Tugas Rekayasa Komputasional“Differensial”

Disusun Oleh :

Ahyar Sigit P.

Jeafry Aprian

Kevin Alexander K.

M. Arif W.

M. Bima Bagus

Kelas 3IA22Teknik InformatikaAngkatan 2010Universitas Gunadarma

Pengertian DiferensialPersamaan diferensial adalah persamaan

matematika untuk fungsi satu variabel atau

lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan

turunannya dalam berbagai orde. Persamaan

diferensial memegang peranan penting dalam

rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam

disiplin ilmu lainnya.

Kecepatan Sesaat dan Garis Singgung

• Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garis

• lurus menurut persamaan

• x = x(t)

• dengan x menyatakan posisi benda tersebut dan t

menyatakan waktu.

• Kecepatan rata-ratanya dari t = a s/d t = b adalah

• v[a,b] = [x(b) – x(a)]/(b – a).

• Kecepatan sesaat pada t = a adalah

Aturan Dasar Turunan• 1. Jika f(x) = k, maka f ’(x) = 0.

• 2. Jika f(x) = x, maka f ’(x) = 1.

• 3. Aturan Pangkat: Jika f(x) = xn (n є N), maka f ’(x) = n.xn-1.

• 4. Aturan Kelipatan Konstanta: (kf )’(x) = k.f ’(x).

• 5. Aturan Jumlah: (f + g)’(x) = f ’(x) + g’(x).

• 6. Aturan Hasil kali: (f.g)’(x) = f ’(x).g(x) + f(x).g’(x).

• 7. Aturan Hasil bagi :

• 8. Aturan Rantai: (f ° g)’(x) = f ’(g(x)).g’(x).

• Untuk fungsi trigonometri, kita mempunyai:

• 9. Jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x.

• 10. Jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = - sin x.

Differensial dan Aproksimasi

• Aproksimasi adalah suatu pendekatan untuk

memperoleh nilai yang sedekat mungkin dengan

nilai yang sebenarnya.

• Misalkan y = f(x) mempunyai turunan di x dan dx =

Δx menyatakan diferensial peubah bebas x.

• Diferensial peubah tak bebas y didefinisikan

sebagai dy = f ’(x)dx.

• Di sini dy merupakan hampiran untuk Δy [ingat: Δy

= f(x + Δx) – f(x)], sehingga f(x + Δx) = f(x) + Δy ≈ f(x)

+ dy = f(x) + f ’(x)dx, asalkan Δx ≈ 0.

KekontinuanFungsi kontinu dalam matematika adalah

fungsi, yang bila dijelaskan secara intuitif, perubahan

kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil

pula pada keluaran. Bila tidak demikian, fungsi

tersebut dikatakan diskontinu. Fungsi kontinu dengan

fungsi invers kontinu pula disebut bikontinu.

Turunan dan Hubungannya dengan

Kekontinuan• Jika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a

• Namun sebaliknya tidak berlaku: kekontinuan di a

tidak menjamin adanya turunan di a.

• Sebagai contoh, fungsi f(x) = | x | kontinu di 0

tetapi tidak mempunyai turunan di 0.

Fungsi Diskrit• Matematika diskrit adalah cabang matematika yang

mengkaji objek-objek diskrit. Diskrit ialah sesuatu yang terdiri dari sejumlah berhingga elemen-elemen yang berbeda atau bersambungan. Himpunan bilangan bulat (integer) disebut sebagai diskrit. lawan dari kata diskrit adalah kontinyu atau terus menerus.

• Sebuah fungsi adalah sebuah relasi biner yang secaraunik menugaskan kepada setiap anggota domain, satudan hanya satu elemen kodomain.

• Fungsi diskrit numerik, atau singkatnya disebut fungsinumerik, adalah sebuah fungsi dengan himpunanbilangan cacah sebagai domain dan himpunanbilangan riil sebagai kodomainnya

Fungsi Diskrit - lanjutan• Penyajian fungsi numerik pada prinsipnya bisa dilakukan

dengan menuliskan daftar panjang nilai-nilainya, namunpada prakteknya dibutuhkan penyajian dalam bentuk yang tidak terlalu panjang.

• Dalam perkembangannya, matematika diskrit melaju pesat seiring dengan pesatnya perkambangan teknologi IT yang ada saat ini, karena teknologi digital bekerja secara diskrit dan disimpan serta dimanipulasi oleh komputer secara diskrit.

• Ruang lingkup pembahasan Matematika Diskrit ialah : 1. Logika, 2. Himpunan, 3. Matriks, 4. Reasi dan Fungsi, 5. Induksi Matematik, 6. Algoritma, 7. Bilangan Bulat, 8. Barisan dan deret, 9. Teori Group dan Ring, 10. Aljabar Boolean, 11. Kobinatorial, 12. Teori Peluang Diskrit, 13. Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens, 14. Teori Graf, 15. Kompleksitas Algoritma, 16. Pemodelan Komputasi (Otomata dan Teori Bahasa Formal).

Fungsi Diskrit - lanjutanContoh fungsi diskrit :

Daftar Pustaka• http://indramtk-

suhindra.blogspot.com/2012/09/kecepatan-sesaat-

dan-gradien-garis.html

• http://oshman.wordpress.com/2010/06/29/matema

tik-diskrit/

• http://tassiearmanatha.wordpress.com/2010/12/29/

aproksimasi-terbaik-dan-kuadrat-terkecil/

• http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kontinu