61

ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

�� ��� ���������� �� �������� �� �������� ��

������ ����� �� ���� ���

�������� �� ���������

���� ��������� �� ���� ����

�� �� ���� ������ ��!����

�"#$ �"#$

�%���& ��������������������� ����� ��� ��

��� ������� � ������ �� � ���� �

��� ���� ���� � ��� ������� � ��������

����� ���� ����� ��� �� ��������

�� ������ ��� �� �� ����

������ ����

��� � ���� ����� � ��� ������ � ��� �� �������� � ������������� �� ���������� ��� ������� �� � � ��� ��� ���������� ���������� �� ��� �� �������� �� ������ � ��� ������ � ������� �� ��� ��������� � ����������� �� ������� �������� ��� ���� �� � �� ������� ��� ������� �� � ������� ��� � ����� �������� ����� ��� ��� ���� ��� ����� � ����� ��� ����� ��� ��� �� ��������� � �������� � ���� ������������� � ��� ������ ��� ��� ����� � ���� ���������� � ������� � ������� �� �����

�� � ������ ���� �� ���� �� ������� ������ �� ������ ��� ��������

��� ��� ������������ � ������� �� ������� �� ��� ���� �� ��� ��������� � ������� �� ��� � ����� �� �����

��� �� !����������� "����������� ��� ����� � � ��� ���� � ������� � ������������ ����� �� ���� �� ��� � ��������� � ��#��� ������ ���������� ���� ���������� ��� ���������� �������� ��� ���� ��� � � �� ����� ���� �� ��� ������� �� ������ ��� �� ������ ��� ���� ��� ����� ��#������ $%�������� &'''(��

��� )������ ����������� � ��#��� ������� ��� ����������� ����� � ��� � �������� ������� � ����� � �� ��� ����� ������

����� ���� ��� � ��� �� ����� ����� � ���� ���� ��� ������� ��� �� � ������� ����� ��� � ���!�

�"�� � �������� �� �� ��� �

*

Page 2: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

+����������� ��� �� � ������� � �� � ���� �� � �� ����� ��� ��� � �,���������� )���� ���� ����� -�������� "������� .������ ��/���� � ������� �"����������� ,������� 0������� ��� ������ � ��� ���� � ����� ������� ������� ���� ��� ����� ���/��

!��������� �� � ����� � ���� � ��� �� � ������ ��� ��� � ������ � �������� ��������� � ����� �� ���� ����� ���� �� ������� � ����� � ��� ������� 1���� 1�����/ ����� ���/ �� !�,� ��� ��� )��� $*234( ��� !��/� ���)����� $*252(� ��� )�, ������� � %� ���� $*263(� 0�������� 7������� ������ ����� ���� �� %����/ $*226(� ��� ��� �� � ����������� /���� � �� $"��������)���� � ��� )����� &'''( ����� ���� ����� ����������� ���� ������� �� �������� � �������� �� ���� ���� ������� 8����� ������� ���� � ������ � �������������� ���� � � ���� �� �� � �� ������� �� ��� ��� ��� 9������� !� �#������!���� ���� )���� � :��� :��� ��� ������ � .����;��� <����

��� �� ��� ������� ��� ��� � ������� ����� �� ���� ��� �=�� �� �����������

��� � � � ���� ����� � � ������� � ���� � ������� � ������ �� �� �����=����� �� ����� ���� ���� ��� �� �� ����� �� ��/���� ������� � > �8 � �8��� � ����=� ��� ��� ���� ��� ���� � � ������� ������ ��� ��� ��� ��������������� ��� ��� ������� ?�� �������� � � � ����� �� �� � �� ������ ������� � ���� � @ �A* ��� ��� ��������� ��� ��� ��/���� �������� ��� � � � � ��

� � � �� ��� ���� =����� ��� ���� � �� ��� ����� ������� ���� ������� �����/���� � ��� � �� � ���� ���� ���� � � � � ���� ���� � ��� ���������� ������������� �� ���� ������ ���� ����� ��� � �� � �� �� ��� -�� �� ������ ��� ������ ����� �� �� �� �� �B����� �� ����� C�� ������� ��� ������ � �������� � ������� ��� �� ��

�����

�������� ����� ���� ����� @

�����

����

� ��������� ������ ������ �� � � � �� ������ � ��� �� �� ����� � ��� ����������� '� ��� ��� ���� ������ ��� ����� ���/ �� 9�� ��� 7�������� ����� � ������������� � ������� ��� �� �� �� �������� ����� � ������ � �� ��� ���������������� ���

�� ��� ������� ��� ��� ������ ���� ����� ������ ��� � � ��������� �� �������� ��� ������� ���� ��� ����� ��/� � ������� ������ ������ � ��� ��/����� � � ������� ��� ������ �� �8 ������� ���� � � �8� ���� �� � � ��� � �� � �������� ��� ������� ����� ��� � �� ���� � ��� � ������ �� �8 � �8 ��� ����� ������� ���� ��� ��� ������ � ������ ��� ����� � ��� ����� � ���� ��/�� �����

� ���� ������ ��� � ��� ������� �� ��� ������������� � � ��� � �� �������

����� @�����

������

&

Page 3: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� ��� � ��� ���� � � D��������������� ���E� ��� � ���������� � ����� �������� ��� �� ��� ��� ������ �� �� ��#���� �� D��������E�

��� � � ������� ����� � � ������� ����������� � ���� � ����������� ������������ ���������� ,������ ��� ���� �� � � ������ ����������� ����� � ���"�� �� � ������� F���� � ����� �� ��� ���� � ��� � �� ������� ���� ������ ����� ������� $'� *( G���� ����� ����������� � ���� �� � ������� ���� �� � � � ������ ��� ����������� ����� �� ��� ������ ��������� ��� ��� ������ �� ��� ��/�� �� ��

� @

�� � �8�� � � @

������

��� ���������

� @ *

��

F��� �� � ��� ��� ���������� ������ �� �8�� ����� ���������� ������������ �� � �������� � H � � � ��� �� � ����� � � ����� ��� ���� ' � � � *� �� � @ *� � � � � &5���� ��� ��������� � ����� �� H � � ������� ��� ������ �� ��� �� ��� �� �� � � � � �� �� ������ ���� �� � �� ���� ��� ���� ������� � > � � � ����� �������� �� � ���������������� ����� �� ��� ����� �)����� @ ���)����� @ ��� � � � �)����� @ ����1����������� ����� ��� ������ ���� � ���������� ������ ��� �� ��� ������ � ���=������ ���� �� � ��/� �� �� �� ���� ��� D7������� �E ���� �� =�� � ������ ����� ������������� � � ������ � ����� ��������� � ��

��� ������������� � � � ���������� ��� � �� � ��� � � ����������� ������ ���� � ���� ���� � ��� �� � � ��� �� ����� ���� � � � � ���� ���� � ���� ���� � � ������ � ����� ��� � � � ��������� �� � ������ � �� � � � ������ ������� � �� �� ������ � ��� �������� ������� �� � �� ���� �� ����� ���� ������� � ��� � �� �� � ��� � � ��� �� �� ���� ������ ����� � ��� ����������� ������� �� 0������ * �� ��� ���� ���������

��� ��� � ����� � ������� � �� ��� � ������� � ������������� �� � ���������� ������ �� ��������� ������� � 7�� � > $'� *(� � �8� � ��� �������������� ��� �������

�������� ������ ����� � ������ � ������� �����

��� � � � � �� � $'� *(� ��� ���������

����� @*

�����

������

+���� �� � ��������� �� � � �������� ���� ������� ��� *� ����� �� � � '�

�����

)�������

����������� � �

���� �

�� '�

�� =�� ����� ��� ����� � ������� �� ��#��� ����� � ��� � ��� ������� � ������� ��=��� �� � ��� ������ ��� ������� �� ��� � ��� �� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� � � /���� ���� ������ �� $'� *(� ��������� ��� ���������� 7������ ������ �� �8�� ��� ��� ��� ���� ��� �� ��� �� �� ��/����

4

Page 4: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

������� � �� � � ������� ��� ������ �� � � �8�� � ������ �� ����� �� ������� �����������

���� ������� � �� ���� � ���� ���� ������� ���� � ��� � ���

����� ��� � � � � �� ��� ����� ��� � ��������� �� ��� ������ �� �

��� � ��� ������������� � ������������� ��� ���������� ������� � �� � /����� )�, ������� ���� )����� � ����������� � ,�������� 7�� � ���� ������ ���������� � ���� � �8� ��� �� �� � ������� ��� ������ �� �8� ����� �� ���� ���/���� �� �������� ��������� �� � �� � � �8� ����������� � ���� ��� ����������B������ �H� @ ���� � �� ��� � �� � ���� �� � �� ������� 1��� ����� ��� ��� � ������ ��� ������������� ������� � � ��� � ��������� �� ��� ��������� �� ��� ����� �� �� �

������� � � ����� �

7�� �� � � � � ���� � �8� ��� ���� ���� � � � � ������� ���������� �� ������������� � � � ��� � ������ ?���� ���� ����� ��� � � � � �� � �8�

��������� �� �� ��� ��� ���� � ���� ���� * �� ' ��������� �� ������� �� ������� �� ��� �� � � 0����� �� ������� ��� ������� �� > �8� � �'� *�� �� � � ������������� ���� ��� ��� ��� ����� ���� ���� � � � � ���� 0��� � ������� �� �������� ���� ������������� � � � � ��� � � � ���� ������ ��� � ��� ��� �� ����� ��� ������ �� � ��� �� ���� ���������� ��������� ��� ��� � ������� ����������� ��� ����� �� �H� �

� ��#�� ��� �� )�, ������� � �� ������� ��� ���� � ���� �� �� �� �������� � ������������� � � ���� ������� ��� �� ��� *� Æ � � ������� � � ��� Æ�

� ������ ������������� � ��� ��� ����� � ��� �������� � ���� �� D���/����E ������� � > � � � ��� � ������� ��� ������ � ����� ��� �� ������ ����� ����� �� � � � � ���� ������ ��� �� �� � �,�� 4 ��� 3�� �� � ����������� � � � �,�� *�� �� �� ��� ������� � � � �,�� &�� �� ��� �� /���� �,�� 4��� ��/����� ��� �� � �� �������� �� ���=� � ����� � �� � � � � ����� � � ���� �� ������ � ������ ���� ��� �������� �� �� � � � �����

��� ���� ������ �� ��� ������ �� ����� � ����� ��� ������ ���� �� �� �������� � ��� � ������ �� � � � � :��� ��� ��� � /��� �� ���� ��� ����������������� D�����E � � � ��� D������E � � � �

�� ��� � �� � �� �� ��� �� ���� � ������� ���� ������ � ���� �� ���� ������ �� ��� ������ ���� � ������� ������� F������� ������� ������ �� �� ��������� � ��� ��� �� ���I� ���� ����� �� ��������� ���� ��� � D���������� �������E� �� ����� ���� �������� ���� ����� ���� ��� � ��� D, ��=������E ���� ������� ������ �� F������� ��� ������ ��� � �� � �� �� ������ ���������� ����� �� ���� �����

0���� ��� ������ �� ���� ������ ����������� ���/������� �� /���� ������� � ��� ������� �������� ���� �������� �� ��� ��������� �� � �� ��������� ���� ��� ��� � � ���� �� ��� ���� ���� ����

)������� ��� � ��� ��� ��� ��� � ��� ������ +����������� �� �� ��� ������� �� ��� ����� � F� ��� ��� J� ��� 1������I ������������ �� ��� ���������� ������ ���������

3

Page 5: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

������� �� ���� ��� �

� � ����� �������� ��� ���������� ���� �� �� ���

���� � ���� ��� ��� �����

0���� �� ���� �� ���� ������� ��� ������ ��� ���� ��� ������� ��#��� �� ������� ������ � � ������� ��� ������ � ��������� ��� ��� ��� ��� ����� � ���/���� �� ������� ��������� ��� ��� � ��� �� ����� ���

7�� � �� � ������� ������ �� � ����� � �� "�� ����� ���� ��� � @ �8�� ?������������� �� �� ��/� � @ * �� ��� ���� ������ 7�� � �� � -��� ������� ��������� �� � @ � � � ���� ���� ����� ��������� �� �� ����� � ������� ����� � ����� �� ��� �� ��� ��� ������� ����� ������ � ��� � � � ��� ��� �����

���������� ��� ������ � � � � ������ ������ �� ���� � ��� �� ��� ������� ��� ������� ��� ���� �� �� �� �� ���� �� ������ ��� �������� �� �� ��� �������� ������� � � ��� ����� �� ������ �� ��������� ���

���� @

��� ��� ����� @ ���� �������� @ ������ ��������

� ���� ������� � ��� ����� ��� ����� ������� ������ � � ��=��� ��

���� @ ����� @�������� ��� �� � > � � � �

?�� ���� ����� � � � ��� ������ � � � � ������ ��� � ��� ����� �B���� ��� ����� � � � � ���� �� ��� ����� ��������� � ��� �� -� ����������� ���� � � �������� �� � ������ �� ������� ��� ��� ����� ���� � ���� ��� ��� F���� ��� ����D�����E �� �����

��� ���� �� � ����> ���� �� ��� � ����� ������� ��� ����� �������� ����� ���� ������ � �������� � � ��� 7�� � �� ����?�� ����� � � �� �� ������ �� ��� ���������� ������� �� ������� ��� ������ ��

� ��� �� �� ��� ������� ������� ��� ������ �� �� ���� ��� ������ �� � ��=����� ����� @ ��������� ����� � > � � � � � � ��� ���#������� 1����� ���� �������� ��� �� ��� �� ���� � � ��� ?�� ����� �������� � ������� � > � � � � �8� ������ � ?�����I ������� ���� �����

������� �� �� @

��

������� �� �������

��� �

��� D����/���E � � ���� ��� ������ ������ ��� �� ��������� �� ��/��� �� �� � ������� � �� ����� ������ � ��� �� ������ �� � � �� ���� � ��� �� ��������� ����=��� ������� ��� �� �� ��������� ���� �� ������ �� �� �

K

Page 6: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

.�=�� �� > � � � ��

����� @

��� ��������

��� ������� �� � �� �� ��� ���������� �������� � �� ?�� ���� � � �� ����� � ���������� � ��� � ���������� � ����� ��� ���� ����� ����� ��� ������� � � �� ���=��� � ��� 8��� ����� �������� �� � �� ������ ���� ����� ��������� �� ���

�� ���� ����� ���������� ���� ����� ���� �� �� ���� � �

?�� � � � ��� ������� ��� ������� ��� � �� �8 ������� � ���� �� � �������0���� ��� �������� �� �� � ��� ������� � '� �� �������� �

����� @

���� � ��������������

��� ��������� ���� �� ��=��

��� @

������� ��� @ ������

��� ������ ��� � � ������ � ��� �� ����������� � �� ��� ���� �� ��� ������� ��������� ������ �� �������� ����� � ������

����� � ��� �� � ��������� �� ���� ����� ��� � � ��� �� ��� ���� � D��/����E��� � /���� �� ��� �������� ��� ��� ���� �� ��� 7������ ������ �� ���������� ��� "�� ����� ���� �� �� ,�� * �������

��� �� ��� ��� � ��� ������ � ���� � �� ��� ��/� ��� �� � ������� ���� ���������� ����� ���� ���� � ����� ��� � �� ��������� �������

���������� � ��� ����� � > � � � �

���� @�������� ������� A ����

)��������� * �� ��� � ����� ���� �����>��� =�� ���� �� ��� ���������� ��� � )��������� * ������� �� ������� �����

�� � ��� ����� �B���� ��� ��� �� � � � � ���� �� ��� �� ��������� ���� ���� ����������� � � � )��������� * ��� �� ���� �� �� ��� �� �� ���� � ���������� � ������� � > � � � � ��� ��� �������� � ���� ����� �� ��� ����� ���� �� � ��� � � � �� ��� ������� ��#���� ��� ������ ��

���� )��������� * ������>

��� ���� �� �� ������� ���� �� � � ��� �����!������ ��" �� ������ � ������ �� ��

5

Page 7: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� �� ����������� �� ����

���� @

�������� ����� A ������ ���

@

�������� ������� A

��

��������� ��� A &

��

�������� ������������� ��

@

�������� ������� A ����

�� ��� ������� ��� ��� ���� 7��

� � ��� � @ ����� ���� � � � � ���� ���

�� � ����� �� ��� ���� � ����� � ����������� � ����� ��������� �� �� F����� ������ ��� ��� � ,������� ������� � �� �� ��=�� ��� �������� ����� � �������� �� �� ��

����� @ *

�����

������� �����

� � � � ������ ������ � �� � �� ������ ��� �������� ��� � � ������� �� �� ����������

