triangle - Les Maths Libres · · 2006-10-25B C e garage On acc`ede au ... ABCD est un rectangle tel que AB = 8cm et BC = 5cm. Ses diagonales se coupent en K. 1) ... ABCD d´esigne

TRIANGLE RECTANGLE

1 Session du brevet 1996

Antilles 96

Soit ABC un triangle isocele de base [BC], [AH ] la hauteur issue du sommet A. On a BC = 8 cm et AH = 7 cm.

1) Construire le triangle ABC en justifiant la construction.

2) Calculer tan ABC.

3) En deduire la valeur de l’angle ABC arrondie au degre pres.

Besancon 96

C

O

A

B

85m

1,5m

On veut mesurer la hauteur d’unecathedrale. Grace a un instrument de me-sure place en O, a 1, 5 m du sol et a 85 mde la cathedrale, on mesure l’angle et ontrouve 59 .

1) Determiner la longueur CB audixieme de metre le plus proche.

2) En deduire la hauteur de lacathedrale que l’on arrondira aumetre le plus proche.

Caen 96

A

B

C

rampe

garage

On accede au garage situe au sous-sol d’une maison par une rampe [AC].On sait que AC = l0, 25 m ; BC = 2, 25 m.

1) Calculer la distance AB entre le portail et l’entree.

2) Calculer a un degre pres par exces la mesure de l’angle BAC.

Dijon 96

A EC

B D

ABC et CDE sont deux triangles equilateraux de cote 3 cm. A, C etE sont alignes.

1) Faire une figure exacte, en respectant les longueurs donnees, etla completer au fur et a mesure.

2) Prouvez que les points A, B, D, E sont sur un meme cercle ;indiquez le centre et le rayon de ce cercle.

3) Prouvez que ABE est un triangle rectangle.

4) Calculez les mesures des cotes et des angles du triangle ABE.

5) Prouvez que BCD est un triangle equilateral.

Grenoble 96

C FD

BE

A

H

La vue de face d’un hangar est representee par le schema ci-contre. BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangleen A, H est la projection orthogonale de A sur la droite (CD).Les points A, E, F sont alignes ainsi que C, D, F .On donne (l’unite etant le metre) AB = BC = 6 ; EB = 10.

1) Calculer AE.

2) Sachant que AF = 18, calculer la hauteur AH du hangar.

D. Le FUR 1/ 25 15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE

Lyon 96

1) Construire un triangle IJK tel que JK = 8 cm ; IJ = 4, 8 cm ; KI = 6, 4 cm.

2) Demontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle.

3) Calculer la mesure en degres de l’angle IJK. Donner la valeur arrondie au degre le plus proche.

Lyon 96

O I

J

D

A

B

C

Dans cet exercice, on ne demande pas de refaire fa figure. Dans un repereorthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, on a trace le cercle decentre O et de rayon 2.Le cercle coupe les axes de coordonnees en A, B, C et D.

1) Donner sans justifier les coordonnees des points A, B, C et D.

2) En utilisant ses diagonales par exemple, prouver que ABCD estun carre.

3) On considere les points E(0; 4) et F (4; 0). Determiner uneequation de la droite (EF ).

4) Demontrer que les droites (AD) et (EF ) sont paralleles.

Nantes 96

B

A

C

D

E

F

Sur la figure ci-contre, on a CAD = 90 ; CBA = 90 ; BAC = 50 ; AD = 5 cm ;AC = 7 cm.

1) Calculer BC, puis en donner la valeur arrondie au mm pres.

2) Calculer la mesure de l’angle ADC en donnant sa valeur arrondie a un degrepres.

3) Les droites (EF ) et (CD) sont paralleles et AE = 2, 5 cm. Calculer AF . Ondonnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm pres.

Orleans 96

Dans cet exercice, l’unite de mesure choisie est le centimetre.On considere un rectangle ABCD tel que AB = 8 et BC = 5. Sur le segment [CD] est place le point M tel queCM = 6.

1) Construire la figure sur votre copie.

2) Determiner tan MBC et en deduire la mesure de l’angle MBC arrondie au degre pres.

3) On note N le point d’intersection des droites (BM) et (AD). Placer ce point sur la figure. En precisant lesenonces utilises :

a) Calculer la valeur exacte de BM .

b) Calculer la valeur exacte de DN .

Rouen 96

ABCD est un rectangle tel que AB = 8 cm et BC = 5 cm. Ses diagonales se coupent en K.

1) Soit M le milieu du cote [CD] et H le milieu du segment [AM ].

Demontrer que les droites (HK) et (CM) sont paralleles.

2) Calculer la longueur HK.

3) Calculer la mesure de l’angle DAM , on donnera le resultat arrondi au degre.

4) Demontrer que l’aire du triangle AMC est egale a 10 cm2.

En deduire l’aire du triangle AHK.


TRIANGLE RECTANGLE


Aix 97

On considere le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5, BC = 9, l’unite etant le cm.

1) Construire le triangle ABC en vraie grandeur.

2) Calculer la valeur exacte de AC.

3) Calcule la mesure de l’angle ABC a un degre pres par defaut.

4) Le cercle de centre B et de rayon AB coupe le segment [BC] en M . La parallele a la droite (AC) qui passe parM coupe le segment [AB] en N .

Completer la figure.

Calculer la valeur exacte de BN .

