TRIANGULATIONSShir Goldstein

1

הקדמה

בפרק זה נתמקד ב'פנים' של אוסף נקודות •וחלוקה שלו למשולשים - טריאנגולציה.

, פה מדובר על 1בניגוד למה שראינו בפרק •טריאנגולציה על נקודות חסרות מבנה, ולכן יש

.שוני גדול בין הטריאנגולציות

2

הגדרה - טריאנגולציה )שילוש(: היא תת Sטריאנגולציה של קבוצת נקודות במישור

חלוקה של המישור הנקבעת ע"י אוסף מקסימלי* של קשתות שלא חוצות זו את זו, אשר אוסף קודקודיהן הוא

S .? הוספה של קשת שאינה מקסימלי* מה זה

בטריאנגולציה תגרום לחיתוך עם קשת אחת בטריאנגולציה.

הגדרה - קשת: קשת היא קטע המחבר בדיוק שתי נקודות מתוך קבוצת

, כאשר הנקודות הללו נמצאות בקצה הקשת. Sנקודות

3

( של קבוצת convex hullהראה שכל קשתות הקמור ). S מוכלות בכל טריאנגולציה של Sנקודות

פתרון: קשת על שפת הקמור. אזי אף קשת לא אחרת לא Eתהי

חותכת אותה)אחרת היא לא הייתה קשת של הקמור(.אזי הוספתה בהכרח לא חותכת את הקשתות האחרות.

תרגיל לחימום:

4

תיאור האלגוריתם: )כמו שלמדנו(S. נמצא את הקמור של 1. נמצא טריאנגולציה של הקמור כמצולע, בלי 2

התחשבות בנקודות הפנים )כמו שלמדנו(

אינה Sכי אף אחת מהנקודות הפנימיות של נשים לב * נמצאת על הקטעים שהעברנו, ולכן כל נקודה כזו

נמצאת בתוך משולש כלשהו שנוצר בתהליך הטריאנגולציה של המצולע.

אלגוריתם למציאת טריאנגולציה

Triangle - Splitting, במיקום 'כללי' במישור, כך Sקבוצת נקודות הקלט:

נקודות שהן קו-לינאריות, כלומר על ישר אחד 3שאין )הנחה לצורך פשטות, ניתן 'לתקן' האלגוריתם כך

שיתאים גם למקרה הכללי(.

5

תיאור האלגוריתם - המשך:. נבחר נקודה פנימית כלשהי ונוסיף שלוש קשתות ממנה 3

אל שלושת הקודקודים של המשולש המכיל אותה. .S. נחזור על התהליך עד מיצוי כל הנקודות ב-4

Sנמצא את הקמור של . 1נמצא טריאנגולציה של הקמור כמצולע, בלי התחשבות בנקודות הפנים.2

6

נשים לב כי לאלגוריתם פלטים שונים הנובעים מהטריאנגולציה הראשונית של הקמור וכמו כן מסדר בחירת

הנקודות הפנימיות:

טריאנגולציות

התחלתיות }שונות

טריאנגולציות

התחלתיות זהות, אך

פלט אלגוריתם

שונה בעקבות

שינוי סדר בחירת

הנקודות

{7

כמו כן, נשים לב כי בפלטים שראינו מספר המשולשים זהה (10 .)

נשאלות השאלות:

יהיה Triangle-Splittingפלט של האלגוריתם . האם לכל 1מספר זהה של משולשים?

