Upload
pmeulendijks108
View
490
Download
14
Embed Size (px)
Citation preview
TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT Afdeling der Civiele Techniek
Vakgroep Beton
Rapport 5-80-D6
TUIBRUGGEN
IN VOORGESPANNEN BETON
DEELI DEEL II DEEL III (FIGUREN)
IR. J. BRAKEL JUNI 1981
ONDERZOEKRAPPORT Betonkonstrukties
/ Q 3 ^^^c>
Technische Hogeschool Delft
Afdeling Civiele Techniek
Vakgroep Betonconstructies
Stevinweg 1, 2528 CN Delft
Rapportnr. DR-6
juni 1981
Technische Universiteit Delft Bibliotheek Faculteit der Civiele Techniek
(Bezoekadres Stevinweg 1) Postbus 5048
2600 GA DELFT TUIBRUGGEN
IN VOORGESPANNEN BETON
Deel II - tekst
STL
I r . J . Brakel
ai
Technische Hogeschool Delft
Afdeling der Civiele Techniek
^i|??.i U56113
3o^V 6e>t/
/ 6, —
I-l
TUIBRUGGEN IN VOORGESPANNEN BETON
Inhoudsopgave
TUIBRUGGEN• ALGEMENE INLEIDING
Afgetuide constructies
Wat verstaat men onder een tuibrug?
Stalen tuibruggen •-
Betonnen tuibruggen
Vergel i jk ing s t a a l - b e t o n b i j tuibruggen
Vergelijking harp-waaier
Vergelijking met hangbruggen.
Het onderzoek van betonnen tuibruggen aan de T.H. Delft.
TUIBRUGGEN• STATISCHE SYSTEMEN
Statische systemen bij tuibruggen
De enkelvoudige tuibrug
De dubbele en meervoudige tuibrug
De asymmetrische tuibrug.
TUIBRUGGEN. ONTWERP EN BEREKENING
Globale dimensionering. Grootste overspanning.
1. Harptuien
2. Waaiertuien
Bepaling van de krachtsverdeling met behulp van de computer.
Bepaling invloedslijnen (gecombineerd met 3.2)
Gewichtsbeschouwingen
De tuibrug als ontwikkeling uit de steigerloze uitbouw
met hulptuien.
Andere mogelijkheden van grote overspanningen te bereiken.
0. De invloed van afwijkende tuikrachtgrootte op de
krachtsverdeling
1. Toepassing van de Monte-Carlomethode op een brug met
een gering aantal tuien
2. De invloed van tuikrachtvariaties bij een tuibrug met
veel tuien
3. Conclusies.
1-2
TUIBRUGGEN. STIJFHEIDSVARIATIES
Stijfheidsvariaties. Algemeen
Variatie van de tuistijfheid
Variatie tuiconfiguratie (waaier-harp)
Invloedslijnen liggermomenten en tuikrachten bij
veel waaiertuien.
De tuibrug met veel waaiertuien en doorgaande,
vrij zwevende, ligger.
Variatie liggerstijfheid. Variatie pyloonstijfheid
Variatie in de elasticiteitsmodulus van het beton
Vaste steunpunten bij tuibruggen
Asymmetrische tuibruggen
Effect van verlengde zijoverspanningen (extra eindvelden)
Wel of geen inhangligger?
Effect van een scharnier in het midden
De doorgaande varstijvingsligg"er
De verbinding van ligger en pyloon
TUIBRUGGEN. TWEEDE-ORDE EFFECTEN
TIJDSAFHANKELIJKE EFFECTEN
Tweede-orde effecten. Algemeen
Tweede-orde effecten bij tuibruggen
Tweede-orde effect bij een uitkragende, afgetuide ligger
Tijdsafhankelijke effecten bij tuibruggen
Be invloeden van krimp- en kruipverschijnselen bij betonnen
tuibruggen en de mogelijkheid tot eliminatie ervan.
Het krimp- en kruipgedrag van de pyloon onder invloed
van de uitwendige voorspanning (door de tuien)
TUIBRUGGEN. WINDEFFECTEN
V/indeffecten bij tuibruggen .
Statische windbelasting _ ' • .
Dynamische windbelastingen
Resonantietrillingen
Fladdertrillingen (flutter)
1-3
5.4.1, Fluttertheorieën
6.'+.2. Flutteranalyse van de als ideale vliegtuigvleugel
geïdealiseerde brugligger
5.4.3. Positieve en negatieve demping
Toeneming bewegingsenergie bij flutter
5.4.4. De bewegingsvergelijking voor de flutterbeweging
van een brug
5.5. De eigen frequenties van^tuibruggen
5.5. Trilling van de tuikabel
6.5.1. De eigen frequenties van een tuikabel
6.5.2. Trillingen van tuikabels door loslaten van Karmanwervels
5.5.3. Trillingsdempers voor (tui)kabels
5.7, Samenvatting
5.8. Aanvullende literatuur .over windeffecten
7. DE TUIKABELS
7.0. Tuikabels. Algemeen .
7.1. Tuikabels, bestaande uit voorspankabels
7.2. De veerconstante van de gewichtsloze, rechte staaf of kabel
7.3. De effectieve rekmodulus van een tuikabel
7.3.1. De vervorming van de tuikabel
7.3.2. Afleiding van de ideële kabelrek
7.3.3. De hoekverandering van de doorhangende kabel
7.4. Variatie van de tuistijfheid door verkeersbelasting, e.d.
7.5. Vergroting van de kabelstijfheid door een stalen omhulling
7.5. Vergroting van de kabelstijfheid door een betonomhulling
7.7. Toelaatbare spanningen. Spanningswissellngen.DIN 1073
7.8. Keuze van de tuikabel
7.9. Bescherming van tuikabels
7.10. Tuiverankeringen
7.10.1. De HiAm-verankering
7.10.2. De Dyividag-verankering
7.10.3. Geprefabriceerde tuikabelverankeringen
7.11. Tuikabelopleggingen in de pyloon
7.12. Nastelbaarheid en verwisselbaarheid van tuikabels
7.13. Het aanbrengen en spannen van de tuien
I-If
8. DE VERSTIJVINGSLIGGER
8.0. De verstijvingsligger. Algemeen
8.1. De dwarsdoorsnede van de verstijvingsligger
8.1.1. De dwarsdoorsnede bij één centraal tuivlak
8.1.2, De dwarsdoorsnede bij twee tuivlakken
8.2. De langsdoorsnede van de verstijvingsligger
8.2.1. Verstijvingsligger met^inhangligger: zie 4.7
8.2.2. Verstijvingsligger met scharnier: zie 4.8
8.2.3. Doorgaande verstijvingsligger: zie 4.9
Verbinüing ligger-pyloon: zie 4.10 en 9.2,
8.2.4. Ligger vrij opgelegd ter plaatse van pyloon: zie 9,2,2. en 9.3.1.
8.2.5. Ligger vrij ingeklemd ter plaatse van pyloon: zie 9.2.3. en 9.3.1,
8.2.6. Ligger vrij zwevend ter plaatse van pyloon: zie 9.2.1.
8.2.7. Vaste steunpunten in de zij overspanningen: zie 4,4,
Korte zijoverspanningen: zie 4,5,
Doorgaande zijoverspanningen: zie 4.5
8.2.8. Langsvoorspanning bij tuibruggen
3.3. De.stabiliteit van de brugligger
9. DE PYLOON
9.0. Pyloonvormen
9.1. De vormgeving van de pyloon
9.1.1. Beschouwingen over de pyloondoorsnede
9.1.2. De vormgeving van de pyloon
9.1.3. De A^-vormige pyloon
9.1.4. De A-vormige pyloon
9.1.5. De buigstijfheid van de pyloon in langsrichting van de brug
9.2. De verbinding van de pyloon met de verstijvingsligger
9.2.1. De stijve verbinding
9.2.2. De scharnierende verbinding
9.2.3. Geen verbinding tussen pyloon en ligger
9.3. Verbinding van pyloon met pijler
9.3.1. Scharnierende of buigstijve verbinding
1-5
9.4. De stabiliteit van de pyloon
9.4.1. 'De stabiliteit van de pyloon in langsrichting
9.4.1.1. De kniklast van de aan de voet ingeklemde pyloon,
die aan de top verend wordt vastgehouden. Voorbeeld.
9.4.1.2. De kniklast van de pyloon, waarvan de voet verend
in de fundering is ingeklemd en de top verend wordt
vastgehouden
9 . 4 . 1 . 3 . Vergel i jk ing met E I = co p p
9.4.2. De stabiliteit van de pyloon in dwarsrichting
9.4.2.1. Ue e"nkele pyloon met voetscharnier en centraal tuivlak
a. met waaiertuien
b. met harptuien
9.4.2.2. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon
9.4.2.3. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon, waarbij de
normaalkracht in uitgebogen stand naar een vast punt
is gericht.
9.4.2.4. De portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan
de voet
9.4.2.5. De portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming
aan de voet
9.4.3. Sterkteberekening van de pyloon
9.4.3.1. Principe van de berekening van een pyloon m;et variabele
doorsnede en wapening.
9.4.3.2. De initiële uitbuiging van een staaf met variërende
stijfheid
9.4.3.3. De berekening van tweede- en hogere-orde momenten
en -vervormingen.
9.4.3.4. Het in rekening brengen van het eigen gewicht
9.4.3.5. De niet-prismatische pyloon
9.4.3.5. "Gebruiksaanwijzing" voor de stabiliteitsberekening
van een tuibrugpyloon (in langs- en dwarsrichting).
9.4.4. Stabiliteit van de pyloon tijdens de bouw
9.4.5. De wapening van een zware pyloon.
10. TUIBRUGGEN. BEZWIJKGEDRAG
10.1. Algem.ene veiligheidsbeschouwingen
10.1.1. Statistische benadering
10.1.2. De sem.i-probabilistische benadering
10.1.3. Methode van toelaatbare spanningen en belastingfactor
10.1.4. Belastingen en belastingeffecten
10.1.5. Variaties in eigen gewicht.
1-6
10.2. Beschouwingen over de veiligheid van tuibruggen
10.2.1. Aantal en afstand van de tuikabels
10.2.2, Aërodynamische stabiliteit
10.2.3, Vermoeiing
10.2.4. Brand en aanrijding
10.3. Onderzoek van het draagvermogen van een tuibrug
10.3.0. Beschrijving van de Constructie
10.3.1. Elastisch ontwerp van de brug
10.3.2. Berekening van de bezwijkbelasting
10.3.2.1. Uitgangspunten
10.3.2.2. Fysische en geometrische niet-lineariteit
10.3.2.3. Toeneming van de verkeersbelasting tot bezwijken
10.3.2.4. De benadering volgens de.CEB-FIP Model Code 1978
10.3.3. Andere bepaling van de bezwijkbelasting
10.3.4. Conclusies.
11. TUIBRUGGEN. UITVOERINGSPROBLEMEN
11.1. Inleiding
11.2. Steigerloze uitbouw
11.3. Uitbouvjen van een deel van de dwarsdoorsnede
11.4. Uitbouwen m.et hulptuien, met of zonder hulpligger
11.5. Uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen
11.5. Bijzondere uitvoeringsmethoden
11.7. Het aanbrengen van de tuien
11.8. De invloed van variabele tuiafstanden op de krachts
verdeling in een tuibrug bij verschillende bouwstadia.
12. TUIBRUGGEN. BIJLAGEN
Bijlage 3.1: Door kabels ondersteunde liggers
1. Algemeen
2. Vrij opgelegd met puntlast in het midden
3. Vrij opgelegd met gelijkm.atig verdeelde belasting
4. Voorspanning van de tuikabel (in het midden)
5. Ligger met tui en puntlast op v/illekeurige plaatsen
5. De veerconstante van de schuine tuikabel
7. Vergelijking van de elastisch ondersteunde ligger
met een door tuien ondersteunde li^-ger.
1-7
Bijlage 3.2: Berekening van de krachtsverdeling in tuibruggen
met behulp van de com.puter
1. Inleiding
2. Opbouw computersysteem
3. Computerkosten
4. Programma's
5. Werking van het "rekongedeelte in een program.ma.
Bijlage 3.7.0: Methoden om de kracht in een tuikabel te meten;
nauwkeurigheid.
Bijlage 7.01
7.02
7.03
Staalhoeveelheid bij harptuien
" " waaiertuien
" voor de kabels van een hanp'orug
Bijlage 7.3: Afleiding van de formule voer de ideële ver-
vormingsmodulus E. van een doorhangende, schuine
kabel, bel;ist door een normaalkraciit "i en het
eigen gcv;icht g (Ernst)
Bijlage 7.3.3: Staaf, belast op buiging en normaalkracht (trek)
Bijlage 9.4.3.4: Benadering van de kniklast door eigen gewicht
Bijlage 9.4.3.5-1 : Tweede-orde effecten bij lineair-elastisch gedraj
iijlage 9.4.3.5-II : De eerste- en tv/eede-orde vervorming van een
pyloon met v/aaiertuien,
13, TUIBRUGGEN, LITERATUURLIJST
r
8. DE VERSTIJVINGSLIGGER
8.0. De verstijvingsligger. Algemeen
8.1. De dwarsdoorsnede van de verstijvingsligger
8.1.1. De dwarsdoorsnede bij één centraal tuivlak
8.1.2. De dwarsdoorsnede bij twee tuivlakken
8.2. De langsdoorsnede van de verstijvingsligger
8.2.1. Verstijvingsligger met inhangligger: zie 4.7.
8.2.2. Verstijvingsligger met scharnier: zie 4.8
8.2.3. Doorgaande verstijvingsligger: zie 4,9
Verbinding ligger-pyloon: zie 4.10 en 9,2
8.2.4. Ligger vrij opgelegd ter plaatse van pyloon: zie 9,2.2 en 9,3,1
zie 9,2,2 en 9.3.1
8.2.5. Ligger ingeklemd ter plaatse van pyloon: zie 9.2.3 en 9.3.1
8,2,5. Ligger vrij zwevend ter plaatse van pyloon: zie 9.2.1
8.2.7. Vaste steunpunten in de zij overspanningen: zie 4.4.
Korte zij overspanningen: zie 4.5.
Doorgaande zij overspanningen: zie 4.6.
8.2.8. Langsvoorspanning bij tuibruggen
8.3. De stabiliteit van de brugligger.
r
L
8.0.1
8.0 De verstijvingsligger
De verstijvingsligger van een betonnen tuibrug is altijd gecombineerd
met de rij vloerconstructie tot een samenwerkend geheel.
De verstijvingsligger dient
- om de belastingen tussen de tuiaansluitingen (eigen gewicht en
verkeersbelasting) naar deze aansluitingen over te dragen (zowel
in langs- als in dwarsrichting; zie ook fig.8.1.1.1);
- voor het opnemen van de buigende momenten door de verkeersbelasting,
ontstaan door de vormveranderingen van de tuien en de pyloon;
- voor het opnemen van de drukkrachten, veroorzaakt door de tui
krachten (eigen gewicht en verkeersbelasting);
- voor het opnemen van de buigende momenten tengevolge van temperatuur
(tuien, pyloon, ligger), krimp en kruip (pyloon, ligger);
- voor het opnemen van wringende momenten tengevolge van excentrische
belasting van de rijvloerconstructie, voor zover de tuien hiertoe
niet in staat zijn (één of twee tuivlakken);
- om een vloeiend verloop van de doorbuiging te waarborgen, zodat het
verkeer zo weinig mogelijk hinder ondervindt.
Daarvoor moet de verstijvingsligger dus aan minimale eisen van buig
en wringstijfheid voldoen.
Het opnemen van de belastingen tussen de tuien en van de drukkracht uit
de tuien is bijv. ook mogelijk met een ligger met scharnieren ter plaatse
van de tuien, mits de ligger voldoende gewicht heeft, zodat hij niet
(naar boven) kan uitknikken.
Bij het berijden ontstaan dan echter wel problemen (grote onderlinge
hoekverdraaiingen, grote plaatselijke doorbuigingen), afgezien nog van
de praktische problemen bij het realiseren van de scharnierende ver
bindingen en de kosten van de overgangsconstructies.
Daarom zal de verstijvingsligger zoveel mogelijk continu worden uitge
voerd, zeker het afgetuide deel ter weerszijden van de pyloon.
Daartussen worden soms scharnieren of inhangliggers toegepast.
Hierover is reeds het een en ander gezegd in 4.7 t/m 4.9.
Op de verbinding van ligger en pyloon is in 9.2 nader ingegaan.
Hier zal eerst iets over de dwarsdoorsnede worden gezegd, daarna over
de langsdoorsnede.
- 8.1.1. -
8 . 1 De dwarsdoorsnede van de verstijvingsligger
Bij het ontwerp van de dwarsdoorsnede spelen de volgende
aspecten een rol:
- statische eisen (sterkte en stijfheid in langs- en dwars
richting) ;
- aërodynamische eisen;
- tuiaanslui ting;
- pyloonontmoeting;
- ui tvoeri ng.
Het ontwerp van de dwarsdoorsnede kan niet los worden gezien
van de krachtswerking in dwars- en langs richting. De dwars
doorsnede moet in staat zijn grote normaalkrachten en
buigende momenten in langsri cht ing op te nemen; zie ook 3,1,1, 3.1.
i+. 1 . 1 en U.1,3. In vele gevallen moet hij ook in staat zijn
aanzienlijke wringende momenten over te brengen. Voor al deze
gevallen is het gunstig het materiaal ver van het zwaartepunt
van de doorsnede aan te brengen. Dit leidt in het algemeen
tot één- of meercellige kokerdoorsneden, waarbij de dwars
kracht door de lijven wordt overgebracht.
Verder moet de doorsnede in staat zijn krachten in dwars-
richting over te brengen. Voor het opnemen van de hieruit
voortvloeiende buigende momenten is de kokerdoorsnede - in
de vorm van een Vierendeeliigger - ook zeer geschikt, maar
voor het opnemen van dwarskrachten moet deze "Vierendeeliigger"
I meestal worden voorzien van dwars verst ij vingen in de vorm
van diagonalen of dwars s chot ten (met of zonder openingen); fig.8. 1.1.
Veelal wordt de doorsnede zo ontworpen dat de hier beschreven
functies in langs- en dwarsrichting niet apart, door afzonder
lijke onderdelen, worden vervuld, maar dat alle onderdelen in
meerdere of mindere mate aan alle functies meedoen en als
een geheel samenwerken (vergelijk orthotr ope-plaat i de e ).,
Bij niet te grote brugbreedten zal de hoogte van de doorsnede
meer worden bepaald door de eisen voor sterkte en stijfheid
in langsrichting dan door die in dw.arsrichting (zie ook hierna).
Er zal onderscheid worden gemaakt tussen:
- tuibruggen met een centraal tuivlak;
- tuibruggen met twee tuivlakken (wel of niet geheel buiten
de dwarsdoorsnede gelegen).
, • - ; • > . , . '
- 8.1.1.1 -
1 Dwarsdoorsnede bij één centraal tuivlak
Bij één centraal tuivlak kan de dwarsdoorsnede in principe
opgebouwd worden gedacht uit twee elementen (fig.8.1.1.1):
1. een symmetrische uitkraging, die de belasting in dwars-
richting overbrengt naar
2. een centrale langsligger (a.h.w. de ruggegraat ) , die de
belasting in langsri cht ing overbrengt naar de tuiaansluitingen
Voor een goed begrip van de krachtswerking is deze eenvoudige
wijze van voorstellen erg geschikt. Bovendien is het een
constructievorm, die zeker in aanmerking komt, en, in aangepaste
vorm, ook is toegepast (fig,8.1 , 1 .9) •
Gaan we (voorlopig) alleen van de dwarsdoorsnede uit, dan is,
bij aanname van een over de hele breedte gelijke totale opoer-2 vlakte van de doorsnede, het gewi cht g (per m ) over de breedte
constant en neemt het buigend moment naar het midden kwadra
tisch toe (fig.8,1.1.2).
M. = l gy^ \ ,. =1/8 gb-.
wil men bij de veronderstelling van een overal even dikke
onder- en bovenflens (met doorsnede 3) de spanning a constant 2 houden, dan moet de hoogte h. evenredig met y verlopen, dus
ook narabolisch:
y B.h ^ ^ = c
y B.h
onstant (fig.8.1.1.2)
Hierin is h de afstand tussen de middens van onder- en boven-y
flens ter plaatse y.
De spanning a tengevolge van eigen gewicht g moet laag worden
aangenomen, omdat hij door de verkeersbelasting nog aanzienlijk
kan worden vergroot. Bovendien kan bij grote breedte b de
doorbuiging aan de einden aanzienlijk zijn, als voor \ een
kleine waarde wordt gekozen.
Alleen rekening houdend met de krachtswerking in dwars ri chting
is een aanvaardbaar minimum voor h in het midden van de breedte
y = b = -iö-Doorgaans echter zal men een hogere waarde kiezen, omdat de
eisen voor sterkte en stijfheid in langs ri chting doorslaggevend
zijn (bij niet te grote brugbreedten).
- 8.1.1.2 -
Bij tuiafstanden in dezelfde orde van grootte als de brug-
breedte is een hoogte h ::: O , 1 b een goed uitgangspunt; bij
smalle bruggen gaat men wel tot h ~ 0 , 2 b. Deze hoogte wordt
echter meestal bepaald door de eisen voor de langsrichting
en dan uitgedrukt in de hoofdoverspanning L .
De zo verkregen dwarsdoorsnede (fig.8 . 1 .1 .2) is voor het moment
in dwarsrichting zonder meer gunstig, en bij toepassing van
dwarsschotten op geschikte afstanden (en passende dikte)
ook voor het opnemen van dwarskracht.
Voor het opnemen van drukkrachten in langsrichting is deze
doorsnede evenmin ongunstig (ofschoon de einden van de uit-
kragingen weinig bij zullen dragen tot de weerstand tegen
uitknikken). De doorsnede is echter vooral ongunstig voor
het opnemen van buiging in langsrichting, met name van druk
in de onderflens. De materiaalverdeling hiervan is wel zeer
ongunstig, waardoor er hoge drukspanningen in zullen optreden,
Hieraan wordt tegemoet gekomen door de onderflens over een
zekere breedte horizontaal te laten lopen en hem, indien nodig,
zoveel dikker te maken, dat de drukspanning kan worden opgenomen,
Men verkrijgt zo de doorsnede volgens fig.8.1.1.3, die o.a. in
Engeland voor verschillende brugontwerpen - geen tuibruggen -
is toegepast.
De dwarskracht in dwarsrichting kan worden opgenomen door de
reeds genoemde dwarsschotten, die echter geen bijdrage tot de
stijfheid in langsrichting leveren. De dwarskracht kan ook
worden opgenomen door een vakwerk van vertikalen en diagonalen,
als ges chets t in f ig.8 . 1 . 1 . i+. Als deze in langsrichting van de
brug plaatvormig doorlopen, leveren ze tevens een bijdrage
tot de langsstijfheid. Dit doorlopen heeft vooral zin voor
de vertikalen, omdat die tevens het brugdek ondersteunen en
zo de overspanning ervan reduceren. Het heeft veel minder zin
voor de diagonalen, waarvoor met een plaatselijke geconcen
treerde doorsnede kan worden volstaan, zowel voor trek als
voor druk,
- 8,1.1,3 -
Bovendien levert het storten van een doorgaand, schuin plaat-
vlak in een koker grote moeilijkheden op en wordt de koker
- vooral bij kleine hoogte - erdoor verdeeld in een aantal
vrijwel ontoegankelijke ruimten, die niet alleen het aan
brengen en weghalen van de bekisting bemoeilijken, maar ook
het eventueel aanbrengen van langs- en dwarsvoorspanning en
het verankeren van de tuikabels zeer lastig tot vrijwel
onmogelijk kunnen maken. Dit geldt ook voor de schuine buiten
wand van de kokerdoorsnede van fig, 8,1,1,5 bijv. als gewerkt
wordt met de steigerloze uitbouwmethode met ter plaatse storten.
Men geeft dan meestal de voorkeur aan rechthoekige kokercellen 3 2 ( fig .0 , 1 . 1 , 6).Men komt zo tot bet onhoeveelheden van 0,6-0,3 m /m ,
2 2 of liggergewichten van 15 a 20 kN/m (grindbeton) of 11-15 kN/m (lichtbeton), Aan tuiaansluiting, afwerking, asfalt, e.d. kan
2 . . hier nog 3 a 6 kN/m bijkomen.
Een goede toepassing van het voorgaande is de dwarsdoorsnede
van de Pont de Brotonne |33M , schematisch weergegeven in
fig. 8.1.1.7J een kokervormige doorsnede, die goed wringing
op kan nemen, in dwarsrichting verstijfd met geprefabriceerde
drukdiagonalen in voar-gespannen beton.
Bij toepassing van een centraal tuivlak zijn ook de doorsneden
van fig. 8.1.1.8 en 8.1.1.9 (vgl. Hoechst) logische vormen.
De vrij geringe stijfheid van een grote uitkraging van het
brugdek tegen doorbuiging tengevolge geconcentreerde lasten
kan gunstig worden beinvloed door toepassing van een lichte
randbalk, waardoor de plaatselijke vervorming door een gecon
centreerde last over- een grotere afstand in langsrichting
wordt gespreid ( f ig .3 .1. 1. 10 ), Als de randbalk onder het brugdek
wordt aangebracht, kan hij tegelijk hiermee worden gestort,
Dit is niet mogelijk - of erg lastig - als hij boven het
brugdek wordt aangebracht,.Wel kan hij dan tevens dienst
doen om uit de koers geraakte auto's op de brug te houden,
eventueel in combinatie met een vangrail (vgl, o.a.
Kleinpolderplein ;Cement 2, 1969 ).
8.1.2.1
8.1.2. De dwarsdoorsnede bij twee tuivlakken
Bij toepassing van één centraal kabelvlak moet de gehele wringing van
de ligger tengevolge van excentrische belasting in dwarsrichting
door de dwarsdoorsnede worden opgenomen, en wel over de afstand tussen
de punten, waar de wringing aan een andere constructie (of onderdeel)
kan worden afgedragen, bijv. de landhoofden, de pyloonpijlers of de
tussenpijlers. De meest geschikte doorsnede hiervoor is de één- of
meercellige kokerligger (fig.8.1.1.3 t/m 8.1.1.9).
Bij toepassing van twee tuivlakken is overdracht van wringing door de
ligger in principe niet nodig. De krachten, opgewekt door een in
dwarsrichting excentrische belasting, worden door de beide tuivlakken
opgenomen in de vonn van een vergroting van de tuikrachten aan de ene kant
en een verkleining van de tuikrachten aan de andere kant (fig.8.1.2.1). Dit
veroorzaakt dus ongelijke verlengingen van de tuien aan weerszijden,
dus dwarsvervorming van de ligger. Afhankelijk van zijn wringstijfheid
zal hij ook een deel van de wringing overbrengen.
Dit is ook afhankelijk van de afstand van de tuivlakken. Hoe groter
deze is des te meer wringing zullen de tuien opnemen.
Ook de stijfheid tegen vertikale verplaatsing van de tuien is van
invloed (dus de tuihoek). Naarmate deze groter wordt (meer naar 90 ),
zal de tui meer opnemen, en omgekeerd. In dit opzicht zijn waaier
tuien meestal gunstiger dan harptuien, hoewel bij de laatste de tui
lengte nabij de pyloon korter is.
Meestal worden bij twee tuivlakken de tuien buiten het rijbaangedeelte
aangebracht; voet-, rijwiel- en inspectiepaden mogen er buiten steken.
Dit betekent doorgaans een grote afstand van de tuivlakken en dus een
doorsnede die weining op wringing wordt belast.
Hiermee kan bij het ontwerp van de dwarsdoorsnede rekening worden
gehouden door het kiezen van een (grotendeels) open doorsnede in plaats
van een gesloten doorsnede (bijv. veel T-liggers naast elkaar in
plaats van een meercellige kokerligger).
Bij toepassing van twee tuivlakken kunnen eigen gewicht en verkeers
belasting op verschillende wijzen naar de tuien worden overgebracht
(fig. 8.1.2.2 ):
- door langsliggers, die hun belasting, overbrengen op dwarsdragers
tussen elk tuienpaar (fig. 8.1.2.2-a);
- door dwarsdragers, die hun belasting overbrengen op hoofdlangs-
liggers ter plaatse van de tuivlakken (fig. 8,1,2,2-b).
8.1.2.2
In het eerste geval heeft het zin de dwarsdragers wringstijf uit te
voeren (bijv. als kokerliggers), zodat bij plaatselijke belasting van
een langsligger de andere langsliggers niet alleen door de onderlinge
verbinding van de bovenflens meedoen aan de krachtsoverdracht, maar ook
door de wringweerstand van de dwarsdragers; fig. 8.1.2.2-a . Ook de tui-
verankering kan zo beter worden aangebracht.
In het tweede geval heeft het zin de hoofdlangsliggers wringstijf uit te
voeren, zodat bij plaatselijke belasting van een dwarsdrager de andere
dwarsdragers niet alleen via de gemeenschappelijke bovenflens meedoen
aan de krachtsoverdracht, maar ook via de wringstijve langsliggers;
fig. 8.1 .2.2-b.-Ket zal duidelijk zijn dat dit niet geldt voor een belasting,
die over de hele lengte aanwezig is. Ook hier geldt dat de tuiverankering
beter in een kokerligger kan worden ondergebracht.
In het eerste geval zullen alle langsliggers meedoen om de normaalkrachten
en de buigende momenten in langsrichting op te nemen; in het tweede geval
zijn hiervoor alleen de beide hoofdliggers beschikbaar, met een gedeelte
.van de bovenflens van de dwarsdragers; de hoofdliggers zullen op deze
krachten moeten worden gedimensioneerd. Bij kleine tuiafstand zijn de
buigende momenten relatief gering en kan met een geringe hoogte van de
doorsnede worden volstaan (TTT: a - -r— van de overspanning) .
De hoogte wordt dan meer bepaald door de toestand tijdens de bouw (•'/rije
uitkraging over iets meer dan de tuiafstand) dan door de bedrijfstoestand.
De tuibrug met twee hoofdliggers (ter plaatse van de beide tuivlakken),
verbonden door vele dwarsdragers, leent zich goed voor prefabricage, of
voor een combinatie van prefabricage en ter plaatse storten. Voor de beide
hoofdliggers komt zowel prefabricage als ter plaatse storten (bijv. steiger
loze uitbouw in moten van U a 5 m) in aanmerking. Dit beperkt tevens het
kraagmoment vlak voor de aansluiting van de volgende tui, omdat de tussen-
constructie (dwarsdragers) pas naderhand wordt aangebracht; die loopt als
het ware tenminste één tuiafstand achter. Voor deze dwarsdragers is
prefabricage welhaast aangewezen. De verbinding met de hoofdligger geschiedt
met een geringe hoeveelheid ter plaatse gestort beton en voorspanning.
Wel moet worden gezorgd dat de krachten uit onder- en bovenflens (moment)
en lijf (dwarskracht) door de kokerligger kunnen worden opgenomen; hiervoor
zullen soms verstijvingen nodig zijn (zie ook hierna en fig. 11.3.2).
8.1 .2.3
De tuibrug met dwardragers ter plaatse van de tuien en vele langsliggers
leent zich minder goed voor prefabricage of zelfs steigerloze uitbouw, zonder
speciale maatregelen. De vrij lichte langsliggerconstructie staat geen grote
uitkraging, c.q. tuiafstand toe, waarbij tevens bedacht moet worden dat ook
de aansluitende dwarsdrager reeds geheel of grotendeels aanwezig moet zijn
om de tuiaansluiting te kunnen realiseren. Ook hier zou een tweetal verzwaarde
langsliggers ter plaatse van de tuivlakken het mogelijk kunnen maken deze -
met de tuiaansluiting - vooruit te bouwen en, na aansluiting van de tuien,
eerst de dwarsdrager te voltooien (bijv. als prefab element) en daarna de
overige geprefabriceerde) langsliggers aan te brengen (fig. 8.1.2.3).
Een goed voorbeeld van een tuibrug met twee tuivlakken en twee hoofdliggers
is de Pasco-Kennewickbrug over de Columbia River in Washington, U.S.A. [ SOj •
De doorsnede bestaat uit twee driehoekige kokers, aan de buitenzijde waarvan
de tuien zijn bevestigd (fig. 8.1.2.4), verbonden door geprefabriceerde,
wringslappe, T-vormige dwarsdragers. De wringstijfheid van het geheel in
langsrichting is vrij gering, maar die van de afzonderlijke kokers is wel
voldoende om te zorgen dat alle dwarsdragers ten naaste bij evenveel meedoen
bij het opnemen van het buigend moment in dwarsrichting tussen twee tui
aansluitingen. De buigstijfheid in langsrichting is, ondanks de vrij geringe
hoogte (.. „ van de overspanning), meer dan voldoende.
Een soortgelijke oplossing is toegepast door Ir. Van den Bronk in zijn
afstudeerwerk lAlS , een variant van de Willemsbrug in Rotterdam in voorge
spannen beton; fig. 8.1.2.5. De zeer geringe beschikbare constructiehoogte
van de middenoverspanning (1 ,6o m) leidde tot de aangegeven doorsnedevorm.
Tussen de kokervormige hoofdliggers zijn contactdwarsdragers aangebracht, die
met het oog op gewichtsbesparing van een met styropoorblokken opgevulde
holte zijn voorzien. Gebleken is dat de breedteafmetingen van de kok-ers
eigenlijk iets groter hadden moeten zijn om de langsvoorspanning beter te
kunnen bergen. De geringe beschikbare hoogte leverde overigens geen problemen op.
Het meewerken van een groot aantal dwarsdragers bij plaatselijke belasting van
één dwarsdrager kan ook worden verkregen door de hoofdligger te voorzien van
een brede onderflens, die een grote buigstijfheid heeft in dwarsrichting;
fig. 8.1.2.5. Ook hier is het effect bij belasting over de hele bruglengte nihil.
Hoewel iets minder effectief dan een kokerligger, kan deze doorsnedevorm uit een
oogpunt van vervaardiging voordelen bieden (eenvoudiger te maken dan een koker
ligger) .
8.1.2.^
Worden de tuien niet nabij de buitenzijde van de brugdoorsnede bevestigd,
maar veel meer naar het midden (fig. 8.1.2.7), dan kan de wringing minder
goed alleen door de tuien worden opgenomen en kan ondersteuning met een
wringstijve hoofdligger worden overwogen (tuibrug over de Main bij
Hoechst [255] ).
8.2.1
De langsdoorsnede van de verstijvingsligger
Uit een oogpunt van economisch bouwen is een prismatische verstijvings
ligger, met constante hoogte en doorsnede, het aantrekkelijkst (zie
ook 11.2).
Vaak is dit ook zeer goed mogelijk. In de doorsneden nabij de pyloon
overheerst weliswaar denorraaalkracht en in de doorsneden ver van de
pyloon overheerst het buigend moment, maar de combinaties van buiging
en normaalkracht kunnen vaak door eenzelfde doorsnede - zij het met
verschillende wapening - worden opgenomen.
Bij een combinatie van groot moment en grote normaalkracht (nabij de
pyloon dus) kan een aangepaste doorsnede uitkomst bieden (ook wat
sommige bouwmethoden betreft; zie o.a. 3.6).
In 8.0 is reeds aangegeven waarvoor de verstijvingsligger dient.
Bij een groot aantal tuien zijn de momenten uit eigen gewicht gering;
die uit de verkeersbelasting zijn van dezelfde orde van grootte als
bij een (relatief) gering aantal tuien. De liggerhoogte kan dan vrij
klein zijn ten opzichte van de overspanning: bij een dubbele tuibrug
(2 pylonen) tot ca. —-- van de afstand tussen de pylonen; bij een 200 ..
enkele tuibrug (1 pyloon) tot ca. ——r- van de grootste afstand tussen
pyloon en landhoofd.
Een grotere hoogte betekent een stijvere doorsnede, die een plaatselijke
belasting over een grotere lengte (dus over meer tuien ) verdeelt.
Omdat de verkeersbelasting echter maar in de orde van grootte van 10%
van de totale belasting is, is deze verdeling van de belasting in
langsrichting niet zo belangrijk (behalve bij het uitvallen of bezwijken
van een tui; zie 7.12 en 10.2.1),
De stijfheid van de ligger heeft ook geen grote invloed op de door
buiging in langsrichting. Deze wordt veel meer bepaald door de tui-
rekstijfheid en de buigstijfheid van de pyloon.
Grote invloed op de doorbuiging van een veld hebben vaste steunpunten
in de aangrenzende velden; ter plaatse van de vaste steunpunten kan
de afgetuide ligger niet opbuigen (bij belasting van het veld ernaast)
en dit komt de stijfheid van het geheel zeer ten goede. Dit is
behandeld in 4,4.
8.2.2
Bij de 2B"'-!B°® iBi_Y§B_YSEË!ÈiiY- ' SS-'- SS2-' ËB_2Yi22B nioet worden gezorgd
dat de krachten in de onderdelen zoveel mogelijk ongestoord door kunnen
lopen.
Bij een stijve verbinding van ligger en pyloon betekent dit dat zowel
de lijven als de flenzen van de verstijvingsligger door de pyloon heen
lopen (overbrengen . M, N en T) en dat de wanden van de pyloondoorsnede
door de ligger heen doorlopen (overbrengen N en M; geringe T); fig.8.2.1.
In het algemeen zal de pyloon veel kleinere dwarsafmetingen hebben dan
de ligger. Het overbrengen van een moment van de pyloon op de ligger en
omgekeerd - gebeurt dan ook in eerste instantie plaatselijk, in de
gemeenschappelijke doorsnede; dus beslist niet direct over de volle
liggerbreedte. Dit is pas het geval als de afstand ten naaste bij gelijk
is aan de liggerbreedte (principe van De St. Venant); zie ook 9.2.1 en 9.3.
Het meest ideaal is natuurlijk als de wanden van de pyloon samenvallen
met de lijven en/of dwarsschotten van de verstijvingsligger; fig.8.2.2.
Is dit niet het geval, dan kan een verlenging van de dwarswanden van de
pyloon over de hoogte van de verstijvingsligger een oplossing zijn lfig.8.2.3).
Als de pyloon en de ligger los van elkaar worden gehouden, bijv. zoals
schematisch voorgesteld in fig.8.2.4, zal moeten worden gezorgd dat de
krachten in de ligger om de pyloon heen kunnen lopen. Een centraal lijf
van de ligger - bijv. voor tuibevestiging - zal bijv. kunnen worden
gesplitst als aangegeven in fig.8.2.5, zodat de lij fkrachten om de pyloon
heen lopen. De hierdoor ontstane spatkrachten moeten natuurlijk ook
worden opgenomen. De krachten in de onderbroken flensgedeelten zullen
door plaatselijke verdikkingen kunnen worden opgenomen. Ook hier zullen
de trekkrachten, veroorzaakt door de richtingsveranderingen van de
normaalkrachten in de flenzen, op passende wijze - bijv. door voorspanning -
moeten worden opgenomen.
Als de lijven van de verstijvingsligger wel door kunnen lopen (.fig.8.2.5),
behoeft alleen de kracht in de flenzen te worden omgeleid.
Dit kan door een geleidelijke flensverdikking, maar ook kan de kracht
door een geleidelijke lijfverdikking in de lijven worden geleid (fig.8.2.5).
Als de ligger ter plaatse van de pyloon op een pijler is opgelegd, zal
een dwarsdrager ter plaatse ervoor kunnen zorgen dat de belasting gelijk
op de verschillende opleggingen wordt overgebracht (fig.8.2.5).
8.2.3
Voor de dubbele_gYloon is in fig.8.2.7 een stijve verbinding van ligger
en pyloon aangegeven; in fig.8.2.9 is de ligger opgelegd op een koppel-
balk van de dubbele pyloon. Hier kan nog weer gekozen worden tussen een
vaste, scharnierende verbinding (bijv. bij toepassing van een inhang
ligger) of een in langsrichting beweeglijke oplegging (roloplegging).
Zie ook fig.4.10.8 enn 4.10.9.
Soms wordt de voorkeur gegeven aan een zogenaamde "zwevende oplegging"
van de ligger ter plaatse van de pyloon (bijv. bij veel waaiertuien;
vooral om de verstoring van het momentenverloop door een starre oplegging
te vermijden). Hierbij is dus vertikale beweging mogelijk. Vaak zal men
echter wel de horizontale beweging willen beperken, in langsrichting of
in dwarsrichting, of in beide. Dit is mogelijk met een soortgelijke op
legging als wordt toegepast bij de scharnierende verbinding van de uiteinden
van twee kraagliggers (het zogenaamde dwarskrachtscharnier), maar nu
niet horizontaal, maar vertikaal. Het principe hiervan is weergegeven in
fig.8.2.8, twee korte buiseinden, het ene bevestigd aan de brugligger,
het andere aan de pyloon. De kunststof geleidestrip laat vertikale beweging
en (geringe) hoekverdraaiing toe, maar geen horizontale beweging.
In fig.8.2.10 is de toepassing aangegeven voor een tuibrug met dubbele
pyloon (zie ook fig.4.10.10), in fig. 8.2.11 is aangegeven hoe de
verbinding bij een enkele pyloon kan worden toegepast. Bij toepassing aan
weerszijden van de pyloon wordt ook een moment van de ligger op de pyloon
overgebracht. Als het scharnier van fig.8.2.8 onder en boven de ligger
wordt toegepast, kan ook wringing worden overgebrachr; zie ook fig.4.10.6
en 4.10.7.
Het toepassen van een variant oplegging tussen ligger en pyloon, voor het
opnemen van horizontale krachten, wordt in 9.2.3 behandeld.
Als de ligger ter plaatse van de pyloon niet is opgelegd - dus bijv. alleen
aan de tuien hangt jA.lö1 -, kan de pyloon onder de brug doorlopen.
Met het oog op het naar de pyloonvoet sterk toenemende buigend moment
verdient het echter aanbeveling de pyloondoorsnede naar onderen toe te
vergroten (zie 9.1.5 en fig.8.2.1 en 8 . 2 . 2 ) .
Hier werden alleen de gevolgen voor de ligger behandeld. Op de consequenties
voor de pyloon wordt in 4.10, 9.2 en 9.3 nader ingegaan.
Soms wordt de hoekverdraaiing door verkeersbelasting ter plaatse van het
landhoofd te groot, vooral bij spoorbruggen. Dit kan worden verbeterd
door de verstijvingsligger over één of twee velden voorbij het (oor
spronkelijke) landhoofd door te laten lopen (zie 4.6).
8.2.4
Zijoverspanningen, korter dan de helft van de hoofdoverspanning (bij
dubbele tuibruggen) of korter dan de hoofdoverspanning (bij enkele
tuibruggen), maar met dezelfde doorsnede als de hoofdoverspanning,
maken geen evenwicht met het brugdeel aan de andere kant van de pyloon.
Dit probleem is behandeld in 4.5.
De aanwezigheid van een inhangligger, een scharnier of een doorgaande
verbinding in de hoofdoverspanning (van een dubbele tuibrug) heeft
eveneens een grote invloed op het stijfheidsgedrag. Dit is behandeld
in de hoofdstukken 4.7 t/m 4.9.
Omdat de problematiek echter typisch betrekking heeft op het gedrag in
langsrichting van de brug, worden de hoofdstukken hier ook aangehaald,
onder verwijzing naar de plaats waar er meer over wordt gezegd.
8.2. 5
8.2.1. Verstijvingsligger met inhangligger: zie 4,7
8.2.2. Verstijvingsligger met scharnier: zie 4.8
8.2.3. Doorgaande verstijvingsligger: zie 4.9
Verbinding ligger-pyloon: zie 4.10 en 9.2
8.2.4. Ligger vrij opgelegd ter plaatse van pyloon: zie 9,2,2. en 9.3.1
8.2.5. Ligger ingeklemd ter plaatse van pyloon: zie 9.2.3 en 9.3.1
8.2.6. Ligger vrij zwevend ter plaatse van pyloon: zie 9.2.1
8.2.7. Vaste steunpunten in de zij overspanningen: zie 4.4.
Korte zijoverspanningen:' zie 4.5.
Doorgaande zij overspanningen: zie 4.6
8.2.8.1
2,8 Langsvoorspanning bij tuibruggen
In de verstijvingsligger van een tuibrug met een groot aantal
tuien - dus Kleine tuiafstanden - treden meestal door verkeers
belasting positieve en negatieve buigende momenten op die ten
naaste bij gelijk zijn. Onder deze omstandigheden zijn de buigende
momenten door eigen gewicht relatief gering tan opzichte van
die door verkeersbelasting, zodat een centrische voorspanning
het meest in aanmerking komt.
Vanzelfsprekend kan de centrische voorspankracht vaar alleen
buigende momenten worden verminderd met de drukkracht, die door
de horizontaal ontbondene van de tuikrachten wordt uitgeoefend,
Hierbij moet er wel rekening mee worden gehouden dat deze druk
kracht aangrijpt ter plaatse van de tuibevestiging als gecon
centreerde kracht, maar pas na een zekere afstand als ten naaste
bij gelijkmatig verdeeld over de doorsnede mag worden aangenomen.
Deze afstand is zowel bij een centraal tuivlak als bij twee tui
vlakken aan de buitenkant globaal gelijk aan de halve breedte
van de verstijvingsligger [spreiding onder 45 ]; veiliger is
misschien hiervoor 3/4 van de breedte te nemen (zie ook art, r-21'1
VB 1974],
Een gedeelte van de voorspanning kan gebogen worden uitgevoerd
(fig. 3,2.8.1], om de buigende momenten door eigen gewicht geheel
of gedeeltelijk door de krommingsdruk te compenseren.
Naarmate ds tuiafstand groter wordt en het aandeel van het eigen
gewicht in het totale moment toeneemt, heeft toepassing van gebogen
voorspanning meer zin. Zie ook 10.3.3.
Het effect van gebogen voorspanning kan in rekening worden gebracht
als vertikale belastingen op de verstijvingsligger, veroorzaakt
door de krommingsdrukken van de gebogen voorspankabels. Verder
moet rekening worden gehouden met de excentriciteitsmomenten,
normaal- en dwarskrachten op plaatsen waar voorspankabels ophouden
(c.q. beginnen; fig. 8.2.8.2].
Het gaat er hier dus om alléén de krachten die door de voorspan
kabels op de betonnen ligger worden uitgeoefend, in rekening te
brengen (op her geheel van de tuibrug].
8.2.8.2
Het effect van alleen de voorspanning kan ook in rekening worden
gebracht door de verstijvingsligger te berekenen als een gewichts
loze ligger op vaste steunpunten, alleen belast door voorspanning,
en de reacties hiervoor te bepalen (dus tengevolge van de zgn,
"parasitaire" momenten); dan deze reacties als acties - dus
omgekeerd - ter plaatse van de tuiaansluitingen te laten aan
grijpen en het effect op de krachtsverdeling in het geheel te
bepalen.
Voor tuibruggen met veel tuien, dus kleine tuiafstanden, zijn de
buigende momenten in de verstijvingsligger door eigen gewicht
gering ten opzichte van de momenten door de verkeersbelasting,
en heeft toepassing van gebogen voorspanwapening weinig zin,
Centrische voorspanning zal in het algemeen veel voordeliger zijn
(rechte kabels; geen bochtverliezen].
Ten behoeve van de bouw zal eventueel van een tijdelijke, extra
voorspanning gebruik kunnen worden gemaakt.
Opgemerkt wordt dat het effect van excentrische of gebogen voor
spanning bij tuibruggen met 9neindig_veel_tuien overeenkomt met
dat van centrische voorspanning van gelijke grootte (afgezien
van bochtverliezen]; alleen aan de einden zijn er [kleine] storings
zones [fig. 3.2.8.3] waarvan de grootte afhankelijk is van de
buigstijfheid van de ligger en de veerstijfheid van de tuien. Het
komt overeen met het probleem van de elastische ondersteunde
ligger van grote lengte, die aan de einden belast wordt door een
moment (bijv. tengevolge van excentrische voorspanning! en/of
door een dwarskracht (bijv. tengevolge van een vaste oplegging);
het overgrote deel van de ligger ter weerszijden van het midden
blijft recht (de kromming is nul); fig. 6.2.8.3.
Voorbeeld: in een voorgespannen wegdekplaat van grote lengte
veroorzaakt excentrische voorspanning alleen centrische druk,
behalve nabij de einden.
Gok als een verend ondersteunde ligger aan de einden star
ondersteund is (fig. 8.2.8.4], zal er in het midden - weer bij
voldoende lengte - een recht of nagenoeg recht deel zijn, (vrijwel)
zonder kromming, dus met alleen centrische druk tengevolge van
excentrische voorspanning (verend ondersteunde ligger met dwars
kracht aan de einden].
8.2.8.3
Een soortgelijk effect als excentrische voorspanning wordt veroorzaakt
door een temperatuurgradient in de ligger. Hierdoor wil de gewichts
loze ligger gaan krommen, wordt echter door zijn eigen gewicht weer
op de [verende] steunpunten gedrukt [of getrokken] en blijft over
een groot deel aan weerszijden van het midden recht of nagenoeg
recht (fig. 8.2.8.5]. Omdat hier de vrije temperatuurvervorming [in
de vorm van een kromming] geheel wordt belet, treedt het volle
temperatuurmoment op ffig. 8.2.8.B]. Naar de vaste eindopleggingen
toe neemt dit moment tot nul af; ter plaatse van de vaste tussen-
opleggingen ontstaan overgangsmomenten.
8.3.1
8.3 De stabiliteit van de brugligger
De brugligger van een tuibrug wordt belast door normaalkrachten,
samengesteld uit de horizontale ontbondenen van de tuikrachten. De
normaalkracht in de ligger neemt toe naar de pyloon toe, afhankelijk
van de tuiconfiguratie (rechtlijnig bij harptuien, parabolisch bij
waaiertuien; zie ook 1.5 en fig. 1.5.1-a.).
Bij een voldoende stijve pyloon, en ook bij een pyloon die wordt
vastgehouden door tuien naar een vast steunpunt (fig.8.3.1), kan de
ligger op zichzelf niet uitknikken in het vlak van de tuien; elke
"poging" daartoe wordt direct verhinderd door de tuien. Doordat de
tuien altijd op trek worden belast, kunnen ze zowel trek als druk
- het laatste in de vorm van een vermindering van de trekkracht -
opnemen. Het naar beneden uitknikken wordt belet door het toenemen
van de tuitrekkracht, het naar boven uitknikken wordt door het eigen
gewicht belet. Theoretisch kan zo zelfs een scharnierende ligger
(scharnieren ter plaatse van de tuiaansluitingen) niet uitknikken.
Een zekere kans op uitknikken bestaat bij grote tuiafstand, als het
deel van de ligger tussen twee tuien zou willen uitknikken. De kans
hierop is het grootste voor liggerdelen nabij de pyloon zonder tui
aansluitingen; daarin heerst de grootste drukkracht (fig. 8.3.2). In
het algemeen is reeds met een eenvoudige berekening aan te tonen dat
knikgevaar niet reëel aanwezig is. De zeldzame gevallen waarin dit
niet kan worden aangetoond, moeten nauwkeuriger worden onderzocht.
De kans op uitknikken van de ligger is reëel aanwezig bij een buigslappe
of scharnierende pyloon, zonder tui(en) naar een vast punt (fig.8.3.3).
De pyloon verzet zich niet (of onvoldoende) tegen het optreden van de
getekende vervorming, die onder zekere voorwaarden tot instabiliteit
kan leiden (slappe ligger, grote drukkracht, lange brug). Het is echter
duidelijk dat een dergelijke slappe constructie wegens de grote ver
vormingen in de praktijk zeker niet zal worden toegepast. Gezorgd
zal worden dat de pyloontop - of een ander punt op de pyloon daar in
de buurt - door tenminste één tui wordt gefixeerd aan een vast punt
(zie ook 9.4.1). De ligger kan eigenlijk alleen uitknikken in samenhang
met de pyloon; zie 9.4.1.
De ligger kan in principe wel op zichzelf uitknikken in zijn eigen
horizontale vlak. Dit belastinggeval is vrijwel identiek met dat van
een kolom, die alleen wordt belast door eigen gewicht of door een andere,
over de hoogte toenemende belasting. De behandeling van dit knikgeval
staat in elk goed mechanicaboek over stabiliteit (zie ook 9.4.3.4).
8.3.2
De kans op deze vorm van uitknikken is niet groot, omdat de brugbreedte
meestal aanzienlijk is, en daarmee het traagheidsmoment, dat, tezamen
met de lengte, de kans op uitknikken bepaalt (fig.8.3.4).
Uit deze figuur blijkt ook dat de kans op uitknikken ti2dens_de_bouw
veel groter is dan in de bedrijfstoestand, wanneer de ligger in het
algemeen zijdelings door de eindopleggingen wordt vastgehouden.
Eigenlijk hoeft dus alleen de bouwtoestand vlak voor het bereiken van
de eindopleggingen te worden nagegaan. Elke brughelft kan afzonderlijk
uitknikken en tussenopleggingen in een zij veld hebben dan ook geen
effect op het uitknikken van de hoofdoverspanning.
Als echter de oplegging ter plaatse van de pyloon een hoekverdraaiing
in het horizontale vlak toelaat (fig.8.3.5), wordt de kniklengte van
vrij uitkragende deel vergroot en de kniklast verkleind.
Voor bruggen met geringe breedte - bijv. enkel- en dubbelsporige
spoorbruggen -, relatief groot eigen gewicht en grote lengte is de kans
op instabiliteit tijdens de bouw niet denkbeeldig. Dit is onafhankelijk
van het aantal tuivlakken (één centraal tuivlak of twee symmetrische
tuivlakken).
De kans op zijdelings uitknikken wordt vergroot als de pyloon in dwars
richting duidelijk mee kan buigen (fig.8.3.5). Dit is vrijwel uitgesloten
bij een A-vormige pyloon in dwarsrichting. Hierbij blijven de tuikrachten
naar de pyloontop gericht en is het liggermoment in het snijpunt van
ligger- en pyloonas nul,
De kans op uitknikken tijdens de bouw kan worden gereduceerd door het
einde van de ligger door middel van nagenoeg horizontale tuien te
verbinden aan twee vaste punten op de andere oever (fig.8,3,7). Dit kan
bezwaren opleveren bij eventuele scheepvaart.
De hier bedoelde stabiliteitsgevallen zijn niet nader onderzocht.
Ze zijn zelden van betekenis. Daarom is hier volstaan met een aanduiding
van enige gevallen waarin er wèl aandacht aan moet worden besteed en
van factoren, die een ongunstige invloed kunnen hebben.
Op basis van de in 9.4 aangegeven stabiliteitsberekeningen voor de
pyloon zal het mogelijk zijn ook voor deze gevallen een verantwoorde
stabiliteitsberekening op te zetten.
8.3.3
Bij zeer lange uitkragingen met één centraal tuivlak bestaat tijdens
de bouw kans op instabiliteit door een combinatie van buiging en
torsie, vooral als de doorsnede vrij wringslap is. Deze kan bijv.
door windbelasting worden ingeleid, eventueel gecombineerd met een
excentrische belasting in dwarsrichting. De ligger gaat dan torderen
om zijn as, het buigtraagheidsmoment van de gedraaide doorsnede neemt
af, de horizontale uitbuiging neemt toe en instabiliteit kan het
gevolg zijn (fig.8.3.8). Het verschijnsel is verwant aan kippen.
Verwezen wordt naar het artikel: Das Biegedrillknickproblem des
Kragtragers; Bauingenieur 6/1972,' p.200-203.
9. DE PYLOON
9.0. Pyloonvormen
9.1. De vormgeving van de pyloon
9.1.1. Beschouwingen over de pyloondoorsnede
9.1.2. De vormgeving van de pyloon
9.1.3. De A -vormige pyloon
9.1.4. De A-vormige pyloon
9.1.5. De buigstijfheid van de pyloon in langsrichting van de brug
9.2. De verbinding van de pyloon met de verstijvingsligger
9.2.1. De stijve verbinding
9.2.2. De scharnierende verbinding
9.2.3. Geen verbinding tussen pyloon en ligger
9.3. Verbinding van pyloon met pijler
9.3.1. Scharnierende of buigstijve verbinding
9.4. De stabiliteit van de pyloon
9.4.1. De stabiliteit van de pyloon in langsrichting
9.4.1.1, De kniklast van de aan de voet ingeklemde pyloon, die
aan de top verend wordt vastgehouden. Voorbeeld
9.4.1.2, De kniklast van de pyloon, waarvan de voet verend in de
fundering is ingeklemd en de top verend wordt vastgehouden
9.4.1.3, Vergelijking met EI = c pp
9.4.2. De stabiliteit van de pyloon in dwarsrichting
9.4.2.1. De enkele pyloon met voetscharnier en centraal tuivlak
a. met waaiertuien
b. met harptuien
9.4.2.2. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon
9.4.2.3. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon, waarbij de normaal-
kracht in uitgebogen stand naar een vast punt is gericht.
9.4.2.4. De portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan de voet
9.4.2.5. De portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming aan de voet
9.4.3. Sterkteberekening van de pyloon
9.4.3.1. Principe van de berekening van een pyloon met variabele
doorsnede en wapening.
9.4.3.2. De initiële uitbuiging van een staaf met variërende stijfheid
9.4.3.3. De berekening van tweede- en hogere-orde momenten en vervormingen
9.4.3.4. Het in rekening brengen van het eigen gewicht
9.4.3.5. De niet-prismatische pyloon
9.4.3.5. "Gebruiksaanwijzing" voor de stabiliteitsberekening
van een tuibrugpyloon (in langs- en dwarsrichting).
9.4.4. Stabiliteit van de pyloon tijdens de bouw
9.4.5. De wapening van een zware pyloon
L
9.0.1.
9.0 Pyloonvormen
A. Ingedeeld naar de statische werking in langsrichting:
1. ingeklemd in de pijler 1.1 los van de ligger 1.2 één geheel met de ligger
2. scharnierend op de pijler 2.1 los van de ligger 2.2 één geheel m.et de ligger
3. scharnierend op de ligger 3.1 ligger scharnierend op pijler 3.2 ligger één geheel met pijler
B. Ingedeeld naar de statische werking in dwarsrichting:
1, ingeklemd in de pijler 1.1 los van de ligger - meestal samen met A-1.1 1.2 één geheel met de ligger - meestal samen met A-1,2,
2, scharnierend op de pijler 2.1 los van de ligger 2.2 één geheel met de ligger
3, scharnierend op de ligger 3.1 ligger scharnierend op pijler - heeft in dwarsrichting geen zin, 3.2 ligger één geheel met pijler
C. Ingedeeld naar de vorm in dwarsdoorsnede:
1. enkele pyloon, in het midden van de dwarsdoorsnede
2. V-of Y-pyloon, in het midden van de .dwarsdoorsnede
3. dubbele pyloon 3.1 geheel buiten de dwarsdoorsnede van de brug; 3.2 binnen de dwarsdoorsnede van de brug (maar wel symmetrisch)
k. portaalpyloon met verticale of schuine stijlen (n, /A of H): U,1 buiten de dwarsdoorsnede k.2 binnen de dwarsdoorsnede
5, A - , A - of A-pyloon 5.1 b u i t e n de dwarsdoorsnede 5.2 b innen de dwarsdoorsnede
6. vormen 1 t /m 5 , asymmetr isch t , o , v , dwarsdoorsnede
D. I n g e d e e l d n a a r de vorm in l a n g s d o o r s n e d e :
1. v e r t i c a l e s t i j l ( e n )
2. s c h u i n e s t i j l ( e n ) 2 .1 voorover h e l l e n d
2 .2 a c h t e r o v e r h e l l e n d
3 . A - , A - of A-vorm
h. V- of Y-vorm
E. Combinat ies van A, B, C, D
N.B. Nie t a l l e combina t i e s z i j n moge l i jk of l o g i s c h l
9.1.1.1
9,1,1 Pyloondoorsnede bij centraal tuivlak
De doorsnede van een pyloon voor een betonnen tuibrug van flinke af
metingen (enige honderden meters lengte, enige tientallen meters 2
breedte) bedraagt al gauwlS a 25 m (of meer; zie ook blz. 3.1.3 en 2 2
fig. 3.1.3),, dus als massieve doorsnede bijv. 3 x 5 m tot ca. 4 x 5 m .
Dit zijn enorme afmetingen, die vooral uit betontechnologische over
wegingen - afvoer hydratatiewarmte, krimp - bij voorkeur niet als mas
sieve doorsnede zullen wórden uitgevoerd. Door de wanddikte te beper
ken tot 1 a 2 m en de doorsnede te voorzien van één of twee vertikale
schachten, kunnen warmte-ontwikkeling, warmte-afvoer en uitdrogings-
krimp voldoende in de hand worden gehouden, vooral als ook nog andere
methoden wórden toegepast om de warmte-ontwikkeling te beperken (bijv.
koeling toeslag, aanmaakwater; bescherming tegen zonbestraling, even
tueel koeling verhardend beton, e.d.).
Het sparen van vertikale kanalen betekent wél dat de buitenwérkse afme
tingen van de doorsnede groter wórden. Uit statisch oogpunt is dit •
meestal een voordeel, omdat het materiaal meer naar buiten gaat, waar
door de buigtraagheidsmomenten groter worden (bij gesloten doorsneden
ook het torsietraagheidsmoment), wat meestal gunstig is. Uit verkeers
technisch oogpunt is,een verbreding van de centrale pyloon een nadeel,
omdat de brugbreedte met eenzelfde bedrag moet wórden vergroot. Ook het
windoppervlak wórdt erdoor vergroot, maar dit is meestal niet van grote
betekenis.
Vertikalen kanalen hebben ook het voordeel van een goede toegankelijk
heid van het inwendige van de pyloon, niet alleen tijdens de bouw, bij
het aanbrengen en aanspannen van de verankeringen, maar ook later, bijv.
voor inspectie van het beton, naspannen en controle van de tuiveranke-2
ringen, e.d. Er kunnen - mits ze voldoende groot zijn: min 1,5 a 2 m
ladders, trappen of liften in wórden aangebracht; verder de nodige bor
dessen voor werkzaamheden aan de kabels en hun verankeringen, inclusief
onderhoud, naspannen, verwisselen e.d.
Bij een massieve pyloondoorsnede (fig.9,1,1 - 1 en - 2) zijn de boven
bedoelde handelingen tijdens de bouw misschien nog mogelijk via hulp
bordessen en een tijdelijke trap of lift aan de buitenlant, maar na vol
tooiing is inspectie, e,d, vrijwel onmogelijk geworden, omdat de bordes
sen, e.d. uit een oogpunt van aesthetica, onderhoud, e.d. moeilijk ge
handhaafd kunnen wórden.
9.1.1.2
Ook het beklimmen via bijv. klimijzers langs de buitenkant is
bepaald geen genoegen en inspectie van daaruit zal dan ook niet
erg grondig kunnen zijn (laat staan onderhoudl).
Dit is in het geheel geen probleem langs de binnenkant, vooral als
de klimschachten regelmatig door bordessen zijn onderbroken en daar
door de klimijzers niet vertikaal onder elkaar hoeven te zijn gele
gen. Vaak echter zal er ruimte zijn voor een lift of een trap, of
voor beide. Dit wat betreft de toegankelijkheid tijdens de bouw en
in de bedrijfstoestand. Ook het doorvoeren en verankeren van de ka
bels in een massieve doorsnede van de geschetste afmetingen is niet
eenvoudig. De kanalen in het beton zijn vele meters lang; afhankelijk
van de tuihelling tussen de 8 en 12 m in doorsnede 1 en 2 van fig.
9.1.1.
Als - na het op spanning brengen van de tui - het kabeldeel in de py
loon geïnjecteerd wordt, zullen de variaties in kabelkrachten door de
verkeersbelasting niet door de verankering wórden opgenomen, maar
door de injectiespecie aan het begin van het kabelkanaal. Het is niet
zoals bij een nagespannen balk met geïnjecteerde kabelkanalen, waar
beton en kabel evenveel willen vervormen, en het geringe verschil in
kracht gemakkelijk (en geleidelijk) via aanhechting kan wórden overge
bracht .
Hier moet de toeneming van de tuikracht door verkeer geheel door de
injectiespecie wórden overgebracht, en de kans dat deze door herhaalde
belasting geleidelijk scheurt en losraakt, is niet denkbeeldig. Dit
verschijnsel doet zich echter zowel bij een lang als bij een kort ka
belkanaal in de pyloon voor.
