Trigonometria 1 Año de Seundaria

8/9/2019 Trigonometria 1 Año de Seundaria

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SEGUNDOBIMESTRE

Secundaria

1

TRIGONOMETRÍA



Índice

Pág

Capítulo 109

Capítulo 113

Capítulo 117

Capítulo

121

Capítulo 125

Capítulo

128

1 Razones trigonométrica recíprocas

2. Razones Trigonométricas de ángulos complementarios

3. Razones trigonométricas de ángulos agudos de 37º - 53º

4. Aplicaciones en el T.R. con ángulos agudos de 37º - 53º

5. Razones trigonométricas de ángulo agudo de 45º

6. Razones trigonométricas de ángulos agudos de 30º y 60º



T R I G

O N O M E T R Í A

109

1ro Sec.

1 Razones Trigonométricas Recíprocas

OBJETIVOS:

- Analiza y comprende las razones trigonométricas recíprocas

- Deducir y familiarizarse con todas las razones trigonométricas

MOTIVACIÓN

Debemos saber que nuestra geografía es muy accidentada, dentro de esta gama de accidentes geográficos contamos condistintos planos inclinados como las montañas, picos, quebradas y otros. Para observar esto basta con ver una foto denuestra serranía, es decir cualquier paisaje natural de nuestro territorio peruano y podemos notar que en estas montañas,picos y quebradas se pueden formar triángulos con sus respectivos ángulos.



T R I G ON OME T R Í A

110

1ro Sec.

En un triángulo rectángulo ABC recto en C(C=90º), para lo cual definiremos las seis razones trigonométricas.

A

B Cθ

a

b c

Con respecto al ángulo q tenemos:

Sen =θ

Cos =θ

Tg =θ

b

cac

ba

Ctg =θ ab

Sec =θ ca

Csc =θ cb

Notamos que hay

3 valores que soninversos de los otrosasí:

Sen =θ bc

Cos =θ ac

Cos =θ cb

Sec =θ ca

Tg =θba Cg =θ

a

b

Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas, entonces tenemos:

b csen csc x 1 sen csc =1

c bθ θ = = ⇒ θ θ

a ccos sec x 1 cos sec =1

c aθ θ = = ⇒ θ θ

b atg c tg x 1 tg ctg =1

a bθ θ = = ⇒ θ θ



T R I G

O N O M E T R Í A

111

1ro Sec.

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

esolviendo en claseR

Calcular secf si:

φ 2

cos =3

Resolución:

Calcular sena si: csca= 5

Resolución:

Calcular E = sena+ctgq

si: csca = 2 ∧ 4tg

3θ =

Resolución:

Si: cscq=4 ∧ secf=3

Calcular: R=8senq - 3cosf




112

1ro Sec.

hora en tu cuadernoA

ara reforzar P

5. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1

6. Calcular «a» si: cos(2a-30º) sec(a+20º)=1

7. Calcular: 3xE

9= Si: sen45º csc3x=1

8. Calcular E=5tga – 3ctgb

Si:5

ctg8

α = ∧ 2ctg

3β =

1. Calcular : csca;3

sen7

α = si:

a) 3/7 b) 7/3 c) 4/7d) 7/4 e) 2/9

2. Calcular tga; si: ctga = 3/4

a) 1 b) 1/2 c) 3/4d) 4/3 e) N.A.

3. Calcular E =5senq - 3cosa

Si: cscq = 3/2 seca = 3

a) 2/3 b) 3/7 c) 10/9

d) 4 e) N.A.

4. Calcular «x» en: tg(2x-30º) ctg50º=1

a) 40º b) 80º c) 30º

d) 50º e) N.A.

5. Calcular "a "

2 si: sen(3a-20º) csc(a+60º)=1

a) 20° b) 30° c) 40°d) 50°

6. Calcular:

2 2sen cos

R 3

α + θ

=

Si:8 4

sec csc =6 3

θ = ∧ α

a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5

d) 4/3 e) 2/9

7. Calcular «a+5°». Si: tg (2a-10°)ctg80º=1

a) 45º b) 50º c) 55º

d) 60º e) N.A.

8. Calcular : «a-b» Si: sec(a-b+5°) cos30º=1

a) 45º b) 35º c) 20º

d) 25º e) N.A.



T R I G

O N O M E T R Í A

113

1ro Sec.