Amiens 97

7m

echelle

A B

C

D

75

Une echelle de 6 metres est appuyee contre un mur vertical de 7 metres de haut.Par mesure de securite, on estime que l’angle que fait l’echelle avec le sol doit etrede 75 (voir schema ci-contre).

1) Calculer la distance AB entre le pied de l’echelle et le mur. (On donnera leresultat arrondi au centimetre.)

2) A quelle distance CD du sommet du mur se trouve le haut de l’echelle ? (Ondonnera le resultat arrondi au centimetre.)

Besancon 97

On completera la figure au fur et a mesure.

1) Construire un triangle ABC isocele en B tel que AB = 5 cm et ABC = 120 .

2) On appelle H le pied de la hauteur issue de B dans ce triangle.

a) Quelle est la mesure de l’angle HBC ? Justifier votre reponse.

b) Calculer la distance BH .

On pourra consulter l’extrait de la table trigonometrique ci-dessous.

Mesure de l’angle en degres Cosinus Sinus Tangente30 0,866025 0,5 0,57735060 0,5 0,66025 1,732051

3) Le cercle de centre B et de rayon 5 cm coupe la droite (AB) en D.

a) Montrer que les droites (BH) et (DC) sont paralleles.

b) Calculer la distance DC.

Bordeaux 97

On considere un cercle de diametre [AB]. Soit C un point de ce cercle et D le symetrique de A par rapport au pointC. La parallele a la droite (BC) passant par le point D coupe la droite (AB) en E.

1) Realiser une figure.

2) Quelle est la nature du triangle ABC ?

3) Demontrer que B est le milieu du segment [AE].

4) Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ADE ?

5) Exprimer l’aire A′ du disque de diametre [AE] en fonction de l’aire A du disque de diametre [AB].


TRIANGLE RECTANGLE

Centres Etrangers 97

B

C

A

H

6,5

5,2

2 On donne le croquis ci-contre qu’on ne demande pas de reproduire. L’unite est lecentimetre.Le triangle BHC est rectangle en H . AH = 2, HC = 5, 2, BC = 6, 5. Les dimen-sions ne sont pas respectees sur le croquis.

1) Calculer BH .

2) Calculer sin HBC. En deduire la mesure de l’angle HBC (on donnera lavaleur arrondie au degre pres).

3) Calculer la mesure de l’angle ABH (on donnera la valeur arrondie au degrepres).

Dijon 97

E

N

B

C D

L’unite de longueur est le centimetre.Le rectangle ci-apres represente une table de billard.Deux boules de billard N et B sont placees telles que CD = 90 ;NC = 25 ; BD = 35. (Les angles et sont droits.)Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le

trajet BEN , E etant entre C et D, et tel que CEN = DEB.On pose ED = x.

1) a) Donner un encadrement de x.

b) Exprimer CE en fonction de x.

2) Dans le triangle BED, exprimer tan DEB en fonction de x.

3) Dans le triangle NEC, exprimer tan CEN en fonction de x.

4) a) En egalant les deux quotients trouves aux questions 2 et 3, on trouve l’equation :35(90− x) = 25x. On nedemande pas de le justifier.Resoudre cette equation.

b) En deduire la valeur commune des angles CEN et DEB arrondie au degre.

Grenoble 97

A

B

C

L’unite de longueur est le centimetre ; l’unite d’aire est le centimetre carre.On considere la figure ci-contre : le triangle ABC est rectangle en A ; AB = 3, 6 ;BC = 6.

1) Calculer la mesure de l’angle ACB (on donnera l’arrondi au degre).

2) Calculer AC.

3) Calculer l’aire du triangle ABC.

4) Soit H le projete orthogonal du point A sur la droite (BC). Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction deAH .

5) En deduire AH .


TRIANGLE RECTANGLE

Guadeloupe 97

PAR est un triangle rectangle en A et tel que AP = 3, 6 cm ; AR = 4, 8 cm ; H est le projete orthogonal de A sur ladroite (RP ).

1) Faire la figure.

2) Calculer la longueur du cote [PR].

3) Calculer l’aire du triangle PAR. En deduire AH .

4) Calculer sin APR. En deduire l’arrondi au degre pres de la valeur de l’angle APR.

Poitiers 97

ABCD designe un rectangle tel que AB = 7, 2 cm et BC = 5, 4 cm.

1) Dessiner en grandeur reelle ce rectangle et sa diagonale [AC].

2) Calculer la mesure arrondie au degre de l’angle ACD.

3) Demontrer que les angles ACD et CAB sont egaux.

4) La mediatrice du segment [AC] coupe la droite (AB) en E. Placer le point E et montrer que le triangle ACEest isocele.

5) En deduire une valeur approchee de la mesure de l’angle DCE.


TRIANGLE RECTANGLE


Aix 1998

CablePoteau

Sol

40

Un cable de 20 m de long est tendu entre le sommet d’un poteauvertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40 avec le sol(voir schema).

1) Calculer la hauteur du poteau.

2) Representer la situation par une figure a l’echelle1

200(les

donnees de la situation doivent etre placees sur la figure).

Amiens 98

Pour tout l’exercice, l’unite de longueur est le centimetre.Construire un triangle ABC tel que AB = 4, 5 ; BC = 6 et AC = 7, 5.

1) Demontrer que ABC est un triangle rectangle.

2) Montrer, par un calcul, que l’arrondi au degre de la mesure de BAC est 53 .

3) Construire le cercle de centre A et qui passe par C ; il coupe la demi-droite [AB) en un point D.

