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Trigonometría
Pamela Mena Romano
Introducción
• En el siglo III a.C. los griegos, estudiando las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo, dieron inicio a una nueva rama de la matemática llamada Trigonometría y que significa medida del triángulo. Esta ciencia tuvo un notable éxito por sus aplicaciones directas a la astronomía, navegación y agrimensura.
• Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, es decir, a encontrar los tres elementos.
Teorema de Pitágoras
• “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”
222 cba Demostración: El área del cuadrado grande es: (a+b)2 y el del pequeño, c2.Por otra parte el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área de un triángulo, será el área del cuadrado grande.c2+4(ab)/2=(a+b)2 → c2+2ab=a2+2ab+b2
Finalmente:a2+b2=c2
a
bc
bca
c
cc a
a
a
b
b
b
Razones Trigonométricas
• Consideremos el triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas del ángulo B son:
adyacente lado
opuesto lado
BA
ACtg(B)
hipotenusa
adyacente lado
BC
BAB)cos
hipotenusa
opuesto lado
BC
ACBsin
(
)(
B A
C
c
ab
• Ejemplo: Una escalera de 5 metros de largo está colocada con su pie a 3 metros de distancia de la pared de una casa y llega precisamente hasta la base de una ventana. Hállense la altura de la base de la ventana y el seno y la tangente del ángulo que la escalera forma con la pared.
opuesto lado
adyacente lado
AC
BA
tg(B)
1cotg(B)
adyacente lado
hipotenusa
BA
BC
cos(B)
1sec(B)
opuesto lado
hipotenusa
AC
BC
sin(B)
1cosec(B)
Cada relación tiene su recíproco dados por:
Para despejar la incógnita usamos el Teorema de Pitágoras:
4x
16x925x
: xDespejando
5x3
22
222
Recordando la definición de seno y tangente, tenemos:
4
35
3)sin(
)tg(
3
5x
Medida de Ángulo
Para medir ángulos primero debemos escoger alguna unidad fija, y para ello se definen tres sistemas de medida angular.
• Sistema Sexagesimal: En este sistema el ángulo recto se divide en 90 partes iguales o 90 grados; cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
• Sistema Centesimal: En este sistema el ángulo recto se divide en 100 partes iguales o 100 grados centesimales; cada grado se divide en 100 minutos centesimales y cada minuto en 100 segundos centesimales.
• Sistema Circular: En este sistema los ángulos se expresan en radianes y es muy útil para calcular medidas de arcos, o en física, para calcular velocidades angulares.
El radián
• El radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con que fue descrito. Es decir el arco AB es igual a la recta OA.
• Para expresar un ángulo en radianes basta calcular las veces que el radio cabe en el arco que comprende entre sus lados.
r
r
B
O A
Designando el arco por b se obtiene:
r
b(radianes)
b
r
B
O A
El Círculo Unitario
• Es un círculo de radio unitario.• En cualquier círculo, 360º equivalen a 2 (radianes).
Podemos dividir el círculo en 4 cuadrantes
Como 360º=2, la longitud del arco máximo en el círculo
unitario, se tiene
2π
360
x
x
rad
xrad es la medida en radianes de un ángulo x con 0≤ x ≤ 360
0
/2
3/2
III
III IV
en cuad.
I II III IV
sen + + - -cos + - - +tan + - + -
Las principales relaciones trigonométricas en el círculo
unitario.
1
-1
-1
coseno
seno
tang
ente
El signo de las funciones trigonométricas en cada
cuadrante.
Recordando la definición de paridad, ¿qué paridad poseen el coseno y el seno?
º
rad
30º
/6
45º
/4
60º
/3
90º
/2
180º
270º
3/2
360º
2
sin
cos
2
2
2
2
2
3
2
1
2
12
3
0
1
1
0
0
11
0
Ángulos Recurrentes
-3 -2 -1 1 2 3x
-1
-0.5
0.5
1
sinxGráfico del Seno
Gráfico del Coseno
-3 -2 -1 1 2 3x
-1
-0.5
0.5
1
cosx
Gráfico de la Tangente
-3 -2 -1 1 2 3x
-40
-20
20
40
tanx
Gráfico de la Cosecante
-3 -2 -1 1 2 3x
-20
-10
10
20
cosecx
Gráfico de la Secante
-3 -2 -1 1 2 3x
-20
-10
10
20
secx
Gráfico de la Cotangente
-3 -2 -1 1 2 3x
-40
-20
20
40
cotanx
Identidades Trigonométricas
• A partir del triángulo demuestre que:
1cossin 22
B A
C
c
a b
2
22
2
22
2
22
cos
sin
a
cb
a
c
a
b
Por teorema de Pitágoras:
1cossin2
222
a
a
Escribamos el seno y el coseno
Suma de Ángulos
• Probemos la siguiente relación: sin(+)=sin()cos()+cos()sin()
• A partir de la figura tenemos:
O A E
B
C
D
sincoscossinOC
CB
CB
CD
OC
OB
OB
BE
:doAmplifican
OC
CD
OC
BE
OC
CDAD
OC
CA)sin(
• Probemos ahora:
cos(+)=cos()cos()-sin()sin()
Haciendo un procedimiento análogo al anterior:
))sin(sin())cos(cos(OCBC
BCAE
OCOB
OBOE
:doAmplifican
OCAE
OCOE
OCOA
)cos(
Exprese como suma de ángulos lo siguiente:1) sin (22) cos
Resta de Ángulos
• De la misma forma que en la suma de ángulos se puede demostrar:
sin(-)=sin()cos()-cos()sin()
O A E
B
C
D
-
A partir de la figura podemos expresar sin()
sincoscossinOBCB
CBCD
OBOC
OCCA
:doAmplifican
OBCD-CA
OBBE
)sin(
Ejercicio: Pruebe cos()=coscos+sensen
Las identidades son igualdades que se cumplen para cualquiera de los valores del ángulo que aparece en la igualdad.