2 Razones Trigonométricas deÁngulos Complementarios

OBJETIVOS:

• Reconocer las razones trigonométricas complementarias.

• Relacionar las medidas de los ángulos en las razones trigonométricas complementarias (90º).

• Resolver problemas aplicando criterios de las razones trigonométricas complementarias

EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN LA TRIGONOMETRÍA

En el antiguo Egipto existían los llamados «TENSORES DE CUERDAS» llamados harpedonaptas, los cuales aprovechabanpara formar ángulos rectos, una propiedad del triángulo rectángulo.

Usando muchos señalaban en una cuerda trozos proporcionales a los números 3, 4 y 5, la cuerda la ponían bien tensa,sujeta por dos estacas y juntaban los extremos. El resultado era una escuadra llamada «TRIÁNGULO EGIPCIO» queservía a los constructores de templos.

Pitágoras de Samos, que conoció esta cuerda, «experimento» las relaciones entre los valores numéricos 3, 4 y 5 descubriendosu famoso teorema al comprobar que el cuadrado de 5 era igual a la suma de los cuadrados de 3 y 4.

El importantísimo teorema descubierto por Pitágoras, el cual se le llamó REGLA DE ORO DE LA GEOMETRÍA, fuedemostrado dos siglos después de Euclides. La más conocida e intuitiva de las demás demostraciones es la del matemáticohindú Bhaskara hace más de ocho siglos y medio.

Una aplicación del teorema de Pitágoras nos lleva a la famosa relación trigonométrica.

2 2sen cos 1α + α =

Llamada REGLA DE ORO DE LA TRIGONOMETRÍA. Pitágoras de Samos




114

1ro Sec.

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B (B=90º), para lo cual definiremos las seis razones trigonométricas las seisrazones trigonométricas del ángulo A y ángulo C.

b

α

θ

B

C

A c

a

En el gráfico * el ángulo A = a

* el ángulo C = q

asen cos

bα = = θ

ccos sen

bα = = θ

atg tg

cα = = θ

cc tg tg

aα = = θ

bsec csc

cα = = θ

bcsc sec

aα = = θ

∴ sena = cosb

tga = ctgb

seca = cscb

Estas propiedades se cumple para ángulos complementarios.

Aplicación:

sen40º será igual a cos50º

tg30º será igual a ctg60º

sec55º será igual a csc35º



T R I G

O N O M E T R Í A

115

1ro Sec.

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Si: sen30º = cos2x

Calcular : «x»

Resolución:

Si: cos3x = sen2x

Calcular x - 5º

Resolución:

Si: tg(2x-10º) = ctg(3x+10º)Calcular : 2x-5º

Resolución:

Si: sec2x - csc40º = 0

Calcular:x 5º

2

−

Resolución:




116

1ro Sec.


ara reforzar P

5. Si:

17

ec 8θ = . Calcular csca

Sabiendo además que q + a = 90º

6. Si: a + q = 90º

4

tg3

θ = . Calcular ctga

7. Si:

3

cos 5α = ∧

4

tg 7β =

Calcular senq • ctgf

Donde a + q = 90º b+f=90º

8. Calcular :

sen35ºM

cos55º=

1. Si:cos3x = sen60º

Calcular «x»

a) 10º b) 15º c) 20ºd) 25º e) 30º

2. Si: tg5x = ctgx Calcular x – 5º

a) 20º b) 10º c) 15ºd) 25º e) 30º

3. Si:sec(2x – 30º) = csc(3x+30º)

Calcular : x+2º

a) 20º b) 10º c) 18ºd) 16º e) 14º

4. Si: a+q = 90º ∧ 2

sen5

α =

Calcular : cosq.

a) 2

3 b)

2

5 c) 2

4

d)

5

2 e)

2

2

5. Si :a+q=90º ∧ b + f = 90º.

Calcular cosa • tgf

Sabiendo3

sen5

θ = ∧ 5

ctg7

β =

a)3

5 b)

4

7 c)

3

8

d)3

7 e)

7

3

6. Calcular:

sen71ºM

cos19º=

a) 0 b) 1 c) 2d) –1 e) 1/2

7. Reducir:

sen15ºtg62ºcos21ºR sen69ºcos75ºctg28º=

a) 2 b) 3 c) –1d) 0 e) 1

8. Si:tg(2x+5º) – ctg(2x – 15º) = 0

Calcular «x»

a) 0º b) 15º c) 20º

d) 25º e) 30º



T R I G

O N O M E T R Í A

117

1ro Sec.

