TRIGONOMETRIA

Mgr. Jozef Vozár

Trigonometria

Riešenie všeobecného trojuholníka

A

B

C

α

β

γ

a

b

c

Mgr. Jozef Vozár

Trigonometria

Sinusova veta

Trigonometria

Treba vedieť: 1. Vzťah medzi obvodovým a stredovým uhlom

patriacim k tomu istému oblúku kružnice (stredový = 2x obvodový)

2. Vyjadrenie sinusu uhla v pravouhlom trojuholníku, ako podiel dĺžok protiľahlej odvesny a prepony.

α

2α

r

a/2

α

a/2Sin α = ––––––––––- r

S

A

B

C

P

Spájame goniometriu s geometriou

• SP je výška trojuholníka BSC• BSP je pravouhlý trojuholník• Uhol BAC je obvodový k oblúku BC• Uhol BSC je stredový uhol k oblúku BC

Z toho potom vyplývajú nasledovné vzťahy:

Sinusova veta

sin α ––––- = 2r a

Sinusova veta

sin β ––––- = 2r b

Sinusova veta

sin γ ––––- = 2r c

Sinusova vetaV každom trojuholníku ABC, so stranami a,b,c a uhlami α,

β, γ a polomerom opísanej kružnice r platí:

sin α sin γ sin β –––– = –––– = –––– = 2r a c b

Sinusova veta- príklad

V trojuholníku ABC platí:a=5, b = 7, α = 30°.

Vypočítaj c, r, β, γ.

Sinusova veta- príklad

Riešenie:1.sin α ½ 1 ––––- = 2r → –––– = –– → a 5 10

r =1/20

Sinusova veta- príklad

2. sin β sin β sin β ––––- = 2r →1/10 = ––––– = –––– → b b 7 sin β =7/10 →

β = 44,4°

Sinusova veta- príklad

3.γ = 180° - 30° - 44,4°

γ = 105,6°

Sinusova veta- príklad

4.

sin γ sin γ 0,96 –––- = 2r→ c = ––––- = –––––– → c 2r 1/10

c = 9,6

Trigonometria

Kosinusova veta

C[x;y]

P

ba

cA

B

y

| x|

Kosinusova veta

| x | xcos α = – cos( π - α ) = - ––––––– = ––– b b

Kosínusová veta

y2 = b2 - x2

y2 = a2 – ( c – x )2

Obrázok 2

Kosínusová veta

b2 - x2 = a2 – ( c – x )2

a2 = b2 + c2 - 2cx

Kosínusová veta

Ale (viď obrázok)

x = b cos α

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

Kosínusová veta

V každom trojuholníku ABC so stranami a, b, c a uhlami α, β, γ platí:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

b2 = a2 + c2 - 2 ac cos β

c2 = a2 + b2 - 2 ab cos γ

Kosínusová veta- príklad

V trojuholníku ABC sú dané dĺžky všetkých jeho strán:

a = 16,9b = 26c = 27,3Vypočítaj veľkosti jeho vnútorných uhlov.

Kosínusová veta- príklad

1. Najprv treba skontrolovať či to je trojuholník – či platia trojuholníkové nerovnosti. a + b > c

a + c > b b + c > a

Kosínusová veta- príklad

2. Pre výpočet uhla α použijeme kosinusovú vetu

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

Kosínusová veta- príklad

2 bc cos α = b2 + c2 - a2

b2 + c2 - a2

cos α = ––––––––––––––––––2 bc

α = 36°50'

Kosínusová veta- príklad

3. Ďalej pokračujeme ako pri sinusovej vete,

pretože tá je ľahšia.

Obsah trouholníka

A

B

C

va

b

a

c

β

γ

Obsah trojuholníka

S = ½ a.va

va = b.cos γ

S = ½ a. b.cos γ