Quelle est la nature du triangle ADC ? Justifier.

Creteil 1998

R N

E

A

T Dans un triangle ERN , on donne EN = 9 cm, RN = 10, 6 cm et ENR =60 . La hauteur issue de E coupe le cote [RN ] en A. La parallele a la droite(EN) passant par A coupe le cote [RE] en T .Le schema n’est pas a l’echelle.

1) a) Prouver que AN = 4, 5 cm.

b) Calculer EA (on arrondira au dixieme de centimetre).

2) a) Calculer AR.

b) Calculer TA (on arrondira au dixieme de centimetre).

c) Calculer l’angle ERA (on arrondira au degre).

Lille 1998

ABC est un triangle tel que AB = 4, 2 cm ; AC = 5, 6 cm et BC = 7 cm.

1) Demontrer que ABC est un triangle rectangle.

2) Calculer son aire.

3) On sait que si R est le rayon du cercle circonscrit a un triangle dont les cotes ont pour longueurs a, b, c donnees

en cm, l’aire de ce triangle est egale aabc

4R.

a) En utilisant cette formule, calculer le rayon du cercle circonscrit a ABC.

b) Pouvait-on prevoir ce resultat ? Justifier la reponse.


TRIANGLE RECTANGLE

Lille 1998

La zone eclairee par une lampe situee a 3, 50 m du sol est assimilable a un cone de revolution dont la section au solest un disque de centre H et de diametre BC.

Sol

B C

A

B

A

HC

1) On donne BAC = 80 .

Calculer HC a 0,01 pres. En deduire une valeur approchee du diametre de la zone eclairee au sol.

2) On considere le cone dont la base est le disque de diametre BC et de sommet A.

Calculer son volume a 1 m3 pres.

Limoges 1998

15 dm

5dm

12dm

9dm

C D

O

BA

Un fabricant d’enseignes lumineuses doit realiser la lettre z (en tubesde verre soudes) pour la fixer sur le haut d’une vitrine. Voici le schemadonnant la forme et certaines dimensions de l’enseigne ; de plus les droites(AD) et (BC) se coupent en O.

1) Sachant que les droites (AB) et (CD) sont paralleles, calculer les longueurs AB et OB (donner les resultats sousforme fractionnaire).

2) Demontrer que le tube [BC] est perpendiculaire a la droite (AD).

3) Calculer sin OCD. En deduire la valeur arrondie de l’angle OCD a un degre pres.

Nantes 1998

OBA

E

On considere un cercle de centre O et de rayon 2, 4 cm. Soit [AB] undiametre de ce cercle. Soit E un point de ce cercle tel que AE =3, 1 cm.On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie et sur

la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectees.

1) Quelle est la nature du triangle AEB ? Justifier.

2) Calculer la mesure, arrondie au degre pres de l’angle EAB.

3) Soit H le projete orthogonal du point E sur la droite (AB).Calculer la valeur arrondie au millimetre de EH .


TRIANGLE RECTANGLE


Asie 1999

A B

C

E F

ABC est un triangle rectangle en A. On a AB = 4, 8 cm, AC = 3, 6 cm,CE = 2, 4 cm, CF = 4 cm.

1) Calculer la longueur BC.

2) Demontrer que les droites (EF ) et (AB) sont paralleles.

3) Calculer la mesure de l’angle ABC, en donner l’arrondi au degrepres.

Clermont 1999

M N

L

H

Le triangle LMN est rectangle en M et [MH ] est sa hauteur issue de M . Ondonne ML = 2, 4 cm et LN = 6, 4 cm.

1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l’angle MLN . On donnera leresultat sous forme d’une fraction simplifiee.

2) Sans calculer la valeur de l’angle MLN , calculer la longueur LH . Leresultat sera ecrit sous forme d’un nombre decimal.

Grenoble 1999

L’unite est le centimetre.

1) Construire un triangle RST tel que RS = 4, 5, ST = 6, RT = 7, 5. On laissera les traits de construction.

2) Montrer que le triangle RST est rectangle.

3) a) Tracer le cercle (C) de centre R et de rayon 4, 5. Le cercle (C) coupe le segment [RT ] en K.

b) Tracer la droite (d) passant par le point K et parallele a la droite (RS). Cette droite (d) coupe le segment[TS] en un point L. Placer ce point sur la figure.

c) Calculer KL.

4) Calculer l’angle STR (on donnera l’arrondi au degre).

Polynesie 1999

(C) est un cercle de 2, 5 cm de rayon. Le segment [AB] est un diametre de ce cercle. D est un point de ce cercle telque AD = 3 cm.

1) Construire la figure.

2) Demontrer que le triangle ABD est rectangle.

3) Calculer la longueur DB.

Polynesie 1999

A

B

D F

C

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 4 cm et BAC = 60 . La figure n’estpas realisee en vraie grandeur.

1) Demontrer que AC = 8 cm.

2) F est le point de la demi-droite [AC) tel que AF = 11. D est le point de lademi-droite [AB) tel que AD = 5, 5.

Demontrer que les droites (BC) et (DF ) sont paralleles.


TRIANGLE RECTANGLE

Rennes 1999

Sol

Mur

3,05m

C B

A

1) Paul veut installer chez lui un panier de basket. Il doit le fixer a 3, 05 m du sol. L’echelle dont il se sert mesure3, 20 m de long.

A quelle distance du pied du mur doit-il placer l’echelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier ?(Donner une valeur approchee au cm pres.)

