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7/25/2019 TSeries (1)
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METODOS ELEMENTALES DE
PROCESAMIENTO DE SERIES DE TIEMPO
Jorge Galbiati Riesco
7/25/2019 TSeries (1)
http://slidepdf.com/reader/full/tseries-1 2/70
En este apunte se da una visión general sobre algunos
procedimientos en el análisis en series de tiempo.
Inicialmente presentamos el problema general de predicción,
luego presentamos métodos clásicos ó ingenuos de
suavizamiento en el análisis de series de tiempo.
La aplicación de estas técnicas requieren de trabajocomputacional que debe ser complementado en la ejercitación
de este curso.
El material presentado fué escrito en base a apuntes del
profesor Renato llende, que tuvo como referencia notas de
clase de los profesores !ilar Iglesias " Eduardo Engel.
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INTRODUCCION
#na de las motivaciones para el estudio del tema surge
desde tiempos remotos donde una de las principales
inquietudes del $ombre $a sido estimar el futuro utilizando
información del presente " del pasado.
Esto se llama predecir .
Es evidente que las diversas instituciones requieren
conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos
con el fin de planificar, preveer o prevenir.
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La Estad%stica $a desarrollado teor%a " métodos que
apuntan a resolver el problema de predicción.
&in embargo, este no puede ser resuelto por argumentos
puramente matemáticos, debe ser el resultado de una
combinación matemático'especialista.
La predicción es una (iencia " es un rte, " la ma"or
dificultad es la mala comunicación entre los analistas deinformación " de predicción " los usuarios de éstas.
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DEFINICION BÁSICA DE SERIE DE TIEMPO
#na serie de tiempo es una colección o conjunto de
mediciones de cierto fenómeno o e)perimento
registrados secuencialmente en el tiempo, en forma
equiespaciada *a intevalos de tiempo iguales+ .
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Las observaciones de una serie de tiempo serán
denotadas por
*t-+, *t+ ,... , *tn+
donde *ti+ es el valor tomado por el proceso en el
instante ti.
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Ejemplos de series de tiempo
-. Econom%a/ !recios de un articulo, tasas de desempleo,tasa de inflación, %ndice de precios, precio del dólar,
precio del cobre, precios de acciones, ingreso nacional
bruto, etc.
. 0eteorolog%a/ (antidad de agua ca%da, temperatura
má)ima diaria, 1elocidad del viento *energ%a eólica+,
energ%a solar, etc.
2. 3eof%sica/ &eries sismológicas.
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Ejemplos de series de tiempo
4. 5u%mica/ 1iscosidad de un proceso, temperatura de un
proceso.
6. 7emograf%a/ 8asas de natalidad, tasas de mortalidad.
9. 0edicina/ Electrocardiograma, electroencéfalograma.
:. 0ar;eting/ &eries de demanda, gastos, utilidades,
ventas, ofertas.
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Ejemplos de series de tiempo
<. 8elecomunicaciones/ nálisis de se=ales.
>. 8ransporte/ &eries de tráfico.
..." muc$os otros.
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ANALISIS GRAFICO DE UNA SERIE DE TIEMPO
!or mu" simple que parezca, el paso más importante en el
análisis de series de tiempo consiste en graficar la serie.
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Esto debe $acerse siempre, independiente de cuán simples o
complejos sean los procedimientos que se empleanposteriormente.
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El gráfico de la serie permitirá detectar los siguientes
elementos/
a+ ?utliers/
&e refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal.
&i se sospec$a que una observación es un outliers, se
debe reunir información adicional sobre posibles factoresque afectaron el proceso.
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!or ejemplo, en un estudio de la producción diaria de
cobre se presentó la siguiente situación/
Otliers
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b+ Te!"e!cias
La tendencia representa el comportamiento predominante
de la serie.
Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la
media a lo largo de un e)tenso per%odo de tiempo.
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8endencia
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c+ #ariacio!es ciclicas o estacio!ales
La variación estacional representa un movimiento periódico
de la serie de tiempo.
La duración del per%odo puede ser un a=o, un trimestre, un
mes, un d%a, etc.
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1ariaciones c%clicas o estacionales
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&e suele $acer una distinción entre componentes c$clicas "
estacio!arias.
