Treballs de Fi de Grau Titulaci o de Matem atiques · Treballs de Fi de Grau Titulaci o de Matem atiques Curs 2019-2020 1 Tipus A. Propostes del professorat 1. Ramon Antoine. [[email protected]]

Treballs de Fi de Grau

Titulacio de Matematiques

Curs 2019-2020

1 Tipus A. Propostes del professorat

1. Ramon Antoine. [[email protected]] Algebres de Hopf.

2. Ramon Antoine. [[email protected]] Anells de divisio: Mes enlla dels quaternions.

3. Ramon Antoine. [[email protected]] Localitzacio en anells no commutatius.

4. Pere Ara. [[email protected]] Una introduccio als grups infnits

5. Pere Ara. [[email protected]] Una propietat d’estabilitat de les permutacions

6. Florent Balacheff texttt[[email protected]] Grafs amb llarga sıstole.

7. Florent Balacheff texttt[[email protected]] El primer teorema de Minkowski i la seva generalitzacio al cas no simetric.

8. Francesc Bars. [[email protected]] Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz.

9. Francesc Bars. [[email protected]] Analeg de la funcio zeta en caracteristica positiva, funcio zeta de Carlitz-Goss.

10. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber.

11. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cosfinit, Drinfeld-Hayes.

12. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions ciclotomiques.

13. Francesc Bars. [[email protected]] Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer.

14. Francesc Bars. [[email protected]] La funcio zeta de Riemann, diverses meravelles de la funcio. I

15. Francesc Bars. [[email protected]] La funcio zeta de Riemann, diverses meravelles de la funcio. II

1

16. Francesc Bars. [[email protected]] Aritmetica de corbes planes no singulars.

17. Francesc Bars. [[email protected]] Forats negres i grups de classes.

18. Josep Maria Burges i Joan Mateu. [[email protected], [email protected]] Algunes aplicacions de l’analisi complexa a la fısica.

19. Angel Calsina [[email protected]] R0 (el numero basic de reproduccio) en poblacions estructurades de forma contınua.

20. Angel Calsina [[email protected]] La valoracio d’opcions americanes i altres opcions exotiques.

21. Ferran Cedo [[email protected]] Braces i l’equaci de Yang-Baxter.

22. Joan Claramunt [[email protected]] Teoria de representacio de grups finits. El Teorema de Maschke.

23. Joan Claramunt [[email protected]] El Teorema espectral per a operadors normals.

24. Alvaro Corral. [[email protected]] Processos de ramificacio a fıisica, biologia i als desastres naturals.

25. Alvaro Corral. [[email protected]] Huracans: caos o criticitat, i influencia del canvi climatic.

26. Alvaro Corral i Joan Serra. [[email protected]] Modelitzacio de sistemes complexos per a les composicions musicals.

27. Julia Cufı [[email protected]] Condicio de Lipschitz i diferenciabilitat de funcions.

28. Rosario Delgado. [[email protected]] Valoracio de riscos i perfilat delictiu amb Xarxes Bayesianes.

29. Juan Jesus Donaire. [[email protected]] Funcions univalents al disc unitat.

30. Juan Jesus Donaire. [[email protected]] Iteracio de funcions racionals al pla. Els conjunts de Julia i de Fatou.

31. Juan Jesus Donaire. [[email protected]] Aproximacio a la Formula de Stirling.

32. Juan Jesus Donaire. [[email protected]] La constant d’Apery.

33. Francesc Font [[email protected]] Mathematical models for the solidification of supercooled liquids.

34. Eduard Gallego. [[email protected]] Valoracions, toerema de Hadwiger, geometria integral i probabilitats geometriques.

35. Eduard Gallego. [[email protected]] La formula de Gauss-Bonnet en varietats.

36. Eduard Gallego. [[email protected]] Formula cinematica de Blaschke-Santal

37. Yamila Garcia. [[email protected]] Graphs theory to gain knowledge on single molecule stiffness.

38. Yamila Garcia. [[email protected]] New graphs theory based molecular descriptors to define molecular architectures.

39. Yamila Garcia. [[email protected]] An electrical description of chemical bonds.

40. Yamila Garcia. [[email protected]] A new electrical based molecular descriptor to define intramolecular bonds.

41. Armengol Gasull. [[email protected]] Equacions en diferencies.

42. Armengol Gasull. [[email protected]] Equacions diferencials holomorfes.

43. Armengol Gasull. [[email protected]] Ones viatgeres.

44. Armengol Gasull. [[email protected]] Orbites periodiques d’equacions diferencials al pla.

45. Armengol Gasull. [[email protected]] El Teorema de Poincare-Miranda amb aplicacions

46. Armengol Gasull. [[email protected]] Orbites periodiques per EDO no autonomas.

47. Jose Gonzalez. [[email protected]] FUNCIONS CONTıNUES NO DIFERENCIABLES.

48. Jose Gonzalez. [[email protected]] MEAN VALUE PROPERTIES AND FOURIER SERIES.

49. Dolors Herbera. [[email protected]] Matematiques i cristal·lografia: simetries a la natura i la seva idealitzacio matematica.

50. Dolors Herbera. [[email protected]] Matematiques associades als diagrames de Dynkin.

51. Dolors Herbera. [[email protected]] Teoria de les representacions d’algebres de dimensio finita: el tipus finit.

52. Dolors Herbera. [[email protected]] Cluster algebras.

53. David Marın. [[email protected]] Geometria de webs.

54. David Marın. [[email protected]] Grups i geometria.

55. David Marın. [[email protected]] Mathematical Omnibus.

56. David Marın. [[email protected]] Geometry and the imagination.

57. Joaquim Martın. [[email protected]] Optimal Sobolev embeddins.

58. Joaquim Martın. [[email protected]] Espais invariants per reordenacio i interpolacio.

59. Marc Masdeu. [[email protected]] Teoria dels moduls singulars (singular moduli).

60. Marc Masdeu. [[email protected]] Construccio de funcions-L p-adiques.

61. Joan Mateu. [[email protected]] Equacio d’Euler i mecanica de fluids.

62. Joan Mateu. [[email protected]] La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar.

63. Tim Myers. [[email protected]] Mathematical Modelling of Carbon Capture.

64. Artur Nicolau. [[email protected]] FUNCIONS ENTERES .

65. Artur Nicolau. [[email protected]] EL TEOREMA DE BIRKHOFF SOBRE LA DIFERENCIACIO.

66. Artur Nicolau. [[email protected]] EL TEOREMA DE DENJOY-WOLFF .

67. Marcel Nicolau. [[email protected]] Formes diferencials i topologia.

68. Marcel Nicolau. [[email protected]] Representacions de grups de Lie classics.

69. Joan Orobitg. [[email protected]] Problema de Dirichlet i el lema de Weyl.

70. Joan Orobitg. [[email protected]] Zeros de polinomis al pla complex.

71. Joan Orobitg. [[email protected]] El problema del quadrat inscrit.

72. Francesc Perera. [[email protected]] Anells noetherians i anells de polinomis.

73. Francesc Perera. [[email protected]] Monoides commutatius i condicions de refinament.

74. Francesc Perera. [[email protected]] Grups amenables.

75. Francesc Perera. [[email protected]] La paradoxa de Banach-Tarski i la seva relacio amb accions de grups sobre espais.

76. Joan Porti. [[email protected]] Teoria de nusos i polinomi de Jones.

77. Joan Porti. [[email protected]] Teoria de Nusos i l’ADN.

78. Joan Porti. [[email protected]] Geometria hiperbolica plana.

79. Joan Porti. [[email protected]] Desigualtat Isoperimetrica.

80. Joaquim Roe. [[email protected]] Corbes algebraiques.

81. Joaquim Roe. [[email protected]] Algoritmes per multiplicar matrius.

82. Roberto Rubio [[email protected]] Quaternions i octonions.

83. Roberto Rubio [[email protected]] Geometria generalitzada.

84. Roberto Rubio [[email protected]] Espinors.

85. Roberto Rubio [[email protected]] Estructures simplectiques.

86. Roberto Rubio [[email protected]] La possible triseccio d’un angle i altres construccions geometriques.

87. Roberto Rubio [[email protected]] Representacions del grup fonamental d’una superfıcie.

88. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Convergence/ equiconvergence of numeric series.

89. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Hardy’s inequality.

90. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Convergence of the Fourier series.

91. Merce Villanueva. [[email protected]] Desenvolupament de software matematic en teoria de codis.

2 Tipus B. Lınies tematiques dels tutors

1. Ramon Antoine. [[email protected]] Semigrups ordenats, Teoria d’anells i moduls.

2. Carles Broto. [[email protected]]

(a) Grups de Lie i algebres de Lie. Cohomologia. Quantificacio.

(b) Fibrats. Fibrats principals. Classificacio. Teoria K topologica. Temes relacionats.

(c) Funcions reals sobre varietats diferenciables. Punts singulars. Teoria de Morse. Estructura cel·lular.

(d) Extensio al cas discret: Funcions de Morse discretes i camps vectorials discrets sobre complexos simplicials. Aquesta versio ha rebutmolta atencio per les seves aplicacions potencials a diferents ambits incloent-hi Big-Data.

(e) Grups finits. Estructura local: teoremes de Sylow, teorema de fusio dAlperin, sistemes de fusio i axiomes de saturacio. El sistemade fusio exotic de Solomon.

3. Joaquim Bruna [[email protected]] Ondetes (wavelets). 2− 3 treballs com a maxim.

4. Josep Burgues [[email protected]] Per a un enfoc i tractment rigorosos de la Mecanica Quantica. Analisi complexa, funcional i real.

5. Alejandra Cabana [[email protected]] Analisi de dades funcionals.

6. Joan Claramunt [[email protected]]

(a) Teoria de grups, teoria de representacions.

(b) Analisi funcional, algebres d’operadors.

7. Angel Calsina. [[email protected]] Equacions en derivades parcials de la dinamica de poblacions. Condicions de frontera nolineals.

8. Natalia Castellana [[email protected]] Topologia. Topologia Algebraica

9. Juan Jesus Donaire. [[email protected]] Teoria Geometrica de funcions. Analisi Complexa.

10. Eduardo Gallego. [[email protected]]

(a) Geometria Diferencial, Geometria Integral i Geometria Hiperbolica (Gil Solanes, Eduard Gallego)

(b) Historia de la Geometria Diferencial (Agustı Reventos)

11. Alvaro Gonzaalez. [[email protected]] Fractales, multifractales y procesos puntuales aplicados a fenomenos naturales. (En colabo-racion con Alvaro Corral).

12. Andrei Korobeinikov. [[email protected]] Mathematical modelling cancer evolution, Mathematical modelling viral evolution.

13. David Marın. [[email protected]] Geometria diferencial. Sistemes dinamics.

14. Joaquim Martın. [[email protected]]

(a) Interpolacio i extrepolacio d’operadors.