2) Calculer l’angle forme par l’echelle et le sol. (Donner une valeur approchee au degre pres.)


TRIANGLE RECTANGLE


Limoges 2000

1) Construire un cercle (C) de centre O, de rayon 3cm.

2) Placer sur (C) deux points E et F tels que le triangle OEF soit equilateral.

3) Tracer la tangente au cerle (C) passant par E ; elle coupe (OF ] en A.

4) Montrer que OEA est rectangle.

5) Calculer les mesures des angles du triangle AEF .

6) Demontrer que F est le milieu de [OA].

7) Donner les valeurs exactes de sin OAE et cos OAE.

Nancy-Metz 2000

1) Construire un cercle de centre O et de rayon 3cm.

Placer sur ce cercle trois points A, B, C de telle facon que BC = 4cm et BCA = 65 .

Construire le point F diametralement oppose au point B sur ce cercle.

2) Demontrer que le triangle BFC est un triangle rectangle.

3) Calculer le sinus de l’angle BFC et en deduire la mesure de cet angle arrondie a un degre pres.

4) Determiner, au degre pres, les mesures des angles du triangle BOC.

Nantes 2000

A B

CD

M

N

La figure ci-contre represente un champ rectangulaireABCD traverse par une route de largeur uniforme(partie hachuree).On donne :AB = 100m ; BC = 40m ; AM = 24m.Les droites (AC) et (MN) sont paralleles.Calculer :

1) la valeur arrondie au decimetre pres de la lon-gueur AC ;

2) la longueur MB ;

3) la longueur BN .

Nice 2000

La figure ci-dessous est donnee a titre d’exemple pour preciser la disposition des points. Ce n’est pas une figure en

vraie grandeur.

O

N

L

K

J

5, 4cm

3, 6cm

2cm

3cm

On donne :– les points K, O, L sont alignes ; O est entre K et L ;

OK = 2cm ; OL = 3, 6cm ;– les points J , O, N sont alignes ; O est entre J et N ;

OJ = 3cm ; ON = 5, 4cm ;– le triangle OKJ est rectangle en K.

1) Calculer l’angle OJK (on donnera l’arrondi au degre pres).

2) Demontrer que les droites (JK) et (LN) sont paralleles.

3) Deduire de la question 2., sans effectuer de calculs, que les

angles OJK et ONL sont egaux.


TRIANGLE RECTANGLE

Rennes 2000

A

BC H

Dans le triangle ABC (croquis ci-contre), on donne :[AH ] hauteur issue de A ;

AH = 5cm ; AB = 8cm ; ACH = 51 .On ne demande pas de refaire la figure.

1) a) Determiner la valeur arrondie au dixieme de degre, de

l’angle HBA.

b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

2) Calculer la valeur arrondie au millimetre pres de la longueurdu segment [HB].

3) Calculer la valeur arrondie au millimetre pres de la longueurdu segment [CH ].

4) Determiner une valeur approchee de l’aire du triangle ABC.

Amerique du nord 2000

A

B

H

Des amateurs de skateboard construisent un tremplin de 2mde haut pour pratiquer leur sport. Voici un croquis rapidede leur tremplin.On donne :AH = 5m ; BH = 2m.

1) Faire la figure a l’echelle1

100.

2) Calculer l’arrondi au centimetre de la longueur AB dela planche.

3) Calculer l’arrondi au degre de l’angle que fait laplanche avec le sol.

Centres etrangers I1 2000

A

B CH

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.On donne les longueurs suivantes :BH = 5, 8cm ; HC = 4, 5cm ; AC = 7, 5cm ; AH = 6cm.

1) En utilisant uniquement une regle graduee et un compas, construire une figure en vraie grandeur (laisser lestraits de construction apparents).

2) Demontrer que le triangle ACH est rectangle en H .

3) Calculer l’aire du triangle ABC.

4) Soit M le milieu de [AC] et D le symetrique de H par rapport a M .

Placer M et D sur la figure realisee au 1. .

Demontrer que le quadrilatere ADCH est un rectangle.


TRIANGLE RECTANGLE

Asie 2000

A B

C

D

E

On considere la figure ci-contre.On donne :AB = 6cm ; AC = 7, 5cm ; BC = 4, 5cm.Sur le schema, les dimensions ne sont pas respectees.

E est le point de [AB) tel que AE = 10cm.La parallele a (AC) passant par B coupe (CE) en D.

1) Demontrer que le triangle ABC est rectangle enB.

2) Calculer la valeur arrondie au degre de la mesure

de l’angle BCE.

3) Determiner la mesure du segment [BD].

Centres Etrangers I3 2000

L’unite de longueur est le centimetre.

On considere un triangle rectangle DEF tel que EF = 10, DF = 8 et DE = 6. Soit A le point du segment [DE] telque DA = 3, 6 et B le point du segment [DF ] tel que DB = 4, 8.

1) Construire la figure.

2) Prouver que les droites (AB) et (EF ) sont paralleles.

3) Calculer AB.

4) Calculer la mesure, arrondie au degre pres, de l’angle DAB.

Centres Etrangers I4 2000

A

B

CH

La figure ci-dessous, donnee a titre indicatif, n’est pas en

vraie grandeur.

ABC est un triangle rectangle en B.H est le pied de la hauteur issue de B.On donne :AB = 8cm ; BH = 4cm ; BCA = 60 .

1) Calculer, en centimetres, la mesure du segment [AH ], arrondie au mm.