Dit kan men voorkomen door de kabel in het kanaal los te houden van
het beton van de pyloon, maar wél de kabelomhulling geheel tot aan de
verankering door te laten lopen. Deze kan op de normale wijze met in
jectiespecie wórden geïnjecteerd, waardoor de kabel goed is beschermd,
terwijl de ruimte tussen omhulling en kabelkanaal met een plastisch
blijvende vulling (vet of kit, o.d,) kan worden volgeperst. Dan wórdt
de hele kracht - permanent + variabel deel - op de verankering over
gebracht. Deze moet hiertegen dan wél zijn bestand, (vermoeiingI),
De massieve pyloon komt echter alleen bij relatief kleine pyloondoor-
sneden in aanmerking (max, dikteafmeting 1,5 a 2 m). De doorsneden 1
en 2 van fig, 9,1.1, zijn dan ook niet voor toepassing gegeven; alleen
als illustratie.
Meestal zal de pyloon hol wórden gemaakt.
9.1.1.3
Een pyloon in de vorm van een enkele, vertikale koker (doorsnede 3 en
4 van fig. 9.1.1")..) is in statisch opzicht goed te verdedigen; het ma
teriaal zit ver naar buiten; buig- en wringstijfheden zijn groot. De
kabelbevestiging is ook eenvoudig; alles is van binnen uit te regelen.
Om echter te vermijden dat de koker door de horizontale ontbondenen
van de tuikrachten uit elkaar wórdt getrokken, moet hij wórden voor
zien van een voorspanning, die tenminste gelijk is aan deze horizon
taal ontbondene. Bovendien zal in dwarsrichting ook nog de nodige
voorspanning moeten wórden aangebracht om de splijtkrachten van de
verankeringen op te vangen. De verankeringen van de pyloonvoorspanning
zitten alle aan de buitenkant, en voor het aanbrengen en voorspannen
hiervan zijn toch wéér hulpconstructies nodig.
Het bovenstaande geldt ook voor de I-doorsnede 5 van fig. 9.-1.1 waar
bovendien de tuiverankeringen aan de buitenkant zitten.
Om de dure voorspanning van de pyloon in langsrichting te vermijden
(korte kabels, veel verankeringen), kunnen de kabels ook hier door de
wanden wórden gevoerd en aan de buitenkant worden verankerd, op de
zelfde wijze als in doorsnede 1 en 2 van fig. 9.1.1- De kokerdoorsnede
staat dan onder druk en er is geen aparte voorspanning in langsrichting
nodig. Het bezwaar is wéér de tuiverankering aan de buitenkant en de
grote overlaplengte van de tuikabels.
Hieraan wórdt tegemoet gekomen op de wijzen als aangegeven in de door
sneden 6 t/m 10 van fig. 9,1.1.
Hier is de doorsnede in principe voorzien van twéé vertikale schachten,
die bij de doorsneden 9 en 10 naar één kant open zijn. De tuikabels
wórden los door de buitenwand gevoerd en verankerd in de middenwand,
waarbij ze elkaar over de wanddikte overlappen. De verankeringen zijn
goed bereikbaar van binnen uit, voor aanbrengen, spannen, injectie,
onderhoud, e.d.
Het elkaar snijden van de kabels in één vlak wórdt voorkomen door de
delen van een kabel aan te brengen volgens de principes aangegeven
in fig. 9.1.2. Gezorgd moet wórden voor een symmetrische aansluiting,
zodat de pyloon niet blijvend op wringing wórdt belast.
Voor tuikabels, die aan weerszijden van de pyloon gelijk zijn (en ook
uit een gelijk aantal delen bestaan), zijn de mogelijkheden van een sym
metrische, kruisingsvrije aansluiting beperkt (fig.9.1.2 ). De aan
sluiting (2+2) is toegepast bij de pyloon van de tuibrug Hoechst over
de Main [255].
9.1.1.4
Om de splijtkrachten achter de verankeringen op te nemen is een
lichte dwarsvoorspanning van het tussenschot wél gewénst.
In vertikale zin wórdt de doorsnede door de vertikaal ontbondenen
van de tuikrachten voorgespannen. Met de overdracht van deze krach
ten uit de middenwand naar de rest van de doorsnede (schuifkrach
ten I ) moet rekening wórden gehouden. Dit komt vooral tot uitdruk
king bij doorsnede 11, waar de vertikaal ontbondene van de tuikracht
door een nok aan de pyloon (korte console)moet wórden overgebracht.
Het is hier de bedoeling dat de kabel aan weerszijden van de pyloon
ononderbroken doorloopt, en dat het verschil in kabelkracht ter
weerszijden door wrijving van de oplegging wordt opgenomen. Het aan
brengen van de kabel is hier kennelijk erg eenvoudig. Het spannen
moet vanzelfsprekend in de ligger gebeuren. Bij stalen bruggen plaatst
men wél vijzels onder de dan toegepaste oplegstoel, en spant zo de
kabel. In principe kan dit bij betonnen tuibruggen ook. Zie ook fig.7.11.3.
De open doorsneden 9 en 10 van fig. 9.1..1 hebben vrijwel dezelfde
buigstijfheden als de gesloten doorsneden, maar een veel kleinere
wringstijfheid (Dit geldt ook voor doorsnede 5). Het aanbrengen van
de kabels is eenvoudiger (geen doorvoer door de buitenwanden), maar
de bescherming tegen weersinvloeden is gering. Doorsnede 10 is wat
dat betreft wél een verbetering.
Het voorgaande had vooral betrekking op de pyloondoorsnede bij centraal
tuivlak en toepassing van harptuien; de doorsneden kunnen echter ook
worden overwogen bij twee tuivlakken en harptuien.
In het volgende wordt nader ingegaan op de vormgeving van de pyloon
in het algemeen,
9.1.2.1
9 .1.' 2. De vormgeving van de pyloon
De vormgeving van de pyloon wordt beïnvloed door:
- de belastingen (vooral N en M) en het verloop ervan over de hoogte;
- de tuiconfiguratie;
- de plaats van de pyloon ten opzichte van de dwarsdoorsnede van
de brug;
- de wijze van tuikabeloplegging, c.q. tuikabelverankering.
Bij waaiertuien grijpt de belasting (N) grotendeels in de pyloontop
aan; door het eigen gewicht van de pyloon wordt hij naar beneden toe
groter, soms aanzienlijk (fig. 3.1.1.4). Het buigend moment heeft
in principe een driehoekig verloop (fig.9.1.5.8; H-kracht aan de top).
Bij harptuien zijn zowel de belasting (uit de tuien) als het eigen
gewicht min of meer gelijkmatig over de hoogte verdeeld terwijl het
buigend moment in de regel een sterk gebogen verloop heeft (fig.9.1.5.7).
Bij waaiertuien zijn de tuibevestigingen in de pyloontop geconcentreerd
(dit kan in de praktijk nog wel over vele meters zijn gespreid; soms
wel 10 a 20 m!). Dit pyloontopgedeelte wordt geheel ontworpen op het
onderbrengen van de tuiverankeringen. De pyloontop kan dan ook zonder
bezwaar aanzienlijk grotere afmetingen hebben dan de rest van de
pyloon. De doorsnede daarvan kan geheel worden afgestemd op de
combinaties van N en M, die ter plaatse moeten kunnen worden opgenomen.
Zoals ook in 9.1.1 is uiteengezet, moet bij harptuien bij het kiezen
van de pyloondoorsnede rekening worden gehouden met de tuiverankeringen,
die over de hele pyloonhoogte zijn verdeeld. In dit geval zijn holle,
kokervormige doorsneden minder geschikt (zie fig.9.1.1, dsn. 3 t/m 5)
en kunnen de doorsneden 5 t/m 9 van fig.9.1.1 worden overwogen. Bij
weinig tuien—dus grote tuiafstanden, ook in de pyloon— kunnen de
doorsneden 9 en 10 plaatselijk worden gesloten.
Ook de plaats van de pyloon ten opzichte van de dwarsdoorsnede van de
brug beïnvloedt de vormgeving. Zo zal men de breedteafmetingen van
een centrale pyloon zo gering mogelijk willen houden om zo weinig
mogelijk "verloren" brugbreedte te hebben. Dit geldt ook voor een
dubbele pyloon, voor zover de pyloonpoten binnen de brugbreedte zijn
zijn gelegen. Worden de pyloonpoten echter buiten de brugdoorsnede
gehouden, dan is er geen beperking van de pyloonbreedte en kan
hiervoor de meest gunstige waarde worden gekozen.
9.1.2,2
Ook anderszins moet onderscheid worden gemaakt tussen een enkelvoudige
of centrale pyloon (één centraal tuivlak) en een dubbele pyloon (twee
tuivlakken). Weliswaar is de belasting van een enkelvoudige pyloon
ten naaste bij gelijk aan die van een dubbele pyloon (zowel N als M),
maar in het laatste geval is hij over twee pyloonstijlen verdeeld.
Bij waaiertuien is mien vrij in het kiezen van de pyloondoorsnede onder
de tuiverankeringszone in de pyloontop. Bij niet te grote belastingen
zal dit een massieve, rechthoekige of I-vormige doorsnede kunnen zijn 2
(fig.9.1.5.10; doorsnede tot ca. 5 m ); bij grotere belastingen zal
een holle doorsnede meer in aanmerking komen. In principe kunnen de
afmetingen in twee richtingen over de hoogte aan de krachten worden
aangepast; in de praktijk wordt dit met het oog op de uitvoering wel
beperkt tot de afmetingen in één richting; bij kleine afmetingen wordt
de doorsnede wel over de hele hoogte constant gehouden. Een andere
mogelijkheid om de doorsnede aan te passen is het variëren van de
wanddikte over de hoogte.
Een goed voorbeeld zijn de pylonen van de tuibruggen (waaiertuien) r -f
over de Rio Parana in Argentinië I 435j . Deze ca. 10 5 m hoge, dubbele
pylonen steken ca. 60 m boven de brug uit; ze hebben aan de voet een
doorsnede van 9 x 5 m, aan de top 3,2 x 4,0 m; de dikte van de lange
wanden is 0,50 m, die van de korte wanden neemt toe van 0,80 m boven
tot 1,00 m onder. Elke pylonenpaar is gekoppeld op twee hoogten; aan
de top door twee stalen diagonalen; onder de brugligger door een
betonnen kokerligger. De stalen brugligger ligt ca. 50 m boven het
water in verband met zeescheepvaart.
De pyloonstijlen van een dubbele pyloon kunnen als geheel afzonderlijke
stijlen worden uitgevoerd. Dit is o.a. het geval bij de Nordbrücke
en de Kniebrücke over de Rijn in Düsseldorf [019; 126j. Afzonderlijke
stijlen komen in aanmerking bij grote brugbreedte, waarbij de koppeling
van de stijlen erg zwaar zou worden.
Ze vragen aanzienlijk meer materiaal dan gekoppelde stijlen, vooral
met het oog op de stabiliteit in dwarsrichting. Deze is bij harptuien
gunstiger dan bij waaiertuien, waar de belasting grotendeels in de
pyloontop aangrijpt.
Daarom, komt koppeling van de stijlen vooral in aanmerking bij waaier
tuien en grote pyloonhoogte, en bij niet te grote afstand van de stijlen.
9.1.2.3
Koppeling kan plaats vinden op één of meer hoogten boven het brugdek;
de laagste koppeling moet vanzelfsprekend boven de doorrijhoogte zitten.
Bij grote pijlerhoogte onder de brug wordt veelal ook nog een koppelbalk
onder de brug toegepast, die dan tegelijk dient als vaste ondersteuning
van de brugligger (fig.9.3.05).
Door een juiste koppeling van de stijlen kunnen de afmetingen hiervan -
met name in breedterichting - zodanig worden gereduceerd, dat het
verantwoord is de pyloonstijlen binnen de brugbreedte te plaatsen. Dit
is gedaan bij de tuibrug over de Main van de Farbwerke Hoechst f 255; 2561 .
Betonnen pylonen worden doorgaans gebouwd met behulp van een glij- of
klimbekisting; het gelijk blijven over de hoogte van één of beide
afmetingen kan daarbij voordelig zijn, maar is niet noodzakelijk. Voor
stabiliteit tijdens de bouw en wapening van de pyloon zie 9.4.4 en 9.4.5.
In 9.1.3 en 9.1.4 worden nog enige bijzondere pyloonvormen behandeld;
in 9.1.5 wordt de stijfheid in langsrichting beschouwd.
9.1.3.1
3 De A-vormige pyloon (omgekeerde Y, fig.9-1 •5-5; zie ook fig.9-3.07)
Deze pyloonvorm komt in aarmierking bij toepassing van één centraal
tuivlak, waarbij men de brugbreedte niet door een centrale pyloon
- die al gauw een breedte van 6 a 8 m voor zich opeist - wil
vergroten.
Bovendien is de zijdelingse stijfheid, met name van de fundering,
veel groter dan van de enkele pyloon.
Het betekent wel dat de benen van de omgekeerde Y voldoende moeten
kunnen worden gespreid om het brugdek ongehinderd door te laten
lopen. Het spreekt vanzelf dat men daarbij rekening houdt met het
profiel van vrije ruimte van de verkeersbelasting. Dit geldt zowel
voor de schuine benen van de pyloon als voor de schuine tuivlalcken.
De pyloonpoten zullen toch zeker geen kleinere helling dan 2:1
mogen hebben, vooral uit aesthetische overwegingen. Bij een weg
breedte van Uo m komt het punt van samenkomst zo al gauw ca. 50 m
boven het brugdek te liggen. Hierbij komt nog zeker zo'n 10 m voor
de tuibevestigingen. Bij een kleinste tuihelling van 1:2 ligt
derhalve de overspanning van een enkele tuibrug - één pyloon -
bij 120 a 130 m, bij een dubbele tuibrug - twee pylonen - in de
buurt van 250 m.
Als de fundering ver onder bovenkant brugdek ligt, heeft het zin
de schuine poten over te doen gaan in vertikale of zelfs naar
binnen geknikte (Köhlbrandbrücke; | 311 ), wat aesthetisch zeer
bevredigend kan werken. Er kan dan worden overwogen een gemeen
schappelijke fundering toe te passen. De grote, naar buiten gerichte
kracht ter plaatse van de knik kan het beste worden opgenomen door
een trekstang.
Door deze tot een balk te verzwaren kan een ondersteuning van de
brugligger ter plaatse van de pyloon worden verkregen (fig.9.3.07).
Bij vrij geringe hoogte van het brugdek boven de fundering is het
eenvoudiger de poten recht door te laten lopen tot de fundering .
Wegens de grote horizontale ontbondene van de kracht in de poten
verdient het aanbeveling de afzonderlijke pootfunderingen te
koppelen (tenzij de ondergrond voldoende in staat is deze horizontale
kracht op te nemen, bijv. goede rotsgrond).
9.1.3.2
Een goed voorbeeld van een dergelijke pyloonvorm is de gewapend
betonnen pyloon van de stalen tuibrug Over de Rijn bij Düsseldorf-Flehe
{_"'-3" J , met een hoogte van rond 150 m. De uitvoering van deze
pyloon staat uitvoerig beschreven in litt. [ 396 j . Vooral de bouw
. van de schuine poten is interessant in dit opzicht.
De uitvoering als scharnierende pyloon (in langsrichting) is hier
veel eenvoudiger dan bij de enkele pyloon; de afstand van de
scharnieren is veel groter.
9.1.il De ^ -vormige pyloon (fig.9-3.06 en 3.6.U)
Deze pyloonvorm komt in aanmerking voor tuibruggen met twee tui
vlakken en waaiertuien, waarbij de tuien echter niet in een plat
vlak liggen, maar in een gebogen vlak (fig.l.o.U en 5.U.1). De tuien
zijn verdeeld over de bovenregel en daarin ook verankerd (hoewel
doorlopen over zadels zeker ook mogelijk is).
De bovenregel moet vanzelfsprekend in staat zijn de zo uitgeoefende
zeer hoge belasting te dragen (bijna het hele bruggewicht I).
De tuien naar het midden van de bovenregel moeten voldoende ver
buiten het profiel van vrije ruimte voor het verkeer blijven om
aanrijden te voorkomen. Bij een voet- en/of fietspad aan weers
zijden van de autoweg is de kans hierop zeer klein geworden.
Deze pyloonvorm is toegepast bij de Willemsbrug in Rotterdam
(stalen tuibrug).
9.1.5.1
1.5 De buigstijfheid van de pyloon in langsrichting van de brug
Bij symmetrische_belasting ten opzichte van de pyloon treden
theoretisch - in het ideale geval van fig.9.1.5.1 - geen momenten
op in de pyloon; de buigstijfheid van de pyloon is niet interessant
(wel de stabiliteit; zie 9.4). Door de in de regel ongelijke wijze
van ondersteuning aan weerszijden van de pyloon gaat de symmetrie
verloren en treden wel - zij het geringe - momenten op.
De buigstijfheid van de pyloon speelt wel een grote rol bij asYmme-
trische_belastingen ten opzichte van de pyloon en bij de vervormingen,
die daarvan het gevolg zijn. Deze buigstijfheid kan variëren van
nul of zeer klein (scharnierende pyloon) tot zeer groot (omgekeerde
V-vorm); fig. 9.1.5.2.
Een scharnierende pyloon wordt alleen door de tuien vastgehouden.
Voor zover deze alleen aan de - als regel weinig buigstijve -
brugligger zijn bevestigd, is de stijfheid tegen asymmetrische
belasting vrij gering en zijn grote vervormingen mogelijk (fig. 9.1.5.2).
Dit verandert zodra één of meer tuien aan een vast steunpunt (pijler
of landhoofd) zijn bevestigd (fig. 9.1.5.3). Hierdoor worden de
horizontale verplaatsingen van de pyloon sterk beperkt en daarmee
de vervormingen van de hele brugconstructie.
Het stijfheidsgedrag van de scharnierende.pyloon in langsrichting
wordt dus geheel bepaald door de rekstijfheid van de tuien en de
wijze van bevestiging hiervan: vast (aan pijlers of landhoofden) of
verend (aan niet ondersteunde punten van de brugligger).
Naarmate de eigen buigstijfheid van de pyloon toeneemt, neemt het
aandeel van de tuien in het totale stijfheidsgedrag af. De ver
houding kan v/orden bepaald door de verplaatsingen te bepalen ten
gevolge van een horizontale eenheidskracht, in het ene geval
werkend op de pyloon alleen, in het andere geval op het samenstel
van tuien en ligger (fig. 9.4.1.1.4). Zoals in 9.4.1.1 ook wordt
gesteld, mogen de tuien worden beschouwd als staven, die niet
kunnen knikken, zolang de drukkracht tengevolge van de horizontale
kracht voldoende wordt overheerst door de trekkracht tengevolge van
het eigen gewicht van de ligger (wat vrijwel altijd het geval is).
9.1.5.2
Bij een in langsrichting onvervormbare (dus oneindig buigstijve)
pyloon kunnen de liggerdelen aan weerszijden van de pyloon via
de tuien geen krachten op elkaar uitoefenen; dit is alleen mogelijk
via de buigstijfheid van de ligger zelf. Omdat de brugligger bij
tuibruggen in de regel relatief buigslap is (liggerhoogte in de
orde van 1/100 van de overspanning), zal deze overdracht gering
zijn en zich bovendien beperken tot de naaste omgeving van de pyloon.
Hierbij is ervan uitgegaan dat de tuien vast aan de pyloon zijn
bevestigd.
Ongelijke belastingen aan weerszijden van de pyloon beïnvloeden
elkaar dus niet of nauwelijks. Dit is zeer gunstig voor het ver
vormingsgedrag van de constructie.
Een in langsrichting zeer stijve pyloon wordt verkregen door een
omgekeerde V-vorm (fig. 9.1.5.2). Deze is voor zowel enkele als
dubbele tuivlakken geschikt.
In principe is de omgekeerde V-vorm alleen geschikt voor waaiertuien,
met als bezwaar een concentratie van verankeringen in de top (bij
veel tuien).
Door de pyloontop te verlengen, kunnen de tuiverankeringen verder
uit elkaar worden gebracht (omgekeerde Y-vorm; fig. 9.1.5.4). Hierdoor
neemt de stijfheid echter af. Een dergelijke pyloon is toegepast
bij de stalen tuibrug over de Rijn tussen Neuwied en Weissenthurm (1978).
Door de pyloon in dwarsrichting als omgekeerde V uit te voeren,
wordt een in dwarsrichting zeer stijve pyloon verkregen, die wind
krachten en andere krachten loodrecht op de brugas gemakkelijk op
kan nemen. Ook deze pylonen worden wel verlengd tot een omgekeerde
Y om meer ruimte te hebben voor de tuiverankeringen (fig. 9.1.5.5).
Dit is toegepast bij de betonnen pylonen van de stalen tuibrug over
de Rijn bij Düsseldorf-Flehe (1979) [393].
Door de omgekeerde V in langs- en dwarsrichting te combineren, krijgt
men een pyloon, waarvan de poten de ribben van een pyramide vormen.
Dit kan nog weer op twee manieren (fig. 9.1.5.5): geheel buiten het
brugdek en in langsrichting in het midden van het brugdek.
Een dergelijke pyloon is toegepast bij de stalen tuibrug over de
Rijn bij Ludwigshafen (1976) [248].
9.1.5.3
Als bij een oneindig stijve pyloon de tuien via pendelogleggingen
door de pyloon worden geleid, zal een belasting op het liggerdeel
links van de pyloon via de tuien wèl een invloed van betekenis
uitoefenen op het liggerdeel rechts van de pyloon, en omgekeerd;
de constructie als geheel is veel minder stijf geworden. Door toe
passing van enige vaste steunpunten in de zij overspanningen wordt
de stijfheid direct veel groter.
Buigstijve pylonen zijn dus gunstig om de vervormingen te beperken.
Dit hoeven echter niet altijd pylonen in de vorm van een omgekeerde
V of Y te zijn. Ook prismatische of naar boven toe verjongde pylonen
kunnen aan de eisen van sterkte en stijfheid voldoen. Een bijkomend
voordeel is de eenvoudiger bouw ten opzichte van de omgekeerde V of Y;
de bouwkosten kunnen wel ongeveer een factor twee verschillen.
Bij (veel) harptuien neemt de normaalkracht in de pyloon practised
evenredig met de hoogte toe; de toeneming van het moment is meestal
sneller (fig. 9.1.5.7).
Bij waaiertuien is de normaalkracht veel meer constant over de hele
pyloonhoogte (op het eigen gewicht na), en neemt het moment recht
lijnig toe (fig. 9.1.5.8).
In beide gevallen komt een pyloon met een over de hoogte verlopende
buigstijfheid in aanmerking. Bij waaiertuien zou een doorsnede met
een over de hoogte /rijwel constante oppervlakte A (vrijwel constante N)
kunnen worden overwogen, maar met een naar beneden toe toenemend
traagheidsmoment I^ (fig. 9.1.5.9). Bij harptuien zou een doorsnede
met naar beneden toe toenemende A en I meer op zijn plaats zijn,
bijv. volgens fig. 9.1.5.10.
Bij centrale pyloon heeft het zin de afmetingen in breedterichting
constant en minimaal te houden (het gaat van de nuttige brugbreedte afI)
en de variatie te zoeken in de afmeting in lengterichting. Dit is
ook uit een oogpunt van uitvoering gunstiger dan variatie van de
afmetingen in twee richtingen.
9.2.01
9.2. De verbinding van de pyloon met de verstijvingsligger
De pyloon kan stijf of scharnierend met de verstijvingsligger zijn
verbonden, of hij kan er geheel los van zijn (fig.9.2.01). In de
eerste twee gevallen kan het geheel nog weer stijf of scharnierend
met de pijler zijn verbonden (fig.9-2.01). In de hier genoemde
volgorde draagt de verbinding in afnemende mate bij tot de stijfheid
van de tuibrug als geheel.
9.2.1. De stijve verbinding
Deze wordt in de technische mechanica aangeduid met het schema van
fig.9.2.1.1 (stijve knoop). De knoop wordt oneindig stijf gedacht
en de aansluitende staafdelen hebben (theoretisch) geen afmetingen
loodrecht op het vlak van tekening (c.q. alleen het traagheids
moment telt, niet de afmetingen).
In de praktijk is de knoop echter nooit oneindig stijf, zelfs niet
als massieve doorsnede, en de aansluitende delen hebben, met name
bij tuibruggen, sterk verschillende breedten, waardoor de krachts
overdracht van het ene op het andere deel niet direct over de
volle breedte van het breedste deel plaats vindt. Daardoor is de
verbinding minder stijf dan uit het in rekening brengen van de volle
stijfheden zou volgen.
Het is een probleem dat vergelijkbaar is met de inklemming van een
kolom in een vlakke plaatvloer. Bij buiging van de kolom zullen de
plaatdelen nabij de kolom meer vervormen dan de plaatdelen verder
er vandaan (fig.9.2.1.2).
Ook bij een in een (brede) brugligger ingeklemde (smalle) pyloon
zullen de liggerdelen nabij de pyloon meer vervormen dan die aan
de rand van de ligger, (fig.9.2.1.2). Bij de samenkomst van ligger
en pyloon ontstaan - bij buiging van de pyloon in het vertikale
vlak van de brugas- buigende en wringende momenten (fig.9.2.1.3)•
In het geval van een kokervormige brugligger worden de buigende
momenten opgenomen door onder- en bovenflens.
Bij een massieve pyloondoorsnede levert het „doorstromen" van deze
krachten geen problemen op. Bij een holle pyloondoorsnede is het
echter mogelijk, dat de pyloonwanden de trek- en drukkrachten
uit de flenzen van de ligger niet op kunnen nemen. Dit kan wel als
de flenzen in de vorm van horizontale schotten in de pijler worden
voortgezet (fig.9.2.1.U).
9.2.02
De •' ringende momenten aan de zijkanten van de pyloon kunnen niet
door alleen de onder- en bovenflens van de ligger worden opgenomen;
wel door twee lijven toe te voegen, zodat een kokerligger in
dwarsrichting ontstaat (fig.9-2.1.U).
Als de ligger ter plaatse van de pyloon geen oplegging op de pijler
heeft, dienen deze lijven tevens om de dwarskracht van de ligger
delen buiten de pyloon over te brengen.
Een goed voorbeeld van een stijve verbinding van ligger en pyloon
is de Pont de Brotonne [ 334 ] ; fig.9.2.1.5-
Het geheel van ligger en pyloon kan scharnierend of stijf met de
pijler worden verbonden (fig.9.2.01).
Bij betonnen tuibruggen zal een .scharnierende verbinding niet gauw
in aanmerking komen wegens de zeer hoge belasting door eigen gewicht
en de relatief kleine krachten uit de verkeersbelasting, die niet
of nauwelijks in staat zijn het scharnier als zodanig te laten
werken (zie ook 9-3-1)-
Bij een buigstijve verbinding met de pijler kan deze bestaan uit
alleen een voortzetting van de pyloon in de pijler of uit een stijve
verbinding met de pijler over de hele breedte van de brugligger-
In het eerste geval moet de ligger vrij van de pijler worden gehouden,
dus geen opleggingen; de belastingafdracht zou toch bijna geheel
via de (veel stijvere) pyloon gaan. In het tweede geval moet gezorgd
worden voor een momentvaste verbinding tussen brugligger en pijler,
bijv. door de wanden van de (holle) pijler in de brugligger door te
laten lopen (en de lijven van de ligger als schotten in de holle
pijler), om de soms hoge dwarskracht op te nemen.
De pyloon kan in de pijler doorlopen (zie ook fig.9.3-02).
9.2.2. De scharnierende verbinding
Deze komt vrijwel uitsluitend voor bij stalen tuibruggen, om de
redenen, die reeds in 9-2.1 zijn genoemd (zie ook 9-3)• Het voornaamste
voordeel is dat de pyloon veel minder op buiging wordt belast, zodat
de afmetingen kunnen worden gereduceerd, wat weer het aesthetisch
aanzien ten goede komt (zie ook 9-3).
9.2.03
Uit overwegingen van constructie en inspectie zal men het scharnier
bij voorkeur boven het brugdek aanbrengen, ofschoon het in de ligger
natuurlijk beter beschermd ligt. Bij een enkele pyloon kan een
dergelijk scharnier (boven het brugdek) nooit een taats (bolscharnier)
zijn, omdat dan instabiliteit in dwarsrichting zou optreden
(zie ook 9-3.1 en 9.^).
Een goed voorbeeld van een scharnierende verbinding tussen pyloon en
brugligger is de stalen tuibrug bij Ewijk f 36 + J ,
9.2.3. Geen verbinding tussen pyloon en ligger
De pyloon loopt door de ligger heen of aan weerskanten ervan (A-of
portaalvorm). De ruimte tussen ligger en pyloon moet zodanig zijn
dat beide geheel vrij van elkaar kunnen bewegen (buiging en horizontale
beweging van de ligger; geringe buiging van de pyloon).
De ligger kan ter plaatse van de pyloon op de pijler zijn opgelegd
of vrij zwevend aan de tuien zijn opgehangen; in het laatste geval
moet hij ook vertikaal ten opzichte van de pyloon kunnen bewegen.
Soms worden nog wel horizontale krachten (bijv. wind, remkrachten)
op de pyloon overgebracht, hetzij in langsrichting, hetzij in dwars
richting, meestal via één van de flenzen (bijv. door middel van één
of meer vertikale rubber opleggingen).
Bij een vrij zwevende ligger kan het gewenst zijn dat deze in staat
is wringende momenten (tengevolge van excentrische belasting) op
de pyloon over te brengen (in de vorm van trek- en drukkrachten),
omdat anders de hoekverdraaiing door wringing te groot wordt
(bijv. bij grote lengte). Dit is mogelijk door ter plaatse van onder
en bovenflens stijve vertikale rubberopleggingen aan te brengen
tussen ligger en pyloon, die horizontale normaalkrachten opnemen
(voor trek rubber oplegging voorspannen) en door middel van tefIon-
schijven beweging van de ligger toelaten (fig.9.2.3.1).
In 9.3. wordt verder op de verbinding van pyloon en pijler ingegaan,
waarbij verondersteld is dat ligger en pyloon niet rechtstreeks
verbonden zijn.
9.3.01
9.3- Verbinding van pyloon met pijler
Onder de pyloon wordt hier verstaan het gedeelte boven het brugdek,
onder de pijler het gedeelte eronder. De pijler draagt dus de
pyloon en het gedeelte van het brugdek nabij de pyloon, dat niet
door de tuien op de pyloon wordt overgebracht (maar rechtstreeks,
via de brugligger zelf). Be pijler wordt daarom meestal verbreed
ten opzichte van de pyloon om een goede afdracht van de brugbelasting
te bewerkstelligen (fig-9-3-01).
Vaak is de afmeting in langsrichting van de centrale pyloon (veel)
groter dan de dikte van de pijler. Het heeft dan zin de pyloon naar
beneden toe in de pijler door te laten lopen (fig.9-3-01 en 9-3-02).
In zo'n geval zal er rekening mee moeten worden gehouden dat de
plotselinge doorsnedevergroting bij de overvang van pyloon naar pijler
statisch als een veel geleidelijker overgang in rekening moet worden
gebracht (zie ook 9.-^-2-2).
Als de pyloon portaal- ofA-vormig wordt uitgevoerd, zal meestal worden
getracht de pyloonpoten buiten de brugdoorsnede te houden, zodat de
volle brugbreedte voor het verkeer beschikbaar is; fig.9.3-O 3 - Bij
zeer grote brugbreedten (meer dan ca. 30 m) leidt dit tot zeer hoge
pylonen, of sterk hellende poten, kortom tot een aesthetisch weinig
fraaie oplossing (tenzij de pyloon vanwege de grootte van de overspanning
toch zo hoog moet worden) . Bij portaalvormige pylonen leidt dit tot
zware bovenregels als koppeling van de stijlen. Dan kan worden overwogen
de pyloonpoten door de brugdoorsnede te voeren en een deel van de weg
buiten deze poten om te leiden (fig.9-3-0^+) . Dit heeft bijv. zin bij
bruggen met twee [of meer) duidelijk verschillende verkeerssoorten,
bijv. spoorweg- en autoverkeer; autoverkeer en fietsers en/of
voetgangers. Vertikale pyloonpoten staan dichter bij elkaar en zijn
veel beter te koppelen tot een portaal, hetzij bovenaan, hetzij lager,
of op twee hoogten (fig.9-3.05)-
Zo is bijv. bij de Mainbrücke Hoechst ["255 1 het spoorwegverkeer over
het midden van de brug geleid, in de ruimte tussen de tuivlakken, het
autoverkeer erbuiten (fig.9.3.05). Het is dan aangewezen de afmetingen
van de pyloonpoten loodrecht op de brugas zo klein mogelijk te kiezen
om zo weinig mogelijk van de brugbreedte voor het verkeer verloren te
laten gaan.
9-3.02
Als de brugligger ter plaatse van de pyloon alleen aan tuien is
opgehangen (vrij zwevend), is een verbreding van de pyloon onder
de brug tot een pijler overbodig, en is het logischer de pyloon
onder het brugdek tot de fundering door te laten lopen, zo nodig
met de constructief benodigde verzwaring van de doorsnede. Dit geldt
zowel voor de centrale als de portaal- ofA-vormige pyloon (fig.9.3-OU).
In het laatste geval is het wel gewenst de fundering van de afzonder
lijke poten te koppelen of tot één geheel te maken (o.a. om de
horizontale ontbondene van de schuine pyloonkrachten op te nemen).
Als de ruimte onder de brug hoog is, heeft het weinig zin de zware pijler-
doorsnede over de hele hoogte door te zetten. Het is dan veel beter
de pyloon (enkel of dubbel) tot de fundering door te laten lopen en
het brugdek ter plaatse te laten rusten op een zware dwarsbalk, c.q.
een uitkraging (fig.9.3.06). Voorbeeld: Bruggen over de Rio Parana I 4361.
Bij A-vormige pylonen wordt de breedte van de fundering vaak onnodig
groot, vooral bij grote hoogte onder de brug (fig.9.3.0^). Het heeft
dan zin de pyloonpoten ter plaatse van de koppelbalk te knikken tot
vertikale of zelfs naar binnen gerichte stand (fig.9-3-07); vooral
het laatste kan aesthetisch zeer bevredigend zijn. Het behoeft geen
betoog dat de koppelbalk op buiging en trek wordt belast, die echter
door een adequate voorspanning kunnen worden opgenomen.
Het voordeel van deze oplossing is vooral de veel compactere fundering.
Voorbeeld: Köhlbrandbrücke, Hamburg j3061.
9.3.1.1
9.3.1. Scharnierende of buigstijve verbinding
Bij een buigstijve overgang van pyloon naar pijler zal ter plaatse
een aanzienlijk buigend moment op kunnen treden bij ongelijke
belasting van de brugdelen ter weerszijden van de pyloon m lengte
richting) .
De hiervoor benodigde afmetingen van de pyloon kunnen worden gere
duceerd door toepassing van een voetscharnier (met een as loodrecht
op de lengteas van de brug); fig.9.3.1.1. Bij waaiertuien treedt
(theoretisch) hierdoor alleen een (horizontale) dwarskracht op in
de pyloon (naast de noiTnaalkracht natuurlijk), maar ook bij harp
tuien zullen de maximale momenten in het algemeen sterk worden
gereduceerd.
Voor het verkrijgen van een slanke nyloon is een voetscharnier dus
gunstig. De kniklast wordt er echter ongunstig door beinvloed
(zie 9. .1 ) -
Bij toepassing van een voetscharnier in een centrale pyloon (met
scharnieras loodrecht brugas) moet dit scharnier in dwarsrichting
voldoende breed zijn om de stabiliteit in dwarsrichting te verzekeren;
eventueel moet het scharnier vertikale trek op kunnen nemen (zie
ook 9-^-2). Voorbeeld: brug Ewijk f 364 1 .
Wordt het voetscharnier van een centrale pyloon uitgevoerd als
taats (bolscharnier), dan leidt een ligging hiervan boven het brug
dek tot instabiliteit, ter hoogte van het brugdek levert een labiel
evenwicht en alleen een plaats voldoende ver onder het brugdek kan
in dit geval een stabiele constructie verzekeren (zie ook 9-^-2).
Bij een portaal- of A-'vormige pyloon is een taatsoplegging van de
pyloonpoten op elke hoogte ten opzichte van het brugdek mogelijk
zonder dat dit als zodanig tot instabiliteit hoeft te leiden.
P;/loonscharnieren worden bijna uitsluitend bij stalen tuibruggen
toegepast. • . ' . • . '
Bij betonnen tuibruggen zijn de gewichten en de afmetingen in het
algemeen zodanig dat een scharnier vrijwel niet in aarjnerking komt,
enerzijds wegens de zeer grote benodigde afmetingen, anderzijds
omdat het scharnier nauwelijks als zodanig zal werken voor de
gevallen waarvoor het bedoeld is : de verkeersbelasting zal zelden
in staat zijn de wrijving in het scharnier te overwinnen (het eigen
gewicht overheerst met een factor U a 6 of meeri).
9.3.1.2.
Vergelijk ook de werking van een glijoplegging voor doorgaande
tuikabels in een pyloon (zie 7.11)-
Voor betonnen tuibruggen komt dus bijna alleen de buigstijve
verbinding van de pyloon met de pijler in aanmerking.
Een uitzondering vormt de Pont de Brotonne f 33^ J , waarvan de
met het brugdek star verbonden pyloon via rubber opleggingen
op de pijler eronder is opgelegd. Door het grote eigen gewicht
en vertikale voorspanning kan deze verbinding toch ook aanzienlijke
momenten opnemen (fig. 9.2.1.5).
9.il.001
9.^. De stabiliteit van de pyloon
De pyloon van een tuibrug is geen op zichzelf staande constructie, maar
is door middel van de tuien verbonden met de vrij buigslappe ligger,
vaak zelfs ook met het veel stijvere landhoofd of met één of meer tussen
pijlers.
De verbinding met de onderbouw - pijler of fundering - kan variëren van
scharnierend tot (vrijwel) volledig ingeklemd. Bij scharnieren om een
as is slechts buiging mogelijk in het vlak loodrecht op die as; de
andere richting is als (gedeeltelijk) ingeklemd te beschouwen, zolang
de drukresuitante binnen de kern blijft. Ook daarna is nog wel evenwicht
mogelijk, vooral als de verbinding ook trek op kan nemen.
Om scharnieren van de pyloonvoet in alle richtingen mogelijk te maken,
is een taatsoplegging nodig; deze wordt echter zelden toegepast bij de
hier optredende zeer grote krachten.
Volledige inklemming treedt nooit op, kan echter wel dicht worden
benaderd. Het is beter altijd met gedeeltelijke inklemm.ing te rekenen;
zoveel moeilijker is dit niet.
De pyloon kan zowel uitknikken in het vertikale vlak door liggeras en
pyloon als in het vertikale vlak loodrecht erop (zie 9.'+.1 en 9-4.2).
Door de vervorming van de ligger zal de pyloon mee vervormen en zo
enerzijds het knikgevaar vergroten, anderzijds zal de vervormde ligger
de pyloon tegenhouden en zo het uitknikken beletten.
De pyloon moet ook in staat zijn met voldoende veiligheid weerstand
te bieden aan de krachten, die in elke doorsnede ervan werken (sterkte-eis)
hij mag door deze krachten niet zodanig vervormen - ook niet op de lange
duur -, dat zijn stabiliteit gevaar loopt (stijfheidseis). Hiertoe is
het nodig te rekenen met het geometrisch en physisch niet-lineair gedrag
(zie 9-^.3).
De stabiliteit tijdens de bouw verdient speciale aandacht (zie 9-^-^),
evenals de wapening van de soms vele m.eters dikke doorsnede (9-'+-5)-
Omdat een centrale pyloon de nuttige brugbreedte vermindert met een breedte,
gelijk aan de pyloonbreedte plus ca. l m naar weerszijden, moet worden
getracht vooral de dwarsafmeting van de pyloon zo gering mogelijk te
houden (tenminste over de hoogte van het verkeer).
De stabiliteit van de ligger - die ook op druk wordt belast'. - wordt in
8.3 behandeld.
• • 9.i .1.01
9.U.I
De stabiliteit in langsrichting
De stabiliteit van de pyloon in langsrichting wordt, behalve door de
belastingen (M, N, T) die rechtstreeks (c.q. via de tuien) op de pyloon
werken, bepaald door de weerstand tegen horizontale verplaatsing in
langsrichting van het veersysteem, gevormd door het systeem van tuien
en ligger (dus zonder de pyloon; fig.9.U.1.OU). Hierbij is uitknikken
van de "tuistaven" uitgesloten; immers, omdat de tuien door eigen gewicht
en/of voorspanning gespannen zijn, kunnen ze zowel druk als trek opnemen
en doen ze dus aan weerszijden van de pyloon mee. De vervorming van dit
systeem onder een horizontale eenheidslast is gemakkelijk met de computer
te berekenen.
De veerconstante ter plaatse van een tuiaansluiting is de horizontale
kracht, die nodig is om een horizontale eenheidsverplaatsing van het
systeem daar ter plaatse tot stand te brengen. Deze is dus afhankelijk
van de rekstijfheid van de tuien, van de tuihelling, van de buigstijfheid
van de ligger en (vanzelfsprekend) van de plaats van het aansluitpunt
op de pyloon.
Als de ligger oneindig buigstijf wordt gedacht, heeft de veerstijfheid
alleen betrekking op de tuien en kunnen de formules voor de veerstijfheid
tegen horizontale verplaatsing van het tuieinde worden toegepast (zie 7-2).
Dit is het geval voor tuien, die van de pyloon naar een vaste ondersteuning
lopen, bijv. naar een landhoofd of naar een tussenpijler in één van de
zijvelden (fig.9-^•1-OU); het geldt algemeen voor een afgetuide mast; fig.9.^.1.07
De veerstijfheid van een tui, die bevestigd is aan een niet-rechtstreeks
ondersteund punt van de ligger, is kleiner dan de eigen veerstijfheid k .
De "veren" van ligger en tui zijn namelijk in serie geschakeld en dan
geldt: 1/k^ = 1/k + 1/k^, (1)
waarbij k de veerstijfheid van de ligger en k de resulterende veer
stijfheid voorstelt (tegen horizontale verplaatsing).
Hierbij is de veerstijfheid k van de ligger een functie van de buig
stijfheid EI van de ligger en van de overspanning L: k = n ~ ^ (2) L^
Hierbij hangt n af van de randvoorwaarden van de ligger (vrij opgelegd,
doorgaand, ingeklemd, e.d.) en van de plaats van de last (c.q. tui) op
de ligger. De vertikale zakking Av van het betreffende ptuat van de
ligger moet worden uitgedrukt in de horizontale verplaatsing Ah ter
plaatse van de pyloonaansluiting: Ah = Av.tga (fig.9 . 4.1.02).
9.U.1 .02
Het gaat er hierbij dus om hoeveel de ligger vervormt (doorbuigt) tengevolge
van een vertikale kracht V = 1 ter plaatse van een tuiaansluiting; .dit V 1
komt op hetzelfde neer als de vervorming door een tuikracht N^ = —:— = —:— t sma sina
(in een tui onder een hoek a),c.q. door een horizontale kracht H = Vcotga = cotga
ter plaatse van de tuiaansluiting met de pyloon (fig.9.U.1.02).
Bij waaiertuien kunnen de veerstijfheden k t/m k van de n afzonderlijke
tuien en de ligger parallel worden geschakeld tot de vervangende stijfheid
k = k, + k„ + + k . Deze kan echter ook rechtstreeks met de r 1 2 n computer worden berekend door een horizontale kracht H = 1 op het systeem van tuien en ligger ter plaatse van de pyloontop aan te brengen (fig.9.U.1.OU).
Uit formule (l) blijkt, dat door de bevestiging van een tui aan een vast
punt de veerstijfheid k wordt vergroot, omdat voor de liggerstijfheid k =co
wordt ingevoerd. Vooral bij relatief slappe liggers kan het aanbrengen van
één of meer tussensteunpunten in de zijoverspanningen gunstig zijn, niet
alleen voor de tuien aan die zijde, maar ook voor die aan de andere zijde;
de ligger als geheel is stijver geworden (geringere doorbuigingen).
Het is duidelijk, dat de invloed van tuien onder geringe helling gunstiger
is dan van die onder steile helling (fig.9.U.1.05),ofschoon dit ook afhangt
van de plaats op de ligger.
Alvorens dit in een voorbeeld uit te werken (blz.9-U. 1.1.U) , wordt eerst
dé..kniklast berekend van een aan de top verend vastgehouden pyloon, die
aan de voet volledig is ingeklemd (9.4.1.1) en vervolgens aan de voet
verend is ingeklemd (9.U.1.2). Het is duidelijk dat het eerste geval een
uitzonderingsgeval is van het tweede, maar voor de eenvoud wordt dit
eerst behandeld.
9.U.I .1,1
9.U.I .1.
De kniklast van de aan de voet ingeklemde pyloon, die aan de top verend
wordt vastgehouden (fig.9-U.1.1.1).
In een willekeurig punt, op afstand x van de top A:
dx 2 . . ...
Met N = a EI wordt de differentiaalvergelijking:
d y 2 2 ^ ^ + a y = a y -dx
k V
EI
Algemene oplossing : y = A cosax + B sinax ^AyA A'^A
Particuliere oplossing : y = yA " ~ 2 — ' ~ • A ~ ~~N— a EI k
^A^A Algehele oplossing: y = Acosax + B sinax - —— x + y .
k Randvoorwaarden:
X = O y = y^ = A + y^ -^A = 0
x = h - > - y = 0 = aB cosah -VA N,
^B =
y = B smax
k y A-^A
aN. cosah K
y = O = VA . , VA smah -aN, cosah
k / A A (— tgah - -^ h + 1 = O aN. N.
K. K
\^A ^ + y,
(1)
Met N, = a E I gaat deze formule over in k P P
5 E I ^ k 1 - ^ M = ah (1- (ah)^ ^ } = ah {1-p^ (ah)'^ }
h^ ^A ^^A *
tgah = ah {1- (ahl
3E I P P Hierin is k = -
P .,3 de veerstijfheid van de ingeklemde pyloon
(2)
(zonder horizontale veerondersteuning) en p = k /3k de veerstijfheids-
parameter.
Formule (2) is in fig.9.U.1.1.3 weergegeven voor verschillende waarden
van de veerstijfheidsparameter p^. De snijpunten van de p,-krommen en de u t
tangenskromme in het 2e en 3e kwadraat geven de waarden aan van ah,
waarbij uitknikken optreedt (te berekenen uit a^h = _iiL_} . E I P P
9.U.I.1 .2
Voor p = 0 , dus k =co, gaat (2) over in
tgah = ah, (2a)
de bekende formule voor de kniklast van de onder ingeklemde en boven
scharnierend vastgehouden staaf (fig.9.U.1.1.2)
Hiervoor is ah = U,U9 of N = 20,2 E I 2i\'^Y. I n n D n
n h
Voor p =^, dus k = O (geen horizontale ondersteuning) gaat (2) over in U Pi.
tgah = -co. (2b)
De kleinste waarde van h, die hieraan voldoet, is ah = IT/2; of ^l I n n
TT E I
bh
de bekende formule voor de kniklast van de vrijstaande, aan de voet
ingeklemde staaf.
Uit fig.9-U.1 -1.3 blijkt dat voor p, 1 de waarden van N dicht bij t ri
deze laatste (minimale) waarde van N, liggen, terwijl voor p ,< 0,02
de waarden van N dicht bij de eerste (maximale) waarde liggen. k
Fonnule (1) kan ook worden uitgezet als functie van k , uitgedrukt
in N, /h (fig.9.U.1.1.5). Er blijkt een grote variatie in N, op te K iC
treden voor 0,5 N, /h^: k < 2 N /h. Daar is de constructie dus erg iC A iC
gevoelig voor een kleine variatie in de veerstijfheid k (vergelijk
ook het gebied tussen p = 0,02 en p = 1,0 in fig.9-U.1.1.3).
Het is dus zaak dit gebied zoveel mogelijk te vermijden en te trachten met de veerstijfheid het gebied k,>.-2 N, /h te bereiken.
^ ^ A K In hoeverre dit mogelijk is zal uit het hierna volgende blijken.
2 2 Opgemerkt wordt nog dat voor k, = N, /h de waarde van N, = T: E I /h is.
A k k p p
9 . U . 1 . 1 .-2
Voor een afgetuide mast (die niet kan uitknikken buiten het vlak van
de twee gelijke tuien) is de horizontale veerstijfheid k van twee tuien,
elk onder een hoek 8 met het horizontale vlak, en met een geprojecteerde
lengte 1 (fig. 9.U.1.07): 3
2E_^A cos 8 k^ = ^^^ = k^ (zie ook 7.2), zodat '(2) overgaat in:
^ E I 1 k tgah = ah ( 1 - (ah)'^ - ^ ^/= ah / 1 - (ah)"^ — ^ '
^ h- 2E A cos^B ^ ^S '
= ah [l - p^ (ah)^j (3)
met p^ = 1/3 k /k^. • (3a) t P t
Deze formule is identiek met (2) en de waarden ah voor variërende p.
kunnen dan ook uit dezelfde fig.9-U.1.1.3 worden afgelezen.
Ook hier blijkt dat oneindig slappe tuien (k = 0->p._ = co) de kniklast
verlagen tot die van de vrijstaande, ingeklemde mast (formule (,2b),
terwijl oneindig stijve tuien (k. =««; p. = 0) de maximale waarde opleveren
van de boven vastgehouden, onder ingeklemde mast (formule 2a).
Over de horizontale veerstijfheid van de tuien kan nog worden gezegd 3 .
dat deze evenredig is met cos 8, dus maximaal voor 8= O en minimaal voor
8= 90 (bij eenzelfde geprojecteerde lengte l). Bij een constante hoogte h
neemt bij afnemende hoek 8 de lengte 1 voortdurend toe en is er een
optimale waarde voor S = ~ 35 (zie ook fig.7.2.2).
De veerstijfheid k in formule (2) kan voor een tuibrug samengesteld
worden gedacht uit een tuiaandeel k en een liggeraandeel k-, ; voor
waaiertuien zijn deze veren in serie geschakeld, zodat gesteld kan
worden: — = :;— + -;— (4 k, k, k., h t 1
Hiermee wordt formule (2): E I
tgah =ah{l - (ah)2 -f^ (^ + ^)j 3 t
k
= ah(l -(ah)^ (3^. ±^]--H'- ^ ) W (5) t
k k k (k_ + k J _ t . _P _ P t 1 / N met p^ , = ^r- + ^ = —^.—r (5a ' tot 3k 3k 3k k
u 1 t l
k Voor een oneindig stijve ligger is k =co en wordt p, , = ^ -; het
geval van de afgetuide mast (3) en (3a). k
Voor oneindig stijve tuien is k. =co en wordt p, , = -rr^ , zodat alleen
de liggerstijfheid bepalend is.
9.U.I .1, U
Voor k = k, =eowordt p, ^ = 0 en wordt weer de van boven vastgehouden t 1 tot °
staaf verkregen.
Voor oneindig slappe ligger en/of oneindig slappe tuien is p =cQ en
wordt de staaf van boven niet vastgehouden.
De waarde van de veerstijfheid van het geheel van ligger en tuien kan
gemakkelijk worden gevonden door in de pyloontop op het systeem zonder
pyloon een horizontale eenheidskracht H = 1 te laten werken en de
daardoor veroorzaakte horizontale verplaatsing & te berekenen. De
verhouding H/ö, = 1/6, is dan de gezochte veerstijfheid,
Voor systemen met meer dan één tui ter weerszijden van de pyloon gaat
de berekening het best met de computer.
Formule (1) kan ook worden uitgezet als functie van k , uitgedrukt in
N /h (fig. 9-U. 1.1.5). Er blijkt een grote variatie in P op te treden K. iC
voor 0,5 N /h $ k, -$ 2 N, /h. Daar is de constructie dus erg gevoelig K. n JüC
voor een kleine variatie in de veerstijfheid k, (vergelijk ook het
gebied tussen p = 0,0U en p^ = 0,5 in fig. 9-U.1.1.3). Het is dus t o
zaak dit gebied zoveel mogelijk te vermijden en zoveel mogelijk in het gebied k, >. 2 N /h te gaan zitten.
n K ° 2 TT ^ I
Opgemerkt wordt nog da t voor k = N, / h de waarde van N = 3- i s .
9.U.I.1.5
De vertikale veerstijfheid k van een ligger op twee steunpunten, belast
door F = 1 op een afstand x van een steunpunt, kan worden uitgedrukt door U U
3EI 1 3EI ^ 1 k = —r— ^ — = a^ — 7 " met a = r-^ 1 ,3 , ^ , ^ 2 x 3 x , ^ s 2 2
1 (1-x) X 1 (1-x) X
Dit is weergegeven in fig.9.U.1.1.6.
Deze veerstijfheid geldt ook voor een over drie steunpunten doorgaande
ligger met antimetrische belasting (, fig.9-U . 1 .1 .U) .
Wordt de belasting F beschouwd als de vertikaal ontbondene van een tui
onder een helling 8 met de ligger, dan is deze vertikaal ontbondene voor H = 1
aan de pyloontop gelijk aan F = tgg (fig.9.U.1.1.U). Hiermee wordt de veer
stijfheid van de ligger
3EI 3EI ^1 k = a —r- = a -^— = z~o • ^ ^ Fl^ ^ l\g8 ^^^
Voor H = 1 aan de top van een door twee tuien verstijfde, symmetrische
ligger (fig.9.U.1.1.U) is F = Jtgg , zodat
1 tg8
Dit is uitgezet in fig.9-U.1.1.7 voor tgB =0,5.
Duidelijk blijkt het gunstig effect van een tuibevestiging dicht bij een
vast steunpunt. De grote veerstijfheid bij tuibevestiging nabij het landhoofd
wordt echter wel gereduceerd door de grotere slapheid van de lange, door-
hangende tui onder een kleine hoek 3 (zie ook 7-3.).
De vertikale verplaatsing 6 van het aangrijpingspunt van de tui (met de
ligger) is voor H = 1 ter plaatse van de pyloontop (fig.9.U.1.1.U):
^ Flf (l-x)^.x^ ^ Hl\gg _L = J_ V 3EI ,U 6EI • a k,
1 X 1
De horizontale verplaatsing 6 ter plaatse van de pyloontop is
«h = VS6-
De bijdrage van de ligger aan de horizontale veerstijfheid in de pyloontop
is dus k^^ = k^/tg8 = 2k^/tg^8-
Dit is eveneens uitgezet in fig.9.U.1.1.7 voor tgg = 0,5.
Hieruit blijkt nog duidelijker het gunstig effect van een tui van de pyloontop
naar het landhoofd of naar een punt op de ligger nabij het landhoofd. Een vertikalt
of nagenoeg vertikale tui da.arentegen levert geen of een zeer geringe bijdrage
tot de horizontale veerstijfheid van de pyloontop.
Voor systemen met twee pylonen en/of asymmetrische tuien (bijv. rechter deel
van fig.9.U.1.OU) gaat de berekening het best met de computer.
9. U. 1.1.6
Voorbeeld
Teneinde een idee te krijgen van de orde van grootte van de veerstijf-
heidsparameter p wordt het voorbeeld van fig.9.U.1.1.U uitgewerkt.
De horizontale kracht H = 1 in de top A veroorzaakt tuikrachten
N^ = + i \f2.
Deze veroorzaken verlengingen, resp. verkortingen
^\ = WW = ^ ^-^1^ /Vt = i/2E \-IV^ Hiermee wordt de horizontale verplaatsing van A: Ah = . .
He tuien oefenen een trek- en een drukkracht op de ligger uit, waarvan
de vertikaal ontbondenen ± g zijn. De vertikale doorbuiging van de Ll3 l3
ligger ter plaatse bedraagt f = ± i g ^ = ± g^^ - •
De horizontale verplaatsing van A tengevolge hiervan is .Ah_ = f = ^~ . 2 yot^1^
De totale horizontale verplaatsing van A is dus: "
' - = N " ^ '2= ir!/ 9e , H 1
De horizontale veerstijfheid van het geheel is dus k, = --— = -r-, 96E^I^ . Vt^2
De bijdrage hiertoe van de ligger is k = ^^^ ; die van de tuien k = ^ '•>
de betrekking is 1/k = 1/k + l/k .
Neem nu 1 = -100 m; brugbreedte b = 20 m; liggerhoogte d = 2,75 m;
gemiddelde dikte onder- en bovenflens, inclusief lijven: 0,30 m.
e.g. ca. 2.0,30.20.25 = 300 kN/m.
Elke t u i k r i j g t g l o b a a l 50.300 = 15.OOO kN ( v e r t i k a a l ) .
N = 15000V2kN;CT = 600 .10^ kN/m^ A = ' ' ^ ' ^^ ^ = 0 ,035 m^. o n ^ * 600 .10^
E = 2 .10 kN/m E A = 7.IO kN b u t
2 . U U I ^ ~ 2 . 0 , 3 0 . 2 0 . 1 , 2 5 = 18,75 m - > r e k e n I^ = 20 m .
E = 30.10 kN/m^ E I = 600 .10° kN/m^. • •- • •
P y l o o n b e l a s t i n g N = c a . 2 .50 .300 = 3.10 kN; 5 = 1 0 kN/m^. y ^
u 4 2 A^ = 3 . 1 0 : 10 = 3m . Neem 1,5 x 2 m.
P ? il -- p h ? - ' I = 5 . 1 , 5 . 2 = l m . E = 3 0 . 1 0 ° kN/m E I = 30.10 kNm
^ 96E I g g P 6 P ^ E A^V^ 6 ^ k^ = ^ ^ = ^ " • ' ' " " : ' ^ = 570OO kN/m; k, = ^ ^; = ' • ^ " ^^ . ^ IQO.000 kN/m
1 1-^ 100-^ t l lUU
9.U.I.. 1-.7
= 2,75-10 ^ m/kN (k =-'36U00 kN/m). 00000 -,.-•- '-/ "• ^ ^ k, 57600 1
^ T 6 ^p p 1 30.10 -5 _ 825 -„-3 ^ ^ .„-3 „ /- in~2
p = ^ ' . - = ^—. 2,75,10 = T^-10 = 6,0,10 = 0,66,10 , h^ ^h 50- ' ^
Uit fig,9-U.1.1.3 volgt dat de hierbij behorende waarde van ah practisch
gelijk is aan die van de van boven vastgehouden nyloon (p = O), zodat
N 2 0 ^ = 2 0 . ^^^=2U.10^kN. ^ h^ 50^
u Ten opzichte van de berekende pyloonbelasting van ca. 3.10 kN betekent
dit dus een ca. 8-voudige veiligheid. _2
Met een tweemaal zo kleine I wordt p = 1,08.10 ; met een twee maal -2
zo kleine I wordt p = 0,33-10 ; met een twee maal zo grote I wordt Pg . _ . P
p = 1,32.10 . Het is niet eenvoudig om veel grotere waarden voor p dan 0,01 a 0,02 te vinden zonder de constructie "geweld aan te doen".
Op grond van het bovenstaande kan voorzichtig worden geconcludeerd dat
voor tuibruggen de waarden van de veerstijfheidsparameter p in de buurt
liggen van 0,01 en dat de kniklast van de pyloon niet veel zal verschillen
van die van de boven volledig - in horizontale zin - vastgehouden staaf.
Dit is zeker het geval als de top van de pyloon door middel van een of
meer tuien aan een vast punt - landhoofd of pijler - is verbonden.
N.B. Hierbij is geen rekening gehouden met het eigen gewicht van de
pyloon, dat in dit geval (voor een prismatische pyloon) bedraagt:
3.25.50 = 3750 kN (dus 12,5% van de brugbelasting van 3.10 kN).
Ook is geen rekening gehouden met de verkeersbelasting, waardoor de
pyloonbelasting met globaal 50.U,12 = 2UOO kN zal toenemen (8^),
Door eenzijdige verkeersbelasting kan misschien een voor de pyloon
ongunstiger situatie ontstaan, die in deze eenvoudige berekening echter
niet past.
9.U.I.2.1
9.U.I.2
De kniklast van de pyloon, waarvan de voet verend in de fundering is
ingeklemd en de top verend wordt vastgehouden (in het horizontale
vlak; fig.9.U.1 .2.1).
Randvoorwaarden:
aan de top A: yn = "^J^^
aan de voet B: y = O
M^ = - EI - ^ = O dx
% = EI d'
dx = k (^)]
2 ^B dx ^
(1)
(2)
Bovendien: T = T = M^/h, zodat y = M^/k .h (3)
In een willekeurig punt x: j 2 jj
"x = -^" - i =^ ^ - A " \ ' " ^ \ ' ^ - ^ k-h " ' ïï dx A
(U)
Met a =N/EI wordt de differentiaalvergelijking:
2
2 d > 2 '\ X ^ N ^ ^ X 2 '' — " k + a y = - tr:;r- — + -r- -—, = - -;;r .— + a
^ EI h "*" EI k.h EJ.-.-h dx ^^ .. ^^ . ^
Algemene oplossing: y = Acosa x + Bsina x
V
Particuliere oplossing: y = - h a il
M_
V Mg ^ Mg Algehele oplossing: y = Acosa x + Bsinax - - — — + -;—
^ iC.- n i. n
Randvoorwaarden: ^
X = O-y = y^ = ^
X = h->-y = O
->-A = 0^y = B s inax
.a SI A'
2 a EI
h k.n
Mg Mg B sinah - —TT + :;—, = O
2„^ k„h a EI A
^ = ^B ^S^B' | ï = B a c o s a x - -a Elh
X = h^M^ = k a B cosah -^ B ^
a Elh
B cosah - akg a Elh
(5)
(6)
(T)
(8)
De homogene, lineaire vergelijkingen (7) en (8) (in B en M^) hebben
alleen een van nul verschillende oplossing als de determinant van
het stelsel nul is:
sinah (- —— -ak.
)- cosah (• 'B a-'EIh
2 a EI V
) = o
9.U.I.2.2
Uitgewerkt: _ _ ahk.k.„-a Elk. ah - (ah)^ El/k.h-^
, , A B a A / n \ tgah = = (9a)
k^kg +a Elh k^ 1+ (ah) El/k^h
Met p = • o en p = :;—, gaat (9a) over in: ^ ^A^ * B""
1 - p^^(ah)^ tgah = ah .
1 + P^(ah) (9)
Voor k =cois p = 0 en gaat (9) over in: tgah = ah|l - p (ah) I (lO)
Dit is de volledig in de fundering ingeklemde pyloon; zie ook 9.U.I.I.
Voor k =cOis p_ = O en gaat (9) over in: tgah = ^ (ll) ^ 1 + P^(ah)'^
Dit stelt de aan de top scharnierend vastgehouden pyloon voor.
Voor k = k =co(p^ = Pj. = O) gaat (9) over in: tgah = ah, (12) A ij I t
de bekende vergelijking voor de onder ingeklemde en boven scharnierend 2TT2EI vastgehouden knikstaafj ah/^»U,5; N = ~ — - —
k . ^ 2
Voor k = O wordt tgah = -co-> ah =IT/2-»N, = — ^ (13) 4h
de onder ingeklemde, boven vrij bewegende knikstaaf. TT F T
Voor k_ = O wordt tgah = 0 ^ah =IT-»-N = — — , (lU)
de aan beide zijden scharnierend vastgehouden knikstaaf.
Formule (lO) is voor verschillende waarden van de veerstijfheidsparameter ET
aan de top: p = weergegeven in fig.9-U. 1 .1 .3 ; zie ook 9.U.I.I. K^h
Formule (11) is voor verschillende waarden van de veerstijfheidsparameter EI
van de fundering: p = -r—. weergegeven in fig.9.U. 1 .2.2. I K.j n
Formule (12) is een speciaal geval van fig.9-U. 1 .1 .3 en 9-U.1.2.2 (ah = U,U9)
Het verloop van p en p als functie van ah is ook weergegeven in fig.
9.U.1.2.3. Hieruit blijkt dat ah voor zowel p als p voor waarden van T* X
p >10 en p<iO,01 vrijwel constant is. Voor p = p <0,01 is ah/><4,U9 P t I ^
^ \ = '" 2"*" ' °°^ Pt ^^° ^'^ p^<0,01 is ah.. TT/2 (N^ = ^^^-^) ; h 4h
TT^EI voor p > 10 en p < 0,01 is ah/-']T(N = — 5 — )
I " t K ^ h
Formule (9) is vo r vier verschillende waarden van p en een aantal waarden van p weergegeven in de fig.9.U.1.2.4 t/m 9.U.1,2.7.
9.U.I .2.3
De invloed van de f^deringsstijfheid wordt geïllustreerd met het voorbeeld
van.blz. 9.U.1.1.6. De pyloonbelasting is 3.10 kN.
2 Gekozen wordt een funderingsplaat met afmetingen 9 x 12 m ; de bedding-constante k, =2.10 kN/m3;I^ = 1/12.9.12^ = 1296 m ; k„ = k, .I„ = 2592.10'kNm/rad.