(b) Espais Sobolev. Espais de Besov

15. Marc Masdeu [[email protected]] Teoria de nombres.

16. Artur Nicolau. [[email protected]] Analisi matematic.

17. Marcel Nicolau. [[email protected]] Geometria Diferencial.

18. Francesc Perera. [[email protected]] Algebra No Commutativa, Algebres d’Operadors, Semigrups ordenats.

19. Wolfgang Pitsch. [[email protected]] Topologıa, Topologıa algebraica, Algebra Homologica, Teorıa de nudos.

20. Joan Porti. [[email protected] Teoria geomtrica de grups.

La teoria geometrica de grups relaciona les propietats algebraiques dels grups amb les propietats geometriques dels espais on actuen.Tamb es veuen els grups com a espais metrics, i es planteja quines propietats algebraiques es reflecteixen a nivell de la metrica. Despresd’introduir les nocions basiques, com ara la nocio de quasi isometria, o el graf de Cayley, es buscaran els resultats que relacionin l’algebraamb la geometria.

Referencies: Loh, Clara. Geometric group theory. An introduction. Universitext. Springer, Cham, 2017. xi+389 pp. ISBN: 978-3-319-72253-5; 978-3-319-72254-2 Bowditch, Brian H. A course on geometric group theory. MSJ Memoirs, 16. Mathematical Society of Japan,Tokyo, 2006. x+104 pp. ISBN: 4-931469-35-3 Drutu, Cornelia; Kapovich, Michael. Geometric group theory. American MathematicalSociety Colloquium Publications, 63. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018. xx+819 pp. ISBN: 978-1-4704-1104-6.

21. Martı Prats. [[email protected]] Problemes inversos: Regularitzacio de Tikhonov Analisi harmonica: Operadors pseudodiferencialsEDP’s: Aplicacions quasiconformes EDP’s: Superfıcies mınimes i altres problemes de frontera lliure.

22. Lluı Quer. [[email protected]] Probabilitat i processos estocastics.

23. Agustı Reventos. [[email protected]] Historia de la geometria diferencial. Triar entre: La influncia del Disquisitiones de Gauss, Fer-dinand Minding(1806-1885), Joseph Liouville(1809-1882), LAbb Aoust(1814-1885), Ferdinand Joachimsthal(1818-1861), Pierre OssianBonnet(1819-1892), Joseph Alfred Serret(1819-1885), Victor Alexandre Puiseux(1820-1883), Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900), Delfino Codazzi(1824-1873), Alfred Enneper(1830-1885), Edmond Bour (1832-1866), Eugenio Beltrami(1835-1900), Julius Wein-garten (1836-1910), Gaston Darboux (1842-1917) Sophus Lie (1842-1899) Albert Ribaucour(1845-1893), Ulisse Dini (1845-1918), LuigiBianchi(1856-1928).

24. Susana Serna. [[email protected]] Analisis Numerico y aplicaciones.

25. Gil Solanes. [[email protected]] Geometria Diferencial, Geometria Integral i Geometria Hiperbolica.

26. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Fourier analysis, Approximation theory, Real Functions. Topics: Convergence problem ofnumber series, Inequalities for sums, Convergence of Fourier transforms. Maximum number of students: 3

27. Xavier Xarles [[email protected]] Teoria de Ramsey. Grups de Galois arboris.

3 Resums dels treballs tipus A

Processos de ramificacio a fıisica, biologia i als desastres naturals.

Tutor: Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Recerca Matematica.

Objectius: Donar a coneixer a l’alumne les aplicacions interdisciplinaries d’aquests models estocastics.

Breu descripcio: Estudi bibliografic i simulacio de Monte Carlo de variacions del model de Galton-Watson.

Huracans: caos o criticitat, i influencia del canvi climatic.

Tutor: Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Recerca Matematica

Objectius: Explorar comportaments basics de la teoria del caos i la criticitat auto-organitzada i verificar la seva ocurrencia als ciclonstropicals.

Breu descripcio: Analisi de models simplificats d’aquests fenomens i veure els possibles efectes de pertorbacions climatiques.

Modelitzacio de sistemes complexos per a les composicions musicals.

Tutors: Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Recerca Matematica.

Joan Serra, Institut d’Investigacio en Intel·ligencia Artificial (IIIA-CSIC)

Objectius: Entendre eines basiques de l’estudi de la complexitat i aplicar−les a enregistraments de cancons o partitures musicals.

Breu descripcio: Programacio algorımica de diverses tecniques d’analisi sequncial i estudi dels resultats a la musica.

FUNCIONS ENTERES .

Tutor: Artur Nicolau

Aquest projecte s una continuacio natural d’alguns temes de l’assignatura d’Analisi Complexa. El treball consistira en estudiar elsresultats classics que relacionen el creixement d’una funci entera amb la distribucio dels seus zeros

EL TEOREMA DE BIRKHOFF SOBRE LA DIFERENCIACIO.


El treball consistira en estudiar els resultats classics de Birkhoff i de MacLane sobre la universalitat dels operadors de diferenciaci i detranslacio en l’espai de funcions enteres. A continuacio s’adoptara el punt de vista mes modern d’operadors hipercćlics.

EL TEOREMA DE DENJOY-WOLFF .


Aquest projecte s una continuacio natural d’alguns temes de l’assignatura d’Analisi Complexa. S’estudiaran versions generalitzades delLema d’Schwarz i la nocio de derivada angular. Aquests resultats s’aplicaran a la demostraci del Teorema de Denjoy-Wolff.

Geometria de webs.

Tutor: David Marın

Interpretar geometricament una equaci’o diferencial ordinaria implćita des del punt de vista local i estudiar alguns dels seus invariantscom la curvatura de Blaschke i les relacions abelianes.

Grups i geometria.

Tutor: David Marın

Triar i desenvolupar (donant les idees de les demostracions) alguns dels temes de la srie de conferncies ”My Favorite Groups que E. Ghysva impartir a l’Escola de Altos Estudos (IMPA), disponibles en youtube.

Mathematical Omnibus.

Tutor: David Marın

Triar i desenvolupar alguns dels temes del llibre Mathematical Omnibus de D. Fuchs y S. Tabachnikov disponible en http://www.math.psu.edu/tabachni/Books/taba.pdf

Geometry and the imagination.

Tutor: David Marın

Triar i desenvolupar alguns dels temes del llibre Geometry and the imagination de D. Hilbert and S. Conh-Vossen.

Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz.

Tutor: Francesc Bars

La funci exponencial de Carlitz es un analeg en caracteristica positiva de la funci exponencial. Els nombres complexos son substituitsper un altre cos i que te una propietat peculiar, hi ha xarxes de rang tan gran com volem. Un com hem entengut l’anlisi involucrat idefinir la exponencial de Carlitz, els nombres de Bernouilli-Carlitz apareixen de manera anloga com surten per la exponencial complexa,aqu el desenvolupament en series via el factorial es canvia per un factorial convenient. s un problema obert estudi de congruencies entreaquests nombres, el problema clssic va ser resolt per Kummer, congruencies de Kummer.

Referncies:David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009. To appear

Analeg de la funcio zeta en caracteristica positiva, funcio zeta de Carlitz-Goss.


Considerem l’anell de polinomis a coeficients un cos finit Fq i considera la suma

ζ(n) =∑

amonic

1

an

Donem un sentit analalitic a l’expressio donant un valor. Estudiareu si aquests valors son algebraics o no, si es pot escriure un analegde funcio zeta de Riemann, i que succeeix als negatius i amb l’equacio funcional. El treball ha de centrar-se en definir i treballar unamodificacio de la funcio zeta de Carlitz proposada pel professor Federico Pellarin (2010) i el valor d’aquesta funcio en el 1, fent unaintroduccio a la funcio zeta de Carlitz i l’analogia amb la funcio zeta de Riemann.

Referencies:David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009. To appear

Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber.


Demostrar el teorema de Weber que afirma que tota extensio finita K/Q Galois amb grup de Galois abelia esta que K ⊆ Q(e2πi/m) percert m.

Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, Drinfeld-Hayes.

Tutor:Francesc Bars

El treball vol demostrar que tota extensio finita L/Fq(t) Galois amb grup de Galois abelia compleix que L ⊆ Fq(t)[CL] on CL es certatorsio del modul de Carlitz (o de Drinfeld). s pot fer el cas general de Drinfeld en un dels papers clau qu van fer concedir-li la medallaFields.

Bibliografia:David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer, 1996.Dinesh Thakur: Function Field Arithmetic. Academic Press.

Extensions ciclotomiques.


Ja heu vist que el primer lloc on apareixen les extensions ciclotomiques en l’estudi de la resolubilitat de les equacions per radicals. Aquesttema consisteix en un estudi profund d’extensions ciclotomiques.

Referncies:D. Washington: Cyclotomic Fields, GTM, Springer.S. Lang: Cyclotomic Fields I, II. GTM, Springer.

Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer.


Un dels resultats matematics mes importants en els ultims anys es la demostracio de Andrew Wiles de l’ultim teorema de Fermat, es adir que l’equacio Xn + Y n = Zn amb n ≥ 3 no te cap solucio amb XY Z 6= 0 amb X,Y, Z ∈ Z.Fixeu-vos que podem escriure l’equacio en l’anell Z[e2πi/n] mitjancant:

n∏j=1

(X + e2πij/nY ) = Zn

i per tant una primera idea per atacar l’ultim Teorema de Fermat es estudiar factoritzacions d’elements en l’anell Z[e2πi/n].

Lamme en l’any 1847 va presentar una demostracio en l’Academia de les Ciencies de Paris. Kummer ja sabia que era erronea lademostracio. Perque? Doncs la demostracio de Lamme suposava que l’anell Z[e2πi/n] era un DFU (domini de factoritzacio unica) iKummer ja havia demostrat en l’any 1844 que per tan sols un nombre finit de n l’anell Z[e2πi/n] es un DFU.

El treball consisteix en treballar propietats dels anells Z[e2πi/n] o mes en general del que es coneixen actualment dels anells anomenatsdominis de Dedekind, un cas concret son els anells Z[e2πi/n]. En particular el treball consisteix en demostrar que aquests anells tenenfactoritzacio unica amb ideals. Si l’alumne te mes interes i vol aprofundir mes, podra intentar donar unes traces de la prova del teoremade Fermat per a primers regulars obtinguda per Kummer (resultat mes important del teorema de Fermat fins que el 1995 Wiles enunciavauna demostracio modular seguint la idea de Frey que traslladava el teorema de Fermat al camp modular de corbes el.lıptiques).

Algunes referncies:Dino Lorenzini: “An invitation to Arithmetic Geometry”. Chapter I and III§1− 4. SGM volum 9, American Mathematical Society.M.F.Atiyah-I.G.Macdonald: “Introduccion al Algebra conmutativa”. Ed. Reverte. Capıtol 9.Z.I.Borevich-I.R.Shafarevich:“Number Theory”, Academic Press. Chapter III.K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 4.

La funcio zeta de Riemann, diverses meravelles de la funcio. I


Considerem la funcio zeta de Riemann

ζ(s) :=

∞∑n=1

1

ns(1)

per s ∈ C amb Re(s) > 1, on Re(s) denota la part real del nombre complex s.

