:

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

170


Parámetrodepartícula:

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

Velocidaddecorte:

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

NúmerodeReynoldsdecorte:

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

DelDiagramadeShields:

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

Parámetrodelestadodetransporte: 195.2174.0

174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

Porlotanto:qB = 0.081 kg/m.s


126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ

171


126


312log18'

50

=×

×==

DRC


2.11000'

'22

=

×=

=

CU

b γτ


1000265010

81.9002.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD



002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu


( )2

* kg/m174.0002.0)10002650(0528.00528.0 =×−×=⇒=−

= cs

cc D

τγγ

ττ


174.0311.0)(

)()'(2

22

2

22

=−

=−

=c

cbTτ

ττ

085.059.50

195.2053.0053.0 3.0

1.2

3.0*

1.22/1

5.150

2/1 =×==

− D

TDg

q

s

B

ρρρ

/m.sm000031.01000

10002650002.081.9085.0085.0 32/1

5.12/12/1

5.150

2/1 =

−

×=

−×=

ρρρ s

B Dgq

kg/m.s081.02650000031.0000031.0 =×=×= sBq γ



22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ


( ) ( ) ( ) ( ) m3/m.s000073.00002.06.0110002650

2.160.01.0tantancos

=−××−

××=

−−=

θφθγγτ

s

obB

Ueq

kg/m.s193.02650000073.0000073.0 =×=×= sBq γ


Aplicación de la ecuación de Yalin

127


Aplicación de la ecuación de Yalin

22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ

( ) ( ) ( ) 182.0002.010002650

60.0* =

×−=

−=

−=

DDRS

s

o

s γγτ

γγγτ

15410

002.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu

( ) 0528.0* =−

=Ds

cc γγ

ττ (Obtenido del Diagrama de Shields)

395.0

10002650

0528.054.245.2 4.04.0* =

×=

=

ρρ

τ

s

ca

447.210528.0182.01

*

* =−=

−=

c

Sττ

τ

+−=Φ )1log(307.21* τ

τττ aS

aSSC

198.0)447.2395.01log(447.2395.0

307.21447.2182.0635.0 =

×+

×−×××=Φ

( ) ( ) kg/m.s189.0002.081.91000

100026502650198.0 21

321

21

321

=×

−

××=

−Φ= gDq s

sB ρρργ


Ejemplo 8.2:

Detreminar la relación entre el caudal sólido y el caudal líquido para el río Muymanu con la información proporcionada en los capítulos precedentes. Usar las diferentes ecuaciones de transporte de fondo descritos.

Solución:

Los resultados calculados con excel, se presentan resumidos en las siguientes tablas y gráficos:


172


Ejemplo 8.2:

Detreminar la relación entre el caudal sólido y el caudal líquido para el río Muymanu con la información proporcionada en los capítulos precedentes. Usar las diferentes ecuaciones de transporte de fondo descritos.

Solución:

Los resultados calculados con excel, se presentan resumidos en las siguientes tablas y gráficos:

Tabla 8.2: Características del sedimento y del cauce del río Muymanu

ρs 2650 vis 0.000001 S 0.00076 Dm 0.00049

ρ 1000 n 0.093 g 9.81 D35 0.00042

ns 0.074 D90 0.00075 D65 0.00055

Tabla 8.3: Características hidráulicas del río para diferentes profundidades

y (m)

A (m2)

P (m)

T(m)

R (m)

U(m/s)

Q (m3/s)

τo(Kg/m2)

τ*

u*(m/s) Re*

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00

0.50 2.00 8.06 8.00 0.25 0.12 0.23 0.189 0.233 0.043 21.08

1.00 6.65 10.76 10.50 0.62 0.22 1.43 0.470 0.581 0.068 33.26

1.50 12.65 14.11 13.70 0.90 0.28 3.49 0.681 0.843 0.082 40.06

2.00 20.15 16.62 16.00 1.21 0.34 6.79 0.921 1.140 0.095 46.59

2.50 28.90 19.80 19.00 1.46 0.38 11.02 1.109 1.372 0.104 51.12

3.00 39.15 22.98 22.00 1.70 0.42 16.55 1.295 1.601 0.113 55.22

3.50 50.65 25.12 23.90 2.02 0.47 23.96 1.532 1.895 0.123 60.08

4.00 63.00 27.10 25.60 2.32 0.52 32.77 1.767 2.185 0.132 64.51

4.50 76.20 28.91 27.10 2.64 0.57 43.10 2.003 2.478 0.140 68.69

5.00 89.95 30.55 28.40 2.94 0.61 54.78 2.238 2.768 0.148 72.60

5.50 104.50 32.44 30.00 3.22 0.65 67.57 2.448 3.028 0.155 75.94

173


Tabla 8.4: Aplicación de las ecuaciones de Du Boys y Kaliske

Du Boys Kalinskeτc = 0.1066 (Kg/m2)A = 0.2903 (m3/kg.s)

τc = 0.094 (Kg/m2)

y (m)

τo(Kg/m2)

qB(Kg/s.m)

QB(Kg/s)

QB(Ton/dia)

τc/ τo

qB(Kg/s.m)

QB(Kg/s)

QB(Ton/dia)

0.00 0.000 0.000 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00.50 0.189 0.004 0.0 3.1 0.497 0.039 0.31 26.91.00 0.470 0.050 0.5 44.9 0.200 0.145 1.52 131.41.50 0.681 0.114 1.6 134.6 0.138 0.215 2.94 254.02.00 0.921 0.218 3.5 301.3 0.102 0.283 4.52 390.92.50 1.109 0.323 6.1 530.0 0.085 0.330 6.27 541.73.00 1.295 0.447 9.8 848.8 0.072 0.373 8.20 708.13.50 1.532 0.634 15.2 1309.7 0.061 0.422 10.09 872.04.00 1.767 0.851 21.8 1883.2 0.053 0.467 11.96 1033.44.50 2.003 1.103 29.9 2582.2 0.047 0.509 13.80 1192.35.00 2.238 1.384 39.3 3396.6 0.042 0.548 15.57 1345.15.50 2.448 1.664 49.9 4313.3 0.038 0.581 17.44 1506.5

Tabla 8.5: Aplicación de las ecuaciones de Meyer Peter y Muller y Misri, Garde y Ranga Raju

Meyer-Peter y Muller (ns/n)^1.5 = 0.710 Misri, Garde y Ranga Raju

y Φ qB QB QB Φ qB QB QB

(m) (Kg/s.m) (Kg/s) (Ton/dia) (Kg/s.m) (Kg/s) (Ton/dia)0.00 0.00 0.0000 0.0000 0.00 0.0 0.00 0.0 0.00.50 0.33 0.0378 0.3021 26.10 0.3 0.04 0.3 25.61.00 1.77 0.2043 2.1452 185.34 1.7 0.20 2.1 180.91.50 3.27 0.3786 5.1862 448.09 3.4 0.39 5.3 461.32.00 5.32 0.6153 9.8443 850.54 5.8 0.67 10.7 927.62.50 7.14 0.8255 15.6845 1355.14 8.1 0.94 17.8 1538.43.00 9.10 1.0523 23.1514 2000.28 10.7 1.24 27.2 2353.03.50 11.83 1.3686 32.7087 2826.03 14.5 1.68 40.1 3461.94.00 14.76 1.7065 43.6861 3774.48 18.7 2.17 55.5 4790.94.50 17.91 2.0716 56.1402 4850.51 23.5 2.72 73.6 6357.95.00 21.24 2.4564 69.7621 6027.45 28.7 3.31 94.1 8132.35.50 24.39 2.8199 84.5984 7309.30 33.7 3.90 116.9 10099.4

174


Tabla 8.6: Aplicación de las ecuaciones de Einstein-Brown y Engelund-Fredsoe

Einstein-BrownF = 0.690

Engelund-FredsoeP = 0.70

y Φ qB QB QB Φ qB QB QB

(m) (Kg/s.m) (Kg/s) (Ton/dia) (Kg/s.m) (Kg/s) (Ton/dia)

0.00 0.00 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0.00 0.00

0.50 0.35 0.0405 0.32 28 0.38 0.0434 0.35 29.98

1.00 5.42 0.6263 6.58 568 1.58 0.1823 1.91 165.40

1.50 16.53 1.9117 26.19 2263 2.48 0.2874 3.94 340.13

2.00 40.88 4.7279 75.65 6536 3.52 0.4068 6.51 562.29

2.50 71.34 8.2497 156.74 13543 4.33 0.5003 9.51 821.34

3.00 113.44 13.1185 288.61 24936 5.13 0.5928 13.04 1126.80

3.50 188.06 21.7480 519.78 44909 6.15 0.7114 17.00 1468.93

4.00 288.23 33.3314 853.28 73724 7.16 0.8284 21.21 1832.25

4.50 420.09 48.5804 1316.53 113748 8.18 0.9465 25.65 2216.11

5.00 585.59 67.7189 1923.22 166166 9.20 1.0637 30.21 2610.01

5.50 766.88 88.6843 2660.53 229870 10.11 1.1689 35.07 3029.82

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

QB

(Ton

/Día

)

Y (m)

Du Boys Kalinske Meyer-P Misri Engelund

Figura 8.12: Relación entre el Caudal Sólido de Fondo y la Profundidad

175


0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0

QB

(Ton

/Día

)

Q (m3/s)Du Boys Kalinske Meyer-P Misri Engelund

Figura 8.13: Relación entre el Caudal Sólido de Fondo y el Caudal Líquido

176


177


Capítulo IX

transPorte sólido en susPensión

9.1 Mecanismo de Suspensión

Esampliamenteconocidoquelaturbulenciadelflujoeselresponsableporlasuspensiónde las partículas en un curso de agua. Las partículas en suspensión están sujetas a la acción de la componente vertical de la velocidad turbulenta hacia arriba y hacia abajo y a la acción de la gravedad que causa la sedimentación de las partículas que tienen mayor peso específico que el agua. Si consideramos, en un primermomento, que laconcentración del material en suspensión es constante a lo largo de la vertical y que el flujodeaguahaciaarribayhaciaabajosoniguales;unamayorcantidaddesedimentosserán transportados hacia abajo que hacia arriba debido a que la sedimentación ayuda el flujodesedimentoshaciaabajo.Porlotantosehacreadoungradientedeconcentracionesdebido al transporte de sedimentos y estos entrarán eventualmente en equilibrio. Bajo condicionesdeequilibriosepuedeestablecerlaecuacióndedifusión:

130

9 TRANSPORTE SÓLIDO EN SUSPENSION


Es ampliamente conocido que la turbulencia del flujo es el responsable por la suspensión de las partículas en un curso de agua. Las partículas en suspensión están sujetas a la acción de la componente vertical de la velocidad turbulenta hacia arriba y hacia abajo y a la acción de la gravedad que causa la sedimentación de las partículas que tienen mayor peso específico que el agua. Si consideramos, en un primer momento, que la concentración del material en suspensión es constante a lo largo de la vertical y que el flujo de agua hacia arriba y hacia abajo son iguales; una mayor cantidad de sedimentos serán transportados hacia abajo que hacia arriba debido a que la sedimentación ayuda el flujo de sedimentos hacia abajo. Por lo tanto se ha creado un gradiente de concentraciones debido al transporte de sedimentos y estos entrarán eventualmente en equilibrio. Bajo condiciones de equilibrio se puede establecer la ecuación de difusión:

ω ε∂∂

CCys+ = 0 (9.1)

Donde ωC es el transporte de sedimentos neto hacia abajo y ε∂∂s

Cy

el transporte de

sedimentos neto hacia arriba; C es la concentración del sedimento, y la altura medida desde el fondo, εs es el coeficiente de difusión del sedimento y ω la velocidad de sedimentación.