יהיה מספר זהה אלגוריתם כלשהו . האם לכל פלט של 2האם לכל טריאנגולציה של קבוצת של משולשים? כלומר -

?נקודות כלשהי יהיה מספר זהה של משולשים

תחשבו על ...זה

נגיע לזה ) (בהמשך

נובע מיד ממהלך האלגוריתם(נראה מיד)

8

למה: k נקודות על שפת הקמור ו h קבוצת נקודות, עם Sתהי

קו-לינאריות )על Sב'פנים' הקמור )(. אם לא כל הנקודות ב-שמהווה פלט של ישר אחד(, אז כל טריאנגולציה

מכילה בדיוק משולשים. Triangle-Splittingהאלגוריתם

נוכיח טענה חזקה יותר:

הוכחה: יש Sבפרק הראשון ראינו כי לטריאנגולציה של הקמור של

משולשים. עם שלושת p האלגוריתם מחבר את p,לכל נקודה פנימית

. pהקודקודים של המשולש שמכיל את עבור כל נקודה פנימית. 2מכאן, שמספר המשולשים גדל ב-

משולשים בתהליך.2k נקודות פנימיות, ולכן נוסיף kיש

. Sסה"כ נקבל משולשים בטריאנגולציה של

9

תיאור האלגוריתם: עולה.x. נמיין את הנקודות לפי סדר קוארדינטת 1. משלושת הנקודות הראשונות נבנה משולש. 2, נחבר את p. כעת, עבור כל נקודה )לפי סדר המיון( 3p לכל

. p על ידי נראות הנקודות הקודמות ש

אלגוריתם למציאת טריאנגולציה

Incremental Algorithmרעיון האלגוריתם:

בדומה למה שראינו באלגוריתם האינקרמנטלי של בניית קמור.

אבחנה חשובה: מחוברת לקמור, ובסוף השלב גם כן pבכל שלב, הנקודה

מתקבל קמור!10

דוגמת הרצה:

11

האלגוריתם האינקרמנטלי יכול לייצר את כל הטריאנגולציות .Sהאפשריות של קבוצת נקודות

תרגיל:הוכח /הפרך:

הטענה אינה נכונה.

פלט האלגוריתם האינקרמנטלי טריאנגולציה אחרת

12

נרצה להוכיח השאלה ששאלנו קודם -כמה משולשים יהיו , Sעבור קבוצת נקודות

בטריאנגולציה כלשהי של הנקודות?

Triangle-Splittingהראינו כי התשובה עבור האלגוריתם , Sהיא . נראה כי זו התשובה עבור כל טריאנגולציה על

הטענה של אוילר:בעזרת

טענה )נוסחת אוילר(: קשתות E קודקודים, V גרף מישורי קשיר בעל Gיהי

פאות. אזי מתקיים Fו-

cכאשר קיימת לטענה גרסה כללית יותר לפיה הערה: , כאשר הוא אינו קשירGמציין את רכיבי הקשירות של

13

הוכחה - נוסחת אוילר

באינדוקציה על מספר הקשתות הוא גרף בעל צומת אחד מבודד על G אז E=0אם •

V-E+F = 1-0+1 = 2המישור, ומתקיים

אותה נכווץ מחברת שני צמתים, E. אם Eנביט בקשת •ועל ידי כך נקטין את מספר הקשתות ומספר הצמתים

נוגעת בצומת בודד )מעיין לולאה( ועל E. אחרת, 1ב-ידי הסרתו נקטין את מספר הקשתות ואת מספר

.1הפאות ב-בסוף תהליך המחיקה מספר הקשתות שנמחקו שווה למספר הפאות שנמחקו + מספר הצמתים שנמחקו.

נחזור לבסיס האינדוקציה ונקבל את הדרוש. נשים לב שבשביל להוכיח נוסחא זו, הערה חשובה:

משפט ז'ורדןהשתמשנו ב

14

15

16

h נקודות, כך ש-n קבוצת נקודות בעלת Sתהי טענה: מהן נקודות פנימיות ו- . אם לא kמהן על שפת הקמור ו-

לכל טריאנגולציה של קו-לינאריות אזי Sכל הנקודות ב-S.יש בדיוק משולשים ו- קשתות

נוסחת אוילר תניב לנו את התוצאה המבוקשת - כעת נוכל להוכיח שיש מספר משולשים זהה בכל טריאנגולציה

, ויתרה מזאת, לומר בדיוק כמה Sעל קבוצת נקודות משולשים יהיו בטריאנגולציה:

הוכחה: משולשים. t, עם S טריאנגולציה של Tתהי

משולשים וחוץ t פאות - t+1 מחלקת את המישור ל-Tאז h צלעות וחוץ הקמור הוא בעל 3כל משולש הוא בעל הקמור. קשתות. אך אלה נספרות פעמיים כלומר, נקבל צלעות.