Estas @ltimas ocurren con per%odos identificables, como la
estacionalidad del empleo, o de la venta de ciertos productos,
cu"o per%odo es un a=o.
El término %ariaci&! c$clica se suele referir a ciclos grandes,
cu"o per%odo no es atribuible a alguna causa.
!or ejemplo, fenómenos climáticos, que tienen ciclos que
duran varios a=os.
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Las tendencias " estacionalidades pueden darse
simultáneamente.
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d+ 1ariaciones aleatorias.
Los movimientos irregulares *al azar+ representan todos lostipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea
tendencia, variaciones estacionales " fluctuaciones c%clicas.
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El análisis gráfico de los datos se acostumbra a resumir en
una tabla como la que siguiente/
Tabla "e 'a(iliari)aci&!
Estacio!ali"a" Te!"e!cia AleatoriaAltaMe"iaBa*a
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Ejercicios/
-+ !ara cada una de las series graficadas a continuaciónrealizar al análisis gráfico completando la tabla de
familiarización.
&erie &erie A
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+ (onstru"a la grafica " la tabla de familiarización para lasiguiente serie/
!lanificación de un casino
?bjetivos/ !lanificación de compra de alimentos "
necesidades de servicio para satisfacer la demanda de
almuerzo en un gran casino.
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&erie/ B@mero de almuerzos servidos por mes en el casino
II de la #niversidad de (ampinas'Arasil para el per%odo de
enero ->>: a marzo de CCC, de acuerdo a la
administración general del restaurante.
t +,t- t +,t- t +,t-
- C929 -4 <-<2 : 92-9:
-<:C< -6 6992 < 46C
2 9>44 -9 6994- > 6C6:
4 6C: -: 69666 2C 62<:6
6 9>2:6 -< 6:-<6 2- :22
9 6CC69 -> 22>C9 2 6:>4
: C9C4 C 9:9- 22 4:9-C
< 64>4: - 62 24 9-:2<> 6C6:9 6<2 26 6--9<
-C 6C46 2 46:9 29 92:C
-- 44C 4 466C 2: 4>94
- :9C4 6 2C>64 2< 4:4<
-2 <:>- 9 24>6 2> 92>C
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Mo"elos Cl.sicos
#n modelo clásico de series de tiempo, supone que la serie
*-+, ..., *n+ puede ser e)presada como suma o
producto de tres componentes/
tendencia,
componente estacional,
término de error aleatorio.
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-. *t+ D 8*t+E*t+*t+ 0odelo aditivo
. *t+ D 8*t+ E*t+ *t+ 0odelo multiplicativo
donde/
8/ 8endencia de la serie.
E/ 1ariación Estacional.
/ 1ariaciones aleatorias.
El gráfico siguiente muestra la serie " sus componentes,
para el caso aditivo.
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El problema que se presenta es modelar adecuadamente las
componentes de la serie.
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E&8I0(IFB 7E L 8EB7EB(I
Ga" varios métodos para estimar la tendencia 8*t+, uno de
ellos es utilizar un modelo de regresión lineal.
&e pueden utilizar otros tipos de regresiones, como regresión
cuadrática, log%stica, e)ponencial, entre otros.
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EHE0!L? -/ La tabla presenta parte de los datos de una serie
de energ%a eléctrica. &on 4 datos mensuales referentes a
los a=os ->:: a ->:<.
(onsumo de Energ%a Eléctrica
t +,t- t +,t-
- <4,9 -2 --C,2 <>,> -4 --<,-
2 <-,> -6 --9,6
4 >6,4 -9 -24,
6 >-, -: -24,:
9 <>,< -< -44,<
: <>,: -> -44,4
< >:,> C -6>,
> -C2,4 - -9<,-C -C:,9 -:6,
-- -C,4 2 -:4,6
- -C>,9 4 -:2,:
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Consumo electrico
0
50
100
150
200
mes
c o n s u m o
Gráfico de la serie:
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El modelo de tendencia propuesto es un modelo de regresión
lineal/*t+ D βC β- t *t+
Recurriendo al método de ($!i(os ca"ra"os se estimanlos parámetros " se obtiene
t*4.2468.45T(t) +=
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La serie sin tendencia se de la siguiente manera/
Consumo e lectrico
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
mes
c o n s
u m o
&e observa un ciclo que dura casi todo el per%odo observado,
de 4 meses.