D I ij O t
E I = 3.1o'''kNm ; h = 50 m. Hiermee wordt: P P ' P
Pf
p-t
E I n n
E I P P,
v' A p
3.10'' '
u 2592.10 .50
3.10'' ' 36U00.50^
U 3 ! 2 = ° ' ° 2 3 -
3 = ^ = 0 U55 152 ^ '
Uit fig..9.U. 1 .-2.U (voor Pt = 0,0l).;valt te concluderen dat ah =-^ U ,U0 , zodat ET 3 10* 3
N =~19,5 ~5~ = 19 >5. — '—5" = 23U.IO kN, dus maar iets kleiner dan de eerst .. b 50 berekende 2UO.IO kN.
Met een twee maal zo grote beddingconstante wordt p de helft (0,0115)
en komt de waarde van N, nog dichter bij die van de volledig ingeklemde
pyloon.
Met een twee maal zo kleine beddingconstante - die niet erg waarschijnlijk is -
wordt p^ = 0,0U6ixh =~U,3, dus N, =~l8,5. ^ =-^ 222.10 kN, een ^ K ,2
vermindering van nauwelijks 10^. 2 .
Als we de funderingsplaat bijv. 6 x 8 m kiezen, bij dezelfde beddingconstante, wordt k^ = 2.10' . 1/12.6.8^ = 512.10 en p^ = — l d £ . ^ = -J_ = 0,12.
% . , ^ 512.10\50 25,6 o<h='-U,1; N =-17 ^ =-200.10-^kN.
n Dit betekent nog een 200/30 = meer dan 6-voudige veiligheid ten opzichte
van de gebruiksbelasting. Het betekent ok een zeer goede funderingsgrond, 3.10^ ^ 2 , '?
waarop een druk van —r = .^óOO kN/m ("6 kg/cm^) mag worden toegelaten. 6 .8
Een funderingsplaat van deze afmetingen is ook al gauw nodig bij een fundering op palen, maar hier is de stijfheid ve e malen groter dan bij een fundering
U 2 op staal met beddingconstantenvan 2 a 3.10 kN/m .
Onder enigszins "normale" funderingsomstandigheden zal daarom de eindige
veerstijfheid van de fundering van geringe invloed zijn op de stabiliteit
van de pyloon.
9.U.I.3 9.U.1.3.1
Vergelijking met E I = CO . £ £.
Het is interessant de pyloon met eindige stijfheid E I te vergelijken y y
met die met E I =oo. De veerconstante van de fundering is kx.= k, .1^; p p ° I D f
die van de top is k (fig.9.U. 1 .3.1). Hierin is k. de beddingconstante
van de fundering^ I het traagheidsmoment van het funderingsoppervlak.
Momentenevenwicht: Hh + N.(f>h = k . 4)+ k tfih (fig.9-U. 1 .3 .2) .
Hh
k +k h^ - Nh (1)
2 De hoek (J) wordt oneindig groot voor k„ + k h - Nh = O
k I t
\ = ïr^ V = ^f-^^t' 2) d.w.z. N is de som van de knikkrachten van de oneindig stijve, in de
K.
fundering verend ingeklemde staaf en van de oneindig stijve, boven
verend vastgehouden staaf (en onder scharnierend). Zie ook dictaat
"Knik en Stabiliteit" van Prof. Dicke, p.U8,U9.
Het verloop van N als functie van de pyloonhoogte h is uitgezet in fig.
9.U.1.3.1 voor verschillende waarden van k en k . Het blijkt dat N
voor een bepaalde combinatie van k en k een minimum heeft voor een t I
zekere hoogte h.
Met behulp van formule (2) wordt de stabiliteit van de oneindig stijve
pyloon vergeleken met die van de pyloon met eindige stijfheid uit het
voorbeeld vanblz.9-U.1.1.6. Hiervan is k = k = 36U0O kN/m. Tj n
U . 9
De pyloonbelasting was 3.10 kN. Met een funderingsoppervlak 9 x 12 m'
wordt de gronddruk ' ^ = 277 kN/m^ ; I^ = 1/12.9.12^ = 1296 m^ (blz .9-U -1 .2.3)
U , 3 U Met een beddingconstante k^ = 2.10 kN/m wordt k = k .1^ = 2592.10 kNm/rad. Met de pyloonhoogte h = 50 m volgt uit formule (2):
= 2592.10 ^ 36UOO.5O = 52.10 + 182.10 = 23U.IO kN.
Dit is bijna 10 maal zoveel als de kniklast van de pyloon (2U.10 kN),
met oneindig grote funderingsstijfheid. Met de hier aangehouden funderings
stijfheid loopt
blz. 9.U.I.2.2.
stijfheid loopt de kniklast iets terug (tot ca. 23.10 kN) ; zie formule 9-.
U Met een twee maal zo grote beddingconstante k neemt N toe met 52.10 kN
1 o k tot 286.10 N; met een twee maal zo kleine beddingconstante neemt N af
U . k • met 26.10 kN. Om een veel kleinere waarde van N, te vinden, moet k veel
k ' t
kleiner worden, maar dit is niet reëel, omdat de tuidoorsnede bepaald wordt
door het liggergewicht en dit is bij betonnen tuibruggen relatief hoogi
Ofschoon de controle van de stabiliteit van de oneindig stijve pyloon altijd
raadzaam is, en bovendien erg eenvoudig, kan wel worden geconcludeerd dat deze
stabiliteit practisch nooit maatgevend zal zijn.
9.U.2.01
9.U.2
De stabiliteit van de pyloon in dwarsrichting
Bij een uitwijking van de pyloon in dwarsrichting ontwikkelen zich horizon
tale krachten ter plaatse van de tuiaansluitingen met de pyloon, die de
vertikale stand van de pyloon willen herstellen. Elk tuienpaar blijft
namelijk in het vlak door het aansluitingspunt met de pyloonas en de lijn
door de aansluitpunten met de ligger (fig.9.U.2.01 ).
Daarbij wordt verondersteld dat de ligger in dwarsrichting zo stijf is,
dat hij door de horizontaal ontbondene van de tuikrachten geen (of een te
verwaarlozen) horizontale verplaatsing ondergaat. Dit zal in de meeste
gevallen zo zijn, behalve bij zeer smalle en lange bruggen, zonder horizontale
tussenondersteuningen.
De stabiliteit in dwarsrichting hangt ook af van de plaats van de (gedeelte
lijke) inklemming van de pyloon in ligger, pijler of fundering. Bij een
eventueel scharnier aan de pyloonvoet is de hoogte hiervan ten opzichte van
de lijn door de tuiaansluitingen met de ligger doorslaggevend voor stabiliteit
of instabiliteit (zie hierna); zie ook fig.9-U.2.02.
Verder hangt de stabiliteit af van de tuiconfiguratie (harp, waaier, e.d.),
het aantal tuivlakken en de vorm van de pyloon (enkel, portaal. A-vorm, e.d.).
Zo zal eenA- of A.-vormige pyloon in het algemeen zeer stabiel zijn in
dwarsrichting, zelfs met scharnieren aan de voet (fig.9-U.2.05).
Voor de eerste orde-uitbuiging van de pyloon moet worden gerekend met wind,
temperatuur, krimp, kruip, toevallige excentriciteit van de tuikrachten,
scheefstand van de pyloon (bijv. door onnauwkeurigheden bij de uitvoering)
en met de veerstijfheid van de fundering (en van een eventuele tussen-
constructie, bijv. pijler); verder met eventuele scheurvorming en niet-
lineair materiaalgedrag. Zie ook 9.U.3-
Achtereenvolgens worden hierna behandeld:
- de enkele pyloon met voet scharnieren en centraal tuivlak (waaier en harp);
- dezelfde pyloon, gedeeltelijk ingeklemd in ligger, pijler of fundering;
- de portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan de voet;
- de portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming aan de voet;
De stabiliteit van andere pyloonvormen kan volgens hetzelfde principe
worden onderzocht (zie ook 9,U.3.6).
9.U.2.1,1
9.U.2.1
De enkele pyloon met voetscharnier en centraal tuivlak
a. Met waaiertuien
Bij uitgebogen stand van de pyloon zijn de tuikrachten gericht van de
pyloontop naar het snijpunt van bovenkant ligger en pyloonas (fig.9.U.2.02).
Uit fig.9-U.2.02 blijkt, dat als het voetscharnier van de pyloon boven
de plaats van de tuibevestiging in de ligger ligt, de constructie
instabiel is; bij gelijke hoogten verkeert hij in labiel evenwicht en
alleen bij een voetscharnier onder de ligger is een stabiele constructie
mogelijk.
Bij een uitwijking aan de top ontwikkelt zich een hiermee evenredige
horizontaal ontbondene van de tuikrachten, die de pyloontop weer terug
wil trekken.
De pyloon kan alleen als tweezijdig scharnierende staaf uitknikken en de 2 ?
kniklast is derhalve N, = TT EI/1 , K p '
waarbij 1 > h, de hoogte van de pyloon boven het brugdek (fig.9.U.2.02).
De verhouding 1 /h moet duidelijk groter dan 1 zijn, d.w.z. zeker ca. ir
20^ groter, om voldoende marge te hebben ten opzichte van een even
tueel labiel evenwicht , ook in verband met mogelijke onvolkomenheden in de
vormgeving.
Er moet ook worden gerekend met de eventuele kromming van de ligger in
het vertikale vlak, waardoor de ontmoetingspunten van tuien en ligger
lager komen te liggen dan de ontmoeting van ligger en pyloon (fig.9.U.2.03).
In deze situatie is het uitgebogen tuivlak dan ook niet meer nauwkeurig
een plat vlak, maar bij vervanging door een "gemiddeld" plat vlak is de
fout verwaarloosbaar klein.
9.U.2.1.2
b. Met harptuien
In de uitgebogen stand van de pyloon zijn alle tuikrachten van de
respectievelijke aansluitpunten in de pyloon gericht naar de aansluit-
punten in de ligger (fig, 9-U,2.0U).
Ten aanzien van de invloed van de plaats van het scharnier op de
stabiliteit geldt hetzelfde als bij waaiertuien.
De pyloon blijft echter niet recht (in tegenstelling met het voorgaande);
hij kromt in de richting van de kortste tuien. Theoretisch zou een
zeer kort stel tuien, zeer dicht bij de pyloon, de uitwijking daar ter
plaatse (vrijwel) geheel belemmeren. Eveneens theoretisch, zullen bij
een oneindig buigstijve pyloon de tuien ongelijke horizontale krachten
uitoefenen, d.w.z. de bovenste zullen kleinere horizontale krachten
uitoefenen dan de onderste, omdat ze (relatief) minder hoeven te rekken.
Alleen als de pyloon om het snijpunt van ligger en pyloon scharniert,
zijn de horizontale krachten gelijk - en ook de vertikale - en blijft
de pyloon recht (maar hij is wel labiel).
De horizontale krachten, die bij een bepaalde uitwijking 6. van de
pyloontop door de tuien op de pyloon worden uitgeoefend, kunnen door
het opstellen van compatibiliteitsvergelijkingen worden berekend;
hieruit volgt tevens de uitgebogen vorm van de pyloon.
De stabiliteitsberekening geschiedt het beste door de pyloon in moten
te verdelen, bijv. gelijk aan de afstand van de tuiaansluitingen, en
daarop zowel het eigen gewicht als de vertikale resultanten van de
tuikrachten te laten aangrijpen; verder natuurlijk de horizontale
resultanten van de tuikrachten en windkrachten in de ongunstigste
richting (d.w.z. zodat de doorbuiging wordt vergroot).
9.U.2.2.1
9.U.2,2
De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon
De pyloon kan gedeeltelijk zijn ingeklemd in de brugligger, in de pijler
of in de fundering (fig. 9.^.2.2.1).
Zoals hierna ook zal worden aangetoond is hier wel een stabiele pyloon
mogelijk als het inklemmingspunt van de pyloon in de onderbouw op gelijke
hoogte ligt met de lijn door de tuiaansluitingen met de ligger (of zelfs
hoger), hoewel een lager punt gunstiger is.
In tegenstelling met het vorige geval blijft de pyloon bij een zijdelingse
uitwijking niet recht, maar neemt hij een gebogen vorm aan (fig.9.U.2.3 • 1) .
De berekening wordt vereenvoudigd als de verbinding van de pyloon met de
ligger of de onderbouw als volledig ingeklemd mag worden beschouwd.
Is bij een in de ligger ingeklemde pyloon de ligger ter plaatse van een
brede, zware dwarsdrager voorzien, die op een zware, even brede pijler is
opgelegd (fig.9.U.2.2.2), dan is de inklemming bijna volledig (zelfs
als de dwarsdrager door tussenkomst van oplegmateriaal - staal of rubber -
op de pijler rust). Het kan echter geen kwaad altijd met een zekere veer
constante van de onderbouw te rekenen; zoveel moeilijker wordt de
berekening er niet door (zie ook hierna).
De in de ligger ingeklemde pyloon is toegepast bj.j de Pont de Brotonne f 33U 1.
Vaak zal het ook zo zijn dat de pyloon door de brugligger steekt en
eronder één geheel vormt met de pijler, waarop de brugligger daar ter
plaatse rust (fig.9-U.2.2.3).Dit betekent in de regel een aanzienlijke
vergroting van de doorsnede, maar veel minder van het traagheidsmoment,
omdat de pyloonafmeting in de lengterichting van de brug vaak veel
groter (moet) zijn dan de pijlerafmeting in die richting.
Bij een ligger, die ook nabij de pyloon aan tuien is opgehangen, is geen
oplegging op een pijler nodig, en kan de pyloon rechtstreeks doorlopen
naar de fundering (met een aan het krachtsverloop aangepaste vorm, bijv.
volgens fig.9.U.2.2.U).
De pijlers onder de brug kunnen soms een aanzienlijke hoogte hebben,
vooral als het gaat om bruggen voor de zeescheepvaart (vergelijk Pont
de Brotonne, met een pijlerhoogte van meer dan 50 m).
Het inklemmingspunt van een pyloon in een even dikke, maar bredere pijler
moet op een voldoende afstand onder de ontmoeting van beide worden gekozen
(fig.9 .U .2 .2 . 5 ),-omdat op de plaats van de ontmoeting de volle pijler
stijfheid nog bij lange na niet in rekening mag worden gebracht. Beter
zou het zijn te rekenen met een verlopende stijfheid, bijv. onder U5 .
9.U.2.2.2
Met de elementenmethode zal zeker een meer verantwoorde benadering
mogelijk zijn.
Als bij grote stijfheid van de onderbouw uit de benadering als volledige
inklemming een grote knikveiligheid volgt, dan is verdere controle in
de regel niet nodig. Is de uitkomst twijfelachtig, dan moet een nauw
keuriger berekening uitwijzen in hoeverre de veiligheid tegen instabili
teit gewaarborgd is.
In het hierna volgende wordt het algemene geval behandeld van een verend
in de onderbouw (of fundering) ingeklemde pyloon met lengte 1, die een
hoogte h$l boven de ligger uitsteekt.
9.U.2.3.1 9.U.2.3.
De ingeklemde pyloon, waarbij de normaalkracht in uitgebogen stand naar
een vast punt is gericht (fig. 9.U.2.3.I)
Dit is het geval bij een pyloon met waaiertuien, waarvan de bevestiging
in de ligger bij uitbuiging van de pyloon in horizontale zin op zijn plaats
blijft. Theoretisch is dit alleen het geval bij een horizontaal oneindig
buigstijve ligger, maar praktisch kam de horizontale uitbuiging van de
ligger vrijwel altijd verwaarloosd worden, behalve bij smalle tuibruggen
met een scharnier of inhangligger in het midden.
Hieronder wordt de afleiding zonder commentaar gegeven.
M = - Ely" = - N{ö(l-x/h) - y} x N __ _ N ./, Xv ... .2 y" + y = lï<5(T-f) Met a =N/EI:
2 2 y" + a y = a ö(l-x/h) Oplossing:
y = C sinax + C cosax + 6 (l-x/h).
x = 0-+y=6= 0 + 6 ^ 0 = 0
y = O sinax + & (l-x/h) y' = aC cosa x -6/h
^ • ^ X '51 n - -6 + 51/h x = l^y = 0 = C.sma + 6 - -7- C, = —. :;
•' ^ h l sinal
X = l^y' = O = aC cosal -6/h = aöcotgal (TT -l) -6/h
.cotgal = f, , . -»• tgal = a(l-h) = al (I - — ) . a(l-h) 1
Deze transcendente functie is in fig,9.U.2.3.2 voor verschillende waarden
van de verhouding h/l weergegeven. Enige grensgevallen:
h/l = 0: tgal = al ->• al = U,U9 ->N =-^2fr^El/l2 ? ?
h/l = 1 : tgal = 0 -^al = T T - , N = TT EI/1 9 •?
h/l =cQ: tgal = -</3^ al = T:/2->N, = 0,25TT EI/1
Het geval h/l = O is de van boven vastgehouden pyloon; voor h/l < 1 is N gericht
naar een punt links van de pyloonvoet (fig.9.U.2.3.1 ); voor h/l = 1 is N naar
de pyloonvoet gericht, terwijl voor h/l =co N vertikaal staat.
Ook voor de ingeklemde pyloon wordt een grotere kniklast verkregen als
het inklemmingspunt onder het vaste punt ligt waarnaar de tuikrachten
zijn gericht.
9.U.2.3.2
Met verende inklemming aan de voet van de pyloon (fig.9.U.2.3.3):
y" + a^y = a^ ó (l-x/h) y = O sinax + C cosax + ö (l-x/h)
X = O ->y =6= C^ + 6^ C^ = O
y = 0 sinax +6 (1-x/h) 1
= l^y = O
= l^y' = i
y = aC cosax - ö/h
0 sinal +S- % C= -J— i ^ - ^) 1 h 1 s m 1 h JL k„
f ^ (1-1/h) = a6(^ - 1) cotgal - Ö/h. k n
a (l-h) cotgal = 1 + (1-h)
- - t^- .J - ^ 1 ^ -. . t , . l - ^( l_h) ' 1,^^ -
ak ( l -h ) +- , i -r i "1
t g a l - p k^ + a EI ( l - h )
k^ + a EI ( l - h )
ak^ ( l - h )
a l ( 1 - h / l )
1 . ( a l ) 2 EI .^1-^) "" 1
a l ( 1 - h / l )
1 + p ( a l ) 2
EI (l-h) met p = —
ka
Voor k^ =00 wordt p = O en gaat de formule over in tgal = al (1-h/l), de
formule van de volledig ingeklemde pyloon.
Voor 1 = h wordt p eveneens O en gaat de formule over in tgal = O; 2 , 2
al = TT; N, = TT EI/1 . Dus bij verende mklemmmg is de kniklast voor 1 = h
dezelfde als bij volledige inklemming.
2_ , ? Voor k., = O wordt p =C0 en is weer tgal = 0; al = TT ; N, = TT ÜI/I .
Dus bij een voetscharnier is de kniklast die van de aan beide einden
scharnierend vastgehouden staaf, mits 1> h.
2 Voor h/l >1 wordt tgal negatief (mits p (al ) < l), d.w.z. al <Tr.
k^ ak„ Voor h/l=oo is N vertikaal en tgal =
2 a EJ
N of
N = ak cotgal = al.cotgal.
Er is afgezien van het tekenen van grafieken voor deze gevallen.
Voor zover nodig is het vrij eenvoudig te doen aan de hand van het
bovenstaande.
9.U.2.U.I
9.U.2.U
De portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan de voet (fig.9.U.2.U,1
De tuivlakken vallen samen met de stijlen; de tuien zijn waaiertuien,
De stijlen zijn ter hoogte van A in de fundering ingklemd; AB = 1,
Het brugdek bevindt zich ter hoogte van 0; CB = h. Het is in dwarsrichting
zeer stijf, zodat O niet horizontaal verplaatst,
De stijlen zijn gelijk belast en zullen dus gelijktijdig uitknikken,
De normaalkracht en de dwarskracht in de regel zijn nul op het moment van
uitknikken. Voor de bepaling van de kniklast kan daarom het uiteinde van
de stijl AB als verend ingeklemd worden beschouwd met een veerstijfheid 6EIJ.
r
Geef aan B een horizontale uitwijking 6{6 << h)
De tuivlakken blijven in het vlak door B en C, dus de kracht N is gericht
volgens BC. De afstand a is: a = • Q'^ I" (l-h) Vl + (h/5)^ ^
Het moment in B is ML = k_.^
Het moment in A is M = NL - Na = k .J ^ - N6 ^ .
M^ = - Ely" = N (y - 6 ) + M^ M
V + — V - 6 — — + — = O Met a = — : y EI • EI h EI iicu a g^.
M -' 2 2. X _ 2 ''A _ , y + a y - a d - + a ~f"=0
De onlossing hiervan is: ,, M, X A y = C sinax + C cosax + 6— - -^
Randvoorwaarden:
x = 0 j = o = c^ - M^/N ^Cg = M^/N 5 ^ . 6 .. 6 y = O = aC. cosax - aC_ sinax + 7 = aC, + 7 -.> C, = -•' 1 2 h 1 h 1 ah
M, M„ TI- .;,4- ó . , A .fX A Hiermee wordt: y = - —r smax + —r cosax + 6— - -r-ah N h N
, 5 « A . 6 y = - — cosax - —r— smax + — • h N h X « M, . M„ „ ao . A a6 . A y = —;— sinax - — - — cosax = -— smax - 777 cosax
•' h N h EI 5 M^ 1 M^
x = l y = 5 = - — smal + — cosal + 5- - —
^^ cosal -1) + - (1 - h - ) = 0 1) N h a
9.U.2.U.2
'aM. X = 1 y = - - = - - ^ ^ = - Sinal - - cosal
I 'S -, A , _ 6 3 = B = - h '°"^^ - ^r =°=" "- h
6 5 "^A 6 EI — sinal - M, cosal = - k_.< „ = k„ — cosal + k„ — n — sinal - k_ — n A B ' B B h B N B h
M — (ak^sinal + a Elcosal) + - (k cosal - k - Elasinal) = O (2),
De vergelijkingen (l) en (2) hebben alleen een van O verschillende
oplossing als de determinant O is:
(1 - cosal) +(k^cosal - k - Elasinal)+ (l-h - —) (ak sinal + a Elcosal)= O
Uitgewerkt levert dit:
B _ alsinal -p(al) cosal ^ l-h , h — *—— met X) — = 1 — — EI pal3inal + 2 cosal - 2 " 1 1'
De waarde —;rr is voor enige waarden van p (0.s:p^ l) uitgezet in fig.9.U.2.U.2
als f'unctie van al.
TT E-T
Voor k_ = O en p = O (l=h) is al =Tr en N, = — ,
Dit is het portaal met scharnierende bovenregel, waarbij de richting van de
kracht N naar de voet van de stijl is gericht (zie ook 9.U.2.3). 2
Voor k _ = 0 e n p = 1 (h = 0 ) i s a l c 5 U , 5 e n N «; •^ .
Dit is het portaal met scharnierende bovenregel, waarbij het scharnier niet
horizontaal kan verplaatsen (het brugdek daar ter plaatse belet dit ;
dit is dus een vrij hypothetisch gevall). 2
U TT E-I Voor k =«o is al = 2Tr voor alle waarden van p; N = 5—,
Dit is het portaaJ. met oneindig buigstijve bovenregel, die voor p = 1
bovendien niet kan verplaatsen. Voor p = O verplaatst de bovenregel wel. In
beide gevallen is de kniklengte inderdaad ll (fig. 9.U.2.U.3).
Bij gelijke 1 neemt de kniklast toe bij toenemende p, c.q. afnemende h;
het zijdelings uitwijken van de bovenregel wordt in toenemende mate belet.
Negatieve waarden van k^l/EI komen niet in aanmerking. SEIj-lü lü
Een grote waarde van k„l /EI = —rr ^ -^ wordt bereikt voor grote I of ^ B p p E I l ' ^ r P r _ k le ine 1 (voor vaste waarden van EI en 1 ) ; hierdoor neemt de k n i k l a s t t o e .
r P P
9.U.2.5.1
9.U.2.5.
De portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming aan de voet (fig.9-U.2.5•1)
De differentiaalvergelijking hiervan is geheel identiek aan die van de
pyloon met volledige voetinklemming (zie 9-U-2.U), alleen de randvoorwaarde
bij A verschilt. De oplossing van de differentiaalvergelijking is: X M^
y = O, sinax + C^cosax + 6 7- - —rr •' ^ 2 h N
Randvoorwaarden:
X = O (in A) 1) y^ = O = C^ - M^/N ^ C^ = M^/N (zelfde)
Nu is echter niet 2) y' = 0 , maar y' = -'P = - M /k = aC + —
1 a ^k h^ X M„ M„ M„
H i e r m e e w o r d t : y = ( - —r - —r ) s m a x . + - r r c o s a x + 0 — - -— • a h a k N- h N
M, M„ -' , 5 As A . _ 5
y = ( - - - — ) c o s a x - —^ s m a x + -A
M a M y = (-— + ——) s m a x - —-— c o s a x
n K.. IM
A l; M M M
x = l ( i n B ) 1) y ^ = 6 = ( - - - ^ ^ ) s i n a l . - ^ c o s a l . 6 ^ - ^
M» ^ T X • 1 A , ^ , a t l . ^ , , ö ,^ , s m a l , „ , , ,
—r ( c o s a l - 1 - s m a l ) + — ( l - h - ) = 0 ( 1 ) N k h a
P^ • . ^ , 6 ^A . , «^A . , 6
A
Met M^ = M„ + Na = M„ + N6 ^ ^ en N = a ^ E I w o r d t d i t l - h ,, 2 ,
. ^ , ^ _ ^.^ + IM n - - J.T
A A
M N 5 - M aM . ^ t - - ( l - h ) M - - ^ ) c o s a l . ^ s i n a l - f = O
M, 2 ^ ^ 2 ^ ^ . 2^_ A , a E I , g E I , ^ . - , \ _ ^ ó - , _ ^ , ^ a E I /. ,^< r, / o ^
r— (—; + — c o s a l + a s m a l ) + 7 - ^ - 1 + c o s a l + — • ( l - h = O ( 2 ) N kg k^ h . ^B '
Voor een reële oplossing moet de determinant van (I) en (2) nul zijn.
Uitgewerkt levert dit:
K^ 2 k,l TTT; (pal cosal - sinal) - p (al) sinal , , A _ EI - (3)
E I
E I »• a l ^ • ^ ƒ2 ( 1 - c o s a l ) • A / • n -, . N •^rf~ \ 7 - P s m a l j + ( s m a l - p a l c o s a l )
9 ' .U ,2 .5 .2
Deze v e r g e l i j k i n g (3) kan worden u i t g e z e t a l s f u n c t i e van a l voor k „ i 6 E I , T h
B r 1 ^ - n v e r s c h i l l e n d e waarden van r~r- = • • . — en p = ,
El El o 1
Voor k, = °° (volledige inklemming bij A) moet de noemer O zijn A
(de teller kan niet =0 worden.'); d.w.z.
k 1 B sinal - palcosal
EI . , 2 cosa - 2 psinal +
al
Dit is de vergelijking uit 9.U.2.U. Dit klopt dus,
Voor k. = O (scharnier in A) moet de teller O zijn (de noemer kan A
aJ-leen maar » worden voor al = O en dit is geen reële oplossing).
3 _ p(al) sinal p(al) EI palcosal - sinal palcotgal - 1
EI k 1 a l t g a l p ( a l ) ' ^
' M 2 V 1 ^^'B-^ a l t g a l = ^^" ;^ - ;3^ t g a l = a l ^ ^ - 7 — - r ^ - — — r
E l p ( a l ) ' ^ + k g l S l p ( a l j + i g i
k g l Voor p = 1 : t g a l = a l :^,— x^ (h=0; p o r t a a l i n 3 v a s t g e h o u d e n ) ,
j _ i j . ^ (Jt-L / "^ c,.-r^-i.
Voor k = ^ wordt d i t : t g a l = + a l , de k n i k l a s t van de i n 3 ingek lemde , . . 2Tr^EI - \
i n A s c h a r n i e r e n d b e v e s t i g d e k n i k s t a a f ; N ~ —-rf ( f i g . 9 -U.2 , 5 , 2 - a / . k 1
TT^EI Voor k_ = 0: t g a l = 0 - a l = O, TT , 2Tr, enz , N, • = —7-7— ,
B 5 ) 5 k m m 1^ de k n i k l a s t van de i n 3 en A s c h a r n i e r e n d b e v e s t i g d e k n i k s t a a f ; f i g . 9 . U . 2 . 5 . 2 - b
kBl Voor p = 0: t g a l - a l gj((^^)2V"k l / p = O ^ a l = O, TT, 2Tr, enz .
TT^EI N, . = ^ '>• . De stijlen knikken uit, maar de bovenregel blijft recht; kmm 1" ' o o 5
de krachten blijven naar het punt A gericht; fig. 9.U.2.5.2-C.
9.U.2.5.3
In fig.9.U.2.5.3 is de kniklast aangegeven voor een scharnierend portaal
met p = O (scharnieren ter hoogte van het brugdek), voor het geval dat
de kniklast N vertikaal blijft.
In tegenstelling tot het geval, waarbij N, naar het voetscharnier gericht p ^
TT T?T . . b l i j f t (waarbij N, - = —7~~i , i s h i e r N, wel afhankel i jk van de
kmm •j_2 __ _ k El^.b verhoud ing van s t i j l - en r e g e l s t i j f h e i d ( ^„%.—;—) . De g r o o t s t e waarde
TT*- EI - r i s :r— en wordt b e r e i k t voor c o t g ah = O, dus ah = Tr/2. Di t b e t e k e n t
Uh^ I = <- , dus een oneindig stijve bovenregel.
Deze knikbelasting is echter nog een factor U kleiner dan de constante
waarde van de knikbelasting N , als N naar het voetscharnier gericht
blijft. Deze waarde is theoretisch onafhankelijk van de uitbuiging van
het portaal. In werkelijkheid zal de beperkte vervormbaarheid van de regel
grenzen stellen aan de uitwijking van het portaal, zonder dat in de
stijlen de kniklast bereikt behoefte te worden.
9-U.3.01
9.U.3
Sterkteberekening van de pyloon
Behalve op stabiliteit moet de pyloon van een tuibrug ook worden gecontro
leerd op sterkte. Hierbij zijn afmetingen, wapening, beton- en staal-
kwaliteit bekend.
Daarbij wordt nagegaan of de spanningen in de pyloon tengevolge van de
(met zekere factoren vergrote) karakteristieke belastingen beneden de
(met andere factoren gereduceerde) karakteristieke materiaalsterkten
blijven, en of de hierdoor veroorzaakte vervormingen begrensd of onbegrensd
zijn (onder 2e en hogere orde-effecten).
Volgens de TO 197U moeten hiervoor alle karakteristieke belastingen - of
hun belastingeffecten - met eenzelfde factor 1,7 worden vermenigvuldigd,
terwijl de karakteristieke sterkten niet worden gereduceerd (hoewel voor
druk met geringe excentriciteit een lagere waarde voor de betonsterkte
moet worden ingevoerd dan voor zuivere buiging of druk met grote excentriciteit;
zulks in verband met de mate van herverdeling van spanningen over de
doorsnede).
Volgens de CEB-FIP Model Code 1978 worden de karakteristieke belastingen
in principe met verschillende factoren vermenigvuldigd (soms ook gereduceerd),
die afhangen van de kans op het optreden van een hogere (of lagere) belasting,
en van de spreiding, terwijl de karakteristieke materiaalsterkten worden
gereduceerd met in principe eveneens verschillende factoren, die ook
weer rekening houden met de kans op een kleinere sterkte.
Uiteindelijk moet worden aangetoond dat het effect van de met verschillende
factoren y vergrote karakteristieke belastingen Q (uitgedrukt in M, q ic
N, T, M of hun spanningen) kleiner is dan de met verschillende factoren y
gereduceerde karakteristieke materiaalsterkten S :
ri
q k ^ k m
Voor meer informatie over deze veiligheidsbenadering wordt verwezen naar de aangehaalde CEB-FIP Model Code 1978 en naar hoofdstuk 12 van de Handleiding Betonnen Bruggen van schrijver dezes.
Bij de berekening van een pyloon moet niet alleen rekening worden gehouden
met de berekende krachtsverdeling tengevolge van de uitwendige belastingen
(eigen gewicht, verkeersbelasting, wind, e.d.), maar ook met de mogelijk
heid van ongelijkheid van de gewichten van de ligger ter weerszijden van
de pyloon bij theoretisch gelijke doorsnedeafmetingen en volumegewichten);
verder met krachten tengevolge van onvolkomenheden in de vormgeving tijdens
de uitvoering (niet vertikaal; toevallige excentriciteit van een tui
aansluiting, e.d.), maar ook met krachten tengevolge van vervormingen door
temperatuur, kruip en krimp (van ligger, tuien en pyloon); zie ook 5-2 t/m 5.4.
9.U.3.02
Ongelijkheid in de gewichten van de ligger ter weerszijden van de pyloon
kan bijv. een gevolg zijn van een kleine afwijking in de afzonderlijke
bekistingen, verschillende stortploegen aan weerszijden (ongelijke ver
dichting, afwerking, o.d.), ongelijke uitdroging (ene deel in de volle
wind, andere deel in de luwte van een bebouwing, bos, o.d.), e.d. Hiervoor V 3
zou een verschil van 2 a 3% kunnen worden aangehouden (0,5 a 0,75 kN/m ).
Voor uit het lood staan van de pyloon wordt wel een maat van 0,001 van
de pyloonhoogte aangehouden (d.i. 0,1 m op een hoogte van 100 m). Eenzelfde
maat wordt wel aangehouden voor de pijl van een eventuele kromming op
halve hoogte (maar niet beide tegelijk).
Voor de excentriciteit van een tuiaansluiting ten opzichte van het hart
van de pyloon is 0,01 m een aanvaardbare maat, maar het is onjuist bij veel 1 )
tuiaansluitingen alle afwijkingen naar één zijde te rekenen .
De temperatuurvervormingen door zonsbestraling kunnen worden berekend,
(zie A.07 en A.08). Daarbij moet er wel mee worden gerekend dat de dagelijkse
temperatuurvariaties maar zeer ondiep in het - vaak vele m dikke - beton
van de pyloon doordringen (enige dm), maar dat in een warme zomer het effect
aan de zonzijde op de duur veel groter kan zijn. Tot veel meer dan het
effect van een rechtlijnig temperatuurverval van U è 5 C zal men zelden
komen bij een enige m dikke pyloon (zie ook A.07 en A.08). Naarmate de
pyloonafmetingen kleiner worden, wordt het temperatuurverval groter en
daarmee de temperatuurvervorming van de pyloon.
1) In de V.B. 197U, art. E-30U.1.6 wordt gesteld dat maatafwijkingen ten
gevolge van bouwfouten alleen in rekening behoeven te worden gebracht
als de afwijking groter is dan Qyi (in mm; 1 in m) .
Gezien de grote krachten en afmetingen waar het bij tuibruggen om gaat,
lijkt het verstandig bij de stabiliteitsberekening tenminste deze afwijking
als excentriciteit in rekening te brengen (zie ook 9.U.3.6).
9.U.3.1.1
9.U.3.T
Principe van de berekening van een pyloon met variabele doorsnede en wapening
Dit wordt toegelicht aan de hand van het vereenvoudigde voorbeeld van fig,
9,U.3,1,1, De pyloon is onder volledig ingeklemd en boven vrij. De breedte
h varieert rechtlijnig met de pyloonhoogte; de dikte b is constant.
Op de pyloontop werken een normaalkracht N met excentriciteit e en een
horizontale kracht H.
De pyloon wordt nu verdeeld in een aantal moten van gelijke (of ongelijke)
lengte 1 t/m 1_, elk met een breedte h t/m h gelijk aan de gemiddelde
mootbreedte. Het eigen gewicht grijpt op halve hoogte van de moten aan.
Verondersteld wordt dat de doorsnede en de wapening overal bekend zijn,
alsmede-de materiaaleigenschappen (a- e-diagrammen voor beton en staal),
zodat voor elke doorsnede M-N-K-diagrammen kunnen worden getekend.
Het heeft zin bij het hierna volgende gebruik te maken van de volgende
dimensieloze grootheden (fig. 9 .U.3.1 .2) 331__ : N
- de relatieve normaalkracht u = r Tti ; c
- de excentriciteitsfactor e = e/h; waarbij e = M/N;
- de krommingsfactor Kh = h/R.
In deze figuur zijn krommen uitgezet voor verschillende waarden van u
(van 1,0 tot 0,075), als functie vaneen h/R. Verder is de grafiek opgezet 2 - s s 2
voor a = UOO N/mm enü = -, , =0,2. Dit laatste komt voor <J = UOO N/mm s bhf s
p ^ DO
en f = 2 0 N/mm neer op een wapeningspercentage w = -r-f— . 100 = ^%, of aan
weerszijden 0,5^.
Langs de krommen is N, c.q. u , constant. De afstand van de symmetrische
wapeningen is 0,8 h.
De a-e-diagrammen voor beton en staal zijn eveneens aangegeven in fig. 9.U.3.1.1-
Het o- E-diagram van beton is dat van de CEB-FIP Model Code 1978 (parabool
rechthoek) .
De waarden van de kracht- en doorsnedegrootheden van de moten 1 t/m 3 zijn
aa.ngegeven in tabel I (zie volgende bladzijde).
Met de aldus berekende waarden van uen e kunnen uit fig.9.U.3.1.2 de waarden
h/R worden afgelezen, waaruit de kromtestralen R. t/m R van de moten
kunnen worden berekend.
Tabel I
9.U.3.1.2
normaalkrachten N
relatieve N
momenten
excentriciteiten
excentr. factoren
moot 1
"l
^
"l
1
1 = N / b h ^ f ;
= Ne +E.ll^ o 1
= M^N^
= e/h^
moot 2
^2
2 = 2/^^2<
M^ = Ne^ + H (1 + 1^)
'2 = ^2/^2
^2 = 2/''2
moot 3
^3
M3
"3
= 3
'5 ' = N3/bh3f^
= Ne^+H(l + l2+5l3
= M3/N3
= 3 / ^
Met de veronderstelling dat deze kromtestralen over de lengte van een moot
constant zijn, kunnen de verschillende cirkelsegmenten op elkaar worden
aangesloten en kunnen de uitwijkingen F aan de top van elke moot worden
bepaald, alsmede de uitwijkingen in het hart van elke moot.
De bepaling hiervan wordt op de volgende bladzijden uiteengezet.
Soortgelijke M-N-K-diagrammen als in fig.9.U.3.1.2 kiinnen worden opgezet
voor andere waarden vanü3(f en f ) , voor een andere afstand van de wapening
dan 0,8h, voor een andere verdeling van de wapening over de doorsnede, voor
andere doorsnedevormen en voor andere a-e-relaties voor beton en staal.
Het zal duidelijk zijn dat de M-N-<-relaties van een bepaalde doorsnede
ook op andere wijze kunnen worden weergegeven (zie o.a. 10.3.3 en CUR-rapport 77]
1) Omdat het voor elke moot om gemiddelde krommingen en kromtestralen gaat,
worden deze berekend uit het moment op halve hoogte van de moot.
9 . U. 3. 2.1
9.U.3-2
De initiële uitbuiging van een staaf met variërende stijfheid
De staaf met variërende stijfheid wordt verdeeld in n moten, waarvan de
stijfheid over de mootlengte constant wordt verondersteld en gelijk wordt
genomen aan de gemiddelde stijfheid van de moot (bijv. de stijfheid op
halve hoogte).
In het voorbeeld van fig.9.U.3.2.1 is de staaf verdeeld in n = 3 moten
met lengten 1 , 1 en 1_ en met stijfheden EI , EI en EI .
Het geheel buigt uit onder invloed van een horizontale kracht H en een
normaalkracht N met een excentriciteit e , beide aan de top.
o
Als de afmetingen en wapening van de verschillende doorsneden bekend
zijn, is het mogelijk hiervoor M-N-K -diagrammen te tekenen voor ver-
scïiillende verhoudingen M/N = e (excentriciteit), bijv. voor constante N.
De diagrammen kunnen dimensieloos worden gemaakt door de excentriciteit
te delen door de hoogte van de doorsnede (e = e/h), de kromming — te
vermenigvuldigen met de hoogte van de doorsnede (—) en de normaalkracht N
te delen door het produkt van doorsnedeoppervlakte (bxh) en de beton
sterkte f' :u = •c •" bhf' • C T l )
Dit is gedaan in fig. 9-U-3 - 1 - 2 (uit litt. [331j ) .
Omdat we dus beschikken over M-N-krommingsdiagrammen, gaat het erom de
uitbuigingen F ter plaatse van de overgangen in stijfheid uit te drukken
in de krommingen —. (fig.9.U.3.2.1). n
Daarbij is verondersteld dat de lengte van de moten zodanig is dat de
eigen kromming over die lengte kan worden verwaarloosd, en dat de krommingen
worden geconcentreerd in de mootovergangen als hoekverdraaiingen. Zo is
bijv. de kromming van het deel 1 geconcentreerd in de voet van dit deel 1 ll . 1 lp 1 ^3
m de vorm van de hoeky= 2a.| = r^. Evenzo is ^ = ga = -^ ; a? = ja = —
Voor n moten wordt ^ = la = 777 / n n 2R .
n
De uitbuigingen f aan het einde van elke moot worden:o 1,2 1^2 1 2 1 2
1 = iÏÏ ' 2 = 2R^ = S = • ^°°'' ^ " '' ^^ ^ 2 ^ •
1) Zie ook fig.2U uit CUR-Rapport 77-
9-U.3.2.2
Hiermee worden de uitbuigingen 6 (ten opzichte van de vertikaal dus): 6 = f =i3l 3 3 2R3
^2^ ^-^ V 3 6 = f + < / ' l +03 ( 1 + l ) = f + f + 2 « ? 1 = ^^— + -^— + ' 2 2 / 3 2 /3 ^ 3 2^ 2 3 ' 3 2 2R2 2R R
6 = f + (fi ± +'P [1 + 1 ) + (fi ( 1 + 1 ) +(^ ( 1 + 1 + 1 ) 1 1 '^2 1 12 ^2 r / 3 2 r /3 3 2 r
l 2 i 2 1 2 ^ 1 j^2 . 1 1 1 P ^ 1 P 1 T P X
= f + f + f + 2 ü ! » l + 2 C 0 ( 1 + 1 „ ) = 777— + - ^ - + 77^ + + —^^- + " ^ 1 2 3 ^ 2 1 r3 ' 1 2^ 2R^ 2R2 2R R^ R R
Met n moten:
'1 = 1 1 ^^2^1 V2^1l"^2^ ^3(11^12) T3 ^ ^ 1 " V l 3 ^ ^ ... ^Y u + l ,+ . . .+ l / n 1 2 n -
' 1 = ^ 1 ^ 1 ^ ^ 2 ^ 2 1 i - l 2 ) - ^ 3 ( 2 1 , - 2 I 2 + I 3 ) + t ^^ (21^ + 2 l 2 . . . . + 2 1 ^ _ ^ + l
= f + f + - . . - f, + 2f^l^ t 2^3 (1^ t I g ) t . . . t 2^0^ (1^ t 1^ . . . , + 1^_^)
De uitbuiging in een pTint tussen twee "knopen" kan worden verkregen door
rechtlijnige interpolatie; zo is bijv. op halve hoogte van 1 de uitbuiging 2
Bij moten van niet te grote lengte (tot ca. 5 maal de 5 ^ 02+ ^3 2-3 2
doorsnedehoogte) is dit zonder meer toegestaan.
De eerste-orde momenten kunnen in elk punt op een afstand x van de top
worden bepaald: M = Hx + Ne . X o
Omdat de kromming over de mootlengte constant is aangenomen, moet het maat
gevend moment hierbij worden aangepast. Uit de in fig. 9-U.3.2.2 aangegeven
M-figuur volgt, dat voor de berekening van deze krommingen het beste het
moment halverwege de hoogte kan worden gekozen. Bij grote variatie in M over
de mootlengte kan deze lengte kleiner worden gekozen.
Ook het eigen gewicht kan zo per moot worden ingevoerd, als geconcentreerde
last, werkend op halve hoogte van de moot. Voor de eerste-orde momenten
heeft het nog geen betekenis (tenzij scheefstand wordt aangenomen), maar
voor de tweede- en hogere- ordemomenten levert het eigen gewicht ook zijn
bijdrage.
Opmerking: Het bovenstaande is niet anders dan de differentiemethode, o.a.
beschreven in CUR-rapport 77.
Verdeling in 3 a U delen is doorgaans voldoende nauwkeurig,
maar bij computerberekeningen is verdeling in een groter aantal
delen m.ogelijk.
9.U.3.3.1
9.U.3.3.
De berekening van tweede- en hogere orde momenten en -vervormingen
Uit de normaalkracht N, de doorsnedeafmetingen b x h en de oetondruksterkte
f' wordt de relatieve normaalkracht u= N/bhf' berekend. c c
Uit het eerste orde moment M_ met bijbehorende N worden de excentriciteit MI . . 1
e = — en de excentriciteitsfactor e = e /h bepaald.
Daarna wordt uit de grafiek vanfig..9 •U.3.1 .2. de bijbehorende waarde van h/R
afgelezen en hieruit de kromming l/R-j. bepaald.
Met de hiervoor op blz. 9.U.3.1.2. ontwikkelde formules kunnen de waarden van
de eerste orde uitbuigingen 5j worden berekend.
Nu moeten met de nieuwe excentriciteiten (e + 'S ) van N de momenten o I
opnieuw worden berekend: M =Hx + N(e +6-^); hieruit worden weer e en e^T bepaald en via de grafiek weer de kromming :r— en zo de tweede
^^. . . ^11 orde uitouigmgen ó--j.; enz.
Uit het vrij snel afnemen van de aangroeiingen A 5 van de tweede en hogere
orde uitbuigingen kan worden geconcludeerd dat de constructie stabiel is.
Een snelle toeneming van de uitbuiging wijst op instabiliteit, terwijl
een weifelend gedrag aangeeft dat het gevaar voor instabiliteit groot is;
zo'n gedrag is zeker niet toelaatbaar.
De snelheid van afnemen van de uitbuiging is een maat voor de veiligheid 2
tegen instabiliteit (vergelijk de reeks 1, 1/n, 1/n bij lineair
elastisch gedrag, die leidt tot een verhouding — tussen de werkelijke
belasting en de kniklast).
Aangezien bij de hier beschouwde gewapend betondoorsneden het gedrag in
principe niet lineair-elastisch is (spanningsverdeling, scheTirvorming),
zal de reden van de 1/n-reeks niet constant zijn, en is het vaak nodig
de derde of hogere orde uitbuigingen te bepalen alvorens in staat te
zijn een oordeel te vellen over het wel of niet convergeren van de
uitbuigingsreeks.
Als de doorsnede onder de met Y vergrote belastingen niet gescheurd is -
wat bij pylonen van tuibruggen vrij vaak voorkomt -, is het verloop van
de krommen in het M-N-K-, c.q. e-u- — - diagram (vriJTrf-el) rechtlijnig en
is het gedrag (ten naaste bij) lineair-elastisch (afgezien van het
kruipgedrag), zodat dan de reden van de reeks wel (zo goed als) constant
is en meestal met een tweede orde berekening kan worden volstaan.
9.U.3.3.2
Meestal verkeert de pyloon van een tuibrug niet in de eenvoudige belasting
toestand van fig.9-U- 3-2.1 ; alleen tijdens de bouw wordt deze wel eens
benaderd.
In de definitieve constructie wordt de pyloon aan zijn top - bij harp
tuien ook nog op andere plaatsen - verend vastgehouden door de combinatie
van tuien en brugligger (zie 9.U.1); ook de eventuele inklemming in de
fundering dient als een veer te worden opgevat.
Voor de eerste orde uitbuigingsvorm van de pyloon kan dan worden uitgegaan
van de vorm, die hoort bij de Y-voudig vergrote belastingen (bij elke
soort belasting in principe een andere Y ) , rekening houdend met de veer
stijfheid van de fundering, mogelijke ongelijkheden in eigen gewicht,
excentrisch aangrijpen van de tuibelasting, windbelasting, bouwonnauwkeurig-
heden, temperatuur, krimp en kruip (zie ook 9.U.3.6). De hieruit voort
vloeiende krachtsverdelingen en vervormingen kunnen met de computer worden
berekend (in eerste instantie lineair elastisch gedrag). Voor zover de
krachtsverdeling leidt tot plaatselijke scheurvorming, moet het betreffende
deel van ligger of pyloon met aangepaste stijfheid in de berekening worden
ingevoerd.
Als de pyloon onder de Y-' 'oudige belasting en de met y gereduceerde sterkten
nog stabiel is, kan een idee van de extra beschikbare veiligheid worden
verkregen door de belasting in stappen verder op te voeren, tot bezwijken
of instabiliteit optreedt. Dit zal meestal wel het werken met gescheurde
doorsneden betekenen.
9.U.3.U.1
9.U.3.U
Het in rekening brengen van het eigen gewicht
Het eigen gewicht van een pyloon van een betonnen tuibrug varieert van
enige tientallen procenten van het liggergewicht bij relatief kleine over
spanningen tot meer dan 100^ van het liggergewicht bij zeer grote over
spanningen (fig- 3-1)- Het kan dan ook bij de stabiliteitsberekening
van de pyloon niet worden verwaarloosd.
De kniklast onder alleen eigen gewicht van een ingeklemde, prismatische,
vertikale staaf is Nj = g .1 = 7,83 ~ °^ ST^ = ^ ^^^ 3-
Voor de afleiding van deze formule wordt verwezen naar een boek over
technische mechanica (bijv. Timoshenko: Theory of Elastic Stability).
De kniklast van eenzelfde staaf met alleen belasting aan de top is Tji-T- y-r- —
N, = 0,25 •'f ^ p = 2,U7 -^ , dus ruim 30% van alleen eigen gewicht. k ^d ^d
Onder een combinatie van eigen gewicht en belasting aan de top zal de ET 2
laatste steeds kleiner worden en verminderen tot N, = m ^r (m <: 0,25IT ), TT2EI 1
afhankelijk van de verhouding n = gl: (-—5—) (tabel l).
Tabel I. Waarden van m in N, = m „ k ^2
Ui
EI
2
n
m
0
TT /U
0,25
2 ,28
0,50
2 ,08
0,75
1,91
1,0
1,72
2,0
0,96
3,0
0,15
3,18
0
Het effect van het gelijkmatig verdeelde eigen gewicht gl is dus equivalent
aan dat van een belasting aan de top van 0,315 gl (n = 3,l8 = 7,83: 2,U7).
Dit is een aanvaardbare benadering voor een pyloon met waaiertuien, waar
de rest van de belasting ook in de top aangrijpt.
Het gaat echter niet op voor pylonen met harptuien.
Het is dan ook aangewezen in zo'n geval het eigen gewicht in evenveel delen
te verdelen als er (dubbele) tuiaansluitingen zijn en het ook daar ter
plaatse aan te laten grijpen. Dan kan ook met variërende pyloonafmetingen
en - gewichten rekening worden gehouden.
Gecontroleerd moet dan weer worden of een (aangenomen of berekende) eerste-
orde uitwijking leidt tot begrensde of onbegrensde vervormingen, bijv. op
de wijze zoals beschreven in 9.U.3.3.
Deze methode kan ook worden toegepast voor een pyloon met waaiertuien, als
de benadering van het eigen gewicht door een equivalente belasting aan de
top te onnauwkeurig wordt geacht,
. • 9.U.S.5.1
9.U.3.5.
De niet-prismatische pyloon
In verband met de variatie in krachtswerking (M, N, T) over de hoogte heeft
het zin de doorsnede van de pyloon aan het krachtenverloop aan te passen.
Bij harptuien is een vergroting van de pyloondoorsnede naar beneden logisch
omdat de normaalkracht (tengevolge van ligger- en pyloongewicht) naar
beneden toe voortdurend toeneemt.
Bij waaiertuien zal vergroting van de pyloondoorsnede naar onderen toe meer
het gevolg zijn van het toenemend moment door verkeersbelasting (bij een
zijdige belasting), hoewel ook de toeneming van het eigen gewicht van
betekenis kan zijn, vooral bij grote overspanningen. Het met de hoogte
toenemend moment treedt niet op bij pylonen met een voetscharnier.
Vaak wordt slechts één doorsnede-afmeting naar onderen toe vergroot, soms
beide.
Bij tuibruggen met een centraal tuivlak wordt meestal de afmeting dwars op
de brugas constant gehouden, en zo klein mogelijk, om zo weinig mogelijk
brugbreedte verloren te laten gaan. Bij tuibruggen met twee tuivlakken en
de pylonen buiten de brugdoorsnede geldt deze overweging niet.
Meestal gebeurt variatie van de variabele pyloonafmeting rechtlijnig, zodat
de grootte van de doorsnede op een zekere afstand x van de top (met afmetingen
b en h ) kan worden voorgesteld door A = b.h^ , en het traagheidsmoment
door I =1/12 b.h , met h = h + — (h, - h ); hierin is h, de afmeting h X X X o 1 1 o 1
aan de voet van de pyloon en 1 is de pyloonhoogte.
De berekening van de uitwijking tengevolge van het eerste orde moment kan
het beste gebeuren door gebruik te maken van het gereduceerd momentenvlak, 3 waarbij meestal het kleinste traagheidsmoment I = 1/12bh als referentie
wordt aangehouden. Hieruit kunnen de 2e en hogere orde uitbuigingen worden
berekend. Als deze onbegrensd toenemen is er sprake van instabiliteit;
naderen ze tot een limiet, dan is de snelheid, waarmee deze limiet wordt
bereikt, een maat voor de veiligheid van de constructie tegen instabiliteit
(zie ook 9.U.3.3).
Vanzelfsprekend kan hier ook de methode van 9-U.S. worden toegepast,
waarbij de pyloon in een aantal delen met constante stijfheid wordt verdeeld,
en waarbij rekening kan worden gehouden met geometrisch en physisch niet-
lineair gedrag, In principe is dit voor gewapend betonnen pylonen de beste
methode.
9.U.3.5.2
In Timoshenko: "Theory of Elastic Stability" wordt afgeleid dat de grootte
van de kniklast voor een -"nrijstaande kolom met variërende afmetingen kan 2
worden uitgedrukt door de formule N = mEI^/1 . (1)
Hierin is m een functie van de verhouding I /I , waarbij I het traagheids
moment aan de top, I^ dat aan de voet is. De verhouding tussen 1, en I 2 ° 1 X
wordt aangegeven met n: I = 1 (—) .
X I a
Voor een staaf met lineair toenemende breedte en constante dikte is n = 1.
Hiermee is uit de gegeven tabellen voor de kniklast van deze staaf de
volgende tabel af te leiden: Tabel A. Waarden van m in vgl. (l) voor n = 1
i / i g ! O5I O52 o,u 0 ,6
m 1,62 : 1,75 , 1,97 2 ,15 1 !
0,8
2,32
1,0
2,U7
De laatste waarde (voor I,/lp = 1) is de kniklast voor de prismatische, 2
ingeklemde staaf met een puntlast aan het eind (m = TT /4 = 2,U7).
In het bedoelde boek van Timoshenko staan nog uitdrukkingen voor andere
staafvormen, maar deze komen voor pylonen nauwelijks in aanmerking, vooral
omdat het eigen gewicht in de regel zo'n grote rol speelt.
9.4.3.6.1
"Gebruiksaanwijzing" voor de stabiliteitsberekening van een
tuibrugpyloon
Tuibrugpylonen kunnen over het algemeen niet worden geschematiseerd
en berekend volgens de VB 1974, art. E-304. De randvoorwaarden
verschillen vaak aanzienlijk (verend vastgehouden op één of meer
hoogten); ook variëren de afmetingen en de wapening doorgaans over
de hoogte. Daarom zal meestal een volledige stabiliteitsberekening
nodig zijn, waarbij de vervormingen door eerste- en tweede-orde
effecten een grote rol spelen en derhalve nauwkeurig moeten worden
berekend onder inachtneming van geometrische en physische niet-
lineaire effecten (tweede-orde vervormingen; gescheurde doorsnede;
niet-lineaire a-e-diagrammen van beton en staal).
Ter verduidelijking worden daarom de voorgaande beschouwingen samen
gevat in een soort "recept" voor de stabiliteitsberekening van een
tuibrugpyloon.
Uitgangspunt is de krachtsverdeling in de lineair-elastische,
ongescheurde, ongewapende constructie, belast met karakteristieke
belastingen. Van deze constructie zijn de afmetingen en stijfheden
zo goed mogelijk voorlopig geschat, bijv. met behulp van de globale
methode, beschreven in 3.1. Hieruit kunnen ook de horizontale
veerstijfheden worden bepaald waarmee de pyloon op diverse hoogten
door de tuien wordt vastgehouden (zie o.a. fig.9.4.1.03). Verder
moet de veerstijfheid van de fundering worden bepaald (eventueel
tussen grenzen).
Eerst wordt het "recept" gegeven voor een pyloon met waaiertuien,
waarbij dus een groot deel van de belasting in de top aangrijpt.
Daar de pyloontop door middel van de tuien verend wordt vastgehouden,
zal de pyloon kunnen vervormen zoals in fig.9.4.3.6.1. en 9.4.3.5.2
is aangegeven. Zoals in 9.4.1.1 en 9.4.1.2 is aangetoond, hoort de
eerste uitbuigingsvorm meer bij relatief slappe tuien, de tweede
meer bij zeer stijve tuien. Dit wordt nader toegelicht in bijlage
B-9.4.3.6-II.
9.4.3.6.2
Voor het onderzoeken van de stabiliteit in langsrichting kan nu de
volgende procedure worden toegepast:
1. Bepaal de uitwijkingen ó van de pyloon in langsrichting ten gevolge OK
van de verschillende karakteristieke belastingen (eigen gewicht,
verkeersbelasting, eventueel wind). Houdt rekening met eenzijdige
verkeersbelasting en mogelijk ongelijk eigen gewicht aan weers
zijden van de pyloon. Houdt voor permanente belasting rekening met
kruipeffecten (zie o.a. 5.2 t/m 5.4). Houdt ook rekening met krimp
en temperatuur. Breng een eventuele excentriciteit van de vertikale
resultante van de tuikrachten in rekening (zie ook punt 10).
2. Bepaal de bijbehorende momenten, normaal- en dwarskrachten in de
pyloon en ga na welke combinaties van 6 , , N' en M waarschijnlijk OK K k
in aanmerking komen voor nader onderzoek. In elk geval zijn dit 6 , met de bijbehorende N, en M, , N, met de bijbehorende ok,max k k k.max M, en 6 , en M, met de bijbehorende N, en 5 , . K ok k,max •' k ok
In het algemeen zal het voorgaande reeds bekend zijn uit de berekening
van de krachtsverdeling met behulp van de computer.
3. Vermenigvuldig de aandelen van de grootheden 6 , , N en M tengevolge OK K K
van de verschillende karakteristieke belastingen met de bijbehorende
belastingcoëfficiënten Y en bepaal zo de rekenwaarden ö ,, N, en M,. ^ q " od d d
Het constructiegedrag wordt (nog) lineair-elastisch verondersteld.
Maak weer combinaties volgens 2.
De voorkeur wordt hier gegeven aan een Y'^^oudige vergroting van
krachten en vervormingen van de pyloon in plaats van de berekening
van deze grootheden door het belasten van de hele constructie met de
Y-voudige belastingen, inclusief het Y~voudige eigen gewicht van
de ligger. Voor de (Y-D-voudige vergroting van het eigen gewicht
van de ligger gedragen de tuien zich namelijk niet meer als vaste,
maar als verende steunpunten, waardoor in de ligger zeer grote
buigende momenten en vervormingen optreden (zie ook 10.1), vooral
bij grote Y (bijv. Y = 1,7).
Hierdoor wordt ook de pyloon op een weinig realistische manier belast,
vooral bij ongelijke liggerlengten aan weerszijden van de pyloon,
of bij vaste ondersteuningen in de zijvelden.
9.4,3,5,3
4. Breng de normaalkracht N aan op de volgens 3 vervormde pyloon (zie
o.a. fig.9.4.3.6.1 en 9.4.3.5.2) en bepaal met een handberekening
of een eenvoudig computerprogramma de hierdoor veroorzaakte, bijkomende
vervormingen 6 van de pyloon; bepaal ook de verandering van de
horizontale kracht in de pyloontop en van de momenten in de pyloon
(vooral het voetmoment).
Deze kracht en momenten veranderen namelijk niet evenredig met de aan
groeiing van de verplaatsing van de top (dus met — ) , zoals bij een
voudige knikgevallen, maar anders; ze kunnen zelfs van teken veranderen.
Deze werkwijze is nader uiteengezet in bijlage B-9.4.3.5-I en II.
Bepaal bij grote vervorming 5 , en/of groot eigen gewicht van de
pyloon ook de invloed hiervan op de bijkomende vervorming 6 .
De verhouding n, = 6 ,/5, verschaft een - weliswaar niet al te nauw-1 od 1
keurige, maar alleszins bruikbare - basis voor de vergrotingsfactor
— ^ , waarmee de momenten M, moeten worden vermenigvuldigd voor het T n
berekenen van de wapening van de door N, en M, belaste doorsneden. — ^ — a n-1 d
Deze wapening is nodig voor de later toe te passen nauwkeurige vorm
veranderingsberekening, waarbij door middel van M-N-K-diagrammen
rekening wordt gehouden met het physisch niet-lineaire materiaalgedrag
(scheurvorming; niet-lineaire a-e-diagrammen voor staal en beton).
Vanzelfsprekend moet naderhand vrarden gecontroleerd of deze voorlopige
waarde van de vergrotingsfactor juist is geweest.
5. Uit deze doorsnedeberekeningen volgt ook of de doorsnede-afmetingen
van de pyloon moeten worden gewijzigd en in welke zin. Als dit wordt
gedaan, moet de berekening van de krachtverdeling met de gewijzigde
stijfheden worden herhaald, evenals de procedure 1 t/m 4.
In het algemeen zal n niet te klein mogen zijn. Een waarde n > 3 a 4
zal meestal wel voldoen; kleinere waarden van n. kunnen riskant zijn
(kans op bezwijken door overschrijden van e' ). ^ -> CU
Uit het voorgaande is ook het verloop van N, en M, over de hoogte
van de pyloon bekend.
Bepaal het verloop van de wapening over de hoogte van de pyloon.
6. Voor het bepalen van de pyloonvervormingen onder geometrisch en
physisch niet-lineair gedrag wordt nu de pyloon over de hoogte in een
aantal moten verdeeld met constant veronderstelde eigenschappen over
de hoogte van elke moot. Een verdeling in 3 a 5 moten is vaak voldoende
nauwkeurig, maar bij berekening met de computer is een groter aantal
geen bezwaar (zie ook 9.4.3.1 en 9.4.3.2).
9.4.3.6.4
Met behulp van de a-e- diagrammen uit de voorschriften worden nu
voor elke moot M-N'-K-diagrammen bepaald (bij voorkeur met een -
computerprogramma). Indien gewerkt wordt volgens de CEB-FIP Model
Code 1978 (zie ook 10.1 en 10.3.2), moeten gereduceerde a - e-diagrammen
worden toegepast (f, = f, ly ). Bij toepassing van de VB 1974 worden d k s
ongereduceerde a-e- diagrammen gebruikt (art. A-204); daar worden
immers alleen de karakteristieke belastingen met een factor 1,7
vergroot; de sterkten worden niet gereduceerd; zie ook art. E-304.
7. Bepaal, met behulp van de M-N-K-diagrammen uit 6 en de krachtsverdeling
uit 3, opnieuw de eerste-orde vervormingen 5 van de pyloon onder J1
invloed van de kracht AH (zie 9.4.3.7). Als de pyloon gescheurd is, zullen deze groter zijn dan eerst; 6 > 6 , .
^ •' ' o si De verhouding van de vervormingen 6/5 is omgekeerd evenredig met
^ *= s os *= ° de ovloonstijfheden (EI) : (EI) . De stijfheid van de pyloon als
'' o s («; o
geheel is dus in de verhouding 6 /6 afgenomen tot (EI) = -;— (EI) . o os s o o
os De veerstijfheid van het geheel van tuien en pyloon is afgenomen van
3(EI) 3(EI) K t T — = k + k tot k^ + — = k + k t j3 t p t ^3 t ps.