3 Razones Trigonométricas Ángulos Agudos de 37° - 53°

OBJETIVOS:

• Reconocer la proporcionalidad de los lados del triángulo rectángulo 37º - 53º

• Calcular las razones trigonométricas de los ángulos 37º - 53º

• Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo de expresiones

INTRODUCCIÓN

En este capítulo el alumno reconocerá las razones trigonométricas de los ángulos agudos 37º y 53º. Así como su aplicación.Para poder definir las razones trigonométricas se harán de acuerdo a las definiciones ya conocidas.

PRINCIPIOS TEÓRICOS:

Para definir las razones trigonométricas de 37º y 53º utilizaremos el triángulo rectángulo cuyo lados son proporcionales a3, 4 y 5.

5K

5 3 º

3K

37º

4K

Entonces:

C.O. 3K 3sen37º sen37º= sen37º=

H 5K 5= ⇒ ∴

De la misma forma podemos calcular las demás razonestrigonométricas. Formemos el siguiente cuadro:

R.T. 37º 53º R.T.

sen

cos

tg.

35

45

34

45

35

43

csc

sec

ctg

NOTA:

El símbolo indica que los valores numéricos de las R.T.que lo tienen, deben ser invertidos.

Ejemplos:3 5

sen37º csc37º=5 3

= ⇒

3 5cos 53º sec53º=

5 3= ⇒

3 4tg37º ctg37º=

4 3= ⇒

Ejemplos:

1. Calcular: P = sen37º + tg53º

RESOLUCIÓN:

De acuerdo al cuadro tenemos:

Resolviendo:

3 4P

5 3⇒ = +

9 20 29P P=

15 15

+⇒ = ∴

Rpta.: 29/15




118

1ro Sec.

2. Calcular: Q = 3.sec53º

Resolución:

Tenemos que

5sec53º

3= 53•Q3

⇒ =

Resolviendo:

15Q Q=5

3⇒ = ∴

Rpta.: 5

3. Determinar el valor de : K = 5cos37º + 3tg53º Resolución:

Tenemos que:

44K 5• 3•

35

⇒ = +

Simplificando: ⇒ K= 4 + 4 ∴ K = 8

Rpta.: 8

4. Calcular el valor de: sen53ºQ

ctg37º=

Resolución: Tenemos:

4

5Q4

3

⇒ =

Simplificando:

3Q

5∴ =

Rpta.: 3/5

5. Calcular el valor de: G = 5sen37º+3ctg37º+10cos53º

Resolución: Tenemos que:

43 3G 5• 3• 10•35 5

= + +

Simplificando: G=3+4+6 ∴G= 13

Rpta.: 13

6. Determinar el valor:

E tg37º ctg53º= +


3 3E

4 4= +

Simplificando:

3 3E E= 3

2 2= + ∴

Rpta.: 3

7. Hallar «x» si: x + tg37º = csc 53º


3 5x

4 4+ =

Resolviendo:

5 3 2 1x x= x

4 4 4 2= − ⇒ ∴ =

Rpta.: ½

8. Calcular: P= 8ctg53º+20•sen37º


33P 8• 20•

54

= +

Resolviendo: P = 6+12 P = 18

Rpta.: 18

9. Determinar el valor de si: Q

Q=10cos53º+3sec53º+4sec37º


553Q 10• 3• 4 •435

= + +

Resolviendo: Q = 6 + 5 + 5 ⇒ Q = 16

Q 16 4∴ = =

Rpta.: 4

10. Calcular:

2 2K csc 53º ctg 53º= −

Resolución: Realizando los reemplazos:

2 25 3

K 4 4

= −

Simplificando:

25 9 16K K=16 16 16= − ∴

Rpta.: 1



T R I G

O N O M E T R Í A

119

1ro Sec.