Identidades Trigonométricas
Una estrategia para probar identidades, es expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno para luego efectuar las operaciones indicadas, consiguiéndose con esto, la identidad de ambos miembros.
Ejercicio: Demuestre la siguiente relación:
2tg1
tgsin
Funciones Trigonométricas
• La función seno: sin : R→[-1,1]; x → sin(x).
• La función coseno: cos : R→[-1,1]; x → cos(x).
• La función tangente: tg ;x → tg(x) = sin(x)/cos(x), está definida para todos los x R donde no se anula la función cos(x).∈
Función Trigonométrica Inversa
• En el círculo unitario al ángulo a corresponde el arco b que permite medir el ángulo en radianes.
br
B
O A
y
C
En la figura la perpendicular BC, representa el seno del ángulo . Siendo b la medida del arco que permite, a su vez, medir el ángulo , al designar por “y” el seno de este ángulo, se obtiene:
sin b = y
Función Trigonométrica Inversa
En forma análoga a la anterior se define:
• b = arc cos y
• b = arc tg y
b = arc sen y
Lo que indica que: “b” es el arco del ángulo cuyo seno es “y”.
Función Inversa del Seno.
Además, al ser “b” el arco cuyo seno es “y”, se puede escribir:
Función Inversa del Coseno.
Función Inversa de la Tangente.
Periodicidad
• Sea el ángulo engendrado por el radio móvil OB; entre los lados del ángulo queda el arco AB. Este mismo arco corresponde a los ángulos , + 360º, + 2 ∙ 360º, + k ∙ 360º, siendo k ≥ 0, k
Z.∈Aplicando lo anterior para el seno y el coseno se encuentra que los valores se repiten para cada vuelta completa del radio móvil OB (360º). En cambio, el valor de la tangente se repite cada 180º. Por lo tanto el período para el seno y coseno es 2 (2= 360º) y para la tangente es (=180º).
B
AO
Periodicidad de las Funciones Trigonométricas.
• En el sistema circular se puede escribir la periodicidad de las funciones trigonométricas como:
)(
)2(
)2(
k
k
k
tg tg
cos cos
sin sin
Teorema del Seno
• “En un triángulo cualquiera los lados son entre sí como los senos de los ángulos opuestos”.
b
a
a
hb
h
c
c
sin
sin
sin
sin
A
C
B
hC
hB
b a
c
Haciendo lo mismo con y se obtiene:
c
a
sin
sin
Problema• ¿Cuál es la altura de un cerro si las visuales dirigidas a la
cumbre desde dos puntos situados a 100 metros (d) forman con la horizontal un ángulo de 30º () y 50º () respectivamente?
Por geometría tenemos que el ángulo vale 20º. Usando el teorema del seno, se tiene:
20º sin
30º sin
100
z
d
A
h
B C
D
z
y
Del segundo triángulo,
50º zsinhz
h50º sin
metros. 112h
Teorema del Coseno• “En cualquier triángulo el cuadrado de un lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.”
2222
222
222
qbpaqbh
pah
q p
C
A B
hb a
D c
Por teorema de Pitágoras:
Pero p=cq, reemplazando y desarrollando:
cos2bc cba
do,reemplazan ,b
qcosα pero
2cqcba
222
222
Problema
• Del siguiente triángulo, encuentre el valor del ángulo .
)cos(8728713 222
8
137
Por teorema del coseno:
Usando la función inversa de coseno para despejar :
60º
luego ,180º
de suma la que Sabemos
120ºβ
Ecuaciones Trigonométricas
• Son aquellas en las cuales la incógnita aparece como ángulo de funciones trigonométricas.
xx 2sin2cos33
:
ecuación la Resolver
01cos3cos2
cos22cos33
)cos1(2cos33
2
2
2
xx
xx
xx
Usando la fórmula de la ecuación cuadrática, para encontrar x,
12
1cos x º180º120
:
21 xx y
tenemos y inversa función la Aplicamos