Hierin stelt k de veerstijfheid van de pyloon in ongescheurde toestand
voor; k de veerstijfheid in (gedeeltelijk) gescheurde toestand. ps
De oorspronkelijke uitbuiging ö van de pyloon neemt dus toe in de k + k °k + k
u ^ • t to , X ^ P'3
verhouding -. r-— ; o = ó r-^— . ^ k ^ t k ' os o k + k
t ps t ps Als k >> k , is dit een klein bedrag, dat vaak verwaarloosd kan
t po ^ worden.
8. Bepaal, met behulp van de M-N-K-diagrammen uit 6 en de krachts
verdeling uit 7, de tweede-orde uitbuiging 6 door N op de volgens OQS
7 vervormde pyloon aan te brengen. Vergelijk de verhouding n = - — Is met de oorspronkelijke n (zie 4).
Is de nieuwe waarde groter dan de oude, terwijl ook al behoorlijke
scheurvorming is opgetreden, dan zal de vervorming tot een limiet
naderen.
Is de nieuwe waarde kleiner dan de oude, dan moet N' nogmaals op de
vervormde pyloon worden aangebracht, en de opvolgende extra ver
vormingen 5 , 5„ , enz. worden berekend, tot duidelijk blijkt dat
de totale vervorming tot een limiet nadert, of onbepaald toeneemt.
9.4,3,6,5
In L331J wordt een voorbeeld gegeven, waarbij pas bij de 4e a 5e
stap duidelijk wordt welke kant het opgaat,
Behalve de vervorming van de pyloon als geheel moet bij elke stap
in de afzonderlijke doorsneden worden nagegaan of ergens de beton-
Stuik e wordt overschreden, dus of de doorsnede of sterkte bezwijkt. CU
9. Zoals uit fig.9.4.3.6.2 blijkt, zal het grootste moment niet altijd
aan de voet van de kolom optreden (zie ook bijlage 3-9.4.3.6-11).
Bovendien is de wapening niet constant over de hoogte.
Ook zullen vaak één (of beide) kolomafmetingen over de hoogte variëren;
dit geldt ook voor de wanddikten. Daarom zullen verschillende door
sneden op sterkte moeten worden onderzocht.
10. De knikvorm volgens fig,9.4.3.5.1 kan alleen optreden als de pyloon
top weinig door de tuien wordt tegengehouden (geringe tuiveerstijfheid). 2 2
Als de tuiveerstijfheid tot O nadert, nadert N tot TT EI/4h ; f ig.9 .4.1.1.3. K
(bij volledige inklemming van de pyloonvoet).
In de regel is dit niet het geval en wordt de pyloontop juist stijf
vastgehouden door de tuien (vooral als één of meer aan een vast
punt zijn verbonden). Dan zal de knikvorm van fig.9.4.3.6.2 moeten
optreden (vergelijk ook fig.9.4.1.1.3). Deze treedt ook op bij kleine ^55E^ËB_Y5D_B (l$n$ 2), dus als de bezwijklast dicht wordt genaderd
(zie ook bijlage B-9.4.3.6-11).
De initiële uitbuiging voor het onderzoek van deze knikvorm kan ook
worden verkregen door de pyloon te belasten met een geringe horizontale
belasting over de hoogte (de wind alleen is meestal niet voldoende),
of door» de normaalkracht in de top een zekere excentriciteit e te ^ o
geven, dus een moment in de top aan te brengen (fig.9.4.3.5.3).
De excentriciteit kan afhankelijk worden gesteld van de pyloonhoogte,
bijv. volgens de formule e = 10\/h (e in mm; h in m; vergelijk
art. E-304.1.6 van de VB 1974). De berekening van de vervormingen •
kan geheel volgens het hierover uiteengezette principe worden uitgevoerd.
11. Bij de uitbuigingsvorm van fig.9.4.3.6.1 is er nog de kans op het
overschrijden van e . Als de uitwijking aan de top echter wordt C U J o ir-
beperkt door de tuien tot in de buurt van 0,01 van de pyloonhoogte,
is de kans hierop ook erg gering.
12. Door alleen de normaalkracht N' te laten toenemen tot bezwijken
optreedt (bereiken e of onbeperkt toenemende uitbuiging), kan de
reserve ten aanzien van een vergroting van N worden bepaald bij
constant gehouden moment (bijv. M,).
9.4.3.5.5
Door alleen het buigend moment te laten toenemen tot bezwijken
optreedt, kan worden bepaald bij welke verhouding M /M^ bezwijken ' ° u d
optreedt bij constant gehouden N .
Door M en N evenredig te laten toenemen tot bezwijken optreedt,
kan een idee worden verkregen van de reserve aan draagvermogen als
M en N (ten naaste bij) evenredig.toe zouden kunnen nemen.
Het tweede geval kan interessant zijn als N hoofdzakelijk wordt
veroorzaakt door de grote eigen gewichtsbelasting en M grotendeels
wordt veroorzaakt door de relatief geringe verkeersbelasting. Bij
toeneming van de laatste zal N' vrijwel niet toenemen, terwijl M
nagenoeg evenreidg met de grootte van de verkeersbelasting toeneemt.
13. Uit het voorbeeld op blz.9.4.1.1.5 en 9.4.1.1.7 blijkt dat de
pyloontop praktisch volledig wordt vastgehouden door een tui naar •
een vast punt (mits niet te steil). De knikvorm benadert dus die
van de boven scharnierend vastgehouden en onder (gedeeltelijk)
ingeklemde pyloon. Deze krijgt een initiële uitbuiging door een
geringe, aangenomen excentriciteit van N ; zie ook punt 10.
14. Uit het voorbeeld op blz.9.4.1.2.3 blijkt dat de veerstijfheid van
de fundering in het algemeen zodanig is, dat de invloed op de
stabiliteit gering is (behalve bij hoge pylonen). In eerste instantie
zou dus met een volledige inklemming kunnen worden gerekend.
Volgt hieruit echter een "twijfelachtige" stabiliteit, dan moet wel
met de ongunstige invloed van de beperkte funderingsstijfheid worden
gerekend.
Dit is ook het geval als n vrij klein, dus n/n-1 vrij groot is. Het
aldus vergrote moment kan een niet te verwaarlozen hoekverdraaiing
van de fundering veroorzaken.
21. Gecontroleerd moet worden hoe door scheurvorming en plasticiteit in
ligger en pyloon bij toenemende belasting de stijfheidsverhoudingen
worden gewijzigd en in welke mate dit invloed heeft op de krachts-
verdeling. In principe zal het zo zijn dat een door scheurvorming
slagper geworden pyloon niinder moment zal aantrekken, zodat de •
berekening met het oorspronkelijke moment aan de veilige kant is.
Het is vrijwel altijd voldoende nauwkeurig te werken met een vrij
klein aantal moten (bijv.5) en de stijfheden van deze moten over
de lengte ervan constant aan te nemen (verstandige gemiddelden kiezen;
ook voor de scheurvorming).
9.4.3.6.7
Voor de stabiliteit in dwarsrichting van de pyloon met waaiertuien kan
een soortgelijke procedure worden gevolgd. Toch zijn er enige belangrijke
verschillen (zie ook 9.4.2.3):
1. Er is geen horizontale veer in de pyloontop en ook geen horizontale
kracht.
2. De initiële uitbuiging van de pyloon in dwarsrichting wordt hoofd
zakelijk veroorzaakt door de windbelasting en door eenzijdige
temperatuurverhoging. Deze uitbuiging kan nog worden vergroot door
een aangenomen excentriciteit van de resultante van de tuikrachten
en door een - eveneens aangenomen - scheefstand tengevolge van
onnauwkeurigheden tijdens de bouw (bijv. volgens de formule 8 Ui
(in mm, 1 in m) uit art. E-304.1.6 van de VB 1974).
3. De in de pyloontop aangrijpende resultante van de tuikrachten is niet
gelegen in een verticaal vlak door de top, evenwijdig aan de brugas,
maar in het (nagenoeg verticale) vlak door pyloontop en brugas
(f ig.9 .4. 3 .6 .4'). Bij voldoende liggerstijfheid in het horizontale
vlak is dit een (vrijwel) plat vlak, bij beperkte horizontale
liggerstijfheid is het licht gebogen.
De krachten tengevolge van het eigen gewicht van de pyloonmoten
blijven vanzelfsprekend altijd vertikaal gericht.
4. De grootste waarde van het tweede-orde moment treedt hier meer
halverwege de hoogte op en niet aan de voet van de pyloon (tenzij
de pyloon onder de brugligger doorloopt; fig.9.4.2.3.1).
De grootste waarde van het totale buigend moment (zie punt 2) kan
echter wel aan de pyloonvoet optreden.
Voor de stabiliteitsberekening van de pyloon met harptuien moet ook
weer worden uitgegaan van bekende doorsnede- en materiaalgegevens,
met behulp waarvan voor elke doorsnede M-N-<-diagrammen kunnen worden
bepaald (bij voorkeur met een computerprogramma).
In principe kan dezelfde procedure worden gevolgd als bij de pyloon met
waaiertuien, zowel in langs- als in dwarsrichting.
Hieronder wordt op enige verschillen gewezen:
1. De vervorming in langsrichting onder verkeersbelasting (eenzijdig)
is anders dan bij de waaierpyloon (fig.9.4.3.6.5); de tuien oefenen
ter hoogte van de tuiaansluitingen YËEËEI^IIIËB^Ê horizontale krachten
op de pyloon uit (dus niet alleen aan de top, zoals bij waaiertuien).
9.4.3.5.8
2. De pyloon wordt in langsrichting ter hoogte van de tuiaansluitingen
verend vastgehouden (dus niet alleen aan de top). Hierbij zijn de
veren van tuien naar vaste steunpunten veel stijver dan die van
tuien naar tussengelegen punten op de verstijvingsligger (zie ook
fig.9.4.1.03 en 9.4.1.1.4).
3. De vertikale resultanten van de tuikrachten grijpen aan op ver
schillende punten, verdeeld over de hoogte van de pyloon (dus niet
alleen aan de top).
4. De pyloon wordt in principe verdeeld in evenveel moten als er tuien
zijn (maar tenminste 3 a 4 moten). Bij veel tuien kunnen twee of
drie tuiaansluitingen samen worden gevoegd tot één moot. Bij berekening
met de computer zal dit niet nodig zijn.
5. De kans op instabiliteit in langsrichting is bij de pyloon met harp
tuien veel geringer dan bij waaiertuien. In de eerste plaats is de
belasting bijna gelijkmatig over de hoogte verdeeld (bij veel tuien),
in de tweede plaats wordt de pyloon op een groot aantal plaatsen over
de hoogte verend gesteund. Ook zwakke veren zijn vaak voldoende om
uitknikken te beletten.
6. In dwarsrichting vertoont de pyloon met harptuien veel overeenkomst
met geval (^ van tabel E-2 van de VB 1974. Toch zijn beide niet
geheel identiek, want de krachten, die door de tuien op de pyloon
worden uitgeoefend, blijven in de uitgebogen stand van de pyloon
niet vertikaal, maar zijn gericht naar het snijpunt van brugligger-
en pyloonas (evenals bij de waaierpyloon, maar nu meer over de
hoogte verdeeld; zie ook blz.9.4.2.1.2 en fig.9.4.
Dit is gunstiger dan geval (^ van tabel E-2 van de VB 1974.
Voor de pyloon wordt als vergrotingsfactor Y voor de vrij nauwkeurig
bekende eigen gewichtsbelasting een factor 1,25 voorgesteld (bij een
reductiefactor voor de staalsterkte van 1,15 en voor de betonsterkte
van 1,4; zie CEB-FIP Model Code 1978).
Voor de overige belastingen, inclusief afwerking en verkeersbelasting,
wordt een vergrotingsfactor 1,5 voorgesteld ten opzichte van de
karakteristieke waarden.
Bij berekening volgens de VB 1974 wordt voor het eigen gewicht een
vergrotingsfactor 1,5 voorgesteld, voor de overige belastingen 1,7.
9.4.3.6.9
In beide gevallen moet wel zorgvuldig rekening worden gehouden met
alle oorzaken, die mogelijkerwijs ongunstig kunnen werken, zoals:
- ongelijke eigen gewichtsbelasting aan weerszijden van de pyloon
(1 a 2% van het gewicht); dit veroorzaakt een vrij groot moment
in de pyloon;
- excentrisch aangrijpen van de krachten uit de tuien; in rekening
brengen door één stel tuien een excentriciteit te geven van Syi mm
of iets meer, bijv. lo\/T mm (1 in m; formule uit VB 1974, art. E-304.1.6).
- kromming of scheefstand van de pyloon door eenzijdige temperatuur-
belasting, eenzijdige uitdroging (krimp) of bouwfouten. De eerste
twee kunnen vrij goed worden berekend; voor de laatste kan een
uitwijking van sUl (in mm; 1 in m) worden aangehouden (zie VB 1974,
art. E-304.1,6).
- zettingen;
- asymmetrische wapening en daardoor de mogelijkheid van scheefstand
door tijdsafhankelijke effecten (krimp en kruip).
In het voorgaand is de stabiliteit in langs- en dwarsrichting afzonderlijk
behandeld. In principe is dit juist en beïnvloeden de beide vormen
elkaar, meestal in ongunstige zin (dubbele buiging; hoog oplopen van
de spanningen in tegenovergestelde hoeken van een rechthoek; fig.9.4.3.5.6).
Het is duidelijk dat dit in de zwaarst belaste punten van een doorsnede
eerder tot bezwijken kan leiden dan het onderzoek van de stabiliteit in
elke richting afzonderlijk. Er moet aan deze mogelijkheid dus wel
degelijk aandacht worden besteed.
Nu is het wel zo dat voor de stabiliteit in langsrichting meestal een
andere doorsnede bepalend is dan voor de stabiliteit in dwarsrichting.
Voor een pyloon met waaiertuien bijv. is dit voor de langsrichting
veelal de voetdoorsnede, voor de dwarsrichting een doorsnede op ongeveer
halve hoogte (althans wat de tweede-orde momenten aangaat).
Ook zal het vaak zo zijn dat de ongunstigste belastingcombinatie in de
ene richting niet behoeft te worden gecombineerd met de ongunstigste
belastingcoiT±)inatie in de andere richting (de wind kan bijv. maar
uit één richting waaien).
Als de excentriciteit in de ene richting klein is ten opzichte van
die in de andere richting, kan meestal worden volstaan met een stabili
teitsberekening van de zwaarst belaste richting.
9.4.3.6.10
Art. E-304.4 van de VB 1974 geeft aanwijzingen voor de werkwijze,
die bij de berekening op normaalkracht met dubbele buiging kan
worden gevolgd. Deze zijn echter niet zonder meer op tuibrugpylonen
van toepassing.
Over normaalkracht met dubbele buiging is ook iets te vinden in
CEB-Bulletin 101 (1974) en in CEB-Bulletin 103: Flambement-Instabilité;
oct. 1974.
Verwezen wordt ook naar een artikel van Menegotto en Pinto: Slender
R.C. Compressed Members in Biaxial Bending; Transactions of the ASCE,
Journal Struct.Div., Vol.10 3, New York, March 1977.
9.U.U.01 9.U.U.
Stabiliteit van de pyloon tijdens de bouw
Als een tuibrug wordt gebouwd door uitbouwen van de ligger van de pyloon
uit naar weerszijden, zal de stabiliteit van de pyloon in principe moeten
worden nagegaan voor alle bouwstadia, met name vlak voor en na het aan
brengen van de successieve tuien. De pyloon ondervindt nu geen steun in
langsrichting van tuien en ligger, zolang de laatste althans niet op een
tijdelijk of definitief tussen- of eindste\inpunt rust. Meestal zal het
stadium vlak voor het bereiken van een (tussen) steunpunt het gevaarlijkst
zijn; fig.9.U.U.01.
Bij de vrij aan de tuien hangende ligger - die wel al ter plaatse van de
pyloon op een oplegging mag rusten - moet rekening worden gehouden met
ongelijke belasting aan weerszijden door (fig.9.U.U.01):
- verschil in eigen gewicht van enigeprocenten,ook bij gelijke lengte aan
weerszijden (verschil in volumegewicht, bijv door uitdroging);
- verschil in opgeslagen materiaal aan weerszijden;
- niet gelijktijdig storten van de moten ter weerszijden;
- niet gelijktijdig verrijden van de uitbouwwagens;
- het niet gelijktijdig aanspannen van de tuien;
- ongelijkheid in de tuikrachten, enz.
Ook wind kan aan één zijde een andere vertikale kracht uitoefenen dan aan
de andere zijde (T*rindvlagen; verschil in omgeving, e.d.).
De stabiliteit van de (nu) vrijstaande pyloon met de eraan hangende ligger
moet onder de hier geschetste excentrische belastingen voldoende verzekerd
zijn, rekening houdend met de veerstijfheid van de onderbouw en/of de
fundering (zie ook 9.U.1 en9.U.2).
Ook de stabiliteit in dwarsrichting dient te worden gecontroleerd, rekening
houdend met de vrije uitkragingen van de verstijvingsligger, waardoor de
dwarsvervorming wel eens niet meer verwaarloosbaar kan zijn, vooral bij
smalle bruggen.
In dit verband wordt nog de aandacht gevestigd op de horizontale wind
kracht dwars op de ligger, die door de onderbouw moet worden opgenomen.
Bij ongelijke windkrachten aan weerszijden oefenen deze een torsiemoment
uit, dat eveneens door de onderbouw moet worden opgenomen. In beide gevallen
moet de verbinding tussen ligger en onderbouw in staat zijn deze krachten
over te brengen; dit slaat dus met name op de opleggingen. Als de pyloon
door de ligger heen loopt, maar deze laatste wel zijn horizontale krachten
eraan af kan geven, wordt de pyloon ter plaatse belast op dwarskracht en/of
wringing.
9.U.U.02
Dreigt de langsstabiliteit tijdens de bouw onvoldoende te worden, dan
kan een tijdelijke aftuiing of verankering van de ligger aan landhoofd
of tussensteunpunt deze verzekeren tot de definitieve constructie het
over kan nemen; fig.9.U.U.02 .
Bij hoge pijlers kan de ligger ook naar de pijlervoet worden afgetuid
'(fig.9-U.U.03),mits de pijler hiervoor stijf genoeg is. Ook kan een tijdelijke
aftuiing van de pyloontop naar landhoofd of tussensteunpunt worden over
wogen. In al deze gevallen werkt een dergelijke aftuiing alleen als de tui
voldoende gespannen blijft; daarom moet de afgetuide kant van de brug
lichter zijn dan de andere zijde. Dit geldt niet als aan beide zijden een
gespannen tui wordt aangebracht, wat in de meeste gevallen echter niet
mogelijk is (behalve bij aftuiing naar de pijlervoet bij hoge pijlers).
Ook de stabiliteit in dwarsrichting kan door (tijdelijke) aftuiing worden
verbeterd.
Bij ongelijke belasting van de brug ter weerszijden van de pyloon worden
door de tuien resulterende horizontale krachten op de pyloon uitgeoefend,
die weer terug worden gevonden in de horizontale reactie van de ligger
tegen zijn oplegging op de pijler of tegen de pyloon (meestal ook d.m.v.
een oplegconstructie) ; fig.9.U.U.05.
Zou de ligger alleen aan de pyloon hajigen (fig.9 .U .U.c6) , dan neemt hij bij
ongelijke belasting aan weerszijden een zodanige stand in dat de (vertikale)
resultante van de belastingen door de pyloontop gaat.
9.U.5.01
9.U.5.
De wapening van een zware pyloon
Bij een hoofdoverspanning van ca. 300 m en een brugbreedte van ca. 30 m
worden de pyloonafmetingen al gauw in de orde van grootte van U x 5 m
of meer.
Een pyloon met afmetingen van U x 5 m is qua wapening niet een tienvoudig
vergrote kolom van 0,U0 x 0,50 m, beide bijv. met een symmetrische wapening
van ca. 2% (1^ aan elke zijde).
Voor de kolom 0,U0 x 0,50 m zou dit neerkomen op een symmetrische wapening
van 2 X 5 i'22 (2 x 1900 mm^),
Voor de pyloon U x 5 m wordt de wapeningsdoorsnede aan elke kant ca. 0,2 m ,
d.w.z. 250 (}) 32 of 160 (})U0 mm (aan de U m lange zijde gerekend).
Deze staven kunnen niet in één laag; de 250 (j) 32 zouden in U a 5 lagen moeten;
de 160 (|) Uo in 3 a U lagen; in beide gevallen over een afstand van 0,35 a 0,U0 m.
Dan blijft ertussen een doorsnedegedeelte van ca. U x U m over dat ongewapend is.
De pyloon moet echter ook in de andere richting worden gewapend,afhankelijk
van de krachten, die erin optreden. Zelfs bij een minimum wapening van 0,2^ 2
aan elke zijde is dit nog een doorsnede van 0,2.0,2 = 0,0U m (50 (j) 32 of 32 (j) UO) .
Deze kunnen in één laag (5 m lange zijde).
Nu is echter het middengedeelte van globaal 3,5 x U m nog ongewapend.
Als hierin een wapening van 0,1^ wordt aangebracht, betekent dit een doorsnede 2
van 0,1.0,35.0,U = 0,01 U m (ca. 20 (}> 32) . Dit wordt een stramien van ca.
0,75 X 0,75 m. Hierin is nog te werken (vlechten, trillen).
De beugels zullen qua afmetingen moeten worden aangepast en toch zeker <{)l6 a
(|)20 moeten zijn. Ze zullen niet alleen langs de omtrek moeten worden gelegd,
maar ook om de 6 a 7 staven naar binnen over de volle pyloondikte doorlopen,
zodat het beton ook horizontaal gewapend is. Ze verhinderen zo het uitknikken
van de vertikale wapening en leveren bovendien een gunstige bijdrage tot de
vergroting van de oetondruksterkte doordat ze de uitzetting in dwarsrichting
(in geringe mate) beletten. Voor een vergroting van betekenis is echter vrij
veel horizontale wapening nodig (of voorspanning).
In het binnenste van het beton ontstaat zo een soort kubuswapening in drie
richtingen.
Het verlengen van de zware wapening door overlaplassen geeft aanleiding tot
grote overlaplengten; bovendien wordt de ruimte tussen de staven (/v staafdikte)
zodanig gereduceerd, dat in vele gevallen een goede omhulling met beton niet
meer verzekerd is (ook niet als de staven om en om op verschillende hoogten
worden gelast). Men zal daarom een meer moderne methode van staafverlenging
toepassen, bijv. een omgeklemde buis, een mofverbinding met schroefdraad
(Gewi-Stahl), o.d. In de meeste gevallen zal deze verbinding ook trek op
moeten kunnen nemen.
9.U.5.02
Ook hier is een verbinding op verschillende hoogten aan te bevelen om
grote discontinuïteiten te vermijden.
Voor het stellen van de wapening (en voor het bevestigen van de bekisting)
kan met voordeel gebruik worden gemaakt van een stalen vakwerkconstructie,
die in zichzelf stabiel is en waartegen de wapening, bijv. in de vorm van
geprefabriceerde matten, kan worden bevestigd. De vertikale staven van de
staalconstructie kunnen als wapening worden meegerekend.
Fig. 9.U.5.01 geeft een voorbeeld van een pyloonwapening zoals deze door
één van de deelnemers aan de tuibruggengroep is ontworpen (A 2U).
De doorsnede van de wapening over de hoogte van de pyloon moet aan het
krachtsverloop worden aangepast. Aangezien het hier om grote hoeveelheden
gaat is een nauwkeurige bepaling van de vereiste doorsneden een lonende zaak.
Is plaatselijk in de pyloon een grote trekzone mogelijk (enige m ) , dan
verdient het aanbeveling deze trekzone niet alleen aan de rand van de
benodigde wapening te voorzien (dus over ca. 0,5 m ) , maar ook verder naar
binnen nog enige wapening aan te brengen om het ontstaan van plaatselijk
grote scheuren te voorkomen (vergelijk de toepassing van huidwapening in
hoge T-balken voor hetzelfde doel).
Door de ontwikkeling van de hydratatiewarmte kan de temperatuur in een
U a 5 m dikke betondoorsnede hoog oplopen. Bij ongelijkmatige afkoeling
kan dit tot scheurvorming leiden. Daarom is het aan te bevelen in het 2
midden van een zware pyloon een opening van enige m te laten, waardoor
ook afkoeling plaats kan vinden, en waardoor de maximale wanddikte wordt
beperkt tot ca. 2 m (fig.9.U.5.01 ).
10. TUIBRUGGEN. BEZWIJKGEDRAG
10.1. Algemene veiligheidsbeschouwingen
10.1.1. Statistische benadering
10.1.2. De semi-probabilistische benadering
10.1.3. Methode van toelaatbare spanningen en belastingfactor
10.1.4. Belastingen en belastingeffecten
10.1.5. Variaties in eigen gewicht
10.2. Beschouwingen over de veiligheid van tuibruggen
10.2.1. Aantal en afstand van de tuikabels
10.2.2. Aërodynamische stabiliteit
10.2.3. Vermoeiing
10.2.4. Brand en aanrijding
10.3. Onderzoek van het draagvermogen van een tuibrug
10.3.0. Beschrijving van de constructie
10.3.1. Elastisch ontwerp van de brug
10.3.2. , Berekening van de bezwijkbelasting
10.3.2.1. Uitgangspunten
10.3.2.2. Fysische en geometrische niet-lineariteit
10.3.2.3. Toeneming van de verkeersbelasting tot bezwijken
10.3.2.4. De benadering volgens de CEB-FI? Model Code 1978
10.3.3. Andere bepaling van de bezwijkbelasting
10.3.4. Conclusies.
- 10,1,1,1 -
10. BEZWIJKGEDRAG VAN TUIBRUGGEN -
10.1. Algemene veiligheidsbeschouwingen
10.1.1. Statistische benadering
Uit een statistisch oogpunt zijn er geen absoluut veilige constructies.
Elke constructie heeft statistisch een kans op bezwijken, hoe klein
die ook mag zijn. Een zogenaamd "veilige" constructie heeft een lage -7 bezwijkkans, bijv. 10 ; dit betekent dat één op de 10 miljoen
identieke constructies gedurende de levensduur van de constructie
statistisch zal bezwijken. Een "onveilige" constructie heeft een veel -3
grotere bezwijkkans, bijv. 10
Het is duidelijk dat de bezwijkkans van de hele constructie - of van
een onderdeel ervan - lager moet zijn dan deze waarde; en ook dat
deze kans dient af te hangen van de belangrijkheid van de constructie
en van de mogelijke gevolgen van bezwijken (verlies aan mensenlevens,
economische verliezen, e.d.).
Het is daarom, strikt genomen, niet goed over de "veiligheid" van
een constructie te spreken; deze kan niet door een getal worden aan
gegeven.
Alleen de kans op bezwijken (of meer algemeen de kans op het bereiken
van een bepaalde grenstoestand - limit state) kan door een getal
worden uitgedrukt, maar hiervoor moet dan wel de statistische
verdeling van alle variabelen - vooral belastingen en sterkten -
bekend zijn. En met betrekking hiertoe is er in de meeste gevallen
nog steeds een aanzienlijk gebrek aan kennis.
Een eerste aanzet in deze richting is gedaan in de CEB-Richtlijnen 196U,
later uitgebreid tot de CEB-FIP-Richtlijnen 1970 en thans opnieuw
verbeterd en uitgegeven als CEB-FIP Model Code 1978.
Voor een volledige kans- of waarschijnlijkheidsberekening is echter
de kennis nodig van de statistische verdeling van alle belastingen en
belastingeffecten (M, N, T, enz.), van de mechanische eigenschappen
van de materialen en van de geometrie van de constructie. Omdat een
algehele statistische benadering van alle variabelen nog niet mogelijk
is - behalve in enkele eenvoudige gevallen -, beperkt de CEB-FIP
Model Code zich tot een semi-probabilistische benadering, waarbij
een beperkt aantal variabelen zo goed mogelijk statistisch in rekening
wordt gebracht, terwijl de rest wordt gedekt door de invoering van
"onzekerheids" - of misschien beter "onwetenheids"-factoren; zie hierna.
10.1.2.1
10.1.2. De semi-probabilistische benadering
a. Met de statistische verdeling van belastingen en sterkten wordt
rekening gehouden door de invoering van karakteristieke waarden,
waarbij de kans op het bereiken van een hogere of lagere waarde
vast ligt; bijv. een over- of onderschrijdingskans van 5/»-
b. Met de onzekerheden (waarvan de statistische verdeling onbekend
of zelfs onmogelijk is) wordt rekening gehouden door de karak
teristieke waarden om te zetten in rekenwaarden. Hiertoe worden
de karakteristieke belastingen en belastingeffecten vermenig
vuldigd met coëfficiënten Y ; de karakteristieke materiaal
sterkten worden gedeeld door coëfficiënten Y m
Belastingen : Q = Y -Q, (Y < 1 of >l) CL S iC S
Sterkten : f = f, /Y (Y > 1 ) -d K m m
c. De zo berekende effecten S (Q ) van de rekenbelastingen (M, N, T, enz.
mogen niet de waarden R (f-,) overschrijden, die door de con
structie met de rekensterkte f, kunnen worden opgenomen: d
opgenomen: S (Q^) R (f^)
De waarden Y en Y hangen af van de ernst van de beschouwde grens-s m ^
toestand, van het materiaal- en constructiegedrag en van de kans
op gecombineerde belastingen.
Deze benadering is verder uitgewerkt in de CEB-FIP Model Code van
1978.
Daarin wordt ook gesteld dat, bij gebrek aan statistische gegevens,
de nominale waarden uit de belastingvoorschriften als karakteristieke
waarden mogen worden aangenomen.
Op dit onderwerp zal in enige van de volgende hoofdstukken worden
teruggekomen,
10.1.3.1
10.1.3. Methode van toelaatbare spanningen en belastingfactor (load factor)
Twee andere methoden om een constructie met een zekere mate van
veiligheid te ontwerpen, zullen hier kort worden vermeld:
- de methode van toelaatbare spanningen, waarbij de spanningen
tengevolge van de optredende belastingen worden vergeleken met
vooraf vastgestelde toelaatbare waarden, die in de voorschriften
staan en die op hun beurt weer een bepaald deel a zijn van de
materiaalsterkten f : a <a = af (a = ^ a 2/3)• Deze methode m m
wordt nog steeds in een aantal landen toegepast (hoewel dit wel steeds meer afneemt).
Het is voldoende bekend dat de verhouding materiaalsterkte tot
toelaatbare spanning (—=—) dikwijls een volkom.en verkeerd idee a
geeft van het werkelijke draagvermogen van een constructie, vooral
wanneer de geometrische en fysische niet-lineariteit een belangrijke
rol spelen.
- de "load factor" - methode, waarbij het eigen gewicht en de
nuttige belasting (bijv. uit voorschriften) elk met hun eigen
"load factor" worden vermenigvuldigd, waarvan de waarde kan af
hangen van de belastingcombinatie, van het belang van de constructie,
enz. De belastingeffecten (M, N, T, e.d.) worden vergeleken met
het draagvermogen van de doorsnede, of meer algemeen, maar ook
meer bewerkelijk, met het draagvermogen van de constructie.
Aangetoond zal worden dat deze methode onaanvaardbare gevolgen
heeft, wanneer hij wordt toegepast op constructies die een mengeling
van vaste en elastische ondersteuningen hebben, zoals tuibruggen.
1Q, 1 . 4 .1 .
10.1.4. Belastingen en belastingeffecten
Er zal hier niet ter discussie worden gesteld in hoeverre de
belastingen van bruggen, zoals die voorkomen in de belasting
voorschriften van de verschillende landen van Europa (en van
de wereld) de werkelijkheid benaderen. Er wordt alleen gecon
stateerd dat de brugbelastingen dikwijls veel verschillen,
zelfs in buurlanden, ofschoon het verkeer dat erover gaat
heel Europa doorkruist (of zelfs meer).
Wat meer uniformiteit in de zwaarste belastingklasse lijkt
daarom niet overbodig, want de belastingeffecten (M, N, T, enz.)
tengevolge van verkeersbelasting kunnen grote verschillen
vertonen. In Stuvo-rapport nr. 22 zijn de buigende momenten
tengevolge van de zwaarste belastingklasse in 10 landen berekend
voor overspanningen tussen 10 en 100 m; daarna zijn deze omgerekend
in gelijkmatig verdeelde belastingen, zodat het mogelijk is ze te
vergelijken. Het resultaat is weergegeven in fig. 10.1.U.1.
Kommentaar lijkt overbodig.
Deze teleurstellend grote verschillen worden echter grotendeels
gecompenseerd als eigen gewicht en verkeersbelasting samen worden
genomen, en deze compensatie neemt toe met toenemende overspanning.
Bij lange betonnen bruggen is de verkeersbelasting slechts een
fractie van de totale belasting (doorgaans minder dan 10^ voor
overspanningen boven de 100 m), en een grote variatie in de
verkeersbelasting heeft maar een geringe invloed op het totale
buigend moment (fig. 10.1.U.2).
Met betrekking tot de verhouding eigen gewicht tot verkeersbelasting
is bekend dat de spanningen in een brug met een hoge waarde van
deze verhouding minder veranderen dan die in een brug met een lage
verhoudingswaarde, vooropgesteld dat beide zijn berekend voor
dezelfde verkeersbelasting, hetzij met gelijke toelaatbare
spanningen, hetzij met gelijke belastingfactoren (load factors),
In hoeverre dit de veiligheid kan beïnvloeden wordt verder niet
ter discussie gesteld,
10,1,5,1
10.1,5 Variaties in eigen gewicht
Het eigen gewicht G van een tuibrug wordt berekend uit de theoretische
afmetingen van de onderdelen (zoals ze op de tekeningen staan) en het
aangenomen volumegewicht van de materialen:
G = V.p = l.b.h.p
Dit zijn echter alle grootheden die aan spreiding onderhevig zijn; de
werkelijke afmetingen van de voltooide brug wijken af van die op de
tekeningen; de werkelijke volumegewichten verschillen van de aangenomen
(vaak gemiddelde) waarden; beide verschillen zullen in het algemeen
geringer zijn naarmate het toezicht en de controle intensiever zijn.
Omdat de afwijkingen van het theoretische eigen gewicht echter door
de verend ondersteunde ligger worden gedragen, zullen de variaties in
momenten tengevolge hiervan veel groter zijn dan uit de veronderstelling
van een evenredigheid tussen afwijking en momenten door (theoretisch)
eigen gewicht zou volgen.
Wat zijn nu aanvaardbare waarden voor deze gewichtsvariaties?
Het volume V wordt bepaald door: V = l.b.h.
Voor de plaat- en schijfvormige elementen, waaruit een brugligger (koker
ligger) meesral is samengesteld, is de lengte 1 meestal enige tot vele
malen groter dan de brugbreedte b, terwijl deze op zijn beurt vaak vele
malen groter is dan de dikte h.
Nu zijn weliswaar de maatafwijkingen op zich bij grote afmetingen groter
dan bij kleine, maar de procentuele afwijkingen zijn bij grote afmetingen
kleiner dan bij grote. Dit geldt vooral voor dikte-afmetingen, die
moeilijk nauwkeurig te meten zijn, zoals de vrije oppervlakten van brug
dekken, de dikte van een onderflens, e.d.
Om de gedachte te bepalen zal bij een afmeting van 100 m de variatie zich
beperken tot de orde van grootte van + 1 /oo (0,10 m); bij een afmeting
van 10 m tot ± 2,5 /oo (25 mm), bij een afmeting van 1 m tot + 10%
(10 mm), bij een afmeting van 0,10 m tot ± 50 /oo (5 mm).
Dit komt voor een reële brugbreedte van 20 m neer op 2 /oo; voor een
gemiddelde dikte van 0,25 m op ca. 2 5 /oo. De volumevariatie van een
brug met 1 = 100 m, b = 20 m en h = 0,25 m (gemiddeld) is dan van de
orde van grootte van [1 ± 0,001) (1 ± 0,002) (1 ± 0,025) = 1 ± 0,03
(afgerond). 3
Het volumegewicht p van beton kan globaal 500 N/m variëren (vocht,
wapening, verdichting, cementgehalte, e.d.), of rond 2%.
10 .1. 5.2
Voor licht beton kan hiervoor beter een grotere waarde (2,5 a 3%)
worden aangehouden (grotere variatie in vochtgehalte).
Gecombineerd met de volumevariatie wordt aldus de gewichtsvariatie
(1 ± 0,03) (1 ± 0,02) = 1 ± 0,05, of rond 5% (voor licht beton 5%).
Dit betekent een even grote variatie in tuikrachten en in horizontale
en vertikale krachten in resp. ligger en pyloon.
Geldt dit nu ook voor de liggergedeelten t_er _weerszij den van de pyloon?
Hiervoor zal zoveel mogelijk beton van dezelfde samenstelling worden
gebruikt, dus van een systematische fout kan nauwelijks sprake zijn.
Variaties in afmetingen en volumegewicht kunnen echter wel voorkomen,
door allerlei oorzaken.
De ploeg aan de ene kant van de pyloon werkt bijv. iets anders dan die
aan de andere kant; zij verdichten iets zorgvuldiger of rijen iets
nauwkeuriger af; ook kan de ene bekisting nauwkeuriger zijn gesteld dan
de andere, of anderszins een geringe afwijking vertonen; de dikte van
het asfalt kan verschillen, enz.
Zo is het denkbaar dat een verschil in eigen gewicht ontstaat in de
orde van grootte van ± 1%, ter weerszijden van de pyloon.
Wegens de grote invloed die een afwijking van het eigen gewicht heeft op
de momentenverdeling in ligger en pyloon, moeten deze kleine verschillen
in rekening worden gebracht.
De hierboven berekende afwijkingspercentages zouden als karakteristieke
waarden kunnen worden opgevat. Om de Rekenwaarden te krijgen, moeten ze
nog met een factor Y^1 worden vermenigvuldigd. Stellen we Y = 2, dan
wordt de rekenwaarde voor de variatie in eigen gewicht 1 ± 0,10; die
voor het verschil in eigen gewicht ter weerszijden van de pyloon 1 + 0,02.
Het is duidelijk dat de hier bedoelde waarden afhangen van de nauwkeurigheid
van de maatvoering en van het toezicht op het werk. Hiermee zal bij het
vaststellen van de waarden, waarmee gerekend wordt, rekening moeten
worden gehouden.
10.2.1.1
10.2 Beschouwingen over de veiligheid van tuibruggen
10.2.1. Aantal en afstand van de tuikabels
De tuikabels kunnen zo worden gespannen dat de brugligger zich
gedraagt als een doorgaande ligger op vaste steunpunten voor alleen
eigen gewicht, of voor eigen gewicht en een deel van de verkeers
belasting. Voor de verkeersbelasting gedragen de kabels zich als
elastische ondersteuningen, elk met hun eigen veerconstante (zie
ook 7-2 ). Deze situatie wordt over het algemeen nagestreefd.
Bij een groot aantal kabels kan de ligger ten naaste bij worden
beschouwd als een ligger op elastische bedding (met variërende
beddingconstante). De buigende momenten uit eigen gewicht zijn
klein en het grootste deel van de totale buigende momenten wordt
veroorzaakt door de verkeersbelasting.
Bij een gering aantal kabels kunnen de tuien nog steeds zo worden
ontworpen dat ze als stijve steunpunten werken voor eigen gewicht
en als verende ondersteuningen voor verkeersbelasting, maar nu
overheersen de buigende momenten tengevolge van eigen gewicht en
die tengevolge van verkeersbelasting zijn minder belangrijk
(fig. 10.2.1.1). Dit heeft verschillende consequenties voor de
veiligheid.
Wanneer van een groot aantal tuikabels één kabel vloeit of bezwijkt
(om de één of andere reden, bijv. doorsnedeverlies door corrosie,
sterkteverlies door brand), zal het deel van de belasting dat niet
langer door deze kabel kan worden gedragen, door de verstijvings
ligger (brugligger) worden overgebracht naar twee of meer aangrenzende
kabels, afhankelijk van de stijfheidsverhoudingen van de constructie
(zie ook U.1 ). De betrekkelijk geringe toeneming van de buigende
momenten in de ligger en van de trekkrachten in de tuien ligt over
het algemeen voldoende binnen de toelaatbare grenzen, als voor zo'n
uitzonderlijk geval met een gereduceerde veiligheid wordt gerekend.
Anderzijds, als zulk een ernstige schade wordt geconstateerd, zal
de brug doorgaans voor het verkeer worden gesloten (maar zelfs dit
is niet altijd nodig).
10.2.1.2
Wanneer daarentegen van een gering aantal kabels (tussen 1 en 3)
één kabel vloeit of zelfs bezwijkt, zal de ligger doorgaans niet
in staat zijn het verlies aan vertikale kabelreactie naar de
aangrenzende kabel of het steunpunt over te brengen. De positieve
momenten in de ligger nemen sterk toe en de negatieve momenten worden
gereduceerd of zelfs omgekeerd (fig. 10.2.1.1). De wapening of voor
spanning kan niet op dit extreme belastinggeval worden gedimensioneerd,
althans niet op economische wijze.
Bovendien, als van een groot aantal kabels er één vloeit, zal de
vervorming zo klein zijn dat de kabel niet breekt; hij neemt nog
steeds de vloeibelasting op. Bij een gering aantal kabels zal het
vloeien van één kabel niet door de ligger worden gestopt en bezwijken
is bijna onvermijdelijk.
De conclusie is dat om redenen van veiligheid de voorkeur moet worden
gegeven aan een groot aantal kabels boven een gering aantal van 1
tot 3 kabels. Er zijn ook andere redenen - bijv. uitvoering - die
pleiten voor een groot aantal kabels met horizontale afstanden
globaal tussen 10 en 20 m (zie ook 11.8 ). Bovendien is het een
voudiger (en minder gevaarlijkI) bij een groot aantal kabels één
kabel te vervangen.
Een ander gevolg van een groot aantal kabels kan zijn dat de buigende
momenten zo klein zijn dat onder de gebruiksbelastingen er geen of
slechts geringe trekspanningen in de liggerdoorsnede optreden, omdat
de drTikkracht in de ligger tengevolge van de horizontale componenten
van de tuikrachten, de buigtrekspanningen onderdrukt (vooral nabij
de pyloon).
Theoretisch is geen wapening of voorspanning nodig, of erg weinig.
Maar hoe staat dit met betrekking tot de veiligheid?
Moet niet het gevaar voor brosse breuk onder de ogen worden gezien
bij geen of weinig wapening?
De hierboven bedoelde dimensionering, met geen of weinig wapening in
de ligger, berustte op de gebruikstoestand en de vergelijking met
toelaatbare spanningen.
We zullen nu nagaan hoe het wordt bij toepassing van de "load factor"-
methode, waarbij elke belasting met zijn eigen load factor wordt
vermenigvuldigd, waarna de hieruit volgende krachtsverdeling wordt
vergeleken met de sterkte van de doorsnede, of beter van de constructie.
10.2.1.3
Als bij een veeltuiensysteem de verkeersbelasting toeneemt (bijv. met
een load factor 2), nemen de buigende momenten ten naaste bij evenredig
toe, maar de normaalkracten veel minder.
Het eigen gewicht veroorzaakt namelijk slechts kleine buigende momenten,
maar de erdoor veroorzaakte normaalkrachten zijn groot; ze worden weinig
beïnvloed door de toeneming van de verkeersbelasting die gering is ten
opzichte van de totale belasting van de brug; fig. 10.2.1.2.
Als het eigen gewicht met zijn load factor wordt vermenigvuldigd (bijv. 1,6),
zullen de geringe buigende momenten tengevolge van eigen gewicht veel
meer dan evenredig toenemen (een factor 5 a 10 of meer is zeer goed mogelijk),
terwijl de normaalkrachten ten naaste bij evenredig toenemen; fig. 10.2.1.3.
Zowel door de toeneming van het eigen gewicht als van de verkeersbelasting
kunnen nu wel trekspanningen in het beton optreden die scheuren tot gevolg
kunnen hebben; om de doorsnede heel te houden is dus wapening of voor
spanning nodig.
Ook treden grote drukspanningen op, die de karakteristieke sterkte kunnen
benaderen of overschrijden.
Nu is het echter nog de vraag of de rotatiecapaciteit van de doorsneden
voldoende is om een voldoende herverdeling van krachten in de in hoge mate
statisch onbepaalde constructie te bewerkstelligen. De rotatiecapaciteit
is namelijk in het algemeen gering als gevolg van de grote normaalkracht.
Hierop wordt in 10.3.3 nader ingegaan.
Bij toepassing van de bezwijkmethode volgens de VB 1974 worden zowel eigen
gewicht als verkeersbelasting met eenzelfde factor 1,7 vermenigvuldigd.
Ook dit leidt tot een relatief grote toeneming van de buigende momenten
en een veel kleinere toeneming van de norraaalkrachten, zodat ook hier
weer een deel van de doorsnede op trek kan worden belast en dienovereen
komstig gewapend moet worden.
Men kan zich echter afvragen of een vermenigvuldiging van het goed bekende
eigen gewicht met een zo grote "veiligheidsfactor" reëel is, vooral om.dat
de erdoor veroorzaakte buigende momenten een veelvoud zijn van de werkelijk
optredende eigen gewichtsmomenten (die bij veel tuien erg gering zijn).
10.2.1.4
De grote toeneming van het buigend moment komt door de verende onder
steuning van de ligger door de tuien; elk verschil ten opzichte van
het eigen gewicht van de doorgaande ligger op vaste steunpunten
veroorzaakt relatief grote buigende momenten, omdat voor dit verschil
de ligger zich gedraagt als een ligger op verende steunpunten.
Wanneer nu wordt aangenomen dat de spreiding in het eigen gewicht
gering is - wat doorgaans het geval is -, en de semi-probabilistische
methode van de CEB-FIP Model Code 1978j J wordt toegepast, moeten
de spanningen worden vergeleken met de gereduceerde sterkte f, = f, : Y -—^ ^— d k m
In dit geval zijn de spanningen tengevolge van eigen gewicht (ten naaste bij)
constant en verschillen ze niet (of nauwelijks) van die in de gebruiks-
toestand.
Als er geen trekspanningen tengevolge van eigen gewicht zijn, komen die
er ook niet (of nauwelijks). Hier kunnen trekspanningen in de bezwijk-
toestand wel worden veroorzaakt door een toeneming van de verkeersbelasting,
maar niet door het eigen gewicht (behalve die tengevolge van secundaire
effecten).
Het is duidelijk dat temperatuur, krimp, kruip en zettingen ook trek
spanningen kunnen veroorzaken (zowel in de gebruikstoestand als in de
uiterste grenstoestanden).
10.2.2.1
10.2.2. Aërodynamische stabiliteit (zie ook 6.)
Bij het ontwerp van een brugconstructie op wind moeten in hoofdzaak
twee soorten windtrillingen worden onderzocht; resonantie en flutter.
Met name hangbruggen en tuibruggen zijn gevoelig voor windtrillingen;
de laatste doorgaans (veel) minder dan de eerste.
Er zijn theorieën ontwikkeld waarmee het mogelijk is om het gedrag
van tuibruggen onder windtrillingen bij benadering te voorspellen,
maar in alle gevallen worden de resultaten van de theorie gecontroleerd
door modelproeven in een windtunnel, waarin de hele brug of een deel
ervan worden beproefd.
Belangrijke onderzoekingen over dit onderwerp zijn gedaan sinds 19UO
(instorting Tacoma Bridge) in de VS, Engeland, Duitsland en Frankrijk;
in het laatste geval werd het ontwerp van een tuibrug in staal verge
leken met eenzelfde ontwerp in.beton (Pont de Brotonne; [ 278, 279, 28oJj
Uit de proeven blijkt dat resonantietrillingen in het algemeen van
geringe betekenis zijn, maar dat fluttertrillingen soms tot gevaarlijke
toestanden kunnen leiden. Tengevolge van de grotere massa is de
gevoeligheid van een betonnen tuibrug in de regel veel geringer dan
die van een stalen tuibrug.
De vorm van de dwarsdoorsnede speelt een belangrijke rol, evenals de
eigen frequenties van de brug (buiging en torsie).
Meer over dit onderwerp is te vinden in hoofdstuk 6.
10.2.3.1
10.2.3 Vermoeiing
Bij een stalen tuibrug is het gewicht van de rijvloerconstructie van dezelfde 2
orde van grootte (ca. 4 kN/m ) als de gelijkmatig verdeelde verkeersbelasting
Dit betekent dat de spanningsvariatie in de tuien van dezelfde orde van
grootte is als de spanning tengevolge van eigen gewicht.
Bij vermoeiing wordt de verhouding tussen laagste en hoogste spanning veelal
uitgedrukt door x = '^'y^'^^ ^'^'
Theoretisch zou de spanningsvariatie in de tui erg hoog kunnen zijn (x«0,2),
maar in de praktijk zal altijd een kleinste spanning van ca. 50% van de
hoogste waarde worden aangehouden (x50,5; fig.lO .2 . 3 .1).
Bij een betonnen tuibrug is het gewicht van de rijvloerconstructie ongeveer •
5 maal zo groot als dat van de gelijkmatig verdeelde verkeersbelasting.
Hier is de spanningsvariatie in de tuien tengevolge van verkeersbelasting
slechts ongeveer het zesde deel van de spanning tengevolge van alleen eigen
gewicht; de spanningsvariatie ligt in de buurt .van 20% van de gemiddelde
spanning a . ^ m
In het Smith-diagram van fig. 10.2.3.1, volgens de Duitse norm DIN 1073, is
het gebied van stalen en betonnen tuibruggen globaal aangegeven. Er blijkt
uit dat de toelaatbare hoogste spanning a in de tuien van een betonnen
tuibrug ongeveer 25% hoger is dan die in de tuien van een stalen tuibrug,
maar dat de gemiddelde spanning in de eerste aanzienlijk hoger (ca. 50%)
is dan die in de laatste.
Bij een betonnen tuibrug is de kans op bezwijken van de tuien op vermoeiing
zeer onwaarschijnlijk; alleen bij een gemiddelde spanning, die ten naaste
bij gelijk is aan de toelaatbare spanning, is het denkbeeldig.
Dit verschil ten gunste van een betonnen tuibrug wordt echter bij lange na
niet gecompenseerd door de vereiste tuidoorsnede, die voor een betonnen
tuibrug globaal drie maal zo groot is als voor een stalen tuibrug.
De spanningsvariatie in de stalen tuikabel kan verder worden verminderd -
en a verhoogd - door een omhulling van staal of beton (zie ook 7.5 en 7.5). m
Als een voorstander van betonnen omhullingen kan Prof. Morandi worden
beschouwd, getuige de tuibruggen van Maracaibo, Polcevara, Wadi Kuf, etc.
[042; 244|. Ook in Japan zijn betonnen kabelomhullingen toegepast [209],
evenals bij de Waalbrug Tiel [l84] ; zie ook 7.5.
10.2.3.2
Stalen omhullingen zijn toegepast bij de Pont de Brotonne [334j ; zie ook
ook 7.5.
Een bijkomend voordeel van betonnen of stalen omhullingen is dat de
stijvere kabels minder vervorming van de ligger toelaten, zodat de
buigende m.omenten kleiner zijn. Zoals ook reeds in 7.6 is opgemerkt
wordt de verhoogde doorsnedestijfheid grotendeels teniet gedaan door de
grotere doornanging door het verhoogde eigen gewicht van de kabel, waardoor
de effectieve stijfheid sterk terugloopt.
De economie van met beton omhulde tuien moet sterk worden betwijfeld.
10.2.u.1
10.2.U. Brand en aanrijding (zie ook 7.9)
De kans op ernstige schade aan een brug door brand is veel groter
dan de kans op schade door overbelasting, vooral bij lange bruggen.
Er zijn verschillende gevallen bekend van ernstige schade aan
bruggen door brand, bijna uitsluitend door het in brand raken van
voertuigen met brandbare inhoud, op of onder de brug
Ook in Nederland is enige jaren geleden een spoorbrug over een
verkeersweg ernstig beschadigd, toen een vrachtauto na een botsing
onder de brug in brand raakte .
Bij een tuibrug zijn vooral de kabels zeer gevoelig voor brand en
zij moeten dienovereenkomstig worden beschermd, vooral de lage
delen. De omhulling van de kabel moet niet alleen brandbestendig
zijn, maar moet ook de kabel beschermen tegen mechanische be
schadiging door aanrijding.
Een stalen omhulling met een asbesten vulling zal een aanrijding
beter doorstaan dan een brosse asbesten omhulling. Een goede
bescherming voor brand en aanrijding is ook een plaatselijke beton
omhulling van voldoende afmetingen (maar een betonomhulling over
de hele lengte van de kabel is een dure aangelegenheid; zie ook 7-6).
Bovendien moet een direc öe aanrijding werden voorkomen of afgeleid
door een vangrail aan één of beide zijden van het tuivlak (resp.
twee of één tuivlak(ken). Zeer effectief is ook het onderste deel
van de kabel onder te brengen in een sterke betonnen "tand" op de
brugconstructie (fig.7-9-U ).
De hoge sterktekwaliteit van het kabelmateriaal wordt door een
brand van voldoende intensiteit en duur gereduceerd tot een waarde
in de buurt van de sterkte van gewoon zachtstaal, zodat de sterkte
van de kabel als geheel met een factor U tot 6 kan teruglopen;
in elk geval een veel groter bedrag dan de veiligheidsfactor
(2 a 2,5).
Het hangt van de afstand van de tuien en de wapening van de
verstijvingsligger af of de brug zo'n grote sterktereducutie van
één of meer kabels kan verdragen.
10.2.U.2
Met een beperkte tuiafstand en voldoende doorgaande langswapening
onder en boven in de ligger is het zeer goed denkbaar dat de
constructie in staat is de krachten volgens het nieuwe statische
systeem op te nemen, zij het in onbelaste toestand en met een
lagere veiligheid. Met een grote tuiafstand is het echter bijna
onmogelijk om de brugligger zo te ontwerpen dat één kabel (van
de twee of drie tuikabels) kan uitvallen en dat de brug toch heel
blijft; het zou in elk geval een zeer oneconomische constructie
worden (zie ook 10.2.1).
Het plotselinge breken van een kabel zal worden vergezeld door
een sterk dynamisch effect. Hierover is weinig bekend, maar uit
proeven op kabels is altijd een aanzienlijke vervorming en het
breken van een aantal draden geconstateerd alvorens algeheel
bezwijken optrad; de kabel waarschuwt flink. Plotselinge tuibreuk
zou kunnen worden veroorzaakt door botsing met een vliegtuig,
of door een explosie, maar het is vrijwel ondoenlijk bij het
ontwerp met gebeurtenissen van deze aard rekening te houden.
10.3.0.1
10.3. Onderzoek van het draagvermogen van een tuibrug
10.3.0 Beschrijving van de constructie
De hier onderzochte tuibrug bestaat uit een middenoverspanning
tussen de pylonen van 300 m en twee zijoverspanningen van elk
120 m (fig. 10.3.1). De brugligger is aan de einden vrij opgelegd
op de landhoofden; in het midden van elke zij overspanning en
ter plaatse van de pylonen op pijlers. De pyloonpijlers nemen
ook horizontale krachten op. De middenoverspanning heeft een
inhangdeel van 40 m. Het dek heeft een breedte van 43,60 m en
bestaat uit een driecellige kokerligger met een breedte van 18 m
en een hoogte van 3,50 m; het dek kraagt 12,80 m naar weerszijden
uit.
De horizontale afstand tussen de evenwijdige harptuien is 60 m;
de helling ervan 2:3. Elke tuikabel heeft een netto staaldoorsnede 2
van 0,177 m ; hij bestaat uit 38 kabels van 121 paralleldraden 2
(j) 7 mm, met een breuksterkte van 1500 N/mm .
De tuikabels zijn zo gespannen dat onder eigen gewichtsbelasting
de snijpunten van brugliggeras en tuikabels op één horizontale
rechte lijn liggen; hierbij is rekening gehouden met de elastische
verkorting van ligger en pyloon.
De brugligger gedraagt zich voor eigen gewicht als een ligger op
vaste steunpunten.
De vervormingen tengevolge van krimp en kruip worden gecompenseerd
door een lengtecorrectie van de tuien.
De pyloon heeft een hoogte van 80 m boven het brugdek; hij heeft
een over de hoogte constante doorsnede van 7 x 3,5 m, waarbij de
afmeting van 3,5 m evenwijdig is aan de brugas.
Onder de brug worden pyloon en brugligger gesteund door een 20 ra
brede pijlerconstructie, gefundeerd op betonpalen.
De hele constructie is ontworpen in gewoon grindbeton, behalve
de (geprefabriceerde) uitkragingen van het brugdek, die in licht
beton zijn gedacht.
10.3.1.1
10.3.1 Elastisch ontwerp van de brug
De afmetingen, stijfheden, gewichten, enz. zijn geschat uit een
voorlopige ontwerpberekening en ze zijn gecorrigeerd als de
resultaten van de computerberekening daartoe aanleiding gaven.
Dè brugconstructie is berekend als een elastisch, vlak raamwerk
met behulp van een ICES-STRUDL-programma.
De verkeersbelasting is volgens klasse 60 van de V0S3.
Toen de krachten, momenten, enz. uit eigen gewicht, verkeers
belasting, temperatuur, krimp, kruip, wind, enz. bekend waren,
zijn de betondoorsneden van ligger en pyloon zodanig gewapend
en/of voorgespannen, dat onder de gebruiksbelasting de toelaatbare
spanningen in het beton en staal niet werden overschreden.
De methode van het berekenen van betondoorsneden volgens de
bezwijkmethode geeft alleen een betrouwbare indruk van de veiligheid
voor stat_isch bepaalde constructies (de zgn. load-factor; zie 10.1.3
Hij geldt niet voor statisch onbepaalde constructies, zoals tui
bruggen .
Daarom is het alleen mogelijk een meer betrouwbaar idee van de
bezwijkbelasting van de brug - en daarmee van de veiligheid - te
krijgen door de verkeersbelasting geleidelijk te verhogen tot
bezwijken optreedt, daarbij rekening houdend met de invloeden van
scheurvorming en plastische scharnieren op de krachtsverdeling
gedurende het aanbrengen van de belasting.
10.3.2.1 •
10.3.2 Berekening van de bezwijkbelasting
10.3.2.1 Uitgangspunten
Om het gedrag van een constructie onder toenemende belasting
te kunnen volgen, is het nodig rekening te kunnen houden met
alle invloeden die een verandering teweeg kunnen brengen in
het statisch gedrag van de constructie of zijn onderdelen,
zoals: elastische en plastische vervormingen, scheurontwikkeling,
plastische scharnieren, excentriciteiten, e.d. Het werkelijke
materiaalgedrag moet zo goed mogelijk in rekening worden gebracht.
Daartoe kon worden beschikt over een computerprogramma, waarmee
het mogelijk was rekening te houden met de fysische en geometrische
niet-lineariteit tijdens het stapsgewijze opvoeren van de belasting.
(Cement XXI (1969), nr.9).
De mogelijkheden van dit programma zijn sterk vergroot door een
methode, waarmee het mogelijk is met vrij realistische M-N-K-
relaties te rekenen, die zijn afgeleid op grond van gegeven a-e -
diagrammen van de materialen (Cement XXIV (1972), nr.ll; Cement XXV
(1973) , nr.l).
De liggerdelen van 60 m tussen de tuien zijn verdeeld in 10
elementen (van ongelijke lengte), elk met hun eigen doorsnede
grootheden (EA, EI, neutrale lijn, liggeras, hoeveelheid en plaats
van de wapening, excentriciteit, kromming, plaats en grootte van
de voorspankracht, enz.).
10.3,2.2
10.3.2.2 Fysische en geometrische niet-lineariteit
Er zijn twee soorten van niet-lineair gedrag:
- de fysische niet-lineariteit van de spannings-rekrelatie
van de materialen;
- de geometrische niet-lineariteit van de constructie-onderdelen_,
die een niet te verwaarlozen verandering van de geometrie
(vorm) van de constructie veroorzaakt, en die kan leiden tot
belangrijke secundaire effecten (momenten, doorbuigingen)
en tot verlies van stabiliteit, vooral bij aanwezigheid van
grote normaalkrachten; superpositie is niet meer toegestaan.
De fysische niet-lineariteit is benaderd met de bilineaire a-e-
diagrammen voor beton en staal (fig. 10.3.2). Het beton kan geen
trek opnemen.
Met deze geïdealiseerde o- e -diagrammen en de doorsnede-
eigenschappen berekent de computer het M-N-K-diagram voor de
gegeven combinatie van M en N. Bij lage N-waarden heeft het
M-N-K-diagram een nagenoeg horizontale tak voor hoge M-waarden.
Een lang horizontaal deel wijst op een grote rotatiecapaciteit.
Met toenemende waarde van N neemt de rotatiecapaciteit van de
doorsnede af, en bij een zekere (lage) waarde ervan wordt
bezwijken van de doorsnede niet meer voorafgegaan door plastische
rotatie, maar treedt het op als plotseling bros bezwijken.
Met kruip is rekening gehouden door invoering van de effectieve
E-modulus : E = -—-. 9 l+q)
Dit geldt eigenlijk alleen voor permanente belasting, niet voor
verkeersbelasting.
Het programma houdt rekening met de excentriciteit tussen de
aangenomen as van de ligger en het inelastische stijfheids
zwaartepunt van een doorsnede, waarbij alleen het beton onder
druk met zijn echte E-waarde wordt gerekend, en het trek- en
dr'ukstaal, eveneens met hun bijbehorende E-waarden, afhankelijk
van hun spanningstoestand (fig. 10.3.2.).
Het programma houdt geen rekening met herverdeling van krachten
tengevolge van veranderde stijfheden.
10.3.2.3
10.3.2.3 Toeneming van de verkeersbelasting tot bezwijken
De constructie werd eerst alleen belast met permanente belasting (PB),
inclusief voorspanning, en alle krachten, momenten, spanningen, rekken en
vervormingen tengevolge hiervan werden in een groot aantal punten van
ligger en pyloon berekend.
Deze belastingtoestand is in fig.lO.3.3 met O aangeduid.
Daarna werd de constructie belast met een fictieve verkeersbelasting, achter
eenvolgens gelijk aan 1, 2, 4, 8, 12 en 16 maal de ontwerpwaarde van de
verkeersbelasting VB =0,05 MN/m. Dit is in fig.lO.3.3 met 1, 2, 4, 8, 12, 16
aangegeven. In de tekening is doorgaans maar een beperkt aantal stadia aan
gegeven om het geheel overzichtelijk te houden.
De verkeersbelasting werd aangebracht als in fig.lO.3.3-a aangegeven, dus
over de hele middenoverspanning en de beide buitenste zijoverspanningen;
dit bleek de ongunstigste toestand te zijn.
Voor elke belastingstap werden de specifieke rekken in boven- en ondervezel
berekend (fig.lO.3.3-d en e) en vergeleken met de "vloeirek" (fig.lO.3.3,links)
om daaruit af te leiden, wanneer een stijfheidsverandering moest worden
ingevoerd. Daarbij werd aangenomen dat het beton bij een trekspanningO scheurde.
Aangetoond kan worden dat in werkelijkheid de scheurvorming tot boven 4VB
zou worden uitgesteld, omdat de daarbij optredende trekspanning nog steeds
beneden de treksterkte was. Spanningen tengevolge van temperatuur en krimp
zouden echter het optreden van scheuren kunnen versnellen; deze spanningen
zijn van dezelfde orde van grootte als die tengevolge van de verkeersbelasting.
De vervormingen van de constructie bleken tot BVB nagenoeg lineair te zijn;
verder werd voor die belasting nog nergens de uiterste spanning (f' of f ; c sy
zie o-e-diagram) bereikt en bleven de tuien geheel in het elastisch stadium.
De zeer geringe toeneming van de tuistijfheid tengevolge van het strekken
(vermindering van de doorhanging van de tuikabel bij verhoogde spanning) werd
niet in rekening gebracht, maar dit was zonder veel extra werk mogelijk geweest.
Zelfs bij 12VB waren de verplaatsingen nog vrijwel lineair, ofschoon er
rekening was gehouden met sterke scheurvorming op een aantal plaatsen (trek
sterkte O!) en met het feit dat de betonstuik plaatselijk de "vloei"-waarde
(1,59 /oo) had overschreden (fig.10.3.3-d). Wel kon hieruit worden afgeleid
dat het bezwijken spoedig moest plaatsvinden.
Uit fig.10.3.3-d kon worden geconcludeerd dat bezwijken moest optreden tussen
12 en 16VB, omdat bij 16VB de betonstuik op twee plaatsen de grenswaarde van
3,5 /oo overschreed, nl. in het midden van het eerste veld, in de bovenvezel,
en even rechts van het tweede steunpunt, in de ondervezel; bovendien vloeide
in het eerste geval ook de wapening. Het a-e-diagram voor de computer eindigde
namelijk niet bij 3,5 /oo, maar liep door.