Euler als 28 anys va aconseguir sumar ζ(2k)π−2k ∈ Q amb k ≥ 1 un natural. Primer misteri de la funcio zeta: en els enters positius2k existeix un nombre transcendent Ω2k sobre Q (anomenat un perıode) on ζ(2k)/Ω2k es un nombre racional!! conjecturalment aquestapropietat passara per ζ(2k + 1) amb k ≥ 1.

Euler als 30 anys va demostrar que la funcio zeta te un producte d’Euler, es a dir:

ζ(s) =∏

p primer

(1− p−s)−1, Re(s) > 1

Euler als 32 anys va avaluar els valors ζ(1 − d) amb d ≥ 1 natural, pero us preguntarıeu: com? Fins ara ζ(s) sol esta definida per aRe(s) > 1!!! Us recomano llegir la primera referencia.

Riemann uns anys mes tard, va formalitzar ζ(s) per a Re(s) ≤ 1, on tan sols per Re(s) > 1 es de la forma anterior (1). Per exempleEuler afirmava:

ζ(0) = −1

2, ζ(−1)

−1

12, ζ(−11) =

691

2332 · 5 · 7 · 13,

Amb la definicio formal de Riemann per a ζ(s) amb Re(s) ≤ 1, els valors que va donar Euler son els correctes !!!!!

Igualment Euler comparant els valors entre d i 1 − d va obtenir una equacio que relacionava la funcio zeta de Riemann avaluada en samb la funcio zeta de Riemann avaluada en 1− s amb s enter. Amb el anys, va ser Riemann qui demostra formalment aquesta equacio:escrivim Z(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) on la funcio Γ es relacionada amb la funcio apareguda a probabilitat, tenim una equacio que relacionaζ(s) amb ζ(1− s), mitjancant (segon fet sorprenent)

Z(s) = Z(1− s).

Quan Z(s) = 0? Riemann va conjecturar (i tambe ja ho havia afirmat Euler abans!!!) que aixo succeira tan sols quan Re(s) = 1/2,aquest es un altre dels problemes que l’Institut Clay premia amb un mil.lio de dolars.

Be fixem-nos en els seguents fets sorprenents de la funcio zeta de Riemann: te un producte d’Euler, s’esten a una funcio analıtica atots els nombres complexos, admet una equacio funcional i misteriosament avaluada als enters apareixen certs valors racionals. Anem aaprofundir en aquesta ultima propietat.

Te algun significat aritmetic ζ(0) = −1/2? Sı! El resultat 1/2 per ζ(0) es el cas concret de la famosa formula de nombre de classesaplicada al cos Q, per exemple el 2 apareix perque es el nombre d’arrels de l’unitat que te el cos Q, que son 1,−1.Anem tot seguit a buscar resultats aritmetics als altres valors de la funcio zeta avaluada als enters.

De l’equacio funcional podem relacionar ζ(r) amb ζ(1 − r) per tant centrem-nos amb r estrictament negatius per a buscar el significataritmetic del valor racional que surt. Es demostra que ζ(r) ∈ Q per un enter r negatiu i tan sols ens interessa el significat per r senars jaque en els parells ζ(r) s’anul.la (recordeu la dificultat per ζ(1 + r) si r es parell!!). Kummer va donar quins denominadors han de sortiri congruencies modul primer p per a diversos d’aquests r. Anem pero a preguntar-nos sobre el significat que aporta que un nombre quesurt al numerador de ζ(−2`− 1) amb ` ∈ N . Recordeu per exemple que ζ(−11) = 691

2332·5·7·13 , hi ha un significat aritmetic en el fet quesurti 691, i que aquest surti en avaluant-ho al numero -11?

Doncs la resposta es SI!!!! Per a justificar que surt el 691 es gracies al que s’anomena el criteri de Kummer, que afirma p divideix elnumerador de ζ(r) per algun r negatiu senar si i nomes si aquest primer apareix en l’ordre d’un grup associat al cos Q(e2πi/p) (aquestgrup s’escriu Cl(Q(e2πi/p)), magic no? Pero l’anterior criteri de Kummer no ens explica quin paper hi juga el 11. Perque el 691 surt enavaluar al -11? Be per aixo s’usa la teoria Iwasawa, teoria molt tecnica pero molt interessant, i resulta que -11 apareix en un factor defer la descomposicio del grup Cl(Q(e2πi/691) via l’accio del grup Gal(Q(e2πi/691)/Q), aquests resultats en teoria Iwasawa corresponen jaa l’any 1976!!

El treball consisteix en l’estudi aritmetic dels valor enters de la funcio zeta, les congruncies de Kummer (congruncies entre nombres deBernouilli) el teorema de van Staudt i si hi ha molta energia el criteri de Kummer.

Referencies:K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 3.J. Neukirch:“Algebraische Zahlentheroie”, Springer. Tambe traduıt a l’angles. Kapitel VII-§1.

La funcio zeta de Riemann, diverses meravelles de la funcio. II


Intentar plantejar la hipotesi de Riemann i els diversos punts de vista per tal que els zeros es trobin tots a 1/2.

Aritmetica de corbes planes no singulars.


La tesis del meu estudiant Eslam Badr aportem un estudi general de corbes planes no singulars majoritariament en caracterıstica zeroamb automorfismes, respecte el loci dins l’espai de moduli. (Veieu papers de la tesis de l’Eslam Badr a la meva web). Un exemple decorba plana es l’equacio de Fermat Xn + Y n = Zn., en general una corba plana no singular es certa expressio polinomial de grau dhomogeni amb les variables X,Y,Z sota certes condicions.

El treball pot estudiar preguntes que queden obertes de la tesis, sobre cossos finits de caracterıstica positiva petita, un estudi dels puntsde certes corbes que no siguin la de Fermat ni la de Klein,... i per tant podria ser un treball original.

Forats negres i grups de classes.


Entendre els resultats del treball: BLACK HOLES AND CLASS GROUPS, NATHAN BENJAMIN1, SHAMIT KACHRU1, KEN ONO2,AND LARRY ROLEN. arXiv:1807.00797v1

Anells noetherians i anells de polinomis.

Tutor: Francesc Perera

Els anells noetherians formen una classe amplia danells. S’estudiara aquesta nocio en el cas no commutatiu, amb la qual cosa caldistingir entre anell noetheria dreta o esquerra. Una segona part del treball consisteix en analitzar la classe dexemples anomenats anellsde polinomis skew (dels quals els anells de polinomis de tota la vida en son un cas particular). Un dels objectius es provar el teoremade la base de Hilbert: si R es un anell noetheria (dreta), llavors l’anell de polinomis R[x] tambe. (Es provara la versio mes generalutilitzant polinomis skew). Una possible estructura del treball es la seguent: 1) Moduls sobre un anell. Definicions, exemples. 2) Anellsnoetherians. Exemples. 3) Condicio de cadena ascendent: Moduls noetherians 4) Anells de polinomis skew. El teorema de la base.

Monoides commutatius i condicions de refinament.


Un monoide commutatiu es un conjunt amb una operacio aditiva, associativa i commutativa i un element neutre. Un exemple obvi es elconjunt dels naturals (juntament amb el zero). L’objectiu del treball es analitzar les propietats basiques daquests objectes, i estudiar laclasse dels monoides que satisfan la condicio anomenada refinament. S’estudiaran tambe condicions de cancel·lacio en aquests objectes,amb aplicacions a problemes de cancel·lacio dels anomenats moduls Noetherians.

Grups amenables.


Un grup discret G es amenable si admet una mesura de probabilitat (suficientment invariant) finitament additiva. Es pot pensar queaquesta mesura detecta la probabilitat que un element arbitrari de G pertanyi a un determinat subconjunt. L’objectiu del treball esestudiar aquesta classe, a traves d’examinar exemples, per veure que es una classe molt amplia. Tambe es veuran caracteritzacionsequivalents, ms algebraiques, com ara l’anomenada condicio de Foelner.

La paradoxa de Banach-Tarski i la seva relacio amb accions de grups sobre espais.


El Teorema de Banach-Tarski (anomenat paradoxa de Banach-Tarski) afirma que donada una bola a l’espai tridimensional, existeix unaparticio en un nombre finit de subconjunts disjunts tal que es poden reagrupar de forma que donin lloc a dues copies identiques de labola original. L’objectiu del treball es veure com aquest teorema s’obte utilitzant l’axioma de l’eleccio. Un segon objectiu es relacionaraquestes idees amb l’anomenat semigrup tipus obtingut a partir de l’accio d’un grup sobre un espai.

Equacio d’Euler i mecanica de fluids.

Tutors: Joan Mateu

En dinamica de fluids, les equacions d’Euler son les que descriuen el moviment d’un fluid compressible no viscos. La seva expressi’ocorrespon a les equacions de Navier-Stokes quan les components dissipatives son menyspreables enfront de les convectives. En aquesttreball ens proposem estudiar els conceptes de vorticitat i fluids incompressibles a mes de revisar alguns conceptes de equacions enderivades parcials que ens poden ser d’utilitat.

La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar.

Tutor: Joan Mateu

Aquest treball es pot considerar una introduccio a la teoria d’integrals singulars, que es un dels camps de la matematica en els quals s’haestat treballant mes durant els darrers 50 anys, obtenint-se molt bons resultats. La transformada de Hilbert que sorgeix de l’estudi deles propietats de la funcio harmonica conjugada es el primer exemple de integral singular. En aquest treball es tractaria d’entendre lespropietats de la tansformada de Hilbert i la seva acotaci sobre els espais Lp.

Algunes aplicacions de l’analisi complexa a la fısica.

Tutors: Josep Maria Burges i Joan Mateu

L’objectiu d’aquest treball fi de grau es utilitzar eines d’analisi complexa en certs problemes de la fısica i de la tecnica en dos dimensions.Les aplicacions proposades tenen relacio amb Hidrodinamica, Dinamica de gasos, Electricitat i Elasticitat.

Teoria de nusos i polinomi de Jones.

Tutor: Joan Porti.

Es comenca veient les definicions de teoria de nusos, es a dir subvarietats a l’espai homeomorfes al cercle. Treballarem amb projeccionsde nusos al pla i el primer resultat important es el teorema d’Alexander, que ens diu que dues projeccions son equivalents si i nomes sies pot passar d’una a l’altra mitjancant una sequencia de moviments de Reidemeister. A partir d’aquest teorema, es poden construirinvariants de nusos, com ara el polinomi de Jones, pel qual obtingue la medalla Fields l’any 1990.

El llibre per treballar es: Murasugi, Kunio: Knot theory and its applications. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. viii+341 pp.ISBN: 0-8176-3817-2

Teoria de Nusos i l’ADN.

Tutor: Joan Porti.

La teoria de nusos proposa models per entendre certs processos de recombinacio de les cadenes d’ADN. En aquest treball es descriura elmodel que s’utilitza per l’accio d’un enzim determinat. Aixo porta a treballa la nocio de ”tangle” i de nus racional.

Es seguira el capıtol 13 del llibre de Murasugi: Murasugi, Kunio: Knot theory and its applications. Birkhauser Boston, Inc., Boston,MA, 1996. viii+341 pp. ISBN: 0-8176-3817-2.