2) Calculer, en centimetres, la mesure du segment [HC], approchee a 0, 1 pres par defaut.

3) Soit J le point du segment [AC] tel queAJ

AC=

1

4. La parallele a la droite (BC) passant par J coupe le segment

[AB] en K. Expliquer pourquoi AK = 2cm.

Amiens septembre 1999

Soit un segment [IJ ] de longueur 8cm.Sur le cercle (C) de diametre [IJ ], on considere un point K tel que IK = 3, 5cm.

1) Faire la figure.

2) Demontrer que le triangle IJK est rectangle.

3) Calculer JK (on donnera le resultat arrondi au mm).

4) Calculer a un degre pres la mesure de l’angle KJI.


TRIANGLE RECTANGLE

Besancon septembre 1999

A

BC D

E

Soit ABC un triangle tel que :

AB = 8cm ; BC = 10cm ; ABC = 60 .La hauteur issue du sommet A coupe le cote [BC] en D.On rappelle :

cos 60 =1

2; sin 60 =

√3

2; tan 60 =

√3.

1) Prouver que BD = 4cm.

2) En deduire la valeur exacte de la distance CD.

3) Montrer que AD = 4√

3cm.

4) Calculer la mesure, arrondie au degre, de l’angle ACD. (On pourra calculer d’abord la tangente de cet angle.)

5) Calculer la valeur exacte de la distance AC.

6) Soit E le point du segment [AB] tel que BE = 3, 2cm.

Montrer que les droites (ED) et (AC) sont paralleles.

Montrer que ED =4

5

√21.

Grenoble septembre 1999

La figure ci-apres schematise une partie de terrain de football. Le point G est le milieu du segment [AB], le point Pest appele point de penalty. le triangle APG est rectangle en G.Un joueur est situe au point J de la surface de reparation IJKL.Voici quelques donnees :– largeur de la cage : AB = 7, 32m ;– distance du point de penalty a la ligne de but : PG = 9m ;– dimensions de la surface de reparation : KJ = 16, 5m ; HK = 40, 32m.

1) Calculer la distance AP (on donnera une valeur arrondie au dixieme).

2) a) Le point G est aussi le milieu du segment [HK]. Montrer que BK = 16, 5m, puis calculer une mesure de

l’angle BJK.

b) Calculer AK, puis une mesure de l’angle AJK (on donnera une valeur arrondie au degre).

c) En deduire une mesure de l’angle de tir AJB du joueur.

16, 5m

7, 32m

40, 32m

I J

KH A G B

P


TRIANGLE RECTANGLE

Lille septembre 1999

On appelle (C) le cercle de centre O et de diametre [AB] tel que : AB = 8cm.

M est un point du cercle tel que : BAM = 40 .

1) Faire la figure en vraie grandeur sur la copie.

2) Quelle est la nature du triangle BAM ? Justifier.

3) Calculer la longueur BM arrondie a 0, 1cm pres.

Paris septembre 1999

L

M N

H

Il est inutile de refaire cette figure sur la copie.

Le triangle LMN est rectangle en M et [MH ] est sa hauteur issue de M .On donne ML = 2, 4cm et LN = 6, 4cm.

1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l’angle MLN . On donnera leresultat sous forme d’une fraction irreductible.

2) Sans calculer la valeur de l’angle MLN , calculer LH . Le resultat seraecrit sous forme d’un nombre decimal.


TRIANGLE RECTANGLE


Antilles 2001

A

B C

D

Sur la figure suivante (les unites ne sont pas respectees), on a : ABC est unangle droit ; AD = 10 cm ; CD = 8 cm ; AB = 3, 6 cm ; et BC = 4, 8 cm.

1) Realiser une figure en grandeur reelle.

2) Calcule la tangente de l’angle BAC. En deduire une valeur arrondie au

degre de BAC.

3) Calculer la longueur AC et montrer que le triangle ACD est rectangle.

4) Montrer que le triangle ABC est une reduction du triangle ACD donton precisera le coefficient de reduction.

Centres Etrangers I 2001

Construire un cercle de centre O et de diametre [AB] avec AB = 6 cm. Placer sur ce cercle un point C tel queBC = 3, 6 cm.

1) Quelle est la nature du triangle ACB ? Justifier.

Demontrer que la longueur AC est egale a 4, 8 cm.

2) Determiner par le calcule la mesure de l’angle CAB. En deduire la mesure de l’angle COB. (On arrondira lesdeux mesures a l’unite.)

3) Soit E le milieu du segment [OB]. Tracer la parallele a la droite (BC) passant par E ; elle coupe le segment [AC]en F . Calculer les longueurs exactes des segments [AF ] et [FE].

Groupement 1 2001

C B

A

M N ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et BC =7, 5 cm.

1) Calculer l’angle ACB au degre pres.

2) Le point M est sur la droite (AB), a l’exterieur du segment[AB] tel que AM = 2 cm.

La parallele a la droite (BC) passant par M coupe la droite(AC) en N .

Calculer la longueur MN .

Groupement I 2001

Les constructions des questions 1 et 2 sont a faire surla figure ci-contre.

1) Sur la figure, on a trace le segment [AB] tel que

AB = 7 cm. Placer un point C tel que BAC =

70 et ABC = 60 .

2) Construire le cercle circonscrit au triangle ABC,et appeler O son centre. On laissera les traits deconstruction.

3) Donner la mesure de l’angle AOC en justifiantla reponse.