10.3.2.4
Proberenonderwijs was het zeker mogelijk geweest de waarde van de fictieve
verkeersbelasting te vinden, waarbij voor het eerst de grenswaarde van de
betonstuik werd overschreden. De conclusie dat bezwijken zou optreden
tussen 12 en 15V3 werd echter voldoende nauwkeurig geacht.
Het bleek ook dat een geringe plaatselijke vergroting van de wapening
voldoende zou zijn geweest om het bezwijken tot boven 16VB uit te stellen.
Voor de bezwijkbelasting BB is daarom gesteld:
PB + 12 VB <BB <PB + 16VB (1)
De verhouding PB:VB is ongeveer 12.
Volgens onze vroegere RVB 1968 moet de bezwijkbelasting tenm.inste zijn:
BB > 1,75 PB + 2,25 VB (2)
Met PB = 12VB wordt vergelijking (1):
PB + 12 VB = PB + PB = 1,75 PB + 0,25 PB = 1,75 PB + 3 VB <BB (3)
BB <PB + 16VB = 1,75 PB + 7VB ' (3)
In beide gevallen wordt aan het (oude) voorschrift voldaan.
Volgens de huidige VB 19 74 geldt algemeen dat
BB > 1,7 (PB + VB) (4)
Hieraan wordt in dit geval zonder meer voldaan.
Hoewel in beide gevallen met een geringere voorspanwapening had kunnen
worden volstaan, is hieraan niet verder gerekend.
Wel wordt nog opgemerkt dat, als het mogelijk is de bezwijkbelasting te
vergroten door een geringe, plaatselijke vergroting van de (voorspan)-
wapening (zoals hier in het eerste veld), dit altijd aanbeveling verdient,
ook al is het niet strikt nodig. Men verkrijgt dan een constructie met een
meer homogeen verdeeld bezwijksterkte. Vanzelfsprekend moet dit niet tot
in het extreme worden doorgevoerd.
Maar hoe staat het met de geldigheid van de hier getrokken conclusies ten
aanzien van de veiligheid?
De bezwijkbelasting is verkregen door het laten toenemen van de verkeers
belasting in de eindvelden en in de hoofdoverspanning, tussen de pylonen
(fig.10.3 .3-a), maar niet in de tweede velden. De permanente belasting
werkt echter (vrijwel) over de hele lengte.
Daarom kan verkeersbelasting niet worden omgezet in permanente belasting,
of omgekeerdI Dit is alleen mogelijk als zowel verkeersbelasting als
permanente belasting over de hele lengte aanwezig zijn.
De enige reële conclusie is dat de constructie een draagvermogen heeft
tussen PB + 12VB en PB + 15VB.
Een betere benadering wordt gegeven in het volgende hoofdstuk.
10.3.2.5
10.3.2,1^ De benadering volgens de CEB-FIP Model Code 1978
Is het reëel het eigen gewicht (c,q, de permanente belasting) van een
constructie met een veel van 1 verschillende factor, bijv. 1,75 of 1,7
in rekening te brengen?
Als een constructie alleen door eigen gewicht wordt belast, is een toe
neming van betekenis van deze belasting praktisch onmogelijk; de meeste
eigen- gewichtsbelastingen van constructies zijn binnen een marge van
± 4 a 5% bekend; een onzekerheidsfactor van 1 ± 0,10 is reeds een zo
hoge waarde, dat de zo berekende eigen gewichtsbelasting als een ont'/zerp-
waarde kan worden beschouwd, waarvan de kans op een hogere of lagere
waarde praktisch te verwaarlozen is.
Bezwijken wordt echter niet alleen veroorzaakt door de kans op het toe
nemen van het eigen gewicht, het kan ook een gevolg zijn van een (plaatselijke)
sterktevermindering.
De sterkte van een materiaal is een statistische waarde. In de CEB-FIP
Model Code wordt de karakteristieke sterkte f gedefinieerd als de sterkte
waarbij de kans op een lagere waarde 5% is. Uitgedrukt in gemiddelde waarde f
en standaardafwijking s- komt dit neer op:
\ -- m - 1'^^ =f ^1^
Voor ontwerpberekeningen wordt deze karakteristieke sterkte f, gereduceerd
tot de ontwerpsterkte f, door f te delen door een "onzekerheidsfactor"
Y >1, die rekening houdt met de kans op een lagere waarde dan f, , maar
ook met eventuele kleine fouten in de afmetingen, de plaats van de wapening,
het statisch gedrag, e.d.:
d = V^m (2) Volgens de CEB-FIP Model Code is een gemiddelde waarde van Y voor beton
1,4, voor staal 1,15.
Daarom moet de karakteristieke sterkte van beton worden gereduceerd met
een factor ^j— = 0,7; van staal met -—T- - 0,87:
f' = 0,7 f' ; f , = 0,87 f , (3) cd ck sd sk
Het a-e-diagram voor beton wordt dan als in fig.10.3.4. Dit betekent dat
het "vloeien" van het beton eerder wordt bereikt.
Het blijkt dat de staalsterkte niet doorslaggevend is.
Het draagvermogen van de constructie, berekend met de gereduceerde beton
sterkte, moet voldoende zijn om het eigen gewicht en de nuttige belasting,
elk vermenigvuldigd met hun eigen vergrotingsfactor Y , te dragen.
10.3.2.5
Voor de eigen-gewichtsbelasting, waarvan de variatie afhangt van de nauw
keurigheid waarmee het volumegewicht (vocht, o.a.) en de afmetingen bekend
zijn (en die weer samenhangen met de mate van toezicht en controle tijdens
de bouw of de fabrikage), is een waarde Y = 1 ± 0,1 aangenomen.
Voor de verkeersbelasting lijkt een waarde van Y tussen 1,5 en 2,0 aan
vaardbaar; ook deze hangt af van de nauwkeurigheid waarmee de verkeers
belasting kan worden voorspeld of geschat.
De aanduiding Y .PB + Y -VB wordt toegepast voor de permanente belasting
over de hele lengte en de verkeersbelasting op de meest ongunstige plaats
(fig.10.3 .3-a) . Het bleek dat de krachten tengevolge van de combinatie
1,1.PB + 2,0.VB gemakkelijk door de constructie konden worden opgenomen,
als deze werd berekend met de ontwerpsterkte f , = 0,7 f', . cd cK
Het extra draagvermogen kan worden uitgedrukt als de factor, waarmee de
vereiste bezwijkbelasting (BB = 1,1.PB + 2,0VB) moet worden vermenigvuldigd
om tot bezwijken te leiden.
Het zal duidelijk zijn dat ook de combinatie BB = 0,9.P3 + 2,0VB moet
worden beschouwd, evenals BB = 1,1.PB en BB = 0,9.PB.
Tot nu toe is aangenomen dat de maximale of de minimale waarde van de
permanente belasting optrad over de hele lengte van de brug. Het is echter
ook mogelijk dat de permanente belasting over de lengte varieert tussen
deze - dichter bijeenliggende - waarden, waardoor een veel ongunstiger
toestand dan de eerste zou kunnen optreden, bijv. op dezelfde wijze als
de meest ongunstige verdeling van de verkeersbelasting (fig.10.3.3-a).
Daarom is de permanente belasting verhoogd met 0,1 PB in het eerste veld
en tussen de pylonen en verlaagd met 0,1.PB in het tweede veld.
Volgens fig.10.3.5 kan dit worden omgezet in een gelijkmatig verdeelde
permanente belasting O,9.PB over de hele lengte, en een belasting op het
"belaste" deel gelijk aan O,2.PB + 2VB. Dit kan worden omgezet in 2,4.
2,4.VB + 2,0.VB = 4,4.VB.
Daarom moet het belastingeffect van 0,9 PB + 4,4 VB worden vergeleken met
het draagvermogen van de constructie, berekend met de ontwerpsterkten. Het
bleek dat dit weer eenvoudig te doen was, hoewel met minder reserve.
Er wordt echter op gewezen dat de waarschijnlijkheid van een toevallige,
gelijktijdige variatie van permanente en verkeersbelasting in dezelfde
ongunstige zin in de verschillende delen veel geringer is dan een gelijk
tijdige variatie van belastingen in dezelfde zin over de hele lengte.
Bij het vergelijken van belastingen moet met deze geringere waarschijnlijk
heid rekening worden gehouden.
10.3.2.7
Hetzelfde geldt voor de kans op afwisselend belaste en niet-belaste delen,
ten aanzien van verkeersbelasting. De kans op volbelasting over de hele
lengte zal in het algemeen groter zijn dan die op een toevallige combinatie
van belaste en onbelaste delen, die de ongunstigste toestand oplevert.
Het is nog niet mogelijk dit op een wetenschappelijke wijze in rekening
te brengen door het ontbreken van voldoende statistische gegevens over
werkelijke brugbelastingen.
Brosse breuk
De verstijvingsligger bezwijkt niet in eerste instantie door het vloeien
van het staal, maar door het verbrijzelen van het beton (fig.lO.3.3-d en e).
Tengevolge van de grote normaaJkracht is de rotatie-capaciteit van de
betreffende doorsneden gering (zie ook 10.3.3). Zulke brosse breuken
zijn dikwijls van plotselinge aard, zonder waarschuwing door sterke
scheurvorming of doorbuiging.
Uit fig.10.3.3 kan echter worden afgeleid dat beide "waarschuwingen" ver
voor het bezwijken optreden: zowel ernstige scheurvorming als een door
buiging van meer dan 1,5 m in het midden ( > 1). Dit moet duidelijk
zichtbaar zijn. Nog duidelijker echter is de doorbuiging in het eindveld:
ca. 0,50 m bij een overspanning van 50 m, dus ca. -—r— 11
Er is dus voldoende waarschuwing en er hoeft dus geen rekening te worden
gehouden met een kleinere veiligheid door het optreden van brosse breuk.
IC. 3.3.1
10.3.3. Andere bepaling van de bezwijkbelasting
Volgens een iets afwijkende methode is de bezwijkbelasting bepaald van
het ontwerp van de symmetrische tuibrug volgens fig.10.3.3.1.
Deze brug is ontworpen met toelaatbare spanningen in de tuien en in het
beton. De ligger is voorgespannen met gebogen voorspanelementen (fig.10.3.3.2 ) ,
maar wel zodanig dat de doorsnede van de voorspanwapening volgens
de klassieke bezwijkberekening (1,7.M ) van de maatgevende doorsnede(n) max *=
aan de zuinige kant was, zodat verwacht mocht worden dat ook de veilig
heidsmarge volgens de CEB-FIP-benadering maar net voldoende was.
De voorspanning heeft in alle velden een identiek verloop, behalve in de
buitenste halve eindvelden. Ter vereenvoudiging is aangenom.en dat de
voorspankracht over de hele lengte gelijk blijft. Daardoor kan worden vol
staan met het bepalen van de M-N- en M-K-relaties voor een viertal iden
tieke doorsneden I t/m IV (fig. 10 . 3. 3.2. , waarvan er in fig. 10 . 3. 3 .3., twee
zijn gete.kend (I en IV). Deze zijn gebaseerd op de a-e-diagrammen van de
VB 1974, gereduceerd met de bijbehorende materiaalcoefficient Y (fig.10,3 .3 .4.
terwijl rekening is gehouden met de plaats en de grootte van de voorspan
kracht F , welke laatste wordt beïnvloed door de grootte van de aange
brachte normaalkracht N.
Met de gereduceerde a-e-diagrammen zijn in de eerste plaats de M-N-diagrammen
bepaald voor de lineair-elastische, ongescheurde fase (dus e = O en
e' = 2,5 /oo; resp. f = O en f' = f',); verder de M-N-diagrammen bij het c ' c c cd c j
bereiken van de vloeigrens f , in het staal (niet getekend) en tenslotte
de M-N- en M-K-relaties voor de bezwijktoestand (fig.10.3.3 .3).
De stijfheidsvariaties, die het gevolg zijn van scheurvorming (f = O) en
het bereiken van één van de boven bedoelde toestanden, zijn bij de berekening
van de krachtsverdeling in rekening gebracht.
Uitgegaan is van de combinatie van M en N tengevolge van eigen gewicht en
voorspanning. Omdat volbelasting over de hele lengte maatgevend bleek,
is het eigen gewicht met een Y = 1,1 in rekening gebracht.
Eigenlijk had dan de voorspanning met een factor Y < 1 in rekening moeten
worden gebracht, maar dit ging voor een afstudeerontwerp te ver; bovendien
mag worden betwijfeld of de kans op het tegelijk optreden van een 10%
groter eigen gewicht èn van een gereduceerde voorspanning nog reëel is.
De momentenverdeling tengevolge van eigen gewicht en voorspanning is in
fig.10.3.3.5 weergegeven; de normaalkracht in het gedeelte tussen de tuien
is dan N = 25 MN. In de fig.lO.3.3.3-a en b is deze toestand met (T) aangegeven.
10.3.3.2.
Het aanbrengen van de (karakteristieke) verkeersbelasting q levert
punt (2) en de momentenlijn van fig.10,3.3.5-b. De punten (T) en (T)liggen
voor elke doorsnede binnen het M-N-diagram voor de lineair-elastische,
ongescheurde fase.
De punten voor de ontwerpwaarde voor de verkeersbelasting (q = 1,5 q ) Q k
liggen voor alle doorsneden binnen het M-N-diagram voor het bereiken van
de vloeirek van het staal (niet getekend in fig.10.3.3.3-a en b) en (dus)
ook binnen het M-N-diagrara voor bezwijken. Dit betekent dat de veiligheid
volgens de hier toegepaste semi-probabilistische benadering (CEB-FIP 1978)
voldoende is.
Teneinde een idee te krijgen van de marge tegen bezwijken, v.'ordt de be
lasting opgevoerd. Het eerste plastisch scharnier ontstaat bij een belasting,
gelijk aan l,73.q , en wel in het midden (punt 11) bij M = +172 MNm en N =O K
(geen normaalkracht door de tuienl).
Het bijbehorende momentenverloop is in fig.10.3,3,5-c weergegeven.
Uit fig.lO.3.3.3-b blijkt dat dit scharnier een grote rotatiecapaciteit heeft
(K =/>'20.10""^).
De volgende twee plastische scharnieren ontstaan tegelijk in de ligger ter
plaatse van de pyloonoplegging (punt 5) bij l,85.q, (M = -220 MNm, N = -38MN;
punt (4) in fig.lO.3 .3.3. Voor momentenverloop zie fig.lO.3.3.5-d.
Uit fig.10.3.3.3-a blijkt dat de bij dit scharnier behorende rotatiecapaciteit -3 -3
erg klein is; K = 'V1,5.10 (van ongescheurd — K = 0,5.10 —tot bezwijken
- K= 2.10"^).
Toch kan de belasting nog flink worden opgevoerd alvorens de grens van deze
beperkte rotatiecapaciteit is bereikt. Dit is het geval bij een belasting van ca. 3,4.q over de hele lengte. Het bijbehorend momentenverloop is
k in fig.10.3.3.5-e weergegeven. De bijbehorende vervorming is in fig.10.3.3.5-f weergegeven. Het feit dat 11 niet gelijk is aan cfi wordt verklaard door het in rekening brengen van de
elastische vervormingen; door de ondersteuning door de tui in punt 9 buigt
het liggergedeelte 5-11 zodanig door dat t^ wordt vergroot en <^ wordt
verkleind.
Het moet echter niet uitgesloten worden geacht dat bij volbelasting van
alleen het brugdeel tussen de pylonen reeds eerder in de eindvelden een
tweede plastische scharnier zou zijn ontstaan, maar dan door een negatief
moment; er zit namelijk geen voorspanwapening bovenin de eindvelden.
10.3.3.3.
Het momentenverloop voor dit geval is weergegeven in fig.10.3.3.6. Het vloei-
moment in doorsnede 11 wordt bereikt bij l,8.q .
Bij vergroting van de belasting tot 2,54.q treedt het tweede plastisch
scharnier op in doorsnede 5. Het blijkt dat de momentnormaalkrachtcombinatie
in doorsnede 4 (M = -64 MNm; N = -45 MN) ruim binnen het bijbehorende M-N-
diagram (hier niet getekend) ligt, zodat het voortijdig ontstaan van het
hier bedoelde plastisch scharnier in (of nabij) doorsnede 4 niet zal plaats
hebben. Trouwens, dan zou er nog geen mechanisme zijn ontstaan (fig.lO.3.3.5-a);
daarvoor is nog een plastisch scharnier nodig.
Ook andere combinaties van afwisselend belaste en niet-belaste velden zijn
nagegaan, maar volbelasting over de hele lengte bleek de kleinste bezwijk-
waarde te geven (3,4.q ). Weliswaar is ook hier nog geen mechanisme ontstaan,
maar de rotatiecapaciteit van doorsnede 5 is ten einde; de grens van' de
betonstuik (3,5 /oo) is bereikt.
Deze beperkte rotatiecapaciteit is een gevolg van de normaalkracht N, de
horizontaal ontbondene van de tuikracht.
Wordt N kleiner, dan neemt de rotatiecapaciteit direct sterk toe (fig.10.3.3.3-a); -3
voor N = O ligt de kronmiing in de buurt van 10.10
Uit fig.10.3.3,3-a blijkt dat een aangroeiende normaalkracht N aanvankelijk het
ontstaan van trekscheuren uitstelt en het bezwijkmoment vergroot, maar de
rotatiecapaciteit verkleint. Overschrijdt N een bepaalde waarde, dan neemt
het bezwijkmoment weer af, maar ook de rotatiecapaciteit loopt terug, tot
hij bij de maximale normaalkracht en een kleine waarde van M (snijpunt
links in figuur) nul is; N en M leveren dan, tezamen met F , een gelijk-, P
matige spanningsverdeling in de doorsnede (a = f' ),
Als de kans op het bereiken van het 1,1-voudige eigen gewicht voldoende
klein wordt geacht, is een 1,73-voudige vergroting van de karakteristieke
verkeersbelasting q nodig om het eerste plastische scharnier te doen K
ontstaan; bij l,85,q ontstaan de twee volgende plastische scharnieren en
bij 3,4,q is de rotatiecapaciteit van deze plastische scharnieren uitgeput,
Er is dan echter nog geen mechanisme ontstaan. Er bestaan echter nog geen
rekenregels om de invloed van het bezwijken van de drukzone in rekening te
brengen op het vermogen van de doorsnede om momenten en normaalkrachten
op te nemen, zodat met deze (gereduceerde) opnamecapaciteit verder gerekend
zou kunnen worden. Stellen we deze O voor het moment - wat veel te ongunstig
is -, dan bezwijkt de constructie door het ontstaan van plastische scharnieren
in 3 en - waarschijnlijk - in 7, waardoor een mechanisme ontstaat,
10,3.3.4.
Aangetoond is dat de ligger altijd eerder bezwijkt dan de tuien of
de pyloon (voor dit geval).
Men kan zich afvragen of de rotatiecapaciteit van doorsnede I niet kan
worden vergroot.
Zonder iets aan de doorsnede te veranderen, is dit alleen mogelijk door
de normaalkracht te verkleinen (fig.lO.3.3.3-a).
Dit is mogelijk door steilere tuien toe te passen. Dit betekent echter
wel langere tuien en een hogere pyloon.
Het is ook mogelijk door lichtbeton toe te. passen in plaats van grindbeton.
Hierdoor worden zowel M als N tengevolge van eigen gewicht gereduceerd,
zodat punt ^F) in de richting van de oorsprong beweegt.
Een plaatselijke vergroting van de doorsnede van de onderflens zal de
resultante N doen zakken en daarmee de neutrale lijn (kleinere x), zodat c
de kromming (K = e' /x) groter wordt. ° max °
Een verkleining van de hoogte van de doorsnede heeft eenzelfde effect,
maar het opneembaar moment wordt veel kleiner.
10.3.4.1
10.3.4 Conclusies (gedeeltelijk geldig voor alle brugtypen).
1. Voor zowel stalen als betonnen bruggen dient naar meer uniformiteit
in brugbelastingen te worden gestreefd; dit geldt ook voor dynamische
effecten, belastingreductie als functie van de lengte en het aantal
rijstroken, e.d. De gegevens dienen te worden verkregen uit waar
nemingen van werkelijke brugbelastingen.
2. Voor alle soorten bruggen moet hetzelfde veiligheidsbeginsel worden
toegepast.
3. De belastingfactormethode levert onaanvaardbare resultaten bij
combinaties van vaste en verende steunpunten. De variatie van het
eigen gewicht moet met zijn werkelijke waarde in rekening worden
gebracht.
4. De semi-waarschijnlijkheidsbenadering van CEB-FIP is een aanvaardbare
basis voor het ontwerp van brugconstructies met een bepaalde mate van
veiligheid.
5. In de stabiliteits- en bezwijkberekening moet het werkelijk materiaal
gedrag in rekening worden gebracht, evenals tweede-orde effecten
tengevolge van doorbuigingen (elastische en plastische vervormingen,
scheurvorming, tijdsafhankelijke invloeden, enz.).
Speciaal voor betonnen tuibruggen:
6. Aan een groot aantal tuien moet de voorkeur worden gegeven boven een
gering aantal, om verschillende redenen (uitvoering, veiligheid;
progressive collapsel).
7. Brand en botsingen vormen een reëel gevaar voor stalen kabels; ze zijn
ernstiger dan overbelastingI
8. Vermoeiing vormt nauwelijks een gevaar voor de tuien,
9. Wind is zelden gevaarlijk.
10. Ér moet nog veel onderzoek worden gedaan op het gebied van de veiligheid
van bruggen in het bijzonder en vooral op dat van tuibruggen, die nog
aan het begin van hun ontwikkeling staan.
11. TUIBRUGGEN. UITVOERINGSPROBLEMEN
11.1. Inleiding
11.2. Steigerloze uitbouw
11.3. Uitbouwen van een deel van de dwarsdoorsnede
11.4. Uitbouwen met hulptuien, met of zonder hulpligger
11.5. Uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen
11.6. Bijzondere uitvoeringsmethoden
11.7. Het aanbrengen van de tuien
11.8. De invloed van variabele tuiafstanden op de krachts
verdeling in een tuibrug bij verschillende bouwstadia
11.1.1
11. Uitvoeringsproblemen
11.1. Inleiding
Het is natuurlijk mogelijk de ligger van een tuibrug op de traditionele
manier ter plaatse te storten op een plaatsvaste of verschuifbare
bekisting, die rust op een steigerwerk, dat de belasting op de onder
grond overbrengt.
Het is ook mogelijk de ligger op te bouwen uit geprefabriceerde
elementen, die op eenzelfde steigerwerk worden opgelegd; hierbij is
de dure bekisting op de bouw vervangen door de veel effectievere
bekisting in de fabriek.
Meer hierover is te vinden in de handleiding Betonnen Bruggen van
schrijver dezes.
In vele gevallen is het bovenstaande echter een veel te dure en soms
onmogelijke werkwijze. Bij grote hoogte onder de brug, slechte
ondergrond, diep water, grote stroomsnelheid, e.d. wordt de steiger-
constructie economisch of technisch zeer onaantrekkelijk of zelfs
(vrijwel) onmogelijk.
Druk scheepvaartverkeer, eisen van waterafvoer e.d. kunnen zelfs
het plaatsen van steigerconstructies geheel verbieden. Maar ook in
uiterwaarden kan het risico van overstroming, ijsafvoer, o.d. het
toepassen van een steigerwerk onaantrekkelijk maken.
Redenen genoeg om aan andere uitvoeringsmethoden te denken, waarbij
bijna vanzelfsprekend wordt uitgegaan van de voor "gewone" bruggen
gebruikelijke uitvoeringsmethoden. Het ligt daarbij voor de hand te
trachten van de aanwezigheid van de tuien een nuttig gebruik te maken.
Dat dit tot aantrekkelijke mogelijkheden leidt, maar ook de nodige
problemen meebrengt, zal uit het volgende blijken.
Een algemeen probleem wordt reeds hieronder gesignaleerd.
Een tui wordt normaal gedimensioneerd op het eigen gewicht van een
liggerdeel met een lengte (ten naaste bij) gelijk aan de tuiafstand,
vermeerderd met de maximale verkeersbelasting. Bij het uitbouwen
echter zal de laatste tui, vlak voordat de volgende wordt aangebracht,
globaal een liggerdeel met een lengte gelijk aan tenminste tweemaal
de tuiafstand, krijgen te dragen; de voorlaatste tui daarentegen
wordt ontlast (zie ook 11.8).
11.1.2.
Voor een betonnen tuibrug, waarvan het eigen gewicht al gauw 90%
van de totale belasting is, betekent dit dat de laatste tui bij de
bouw tot tenminste 180% van zijn ontwerpbelasting wordt belast, wat
zelfs bij de gebruikelijke 2,5-voudige veiligheid van stalen tui
kabels toch wel een rigoureuze reductie van de veiligheid betekent I
Maar ook zal de vervorming van de zo zwaar belaste tui evenredig toe
nemen, wat weer consequenties voor de liggermomenten inhoudt.
In het volgende wordt aangegeven hoe aan deze en andere bezwaren
tegemoet kan worden gekomen. Deel 11.8 is geheel gewijd aan de vraag
hoe groot de tuiafstand bij toepassing van steigerloze uitbouw ten
hoogste mag zijn om deze methode nog economisch toe te kunnen passen.
De brug kan worden ontworpen op de gebruikstoestand alsof hij in één
keer gebouwd was (iets anders is trouwens bijna niet mogelijk). Hij
moet worden gecontroleerd op alle fasen in de bouwtoestand, rekening
houdend met alle belastingen die daarbij kunnen optreden, en met de
tijdsafhankelijke invloeden. Naar aanleiding daarvan moeten eventueel
sommige afmetingen worden aangepast, de voorspanning (tijdelijk)
worden vergroot of verplaatst, enz.
In het navolgende worden achtereenvolgens behandeld:
- steigerloze uitbouw van de pyloon uit (11.2);
- uitbouwen van een deel van de dwarsdoorsnede (11.3);
- uitbouwen met hulptuien, met of zonder hulpligger (11.4);
- uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen (11.5);
- bijzondere uitvoeringsmethoden (11.6).
Verder wordt in 11.7 het aanbrengen van de tuien behandeld, terwijl in
11.8 wordt nagegaan, welke tuiafstanden zonder hulpconstructies haalbaar
zijn en hoe de krachtsverdeling in de brug tijdens de bouw kan worden
bepaald door de brug als het ware te "demonteren".
11.2.1
11.2 Steigerloze uitbouw
Het lijkt voor de hand liggend bij tuibruggen, die nagenoeg symmetrisch
zijn ten opzichte van de pyloon, de ligger van de pyloon uit naar
weerszijden uit te bouwen, en telkens als een gedeelte, gelijk aan
de tuiafstand, gereed is, het volgend stel tuien aan te brengen;
een soort steigerloze uitbouw dus, met ter plaatse gestorte of gepre
fabriceerde moten, maar zonder gebruik te maken van de traditionele,
op de ondergrond steunende steiger- en bekistingsconstructie.
Trouwens, bij steigerloze uitbouw van "normale" bruggen wordt soms
wel een tijdelijke tuiafspanning toegepast; bijv. bij steigerloze
uitbouw van over meer steunpunten doorgaande bruggen (fig.11.2.1).
Zie ook de handleiding Betonnen Bruggen van schrijver dezes, waarin
de hier bedoelde uitvoeringsmethoden uitvoerig worden beschreven.
Zo eenvoudig als het lijkt, is het echter niet.
Zo is voor het vlot verlopen van de steigerloze uitbouw bij voorkeur
een constante dwarsdoorsnede nodig, zodat de bekisting over de hele
lengte gelijk is; of anders een doorsnede, die geleidelijk verloopt,
zodat de bekisting eenvoudig aangepast kan worden. Dit geldt zowel
voor steigerloze uitbouw met ter plaatse gestorte als met geprefa
briceerde moten.
Bij tuibruggen wordt de dwarsdoorsnede verstoord door de tuiaan
sluitingen en (soms) door dwarsdragers daar ter plaatse. Voor de
tuiaansluitingen kan meestal worden volstaan met een vrij beperkte,
plaatselijke aanpassing van de bekisting. Verder kan gebruik v/orden
gemaakt van geprefabriceerde tuiverankeringen, die in de bekisting
worden gemonteerd (zie ook 7.10.3). Het onderbrengen van de tui
verankeringen in een voldoende dik lijf over de hele lengte kan een
oplossing zijn voor een gelijkblijvende bekisting, maar het vereist
wel meer materiaal over de hele lengte; en ook blijft het feit dat
het inbouwen van de verankering het regelmatige patroon van het
aanbrengen van de wapening verstoort.
Zoals in 8.1 is aangegeven kan de belasting (eigen gewicht en
verkeersbelasting) in langs- of in dwarsrichting op de tuien worden
overgebracht. In het laatste geval zijn ter plaatse van de tuien
dwarsdragers nodig over de volle breedte, in de vorm van schijven
(volle wand) of diagonalen (trek of druk).
11.2.2
Deze verstoren de uitvoering sterk en voor toepassing van de steigerloze
uitbouwmethode komt een oplossing met belastingoverdracht in langs
richting het meest in aanmerking. Bij een centraal tuivlak betekent dit
dus een centrale hoofdligger (kan ook kokerligger zijn), bij twee
tuivlakken twee hoofdliggers ter plaatse van de tuivlakken (wat ook
weer kokerliggers mogen zijn; zie o.a. A.18).
Bij brede bruggen zal een uit twee of meer kokers bestaande dwarsdoorsnede
in dwarsrichting moeten worden verstijfd, voor zover althans geen dwars
dragers worden toegepast. De dwarsdoorsnede gedraagt zich als een Vierendeel-
constructie en deze is bij grote breedte relatief buigslap. Dit is te
verbeteren door in elke rechthoekige koker trek- of drukdiagonalen aan
te brengen, waarbij de verstijving door de laatste effectiever zal zijn
dan door de eerste (minder vervorming; zie ook 8.1.1).
Als trekdiagonalen kan worden gedacht aan Dywidag-voorspanstaven, maar
ook voorspankabels komen in aanmerking. Daar het eigen gewicht ook hier
weer het grootste aandeel in de totale belasting heeft, is dè spannings
variatie door verkeersbelasting niet groot (orde van grootte 20%), zodat
de vervormingen van de trekdiagonalen- en daarmee de buigende momenten
in de onderdelen van de Vierendeeliigger - beperkt blijven. De staven
zijn na het passeren van de uitbouwbekisting snel en eenvoudig aan te
brengen. Ze moeten ook in de koker wel worden beschermd.
De trekdiagonalen kunnen aanzienlijk worden verstijfd door een omhulling
met beton, die tevens onder voorspanning wordt gebracht. Dit vereist
echter wel veel meer werk, en het is de vraag of de zo bereikte ver
stijving nodig is.
Het aanbrengen van (geprefabriceerde) drukdiagonalen is veel moeilijker,
vooral als ze onder druk moeten worden aangebracht. Dit is wel aan te
bevelen, omdat anders vrij grote vervormingen moeten optreden, voordat
de diagonalen hun optimale kracht leveren. Nu is het wel zo dat de
aldus opgewekte momenten aan relaxatie onderhevig zijn, maar de druk-
diagonaal kruipt ook onder invloed van de druk, zodat van een belangrijke
herverdeling van krachten geen sprake zal zijn.
Een andere verschil met steigerloze uitbouw zonder aftuien is het volgende.
Zonder aftuien ontstaat boven het steunpunt een met de vrij uitkragende
lengte (bijna kwadratisch) toenemend buigend moment, waaraan de meeste
bruggen volgens deze methode gebouwd hun karakteristieke vorm ontlenen;
grote hoogte boven het steunpunt; relatief kleine hoogte in het veld.
De voorspanning zit hoofdzakelijk bovenin.
11.2.3
Bij tuibruggen wordt na het passeren van de eerste tuiaansluiting
de bijbehorende tui aangebracht en op een zekere kracht gespannen,
waardoor het buigende moment bij het pyloonsteunpunt nog slechts
weinig verandert. Het gewicht van de brugverlengingen wordt telkens
door een stel tuien opgenomen.
Doorgaans echter zal ook de tuiafstand groter zijn dan de bij
steigerloze uitbouw normale mootlengte van 3 a 4 m. Het gewicht
van de moten zonder tuiaansluiting zal dan eerst door voorspanning
moeten worden gedragen. Tot 3 a 4 mootlengten is dit meestal wel
mogelijk zonder (veel) meer dan de voorspanning die toch al voor de
gebruikstoestand nodig is (zie ook 11.8). Bij grotere tuiafstanden
moet extra voorspanning worden toegepast (eventueel ten dele tijdelijk)
of moeten andere maatregelen worden genomen (zie 11.3 en 11.4).
Bij vrij grote afstand tussen de ondersteuning ter plaatse van de
pyloon en de eerste tui (zie o.a. fig.3.6.1 t/m 3.6.3) kan dit
eerste deel geheel als een brug in steigerloze uitbouw worden uitge
voerd, zo nodig met variabele hoogte, waarna na het passeren van de
eerste tui op constante hoogte kan worden overgegaan. De stabiliteit
van dit brugdeel kan op de "gebruikelijke" manier worden verkregen
door afstempeling op de pijler/pyloonfundering.
Soms wordt alleen de hoofdoverspanning in steigerloze uitbouw uitgevoerd,
uitgaande van de reeds gebouwde zij overspanningen. Dit komt vooral in-
aanmerking als in de zij overspanningen één of meer extra steunpunten
mogelijk zijn, zodat (ten naaste bij) dezelfde overspanningen worden
verkregen als voor de aansluitende aanbruggen, waardoor de zij overspanningen
op dezelfde - meestal voordeliger - wijze kunnen worden gemaakt als de
aansluitende aanbruggen (fig. 11.2.2). Na het aanbrengen van de tuien
kunnen eventueel de extra steunpunten worden weggenomen (fig. 11.2.2-rechts).
Dit gaat echter wel ten koste van de stijfheid van het geheel.
11.3.1
11.3 Uitbouwen van een deel van de dwardoorsnede
Een methode om een te grote tuibelasting te voorkomen is de ligger
niet over de volle doorsnede uit te bouwen, maar slechts over een
deel ervan, bijv. de middelste koker(s), en de doorsnede later te
voltooien, bijv. met een nakomende uitbouwwagen of met geprefabri
ceerde onderdelen (fig.11.3.1). Dit vooruitgebouwde deel van de
dwarsdoorsnede moet dan wel in staat zijn zichzelf, de eventuele
uitbouwwagen en de tuiaansluiting als vrije uitkraging te dragen;
eventueel kan een hulptui worden overwogen (zie 11.4). De belasting
op de laatste tui wordt in elk geval geringer. Bij het voltooien
van de doorsnede hebben we te doen met een door tuien ondersteunde
uitkragende ligger.
Wel ontstaat het probleem in hoeverre het naderhand aangebrachte
beton met het eerder aanwezige (beide gestort en/of geprefabriceerd)
samenwerkt, omdat beide waarschijnlijk ongelijke eigenschappen
(ouderdom, kruip, E-modulus, krimp) en spanning zullen hebben.
Verwacht mag worden dat kruip en relaxatie een nivellerende invloed
hebben.Het probleem kan worden opgelost met de door Ir. Roelfstra
bij zijn eindstudie ontwikkelde methode FCement, mei + juni 1980J ,
die waarschijnlijk nog verder zal worden vervolmaakt. Ook in de
aan het eind van dit stuk opgenomen artikelen staan bruikbare aan
wijzingen voor de bouw van bruggen waarvan de dwarsdoorsnede niet
in één keer wordt voltooid.
Met het bovenstaande moet bij het ontwerpen van de dwarsdoorsnede
rekening worden gehouden. De vooruit te bouwen koker(s) moet(en)
voldoende sterkte en stijfheid hebben tegen buiging en wringing,
en de naderhand aan ze brengen delen moeten ermee tot één samen
werkend geheel kunnen worden verbonden. Dat dit bepaald geen
eenvoudige zaak is, is wel bij een aantal studieontwerpen gebleken,
o.a. A.18 (fig.11.3.2). Het door middel van voorspanning in dwars
richting verbinden van de kokers en de geprefabriceerde liggers
ertussen heeft veel hoofdbrekens gekost en een alleszins bevredigende
oplossing is eigenlijk niet bereikt.
Het probleem is het goed bevestigen van een ligger in dwarsrichting
aan een koker, als beide ongelijke hoogte hebben. De onderflens
van de ligger trekt of drukt dan tegen het lijf van de koker, dat
daartegen over de hele lengte bestand moet zijn.
11.3.2
Verbinding door voorspanning stuit op moeilijkheden bij het plaatsen
van de verankeringen, zodanig dat er gespannen kan worden. Door het
plaatsen van de liggers tussen de kokers zullen deze willen ver
draaien, wat verhinderd moet worden, bijv. door de einden tijdelijk
door middel van een staalconstructie wringstijf te koppelen (fig.11.3.2).
Een lijm- of contactvoeg komt niet in aanmerking, want voor het
monteren van de ligger is speling nodig. Dit maakt specie- of beton-
voegen nodig; het verharden daarvan kost echter tijd.
De lijm- of contactvoeg komt wel in aanmerking voor het verbinden van
de liggers in langsrichting van de brug, op dezelfde wijze als dit
bijv. bij het SDK-systeem gebeurt (contactvoeg met voorspanning).
Tijdens het verharden van het beton kunnen temperatuurvariaties ver
vormingen veroorzaken die het voegenbeton doen scheuren. Vroegtijdige,
beperkte voorspanning, zonwering en verstijvende maatregelen van
tijdelijke aard kunnen het gevaar hiervoor zoveel mogelijk verkleinen.
Hier worden helaas meer de problemen gesignaleerd dan dat één of
meer aanvaardbare oplossingen worden gegeven. Misschien moet de
oplossing in een andere richting worden gezocht. Deze wordt in het
volgende hoofdstuk aangegeven, maar brengt, naast goede ideëen, ook
weer de nodige problemen meel
Er zijn ook ontwerpen geweest, waarbij het middelste deel van de
doorsnede, bij toepassing van een centraal tuivlak werd uitgebouwd
(fig.11.3.3) en de doorsnede naderhand met geprefabriceerde elementen
werd voltooid (o.a. A-05).
Literatuur over spanningsveranderingen in betonconstructies, die uit
verschillende delen zijn samengesteld.
1. Walser: Kriech- und Schwindeinflüsse bei den spater betonierten Gesimsen von Spannbetonbrücken. Bauingenieur 10/1964, p.409-414.
2. Schade/Haas: Elektronische Berechnung der Auswirkungen von Schwinden und Kriechen bei abschnittsweise hergestellten Verbundstabwerken. Heft 244 Deutscher Ausschug für Stahlbeton.
3. Trost/Wolf: Zur wirklichkeitsnahen Ermittlung der Beanspruchungen in abschnittsweise hergestellten Spannbetontragwerken. Bauingenieur 5/1970, p. 155-169.
4. P. Schroder: Spannungsumlagerungen infolge zeitabhangigen Beton-verhaltens in Koppelfugen abschnittsweise hergestellter Spannbeton-tragwerke. Beton- und Stahlbetonbau 6/1978, p. 145-151.
5. Tadros, Gali, Dilger: Longterm Stresses -and Deformations of Segmental Bridges. Journal Prestressed Concrete Institute, 7/8/1979, p.66-87.
11.4.1
11.4. Uitbouwen met hulptuien met of zonder hulpligger
Hulptuien worden niet alleen toegepast bij tuibruggen. Ze komen
in aanmerking voor alle gevallen waarin een ligger door zijn
beperkte hoogte niet in staat is een bepaald zeer groot, maar
tijdelijk, moment in de bouwtoestand op te nemen. Hierbij wordt
een sterke vergroting van de hefboomsarm toegepast; de trekkracht
wordt geleverd door één of meer hulptuien en de drukkracht door
de ligger zelf. De afstand tussen hulptuien en ligger - de hef
boomsarm - wordt in stand gehouden door een drukelement tussen
ligger en hulptuien, bij een tuibrug pyloon genoemd (fig.11.4.1).
Een voorbeeld van toepassing van hulptuien is het al in 11.2
genoemde geval van steigerloze uitbouw van een over meerdere
steunpunten doorgaande brug (van één of beide landhoofden uit;
fig.11.2.1). -sx
Bij tuibruggen komen hulptuien in de eerste plaats in aanmerking
om de laatste, zwaar belaste tui bij toepassing van de steigerloze
uitbouwmethode te ontlasten (zie 11.2). Ze kunnen bijv. aan
ingestorte Dywidag-ankerstaven worden bevestigd (zowel in ligger
als in pyloon) ; de Dywidagstaven kunnen in verzonken moffen worden
geschroefd, zodat na verwijdering het gat eenvoudig kan worden
gedicht (fig.11.4.2). De hulptuien zelf moeten op eenvoudige wijze
kunnen worden gespannen, bijv. met een spanvijzel aan één kant.
Ook is het mogelijk de hulptui met een vrij lichte kabel (onder
een grote hoek met de tui, ca. 90 ) onder spanning te brengen
door de kabel aan te trekken (fig.11.4.3).
De methode van uitbouwen met hulptuien en hulpligger komt in
aanmerking bij relatief grote tuiafstanden, als de uitkraging,
gelijk aan de tuiafstand (of iets meer) niet meer door de ligger
kan worden gedragen. Het behoeft nauwelijks te worden betoogd
dat dan de laatste tui zeker te zwaar zou worden belast, zodat
toepassing van alleen hulptuien niet in aanmerking komt. De •
grens ligt hier bij een tuiafstand van 15 a 20 m (zie ook 11.8).
Bij grotere tuiafstanden kan het liggerdeel, gelijk aan de tui
afstand, worden gestort in een bekisting, die wordt ondersteund
door een stalen hulpliggerconstructie, die aan de ene kant
scharnierend aan het reeds gestorte brugdeel is bevestigd, en aan
de andere kant is opgehangen aan een aantal hulptuien (fig.11.4.4).
11,4,2
Tijdens het storten zal de belasting van de hulptuien voortdurend toenemen,
waardoor ze langer worden en het gestorte brugdeel aan dat einde zakt,
Ze zullen dus of bijgesteld moeten kunnen worden of van tevoren zoveel
worden ingekort dat het brugdeel na het storten de juiste
hoogte heeft. Dit laatste is waarschijnlijk het eenvoudigst te realiseren.
Teneinde te vermijden dat de voeg met het gereed zijnde deel tijdens het
storten open gaat staan (door verlenging van de hulptui en/of doorbuiging
van de hulpligger), moet het storten plaatsvinden naar de voeg toe
(zodat deze dus het laatste wordt gesloten).
Maar ook na het storten zal de lengte van de hulptuien aan variatie onder
hevig zijn als gevolg van temperatuurwisselingen, zodat een mogelijkheid
van bijregelen van de tuikracht wel gewenst is.
In het pas gestorte brugdeel moet zo gauw mogelijk enige voorspanning
worden aangebracht. Hiertegen mag de stalen hulpligger zich niet teveel
verzetten.
Na het volledig voorspannen van de ligger en het aansluiten van de
definitieve tui(en) kan de kracht in de hulptuien geleidelijk worden
afgelaten en tegelijkertijd die in de definitieve tui(en) worden opgevoerd.
Daar de hulptuien aan de bekistingconstructie zijn bevestigd, zal bij
het verder aflaten van de hulptuien de bekisting los komen van het
gestorte brugdeel en verwijderd kunnen worden om voor het volgende deel
te worden gebruikt.
In het geval van de Waalbrug bij Tiel is de hulptui voor het tweede
brugdeel ondersteund door een schoor (fig.7.5.4), om een in vertikale
zin stijver geheel te krijgen dan bij toepassing van een rechte hulptui;
een eenvoudige Williot-figuur maakt dit direct duidelijk; zie ook fig. 11,4,4.
De kracht in de relatief dunne hulptuien kan veel gemakkelijker worden
geregeld dan die in de veel dikkere tuien. De kracht in de combinatie van
tui en hulptui(en) kan dan ook het beste via de hulptui worden geregeld
(mits de variatie niet te groot is).
11.5.1
11.5 Uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen
Geprefabriceerde onderdelen moeten getransporteerd en gemonteerd
kunnen worden. Dit legt beperkingen op aan de afmetingen en het
gewicht, afhankelijk van de wijze van transport en de hijsapparatuur.
Waar dit algemeen geldt voor de toepassing van geprefabriceerde
(brug) onderdelen - en dus niet specifiek voor tuibruggen - wordt
er hier niet verder op ingegaan en wordt verwezen naar de handleiding
"Prefabricage in beton" van Prof. Bruggeling, e.a. of naar de hand
leiding Betonnen Bruggen van schrijver dezes.
Wel spelen transport en montage een belangrijke rol bij de toepassing
van prefabricage van betonnen tuibruggen en in het volgende zal een
aantal aspecten ter sprake komen.
Wat de lengte betreft komen voor tuibruggen het meest in aanmerking
geprefabriceerde onderdelen ter lengte van de tuiafstand, omdat dan
elk onderdeel direct na het plaatsen door de bijbehorende tui(en) kan
worden gedragen.
Met het oog op een hanteerbaar gewicht mag dus de tuiafstand niet te 2
groot zijn. Bij een gewicht van 15 a 20 kN/m is het gewicht van een
10 m lange en 20 ra brede moot 3000 a 4000 kN, en dit gewicht kan
vrijwel alleen door middel van een dri2vende kraan worden geplaatst,
waardoor de mogelijkheden van toepassing sterk worden beperkt. Ook
zou een dergelijk gewicht eventueel met behulp van hijsapparatuur
02_de brug kunnen worden opgehesen (fig.ll.5.1). Het nadeel is dan
wel dat de belasting van de laatste tui weer tot het bijna tweevoudige
van de eigen gewichtsbelasting toeneerat (zie ook 11.1 en 11.8). Dit
is niet het geval bij plaatsing met een drijvende (of rijdende) kraan,
raits deze het element zolang vasthoudt tot de bijbehorende tui is
aangebracht.
Geprefabriceerde onderdelen kunnen tijdelijk worden ondersteund met
een hulpconstructie op of onder de brug. Ook tijdelijke ondersteuning
met het hijswerkpuig is mogelijk, raaar duur als het lang duurt (vooral
bij drijvende kranen; in iets raindere mate bij raobiele kranen; af
hankelijk van de kraancapaciteit). De beweeglijkheid van het hijs
werktuig (golven, wind, e.d.) kan de toepassing in sommige gevallen
in de weg staan.
11.5.2
De hier bedoelde zware elementen kunnen vrijwel alleen over water
worden aangevoerd. Als dit niet mogelijk is (bijv. boven uiter
waarden), zouden ze eventueel op de bouwplaats kunnen worden
geprefabriceerd, maar ook dit vereist weer zware transportapparatuur,
Het voordeel van elementen met een lengte gelijk aan de tuiafstand
is dus dat ze direct na het plaatsen aan de tui(en) kunnen worden
opgehangen. Wel moet bij het verzorgen van de voeg rekening worden
gehouden met tuibewegingen tengevolge van dagelijkse temperatuur
variaties .
Met het oog daarop kan het nodig zijn dat het element tijdens het
uitvoeren van de voeg door een tijdelijke verstijvingsconstructie
wordt vastgehouden. Na het verharden van de voeg (lijm of beton)
kan de taak van deze verstevigingsconstructie door blijvende langs
voorspanning worden overgenomen.
Het meest aantrekkelijk zijn lijmvoegen, omdat de voorspanning
hierbij vrijwel onmiddellijk na het sluiten van de voeg kan worden
aangebracht (in elk geval gedeeltelijk). Lijmvoegen zijn o.a. toegepast
bij de montage van de elementen van de Pasco-Kennewickbrug in de
staat Washington (V.S.)i 427J ; zie ook fig. 8.1.2.4. De elementen hadden een
lengte gelijk aan de tuiafstand (8,23 ra) en een breedte gelijk aan 2
de volle brugbreedte. Ze wogen ca. 14 kN/ra en werden geplaatst •
door ophijsen met behulp van hijsapparatuur op de.brug.
Contraraallen zou ook kunnen (contactvoegen dus), maar voor zover
bekend is het nog niet toegepast. De voeg moet dan wel zodanig worden
voorgespannen dat er tijdens de bouw en erna geen trek van betekenis
in kan optreden.
Betonvoegen komen minder in aanmerking; ze vragen veel tijd en moeten
tijdens de verharding worden gevrijwaard. tegen vervormingen (voornamelijk
tengevolge van temperatuur).
Moten, korter dan de tuiafstand, wegen minder en zijn daarom aan
trekkelijker. Ze kunnen tot een lengte van ca. 2,5 ra over de weg
worden aangevoerd. Ze wegen dan in de buurt van 1000 kN (bij een brug
breedte van 20 a 25 m) en kunnen dus met behulp van één of twee
mobiele kranen worden geplaatst. Ook ophijsen raet behulp van hijs
apparatuur op de brug is mogelijk. De moten moeten tijdelijk door
voorspanning en/of een hulpconstructie worden vastgehouden tot de
aansluitraoot voor de volgende tui is geplaatst en deze tui kan worden
aangesloten.
11.5.3
Dit betekent echter weer een aanzienlijke overbelasting van de
laatste tui (evenals bij grote moten; zie hiervoor), tenzij elke
moot wordt voorzien van een tijdelijke aftuiing, die na het aanbrengen
van de definitieve tui wordt verwijderd. Zie ook 11.8.
Het bezwaar kan ook worden ondervangen door de toepassing van gepre
fabriceerde moten ter lengte van de tuiafstand, maar met een breedte,
die maar een deel is van de totale brugbreedte; de rest wordt ter
plaatse gestort of aangevuld met andere geprefabriceerde delen (fig.ll..3.1 ).
Het voordeel is dat deze moten met betrekkelijk lichte apparatuur kunnen
worden geplaatst en direct daarna door de tui(en) worden gedragen.
Het zal daarbij niet altijd mogelijk zijn de tui(en) direct op de
juiste kracht of lengte aan te spannen; na het voltooien van de doorsnede
kan een correctie nodig zijn.
Uitbouw van slechts een deel van de dwarsdoorsnede betekent voor een
tuibrug met centraal tuivlak uitbouw van het middelste deel van de
brugdoorsnede; voor een tuibrug met twee tuivlakken zullen de delen van
de doorsnede ter plaatse van de tuivlakken worden uitgebouwd (zie ook 8.1.1
en 3.1.2). Bij de dimensionering van deze delen moet erop worden gerekend
dat ze het gewicht van de later aan te brengen delen naar de tuiaan-
i sluitingen over kunnen brengen. In de regel zal dit neerkomen op een
één- of tweecellige kokerligger.
Ook bij geprefabriceerde moten heeft het zin de dwarsdoorsnede over de
lengte zoveel mogelijk gelijk te houden, zodat de (dure) bekisting zo
weinig mogelijk behoeft te worden aangepast. Daarom kunnen de tui
aansluitingen het beste in een apart deel van de dwarsdoorsnede worden
ondergebracht, waarvan de bekisting met weinig kosten kan worden
aangepast, terwijl de rest van de dwardoorsnede gelijk blijft. De tui
aansluitingen kunnen bijv. worden ondergebracht in een verbreed lijf,
aan de zijkanten van de brug, enz. (fig.11.5 .2 ) . ) . Ook heeft het zin
gegrefabriceerde_tuiverankeringen toe te passen van hoge betonkwaliteit,
die in de te storten prefabmoot worden ingebouwd (zie ook 7.10.3 ).
Het voordeel van harptuien is hierbij dat alle tuiaansluitingen gelijk
kunnen zijn; bij waaiertuien wisselt de hoek voortdurend en meestal
zijn de krachten ook niet gelijk. Ook tuiverankeringen, waarbij de tui
boven de ligger wordt aangesloten, komen in aanmerking (fig.7.10.4).
Bij prefabricage is toepassing van een dwarsdrager ter plaatse van de
tuiaansluiting minder bezwaarlijk dan bij toepassing van steigerloze
uitbouw (zie 11.2), vooral als het gaat om elementlengten gelijk aan
de tuiafstand. Weliswaar zal de bekisting iets duurder worden dan zonder
dwarsdrager, maar het verwijderen van de bekisting levert geen probleem op.
11.5.4
Bij toepassing van elementlengten kleiner dan de tuiafstand kan een
aparte bekisting worden toegepast voor het element dat de dwarsdrager -
en meestal ook de tuiaansluiting - bevat (fig.ll.5.3 ).
Ook combinaties van ter plaatse storten en geprefabriceerde onderdelen
komen in aanmerking, vooral als de brugbreedte groot is. Zo kan men bijv.
de liggerdelen ter plaatse van de tuivlakken met de steigerloze uitbouw-
methoden uitbouwen (zie ook 11.2) en - na voorspannen van het uitgebouwde
deel en aftuien ervan - de doorsnede voltooien met geprefabriceerde
onderdelen (zie ook 8.1.1 en 8.1.2). Dit is o.a. toegepast in het afstudeer
onderzoek .A.18(variant Willerasburg, Rotterdam).
Bij de Pont de Brotonne [334j zijn de schuine zijwanden van de kokerligger
(ter lengte van 3,0 m) met de aanzetten van dek en onderflens, op de
bouwplaats geprefabriceerd; na het monteren ervan in de ligger is. de dwars
doorsnede voltooid met ter plaatse gestort beton (fig. 8.1.1.11).
Aanvoer van de geprefabriceerde onderdelen oY E_' Ë"'-_Y2l!È22i Ê_ EyS§Ë Ë l'*-®
komt vrijwel alleen in aanmerking bij twee tuivlakken; bij één tuivlak
wordt het wringend moment al gauw ontoelaatbaar groot (tenzij speciale
maatregelen worden genomen, bijv. tijdelijk aftuien van de belaste zijde).
Onderdelen van de volle brugbreedte moeten bij het transport over de brug
worden gedraaid, zodat ze de tuien kunnen passeren; voor het aanbrengen
moeten ze weer in de goede stand terug worden gedraaid.
Variaties van de hier genoerade methoden zijn door verschillende af
studeerders voorgesteld en gedeeltelijk uitgewerkt, zowel voor als na
het tot stand komen van de uitgevoerde bruggen.
11.6.1
5 Bijzondere uitvoeringsmethoden
Bij grote tuiafstanden is het moeilijk of bijna onmogelijk de
brug van de pyloon naar weerszijden uit te bouwen; de vrije uit
kragingen worden te groot en het is alleen mogelijk ze op te
vangen met dure hulpconstructies, bijv. vele hulptuien op korte
afstand, of een sralen bekistingligger met één of twee zware
hulptuien, zoals in Tiel is gedaan [184; 185 ]; fig. 1.4.3 en 7.6.4.
Toch is de constructie met grote tuiafstanden aantrekkelijk, niet
alleen omdat het aantal tuien en tuibevestigingen gering is, maar
vooral als de vereiste hoogte van de ligger toch al zodanig is
dat een grote tuiafstand uit dien hoofde geen bezwaar is. In Tiel
bijv. was de liggerhoogte van het tuibruggedeelte min of meer
bepaald door de hoogte (3,50 m) van de aansluitende bruggedeelten
over de uiterwaarden raet overspanningen van 78,5 ra, dus veel
groter dan de tuiafstand van 47,5 m.
De kostbare uitbouwconstructie is nodig als in de rivier geen
tijdelijke ondersteuningen kunnen of mogen worden geplaatst (water
afvoer, scheepvaart). Zou dat wel kunnen, dan zou de brugconstructie
veel goedkoper kunnen worden gemaakt raet behulp van een plaatsvaste
of verschuifbare bekisting. Nog minder kostbaar dan een onder
steuningsconstructie in de rivier is een ondersteuning van de
bekisting op het land, maar dit is alleen mogelijk voor de gedeelten
boven de uiterwaarden.
Deze gedachte heeft één van de studenten ertoe aangezet naar een
methode te zoeken, waarbij deze goedkope bouwwijze raet onder
steuning op het land mogelijk was I A-05J. Hij stelt voor elke
brughelft te bouwen op een steigerwerk op de oever, evenwijdig aan
de rivier- of kanaalas, en het geheel, na het aanspannen van de
tuien, te draaien in het horizontale vlak tot in de definitieve
stand, met de as van de pyloon als vertikale draaiingas (fig.ll.6.1
Het tot pijler verbrede ondereinde van de pyloon glijdt hierbij over
cirkelvormige teflon glijopleggingen en wordt geleid door een vrij
lichte as in het hart van de pyloon.
Het landeinde van de brug loopt hierbij over een kwartcirkelvormige
rail, ongeveer halverwege de uitkraging (fig.ll.5.1).
11.5.2
Omdat de brug ten opzichte van de pyloon in evenwicht is, is de druk
op deze rail gering; alleen voor het verzekeren van de stabiliteit
tijdens het draaien is het nodig het landeinde tijdelijk te verzwaren
(bijv. door middel van ballast), zodat de brug raet een zekere positieve
reactie op de rail drukt. Ter plaatse van deze rail bevindt zich ook
de trekinrichting, waarmee de brug gedraaid wordt.
De tijdelijk draaiconstructie van de pijler wordt na afloop met beton
aangestort, zodat de definitieve constructie zich niet onderscheidt
van een ter plaatse gestorte pijler.
De praktische realiseerbaarheid van deze werkwijze werd door berekeningen
voldoende aangetoond. Voorwaarde is wel dat de bouw op de oever evenwijdig
aan de rivieras gerealiseerd kan worden en niet in gevaar komt door hoog
water, o.d.
Voor zover ons tot dan toe (eind 19 72) bekend, was een soortgelijke
werkwijze nog nooit in de bruggenbouw toegepast. Voor andere dan tui
bruggen korat hij dan ook nauwelijks in aanraerking.
Groot was dan ook onze verrassing toen op het FlP-congres in New York
(1974) door de Oostenrijkse delegatie een ontwerp werd gepresenteerd
van een tuibrug over het Donaukanaal, die op een vrijwel identieke wijze
zou worden gebouwd (en inraiddels is gebouwd; fig.1.4.7) I 350J .
Hier zijn twee constructeurs bijna op hetzelfde raoraent, maar geheel
onafhankelijk van elkaar, op hetzelfde originele idee gekoraen, de
tweede waarschijnlijk raeer ervaren dan de eerste, maar ervaring is
klaarblijkelijk geen voorwaarde voor het bedenken van oorspronkelijke
oplossingen. Ook jonge ingenieurs - in dit geval nog niet afgestudeerd -
blijken soms onverwachte en originele ideëen te hebben, die op grond van
hun onervarenheid vaak niet au serieux worden genomen of als te
fantastisch van de tafel worden geveegd, maar waartussen toch enkele
blijken te kunnen zitten, die serieuze nadere overweging verdienen.
Zo was er ook het op zichzelf gezonde idee de pyloon en de uitkragende
brughelften in vertikale stand naast elkaar te bouwen met behulp van
een glijbekisting (fig.11.6.2), een zeer econoraische werkwijze
voor constructies met gelijkblijvende doorsnede. Hierbij dient de pyloon
als stabiliserend element tijdens de bouw. Na voltooiing van het glij-
proces laat men de brughelften door middel van de tuikabels in horizontale
stand zakken, waarbij ze draaien om het verbindingspunt met de pyloon.
• 11.6.3
De enorme krachten die daarbij optreden, kunnen echter door geen
enkele lier, o.d. worden opgenomen, zeker niet als daarbij nog de
(uiteindelijke) tuikabels als lierkabels moeten worden gebruikt. Ook
het draaipunt van de brughelften en de pyloon leverde onoverkomelijke
moeilijkheden op. Dit wil niet zeggen dat in de toekorast hiervoor
wellicht nog eens een oplossing wordt gevonden.
Soms kan de situatie aanleiding geven tot het toepassen van een
bepaalde bouwmethode. De ontwerpers van de tweede tuibrug (A-02) hadden
een situatie, waarbij het kanaal, waarover de tuibrug moest worden
gemaakt, nog gegraven moest worden (fig. 11.5.3).
Zij hebben van deze omstandigheid gebruik gemaakt door de brug ter
plaatse te bouwen op een zandlichaam, en aan dit zandlichaam een zodanig
langsprofiel te geven dat de brug na het aanbrengen van de tuien en het
weggraven van het zandlichaam juist de goede vorm aannam, waarbij de -
aanvankelijk spanningsloze en rechte - tuien automatisch op de juiste
spanning kwamen. De methode bleek zeer eenvoudig en economisch, temeer
daar de brugligger ontworpen was als een raassieve plaat met een grootste
dikte van slechts 0,90 m; ook het dwarsprofiel kon dus gemakkelijk in
het zandlichaam worden gecontramald.
Het is duidelijk dat dergelijke methoden slechts in uitzonderingsgevallen
kunnen worden toegepast.
' ^r:
11.7.1
11.7 Het aanbrengen van de tuien
Kabels voor tuien kunnen vooraf geheel gereed worden geraaakt (in
de fabriek of op de bouwplaats) en zo worden gemonteerd, of ze
kunnen tijdens het aanbrengen worden opgebouwd (uit draden,
strengen of kabels); zie ook 7.0 en 7.1. Zo nodig kunnen hierbij
meerdere kabels worden verenigd tot een kabelbundel of kabelgroep,
die dan de tui vormt (fig.7.0.5 en 7.0.6).
Geheel gereed gemaakte kabels kunnen zowel geslagen kabels zijn
(uitsluitend in de fabriek gemaakt) als paralleldraadkabels
(vervaardiging in de fabriek of op de bouwplaats). Ze zijn vrijwel
altijd aan beide einden voorzien van inrichtingen voor verankering
of bevestiging (zie 7.10). Ze moeten nauwkeurig op lengte worden
geraaakt; de correctiemogelijkheden zijn gering (max. 5 a 10 cm);
zie ook 7.10.
Ter plaatse gevormde kabels worden raeestal in de vorm van draden,
strengen of kabels (bijv. van een voorspansysteem) door een vooraf
aangebrachte orahullingsbuis van kunststof, staal of beton getrokken.
De verankeringen zitten niet aan de kabels, maar zijn - raeestal
in de vorra van normale of aangepaste voorspanverankeringen - in
de betonconstructie ingestort, eventueel onder gebruikmaking van
geprefabriceerde elementen (zie 7.10.3). In principe is het later
aanbrengen van de orahullingsbuis ook mogelijk, bijv. door deze
overlangs in tweeen te delen. Ook omwikkelen is raogelijk [427J -
Het aanbrengen en bevestigen op grote hoogte kan bezwaarlijk zijn
voor het verkrijgen van goed werk en voor het uitoefenen van een
goede controle.
Eerst zullen enige probleraen bij het aanbrengen en spannen van
geheel gereed gemaakte kabels worden behandeld, daarna zal iets
worden gezegd over ter plaatse gevormde kabels.
Bij stalen tuikabels is het niet zozeer het eigen gewicht (enige
honderden kN), dat problemen oplevert bij het aanbrengen, maar
meer de grote lengte en de relatief grote buigstijfheid, die de
tuikabel onhandelbaar of raoeilijk hanteer raaken. Wat buigzaaraheid
betreft zijn geslagen kabels duidelijk in het voordeel ten opzichte
van paralleldraadkabels met dezelfde staaldoorsnede; in de eerste
plaats door de kabelopbouw, in de tweede plaats door het (meestal)
ontbreken van een beschermende orahullingsbuis van staal of kunststof.
11.7.2.
Vooral bij vulling van de orahullingsbuis raet injectiespecie voor
het aanbrengen wordt een zeer stijve kabel verkregen, die met veel
zorg moet worden gehanteerd. Vullen met injectiespecie na het aan- •
brengen maakt weliswaar de kabel beter hanteerbaar, raaar het
injecteren tot hoogten van 100 ra en raeer is niet eenvoudig, vooral
als niet of raoeilijk op tussengelegen hoogten kan worden geïnjecteerd.
Over de toelaatbare kroraming van zowel geslagen als paralleldraadkabels
is iets te vinden in de voorlopige Amerikaanse voorschriften voor
tuibruggen 1 374; 375 1 ; ook de kabelleverancier zal goede aanwijzingen
kunnen geven.
Een eenvoudige methode om niet te zware en lange tuikabels aan te
brengen is het ophijsen aan één einde raet behulp van aan kraan of
lier vanaf het dek. Het gaat hier wel om tuien die reeds voorzien zijn
van verankeringseinden (zie 7.10). Na het op hoogte trekken wordt de
tuikabel met het boveneinde in de pyloon bevestigd op één van de
wijzen als in 7.10 beschreven. Daarna wordt het ondereind - dat nog
op het dek ligt - raet behulp van een lier in de verankeringsbuis in
de ligger getrokken tot het door de trekstang van de verankerings-
vijzel kan worden gepakt.