9.2 Integración de la Ecuación de Concentración de Sedimentos

La ecuación (9.1) es la ecuación diferencial de la distribución del material suspendido en la

vertical. Esta ecuación puede ser ordenada de la siguiente manera s

yCC

εω∂∂

−= e

integrada entre los límites a e y para dar: ∫−=y

asa

yCC

εω∂ln , donde Ca y C representan las

concentraciones a las distancias a e y respectivamente medidas desde el fondo. Figura 9.1:

Figura 9.1: Distribución de la Velocidad y Concentración en la Vertical(Fuente: VAN RIJN, L. C. Principles of Sediment Transport in Rivers, Estuaries and Costal

Seas)

h

y

a

u C

Ca

superficie del agua

Transporte de fondo

Perfil de velocidad

Perfil deconcentración

Transporte en suspensión

uCy

(9.1)

DondeωC es el transporte de sedimentos neto hacia abajo y

130




ω ε∂∂

CCys+ = 0 (9.1)


Cy

el transporte de





yCC

εω∂∂

−= e


asa

yCC




Seas)

h

y

a

u C

Ca

superficie del agua

Transporte de fondo

Perfil de velocidad



uCy

el transporte de

sedimentos neto hacia arriba; C es la concentración del sedimento, y la altura medida desde

elfondo,εseselcoeficientededifusióndelsedimentoyωlavelocidaddesedimentación.

178



Laecuación(9.1)es laecuacióndiferencialdeladistribucióndelmaterialsuspendido

en la vertical. Esta ecuación puede ser ordenada de la siguiente manera

130




ω ε∂∂

CCys+ = 0 (9.1)


Cy

el transporte de





yCC

εω∂∂

−= e


asa

yCC




Seas)

h

y

a

u C

Ca

superficie del agua

Transporte de fondo

Perfil de velocidad



uCy

e

integrada entre los límites a e yparadar:

130




ω ε∂∂

CCys+ = 0 (9.1)


Cy

el transporte de





yCC

εω∂∂

−= e


asa

yCC




Seas)

h

y

a

u C

Ca

superficie del agua

Transporte de fondo

Perfil de velocidad



uCy

, donde Ca y C representan las

concentraciones a las distancias a e y respectivamente medidas desde el fondo. Figura

9.1:

130




ω ε∂∂

CCys+ = 0 (9.1)


Cy

el transporte de





yCC

εω∂∂

−= e


asa

yCC




Seas)

h

y

a

u C

Ca

superficie del agua

Transporte de fondo

Perfil de velocidad



uCy

Figura 9.1: Distribución de la Velocidad y Concentración en la Vertical(Fuente: VAN RIJN, L. C. Principles of Sediment Transport in Rivers, Estuaries and Costal Seas)

Conociendoqueelcoeficientededifusiónεs varía en función de y ;laecuación(9.1)fueintegrado por Rouse [30]:

131

Conociendo que el coeficiente de difusión εs varía en función de y ; la ecuación (9.1) fue integrado por Rouse [30]:

∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω

= , conocido como el número de suspensión, es el exponente de la

ecuación de distribución de sedimentos y k es la constante de Karman y para agua clara es igual a 0.4. β es un factor que describe la diferencia en la difusión de la “partícula” de fluido

y la partícula de sedimento y puede ser representado por: 2

*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω

A continuación se presenta diferentes ecuaciones que permiten determinar la concentración en el fondo, asumiendo que Ca = Cb en y = a = δ (espesor de la capa límite),[30]:

Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)

Cb = concentración volumétrica en el fondoCa = concentración volumétrica en la altura referencial aa = altura de referencia sobre el fondoCo = concentración volumétrica máxima (= 0.65)

Parametro de partícula: 3/1

250*

−=

ρρρ

νsgDD

Parámetro del estado de transporte de fondo: c

cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6)

(9.2)

(9.3)

131


∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω




*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω


Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)



250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6)

179


El valor de

131


∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω




*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω


Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)



250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6)

, conocido como el número de suspensión, es el exponente de la

ecuación de distribución de sedimentos y k es la constante de Karman y para agua clara

esiguala0.4.βesunfactorquedescribeladiferenciaenladifusióndela“partícula”de

fluidoylapartículadesedimentoypuedeserrepresentadopor:

2

*

21

+=

uωβ para

11.0*

<<uω

A continuación se presenta diferentes ecuaciones que permiten determinar la concentración en el fondo, asumiendo que Ca = Cbeny=a=δ(espesordelacapalímite),[30]:

Van Rijn (1984a)

131


∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω




*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω


Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)



250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6)

(9.4)

Van Rijn (1984b)

131


∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω




*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω


Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)



250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6)

(9.5)

Cb = concentración volumétrica en el fondoCa = concentración volumétrica en la altura referencial aa = altura de referencia sobre el fondoCo=concentraciónvolumétricamáxima(=0.65)

Parametrodepartícula:

131


∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω




*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω


Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)



250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6)

Parámetrodelestadodetransportedefondo:

131


∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω




*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω


Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)



250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6)

180


Einstein (1950)

131


∫∫∫ −−=

−−=−=

y

a

y

a

y

asa yhy

ydhZyhy

ydhku

yCC

)()(ln

*

ωε

ω∂(9.2)

Z

a aha

yyh

CC

−

−= (9.3)

El valor de ku

Z*βω




*

21

+=

uωβ para 11.0

*

<<uω


Van Rijn (1984a)

5.07.0*50

*

3.018.0 TDDyDTCC ob ==⇒= δ (9.4)

Van Rijn (1984b)

sa kayDT

aD

C ==⇒= 3.0*

5.150015.0 (9.5)



250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Einstein (1950)

355.0*35*

22.232.23

DyDu

qC BBb =⇒

Φ==

τ(9.6) (9.6)

Engelund y Fredsoe (1976)

132


( ) 5031 2165.0 DyCb =⇒+=−−λ (9.7)

5.0

*

** 26.03.4

−−=

τττ

λPc

25.04

**

26.01

−

−

+=c

Pττ

Parámetro de movilidad de la partícula: ( ) ( ) ( )τγ

γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2

Parámetro de movilidad crítico τ*c obtenido del diagrama de Shields

Velocidad de corte:

+

=)

5.2ln(5.26

50

*

Dh

Uu

Zyserman y Fredsoe (1993)

( )( ) 5075.1

**

75.1** 2

'72.01'331.0

DayCc

ca ==⇒

−+

−=

ττττ

(9.8)

Smith y McLean (1977)

( ) 50**90

*

**

*

**

'3.263'

004.01

'

004.0 DDayCC c

c

c

c

c

oa ττδ

τττ

τττ

−+===⇒

−+

−

= (9.9)

Co = concentración volumétrica máxima (= 0.65)

9.3 Ecuación de Einstein para el transporte de Sólidos en Suspensión

Conociendo las curvas de distribución de velocidades y de concentraciones, el caudal sólido en suspensión es obtenida de la siguiente integración:

∫=y

aS dyuCq .. (9.10)

La distribución logarítmica de velocidades es dada por la siguiente ecuación:uu k

yxK

yxDs*

.log

.. log

.=

=

2 3 30 2575

30 2

65(9.11)

Reemplazando las ecuaciones (9.5) y (9.3) en la ecuación (9.4) se obtiene:

(9.7)

Parámetrodemovilidaddelapartícula:

132


( ) 5031 2165.0 DyCb =⇒+=−−λ (9.7)

5.0

*

** 26.03.4

−−=

τττ

λPc

25.04

**

26.01

−

−

+=c

Pττ


γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2


Velocidad de corte:

+

=)

5.2ln(5.26

50

*

Dh

Uu


( )( ) 5075.1

**

75.1** 2

'72.01'331.0

DayCc

ca ==⇒

−+

−=

ττττ

(9.8)


( ) 50**90

*

**

*

**

'3.263'

004.01

'

004.0 DDayCC c

c

c

c

c

oa ττδ

τττ

τττ

−+===⇒

−+

−

= (9.9)




∫=y

aS dyuCq .. (9.10)


yxK

yxDs*

.log

.. log

.=

=

2 3 30 2575

30 2

65(9.11)



Velocidaddecorte:

132


( ) 5031 2165.0 DyCb =⇒+=−−λ (9.7)

5.0

*

** 26.03.4

−−=

τττ

λPc

25.04

**

26.01

−

−

+=c

Pττ


γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2


Velocidad de corte:

+

=)

5.2ln(5.26

50

*

Dh

Uu


( )( ) 5075.1

**

75.1** 2

'72.01'331.0

DayCc

ca ==⇒

−+

−=

ττττ

(9.8)


( ) 50**90

*

**

*

**

'3.263'

004.01

'

004.0 DDayCC c

c

c

c

c

oa ττδ

τττ

τττ

−+===⇒

−+

−

= (9.9)




∫=y

aS dyuCq .. (9.10)


yxK

yxDs*

.log

.. log

.=

=

2 3 30 2575

30 2

65(9.11)



132


( ) 5031 2165.0 DyCb =⇒+=−−λ (9.7)

5.0

*

** 26.03.4

−−=

τττ

λPc

25.04

**

26.01

−

−

+=c

Pττ


γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2


Velocidad de corte:

+

=)

5.2ln(5.26

50

*

Dh

Uu


( )( ) 5075.1

**

75.1** 2

'72.01'331.0

DayCc

ca ==⇒

−+

−=

ττττ

(9.8)


( ) 50**90

*

**

*

**

'3.263'

004.01

'

004.0 DDayCC c

c

c

c

c

oa ττδ

τττ

τττ

−+===⇒

−+

−

= (9.9)




∫=y

aS dyuCq .. (9.10)


yxK

yxDs*

.log

.. log

.=

=

2 3 30 2575

30 2

65(9.11)


(9.8)


132


( ) 5031 2165.0 DyCb =⇒+=−−λ (9.7)

5.0

*

** 26.03.4

−−=

τττ

λPc

25.04

**

26.01

−

−

+=c

Pττ


γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2


Velocidad de corte:

+

=)

5.2ln(5.26

50

*

Dh

Uu


( )( ) 5075.1

**

75.1** 2

'72.01'331.0

DayCc

ca ==⇒

−+

−=

ττττ

(9.8)


( ) 50**90

*

**

*

**

'3.263'

004.01

'

004.0 DDayCC c

c

c

c

c

oa ττδ

τττ

τττ

−+===⇒

−+

−

= (9.9)




∫=y

aS dyuCq .. (9.10)


yxK

yxDs*

.log

.. log

.=

=

2 3 30 2575

30 2

65(9.11)


(9.9)

Co=concentraciónvolumétricamáxima(=0.65)

181



Conociendo las curvas de distribución de velocidades y de concentraciones, el caudal sólidoensuspensiónesobtenidadelasiguienteintegración:

132


( ) 5031 2165.0 DyCb =⇒+=−−λ (9.7)

5.0

*

** 26.03.4

−−=

τττ

λPc

25.04

**

26.01

−

−

+=c

Pττ


γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2


Velocidad de corte:

+

=)

5.2ln(5.26

50

*

Dh

Uu


( )( ) 5075.1

**

75.1** 2

'72.01'331.0

DayCc

ca ==⇒

−+

−=

ττττ

(9.8)


( ) 50**90

*

**

*

**

'3.263'

004.01

'

004.0 DDayCC c

c

c

c

c

oa ττδ

τττ

τττ

−+===⇒

−+

−

= (9.9)




∫=y

aS dyuCq .. (9.10)


yxK

yxDs*

.log

.. log

.=

=

2 3 30 2575

30 2

65(9.11)


(9.10)

Ladistribuciónlogarítmicadevelocidadesesdadaporlasiguienteecuación:

132


( ) 5031 2165.0 DyCb =⇒+=−−λ (9.7)