פאות. כלומר מספר 2מכיוון שכל קשת נוגעת בדיוק ב-הקשתות יהיה

𝐸=(3 𝑡+h) /23 𝑡+h

17

הוכחה - המשך:נפעיל את נוסחת אוילר עם ונקבל:

n – (3t+h) + (t+1) = 2½t = 2n - h - 2 = 2k + h - 2E = 3k + 2h - 3

18

שאלה מתבקשת: בפרק הראשון של הספר ראינו כי מספר הטריאנגולציות

של מצולע קמור הוא מספר קטלן.

?Sכמה טריאנגולציות )שונות( יש לקבוצת נקודות

הסוגיה במקרה זה מסובכת יותר, שכן מספר אבחנה: הטריאנגולציות תלוי במיקום הנקודות במישור.

מסתבר שאפילו לתת חסם טוב זה קשה!

ובכל זאת...

אדם שפר ופרופ' מיכה שריר מצאו את החסם הטוב ביותר שידוע עד כה:

נקודות. אזי n אוסף מישורי של S)לא נוכיח(: יהי טענה לכל היותר טריאנגולציות שונות. יש Sל-

19

תרגיל )לסיכום הפרק(: קבוצת נקודות כפי המתואר בציור.Sתהי

הקבוצה מורכבת משתי 'שרשראות', כאשר כל זוג נקודות משרשראות שונות רואות האחת את השניה.

הראה כי הקשתות המסומנות בציור ישתתפו בכל , כמה S נקודות ב-n. אם יש Sטריאנגולציה של

?Sטריאנגולציות יש ל-

20

פתרון:

הצורה מורכבת משני מצולעים קמורים וחלק אמצעי.

למדנו שלמצולעים קמורים יש מספר קטלן של טריאנגולציות.

, שחסום ע"י ,n/2אז עבור כל מצולע קמור יש מספר קטלן

סה"כ נקבל עבור החלקים הקמורים

נביט בחלק האמצעי. נשים לב כי יש קשתות בכל שרשרת וכי כל משולש בטריאנגולציה חייב להשען או על קשת

מהשרשרת העליונה או על קשת מהשרשרת התחתונה לכן השאלה שקולה לבחירת ה'מקומות' בהם המשולשים

המשולשים n-2ישענו על הקשת העליונה )למשל(, מתוך )לפי קירוב סטרלינג( וסה"כ טריאנגולציותשעלינו לבנות.

21

The Flip Graph

22

The Flip Graphהגדרות בסיסיות -

הינה מחיקה של אלכסון במרובע Edge Filpהגדרה: קמור והוספה של האלכסון השני.

במרובע Edge Flip לא ניתן לבצע אבחנה ראשונה: שאינו קמור

23

The Flip Graphהגדרות בסיסיות -

הינה ("היפוך" )מעתה: Edge Flipאבחנה שניה: פעולה הפיכה - לאחר ביצוע היפוך על המרובע נגיע

חזרה למצב ההתחלתי של המרובע.

24

The Flip Graphהגדרות בסיסיות -

הוא גרף Flip Graphה-, Sעבור קבוצת נקודות הגדרה: . בגרף Sאשר קודקודיו הם אוסף הטריאנגולציות של

אמ"מ הטריאנגולציות T2 ל-T1קיימת קשת בין קודקוד שמייצגים הקודקודים הללו הן טריאנגולציות "אחיות".