Hierna wordt de kabel op spanning gebracht en verankerd.
Meestal is nog nastelling mogelijk en/of noodzakelijk.
Deze methode wordt voor de gesloten, geslagen kabels van stalen
tuibruggen veel toegepast, bijv. voor Ewijk [333; 364j en Düsseldorff-
Flehe ^421; 422j .
Voor zwaardere of stijvere tuikabels kan een lichte hulpkabel worden
toegepast, die iets boven de ermee te plaatsen tuikabel wordt aange
bracht en met behulp van een lier, vijzel, o.d. wordt gespannen.
De definitieve tuikabel wordt langs deze hulpkabel omhoog getrokken
met behulp van een lier of kraan, waarbij hij op vrij korte afstand
wordt opgehangen aan lussen, die over de hulpkabel kunnen rollen
(fig.11.7.1).
De hulpkabel zal door het gewicht van de tuikabel flink gaan door-
hangen, waardoor de hoek aan het begin en eind toch nog te groot
zou kunnen worden, of de kabel niet voldoende recht zou zijn om
door het eigen gewicht van de brug op spanning te komen (zie hierna).
11.7.3
Door toepassing van ophanglussen raet variabele, vooraf berekende
lengte kan de tuikabel vrijwel recht aan de hulpkabel worden op
gehangen (fig.11.7.2).
Het spannen van de tuikabels kan gebeuren door middel van vijzels
(zie ook 7.10). Hierbij zijn vijzels ter hoogte van het dek beter
bereikbaar dan vijzels in de pyloon.
De tuikabels kunnen ook worden gespannen door de brugligger bij het
bouwen een zodanige opwaarts gebogen vorm te geven dat bij het
overbrengen van het gewicht op de ongespannen, nagenoeg rechte kabel
(zie hiervoor) het geheel zodanig vervormt dat de kabel (tenslotte)
de goede spanning krijgt. Daar elke volgende bouwphase invloed heeft
op de kracht in een bepaalde tui, vereist dit wel uitgebreide en
zorgvuldige berekeningen, waarbij de invloeden van de tijdsafhankelijke
vervormingen van het beton en - in mindere mate - van . de kabels
niet mogen worden verwaarloosd.
Doorgaande tuikabels kunnen ook worden gespannen door het opvijzelen
van het kabelzadel in de pyloon. In fig. 11.7.3 is deze mogelijkheid
aangegeven. Er racet natuurlijk zijn gerekend op ruirate voor het aan
brengen van de vijzels en voor het opvijzelen van hex kabelzadel.
Het is ook denkbaar kabels te verankeren aan een losse, opvijzelbare
staal- of betonconstructie in de pyloon, waarmee ze dus ook kunnen
worden gespannen.
Spannen van tuikabels door opvijzelen van de pyloon is praktisch alleen
goed mogelijk met één tui aan elke kant van de pyloon. Het is theoretisch
ook raogelijk met meer tuien, maar dan raceten deze wel alle de op deze
wijze van spannen afgestemde lengte hebben, terwijl ook de plaats van
de verankeringen in ligger en pyloon nauwkeurig moet vastliggen. Hieruit
zou de vorm van de ligger kunnen worden berekend die deze vlak voor
het spannen zou raceten hebben.
Het lijkt vooralsnog een raethode waarvan de practische uitvoerbaarheid
strandt op een vrijwel onbereikbare nauwkeurigheid bij de uitvoering.
Het opvijzelen van de pylonen is wel eens toegepast bij hangbruggen;
daarvoor gelden de bovenbedoelde bezwaren niet. Men kan er o.a. de
momentenverdeling in de ligger mee wijzigen. 2
Gezien de grote doorsnede van tuibrugpylonen (10 a 20 ra en raeerI) en de
zeer hoge belastingen (orde van grootte 100.000 kNl) is opvijzelen van
de pyloon een kostbare zaak, niet alleen vanwege het grote aantal
benodigde vijzels, maar ook vanwege de opvullende constructie die na
het opvijzelen de dragende functie van de vijzels moet overnemen.
.• ' 11.7.4
Dit betekent niet maar even opvullen met beton, maar het één voor één
vervangen van de vijzels door hoogwaardig beton of ander materiaal, dat
naast grote drukspanningen waarschijnlijk ook aanzienlijke trek op moet
kunnen nemen, met name in de bezwijktoestand (zie ook fig. 10.3.3-a en b).
Zeer zware, met beton omhulde tuikabels kunnen niet in hun geheel worden
aangebracht; ze zijn veel te zwaar en te stijf. De betonomhulling racet
daarom op betrekkelijk korte afstanden worden ondersteund. Hiervoor zijn
tot nu toe twee methoden toegepast:
- ondersteuning door de tuikabel (Wadi Kuf; Morandi ["244]);
- ondersteuning door een steigerwerk (Waalbrug Tiel; [l84; 185j ).
Beide methoden zijn nader beschreven in 7.5 (fig.7.5.2 en 7.6.3).
In beide gevallen zijn het constructies, die ongetwijfeld een goede corrosie-
bescherming en brandbeveiliging vormen voor de stalen kern; ook verstijven
ze de stalen kern raet een factor 3 a 4, waardoor de vervormingen onder
veranderlijke belasting worden gereduceerd, raaar al deze voordelen wegen
waarschijnlijk niet op tegen de zeer hoge kosten van vervaardiging en
vooral raontage. Ze zullen dan ook waarschijnlijk niet meer worden toegepast.
Een bijzonderheid bij de tuibrug Tiel is het toepassen van gewone Freyssinet-
voorspankabels (bestaande uit l "strengen") als tuikabelkernen.
Deze worden door in de betonnen tuien gespaarde kanalen (fig.7.5.3) getrokken,
van de verankering in de ligger aan de ene kant van de pyloon, via de
pyloontop naar de verankering in de ligger aan de andere kant van de pyloon.
Ze worden aan twee zijden gespannen en met gewone voorspanverankeringen
verankerd. De kabelkanalen worden ook gewoon geïnjecteerd.
De vele kabelverankeringen (eenheden van 3120 kN breukkracht) nemen wel erg
veel ruimre in en de kabels raceten dan ook flink worden gespreid (fig. 11.7.5 )
Dit veroorzaakt aan flinke spreiding onderhevige wrijvingsverliezen (dus
een niet nauwkeurig bekende tuikracht, maar dat is hier niet erg wegens
de grote tuistijfheidl), terwijl voor het opnemen van de spreidkrachten
flink wat voorspanning nodig is (fig.11.7. 5).
Freyssinet-voorspankabels zijn ook toegepast voor de tuikabels van de
Pont de Brotonne I 334j. Deze -zijn door vooraf aangebrachte stalen om-
hullingsbuizen getrokken en aan beide einden in de ligger verankerd
(fig.11.7.4). Deze tuien waren veel lichter dan bij Tiel en de verankeringen
namen betrekkelijk weinig ruimte in, zodat raet een vrij eenvoudige constructie
kon worden volstaan (fig.ll.7.4 K
Het aanbrengen van de buizen voor de volgende tui, door "afstempelen"
op de beide voorafgaande, gespannen tuien, is weergegeven in fig.7.5.1.
De toepassing van Dywidag voorspanstaven voor de tuibrug van de Farbwerke
Hoechst is beschreven in 7.10.2.
11.8.1,
11,8, De invloed van variabele tuiafstanden op de krachtsverdeling
in een tuibrug bij verschillende bouwstadia
(naar het gelijknamige artikel van Ir. J. Brakel en Ir. H.B. Monster in
Cement XXIX (1977), nr.lO; p.486 en 487; Uit de Researchlaboratoria).
Inleiding
Zijn tot nog toe in de- afstudeergroep Tuibruggen van de vakgroep
Betonconstructies de meeste tuibruggen ontworpen naar de krachts
verdeling in de eindtoestand en is slechts achteraf naar de uit
voering gekeken, bij dit onderzoek was de krachtsverdeling tijdens
het bouwen het uitgangspunt.
Het blijkt namelijk dat de tuikrachten en de liggermoraenten tijdens
de steigerloze uitbouw van de ligger aanzienlijke waarden kunnen
aannemen (eigen gewicht van de brug vaak raeer dan 90% van de
totale belastingen), die veel hoger kunnen zijn dan de waarden
die in de bedrijfstoestand optreden. Daarora is onderzoek verricht
naar de grootte van deze invloeden om zo tot econoraisch verant
woorde tuiafstanden te komen.
De studie betrof een symmetrische tuibrug raet een middenoverspanning
van 300 ra en een centraal kabelvlak. De brug is berekend volgens
klasse 50 voor een autosnelweg met 2 x twee rijstroken plus
vluchtstroken. De breedte bedraagt 33,50 m. Van deze gegevens is
uitgegaan omdat aan dit type brug al diverse aspecten zoals ligger-
vorm en oplegcondities, onderzocht zijn.
Het schema is in fig.11.8.1 weergegeven. Voor de ligger is een 2
kokerconstructie genomen met een betondoorsnede van 21,5 ra en Lj.
een traagheidsraoment van 15,55 m . De tui-afstanden waren 5, 10
of 15 ra, omdat de econom.ische grens waarschijnlijk in dit gebied ligt.
Daar de tuidoorsnede binnen vrij enge grenzen vastligt, is alleen
de liggerstijfheid nog gevarieerd, en wel vier maal zo slap, om
zodoende inzicht te verkrijgen in de invloed van de verhouding
tuistijfheid-liggerstijfheid op het krachtenspel tijdens het uit
bouwen van de ligger.
Berekeningsopzet
Om de verschillende brugtypen in het bouwstadiura te kunnen berekenen,
is uitgegaan van de gerede brug. De tuikrachten zijn voor de eigen
gewichtsbelasting berekend en de tuidoorsneden voorlopig bepaald.
Daarna is de ligger als het ware moot voor moot afgebroken.
11.8.2.
Omdat de berekening lineair-elastisch is, levert dit dezelfde
resultaten op als bij het vrij uitbouwen van de ligger vanuit de
pyloon. Uit de computerberekeningen volgen de tuikrachten en de
liggermomenten, benevens de verplaatsingen van de ligger. Deze
waarden kunnen nu bij de bouw worden aangehouden, zodat de tuien
bij het verder uitbouwen van de ligger niet nagespannen behoeven
te worden.
Al "kronkelend" wordt zo de ligger uitgebouwd en pas bij het spannen
van de laatste tuien komt hij in zijn definitieve vorra.
De maximale uitkragingen tijdens de bouw bedragen voor de drie typen
de tuiafstand plus 2,5 ra ora de tuien aan te kunnen sluiten, dus
respectievelijk 7,5 ra, 12,5 ra en 17,5 ra voorbij de laatst aangesloten tui.
Tuien om de vijf meter
De resultaten van de computerberekeningen voor de normale ligger
zijn in fig.ll.8.2 weergegeven. Omdat de brug ook tijdens het uitbouwen
van de ligger symmetrisch is, kan volstaan worden met het berekenen van
i; gedeelte van de totale brug.
De tuien zijn genummerd van 101 tot 125 en bestaan uit voorspanstaal 2
FeP 1760 met een doorsnede van 8835 rara . De verhouding tussen de
maximale tuikracht en de tuikracht in het eindstadium bedraagt gemiddeld
1,25. Bij een vier maal slappere ligger wordt dit 1,35.
Tuien om de tien meter
Hier is ten opzichte van het 5-m-systeem om de andere tui een tui
2
weggelaten. De tuidoorsnede bedraagt nu 17670 mm . De berekenings
resultaten voor een aantal tuien zijn weergegeven in fig.ll.8.3.
Het beeld is ongeveer gelijk aan dat van fig.11.8.2, alleen schoraraelt
de verhouding tussen maximale kracht en ontwerpkracht nu rond de 1,5 5.
De momenten in de ligger tijdens het uitbouwen kunnen behoorlijk
oplopen en wel tot ongeveer 83.000 kNm bij een maximaal raoraent ten
gevolge van de verkeersbelasting van ca. 60.000 kNm.
Dit liggermoraent bij het uitbouwen is voor alle bouwstadia nagenoeg
even groot en treedt op bij de op twee na laatst aangesloten tui; het
is het 1,75-voudige van het zuivere kraagmoment ter plaatse van de
laatst aangesloten tui.
11.8.3.
Tuien om de vijftien meter
Nu zijn in vergelijking met het 5-ra-systeera elke keer twee tuien 2
weggelaten. De tuidoorsnede is aangehouden op 35340 ram (omdat de
tuikrachten bij het uitbouwen raeer dan evenredig raet de tuiafstand
toenemen). De resultaten van de berekeningen voor enkele tuien zijn
weergegeven in fig.ll.8.4.
De tuikrachten zijn hier aanmerkelijk hoger en wisselen ook sterk
tijdens het uitbouwen. De verhouding tussen maximale kracht en ont
werpkracht ligt gemiddeld voor alle tuien rond de 1,5 en met de slappe
ligger rond de 1,95.
Het maximale raoraent in de ligger treedt op bij de op één na laatst
aangesloten tui en bedraagt raaximaal 136.000 kNm ofwel het 1,5-voudige
van het kraagmoment ter plaatse van de laatst aangesloten tui. Ten
opzichte van het raaxiraale liggerraicraent van ca. 53.000 kNm in de
bedrijfstoestand is dit dus wel erg hoog, zodat geconcludeerd kan
worden dat de 15 m uitbouw economisch niet raeer verantwoord is.
Conclusies
Bij een slappe ligger zullen, bij toeneraende tuiafstand, de tuikrachten
tijdens het uitbouwen sterk toenemen en de liggermoraenten in de
bedrijfstoestand klein blijven, terwijl bij een stijve ligger het
omgekeerde het geval is.
Gebleken is dat bij de gekozen tuiconfiguraties de ligger ten naaste
bij als een verend ondersteunde ligger raet een uniforme veerstijfheid
berekend kan worden voor wat betreft de axiale tuikrachten (dus niet
de verticaal ontbondene). Volstaan kan worden met het berekenen van de
kracht in het uitbouwstadiura voor een raiddentui, zodat niet alle
bouwfasen doorgerekend behoeven te worden.
Uit de berekeningen blijkt verder dat steigerloze uitbouw met tuien
om de 10 ra nog wel raogelijk is, maar dat bij grotere tuiafstanden
speciale voorzieningen raceten worden getroffen. Bij een uitvoering
in lichtbeton kan deze afstand wel vergroot worden.
In het algeraeen kan gesteld worden dat gestreefd moet worden naar
een buigslappe ligger om de raoraenten tijdens de bouw klein te houden,
daar de rekstijve tuien beter een extra belasting op kunnen nemen
omdat ze normaal maar tot 40 a 50% van hun breukkracht belast worden.
12. TUIBRUGGEN, BIJLAGEN
Bijlage 3,1: Door kabels ondersteunde liggers
1. Algemeen
2. Vrij opgelegd met puntlast in het midden
3. Vrij opgelegd met gelijkmatig verdeelde belasting
4. Voorspanning van de tuikabel (in het midden)
5. Ligger met tui en puntlast op willekeurige plaatsen
6. De veerconstante van de schuine tuikabel
7. Vergelijking van de elastische ondersteunde
ligger met een door tuien ondersteunde ligger.
Bijlage 3.2: Berekening van de krachtsverdeling in tuibruggen
met behulp van de computer
1. Inleiding
2. Opbouw computersysteem
3. Computerkosten
4. Programma's
5. Werking van het rekengedeelte in een programma.
Bijlage 3.7.0: Methoden om de kracht in een tuikabel te meten;
nauwk eurigh e i d.
Bijlage 7.01
7.02
7.03
Staalhoeveelheid bij harptuien
" " waaiertuien
" voor de kabels van een hangbrug
Bijlage 7.3: Afleiding van de formule voor de ideële ver
vormingsmodulus E. van een doorhangende, schuine
kabel, belast door een normaalkracht N en het
eigen gewicht g (Ernst)
Bijlage 7,3.3: Staaf, belast op buiging en normaalkracht (trek)
Bijlage 9.4.3.4: Benadering van de kniklast door eigen gewicht
Bijlage 9.4.3.6-1 : Tweede-orde effecten bij lineair-elastisch gedraj
Bijlage 9.4.3.6-II : De eerste- en tweede-orde vervorming van een
pyloon met waaiertuien.
Bijlage 3.1
B-3.1.1
Door kabels ondersteunde liggers
Het gedrag van door kabels ondersteunde liggers (fig.1.1) ) wijkt in zoverre
af van dat van liggers op vaste steunpunten, dat de vervorming van de
kabel invloed kan hebben op de krachtsverdeling in de ligger.
Een ligger op twee ondersteuningen; waarvan één of beide bestaan uit een
kabel (fig.1.2 ), is statisch bepaald. De vormverandering van de kabel(s)
heeft geen invloed op de krachtsverdeling.
De vormveranderingen van de kabel(s) heeft wel invloed op de krachtsverdeling
bij statisch onbepaald opgelegde constructies. De kabelondersteuningen
kunnen worden beschouwd als verende steunpunten van de ligger. De krachts-
verdeling in de ligger wordt dan ook bepaald door de veerstijfheid k van de
kabel en de buigstijfheid (EI) van de ligger, zoals in het hierna volgende
zal worden aangetoond.
De veerstijfheid van de kabel of tui is niet alleen afhankelijk van de
lengte 1 en van de rekstijfheid E A maar ook van de hoek 8 tussen kabel
en ligger (zie pt.5). Het is duidelijk, dat bij eenzelfde doorsnede de
verticale kabel (S = 90 ) de stijfste ondersteuning vormt en dat de veer
stijfheid bij afnemende hoek S (en toenemende kabellengte I) sterkt afneemt
(fig.6.2 en 6.4). E A t t 2
De rekstiifheid E A en de daarbij behorende veerstijfheid — — sin B (zie 6) horen t t 1^
bij een gewichtsloze kabel. Door de werking van het eigen gewicht wil de
kabel gaan doorhangen en dit heeft weer invloed op de rek- en veerstijfheid,
en wel des te meer, naarmate de lengte en het gewicht groter zijn, en de
helling en de spanning kleiner zijn. Dit verschil in gedrag met een gewichts
loze kabel wordt uitgedrukt met de effectieve rekmodulus E < E , zoals
afgeleid door Ernst (zie ook bijlage 7.3).
Voor het inzicht in de werking van een tuibrug is het van groot belang het
principe van de door een kabel ondersteunde ligger goed te begrijpen. Dit
zal hierna aan de hand van een aantal voorbeelden worden toegelicht.
Fis.1.1 Fig.1.2
r ^
kakel
i - ^
Ka.lci^l
Fig.1.3
^ET
\k?0 ?0-oC)
T--t
-c
<xr
B-3.1.2
2. Een ligger met lengte 1 en buigstijfheid EI wordt
in het midden elastisch ondersteund door een
tuikabel met lengte 1^ en rekstijfheid E A
TTV" Hoe groot worden de buigende momenten in de
—>f ligger en de normaalkracht m de tui tengevolge van een puntla.st P = 1 ter plaatse van de tui?
tui'
aPl^ De tui verlengt Al, = zri—
* ^ t t w voorstelt: k = —r ,
Stel dat het deel aP door de tui wordt gedragen,
dan draagt de ligger (l-a)P; de beide reacties
worden jP (1-a) en het majc, buigend moment Jpl (1-a)
aP — , als k de veerstijfheid van de tui ^t *
TN T • ^^ X ( P - a P ) l / , N^ 1 ( l - a ) P , , , ^ - - ^ -^ De ligger zakt ö^ = ^Q^ , = ( 1-a)P \^Q-^-J_ = —^ , als k^ de veerstijfheid
van de ligger voorstelt: k = —r— (voor P in ' t midden). 1
Uit de voorwaarde 6 = Al volgt: • .
Xt o
„^ o 1 - g
^t ^1 ak = k - a k
X O u
a(k^+k^) = k a = V^i
Uitersten (zie ook fig,2,1):
a = O k^ = 0
k^ = 0
k = c<3 1
\\ = ° E A = CO a = 1 t t
EI
EI
= O
= CO
a = 1
•a = O
1+n 1+-y
^1 " U8EI
6^ = O
met n = 1/u =
L = R = 2?
L = R = O PI.
^ t= 1 = FI^ = « = ° TJ U
6^ = 0 L = R = 0,5?
1 (fig-2.1)
M = 5PI
M = O
M = O
M = 0,25P1
^ = ^1
k = Uk (stijve tui)
k = ck (slappe tui)
a = 0,5 5^ = 0,5 fl^j 'L = R = .0,25P M=0,125P1
3 - O,
= 0,2 5, = O,
6^ = 0,2 ^ L = R = 0,TP M = 0,05P1
Pl_ U8EI L = R = 0,UP M = 0,20P1
Hierbij is ervan uitgegaan dat de gewichtsloze ligger recht is.
Wil men dat het verbindingspunt tui-ligger niet zakt, dan moet de tui
worden voorgespannen, d.w.z. verkort; zie blz.B-3.1.U.
^^T-
h^ XI
fi i
't
B-3.1.3
3.' Een ligger met lengte 1 en buigstijfheid EI
wordt in het midden elastisch ondersteund
- door een vertikale tuikabel met lengte 1 en
f
_ ^ u o c
1 ^ ^^t
ÏÏTTT]
t
4
ekstijfheid S A .
Hoe groot worden de buigende momenten in de
ligger en'de normaalkracht in de tui tengevolge
van een gelijkmatig verdeelde belasting g cp
de ligger (bijv. eigen gewicht)?
De totale belasting op de ligger is gl.
Stel dat hiervan het deel agl door de tui wordt
gedragen, dan draagt de ligger (l-a)gl, of
g(l-a) per lengte-eenheid.
De beide reacties worden jgl (1-a); het buigend moment in het midden:
M = l gl^ (1-a) - 1/8 gl^ = 1/8 gl^ (l-2a) m
De tui verlengt Al = a g l . 1 ^ ctsl
^ t = " t ^
5 °-l De l i g g e r zakt 6^ = ^gij- | ^ ''Si isËï = üfeï 8 s^-' sD = ^
Voorwaarde: Alj_ = 5 a g l _ g l ( 5 / 8 - a ) '
1
g l ( 5 / 8 - a : k, met k =
U8EI
ak = 5/8 k - ak a(k^+ k^) = 5/8 k^
U i t e r s t e n ( z i e ook f i g . 3 . 1 ) :
E, A^ = 0 a = O t u
a = 5/^
k. = O t
^ t ^ '^^
0-1
a= 5/8
U
E A = oo Xj X
\ " 38U E Ï "
^ 1 = ° = ^ l t
i f - T T = 5/8a ( f i g . 3 . 1 t 1
L = R = 5gl M = 1/8 g l
L = R = 3 / l 6 g l M^ = - ^ g l ^
k^= O
k, = co
^t = ^1
EI = O ; deze ligger kan geen belasting dragenI Niet reSelI
EI = co
k = Uk (stijve tui!
k = 5 k,(slappe tui!
k, = 8 k
a = O
a = 5/16
a = 0,5
a = 1/8
a = 5/9
6^ = O
^^t = T6 f: = ^1
Al, =0,5|i= 6
= -i^i6. Al t 8 k.
Al, = 5/9 f^ =
1
= 5.
L = R = 3gl M = 1/8 gl
^=^=isl M"=|^gl2
L = R = ^ g l M^ = O
L = R = T/l6gl M^ = 1^ gl^
L = R = 2/9gl M^ = Y^ gl^
?
Hierbij is ervan uitgegaan dat de .gewichtsloze ligger recht is. Het verbindings
punt tui-ligger zakt 5 = Al . Wil men dit niet, dan moet de tui worden voor
gespannen; zie blz. 3-3.l.U.
Fig.2.1. a, 6, en M als 1 m
functie van k /k = n,
voor P in bet midden.
T-EtAt' /EI k
¥ kt/ki=Tl
I •P
Fig.3.1,a, Al^(6) en M als t m
functie van n = '+./k-i vooi'
gelijkmatig verd. belasting g.
»-k,/ki=1
Et At-'
^ l l l l l l i r i l l l l t n T T T
u EI L
k t A l t A 1 n _L i.u -t
ft 0,8-1
0.5^ n ^-L
4
0,2 +
n J u -•]
F A l t ^
, ^
K \^^"^^^^^ \ ^^u \
\ ^
1
V/ >c ^ ^^^^
i
-^
/ E; M F — ^ —
i £
L F/kt
1 n
^ - 8 - 7 - 5 _ c
- ^
- 3 - 2
f"' *
\
Fig.4.1.F en Al als functie
van n = 4./' -, (voorspanning)
F M„ = -i Fl.
-^
EtAt EI
IF
I •A
B-3,1.7
5 . Een ligger met lengte 1 en buig
stijfheid EI wordt in C, op een
afstand.a van A elastisch ondersteund
door een tuikabel met lengte 1 en X
rekstijfheid E A . X o
De belasting P = 1 staat in D op een
afstand x links van B.
Gevraagd: de kracht in de tui en de
buigende momenten in de ligger als
functie van x, de liggerstijfheid
en de tuistijfheid.
Maak tui en ligger los van elkaar.
Onder invloed van P (x) zakt de
ligger ter plaatse van C:
3 - _ PI X a f l ; ^ , x^ /ax2j
Dl 3 ,2 2 2 Pl ax /l -X -a •,
l2 l2 ^ 6EI
%F = Pl3 U8EI •
c ; = ax:
1
c = ax
Pc ^ ( f i g . 5 . 1 , e
"A ""• M 2 2 2 ^ ' öax (1 -x -a ) i
1 ^ i
;.v.)
(fig. 5.5)
Stel dat in de tui een kracht txP ontstaat. aPl,
De tui verlengt Al = aP E.A,
t t
De ligger stijgt (t.g.v. aP in C): 5
Voorwaarde van samenhang:
6 _ = Al, + 6 CP t COC
aPr (f)^ (lra)2 ca
2 c aa
3EI
= 16 -
^1' ^
a^d-a)^!
1 1
aPl^ 2 U8EI ' aa
(fig-5-U)
= ap aoc
Pl-U8EI ax
aP aPl k^ U8EI
c k, = a (k, + c - k, ! ax t 1 aa t
aa ax
a =
i.
c k, ax t
c k, + k, aa t 1
ac
ax
/ 1 ^ ac< = a l — +
^t ^1
ax 2 KI C + :;— aa k
2 c + y aa
Het gedeelte aP, dat door de tui wordt opgenomen, is in de fig.5.6, 5.7 en
5.8 uitgezet voor drie verschillende waarden van a.
Fig.5.1.Zakking van de ligger in C (a = 0,5 1) bij variabele plaats X van de last P:
Pl3 6 = c 48EI ax
(invloedslijn voor 6 ) c
a=1/3 l kabel
1,0 0.9 0.8 0.7 0,6 0,5 O.L 0,3 0,2 0,1
X 1,0 0,9 0,8 t
0.410
0.5
—^ Fig.5.2.Zakking van de ligger in C (a = 1/3 1) bij variabele
_J plaats X van de last P: ' 3
"0,2
^ = PI c 48EI ' ax
(invloedslijn voor 6 )
Fig.5.3,Zakking van de ligger Tft_ in C (a = 0,2 1) bij variabele
plaats X van de last P: 3
PI c 48EI ax
(invloedslijn voor 6 ) •' c
B-3,1,9
1 2 ,, a2 c =16 — aa
a = 0,1 1
0,2 1
0,3 1
! 0,4 1
0,5 1
0,051
0 1
(l-a)
1^
2 c aa
2
= 0,1296
0,4096
0,7056
0,9216
1,0
0,036
0
a = 0,9 1
0,8 1
0,7 1
0,5 1
0,5 1
0,951
1
•>a/l 0,2 0, 0,6 0,8 1,0
Fig ,5 ,4 c^ en c a l s ° aa aa func t ie van a / l ,
a / l
^f(f-p)
B-3,1,10
arO.51 •
- ^
X
Fig,5,6.Gedeelte aP, dat door de tui (op a = 0,5 1) wordt opgenomen bij variabele verhouding n van ligger- en tuiveerstijfheid.
_ ''ax ^1
a / l
u u
li
u
V
2 c
aec = 0
= 0
= 0 ,
= 1
= 4
= co
+ V
5
25
a<K
0,25
1
c ax 0,8 c
ax = 0,5 c
ax 0,2 c
ax = O
, a = 0 .33 l
i
i
't
1
*
p
1
•f.
X I r '
Fig.5.7 Gedeelte aP van P (x) dat door de tuie (op a = 1/31) wordt opgemomen bij variabele verhouding van ligger- en tuiveerstijfheid.
ax 1 Ci -
a / l
u y
u u u u
2 c + u aa = 0,33
= 0
= 0,25
= 1
= 4
= co
= 0,21
' - \
c ax a o
"o,25
°'l «4
a
"0 ,21
=
~
-
-
—
-
-
0,79
1,265 c
0,96 c ax 0,56 c ax 0,21 c ax 0
c ax
B-3.1.11
^
a = 0,2l
Fig.5.8. Gedeelte aP van P dat door de tui (op a = 0,21) wordt opgenomen bij variabele verhouding
-*j ding y van ligger-' en tuiveer-—^ stijfheid.
ax 2
c + \i d.
a/l = 0,2
= O
aa 0,41
2,45 c ax
= 0,25 a = 1,52 c 0,25 ax
= 0,59 a
= 1
= 4
= CO
0,59 ax 0,71 c
ax 0,225 c
ax
co = O
B-3.1.12
6. De veerconstante van een schuine tuikabel r^V^
h= C.S'vfi
Verondersteld wordt dat van de verticale
last P ter plaatse van de tuikabel een
bedrag P (verticaal gezien) door de
schuine tui wordt opgenomen. aP ' Dit betekent een tuikracht N^ = . ,
t smS
en een tu ive r l eng ing
cscPl^ E A sinÉ •X Ph
E A sin '3
Der verticale zakking Av bedraagt;
Al, Av = t aPh
sing E A sin36 X X
=aP h E A sin^B
Als veerstijfheid van de schuine tui moet dus de waarde
= — sin B worden genomen. t •'
E^A ^ 1 t t . 3_ k, = —; sm B
t h
,.„3, Bij waaiertuien is h constant en is dus k evenredig met sin B (fig. 6.1 )
De veerstijfheid neemt bij kleiner wordende jï sterk af, vooral voor S < TT/U (U5 )
Voor tgS = 2/3 is hij nog maar 0,l65, voor tgB = 5 nog maar 0,090 van de
waarde voor de verticale tui (S = TT/2) ; fig. 6.2.
00 n
,-•„3. Fig,6,1 Waarde van sin B als
functie van B • •• •
Fig.6.2 Verloop van de tuiveerstijfheid
'. voor tg^ = 2/3 als functie van
de afstand tot de pyloon.
B-3.1.13
Bij harptuien is ü constant en is k. omgekeerd evenredig met h:
k, = ^ ^ s i n 3 3 = c ^ (fig.6.3). th , o h
h
Dit betekent een hyperbolisch verloop over de lengte van de ligger, van een V-I- /\ -H 'i
waarde c>o bij de pyloon aflopend tot —-— sin ji , met h^ = pyloonhoogte. o
Vergelijken we dit met de basisstijfheid van de vertikale tui met lengte E.A E^A^
= — i — — = 1; Vgl. waaiertuien), dan wordt c — resp. Ua h
h = U a ( ^ o h
o h = a \ h "" 0' 5.U = 0,66
" 2a 0,165.2 = 0,33
3a O,165.U/3 = 0,22
Ua 0,165.1 = 0,165
2/3a 0,165.6 =~1,0
Dit is grafisch weergegeven in fig.o
Daarin is tevens de veerstijfheid van de waaiertuien getekend, zodat beide
nu vergeleken kunnen worden. ,
h.
Om zeer grote stijfheid van harptuien nabij de pyloon te vermijden, dient
de afstand tenminste a = 5h te zijn (voor tgB = 2/3).
De waaier is dus duidelijk stijver in vrijwel het hele praktisch toepasbare
gebied.
t3 - 'h
C ^ O; i 6 Ö h^^a
Fig. 6.3 De veerstijfheid van de tuien als functie van de afstand tot de pyloon (harptuien).
Fig. 6.U De veerstijfheid van de tuien als functie van de afstand tot de pyloon (vergelijking harp-waaier) .
B-3.1.1U
Uit de figiuren blijkt ook duidelijk dat de ontlastende werking van tuien
afneemt naarmate de afstand tot de pyloon groter wordt; bij harptuien
sneller dan bij waaiertuien (tot L = 6a bij tg 3= 2/3).
Hiermee is ook het relatief grote buigend moment te verklaren, dat vlak
bij het landhoofd optreedt (in beide gevallen); fig.6.5.
y- be( jstcn<j t i i i i i i i i i : r , i i m i i i m i r M i i i i i i / i i i / i i /
Fig .6 .5
H
De veerstijfheid van de tuien kan natuurlijk ook worden beinvloed door
de tuidoorsnede A te variëren; een tweemaal zo grote doorsnede levert X
een tweemaal zo grote veerstijfheid op. Het materiaal wordt dan echter
maar tot de helft van zijn capaciteit benut.
Het bovenstaande geldt voor gewichtsloze,rechte tuien,
Door het eigen gewicht echter buigen de tuien door, en wel des te meer
naarmate het gewicht groter en de (voor)spanning geringer is. Hierdoor
wordt de stijfheid van de rechte kabel E^A^ gereduceerd tot S . -A ,
waarbij E een functie is van E , tuispanning, tuigewicht en tuilengte. SI I X
De uitdrukking hiervoor is afgeleid door Ernst in [ 06lJ .
Vergroting van de tuidoorsnede heeft tot gevolg dat de doorhanging toeneemt
omdat het eigen gewicht toeneemt en de tuispanning afneemt. Het verstijvend
effect is dus veel geringer dan uit de toeneming van de tuidoorsnede zou
volgen. In het volgende zal hierop nader worden ingegaan.
B-3.1 .15
7. Vergelijking van de elastisch ondersteunde ligger met een door tuien
ondersteunde ligger
De vergelijking van de elastisch ondersteunde ligger luidt:
4 4 — 4 "^4x7 = ? (belaste deel) of — ^ - 4A y = o (onbelaste deel) dx dx
4 k Hierin is 4x = — met k = bedding constante; EI = liggerstijfheid.
De maat ^/\ wordt de karakteristieke lengte 1 genoemd. De karakteristieke k
lengte is een maat voor de afstand, waarover de invloed van een belasting
zich uitstrekt. Bij constante beddingconstante k neemt hij toe bij toe
nemende liggerstijfheid EI; bij constante liggerstijfheid EI neemt hij
af bij toenemende beddingconstante k. PA • 3
De veerconstante van een tuikabel is k = — t h
Voor kabels op eindige afstand Aa lan de beddingconstante gelijk worden . , , , , . , , , . I I '^t EAsin-i geste ld aan het oiemiddelde van k over Aa: k = — = ;
t Aa Aa.h
Bij een zeer groot aantal tuien op afstand dx is de kabeldoorsnede dN qdx
dA = — = en gaat de formule voor k over in: a asina
3 3 2 _ E .dA. sin a_ Eqdx.sin g _ Eqsin g , -,
hdx h.a.sina.dx h g
Voor een tuibrug met liggerstijfheid E I en een beddingconstante van de
E .qsin' a „ E .qsin a „„ ^.2 E I . 1 t ,, .,4 t nq.sina . t Kabel —--= wordt 4X = -^^—•—=— = --4-^—r met n = 7:-.
h.Q El.n.a I.n.a E s c c s c s c
Hoewel bij tuibruggen de veerstijfheid van de tuien (c.q. de bedding
constante) varieert met a en h, geeft toch de grootte van de karakteristieke
lengte op een bepaalde plaats (a,h) een aanwijzing voor het meewerken
van de tuien in de buurt aan het opnemen van een geconcentreerde belasting
ter plaatse.
Een kleine variatie in één van de factoren heeft weinig invloed cp de
karakteristieke lengte 1 = 1/A, omdat het om een vierdemachtswortel gaat. k
Een afwijking van 20% in één van de factoren komt neer op een afwijking van ca. 5% van 1 ( Vl ,20 = ~1,05;\/o,8D ='-0,95).
4 2
A is evenredig met de liggerbelasting q en met sin a, omgekeerd evenredig
met de liggerstijfheid E I , de pyloonhoogte h en de toegelaten staal-
spanning o .
1) q = liggergewicht per m .
B-3.1 .16
Dit betekent dat 1 = y omgekeerd evenredig is met\/q en met \/ sina,
en recht evenredig met \ Y E I , met Yh en metWag.-
1 Voor een n maal zo grote waarde van q neemt 1 dus af in de verhouding -—;
voor een n maal zo grote liggerstijfheid, pyloonhoogte of toelaatbare
staalspanning neemt 1 toe in de verhouding \jr\ .Voor elke vergroting \4/-
(verkleining) met bijv. een factor 2 wordt 1 met een factor 1/2 vergroot.
of verkleind.
Dit is in fig. B-3.1.7.1 weergegeven voor basiswaarden 1, , (E I ) , h en q k o c c o o ^ ü
De be t rekk ing tussen I en a i s weergegeven i n f i g , B-3 .1 ,7 .2 a ls f u n c t i e k
van de tuihelling tga.
B-3,1 ,17
Voorbeeld: liggergewicht q = 400 kN/m; E = 2,10 kN/m ; a= 6,10 kN/m ;
h = 100 m; E = 3.10'' kN/m^; I = 25 m^; |tga = 2/3 ; sin^a = -^ = Q,30t C C j I 1 3
k = " f " "- 2.10^400.0,308^ 2464 __ ^^^ ^^/^3_ ha 1GG.S.10"
E I = 3.10^.25 = 75,10^ KNm^, c c
4A 411
E I 7 c c 75,10^
X^ = 13,7.10 ^ A-= 1,92.10 m''' 1, = = 52 m. k A
. 2 tga = 4/3 (steilere tui); sina = 4/5 sin a = 0,64
2,10 .400.0,64 5120 „„„ ,,,, 3 k = p — = —— = 833 kN/m
100.6.10 4A
833
75.10 7
A" = 27,8.10'^ A= 2,3.10' m'' 1, = 43,5 m k
tga : CO (vertikale tui]; sina = 1
^ ^ = 1333 kN/m^ ^ 1333
75.10
A= 2,58.10
sin a = 1
A = 44,4.10
1, = 38,3 m k
Met 4 X 20 grote liggerstijfheid (en tga = 2/3)
4 13 7 3,4,10 A =
1,92 -2 -1
4 ••" •' \ / r
Met 16 X zo grote liggerstijfheid :
Met 4 zo kleine liggerstijfheid :
Met 16 X zo kleine liggerstijfheid :
3 Met h = 50 m:
Met h = 25 m:
k = 822 kN/m"
A = 2,3,10'^m
k = 1644 kN/m" 3
Met h = 200 m: k = 205 kN/m
.10 =1,35.10 m
1, = 2.52 = 104 m
52
52
37 m
1, = 5- = 26 m. k 2
A = 2.13,7.10
1 = 43,8 m ^ 52 1, = rr= = 37 m k VT
1, = 74 m k
27,4.10
k 5 2 ^ = 61,8 m.
-3.2.1
iijlage 3.2;
Berekeningen van de krachtsverdeling in tuibruggen met behulp
van de computer
B-3.2.1 Inleiding
De berekening van de krachtsverdeling in tuibruggen met de hand is
een bijzonder tijdrovende, zo niet vrijwel ondoenlijke zaak. Het
menselijk vernuft onderkent en analyseert de grote problemen, maar
het menselijk kunnen is niet in staat de routinematige rekenkundige
uitwerking tot een goed einde te brengen.
Een ideale "symbiose" is derhalve het menselijk vernuft en "iets"
wat razendsnel routinematige rekenkundige bewerkingen kan uitvoeren.
Dit "iets" wordt gevonden in de vorm van de computer.
Wel moet worden bedacht, dat hier geen sprake is van echte symbiose.
Een computer doet n.l. eerst iets na een commando, derhalve is
een computer niets meer dan een werktuig, of een stuk gereedschap.
Om op een juiste wijze met een computer te werken is enig inzicht
in de opbouw en werking van dit werktuig noodzakelijk.
B-3.2.2 Opbouw computersysteem
Een computersysteem bestaat meestal uit de volgende componenten:
1. De centrale verwerkingseenheid (Central Processing Unit);
afkorting:CPU.
2. Het hoofdgeheugen (Main Memory)
3. De in- en uitvoerverwerkingseenheden (Input/Output Processors);
afkorting: I/O processors.
4. De in- en uitvoerapparaten (Input/Output Devices)
I/O orocessor Input/Output
Devices
B-3.2.2
De werking of werkzaamheden van de verschillende componenten komen
in het kort hierop neer:
1. De centrale verwerkingseenheid (CPU) is samengesteld uit:
a. Het besturingsorgaan (Control Unit), dat verantwoordelijk is
voor het ophalen, analyseren en uitvoeren van de in het
hoofdgeheugen opgeslagen instructies;
b. Het reken- en beslissingsorgaan (Arithmetic and Logical Unit;
afkorting: ALU), dat dient voor het uitvoeren van berekeningen
(zoals optellen) en het verrichten van andere bewerkingen
(zoals vergelijken).
c. De registers, welke dienen voor het tijdelijk opslaan van
resultaten van rekenkundige bewerkingen en voor het bijhouden
van bepaalde besturingsinformatie.
Een belangrijk register is de instructieteller (program counter)
waarin de volgorde van de instructies wordt bijgehouden en
welke instructie moet worden uitgevoerd.
2. Het hoofdgeheugen (Main memory) verzorgt de opslag van de
instructies, die door de CPU moeten worden uitgevoerd (Een reeks
instructies in een bepaalde volgorde wordt een programma genoemd).
In het hoofdgeheugen worden tevens de gegevens (data) opgeslagen,
waarop de CPU de geïnstrueerde bewerkingen moet uitvoeren.
De resultaten van de bewerkingen worden meestal eveneens in het
hoofdgeheugen opgeslagen.
3. De in- en uitvoerverwerkingseenheden (I/O) processors) dienen
voor het omzetten van instructies en gegevens van een hogere
programmeertaal naar machinetaal en van het tientallig stelsel
naar het binaire stelsel (het geheugen kent slechts een O of een 1).
De omgevormde instructies en gegevens worden daarna naar het
hoofdgeheugen getransporteerd.
De resultaten ondergaan een zelfde omzetting en worden daarna
naar de uitvoerapparaten getransporteerd.
De I/O processors verrichten deze werkzaamheden parallel met de
CPU.(De I/O processors worden door de CPU geïnstrueerd).
B-3.2.3
4. De in- en uitvoerapparaten (Input/Output Devices)
Met behulp van invoerapparaten kunnen instructies en gegevens
worden ingelezen. Het bekendste invoerapparaat is de kaartlezer
(card-reader).
Met behulp van uitvoerapparaten worden de resultaten zichtbaar
gemaakt. De meest bekende zijn:
de i'egeldrukker (line-printer) en de tekenmachine (plotter).
Apparaten, die zowel de invoer als de uitvoer verzorgen, zijn
magneetbandeenheden (Tape Units) en magneetschijfeenheden
(Disk Units). '
De invoer wordt van deze eenheden gelezen en de uitvoer wordt
hierop weer weggeschreven.
Om de uitvoer weer zichtbaar te maken is echter weer een
line printer of een plotter nodig.
Apparaten die vaak op grote afstand de in- en uitvoer verzorgen
zijn de zo geheten terminals. Zij zijn door telefoonlijnen met
de computer verbonden.
Terminals kunnen zijn: schrijfmachine-terminals, telex-terminals,
beeldbuis-terminals (Display-terminals), eindstations met
kaartlezer, regeldrukkers en beeldbuis (Remote Batch Terminals).
B-3.2.3 Computerkosten
Nu bekend is welke delen van een computer bij een bepaalde bewerking
worden geactiveerd, is het tevens interessant de kostenverhouding
• te kennen van de verschillende onderdelen, zodat de juiste maat
regelen kunnen worden genomen om de kosten zoveel mogelijk te beperken.
De declaratie van een computerserviceburo zal er in de meeste
gevallen (afgezien van basiskosten) als volgt uitzien:
1. De tijd, dat de centrale verwerkingseenheid met het probleem
bezig is geweest (CPU time);
2. De ruimte in het geheugen, die ten behoeve van de oplossing van
het probleem gebruikt is, uitgedrukt in b^tes (geheugen plaatsen);
3. Het aantal regels op de regeldrukker, uitgedrukt in lines.
De belangrijkste factor hierin is de CPU time-
De kostenfactor geheugenruimte ligt beduidend lager, terwijl de
kosten voor het aantal lines in verhouding te verwaarlozen is.
Computerkosten kunnen gereduceerd worden door:
1. De opdrachten die de Centrale Verwerkingseenheid moei; uitvoeren
zoveel mogelijk te beperken;
2. Het geheugen zo optimaal mogelijk te gebruiken;
3. Alleen essentiële informatie af te drukken. Op welke wijze bovenstaande maatregelen kunnen worden genomen zal later worden toegelicht.
B-3.2.4
B-3.2.4 Programm.a's
Indien een rekenkundige bewerking door een computer moet worden
verricht, moet er, zoals reeds eerder is gesteld, een reeks van
instructies (een programma), gevolgd door een aantal gegevens,
waarop de bewerking moet worden uitgevoerd, in de computer worden
ingevoerd.
Ter illustratie dient het volgende eenvoudige probleem.
Van een balk A-B, belast met een gelijkmatig verdeelde belasting q,
moet het moment op een willekeurige plaats x vanuit A worden berekend.
Achtereenvolgens moeten worden ingevoerd:
1. het programma, dat er als volgt uitziet:
lees: lengte AB, belasting q, afstand x
bereken: R = 0,5.q_.l 2
Mx = R.x - 0,5 qx
schrijf: Mx
2. De gegevens AB, q en x.
In een programmeertaal (bijv. Fortran) ziet het er dan als volgt uit:
xREAD (5,*) LAB, BELQ, AFSTX
REAC =0.5 * BELQ'* LAB
EMIX = REAC « AFSTX -0.5 * 3EIQ * AFSTX * * 2 .
WRITE (5,*) EMIX
STOP
END
$ ENTRY
Hierna kunnen gegevens worden ingelezen b.v.
20. 10. 5. (resp. AB, q en x).
Mx is dan: 375 (Eenheid afhankelijk van de invoerde eenheden).
Bovenstaand programma kan steeds opnieuw worden gebruikt voor
andere waarden van AB, q en x.
Indien een tuibrug met behulp van een computer wordt berekend,
is uit het voorgaande duidelijk, dat, alvorens de computer in
staat is iets te doen, er een programma moet zijn.
B-3.2.5
Er zijn nu twee mogelijkheden:
1. Zelf een programma maken, dat geheel is toegespitst op het probleem;
2. Gebruik maken van een reeds bestaand programma, dat door diverse
computerserviceburo's wordt aangeboden.
ad 1 Het zelfmaken van een programma is een nogal tijd- en kosten
vergende aangelegenheid en verdient slechts aanbeveling
wanneer er geen programma, dat voor het onderhavige probleem
kan worden gebruikt, beschikbaar is.
Wel kan het zelfmaken van een programma een zinvolle zaak zijn,
indien een bepaald probleem een dagelijks weerkerend iets is.
Ook kan het zinvol zijn, indien een bestaand programma op
een bepaald moment niet aan de gestelde eisen beantwoordt,
zelf een aangepast programma te maken.
Met voordeel kan dit echter in de regel aan het computer
serviceburo worden overgelaten, daar het in dit soort gevallen
vaak gaat om het toevoegen van voor- of naprogrammadeeltjes,
of om het toevoegen van een subroutine (een stukje aangeplakt
programma).
Het grote geheel kan dus in deze gevallen geheel worden over
genomen.
Als voorbeeld is te noemen de rekmodulus van een tuikabel.
De tui wordt in alle programma's ingevoerd als een staaf EA
met een rekstijfheid — .
De effectieve rekenmodulus (E _ _) is echter afhankelijk van de eff -
kabelspanning, het kabelgewicht en de kabellengte (zie 7.3).
De tuikrachten worden nu eerst bepaald met een zo goed
mogelijk geschatte E ^_^. ° •> ° eff
Op dat moment wordt een tussenstukje programma geactiveerd,
dat met de nu bekende kabelspanning, E bepaalt en
controleert, of de geschatte E binnen gestelde grenzen
ligt. Zo niet, dan wordt de berekening opnieuw gestart
met de nieuwe E __. De rekengang wordt zo vaak herhaald ert
tot de E _c waarmee de berekening is uitgevoerd, binnen e j-1
bepaalde grenzen gelijk is aan de E^ welke wordt bepaald
aan het einde van de rekengang.
Geschematiseerd zouden het oude en nieuwe programma er als
volgt kunnen uitzien:
B-3.2.6
Oud Nieuw
START
programma
START
programma
Inlezen
gegevens
Inlezen
gegevens
Bereken krachts
verdeling
Bereken krachts-
verdeling
Druk de staaf-
krachten af
Voldoet E ^^? eff
:^\
Wijzig E eff
( STOPj
ja ne
Druk de staaf-
krachten af
( STOP j
Opgemerkt wordt, dat de rekentijd (kosten) sterk afhankelijk
is van de grenzen die gesteld worden aan de afwijking die
de berekende E ^^ mag vertonen ten opzichte van de E ,. eff ^ ^ eff
die in de berekeningsgang is gebruikt.
2 Vooral indien slechts een enkele maal een tuibrug moet
worden berekend zal over het algemeen gebruik worden gemaakt
van bestaande programmatuur. Wat het kostenaspect betreft
dient eerst goed te worden nagegaan wat het doel van de
betreffende (deel)berekening is en welke resultaten we
willen verkrijgen om een juiste keuze te maken uit de aange
boden programmatuur.
Van de bestaande programma's is n.l. de volgende indeling
te maken:
1. General Purpose programs;
2. Special Purpose programs.
Beide programmatypen zijn weer te splitsen in twee- of drie-
dim.ens ionale programma ' s .
Met de "general purpose" programma's kunnen vrijwel alle
sterkteberekeningen worden uitgevoerd.
B-3.2,7
De overgrote meerderheid van de konstrukties is te schematiseren
tot vlakke staafkonstrukties en kan derhalve met een twee
dimensionaal programma worden berekend.
Voor de overige problemen zullen we een driedimensionaal
programma moeten gebruiken.
Voor een speciaal konstruktietype, dat veel voorkomt zijn vaak
aangepaste programma's gemaakt (Special purpose programs).
Het grote voordeel van deze programma's is, dat ze consument-
vriendelijker zijn dan de general purpose programs. Over het
algemeen zijn het general purpose programs met een speciaal
voor- en naprogramma, waardoor veel op de invoer kan worden
bespaard en eventuele voorberekeningen óók door de computer
worden uitgevoerd.
De vorm van de uitvoer wordt met het naprogramma aangepast
aan de, voor die speciale konstruktie, gebruikelijke vorm.
Geschematiseerd ziet een special purpose program er dan als
volgt uit:
voorprogramma
general purpose
naprogramma
In het vorenstaande werd gesuggereerd, dat er twee programma
vormen zijn, n.l. voor twee-resp. driedimensionale konstrukties
Over het algemeen zal de gebruiker dit echter niet merken
en voor beide konstruktievormen hetzelfde programma gebruiken.
Door gebruik van elementen (staven), die een bepaalde
verplaatsing kunnen ondergaan, zal de computer een keus maken,
of het twee- of driedimensionale deel van het programma
moet worden gebruikt. In schemavorm:
i inlezen elementen
twee- of driedimensionaal?
twee drie
Berekening Berekening
uitvoer
B-3.2,
B-3.2.5 Werking van het rekengedeelte in een programma
Daar vrijwel alle programma's voor het oplossen van de sterkte
berekening van een konstruktie gebruik maken van de zogenaamde
verplaatsingsmethode, wordt alleen deze methode hier behandeld.
Verder zullen slechts de essentiële punten van de verplaatsings
methode worden behandeld, zodat de gebruiker voldoende inzicht
krijgt in de keuze van programma- en elementtype.
Bij de verplaatsingsmethode wordt de konstruktie verdeeld in een
aantal konstruktiedelen van eenvoudige vorm, de zogenaamde elementen.
Deze elementen kunnen bestaan uit een staaf- (ééndimensionaal) of
een vlak element (tweedimensionaal) terwijl in veel programma's
deze elementen ook nog gekromd mogen zijn (Deze kromming moet dan
wel aan een bepaalde vergelijking voldoen).
De staven of de vlakke elementen staan in hun uiteinden door middel
van de knopen met elkaar in verbinding.
Voorbeeld staafkonstruktie:
777777-
IC
7V7-777
s t aa f knoop
Voorbeeld plaatkonstruktie
knoop
De knopen kunnen worden beschouwd als oneindig kleine en oneindig
stijve elementjes.
Bij iedere konstruktie krijgen we met 3 voorwaarden te maken:
1. De aansluitvoorwaarden (compatibiliteit) ter plaatse van de
knopen;
2. De spanning-rekrelaties (vervormingsgedrag van de elementen);
3. De evenwichtsvergelijkingen (onder de belastingen van de
elementen op de knoop, dat wil zeggen de inwendige krachten en
de uitwendige belasting, moet de knoop in evenwicht zijn).
B-3.2.9
Voor een staafelement komt dit op het volgende neer;
z
•X
mogelijke verplaatsingen:
n ^ 1 — ' " i IT- u.
mogelijke krachten door de knopen op de staaf uitgeoefend:
M. C M. j/M.
«j
'] De verplaatsingen vormen samen de verplaatsingsvector v
en de krachten de krachtenvector k . Het lineaire verband e e e
dat bestaat tussen v en k is de stijfheidsmetrix S . „e e _ e S V = k
Bij een prismatische staaf met doorsnede A, traagheidsmoment I,
elasticiteitsmodulus E en lengte 1 wordt dit geheel uitgeschreven:
EA 1
O
0
12EI
1^
5EI
0
6EI
l'
4EI
EA
12EI _ 5EI ,3 2
6EI 2EI
EA
1
0
0
0
12EI
1^
6EI ,2
EA 1 T- O
12EI
6EI
O
6EI
l'
2EI
1
5EI
4EI
^i
V . 1
* i
V.
1
*j
H. 1
V. 1
M. 1
H. 3
V.
M. 1
of korter in gepartitioneerde vorm geschreven:
S S - ii - .ij
11 ]]
e V. -1
V^ L~ _
k^l -1
1 e K .
-J J
B-3.2.10
Hieruit blijkt,dat de grootte van de stijfheidsmatrix afhankelijk
is van de verplaatsingsmogelijkheden aan de staafeinden.
Zijn er aan de staafeinden 3 vrijheidsgraden, dan is de element-
Stijfheidsmatrix (S ) een 5 x 6 matrix.
Zouden ook de verplaatsing in z-richting en de rotatie om de x-
en y-as vrij worden gelaten (driedimensionaal geval), dan zijn er
6 vrijheidsgraden per staafeinde en dus een 12 x 12 element
stij fheidsmatrix.
Een en ander zal de rekentijd sterk beïnvloeden.
In het algemeen geldt, dat de grootte van de elementstijfheids-
matrix wordt bepaald door het product van het aantal vrijheids
graden in een knoop en het aantal knopen waarmee het element in
de constructie is opgesloten.
Om van de stijfheidsmatrix van het elem.ent naar .de stijfheidsmatrix
van het systeem te gaan, moeten we het statisch evenwicht van de
knopen beschouwen.
Met andere woorden, de krachten, die door de elementen op de knopen
worden uitgeoefend moeten evenwicht maken met de uitwendige krachten
op die knopen (knoopevenwicht).
M, V ^^y^^
M 1,2,3
H 1,2,3
V 1,2,3
krachten op de elementen
rr>. Hsyst
Msyst
M syst
H syst
V syst
Uitwendige krachten
Daar de krachten, die de elementen op de knopen uitoefenen tegen
gesteld van teken zijn, kan voor het knoopevenivicht worden geschreven:
Ml + M2 + M3 = Msyst
VI + V2 H- V3 = Vsyst of Ek® = k
Hl + H2 + H3 = Hsvst
syst
,syst syst _ , syst
,syst waarbij S -^ de sommatie is van de afzonderlijke stijfheidsmatrices
van de elementen.
2
B-3.2.11
Voorbeeld
syst
syst
syst
syst
syst
| s ^ " + s ^ 1 s -11 1 1 ^ 12
^ ^ -
k s i ^ ^ s ^ +s^ ^22 ^^22 ^^22
6 ^32
0 0 ""^
: \
= 13 ,
< 3
^ 3
'^
0
s2 " ^
^24
2 4 0 ^
II 0 1
1
^ 1
d 0
-s^ 1
Opgemerkt wordt, dat de verplaatsingsvector nog een bev/erking moet
ondergaan in verband met de hoek waarmee de staven elkaar ontmoeten.
Met de bekende knoopbelastingen zijn nu de knoopverplaatsingen te
bepalen. Uit de knoopverplaatsingen van een element zijn via de
spanning-rekrelatie de krachten in de elementen te bepalen en dus de
krachten welke de elementen op de knopen uitoefenen.
Bij de opleggingen zijn echter de verplaatsingen bekend en de knoop-
krachten (reacties) onbekend. Dit wijzigt echter de berekening op
zich niet.
Uit de stijfheidsmatrix van het systeem kunnen enige belangrijke
conclusies worden getrokken:
1. De matrix heeft de afmeting van het product van het aantal knopen
en het totaal aantal vrijheidsgraden van de knopen;
2. Van linksboven naar rechtsonder kunnen we een lijn trekken.
De waarden op deze lijn stellen de hoofddiagonaal voor.
De overige waarden kunnen worden gespiegeld om deze hoofddiagonaal.
Immers S^^ = S^r ^^3 = S^^ enz.
3. Op een bepaalde afstand bultende hoofddiagonaal verschijnen nullen.
De afstand waarover reële waarden verschijnen is de bandbreedte.
De breedte van de band is 2 x (het grootste knoopnummerverschil van
een element in de konstruktie) + 1. In dit geval staaf (2), (3), (.5); het
verschil is 2, dus is de bandbreedte 2 x 2 + 1 = 5 .
B-3.2.12
Met bovenstaande punten houdt de computer rekening om geheugenruimte
te besparen. De gegevens worden nu als volgt opgeslagen.
K\-L P22^4^4
' 2 3 3 ^ 4 ^ 4 ^ 4 2 4
4s
4. 4^ 4.
0
4. 4. 4
Het aantal geheugenplaatsen wordt op deze wijze gereduceerd van
5 X 5 = 25 tot 12.
Om rekentijd en geheugenruimte te besparen kan het volgende worden gedaan;
A. Besparing rekentijd: Zo weinig mogelijk vergelijkingen (onbekende
verplaatsingen) d.v/.z. beperking van het aantal knopen en van het
aantal vrijheidsgraden per knoop;
B. Besparing geheugenruimte: Buiten datgene, wat onder A is genoemd nog:
door een goede knoopnummering het knoopnummerverschil aan een element
zo klein mogelijk maken.
ad A) 1. Beperking van het aantal knopen
Om een goed inzicht te krijgen in het krachtenverloop (M-D en N-1
in een staaf wordt vaak geadviseerd een staaf onder te verdelen
in verschillende elementen door middel van tussenknopen, aange
zien de krachten bij de knopen worden bepaald en deze waarden
dus worden uitgevoerd.
Indien echter op een bepaalde staaf geen belasting voorkomt, is
het verdelen in meer elementen onnodig, daar het krachtenverloop
in de staaf lineair is.
Bij eenvoudige belastingvormen, zoals een gelijkmatig verdeelde
belasting of een enkele puntlast, is het krachtenverloop eveneens
eenvoudig te bepalen.
Bij minder eenvoudige belastingvormen is het nuttig om de staaf
door middel van tussenknopen in meer elementen te verdelen en
de knopen op die plaatsen te leggen waar het krachtenverloop
knikken of sprongen vertoont, dus bijvoorbeeld ter plaatse van
puntlasten.
B-3.2.13
2. Beperking van het aantal vrijheidsgraden per knoop.
In principe heeft iedere knoop 6 vrijheidsgraden (een verplaatsing
in de x-, y- en z-richting en een rotatie om de x-, y- en z-as).
Of van deze vrijheidsgraden gebruik wordt gemaakt is sterk
afhankelijk van de konstruktie die moet worden berekend.
Nu zijn de meeste konstr\ikties ruimtelijke konstrukties en er
zullen dan dus 6 vrijheidsgraden per knoop nodig zijn.
Kan deze konstruktie echter tot een vlakke staafkonstruktie
worden geschematiseerd, die in zijn vlak wordt belast, dan zijn
slechts 3 vrijheidsgraden per knoop vereist (verplaatsing in
x- en y-richting en rotatie om de z-as). Het aantal vergelijkingen
in de systeemmatrix is nu tot de helft gereduceerd.
Evenzo geldt dit voor een vlakke staafkonstruktie, die loodrecht
op zijn vlak wordt belast (balkrooster).
De vrijheidsgraden zijn nu verplaatsingen in de y-richting en
rotatie om de x- en z-as.
Daar de krachten in de staven worden gevonden uit het verschil
in de verplaatsingen van de aansluitende knopen, is het
nodig de elementen met de juiste stijfheden in te voeren. In
het geval van een vlakke staafkonstruktie, in zijn vlak belast,
dus EA en EI en bij de vlakke staafkonstruktie, loodrecht
op zijn vlak belast, EI.; en EI .
Een beperking van het aantal vrijheidsgraden verkrijgt men dus
in de eerste plaats door een dusdanige schematisering van de
konstruktie, dat een aantal verplaatsingen nul blijven.
Daarnaast moet dan een element worden gekozen dat aansluit bij
de overgebleven vrijheidsgraden per knoop.
Een element met teveel eigenschappen geeft te veel vergelijkingen,
verplaatsingen en krachten die nul zijn, terwijl een element
met te weinig eigenschappen geen resultaten geeft.
B-3.2.14
ad B) Beperking van de geheugenruimte door goede knoopnummering.
Zoals reeds eerder is gesteld, is de benodigde geheugenruimte
afhankelijk van het grootste knoopnummerverschil in een element.
Een en ander zal hier worden verduidelijkt aan de hand van een
voorbeeld van een tuibrug.
A. Een "logische" knoopnummering (in de velden 5 tussenknopen)
3 77777-777
Grootste knoopnummerverschil 34-6 = 28 ; plaatsruimte in geheugen
(28+1) X 34 = 9 86 plaatsen.
B. Betere knoopnummering:
-JX- i , , , ::> .—, , , J 1 l « ". J ^S l' 3./ li- 'J -ii is ii if 3t -••
77777777777
Grootste knoopnummerverschil is nu 5; plaatsruimte in geheugen
(6+1) X 34 = 238 plaatsen. •
B-3.7.0.1
Bijlage 3.7.0
Methoden om de kracht in een tuikabel te meten; nauwkeurigheid
Als zodanig komen in aanmerking rA.2lJ:
1. Vijzel + manometer;
2. Drukdoos (tussen vijzel en kabel);
3. Trillingsmeting;
4. Meting doorhanging.
De beide eerste methoden zijn directe methoden, waarbij de kabelkracht
tijdens het spannen wordt gemeten en geregeld; de beide laatste methoden
zijn indirecte methoden, waarbij de kabelkracht aan de gespannen kabel
wordt gemeten. Alleen in combinatie met 1 en eventueel 2 kan de kracht
worden bijgesteld.
Alle meetmethoden vertonen onnauwkeur^^gheden door verschillende oorzaken.
Zowel bij manometer als drukdoos is er de ijkonnauwkeurigheid, die vooral
bij manometers tot enige procenten kan bedragen. In beide gevallen is
er ook de wrijving van de kabel in de verankering. Bij de meting volgens
1 is er verder de wrijving in de vijzel, die door de vloeistofdruk
(manometer) moet worden overwonnen en verder het moment van het loskomen
van de verankering, als het gaat om het meten van de kracht in een reeds
verankerde kabel.
Dit leidt bij 1 tot onnauwkeurigheden tot ± 2 a 3%; de afwijkingen van
een drukdoos blijven in de regel beperkt tot ± 1%.
Bij de trillingsmeting wordt de kabel in trilling gebracht en wordt de
tijd gemeten die nodig is voor een bepaald aantal trillingen. De nauw
keurigheid van de meting neemt toe met het aantal trillingen. Gedacht
moet.worden aan 50 tot 100 trillingen.
De kabelkracht N kan dan worden berekend uit de eerste eigen frequentie
f met behulp van de snaarvergelijking: 2 2
N, = 4 1 .f^ . y
Hierin is 1 de kabellengte en y = p A het gewicht van de kabel per lengte;
p is het volumegewicht van het kabelmateriaal en A de doorsnede ervan.