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Calcular las expresiones:

1E 10 sen 37º=

2E 15 cos 53º=

Resolución:

Hallar el valor de:

Q = tg37º + sen 53º

Resolución:

Calcular:

K=3tg53º+5cos37º

Resolución:

Determinar el valor de:

sen53ºT

sec37º=

Resolución:




120

1ro Sec.


ara reforzar P

5. Hallar el valor de:2K tg 37º 1= +

6. Calcular:B = cos237º+cos253º

7. Calcular P + Q P = 9•csc37º

Q = 25cos53º

8. Hallar : T = tg37º•sec53º•ctg37º•cos53º

1. Calcular :

E= 35 cos53º

a) 24 b) 22 c) 20

d) 21 e) 25

2. Calcular el valor de: Q =5sen37º + 4tg37º

a) 6 b) 7 c) 8

d) 10 e) 12

3. Hallar el valor de:

2R ctg 53º 1= +

a) 5 b) 5

4 c) 1

4

d) 4 e)3

4

4. Hallar el valor de R + S si:

S = 10 • cos37º

R = 3 • csc37º

a) 13 b) 12 c) 10

d) 14 e) 15

5. Hallar:

A = cos53º•sec53º+sen37º•sec53

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

6. Calcular P/Q si:

P = ctg53º + sec37ºQ = 5cos37º – 5cos53º

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 6

7. Hallar el valor de:

sen53ºQ

sec 37º=

a)4

5 b)

5

4 c) 4

d) 5 e)2

5

8. Calcular:

E = 4•tg37º + 5cos53º

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9



T R I G

O N O M E T R Í A

121

1ro Sec.

4 Aplicaciones en el T.R. conÁngulos Agudos de 37° - 53°

OBJETIVOS:

• Aplicar las razones trigonométricas de 37º - 53º en el cálculo de los lados de un triángulo.

• Calcular distancias y alturas utilizando razones trigonométricas de 37º - 53º.

INTRODUCCIÓN

En esta parte del capítulo el alumno utilizará las razones trigonométricas para resolver problemas de la vida diaria, comoson las distancias entre dos puntos o la altura de un objeto con respecto a una superficie.

PRINCIPIOS TEÓRICOS:

Resolución de Triángulo Rectángulo:Tenemos el siguiente triángulo

α

xC.O. a(H)

Donde :

a : valor conocido

: 37º ó 53ºα

del triángulo:⇒

xsen x=asen

aα = ⇒ α

⇒ pero como: a=37º ó 53º (tomemos 37º)

⇒ x = a•sen37º es decir3

x a5

=

3 ax •5

∴ =

* Nótese que la razón trignométrica se forma con «x» (incógnita) y «a» (valor conocido).




122

1ro Sec.

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Calcular «x»:

20

37º

x

Resolución:

Hallar «y»:

25

53º

y

Resolución:

Calcular «Z»

15

37º

z

Resolución:

Calcular el valor de x + y.

Si:

16

53º

xy

Resolución:



T R I G

O N O M E T R Í A

123

1ro Sec.


ara reforzar P

1. Calcular «x» si:

10

37º

x

a) 5 b) 6 c) 7d) 10 e) 8

2. Calcular el área del triángulo

8

53º

a

a) 32u2 b) 14u2 c) 64u2

d) 24u

2

e) 40u

2

5. Se observa la parte más alta de una asta, hallar su alturasi la distancia entre el observador y el asta es 18m.

53º

asta

18m

6. Del gráfico. calcular «d»:

53º

20m

d

7. Del gráfico. Calcular la distancia H si d=30m.

37º

H

d

8. Se observa la parte más alta de un faro, hallar d.

53º

d

16m




124

1ro Sec.

3. Calcular " x "

2

30

37º

x

a) 9 b) 12 c) 10d) 14 e) 16

4. Calcular la altura del edificio si:

53º

18m

a) 24m b) 20m c) 28m

d) 30m e) 26m

7. Del gráfico, hallar «x»

37º

60m

x

a) 70m b) 80m c) 100md) 50m e) 90m

6. Calcular la altura del muro si:

53º

H

12m

a) 20m b) 18m c) 17md) 16m e) 10m

7. Hallar la longitud de la escalera apoyada:

53º

escalera

1,2m

a) 1,5m b) 1m c) 2md) 1,8m e) 3m

8. Calcular «y» si:

30

37º

y

a) 18 b) 15 c) 24d) 20 e) 21



T R I G

O N O M E T R Í A

125

1ro Sec.

5 Razones Trigonométricas de ÁngulosAgudo de 45°

OBJETIVOS:

• Reconocer la proporcionalidad de los lados de un triángulo rectángulo de 45º.

• Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 45º • Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo de expresiones

INTRODUCCIÓN

En esta parte del capítulo el alumno reconocerá la proporcionalidad del triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos sean 45º.Utilizando los conceptos de razones trigonométricas se obtendrán para 45º.

PRINCIPIOS TEÓRICOSPara definir las razones trigonométricas de 45º utilizaremos el triángulo:

K 2

45º

K

45º

K

Entonces:

C.O. K 1sen45º sen45º sen45º

H K 2 2= ⇒ = ∴ =

De la misma forma podemos calcular las demás razones trigonométricas.Formemos el siguiente cuadro:

sen

cos

tg

12

12

1

csc

sec

ctg

45º

NOTA: El símbolo indica que los valores de las R.T. que lo tienen, deben ser invertidos.Ejemplos:

1sen45º csc 45º 2

2= ⇒ =

1cos 45º sec 45º 2

2= ⇒ =

tg45º=1 ⇒ ctg45º=1




126

1ro Sec.

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Calcular : P + Q

P 2 •cos 45º=

3Q tg 45º=

Resolución:

Calcular:

K=sec245º•csc

245º

Resolución:

Determinar el valor de:

Q = sen45º•sec45º•ctg45º

Resolución:

Calcular «x» si:

2x• ctg45º sec 45º 2tg45º= +

Resolución:



T R I G

O N O M E T R Í A

127

1ro Sec.


ara reforzar P

5. Calcular: 2 2 2tg45ºT (sec 45º csc 45º)= +

6. Hallar el valor de:4M sec 45º tg45º= +

7. Calcular:

P 2 cos45º=

8. Calcular: sec 45º•csc 45º•tg45º

Pctg45º

=

1. Calcular : M.N

2M sec 45º 3tg45º= +

M 2 • csc 45º=

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

2. Si N: representa el número de artículos a comprar. M: el costo de cada artículo en soles Hallar el costo total, sabiendo que: 4 2N 5 sec 45º M=2sen 45º=

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

3. Calcular el perímetro de:

8 sec245º m

1 0 s e n

4 5 º m

2

a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44

4. Hallar:2 2T sec 45º csc 45º= +

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

5. Determinar el valor de:

2 2ctg45ºR (sec 45º )=

a) 4 b) 2 c) 6

d) 8 e) 10

6. Si

A: representa el número de artículos a comprar

B: representa el costo de cada artículo en soles

Hallar el costo total si:

A = 10csc245º y B=4cos

245º

a) S/.20 b) S/. 60 c) S/.40

d) S/.10 e) S/.120

7. Calcular:

2 2

2

cos 45º csc 45ºQ

sen 45º+=

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

8. Calcular M + N Si:

M = 4cos245º

N = 8csc245º

a) 16 b) 18 c) 20

d) 17 e) 19

N




128

1ro Sec.

6 Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos de 30º - 60º

OBJETIVOS:

• Reconocer los triángulos notables por la medida de sus ángulos agudos

• Reconocer los triángulos notables por la proporcionalidad de sus lados

• Calcula los lados de un triángulo notable usando razones trigonométricas

• Determina las razones trigonométricas de los ángulos (30º y 60º)

MOTIVACIÓN

LOS CATETOS Y LA HIPOTENUSA

¿Sabía Ud. que Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon tanto del triángulo, porque lo usaban mucho en laconstrucción?. Así fue ellos los que inventaron las cubiertas de dos aguas. Eso les permitió ensanchar mucho las navesde los templos y los grandes salones.

Descubrieron la manera de repartir el peso de la techedura entre tres vigas, de tal manera que el trabajo que realizaba cadauna al trabajar conjuntamente, era muy inferior que les correspondería si se distribuyese entre las tres colocadas comovigas planas. Y según el trabajo que hacen, así las nombraron: a la dos vigas que sostienen la llamaron catetos, porquetiende a ir hacia abajo (Kaziemi); y a la viga de abajo la llamaron hipotenusa porque es la que tira (tenosa) por abajo (hipo)de las otras dos para que no se abran.

TRIÁNGULO NOTABLE

Se denominará triángulo notable, a aquel triángulo rectángulo cuyos ángulos son conocidos y además sus lados son pro-porcionales.

Triángulo Notable (30º - 60º)

60º

3 0 º

a 2a

3a

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

½

3/2

3/3

3

2 3/3

2

3/2

½

3

3/3

2

2 3/3

R.T. 30% 60º



T R I G

O N O M E T R Í A

129

1ro Sec.