טריאנגולציות על קבוצת T2 ו-T1יהיו הגדרת עזר: טריאנגולציות "אחיות" אם ניתן T2 וT1. אזי Sנקודות

)בודד(. edge flip על ידי ביצוע T2 מ- T1להגיע ל

25

26

למה זה טוב?

בעזרת הגרף נוכל לענות על שאלות רבות על טריאנגולציות - נתרגם שאלות על טריאנגולציות לשאלות על הגרף

החשובה מביניהן:

T1האם ניתן להגיע מטריאנגולציה כלשהי על ידי היפוכים? T2לטריאנגולציה אחרת

שזה שקול לשאלה: קשיר?Flip Graphהאם ה-

Charles Lawson-שכן!1971 הוכיח ב

27

הוא במישור S של קבוצת נקודות Flip Graphה-טענה: קשיר

( של נקודה הוא איחוד כל Starהכוכב )הגדרת עזר: .v שקודקוד אחד שלהם הוא Sהמשולשים בטריאנגולציה של

תהליך ההוכחה:

שהתקבלה על ידי Sנבנה את , שהיא הטריאנגולציה של הפעלת האלגוריתם האינקרמנטלי.

, אפשר להפוך ל על ידי S של Tנראה שכל טריאנגולציה היפוכים.

𝑣

28

הוא במישור S של אוסף נקודות Flip Graphטענה: ה-קשיר

הוכחה:

עולה. x על פי סדר קוארדינטת Sנמיין את הנקודות ב-

שהתקבלה על ידי הפעלת Sתהי הטריאנגולציה של האלגוריתם האינקרמנטלי.

נסמן את הנקודות הסדורות

. s, nכעת, באינדוקציה על מספר הנקודות ב-

יש טריאנגולציה בודדת s אז ל-n=3אם בסיס האינדוקציה: שלה הוא בעל צומת בודד, וסיימנו. Flip Graphוה-

נניח שלכל קבוצת נקודות בעלת הנחת האינדוקציה: יכולה להתרגם s נקודות, כל טריאנגולציה של nפחות מ-

)ע"י היפוכים( לטריאנגולציה שמתקבלת מהפעלת האלגוריתם האינקרמנטלי.

29

הוא במישור Sגרף ההיפוכים של קבוצת נקודות טענה: קשיר. S טריאנגולציה כלשהי של Tתהי

נראה כי הכוכב של ב- יכול להיתרגם )ע"י היפוכים( לכוכב של ב- ועל ידי כך נוכיח את הטענה -למה?

כי נשאר עם טריאנגולציה של ונפעיל את הנחת מכיוון שהאלגוריתם האינקרמנטלי מייצר מצולע קמור בכל האינדוקציה.

שלב )הראינו קודם(, לכוכב של ב- יש בדיוק שלושה קודקודים קמורים – ושני הקודקודים הסמוכים לו - וכל היתר

יוצרים שרשרת קעורה

30

הוא במישור Sגרף ההיפוכים של קבוצת נקודות טענה: קשיר

נחזור להביט על הכוכב של ב- .

. b או a, שאינו kנבחר קודקוד קמור כלשהו,

הוא חלק ממרובע קמור, בעל אלכסון ולכן נוכל kאחרת, לבצע היפוך במרובע זה.

וגם את Pnבכך הורדנו את מספר הקודקודים הנראים ע"י דרגתו, מה שמבטיח שהתהליך יגמר בסופו של דבר.

אם אין כזה, אז הכוכב של ב- שווה לכוכב של ב- )למה?(

31

קשיר, משמע מכל flip graphאז עכשיו אנחנו יודעים שה- אפשר להגיע לכל Sטריאנגולציה של קבוצת נקודות

טריאנגולציה אחרת על ידי היפוכים.

מה עוד אפשר להגיד על הגרף? איזה עוד תכונות שלו יעזרו לנו להבין טוב יותר את עולם הטריאנגולציות?