5.0

*

** 26.03.4

−−=

τττ

λPc

25.04

**

26.01

−

−

+=c

Pττ


γ γτ

γ γρ

γ γ**=

−=

−=

−

RSD D

uDs

o

s s

2


Velocidad de corte:

+

=)

5.2ln(5.26

50

*

Dh

Uu


( )( ) 5075.1

**

75.1** 2

'72.01'331.0

DayCc

ca ==⇒

−+

−=

ττττ

(9.8)


( ) 50**90

*

**

*

**

'3.263'

004.01

'

004.0 DDayCC c

c

c

c

c

oa ττδ

τττ

τττ

−+===⇒

−+

−

= (9.9)




∫=y

aS dyuCq .. (9.10)


yxK

yxDs*

.log

.. log

.=

=

2 3 30 2575

30 2

65(9.11)


(9.11)

Reemplazandolasecuaciones(9.5)y(9.3)enlaecuación(9.4)seobtiene:

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)

Haciendo A = a/h ; Y = y/h en la ecuación (9.12), resulta:

( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)

Convirtiendo logY en lnY y haciendo:

( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)

Reemplazando la ecuación (9.14) en la ecuación (9.13), se obtiene:

( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)

Según Einstein a = 2D. Las dos integrales I1 e I2 fueron resueltos numéricamente por Einstein [6] y graficados en función de A y Z (Figuras 9.2 y 9.3). Considerando que la descarga sólida de fondo puede ser representada por: aCuqi aBB '6.11 *= , la ecuación de transporte sólido en suspensión puede ser escrita de la siguiente forma:

( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)

Donde PE es conocido como el parámetro de transporte de Einstein:

∆=

=

hD

hxPE2.30log3.22.30log3.2

65

9.4 Ecuación de Lane y Kalinske para el transporte de Sólidos en Suspensión

Lane y Kalinske [24] integraron la ecuación (9.1) de forma aproximada asumiendo que

ε s

hghS=

15, para obtener la siguiente ecuación:

CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)

La ecuación del transporte total de sedimentos en suspensión es:

(9.12)

Haciendo A = a/h ; Y = y/henlaecuación(9.12),resulta:

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


(9.13)

Convirtiendo logY en lnYyhaciendo:

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


(9.14a)

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


(9.14b)

Reemplazandolaecuación(9.14)enlaecuación(9.13),seobtiene:

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


(9.15)

Según Einstein a = 2D. Las dos integrales I1 e I2 fueron resueltos numéricamente por Einstein[6]ygraficadosenfuncióndeA y Z (Figuras9.2y9.3).Considerandoqueladescargasólidadefondopuedeserrepresentadapor:

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


, la ecuación de transportesólidoensuspensiónpuedeserescritadelasiguienteforma:

182


133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


(9.16)

Donde PEesconocidocomoelparámetrodetransportedeEinstein:

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)



LaneyKalinske[24]integraronlaecuación(9.1)deformaaproximadaasumiendoque

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


,paraobtenerlasiguienteecuación:

133

∫

−

−=

h

a

Z

aS dyD

yxuah

ay

yhCq65

*2.30log75.5 (9.12)


( )

−

+

−

−= ∫∫

11

A65

*12.30loglog175.5

A

ZZZ

aS dYY

YD

hxYdYY

Yah

ahCuq (9.13)


( ) ∫

−

−=

− 1

A

1

11

1216.0 dY

YY

AAI

Z

Z

Z

(9.14a)

( )ln1

1216.0

1

A

1

2 ∫

−

−=

−

YdYY

YA

AIZ

Z

Z

(9.14b)


( )q u C ahx

DI IS a=

+

116 2 330 2

651 2. ' . log

.* (9.15)


( )212165

2.30log3.2 IIPqiIID

hxqiqi EBBBBSS +=

+

= (9.16)


∆=

=

hD


65



ε s

hghS=


CC u

yh

aha

= −

−

exp*

15ω

(9.17)


(9.17)

Laecuacióndeltransportetotaldesedimentosensuspensiónes:

134

( )∫

−−=

1

0*

15exp dYAYuU

uUhCq asω (9.18)

Donde Y = y/h y A = a/h . Lane y Kalinske, simplificaron la ecuación (9.12) en:

= A

uqPCq aS

*

15exp ω (9.19)

Siendo P función de ωu*

yn

h16

(Figura 9.4); n es el coeficiente de rugosidad de Manning.

9.5 Ecuación de Garde y Pande

Garde y Pande [9] obtuvieron a partir de datos de campo una relación entre el caudal sólido en suspensión y el caudal líquido específico:

qq

uS

γ ω=

0 000051

4

. * (9.20)

9.6 Ecuación de Bagnold (1966)

La ecuación de Bagnold está basada en el concepto de balance de energía relacionando el transporte de sedimento en suspensión y el trabajo realizado por el agua; presentando la siguiente ecuación:

( )

( )

−−

−=

θωθγγ

τ

tancos

1

U

Ueeq

s

obsS (9.21)

qS =transporte volumétrico en suspensión (m2/s)ω = velocidad de sedimentación de la partícula (m/s)U = velocidad media del flujo (m/s)τo = esfuerzo de corte en el fondo del canal (Kg/m2)tanθ = S (pendiente del canal)eb = factor de eficiencia de transporte de fondo (0.1 a 0.2)es = factor de eficiencia de transporte en suspensión (0.01 a 0.02)

9.7 Ecuación de Bijker (1971)

La ecuación de Bijker [30], propuesto en 1971, está basada en el concepto de transporte en suspensión de Einstein (1950):

+=

sBS k

hIIqq 33ln83.1 12 (9.22)

qS = transporte volumétrico en suspensión (m2/s)qB = transporte volumétrico de fondo (m2/s)I1 = Integral de EinsteinI2 = Integral de Einsteina = ks = altura de referencia

(9.18)

Donde Y = y/h y A = a/h.LaneyKalinske,simplificaronlaecuación(9.12)en:

134

( )∫

−−=

1

0*

15exp dYAYuU

uUhCq asω (9.18)


= A

uqPCq aS

*

15exp ω (9.19)


yn

h16




qq

uS

γ ω=

0 000051

4

. * (9.20)



( )

( )

−−

−=

θωθγγ

τ

tancos

1

U

Ueeq

s

obsS (9.21)




+=

sBS k

hIIqq 33ln83.1 12 (9.22)


(9.19)

Siendo P función de

134

( )∫

−−=

1

0*

15exp dYAYuU

uUhCq asω (9.18)


= A

uqPCq aS

*

15exp ω (9.19)


yn

h16




qq

uS

γ ω=

0 000051

4

. * (9.20)



( )

( )

−−

−=

θωθγγ

τ

tancos

1

U

Ueeq

s

obsS (9.21)




+=

sBS k

hIIqq 33ln83.1 12 (9.22)


(Figura9.4);n eselcoeficientederugosidaddeManning.


GardeyPande[9]obtuvieronapartirdedatosdecampounarelaciónentreelcaudalsólidoensuspensiónyelcaudallíquidoespecífico:

134

( )∫

−−=

1

0*

15exp dYAYuU

uUhCq asω (9.18)


= A

uqPCq aS

*

15exp ω (9.19)


yn

h16




qq

uS

γ ω=

0 000051

4

. * (9.20)



( )

( )

−−

−=

θωθγγ

τ

tancos

1

U

Ueeq

s

obsS (9.21)




+=

sBS k

hIIqq 33ln83.1 12 (9.22)


(9.20)

183



La ecuación de Bagnold está basada en el concepto de balance de energía relacionando el transporte de sedimento en suspensión y el trabajo realizado por el agua; presentando lasiguienteecuación:

134

( )∫

−−=

1

0*

15exp dYAYuU

uUhCq asω (9.18)


= A

uqPCq aS

*

15exp ω (9.19)


yn

h16




qq

uS

γ ω=

0 000051

4

. * (9.20)



( )

( )

−−

−=

θωθγγ

τ

tancos

1

U

Ueeq

s

obsS (9.21)




+=

sBS k

hIIqq 33ln83.1 12 (9.22)


(9.21)

qS =transporte volumétrico en suspensión (m2/s)ω=velocidaddesedimentacióndelapartícula(m/s)U=velocidadmediadelflujo(m/s)τo=esfuerzodecorteenelfondodelcanal(Kg/m

2)tanθ=S(pendientedelcanal)eb=factordeeficienciadetransportedefondo(0.1a0.2)es=factordeeficienciadetransporteensuspensión(0.01a0.02)


LaecuacióndeBijker[30],propuestoen1971,estábasadaenelconceptodetransporteensuspensióndeEinstein(1950):

134

( )∫

−−=

1

0*

15exp dYAYuU

uUhCq asω (9.18)


= A

uqPCq aS

*

15exp ω (9.19)


yn

h16




qq

uS

γ ω=

0 000051

4

. * (9.20)



( )

( )

−−

−=

θωθγγ

τ

tancos

1

U

Ueeq

s

obsS (9.21)




+=

sBS k

hIIqq 33ln83.1 12 (9.22)


(9.22)


El transporte de fondo en m2/sesexpresadocomo:

135

El transporte de fondo en m2/s es expresado como:

*

27.0

50*µτ

−

= eDbuqB (9.23)

u* = velocidad de corte (m/s)τ* = parámetro de movilidad de la partículaμ =(C/C’)1.5 = factor de forma de fondoC = coeficiente de ChezyC’ = coeficiente de Chezy relativo a granos = 18log(12h/D50)b = coeficiente que varía de 1 a 5

La altura de referencia es asumido igual a la altura de rugosidad de fondo (a = ks).

9.8 Ecuación de Van Rijn (1984b)

aB FUhCq = (9.24)

Factor de forma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=

Concentración a la altura de referencia: 3.0*

5.150015.0

DT

aD

Ca =


250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Esfuerzo de corte efectivo (kg/m2):2

''

=

CU

sb γτ

Velocidad de corte (m/s): UC

gu5.0

* =

Coeficiente de Chezy relativo a granos (m1/2/s):

=

90312log18'D

hC

Coeficiente de Chezy (m1/2/s):

=

skhC 12log18'

Esfuerzo de corte crítico según Shields (kg/m2): csc gD *50τγτ =

Número de suspensión (Van Rijn): Ψ+= ZZ '

Número de suspensión (Rouse): *u

Zβκω

=

(9.23)

u*=velocidaddecorte(m/s)τ* = parámetro de movilidad de la partículaμ=(C/C’)1.5 = factor de forma de fondoC=coeficientedeChezyC’=coeficientedeChezyrelativoagranos=18log(12h/D50)b=coeficientequevaríade1a5

184




135


*

27.0

50*µτ

−

= eDbuqB (9.23)




aB FUhCq = (9.24)

Factor de forma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=


5.150015.0

DT

aD

Ca =


250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*


''

=

CU

sb γτ


gu5.0

* =


=

90312log18'D

hC


=

skhC 12log18'




Zβκω

=

(9.24)

Factordeforma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=

Concentraciónalaalturadereferencia:

135


*

27.0

50*µτ

−

= eDbuqB (9.23)




aB FUhCq = (9.24)

Factor de forma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=


5.150015.0

DT

aD

Ca =


250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*


''

=

CU

sb γτ


gu5.0

* =


=

90312log18'D

hC


=

skhC 12log18'




Zβκω

=

Parametrodepartícula:3/1

250*

−=

ρρρ

νsgDD

Parámetrodelestadodetransportedefondo:c

cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*

Esfuerzodecorteefectivo(kg/m2):2

''

=

CU

sb γτ

Velocidaddecorte(m/s): UC

gu5.0

* =

CoeficientedeChezyrelativoagranos(m1/2/s):

135


*

27.0

50*µτ

−

= eDbuqB (9.23)




aB FUhCq = (9.24)

Factor de forma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=


5.150015.0

DT

aD

Ca =


250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*


''