A B


TRIANGLE RECTANGLE

Reunion 2001

E S

T

H

Le triangle ci-contre represente un triangle EST , isocele en E.[TH ] est la hauteur issue de T .Il n’est pas demande de reproduire la figure.

On sait que :– ES = ET = 12 cm (les dimensions ne sont pas respectees sur la figure) ;– l’aire du triangle EST est de 42 cm2.

1) Prouver que TH = 7 cm.

2) Calcule l’angle TES (on donnera sa valeur arrondie au degre pres).

3) En deduire une valeur approchee de l’angle EST .

Afrique II 2001

30

4

A

B CH

Dans le triangle ABC de hauteur [AH ] represente ci-contre, on donne :

AC = 4cm, BH = 1, 5cm et ACB = 30 .

1) Calculer la valeur exacte de AH .

2) En deduire la valeur arrondie a un degre pres de la mesure de

l’angle ABC.


K

L

M N

R

S

On considere la figure ci-contre .On donne :MN = 8cm ; ML = 4, 8cm et LN = 6, 4cm. On ne

demande pas de refaire la figure sur la copie.

1) Demontrer que le triangle LMN est rectangle.

2) Calculer la valeur arrondie au degre de la me-

sure de l’angle LNM .

3) Soit K le pied dela hauteur issue de L ; mon-trer que LK = 3, 84cm.

4) Soit S le point de [MN ] tel que NS = 2cm, laperpendiculaire a (LN) passant par S coupe[LN ] en R ; calculer RS.

Groupe est septembre 2000

OA B

C

Sur un cercle de centre O et de diametre [AB] tel que AB = 10cm,

on a place un point C tel que l’angle ABC mesure 50 . Sur le dessinci-contre, les dimensions ne sont pas respectees.

1) Montrer que le triangle ABC est rectangle.

2) Calculer les longueurs AC et BC. On donnera les valeurs ar-rondies au millimetre.


TRIANGLE RECTANGLE

Groupe nord septembre 2000

A

B

D

E

F

G

30

On considere la figure ci-contre (les dimensions ne sont pasrespectees).On sait que :

EF = 4cm ; FG = 3cm ; EG = 5cm ; AE = 7cm ; DAB =30 .Les points A, E et G sont alignes ; les points D, E et Fsont alignes ; (AB) est la hauteur issue de A dans le triangleAED.

1) Demontrer que EFG est un triangle rectangle.

2) En deduire que (FG) est parallele a (AB).

3) Calculer BE et AB.

4) Calculer DB. On donnera la valeur exacte ens’aidant du tableau ci-dessous.

5) Calculer l’aire du triangle AED a 0, 01cm2 pres.

cos sin tan

30

√3

2

1

2

√3

3

601

2

√3

2

√3

Vanuatu septembre 2000

A

B

C

D

E

F

H O

Voici le dessin d’un cerf-volant ABCD, dont les diago-nales [AC] et [BD] sont perpendiculaires et se coupent

en O. On sait que l’angle ABO mesure 65 et que lesegment [AO] mesure 42cm.La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur et elle

n’est pas a reproduire.

1) Calculer la longueur du segment [OB]. Arrondirle resultat au millimetre pour l’utiliser dans laquestion suivante.

2) Pour renforcer ce cerf-volant, on souhaite placerune baguette [EF ] entre A et O, comme indiquesur la figure. Sachant que EH = 15cm, calculerAH .

Arrondir le resultat au millimetre.

Polynesie septembre 2000

30o

A

BCD

Un bateau est amarre par sa proue∗

A a une bouee B, situee au niveaude la mer.Les mesures des longueurs sont ex-

primees en metres.

Le dessin ci-dessous n’est pas a

l’echelle.

(∗) La proue designe l’avant du ba-

teau.

1) a) Le triangle ABC est rectangle en C, l’angle ABC mesure 30 .

On a AB = 6 ; montrer que AC = 3.

b) Construire le triangle ABC, a l’echelle 1/100.

c) Calculer la longueur BC ; on donnera le resultat arrondi au decimetre.

2) On veut calculer DB.

a) Sachant que AD = 4, calculer DC, dont on donnera une valeur arrondie au decimetre.

b) En deduire DB, arrondi au metre.


TRIANGLE RECTANGLE


Est (Grenoble) 2002

A

B

C

F

GE

On considere la figure ci-contre ou les longueurs sont donneesen cm :– Les droites (CF ) et (BG) se coupent en E ;– Les points A, G et F sont alignes ;– Les droites (BC) et (AF ) sont paralleles ;– EC = 7 ; EG = 8 ; EB = 6 ;

– EBC = 90 ; ABG = 20 .Pour chacune des questions suivantes, donner la valeur exactepuis arrondie a 0, 1 pres.

1) Calculer la longueur BC.

2) Calculer la longueur EF .

3) Calculer la longueur AG.

Nord 2002

A B

C

DE La figure ci-contre est donnee a titre indicatif pour preciser laposition des points A, B,C, D et E.Les longueurs representees ne sont pas exactes.On donne :CE = 5 ; CD = 12 ; CA = 18 ;CB = 7, 5 ; AB = 19, 5.

1) Montrer que les droites (ED) et (AB) sont paralleles.

2) Montrer que ED = 13.

3) Montrer que le triangle CED est un triangle rectangle.

4) Calculer tan DEC puis en deduire la valeur arrondie au

degre de la mesure de l’angle DEC.