רעיון ההוכחה: נראה שכל טריאנגולציה יכולה להיתרגם ל- נקבל את הדרוש. 2על ידי היפוכים. על ידי הכפלה ב-

במישור )(, הוא S של קבוצת נקודות Flip Graphה- טענה: לכל היותר בעל קוטר של

של גרף הוא המרחק הארוך ביותר בין שני קוטרהגדרה: צמתים בגרף, כאשר מרחק מוגדר להיות המסלול הקצר

ביותר בין שני צמתים.

32

הוכחה:

הנקודות האחרות דרושים n-1לפי הנחת האינדוקציה, ל-היפוכים לכל היותר.

. Sבאינדוקציה על מספר הנקודות ב-

הראינו קודם כי על מנת להגיע מהכוכב של בטריאנגולציה היפוכים )לכל היותר( n-3 לכוכב של ב- נדרשים Tכלשהי

נקבל =

לטריאנגולציה T1קיבלנו שכדי להגיע מטריאנגולציה כלשהי ל- T1, נצטרך לכל היותר היפוכים בשביל להגיע מT2אחרת

T1. סה"כ צעדים מ-T2ו- היפוכים בשביל להגיע מ- ל-:T2ל-

(𝑛−22 )∗2=(𝑛−2)(𝑛−3)33

האם אפשר יותר טוב?

)לא נוכיח(: טענה. אז מספר S טריאנגולציות על קבוצת נקודות T2 ו-T1יהיו

)או להפך ( T2 ל-T1ההיפוכים הנדרש בשביל לתרגם את הוא לכל היותר מספר נקודות החיתוך הנוצרות מחציית

קשתות זו את זו בגרף הנוצר מחפיפת שני הגרפים )הנחת שני הגרפים זה על גבי זה כך שהקודקודים יושבים אלה על

גבי אלה(

34

דוגמא:

ואכן -

35

3טריאנגולציה ב-מימדים

טריאנגולציה בשלושה מימדים היא למעשה חלוקה של במרחב על ידי ארבעונים.Sקבוצת נקודות

בפרק הראשון ראינו שלא ניתן לבצע טריאנגולציה לכל מה לגבי קבוצת נקודות?פאון.

מסתבר שכן! נוכל לראות זאת על ידי הכללה של האלגוריתם האינקרמנטלי לתלת-מימד:

, אם יש נקודות שוות x. נמיין את הנקודות לפי קוארדינטת 1. z, וכך גם עם Y - אז לפי קוארדינטת xקוארדינטת

ונחבר אותה לקודקודי הקמור p. בכל שלב נוסיף נקודה 2 שהושג בשלב הקודםpהנראים על ידי

36

מה לגבי מספר הארבעונים בחלוקה-לארבעונים?

בניגוד לדו-מימד, בתלת-מימד מספר הארבעונים אינו זהה . Sבכל טריאנגולציה של קבוצת נקודות

h קבוצת נקודות ב- במיקום כללי, כך שיש Sתהי טענה: נקודות פנימיות. אזי קיימת kנקודות על שפת הקמור ו-

בעלת ארבעונים. Sחלוקה לארבעונים של

הוכחה:

להיות מספר הקשתות e. נגדיר את Sנביט בקמור של מספר המשולשים בקמור. בגלל הנחת tבקמור ואת

המיקום הכללי, כל פאות הקמור הינם משולשים.

לפי נוסחת אוילר נקבל , ואז ו-

נרצה בכל זאת איזשהו מידע על כמות הארבעונים בחלוקה לארבעונים.

מאחר שכל קשת גובלת בשני משולשים, מתקבל .

37

r מהווה קודקודם של v על הקמור, כאשר vנביט בקודקוד משולשים על הקמור.

אינו v ארבעונים, אחד לכל משולש ש-r(-2h-4)כך יצרנו קודקוד שלו.