=

CU

sb γτ


gu5.0

* =


=

90312log18'D

hC


=

skhC 12log18'




Zβκω

=

CoeficientedeChezy(m1/2/s):

135


*

27.0

50*µτ

−

= eDbuqB (9.23)




aB FUhCq = (9.24)

Factor de forma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=


5.150015.0

DT

aD

Ca =


250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*


''

=

CU

sb γτ


gu5.0

* =


=

90312log18'D

hC


=

skhC 12log18'




Zβκω

=

EsfuerzodecortecríticosegúnShields(kg/m2):

135


*

27.0

50*µτ

−

= eDbuqB (9.23)




aB FUhCq = (9.24)

Factor de forma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=


5.150015.0

DT

aD

Ca =


250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*


''

=

CU

sb γτ


gu5.0

* =


=

90312log18'D

hC


=

skhC 12log18'




Zβκω

=

Númerodesuspensión(VanRijn): Ψ+= ZZ '

Númerodesuspensión(Rouse):

135


*

27.0

50*µτ

−

= eDbuqB (9.23)




aB FUhCq = (9.24)

Factor de forma:

( )'2.11'

2.1'

Zha

ha

ha

F Z

Z

−

−

−

=


5.150015.0

DT

aD

Ca =


250*

−=

ρρρ

νsgDD


cb

c

c

uuu

Tτττ −

=−

='

)()()'(

2*

2*

2*


''

=

CU

sb γτ


gu5.0

* =


=

90312log18'D

hC


=

skhC 12log18'




Zβκω

=

185


Correcciónporestratificación:

136

Corrección por estratificación: inferior)(regimen 01si5.24.08.0

*

=Ψ⇒=

=Ψ βω

o

a

CC

u

Coeficiente de mezcla entre el fluido y los sedimentos: 221 max

2

*

=⇒

+= βωβ

uA continuación se presenta la ecuación simplificada por Van Rijn aplicable para profundidades entre 1 a 20 metros, velocidades de flujo entre 0.5 y 2.5 m/s y tamaños de partículas entre 0.1 y 2 mm:

6.0

*

50

4.2

5.0

50

1

)1(

012.0

−

−=

DhD

gD

UUUhq

s

cS

ρρ

(9.25)

qS = transporte de sedimento en suspensión (m2/s)Uc = velocidad crítica obtenidad del Diagram de Shield

Coeficientedemezclaentreelfluidoylossedimentos: 221 max

2

*

=⇒

+= βωβ

uA continuación se presenta la ecuación simplificada por Van Rijn aplicable para

profundidadesentre1a20metros,velocidadesdeflujoentre0.5y2.5m/sytamañosde

partículasentre0.1y2mm:

136

Corrección por estratificación: inferior)(regimen 01si5.24.08.0

*

=Ψ⇒=

=Ψ βω

o

a

CC

u

Coeficiente de mezcla entre el fluido y los sedimentos: 221 max

2

*

=⇒

+= βωβ

uA continuación se presenta la ecuación simplificada por Van Rijn aplicable para profundidades entre 1 a 20 metros, velocidades de flujo entre 0.5 y 2.5 m/s y tamaños de partículas entre 0.1 y 2 mm:

6.0

*

50

4.2

5.0

50

1

)1(

012.0

−

−=

DhD

gD

UUUhq

s

cS

ρρ

(9.25)

qS = transporte de sedimento en suspensión (m2/s)Uc = velocidad crítica obtenidad del Diagram de Shield

(9.25)

qS=transportedesedimentoensuspensión(m2/s)Uc = velocidad crítica obtenidad del Diagram de Shield

186


Figura 9.2: Función I1 en Términos de A y Z [Einstein 1950]

137


187


137

Figura 9.2: Función I1 en Términos de A y Z [Einstein 1950] Figura 9.3: Función I2 en Términos de A y Z [Einstein 1950]

138


188

JESÚS ABEL MEJÍA M. 139

Figura 9.4: Variación de P en función de */ uω [Lane y Kalinske, 1941]

Ejemplo 9.1:

Un río ancho de profundidad h = 3 m, ancho B = 100 m, velocidad media U = 1.2 m/s y pendiente S = 0.0002 tiene un fondo compuesto de una material con: D35 = 0.4 mm, D50 =Dm = 0.6 mm, D90 = 1.5 mm, σs = σg = 2.1. Determinar las ecuaciones que definen el perfil de velocidades según Rouse, calculando las concentraciones de referencia mediante las ecuaciones de Van Rijn y Smith-McLean.

Solución:

22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ

077.00002.0381.9* =××== gRSu

( ) ( )0.606

0.0006100026500.000231000

DγγRSγτ

s*

=×−

××=

−=

sm49

0002.032.1 1/2

≅×

==hSUC


Ejemplo 9.1:

Unríoanchodeprofundidadh=3m,anchoB=100m,velocidadmediaU=1.2m/sypendienteS=0.0002tieneunfondocompuestodeunamaterialcon:D35 = 0.4 mm, D50 = Dm = 0.6 mm, D90=1.5mm,σs=σg=2.1.Determinarlasecuacionesquedefinenelperfilde concentraciones según Rouse, calculando las concentraciones de referencia mediante las ecuaciones de Van Rijn y Smith-McLean.

Solución:

139


Ejemplo 9.1:

Un río ancho de profundidad h = 3 m, ancho B = 100 m, velocidad media U = 1.2 m/s y pendiente S = 0.0002 tiene un fondo compuesto de una material con: D35 = 0.4 mm, D50 =Dm = 0.6 mm, D90 = 1.5 mm, σs = σg = 2.1. Determinar las ecuaciones que definen el perfil de velocidades según Rouse, calculando las concentraciones de referencia mediante las ecuaciones de Van Rijn y Smith-McLean.

Solución:

22 kg/m60.0N/m89.50002.0381.91000 ==×××== gRSo ρτ

077.00002.0381.9* =××== gRSu

( ) ( ) 0.6060.000610002650

0.000231000Dγγ

RSγτs

* =×−

××=

−=

sm49

0002.032.1 1/2

≅×

==hSUC

189


Perfil de Concentración según Van Rijn:

140

m068.0s

m1031210121/2

18/4918/ =××=×= −−Cs hk

03.4610

0006.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu

( ) 036.0* =−

=Ds

cc γγ

ττ (obtenido del diagrama de Shields)

( ) 2* kg/m036.00006.0)10002650(036.0 =×−×=−= Dscc γγττ

18.151000

1000265010

81.90006.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD


sm26.70

0015.03312log18

312log18'

1/2

90

=×

×==

DhC

222

kg/m292.026.702.11000

'' =

×=

=

CU

b γτ

( ) ( ) 295.00.000610002650

0.292Dγγ

τ'τ'

s

b* =

×−=

−=

14.7036.0

036.0292.0'=

−=

−=

c

cbTτττ

33.0

5.1

3.0*

5.150 kg/m95.226500011.00011.0

178.1514.7

068.00006.0015.0015.0 =×⇒=××==

DT

kD

Cs

a

La velocidad de sedimentación se calcula del gráfico de Rubey: ω = 6.2 m/s = 0.062 m/s

01.1077.0062.02121

22

*

=

×+=

+=

uωβ

0.2077.04.001.1

062.0

*

=××

==u

Zβκω

165.065.0

0011.0077.0062.05.25.2

4.08.04.08.0

*

=

×=

=Ψ

o

a

CC

uω

165.2165.00.2' =+=Ψ+= ZZ

Perfil de concentración: 165.2'

068.03068.03

95.2

−

−==

−

−=

yyC

aha

yyh

CC

Z

a

LavelocidaddesedimentaciónsecalculadelgráficodeRubey:ω=6.2m/s=0.062m/s

140

m068.0s

m1031210121/2

18/4918/ =××=×= −−Cs hk

03.4610

0006.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu

( ) 036.0* =−

=Ds

cc γγ


( ) 2* kg/m036.00006.0)10002650(036.0 =×−×=−= Dscc γγττ

18.151000

1000265010

81.90006.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD


sm26.70

0015.03312log18

312log18'

1/2

90

=×

×==

DhC

222

kg/m292.026.702.11000

'' =

×=

=

CU

b γτ

( ) ( ) 295.00.000610002650

0.292Dγγ

τ'τ'

s

b* =

×−=

−=

14.7036.0

036.0292.0'=

−=

−=

c

cbTτττ

33.0

5.1

3.0*

5.150 kg/m95.226500011.00011.0

178.1514.7

068.00006.0015.0015.0 =×⇒=××==

DT

kD

Cs

a


01.1077.0062.02121

22

*

=

×+=

+=

uωβ

0.2077.04.001.1

062.0

*

=××

==u

Zβκω

165.065.0

0011.0077.0062.05.25.2

4.08.04.08.0

*

=

×=

=Ψ

o

a

CC

uω

165.2165.00.2' =+=Ψ+= ZZ


068.03068.03

95.2

−

−==

−

−=

yyC

aha

yyh

CC

Z

a

140

m068.0s

m1031210121/2

18/4918/ =××=×= −−Cs hk

03.4610

0006.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu

( ) 036.0* =−

=Ds

cc γγ


( ) 2* kg/m036.00006.0)10002650(036.0 =×−×=−= Dscc γγττ

18.151000

1000265010

81.90006.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD


sm26.70

0015.03312log18

312log18'

1/2

90

=×

×==

DhC

222

kg/m292.026.702.11000

'' =

×=

=

CU

b γτ

( ) ( ) 295.00.000610002650

0.292Dγγ

τ'τ'

s

b* =

×−=

−=

14.7036.0

036.0292.0'=

−=

−=

c

cbTτττ

33.0

5.1

3.0*

5.150 kg/m95.226500011.00011.0

178.1514.7

068.00006.0015.0015.0 =×⇒=××==

DT

kD

Cs

a


01.1077.0062.02121

22

*

=

×+=

+=

uωβ

0.2077.04.001.1

062.0

*

=××

==u

Zβκω

165.065.0

0011.0077.0062.05.25.2

4.08.04.08.0

*

=

×=

=Ψ

o

a

CC

uω

165.2165.00.2' =+=Ψ+= ZZ


068.03068.03

95.2

−

−==

−

−=

yyC

aha

yyh

CC

Z

a

190


Perfildeconcentración:

140

m068.0s

m1031210121/2

18/4918/ =××=×= −−Cs hk

03.4610

0006.0077.0Re 6*

* =×

== −νDu

( ) 036.0* =−

=Ds

cc γγ


( ) 2* kg/m036.00006.0)10002650(036.0 =×−×=−= Dscc γγττ

18.151000

1000265010

81.90006.03/1

12

3/1

250* =

−

×=

−= −ρ

ρρν

sgDD


sm26.70

0015.03312log18

312log18'

1/2

90

=×

×==

DhC

222

kg/m292.026.702.11000

'' =

×=

=

CU

b γτ

( ) ( ) 295.00.000610002650

0.292Dγγ

τ'τ'

s

b* =

×−=

−=

14.7036.0

036.0292.0'=

−=

−=

c

cbTτττ

33.0

5.1

3.0*

5.150 kg/m95.226500011.00011.0

178.1514.7

068.00006.0015.0015.0 =×⇒=××==

DT

kD

Cs

a


01.1077.0062.02121

22

*

=

×+=

+=

uωβ

0.2077.04.001.1

062.0

*

=××

==u

Zβκω

165.065.0

0011.0077.0062.05.25.2

4.08.04.08.0

*

=

×=

=Ψ

o

a

CC

uω

165.2165.00.2' =+=Ψ+= ZZ


068.03068.03

95.2

−

−==

−

−=

yyC

aha

yyh

CC

Z

a

Perfil de Concentración según Smith-McLean:

141


( ) ( ) m0086.00006.0036.0295.0.03.260015.03'3.263 50**90 =×−×+×=−+= DDa cττ

017.0

036.0036.0295.0004.01

036.0036.0295.0

6.0004.0'

004.01

'

004.0

*

**

*

**

=

−×+

−

××=

−+

−

=

c

c

c

c

oa CC

τττ

τττ

3kg/m22.442650017.0017.0 =×⇒=aC

Número de suspensión: 02.2077.04.0

062.0

*

=×

==u

Zκω

Perfil de concentración: 02.2

017.03017.03

22.44

−

−==

−

−=

yyC

aha

yyh

CC

Z

a

Ejemplo 9.2:

Para el caso del problema anterior calcular el transporte de sedimentos en suspensión mediante las ecuaciones de Bagnold y Van Rijn:

Solución:

Ecuación de Bagnold

( )

( )( )

( )/sm00001.0

0002.0077.0062.0110002650

2.16.01.0102.0

tancos

1 2=

−××−

××−×=

−−

−=

θωθγγ

τ

U

Ueeq

s

obsS

Por lo tanto: qS = 0.03 kg/m.s

Ecuación de Van Rijn

( ) ( )0113.0

161.22.13068.01

3068.0

3068.0

'2.11161.2

2.1161.2

'

2.1'

=

−

−

−

=

−

−

−

=

Zha

ha

ha

F Z

Z

kg/m.s12.095.232.10113.0 =×××== aB FUhCq

Ejemplo 9.3:

Detreminar la relación entre el caudal sólido y el caudal líquido para el río Muymanu con la información proporcionada en los capítulos precedentes. Usar el método de Garde y Pandepara una velocidad media del sedimento de 0.0521 m/s.