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Calcular:

E = 3cos60º - sen30º

Resolución:

Calcular:

R = 3 ctg60º

Resolución:

Calcular :M=2cos60º - 3 sen60º

Resolución:

Calcular :

N=5cos260º - 3sen230

Resolución:



MATERIAL DIDACTICO TIPEADO

COMPLETO , LIBROS Y COMPENDIOS EN CDS

TODO NIVEL ) 2009-2012

MILES DE HOJAS TIPEADO EN : PAGEMAKER P) O WORD W)

INICIAL:

*KINDER Y PREKINDER TRILCE 2007 EN 1DVD (CIENCIA -AMBIENTE, COMUNICACIÓN INTEGRAL, LOGICO

MATEMATICO, PERSONAL SOCIAL, RELIGION) (P)

* 3 - 4 - 5 AÑITOS INICIAL SACO 2007 EN 1 DVD ( APRESTAMIENTO, COMUNICACIÓN, LOGICO

MATEMATICO, PERSONAL SOCIAL, RAZ VERBAL, RAZ MATEMATICO, MOTOR FINO, CIENCIA YAMBIENTE , INGLES ) (P)

*INICIAL COLEGIO STO. DOMINGO DE CHIMBOTE (W)

* INICIAL PAMER 3-4-5 AÑOS Y OTROS.

PRIMARIA :

LIBRO COVEÑAS 2008 A COLORES EN 2 DVDS (P)

PRIMARIA TRILCE 2004 EN 6 CDS (P)

PRIMARIA SAN IGNACIO 2005 EN 6 CDS ( WORPERFECT )

PRIMARIA TRILCE 2007 EN 6 CDS (P)

PRIMARIA SACO OLIVEROS 2007 EN 6 CDS (P)

PRIMARIA COLEGIO STO DOMINGO DE CHIMBOTE (W)

PRIMARIA COLEGIO VIRGEN DE GUADALUPE DE CHIMBOTE (W)

PRIMARIA COLEGIO CLARET (WORD-COLERL DRAW)

PRIMARIA COLEGIO 200 MILLAS (w)

CONCURSO MATEMATICAS PRIMARIA EN 1 CD (P)

PRIMARIA SACO OLIVEROS 2010 (W)

PRIMARIA TRILCE 2010 (W)

PRIMARIA TRILCE 2012 A COLORES (INDESING)



SECUNDARIA :

LIBRO SEC. COVEÑAS 2008 EN 1 DVD (P)

SECUNDARIA TRILCE 2005 EN 7 CDS (W)

-SEC. COLEGIO LETORNEAU 2005 MATEM. Y CIENCIAS EN 1 CD (W)

SECUNDARIA SAN IGNACIO 2005 EN 5 CDS (WORPERFECT)

SECUNDARIA PROVIDENCIA 2005 EN 5 CDS (W)

SECUNDARIA TRILCE 2007 (GORDITOS) EN 6 CDS (P)

SECUNDARIA SACO OLIVEROS 2007 EN 9 CDS (P)

BANCO SEC. COLEGIO TERESA GONZALES 2005 DE CAÑETE EN 1 CD (W)

BANCO SEC. COLEGIO ALBORADA 2005 DE SURCO EN 1CD (P)

300 SIMULACROS , TAREAS Y FAST TEST SEC. TRILCE EN 1 CD (P)

SEC. TRILCE 2008 (1RO-4TO TEST EVAL.X TEMA/5TO SM-PUCP) (P)

SECUNDARIA COLEGIO STO TORIBIO DE CHIMBOTE 2008 ( W )

SEC. COLEGIO VIRGEN DE GUADALUPE DE CHIMBOTE 2008 ( W )

PAMER PAMER SELECCIÓN TALENTOS 2009 - 2011 TODOS LOS CURSOS EN 5 CDS (P )

SECUNDARIA COLEGIO INTEGRAL DE TRUJILLO 2005 ( W )

SECUNDARIA COLEGIO PITAGORAS 1º2º3º4º5º (WORPERFECT)

-SECUNDARIA COLEGIO 200 MILLAS (w)

SECUNDARIA TRILCE 2012 A COLORES (INDESAING)