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E&8I0(I?B 7E L (?0!?BEB8E E&8(I?BL
!ara estimarla, se debe conocer el per%odo, " se deben tener
datos de varios per%odos consecutivos.
!or ejemplo, datos mensuales, estacionalidad de un a=o.
El ejemplo siguiente ilustra la forma de obtener la
componente estacional.
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EHE0!L? .
Indicador 0ensual de ctividad Económica *I0(E(+. Aasedel %ndice / ->>9D-CC
(orresponde al nuevo Indicador 0ensual de ctividad
Económica *Imacec+, estructurado a base de la matriz
insumo'producto de ->>9. La cobertura de este
indicador comprende casi la totalidad de las actividades
económicas incluidas en el !IA.
Las cifras de CCC " CC- son provisionales.
Las cifras de CC " CC2 son preliminares.
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1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Enero >>.9 -C6.C --C.< -C>. --.9 --9.4 -->.: -.9
Iebrero >4.> ><.9 -C4.2 -C2.: -C:.9 ---.< --2.C --<.2
0arzo -C6.4 -C>.- --:.6 --9.4 --. -4.2 -4.4 -<.<
bril -C2.4 -C<.- --9.- -C<.C --2.< --<.C -.C -6.2
0a"o -C4. -C>. --4.4 ---. --:.> --.: -2.C -9.-
Hunio -C-.2 -C9.6 ---.> --C.C --2.- -->.- -C.-
Hulio ><.: -C:.- --C.> -C9.4 --.2 --9.C --<.>
gosto ><.: -C6.9 -C>.C -C<.- --2.4 --9.> -->.-
&eptiembre >4.< -C2.< -C6.4 -C6.: -C<.9 ---.4 --4.9
?ctubre -C.C --C.> -C:.: -C>. --6.4 --<.4 --.:
Boviembre ><.C -C9.< -C9.- --C.: --4.> --:.2 -->.>
7iciembre >>. -C<.4 -C9.6 ---.> --4.4 --6.: -C.>
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Indicador Mensual Actividad Económica
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
140.0
mes-año
I M A
C E
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&e estima la tendencia por el método de m%nimos
cuadrados, de regresión lineal
dando el siguiente resultado/
Intercepto a / 01123 . (orresponde al valor de
partida.
!endiente b / 12453 . (orresponde al aumento medio
mensual.
(oeficiente de determinación R 4 / 1267, que indica unajuste moderadamente bueno.
El error estándar de los errores se estimó en 3289.
)()( t Abt at Y ++=
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La recta de regresión correspondiente a la tendencia se
muestra en el siguiente gráfico/
Tendencia Indicador Mensual Actividad
Económica
0
20
40
60
80
100
120
140
mes-año
I M
A C E
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sumiremos un modelo clásico aditivo.
Entonces para obtener una estimación de la estacionalidad,
restamos los valores ajustados de la tendencia a los datos,
obteniendo una serie sin tendencia.
Luego promediamos todos los valores de enero, los de
febrero, los de marzo, etc., obteniendo doce valores
mensuales promedio/
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0es Prom.
Enero 0.8
Iebrero -4.9
0arzo 6.7
bril 2.4
0a"o 3.8
Hunio 0.8Hulio -1.2
gosto -1.3
&eptiembre -5.4
?ctubre 0.2
Boviembre -1.7
7iciembre -1.5
Componente Cíclica Indicador Me nsual
Actividad Económica
-10
-5
0
5
10
15
20
mes-año
I M
A C
E
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&e observan valores altos a partir de marzo, " bajos en
torno a septiembre.
&i recomponemos la serie con tendencia " componente
c%clica, sin la componente aleatoria, tenemos la situación
que se ilustra en el gráfico siguiente/
Tendencia más Componente Cíclica Indicador
Mensual Actividad Económica
0
20
40
60
80
100
120
140
mes-año
I M
A C
E
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http://slidepdf.com/reader/full/tseries-1 42/70
(on esto se pueden $acer predicciones futuras,
e)trapolando la recta de regresión " sumándole la
componente c%clica del mes correspondiente.
7entro de un rango limitado, estas predicciones pueden ser
acertadas.
continuación se muestra el gráfico de la componente
aleatoria sola.