Ejemplo 9.2:

Para el caso del problema anterior calcular el transporte de sedimentos en suspensión mediantelasecuacionesdeBagnoldyVanRijn:

Solución:


Porlotanto:qS = 0.03 kg/m.s

141


( ) ( ) m0086.00006.0036.0295.0.03.260015.03'3.263 50**90 =×−×+×=−+= DDa cττ

017.0

036.0036.0295.0004.01

036.0036.0295.0

6.0004.0'

004.01

'

004.0

*

**

*

**

=

−×+

−

××=

−+

−

=

c

c

c

c

oa CC

τττ

τττ

3kg/m22.442650017.0017.0 =×⇒=aC


062.0

*

=×

==u

Zκω


017.03017.03

22.44

−

−==

−

−=

yyC

aha

yyh

CC

Z

a

Ejemplo 9.2:


Solución:


( )

( )( )

( )/sm00001.0

0002.0077.0062.0110002650

2.16.01.0102.0

tancos

1 2=

−××−

××−×=

−−

−=

θωθγγ

τ

U

Ueeq

s

obsS



( ) ( )0113.0

161.22.13068.01

3068.0

3068.0

'2.11161.2

2.1161.2

'

2.1'

=

−

−

−

=

−

−

−

=

Zha

ha

ha

F Z

Z

kg/m.s12.095.232.10113.0 =×××== aB FUhCq

Ejemplo 9.3:


191



Ejemplo 9.3:

Detreminar la relación entre el caudal sólido y el caudal líquido para el río Muymanu con la información proporcionada en los capítulos precedentes. Usar el método de Garde y Pandeparaunavelocidadmediadelsedimentode0.0521m/s.

Solución:

Losresultadoscalculadosconexcel,sepresentanresumidosentablasygráficos:

Tabla 8.1: Transporte de sedimentos en suspensión- Método de Garde y Pande

y T A U Q q u* qS QS QS

(m) (m) (m2) (m/s) (m3/s) (m3/s.m) (m/s) (Kg/s.m) (Kg/s) (Ton/dia)

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0.00 0

0.50 8.00 2.00 0.12 0.23 0.03 0.043 0.001 0.01 1

1.00 10.50 6.65 0.22 1.43 0.14 0.068 0.022 0.23 20

1.50 13.70 12.65 0.28 3.49 0.25 0.082 0.085 1.16 100

2.00 16.00 20.15 0.34 6.79 0.42 0.095 0.258 4.13 357

2.50 19.00 28.90 0.38 11.02 0.58 0.104 0.511 9.71 839

3.00 22.00 39.15 0.42 16.55 0.75 0.113 0.903 19.87 1717

3.50 23.90 50.65 0.47 23.96 1.00 0.123 1.686 40.29 3481

4.00 25.60 63.00 0.52 32.77 1.28 0.132 2.862 73.26 6329

4.50 27.10 76.20 0.57 43.10 1.59 0.140 4.570 123.85 10700

5.00 28.40 89.95 0.61 54.78 1.93 0.148 6.916 196.41 16970

5.50 30.00 104.50 0.65 67.57 2.25 0.155 9.667 290.00 25056

141


( ) ( ) m0086.00006.0036.0295.0.03.260015.03'3.263 50**90 =×−×+×=−+= DDa cττ

017.0

036.0036.0295.0004.01

036.0036.0295.0

6.0004.0'

004.01

'

004.0

*

**

*

**

=

−×+

−

××=

−+

−

=

c

c

c

c

oa CC

τττ

τττ

3kg/m22.442650017.0017.0 =×⇒=aC


062.0

*

=×

==u

Zκω


017.03017.03

22.44

−

−==

−

−=

yyC

aha

yyh

CC

Z

a

Ejemplo 9.2:


Solución:


( )

( )( )

( )/sm00001.0

0002.0077.0062.0110002650

2.16.01.0102.0

tancos

1 2=

−××−

××−×=

−−

−=

θωθγγ

τ

U

Ueeq

s

obsS



( ) ( )0113.0

161.22.13068.01

3068.0

3068.0

'2.11161.2

2.1161.2

'

2.1'

=

−

−

−

=

−

−

−

=

Zha

ha

ha

F Z

Z

kg/m.s12.095.232.10113.0 =×××== aB FUhCq

Ejemplo 9.3:


192


Figura 9.5: Relación profundidad versus caudal de sedimento en suspensión

142

Solución:

Los resultados calculados con excel, se presentan resumidos en tablas y gráficos:

Tabla 8.1: Transporte de sedimentos en suspensión- Método de Garde y Pande

y T A U Q q u* qS QS QS

(m) (m) (m2) (m/s) (m3/s) (m3/s.m) (m/s) (Kg/s.m) (Kg/s) (Ton/dia)0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 0.00 00.50 8.00 2.00 0.12 0.23 0.03 0.043 0.001 0.01 11.00 10.50 6.65 0.22 1.43 0.14 0.068 0.022 0.23 201.50 13.70 12.65 0.28 3.49 0.25 0.082 0.085 1.16 1002.00 16.00 20.15 0.34 6.79 0.42 0.095 0.258 4.13 3572.50 19.00 28.90 0.38 11.02 0.58 0.104 0.511 9.71 8393.00 22.00 39.15 0.42 16.55 0.75 0.113 0.903 19.87 17173.50 23.90 50.65 0.47 23.96 1.00 0.123 1.686 40.29 34814.00 25.60 63.00 0.52 32.77 1.28 0.132 2.862 73.26 63294.50 27.10 76.20 0.57 43.10 1.59 0.140 4.570 123.85 107005.00 28.40 89.95 0.61 54.78 1.93 0.148 6.916 196.41 169705.50 30.00 104.50 0.65 67.57 2.25 0.155 9.667 290.00 25056

0

5000

10000

15000

20000

25000

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Qs

(Ton

/dia

)

Y (Profundidad en metros)

Figura 9.5: Relación profundidad versus caudal de sedimento en suspensión

Figura 9.6: Relación Caudal líquido versus caudal de sedimento en suspensión

143

Figura 9.6: Relación Caudal líquido versus caudal de sedimento en suspensión

193


Capítulo X

transPorte sólido total

10.1 Introducción

Elmaterialsólidotransportadoporelflujocorrespondealasumadelmaterialpredominanteen la constitución del lecho y del material de lavado. Este último está constituido por un materialmuyfinoqueraramenteseencuentraenel lecho.Elmaterialde lavadoeselresultado de la erosión del suelo en la cuenca, de las márgenes del río y del desgaste del material.Laproduccióndeestematerialestaligadaafactoresexternosalflujo,porloqueno es posible correlacionar con los parámetros hidráulicos.

La separación de la parte que corresponde a la carga de lavado es sumamente difícil y los criteriossonmuysubjetivos.Einstein,[6],porejemplo,sugieredeformaarbitrariaqueseexcluyael10%delmaterialmasfinodelacomposicióngranulométricadellecho.Existendos enfoques distintos sobre los métodos de cálculo del transporte sólido total, que Garde yRangaRaju[9]definierondelasiguientemanera:

- Métodos Microscópicos: En este grupo se encuentran un conjunto de métodos que subdividen el transporte total en transporte de fondo y transporte en suspensión. Como se sabe el mecanismo de estas dos modalidades de transporte son completamente distintos. ComoejemplodeestosmétodostenemoslaecuacióndeEinstein(1950),Colby(1955),Toffaleti(1969).LaaplicacióndelmétododeEinsteinpuedeverseendetalleenMejíaM.,[16].

- Métodos Macroscópicos: En este enfoque, el transporte de sedimentos es considerado comoun todo.Los autores que defienden este enfoque, argumentan que el transportesólidoensuspensiónesunestadoavanzadode la traccióndelflujosobreel lecho,nohabiendo, por lo tanto, necesidad de distinguir las modalidades de transporte. Los métodos comprendidos en este grupo están basadas en el análisis dimensional, intuición o en un empirismocompleto.Comoejemplospodemosmencionar: las ecuacionesdeLaursen(1958),Bishop(1965),EngelundyHansen(1967),AckersyWhite(1973),GardeyRaju(1981),etc.

194


143

10 TRASPORTE SÓLIDO TOTAL 10.1 Introducción

El material sólido transportado por el flujo corresponde a la suma del material predominante en la constitución del lecho y del material de lavado. Este último está constituido por un material muy fino que raramente se encuentra en el lecho. El material de lavado es el resultado de la erosión del suelo en la cuenca, de las márgenes del río y del desgaste del material. La producción de este material esta ligada a factores externos al flujo, por lo que no es posible correlacionar con los parámetros hidráulicos. La separación de la parte que corresponde a la carga de lavado es sumamente difícil y los criterios son muy subjetivos. Einstein, [6], por ejemplo, sugiere de forma arbitraria que se excluya el 10% del material mas fino de la composición granulométrica del lecho. Existen dos enfoques distintos sobre los métodos de cálculo del transporte sólido total, que Garde y Ranga Raju [9] definieron de la siguiente manera: - Métodos Microscópicos: En este grupo se encuentran un conjunto de métodos que subdividen el transporte total en transporte de fondo y transporte en suspensión. Como se sabe el mecanismo de estas dos modalidades de transporte son completamente distintos. Como ejemplo de estos métodos tenemos la ecuación de Einstein (1950), Colby (1955), Toffaleti (1969). La aplicación del método de Einstein puede verse en detalle en Mejía M.,[17]. - Métodos Macroscópicos: En este enfoque, el transporte de sedimentos es considerado como un todo. Los autores que defienden este enfoque, argumentan que el transporte sólido en suspensión es un estado avanzado de la tracción del flujo sobre el lecho, no habiendo, por lo tanto, necesidad de distinguir las modalidades de transporte. Los métodos comprendidos en este grupo están basadas en el análisis dimensional, intuición o en un empirismo completo. Como ejemplos podemos mencionar: las ecuaciones de Laursen (1958), Bishop (1965), Engelund y Hansen (1967), Ackers y White (1973), Garde y Raju (1981), etc. 10.2 Ecuación de Laursen (1958) Laursen, [10], consideró los siguientes parámetros como importantes en el estudio del transporte total de sedimentos: u*/, D/h, ’o/c y la concentración total C en porcentaje por peso. Laursen presentó la siguiente relación intuitiva:

C

Dh

fu

o

c

7

61

'

* (10.1)

31

2

58'

hD

gU

o ; c puede ser obtenido de la curva de Shields. La Figura 10.1 muestra la relación

experimental entre los parámetros de la ecuación (10.1).