����� @*

�����

������

?�� ��� ������� � > � � � �� ������ �� �� ��� �������

�� > � � � � �

��� �� � ����� ��

���� ���� �������� �� ��� ����� ���� @ ����� � ��� ����� @ ������ �� �� � ����������/�� ���� ��� �������� �� �� � ��� � 'L �� ��� �����/ ���� �� �������� � ����

����� � ,������ ��� ������ � )�, ������� ������ �� ,�� 3 ����� � @�8�� ��� ������ �� �������� ����� ��� �� �������� �� � ������ � �� � ����=����� �� � � ��

���� @ ����� � � � ��� � ���� � ����

��� ������� ������ �� � � � � ��� ������� �� � �� ��������� ��� @ '� �������� ����� ����� ��� �� ��� ����� ��������� �� ���� �������� ��� ��� ��������������� �� � � �������� ���� � ������ �� � �� � ������ ���� �� ��

M

Page 8: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� ���������� �� ����������

������ ��� ���� � ��� ���� ������� - ��� , �� ���� ��� ���� ��� �� ������ ������� ��� ������� ��� =�� ���� ,�������I ��� �� ���� � � ���� � ?�� � ����� ��� ����� ���� ����� � �� ���������� �������� � ,�������I ��� �� ��� ��������� ������ ������ �� �� $)� ��� *263(�

���������� � #�� � �� � ��� � �������� �� � ����������� ����� � ���� ���

���� @ � �� �������� ����� @ ���

��������� ��� ��� � '

)�������

������ *������

������ ������ � �

�� ��

����

� � ��� � $� ����� ������ �� ��� ����� ��� � � � ����� ��� ��� � '�

)�������

������ *������

������ ������ � �

�� &�

� ���

���������� �

����� ��� ��� ��� �� ���� �� )��������� & ��� �� ��� � ����������� ������� � ��� �� � ���� �������

���� -�������I ��� �� ��� ������� ��� ��� ��� �� �� ������� � ����� ������� ���

=�� &� ���� �� ���

���������� ��� $)� ��� *263(��

����� ������� ���������� ������ � ,�������I ��� �� ���� ��� �� F��B����� ����� ��� �� ��� ������� ���������� ���� ��� �������� ��� �� ��� ��������� )��������� & F��B����I ��� �� ��� ����

)�������

������ *������

������ ������ � �

�� &��

���

��� �

1����� ���� ���� �� ��� ��� �� �� �� ������ ����� �� ��� �������� ��-�������I ��� �� ��� ������

� ���

&�� A ���

����� � ���� � ���� ���� F��B����I� 0���� �� ��� ���� � � � ���������� ��� ������� ��� �� ��� �������� � ����� �� ���� &�� A �

�� �

6

Page 9: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

&���* A *�4� ��� �� � �� ���� ��� �������� � �� ��� ��� �� � ����� ��� ��� 4�3� F������� �� ��� ����� �������� ���� �� @ '� ��� �������� ��-�������I ��� �� ��� ������

�4��

&�

����� � ���� ������ ���� ��� �������� �� F��B����I ��� �� ����

�� � � ���� ���� ,�������I ��� �� ��� ��� � � ������ ����� ���� ����-�������I ��� F��B����I �� �� ��

7�� � > � � � � ��� ����� �������� � � �

���� @ ����� @ ����� ������

1����� ���� ��� ���������� ����� ���� ��� ��� �� ������� ������ � ��� � ����� ����� ����� �� ���� ������ ��� ���� �� � �� ��� �� ����� ��� ����� ����� ����� ������� ��������

C�� =�� ���� ��� �� ������� �� ���� ����� �� )����� ����� � �� �� ���� � ������� � > � � � � ��� ����� � �� ��� )��������� & �� ��/���� @ ��� �

!���� " #�� � ' �� � > � � � ���� ���� ����� � �� � � �����

����������� ����� ��� ��� � '�

)�������

�� ����� � �� � *� &�� ���

��������

���

����� �� �� ��� �������� �� ��� � �

����� � ��� 1��� ���� ��� ��� ���� ����� ��� ����� ���� ��� �� ��� ��� �� �

��� ������ � ������� ���� � � ����� �������� �

�����

����� ��������� *

���������� � �� ���� ��

��� � ��� ��� ���� ��� ��������� ������ �� �� ���� � ��� � ������ .�=��

�� @ ��� � ' � ���� �� � � � �� � ������ ��� �� ������ ����

��

���� ��/� � @ ! A�� ����� ! � �� � ���� @ �����

������ �������

� ��������� ����� ��� ������ � ������

7������� ������ �� ��� ��/� � ��� �� � ������� 0��� �������� ���� �� �������� �� ��� ��������� � ��� ������ ��� ������ � ��� �������� �� ��� �������� ������� �� ������� ��������� �� ��� ������������ � � ��#��� � ������ �����

2

Page 10: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

������� �� ��� ���� ���� ������� �� �� ���� ���� ��� �������� ��/� ������ � � � � � �������� ��� ��� � ��� ������� ����� �� ��� �� �� =�� ������ ������������� � �� ������ ��� � �� ��������� �� ��� ���� ��� ��� ���� ������� � > � � � �� � ��� � � � ��� ��������

7�� � ��� �� ��� -����� ���� � ��������� ������� �� � ���� ��� ����

���� @ �����

�������

�� ������� � ������� ���� � � � ��� G�� ��� � �� �� �� ���������� �����G����� � ������� �� ���/ �� =��� � �� � ���� �� ��� ��� ������������� ����� � ���� ������ �� ��� ����� � � �������� ��=���� ��������� � ���� � � ������ �� �� � � ������� � ��� �� �� =���� ��������� ������ � � ���� �� ���������� �� � �� ����� � �� ��� ��� � ���� ��� �������� � �� ��� �� ����� ��� � ����������� )��������� 4 �� �� ��� �� ������� ��� �������� ������ ���=���� ��� 0������ 3��

� �� � � ��� �=������ �� ������ -�� �� ������ � �� �� ��� ���� �������� �� � � ��� ��� �� �� ���� �� ������� � ������ �������� �� �� ��

7�� �� �� � ������� ���������� ��� ����� ���� ���� � � �� ���� �� ��������� �

������

�������� ����

1����� ����� ���� ���� @ ���� � ���� A ���� �� � � � �� ��������� �

������

���� � �����

��� �������� � �� � �� ��� ��� ��������� � � ��� ��� ���������� �� > � ��� � �8 ��� 8����/ M �� ���� �� � ��� ������� � ��� ��� F������� ���� �� � ��� ���� ��� � �� 0������ M ���� � � �������

7�� � � �� �� � ��� �� �� ��=�� ��� �������� ������ �������� ��� @ �� ���� � ������� ���������� ��� �������� ����� ����� ���� � � �� ���� �� ��������� �

������

*

�����

������� �����

1��� ���� ��� � �� � ��� �������� �� �� � ������� �� � � �� �� � ���������� �� �D�������� E ��� �� ���������� �� ��� ��� � �� ��� �������� � �� � �� ������ ��������� � � ��� ��� ���������� � �� ����� ��� �� � � �� � ��� ������ ������� �� 8����/ M �� ���� C����� ���� �� ��� ��� ������ �� �� 1��� � � ��������� ��� ����� ��� ��B����� ��#���� � ��� ����� ��� ����� �� ���

?�� � ����� �������� ���� �� ��� ����� �� � � � ������� � � � � �������� ���� �����

����� @ ����� ������

*'

Page 11: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

1��� ���� ����� � ' �� � � � � ��� ���� ������ @ '�,��������� ��� ������� ���� )��������� *� ���� ���� �� � �� ��� ���

��=������ ��� ���� )��������� ����

����� @ ������ A ����� @����� � ���� A ���� �*�

,������ ��� �� ������ A ������ ��� ����� ���� �� ��� �� ������ �� ��������� � � ��� � ����������� � ��� ���� �� �� �� �� ��� �����!������ ��������� =�� ����� ������� � �� �� ��� ����� �������

" ������ �*� ��� ����/ ��� ��� G�� ������������ � ���� ��� � ���� ��� ��

�����G ���� ��� ��B����� ���� �� ������������ �� =����� ������� �� ��� ��� ���� ������������� ������ 1��� ���� ��� =�� ���� �� � ���� �� ��� ���� � ������ ����� � ����������� � ��� ��� � �� ?�� =��� � ��� ��� � ����� ����������� ��� ������ � � ����� � ������� �� �� �� �� �� ������� ,�� ?�� �������� ����� ������ �� ��� ������������� ����� �� ������� ���� �� ������ ���� ��� ��� � ����� �� �������� ��� ����� ������ � ������� �� �� ��� ����%

�������� ��� �%�& ��� ���� $-���� *22K( ��� ���� 3* �� $1����� *226(�� ��� D���E� ��� ������������� ����� ��� ��� D��������E � ��� ��� � ������ ��� ���� �� ��������� ��� �� ����� ���� ��� ������� ������ � ��� ��� � �� ���� � �=���� �� �� ������� ��� ���� �� �� ��� ���� �������� ��� ��� � ��� �������� �� ��������� ��� ��� � ������ �� ���� �� ������� ��� � �� ��� ��� �������� ��� �� �� ��� ��������� �� ��� ��� � ��� ��� � ��� ���� � ����� ���=������C�� � ���� ��� ��

'�� ��� �!����� � �� ��� �� ��� �� ������� ���� � ��� ����

������� ���� *� � ��������� � ���� �� ��� ��� ���� ��

����� ���� ���� ���� ��� � �� ������ ���� ����� ��� ��� $F�� �� *22&L%����/ *226(�� C�� ���� ��� � �� ��� �������� ������� , ��� ,N �� ��� ������� ������� �� � ������ ��� ���� �������

�� ��� ������� ��� ����� � � �������� ����� C�� ���� ������ �� ������ ��� ���� ������� �� �� ����������� �� ��� ���� ������ � ���� ����� ��

�#���� � �$���� �%� ���� ������� 7�� �� @ ����8���� �� ��� �����

���� � ���������� �� ������ � ������ � �� ��� ��� � � � � ��� 7�� � @ ���8�������� "���������� ���� ������ �� � ����� �� �� ��=�� � ������� ��� � �� �8��� ��� �� ������� �

� @������

�����

F���� # @ �#�� � � � � #�� � �1� � � D�� ��������E� �#� @ #� A � � � A #�� ��� �� @

���� � � � ���� � ���� �� � � ������ ���� � ��������

� @

�"A �"

��� ��#$� ���� �� �� � %���� ���������� ����� �� � �� �� ���

**

Page 12: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

�� ��� ������� � @ �� � �� � ���� � *� � � �������� ����� -����� � ����� ��� �� �� @ ������ ��/��� ��� ����� ���� � * ���� �� �� ��� ������� � ���������� �� " ��� �� �� ������ ������� ���� �� ��� �������� ��� ���������� � ����� ���� � �� ������ ���� � ����� ������� ��������� ���� �� ������� � � �������=�� �� � ������� ��� �������

�#���� � �&� �� '�� ��� �� (% ���� ������ ��� ������ ��� ��� �������� ����� �� 7�� �� � � � � � � � ��� ��� �" �� ��� ����� ������ � � ��� �������� ��� � � � � ��� F��� �� ��� ��/� � @ �� � �" � ���� � $� �� ��� $ '�

��� ���� ��� ����� � ��� ���� ��=���� ��������� ����� ����� �� ���� ������ ��� ���� � �

� ��� � ���� �������� � ������� � ������ �7�� % �� � -��� ������ �� � ��� �� ��� ����� ���� � ������� � > � � �

��� ���� ��� ������� ������� �%

����� ��� ���� � �� ��� � ��=��� �� �� ��� ������� � ����� ��� � ���� ����

�� ����� � ����� ��

� � & ���������� &����� �% @ '�

��� � � F� ���� ���� ���� ��� �� �� �������

��� &�� @

������&��� �%�

�� �� ������ �� � �� ��� ���� ������� �� ��� ����� �������� �� ��� % @ �� ���� ����� � �� ������ � ��� ���� ��������� � ��� �

� ����� ��� ' > �"� �? ������� ��� -����� ���� �" ��� �? � �� �� ������

� ��� � ���� '�(� � '�(� � ������� �� ��� ������� �� ( � �"�

�#���� �)����� ������ 7�� � �� � ������� ������ �� �8� ���� �������������� ����� ��� ���� ����� � ��=���� � ��B�������� � ������� �� � ��� ���=���� ?�� ����� ) � �1 �� ��� ��=�� �� ����� ������� �� ����� ��

��� &�� @��

������

*��*�&�

F���� # � �1�� *�� � ��� ������ ���������� �����

��� �����

� ��� �� ��� ����������� ����

������ �� ��� 7������ ������ � �� � ��������� ��� "�� ����� ����� �� �� ������ �� � �� ��� ���� ������� �� � � ��� 1����� ���� ���� ) @ ' ��� ������������ ����� �������� ���� ���� � � �

� ���� �� ������� ��� � �� @ � ��� �� ��=��

*&

Page 13: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��� 0��� �� ���� +���� �� �� ��� ���� ����� � ����� ���� ������ �� ��� ����� ��� ��� 0��� �� "�������� ������� ���� ����� �� ) "�&� ��� ��� ����

'� > +���� ,� � ���

� �� ���=��� ��� �������� ?��� 8� ���I ������� �� � �� ���� ��� ���������� ����� � �������� ��� ��=������ � +���� ��� �� �������� �� ) � �8� ) � '� ������ � ?������ ������� �������� ��� � � $0�� � ��� <��� &''*(�� � ���������� ��� ����� � $��� �� *225(�

���� � (� ������ ��� � ��� �� � ����� $ �� +���� �� ��� ��/� ��� @

� @ '��(���

�#���� � �)���� ��������' �� � �� �� 7�� - > � �� � �8 �� ���������� ��� ��������� ���� ����� �� ��������� - � �������� ������ ���� ���� ��� =���� �� ���� � � � � ��� � � ��� �� � ������ -$#( ���� ��� .� ����� � -���� ���� ������� ��=����� �� �� �� ��� ������� � (����� )������ 7�� % �� ��� -��� ������ �� �� 7�� � > � �

� ���� � ��� �� ��� ����� �������� ����� ��

� ������ @

�-��� /���/��/�

���� � � �� ���=���� �������� ��� ������� ��� 0������ * � ,������ ����� ��0������ 4 � ,������ ��� �� � ������ ���� ����� ���� � F� ���� ���� �� � ���������� ������� �� � ��� �� ����� ����� )����� '������ ������ 8OF0 �� �����

�������� �� - ��� � ��� ����������� � % ��� ���� ��� ����� ��� ���� � �

F� ���� ��������� ������� � �� ��� ��� �� � F���

���� ������ ��� ���� ����

� � � ���� ��� �� � ����� �������� ������� ���� Æ ���� @ � � ���� �� ���� ���

� ����� �������

�������

� �� ��� � ���

��

�������

��������

����� �� ����� �� �� �������� ���� ��� ������ � � ��� ��� �� ������ ������ ����� �� 0������ K � ,������ ��� �� �� ����� ���� � - � �� ���� �� ��������� ?�� � �� !����� /���� - �� ��� ��� ������� ���(�� � � ������������� ��� ������ �� ������ � �� ,������ ��� ������ �� ������� ��� !����� /���� ��� ���� �� �����

����� * ��� ����� � ����� =� ���� � ������� ������� ����� �� �� ���� �� ����� � �� � 7�� �" �� � -����� ���� � ������� �� � ��� '� > �" � � ��� �������� ���������� �� ���� ��=��� �� $ '�

� @ �� @ �� � @ '� �(��

����� (� ������ ��� � ��� �� � ����� $ �� �"� C ����� ��� ��=������ ��������� ���� ��� ��� ��� ����� �� ��� =� ���� ��� ������ �������

*4

Page 14: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

! "������ #�������� �� ��� $����

C�� ����� ���� ��� �� ������� -� ������ ������� � �� ��� �� � ����������� � ������� � � �� ��������� ��� ������� � -�������I ��� �� ���� ������� -� � ������ � ��� ���� ��������� ������� �� 0�������� 7������� ������ � ����� ���� �� %����/ ��� ���� $F�� �� *22&L %����/ *226(�� ��� ���� ��� �� ������ � � �������� �� ������� �� ��� ������� � � � ��� ��� � ������� � ��0������ 4� ���� � ��� �������� ��� ���� � ��� ��������� ������� �� ������ ���� ��������� �

7�� � �� � ������ ���� ��� ) '� �� ��=�� ��� �������� ����� � ��� )� ���� ��� ������ 0 � �1 ��� ���� ����� ���� 0 ��/ �� � ���� ����� ) �������� ������ � � �������� � �� ��� ���� ��� ������ � =�����

!���� #�� � �� � ������ ������ �� � ���� *���� ����� ��� ��� � � ��

������ �� �� ����� ����������� ����� ��� ��� � '�

)�������

������

� ����� � ��� *��

��� �

6�

&�� ���

���������

��� �

'��� �� @ ����� @ �����

������ ��

1����� ��� ����� ���� �� ������� �� ��� �� � ������ ��B������ � �� ����������� ������� ����� ��/� ���� ������� ��� �������� ��� � ��� � � �� ������ � �� ��� �� ��� �B��� � �� ������ ��� ��� � ��� � �� ������� ��������� ��� ������� ��� ���=����� ��� � ������� ��

7�� ��� �� � � ���� �� =�� ������� ��� �������

� ������ ������ ����� � �� ��� � ���� �� � ��� � � � �� �� 7������ ���������

���������� $� ��������� �� �� � ��� 1 � � �� ���� ������ ��� . @ *� & �����

��� � � 1�

� ������ ������ � 3���� � ���������� ?��� ���� ���� ����

������� ��� � ������� ��� @ ������� ������������ A ������ &��

�� ����

������� ������ @

����� ������� ������������ A ������ &��

����� ��� � ����

��������� �� A ������� ���

� ��� � ����&��

*3

Page 15: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� �� �� � � 1�� �� ����

�������� ������� @*

����������

�������� �������������� A ������� &���

������ ��� � ���� *

�����

��������� �� A �������� ����

� ��� � ����&��

���

� ������ ������ @ ������� ������� ����� A ������� � ��� � ����3��

����� + 1����� ���� �� �������� ��������������� �� ��� ���� ����� G�� �������� ���� ��� ����� �� ������ � ������G ��� ������ � ���� ��� �� � ��� � ������� 1������ � ��� � ���

����� , 7�� � � � ��� ��� ����� �� � � � �� ����� � �� � � � �������������� ���� ��� ����� ������������� � &��������� ��� ��������������� �&���� � ���� ��� � ���� � � �� > � � �8 ��� ����������

-��� � #�� � @ �� � � � �� �� � '� ����

)�������

������

� ����� � ���

�����

)�������

�������

� ����� � ���

����� �� � �� ��� ��� � ���� ����

�����

� ����� � � �� �. � 0 ��� ������

� ����� � �

��� ��� ��� ���� ��� ������� ��� � � ����� � ����� � ������� �� ��� �� � ���������� ���� � ���� ������ �

����� �� �� �� � � 7�� 0 @ � ��� ���

���� ������� ��� � � � � �� ��� ����

��� ��/ *� �������� �� �� ��� ���� ����� ��� ����� �� 7�� 1 �� � � ������

�� �� ����� ������ �� �� � -� )��������� 4� �� � � � 1� ��� � � � *� �

� ����� ������ � 3��� � ���� � 3��

3�@ ��

0���� ��� �� � �� � � � 1� ��� � � � *� �� ���

������

� ����� � &�� � ������ � ��

*K

Page 16: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

�� ���� ��� ����� �� . @ *� � � � � 0�

)�������

�������

� ����� � &�

�� )���

������ ������ � �� � &�

� ���

�������� �� ���

���

���� ��� �� ������� ���� ������� �� ��� �������� ��� � �� ��� 7���� *�� ��� ����� � �� ��&� �

����� . �� ����� �� 8����/ 4 ���� -�������I ��� �� ��� ��� �� ��� � � ����������� ������� � ��� �� � ���� ������� �� D�������E ������ ������ ���� �� ��� �� ��������� ��� ��� ���� � ������� -�

���������� � #�� � �� � ����� �� ��������� ��� � ����������� ����� � �� �8 ��

� � ������� �� � � #�� 1 � � �� �� ���� ������ ���� �����

��� ������ � ( ��� ��� � � � �� ��� � � 1 � ��

��� � ������ ������ � - ����� ���� ��� ��� ��� �� � � �� ��� � � 1�

����� ���� @

������ ��� *

�����

���� ���� ����� ��� ��� � '�

)�������

��� ��

� ����� � ��� *��

�� � �

&-

&�� ���

���������� �

'��� �� @ ����� @ �� ��

������ �

% #��������� ��� &���� #����

F�� ���� ��� �� ������ �� �� �� � �� ������������� � ��P C�� �� ����� �������� �� ��� �� ������ ��� ��� � ����� ������ �� ��P ��� ����� ���� ��� � ����� �������� ������� , �� ��� ���� �� ������

-��� � #�� � �� � ������ ������ �� � ���� #�� � ' �� ' 2 Æ 2 * ���� ����

)�������

������

� ����� � ��� *� �

����)�������

������� � &�� � *� �

*5

Page 17: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� -� �������� �� ����� ���� ������� ��� �� ��� *� �

����� � ������ A �

��������� � ����� A ��

!�������� ���� �� �������� �� �� � �� ����

������ � �������

��������� ���� ������� ��� �� ��� *� �

����� � ������ A � � ������ A � � ����� A &�

��� ���� ������ � &�� �

8�� ����� � �� ��& �� 7���� & ��� ���� ������� - ��� ������ ��� � ������

!���� � #�� � �� � ������ ������ �� � ���� *���� ����� ��� ��� � � ��

������ �� �� ����� ����������� #��

�� @ ����� @ �����

������ �

����� ������ � �� ��� �������� �� ��� � ����� ��� ��� � '�

)�������

������� � �� � *����� �

*5�

&�� ���

���������

��� �

�� ��� � � ������ ������� ,N �� 0������ M ������� ��� ���������� �� �� ��,��� ��� K ������� ������ � ��� � ���� � �� �

����� / ������� , �� � �� ��� ���� ��� ������ ���� �� 0������ 4� 9������ Æ '� �� ����� ����

)�������

������� � �� � *� Æ

�� � ������ ���� ��� ������ � � ����� � ���=�

� � 6�3�� A �

����

��

� ��&���� �

*5�

A �

�*

Æ

�� �&�

�� ����� ���� ��/� Æ @ � ��� ����

�&�� ���

���������

��� ��� � �� �� �� -�� ���������� ���� �&� ���� � �� ����� ������� ��� ����� ���� ������ � �� Æ ��� ��

*M

Page 18: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

' #��������� �� �������� ( �����

� �� ���� ���� ��� ������� �� ������� - ��� , ���� � � ����� ��� �������������� � ��� 3�� F��� �� ���� ������� �� ��� ����� �� ��� ���� � ����� ��

C�� =�� ��� � ������� ��� �������� ������ � �� �� =���� ��������� -����� ����� 7�� �" �� ��� � ���� ��� ������ �� (� ��� � ��� �� � �����$ �������� �� ��� ������� �����

(� @ �� � �" � ��� � $��

���������� * #�� � @ ��� �"� ���� �� �(�� 3� � � �

�3$

3

)��������� K � �� ��� �� ����� ��� �������� ������ ��������� �� "���� � &���� ���� �� ���� ���� � ������ � ��/�� ��� $,�� ��� 0������� *22'(� �� =����������� ��� ������ ��������� �� �������� ��� ���

7�� � �� � ������ ����� ?�� � � * ��=��

����� @ ���� ' � � � ��� �� *�� � � � � *� ���� ����� � �������� ���

1��� ��������� � 3 �� � ��� 3� � � �4�

���� ���� ��� �� ���� ��� � ���� ��� �� ��� �������� � � �������� � � �� � �� � ����� 3� � �� ���� ���� �� �� � �� �� ��� ��� ����� �� � $ '� ���$�� @$������ F��� $� @ �$� � � � ���

� �� �� � � *� ��=��

����� @ ���Æ ' � ���� � � � � ���� � � ��� �� � �@ .� ����� ��� &Æ��

-��� ��� ��� ��� � � *� ����� � ����� � &������

���� #�� �" �� � +����� ����� �� ������� � �� (� ��� ���� ���� �� �"� ��� ���

� � *� ���� � ���(�� � 3�� A *��

�� �

����� )��� ��� � ��� �� ������ ?�� ���� ����� =�� ���� ���� ���(�� � * �� � � � �1� 7�� � 2 ���(��� ���� ����� ���� ��� � � � � ���� ��� ���� ����� ��� &� ��* � � �@ . � � A *� 7�� *� @ �� A �(�� . @ *� � � � � � A *� , ��� �� *� � *� @ � �� �@ .� �� ��������� �� � � � *� � ��� � �� � ��� A ���� � � A * 2 &� ���������*� � (��

� � ������ ����� �" � ��������� �� �8� � ��� ��� ��������� ������ ���" � ������ % ����� � ��������� ����� ���� ����� ��� � ���������� � ������

*6

Page 19: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� ���� ������ �� ���������� ����� %� (� @ �%�(� �� ����� ������� � �� (��+��� ��� ������ �� ���

�������

%�*�� � %�(����������

��%�(�� � &�%�(��

� �� A *��� � &� � � � &�� A *���� �

?��� ���� �� � �� ���(�� � 3�� A *���� �

?�� ��� ����� ��� �� ��� �� ���� ������� ��� � ���(��� ���� ����� ���� � ����� *�� � � � �*� � ����� � �������� (� ��� ���� ���� � %�(�� � ���%�(�� �����

��� �� ���� � �� �

7�� � � �8� �� ������ �� ��� ��� ����� ������� �� �� ���� �� � �� �� ��

����� �� ����������� � 7�� � @

��3$

3

� *

�� ���� �A* �

�3$

3

���

3�� A *���� � 3

$� ���(�� � 3

$�� ���(�� � 3 �� � �(�� 3� � ��

?��� ���� ��� �������� � �� ���� � � ���! �� � �

�� ��� ���� "���� � 4 ��� 3 �� ��������� � ���������� ������ � ������ ?��� � * ��=�� ��� ��� ������� ����� � � ������ ���� � �� ���

����� @ ��� ' � � � ��� �� *�� � � � � *���� ���� ����� � �������� �

��

� �" ��� �? ��� -����� ���� ��� � > �"� �? � � ����� ��� ���� �� ��=��

���� � @ ���� �(����

-��� � ��� ���� � � 3 �� � �� �(��� 3� � &� � *� ��

��� ���� �(��� @ $���� ��

����� ?�� ��� ���� ����� ���� �4��

���� � � 3 �� ������� �(��� � 3 �� � �� �(��� 3� � &� � *�

)��� ��� � � ���� �

�#���� ��� �� %'� 8��� ���� +���� � � 0��� �� ���� ��� �� ��� ������� ���� ) "�& ��� ����� �� � �� ���� ��� ��� ����

'� > +���� ,� � ���

�&�# �#� �� � �� �� �� '��� (���� ��� & $���� )���*+ ��'�+ ��� ��'�+ �� %���� ������� �� � � ��$� ��#�� ��$% ����� "�������� (��#���� ��� ���� )��,* � ���� �-$������ ������� ������ ��� ��'�+�

*2

Page 20: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� � ������� ���������� 7�� (� �� ��� � ��� �� � ����� $ �������� �� ��������� �� +���� ��� � @ '��(�� �� �� ����� �� � ����

� ���� ��� � G� � /��� ����� ���/ �� ��� ���/ � -����� ���0� ����/ $*25M(G ���������� ������� ������ � 0��� �� ���� ���� ����� �� � �8� � � ������� ������ ���� ����� ���� �������� ��� ) "�& ����� ��� � � *�

���'�� � 4�*

���

� �3�

?�� � ����� ��/� )� @ )� )� @ '� 5� @ &� 5� @ � �� � ���� ������ ������� �"����� ��� ������ �$*225(� ���� *'K�� F��� 4 � � D�������E ����������� � ������� ������ ������ �� � ��� )�� �� ��� � �� ��� �� �� ��� ������� ���������� ���� ��

����� �0 �� ������ �� ��� ������ �� ���� ����� �� ������� ��� �� �� � ���������� ��������� �� ��� ������ �� ��� ���� �������� � ���� ��� ������� 4������ �� ���� �� ������ �

���������� + #�� (� �� ��� ����� ���� �� �� ��� $ ������� �� ��� ������ �� +������ � @ '��(�� �� ��� ���� �� � ���� ����� ��� ��� � '�

�� ��� �� ��$4

���

A *�

����� 7�� 3 @ $� ��� � @

��4

3

����� ���� 3 � 4

�*

���

� -� ��� �� ���

�3� �� ��� ���� ���'�� � 3 ��� ��������� � �'��(��� 3� � &� � *� F�����

��� �'��(��� $3� @ �� �'��(��� 3� 2 � 2

�$4

���

A *�

�� ��� �� � )��������� 5 �� ��� ��� �� �� ��� ��� ������� * �� �������4 � ���� � �� ������ )��������� 5 ��� �� ������ ���� �� ����� ������� ���� ������ ��������� ��� � �� $"����� ��� ������ *225(�

�#���� � ��� �� %'� 8��� � - > � �� � �8 � � �� !����� /���� ���

�� > �� � � ���

� ��� ������� ��������� ��=��� �� -� ��� � ����� ��� � �� �� ������ ��0������ K � ,������ ���� 7�� (� �� ��� �� � ����� $ �� �� � ����� �� � 6 "�3 '� ��� $ '�

������(��� 3

��$4"

3

��

&'

Page 21: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� 4" � � ������� ����������� � 3 ��� $�� � ���� ����� ��� ��� � ����� ���=� ���� ����� �� Æ '� �� ����� �� ����

)�������

������� � �� � *� Æ

�� � ������ ���� ��� ������ � � ����� � ���=�

� � 6�3�� A �

����

��

��*5�$4"

��

A * A �

�*

Æ

��

����� �� �� ��� ����� � ������ ��� � ������� �� ��� � ��� ������ ����������� '� > �" � � ���� �� ������ ������� � ��� ������� ������ �� '� � ���

��� ���'� � � 4�

���

�� �� ��� ������� ������� 4� ��� 0� � ����� � ���������� � � ��� ���� � �� � �� 0� �� �� ���� �� �� ���� � ��� �� �� ������� ������� � � ���� � ��� ������ �������

1��� �� ��� ����� �� � @ �� �� ���� �� ��� �� ��

�#�

�����

�� � �� ��� ������ �� ������ ���� ��� �� � ������� ������ �� ������� �������� ���� ������ �� $�� ������ 0�� �� ��� 0��Q� /�� *226(� C� ��� ����� ������������ ������ ���� � ����� ������ �� �� ���� ������� ��� $O� ������� �����/������� *2K2L %����/�� *2K2L 7������� 9� �����/� ��� !�/���� *225L ��� ��9��� &'''(�� 0�� � � $����� *22'( �� ������������ �� ���� ������ ������ �����������

) �����* ��������� &����

� ��� � ����������� ��� ���� �� ��� �������� ���� ���� ���� ��� @ '� ��� ������� �� � � � � �

� ���� ������ � @ '� �� � �� ���� ��� @ ' ��� ��� �������� ��

��� ����� �� ������� , ������ ����� � ��� ��� ���������� �� � � ��� ��������

��� ��� �������� �� ������ �� ����� ��������� ����� � �� ���� ������� ����� ������ ������ �������� �� 8����/ K� ��� �������� ���� � � ������� ����� ���� �� ������� ,N �� ��� �� ��� ��� � �������� ��� ������� 4�6 ������� ��� �� � �� ������ ��� � ����� ���������� �� � ������� ������ ��� @ '� ��� �� ���� ������� $-����� *22'L 7��� -��� ���� ��� �� ����� *226( ���� ���� ���� �� ����� ��� �� �� ��

!���� �1 #�� � �� � ������ �� �����! ������ �� � ���� *���� ����� ���

��� � � �� ������ �� �� ����� ����������� ����� ��� ��� � '�

)�������

������� � �� � *����� �

&3�

��

������� �

&*

Page 22: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

������� ,N ��� �� �� "���� � * �� 3� -���� ���������� ���� ��� ���� �������� ,N �� ������ ���� ����� ��

�#���� � ��� �� %'� 7�� �� � � � � � � � ���� �" ��� ������ � � ��������� �� ��� � � � � �� ��� � @ �� � �" � ���� � $� �� ��� $ '� ��� 8����/ 2� ����� �� Æ ' �� ����

)�������

������� � �� � *� Æ

�� � ������ ���� ��� ������ � � ����� � ���=�

� � &66��

�� �

�25$�

A �

�*

Æ

��

��� � �� ��� ������� ,N �������� ���� )��������� K�

�#���� ��� �� %'� 8��� � +���� � � 0��� �� ���� ��� �� ��� ���������� ) "�& ��� ����� �� � �� ���� ��� ��� ����

'� > +���� ,� � ���

� � ������� ���������� 7�� (� �� ��� � ��� �� � ����� $ �������� �� ��������� �� +���� ��� � @ '��(�� �� �� ����� �� � ����

� ������ ���� )��������� 5� ����� �� Æ ' �� ����

)�������

������� � �� � *� Æ

�� � ������ ���� ��� ������ � � ����� � ���=�

� � &66��

��&34$�

���

A �

�*

Æ

�� �K�

F��� 4 � ��� ������� � �3��

�#���� � ��� �� %'� 8��� � �� > �� � � ��� � � ������� �����������=��� �� � �� !����� /���� - > � �� � �8� (� � ��� �� � ����� $ �� ��

��� � @ ���(��� � ������ ����� �� Æ ' �� ����

)�������

������� � �� � *� Æ

�� � ������ ���� ��� ������ � � ����� � ���=�

� � &66��

��&3�$4"

��

A �

�*

Æ

��

F��� 6 " ��� 4" ��� � �� 0������ 5�

&&

Page 23: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� �� 1��� ���� �� ��� ����� �� "���� � 4 ��� 3 ����� � �� ������������ ��� �������� � � ������ � ��� ��=������ �� ������� ���� ��� ����� ���� ��"���� � &� ���� ��� � ��� �� ��� �� �� D������������E� ��� ��������� $ ��"���� � 4 ��� 3 ��������� ��� ��� � ��� �������� ���� ��� � ��� ��� ��������� ��� %, �������� ������ � ��=���� �� ���� ����� ���

������ ��� ���� � ������� ,N �� ��� �� ��������� �������� � �������������� �����

?��� ��� ������� �� 0������ 4 �� � �� ���� �� � � ������� �� � ����������� �� � �

� ��� �� �� � ������ � �� ���� ����� ����� � � � ������� �� ���� ���

-��� * #�� � �� � �����! ������ �� � ��� ���� ���� �� �!����� ���� �� ��

������ �� �� ������ �� � �� ��� �� � ��� ��� � � ���

���� � ��� � ������

����� 7�� ) @ ��� �� ��� ������ � ��� ���� ���������� �� ��� � �

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

�� �

0���� � � ������� ) � �� ���� ���� �� �������� ��� ������� �� � �� ��� �� ��

���� �� �� ���� ����� �� � & � )� ��� � ����� � �& � ����� ��� ��� �� ���� ���

��� � ������ � ����� ��� ���� ��� �� ����� ���� ��� ���� ��� ������ �

��� � ���� � �� � ����� � ��� � ��������� �

���� � ��� � ����� ������

��� ����� ��� ������ ��� �� ���� ��� ��� ���� � �� � �� �� ������������� ��� ������ #������ ��� ��������� � � ��� � �� 8������� � ����� ��� ���

���� ���� ��� � ���� �� � ��� ���� �� � ��� ������ ��� � �� � ���� � � � � @ � ���

&4

Page 24: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��������� � ���� ��� ���������� �� ������ ,-� ��� ��� � '�

)�������

����� � ���� � �

�� *��

��� �

&3�

��

������� �

1��� �� �������� �� ���������� ���� ����� � � ������� ���� � � ��� � ������� �������� ������ � ��� 3� ��/� ��� ��� ��� =����� � �� ���� ���� ��������� � ' ��� ����� �� � � � �� ������ �� � � ���� ��� � ����� ��� ����� ������� - � ��� ���� ������� ���� ������ ��� ���� � ������� ,N�

?�� � ��� � � � ��� ��� �������� ����� �� � � � � � � ������ @ ����� �������� 1��� ���� ������� � '�

���������� , ��� ��� � ' �� ' 2 # 2 *�

)�������

������

������ ������

����� A �� 4#

�� �

��� #�

3�

��

������� �

-���� ������� )��������� M �� �� ��� ������� ,N � �� ��� ���

����� �� �� �� � �� )�� # @ *�5 �� )��������� M� -� ��� ��������������� ������� ��� �� ���

*����� �

&3�

��

��

�����

�� ����

�����

������ ������

����� A �2

*

&

��� ��������� �� � � � �� ������� 2 ������A���� ��/� � @ ��� ����� �� ��� ����

�� &������� 2 &������� A �

��� ������� � ' �� ��=������ � �� ��� ����� ������ 2 � ��� ��� ������� � ����

�� ��� ������� ���� ��� ���� � )��������� M� 7�� 0��� > � � � �� ��=����� ��� � ���� � ���� �0��� @ ���� � ����� @ ����� ���� �� � � ��� ��0��� @

������������ @ ������� �� ��������� �� ���� ���� �� � � � �� �0������ ��� ���

����,�������� � �� � ��#�� �� � �� ��� � ����� ��� �� 7�� �� @ ���0���� ������

��� �������� � 0������� ��� ��� �� � �� �� ��� �% ��� �. � ��� �� ���# ���%������� �� � /�� �� ������

��� � �#��� � / � 0�� � �

&3

Page 25: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

-��� + ��� ��� � � �� �� � 3��������

�����

�� � �0���� @ �$��� � ����� � � A � � ����( � 3���$��� � ���(

�� �� � ������ �� ����� ���� �$��� � ���( � ������ ��� ��� � ����� � 7���� K��

C�� ���� ��� � � � ��� � ������� � �� ��� ������ ������ � 0����

-��� , #�� � � �� ��� ��� �� # '� # � *�

)�������

������� ������

����� A �� #�� ������

��� �

����� 7�� � @ ������ +��� ��� �������� -�������I ��� �� ��� ��� 8�����/ 4� ��� ��� �� 0��� ��� ��� ��� ���� �0������� ��� ���� �� ���

)�������

������� ������

�A �� #�� �

� ����������

��������

�������� �

�� �� � ���� �� ��� ����

6��� ��A ���

&��� A �

��#��A ��

��� �

3��

��� A

*

4��#��A ��

� ��A ���

�� ���

3��A�#�

*&A��#

*&� ��A ����

��� ����� ��� ����� ���� �� ��� �� ��� ��������� � ������� �� �� ��� �� ����# � *� ��� =�� ��� � �� �� ���� �� ����� �� 7���� 5� �� � ������� �� 3������� ��� � � �� ���� &��A �� � ��A ���� �

-��� . #�� ' 2 # 2 *� � '� �� � � � ���� ����

������ ������

����� A �2 #�

��� ��� & � � ���� ���� �� � &�� � ���� �� ����

���&� � ����&�

���&� A �2 4#�

&K

Page 26: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

�����

���&� � ����&�

���&� A �@

��&�� ������ ���&� A ���������&� A �

@ ��&�� ��������&� A �

@ ��&�� ���� A ����� �����

���&� A �

@ ��&�� �������&� A �

A ����� ��������&� A �

� ��� =�� ���� ����� � �������� ���� �� � ������� � �� �� ���� #� C������� ������

��&� � �������&� A �

� ��&� � �����

� 3�#�

3��@ #

��� �� ��� �� ��� �� )��������� 4 ��� ���� ���� �� � &�� � ���� � ?�� ��� �����

����� ���� ����� ���� ��� =�� ���� �� ��� ���� � )��������� 4�

����� ��&� � &��� � &�� � &�#�

3�2 �

���� # 2 *� ��� ��� �� ����

������ ���&� @ ����� ��&� � � � ���&� A �

��� � ���� ��� �� ���� ������$��� � &� -�� ����

����� ��������&� A �

@������ ������

���&� A �� #����� A �

���&� A �� &#�

)��������� M � �� ��� 7���� 6 ���� ��� ��� �������� ��� �� ������������ - ��� )��������� 4�

����� � 1��� ����� �� ������ ������� ,N� �� �� � ��� ��������� �� �����7���� K� -�� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� ���� ��� �� � ���� �� ����� ��������� �� � � ��� ����� ���� ��� � ���� �� � �� �� ��� ��� �� @ �� ��� ������ �� ��� �� 7���� K � ������ �

+ ���� �����,�

����� �� ��� ������� � ��� ������� ���� ���� ������ �� � @ �8� ���� ������ �������� �������� �� � � =���� ��������� ����� ������� �����

����� �* ��� ��� ���� ����� ������� ���� ����� � �� � ��� � ��� ������� �� ��� ������� ������ ���������� C�� ���� � ���� �� � ��� ������ ������������ � ����������� ��������� ��� � ��������� ��� ������ F������� ��� ��� ���� ����� �� �� ��������� ��� ���� ��� �� ��� � �� ���������� �� ��� ������ ����� ����� ������� �� ��� �������/ � ��� ������ 0�� ���� $.��/��� .�������9������ ��� 0����� *22M(�

&5

Page 27: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� �+ 7�� � ������� ���� �� ���� ���� ���� ��� ���� ���������� ��������� �� ������� ������� ������ � ������� �� %����/� ���� ��� �� � %, �%����/�,��������/�� �������� ��� �� ������� ��� ���� $F�� �� *22&L %����/ *226(��� �� ���� �����/�� ��� �������� ���� � � �� � ������ �� � �� ��� ������������� ��� ��� ��� ������ � �������� ���� � � ���� � ������� �� � ����������� �� ���� ���� ��� ���� ������ ������� ���� � ���� ������������ R������ ������� ��� � ����� ��� ��� �� �������� ������ � ���� ��� ������� -� ,���� ,N� �� ���� ������� �������� ������ ��� � ������ �� ��� ��� � ��� ������ � ����� ������� �� ������ �� ��� %, ���������

C�� ��������� ���� �� ������� ���� � � � ��� ��� ���/ � �� � ���� �������� ��� ��� ��� %, �������� � ��� ���� �� ��� ����� $ � � �� �������=�� ��� �������� ���� �� � 0��� �� ���� �� �� � ����������� /���� F� ���������

!������� �� �������� ��� ��������� ���������� ���������� ��� ��� �� ����� ������������� ������ � ��� ���� ��������

������� ��� ���� ����� � ��� �

?�� � ����� �������� ����� ��� ����� ����� � ��� �������� ������ �� ���������

����� @ ������ A ��������� =�� ���� �� ��� ��� ��� ��� � ������ �� ���� ��� ��� � ,������ ����� ����� ����� ��� ������������� ������ �� �� ��� ��� � ��� �������� ���������������� ����� ������ �� � �� � ��� � ���� �� )��������� *� � � �� ������������A���� 1��� ���� ��� ��� ��� ������ �� ��� ������ ��� ��������� ����������� ��� ������������� ����� �� �� ������� ��� �������

����������� 0���� ��

� ��� /���� ��� �� ���� ���� �� �������� �� �� ����� ����� �������� �������� ���� �� ��� ���� ��� ��� �� ����� ��� ������������� ������ �� ���� ����� �� � � ���� �� @ �� ��� ��� ������� ����� � ����� ��� ������� � ������� ��������� � ��� ������� �� ������ � ��� ��� ��� ������� ������ ��� ���������������� ���

� �� ���� ������ ��� ��� �����*������� �����

�� ��� ������ �� ���� �� ����� � � � =���� ��������� �������� ���� �"����� � K �� ��� ��� �� ������� �� ��� ������������ ������������� ������ �� ��� ����������� �� �� ���� �� ������� ��� ������ � ��� ������� �� � � ����� ���������� 9����� � ������� ��� �� ��� ���� � �� ���� ������ � ������� ������� � ���������� ����� �� ��� �������

&M

Page 28: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

C� ��� ����� ?������ ���� ���� � ��/ ��� ��� ���� �� �� ������� �������� ��� ����������� ��� �� /���� �� ���� �������� C� ��� ����� ����� ������������ ������ �� �� �� � �� ������� ��� �� ����� ���� 9����I �������� �� ���������� �������� ��� �� ������� ������ ��� �������� � � ,������ ���� � �� � ��� �� � 0��� �� ���� ����� ���� ������� � ���� ���� �� ������ ���������� ����� ���������

7�� �� �� ��� ���� �� �� �������� �� � ��� ������ / ��� &�� ��� � @ �����

��� "���������� ����� ?�� ���� # @ �#�� � � � � #�� � <<� ������� ��� ���� ���� ��� ������� �� �� �� ����� �� ���� @ �&������������� F��� � @

�*� -���/��� ��� ��� ���� ��� �� !�����I ���� � ��� ��� ������ � ��� �� ��� ��������� �� ��� �� ��� ��� ���� ���� �� �� ��� ������� �� ��

7�� � �� ��� �� ��� ���� � ���� �������� � ������� �� � ���� ������ �� ���

7������ ������ ������� �� � � � ������� � �8�� 8��� ���� � � ����� ����� � F� ���� ���� + � ��� �� �� � ������� ���������� ����� ��� � '������ ������� ��� � ����� ��������� �� �>

*� �� � �� 7 � *� ��� %� @ '�

&� �� � � � *� ��� @ *� ���

4� �� � � � +� � @

�����

��� ����

��� �� �������� ��� � F� ���� ��� � � �� ��� ���� ������ �� ��� ����� �������

��� &� @ � �&� & ��� ���� �� ���#����� � &� ���� ����� ������� � � � �� ��� ���

�� ������� �� @

������

8���

-�� � �#� � ���� ��� ������� & ��� ��� ���� ���� �� ����� ��� ��� ���� ����� ���� ���� � =�� ��������� ������ ��������� � ���������� �������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������ � ���� �� �� ��� � ���� � � � ��

��� �������� �������� ���� �� ������ � ��� �������� ���� � 0������ 4 ��,������ �� �� ��/� ��� �� ������� ��� ������ �� � � �

� ��� ������ �� ��� ��

&6

Page 29: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��������' �� ��� ( ���� ��� ������� �������� � F� ���� ����� ��� ��������� @ ��(� � ��� ���� � ��� ������ � ������� ������ ����� �� ��� �� � �����( � �8�� ���� � ����� ����� � ��(� � �&(����� ��� �� ��� � ����� $ ���������� �� ��� ���� � �� �� �� � � ��������� �� ��� � � ,������ ��

����� � 7�� H > ������ ����� �� ��� 7�� ��� ���������

H��� @

�����

9��

9����

�� � ��������� �� ����/ ����� �� � # � <<�� H��� @ ��#���� ��������� � ��� ����������� � �H ���� ������� �� �#���

0���� ��� "���������� ���� � ��� � ���� ����� � ���� �� ��� ����� � � ������� ������� �� ������ ��� ������ � ������� �� 8����/ *�

�#���� * ,������ ��� �� � ������� ������ �� �8� ���� ����� �������� 9����� � F� ���� ��� ���� � � �� ������� �� � �

� ��� �������� �H� @ :�� �� �� �� � � � *� @ ' �� 9�� �� � � � *

����' 2 :� � :� � : � � � ! ��

F��� � � ��� 7������ ������ �� � ��������� ��� �8�� ��� �������� ����� �� �:��� � � ����� �� � ���� ������� �� ��� ������ � � ����� ��B�������� � �������

?�� � � �1 ��������� � ��� ������ ���� ��� ��������� �� ��� � � � � ��� ���

������ �� ����� #���=������ �� ��� ��� �B �� ��� ��� � ?������ ���� �� ��� ������ ���� ��� ��� ,������ 1��� ������� �� ��� ���� ������ � !��� ������������ ��� $0�� � *25K( �� � ���� ��������� � �� � ������ �� � @ ���

�� ��� �� � ����� $ ���� ������ �� ��� ���� � �� �� �� ��� �� �� �� ��������������� ������ ��������

8��� �� ���� ����� ���� �� � ������� �� �� ����� �� � � �� ��� ���

�� � � �� ���� 0����� �� �������� ���� $ � ������ ���� $ � ����� ��� �� � ���

��������� ���#������ � �� �� �� ������ ��� ����� ������� �� � �� ���� ��� ����

��� � � ��� ������ ����� ��� ������������� ����� ������7�� "�� ������ ��� �������� ���� �'� ����� ' � ��� �������� �������

��� ���

(� ��� ����

�� �� �� "�� ��� ��������� � � ����� ������ �� ��� �� ������ ��� ���� ������� ��� ������� ������ �� �� � ���� ������� � �� ����� ���� ��� ���������"�� � =�����

&2

Page 30: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

0���� � � ��� /����� ���� "�� � ��� /���� �� ������ � �� � -�� ��� ��������� ������� * �� �� ���� � �� ����� ������� ��� ������������� ����� ��� "���!�������� ��� ������� ��� � ��� �� ��� ���������� ����� "��� �� ������������ � ��� ��� �� ������ �� ���� � � ��� ����� /����� �� �� /��� �� � �� ��� ���"�� ��� �� ��������

?�� � @��

��� 8��� �� ���� ������������

8��:�

����

��� �� � � ��� ���� ��� ���� � ���������� � � ����� ������ � � �� ��� ��

����� � �� � � ����� !��������� �� ��� ���� � ����� �� ��� ���� ������ �� ������ ��� �� ����������� � �������� �� �� ������� �������� ����� �� � !����� /���� - ������ ��� ����������

!���� � #�� � �� �� �� �� ������ ��� �����!������ ����� �������

����� � "���

�%� ���

� A *

��������� A ����

������ ��� ���� � ������� * =�� ���� ����

��� � ���� @ �������� � � �'��������� ��

8��� � 0� � ��� ����� ���� � � ���� ����� � � ����� �;��� �� �� � �F� ���� ���� ���� ��� ����� �������

��;��� �<��� @�� �

;�<��

0���� �� � � �� ���� ����� ���� � � ����� �;��� � � 0� ��� ���� �� @

�;���

����

�������� �� @

�������

�����

;��

������

@��

�����

;�� @��

�����

;��:�*

:�

� *

:��������� �

��� ���� ���� ��� ���� ��� ������ � ��� ������� �� :��

-��� � ��� � � *� :� ��

%� ���

����

4'

Page 31: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� +���� ��� �������� �������� �� ��� ��������� � ��� ����� �� ������� � � ��� � � F� ��� �� 7� ��� :�� $*265( �������� ��� �� � �� 8������/����� ���� ����� �� � � � *�

:� � "

"A &3���

(�%� ���

����5�

����� (� � ��� �� ��� � ��� ���� �� �� �8� ��� %� ��� ��� �� ��� � ��

0��� ���I ��� �� ���� &�=)�

�� ��) � S�=�� ��� $�� �� *2M2(� ,������ K� 0���

���� &�K� "������ &� ��� �� ����

S�"�&� � &��"&

������

��

���� ���� ���� �� ���� (� @ ��

�*����

����� � ����

(� � *

"

�&���� �

��

&����

�����

@�3��

���� �

��

"����

) ����� ��� ����� �� ��� �� ��� �5� �� ������� �� � � � �1�

:� � "

"A &3��

��"

����

%� ����3������ �

��

����

@"

"A &�

��

%� ���

��� �3����"

����

@"��

��

"A &

��

%� ���

����3��

�� �

��

%� ���

������� ���

��

���*+ �3��

�� � * �� � " � �1� �

����� �� �� �� � +��� 7���� * �� ������

�������� �� � "����������� ��

� "���

*

:���������

� "���

�%� ���

� A *

��������� �

�� � ����� �����/�� ���� ��� ��� � �� �������� ����� ����� � �� ��� ��

������ A���� � ���� A ����

4*

Page 32: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� ��� � ��� ������������ ���� �� � �� �������� ��� �� ���� � � �1 ������$�� ��� Æ ��� =���� 0�� =� �� $ @ ������ ��� Æ '� ?��� 0������ M �� ,������ ��� � �� ����� �

� � &66��

�� �

�25$�

A * A �

�*

Æ

������ ���� ������� ��� �� ��� * � � ��� ��� � ����� � ������� �� �� ?��� ���� ������ �� � �� ����� �� ����� �� �$�� ��� � � ���� ������� ��� �� ��� *� ���� ��� � ����� � ������� �� ��� ������� � �������

�� &66��

�� �

�25$�

A * A �

�*

Æ

� '�

��� � ������ �������� �� ��/��� ��� � �� ��� �� ��� ��� �� ��� �� ����� � ���������� � ������ ��� � ��� �� ��� ��� ��/� @ ' �� ��� � ������ ���� ��/� @/A 8 ��/�� �� 8� � '� ��� ��'� @ ��� ��A�� @ A�� ��� � �/� @ *A ,

- ����� �� ��� ������� ������ ���� � ���������� � ������� �� �'�A��� �� ������ ���� ����� �� ���� ��� ���������� ��� �������� ���������� � ���� ���� �������� � �

?��� ������� *� �� /��� ���� ��� ������������� ����� � ������� ��

#��� @ "���

�%� ���

� A *

��������� A ����

��� ������� � ���������� #��� A ���� �� ��� �� � � ����� � ��� ���������������� �� ������ ��� � �� ���� �� ��� ���� ��� �� ��� � ����� � ��� ���������������� �� �� � ��� �� �������� � ��� ���� ��� C�� ��� � � ������ ��� �� ����������������� ����� � �

��� ���� ������ � �� �� �� ��� ��� � ��� ������� ������� � � � "��� ����� ����� � ������ �������� �� ��� ������� �� ��� ������ � $8����� ���0������ ��� 0� ����/ *223(�

� ������� �����*������� #����

� ����� �������� > + � + �� � F� ���� ���� + � ��� �� �� ����%� .���� �� ��� �� & � +� � �� &� @ ��� &�� �� � ��� �� �� �������� ����� �������� ��������� � ��� � ���#���� ���� �� � ���������� � � +� � �� �� � ' ����� � �� �� '��

��� ���� ��� �� ��� 0������ ������� �� ������� �������� ��� 0������ 3�*'� $.������ ��� !�/��T�/� *222( �� � ����� �� �� ��� �� ��� ��� ��� ������������

!���� � #�� �� � ������ ������ �������� �� �� ������ ��������� '����������� +� ���� ����� �!���� �� + � ������� ���������� ����� ��� �� � � � � ���%

������� �� ��� ������������ �� � $� � �� ��� ���������� ��������� ��� �� � ���� ���

4&

Page 33: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��� � �� �� ������ ���� �� � � ' ���� � � �� $� � ������ ���� � � �� @ � ����� ����������� ��� ���� �� �� ����%� .����� $�� �� � ������ �� �������� ���� � � '��� ��� � � *� �� �� �� �������� �������� ���� � ' ��� ��� � � *� �

� � � ����� � ������� �������� ���� . � ��=���� �� � > � '� ��

.��

;��

@�

.�;���

� > 2 '� . � ��=��� �� ��� ��� ���� � �� ��� ������

�. @��

;�� ��

�;� .��

� � ������������

?�� > 2 '� ��� �������� � .;� ��� �� ��������� � � � ; �� �. �

��� � ������ ������� 4 ��� K �� ��� ��� ��� ���� ������� ��� ��/����� $0�� � ��� <��� &''*( ����� ��� ��� =�� � ���� �������� ���� ������� ��� ������������� ������

!���� #�� + �� � '������ ����� �� � � ����%� .����� �������� �������� ������

�������� �� +� #�� )� ? � �8 ���� ���� ) ? '�

��� #�� @ '� ����� ��� ��� ; � +

���/�0

��<� ;�� A @����<��� � @1����1;���

��� #�� $ '� ����� ��� ��� ; � +

���/ ���� �2��/���

�<� ;� ��*

$

���� ���1;� �

��� �

$� ���� ����� ��� ������� �< �!���� �� �� ������� $� � ������ �� ���� /"� �< @��� A @�������;�

����� ?��� ���� ���� ��� ����� � �� �� �� ��� ������ ��� ���� �� �� �������� �*� ��� �&� �� ��� ��� ) @ *�

1��� �� ���� �*�� �������

��<� @ �<� ;�� A @����<���

� � ����� �< �������� � ���� �� ��� �� � ���� � ��� ���������� *�� ���� �� �<���=� ���A@�����< @ ; ����� ��� �� �< @ ���A@������;� 1��� ���� ��� ���������� A @��� � �������� � ���� �� � ��� �� � ��� �������� ��� � ������� ���������

44

Page 34: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� � � � � � � � ' ������ ��� ������� �� � ��

���<� @ ����� A @������ � ���;�� A @������� A @������;��

@

�����

�� �

*

* A @ ���

� *

��

A @

�����

�*

��* A @ ��� �

��!"#;��

@�����

�@� ��� A @ ���

� ��� � �� A @���

�;�� @ @

�����

�*

�� A @

;��

@ @�����

� �1�

�� A @

��1� ;�� � @

���-����

/1

/A @

���1;���

7�� A�/� @ -�

-�3 � ����

A�/� @?/1��

/A @� /1

�/A @��@ ' �B / @ �/ @$ @?

*� ? �

���A��/� @ @1��?1�*� ?���1 � @1���

�� ���� ��� ����

���<� @ ���/�0

�<� ;�� A @����<�� � @1���1;��

��� ����� �*��

?�� ���� �&� =�� ���� ���� � ����;� � $ ���� ��� ������� �� ��� ��������� ���� ��� ��� ������� � ������ � ����� ���� ��� ��� �� ���� ��� � ��� ������� ���� �� ������ ���� ��� ����� �< ���������� �;� <� �� ��� ���� � + ������� ����<� � $ � �� ��� �������� � ��� ����� ���� �����<� @ $�

1��� � �� /���� ��� � �� ���������� ������������ ���� ���� ����� ����@ � ' ���� 7������� �� ��� ����� ��� ���� ��� ����� �< � � ���� � ��� 7���������

*��<� ;��� A @*�����<����-�� ��� 7��������� �������� ���� *� � ���� �*� ��� �� ������ �� ��� ���� �������<� � @1���1;��� ?��� ��� ��� �� ��� �� ������ =�� � ����

@$� � @1���1;��

��� ����� �� ���� @ � '� ����

��<� ;�� � @1���1;���?��� ��� =�� � ���� ��� ��� �� ���� �� � �� ����

@ ��*

$

���� ���1;� �

��� �

43

Page 35: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

8�� ����� ��� ����� �� @ �� ��� ����� ��� �� ��� ��� �������� �� ���� �&� � ����

����� � �� "���� � 4� � @ ��HA������� ��� ) @ > � �� ��� ���� � ������� K

�� ��� �� "���� � 3� � @ ���� � ) @ *�

����� ��� �������

-�;� @� @ ���/�0

��<� ;�� A @����<���� � ����=������ � ��� -��������� � ������� ����� ������ $-���� ��� 7Q���Q��*2M5(� !��������

��;�$� @ ���/ ���� �2��/���

�<� ;�

� �� ��#��� � ���� � � �� $-���� ��� 7Q���Q�� *2M5(�� ��� ���� � ������� 4��� ���� -�;� @� @ @����� A @�������;��� ���� �� @ ' ��� $ @ $�@� @�����<3�� ��;�$� @ -�;� @�� @$��

����� � �� ��� ��������� � ������� ������� �� '������ ������ 7�� % �� � -��� ������ �� � ��� � > � �

� ���� � �� ��� � ������� ����� � ������� ��������� ?��

) ' ��� ��=�� �" @ �& � � �� ��� � ����&�� 2 ��� �� ��� ��/� �" � F� ����

���� ���� ��� ����� �������

�&� 6�� @ ����&����6�� ����� ��� > � �

� ��� � �" � � F� ���� ���������� ��� ������ ������ �� F� �������� � ��� ������ ����� �������� ���� ��� �������� ���� ��� ��� ���� �" ,�� �

� ��� �����

�������

�" � �� ���

� ������

���� '� �������� �������� ��� �������� ���� � @ �� � � '� �(�� ����� (�

� ��� �� � ����� $ �� �"� 1��� ���� ��� ������ �� � ��� �< � ������� 4 �&�� ��+ @ � �

� ���� ��� �� ��� ������� ��� ������������ ������������� ������� �� 0������ * �� ������� "��� ��� ��������� � � ���� ������ �� %� ���� ���

�������� ���� �

��� ���

(� ��� ����

!���� � $� ��� ������� ������� �� '������ ������ ��� �����!������ ����� �����%

��� ��� ' 2 ? 2 )�

����� @ ��� � ����� A ��� � "���

�*

$

�����

���1��������� A ����

4K

Page 36: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

�����

��� � ���� @ ���$�'�

��� � &�� � "�� ���$�'�

��� � &�� � "��

�*

$

���� ���1���

�����

���� ��� �� ��� �� ��� ��� ������� 4 �&� ���� + @ � �� ��� ��� ; @ ��� �

��� � �� "���� � 4 �� � ��� ��/� % @ �� ��� 7������ ������� �� ��� ������������� ����� � �"���� � 3� �� �� ��� � ����� % @ � � "�� @ *�

� �����*������� #���� �� &����� ����� ��� -. &

�� �������� ��� ������� � "���� � 4 �� ��� ������� � ��� ������������� �������� ��� ������ � � �8� � � ������� ������ ���� ����� ���������

!���� * #�� ) "�& �� ? ���� ���� ' 2 ? 2 )� ,���� �� $ '� (� ��� ����

�� �� ��� $ �� +���� �� � @ '��(��� ���� ��� �����!������ ����� �������

����� � "���4

�*

$

�����

�����1������ A ����

����� 4 �� � �������� ����� ���� � ���� �� )� ? �� ��

����� 7�� H > +����� � �� ��� ������ ��� 7�� ����� ��� # @ ��HA��������

?�� � > � '� #. > � �� ���� +. ��� � � ������� ����� ��� ���� ������� �������

����� ���� 4�� 4� ' ��� ����� �� � & � +. ����

4��&�. � �#�.&�� � 4��&�. � �M�

-� �������� ���� ��� ��� ���� +���� ,� � �� ��� ��� ���� � ������ ��������

�� ��� ���� # > � �� ��� � � �

� ��� ��� ������� ��� ������ ������ �� F� ���������

7�� �" �� ��� ���� ��=��� �� ��� ������ ���� � @ # ��� ) @ > � ���� ����� (�#���"� � ����� $4� �� �" � ��� ���� �� ��� �� (��+

����� �� +���� ������� ���� �

����� @ ���$�'�0����

��� � &��� A ��� � ���$�'��� � �

��� � &��� A ����

1��� ��� � ������� 3 �� ������

���$�'��� � �

��� � &��� A ��� � "���

�*

$4�

�����

�#�1��������� A ����

��� � =�� � �M� ���� > @ ? �� ���

�#�1���� � 4�����1

45

Page 37: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��� ��� ��� � � �� �� ��/��� 4 @ 4������

� 4�����

� �?�� ��� ��� ����� 0��� �� ���� ��������� �� ��� ���� �� $��� �� *225(�

����� * ��� �� ������� K �� ���� ��� ������ �� ����� ?� ?�� ����� � ��� � � ������������� ������� ��� ' 2 ? 2 *�& ���� ����1 2 � ��� $0�� ���� <��� &''*(� ��� �� ������ ���������� �� ��� � ��=������ ���� �� � ������� �������

���� ��� ����� � ������� K� �� ��� ��� " @ *� ������ �� $.�%��� ��� 7������*224(�

�� � � � ���� � �� �� ������� 3 �� ������ ����� �� ��� ������������� ������� "���� � 3�

!���� + #�� - �� � (����� )������ % � +���� ������ �� �� $ '� ��

� @ ���(��� ��� �����!������ ����� �������� ��� ' 2 ? 2 *�

����� � "���

�*

$

����� � �1��

� ����

���� A ����

����� ��/� � @ ���� ��� ) @ * �� ������� 3� ����� �� �� �� �� 0������ 4

�� ,������ ���� �� � � � � �� ���� ���� @ ������� ����� ��� �� ���� �" � ���

����������� /���� F� ���� ���� � "���� � 3� 1�� ��� � ������� 3� �

! ��� /���01������ ������

,������ ��� ������ ������ �� F� ���� ���� �������� �� 8����/ 3� ?�� � ��� ���� �� ��� � ���=����� * � Æ ���� ' 2 Æ 2 *� ?�� ���� $ ' � ������������ � @ �� � � ���������� ��� �� ��� ������� �� ���� �� � � ��� ��� �������%�������� ������ �� ��� ������� ������� ����� � =����� ��� �� �� � $ ������������� � ������ ����� �� ��� ����� ����� ����� ���=����� *� Æ�� ��� �� �� �$ ��������� � ������� �� �������� ���� �� ��� ��� � � ��� ���� �������������� $ ��� ���� � ������� ��� ������ �� ��� ������� ���������� �� � ��� � � ���

!���� , ��� ��� � � �1 �� Æ � �8� ' 2 Æ 2 *� �� ��� ? ���� ' 2 ? 2 )� �����

�!���� � ������ �������� $� �� ��� ����%�������� ������ �� ��� ������� ��������

����� �� =�� ������� ��� ������ ����� �� ��� ����� �� ��������� 8���� � ����� � �� ��� �� ������ A ����� � ��� ��� � ��� ������������� ������������� 3 ����� ��� ������������� ������ �� ' 2 ? 2 )� �� �� ��������

#�$� @ "���

�*

$

����� ���1���

������ A ����

4M

Page 38: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

�� ��� ���� �� ����� ��� ��� � ������ �� �� � ��

� @��$� @ �'� �$A�� A ������

����� � ��� ����������� ������ �� �� ����

������ �� � ������A ��� � ������A �� � ������ A ������� � �'� �$ A�� A ������

��� ��� � ����� � ���=�� ���� ���=����� *� � �� ������� ,N�

���� �

&3�

��

��

����� � Æ

������

&66��� �

�*

Æ

� �

����� �

&3�

� '