SECUNDARIA SACO OLIVEROS SELECCIÓN 2009 – 2011 TODOS LOS CURSOS 6 CDS (P)

ACADEMIAS :

60 SIMULACROS ANUAL- SAN MARCOS ACADEMIA CCV. 2004 (P)

-ACADEMIA CIRCULO SAN MARCOS-UNI 2003 EN 1 CD (P)

-ACADEMIA MAKARENKO 2002 SAN MARCOS EN 1 CD (P)

-ACADEMIA APPU 2003 SAN MARCOS-UNI 34 BOLET.EN 1 CD (W)



-ACADEMIA MIR 3 CICLOS SAN MARCOS 2003 EN 1 CD (W)

-ACADEMIA STA ANITA 2005 VER+REP SAN MARCOS EN 1 CD (W)

-ACADEMIA CESAR VALLEJO 2005 ANUAL EN 1 CD (P)

-ACADEMIA ADUNI 2 SEMESTRALES 2005-6 EN 1 CD (P)

-ACADEMIA SACO OLIVEROS 2007 ANUAL EN 8 CDS (P)

-ACADEMIA SACO OLIVEROS 2007 SEMESTRAL EN 4 CDS (P)

-ACADEMIA SACO OLIVEROS 2007 VERANO EN 2 CDS (P)

-ACADEMIA MAKARENKO 2006 REPASO-VERANO SM-UNI EN 1 CD (P)

-ACADEMIA CCV 1 REPASO UNI 2006 +ACADEMIA CCV 1 REPASO UNI ESPECIAL 2006 +ACADEMIA CCV 1

REPASO SM TRADICIONAL 2006 EN 1 CD (P)

-CENTRO PRE UNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD JOSE FAUSTINO DE HUACHO 2 SEMESTRALES+2

VERANO S 2005-20066 (W)

o

PRE_CATOLICA ELITE 2001-2-3 RV-RM EN 3 CDS (W)

-PRESANMARCOS 2006 VERANO EN 1 CD (W)

-CEPREUNI 2005 , 6 SEMINARIOS ( A –X – G –T –F –Q ) EN 1 CD (P)

-CEPREUNI 2006-7,6 SEMINARIOS (A – X – G – T – F – Q ) EN 1 CD (W)

o

ACADEMIA SEMESTRAL PAMER UNI 2005 TEO-PRACT 4 CDS

-ANUAL-SEMESTRAL UNI ACADEMIA PITAGORAS

-OLIMPIADAS ESCOLARES TRILCE 2002-2003-2004-2006 (P)

-CENTROPREUNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD DEL CENTRO 2002-2003-2004-2005-2007-2008 EN 1

DVD (W-P-COREL DRAll- W)

-15 CURSOS MULTIMEDIA TRILCE :APTITUD –MATEMATICA-CIENCIAS-HUMANIDAES EN 1 DVD

ACADEMIA SACO OLIVEROS 1 DVD (P), MUCHOS MAS.

Ubíquenos en :

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar).

Teléfonos:

988961526 (movistar)

144*7432 (nextel)

Correo: [email protected]




1ro Sec.


ara reforzar P

5. Calcular «x» en: 4sen30º + x =csc30º

6. Calcular «y» en:(y - 2) cos60º = y

7. Calcular :E = 3sen30º - 5cos60º

8. Calcular M + N

Si : M = sec60º - 1

N = 3 tg30º + 1

1. Calcular:

E = 2cos60º – tg30º

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

2. Calcular:

tg60ºM

tg30º=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

3. Calcular :

R = sec60º + 3 csc60º

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

4. Calcular «x» en:

xsec60º = 2csc30º

a) 20 b) 21 c) 12

d) 24 e) 25

5. Calcular:

tg30ºE

ctg60º=

a) 1 b) 0 c) –1

d) 2 e) 3

6. Calcular «x» en:

sen60º- cos30º+ 3 tg30º = x+1

a) –1 b) 1 c) 0

d) 2 e) 3

7. Calcular «a» en:

2a+sen30º= 3 ctg60º

a) 4/3 b) 2/3 c) 1/4

d) 3/2 e) 2/4

8. Calcular M + N Si:

M = sen30º cos30º + tg30º

N = cos60º sen60º + ctg60º

a) 3 / 2 b) 3 / 4 c) 1

d) 3 e) 0

Documents

Trigonometria 1 Año de Seundaria