Geometria hiperbolica plana.

Tutor: Joan Porti.

Es comenca introduint els diferents models del pla hiperbolic. Se n’estudia la geometria hiperbolica plana, en particular les nocionsclassiques: geodesiques, volum, angles, polıgons, etc. Tambe es pren el punt de vista d’accions de grups discrets d’isometries i esconstrueixen metriques hiperboliques en superfıcies compactes.

Referencia principal: Anderson, James W. Hyperbolic geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London,Ltd., London, 1999. x+230 pp. ISBN: 1-85233-156-9.

Desigualtat Isoperimetrica.

Tutor: Joan Porti.

La desigualtat isoperimetrica diu que, de totes les corbes planes tancades de perımetre donat, la circumferencia es la que maximitzal’area envoltada. El treball comenca revisant una demostracio de Steiner del s. XIX, molt elegant, pero que suposa l’existencia d’unacorba que realitza l’area maxima. Despres es fa una demostracio completa i es considera el problema per superfıcies a l’espai.

Formes diferencials i topologia.

Tutor: Marcel Nicolau.

Les varietats diferenciables, o analegs n-dimensionals de les corbes i les superfıcies, sorgeixen de manera natural quan, en determinadesquestions de la matematica i de la fısica, es necessita un model que representi de manera geometrica les possibles configuracions dunfenomen o proces. Des dun punt de vista qualitatiu, la questi fonamental es llavors la de descriure la topologia, o propietats a granescala, daquesta varietat de configuracions. La topologia algebraica aborda aquest problema associant invariants algebraics (grups,espais vectorials) que descriuen la complexitat topolgica de lespai. En el cas de les varietats diferenciables alguns daquests invariantses poden obtenir de manera relativament economica per medi de les formes diferencials. Es el cas per exemple de la cohomologia de deRham o la representacio per medi de formes diferencials de les classes caracterıstiques, a partir de les quals es poden demostrar resultatscom el teorema de Gauss-Bonnet en dimensio arbitraria o el teorema de lindex de Hopf. El treball consisteix en una introduccio en lacohomologia de de Rham i les classes caracterıstiques i lestudi detallat duna aplicacio concreta com pot ser, a mes dels mencionats, laclassificacio dels fibrats plans sobre superfıcies o el teorema de Hodge, el qual estableix que, si la varietat es compacta, llavors tot elementde la cohomologia es realitza de forma unica com una forma harmonica sobre la varietat.

Bibliografia:

S. Morita, Geometry of Differential Forms, American Mathematical Society, 2001

R. Bott - L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1982

F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983

Representacions de grups de Lie classics.

Tutor: Marcel Nicolau

Els grups de Lie, com per exemple el grup ortogonal O(n), els grups unitaris U(n) i SU(n) o el grup de Lorentz, apareixen de forma naturalcom grups de simetries contınues de determinades estructures geometriques i son centrals en moltes branques de les matematiques i de lafısica. En el seu estudi, les algebres de Lie (que es poden entendre com laproximacio lineal dels grups de Lie) i les seves representacionsson fonamentals.

El treball es una introduccio la teoria de les representacions lineals de grups i algebres de Lie per, amb posterioritat, entendre algunresultat avancat, com per exemple el teorema de Peter i Weyl que descriu les representacions irreductibles dels grups de Lie compactescom representacions en espais de funcions, o be analitzar en detall les representacions dalgun grup concret dinteres en la fısica, com perexemple del grup de Lorentz en teoria de la relativitat, o en geometria, com les representacions del grup SL(2,Z) en els espais de webs.

Bibliografia:

T. Brocker- T. tom Dieck, Representations of Compact Lie groups Springer, 1985

B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras and representations. Springer, 2003

Mathematical Modelling of Carbon Capture.

Tutor: Tim Myers

The issue of excessive amounts of carbon in the atmosphere, which is still being added to at an alarming rate, and the resultant effecton the climate is so well-documented that only the most unintelligent of world leaders can deny it. Consequently mankind must look toa range of solutions, to reduce current production, to remove existing carbon from the environment and to safely store or reuse it in asensible way. The process of carbon capture falls within these measures.

The particular process of interest for this study involves a method where gas is forced through a column packed with an adsorbentmaterial. This is a classical method and the literature abounds with experimental, numerical and theoretical papers on this problem.Mathematical models for the process typically involve heat equations in the gas and the solid which have been averaged over the columncross-section as well as an advection-diffusion equation for the gas concentration.

The project will involve searching the literature for numerical and experimental studies of this process. The mathematical model willthen be analysed to find varying levels of solution such as analytical approximations or numerical solutions of a reduced system. Themathematical analysis will hopefully aid with the physical understanding. Results should be compared against experiment and finally,recommendations made to help improve the physical process.

Equacions en diferencies.

Tutor: Armengol Gasull

Tot i que durant els estudis de Matematiques les equacions en diferencies han pogut anar apareixent a diferents assignatures: Successiode Fibonacci estudiant algebra lineal, per a estudiar la convergencia dels metodes numerics de resolucio d’equacions diferencials, comexemples de sistemes dinamics discrets, . . . , no s’ha fet cap estudi sistematic de les mateixes. L’objectiu d’aquest Treball Dirigit seraaprofundir en l’estudi d’aquestes equacions, tant en el cas lineal (prestant especial atencio en els models de poblacions estructuratsper edats, anomenats models de Leslie), com en el cas no lineal. En particular veurem com aquestes apareixen en la modelitzacio deproblemes en Ecologia, Economia,....

Equacions diferencials holomorfes.


Les equacions diferencials de la forma z′ = f(z), on z es un nombre complex i f es una funcio holomorfa tenen moltes propietatsinteressants quan es pensen com equacions diferencials al pla (x, y), on z = x + iy. Per exemple: els punts crıtics no tenen sectorsparabolics ni el.liptics, tots el centres son isocrons, no tenen cicles lımit,... En aquest treball s’estudiaran totes aquestes propietats imoltes d’altres, posant un especial emfasi en els casos en que f es o be un polinomi o una funcio racional. En particular es demostraranresultats de conjugacio holomorfa entre z′ = f(z) en un entorn del punt crıtic amb altres equacions diferencials molts mes senzilles.Aquest resultats es poden interpretar com un Teorema de Hartman millorat en aquest context. L’eina principal sera el conegut com

metode homotopic. Finalment s’estendran els resultats a les equacions z′ = f(z)g(z), les quals tenen el mateix retrat de fase que lesholomorfes, pero no mantenen la isocronia dels centres.

Ones viatgeres.


Les ones viatgeres son unes cert tipus de solucions d’equacions en derivades parcials (EDP) que es poden trobar a partir de l’estudi delretrat de fase d’una equacio diferencial ordinaria associada. Aquestes solucions son d’enorme importancia en el camp de la matematicaaplicada. En aquest treball estudiarem les ones viatgeres i les seves propietats per certes EDP, com per exemple l’equacio de reacciodifusio de Fisher-Kolmogorov i les seves generalitzacions.

Orbites periodiques d’equacions diferencials al pla.


Un dels problemes mes difıcils i d’interes actual de la teoria qualitativa d’equacions diferencials al pla es el de la determinacio del nombrede cicles lımit que poden tenir certes famılies d’equacions. En aquest treball es proposa estudiar i aplicar en diversos exemples el metodesconeguts per a trobar o be fites superiors o be fites inferiors del nombre de cicles lımit. Els temes que s’estudiaran son: Teorema deCherkas-Zhang Zhifen, Teorema de Bendixson-Dulac, Equacions d’Abel, Constants de Lyapunov, Integrals Abelianes,...

El Teorema de Poincare-Miranda amb aplicacions


El teorema de Poincare-Miranda es una extensio del teorema de Bolzano a dimensio n. Va ser usat per primer cop per Poincare el1883. Mes endavant, Miranda a 1940 va provar que es equivalent al teorema del punt fix de Brouwer. Es proposa estudiar la sevademostracio i aplicar-lo a diversos problemes. En particular es veura la seva utilitat en diverses questions relacionades en l’existenciad’orbites periodiques, tant d’equacions diferencials, com de sistemes dinamics discrets. Finalment s’aplicara a donar fites inferiors delnumero de solucions (amb components positives) de sistemes d’equacions polinomials en termes del seu numero de monomis, en la lıniadel que ens assegura la regla de Descartes per polinomis en una variable.

Orbites periodiques per EDO no autonomas.


En aquest treball s’estudiara com controlar el numero d’orbites periodiques que bifurquen d’una EDO no autonoma a Rn, que presentacontinus d’orbites periodiques, a partir de les seves equacions variacionals d’ordre k associades. Es veura com, usant aquest metode,la questio es redueix a un problema de buscar solucions d’un sistema d’equacions. S’aplicaran les tecniques desenvolupades a diversossituacions. En particular, a l’estudi del numero de cicles lımit de certes EDO autonomas al pla.

Valoracions, toerema de Hadwiger, geometria integral i probabilitats geometriques.

Tutors: Gil Solanes, Eduard Gallego

En poques paraules una valoracio es un funcional additiu sobre el conjunt de convexos. La caracterınstica d’Euler i el volum sonvaloracions. El teorema de Hadwiger diu que les valoracions contınnues i invariants per isometries a l’espai euclidia son un espai vectorialgenerat per la caracterıntica d’Euler, el volum i els volums intrınnsecs. En aquest treball es s’hauria d’estudiar la demostarcio de Klaind’aquest teorema i veure les implicacions que te en geometria integral i probabilitats geometriques.

La formula de Gauss-Bonnet en varietats.

Tutors: Gil Solanes, Eduard Gallego

Un dels teoremes mes importants en geometria diferencial es el teorema de Gauss-Bonnet que relaciona la geometria metrica de la varietatamb la seva topologia.

En aquest treball s’haura d’enunciar la versio que Chern va donar de la formula de Gauss-Bonnet. Per arribar a a aquest punt caldrapassar pels fibrats, les connexions i les classes caracterınstiques.

Formula cinematica de Blaschke-Santal

Tutors: Eduard Gallego, Gil Solanes, Agustı Reventos

La formula cinematica de Blaschke-Santal esta relacionada amb la formula de Crofton que sn temes centrals de la geometria integral.Hi ha diverses variants i analegs d’aquestes formules, en part motivades per les aplicacions. En el treball shauran de presentar i provarles formules classiques i explicar els desenvolupaments recents al voltant delles.

Desenvolupament de software matematic en teoria de codis.

Tutor: Merce Villanueva. Departament d’Enginyeria de la Informacio i de les Comunicacions.

Descripcio: En aquest projecte es preten dissenyar i implementar algunes funcions per a ser afegides en un llibreria de MAGMA sobrecodis no lineals ja existent i en proces de desenvolupament amb la finalitat final de ser incorporada en la distribucio oficial de MAGMA.

