FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Y

APLICACIONES GEOMETRICAS

HECTOR PASTEN

1. Funciones trigonometricas inversas

Se puede probar que las funciones cos, sen, tan restringidas a los intervalos [0, π],[−π/2, π/2], ]−π/2, π/2[ respectivamente, son inyectivas con recorrido [−1, 1], [−1, 1], Rrespectivamente. Esto nos permite hacer las siguientes defniciones:

Arco-coseno. Se de�ne Acos : [−1, 1] → [0, π] ⊂ R (con mayuscula!) como lainversa de cos restringida a [0, π].

Obs: hay muchos valores de t tales que cos t = y para un y �jo, pero pedimos0 ≤ t ≤ π.Ejemplo: Acos(− 1

2 ) = 2π3 porque cos 2π

3 = − 12 y 0 ≤ 2π

3 ≤ π.Calcular algunos otros valores, hacer gra�co. Mencionar que es monotona decre-ciente estricta y que Rec(Acos) = [0, π].

Arco-seno. Se de�ne Asen : [−1, 1] → [−π/2, π/2] ⊂ R (con mayuscula!) comola inversa de sen restringida a [−π/2, π/2].

Observacion analoga a la anterior, hay muchas preimagenes para un valor peropedimos que sea en el rango [−π/2, π/2].Ejemplo: Asen(− 1

2 ) = −π3 porque sen−π

3 = − 12 y −π

2 ≤2π3 ≤ π

2 .Calcular algunos otros valores, hacer gra�co. Mencionar que es monotona crecienteestricta y que Rec(Asen) = [−π/2, π/2].

Arco-tangente. Se de�ne Atan : R →]− π/2, π/2[⊂ R (con mayuscula!) comola inversa de tan restringida a ]− π/2, π/2[.

Observacion analoga a la anterior, hay muchas preimagenes para un valor peropedimos que sea en el rango ]− π/2, π/2[.Ejemplo: Atan(−1) = −π

4 porque tan−π4 = −1 y −π

2 < −π4 ≤

π2 .

Calcular algunos otros valores, hacer gra�co. Mencionar que es monotona crecienteestricta y que Rec(Acos) =]− π/2, π/2[.

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2 HECTOR PASTEN

2. Interpretacion geometrica de las funciones trigonometricas

Las funciones sen, cos fueron de�nidas como las coordenadas de un punto sobrela circunferencia unitaria (visto de forma precisa en clases) y a partir de ellas sede�nieron las demas funciones trigonometricas. Por otro lado, en esta clase se deberevisar que signi�can geometricamente:

Sea ABC un triangulo rectangulo en C y llamamos α = ∠BAC (en radianes!).Entonces se cumple que

senα =BC

AB, cos α =

AC

AB, tanα =

BC

AC

Ejemplos: Jugar con el triangulo de angulos 30-60-90 y el 45-45-90, primero pasan-do a radianes y despues calcular algunos senos, cosenos y tangentes.

3. Teoremas basicos de Trigonometria

Para los proximos teoremas ABC es un triangulo con angulos α, β, γ en los ver-tices A,B,C respectivamente, y cuyos lados miden BC = a,AC = b, AB = c (hacerun dibujo).

Area de un Triangulo con dos lados y el angulo entre ellos. El area deABC es

[ABC] =12ab sen γ =

12bc senα =

12ac senβ.

Ejemplo: alguno facilito.

Teorema del seno. Para todo triangulo ABC se cumple

senα

a=

senβ

b=

sen γ

c=

12R

donde R es el radio del circuncirculo de ABC.

Ejemplo 1 (importante):Area de un triangulo con sus 3 lados y el radio de su circuncirculo.

Mostrar que el area de ABC se puede calcular

[ABC] =abc

4R.

Solucion de Ej1:

[ABC] =12ab sen γ =

12ab · c

2R=

abc

4R

Ejemplo 2: a = 10, β = 60◦, γ = 45◦ (hacer dibujo). Calcular cuanto miden losotros dos lados de ABC.Solucion de Ej2: α + β + γ = 180◦ ⇒ α = 75◦ = 5

12π. Calculamos senα:

sen(512

π) = sen(π

4+

π

6) = sen

π

4cos

π

6+ cos

π

4sen

π

6=√

22

√3

2+√

22

12

=√

6 +√

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Y APLICACIONES GEOMETRICAS 3

Entonces por el teo. del seno

senα

a=

senβ

b⇒ b = a

senβ

senα= 10 ·

√3

2√6+√

24

=20√

3√6 +

√2

(calcular c de forma similar, y racionalizar los resultados).

Teorema del coseno. Para todo triangulo ABC se cumple

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Obs: esto es una generalizacion del teorema de Pitagoras (tomar un angulo de 90◦

y aplicar).Ejemplo: a = 5, b = 6, γ = 60◦. Calcular c.Solucion: c2 = 25 + 36− 2 · 5 · 6 · 1

2 = 25 + 36− 30 = 31. Entonces c =√

31.

Indicacion importante para los alumnos: Repasar lo que saben de geome-tria de la enseñanza media. Podria ser util.

Indicacion para ti: Es importante ver toda la materia de este apunte. Si vesque te podria faltar tiempo, salta algunos ejemplos (de todos modos incluire ejem-plos de lo que me interesa en la practica). Si te va a sobrar tiempo puedes agregarejemplos a�nes pero nada mas de materia, para no sobrecargar a los chicos. Ademas,revisa mis calculos porque podria haber errores, aunque no creo.

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