Afrique 1 2002

Un triangle ABD rectangle en B est tel que AB = 9cm et l’angle BAD = 40 .

1) Tracer ce triangle.

2) Calculer la longueur BD en justifiant la demarche utilisee ; on en donnera une valeur arrondie au millimetre.

3) Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD (aucune justification n’est attendue pour cette construction) ;on precisera la position du centre I de ce cercle.

4) Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure.

5) Determiner la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la demarche utilisee.

Afrique II 2002

29◦A

O

y

T x

(C)

On considere le cercle (C) de centre O, point de lademi-droite [Ay). La demi-droite [Ax) est tangente a(C) en T . On donne AT = 9cm.

1) Calculer une valeur approchee au millimetre presdu rayon du cercle (C).

2) A quelle distance de A faut-il placer un point B

sur [AT ] pour que l’angle OBT mesure 30 .

(Donner une valeur approchee arrondie au mil-limetre.)


TRIANGLE RECTANGLE


NA R

B

T

Sur le dessin ci-contre, les dimensions ne sont pas res-pectees.On considere un triangle RNT rectangle en R tel que :NR = 9cm ; AR = 6cm ;NT = 10, 2cm ; BT = 1, 6cm.

1) Calculer la valeur de RT .

2) En considerant que RT = 4, 8cm , demontrer queles droites (AB) et (NT ) sont paralleles.

3) Calculer la mesure exacte de l’angle RNT ; en don-ner la valeur arrondie au degre pres.

Centres etrangers (Grenoble) 2002


1) a) Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 et AC = 9.

Sur le segment [AC], placer le point I tel que CI = 5.

b) Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis sa valeur arrondie au millimetre pres.

2) La droite qui passe par I et qui est parallele a la droite (AB) coupe la droite (BC) en E.

En precisant la methode utilisee, calculer la valeur exacte de la longueur EI.

3) Calculer la valeur exacte de la tangente de l’angle ACB, puis en deduire la valeur arrondie au degre pres de la

mesure de l’angle ACB.

Inde 2002

1) Tracer un demi-cercle (C) de centre O, de diametre [AB] tel que AB = 6cm.

Placer M sur (C) tel que BM = 3, 6cm.

2) Justifier la nature du triangle AMB puis calculer AM .

3) Calculer sin MBA puis en deduire la mesure de MBA arrondie au degre.

4) P est le point de [AB] tel que PA = 4, 5cm.

La parallele a (MB) passant par P coupe [AM ] en R.

Calculer AR et RP .

5) K est le point de [BM ] tel que BK = 0, 9cm.

Montrer que les droites (PK) et (AM) sont paralleles.

Ouest septembre 2001

A B C

D


On donne :BD = 7 ; AD = 12 ;

BCD = 50 .

1) Calculer la mesure de l’angle ADB (on don-nera le resultat arrondie au degre).

2) Calculer la longueur CD (on donnera leresultat arrondie au dixieme).


TRIANGLE RECTANGLE

Polynesie septembre 2001

A B

C

E

D

Dans cet exercice, l’unite de longueur est le cen-timetre.ABC est un triangle rectangle en C.D est un point du segment [AB].E est un point du segment [AC].On donne :AC = 6 ; BC = 4, 5 ; AD = 4 ;(DE) // (BC).

1) Reproduire la figure en grandeur reelle sur votre copie.

2) Prouver que AB = 7, 5.

3) Calculer AE.

4) a) Calculer le cosinus de l’angle A.

b) En deduire la mesure, arrondie au degre, de l’angle A.


TRIANGLE RECTANGLE


Nord 2003


RST est un triangle tel que RS = 6, 4 ; ST = 8 et RT = 4, 8.

1) Construire la figure en vraie grandeur.

2) Demontrer que le triangle RST est rectangle en R.

3) Calculer la valeur arrondie au degre pres de la mesure de l’angle RST .

4) M est le point du segment [SR] tel que SM = 4 et N est le point du segment [ST ] tel que SN = 5.

a) Demontrer que les droites (MN) et (RT ) sont paralleles.

b) Calculer la distance MN .


On considere la figure ci-dessous (dimensions non respectees sur le dessin) :A

B CI

AI = 8cmBC = 12cmAIB = 90I milieu de [BC].

1) Refaire la figure en vraie grandeur.

2) a) Calculer AB.

b) Calculer sin ABI .

3) O est le point de [BC] tel que BO = 5cm.

(C) est le cercle de centre O passant par B.

Il recoupe [AB] en E et [BC] en F .

a) Completer la figure du 1. en tracant le cercle (C) et en placant les points O, E et F .

b) Quelle est la nature du triangle BEF ? Justifier.

Etrangers Bordeaux 2003

1) Construire un triangle ABC rectangle en B et tel que AB = 5cm et BAC = 60 .

2) Calculer AC.

3) a) Tracer la mediatrice de [AC] : elle coupe [AC] en I et [BC] en J .

b) Calculer l’angle IJB.


TRIANGLE RECTANGLE

Etrangers Lyon 2003

Dans un parc d’activites, une epreuve consiste a parcourir une certaine distance entre deux arbres, avec une tyrolienne(sorte de poulie qui permet de glisser le long d’un cable).La situation est schematisee dans un plan vertical par le triangle ABC ci-apres, ou A et B designent les points defixation du cable sur les arbres, le segment [AB] representant le cable.On sait que le cable mesure 75m de long, qu’il fait un angle de 5 avec l’horizontale representee par le segment [BC]sur le schema.