Els codis q-aris no lineals no han estan tant estudiats com els codis lineals degut a la seva dificultat de representacio. Darrerament s’haproposat una representacio basada en el kernel del codi que, en alguns casos, permet una bona representacio i manipulacio. L’objectiudel projecte es, aprofitant aquesta representacio, desenvolupar una llibreria de funcions en els sistema MAGMA per tal de manipularaquests codis de forma eficient.

MAGMA is a large, well-supported software package designed to solve computationally hard problems in algebra, number theory, geometryand combinatorics. It provides a mathematically rigorous environment for computing with algebraic, number-theoretic, combinatoricand geometric objects http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/.

Actualment, les llibreries de MAGMA ofereixen els algorismes mes eficients per treballar amb problemes de teoria de codificacio. Aquestsoftware permet crear paquets d’usuari i bases de dades per a poder ser inclosos localment. MAGMA esta escrit amb C i utilitza lesfuncionalitats d’altres llibreries de C. Tambe mencionar que MAGMA proporciona una gran quantitat de llibreries per teorıa de codis,pero unicament considerant codis lineals. Des de fa uns anys, utilitzant algunes de les llibreries ja implementades en MAGMA, sestadesenvolupant una nova llibreria que permeti treballar amb codis no lineals i estigui totalment integrada amb la llibreria per a codislineals. L’objectiu principal del projecte es desenvolupar algunes noves funcions en aquesta llibreria per augmentar la seva funcionalitat.

Les funcions a implementar shan de desenvolupar seguint l’estil i requeriments de la llibreria on seran incloses. A mes, sha de seguir lametodologia, realitzant test de proves i test d’integracio amb la llibreria actual. El projecte es desenvolupara dintre del Dept. d’Enginyeriade la Informacio i de les Comunicacions i utilitzara la infraestructura que disposa aquest departament. A l’alumne se li proporcionara leseines necessaries (bibliografia, infraestructura basica i eines de desenvolupament) per poder completar el projecte dintre d’un semestre.

Teoremes d’extensio.

Tutor: Martın Prats

Prerrequisit: pels continguts a tractar, es important que l’alumne hagi cursat l’assignatura *que conte teoria de la mesura*.

L’objectiu del curs es estudiar operadors d’extensio, es a dir, formes d’estendre una funcio definida en un cert domini a l’espai ambientde manera que la norma resultant estigui controlada per la inicial. Els continguts seran: - Espais de Sobolev - Extensio per a dominisregulars - Extensions per a dominis menys regulars (Lipschitz i uniformes) Evans, Lawrence C. ”Partial di?erential equations.” GraduateStudies in Mathematics 19 (1998). Stein, Elias M. Singular integrals and differentiability properties of functions (PMS-30). Vol. 30.Princeton university press, 1970

Jones, Peter W. ”Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces.” Acta Mathematica 147.1 (1981): 71-88.

Quaternions i octonions.

Tutor: Roberto Rubio

Igual que els nombres complexos C es construeixen a partir dels nombres reals R, podem construir els quaternions H a partir dels nombrescomplexos, pero aquests ja no son commutatius. A mes, podem repetir el proces, i a partir dels quaternions construir els octonions O,els quals no son ni commutatius ni associatius.

En aquest projecte revisarem la definicio dels quaternions i els octonions, mitjancant la construccio de Cayley-Dickson, descriurem lesseus propietats, i explorarem algun aspecte addicional, com ara l’aplicacio dels quaternions a mecanica quantica o computacio grafica,el teorema que ens diu que R, C, H i O son les uniques algebres de divisio normades reals, o la definicio i les propietats dels sedenions(el resultat d’aplicar la construccio de Cayley-Dickson als octonions).

Geometria generalitzada.


La geometria generalitzada es un nou enfocament per a les estructures geometriques introduıt per Nigel Hitchin l’any 2003 i que enparticular dona un marc comu per a les estructures complexes i simplectiques. En aquest projecte estudiarem primerament els aspectesalgebraics de la teoria, per a desprs discutir alguns aspectes geometrics i finalment argumentar l’aplicabilitat de la geometria generalitzadaa alguns aspectes de Fısica Teorica, com mirror symmetry.

Es necessari haver cursat o estar cursant l’assignatura Topologia de Varietats.

Espinors.


Els espinors son un interessant concepte matematic que forma part del llenguatge de la Fısica. En aquest treball veurem com entendreels espinors mitjancant l’algebra de Clifford Cl(V ), una estructura algebraica associada a un espai vectorial amb una metrica.

En aquest projecte l’estudiant ha d’exposar la seua comprensio personal dels espinors per despres endinsar-se en altres aspectes de lateoria: la classificacio de les algebres de Clifford; espinors purs i subespais maximalment isotrops; espinors de Majorana, Dirac i Weyl; ogeometria espinorial.

Estructures simplectiques.


L’algebra lineal i la geometria diferencial s’ensenyen centrant-se en productes escalars (formes bilineals simetriques i definides positives).Malgrat aixo, l’estudi de formes antisimetriques es igualment important i constitueix, per exemple, el llenguatge basic per a l’estudi dela Mecanica.

En aquest projecte comencarem per comparar les formes antisimetriques i simetriques definides positives, descriurem les propietatsbasiques del grup simplectic i ens centrarem en algun aspecte addicional. Algunes, pero no totes les opcions, son el formalisme simplecticde la Mecanica, l’ındex de Maslov, o l’estructures de Kahler lineals.

La possible triseccio d’un angle i altres construccions geometriques.


La triseccio d’un angle amb regle i compas no es possible, pero si fem dues marques al regle, aleshores sı que podrem fer-ho, amb unmetode conegut com a neusis. Aquesta construccio tambe ens permet construir alguns polıgons regulars que no podem construir ambregle i compas.

En aquest projecte comencarem revisant les construccions amb regle i compas, estudiarem la neusis i les construccions que podem feramb ella, explorarem una modificacio de la neusis que permet construir mes polıgons (com la recent construccio de l’hendecagon de l’any2014), i acabarem exposant alguns problemes oberts.

Representacions del grup fonamental d’una superfıcie.


L’estudi de les representacions del grup fonamental d’una superfıcie orientable en un grup donat (es a dir, els homomorfismes d’un al’altre) dona lloc a una rica teoria matematica que combina l’algebra amb la geometria, tant algebraica com diferencial i complexa.

L’objectiu del projecte es entendre algunes propietats basiques d’aquest espai de representacions: la definicio de la seua topologia, quevol dir que tinga una estructura de conjunt algebraic, i com l’equivalencia de representacions donada per la conjugacio del grup donalloc a un espai quocient que no satisfa la propietat Hausdorff.

Una introduccio als grups infnits

Tutor: Pere Ara

Aquest treball consisteix en una introduccio als grups infinits a traves d’exemples de caire geometric, seguint la magnıfica referenciarecent [1]. Consistira en l’estudi detallat d’una de les seguents classes de grups: Els grups de Thompson, els grups auto-similars, el ” oels grups de Baumslag-Solitar. Per donar una idea, els grups de Thompson es defneixen a traves d’arbres binaris, o equivalentment atraves d’aplicacions lineals a trocos definides en l’interval unitat i que tenen pendent de la forma 2k on k ’s enter. Els grups de ThompsonT i V son grups simples (es a dir, sense subgrups normals notrivials), infinits, i definits per un nombre finit de generadors i relacions.Aquests van ser els primers grups coneguts amb aquestes propietats. D’altra banda, els grups autosimilars estan definits a partir de certsautomorfismes d’un arbre binari infinit que actuen de forma recurrent (auto-similar) en les diferents branques de l’arbre. Existeixenexemples d’aquests grups amb propietats molt remarcables, com l’anomenat grup de Grigorchuk i tambe l’anomenat grup ”.

References [1] Marianna C. Bonanome, Margaret H. Dean, Judith Putnam Dean, A sampling of remarkable groups. Thompson’s,self-similar, Lamplighter, and Baumslag-Solitar. Compact Textbooks in Mathematics. Birkhuser/Springer, Cham, 2018.

Una propietat d’estabilitat de les permutacions Tutor: Pere Ara

L’objectiu d’aquest treball es estudiar en detall el seguent resultat obtingut a [1]. Primer introduım la metrica de Hamming al conjunt de

permutacions Sn com d(σ; τ) = (n−k)n , on k es la cardinalitat del conjunt d’elements i ∈ 2, . . . , ng tals que σ(i) = τ(i). Observeu que la

distancia d(σ; τ) es petita si i nomes si σ i τ actuen igual sobre una proporcio gran dels enters entre 1 i n. Per exemple una permutacioesta a prop de la identitat si fixa una gran proporcio d’elements. El resultat diu que si dues permutacions σ i τ aproximadamentcommuten, en el sentit de que el commutador στσ−1τ−1 es a prop de la identitat en la metrica de Hamming, llavors σ i τ estan a propde permutacions σ

′i τ

′que efectivament commuten, es a dir σ

′τ

′= τ

′σ

′. La demostracio del resultat involucra tecniques interessants

de teoria de grups.

References [1] Goulnara Arzhantseva, Liviu Paunescu, Almost commuting permutations are near commuting permutations, Journal ofFunctional Analysis 269 (2015), 745–757.

Convergence/ equiconvergence of numeric series. Tutor: Sergei Tikhonov

n various well-known tests for convergence/divergence of number series

∞∑k=1

ak, (2)

with positive ak, monotonicity of the sequence of ak is the basic assumption. Such series are frequently called monotone series. Asexamples, we mention tests by Abel, Cauchy, de la Vallee Poussin, Dedekind, Dirichlet, du Bois Reymond, Ermakov, Leibniz, Maclaurin,Olivier, Sapogov, Schlomilch; several such tests were named after Abel and Cauchy.

Typical result: the Maclaurin-Cauchy integral test. Consider a non-negative monotone decreasing function f defined on [1,∞). Thenthe series

∞∑k=1

f(k) (3)

converges if and only if the integral

∫ ∞1

f(t) dt (4)

is finite. In particular, if the integral diverges, then the series diverges as well.

Questions : how to relax monotonicity assumption in the Maclaurin-Cauchy test and similar problems?

Hardy’s inequality. Tutor: Sergei Tikhonov

1. Let ak ≥ 0, bk ≥ 0,n∑k=1

ak = anγn.

If 1 ≤ p <∞, then

(∗)∞∑k=1

ak

( ∞∑n=k

bn

)p≤ C

∞∑k=1

ak(bkγk)p.

If 0 < p ≤ 1, then

(∗∗)∞∑k=1

ak

( ∞∑n=k

bn

)p≥ C

∞∑k=1

ak(bkγk)p.

2. Let ak ≥ 0, bk ≥ 0,∞∑k=n

ak = anβn.

If 1 ≤ p <∞, then

(∗)∞∑k=1

ak

( k∑n=1

bn

)p≤ C

∞∑k=1

ak(bkβk)p.

If 0 < p ≤ 1, then

(∗∗)∞∑k=1

ak

( k∑n=1

bn

)p≥ C

∞∑k=1

ak(bkβk)p.