144

1

10

100

1000

10000

100000

0.01 0.1 1 10 100 1000

f(u*/ω

)

u*/ω

Figura 10.1: Relación de Laursen para el Transporte de Fondo (--) y Transporte Total (-)

(Adaptado de: GRAF, W. H. Hydraulics of Sediment Transport) Para transporte de fondo:

0479.1log2701.0log **

uuf (10.2a)

Para transporte total:

20 para 9407.1log2578.7log7404.2log355.0log


**2

*3

**

**2

*3

**

uuuuuf

uuuuuf (10.2b)

10.3 Ecuación de Garde y Datari

Garde y Datrari [9], postularon que la carga de sedimentos en suspensión toman la misma forma funcional que el transporte de fondo, especialmente cuando los efectos de la no uniformidad de los sedimentos y la configuración de fondo no son considerados. Presentaron la siguiente relación:

qu D

fT

s**( )

(10.3a)

Ploteando los datos obtenidos en laboratorio obtuvieron la siguiente relación para la carga total de sedimentos:

195


144

1

10

100

1000

10000

100000

0.01 0.1 1 10 100 1000

f(u*/ω

)

u*/ω

Figura 10.1: Relación de Laursen para el Transporte de Fondo (--) y Transporte Total (-)

(Adaptado de: GRAF, W. H. Hydraulics of Sediment Transport) Para transporte de fondo:

0479.1log2701.0log **

uuf (10.2a)

Para transporte total:



**2

*3

**

**2

*3

**

uuuuuf

uuuuuf (10.2b)

10.3 Ecuación de Garde y Datari

Garde y Datrari [9], postularon que la carga de sedimentos en suspensión toman la misma forma funcional que el transporte de fondo, especialmente cuando los efectos de la no uniformidad de los sedimentos y la configuración de fondo no son considerados. Presentaron la siguiente relación:

qu D

fT

s**( )

(10.3a)

Ploteando los datos obtenidos en laboratorio obtuvieron la siguiente relación para la carga total de sedimentos:

145

qu D

T

s**

16 4 (10.3b)

10.4 Ecuación de Graf y Acaroglu

qu D

T

s**

..

10 39 2 02 (10.4)


Bagnold, [30], presento la siguiente ecuación para el transporte total:

qU e

e eU

To

s

BS B

S

11

tan (10.5a)

eS y eB son conocidos como la eficiencia de transporte en suspensión y de fondo respectivamente, tan es el coeficiente de fricción itergranular que depende de D y * y US la velocidad media del sedimento que puede ser aproximado a U. Bagnold mostró que eS es igual a 0.015 y eB varía entre 0.15 y 0.11, de modo que e eS B1 puede ser tomado igual a 0.01. Por lo tanto la ecuación (10.5a) puede ser aproximado por:

qU e U

To

s

B

10 01

tan. (10.5b)

10.6 Ecuación de Engelund y Hansen (1967) Engelund y Hansen [30] propusieron la ecuación de transporte total en base a la relación con el esfuerzo de corte y el factor de fricción del fondo. Luego de un amplio estudio con datos obtenidos en laboratorio, propusieron la siguiente ecuación válida para todos los regímenes de flujo:

2

350

5.0

505.0

sT CDg

Uq (10.6)

qT = transporte total volumétrico en m2/s U = velocidad media del flujo en m/s C = coeficiente de Chezy en m1/2/s ρs = densidad del sedimento en kg/m3 ρ = densidad del agua en kg/m3 D50 = diámetro de la partícula en m 10.7 Ecuación de Yang (1973)

UhCq TT310 (10.7)

Donde:

196


145

qu D

T

s**

16 4 (10.3b)

10.4 Ecuación de Graf y Acaroglu

qu D

T

s**

..

10 39 2 02 (10.4)


Bagnold, [30], presento la siguiente ecuación para el transporte total:

qU e

e eU

To

s

BS B

S

11

tan (10.5a)

eS y eB son conocidos como la eficiencia de transporte en suspensión y de fondo respectivamente, tan es el coeficiente de fricción itergranular que depende de D y * y US la velocidad media del sedimento que puede ser aproximado a U. Bagnold mostró que eS es igual a 0.015 y eB varía entre 0.15 y 0.11, de modo que e eS B1 puede ser tomado igual a 0.01. Por lo tanto la ecuación (10.5a) puede ser aproximado por:

qU e U

To

s

B

10 01

tan. (10.5b)

10.6 Ecuación de Engelund y Hansen (1967) Engelund y Hansen [30] propusieron la ecuación de transporte total en base a la relación con el esfuerzo de corte y el factor de fricción del fondo. Luego de un amplio estudio con datos obtenidos en laboratorio, propusieron la siguiente ecuación válida para todos los regímenes de flujo:

2

350

5.0

505.0

sT CDg

Uq (10.6)

qT = transporte total volumétrico en m2/s U = velocidad media del flujo en m/s C = coeficiente de Chezy en m1/2/s ρs = densidad del sedimento en kg/m3 ρ = densidad del agua en kg/m3 D50 = diámetro de la partícula en m 10.7 Ecuación de Yang (1973)

UhCq TT310 (10.7)

Donde:

146

SUUS

C cT loglog 21

*501 log457.0log286.0435.5 uD

*502 log314.0log409.0799.1 uD

702.1 para 66.006.0log

5.2 50*

50*

DuDu

U c

70 para 05.2 50*

Du

Uc

qT = transporte total en kg/m.s CT = concentración total de sedimento en ppm por peso U = velocidad media del flujo en m/s Uc = velocidad crítica de inicio de movimiento en m/s S = pendiente de la linea de energía D50 = diámetro de la partícula en m ω = velocidad de sedimentación en m/s u* = velocidad de corte en m/s h = profundidad del agua en m 10.8 Ecuación de Ackers y White (1973) Ackers y White [30] postularon que solo parte del esfuerzo de corte generado en el fondo del río es efectivamente el causante del movimiento de las partículas. Bajo esta premisa definieron un parámetro de movilidad del sedimento:

m

c

cn

T FFF

uUKUDq

*35 (10.8)

n

s

n

Dh

U

Dg

uF

1

3535

*

10log32)(

31

235*

gDD s

14.023.05.0

*

D

Fc

Ackers & White, 1973: Para: 1.0 < D* 60.0

197


146

SUUS

C cT loglog 21

*501 log457.0log286.0435.5 uD

*502 log314.0log409.0799.1 uD

702.1 para 66.006.0log

5.2 50*

50*

DuDu

U c

70 para 05.2 50*

Du

Uc

qT = transporte total en kg/m.s CT = concentración total de sedimento en ppm por peso U = velocidad media del flujo en m/s Uc = velocidad crítica de inicio de movimiento en m/s S = pendiente de la linea de energía D50 = diámetro de la partícula en m ω = velocidad de sedimentación en m/s u* = velocidad de corte en m/s h = profundidad del agua en m 10.8 Ecuación de Ackers y White (1973) Ackers y White [30] postularon que solo parte del esfuerzo de corte generado en el fondo del río es efectivamente el causante del movimiento de las partículas. Bajo esta premisa definieron un parámetro de movilidad del sedimento:

m

c

cn

T FFF

uUKUDq

*35 (10.8)

n

s

n

Dh

U

Dg

uF

1

3535

*

10log32)(

31

235*

gDD s

14.023.05.0

*

D

Fc

Ackers & White, 1973: Para: 1.0 < D* 60.0

147

54.3)(loglog86.2log 2** DDK *log56.00.1 Dn 34.166.9

*

D

m

Para: D* > 60.0: n = 0 K = 0.025 Fc = 0.17 m = 1.50 Ackers & White, 1990: Para: 1.0 < D* 60.0:

46.3)(log98.0log79.2log 2** DDK 67.183.6

*

D

m

Para: D* > 60.0: n = 0 K = 0.025 Fc = 0.17 m = 1.78

10.9 Ecuación de Shen y Hung Mediante análisis de regresión de datos obtenidos en laboratorio, Shen y Hung [14], obtuvieron la siguiente expresión dimensional para el cálculo de la concentración total de sedimentos en ppm por peso:

log . . . .* * *C Y Y Y 107045 324214 7 326309 6 10950392 3 (10.9)

Donde: 0075.0

32.0

57.0

*

USY

10.10 Ecuación de Raju (1981) Segun Raju [9], en el caso de lechos ondulados, con transporte en suspensión, el parámetro de transporte total está dada por:

To

o

m

603

* '

' (10.10)

donde:

* '

' . '

o

s sDR S

D ,

Uu

RKs*

. ln'

.

2 5 6 0

mu

0 05 para: * .

, mu u

0 2 010 05. . .* *

para:

TT

s s

qgD

12

3

121

Ejemplo 10.1: Un río ancho de profundidad h = 3 m, ancho B = 100 m, velocidad media U = 1.2 m/s y pendiente S = 0.0002 tiene un fondo compuesto de una material con: D35 = 1.5 mm, Dm = 2 mm, D90 = 3 mm. Calcular el transporte de sedimento total mediante las ecuaciones de Engelund y Hansen, la ecuación de Ackers y White y la ecuación de Yang.

198


147

54.3)(loglog86.2log 2** DDK *log56.00.1 Dn 34.166.9

*

D

m

Para: D* > 60.0: n = 0 K = 0.025 Fc = 0.17 m = 1.50 Ackers & White, 1990: Para: 1.0 < D* 60.0:

46.3)(log98.0log79.2log 2** DDK 67.183.6

*

D

m

Para: D* > 60.0: n = 0 K = 0.025 Fc = 0.17 m = 1.78

10.9 Ecuación de Shen y Hung Mediante análisis de regresión de datos obtenidos en laboratorio, Shen y Hung [14], obtuvieron la siguiente expresión dimensional para el cálculo de la concentración total de sedimentos en ppm por peso:

log . . . .* * *C Y Y Y 107045 324214 7 326309 6 10950392 3 (10.9)

Donde: 0075.0

32.0

57.0

*

USY

10.10 Ecuación de Raju (1981) Segun Raju [9], en el caso de lechos ondulados, con transporte en suspensión, el parámetro de transporte total está dada por:

To

o

m

603

* '

' (10.10)

donde:

* '

' . '

o

s sDR S

D ,

Uu

RKs*

. ln'

.

2 5 6 0

mu

0 05 para: * .

, mu u

0 2 010 05. . .* *

para:

TT

s s

qgD

12

3

121

Ejemplo 10.1: Un río ancho de profundidad h = 3 m, ancho B = 100 m, velocidad media U = 1.2 m/s y pendiente S = 0.0002 tiene un fondo compuesto de una material con: D35 = 1.5 mm, Dm = 2 mm, D90 = 3 mm. Calcular el transporte de sedimento total mediante las ecuaciones de Engelund y Hansen, la ecuación de Ackers y White y la ecuación de Yang.