A

BC

75m

5◦

1) Calculer la valeur arrondie au centimetre de ladistance BC entre les deux arbres.

2) En utilisant une relation trigonometrique,calculer la troncature au centimetre de ladifference de hauteur entre les deux plate-formes, representee par [AC] sur le schema.

Guyane 2003

A

B

C

D

E

F

Dans cet exercice, les questions sont toutes independantes les unes des autres.

On considere la figure ci-contre.

On donne BAC = 50◦, AD = 5cm, AC = 7cm.Les droites (EF ) et (DC) sont paralleles et AE = 2, 5cm.

1) Reproduire la figure precedente e vraie grandeur.

2) Calculer la longueuer AB, arrondie au mm.

3) Calculer la longueur DC, arrondie au mm.

4) Calculer tan ADC. En deduire la mesure de l’angle ADC, arrondie audegre.

5) Calculer la longueur AF , arrondie au mm.

Nord septembre 2002

1) Construire un triangle ABC tel que AB = 4, 2cm, AC = 5, 6cm et BC = 7cm.

2) Montrer que BAC est un angle droit.

3) A l’aide de sa tangente, calculer au degre pres la mesure de BAC.

4) Placer sur le segment [AC] le point M tel que BM = 5, 5cm. Calculer au mm pres la longueuer du segment[AM ].

Ouest septembre 2002

A I

MN

O S


Le dessin ci-contre represente la coupe d’une maison.Le triangle MAI est isocele, de sommet principal M .La droite perpendiculaire a la droite (AI) passant par M coupe(AI) en S.On sait que : MS = 2, 5 et AI = 11.

1) a) Calculer AS. Justifier.

b) Calculer la valeur arrondie a 0, 1 degre pres de la mesure de l’angle AMS.

2) Dans le toıt, il y a une fuite en N qui fait une tache en O, sur le plafond. La droite (NO) est perpendiculaire ala droite (AI). AO = 4, 5.

Pour effectuer les calculs, on prendra : OAN = 24 .

Calculer AN . On donnera la valeur arrondie a 0, 1 pres.


TRIANGLE RECTANGLE

Martinique septembre 2002

E

O

R

UI

Le quadrilatere EURO est un losange de centre I.

L’angle IEU vaut 25 et la diagonale [ER] mesure 10cm.

1) Prouver que le triangle EIU est rectangle en I.

2) Calculer la valeur arrondie au centieme de cm de la longueur IU .

Nouvelle-Caledonie decembre 2002

1) Tracer le triangle REC tel que :

RE = 7, 5cm ; RC = 10cm et EC = 12, 5cm.

2) Montrer que le triangle REC est rectangle en R.

3) Calculer, valeurs arrondies au degre pres, les angles de ce triangle.


TRIANGLE RECTANGLE


Aix 2004

C E

D

B

ADans le triangle CDE : A est un point du segment [CE] ; B est un point du segment [CD]. Sur le schema ci-dessus,les longueurs representees ne sont pas exactes. On donne AC = 8 cm ; CE = 20 cm ; BC = 6 cm ; CD = 15 cm etDE = 25 cm.

1) Montrer que les droites (AB) et (DE) sont paralleles.

2) Le triangle CDE est-il rectangle ? Justifier.

3) Calculer AB.

4) Calculer la valeur arrondie au degre de l’angle CDE.

Bordeaux 2004

1) Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.

2) Prouver que le triangle EFG est rectangle en E.

3) Calculer la mesure de l’angle EFG. Le resultat sera arrondi au degre pres.

4) Placer le point B sur le segment [ET ] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallele au cote[FG]. Elle coupe le cote [EG] en M .

5) Calculer la valeur exacte de BM , puis en donner l’arrondi au mm pres.

Antilles 2004

ABC est un triangle tel que AB = 12 cm ; AC = 5 cm et BC = 13 cm.

1) Construire la figure en vraie grandeur.

2) Demontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3) Calculer la tangente de l’angle ACB et determiner la valeur de cet angle au degre pres.

4) M est le point de [AC] tel que AM = 3 cm et N le point de [AB] tel que AN = 7, 2 cm.

a) Demontrer que les droites (MN) et (BC) sont paralleles.

b) Calculer la distance MN .

Groupe Nord 2004

1) Tracer sur la copie un segment [EF ] de longueur 7 cm et de milieu O.

Tracer le cercle de diametre [EF ] puis placer un point G sur le cercle tel que FEG = 26 .

2) Demontrer que le triangle EFG est rectangle en G.

3) Calculer une valeur approchee de la longueur FG, arrondie au millimetre.

4) Determiner la mesure de l’angle GOF (justifier votre reponse).


TRIANGLE RECTANGLE

Versailles 2004

Les segments [CA] et [UI] se coupent en M .On a : MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36, AI = 45 (l’unite delongueur etant le millimetre).

1) Prouver que les droites (OU) et (AI) sont paralleles.

2) Calculer la longueur OU .

3) Prouver que le triangle AMI est un triangle rectangle.

4) Determiner, a un degre pres, la mesure de l’angle AIM .

5) Montrer que les angles MAI et MOU ont la meme mesure.

M

A

OU

I

2004


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triangle - Les Maths Libres · · 2006-10-25B C e garage On acc`ede au ... ABCD est un rectangle tel que AB = 8cm et BC = 5cm. Ses diagonales se coupent en K. 1) ... ABCD d´esigne