De snaarvergelijking geldt exact voor een ideale, buigslappe kanel (EI = 0),
die scharnierend bevestigd is.
Nu zal een tuikabel altijd een zekere buigstijfheid hebben (parallel
draadkabels meer dan geslagen kabels) en ook zullen de einden in de regel
niet zuiver scharnierend zijn bevestigd.
B-3.7.0.2
De buigstijfheid EI en de mate van inklemming van de kabel bij de
verankeringen kunnen in rekening worden gebracht met de formule: 2
2 Deze formule geldt alleen voor EI<^ NI .
Opmerking: De formule kan niet geheel juist zijn omdat de term achter 2
de 1 in (1-....) niet dimensieloos is; waarschijnlijk moet er r- staan.
^1^
Het traagheidsmoment I van de kabel beweegt zich tussen dat van de som " 1 4 n 1 2
van de n afzonderlijke draden Z -rr— TT d = Z A . -—.ird en dat van de als 1 o4 n 1 s 16
n 1 u n 1 2 een geheel werkende doorsnede, waarbij de waarde E TTT f d = E A .-r^'T^d
" 5 j 1 54 2 s 15 n 2
wordt vergroot met Z A a , waarin a de afstand tot een as door het 1 ^
zwaartepunt van de kabel is. Bij de berekeningen is met beide uiterste n 2
waarden van I rekening gehouden. De vergroting met Z A .a kan ten 1 ^
naaste bij optreden bij een op korte afstand stijf samengeperste kabel
of bij een sterk geroeste kabel.
Ondanks de grote spreiding in deze stijfheidsinvloeden is de invloed
op de trillingstijd en daarmee op de kabelkracht gering, zeker bij lange
kabels. De trillingsmeting is daarom, naast die met de drukdoos, de
nauwkeurigste meting van de kabelkracht, met een spreiding van ca. + 1,5%.
Uit de meting van de doorhanging f in het midden volgt de kabelkracht — - m *
N uit: N^ = 1/8 ql /f . t t m ^
waarin q het gewicht van de kabel per lengte voorstelt; q = pgA, met
g = versnelling van de zwaartekracht, p= soortelijke massa van het
kabelmateriaal en A de kabeldoorsnede.
De doorhanging wordt meestal verkregen als het verschil van twee grote
waarden: de theoretische hoogte van het midden van de rechte kabel,
verkregen door de bekende hoogten van de kabelaansluitingen in ligger
en pyloon door een rechte te verbinden, en de gemeten hoogte van het
midden van de doorhangende kabel (bijv. aangegeven met een verfstreep).
De onnauwkeurigheid van dit kleine verschil is veel groter dan de onnauw
keurigheden van de afzonderlijke, grote waarden. Dit korat vooral tot
uiting bij korte kabels. Bovendien hangt de doorhanging af van de tui-
temperatuur, die ook verre van nauwkeurig bekend is. Meting van de
doorhanging is derhalve een onnauwkeurige methode ter bepaling van de
kabelkracht.
1) Zie Der Stahlbau 1973, p.97 e.v., 138 e.v. en 151 e.v. (Rheinbrücke
Mannheira-Ludwigshafen).
B-3.7.0.3
De afleesonnauwkeurigheden van de aflezer van de instrumenten zijn
niet beschouwd.
Zij kunnen variëren van een onnauwkeurige schatting van de naald
stand tussen de eenheden van de schaalverdeling (bijv. 547,2 i.p.v.
547,3) tot echt foutieve aflezingen (verkeerde schaalstreep in een
heden of zelfs tientallen; bijv. 547 i.p.v. 548; of 547 i.p.v. 557).
Het afleiden van de tuikracht uit de uitrekking van_de_kabel aan de
spanzijde(n) is verre van nauwkeurig, zeker als dit gebeurt bij een
vrij doorhangende kabel. Maar zelfs als de kabel spanningsloos en (zo
goed als) recht is opgelegd en daarna wordt gespannen, is de methode
onnauwkeurig, omdat de aansluitpunten in pyloon en ligger bij het
spannen naar elkaar toe bewegen. Dit kan weliswaar worden berekend,
maar de uitwerking kost veel tijd, tenzij alles geprogrammeerd wordt
(ook de andere tuikrachten veranderenI). Het kan ook worden gemeten,
maar dan als het resultaat van het verschil van twee grote getallen,
dus onnauwkeurig. Een verschil van 10 mm in lengte maakt op een 100 m
lange kabel al gauw 3% in kracht uit.
Bijlage 7.0.1 B-7.0.1
Staalhoeveelheid bij harptuien
Veronderstel een oneindig aantal evenwijdige tuien, die elk een lengte dx
van de ligger dragen, met een eigen gewicht g en een verkeersbelasting p
per lengte; de totale belasting q = g- p. De hoek a is constant.
Belasting van liggerelement dx: dQ = q.dx
-r . ( ,_ _,., dC qdx Tuikracht: dN. = —r=- = ^=^-7—
t sina sina o o
Tuidoorsnede: dA = —_— = -; o osina
o Tuilengte: 1 X cosa
Volume van één tui: dV = dA, .1 t t x
qxdx
asina cosa o o
'-1 qxdx _ zq 11 2• Volume van alle tuien: V, = 2 / = 2 x t 7 - . - . ' 'o
o asina cosa asina cosa 0 0 G O
4asina cosa G o
2„ _, 2.. sina^ qL Y oL Y ainu^ ^ Gewicht van alle tuien: G, = V. .Y = - - - ' --
t t ." . .- CGsa . 2 4Csina cosa 4a o sin a
0 0 o
2 2 = 3 k _ I t g a [1+tg^a ) = ^ ^ ^ ( t g a + c t g a )
4a ^ 0 ^ o 4a ^ = 0 * ^ 0
Met tga = h/sL = 2h/L = a wordt d i t :
G, = a k ! l [a- ^ ] = a i i . rnet c , = k ia^^ - 0,5a - - ^ . t ^- a 25 h h a 2a
De uitdrukking —: heeft een minimum voor a = 45 , sina cosa o
G o 2 2
GL Y qL Y Het minimum gewicht is G . = -^— = 0,5. -^^—
tmin 2a ^
1 2h De factor c, = |(a+ —)is voorgesteld in fig.B-701^lB functie van a = —
n a L
Andere afleiding:
Totale liggerbelasting Q = qL
qL Totale tuikracht N, t sina
,0 Totale tuidoorsnede A =
t asina^, -L 5L
Gemiddelde tuilengte L = —^— [max. - — ; min.o) gem CGsaQ cosag
QL^ Totale tuivolome V, = A, . L = r-
t t gem 4asina(-,cosaQ
•- 8-7.0.2
Bijlage 7.0.2
Staalhoeveelheid bij waaiertuien
Veronderstel een oneindig aantal tuien, die elk een lengte dx van de
ligger dragen, met een eigen gewicht g en een verkeersbelasting p per
lengte; de totale belasting q = g- p. De hoek a is een functie van x.
Belasting van liggerelement dx : dO = q.dx
dQ _ qdx na )
dN+
Tuikracht: dN, = t sina sina
x X
T -^ H ^A t qdx Tuidoorsnede: dA. = = —^
t - - . a a sina
Tuilengte: 1 = X cosa
qdx Volume van één tui: dV^ = dA^.1
t t X asina cosa X X
Volume van a l l e t u ien : V = 2 /
sL qxdx
asina cosa x x
1 ^"^"°' 1 2 1 Nu i s : —; = . =— = tga [1 + c tg a ) = tga +
sina cosa cosa . 2 x x x tga X X x s in a '^ >
Omdat tga = —, wordt d i t : —•<-—. Hiermee wordt : X X x h
-L -L V^ = 1 ^ / ' xdx ( - + r^ = — / thdx + x^dx/h) t a / X h - y
qLh qL" qL^ ,2h L , qL" , 1 , qL^ = -^ + -^ = ^ f-r- "" "St: = la + - - ) = ^ ^ .Cn
a 12ah 2 a 2 o 2 a
1 met a = 2h/L = tga en c„ = a - ^r— .
o f 3a qL Y Gewicht van a l l e t u i e n : G = V .Y = .c .
^ ^ 2 a " ' '
De u i t d rukk ing c , = (a • -r—] heeft een minimum voor a = 1/3 1/3 = 0,578
Het minimum i s g e l i j k aan c„ . = 1/3 1/3 + 77^ = 2 /3V3 voor a = 30^ f min ' ' 1 / 3 ' o
1
2 2 Hiermee wordt G . = - - .2/3 l/T = 0,578 ^ ^ -
tmin „- ' 2a a
De factor c = a - :r— is voorgesteld in f ig.B-701 als functie van a = —— = tga T J 3 L O
B-7,0.3 Bijlage 7.0.3
Staalhoeveelheid voor de kabels van een hangbrug
Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen de hangkabels en de (hoofdjdraag-
kabels.
a. De hangkabels
Veronderstel een oneindig aantal evenwijdige, vertikale hangkabels, die
elk een lengte dx van het brugdek (incl. verstijvingsligger) dragen,
met een eigen gewicht g en een verkeersbelasting p; de totale belasting
is q = g-t-p.
4h 2 Vergelijking van de hoofddraagkabel: y = -^ ^
L 2
. ^L
1 '
0
1 3
qLh -a
Kabelkracht dN = qdx ,x ^ 1 -, • j„ dN q d x Kabeldoorsnede dA, = —=— = - -^
h a a
w u m - T 4h 2 Kabellengte 1 = —-— x
X |_Z -iqh 2
Volume van één kabel dV,_ = dA.l = — T : , — x dx h X , 2-
L a
Totaal kabelvolume (één helft) V. = 2 f ^^ x^dx = ^^P- |l/3 x I n J ,2- I 2 -
o L a L p
Totaal kabelgewicht [één helft] G, = V^.Y = ^ ^ ^ h 3 -
2 2 x 4 - - , i u T - . i - f i u - n 2 qLhY qL Y 2 h qL Y Totaal kabelgewicnt [nele brugj : G,_ = — = — r- = . c ,_
h 3 - - o L - s h a a a
1 • ^ -K 1 2h 1
Naar analogie van tuibruggen: c , = —. -— = — a.
^ ^^ sh 3 L d
Indien verondersteld wordt dat het hangergewicht van de zijoverspanningen
evenredig is met de overspanningslengte L [L < jL) - wat ten naaste bij
het geval is -, dan wordt het totale gewicht van de hangkabels:
2 2 X _ qL Y L + 2L^ _ qL Y * h " - 2L ^sh ^ - "• " sh'
a o * L • 2L^
waarbij c , = -- '- .c , sh 2L sh
b. De draagkabels
Vergelijking van de draagkabel: y = —^ x a = -— L
2 Horizontale component H van de kabelkracht: H = -1— = constant,
o n
Kabelkracht N^ = - ^ = Hseca = H \/l - tg^a = H \/l + [^)^ d cosa V V L
2
^ V ^ ' -
B-7,0.4
2 Kabeldoorsnede A = — = Si_ \/i - 4a^
d a öho
Kabellengte tussen_de_gylonen: 1 = LCsl/l - 4a • — In [2a - \/l + 4a ]}
= L,c P
q 2
Volume d r a a g k a b e l (s) : V_, = A ^ , l ^ = 3 ^ . c \ / 1 - 4a^ = ^ 4 - ^ c \|^ + 4a^ d d d 8 ha p v a 8 h p \ /
= 34! c , J - l / r r ; ? ^ qLi_ ^ \r^ __ qL 5 p ' 4a V • •" a • 4 V ' • a2 a " ^sd I 2
K a b e l g e w i c h t : G^ = V ^ . Y = S i ^ - ^ . ^ ^ d d ö s d ,
1 1 / ï" met C , = - - p C / 4 + - ; r -
sd 4 p y a2
Met ove rspann ingen L -^L-^ L =
. L ^ 2L-1 qL^Y ^ ^ 2L-, ^2 ^ b - • b , = zr-.C . ; = —^ .C , ,
d L a a sd L g sd » L + 2L']
met c _, = — ; c , , sd L sd
c. Totale kabelgewicht [hangkabels -i- draagkabels]
G = G;; . G;; = a i ( , ; ; . ^ =B^.C , st h d g 3h sd ^ 3
, * * L • 2Li , o 1 met c = c , • ^ c ^ = —r^ •- [c ^ -1- 2c ,]
3 sh sd 2L sh sd
1 2 h 1 \ /. 1 met c = - a = - - en c = - c \ / 4 - f - —
sh 3 3 L sd 4 p y ^2
d. Afleiding van de kabellengte 1 , van een parabolisch gebogen kabel
1/ I, 1 -1 • -u- 4h 2 Kabelvergelijking: y = —^ x L 2
^ i;_, 2 ^ 2 . \L ray.2 dy 8h ds = / d x • dy = dx \n - [-/-] t r " = -=r x
" V dx dx L 2
2 ^ , , , , 8h ,2 2 L I A , 8 h , 2 2 ^ ,8h , L \ / , - , -d x l / 1 . [.-2] X = _ ^ 1 . [ ^ ] X . d [ ^ X] = - \ / l . X dx
8h - ,, - 4h ^ x . : -
Nu i s bekend d a t :
met X = -zrr X, x = o - > - x = o x = 5 L - > - x = •;— = 2a L 2 L
/ U i -f x^ dx = l x l ' V + > < + U n (x *\J^ + x ^ ]
èL ,2 Ana loog : ,, ^ . 2a
1 ^ = 2 / ds = - ^ | x \ / 1 -H x^ + I n (x -^\/ 1 -H X d l 8h
o
= - ^ { 2 a l / l + 4a^ ^ I n [2a + \ / l T 4 a ^ ] }
= L (è \ / l * 4a^ + ^ In (2a -^^ 1 - 4a^ ) } = c , L
3-7.05
a = tgao = 2h/L
O 0.1 0.2 0.3 OZ, 05 05
'Fig.B-701. De factoren c^ en c als funct ie van a = tg ao= h / l / 2 L.
B-7.05
Cf
0.9(C,,+ 2C,J = C,
(L,=O.^L)
Fig. B-702 De factoren C^, C, en C als functie van de verhouding a h/L.
B-7.3.1 Bijlage 7.3:
Afleiding van de formule voor de ideële vervormingsmodulus E-;
van een doorhangende, schuine kabel, belast door een normaal-
kracht N en het eigen gewicht g (vrij naar Ernst ToOlJ ].
Symbolen [zie ook fig. 73,I-a):
g = kabelgewicht per lengte FkN/m/ï T 2^
A = kabeldoorsnedelm J;
N = kabelkracht TkNJ in het verlengde van de koorde;
H = horizontaal ontbondene van N;
1 = lengte van de koorde van de doorhangende kabelfml;
L = lengte van de doorhangende kabel rml;
V = L-1 = verschil in lengte tussen kabel en koorde fml; o L j
f = pijl van de doorhangende kabel (in het midden, loodrecht
koorde Imj;
a = hoek van de kabelkoorde met het horizontale vlak;
a = 1 cos a= geprojecteerde kabellengte op het horizontale vlak Tm]
E = vervormingsmodulus van de rechte [gewichtsloze] kabelikN/m^; e ^ L j
E = fictieve vervormingsmodulus van de kabel tengevolge van
alleen de doorhanging [kN/m J;
E. = ideële vervormingsmodulus van de doorhangende kabel, belast
door eigen gewicht g en normaalkracht N TkN/m J.
Veronderstelling: het vrije kabeluiteinde kan alleen verplaatsen
in de richting van de koorde [fig.73-1a].
De verplaatsing Al van het vrij beweegbare uiteinde van een
buigslappe, schuine, doorhangende kabel, die aan het andere
einde wordt vastgehouden en waarbij de aanwezige trekkracht N
met een bedrag AN wordt vergroot, kan opgebouwd worden gedacht
uit twee componenten:
1. de elastische uitrekking Al van de rechte, gewichtsloze
kabel met [eindige] rekstijfheid E .A_:
Al = f, (AN, 1, E , A ] = § ^ ; fig. 73.1-b; e 1 e s t . A
e s
2. de elastische verplaatsing Al door het zich strekken van de
doorhangende, buigslappe kabel met rekstijfheid EA =co(onn
alleen het effect van de düorhanging in rekening te brengen):
Al_ = f_ (AN, 1, A , g, a). f 2 s
B-7.3.2
Deze verplaatsing kan als een fictieve uitrekking worden
opgevat en gelijk worden gesteld aan:
Al, = ^ (fig. 73.1-c],
waarbij E .A een ficiteve kabelstijfheid tegen verandering
van de doorhanging voorstelt. In tegenstelling met E is E_p
geen constante,
Door de verplaatsingen Al en Al te delen door de lengte 1,
vinden we rekken,
De eerste. Al /l, is de toeneming van de normale, lineair-
elastische rek £ , die evenredig is met AN: Al /I ^^ ^ A a , ^ Aa Al /l = - —7- = —p— = Ae -• E = , e E A E e 9 AE
e s e e
De tweede. Al /l, komt overeen met een toeneming Ae„ van de T t
fictieve rek £„ van de kabel (deze rekt immers zelf niet;
hij strekt zich alleen): ,1 /i A AN Aa r: Aa
Al„/1 = Ae, = - . = •= »• E, = f f E,A E, f Ae-f s f f
Hier is E de fictieve vervormingsmodulus van de doorhangende,
oneindig rekstijve kabel bij een bepaalde spanning a, c,q,
normaalkracht N,
Onder invloed van een toeneming van de spanning met Aa onder
gaat de kabel dus een ideële rek Ae. =Ae ' Ae,. 1 e f
De ideële vervormingsmodulus kan nu worden voorgesteld door P _ Ag _ Aa i Ae. Ae + Ae_ 1 e f
1 ^^e ^^f 1 1 ^e " ^f ^o^^^ E. Aa Aa E E^ E E i E - E 1 e f a f e f
Zoals hierna zal worden aangetoond is het verschil tussen de
lengte L van de doorgebogen kabel, belast door een normaal-
kracht N, en de lengte 1 van de koorde gelijk aan
V = L-1 = _j!il£££«= c.N-2, (2) • 24 N
dus V is een functie van N.
(negatieve -rr- betekent, dat v afneemt als N toeneemt; dit klopt] dN . '
B-7.3.3
Met N = A ,a;
dg
de,
dN/A s_
dv/1
dN = A .da s
- dN dv • F
Av = 1.Ae [ = Al ]; dv l.de f
12 H" 12 N [met a=l cosa) 2,2 2 „
g 1 cos a.A 2 2„ g a A
Met g/A = Y= [gemiddeld] specifiek volumegewicht van de kabel ^ 12a3
en a= N/A : E^ = „ (3) s t , , z
(Ya]'
Uit (1) en [3] volgt nu de ideële vervormingsmodulus
(4)
Deze is voor E 3 2 3 2
170.10 N/mm = 170.10 MN/m (voorgerekte geslagen kabel] uitgezet in fig.73,4 als functie van de geprojec
teerde kabellengte a, voor een aantal waarden van de kabel-3
spanning a en voor Y= g/A = 34 kN/m (een voor geslagen kabels
gebruikelijke waarae, inclusief vulling van de holten met
menie, o.d.].
3 7 In fig.73.5 is hetzelfde gedaan voor E = E = 205.10 N/mm
e - m [paralleldraadkabels], voor Y = 78,5 kN/m [onbeschermde kabel);
3 in fig.73.B is voor y = ^S7 kN/m [kabel, waarvan het gewicht
van de bescherming even groot is als het kabelgewicht].
Als het gewicht g [van kabel + bescherming] groter is dan dat
van de staaldoorsnede alleen, moet in y = z/f^ de waarde A
worden betrokken op de netto werkzame staaldoorsnede [vergelijk
ook 7.5 en 7.6).
Soms is het nuttig met één waarde van E. te kunnen werken voor 1
een zeker spanningsgebied, bijv.a <a<a_. Voor relatief kleine
spanningsverschillen, zoals ze meestal in de tuien van betonnen
tuibruggen voorkomen, kan men dan het gemiddelde nemen van de
waarde van E. tussen a. en o , voor een bepaalde waarde van a.
Voor grote spanningsverschillen [o /a groter dan ca. 1,25]
leidt rechtlijnige interpolatie tot te grote afwijkingen en
is het beter gebruik te maken van de eveneens door Ernst in
r T ^e IQB1J ontwikkelde formule: E. = ;; ;;— [5]
1-fE
^ 12a^ 16u^ m
Hierin is a = h (a^ +a_) sn p= — m I z a.
B-7.3.4
Hierna volgt de berekening van het lengteverschil v tussen
kabel en koorde voor een constante kabelkracht N: v = L-1
[fig. 73.I-a).
De vorm van de kabel onder eigen gewichtsbelasting is een
kettinglijn.
Bij een verhouding f/l 40,1 is de fout die men maakt door
hiervoor een tweedegraads parabool aan te nemen, te verwaar-
lazen klein [ 06l] .
4f Parabool: y = —=— [l-x)x
1
1 1 I—= 5 1 / 2 1 H - ' Kabellengte L = ƒ ds = f |/dx - dy = / dx'wM + (^] = ƒ dx{1 + [^)''}'
•'o -'o o o
Formule voor L ontwikkelen in een binomiaalreeks levert:
L = Al.| (^]' -1 (^]^ }dx = U f\ï [^]'-^ [^]^ } d 7 dx 8 dx y dx 8 dx o o
= 1 -t- V .
1 ^ 2 4 Lengteverschil v = L-1 = / ( (• ] - [^] + } dx
° / dx 8 dx o
Met 4^ = ^ (1-2X] wordt [^] ^ ^ [1^- 41x ^ 4x2]. dx ..2 dx 2
Voor kleine -r- mogen de hogere machten van -r- ten opzichte dx ° dx
I - ^
van [—=] worden verwaarloosd, zodat dx
1 2 1 2 3 2 , f^ .dy,2 ^ 8f /• ,.,2 ., ^ 2. 8f^ 1" 8 f ,,, o 1 o 1
Hierin is f nog onbekend. Deze volgt uit de voorwaarde dat voor
elk punt van de buigslap veronderstelde kabel het buigend
moment M = 0; dus ook voor x = ïl: ^ . 2
M , = -N.f + g cosa.l^ = 0 — f = ^ "r*^ ^7] X = 5 1 o OlM
Subsitutie van [7] in [6] levert: 2 2 4 2 2 3 „
8 g cos g. 1 _ g cos a.l _ ^ .,-2 , . V = :;• • —2 - 2 - C.N [8J
64 N I 24 N
1 2 2 ^3 met c = g cos a.l .
B'7.3.5
Dit is het lengteverschil tussen een kabel (met rekstijfheid
EA =6Q] en de bijbehorende koorde bij een constante kabel
kracht N. Het is O voor N =co[vlakke kabel]. Bij toeneming
van N metAN zal de doorhanging f afnemen met Af, terwijl v
zal toenemen met Av.
Bij overgang naar lopende N en v en differentialen:
V = C.N"2 ^ = -2c.N'^ dN
Negatieve —• betekent dat v afneemt als N toeneemt. Dit klopt.
B-7,3,3.1
H^N
Bijlage 7.3.3 Staaf, belast op buiging en normaal-kracht (trek) [simulatie van de niet oneindig buigslappe kabel].
M = l/agL^ = N.f - EIK = N.f f- ^ ^ 1,2
N.f 48 Elf
5 L2 f [N.il^]
5 L2
N = O ^ f = 384 EI
|\| =co . M = O [f = K= 0]
5gL^
EI = O ^ f = 8N
40NL -f 384EI H N « 0
EI =co ^ |\j = o [f
2
V = kb
(M, = 0] u
= K = 0]
o in 7
Voorbeeld: horizontale trekstang; L = 10G m; A = 2x8 = 16 cm ; E = 2.10 kg/cm ;
I = 1/12.2.8"^ = 85,3 cm^j W = 1/6.2,8^.= 21,3 cm ; g = 0.2.0,8,10,7,85 = 12,5 kg/m
M = 1/8.12,5.100^ = 15625 kgm = f (N + ''' '^^'^ = f (N + 16,36] g . ^ 100002
12,5.12,5.100 = 15625 kg. Met N = "1^ = 12,5 gL (voor f = ] : N
15625 = f [15625 + 16,4] = f.15641,4 ^ f = Y||||-4 = 0,99895 m « ^ L •
M, = f. ^ = 99,895.9,6. l^^^^l^l = 1636 kgcm. a, - ^ ^ = 76,8 kg/cm^ 5 L2
15625 10'
M 21,3
= 976,6 kg/cm "N " 16
Voor 2 X zo grote N: N = 31250 kg 15625 = (31250 - 16,4] f
f = 0,49974 m M^ = 49,974.9,6. — '^ ' = 818,45 kgcm; a^ b -jQÜ II
31250 ,^_„ ^ ^ , 2 % - ^ 6 - = '""'2 ^g/""^ •
818 21,3
=38,4 kg/cm'
Voor 2 x zo kleine N: N = 7812,5 kf 15625 = (7812,5 -f 16,4] f
f = 1,9959 m. («c^L] M = 199,59 . 8,6 .170^S . 1o'^ = 3268,§ kgcm.
^M= ^ P ^ = 153,47 kg/cm , N 7812,5 16
488,3 kg/cm
Voor 4 X zo grote N: N = 625G0 kg
2 f = 0,2499 m a = 3906 kg/cm M
15525 = [62500 + 16,4].f
0,24.99.1638,35 = 409,5 kgcm
409,5 21,33
19,2 kg/cm'
Voor 4 zo kleine N: N = 3906 kg. 15625 = (3906 + 16,4] f
^ ^ = 244 kg/cm^ M^ = 398,33.16,38 = 6526 kgcm, 16 b f = 3,9633 m a^
6526 one- I / _2
M = 2T33 = '°' ' /" • a , a en f zijn in fig, B-7.33,1 als functie van N aangegeven,
':ii
B-7,3.3.2
9 c y
Voorbeeld: hor. trekstang; L = 10 m ; A = 2x8 = 16 cm E = 2,10 kg/cm
I = 85,3 cm" W = 21,3 cm^ g = 12,5 kg/m M = 1/8,12,5.10^ = 156,25 kgm
Met N = -1^ = 12,5 gL [f/L = 1/100] : N = 12,5.12,5.10 = 1562,5 kg. 8 f
a
3f 1562,5 r.-. n , , 2 97,7 kg/cm 15625 = f [1562,5 • 1638] = 3200,5 f
N 16
6 [•^-^ = 9,6. •''° '^^'^ = 1638 f = 0,0488 = 4,88 cm ^ l_2 10002
M, = 4,88.1638 = 7979 kgcm, a„ = 1 ^ \ = 375,4 kg/cm
Met N de helft; N = 781,25 kg, a = 48,9 kg/cm
156,25 = f [781,25 ^ 1638] = f,2419,25 f = 0,0646 m
M = 6,46.1638 = 10579 kgcm. a = "^^1^ = 496,7 kg/cm^.
9 R 9
Voorbeeld: hor. trekstang; L = 100 m A = 20x80 = 1600 cm E = 2.10 kg/cm
I = 1/12.20.80'^ = 853333 cm^ W = 21333 cm^ g = 2.8.10.7,85 = 1250 kg/m
M = 1/8.1250.100^ = 1552500 kgm
Met N = 12,5 gL = 12,5.1250.100 = 1562500 kg (f/L al/100]; a = ^^gg^°° = 977 kg/cm^
5 4 •^ ^ = 9,6. 2.10 .85.3.10 ^ 163800 1562500 = f [1562500-^163800] = f.1.726,300 = L2 ^^3
f = 0,9051 m < 1/100 L. M^ = f. ^ = 90,51.163800 = 14.825.783 kgcm M b 5 L 2
^M = lïisï = ^ '2/"^^-
Met 2 x zo grote N [ 2 x zo kleine f]: N = 3125000 kg; a = ' ' = 1953 kg/cm^
1.562.500 = -= [3.125.000 ^ 163.800] = f.3.288.800. f = 0,4751 m (< kn M
M^ = 47-,51 .163800 = 7782094 kgcm a = 2TI33= 365 kg/cm^.
Met 2 x zo kleine N] [ 2 x zo grote f]: N = 781.250 kg a = 488 kg/cm
1.562.500 = f [781.250 •<- 163.800] = f.945,050 f = 1,6534 m [<1/50L]
"b 2 M = 165,34.163800 = 27081900 kgcm a = " = 1269,5 kg/cm
Met 4 X zo grote N: N = 6250.000 kg a„ = °2^^°°° = 3906 kg/cm^ N 1b
1.562.500 = f [6.250.000 - 163800] = f 6.413800 f = 0,2436 m 1<^^U .
"b 2 M^ = 24,36.163800 = 3990419 kgcm a = ^ = 187 kg/cm .
B-7.3,3.3
Met a X zo grote N: N = 12.500.000 kg a = 7812 kg/cm^
1.562.500 = f. 12.663.800 f = 0,1234 m. [sr1/800L)
"b 2 Mj = 12,34.163800 = 2.021.017 kgcm. a^ = 2^^^ = 94.7 kg/cm^
Met 2 X zo groot buigend moment (bijv. t.g.v. e.g. -•- omhullingj :
M = 3.125.000 kgm N = 3.125.000 kg a = 1953 kg/cm^
3.125.000 = f (3,125.000 + 163800) = f. 3.288.800 f = 0,9502 m.
^b 2 M = 95,02. 163800 = 15.564,186 kgcm a^ = • " = 730 kg/cm
N = 1 .562.500 kg a = 977 kg/cm^
3.125.000 = f (1.562.500 - 163800] = f.1.726.300 f = 1.8012 m M
M^ = 180.12 163800 = 29651567 kgcm a„ = .., ^ „ = 1390 kg/cm^ b M 2133J *=
N = 6.250.000 kg o = 3906 kg/cm^
3.125.000 = f (5.250.000 ^ 163800) f = 0,4872 m.
M| = f.163.800 = 7980838 kgcm a^ = ÏTsF " " " kg/cm^
Conclusie: Als het moment verdubbeld wordt, en N blijft gelijk, dan
blijft a gelijk, a wordt verdubbeld, evenals de doorbuiging f.
De waarden a , a en f zijn in fig.B-7.3.3.2 als functie van N aangegeven.
B-7,3.3.4
Verlenging van een staaf met een lengte L die parabolisch een bedrag f = aL
doorbuigt [onwrikbaar in de einden vastgehouden verondersteld),
Booglengte L u
4f :L. ~ ln{ 4f ^ L
r 4f 2 1 + (-^]^
f/L = 0,01
L = 100 m
f/L = 0,02
f/L = 0,04
f/L = 0,08
f/L = 0,01
f/L =0,02
^^ = L.M/1 + 0,04 + i.25 In {0,04+\/1 + 0,G4^ L [0,50039984
0,43986675) = 1.0002666L
AL = L^ - L + Q,0002666L = 26,66 mm = 5a
a = 5,33 kg/mm^ = 533 kg/cm^
AL = 0,0010656.L = 106,56 mm = 5a ^a= 21,3 kg/mm'
= 2130 kg/cm^
AL = 0,0Q425043L Voor L = 100 m: AL = 425,043 mm
Al = 5a 425 2 7 c= —E- = S^ kg/mm = 8500 kg/cm
AL = 0,01681L = 1,681 m = 1681 mm = 5a -v a = 336 kg/mm'
AL = 0,0260606.10 = 2,606 m
AL = 9823 mm = 9,823 m.
2606 ü= - _ — = 521
33600kg/cm
2
2.
kg/mm"
= 52100 kg/cm :
De spanningen bij f/L = 0,08 en groter zijn veel te groot, zelfs voor
hoogwaardig staaL De grens ligt bij f/L =~0,05 voor hoogwaardig staal
("sïlO.OOO kg/cm^) .
Een kabel, c.q. staaf, die aan de einden wordt vastgehouden, kan dus
nooit meer dan ca. 1/20 L doorbuigen.
De doorbuiging kan natuurlijk wel veel groter worden als de staaf langer
kan worden [laten vieren door de verankering) of als de doornangenoe
staaf geleidelijk wordt gespannen.
B-9.^.3.i+.1
Bijl.9.i+.3.U
Benadering van de kniklast door eigen gewicht
Verdeel de staaf als eerste benadering in twee oneindig stijve delen,
elk lang g 1, aan elkaar verbonden door veren met een zodanige veer
stijfheid, dat de punten A, B en O op de uitbuigingslijn van de door
een horizontale kracht H belaste staaf liggen (fig.B-9.^.3.^)• Tengevolge
van H in A:
,3 2 '^ El f = Mii^ = (p li ^(p =
1 3EI M 2- Tl 3EI /1 '1 12EI
f =Hli =y,.i +,« Ji =« 1 Hl! ^ « =m? = M^1L1^^^2UEI 2 3EI '2 Tl-2^ '2 2UEI '2 24EI c c Tl
Mst het eigen gewicht 5gl van elk deel aangrijpend op halve hoogte, wordt
het moment ten opzichte van de voet 0:
M = H.l + Igl.f^.ll + Igl {f^.ll +fyll) = Hl + gl-^2 I Sl^p2 i ^'^f\
= Hl + 1^2 i gl"- Jf2 = 1 " i S1V2 = ^^2-
Hl = cj.2-iglV2=r2 ^^-i^l') > 2 = - "" 15 .2 " - 28 Si
15 2 CP wordt oneindig groot als c - -::K gl = 0
24EI_ 15 ,j.2 11 gi3 2^,, 71 " 28 " U
n = 96 EI = 6 1, EI ^iC- 15-^2 ' -,2
EI De exacte uitkomst is g 1 = 7,83 -^; de fout is ca. l8^.
Verdeel als volgende benadering de staaf in drie oneindig stijve delen,
elk lang 1/3 1, en op dezelfde manier als hiervoor verbonden door veren
in de knooppunten. Tengevolge van H in A(fig.-b):
^i=W^^'=fr^/3i -f,=^ i-if,)
'2 - ^ ^ ^ - 2-2/31 . .1/31 = 2-2/31 fïïiï -5 2 = Ü ï = §^3)
'3-W1- ^3-^ ^2 • 2/31 - r^/31 =^31 . ' . fi!^ -f^l . | § '
CO = 11^ _ SHI^ 19H1 = M = Hl = 81 EI '3 BEI 81 EI 81 EI G c ^^ 191
B-9.^.3.U.2
M = Hl + 1/3gl. f3.1/61 + gl ( 3.51 +^2-1/^1) + 1/3 1 ( 3.5/61+^2-^1 + 1 -1/^1^
= Hl + gl2 (^^^.^J. .Ig^^. _|^^,^9,^,_^^^) =Hl + gl2(^;.3+|^2tlQ^^
= Hl - gl' ilf^ - 4 ^ 3 ^T^kf^^ = 1 gl'-Tf 3 = - 3
Hl = c 3 - f gl2^3 = 3 ( c - f gl^
(p = Hl M 12 ,2 c — — ""l
19
12,2 „ „ 8IEI _ J_2 191 19
(p^ wordt oneindig als c - — gl" =0 of T^T" = -rS" RI"
De afwijking van de exacte uitkomst is nu nog —' Z —'— x 100 = ca. ^h%. I 5 00
De exacte uitkomst wordt op deze wijze nooit bereikt, omdat wordt uit
gegaan van de uitbuigingsvorm van de door een puntlast belaste kraag
ligger, en dit is niet de uitbuigingsvorm van de knikstaaf.
Er wordt echter wel een enigszins redelijke benadering verkregen, die
echter ca. 15% beneden de exacte waarde ligt.
Zelfs met de oneindig stijve staaf, die alleen onderaan met een stijve veer
aan de fundering vastzit, wordt een redelijke benadering van de orde van
grootte van de kniklast verkregen (fig. -c) .
M = H.l -I- gl.JO l = Hl -H i_ gl cö = c.(fi-*Y= — — c - ggl
_ 3EI 1,2 1 -1 3 C-n-r -1 c - 1
c = - ^ = 2gl 2gl = 6EI -• gj l = 6 —
Dit verschilt ca. 23^ van de goede waarde.
B-9.4.3.6.1
Bijlage B-9.4.3.5.-I
Tweede-orde effecten bij lineair-elastisch gedrag
Een staaf heeft een (ten naaste bij) sinusvormige uitbuiging & - 5^sin - p ,
zie fig.
Wordt nu op deze staaf een
normaalkracht N' aangebracht
in de richting van de oorspronkelijke / 'w:^—'r .„y
staafas, dan oefent N een buigend moment < ^ * -C . TTX
N ,ö sin — op de staaf uit. Hierdoor wordt de uitbuiging vergroot
^ X - N I „ . TTX _ 1 . TTX . _ j _ X ( 1^ l^ • '^^ met ó, - -^— o s m —— - — ö s m — t o t ó- 6 (l-i- —) s m ——
1 2^^ o l n o i o n 1 TT E I
„ . , . . . TT EI Hierbij is n = -.
N'I Wordt op de aldus vervormde constructie weer de kracht N aangebracht,
dan wordt de doorbuiging vergroot met 2
N'l . . T T X 1 ^ . T T X 1 . . T T X
TT EI n
Dit kan worden herhaald. De totale uitbuiging van de staaf wordt nu: /• 1 1 1 . . TTX
5^ ^ = 5 (1+ - + -^ t ) s m ^-tot o 2 1
n n Dit is een meetkundige reeks met eerste term 1 en reden — .
n Voor — <1, dus n >1, heeft deze een limiet en wel Ó = — , ó sin -p •
n tot n-1 o 1
TTX Tl
De oorspronkelijke doorbuiging 6 sin — wordt dus - —- maal zo groot.
De factor ——r wordt de vergrotingsfactor genoemd. Dit betekent, dat voor
n >1 een evenwichtstoestand wordt bereikt; de vervormingen naderen tot een
limiet.
Voor n<l nemen de vervormingen onbeoerkt toe en is de staaf instabiel. 2FT
De grenswaarde n = 1 leidt tot de waarde N' = , de Eulerse knikkracht. « k T 2
^ \ l N'k 1 Ook is n = r- = , de verhouding tussen de Eulerse knikkracht en
N'l^ N'
aanwezige kracht. Het getal n geeft dus een aanduiding voor de veiligheid. Een getal n > l wijst op een stabiele constructie, maar voor kleine waarden van n ontstaan wel grote bijkomende vervormingen.
B-9.4.3.5.2
Aangetoond kan worden dat de reeks & = 6 (It — + -—- + ) tot o 2
n n ook optreedt bij niet geheel sinusvormige doorbuigingen, maar dat
TT EI het getal n niet precies gelijk is aan — . Het verschil is echter
N'I zelden meer dan enige procenten.
Voor het onderzoek van de stabiliteit van een lineair-elastische
constructie is het dus voldoende de eerste-orde uitbuiging 6 te
bepalen (bijv. tengevolge van een bepaalde belasting, maar ook ten
gevolge van temperatuur, o.d.), vervolgens op de aldus vervormde
constructie de normaalkracht N aan te brengen de de hierdoor ver
oorzaakte uitbuiging 6., te berekenen. Wegens de lineariteit zijn alle 1
volgende uitbuigmgen 6„, 6 , enz. — van de vorige; de verhouding n is dus direct te berekenen uit de verhouding n = ó /ö,.
o 1 Hiermee is ook de vergrotingsfactor n/n-1 voor de bepaling van de uiteindelijke uitbuiging 5 = — - 5 bekend; hiermee kan ook het
tot n-1 o uiteindelijke moment M ^ = — , M , worden berekend, als M het
tot n-1 o o eerste-orde moment tengevolge van een zekere belasting is.
Voor niet-elastisch materiaalgedrag is de verhouding — van de toe
nemingen van de doorbuiging niet constant en vooral scheurvorm.ing kan
leiden tot een zo sterke toeneming van de vervormingen dat de stabiliteit
in gevaar komt. Daar scheurvorming vooral door een grote toeneming van
het buigend moment wordr veroorzaakt, zijn kleine waarden van n "riskant"
(zoals ook hierboven werd aangetoond).
Daarom kan bij niet-elastisch materiaalgedrag in principe niet worden
volstaan met alleen de berekening van ö , maar moeten ook waarden 6^, 5„
enz. worden berekend, tot duidelijk blijkt of de uitbuiging wel of niet
tot een limiet nadert.
B-9.4.3.6.1
Bijlage B-9.4.3.5-II
De eerste- en tweede-orde vervorming van een pyloon met waaiertuien
Hierbij wordt verondersteld dat onder invloed van de permanente belasting
de ligger recht en horizontaal is en de pyloon recht en vertikaal. Op
de pyloon werken in deze toestand geen buigende momenten, d.w.z. de
horizontaal ontbondenen van de tuikrachten ter weerszijden van de pyloon
zijn gelijk en tegengesteld gericht (fig.a van fig.B-9.4.3.5.1).
Als het liggerdeel rechts van de pyloon wordt belast door verkeersbelasting,
wordt de horizontaal ontbondene van de tuikrachten rechts vergroot met AH
(fig.b). Deze kracht AH wordt opgenomen door de pyloon en door de tuien
links van de pyloon, in evenredigheid met hun horizontale veerstijfheden. 3
De horizontale veerstijfheid van de pyloon is k = 3EI/h ; die van de P
tuien links wordt samengevat in k (zie ook 9.4.1). Bij een horizontale
verülaatsing 5 van de nvloontOD naar rechts is de toeneming van de o " " '
horizontale resultante van de tuikrachten links van de pyloon AH = 6 k ; t o t
de horizontale kracht in de top van de pyloon neemt toe van O tot A H = 6 k = 3EI6 /h^.
p o p o
Nu is dus AH = AH^ + AH = 5 (k^ + k ). (fig.c) (1) t p o t p
De vergelijking van de elastische lijn van de pyloon met AH aan de top ^ i ^ K L - . ^ AH.x3 3 P IS nu dus ook bekend: , . p _r,i'2<x , ^z- j \ 6 - 6 r^nr— -6 (1- -^) . (fig.d)
X o 3EI o ,3 '^ 3 ^
AH .h AH AH De uitwijking aan de top is ö = — : ^ — = —r^ - — j — (2)
p t
In de uitgebogen stand is de top van de pyloon horizontaal in evenwicht.
Door de verplaatsing van de pyloontop over 6 naar rechts verplaatst de
resultante N van de vertikale krachten eveneens over ö naar rechts. o
Hierdoor werkt op een willekeurige afstand x onder de top van de pyloon een buigend moment M = N (6 - y ) ; aan de voet van de oyloon is M , = N.5
° X o x = h o
(fig.d).
Hierdoor wil de pyloontop verder uitbuigen naar rechts, wat door de
weerstand van de pyloon zelf en door de tuien links wordt tegengewerkt (fig.e)
Als de pyloontoD vrij kan uitbuigen, bedraagt de verolaatsing aan de ff Mxdx ff N(0Q-y)dx
top: ^11 i - ri ~ // TT (naar rechts) (3)
B-9.4.3.5.2
Deze verplaatsing wordt gereduceerd door een naar links gerichte kracht
in de pyloontop, groot AH , en een naar rechts gerichte kracht in de
tuiveer, groot AH (fig.e). Deze krachten zijn gelijk en tegengesteld
gericht: AH, = - AH, . Verder is: lp It
AH AH , ., k t k
't- 'u- N,i ---Y^-^-- 'ht^t' t^ '- ""it ^ T - ' ^°^^^ t p t p p t
k k AH,^ = r^rV- 5,, , = - AK . (4)
it k + k N,l lp p t •
Op de tu iveer werkt nu een kracht naar rech ts (tengevolge van H en N):
AH + AH., = 6 k^ + r-^-~- 5,, , (5) t I t o t k + k N , l
P t
OD de pyloontoo werkt een hor izonta le kracht k k
AH - AH., = 6 k - J l . S„ , (6) p lp o p k + k N , l
De som van deze krachten i s ( n a t u u r l i j k ) : 6 (k + k ) = AH. o p t
k De t o t a l e u i twi jking van de tu ivee r i s (AH + AH,_): k = 6 + ; ^,— 6,, , (7)
^ t It t o k + k N, 1 De totale uitwijking van de Dyloontoo is hieraan gelijk: ,
* 't -D 6 + 6„ , - AH., /k =6 + 6^. , - -. — r — 6,, . = 6 + • ^ 5., ^ 0 N,l I p p o N,l k t . K N,l o k + k N , l
p t p t k
De uitwijking van de pyloontoo is toegenomen met 6 = —; ^M i ^ ) 1 k + K M, 1
P ^ Dit is ook de toeneming van de uitrekking van de tuiveer. De verhouding van de uitbuigingen ó^ en öj_ is
6 5 k + V 6 n, = ö /6., = • = : = - j — (1 + k^/k ) (9) l o l K ó„ . k 5 t o
P X N,l p N,l k -H k^ N,l P t
Met een parabolische uitbuigingslijn tengevolge van AH wordt No P 2
M _, = N.6 6,, . = // 7 ^ dx = -=2- . £ h. I h = --I If- 6 (10)
X =h o N,l JJ EI EI 3 8 12 EI o
Hiermee wordt
n, = ^ - (1 + K/k) ^ ~ ^ (1 + k /k )= 2,4 - ^ (1 + k^/k ) (11) 1 ö„ , t o 5 ,,2 t p KTi, t D
N, 1 Nh ^ Nh Met de werkelijke u i t b u i g i n g s l i j n wordt
3~ ~ 6 = 1 ^ 6 = 5 (1-x^/h^) M = N5 (1-x^/h^) o 3EI X o X o
f^ 3 3 3 A„ = N6 / (1-x /h )dx :: -^ N 6 h = 0,75 N6 h
M o / 4 o o ^o
/h 3 S„ = N6 / (x- • - - , ) d x = 0,45 Nó h
M o / 4 3 o -'o h
B - 9 . 4 . 3 . 6 . 3
O "PT "PT
Hiermee wordt n, = -r^— (1 + k^/k ) = „ (1+k /k ) = 2,22 —„(1+k /k ) (1 1 ^N,l ^ P 0,45Nh2 ^ P Nh- ^ P
De knikbelasting N, kan zo worden benaderd uit
n = N,'/N' = 2,22 - ^ (1 + k^/k ) = 1
^ Nh2 ^ P
Hieruit volgt N' = 2,22 (1 -h k /k ) ( K , ^ "CD
h 1 EI
Voor k = O is dit N = 2,22 —r- (geen veer aan de top), ^ ' h^
2 t TT EI EI
Dit verschilt ca. 10% van de exacte waarde N = =^«2,45 — r , 4h h
Volgens formule (13) neemt de kniklast N onbegrensd toe als functie
van de verhouding k /k ; fig. 3-9.4.3.6.2.
In deze figuur is ook de theoretische waarde van N uitgezet, die K
in 9.4.1.1 is berekend (eveneens als functie van k /k ).Hieruit blijkt t P
dat voor k /k < 5 de overeenstemming vrij goed is; voor k /k <4 is t P , t p
de berekening van N met formule (13) zelfs aan de veilige kant. Voor
k /k > 4 is de berekening echter aan de onveilige kant, en wel des te
meer naarmate k /k groter wordt.
Dit is echter niet zo'n groot probleem, omdat een pyloon, waarvoor
k /k > 4 a 5 is, zelden voorkomt. Voor zeer grote k /k nadert de ^ P 2 2 * P
bezwijkbelasting tot de waarde N = 2-r El/h . Volgens (6) is de horizontale kracht AH op de pyloontop afgenomen en
k k^ P wel met AH, = —r^ — 6^, ,
lp k + K^ N,l P t
De resultante van de horizontale en vertikale krachten op de pyloontop,
die eerst onder een helling AH /N naar rechts was gericht, krijgt nu
een meer vertikale stand: AH - AH, P lp
Voor AH, = AH is deze stand vertikaal; voor AH, > AH wordt hij zelfs lp p lp p -'
tegengesteld.
In het voorgaande is alleen de 5erste_term 6 beschouwd van de vergroting van
de uitbuiging 6 van de pyloon door N; hierna zullen ook de tweede en hogere
termen worden onderzocht, evenals de lim.iet.
Voor de berekening van de toeneming 5„ van de uitwijking 6 +6. van de
pyloontop wordt dezelfde procedure gevolgd als voor de berekening van o .
Maak de pyloontop los van de tuiveer en breng op de uitgebogen pyloon
top weer de vertikale kracht N aan. De pyloontop is ó verder uitge
bogen dan eerst.
B-9.4.3.5.4
De toeneming van het moment M bedraagt AM„ = N(6,-y); de toeneming
van de uitbuiging aan de top 6 ^ ~ /l pj dx (.naar rechts).
Als de pyloontop weer wordt vastgemaakt aan de tuiveer, ontstaat in
de tuiveer een naar rechts gerichte kracht AH en in de pyloontop
een gelijke, naar links gerichte kracht AH ; AH = - AH .
AH AH AH AH ^ + k 5 = 5 - 5 = — 2 1 2D ^ 2t _2t ^ j 1_ ^^^^ N,2 °t p k k k^ k ' 2t k k
^ t p t p p t
k k
«2t = kHr^ N,2 - - 'W k k , k k_
Op de tuiveer werkt nu AH + AK-, +• AH„^ = 6 k^ + -r-^ •— 6„, , + T- ^ —r &^r r,', ^ t 1^ 2t o t k - i - k N , l k - i - k ^ N , 2
p t ' p t '
k k k k op de pyloontOD AH - AH, - AH,., = 5 k ." "f , 6„ , - , • ^ , 6., „. ' - - p l p 2p o p k + k N , l k + k^ N,2
^ ^ ^ ^ p t p t
De t o t a l e u i t w i j k i n g van de t u i v e e r i s : , k k
(AH + AH_ + AH,^^): k^ = 6 t - — - 2 . — 6., ^ + ^ 5„ _ = uitwijking t It 2t t o k + k ^ N , l K - t - k N , 2
p t p t ' pyloontop. ,
De uitwijking van de pyloontop is toegenomen met 6 -k t k N,2 P ^
De verhouding van de uitbuigingen ö en 5 is n = 5/6 - 8 T/6, 1 Z z 1 2 N,llM,z
NU is 6^ -.Jjl^^^ -. J.JJ^s^-yU.
De ODoervlakken N / (6 -v)dx en N/(5,-y) dx zijn evenredig met 5 en ó, Vo" J 1 " o l
(fig.f); ook de statische momenten verhouden zich als o /'S . 6
Derhalve is n„ = 6,, ,/ö., .. - 6 /6. = n, = -;— (1 + k^/k ), dus dezelfde 2 N,l N,2 o 1 1 6,, , t p
N,l ^ verhouding als eerst; zie (9). Dit geldt ook voor n , n , enz.
De vergrotingsfactor voor de uitbuiging aan de top wordt dus 5 (k + k^)
o n-1 ó-,k 6 (k + k^)- ó,,,k .. _ N p o p t N p
• ö (k + k) o p t
Na de toeneming van de uitbuiging van de pyloontop tot 6 + 6 + 6 (fig.h)
werkt OD de pyloontoo de horizontale kracht AH - AH, - AH„ ; in de ^ ^^ - p lp 2p tuiveer werkt de kracht AH + AH, + AH,., . Omdat AH, = - AH, en AH^^ = - AH,.,
t It zt lp It 2t 2t is de som van deze krachten AH + AH^ = AH = constant.
P t
B-9.4.3.5.5
De horizontale kracht op de pyloontop neemt dus af en kan zelfs van
teken veranderen.
AH = AH - AH, - -AH- -poa op lp 2p
k k k k k k ' = ^ V - P t ^ _ P ^ X, _ P t
o p k + k^ °N,1 k + k^ °N,2 k + k °N,3 '^ p t p t p t
k k = 6 k - , ^^. (6,, , + 6., ,, + 6,, , + )
o p k + k N,l N,2 N,3
Zoals hiervoor is aangetoond, is de verhouding n = -—^— = -: —-— = - — (1+k /k ) ^N,2 ''N,3 ^N,1 * P
Hiermee wordt , , , , k k k k
AH = 5 k - J l . ó,, , (1+ - + -% + ) = 6 k - • P ^ ^ 6 . ^ pco o p k + k^ N , l 2 o p k + k N , l n - i ^ ^ p t n n ' ^ p t
k = 6 k - 5 . k ^ - ^ met 5 , = :; -Pr— 6,, ,
o p 1 t n - 1 1 k,. + k N , l p t '
k 5 k^ k^ = 6 k ( 1 - • J. - 4 ^ -^) = 6 k (1 - r- - ^ ) = 6 (k - -^).
o p k + k 5 n - 1 o D k n - 1 o p n - 1 p t o ' p ^
Voor k = 0 wordt AH = 5 k = AH ; de kracht verandert niet, maar t p o p op
de uitwijking van de cyloontoo door N kan wel onbegrensd toenemen. kt"
AH = 0 voor k = of n = 1 + k /k . pe<9 p n-1 t p
Er is dan alleen een vertikale kracht N. De uitwijking van de pyloontop
is dan — ^ 6 = (1+ k /k ) 6 . De knikkracht is ; de kniklengte 1, = 2h. n-1 o p t o nY^2 ^ k
kp AH is negatief (naar links gericht) voor k <—- of n < 1 + k /k .
peo p n-1 t p AH 6
o cö Dc^ Als de verhouding — - r — = — f — (voor negatieve AH ) , dan is de resultante
N h poo van AH en N naar het voetpunt van de pyloon gericht en is de knikkracht
pC/9
— T — ; de kniklengte 1 = h. h^ k
Voor nog grotere negatieve AH snijdt de resultante het horizontale
vlak door de voet van de pyloon links van deze voet; de knikkracht 27T2EI
nadert tot - ^ — (kniklengte 1 ^ i h V 2 ) ; zie ook 9.4.1.3. h-" k
Een en ander is weergegeven in fig. B-9.4.3.6.3.
Het bovenstaande kan ook worden uitgewerkt voor een verend aan de voet
ingeklemde pyloon met veerstijfheid k ; zie ook 9.4.1.4 en fig.9 .4 .1.4 . 2. 1
B-9.4.3.6.6
Het moment in de oyloonvoet is M . = AH .h + N.5 '^ « pso o . k H h M h
AH = AH (l - TT - ^ ) '5 = ^. «5 = = ^ Dto DO k • n-1 " n-1 o o 3EI 3EI P
n = 1 ^ U + k /kp M = AH h Nh "^ y
N = l ^ i p L (1 + V /k ) ,2 t p nn 2
M h 1 , 2,22EI , , ^ , , _n o _
AH_ h (1 - k^/k_ :—r) + - - ^ U + k^/k_) h
'6ö "po t p n-1 ,2 t p n-1 3EI
= M (1-^ -4) .M (^.°^ ^) o k n-1 o n-1 n-1 k
P P
n-1 + 0,74 - 0,26 k^/k n-0,25 (1+k^/k ) -_ M ( £-^) = M ( , ^ P )
o n-1 o n-1
M^ n-0,26 (l+k_ /k ) 0,74 - 0,26 k^/k^ — - = : ^ = 1 + :; — - "vergrotingsfactor" voor M n-1 n-1 ^ ^ o
verhouding k_ /k en van n. L D
Het uiteindelijke moment in de pyloonvoet is dus een functie van de
verhouding k^i L
De verhouding ... . . o. • JT- n ^ ., O C ,, -I r 4-• ^ n ° MQ is uitgezet m fig. B-9.4.3.6.4 als functie van k /k ,
voor een aantal waarden van n. Hieruit blijkt dat M.-.= M = constant O 74 " " o
voor k^/k = -—^TT- = 2,85 t p 0,26
Voor k^/k < 2,85 neemt de verhouding toe als functie van n. '- ?
Voor k /k > 2,85 neemt de verhouding af als functie van n, en v/el des
te meer naarmate n kleiner wordt; hij kan ook negatief worden.
Het moment M^draait alleen van teken om bij lage waarden van n en/of
hoge waarden van k /k (maar k /k > 5 is een "onzeker" gebied, vandaar — ^ - t p '' P .
dat de lijnen voor gelijke n daar zijn gestippeld; zie ook fig. B-9.4.3.
Het van teken omslaan van Mj^vindt dus vooral plaats bij kleine n,
dus vlak voor het bezwijken. Het gebeurt alleen voor k /k > 2,85. 't P
De knikvorm volgens de rechter figuur van fig. B-9.4.3.6.3 treedt dus in de regel pas op vlak voor het bezwijken (kleine n ) . Hij treedt ook op voor k /k = oO , dus bij de aan de top scharnierend vastgehoyden pyloon.
-9.4.3.6.7
k k Uit f ig.9.4.1.3 volgt dat voor t— - -r- (-f
2TrT k 3 3k r - ^ EI r u - ^ P t N = — . (ah =TT). -
0,1) de kniklast
AH Dit is hier het geval voor
)ca 'co
N
n k k - ^ ) = 6 k ( 1 - i :^ - \ )
pc/a o p n - 1 o p k n - 1 AH = 6 (k
oo n - 1 o
]^
Met T- = ^ wordt AH = 6 k ( 1 - T ^ ) k 3 poo o p 3n-3
P
AH ï>e/i
ö k (1- 4 ^ ; o p 3n-o
« « o n N N
( n - 1 ) ( 1 -N = k h
P
1° ) 3 ( n - l ) ^
n
h . h n - 1
, , n - 1 3 / 3 = k n
D n k h ( 1 - i ^ )
p 3n
13 10 Instabiliteit treedt op voor n = 1: N = k n (1- :;r-) = - —- k h
p 3 3 p 10 3EI j,
' h^
h h
Het negatieve teken komt door het omkeren van de richting van AH
k _ t k
Voor —^ = 10 wordt AH 5 k ( 1 - - 4 ) pe/3 O p n - 1
AH P co
De h e l l i n g van de r e s u l t a n t e i s ..* = N
6 (1-^°-.) O n-1
N
Deze snijdt de vertikaal door de pyloon op een afstand h van de top.
6 ^ 6 6k(l--4) peo _ n-1 o _ o p n-1
Nu is h, k k N
10 k h, (1- ) (n-1) ,, D k n-1 , , n-11
N = = k h, n p k n
k h, (1- — ) p k n
Voor n = 1 is N, = k h, (1-11) = - 10 k h, k p k p K
30EI
Door dit gelijk te stellen aan TT EI lOEI
2 , wor dt h = ~ I hy3 =-'0,59 h.
30EI „ ^„, 20,7EI
h h
Jit fig.9.4.1.1.3 voor k /k = 10 of p ^ t D t 3k
l p i"]
0,033: ah ="4,25 -> N, = '-^ '^ k , z
De overeenstemm.ing is nog vrij goed, hoewel aan de onveilige kant.
Volgens fig.B-9.4.3.5.2 nemen de afwijkingen voor k /k >• 5 sterk toe;
de benadering mag dan ook niet meer worden toegepast. Bovendien is de
veerstijfheid van de tuien zelden meer dan 5 maal de veerstijfheid van de pyloon (tenzij de funderingsstijfheid zeer gering is, zodat de pyloon nadert tot een aan de voet scharnierende staaf; maar dit is een ander ^eval).
L-00
Literatuurlijst
In deze literatuurlijst zijn niet alleen betonnen tuibruggen opgenomen,
maar ook stalen tuibruggen, omdat de problematiek in velerlei opzicht
dezelfde is. De literatuurlijst bevat vrijwel alle belangrijke artikelen
en publikaties die in de laatste 25 jaar tuibruggen - zowel in staal
als in beton - zijn verschenen.
De nimmiering van de publikaties is als volgt;
nrs. 001-030
nrs. 031-060
061-120
" 121-150
151-180
" 18I-2U0
" 2U1-270
" 271-300
" 301-330
331-360
" 361-390
" 39i_ii20
" U2I-U50
" 451-i+80
publikaties van voor 196O
1960-1965
1965-1970
1970
1971
1972
1973
197 +
1975
1976
1977
1978
1979
1980
In elke serie zijn nog enige nummers vrij voor het bijschrijven
van niet opgenomen publikaties.
Op blz. L-50 zijn artikelen verzameld over bepaalde onderwerpen
op het gebied van tuibruggen.
Op de blz. L-51 en L-52 zijn de artikelen verzameld, die handelen
over bepaalde, belangrijke tuibruggen (staal en beton).
Geen van beide maakt aanspraak op volledigheid.
L-01
001. Mehrtens, G.C.
Eisenbrückenbau, p.231
Verlag Engelmann, Leipzig, 1908.
002. Melan, J.
Der Brückenbau III, 2. Eiserne Brücken II. Teil
003. Dischinger, F.
Hangebrücken für schwerste Verkehrslasten.
Bauingenieur, H.3, 19^9, p.65- ; H. , p.107-
OOU. Schleicher, F.
Die Verankerung von Drahtseilen.
Bauingenieur 19^9, H.5, H.6.
005. Sievers, H.
Der Wettbewerb für den Wiederaufbau der StraSenbrucke über den
Rhein zwischen Duisberg-Ruhrort und Homberg.
Stahlbau 22 (1953), H.l, p.1-6.
006. Wenk, H.
Die Strömsundbrücke
Stahlbau 23 (195^), H.U, p.73-76.
007. Borner, H.
Die Gestaltung von Stahlbrücken
Stahlbau 23 (195^+), H.9, p. 19^-201.
008. Beyer, E., Tussing, F.
Nordbrücke Düsseldorf. Projektbearbeitung und Wettbewerb für eine
weitere (Jberbrückung des Rheins im Stadtbereich Düsseldorfs.
Stahlbau 2k (1955), H.2, p.25-33; H.3, p.63-67; H.U, p.79-88.
009. Homberg, H.
EinfluBlinien von Schragseilbrücken.
Stahlbau 2U (1955), H.2, p.UO-i+U.
010. Klingenberg, W., Plum, A.
Versuche an den Drahten und Seilen der neuen Rheinbrücke in Rodenkirchen
bei Köln.
Stahlbau 2k (1955), H.12, p.265-272.
L-02
Oil. Sievers, H., Görtz, W.
Der Wiederaufbau der Strassenbrucke über den Rhein zwischen Duisburg-
Ruhrort und Homberg.
Stahlbau 25 (1956), H.U, p.77-88.
012. Ernst, H.J.
Montage eines seilverspannten Balkens im Grogbrückenbau.
Stahlbau 25 (1956), H.5, p.101-108.
013. Brown, C D .
Design and Construction of the George Street Bridge over the River
Usk, at Newport, l^onmouthshire.
The Inst. of Civil Engineers 1956, Paper no.68U0.
OlU. Godfrey, G.3.
Post-War Development in Germany: Steel Bridges and Structures
Structural Engineer 35 (1957), Febr. p.53-68. See also discussion
Oct.1957, p.390-309.
015. Kunz, R., Trappman, H., Tröndle, E.
Die Büchenauer Brücke in Bruchsal,
Stahlbau 26 (1957), H.U, p.98-102.
016. Beyer, E., Ernst, H.J.
Erfahrungen und Seilversuche an einer seilunterspannten Verbundkonstruktion
Stahlbau 26 (1957), H.7, p.177-183.
017. Schüssler, K., Braun, F.
Wettbewerb 195^ zum Bau einer Rheinbrücke oder eines Tunnels in Köln
im Zuge Klappergasse-Gotenring.
Stahlbau 26 (1957), H.8, p.205-217; H.9, p.253-27i+; H.10, p.29^-312. H.11, P.326-3U8
018. Feige, A.
Stahlbrückenbau. Stahlbau; ein Handbuch für Studium und Praxis.
Stahlbauverlag GmbH, Köln, 1957-
019. Beyer, E.
Nordbrücke Düsse ldo r f I . Gesamtanlage und JVIontage de r neuen Rhe inb rücke .
S t a h l b a u 27 ( 1 9 5 8 ) , H . l , p . 1 - 6 .
020. Hadley, H.M.
Tied Cantilever Bridge - Pioneer Structure in U.S.
Civil Engineering, ASCE, Jan.1958, p.48-50.
L-03
021. Fuchs, D. ' '
Der FuBgangersteg auf der Brüsseler Weltausstellung 1958.
Stahlbau 27 (1958), H.U, p.91-97. • •
022. Vogel, G. ^ . • /
Erfahrungen mit geschweissten Mcntagestossen beim Bau der Severinsbrucke
in Köln.
Schweissen und Schreiden 12 (i960), H.5, p.l89-19U.
023. Beyer, E., Grassel, H., Wintergerst, L.
Nordbrücke Düsseldorf
Stahlbau 27 (1958), H.l, p.1-6; H.3, p.57-62; H.4, p.103-107;
H.6, p.li;7-15l+; H.7, P.I8U-I88.
02U. Schreier, G.
North Bridge at Düsseldorf; Analysis, Design, Fabrication and Erection
of the Bridge Spanning the River.
Acier-Stahl-Steel, Sept.1958, p.367-381; Nov.1958, p . 1+87- 99 .