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Componente Aleatoria Indicador Mensual
Actividad Económica
-10
-5
0
5
10
15
20
mes-año
I M
A C E
&i se usa el modelo multiplicativo, el procedimiento es
parecido.
Bota/ Hunto con las series de datos como esta, el Aanco (entral también
entrega series sin tendencia " desestacionalizadas.
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IJ0IEB8? 7E &ERIE& 7E 8IE0!?
#na forma de visualizar la tendencia, es mediante
suavizamiento de la serie.
La idea central es definir a partir de la serie observada una
nueva serie que filtra o suaviza los efectos ajenos a la
tendencia *estacionalidad, efectos aleatorios+, de manera que
podamos visualizar la tendencia.
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&erie original &erie suavizada
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Pro(e"io M&%il2
Este método de suavizamiento es uno de los más usados para
describir la tendencia.
(onsiste en fijar un n@mero ;, preferentemente impar, como 2,
6, :, etc., " calcular los promedios de todos los grupos de ;
términos consecutivos de la serie.
&e obtiene una nueva serie suavizada por promedios móviles
de orden ;.
7e este modo se tienden a anular las variaciones aleatorias.
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http://slidepdf.com/reader/full/tseries-1 47/70
!or ejemplo, consideremos una serie de seis observaciones " fijemos
el orden ;D2.
Entonces los términos de la serie suavizada son
Bótese que J*-+ " J*9+ no se pueden calcular.
En general, se pierden ;K términos en cada e)tremo.
( )
−
++=
++=
++=
++=
−
=
)6(63
)6()5()4()5Z()5(5
3
)5()4()3()4Z()4(4
3
)4()3((2))3Z()3(3
3(3)(2))1(Z(2)(2)2
(1)1
________ __________ __________ __________
3)(
Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y
k ordendemóvil mediat Z t Y t
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EHE0!L? 2.
!recio del dólar observado, d%as miércoles, enero a junio
a=o CC2.
uente/ Aanco (entral de ($ile.
En las columnas 2 a 9, se entregan los promedios
móviles de orden 2, 6, : " >, respectivamente.
7/25/2019 TSeries (1)
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mes precio k3 k5 k7 k9
!"e 713.4
712.6 717.5
726.6 725.4 725.7737.1 734.2 731.6 730.3
#e$ 738.9 739.7 737.2 736.2 735.5
743.1 740.7 742.9 742.0 740.1
740.2 746.2 746.0 746.0 742.8
755.3 749.4 749.2 745.9 743.0
%ar 752.8 754.3 747.9 744.4 742.2
754.8 748.0 745.5 742.5 740.1
736.5 739.9 740.4 739.6 737.4
728.3 731.5 733.9 734.4 734.7 &$r 729.8 726.0 726.6 729.2 729.2
720.0 722.8 722.6 722.1 723.4
718.7 718.4 718.0 717.1 716.7
716.5 713.5 712.3 712.2 714.2
%a' 705.3 707.7 707.2 709.9 712.4
701.2 700.2 706.2 708.8 710.5
694.2 703.1 705.3 708.0 710.2
713.7 706.7 706.9 708.2 708.8
()" 712.2 713.0 710.1 708.2 707.3713.0 714.2 712.5 708.5
717.4 712.1 710.3
706.0 708.8
()l 703.1
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La serie original aparece graficada a continuación.
Precio del dolar observado 200
660.0
680.0
700.0
720.0
740.0
760.0
semana
p r e c i o
!
7/25/2019 TSeries (1)
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Los gráficos siguientes corresponden a las medias móviles. &e
observa cómo a medida que aumenta el orden, el efecto del
suavizado es ma"or. !ero también se pierden más datos en los
e)tremos.
Precio del dolar observado 200
Media móvil orden
660
680
700
720
740
760
semana
p r e c i o !
Precio del dolar observado 200
Media móvil orden "
680
700
720
740
760
semana
p r e c
i o
!
Precio del dolar observado 200
Media móvil orden #
680
700
720
740
760
semana
p r e c i o !
Precio del dolar observado 200
Media móvil orden $
680
700
720
740
760
semana
p r e c i o
!