Questions : is it possible to obtain analogues of (*) for 0 < p < 1 and of (**) for 1 ≤ p <∞ under some additional conditions on ak

Convergence of the Fourier series. Tutor: Sergei Tikhonov

We first have to discuss integral operators. Integral transforms have their genesis in nineteenth century work of J. Fourier and O.Heaviside, subsequently set into a general framework during the twentieth century. The fundamental idea is to represent a function f interms of a transform F , using an integral transform pair, F (p) =

∫K(p, x)f(x)dx and f(x) =

∫L(x, p)F (p)dp. The functions K and L

are kernels. O. Heaviside invented his operational calculus to solve differential equations, such as those arising in the theory of electricaltransmission lines. The formalization of Heaviside’s work leads one to the Laplace transforms K(p, x) = e−px. One the most importantintegral transforms is the Fourier transform that represents functions as linear combinations of periodic functions, an idea pioneered byJ. Fourier; here K(p, x) = e−ipx.

Fourier analysis began with studying the way general functions may be represented by sums of simpler trigonometric functions. Itreceived its name after Joseph Fourier, who showed that representing a function by a trigonometric series greatly simplifies the study ofheat propagation. Today, the subject of Fourier analysis encompasses a vast spectrum of mathematics. In the sciences and engineering,the process of decomposing a function into simpler pieces is often called Fourier analysis, while the operation of rebuilding the functionfrom these pieces is known as Fourier synthesis. The decomposition process itself is the Fourier transform.

Questions : we are interested in convergence of Fourier series and integrals with certain restriction on considered functions.

Bibliografia:

D.D. Bonar and M.J. Khoury, Real Infnite Series, MAA, Washington, DC, 2006.

E. Li yand, S. Tikhonov, M. Zeltser, Extending tests for convergence of number series, Jour. Math. Anal. Appl. Vol. 377, 1 (2011),194–206. [3]

A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1959.

Problema de Dirichlet i el lema de Weyl.

Tutor: Joan Orobitg

Donada una funcio contınua a la vora d’un domini es tracta de trobar una funcio harm‘onica a l’interior del domini i contınua finsa la frontera que coincideixi amb la funcio donada a la vora del domini. Una soluci es basa en el principi del maxim per a funcionssubharmoniques (metode de Perron). Tambe considerarem la soluci mitjanant espais de Sobolev. A mes de funcions harmoniques (quees corresponen a funcions de laplacia nul), el problema de Dirichlet tambe es pot plantejar per a altres solucions d’equacions en derivadesparcials. En la vessant historica, veurem com en aquest context hi apareix el lema de Weyl i la desigualtat de Garding. Naturalment, laprofunditat i l’abast dels resultats dependran dels interessos de qui realitzi el treball.

Zeros de polinomis al pla complex.

Tutor: Joan Orobitg.

Des dels temps de Gauss hi ha hagut un interes constant en els problemes que se centren en la ubicacio dels zeros d’un polinomi. Elszeros d’un polinomi P(z) son funcions dels coeficients. Per tant un problema es especificar regions, determinades per aquests coeficients,en les quals es trobin els zeros. Molt sovint al polinomi P(z) li podem associar un altre polinomi (frequentment aquest es P’(z)), i sorgeixel problema de relacionar la ubicacio dels zeros del polinomi associat amb la ubicacio dels zeros de P(z). Pel que fa als metodes i einesque pensem utilitzar hi ha els teoremes de Cauchy, Rouche i Hurwitz de zeros de funcions analıtiques. Molts resultats impliquen, ja siguien la seva demostracio o en la seu enunciat, conceptes geometrics i algebraics de caracter elemental. Per exemple,

Sigui Q(z) un polinomi de grau 3 amb arrels z1, z2 i z3 que no siguin punts col·lineals del pla complex. Sigui T el triangle amb vertexsz1, z2 i z3. Hi ha una unica el·lipse inscrita a T i tangent als punts mitjos de cada costat. Els focus d’aquesta el·lipse son les arrels deQ’(z).

En aquest treball proposat hi ha un punt de partida clar, i el camı a seguir dependra molt de la persona que el dugui a terme.

El problema del quadrat inscrit.

Tutor: Joan Orobitg.

El problema del quadrat inscrit es un problema encara sense resoldre. La conjectura diu que tota corba tancada simple del pla contesempre els 4 vertexs d’algun quadrat. Se sap que aixo es cert per a corbes suaus a trossos i en altres casos especials. Naturalment, noes tracta pas de resoldre la conjectura, encara que sempre es pot intentar ! El treball consisteix en estudiar els casos coneguts, el mesrecent de Terence Tao quan la corba esta formada per dues grafiques de funcions Lipschitz amb norma estrictament menor a 1, i tambealgunes variants (rectangles, triangles equilaters, altres polıgons).

Funcions univalents al disc unitat.

Tutor: Juan Jesus Donaire

L’objectiu del treball es estudiar el comportament de les funcions analıtiques i injectives al disc unitat.

Iteracio de funcions racionals al pla. Els conjunts de Julia i de Fatou.


Aproximacio a la Formula de Stirling.


La funcio Gamma d’Euler pot ser entesa com la generalitzacio del factorial al pla complex. En aquest treball estudiarem aquesta funcioi provarem amb detall el comportament asimptotic quan z tendeix a infinit.

La constant d’Apery.


Al 1740, Euler va trobar una formula per calcular la suma dels inversos de les potencies d’ordre parell dels naturals. En aquest treballestudiarem proves recents d’aquest resultat. Una serie especialment rellevant es la suma dels inversos dels cubs dels naturals. A aquestasuma se li diu constant d’Apery. Estudiarem expressions alternatives que permeten calcular valors aproximats d’una manera molt eficient.

Teoria dels moduls singulars (singular moduli).

Tutor: Marc Masdeu.

Es molt famosa la seguent “coincidencia numerica”:

eπ√163 ' 262537412640768743.99999999999925 . . .

Sembla que una combinacio de quantitats transcendents (e i π) amb nombres algebraics (√

163) resulti en un nombre enter. De fet, elvalor exacte del membre de l’esquerra no es enter (ni tan sols racional) pero s’hi apropa molt!

L’objectiu del treball es el d’entendre d’on surt aquesta “coincidencia”. Aixo ens dura a estudiar funcions modulars i els seus valors enpunts quadratics, que es el comencament d’una teoria d’una enorme bellesa.

Bibliografia:

* Cox, D.A. “Primes of the form x2 + ny2”.

Construccio de funcions-L p-adiques.

Tutor: Marc Masdeu.

Considerem la funcio zeta de Riemann, que es defineix com ζ(s) =∑

n≥1 n−s per s > 1. Fixem tambe un primer p. El treball consistira

en entendre que vol dir que aquesta funcio (que pren valors complexos, en general) es pugui “interpolar p-adicament”. Aquest procesdona lloc a una “versio p-adica”, posem ζp(s), on ara tant la variable s com els valors que pren la funcio son nombres p-adics. Del’existencia d’aquesta versio p-adica se’n poden extreure propietats importants de la funcio complexa ζ(s) original

Bibliografia:

* Koblitz, N. “p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions”.

* Iwasawa, K. “Lectures on p-adic L-functions”.

R0 (el numero basic de reproduccio) en poblacions estructurades de forma contınua.

Tutor: Angel Calsina.

Es tracta de veure la definicio de R0 i provar de calcular-lo en models de dinamica de poblacions estructurades per l’espai, l’edat, lagrandaria, el fenotip, etc. i la relacio entre R0 i la taxa de creixement de les poblacions respectives.

La valoracio d’opcions americanes i altres opcions exotiques.

Tutor: Angel Calsina.

Es tracta d’estudiar els problemes de frontera lliure per a equacions en derivades parcials que apareixen en la valoracio de derivatsfinancers quan aquests es poden exercir abans de la data de venciment. Tamb les equacions, semblants a la de Black-Scholes, queapareixen en la valoracio d’opcions sobre la historia de l’actiu subjacent.

Braces i l’equaci de Yang-Baxter.

Tutor: Ferran Cedo

Una braca per l’esquerra es una estructura algebraica (molt relacionada amb grups) introduıda per Rump al 2007 per estudiar certaclasse de solucions de l’equacio de Yang-Baxter. Aquesta equacio es una equacio important que apareix per primer cop en un treball deYang i una mica mes tard en treballs de Baxter en problemes diferents de ısica Teorica.

El treball consistiria en entendre aquesta estructura algebraica i les seves propietats, i com construir solucions de l’equacio de Yang-Baxterusant braces per l’esquerra.

Grafs amb llarga sıstole.

Tutor: Florent Balacheff

L’objectiu d’aquest TFG sera d’entendre diferents construccions de grafs amb llarga sıstole. La sıstole es pot pensar com el temps mınimamb el qual un camı del graf torna al seu punt inicial. Per tant els grafs amb llarg ı modelitzan xarxas on la informacio viatja el meseficacment perque el temps de retorn d’una informacio es maximal en relacio amb la mida del graf. En una segona part, estudiaremaplicacions d’aquestes construccions a la geometria Riemanniana.

El primer teorema de Minkowski i la seva generalitzacio al cas no simetric.

Tutor: Florent Balacheff

En aquest TFG, l’estudiant estudiara el primer teorema de Minkowski, que es pot interpretar de la seguent manera: qualsevol cos convexsimetric K ⊂ Rn tal que K ∩Zn = 0 te un volum mes petit que 2n. En primer lloc, haurem d’entendre aquesta afirmacio des de l’anglede la geometria sıstolica, i despres estudiarem una generalitzacio d’aquest teorema al cas no simetrica.

Mathematical models for the solidification of supercooled liquids.

Tutor: Francesc Font

Supercooling is the action of cooling down a liquid below its standard freezing point. These liquids are trapped in a metastable state andare ready to solidify as soon as the opportunity arises. The supercooled state of a liquid can be achieved, for instance, by applying veryhigh cooling rates, cooling down a liquid adjacent to a material surface with a particular molecular arrangement or cooling the liquiddown while it is being levitated. The solidification of these liquids proceeds differently than typical solid-liquid phase transitions in thesense that the temperature at which solidification happens is not constant [1]. This implies that the standard mathematical models haveto be modified to account for a variable phase change temperature.

One of the most popular mathematical models to describe solid-liquid phase transitions is the classical Stefan problem. The mathematicalformulation of the problem involves heat equations for the solid and liquid phases and a condition at the solid-liquid interface, the Stefancondition, that describes the position of the phase change interface. At the moving phase change boundary, x = s(t), the temperature isfixed at the constant bulk phase change temperature, Tm. The governing equations for the temperatures in the solid and the liquid read

csρs∂θ

∂t= ks

∂2θ

∂x2on 0 < x < s(t) , (5)

clρl∂T

∂t= kl

∂2T

∂x2on s(t) < x <∞ , (6)

and the position of the solid-liquid interface is found by solving the Stefan condition

ρlLmds

dt= ks

∂θ

∂x− kl

∂T

∂xon x = s(t) , (7)

where θ and T in (5)-(7) are the temperature in the solid and the liquid, respectively, and k, ρ, c, Lm are thermophysical parameters.

