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Trigonometría: ¿qué es y para qué se usa?Después de clases, Mario salió a recorrer su barrio en bicicleta, como le gustaba hacerlo siempre. En el camino vio a dos personas trabajando. Parecía que estaban sacando fotos, pero la máquina que tenían no era una máquina fotográfica, de seguro no lo era.–¡Qué rara máquina usaban esos caballeros!, le contaba Mario a su prima.–¿Cómo era?, puedes hacerme un bosquejo o describirla un poco más.–Sí, era como esta, la encontré en Internet, pero no entendí bienpara qué se usa.–¡Ah, una máquina topográfica!–¿Qué es eso? Suena complicado.–Verás. La topografía es una ciencia que tiene por objetivo larepresentación gráfica del estudio de la Tierra y para ello usan esasmáquinas.–Y en eso hay matemática, ¿verdad?–Sí, claro, y sobre todo trigonometría.–¡Ay sí!, de eso que no entendí nada en clases. Es muy raro.–No tanto, Mario, tú eres un joven inteligente. Mira. Es muy fácil, ya verás.–Fíjate en el edificio que tenemos al frente. ¿Crees tú que podríamosmedir su altura solo sabiendo que estamos a 10 m de su entrada yque si miramos la azotea, lo estamos haciendo con un ángulo de 45º grados?Si lo graficamos sería algo así:

10 metros

45°

–Ya, entiendo, pero ¿qué tiene que ver lo del seno, coseno y todasesas cosas que mencionó mi profesor?–¿Estuviste atento a la clase, Mario?–Mmm, la verdad no mucho.–Bien, entonces pon atención ahora. La trigonometría relacionaángulos y lados en un triángulo rectángulo a través de razonesmatemáticas. De este modo podemos definir dos razonesfundamentales que llamaremos seno y coseno.

Qué es la trigonometría y en qué se aplica.Desarrollaráslassiguienteshabilidades:• Identificar• Calcular• Comprender• Resolver• Relacionar• Aplicar• InterpretarygenerarideasHabilidadesporactividad:• Identificarycalcular:1,4,5,6,7,8• Comprenderyresolver:2,3,9,10,11,12,

1,2,3,4,5,6,7,8,9

Trabaja más...

Habilidadesporactividad:• Identificarycalcular:1,2,3,4,7, 8,9,14,

16• Comprenderyresolver:10,11,13,1,2,3,

4,6, 7,8,9, 10, 11, 12, 13,14• Relacionaryaplicar:5,6,12,15,5

En esta sección aprenderás

SegúnlaRAEtopógrafoeslapersonaqueprofesaelartedelatopografíaotieneenellaespecialesconocimientos.Sucampolaboralseestableceenempresasconstructoras,deurbanizaciónyobrasciviles,mineras,forestalesysanitarias.

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Miremos el siguiente triángulo rectángulo. En él distinguiremos varios elementos con respecto al ángulo α:

B

C A

a

b

c

Cateto opuesto al ángulo α: a Cateto adyacente al ángulo α: bHipotenusa del triángulo: c

α

Entonces, las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:

sen cateto opuesto ahipotenusa

sen seno deα α α α= ⇒ = ( )ac

cosα α α α= ⇒ = ( )cateto adyacente ahipotenusa

cos coseno debc

–¡Ya entiendo! es solo la comparación entre dos lados del triángulo.Pero, al ser una razón, su valor siempre será el mismo, independientedel tamaño del triángulo, ¿verdad?–Cierto, por eso se pueden calcular las razones trigonométricas dealgunos ángulos especiales usando un triángulo rectángulocualquiera. ¿Me puedes decir cómo calcularías el valor del seno ycoseno de ángulos de 30º y 60º?–Mmm, déjame pensar un rato A ver, a ver... ¡ya lo tengo!Dibujaré un triángulo equilátero y trazaré su altura:

C

30°

60°

A BD

a a

2a

2a

En el triángulo ADC, CDa=2

3 (porque es altura de un triángulo

equilátero. También lo puedes calcular usando el teorema de Pitágoras).

Podemos escribir que:

s ne o60 23

23 1 3

2= = = ⋅ =CD

AC

a

aa

a1 1cos60

2 2AD a

aAC= = ⋅ =

1 12sen 30 =2 2

° = = ⋅ =

aAD a

a aAC

cos 30 23

23 1 3

2o = = = ⋅ =CD

AC

a

aa

a

Nota que como c es la hipotenusa,

lado más largo de un triángulo

rectángulo, entonces se tiene que

c > a y c > b; por lo tanto, los

valores de seno y coseno del α

nunca serán mayores que 1.