ארבעונים. 3מכאן, שעבור כל נקודה פנימית הוספנו נקודות פנימיות נקבל kעבור

(2h−4−𝑟 )+3𝑘=3𝑘+2h−4−𝑟 ≤3𝑘+2h−7

על ידי הוספה של Sכעת נבנה חלוקה לארבעונים של . S לכל קודקוד אחר על הקמור של vקשתות מ-

נקודה פנימית, Pבדומה להוכחה בדו מימד, ניקח כעת קשתות ממנה אל קודקודי הארבעון שמכיל אותה. 4ונמתח

ארבעונים.4ע"י כך חילקנו את הארבעון ל-

𝑟 ≥3

38

בטריאנגולציה של נקודות במרחב?Flip Graphאיך יראה ה-

בדומה לדו ממד, נבנה גרף שכל אחד מקודקודיו מייצג טריאנגולציה אחת.

, T2 ל-T1ההבדל המהותי הוא שבגרף זה תהיה קשת בין של היפוך פאה על ידי T1אם ניתן להגיע לטריאנגולציה של

T2 מה זה היפוך פאה?

39

גם למימדים Flip Graphניתן להכליל את ההגדרה של גבוהים יותר

האם הגרפים הללו קשירים?

ראינו שבדו-ממד התשובה היא כן.

מממד חמישי ומעלה, Flip Graphsכמו כן, ידוע כי עבור (Francisco Santos,2000הגרף אינו קשיר )

- זו עדיין שאלה פתוחה.4 ו-3לגבי מימדים

Flipהאם יתכן צומת מבודד ב-יתרה מזאת, גם השאלה Graph כלומר טריאנגולציה שלא ניתן להגיע אליך מאף(

טריאנגולציה אחרת על ידי היפוך, טריאנגולציה שלא ניתן עדיין פתוחהלבצע בה אף היפוך( -

40

ASSOCIAHEDRON

41

של טריאנגולציות של קבוצת Flip Graphבפרק זה נביט על קמורה. Sנקודות במישור

כפי שראינו בהרצאות קודמות, מספר הטריאנגולציות Flip Graphבמקרה כזה היא מספר קטלן, מכאן של-המתאים יש מספר קטלן של קודקודים.

42

43

( של מצולע הוא פירוקו Diagonalization)ליכסון הגדרה: למצולעים קטנים יותר ע"י אלכסונים שאינם חוצים זה את

זה )טריאנגולציה זה מקרה פרטי של ליכסון(

שראינו למחומש את Flip Graphנוסיף לקשתות של ה-הליכסונים המתאימים, כך שעל על קשת יסומן הליכסון

המשותף לשתי הטריאנגולציות

נוסיף את הליכסון ה'ריק'

למרכז הגרף

44

שלו במישור:Flip Graphנביט כעת על משושה וה-

ובמרחב:

45

, תכונותיו:Associahedraזהו ה-

פאות9-

- שלוש מהן הינן פאות מרובעות, המתאימות לשלוש הדרכים שיש

להעביר אלכסון בודד במשושה וליצור - שש מהן הינן פאות מחומשות, שני מרובעים

המתאימות לשש הדרכים שיש להעביר אלכסון בודד במשושה וליצור מחומש

ומשולש

46

מבט נוסף:

47

קיימים גם במימדים גבוהים:Associahedronsה-

nקיים פאון )הכללה של מצולע ל-טענה: אשר Associaheronמימדים( קמור הנקרא

של FlipGraphקודקודיו וקשתותיו מייצרים את ה-( צדדים n+3המצולע הקמור בעל )

מימדיות מתאימות בידיוק לליכסונים Kהפאות ה- אלכסונים.n-kשל המצולע עם

48

עבור מצולע Flip Graphהקוטר של ה-טענה: גדול n, עבור 2n-10 קודקודים הוא nקמור עם מספיק.

טענה זו מראה את מספר הצעדים המקסימלי ב- Associahedron שידרשו בשביל לעבור מקודקוד אחד למשנהו.

49

סוף

50