El i i d di ó il fá il d li
7/25/2019 TSeries (1)
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El suavizamiento de media móvil es mu" fácil de aplicar,
permite visualizar la tendencia de la serie. !ero tiene dos
inconvenientes/
Bo es posible obtener estimaciones de la tendencia en
e)tremos " no entrega un medio para $acer predicciones.
&i la serie presenta un efecto estacional de per%odo ;, es
conveniente aplicar un suavizamiento de media móvil de
orden ;.
En tal caso se elimina el efecto estacional, junto con la
variación aleatoria, observándose solamente la tendencia.
7/25/2019 TSeries (1)
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SUA#I:AMIENTO E;PONENCIAL
Este modelo se basa en que una observación suavizada, entiempo t , es un promedio ponderado entre el valor actual de la
serie original " el valor de la serie suavizada, en el tiempo
inmediatamente anterior.
&i Y(t) representa la serie de tiempo original, " Z(t) la serie de
tiempo suavizada, entonces lo anterior se puede escribir
en que a es un n@mero entre C " -.
1)-Z(ta)-(1Y(t)aZ(t) ⋅+⋅=
7/25/2019 TSeries (1)
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&i a es cercano a -, la serie suavizada pondera más
fuertemente el valor original, luego ambas se parecen, " en
consecuencia, el suavizamiento es poco.
&i a se acerca a -K, se ponderan moderadamente la serie
original " la suavizada, por lo que el suavizamiento esmoderado.
&i a es cercano a cero, (1-a) es cercano a -, " la seriesuavizada pondera más fuertemente el valor suavizado
inmediatamente anterior, por lo que el suavizado es
importante.
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(onsecuencia de la fórmula anterior es que la serie suavizadase puede e)presar como
Es decir, cada término suavizado es un promedio ponderado
de todos los términos $istóricos de la serie original, con
ponderaciones
etc.
⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅= )3(a)-(1a)2(a)-(1a)1(Ya)-(1a)(Ya)(Z 32t Y t Y t t t
,)1(,)1(,)1(),1(, 432aaaaaaaaa −⋅−⋅−⋅−⋅
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(omo a está entre C " -, estos n@meros se van ac$icando a
medida que avanzan.
Eso significa que a medida que nos alejamos $acia el pasado,
los término van influ"endo cada vez menos en el término
presente.
La rapidez con que disminu"e la influencia es ma"or mientras
más grande *cercano a -+ es a.
Los gráficos siguientes muestran las ponderaciones de los
términos $acia el pasado, cuando a = 0.3 " cuando a = 0.7
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a % 0&
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15
pasado
a % 0&#
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
pasado
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(riterio para elegir a/
&i la serie var%a lentamente, se eligen valores de a cercanos
a C. *valor t%pico a D C.2+.
En cambio, si var%a bruscamente, se eligen valores de a
cercanos a - *valor t%pico a D C.:+.
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El método de suavizamiento e)ponencial sirve para $acer
predicciones, pero sólo de un valor, siguiente al @ltimovalor observado.
&i se tienen observaciones *t+, *t'-+, *t'+, ... *t';+.
&i tratáramos de obtener el término J*n-+ con la fórmula
para el suavizamiento e)ponencial, nos dar%a
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&i tratáramos de obtener el término J*n-+ con la fórmula
para el suavizamiento e)ponencial, nos dar%a
)(Za)-(1)1(Ya)1(Z nnn ⋅++⋅=+
pero como no tenemos una observación *n-+, laapro)imamos por *n+.
!or lo tanto podemos $acer una predicción para *n-+ con lafórmula del suavizamiento e)ponencial modificada de la
siguiente forma/
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&i se intentara $acer más de una predicción, dar%a el mismovalor, por eso que sólo se usa para predecir un valor a la
vez.
pero como no tenemos una observación *n-+, la
apro)imamos por *n+.
!or lo tanto podemos $acer una predicción para *n-+ con la
fórmula del suavizamiento e)ponencial modificada de la
siguiente forma/
)(a)-(1)(Ya)1(Z n Z nn ⋅+⋅=+
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http://slidepdf.com/reader/full/tseries-1 62/70
&in embargo, en la práctica, cada vez que aparece una
nueva observación real, se actualiza la fórmula anterior,
pera predecir la siguiente.
s%, cada vez que el tiempo avanza en una unidad, se
predice un nuevo valor a futuro.