148

Solución: Aplicación de la ecuación de Engelund y Hansen

0.490002.032.1

RSVC

/sm00006.010002650

100049002.081.9

2.105.005.0 22

35.0

52

350

5.0

5

sT CDg

Uq

Por lo tanto: qT = 0.164 kg/m.s Aplicación de la ecuación de Ackers y White

94.3781.9)10(1000

100026500015.031

26

31

235*

gDD s

; por lo tanto

116.0)94.37log(56.00.1)log(56.00.1 * Dn

517.154.3)94.37(log94.37log86.254.3)(loglog86.2log 22** DDK

030.010 517.1 K

177.014.023.05.0

*

D

Fc

595.134.166.9

*

D

m

2kg/m6.00002.031000 o

m/s077.00002.0381.9* gRSu

333.0

0015.0310log32

2.10015.065.181.9

077.010log32

)(

116.01

116.0

1

3535

*

n

s

n

Dh

U

Dg

uF

/sm000061.0177.0

177.0333.0077.02.1002.02.1030.0 2

595.1116.0

*35

m

c

cn

T FFF

uUKUDq

199


148

Solución: Aplicación de la ecuación de Engelund y Hansen

0.490002.032.1

RSVC

/sm00006.010002650

100049002.081.9

2.105.005.0 22

35.0

52

350

5.0

5

sT CDg

Uq

Por lo tanto: qT = 0.164 kg/m.s Aplicación de la ecuación de Ackers y White

94.3781.9)10(1000

100026500015.031

26

31

235*

gDD s

; por lo tanto

116.0)94.37log(56.00.1)log(56.00.1 * Dn

517.154.3)94.37(log94.37log86.254.3)(loglog86.2log 22** DDK

030.010 517.1 K

177.014.023.05.0

*

D

Fc

595.134.166.9

*

D

m

2kg/m6.00002.031000 o

m/s077.00002.0381.9* gRSu

333.0

0015.0310log32

2.10015.065.181.9

077.010log32

)(

116.01

116.0

1

3535

*

n

s

n

Dh

U

Dg

uF

/sm000061.0177.0

177.0333.0077.02.1002.02.1030.0 2

595.1116.0

*35

m

c

cn

T FFF

uUKUDq

149

Por lo tanto: qT = 0.161 kg/m.s Aplicación de la ecuación de Yang Velocidad de sedimentación, del gráfico de Rubey ω = 0.16 m/s

m/s077.00002.0381.9* gRSu

864.416.0

077.0log457.0000001.0

002.016.0log286.0435.51

874.016.0

077.0log314.0000001.0

002.016.0log409.0799.12

154000001.0

002.0077.050*

Du

m/s328.016.005.205.2 cU

ppm2.18810275.216.0

0002.0328.00002.02.1log874.0864.4log 275.2

TT CC

kg/m.s678.032.12.1881010 33 UhCq TT

Por lo tanto: qT = 0.678 kg/m.s Ejemplo 10.2: Con la información del río Muymanu, descrito en los capítulos precedentes, calcular el transporte total de sedimentos para partículas correspondiente a tres fracciones de la curva granulométrica, mediante las ecuaciones de Einstein y Laursen.


ρs 2650 vis 0.000001 S 0.00076 Dm 0.00049 ρ 1000 n 0.093 g 9.81 Dg 0.00046

D35 0.00042 D65 0.00055 D90 0.00075 ks 0.00055

Tabla 10.2: Rango de diámetros y valores de la velocidad de sedimentación

Rango de D (mm) D promedio (mm) Fracción ω (cm/s) ω (m/s) 0.10<D<0.40 0.25 30% 3.0 0.03 0.40<D<0.60 0.50 40% 6.0 0.06 0.60<D<1.00 0.80 30% 9.0 0.09

Solución:

200


149

Por lo tanto: qT = 0.161 kg/m.s Aplicación de la ecuación de Yang Velocidad de sedimentación, del gráfico de Rubey ω = 0.16 m/s

m/s077.00002.0381.9* gRSu

864.416.0

077.0log457.0000001.0

002.016.0log286.0435.51

874.016.0

077.0log314.0000001.0

002.016.0log409.0799.12

154000001.0

002.0077.050*

Du

m/s328.016.005.205.2 cU

ppm2.18810275.216.0

0002.0328.00002.02.1log874.0864.4log 275.2

TT CC

kg/m.s678.032.12.1881010 33 UhCq TT

Por lo tanto: qT = 0.678 kg/m.s Ejemplo 10.2: Con la información del río Muymanu, descrito en los capítulos precedentes, calcular el transporte total de sedimentos para partículas correspondiente a tres fracciones de la curva granulométrica, mediante las ecuaciones de Einstein y Laursen.


ρs 2650 vis 0.000001 S 0.00076 Dm 0.00049 ρ 1000 n 0.093 g 9.81 Dg 0.00046

D35 0.00042 D65 0.00055 D90 0.00075 ks 0.00055

Tabla 10.2: Rango de diámetros y valores de la velocidad de sedimentación

Rango de D (mm) D promedio (mm) Fracción ω (cm/s) ω (m/s) 0.10<D<0.40 0.25 30% 3.0 0.03 0.40<D<0.60 0.50 40% 6.0 0.06 0.60<D<1.00 0.80 30% 9.0 0.09

Solución:

Solución:

A continuación se presenta los cálculos hidráulicos necesarios para la aplicación de las ecuaciones de Einstein y Laursen.

Tabla 10.3: Cálculos hidráulicos para las ecuaciones de Einstein y Laursen

R’ u’* δ ks/ δ x ∆ U Ψ’ U/u”* u”* R”

(m) (m/s) (m) (m/s) (m/s) (m)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57

1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32

1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18

2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11

2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07

3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04

... Continuación de la Tabla 10.3R u* y A P Q X Y βx (β/βx)

2 PE

(m) (m/s) (m) (m2) (m) (m3/s) (m)

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72

1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82

1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02

2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23

2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42

3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59

201


1) Radiohidráulicorespectoagranosenm:R’esasumido

2) Velocidaddecorterespectoalosgranosenm/s:

150



R' u'* δ ks/ δ x ∆ U Ψ' U/u"* u"* R" (m) (m/s) (m) (m/s) (m/s) (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57 1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32 1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18 2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11 2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07 3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04

... Continuación de la Tabla 10.3

R u* y A P Q X Y βx (β/βx)2 PE (m) (m/s) (m) (m2) (m) (m3/s) (m) 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72 1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82 1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02 2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23 2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42 3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59

1) Radio hidráulico respecto a granos en m: R’ es asumido 2) Velocidad de corte respecto a los granos en m/s: SgRu ''*

3) Espesor de la subcapa laminar en m: *'6.11

u

4) ks/δ con ks = D65 en m 5) x factor de corrección de la distribución logarítmica de melocidades, Figura 7.3 6) ∆ = ks/x, rugosidad aparente del diámetro en m.

7) U velocidad media en m/s:

'27.12log'75.5 *Ruu

8) Intensidad de corte de la partícula:

SRDs

' ' 35

9) )'("*

fuU

, dado en la Figura 7.4.

10) )'(

"*

fUu , velocidad debido a la forma del lecho en m/s.

11) Radio hidráulico debido a la forma del lecho en m, obtenido de: SgRu '''' * 12) Radio hidráulico total: R = R’ + R’’ 13) Velocidad de corte total en m/s: gRSu * 14) Profundidad, obtenido de la ecuación R = 0.5848y – 0.0014 en m. Figura 7.7 15) Área, obtenido de la ecuación: A = 2.4057y2 + 6.219y – 1.3124 en m2. Figura 7.7 16) Perímetro, obtenido de la ecuación: P = 5.4541y + 4.7055 en m. Figura 7.7 17) Caudal, Q = UA en m3/s 18) X es una longitud característica: X = 0.77∆ si = ∆/δ>1.80 y X = 1.39δ si ∆/δ<1.80 19) Y es el factor de corrección de presión, Y = f(ks/δ), obtenido de la Figura 8.7 20) βx = log(10.6X/∆), función logarítmica

3) Espesordelasubcapalaminarenm:

150




0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57 1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32 1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18 2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11 2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07 3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04



1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72 1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82 1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02 2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23 2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42 3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59



u



'27.12log'75.5 *Ruu


SRDs

' ' 35

9) )'("*

fuU


10) )'(

"*



4) ks/δconks = D65 en m

5) x factor de corrección de la distribución logarítmica de melocidades, Figura 7.3

6) ∆=ks/x,rugosidadaparentedeldiámetroenm.

7) Uvelocidadmediaenm/s:

150




0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57 1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32 1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18 2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11 2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07 3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04



1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72 1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82 1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02 2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23 2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42 3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59



u



'27.12log'75.5 *Ruu


SRDs

' ' 35

9) )'("*

fuU


10) )'(

"*



8) Intensidaddecortedelapartícula:

150




0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57 1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32 1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18 2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11 2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07 3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04



1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72 1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82 1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02 2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23 2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42 3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59



u



'27.12log'75.5 *Ruu


SRDs

' ' 35

9) )'("*

fuU


10) )'(

"*



9)

150




0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57 1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32 1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18 2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11 2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07 3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04



1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72 1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82 1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02 2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23 2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42 3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59



u



'27.12log'75.5 *Ruu


SRDs

' ' 35

9) )'("*

fuU


10) )'(

"*




10)

150




0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57 1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32 1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18 2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11 2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07 3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04



1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72 1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82 1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02 2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23 2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42 3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59



u



'27.12log'75.5 *Ruu


SRDs

' ' 35

9) )'("*

fuU


10) )'(

"*



,velocidaddebidoalaformadellechoenm/s.

11) Radiohidráulicodebidoalaformadellechoenm,obtenidode:

150




0.500 0.061 0.00019 2.89 1.21 0.00045 1.45 1.82 22.16 0.065 0.57 1.000 0.086 0.00013 4.09 1.08 0.00051 2.18 0.91 44.38 0.049 0.32 1.500 0.106 0.00011 5.01 1.04 0.00053 2.76 0.61 75.19 0.037 0.18 2.000 0.122 0.00009 5.79 1.03 0.00054 3.27 0.46 116.31 0.028 0.11 2.500 0.137 0.00008 6.47 1.02 0.00054 3.73 0.36 169.53 0.022 0.07 3.000 0.150 0.00008 7.09 1.02 0.00054 4.16 0.30 236.76 0.018 0.04



1.07 0.09 1.84 18.26 14.74 26.49 0.000349 0.55 0.91 1.26 11.72 1.32 0.10 2.26 25.10 17.05 54.61 0.000391 0.52 0.91 1.26 11.82 1.68 0.11 2.88 36.49 20.40 100.78 0.000407 0.52 0.91 1.26 12.02 2.11 0.13 3.60 52.35 24.36 171.32 0.000412 0.52 0.91 1.26 12.23 2.57 0.14 4.39 72.31 28.64 269.99 0.000414 0.53 0.91 1.26 12.42 3.04 0.15 5.20 96.17 33.08 399.83 0.000415 0.53 0.91 1.26 12.59



u



'27.12log'75.5 *Ruu


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' ' 35

9) )'("*

fuU


10) )'(

"*



12) Radiohidráulicototal:R=R’+R’’

13) Velocidaddecortetotalenm/s: gRSu =*

14) Profundidad, obtenido de la ecuación R = 0.5848y – 0.0014 en m. Figura 7.7

15) Área,obtenidodelaecuación:A=2.4057y2 + 6.219y – 1.3124 en m2. Figura 7.7

16) Perímetro,obtenidodelaecuación:P=5.4541y+4.7055enm.Figura7.7

17) Caudal, Q = UA en m3/s

18) Xesunalongitudcaracterística:X=0.77∆si=∆/δ>1.80yX=1.39δsi∆/δ<1.80

19) Y es el factor de corrección de presión, Y = f(ks/δ),obtenidodelaFigura8.7

20) βx=log(10.6X/∆),funciónlogarítmica

21) (β/βx)2,conβ=log10.6

22) PE,parámetrodetransportedeEinstein:

151

21) (β/βx)2, con β = log10.6

22) PE, parámetro de transporte de Einstein:

yPE2.30log3.2

A continuación, se muestra el cálculo de transporte de sedimentos aplicando la ecuación de Einstein para las partículas representativos y para las cuatro primeras filas de la tabla 10.3:

Tabla 10.4: Cálculo de Transporte de sedimentos mediante la ecuación de Einstein

D Fracción ω R' Ψ D/X ξ Ψ* Φ* iBgB (m) ib (m/s) (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00025 0.3 0.03 0.50 1.09 0.715 1.71 1.28 6.36 0.79

1.00 0.54 0.639 2.11 0.76 10.56 1.31

1.50 0.36 0.615 2.27 0.54 14.46 1.79

2.00 0.27 0.606 2.34 0.42 18.90 2.34 0.0005 0.4 0.06 0.50 2.17 1.431 0.99 1.48 5.42 2.54

1.00 1.09 1.278 0.97 0.70 11.35 5.31

1.50 0.72 1.229 0.98 0.47 16.88 7.89

2.00 0.54 1.212 0.98 0.35 22.89 10.71 0.0008 0.3 0.09 0.50 3.47 2.289 1.00 2.40 2.72 1.93

1.00 1.74 2.045 1.00 1.15 7.14 5.07

1.50 1.16 1.967 1.00 0.76 10.48 7.44

2.00 0.87 1.940 1.00 0.57 13.64 9.68 ... Continuación de la Tabla 10.4 iBQB ∑iBQB A Z I1 I2 PEI1+I2+1 itgt itGt ∑itGt

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11.63 11.63 0.00027 1.23 0.763 -4.279 5.67 4.47 65.9 65.9 22.34 33.97 0.00022 0.87 2.817 -11.135 23.15 30.33 517.2 583.1 36.59 70.56 0.00017 0.71 6.820 -21.648 61.32 110.00 2243.6 2826.7 57.10 127.66 0.00014 0.61 13.017 -35.378 124.83 292.58 7127.7 9954.4 37.39 37.39 0.00054 2.46 0.154 -1.055 1.75 4.44 65.4 65.4 90.51 127.89 0.00044 1.74 0.296 -1.911 2.59 13.72 234.0 299.4

161.01 288.91 0.00035 1.42 0.486 -2.928 3.91 30.89 630.1 929.5 260.84 549.74 0.00028 1.23 0.758 -4.230 6.04 64.72 1576.6 2506.1 28.42 28.42 0.00087 3.69 0.083 -0.558 1.42 2.74 40.4 40.4 86.51 114.93 0.00071 2.61 0.137 -0.912 1.71 8.68 148.1 188.5

151.82 266.75 0.00056 2.13 0.193 -1.278 2.04 15.19 309.8 498.2 235.92 502.67 0.00044 1.84 0.253 -1.666 2.42 23.48 572.1 1070.3

202


A continuación, se muestra el cálculo de transporte de sedimentos aplicando la ecuación

de Einstein para las partículasrepresentativosyparalascuatroprimerasfilasdelatabla10.3:

Tabla 10.4: Cálculo de Transporte de sedimentos mediante la ecuación de Einstein

D Fracción ω R’ Ψ D/X ξ Ψ* Φ* iBgB

(m) ib (m/s) (m)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00025 0.3 0.03 0.50 1.09 0.715 1.71 1.28 6.36 0.791.00 0.54 0.639 2.11 0.76 10.56 1.311.50 0.36 0.615 2.27 0.54 14.46 1.792.00 0.27 0.606 2.34 0.42 18.90 2.34

0.0005 0.4 0.06 0.50 2.17 1.431 0.99 1.48 5.42 2.541.00 1.09 1.278 0.97 0.70 11.35 5.311.50 0.72 1.229 0.98 0.47 16.88 7.892.00 0.54 1.212 0.98 0.35 22.89 10.71

0.0008 0.3 0.09 0.50 3.47 2.289 1.00 2.40 2.72 1.931.00 1.74 2.045 1.00 1.15 7.14 5.071.50 1.16 1.967 1.00 0.76 10.48 7.442.00 0.87 1.940 1.00 0.57 13.64 9.68

... Continuación de la Tabla 10.4iBQB ∑iBQB A Z I1 I2 PEI1+I2+1 itgt itGt ∑itGt

11 12 13 14 15 16 17 18 19 2011.63 11.63 0.00027 1.23 0.763 -4.279 5.67 4.47 65.9 65.922.34 33.97 0.00022 0.87 2.817 -11.135 23.15 30.33 517.2 583.136.59 70.56 0.00017 0.71 6.820 -21.648 61.32 110.00 2243.6 2826.757.10 127.66 0.00014 0.61 13.017 -35.378 124.83 292.58 7127.7 9954.437.39 37.39 0.00054 2.46 0.154 -1.055 1.75 4.44 65.4 65.490.51 127.89 0.00044 1.74 0.296 -1.911 2.59 13.72 234.0 299.4

161.01 288.91 0.00035 1.42 0.486 -2.928 3.91 30.89 630.1 929.5260.84 549.74 0.00028 1.23 0.758 -4.230 6.04 64.72 1576.6 2506.128.42 28.42 0.00087 3.69 0.083 -0.558 1.42 2.74 40.4 40.486.51 114.93 0.00071 2.61 0.137 -0.912 1.71 8.68 148.1 188.5151.82 266.75 0.00056 2.13 0.193 -1.278 2.04 15.19 309.8 498.2235.92 502.67 0.00044 1.84 0.253 -1.666 2.42 23.48 572.1 1070.3

203


0100020003000400050006000700080009000

10000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Qs

(kg/

s)

Q (m3/s)

0.25 mm 0.5 mm 0.8 mm

Figura 10.2: Relación de caudal líquido versus el caudal sólido – Einstein

152

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 50 100 150 200

Qs

(kg/

s)

Q (m3/s)

0.25 mm 0.5 mm 0.8 mm

Figura 10.2: Relación de caudal líquido versus el caudal sólido – Einstein

Descripción del procedimiento de aplicación de la ecuación de Einstein (Tabla 10.4): 1) Diámetro de las partículas de sedimento representativos en m. 2) Fracción de la curva granulométrica para la partícula correspondiente 3) Velocidad de Sedimentación de la partícula en m/s 4) Radio hidráulico respecto a granos en m; Tabla 10.3.


SRDs

'

6) D/X, para los valores de X de la Tabla 10.3. 7) Factor de protección ξ = f(D/X), Figura 8.6.

8) Intensidad de corte para cada partícula: 2

*

x

Y , con valores en la Tabla 10.3.

9) Intensidad de transporte para cada partícula: )( ** f , Figura 8.8.

10) Transporte de fondo en kg/m.s para cada fracción: Ecuación (8.15): *b

B

ii

con

21

33

21

1

Dg

q

ss

B

por lo tanto: 2

1

21

33*

s

bBB Dgiqi

11) Transporte de fondo en kg/s: iBQB = P(iBqB), con P obtenido de la Tabla 10.3 12) Transporte de fondo en kg/s para todas las partículas y toda la sección:∑iBQB 13) A = a/y con a = 2D; y es obtenido de la Tabla 10.3.

14) Exponente de la distribución de sedimentos: *'4.0 u

Z

15) I1, integral obtenidad de la Figura 9.2 o calculada con la ecuación (9.14a) 16) I2, integral obtenidad de la Figura 9.3 o calculada con la ecuación (9.14b) 17) Obtenida con de los cálculos anteriores: PEI1+I2+1 18) Transporte total en kg/m.s: 21 IIPqiqi EBBTT 19) Transporte total en kg/s: iTQT = P(iTqT), con P obtenido de la Tabla 10.3 20) Transporte total en kg/s para todas las partículas y toda la sección:∑iTQT

204


A continuación, se presenta el cálculo de transporte de sedimentos aplicando la ecuacióndeLaursenparalaspartículasrepresentativosyparalascuatroprimerasfilasdelatabla10.3:

Tabla 10.5: Cálculo de Transporte de sedimentos mediante la ecuación de Laursen

D Fracción ω y u* u*/ω f(u*/ω) f(u*/ω) D/δ(m) (m/s) (m) (m/s) fondo total1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.00025 0.3 0.03 1.839 0.09 2.983 15.00 68.66 1.322.264 0.10 3.310 15.43 81.10 1.862.877 0.11 3.732 15.94 99.19 2.283.604 0.13 4.177 16.43 120.99 2.63

0.0005 0.4 0.06 1.839 0.09 1.492 12.44 27.00 2.632.264 0.10 1.655 12.79 30.49 3.722.877 0.11 1.866 13.21 35.35 4.563.604 0.13 2.089 13.62 40.94 5.26

0.0008 0.3 0.09 1.839 0.09 0.994 11.15 17.79 4.212.264 0.10 1.103 11.47 19.64 5.952.877 0.11 1.244 11.84 22.16 7.293.604 0.13 1.392 12.21 25.00 8.42

... Continuación de la Tabla 10.5f(D/δ) τc τ’o CB CT QB QT ∑QB ∑QT

Shields10 11 12 13 14 15 16 17 18

0.09 0.037 0.50 0.0058 0.0266 153.9 704.4 153.89 704.360.07 0.028 1.06 0.0137 0.0722 750.4 3945.0 904.3 4649.30.06 0.024 1.57 0.0187 0.1165 1886.7 11744.3 2791.1 16393.60.05 0.022 2.05 0.0214 0.1575 3664.6 26988.5 6455.6 43382.10.05 0.044 0.63 0.0116 0.0252 307.5 667.6 307.5 667.60.04 0.036 1.33 0.0252 0.0601 1376.2 3280.2 1683.8 3947.80.04 0.032 1.98 0.0326 0.0873 3288.1 8796.3 4971.9 12744.10.04 0.031 2.58 0.0359 0.1080 6154.9 18498.4 11126.8 31242.50.04 0.054 0.74 0.0171 0.0272 452.3 721.6 452.3 721.60.04 0.047 1.56 0.0349 0.0597 1904.9 3262.1 2357.1 3983.70.03 0.044 2.32 0.0436 0.0815 4390.6 8214.9 6747.7 12198.50.03 0.042 3.02 0.0468 0.0958 8011.6 16404.7 14759.3 28603.2

205


0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Qs

(kg/

s)

Q (m3/s)

0.25 mm 0.5 mm 0.8 mm

Figura 10.3: Relación de caudal líquido versus el caudal sólido – Laursen

154

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Qs

(kg/

s)

Q (m3/s)

0.25 mm 0.5 mm 0.8 mm

Figura 10.3: Relación de caudal líquido versus el caudal sólido – Laursen

Descripción del procedimiento de aplicación de la ecuación de Laursen (Tabla 10.5): 1) Diámetro de las partículas de sedimento representativos en m. 2) Fracción de la curva granulométrica para la partícula correspondiente 3) Velocidad de Sedimentación de la partícula en m/s 4) Profundidad de agua en m; Tabla 10.3. 5) Velocidad de corte en m/s; Tabla 10.3 6) Relación entre la velocidad de corte y la velocidad de sedimentación 7) Función f(u*/ω) para el transporte de fondo, Figura 10.1 8) Función f(u*/ω) para el transporte total, Figura 10.1 9) Relación entre el diámetro de la partícula y la subcapa laminar: D/δ 10) Función: f(D/δ), obtenido del gráfico de Shields, Figura 5.2.

11) Esfuerzo de corte crítico: )(

DDfsc

12) Esfuerzo de corte asociado a la partícula de sedimento: 31

2

58'

yD

gU

o con y dado en la Tabla

10.3.

13) Concentración para transporte de fondo por peso:

1

'

67

*

c

o

BB y

DufC

14) Concentración para transporte total por peso:

1

'

67

*

c

o

TT y

DufC

15) Transporte de fondo en kg/s: BB QCQ , con Q obtenido en la Tabla 10.3. 16) Transporte total en kg/s: TT QCQ , con Q obtenido en la Tabla 10.3. 17) Transporte de fondo en kg/s para todas las partículas y toda la sección:∑iBQB 18) Transporte total en kg/s para todas las partículas y toda la sección:∑iTQT

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