In this TFG we will develop and analyze mathematical models describing solid-liquid phase transitions. The first part of the TFG willconsist on reviewing analytical and numerical methods to solve the classical Stefan problem (5)-(7). The second part will consist onformulating and solving the Stefan problem for the solidification of a supercooled liquid. If time permits, a simple experiment can bedesigned to test the predictive accuracy of the solution of the developed mathematical models.

Bibliografia:

[1] F. Font, S.L. Mitchell, and T.G. Myers. One-dimensional solidification of supercooled melts. International Journal of Heat and MassTransfer, 62 411–421, 2013.

Teoria de representacio de grups finits. El Teorema de Maschke.

Tutor: Joan Claramunt

La idea de la teoria de representacions es que els objectes algebraics no noms son interessants per si mateixos, sino en com actuensobre altres objectes. Estudiar aquestes accions (representacions) dona informacio (molts cops exhaustiva) sobre l’estructura interna del’ojecte mateix. En aquest treball es tractaria d’estudiar la teoria de representacions dels grups finits i de les seves corresponents algebresassociades, anomenades lgebres de grup. S’estudiaria el Teorema de Maschke, fonamental en l’estudi de les representacions de grupsfinits, tot donant una caracteritzacio completa de les representacions irreductibles d’un grup finit fixat.

El Teorema espectral per a operadors normals.

Tutor: Joan Claramunt

Un dels teoremes finals que es veu en un primer curs d’algebra lineal es l’anomenat Teorema espectral per a matrius hermıtiques, que ensassegura que tota matriu hermıtica es diagonalitzable, es a dir, es similar a una matriu diagonal, i a mes els valors propis d’aquesta sńreals. Reescrit d’una altra manera, tota matriu hermıtica es pot escriure com a una combinacio lineal de projectors (matrius P complintP 2 = P = P t ), on els coeficients de tal combinacio son exactament els valors propis de la matriu. En un curs mes avancat d’Analisifuncional tambe s’estudia el Teorema espectral, ara generalitzat a operadors compactes entre espais de Hilbert. El teorema assegural’existncia d’una base de Hilbert ortonormal formada per vectors propis. En aquest treball es tractaria d’estudiar el Teorema espectralper a operadors normals entre espais de Hilbert (es a dir, operadors T que commuten amb el seu adjunt T ∗).

FUNCIONS CONTıNUES NO DIFERENCIABLES.

Tutor: Jose Gonzalez

Cap a finals del segle XIX els matematics de l’epoca donaven per fet que una funcio contınua a la recta real havia de ser derivable enmolts punts. L’existencia de funcions contınues no derivables en cap punt, a mes de representar un punt d’inflexio en la fonamentaciodel Calcul, va contribuir al desenvolupament de la Teoria de Probabilitat, la Fısica Teorica i la Matematica Financera (per exemple, lestrajectories del moviment brownia son tıpicament contınues pero derivables enlloc).

El treball proposa : i) analitzar amb detall algunes d’aquestes construccions (per exemple la de Takagi-Van der Waerden i la deWeierstrass), amb emfasi en les propietats geometriques de les grafiques i ii) estudiar l’estructura de l’espai de funcions contınues nodiferenciables en cap punt com a subespai de l’espai de les funcions contınues.

MEAN VALUE PROPERTIES AND FOURIER SERIES.

Tutor: Jose Gonzalez

Les funcions afins a la recta satisfan la propietat de la mitjana: el valor en x es la mitjana dels valors en x± r, per r > 0. En dimensiosuperior el paper de les funcions afins correspon a les funcions harmoniques. La propietat de la mitjana es essencial en la interaccio entrediverses arees de les matematiques com Teoria de Funcions, Equacions en Derivades Parcials i Probabilitat.

El problema recıproc (sota quines condicions una funcio que satisfa certa propietat de la mitjana es afı o harmonica) va atreure l’atenciode nombrosos matematics il·lustres. La llista es extensa i inclou, entre d’altres, Cauchy, Schwarz, Darboux, Sierpinsky, Blaschke, Koebe,Littlewood... Per exemple, Schwarz va demostrar que si f : R → R es contınua i per tot x ∈ R satisfa la propietat de la mitjanaasimptotica

f(x) =f(x+ r) + f(x− r)

2+ o(r2) as r → 0

llavors f es afı. El teorema de Schwarz va ser un ingredient fonamental en la prova del Teorema d’unicitat de Cantor: si una serie

trigonometrica∞∑

n=−∞ane

inx es identicament 0 per tot x ∈ R llavors an = 0 per tot n.

El treball que es proposa consisteix en dues parts: i) breu estudi de les propietats de la mitjana, inverses i asimptotiques per funcionsafins i harmoniques. ii) demostracio del Teorema de Cantor.

Bibliografia:

J. M. Ash, Unique representation by trigonometric series, Amer. Math. Monthly 9610, (1989), 873–885.

A. R. Burckel, A strong converse to Gauss’ mean value theorem, Amer. Math. Montly, 8710, (1987), 819–820.

Valoracio de riscos i perfilat delictiu amb Xarxes Bayesianes.

Tutor: Rosario Delgado

Les xarxes bayesianes (XB) son una metodologia cada vegada mes popular en l’ambit de l’aprenentatge automatic per modelar la incertesaen dominis complexos i, segons l’opinio de molts investigadors de la intel·ligencia artificial, la contribucio mes significativa en aquestambit en els darrers anys. De fet, les XB es consideren un dels models matematics mes efectius per a la representacio i el raonament del

coneixement sobre incertesa, i son especialment adequades per ajudar en la presa de decisions racionals, en l’avaluacio de riscos i en elperfilat en entorns d’incertesa. La utilitat daquesta metodologia sha demostrat a traves daplicacions en innombrables situacions. Nomescal esmentar dos aspectes d’aquest tipus de models que son crucials en les aplicacions: en les ciencies socials, on el caracter altamentincert del comportament huma afegeix un component aleatori a totes les nostres activitats, ofereixen la possibilitat d’aprendre efectescausals a partir de dades observacionals. En cincies biologiques i de la salut, la seva representacio grafica intuıtiva proporciona unacomprensio qualitativa de les relacions entre les variables que afecten la salut i les malalties.

Graphs theory to gain knowledge on single molecule stiffness.

Tutor: Yamila Garcia

Propuesta para contribucion en desarrollo de modelo teorico. El objetivo es describir propiedades elasticas de moleculas, usando elemen-tos basicos de teorıa de grafos y de mecanica clasica para describir la estructura molecular y la interaccion entre atomos respectivamente.Se pretende contribuir en el area de la ingeniera molecular, donde se necesitan modelos que permitan optimizar el diseo de sistemasmoleculares que respondan a demandas especıficas. El desarrollo de este trabajo puede permitir al estudiante trabajar de forma sis-tematica, pero tambien innovar e incluso publicar sus resultados. El area de trabajo es una zona usualmente explotada por los quımicos,pero donde existe un nicho importante para contribuciones que sean original transfiriendo herramientas mas propias de la fısica y lasmatematicas.

New graphs theory based molecular descriptors to define molecular architectures.


Este trabajo se puede efectuar si antes se ha realizado el trabajo Graphs theory to gain knowledge on single molecule stiffness.

Implementacion numerica (preferiblemente programacin en C/C++, o Python). El objetivo es que el estudiante implemente modelos pre-viamente desarrollados para describir propiedades estructurales de moleculas. Este trabajo puede permitir introducir un nuevo ”descriptormolecular”, y por tanto puede ser relevante como contribucion en el area de diseo molecular. El programa desarrollado por el estudiante de-seamos sea incluido como plugin al programa cientıfico actualmente disponible ”VMD” (https://www.ks.uiuc.edu/Research/vmd/plugins),lo que darıa una relevancia academica adicional al trabajo.

An electrical description of chemical bonds.


El objetivo es usar criterios fısico-matematicos para contribuir en un area usualmente tratada por los quımicos: la descripcion de losenlaces intramoleculares. Ya desde el ao 1936, Pauli enuncio la necesidad de usar criterios electricos para describir estas interacciones(enlaces), y aun en el ao 2011 segun reporta la IUPAC carecemos de modelos de tal calibre para adentrarnos en el mundo molecular.Por tanto, completando trabajos que tenemos preliminares en el area, pretendemos que el estudiante contribuya a cerrar la propuestade un modelo electrico para caracterizar enlaces y que supla las carencias que tienen los modelos termodinamicos actuales. El desarrollode este trabajo puede permitir al estudiante trabajar de forma sistematica, pero tambien innovar e incluso publicar sus resultados.

A new electrical based molecular descriptor to define intramolecular bonds.


Este trabajo se puede efectuar si antes se ha realizado el trabajo An electrical description of chemical bonds.

Propuesta para trabajo en implementacion numerica (preferiblemente programacin en C/C++, o Python). El objetivo es que el estudianteimplemente modelos previamente desarrollados para describir enlaces interatomicos. Este trabajo puede permitir introducir un nuevo ”de-scriptor molecular”, y por tanto puede ser relevante como contribucion en el area de diseno molecular. El programa desarrollado por el es-tudiante deseamos sea incluido como plugin al programa cientıfico actualmente disponible ”VMD” (https://www.ks.uiuc.edu/Research/vmd/plugins),lo que darıa una relevancia academica adicional al trabajo.

Optimal Sobolev embeddins.

Tutor: Joaquim Martın

The main objective will be study the optimality of rearrangement invariant Banach spaces in Sobolev embeddings. In other words, wewould like to know that the rearrangement invariant Banach range space and the rearrangement invariant Banach domain space areoptimal in the Sobolev embedding, in the sense that domain space cannot be replaced by a larger rearrangement invariant Banach spaceand range space cannot be replaced a smaller one.

Algebres de Hopf.

Tutor: Ramon Antoine

Les algebres de Hopf son una classe particular d’algebres amb una estructura dual associada que les fa particularment interessants,donant lloc per exemple a la introduccio dels Grups Quantics. Apareixen relacionades amb problemes de Topologia algebraica, de Teoriade Grups i en molts problemes de Fısica a traves de classes particulars d’exemples.

El treball proposat es el la introduccio formal de les algebres de Hopf, des d’una perspectiva algebraica, i complementar-la amb l’estudiconcret d’alguna famılia particular d’exemples.

Anells de divisio: Mes enlla dels quaternions.


Un anell de divisio s un anell no trivial D on tot element no nul te invers. Es a dir, un cos llevat que no s necessariament commutatiu.En algun moment de la carrera es habitual que es parli dels Quaternions de Hamilton com a exemple de cos no commutatiu, pero noes solen donar m‘es exemples. En aquest treball es proposa aprofundir en l’estudi dels anells de divisio i fer-ho a traves d’un problemaconcret.

Un exemple podria ser l’estudi del seguent problema d’Artin per anells de divisio i desenvolupar els exemples corresponents donats perP.M. Cohn:

(Problema) Moltes de les coses que podem dir per a un cos son certes tambe per anells de divisio. Per exemple, podem definir espaisvectorials sobre un anell de divisio D, tenir una nocio de independencia lineal, de base i per tant de dimensio. Aixı, si k ⊂ D sn anellsde divisio, tenim el que s’anomena una extensio i podem preguntar-nos sobre el grau (dimensio) d’aquesta extensio [D : k]. Ara be, esel mateix si es calcula la dimensio com a espai vectorial per l’esquerra kD que com a espai vectorial per la dreta Dk?