025. Tamms, F., et al.:
Nordbrücke Düsseldorf.
Springer Verlag. Berlin/Göttingen/Heidelberg; 1958.
026. Schöttgen, J.
Ergebnis der öffentlichen A.ussschreibung für die StraSenbrucke
über den Rhein bei Speyer.
Stahlbau 2k (1955), p.102- 109; p.135-lUO
027. Braun, 0.
Neues zur Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke
Stahlbau 25 (1956), p.2U3-2U5
L-04
031. Fischer, G.
Die Severinsbrucke in Köln.
Acier-Stahl-Steel, no.3 (I960), p.101-111 (Fr.)
032. Hess, H.
Die Severinsbrucke Köln. Entwurf und Fertigung der Strombrucke.
Stahlbau 29 (1960), p.225-261.
032a. Vogel, G.:
Die Montage des Stahlüberbaues der Severinsbrucke Köln.
Stahlbau 29 (1960), H.9, p.269-293.
033. Michalos, J., Birnstiel, C.
Movements of a Cable due to Changes in Loading.
Journal Structural Division, ASCE, Vol.86, Dec.1960, p.23-38.
03U. Dean, D.L.
Static and Dynamic Analysis of Guy Cables.
Journal of the Structural Division, ASCE, Jan.196l, p.1-21.
03Ua. Morandi, R.;
Bridge Spanning Lake Maracaibo.
J. Prest.Conor.Inst., June 1961, p.12-27.
035. Dotzauer, H.K., Hess, H.
Belastungsprobe der Severinsbrucke Köln.
Stahlbau 30 (1961), H.10, p.303-311.
036. Leonhardt, F., Andra, W.
FuBgangersteg über die SchillerstraSe in Stuttgart.
Bautechnik 39 (I962), H.U , p.110-116. ••
037. Havemann, H.K.
Die Seilverspanning der Autobahnbrucke über die Nordereibe.
Bericht über Versuche zur Dauerfestigkeit der Drahtseile,
Stahlbau 31 (1962), H.8, p.225-232.
L-05
038. Dimel, E. "
Schragseilbrücken aus Beton als Sonderfall vorgespannter Beton-
konstruktionen.
U*^ Congress of FIP, Rome 1962, paper 20, p.l60.
039. Klöppel, K., Weber, G.
Teilmodellversuche zur Beurteilung des aerodynamischen Verhaltens
von Brücken.
Stahlbau 32 (1963), H.3, p.65-79; H.U, p.113-121.
OUO. Poskitt, T.J., Livesley, R.H.
Structural Analysis of Guyed Masts.
Proc.Inst.Civil Eng.2U, March 1963, p.373-386.
OUl. Brotton, D.M., Williamson, N.W.W., Millar, M.
The Solution of Suspension Bridge Problems by Digital Computers.
Structural Eng. Ul, April 1963, p.121-126 (part. l).
Structural Eng. Ul, July 1963, p.213-222 (part. II).
0U2. Dimel, E.
Die Brücke über den Maracaibo See.
Beton- und Stahlbetonbau 1963, p.9U-102; 201-210; 230-239; 255-265-
0U3. Poskitt, T.J.
The Application of Elastic Catenary Functions to the Analysis of
Suspended Cable Structures.
Structural Eng.Ul, May 1963, p.167-170.
OUU. Braun, F., Moors, J.
Wettbewerb zum Bau einer Rheinbrücke im Zuge der inneren Kanalstrasse
in Köln (Zoobrücke).
Stahlbau 32 (1963), H.6, p.17U-l83; H.7, p.20U-213; H.8, p.2U8-25U.
0U5. Havemann, H.K., Aschenberg, H., Freudenberg, G.
Die Brücke über die Nordereibe im Zuge der Bundesautobahn Sudliche
Umgehung Hamburg.
Stahlbau 32 (1963), p.193-198; 2U0-2U8; 281-287; 310-317-
0U6. Reimers, K.
FuSgangersteg über die Glacisschaussee in Hamburg.
SchweiBen und Schneiden 15 (1963), H.6. p.262-26U.
L-o6
0U7. The Bridge Spanning Lake Maracaibo in Venezuela; the General Rafael
Urdaneta Bridge.
Bauverlag GmbH, Wiesbaden/Berlin; I963.
0U8. Feige, A.
Steel Motorway Bridge Construction in Germany.
Acier-Stahl-Steel nr.3, March 196U, p.113-126.
0U9. O'Brien, W.T., Francis, A.J.
Cable Movements under Twodimensional Loads.
Journal Struct.Div., ASCE, V.90, June 196U, p.89-123.
050. Havemann, H.K.
Spannungs- und Schwingungsmessungen an der Brücke über die Nordereibe
im Zuge der Bundesautobahn Sudliche Umgehung Hamburg.
Stahlbau 33 (196U), H.10, p.289-297-
051. Lohmer, G.
Brückenbaukunst
Stahlbau 33 (196U, H.11, p.321-331.
052. Beyer, E., Ernst, H.J.
Brücke Jülicher Strage in Düsseldorf.
Bauingenieur 39 (I96U), H.12, P.U69-U77.
053. Leonhardt, F.
Aërodynamisch stabile Hangebrücke für grosse Spannweiten.
lABSE, Preliminary Publication, 7 Congress, Rio de Janeiro, ''96U,
p.165-167.
05U. Leonhardt, F.
Kabel mit hoher Ermüdungsfestigkeit für Hangebrücken.
lABSE, Preliminary Publication, 7 Congress, Rio de Janeiro, 196U,
p.1055-1060.
055- Homberg, H.
Fortschritt im Deutschen Stahlbrückenbau. Bericht über „StahlkongreS
196U" der hohen Behörde der Europaischen Gemeinschaft.
056. Stahlbau. Ein Handbuch für Studium und Praxis. II, 2e Ausgabe, p.58U-590
Seilverspannte Balken.
Stahlbauverlag GmbH, Köln, I96U.
L-07
061. Ernst, H.J.
Der E-Modul von Seilen under Berücksichtigung des Durchhanges
Bauingenieur UO (1965), H.2, p.52-55-
062. Daniel, H.
Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverküsen. Planung, Wettbewerb
und Ergebnisse.
Stahlbau 3U (1965), H.2, p.33-36; H.3, p.83-86; H.U, p.115-119;
H.5, p.153-158; H.12, p.362-368.
063. Moses advocates bridge over Long-Island sound
Civil Engineering ASCE U (1965) , p.95.
06U. Brown, C D .
Design and Construction of the George Street Bridge over the River
Usk, at Newport, Morjnouthshire.
Proc.Inst.Civil Eng. V.32, Sept.1965, p.31-52
See also discussion V.33, March I966, p.552-561.
065. Klöppel, K., Esslinger, M., Kollmeier, H.
Die Berechnung eingespannter und fest mit dem Kabel verbundener
Hangebrückenpylonen bei Beanspruchung in Brückenlangsrichtung.
Stahlbau 3U (1965), H.12, p.358-361.
066. The Severn Bridge, General information, including details of the Wye
Bridge and Viaduct.
Ministry of Transport, London (gebouwd 1965) .
067. Poskitt, T.J.
The Structural Analysis of Suspension Bridges
Journal Struct.Div., ASCE, V.92, Febr.1966, p,U9-73.
068 . Thul, H.
Stahlerne StraSenbrücken in der Bundesrepublik
Bauingenieur U3 (1966), H.5, p.l69-l89.
069. Daniel, H., Urban, J.
Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverkusen.
Stahlbau 35 (1966), H.7, p.193-196.
L-08
070. Protte, W., Tross, W.
Simulation als Vorgehensweise bei der Berechnung von Schragseilbrücken.
Stahlbau 35 (1966), H.7, p.208-211.
071. Reinitzhuber, F.
Entwicklungstendenzen im Bauwesen (bouwkosten)
Bautechnik U3 (1966), H.7, p.221-22U.
072. Freudenberg, G., Ratka, 0.
Die Zoobrücke über den Rhein in Köln.
Stahlbau 35 (1966), H.8, p.225-235; H.9, p.269-277; H.11, p.337-3U6.
073. Thul, H.
Cable-Stayed Bridges in Germany. Proc. Conf. on Structural Steelwork.
Inst, of Civil Eng. Sept. 26-28, 1966. The British Constructional
Steelwork Association, Ltd. London, p.69-8l.
OTU. Feige, A.
The Evolution of German Cable-Stayed Bridges. An Overall Survey.
Acier-Stahl-Steel, no.12, Dec.1966, p.531-5U0. Reprinted in AISC-
Engineering Journal, July I967, p.113-122.
075. Thul, H.
Seilverspannte Brücken. Stahlbautagung München 1966. Veröffentlichungen
des Deutschen Stahlbauverbandes, no.19.
Stahlbauverlag GmbH, Köln, 1966.
076. Lohmer, G. et al,
Kölner Rheinbrücken 1959-1966.
Herausgegeben vom Wasser- und Brückenbauteilung der Stadt Köln,
Verlag W. Ernst u. Sohn, Berlin/München 1966.
077- Heeb, A-, Gerhold, W., Dreher, W.
Die Stahlkonstruktion der Neckarbrücke Untertürkheim
Eine mit Zugstaben überspannte Eisenbahnbrücke im Schragseilsystem
Stahlbau 1967, H.2, p.33-38.
078. Morandi-style design allows constant suspended spans.
Consulting Engineer, March I967.
L-09
079. Stafford Smith, B.
The Single Plane Cable-Stayed Girder Bridge. A Method of Analysis
Suitable for Computer Use.
Proc.Inst.Civil Eng., 1967 (May), p.l83-19U.
080. Daniel, H., Schumann, H.
Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverkusen. Stahlerner
Uberbau der Strombrucke.
Stahlbau (1967), H.8, p.225-236,
081. Klingenberg, W.
Ideenwettbewerb für eine feste Verbindung über den grogen Belt,
Bauingenieur U2 (1967), H,11, p,389-U07- Zie ook 090.
082. Klöppel, K., Thiele, F.
Modelversuch im Windkanal zur Bemessung von Brücken gegen die Gefahr
winderregter Schwingungen.
Stahlbau 36 (1967), H.12, p.353-365.
083. Schöttgen, J., Wintergerst, L.
Die StraSenbrucke über den Rhein bei Msixau.
Stahlbau 37 (1968), H.l, p.1-9; H.2, p.50-57.
O8U. Tung, D.H.H., Kudder, R.J.
Analysis of Cables as Equivalent Two-Force Members.
Eng. JournaJ-, Am.Inst, of Steel Construction, Jan.1968, p.12-19.
085. Morandi, R.
II viadotto dell'Ansa della Magliana per la Autostrada Roma-Aeroporto
di Fiumicino.
L'Industria Italiano del Cemento (Roma), Anno XXXVIII, March I968,
P.1U7-I62.
086. Stafford Smith, B.
A Linear Method of Analysis for Double-Plane Cable-Stayed Girder
Bridges.
Proc.Inst.Civil Eng., 1968, 38, p.85-9U.
087. Patentschau: Oberer Verankerungskorper für Schragseilbrücken, u.s.w.
Stahlbau 37 (1968), p.125.
L-1 o
088. The Expo-Bridge: Study in Steel Quality
Acier-Stahl-Steel, V.33, May 1968, p.238-2U0.
089. Tesar, A.
Das Projekt der neuen StraSenbrucke über die Donau in Bratislava/CSSR-
Bauingenieur H.6, .Juni 1968, p. 189-198.
090. Klingenberg, W., Thul, H.
Ideenwettbewerb für einen Brückenschlag über den GroSen Belt.
Stahlbau 37 (1968), H.8, p.225-236. Zie ook O81.
091. Moser, K.
Der EinfluBdes zeitabhangigen Verhaltens bei Hange- und Schragseil-
brückensystemen.
lABSE, Final Report, 8th Congress, New York, Sept.1968, p.119-129.
092. Murakami, E., Okubo, T.
Wind Resistant Design of a Cable-Stayed Girder Bridge.
IA3SE, Final Report, 8th Congress, New York, Sept.1968, p.1263-127^.
093. Thul, H.
Die Rheinbrücke Rees-Kalkar.
Stra en und Tiefbau 1968, H.9, P.6U7-656.
09U. Leonhardt, F.
Zur Sntwickl^ong aërodynamisch stabiler Hangebrücken
Bautechnik U5 (1968), p.325-336; 372-379-
095. Gad, W.
Die Schragseilbrücke Kiew
Bauingenieur 1968, H.11, p.U26-U27.
096. Die neue Oberkasseier Rheinbrücke. Publ. Oberstadtdirektor der
Landeshauptstadt Düsseldorf, Baudezernat 1968.
097- Feige, A.
Die seilverspannten Balkenbrücken in der Bundesrepublik Deutschland.
Stahlbautaschenkalender I968, p.233.
L-11
098. Balbachevsky, G.N.
Study Tour of the A.F.P.C.
Acier-Stahl-Steel, V.3U, Febr.1969, p.73-82.
099. Erskine Bridge
Building with Steel, V.5, June I969, p.28-32.
100. Andra, W., Zellner, W.
Zugglieder aus Paralleldrahtbündeln und ihre Verankerung bei
hoher Dauerschwellbelastung
Bautechnik U6 (1969), H.8, p.263-268; H.9, p.309-315.
101. Morley, G.W.
The Erskine Bridge over the River Clyde
Civil Engineering and Public Works Review 6U (1969), no.75U, P.U39-UU3
102. Tschemmernegg, F.
Uber die Aerodynamik 'ond Statik von Monokabelhangebrücken
Bauingenieur, V.UU (1969), H.10, p.353-362
103. Scalzi, J.B., Podolny, W., Teng, W.C.
Design Fundamentals of Cable Roof Structures
United States Steel Corporation, ADUSS 55-3580-01, Oct.1969, p.l6
IOU. British Constructional Steelwork Association Ltd., London:
The Batman Bridge, Tasmania.
Building with Steel, nov.1969, p.6-9.
105. Taylor, P.R.
Cable-Stayed Bridges and Their Potential in Canada
The Engineering Journal (Canada), Vol. 52/11, N0V.I969, p.15-21
106. Van Neste, A.J.
Tien jaar stalen bruggen in Rotterdam (o.a. Harmsenbrug)
Bouwen met staal, dec.1969, p.1-32.
107- Olnhausen, W. von
Steel Bridges in Sweden
Acier-Stahl-Steel, 1969, H.12, p.519-526.
L-1 2
108. Morandi, R.
Some Types of Tied Bridges in Prestressed Concrete
First International Symposium, Concrete Bridge Design, ACI-Publication
SP-23, Paper SP 23-25, Am. Concrete Inst. Detroit, 1969, P.UU7-U65.
109- Tamms, F., Beyer, E.
Kniebrücke Düsseldorf
Betonverlag GmbH, Düsseldorf 1969
110. West Gate Bridge - The Biggest Bridge in Australia. Brochure; I969.
111. Troitsky, M.S., Lazar, B.E.
Model investigation of cable-stayed bridges
Sir George Williams University, Montreal. Report no.1, 1969
Id. Influence lines. Report no.2, 1970.
Id. Structural analysis of the prototype. Report no.3, 1970
Id. Non-linear behaviour. Report no.U, 1970.
Id. Post-tensioning of cables. Report no.5, 1970
L-13
Arnold, H.
Neue MeS- und Prüfverfahren für dynamisch und geometrisch hoch
beanspruchte Seile, insbesondere für Schacht- und Streckenforderseile.
Stahlbau 39 (1970), H.2, p.33-U6
Japanese Try Shop Fabricated Bridge Cables
Eng. News Record, 26 Febr.1970, p.lU , ;
Schumann, R., Fahlbusch, A.
Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverkusen
Stahlbau 39 (1970), H.U, p.97-105.
Bachelart, H.
Pont de la Bourse, Footbridge over the Bassin de Commerce Le Havre (France
Acier-Stahl-Steel, V.35, April 1970, p.l67-l69.
Borelly, W.
Die Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen im Bau
Stahlbau 39 (1970), H.5, p.156-157.
Beyer, E.
Die Kniebrücke in Düsseldorf
Stahlbau 39 (1970), H.6, p.185-189.
Chamoin, Marchetti,
The Paris-Masséna Bridge: a Cable-Stayed Structure
Acier-Stahl-Steel 35, June (1970), p.278-28U.
Record All-Welded, Cable-Stayed Span Hangs from Pylons
Engineering News Record, 3 Sept.1970, p.20-21.
Freudenberg, C
Die StahlhochstraSe über den neuen Hauptbahnhof in Ludwigshafen
Stahlbau 39 (1970), H.9, p.257-267, H.10, p.306-312.
Van Neste, A.J.
Ten years of steel bridges at Rotterdam. Harm.sen Cable-Stayed Bridge
Acier-Stahl-Steel 9 (1970), D.388-396.
L-lU
131. Schröter, H.J.
Zwei neue stahlerne Hochbrücken in Norddeutschland
Stahlbau 39 (1970), H.10, p.3lU-3l6.
132. Simpson, C.V.J.
Modern Long Span Steel Bridge Construction in Western Europe.
Proc. The Institution of Civil Engineers, Supplement (ii), 1970.
133. Borelly, W.
Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen
Mannheimer Hefte 1970, H.l
13U. Leonhardt, F., Zellner, W.
Cable-Stayed Bridges. Report on Latest Developments.
Canadian Structural Engineering Conference, 1970. Canadian Steel
Industries Construction Council, Toronto, Ontario, Canada.
135. Kondo, K., Komatsu, S., Inoue, H., Matsukawa, A.
PWS Parallel Wire Strand.
Prospekt der Firma KOBE-Steel, Kobe, Japan 1970.
L-15
151. de Miranda, F.
Il ponte strallato., soluzione attuale del problema di ponti di grande luce.
Costruzioni Metalliche, no.1, 1971-
152. Brinkhorst, J. • ;-•
De nieuwe Galecopperbrug.
Bouwen met staal (1971) , nr.15, p.9-lU.
153. Van Neste, A.J., Noorlander, K., Berenbak, J.
Suurhoffbruggen.
Bouwen met staal (I97l), nr.l8, p.5-l6 (afgetuide spoorbrug)
I5U. Troitsky, M.S., Lazar, B.E.
Model analysis and design of cable-stayed bridges
Proceedings (The Institution of Civil Engineers), March 1971, V0I.U8,
P.U39-U6U.
155. Meier, U., Rösli, A.
Versuchseinrichtungen für Zugschwellbeanspruchungen an grogen Spannkabeln.
Schweizerische Bauzeitung, H.U, 1971, p.8l-86.
Zie ook H.16 (1971), p.375-380. Zie ook EMPA-Bericht nr.67537-
•156. Feige, A., Idelberger, K.
Long-Span Steel Highway Bridges Today and Tomorrow.
Acier-Stahl-Steel 5/1971, p.210-222.
157. Tang, M.C
Analysis of Cable-Stayed Girder Bridges.
Journal of the Structural Division, ASCE, Vol.97, May 1971, P.IU8I-IU96.
See also Oct.1971, p.2631-2632; March 1972, p.770-77U; April 1973, p.787.
158. FuSgangerbrücken - leicht und schlank durch Stahl.
Acier-Stahl-Steel 36 (1971), nr.6, p.263-267.
159. Donnelly, J.A.
Beauty of Steel Foot Bridges
Acier-Stahl-Steel, June 1971, p.263-267.
160. Longest Concrete Cable-Stayed Span Cantilevered over Tough Terrain (Wadi-Kuf)
Engineering News Record, July 15, 1971, p.28-29.
L-16
Daniel, H.
Die Rheinbrücke Duisburg-Neuenkamp.
Stahlbau Uo (1971), H.7, p.193-200; Ui (1972), H.l, p.7-lU; Ul (1972),
H.3, p.73-78.
River Foyle Bridge
Civil Eng. and Public Works Review (London), Vol.66, no.780,
July 1971
Demers, J.G., Simonsen, O.F.
Montreal Boasts Cable-Stayed Bridge (Papineau-Leblanc)
Civil Eng. ASCE, Aug.1971, p.59-63
Morandi, R.
Il ponte sul Wadi Kuf nell'Altopiano Cirenaico (Libia)
L'Industria Italiana del cemento. Ui (1971), Sept. p.613-632.
Thul, H.
Die Friedrich-Ebertbrücke in Bonn
Bauingenieur 1971, H.9, p.327-333
Erskine road bridge; U334 ft long cable-stayed bridge
Civil Engineering and Public Works Review 66 (1971), no.773,
p.505-510.
Tschemmernegg, F.
Zur Berechnung der Pylonen der Rheinbrücke Duisburg-Neuenkamp
Stahlbau Uo (1971), H.11, p.337-3U3.
Scalzi, J.B., Mc. Grath, W.K.
Mechanical Properties of Structural Cables
Journal of the Structural Division, ASCE, dec.1971, p.2837-28UU;
disc. Aug.1972, P.1883-I88U; April 1973, p.790.
Birdsall, 3.
Main Cables of Newport Suspension Bridge
Journal of the Structural Division, ASCE, Dec.1971, p.2825-2836.
L-17
170. Podolny, W.
Static Analysis of Cable-Stayed Bridges '
PhD Thesis, University of Pittsburgh, 1971
171• O'Connor, 0.
Design of Bridge Superstructures.
Wiley-Interscience, John Wiley, New York, 1971, p.U55-U88.
172. Rockey, K.C., Bannister, J.L., Evans, H.R.
Developments in Bridge .Design and Construction
Crosby Lockwood, London, 1971
P.45U-U78 A.F. Gee
Cable-Stayed Concrete Bridges
173. Idelberger, K.
Autobahnbrucke über rollende Eisenbahn lanciert
Stahlbau 8/1971, p.2U6-2U9-
L-l8
181. Hanel, J.J.
Die Erskine-Brücke- eine 1321 m lange Schragseilbrücke in Schotland
Stahlbau l/l972, p.26-29.
182. Lowy, S.H.
Approxim.ate stress analysis for guyed towers
Civil Engineering-A.S.CE. , March 1972, p.80-8l
183. Kerensky, O.A., Henderson, W., Brown, W.C
The Erskine Bridge
The Structural Engineer, April 1972, no.U, Vol.50, p.lU7-170.
See also discussion Nov.1972. See also Stahlbau 1/1972.
18U. Van Duyvendijk, G.J., Van Es, H., Saveur, J.
Tuibrug over de Waal bij Tiel (l)
Cement XXIV, april 1972, p.157-165.
185. Van Es, H., Otto, M.J., Snieder, W.
Tuibrug over de Waal bij Tiel (II)
Cement XXIV, mei 1972, p.171-l80
186. Cable-stayed bridges with bolted galvanized joints
Civil Engineering-ASCE, May 1972, p.98
187- Schreier, G.
Bridge over The Rhine at Düsseldorf
Acier-Stah-Steel 1972, H.5, p.209-223.
188. Hossdorf, H.
Modellversuche im Hinblick auf die Bemessung. IVBH/AIPC 9e Congres,
Amsterdam, 8-13 mei 1972: Einführungsbericht
189. Finsterwalder, U., Finsterwalder, K. .'.•.'
Neue Entwicklung von Paralleldrahtseil für Schragseil- und Spannbandbrücken
Preliminary Report, 9th lABSE Congress, Amsterdam, May 1972, p.877-883.
190. Leonhardt, F.
Seilkonstruktionen und seilverspannte Konstriiktionen
Introductory Report, 9th lABSE Congress, Amsterdam, May 1972.
••-.;, L-19 . *.. . .
191. Thul, H. -..•••
Schragseilbrücken . — •
Preliminary Report, 9th lABSE Congress, Amsterdam, May 1972, p.2U9-258
192. Lazar, B.E., Troitsky, M.S.
A Model Technique for Analysis of Nonlinear Structures
Experimental Mechanics, May 1972, p.2U3-2U6
193. Kondo, K., Komatsu, S., Inoue, H., Matsukawa, A.
Design and Construction of Toyosato-Ohhashi Bridge
Stahlbau, H.6, Juni 1972, p.l8l-l89- See also: Bridges in
Japan 197O-I97I ; p.38:p.U0. • .• •
19U. First U.S. Stayed Girder Span is a Slim, Economical Crossing
Engineering News Record 29-6-1972, p.lU-15. -" •
195. Dywidag-Spannverfahren, Paralleldrahtseil
Bericht Nr.lU, herausgeben von der Abteilung für Entwicklung
New York, Dyckerhoff and Widmann, Inc. June 1972.
196. Thul, H. •
Entwicklungen im Deutschen Schragseilbrückenbau
Stahlbau, H.6, Juni 1972, p.l6l-171; H.7, Juli 1972, p.20U-215.
197. Weisskopf, F.
World's longest span cable-stayed girder bridge over the Rhine
near Duisburg
Acier-Stahl-Steel, 1972, H.7, H.8
198. Lazar, B.E.
Stiffness Analysis of Cable-Stayed Bridges
Journal of the Structural Division, ASCE, o uly 1972, p.l605-l6l2
Disc. July 1973, p.1661-1663; Febr.197U, p.U67
199. Meuzelaar, L.C, Smit, D.R.
Ontwerp voor een betonnen tuibrug met als hoofdligger een
isotrope plaat.
Cement XXIV, 1972, nr.7, p.28U-287.
L-20
200. Lazar., B.E., Troitsky, M.S., Mc. Douglass, M.
Load Balancing Analysis of Cable-Stayed Bridges
Journal of the Structural Division, ASCE, Aug.1972, p.1725-17U0
201. Tang, Man-Chung
Design of Cable-Stayed Girder Bridges
Journal of the Structural Division, ASCE, Aug.1972, p.1789-l802
See also July 1973, p.1666-1667
202. Zenobi, G.
Die Veranker^ongen der Haupttragseile für die Olympia-Zeltdach-
konstruktion in München
Schweizerische Bauzeitung, 90. Jahrgang, H.35, 31 Aug.1972, p.8U3-850
203. Podolny, W., Fleming, J.F.
Historical Development of Cable-Stayed Bridges
Journal of the Structural Division, ASCE, Sept.1972, p.2079-2095
See also Discussion, April 1973, p.797-8; July 1973, p.n69-l672
20U. Borelly, W.
Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen
Bauingenieur U7 (1972),H.8, p.275-278; H.9, p.333-3U3.
205- Tschemmernegg, F.
Modellversuche und Entwurf von Schragseilbrücken
Bauingenieur U7 (1972), H.11, p.Ul6-Ul7
206. Kerensky, O.A., Henderson, W., Brown, W.C
The Erskine Bridge. Discussion
The Structural Engineer, Nov.1972, nr.ll, Vol.50, p.U51-U62
(see paper April 1972 ; litt.nr.l83)
207. Leonhardt, F., Zellner, W.
Vergleiche zwischen Hangebrücken und Schragkabelbrücken für
Spannweiten über 6OO m.
Publications lABSE-AIPC; vol.32-1, 1972, p.127-165.
L-21
208. Cullimore, M.S.G.
The fatigue strength of high tensile wire cable subjected to
stress fluctuations of small amplitude.
Mémoires AIPC 32-1; 1972, p.U9-56.
209. Morakami, Okubo
Wind Resistant Design of a Cable-stayed Girder Bridge
9e Congres AIPC, 1972, Amsterdam
210. Kavanagh, T.C
Cable Supported Bridges
Structural Designers Handbook. F.S. Merrit, ed. ., Mc. Graw-Hill
Book Co., New York, 1972, Section 14.
211. Wittfoht, H.
Triumph der Spannweiten
Betonverlag 1972
212. Der Bau der 2. Mainbrücke der Farbwerke Hoechst A.G.
New York, Dyckerhoff and Widmann, Inc. 1972.
213. Grupta, S.P.
Model Investigation and Analysis of Cable Stayed Bridge
Ph.D. Thesis, Brigham Young University, 1972 (l73p).
L-22
Wianecki, J.
Etude aêrodynamique sur modèle partiel du punt de Meules
Document CE.B.T.P. non publié; Paris, 17 jan. 1973.
Ditthardt, K.
Schragseilbrücke in Kanada (Papineau-Leblanc)
Stahlbau 1973, H.l, p.28-29. Zie ook 163.
Podolny, Jr., W.
Cable-Stayed Bridges of Prestressed Concrete
PCI Journal, Jan.-Febr. 1973, p.68-79. Comment Sept.-Oct.1973
Dompieri, I.
Der Bau der Wadi-el-Kuf-Brücke in Libyen.
Schweizerische Bauzeitung, 91- Jahrgang, H.11, 15 Marz 1973,
p.257-272.
vervallen
Tiel Bridge
STUP' Bulletin of Information, March-April 1973, p.7-13
Volke, E.
Die Strombrucke im Zuge der Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen
Stahlbau, U2 (1973), H.U, p.97-105, H.5, p.138-152.
Rademacher, C.H.
Die Strombrucke im Zuge der Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen
Stab.lbau U2 (1973), H.6, p.l6l-172.
Meuzelaar, L.C., Smit, D.R.
Krimp- en kruipverschijnselen. De invloeden van krimp- en kruip
verschijnselen bij betonnen tuibruggen en de mogelijkheid tot
eliminatie hiervan.
Cement XXV, 1973, nr.6, p.2U9-255.
L-23
250. Naruoka, M., Sakamato, T.
Ponts haubanês au Japon. Cable-Stayed Bridges in Japan
Acier-Stahl-Steel 1973, H.10, p.Ul3-Ul8.
251. Burgholzer, L., Garn, E., Schimetta, 0.
Die 2. Donaubrücke Linz.
Stahlbau 1973, H.11, p.321-332
252. Gute, W.L.
First vehicular cable-stayed bridge in the U.S.
Civil Engineering-ASCE, Nov.1973, p.50-55.
253. Loiseau, H., Szechenyi, E.
Etude aêrodynamique du pont de St. Nazaire
N.T.2/30UU RY, 3/30U4 RY et U/30UU RY.
Documents ONERA non publiés; Paris, nov. et dec.1973
25U. de Bok, R.
Brug der zuchten in het land van Maas en Waal (Tuibrug Tiel)
Elsevier Magazine no. U8, 1 dec. 1973, p.l03-10i+.
255- Kreher, K., Schambeck, H.
Bau der zweiten Mainbrücke der Farbwerke Hoechst AG.
Vortrage Betontag 1973. Wiesbaden, D.B.V., 1973, p.3U9-372.
256. Prestressed Concrete Cable-Stayed Bridges in Frankfurt.
FIP-Notes UU (1973), p-6 (Tuibrug Hoechst over de Main)
257. Kajita, T., Cheung, Y.K.
Finite Element Analysis of Cable-Stayed Bridges
Mémoires AIPC, 33-11-1973, p.101-112.
258. Heckel,
Some Remarks on Box Girder Erection
International Conference 1973, London on Steel Box Girder Bridges
259. Schambeck, H., Finsterwalder, K.
Spannbetonschragseilbrücken
Festschrift U. Finsterwalder-50 Jahre für Dywidag. Karlsruhe 1973.
L-2U
271 - Cable-Stayed Span will set U.S. Record
Engineering News Record 3-1/197U, p.lö
272. Rothmann, H.B., Fu-Kuei Chang
Longest precast concrete box-girder bridge in Western Hemisphere
Civil Engineering-ASCE, March 197U, p.56-60.
273. Wilson, A.J., Wheen, R.J.
Direct Design of Taut Cables under Uniform Loading
Journal of the Structural Division, ASCE, March 197U, p.565-578.
27U. Chaco-Corrientes, Latin America's Longest Cable-Supported Bridge
World Construction, V.27, March 197U, p.18-20.
275- Cable-stayed bridge will have record 98l-ft span
Sng. News Record, 21 March 197U, p.39
276. Meuzelaar, L.C, Smit, D.R.
Phénomènes de retrait et de fluage. L'influence au comportement
des ponts a haubans et la possibilite de son elimination.
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.183-190.
277- Brakel, J., Swart, J.J.
Considerations sur le projet et 1'execution des ponts a haubans
en béton prêcontraint.
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.105-112.
278. Wianecki, J.
Etude aêrodynamique du pont des Meules (Pont de Brotonne)
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.96-10U.
279. Loiseau, H., Szechenyi, E.,
Etude du comportement aéroélastique du tablier d'un pont a haubans
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.87-95.
280. Roche, J.
Les methodes d'étude aêrodynamique des ponts a haubans.
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.75-86.
L-25
281. Bacarrère, J. '
Pont de Saint-Nazaire-Saint Brévin •
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.70-7U
282. Foucriat, J.
Conception et calcul du pont a haubans de Saint-Nazaire-Saint-Brévin
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.60-69.
283. Ciolina, M.
Les ponts a haubans. Formes nouvelles et problemes spécifiques
Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.51-59-
28U. Morris, N.F.
Dynamic Analysis of Cable-Stiffened Structures
Journal of the Structural Division ASCE, May 197U, p.971-981.
285. Mohsen, H.
Trends in the construction of steel highway-bridges
Acier-Stahl-Steel, 197U, H.6, p.267-278.
286. Burns, CA. , Fotheringham, W.D.
Deck panels for West Gate Bridge (Australia)
Acier-Stahl-Steel 197U, H.6, p.2U7-2U9.
287. DIN 1073. Stahlerne StraSenbrücken. Berechnungsgrundlagen. Juli 197U
288. Andra, W., Saul, R.
Versuche mit Bündeln aus parallelen Drahten und Litzen für
die Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen und das Zeltdach in München
Bautechnik 9/197U, p.289-298; 10/197U, p.332-3U0; 11/197U,
p.371-373.
289. Allan Firmage, A.
Europe's dramatic cable-stayed bridges
Civil Engineering ASCE, Sept.197U, p.108-112.
L-26
290. Cable-Stayed Bridge over the Columbia River
Engineering News Record 12/197U, p.39
291. Beyer, E., Lange, K.
Brücken aus Düsseldorf
Betonverlag 197U
292. Podclny, W.
Design Considerations in Cable-Stayed Bridges
Proc. Spec.Conf. on Metal Bridges
ASCE, 12-13 N0V.I97U; St. Louis, Missouri.'
293. Realisations Francaises en Béton Prêcontraint. Pont de Meules
FlP-congres 197U, New York, p.6-7
29U. Leonhardt, F.
The new Frontiers for Prestressed Concrete Design and Construction
Proc. 7th Congress of FIP, New York 197U, Vol.2
295. Kreher, K.
Kriterien und Methoden zur Beurteilung von Ingenieurbauwerken,
dargestellt am Beispiel einer Schragseilbrücke. Diss. Darmstadt 197U.
296. Leonhardt, F., Zellner, W.
Entwicklungen von weitgespannten Schragseilbrücken
p-77-95 uit boek van Beyer, E., Lange, L. Verkehrsbauten
Entwicklungstendenzen aus Düsseldorf
Betonverlag GmbH, Düsseldorf, 197U.
297. F. Leonhardt
Latest Developments of Cable-Stayed Bridges for Long Spans
Bygningsstatiske Meddelelser V0I.U5 (l97U), no.4, Kopenhagen, p.89-lU3
298. F. Leonhardt, W. Andra, W. Zellner
Entwicklung von weitgespannten Schragseilbrücken
Verkehrsbauten, p.78-95, Düsseldorf, Beton-Verlag, 197U.
299- Podolny, W.
Cable-Stayed Bridges
AISC Eng. Jounral, V.11, nr.l, 197U, p.1-11; zie ook V.11, nr.U, p.99-11
L-27
301. Kabelversteifte Spannbetonbrucke mit 300 m weiter Hauptöffnung
Bauingenieur 50 (1975), H.2, p.72
302. Brinkhorst, J., Spoelstra, J.S.
Brug over de Waal bij Ewijk
Bouwen met staal, febr.1975, p.2U-32
303. Van Neste, A.J.
Constructie Suurhoffbrug
Bouwen met staal febr.1975, p.13-l6
30U. Warolus, L.
Cable-Stayed Bridge over the Meuse at Heer-Agimont
Acier-Stahl-Steel, 5/1975, p.l6l-l66
305. Schwab, R.
Die Kö.hJ-brandkreuzung, U"oerbrückung einer Schiffahrtstrasse
im Hamburger Hafen
StraSe und Autobahn, May 1975, p.179-189-
306. Schwab, R., Homann, H.
<• Der Bau der Köhlbrandbrücke
Bautechnik, 1975, H.5, P.1U5-156.
307- Beyer, E-, Ramberger, G.
Die Franklinbrücke in Düsseldorf. Ein Langsverschub über
die Bundesbahn.
Stahlbau UU (1975), H.5, p.129-lUo.
308. The Danube Canal Bridge (Austria)
STUP Bulletin May-June 1975, p.11-15
309. Rabe, J., Baumer, H.
Die Gründungen und Pfeiler der Köhlbrandbrücke
Bautechnik, 1975, H.6, p.181-197
L-28
310. Brakel, J., Stroo, J., Stuurstraat, N.
Temperatuureffecten in tuibruggen
Cement XXVII, 1975, nr.6, p.270-272.
311. Boué, P., Höhne, K.J.
Der Stromüberbau der Köhlbrandbrücke
Stahlbau 1975, H.6, p.l6l-17U; H.7, p.203-211.
312. Kadlec, B.
De tuibrug over de Donau bij Bratislava
Bouwen met staal, aug.1975, p.31-36.
313. Homberg, H.
Le pont de Brotonne
Stahlbau 1975, H.8, p.235-2U3.
31U. Pont de Meules
FIP-Notes 5U (1975), p.13. Nu: Pont de Brotonne
315. Brakel, J.
On the Safety of Cable-Stayed Concrete Bridges
International Conference on Safety of Bridges, Wroclaw,
september 1975, p.61-82.
316. W. Zellner
Kunststoffe als Hilfsmittel für Hochfesten SeilkopfverguS und
als Korrosionsschutz
VDI-Berichte 1975, nr.225, p.51-62
317- W. Borelly
Diskussionsbeitrag zu Zellner
VDI-Berichte 1975, nr.225, p.63-69
318. F. Kehlbeck
EinfluS der Sonnenstrahlung bei Brückenbauwerken
Technische Universitat Hannover, Lehrstuhl für Massivbau
Düsseldorf, Werner-Verlag, 1975
319. A. Capra
Flambement des poteaux en béton arm.é soumis a des forces horizontales,
Annales ITBTP, jan. 1975, p.28-35-
L-29
331. Morisset, A.
Stabilité des piles et des pylones
Annales ITBTP, jan.1976, p.U9-6U
332. Bianchi, J., Sanson, R.
Le pont de St. Nazaire-St. Brevin
Travaux 1/1976, p.12-30
333. Van der Schaaf, T.
Cable-Stayed Bridge over the Waal near Ewijk
Acier-Stahl-Steel 1/1976, p.10-21
33U. Brault, J.L. , Mathivat, J.
Le pont de Brotonne; Conception; Enseignem.ents acquis après 18 mois
Travaux, febr. 1976, p.22-UU
335. Fernandez Casado, C , Montercia, J., Fernandez Troyano
Cable-Stayed Footbridge in Barcelona (E.CCS. Prize 1975)
Acier-Stahl-Steel, 2-1976, p.UU-53
336. Scheuch, G.
Moving the "Oberkasseier Brücke" at Düsseldorf
Acier-Stahl-Steel 2-1976, p.60-6U.
337- Bisch,
Les phénomènes d'aêroélasticitê dans les ponts élancês
Annales ITBTP, Mars 1976, p.35-U7
338. Kuang-Han Chu, Chia-Chium Ma, D.
Nonlinear Cable and Frame Interaction
Proc. ASCE, Journal Struct.Div. March 1976, p.569-589.
339. Morris, N.F.
Analysis of Cable-Stiffened Space Structures
Proc. ASCE, Journal Struct.Div. March 1976, p.501-515.
L-30
3U0. Sanson, R.
St. Nazaire-St. Brévin Bridge over the Loire Estuary (France)
Acier-Stahl-Steel 5-1976, p.l6l-l67-
3UI. Toth, I.
Pont de Saint Nazaire. Le plus long pont en France: 3356 m
Record mondial de portee pour les ponts a haubans: UoU m
La Technique des Travaux, mai-juin 1976, p.123-1 UU.
3U2. BBR: Cable-Stayed Structures. Some applications of BBR prestressing
technology. Report no. 760U, Bureau BBR Ltd., Zurich; June 1976.
3U3. Van der Put, T.A.C.M.
Stijfheid van constructies bij aërodynamische krachten
Polytechnisch Tijdschrift b31 (1976), nr.7, P.U3U-U39
3UU. Hatano, Y., Okamato, T., Yamaguchi, K.
Suchiro Bridge, Japan's Longest Cable-Stayed Bridge
Acier-Stahl-Steel, 7-8/1976, p.270-27U.
3U5. Schambeck, H.
Brücken aus Spannbeton: Wirklichkeiten, Möglichkeiten
Bauingenieur 51 (1976), H.8, p.285-298
3U6. Man-Chung-Tang
Buckling of Cable-Stayed Girder Bridges
Proc. ASCE, Journal Struct.Div. Sept. 1976, p.l675-l68U
3U7. Weitz, F.R.
tJberspannungen aus Stahlseilen. Konstruktionskomponenten für
den modernen GroSbrückenbau.
Bauingenieur 51 (1976), H.10, p.357-369
3U8. Joegoslavië bouwt een eerste tuispoorbrug ter wereld
Raadgevend Ingenieur 10/1976, p.U7 (kort bericht)
3U9. Contractor rides the tides to construct record stayed girder
Engineering News Record 16/1976, p.28
L-31
350. Pauser, A., Beschorner, K.
Betrachtungen über seilverspannte Massivbrücken, ausgehend
vom Bau der Schragseilbrücke über den Donaukanal Wien.
Beton- und Stahlbetonbau 71 (1976), H.11, p.261-265;
H.12, P.298-30U.
351. Podolny, Jr., W., Scalzi, J.B.
Construction and Design of Cable-Stayed Bridges
Wiley series of practical construction guides.
John Wiley & Sons, New York, London, Sydney, Toronto; 1976
352. R. Sanson:
Loire-Mündungsbrücke zwischen Saint Nazaire und Saint Brevin
Acier-Stahl-Steel Ul (1976), p.l6l-l67
353. Le pont de Saint Nazaire-Saint Brévin
Construction 10/1976, p.383-U22.
35U. J.S. Spoelstra
De stalen brug over de Waal bij Ewijk
Polytechnisch Tijdschrift nr.9 (1976), p.551-558
355a. J. Blaauwendraad"
Ontwerpsystemen voor (staal)constructeurs
Bouwen met staal juli 1976, p.13-lU
b. Th. N. Kayser, M.J. van Koetsveld
Stalen bruggenprogramma; hoe verder?(Voorbeeld: brug Ewijk)
Bouwen met staal juli 1976, p.lU-19.
356. N. Hajdin
Vergleich zwischen den Paralleldrahtseilen und verschlossenen
Seilen am Beispiel der Eisenbahnschragseilbrücke über die Save
in Belgrad.
Kongress IVBH, Tokyo 1976 (Vorbericht)
357. H. Daiguji, Y. Yamada
Optimum design of cable-stayed bridges, using an optimality
parameter.
Final Report 10th Con.gress lABSE, Tokyo, sept. 1976.
L-32
358. Podolny, W.
Cable-Stayed Versus Classical Suspension Bridges
Transp.Eng. Journal, ASCE, V.102, May 1976, p.291-311.
359. Scanlan, R.H.
Modern Approaches to Solution of the Wind Problems of Long
Span Bridges.
AISC Eng.Journal, V.13:2, 1976, p.26-3U.
360. Gade, R.H.; Bosch, H.R., Podolny, W.
Recent Aerodynamic Studies of Long-Span Bridges
ASCE, J.Struct.Div. V.102, July 1976, p.1299-1315.
360a. Gimsing, N.J.
Multispan Stayed Girder Bridges
ASCE,J.Struct.Div. V.102, Oct.1976, p.1989-2003.
L-33
361. M. Vanbourdolle, J. Ciolina, J. Bacarrère
Le pont de Saint Nazaire-Saint Brévin
Annales ITBTP 3U7 (1977), p.l3-U3
362. J. Bacarrère
Montage de l'ouvrage mêtallique (St. Nazaire-St. Brévin)
Annales ITBTP nr.3U7 (1977), p.28-U3
363. R. Grafe
Brücke über die Mündung der Loire zwischen Saint Nazaire und
Saint Brévin als Schragseilbrücke mit UoU m Spannweite der
Schiffahrtsöffnung.
Der Stahlbau U6 (1977), p.120-122.
36U. C S . Kleinekoort
Berekeningsaspecten van de stalen tuibrug bij Ewijk
1. De tuiwerking
Polytechnisch Tijdschrift nr.l (1977), p.U3-51
2. De kokerwerking
Polytechnisch Tijdschrift nr.2 (1977), p.102-110
3. Stabiliteit van de koker
Polytechnisch Tijdschrift nr.3 (1977), p.155-159
365. E. Völkel, W. Zellner, A. Dornecker
Die Schragseilbrücke für FuSganger über den Neckar in Mannheim
Beton- und Stahlbetonbau 2/1977, p.29-35; 3/1977, p.59-6U
366.
Europe's First Cable-Stayed Prestressed Railroad Bridge (near London)
PCI Journal, Sept.-Oct. 1977, p-119
367.
Unique Bridge (Ruck-A-Chucky Bridge)
U.S. Government Printing Office 1977-2U0-962/2 1-3
L-3U
368. T.Y. Lin
Design for a Suspended Arc Bridge (Ruck-A-Chucky Bridge)
FIP Notes 68, may, June 1977, P-U, 5-
369- Brotonne Bridge, France, World record concrete span
FIP Notes, sept., oct. 1977, p.7, 8
370.
Le pont de Brotonne
Annales des Ponts et Chaussees, no.U, 4e trimestre 1977, p.Ul-U5
371. -
Kwang Fu Bridge, Taiwan
Freyssinet International FI. 1092 A 12/77
372.
Pasco-Kennewick Bridge
Freyssinet International FI. 1039A 12/77
373.
World's first cable-stayed precast segmental bridge (Pasco-Kennewick)
Concrete Products, nov.1977
37U.
Tentative Recommendations for Cable-Stayed Bridge Structures.
Proc.ASCE., J.Struct.Div., May 1977, p-929-939-
375.
Commentary on the Tentative Recommendations for Cable-Stayed
Bridge Structures.
Proc. ASCE, J. Struct.Div. May 1977, p.9U1-959.
376. B. Hafke
Die Randebrucke
Stahlbau 5/1977, p.155-156.
377. K. Idelberger
Aussichtskorb am Seilmast: StraSenbrucke über Donau in Pregburg,
Tsjechoslowakei
Stahlbau 5/1977, p.156.
L -35
378. A. Grant
Pasco-Kennewick Bridge- The Longest Cable-Stayed Bridge
in North Am.erica.
Civil Eng. V.U7, Aug.1977, p.63-66
379-
Biblipgraphy and Data on Cable-Stayed Bridges
Proc. ASCE, J.Struct.Div. Oct.1977, p.1971-200U
380. G. Epple, E. Rössing, E. Schaber, L. Wintergerst,
Die neue Rheinbrücke für die Bundesautobahn bei Speyer
Stahlbau 11/1977, p.3Ul- 353; 12/1977, p-372-383-
Zie ook Stahlbau 12/1978, p.38U.
381. - • .
Verschuiving van de Oberkasselerbrug te Düsseldorf
Bouwen met staal, jan.1977, p.19-22; zie ook I 336j.
382. M.S. Troitsky
Cable-stayed bridges. Theory and design.
Crosby Lockwood Staples, London, 1977-
383. Temple, M.C.
Buckling of Stayed Columns
ASCE, J.Struct.Div. V.103, April 1977, p.839-851
38U. Beyer, E., Volke, E., Gottstein, F.V., Ramberger, G.
Neubau und Querverschub der Rheinbrücke Dusseldorf-Oberkassel.
Stahlbau Mrt.1977, p.65-80, April 1977, p.113-122; Mei 1977,
P.1U8-I5U; Juni 1977, p.176-188.
385. Komatsu, S., Torii, Y., Okada, S.
Cable-Stayed Bridge "Rokko Okkashi" at Kobe (Japan)
Acier-Stahl-Steel, March 1977, p.101-106.
L-36
391. C Sedlacek
Montage der stahlernen Schragseilbrücke über die Loiremundung
zwischen St. Nazaire und St. Brévin.
Bauingenieur 1/1978, p.7-8
392. W. Fuchs
Die Loire-Brücke bei St. Nazaire
Bauingenieur 1/1978, p. 19-20.
393. A. Onlemutz
Schragseil- und Stragenbrucke mit einseitiger Eisenbahnbelastung
Stahlbau 1/1978, p.29-30; zie ook p.352.
39U. C C Ulstrup
Natural frequencies of axially loaded bridge members.
Proc. ASCE, J.Struct.Div. Febr.1978, p.357-36U.
395- H.M. Irvines
Free vibrations of inclined cables,
Proc. ASCE, J.Struct.Div. Febr.1978, p.343-3U7.
396.
Betonieren des Pylons der Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe
Beton- und Stahlbetonbau 3/1978, p. Al 7-19-
397. N. Hajdin, L. Jevtovic
Eisenbahnschragseilbrücke über die Save in Belgrad
Stahlbau 4/1978, p.97-106.
398. F. StandfuB
Spannbeton im Stragen-Brückenbau (.FIP-Kongress London 1978)
Beton- und Stahlbetonbau U/1978, p.77-82.
399.
De brug over de Rio Magdalena in Barranquila, Columbia
L'Industria Italiana del Cemento U/1978, p.280-288.
400.
Luling bridge
Freyssinet International mei/juni 1978, p.11
401. A. Grant and Ass.
Segments of cable stayed bridge adhesive bounded (Pasco Kennewick)
Construction, May 1970, p.3.
L-37
U02. -
Corrosion forces bridge cable repair (Köhlbrandbrücke)
Eng. News Record, 18-5-1978, p. 41.
U03. -
The Intercity Bridge over the Columbia River between Pasco and
Kennewick, Washington.
P.C.I. Journal 9/10 1978, p.58-59.
40U. H. Wittfoht:
Brücken-Vortragsveranstaltung und Seminar (FlP-congres Londen 1978)
(o.a. tuibruggen Brotonne, Ebro, Pasco-Kennewick, Rio Magdalena,
Ganterbrücke, Ruck-A-Chucky).
Beton- und Stahlbetonbau 10/1978, p.23U-238.
405. K. Idelberger
Die Schragseilbrücke mit A-Pylon über den Rhein bei Neuwied
Stahlbau 10/1978, p.302-307.
Uo6. J. Brunner, R. Schonnagel, D. Feder
Die Donaubrücke Deggerau
Stahlbau 10/1978, p.289-29U; 11/1978, p.339-347.
407. A. Linse, K. WöSner.
Kochertalbrücke-Entwürfe einer GroSbrücke (ook enige tuibruggen)
Bauingenieur 1978, •p.U53-463-
U08. R. Walther
BemerKenswerte Spannbetonbrücken
Schweizerische Bauzeitung 96 (1978), H.lU, p. 236-2U4.
U09- -
Omstogawa-spoorbrug (Japan; tweesporig).
Journal of Japan Prestressed Concrete Eng.,Ass. Vol.20, p.78
410.
La Technique Francaise du Béton Prêcontraint (o.a. Pont de Brotonne)
London; AFB Paris 1978.
L-38
Uil.a. K. Iwamura, F. Newoto, Y. Nojivi
Hamana Bridge
FIP 78 Proceedings, part.2, p.136-143
b. F. Leonhardt, W. Zellner, H. Svensson
Columbia River Bridge
FIP 78 Proceedings, part.2, p.lU4-153
c. A. Fried
The Rip Bridge
FIP 78 Proceedings, part. 2, p.l5U-l63.
d. J. Mathivat
The Brotonne Bridge
FIP 78 Proceedings, part.2, p.l6U-172.
412.
Tentative Recommendations for Cable Stayed Bridge Structures.
Closure of discussion (see also 37U, 375)
Proc. ASCE, J. Struct.Div. nov.1978, p.l801-l802.
U13.a. J.H. Clark
Relation of Erection Planning to Design
b. C P . Bridges
Erection Control of Pasco-Kennewick Intercity Bridge
Cable-Stayed Bridges, Structural Eng. Series, nr.U, Bridge
Division, Federal Highway Administration, Washington DC, -June 1978.
UlU. Y. Yamada, H. Daiguji, K. Imamura
Extended study of the optimality parameter design for cable-stayed
bridges.
Bridge and Foundation Eng. Jan./Febr. 1978.
L-39
U21. J. Modemann, K. Thönnissen
Die neue Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim
Planung, Entwurf, Ausschreibung, u.s.w.
Bauingenieur 1/1979, p.1-12.
U22. G. Scheuch
Die neue Rheinbrücke Neuwied-Weissenthurm und ihr Verschub
Bautechnik 1/1979, p-32-33-
U23. A. Chajes, Wen-Sen Chen
Stability of Guyed Towers
Proc. ASCE, J.Struct.Div. Jan.1979, p.l63-17U.
U2U. H.W. Bennenk
Zuidelijke voetgangersbrug in Alkmaar-Huiswaard (houten tuibrug)
Houttechniek 3/1979, p- 56-60 ; U/1979, p. 81-86.
U25- G. Dittmann, K.G. Bondre
Die neue Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim
Statische Berechnung des Gesamtsystems.
Bauingenieur 1979, p.59-66.
U26. W. Zellner, P. Schmidts
Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim
Spannbeton-Vorlandbrücke
Bauingenieur 1979, p.85-93.
U27- K. Gossow
Seilverspannte Pylonbrücke im Sport-, Freizeit- und
Erhohlungsgebiet "Salzgittersee"
Stahlbau 4/1979, p.115-117,
428, W. Andra, R. Saul
Die Festigkeit, insbesondere Dauerfestigkeit langer Paralleldrahtbündel,
Bautechnik 4/1979, p.128-130.
U29. H. Schambeck, H. Forst, N. Honnefelder.
Der Betonpylon der Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim
Konstruktion, Berechnung, Ausführung.
Bauingenieur 1979, p.111-117-
U30. A. Ohlemutz
Neue Schragseilbrücke über die Missisippi
Stahlbau 5/1979, p.151-152.
L-UO
U3I. A. Grant
The Pasco-Kennewick Intercity Bridge
P.C .I.-Journal, may/june 1979, p.90-109.
U32. B.E. Gurth
The Bridge (Pasco-Kennewick)
PCI-Journal, may/june 1979, p. 110-112
U33. C P . Bridges, C S . Coulter
Geometry Control for the Intercity Bridge
PCI-Journal, may/june 1979, p.113-12U.
43U. R. Kahmann, E. Koger
Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim
Koordination der Gesamtbaumagnahmen und Beschreibung des Stahluberbaus
Bauingenieiur 1979, p. 177-187.
U35. K. Roik, J. Haensel
Die Entwurfsüberarbeitung der West Gate Brücke in Melbourne
(n.a.v. instorting tijdens bouw)
Stahlbau 7/1979, p.197-20U.
U36. F. Leonhardt, W. Zellner, R. Saul
Zwei Schragkabelbrücken für Eisenbahn- und StraSenverkehr über
den Rio Parana (Argentinien)
Stahlbau 8/1979, p.225-236; 9/1979, p.272-277.
U37- C Menn, H. Rigendinger
Ganterbrücke
Schweizer. Ing.u.Arch. 20-9-1979, p.733-738.
U38. F. Ciolina
Un nouveau pont sur le Rhin, le pont de Reiffeisen
Travaux, sept. 1979, P.U9-5U.
U39- Zung-An Lu
Dynamic Analysis of Cable-Hung Ruck-A-Chucky Bridge
Proc. ASCE, J.Struct.Div. Oct. 1979, p.2009-2068.
UUO. F. Leonhardt, W. Zellner, R. Saul
Modellversuche für die Schragseilkabelorucken Zarate-Braza
Largo über den Rio Parana (.Argentinien)
Bauingenieur 1979, p.321-327.
L-Ul
UUi. F.R. Weitz
Die Komplexitat von Konstruktionssystem und Fertigungstechniek
am Beispiel der Stahlbrückenmontage (ook enige tuibruggen)
Bauingenieur 1979, p.355-36U.
UU2. T.Y. Lin, H.K. Lu, 0. Redfield ' '•
The Design of the Ruck-A-Chucky Bridge
Concrete Int. July 1979, p.31-37- •
U43.
U.K. Rail Crossing. Cable-stayed bridge
Constr.Ind.Int.-Roads and Bridges 1979, p.U2-U3.
UUU. -
All-concrete cable-stayed railway bridge
Concrete, april 1979, p- 12-13.
UU5, M. Virlogeux:
Les ponts de portee moyenne
M, Placidi:
Les ponts mis en place par rotation
Journées d'études CEIFICI-AFPC, 2U-25 oct. 1979-
L-U2
U51. F. Leonhardt, W, Zellner, H, Svensson
Die Spannbeton-Schragkabelbrücke über den Columbia River zwischen
Pasco 'und Kennewick im Staat Washington, U.S,A,
Beton- und Stahlbetonbau 2/1980, p,29-36; 3/1980, p,6U-70; U/1980,
P.9O-9U,
U52, J, Scheer, J. Falke
Zur Berechnung geneigter Seile
Bauingenieur 5/1980, p.l69-17U.
U53. W. Fuchs
Spannbeton-Schragkabelbrücke in Segmentbauweise (Pasco-Kennewick)
Bauingenieur 5/1980, P.17U-I83.
U5U. -
Argentina. Major cable-stayed bridges provide vital link
(Parana River Crossings)
Construction Industry International, Sept.1980, p.U7-55.
U55. -
Hannibal's way - A major Swiss bridge (Ganter bridge)
International Construction, Sept. 198O, p.23-2U.
U56. Final Report 11th Congress lABSE, Wenen, sept.l980
a. M.S. Causevic
Computing intrinsic values of flexural vibrations of cable-stayed bridges;
p. 603-608.
b. Y. Yamada, D. Okui, H. Daiguji
Interactive and automated design of cable-stayed bridges, p.615-620.
c. D. Sfintesco
Evolution dans la conception des grands ponts en acier; p.717-726.
d. N.J. Gimsing
Cable systems for bridges, p.727-732.
e. E. Kalhauge, G. Haas, K. Ostenfeld
Great Belt bridge - Tender projects; p.785-790.
f. F.D. Sears
The Luling Bridge (USA); p.791-796.
g. P. Moreau, M. Placidi, M. Virlogeux
La construction des passerelles de Meylan et de I'lllhof; p.821-822.
h. P. Xercavins, P.E. Mondorf:
Parallel Strand Cable Stays. Static and fatigue Strength.
L-43
457. F. Leonhardt, W. Zellner, R. Saul
Die Betonpylonen und Unterbauen der Schragseilbrücken
Zirate-Brazo Largo über den Rio Parana (Argentinië)
Bauingenieur 55 (1980), p.1-10
L-50
Boeken en algemene artikelen over tuibruggen (volgens nummers van de
bibliografie); (B) = boek.
001(3) 002(3) 003 007 OlU 0l8(3) 038 0U8 055 056(B) 068 071 073
075 096 098 106 107 130 132 13U 156 170(B) 171(B) lt2(B) 190
191 196 203 207 210(B) 211(3) 2U3 250 259 277 283 285 289
29U 296 3U5 350 351(B) 379 382(B) 398 UoU U07 U08 U10 Uil
UUi U56
Artikelen over de berekening van tuibruggen (volgens nummers van de
bibliografie)
a. Statische berekening:
009 OUO OUl 0U3 061 065 067 070 079 086 103
111 15U 157 192 198 200 201 205 257 292 338
355 36U U56.b
b. Wind (aërodynamische berekening; zie ook aanvullende litt. in 6.8):
039 053 082 092 09U 102 209 2Ul 253 278 279 280 337 3U3
c. Tijdsafhankelijke effecten (krimp en kruip):
091 2U9 276
d. Temperatuur: g. Dynamische effecten; trillingen
310 365 • 3U3 39U 395 U39 U56.a
e. Veiligheid h. Voorschriften (Am.)
315 • 37U 375 U12 .... .
f. Stabiliteit: i. Corrosiebescherming
331 3U6 365 396 U23 U29 U02
251 33U
Artikelen over kabels van tuibruggen (ook over tuikabels algemeen):
OOU 010 016 033 03U 05U O8U 100 121 122 135 155
168 169 189 195 202 208 288 3U7 356 U02 U28 U52
Meting kabelkrachten: 121
Voetbruggen: 021 036 O88 158 159 335 3U2 365 U56.g
Spoorbruggen: 3U2 3U8 356 36U 393 397 U09
Ruimtelijke tuiconstructies: 103 l82 339 U52
Systeem BBRV: 3U2
Systeem Dywidag: 195; zie ook 212 255 256
Systeem Freyssinet: 18U 185 2U6
L-51
Artikelen over individuele tuibruggen (volgens nummers van de bibliografie)
Nr. Aanduiding brug Rivier, kanaal. Stad, Land, Artikelnr. o.d. o.d.
1.
2.
3.
U.
5-
6.
7-
8.
9.
10.
11 .
12.
13.
1U.
15.
16.
17.
18.
19-
20.
21 .
22.
23.
Strömsundbrug
Nordbrücke
Usk-bridge
Severinsbrucke
Norderelbebrücke
Maracaibobrug
Zoobrücke
Leverküsen
Rijnbruggen
Grote Belt
Rijnbrug
Donaubrug
Rijnbrug
Oberkasseier Brücke
Erskine brug
Batman
Kniebrücke
Pont de la Bourse
Nordbrücke
Rijn
Rijn
Meer van Maracaibo
Rijn
Rijn
Rijn
Grote Belt
Rijn
Donau
Rijn
Dnjepr
Rijn
Rijn
Rijn (Kurt Schumacherbrücke)
Massenabrug
Galecopperbrug
Suurhoffbruggen
Seine
A'dam-Rijnkan.
Zweden
Düsseldorf
Engeland
Keulen
Hamburg
Venezuela
Keulen
Leverküsen
Keulen
Denemarken
Maxaii (Did)
Bratislava
Rees-Kalkar
Kiew
Düsseldorf
Engeland
Tasmania
Düsseldorf
Le Havre
Mannheim-Ludwigshafen
Parijs
Utrecht
006
008 025
013
022
037
0U2
OUU
062
076
081
033
089
093
095
096
099 183
lOU
109
12U
125 2U8
127
152
153
019
064
031
OU5
OU7
072
069
090
312
336
101 206
126
133 288
303
023
031
050
080
377
381
166
20U 3U2
02U
035
123
181
2U7
L-52
Nr. Aanduiding brug Rivier, kanaal, o.d.
Stad, Land, o.d.
Artikelnr.
2U. Wadi Kufbrug
25. Papineau-Leblanc
26. Rijnbrug
27. Friedrich Ebert Brücke
28. Waalbrug
29 • Mainbrücke.
30. 2e Donaubrücke
31. Chaco-Corrientes
32. St. Nazaire-St . Brévin
33. Pont de Brotonne ( " " Meules)
3U. Pasco-Kennewick
35. Rijnbruggen
36. Waalbrug
37• Maasbrug
38. Köhlbrandbrücke
39 - Franklinbrücke
Uo. Donaukanalbrücke
Wadi Kuf
Rijn
Rijn
Waal
Main
Donau
Loiremonding
Seine
Columbia River
Rijn
Waal
Maas
Köhlbrand (Süderelbei
Donaukanal
Ui. Japanse tuibruggen
U2. Zarate-Braza Largo Parana River
U3. Düsseldorf-Flehe Rijn
UU. Neuwied-Weissenthurm Rijn
U5. Barranquila Rio Magdalena
U6. Rheinbrücke Rijn
U7. Ruck-A-Chucky Br. American River
Libye 16O 16U 2UU
Canada(Montreal)l63 2U2
Duisburg Neuenkamp
Bonn
Tiel
Farbwerke Hoechst
Linz
Z.Am.
Frankrijk
161
165
18U
212
251
27^^
281
167
185
255
282
197
2U6
256
332
25U
3UO 3U1 352 353 362 361 363 391 392
Ca.udebec- 278 293 313 31U en- Caux 33U 369 370
Wash.(USA) 290, 372, 373, 378, U03, UoU, Ui 1 .0, Ui3.a en b; U31, U32, U51, U53
Düsseldorf 291
Ewijk 302 333 35U 355 36U
Heer- 30U Agimont(Bl
Hamburg 305 306 309 311
Düsseldorf 307 .
Wenen 308 350
Japan 122 193 250 3UU U09
Argentinië U36 UUO U5U
Düsseldorf 396 U21 U25 U26 U29 U3U
Neuwied U05 U22
Columbia 399 UoU
Speyer 38O
California 367 368 U39 UU2
^
^
Verwijderd uit catalogus
TU Delft Library