Toma nota

Recuerda que para calcular la

altura de un triángulo equilátero

puedes usar el teorema de

Pitágoras de la siguiente manera:

C

A BD

aa

2a

2a

En el triángulo BDC tenemos que:

DCa a

DCa

DCa

2 2 2

2 2

44

34

23

= −

=

=

/

2 2 2+ =DB DC BC

22 2

2 + =

aDC a

2 2 2

4+ =a

DC a2

/4

− a

22 2

4= − a

DC a

Recordar y archivar

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–Bien, Mario, muy bien hecho. ¿Y para un ángulo de 45º?–Veamos... ¿en qué triángulo consigo un ángulode 45º?... ¡Ya sé!, en un triángulo rectángulo isósceles. Dibujémoslo:

B

C Aa

a

45°

En el triángulo ABC, AB a= 2 (es la hipotenusa. Lo puedes calcular usando el teorema de Pitágoras).

Entonces se puede escribir el seno y coseno de 45º así:

(Racionalizamos)

(Racionalizamos)

s n

cos

e o

o

452

12

22

452

12

22

= = = =

= = = =

BC

AB

a

a

AC

AB

a

a

–¡Felicitaciones, Mario! , y dime ahora: ¿Era tan difícil?–No, es fácil; debí haber puesto más atención en clases.–Pero dime, ¿cómo calculamos la altura de aquel edificio?–Vuelve a mirar nuestro problema y dime tú qué harías.

10 metros

45°

–Si la altura del edificio la nombramos h, entonces podemos escribirque... ¿Qué hago? ¿Cómo relaciono el cateto opuesto al ángulo conel cateto adyacente?–¡Ah! Esa relación es nueva y se llama tangente del ángulo. Haz unesfuerzo y podrás deducirla. Vamos, piensa, ¿qué harías? Escribequé es seno y qué es coseno.Veamos:

sen cateto opuesto ahipotenusa

senα α α= ⇒ = a

c y

catetoadyacenteacoshipotenusa

αα =

entonces, para relacionar solo los catetos y que la hipotenusadesaparezca, ¿deberíamos hacer la razón entre seno y coseno?

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–Genial, Mario, muy bien pensado. Escríbelo. Ya has definido

tangente de α αtg( ) como todo un matemático.

–Bien, aquí va:

–Ah, necesito el valor de tg 45º, pero es muy fácil. Como el sen 45ºtiene el mismo valor que el cos 45º, entonces la tg 45º valdrá 1(porque es el cociente o división entre dos cantidades iguales).

Entonces, para calcular la altura del edificio, podemos escribir que:

tg 45ºtg 45 110 10

° = ⇒ =h h, multiplicando por 10, tendremos que

h = 10 m; por lo tanto, el edificio mide 10 metros.

–Muy bien, Mario, como siempre, has logrado resolver el problema.–Gracias prima, me ayudaste mucho.

Existen relaciones entre ángulos y

lados en triángulos que no son

rectángulos, que se puedan

determinar usando trigonometría,

a través de los teoremas del seno

y del coseno. Estos temas se

tratan en profundizaciones de los

contenidos de geometría, pero

puedes encontrarlos también, si te

interesa, en el siguiente link: http://www.vadenumeros.es/primero/trigonometria-resolver-triangulos.htm

Recordar y archivar

Resumiendo, podemos decir que:

•Latrigonometríaeslaramadelamatemáticaqueestudialasrelaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

•Lasrazonestrigonométricasprincipalessonsenoycoseno,que se definen de la siguiente manera:

αA

B

C

ac

b

sen cateto opuesto ahipotenusa

senα α α= ⇒ = a

c

catetoadyacenteacoshipotenusa

αα =

•Latangentedeunánguloesotrarazóntrigonométricaquese

puede definir en función de seno y coseno como:

tg senα αα

=cos

, o también, tg cateto opuestocateto adyacente

α =

•Losvaloresdelasrazonestrigonométricasdelosángulosde30º, 45º y 60º son:

30º 45º 60º

sen12

22

32

cos 32

22

12

tg 33

1 3

catetoopuestocatetoopuesto hipotenusa catetoopuestohipotenusa

catetoadyacentecos hipotenusa catetoadyacente catetoadyacentehipotenusa

sentg

ααα

= = = ⋅ =tg senα αα

=cos

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