�� ���� � �� 8����/ ** � ,������ ��

��

&66��� �

�*

Æ

��&3��4�

�'� ������

� '

����� �� ���� � � ��� ���� $�'� � � � � ����� B @ ��� � ���� ��� ��� �� ���

����� ��/� ��� ���8�B � 8� � 8�B�� � ' �6�

����� 8� @���� � 8� @ �

��Æ

�� 8� @

���#�(�

����� ��� � @ *�0� �

� �� ��/� ��� � �� ��� �� �6� �� ������ �� � ������ ������ �� � ��� �� ��� ������� � ��� ������� � ����� �� B� 7�� B���� � �� ��� � ������ ����� ��$� @��B���� � � ��� ��� ����� �� ��� ������ ��� ������� ,N �� ��� ��� � ������

�� �� �������� �������� #�$� A ��$��?�� � ����� $ ' �� �� � ������� � #�$� A ��$� �� � ������� ���� ��$� @

�#�$�� ��/��� ����������� �� ���

#�$� @ �42�&?)� ?$

��������� ��� #�$� @ 42

&?�)A ?�

�)� ?�� $������

����� 42 @ "������1���

������ � ���

��$� @ &�B���� � ��� ��$� @ &B���� ��

0���� 42 � ' �� ������ ���� �#�$� � � ������� ������� ���������� � ����������� �'�A��� C� ��� ����� ����� ���� B���� � '� �� � �� ���� ��$� � �������� ������� ����� � ��������� �� �'�A��� 0���� ��A�� @ A�� �#�A�� @'� ��'� 2 A� ��� �#�'� @ A� �� ������ ��� �������� � � ��� �� $� ��� ������$�� @ �#�$���

46

Page 39: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����������������

����������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����

�����

���

?�� ��B����� ������� � ��� ������ ������ ��� �� �� � $� ��� �� �������� ����������

����� + �� ��� ������ �� ��������� � ��� � ��� ������������ ���� �� �������������� ��� ��������� $ =���� � ��� ������ C�� ��� ������� ����� ��� � ��������������� ���� �� �� ���������� ����� ���������� ?�� �������� �� "���� � 3���� ��� ������� ��� ������ � ������� � ��� /���� -� ��� ������� � -� ����� �� � �� � ��������� ��� ��� � ����� ������� ��� ��� ������������� ������������ ���� � ��������� ��R������ ��� ��������

������� ���� ��� �����

� ��������� ��2��� �� � ,����

8��� � � � � ������� ������ �� ����� � �� "�� ����� ���� ���� ���� @ "�F������� �� ���� � ��� ������� � ������ �� ��/� � � ������� ������ �����7�� % �� � -��� ������ �� � ��� � �

� ��� �� ��� F� ���� ���� � ���� �������� �������� �� �� 1��� ���� % ��� �� ��� -��� ������� 0����=���� ������� �� ������ 7������ ������ �� ��� ������� ������ �� � ,������ ��

7�� - > � �� � �8 �� � ��������� �������� ���� ��� ����� ���

� > � �� ���� � ���

����� �� ��� � ����� ������� �������

� ������ @

�-��� /���/��%�/�

42

Page 40: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� �� ���=���� ,��������� ���� ��� ��� ���� � ��� ,� � �� ��� ��� � � �����

�������� � > � �� ��� � � �

� ��� ������ ������ ��������� �� �� � � ������ �� � �

��� �������- � ��� �� �� ��� )����� � � ��� ����� ��������� � � � ����� ��������� � -� 7��

�� @ ���-��

�-��� /���

� �� �� � � �� �� -� > � � �8 �� ����� �� -��/� @ -��� /��

���������� � $� - �� ���������� ���� � �� ����% ��� �� ������� $� � �%

����� � �� �%%������ '��� %��� ������ ��� ������ �� ��

����� �� �� ���� � � �� ��=��� �� ���� �� ��� ���� �� � ����������� ����� � � � �

� ���� �� �� � ������� � � � �� ��� ��� ��� �� � �� ����

�� �������� � �������� @

����� �-���� /��-���� /����/�

����� �-�� �-������ �� ,������0�������

�%%������

-���-���� /��-���� /������

0���� - � ��������� ��� � � �������� - � ������ � ���������� ��� ��� ����� ���������� � �� �

��� ������� � �� �%%����� � �� ��� ��� ��� �� ���

�� ������� �%%��� ��

-���-��� /�����

����� � ������ � ������?��� �� �� �� ���� � � �������� �� ���� �� � ������� � ����� �� � �

� ����0���� � ���� � ����� �� ���� ���� � ���� � ������ � �������� ���� ������ ��������� � ��������� �

%%������-�� �-���� /��-���� /������ �� � " � *�

�� ���� ���� ��� � ����� � ���� � � ������������ -� ���� �I ������� ��� ����$ **�3 � $O� ������� ��� ?���� *2MK(�� � ���� ������� � ������ � ������������� ������ �

��� ���� ��������� ��������� � � � �� ��� ��������� � -� 8��� � ���� ���� - � �������� ����� � �� � =���� �� ���� � � � � ��� � � ��� �� � ������-$#( ���� ��� .� ����� � -���� ��� � ������� ��=�����

���������� � ��� $� - �� ������� ���� � > � �� ���� � �

� ��� �� ����%� .�����

��� $�� �� � ������ - �� �������� ����� ���� � �� ���������

3'

Page 41: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� )��� ��� � �� ��� � ��� ?�����I ������� ��� ��� ������� � -�?�� ���� #�� ���� ����� �

-��� /�������/� @ �����

%���

��

������

-���� �������������

@ �����

%���

�����-$#(��

������ �� � � � *� ��� � � � � �� � � � � �� � ����� ���������� � ������ �� @������� � � � � ������ ��� -$#( � ��� ��� ������ ���� ��� .� ����� � -���� ���� 0������� ������ � ������� ��=���� ��� ��� � � ��� �

�� ��� � �� �� �� ������� � !����� /���� - ����� � ������� - > ��� � �8����� � ���������� �������� ��� ������� ��=������ ���� � > � �

� ���� � �� ���

� � � ���#����� �������� ������� �������� ��� ��� 0������ ������� �������� &� ,������ ��� ��� ��� 7�� �� � � *� ������ ��� ������� �� � � ��� � ��������������� �������������

��������� � ��� � � *� �� � �@ ' ���� � �� ���������� �� ��

����� +� ���� � @ �4� ����� �

�� ��� � �� �� �� ����� ������� � � ������ ���� ���� � � ��� �� � � � *�

� �����3� �������

� � � � �� ���� ��� ��� �� � � �� � � F� ���� ��� � � �

� ���� � ��� �� ��� �� �������� � � @

����� ;�� ��� ��� ������ ��

����� ;�� �������� �� � ��� �

� ����� ��� ����������� � � �� � �� � ��� �� �� ���� ��� ���� �������� ���������

�� � � � �� �� �� ���� � �����;� ��������� ���������� � ��� ����

� �;�� ������������

!���� � #�� � �� � ������ ���� �� � ������ �� % � +���� ������

�� �� �� - > � � � � �8 � (����� )������ #�� � �� ��� ��� ����������

�� � �� ���� � ��� ��������� ��� ������������� ��� ��� �� / � �� -��� /� @�����

�������/� ����� ��� ����������� �� �������� ��� ���� �� � � � � �" ��

������ �� � ��"�

��� ���� � ������� * � ����� �� $F������� *2M4( �� � @ $'� *( ��� % ��������� ��������� �� ��� 7������ ������ �� �8 ��� ��� ���� ����� � �� �� �� ��������� ��� � ��� ���������

3*

Page 42: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��������� ��� ��� � �� ���������� ��

�����

� @

��-��� �� � %����� �

���������� ��� ��� � � *� � ��

�����

����� -� ��/��� � @ / �� ������� * �� ��� -��� �� @�����

������� ���������

��� �� ���� ��� � ��� � �� ���

�����

������

� @

��-��� �� � %����� �

-�� ���� ��� �� � � �� � � F� ���� ������� @ * �� � � � * ��� ��� =�� ��������

� ��� ��� ����� �������� � �� ��� ��� �������� � � � �� . ���

� -����� ��� .���� ����� &����

�� ��� ������ �� =� � ������� ������ �� � ����� � �� � -��� ������ % �� ����� � !����� /���� - > � �� � �8� ��� ��� ���� ��� � � ��� ������ ��� ���� ������

!���� � ����� �!���� � ������ '������ ����� �� �� ��������� �� � ����������

��� ��������� ��� ������

��� ��� ��� � � �� -� � ���

���� ��� ���� �� ��� ��� �-� � � � �� �� ���� �� ��� ��

����� ��� ��� � � ��� ���� @ �-�� ����

(�������� �� �������� �� ���������� ��������� �� ��� ��������� �� > �� � � ���

�� ���� � ���� ���� � ����� �

!���� ��� ��

U > � � 0�

� � �% ����������

�� ����% ��� � ����������� �� �������

-��� /� @ �U����U�/���

3&

Page 43: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��������� � ��� ��� �� / � �� �-��� /�� � -��� �����-�/� /�����

����� ��� � � ���� ����� � ,������0������� ��� �� ��� ��� ��� �� ��������� �� ������� 4� �

����� � ��� 1��� ���� ��� ���� �� � ������� & ������ �� � �� � ��� -��� � ����������� �� ��� ������ ��������� �� ��

���� �� ��� ������� �������� ��� ���� 0� �� ������� 4 � ���� �� �� ������� �����

��� ��� ������� U ��� ������� ���

����� ��� F� ���� ���� �� �� ������� & � ��� �� �� � ����� ����� )����� '������

����� ���� �� ����� � 8OF0�� ��� ������� ��� � � ������ �� �� ��� ������� ����������

���� � �������� ������ � ��� ������ � ����������� /���� F� ���� ���� ������ ���� �� 1� ������#� $*2K'(� �� ���� 433 � ��� �������� ������� &��� ������ � ���������� �� "�F� !�����

����� �� �� �� � � 7�� +� �� ��� ��� � ��� �� �-� � � � ��� �� ��=���� ����� ������� �� +� � � ��� � � @

����� #�-�� ��� & @

�1��� C�--� ����

��� &� @����������1

#�C�-���� /���

7�� �� �� ��� ���� ����� � +� ���� ��� �������� ����� �� � ��� �� ����/ ������ ���=� ��� ����� ��������� �� ��� ��������� �� �� � ���� �� ����� ���� ��� ��� ��� 0�� ���� + � ������� F� ���� ���� � ������� �� � ������� �������� ���������� �� ���� �� ��� ����

+ @ �� ��� � � �0 @ � � ���� �2�

�� =�� ������ ���� +� � +� � �� �� ��� �� / � �� �-��--�0 @ -��� /� @�-��--���

� -� ��������� �� ����� �� & � +�� ��� &�0 @ ��� &���� 0���� ���� +

��� �� ��� ���� ����� � +�� �2� � �� ��� ��� ��� ���� � ��� ���� �������� �� ��� ��������� ������� ������� � � �� ��� � � �� ����

������ @ ��-�� ��� � ����-�� @ ���%-��� ���

��� ��� �� ���� � �������

��� ���� ���� � �� � ��������� �����������

�� � ������ �� ����������� �� � �� ��� ��� ��� � � ��������� ���� � � ���

���� � � ����� �� +� ����� ��� ���������� �

����� �� �� �� � � ?�� ����� � � �� �� !�����I ��������� �

�����

�������� �� -��� ��� ��� ��� ���� U��� � 0��

34

Page 44: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

� � �� !�����I �������� �� ����� �� / � ��

-��� /� @

�����

�������/� @ �U����U�/���

�� �� � ������ �� ����� ���� U > � � 0� � ���������� -�� �� ��� �� / � ��

�U���� U�/�� @ �U����U���� A �U�/��U�/�� � &�U����U�/��@ -��� �� A-�/� /�� &-��� /�

����� ���� �� ���� ���� � ���� �� / �� ��� ���������� � -� �

�� ���� ������������ �� ������� ��� ������� �� � � � � ������� & �,������ �� ��������� ���� � � ' �� � � � *� �� ��� ��� � ��� ������ ������ ����� �� ��������� � ' �� � � � *� ����� � �� � � ������ ��� �� ������ ��� 8����/ 4 �� ����

7��

+� @

�� � � �

� ��� � � @�����

;�� ����

�;� �

� 0�

��

�� ��� ��/� +� � F� ���� ���� ���� ��� ����� �������

��� &�� @

�����

;�<� �

�� � @�;�� ��� & @

�<��� 1��� ���� ��� ���

���� > � �

� ��� � +��;�� �

�;�% ��

��=�� � ��������� � F� ���� ����� �� ��������� ��������� � �� �������� ��

� �� ���� �� � ��� ���� ���� � � �� ��� ��� ���� � @

���� Æ ���� �

���������� ��� ������� �� +� ��� ���������� ��������� �� �� $� � ������

��� � � +�� �� � @�;�� ���� ���� ������ ��������� ���������� �� �������� ��

� �

����� 7�� & � +� � & @�&��� ��� � � �� ����

�&���� @����������

&�����

����� @����������

&� �

% �����

����� � �&���U���� @ �&��-��� �����

��� ��� �� ��� �� ,������0������� ��� ��� �� � �� ��� �� ������� *� �����&�� � ���&��� ��������� ����������� �� � �� ��� �� ����������� �� � ��

33

Page 45: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

������ ��� ��� �� ��� ���� &� @ ������� ;�� ����� ��� �������� ����� ������

������������ ��� ���������� � � ��� � �� ��� ���� � ��� � �,��� ��� &�� ������ ��� ����������� � �� ��� ��� ��� �� ���

� �&������ � �&���U������

-��� � #�� � � �� ��� �������� �� > � � �8 ��� �� ���/� @ �U����U�/��������� �� +��

����� +� ������� 4� �

���������� � ��� ��� � � +� �� ��� � � �� ���� @ ���-��� �

����� ?�� � � +� � � @�����

���-��� @

�����

�����-��� @

�����

��

����-��

@�����

��

���/�-��� /� @

�����

��

�� ������ @

�����

��

� �����

@ �����

!���� � ��� '������ ������ �� �� +� ��� ��� ��� ����� �� ��������� �� ����� ��� ��� ����� ��� ����

����� ?�� ��� � � �� ��� ������� -� ��������� �� ������� 4� ���� ���������� �� �� ��� �������� � 7���� *� ��� ��� ��� � ��� ������ � ������ � +� � �� ��������� )��������� 3 ��� ���� �� � � � +� ��� � � � ������ @ ���-���� �� ��� ��� ���� ��� ��� � �-� � � � �� � ���� �� +� �

�� �� �� ���� ���� �� � � +�� ���--�� @ ' �� � / � �� ����� �������--�� @ ��/�� �� ���� � @ ' �� �� ��� ��� �� ��� ������ �������

��� �������� ��� � �� ��� ������� &� �

����� � � ���� ����� � ������� 3 � ��� ��� ���� ��� F� ���� ���� +� �� ������ ����� ��=��� ������� ��� ������� �������� � ��� �� �������� ����������� ������ �� ��� ������ %� � ����� � ����������� � %� ��� � �� ���8����/ *�

����� ��� ��������� � +� ��� U ���� ���� ������ ����� ��� ������������ � ������� �� � � ��� ����� � �������� � ��� ������� �� ��� �� ���� � �� � �� �F �� ��� ����� ������ � � �

� ��� ������ �� ��� ����������� �������������� �������� ������� ��� � �F � ��=���� ��������� � � ��� ��� � �� ��� ������������ ���� ��� ����� � �

� ��� �� �F� � �F � =���� ��������� � ��� � � �� ����������� �� ��� ��� 0� �� �8� ����� � @ ��� �F�

3K

Page 46: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

! ����� ,����� �*���

9���� � /���� -� �� ����/ �� ������� ��� ���������� � �� ������ ���������������� � ���� ���� ��� �� ����/ ���� �� � ������� ��=����� ��� ���� ��� �� )��������� K�� ��� �� �� �� �� �� ����� ��������� � ����� /���� � �� �� ������� � �������� �8� �� 0��������� $*246( ��������� ���� � ���� ���� � �������� ��� �� � ���� ���� � �8� �� ���������� �� ��� � ���� � /���� ��=��� �� �8��

� ������� � > �'���� �8 � ��������� �������� � �� � �� ���� �� � ? '��� � � '� ��*��� ���?� � '� F��� � �� ������ ��� ��� ���������� � � �

���������� * #�� � � �8�� � > �'��� � �8 �� - > � � � � �8 �� ���

�� -��� /� @ ����� /���� $� � �� ��������� �������� ���� - �� �������� �������

��������� * #�� 8 �@ '� ��� ��������� )������� ��� �� � ������ ���� � ��8�� ��� (����� )�������

��� �2�%���� � -��� /� @ ��������

�� �

��� -��� /� @ �8� A ��� /����� ���� # '�

����� , ��� �� ���� /���� ��� ��������� ��� ��������� �� ��� - � �������

��=���� �� )��������� K ���� ��?� @ ����� � ��� ��� �� ��� ��/��� ��?� @ �8� A

?���� �

����� � ��� /���� � ��� ��� ��� �� ,��� ��� K ������ @ * ����� @ 8���

��������� ��

��� � ����� � � /�� ����� � � =���� ��������� 8OF0 ������� �� � !�����/���� � �� ������� ���� ��� !����� /���� � ,��� ��� K �� �� ��� �� )���������� K �� ��� ����������

�#���� � ��� �� %'� 7���� @ ����8���� �� ��� ����� ���� � ����������

�� ������ � ������ � �� ��� ��� � � � � ��� ���� �� ���� � � ����� � � �� ����

��� ��� � @������

���� ���� # @ �#�� #�� � � � � #�� � �1���� �� � �� ���� ���

�������� � �� �

� @

�"A �"

�� ��� ��/� �� �� ����� ������� ���� �� ��/���

��� &� @������

��B��4�����

35

Page 47: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

�� �� & � ��� � @����

�� & @�B��

�� F���

4�� @

�V

#�V � � �#�V

� ��� �� ������� �������� �������� �� ��� ���� ��� #�� ��� ����� ������������� �� �� ��� ���� ����� ��� ���� � ������ ��� �� ��������� ��������� ���� ����� ����������� � ��� ������ ��� ���� ������� �� ��� ����� ������� ������� ��

������ � �������

����� ��� � ��� ������� ���� � � � �8��� ��� 7���� M � ,������ *3 � $- ���,��/��� 0���� ��� 0�� � *226(L ��� �������� ���� ���� ���/������ �� ��� ����������

7�� � @ ���8���� ���

- > � �� � �8

��� /� � ��� /��

����� � � � ������ ��� "�� ����� ����� ������� �� �8���� 7�� � �

U > � � �8�

� �����4�

����� �

����� �� �� / � �� �� ����

�U����U�/�� @������

��/�4�� @ ��� /�� @ -��� /��

��� � �� ��� ���� � � �� ����� ���� - � ������� ��=���� ���� �� ��� �� ����� ��/�� � � � � /� � �� ��� ����� �� ��� � ��� �� ��� . � -$�( � �U�/���U�/���� ��������� �� ������ ��� ������ ���� .�� �� ��� � U�/��� �� ���� ���� -$�( @��� �������� ��� ��������� � -$�( � ��� 0���� - � � ��� � ��������� ��� ���������� ���� ��� ���� - � � !����� /���� �

����� � ��� 8OF0 �������� �� -P

���������� + �� @ �� �� �������� ������ �� ����� ��� ��� �������

����� �� /��� ��� ��� ���� � ������� & ���� �� � ��� ���� ����� � +����� ��� � �-� � � � ��� 0���� +� � �� ��� �� �� =���� ��������� ��� ����� � �� +�� -�� ���� +� � ���� ��� ��� �� ������

�� @ +� � ���

��� ��� % > �8��� � �8� ��=��� �� %��� @ ��������� � � �� �/���� ��#����� � ������� �������� ����� �� ������� ��� ���� � 0������� ��� ���� �� ����

3M

Page 48: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

���� ���� ��� ������ ��� U ��=��� ����� � �� ���� �� % ���� �� ����� � � ��U��� @ *%��� ����� * � ��� ������� ������ ���� ������ �4�

������ ��� ����� �

�8��� �� ��� %������ ��������� � �� � ������� ������� �� �� ��� 0������� �������

����� � /���� ��� $3�3 � $0��������� *223(� �� �� ��������������� ���� �� ���� � �8� � ��� ��� �� ���� �� @ �� � ������ ����� �� �� ��� �� ���� ������� ����� � ��� ��� ����� ������� �����

-� ��=������ � ��� ����� ������� �� +�� �� � �� / � ��

�-��--�0� @ -��� /� @������

4���

�/��

C� ��� ����� ����� ���� -���� @�

�����4���

���� �� ���� ���� ��� ��� ������������ � -� ��� -- ���=�

�-��--���@������

�4�����4�

���4�

�/� @

������

4���

�/��

�� ���� ��� ����� ���� ��� �� ������ -� ��� � � +�� ��� ����� ������� ���� @ +� � ��� ��� ����� �������� �

��� ������� ����� ������ �� ���������� ���� ��� ������� � ������������� ������ � 7�� &� @ &���8

�� �� ��� ����� ���� � �� ������ � ������ � ����� � � � � ��� � ������ ��������� ������� &� ��� �� � ��� D��������������E

&� � ��������

���� �

������

��������� ���

F���� # @ �#�� � � � � #�� � �1� � � D�� ��������E ��� �� @ ���� � � � ���� � ��� ������� ��� �������������� � �������� �� ������ �� @ *� ������� ��� ��������� ����� ����� &� � �� ���� ��� ��� ����� ��������

7��

- > �8� � �8� � �8

��� /� � �* A ��� /���

��� U > �8� � �8� ����� �� U��� @�*� ���4�

������� ����� ��� �� �U����U�/�� @

-��� /��

����� * 1��� ����� ���� ��� ����������� /���� F� ���� �������� �� �� ��-��� /� @ ��� /�� � ������ � ��� ��� ����

36

Page 49: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

% �������� ( ����� �� -����� ��� .���� �����

&����

��� ��� � ��� ������ � �� ������� ��� �������� ������� ����(��� 3� �� $� 3 '� ��������

!���� 3 #�� - > � � � � �8 �� � �� (����� )����� �� �� ��� �����%

���� ��� 12'3� ���� ��� ��������� �� > �� ,� � ��� �� ������ �� ��� ������������� ������� ������ � 4 "�

�"���� ��� ��� 6 "� ����� 4 " �� �� ���� ��� �� ��,������������ ��� 6 "� 3 '� �� $ '�

������(��� 3

��$4"

3

��

����� 4" �� � �������� �������� ������ ���� 4 "�

-��� � #�� ' 2 ? 2 ) �� ; � � �� ���� 3������ ����� �!���� 4 ' ���� �����

��� ��� $ '�

���/ ���� �/����

�<� ;� � 4�*

$

����

����� ��� ��� Æ '� �;�1�Æ � 8Æ4 ���� �

����� 0�� ���� ������� & �� $0�� � ��� <��� &''*( ���/� ����� D @ � �� ����

� @ +���� ��� E @ ?�)� � ���� � �� � $ '

���/ ���� �/����

�<� ;� � 4�*

$

����

���� �;�1��� � &4���� ����� � �1��� ������ � ���� �� �� ������� ����� ����

���� ������ ��=������ �� ��� �� ������ ����� ����� �� �� $-���� ��� 7Q���Q��*2M5(� ���� 35 ��� KK � ������ �*��� �� � ������ ����� �� � Æ '� ����� ���� �������� 4Æ ��� ����� �� � ; �� ��� ������� ����� �����

�;�1�Æ � 4Æ�;�1����

��� ���� ��� � �� �� ��/��� 8Æ @ &4Æ � �

-��� #�� - �� � �� (����� )������ ����� ��� ���� �� � �� ����� � ��

+. ��� ��� ��� > � '� ,���� ��� �� � ������ �� ��� � �� ��� �� +. ���� � ��

���� � �

32

Page 50: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� ?�� � � � �� ����

� ����. @

����

�����.

�*�� �������� @

����

�����.

��-��

*��--�����/�

������

�����.

�-��

�*��--����

�-��

��/��

� ��������������.

���-��

�*��--����

���� ��� =�� ��� �� ��� �� ,������0�������� �

����� �� �� �� � � 7�� � � �� ��� $ '� -� ������� 4 �&� �� ,������ ������ � @ � � ) @ *� ? @ *�& ��� ; @ � � �� ����

���$ ���� �5��

� $����& � �� � *

$� ����� ��� @ *

$����� �

7�� > ' ��� �. @ � �� �� � > � �� ���� +. ���� -� 7���� 4 ������

���$ ���� �$���

���

�& � �� � *

$�����

�� ���� ��� ����� $��. �� $�

���$ ���� �$����

�& � �� � �.$����� �

0���� ��� ��� �� ��� �� � �� � $ ' �� ��� ��� � 7���� &� �� �� � ����) @ > @ 46�&� ? @ 46�3� Æ @ 6�3� ��� 4 @ �.����� �� ������

���"�� � 4 ���� �*'�

����� 4 @ 8Æ �"���

��� �� ��� �*'� ����� ��� �������� � � ������� ��������� �� ,� +"���� �� ���� 6 "� ��� 0��� �� "�������� ������� ��� 8� ���I ������� ��� ��� ��� � � ������� ��������� +"�� ,� � ���� ?��� ��� �� ������ ��� � �����������������

�������

�� � ���

+"��

��

�����

K'

Page 51: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� ��� ���� �� � ���������� ��������� �� "����� ��� ������ I ����� ���� �� ��� �3� �� ,������ ��� ��

���� ���'"��� � 4���

�"����� � ������� 4 ����������� � �� ��������

������ @ ���'"��' � � ���'"����' � � 4 4�*

"���

����� ����� ��� =�� �������� �� ��� ������� �� ��/��� 4 " @ 4 4�

��� ����� �������� � �� �� ���� ���� � ����(��� 3� � &� � * � ��� �� �� ������ � 3�$ ��� � ���� �� �� �

' �� ��� ������4�� �� ����� � ������

7�� ��� �� ����-� � �� ����� �� � �� 0������ *� �� ��� ������� ��� ������ � �

������� �������� ���� ������� �� ,������ � ��� ���� � ������ ��� ������������� ���� � ��� �� ��/� � @ �� ���� � � � ��� � ����� ����� ��� �� ���������� ���������� ����� �3 ��=��� ��

�3��� @�������� ��� A @�����

�� � =��� @ � '� ?�� � ��� � �� ��� ���������� �������� ����� �3� � ��=��� ��)��������� 6 �� ��� C�� ��� ������� � ������ ������� �3 ���������� �3��� ������ -�� ���� � � �� ����� ������� ��� �������� � ��� � ������ ������� � ������������� C�� ���� ��� � ����� ���� �3 ���� ��� � ��� ���

���������� , ��� ��� @ ' ��� �������� �3 @ ��� A @ ��� ����� �� ��� ������

������� �� �3 ���� ��

����� ��� � ������� 4 �*� � ,������ �� ���� + @ � �� ���� ) @ *� � @

���� �

��� ; @ ��� 0���� �� � � � �� � ���� @ � ����� ��� � ��� �������� �< � ;�� A@����<�� � �� ��� ��� �3�<�� ���� �3 � ��� �< �� ��� ��������� ������� ��� ������������� � ��� �

?�� ��� � ����� ��� � �� ���� � ���� $"�������� )���� � ��� )����� &'''(��� �� ��������� 0�� � � ��� ��� ��� ����� $,����� ��� ����� *2M2(�

���������� . #�� � � �� �� @ � �8� @ '� ��� �������� ������� ���� ���

�������� �3� @ �� �������� ��� ���������� �������� �����

*

�����

��� � ������� A @�����

K*

Page 52: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

���� � � ��� �� �� �!������ ��

����� @�����

;�-��� ���

����� ; @ �;�� � � � � ;�� �� ��� ������ �������� �� ��� ����%���� ������ ����� �� �8�

�@� �� A-$#(�; @ ��

'���� �� ������� -$#( �� ��� � � � ����! ����� ��� .� ����� �� -���� ����# @ ���� � � � � ��� � ��� �� � @ ���� � � � � ��� � � � ���� ���� � @����� ���� � � � � ���� �����

����� 7�� +��� @*

�����

��� � ������� A @����� ��� ������ �� ��� � � �� �

� @�����

8��� 8��� � ����� @�����

8�� �

?�� ����� � � *�9+

98�@

*

�����

�&��� � ����������� A &@8� �

� � � � � �������

� + ����� �� ���� �� �� ��� ���� �0�,�

@ ' ��� � ���� �� 8��

8� @ �

�����

;������

����� ;� @6������

3� � ����

���� @�����

8����� @�����

�����

;����������

@�����

;�

�����

���������� @�����

;�-���� ���

8�� ����� ���� �� ��� ��=������ � ;� ����� �� ������

;� @�� �

����� ;�-���� ��

@��

!� ��� ���� ���� ��� �� @� ��� ������� ��� ��� � �� ������ ��� �� �������@� �� A-$#(�; @ �� ��� ��� ���� � �� ����� ���� -$#( � ������� ��� ����������� � � ������� ������ ��� ��� �������� � ����� � �������� �

)��������� 6 ��� � �� � ������� ����� ������ �� ������������� � ��� �������������� ���/��� �� ��� ��=���� ��������� ������� ���� �� � �� ���I� �����

K&

Page 53: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

��� ��� ������� � ���� ��� � ����L ��� �� $"�������� )���� � ��� )����� &'''(��� �� �������� �� ��� ����������� !�������� �� ���� ��� ����� � ������������������� ���� �� ��� ��������� @� ���� ��� � �� ��� ���� � ���� ������ �@ � ��������� �� ������� �� � �������� ��� �������/ ���� ���� ���� �������������� �� ��� ���� ��� -�� �� � ���� �� � �� ��� ��� ����� �������������� ��� ����������

�������* �� #������ � ����� ��� ������� ��

��� ������� ������ � � ������� �������� � > �" � �" ��� � �� � �� ���� �� ���������� �� � � � � � �� � � �� � � � � ��� ���� ������� �� ���� � �� �

&���� ��

��� ��� �� ��� � ��� �� -� ,�� ��� � ������� �� �������� �� ���� K*& � $7�������9� �����/� ��� !�/���� *225(� �� ��� �� ��� �� ��� ������� ��������� � ������ ��)��������� 2 �� ��� 8� ���� ������� ��� �� ���� �� $)����� *26M(��

���������� / #�� � � � � � � � � � � � � � � ' �� � �������� �� ���� �������

,���� �� ��� ������� ������ �������� ��� ��

> 0� � 0�

���� � � �����

$� � � 4��� ��� ��� 4� 0 �� ��� � � *� ����

��� � � 45� ������ �� � �� � � &� ��� � � &45�

���

'��� 45 @ 540��

�1��� �� � �������� ����%� ��� ��� ��� $�$� ��� �� � � %�� ��#� 2 ) ��� �� %���� �� ����� �� ������� ����� ���� ��# %�� #�� ��� �� �$����� �� � �� �� ��� 3 �� ����� � 4�� /� �%� '()� �* $�� 5�5+ �� ��� ��$% 6

(� � � * 1����� � �� �� ��� �� �� ����7 ���% �� �� ���� ��� ��� �� � �#� �$����� %���#��� �� �� %�� ���$ � � $ � � $ ���# � �%����8����� � �������� (� � � * � �� �� �� � $��� ��� � �%�##�� ��� �������� ����%� 9� � � ������7 � ����� ���� � �%�$ �� ��� ��� � $����� ��� �%����� � ����� �����% ��� �� ����� �� � ������ %�� ��� � � �� �� � ���� 3 $��� � � #�� �� ���� �$$��%� ���� �� � �� ��% ���� �� ������� ��� ��� ���� � �� �����$�� ���7 � �4���� � �� �� ���� %��.��% �� � $�� �� � ����� ��� ����73 #� #� �#� �%�� �$� � ��� '� �� #� %��:+ �� ��� � � � #� � ��%���% �

K4

Page 54: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����� -� 7���� 3 �� ���

��� � � 5 ������

���� � � � � � � ��

��

� 54 ������

�����*

"V

���

� 54 ������

����� �"

�@ 54�� ��

��������

�*

"

��� �� �� 0��� ���I ��� �� ���� 7������ � @ "�� ��� ��/��� �� ��� ���� � ������������� � ���� @ ������� �� �� ���� ��� ������� � � � ������� ���� � @�0� � ���� ��������� ��� ������� � ��� �������� ����� � ������� �� �� �� ���� " @ ���0� �����

��� � � 54�����

�� �

�0

��

@ 54

�0

��

!�������

��� � @ ������ � � 54

�0

��&� � *�

� �*&40������

��� � ����� ��� � � ��/�� ��� $,�� ��� 0������� *22'( ��� )��������� *�4�&�������

-��� � $� ��� ����������� �� 4���������� 5� ��� ����� � � *�

������

���� � � � � � � ��

�� � ��� � � 5 ��

������

�� � � � � � � ��

�� �

�������* /� ��� ���� �5 ���� ��������

8��� ���� �� � ��� ������� ���������� �� � ��� �������� ����� ��� �� ��� ,������� � �� ����� �� ��� ���=����� � ������ � �� ��� � ����� ������� ������� �� � ����� � ��������� �� �� ������� �������� �� ��� ��� ��� ����������� ����� �� ��� ��� � � � =���� ��������� � ����� �����

7�� �� � � � � � �� � ��� � �� ����� ���� ������� � � � ��� �� ������� �� ���� �� ��� �

� @

�����

���

���� �� � �8 �� � @ *� � � � � � �

K3

Page 55: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

?�� � ��� � � � ��� � @ ����� ���� � � � � ���� ����� �� �������� ��� �������� ����� �� ���� �� =�� � � � ����������

�����

������� ����

����� �� ����� � � � ��� ��� =�� � � �8� ����������

�����

������

���������� ����

7�� ;�� @ ����� ��� � ��� � � � ������ ���� ������ ;�� � C�� ���� �� G�� ���� �� ��� ����� ������� ������G ��� ������ ���� �� ����� � ��� �� �������������� � �F @ �8�

�����

������

;���� � ����

@

�����

������ � ���� @ ��� � ����

1��� ���� �� ��� ��������� ���� � � � ��� ���� �� @ � � �/� � �� ���� ��� ������ � ����� � ���������� ��� � ��� � �� �� � ����� ������� ���������

��� ���� �� D� ��E �� �������������� ���� � � ������ �� @ � �� =������ ����� ���������� ��� � ��� ��� ���/ �� 9�� ��� 7��������� ��� ������������ �� =�� � ������� =����� � ������� ������ � ���������� ����� ��� � �� ��� ���� ���� ���� �������� �� ���������� ��� ��� ������������ ���� �� ������ 7�� ��� ��� ������� ����������

����� ������ � ��� ���� ��� ���������

������������

��������� � ��� @ ' ��� �� ��� ������ ���� ��� � ����� � ������� ���=�� " � ��� � � �� ���� �� �� @ �� -�� 9�� ������ ���� ��� �� ����� �� ��� �������� ���� ��� �� � ������� ��� ���� ������� �� �� ������� ��� � �� � ������ � �� � � ��� � � ������� ��������� �� 9�� ����������� �������� �� 7�� ���I ��������� ��� ��� ���� � ����� ��#�� �����/�� ��������� ��������� ��� ������� 5 �� ����

7��I ��� ���� ��� �� =�� �� � ���������� �������� -� ���� � �������� ��I ������ � � �� � ��� ����� ��� ��� �8� �� �8� ���� ������ � �� 7������� � �8� �� ��� ����� � �� ��� � � ����� �� ��� ����� ���� ������� �� � ������� � ����

� @ �� � �8� � �� @ 8�� �� ��� ������ � �8� � �������� � � ����/������� �� ������� ��� ��� ��� ���� ���� �� �� � ��� �� � ����� � � �8� � ��� �� � � � � ��#������� ������� ��� � � ����������

3��������� �������� ���� �� ������������� ��� ������� ��� ��������7 $������ �� ) ��7 ;������� � <9� ��� � $���%�$�� �� %�� $��$��� (� � � *7 3 ���� �� �� �� ��� #�� �����7#�� -�% 7 ��� #�� ��� � �$$��7 ��� �� %����� ��� �� #���#�=��� � ��# �� � �4���� �� � ������>

KK

Page 56: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

���������� �0 #�� � > �8� � �8� �� ��.������ �� � � �8�� ���� ��� ��������

�� ��� ����� ������� ������ �� ����� �� � @ ��� ����� �� @ �����2������ '���

� > �8� � ����� �� ��� ���������� ���.������ ���� ������ �

8��� ���� ��� ��������� ���� ����� �� ����� �� �8� � /������ ����� ��

������ ��� ��#���� � �� ���� �� ����� � � �8� �

� @ ��� �� �� @ �� �� �� � �� � ������

�� ����� � �� @ ' �� � @ �����������

��� ��� �� @ ��������� � �� �� ��� (����%4������ ������� � ��� ��#��������� �� 0�� �� ���� ���� ���� � @ ���� �� ������� ��� � � � ����� ������� � ��?�� ��� ��� � ��� ������� ���� � � ��#�������

�� ������� � ��� ���� � ��������� ��� � �� � �� ��� ����� ���� �� @ <���� � @ ��� ��� < @ ���� ��� =� � � 1������� 7����� � ����� ������� � ������ ��������� �� ������ � � ������� ����� � ��� ��� � ����� ����� ���� �������� ���� ��� ����������

)����������� ��� � �� ��� ���� � �� ��� ������������ ������ �� ������ ������ � ����� 8��� ���� ��� ��� ����� ����� � � � ��=��� �� �� G��� @�������� � ���� � ��� � ����� ��� �� ���� �� $-#Q���/ *225(�

!���� * #�� � �� �� ��.������ � � � ����!� � � �8� �� � @ ���� #�� ��� �� ��� ����! ���� ���� ���/ ��A �� @ ���/ ��� �� ��� � � �8�� 3������

�2� �6 � ' ���� ����

������ � �2 ��

������ � �6� �**�

6��� � @ ��A ����� A �� � ��

$� G����2 2 * ����

��� � G���

*� G����2

��2��� A �6

������ A �2G���

�� �������

A �2G������� �*&�

���� ������� K �� ���� � � ��� � ���� �� ����� ����� ������� � �� �**����� ��� ����� �� ��� � ����� � ��� ��� ���� ���� �� � ����� �� �*&�� �� ������� �� � � ��� ��������� ������ � � �� ��� ��������

� � � ��� ��#������� ��� ��� =�� � � ����� � � � �� ���������� � ������ ���/ ���������� � � ��� � �� ��� ���� �� �� ��� �����������

$-���� =������ ��� ������ �� ���� 9��I ��� � �� � �������� �������� � ��� ����� ?��� ��� ��=�������

K5

Page 57: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

34 ���� � 7�� � �� � ������� ��� ���� ��� � @ ���� � � � � ��� > � � �8� ��� ������ ������� � ������� & > �8� � �8� � �� ������� ������� � � ������B � �8� � ��&���� @ B�

�� �� ���� &� � � ���� �������� ������� ��� � � � 4 � ������� ����8� �� �8� � � B � ��&���� @ B ���

����� �

��&����� � ��������� ���� � ���������� & � 4�

!���� + �2�%��� #�� � � �8��� �� ��.������� �� � �8�� �� �� � �8� ����

���� ��� @ ��� ,���� �� ��� ��� � ������ � ���� ����� ��� . @ *� � � � ��� �� @ ���A�

����� � �� � ��� � �������� ���� ��� 7 �� �������� ��� ��� ���� ��������

������� �� �� �� ��� ����� �� ��� ������� ������ ��������� �� � @ ���� ���� ���

����� ������� �������� �� �� @ ��

�� ��� ���� 9��I ������� ��� � �� ���� � �� ����� � � � ��� ������� ��������� ������ ��� �������� ���� ��� � ����� �� �� 7�� �� � �8� ��� ����

�� @

�����

��� ��

?�� � ��� � � � ��� ��� ��� ���� � ����� � �

�����

�������� ����

� ��� ��� ���������� ��� �������� ��� ��� ��� � .�=������ *� ����� � �������� & > �8� � �8� ��� ����� �� � @ *� � � � � � ��

����

&���� @ ��� �

9����� ������� � 9��I ������� ������ ���� ����� ��� � �� ��� ����� ����� ���� �� $-#Q���/ *225(� 0�� � � $.����� ��� 0��� &'''(�

����� + ��� ����� ��� �� ������� � � � ������������ �� ��� � ����� � )���� �� *6 �� $0�� � &'''(�

-��������

�������� � ������� ������� ������� �� ���� ������ !����

������ � � ���"#�� �� ��$ �� � ����%���� & �� �'� ���������� � ��� ����� �������� ��� ���()#)�

������ � ����#�� �*�� +��$ � �%����,����� ���� �����������' �� ����-���� � %��� � � ���&'� .� �� �%''� �/���� ���������� !�������� "��������� ��� "0�("�0� 1�� �� ����

KM

Page 58: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

������ � ��� � ���������� ����0�� #����������� ������ �� ������������� ������ � 2 �����

������ � ��� � �������� ���0��� �� � ��' ���$��*��� �����+�*�����' �� �%�� ����' �� �� ���'' ' ��

� � ��� ��� $%� ���(�""� /����'� ����'������ �� ���� &��' ������0��� ��"(����

������� � ����"�� ���� ��(��)� �� *����� '��� ������� �*3���� 4��5 �'��$�� ''�

� ������ � ����0�� ������� ������� �� +��� �,���� *�������� �.6��

����� �� � ������� � ��� � ��� � ����� ����7�� ���������� �� '�� ������������ ������ � 2 �����

����� � ��� ! ������� ����#�� "������� ���������� �� ��� ����������� � ���������� �*3���� 4��5 �'��$ �� ''�

���"�� # ��� $ %�� � ������� �*������� ���'$ ���� ���� '���� �%������'8 '�� *����� �� ���� �� � �� �� '*������� 3$ �� * ���� �� � � ����, � ���'' 5���������� ����� ���� %-� ���()#��

&����� �� � &������ � $��"���� ��� ' ����� ������� �� ' �� ���5 +�����+�*����� �� ��� !��3 �� '��� '� ���������� ������� -%� �7�(��#�

&� ���� � ��� # ������(��� ������� #����������� �� .������ ����� (��� ��������������� ���� 6��� *�� �� ''�

&�)���� � ��� � ��� ��###�� 9 ����:' * ���� ��� �5 �� � �*�� � '$'� *' �� ;%� ����'� ��������� � ���������� �/� �#��(���"�

&�*���� + ��� $ ������ ������� ������������ ������������� 2��%* �#� ��0���������� ��� ������������ 1������������ ������ � 2 �����

')��)�� & ��� , -��� �� ����0�� !������� ������ "������ ������� 2�3�������4�������� �*3���� 4��5 �'��$ �� ''�

'"������ -� � #����� ��� - #����� ��###�� �%����,����� 9 ����&' ��� �%� ���� 2 ���� ������ '� ������� �� ����������� ��������� -%� �("#�

,�������� & ������� 1 ��'��� �� �� ��� � � ����,�����' �� �� �6 *�� � ��� � %��� � ���� ��� � � ������ �����������'� #�������� �� ���������� -55� �7(�"#�

,������)�� , ������� #��� �� ",������� <��� =�� $ > ���'�

.��������"� � ��� � ���� ����"�� #����������� '�� �������� 1�5 � �%3��������'.���

.��������"� � ��� * -��������" ���"��� � �����$ ��� � �������$ �� ' �' �� �%�� ���� '��� '� &����)� -6� �(70�

���� %/�� # ��������� ��� + %�������� ����7�� �� �*������� �� ���5 +��$ ��� ������ ���� ';%�� � ��''� #""" ���������� �� #�������� ������ 66� ���)(��7#�

��� # ��� � 0�� ���70�� ?� �� ����3���� & �� � �� �� ����@����� � �� ������ ������� -7�� �"�(�#��

������� $� � $���������� ��� 0 ����"�� ����0�� ������������ ������������8������� *�������� ������ � 2 �����

���������� % ��� % #���� ���)��� 6 ������� ����%�%' �� �� �� �' �**�� �� ��� �5�%' ����5��$� 9������� � ��������� 9��������� 7� ��"(����

������ � ��� � #����� ���0��� *����������� �.� �� ''�

K6

Page 59: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

������� # ����7�� ��� #��������� ���������� � +����� � A�%� � 6��� *�� �%3 ��'� �'�

#������� � ���7��� "� ������� �� ���������� �*3���� 4��5 �'��$ �� ''�

#������ - ��� � ������ ������� ������ � ������� *����� 5�'���� ��� �� 3������# � :��� ;5� ��(""�

#�����)� & ���7)�� ������ ���� � ��������� *��������� ������ � 2 �����

+��� ���� $� � ��� �� ��� � �������� ����)�� *���� 2�3������� ",������� <##= ������� ������ � 2�3������� 4�������� 2��%* 0) �� "���������� ���������� ��������� ������ � 2 �����

����� ���� ! ����7�� � ���� '��� ' ��� ��*�� � �$ *������ �%������'� ���� ����� %/� 7��(7)��

�������"���� ! ����)�� 9��� �� ����� 0������� �� ���� 2��%* �8 2��� �� ' �� ��� B ���5 ���� � ������ � 2 �����

������ � ���0"�� ?� �� ���' ��� + �� �� *� >� ���� �� ����� -6� �#)�(�#"0� =���� ����� ��%* �� >� ���� �� ������ -�� �#0�(�#�#� ���0���

������ � ��###�� ���� *������ ���3� *' ��� �� � +� � ��%�$� .� 2� 6������ �� 6��$����� C�+� ��� D� ��,%� �/�'��� ���������= !�������� �� *������������ ��� ���(��)�6���

������ � ��� & 1��� ��##��� /'��*����� �� �����+�*����� ���� �� � ������ �� ��$��� ������

-������ � ����0�� *���� 2�3������� ",������ #= 9��� ������� 2��%* ��" �� �������� ��������� ��������� ������ � 2 �����

*������ � ���7)�� 6 �� ��$ �� �� � ����3� � ������������� � ��� ��� ;$� ���)(��)��

"� )� $���� � ��###�� "������� *�������� �� ��"��������� �*3���� 4��5 �'��$�� ''�

*����� * ����7�� ��������� +����� ������� <��� =�� $ > ���'�

*��"��)� # ��###�� .�� ���� �� ����%����� *����� '8 3 � -���� ���* '$� ��$�*���'� *�� ������ ' �'��� ��� � ������� .� #������ ��� *��������� �������= ������� '�������� ��� ��"(�"�� �� '' CC�

*�������� � ���"��� "�������� � ��� ���������� � ��� �������� *������� 9�%&���� %''����� /����'� ����'������ ��� �� � �' ������ � ��� ����������� �� *��������� � ��� #��������� � ���*�� �� ''� ��0��

%�� �� $ ����#�� ������� ������ �� 4���������� 2�� �.6��

%��������� +� � ������ ��� ���������� ����7�� � � ����,����� � ����*��� ��� �%����,����� � ����&' ��� '%����� 5 ���� *����� ' �� �����$ �%*3 �' �� ��*������ �����'� � ������� ���� 9� � ���7 #��� 9 %��?C���

��� ������ ���� ������� ��� � ����� ��������� ���������

������� � �*2PP�� "%�� ��� �� *����!������ �������

������� � �*2PP�� NNNNNNNNNNNN� ��� ��� NNNWNNN�

� ���� �� � �*2PP�� NNNNNNNNNNNN� ��� ��� NNNWNNN�

K2

Page 60: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

����*

� �� ��� �� � �#� ))� ��� ��� ��� �#����� ���� � )#���� ��� � "� � "����� "���� �#����� �)�� �7� ����� �� � "���� �#��� �� 0�� � ���� �#� � )������ �� �� �#�� � ��� ��� �

� ��� ��� ����� � � �)�� "� � "������� "��� � 0 � "� � "�� "��� �

D ��'� ��:' �� ;%����$� 73 '� -�� �3��' 5������ ���� �E� ��

� 3$'� 5:' �� ;%����$� 7��*���� �� ������ �����-� �� � ���5 ���� �%*3 �� �)

� � �� �%������� �

��'�������� ��

�����$ �%*3 �� �� ����� "

�����+�*������ ��� �� *�������� � *������� �� � �)�� � �#� �%����, �� "�� �%����, � *�������� "�'�*�� � ��

� ��%� *��� )�'��� � )�

� � ��� ' ������ ����� �����+�*����� ����� �"��� 3��' 5������ ���3� *� ���� !��3 �� '��� � �"

!� E����:' �� ;%����$� 7��*�� � �%' ���$��*���'� ��� )0�$���� '�' '��� � �#

���5 +� ��

& �� �� )#

� �'� ';%�� '� �� ")

� �� � & �� �� ��� �#� ��*�� � ' � ������ ��

���' �� � ��

� �� ''��� �%������� �� 0� ����%���� & �� � !��3 �� '��� � ��� )�

'�*�� � ���3�� 5

/*3 ����� �� �� *� ��'��� � ��� ��� ��� �0

��������:' �� ;%����$� ��

���� � �%������� �# *�������� �#

2 ��� '

5'

Page 61: ttic.uchicago.eduttic.uchicago.edu/~smale/papers/math_foundation_of... · 2006-10-30 · 7 # + a % 6 * %3 ' ' # 7 " * 3 45 ' $ '' # - * 5' 3 # : ;5. 7 " # 0 # ) ! e:' ;% # ) " " "

*3 ������ )�5��� �$� )7

= $� ��� � ����%��� )�

5*