El valor de a se que sirve mejor se suele buscar por un
sistema de prueba " error, $asta encontrar el que permitepredecir mejor.
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EHE0!L? 4
En la página siguiente se muestra el !roducto Interno Aruto
trimestral de ($ile, desde el primer trimestre de ->>9 $asta
el primer trimestre de CC2, en millones de pesos.
uente/ Aanco (entral de ($ile.
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'uavi(amiento e)ponencial
A<o Tri(2 PIB a % 0& a % 0&" a % 0&#
->>9 I :<C4>24 7804934 7804934 7804934
II <C2<:: 7875085 7921853 7968620
III :9C4996 7793959 7763259 7713852
I1 ::<<>-< 7792447 7776088 7766398
->>: I <-4-424 7897143 7958761 8028923
II <42-44 8057427 8195093 8310674
III <2<94- 8111791 8216867 8260251
I1 <4<>->4 8225012 8353030 8420511
->>< I <96<C:6 8354931 8505553 8586806
II <>-C>94 8521741 8708258 8813716
III <49<<9- 8505877 8588559 8572317
I1 <22<9>< 8455723 8463629 8408784
->>> I <6:42: 8490737 8518033 8523341II <6:-4< 8514945 8544730 8557002
III <224<C: 8460903 8439769 8401465
I1 <9292:C 8513543 8538069 8565899
CCC I <<<::-2 8625794 8712891 8791169
II <>:>:< 8729949 8842935 8918435
III <:C42C2 8722255 8773619 8768543
I1 <>:-:6- 8797104 8872685 8910788
CC- I >-:62:: 8910586 9024031 9096000
II >24<49 9040264 9183438 9268792
III <>9C<< 9016449 9072160 9053255
I1 >-49><- 9055609 9109571 9118863
CC I >><-C 9126769 9201190 9240626
II >6C2>>C 9239935 9352590 9424981
III >-:>429 9221786 9266013 9253099
I1 >4266:C 9285921 9350792 9380829
CC2 I >9-<-C 9386688 9486301 9549516
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Hunto a los datos se muestran tres suavizamientos
e)ponenciales con a=0.3, a=0.5 " a=0.7.
(omo no $a" datos indefinidamente $acia el pasado, los
primeros términos de la serie sauvizada salen algo
distorsionados, pues no consideran suficientes términos
$acia atrás.
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La forma de calcular es la siguiente, partiendo del primertrimestre ->>9, que llamaremos tD- /
Z(1) = X(1)
Z(2) = a Y(2)+(1-a) Z(1)
Z(3) = a Y(3)+(1-a) Z(2)
etc.
(omo se ve Z(1) no contiene toda la $istoria $acia atrás
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(omo se ve, Z(1) no contiene toda la $istoria $acia atrás,
Z(2) sólo un termino $acia el pasado, Z(3) sólo , etc.
Producto Interno *ruto
7.000.000
11.000.000
trimestre-año
P I *
Producto Interno *ruto
'uavi(amiento e)ponencial a % 0&
7000000
11000000
trimestre-año
P I *
Producto Interno *ruto
'uavi(amiento e )ponencial a % 0&"
7000000
11000000
trimestre-año
P I *
Producto Interno *ruto
'uavi(amie nto e )ponencial a % 0&#
7000000
11000000
trimestre-año
P I *
Los gráficos de la serie " los tres suavizamientos semuestran a continuación.
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En los gráficos se puede apreciar que cuando la constante a
es peque=a, cercana a cero, el suavizamiento es
significativo.
medida que aumenta a acercándose a -, el suavizamiento
es menos " la serie suavizada se parece más a la serie
original.
7/25/2019 TSeries (1)
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&e dispone de > datos. Es posible $acer una predicción del
término de orden 2C, que corresponde al segundo trimestre de
CC2, mediante la fórmula
Y(30) = a Y(29) + (1-a) Z(29)
En el caso de aDC.2, se tiene
Y(30) = 0.3 9!21"10 + 0.7 93"!!"" = 9#5722# millones de
pesos.
En el caso aDC.6, la predicción da >664C66 millones de pesos. en
el caso aDC.:, se obtiene el valor >9CC- millones. ?bservando el
gráfico, cuál de las tres predicciones parece ser mejor M
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FIN