P.M. Cohn respon negativament aquest pregunta donant un exemple en que una les dimensions es finita i l’altre infinita. Mes endavantSchofield dona exemples en que les dues dimensions son valors finits i arbitraris (diferents de 1).

Localitzacio en anells no commutatius.


La construccio del cos de fraccions d’un domini commutatiu es una de les eines basiques al curs d’Estructures Algebraiques. El proces essenzill, s’afegeixen formalment inverses pels elements no nuls i tot funciona mes o menys com un espera, es a dir, com al cas de Z ⊆ Q.Mes en general, una variant del mateix metode ens permet invertir nomes certs conjunts d’elements i sense necessitat de fer-ho en undomini.

Aquests metodes pero no es poden traslladar directament al cas d’anells no commutatius, i en aquest camp sorgeixen diferents metodesper obtenir anells de fraccions, que depenen de l’enfoc que es dona al problema.

Es proposa com a treball donar una visio general dels diferents metodes de localitzacio en anells commutatius, especialitzant-se si es volen els detalls d’algun d’ells.

Aixo pot incloure partir des del problema basic d’incloure monoides en semigrups (a travs dels treballs de A.I Maltsev), el cas concretde la localitzacio d’Ore (el ms similar al cas commutatiu), fins la localitzacio universal de P.M. Cohn.

Condicio de Lipschitz i diferenciabilitat de funcions.

Tutor: Julia Cufı

Contingut:

- Funcions lipschitzianes, de variacio acotada i absolutament contınues a la recta

- Teorema de derivacio de Lebesgue

- El teorema de Rademacher a Rn

- La generalitzacio de Stepanov del teorema de Rademacher

- El teorema de Rademacher en altres contextos

Referencies basiques:

- H.L. Royden, ’Real Analysis’ The Macmillan Company, London, 1968

- W.P. Ziemer ’Weakly differentiable functions’ Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1989

Espais invariants per reordenacio i interpolacio.

Tutor: Joaquim Martın

Contingut:

- Espais de funcions.

- Espais invariants per reordenacio

- Interpolacio d’operadors en espais invariants per reordenacio.

Bibliografia:

Bennett, C. and Sharpley, R. Interpolation of Operators, Academic Press, Boston (1988).

Matematiques i cristal·lografia: simetries a la natura i la seva idealitzacio matematica.

Tutor: Dolors Herbera

La classificacio dels grups cristal·lografics es un dels resultats de teoria de grups mes usats en tota la ciencia. La idea del treball seriaestudiar la classificacio d’aquests grups en el cas de dimensio dos (consulteu aquı per veure aquesta classificacio) i aprofundir en elsresultats basics que porten en la classificacio en dimensions superiors.

Una molt bona introduccio al tema es l’article de Howard Hiller: Crystallography and cohomology of groups (American MathematicalMonthly, Vol. 93 (1986), 765–779). Que podeu veure clicant aquı. Una de les possibilitats per fer el treball es anar aprodundint enaquest article complementant amb l’us de bibliografia addicional els temes que calgui.

El treball tambe pot tenir una vessant aplicada, pot ser codirigit amb Francesc Piniella, professor del Departament de Geologia dela UAB, director del Director del Servei de difraccio de raigs X de la UAB i que podra donar la visio de les aplicacions dels grupscristalografics que te un expert en cristal·lografia.

Matematiques associades als diagrames de Dynkin.


S’anomenen diagrames de Dynkin sense orientacio els grafs

Van ser introduıts pel matematic rus Eugene Dynkin l’any 1947 per simplificar la classificacio de les algebres de Lie semisimples sobre uncos algebraicament tancat. Des de llavors han aparegut en diversos contexts matematics, aparentment fora diferents, i sempre relacionatsamb classificacions d’objectes algebraics. Crec que pot ser un treball de fi de grau interessant mirar d’aprofondir en alguns d’aquestsresultats, en principi veig dos possibles enfocs que no son del tot independents:

- Resultat mes classics: Teoria de les representacions d’algebres de dimensio finita: el tipus finit

- Una de les lınia de recerca de rabiosa actualitat: Cluster algebras

https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group

http://www.jstor.org/stable/2322930

Com en les altres propostes de treball, l’enfoc pot variar segons com es vegi com evoluciona el treball i els interessos particulars del’alumne.

Teoria de les representacions d’algebres de dimensio finita: el tipus finit.


Un teorema d’Algebra Lineal ens diu

Teorema. Sigui k un cos i sigui f : V1 → V2 una aplicacio lineal entre dos espais vectorials de dimensio finita. Llavors existeixen basesde V1 i V2 tals que la matriu associada a f en aquestes bases es de la forma(

Ir 00 0

)on r es la dimensio de la imatge de f i Ir denota una matriu identitat r × r.

Aquest Teorema es pot pensar de la manera seguent.

Considerem el graf

1α // 2

Assignem al vertex 1 l’espai vectorial V1, al vertex 2 l’espai vectorial V2 i a l’aresta α l’aplicacio lineal f . El Teorema ens dona una formacanonica per aquest tipus de “representacions”.

En general, s’estudia com obtenir “fomes canoniques” per assignacions d’espais vectorials i aplicacions lineals a grafs finits qualssevol.Estem simplificant una mica, pero es pot pensar que aquest seria l’objectiu principal d’una branca de l’algebra anomenada Teoria deRepresentacions d’algebres de dimensio finita.

P. Gabriel l’any 1972 va demostrar un Teorema essencial dins de la teoria en que es determina els grafs que donen lloc nomes a un“nombre finit” de formes canoniques. Sorprenentment es demostra que aquests grafs corresponen als anomenats Diagrames de Dynkin.

Una demostracio elemental d’aquest resultat deguda a H. Krause i esta basada en l’article de I. Bernstein, I. Gelfand i V. Ponomarev.De fet la idea de Bernstein, Gelfand i Ponomarev es mirar de traduir al context de les representacions lineals de grafs les idees de lesAlgebres de Lie i, d’aquesta manera explicar perque els Diagrames de Dynkin surten en els dos contexts.

L’objectiu principal del treball es estudiar aquesta demostracio i desenvolupar amb detall alguns dels exemples quesurten.

Val a dir que tant el Teorema de Gabriel, com les idees al voltant d’aquesta demostracio, han tingut i tenen una repercussio moltimportant dins de les matematiques actuals. Llavors, si es vol, aquest es un tema que ens aproxima a temes de recerca molt actual imolt actius i, al mateix temps, ens familiaritza amb objectes classics i importants de les matematiques.

El prerequisit fonamental per estudiar els apunts es un bon coneixement de l’Algebra Lineal i coses basiques d’Estructures Algebraiques.Al desenvolupar el treball, si volem, ens podem aproximar a molts temes. Entre ells: teoria d’anells i moduls, categories i functors,equivalencies i dualitats, grups de Coxeter, sistemes d’arrels, algebres de Lie semisimples....

Cluster algebras.


Les algebres Cluster van ser introduıdes per Fomin i Zelevinsky l’any 2002. En principi, son objectes molt elementals i facils de descriure,vaig a fer-ho d’una manera molt superficial:

Es treballa a l’anell de funcions racionals Q(x1, . . . , xn). Les variables cluster es van construint inductivament comencant amb x1, . . . , xni seguint, a cada pas, unes regles molt precises anomenades mutacions i definides a partir d’una matriu entera prefixada B. L’algebracluster determinada per x1, . . . , xn i B es la Q-subalgebra de Q(x1, . . . , xn) generada pels elements que s’obtenen a l’anar iterant lesmutacions. A aquest elements s’els anomena variables cluster. Si amb les mutacions nomes obtenim un nombre finit de variables clusteres diu que estem en un cas de tipus finit. En la classificacio de les algebres cluster de tipus finit tornen a tenir un paper central elsdiagrames de Dynkin i les algebres de tipus de representacio finita que esmentavem en la primera seccio.

Si voleu mes detalls, podeu consultar l’entrada de la wikipedia.

El motiu inicial per introduir aquesta e contruccio ere l’estudi de certs semigrups de matrius associats a varietats algebraiques i a lateoria d’invariants, pero un dels motius del creixement espectacular d’aquesta linea de treball ha estat les connexions que s’han trobatamb multitud the temes diferents. Es pot tenir una idea de l’activitat a l’area mirant el cluster algebra portal.

Crec que pot ser mol estimulant fer un treball de recerca en aquesta linea, i que una bona idea per fer-ho es basant-se en el text deRobert Marsh: Lecture Notes on Cluster Algebras

Corbes algebraiques. Tutor: Joaquim Roe

Es fa una introduccio a la teoria de les corbes algebraiques planes i les superfcies de Riemann, en que conflueixen metodes de diverses areesde les matematiques, com l’lgebra, l’analisi i la topologia. El resultat mes important que estudiarem es el teorema de Riemann-Roch. Eltreball culmina amb l’estudi d’alguna aplicacio, ja sigui a corbes el·lıptiques, configuracions de rectes, porisma de Poncelet...

Bibliografia:

* Fulton “Algebraic Curves”

* Kirwan “Complex Algebraic Curves”

* Casas-Alvero “Singularities of Plane Curves”

Algoritmes per multiplicar matrius. Tutor: Joaquim Roe

http://en.wikipedia.org/wiki/Cluster_algebra

http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/cluster.html

L’any 1968, Volker Strassen va intentar demostrar que l’algoritme estandard per multiplicar matrius n× n es optim en el sentit que noexisteix un algoritme alternatiu que necessiti menys de n3 multiplicacions. Com que ja suposava que l’empresa seria ardua, es va centraren el cas de matrius 2× 2. El fracas en l’intent fou espectacular: Strassen va trobar un algoritme que necessita nomes 7 multiplicacions,que va ser el punt de partida per a un nou i completament inesperat camp de recerca.

Aprendrem com funciona l’algoritme de Strassen en dimensio n, l’expressio del problema de Strassen (i l’anomenada conjectura deStrassen) en termes de tensors, i tambe aspectes geometrics i de simetries en el problema.

Bibliografia:

* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. “Introduction to Algorithms”, MIT Press and McGraw-Hill,2001.

* Luca Chiantini, Christian Ikenmeyer, J.M. Landsberg, Giorgio Ottaviani, “The geometry of rank decompositions of matrix multiplica-tion I: 2× 2 matrices”. Experimental Mathematics 2017, https://doi.org/10.1080/10586458.2017.1403981

* Yaroslav Shitov. “A counterexample to Strassens direct sum conjecture.” Acta Mathematica 2019, http://dx.doi.org/10.4310/ACTA.2019.v222.n2.a3

Documents

Treballs de Fi de Grau Titulaci o de Matem atiques · Treballs de Fi de Grau Titulaci o de Matem atiques Curs 2019-2020 1 Tipus A. Propostes del professorat 1. Ramon Antoine. [[email protected]]