1

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝΠανεπιστήμιο ΙωαννίνωνΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΙΙΙΙ

Γ. ΤσιατούχαςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ και ΠληροφορικήςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

ΘέματαΘέματα

1. Θεώρημα  Thevenin

2. Θεώρημα Norton2. Θεώρημα  Norton

3. Δίθυρα Δικτυώματα

2Φροντιστήρια ΙΙ

VLSI systemsand Computer Architecture Lab

2

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (I)1 (I)Να βρεθούν τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin καιNorton όταν η RL είναι ο φόρτος. Δίδονται I1=10mA, I2=50mA,R1=1KΩ, R2=2ΚΩ, R3=10KΩ και RL=2KΩ.

ΠρόβλημαΠρόβλημα::

ΛύσηΛύση:: Για την εύρεση της αντίστασης Thevenin/Norton αφαιρούμεΛύσηΛύση:: Για την εύρεση της αντίστασης Thevenin/Norton, αφαιρούμετην RL και μηδενίζουμε τις πηγές.

R2

R3

R2

R3

ΩK67,2RR//RRR 132NortonThevenin

3Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2RL R1

a

b

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (II)1 (II)A) Για την εύρεση της τάσης Thevenin αφαιρούμε την αντίσταση φόρτου

RL.

Εφαρμόζουμε τη μέθοδο των κομβικών τάσεων. Υπάρχουν τρειςό β ό ί έ ί ό β φ ά ί

κόμβος 1 κόμβος 2υ1 υ2R2

R3

R2

R3

κόμβοι από τους οποίους ο ένας είναι ο κόμβος αναφοράς. Ορίζουμετις φορές των ρευμάτων. Ζητάμε την τάση υoc ανάμεσα στουςακροδέκτες a και b.

κόμβος αναφοράς

4Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2RL

Ι1R1

Ι2

a

b

υoc

+

−

3

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (II1 (IIΙΙ))Εφαρμόζουμε KCL στους δύο κόμβους. Παρατηρούμε ότι:

0R

υυ

R

υυ

R

0υI

3

21

2

21

1

11

κόμβος 1 0IIII 3R2R1R1

2oc υυ

κόμβος 1 κόμβος 2υ1 υ2R2

R3

321

0IR

υυ

R

υυ2

3

21

2

21

κόμβος 2 0III 23R2R

1232

1321

ΙυR

1

R

1υ

R

1

R

1

R

1

1111

κόμβος αναφοράς

5Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2

a

b

υoc

+

−

2232

132

IυR

1

R

1υ

R

1

R

1

10υ6.0υ6.1 21

50υ6.0υ6.0 21

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (IV)1 (IV)Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων βρίσκουμε:

υ1 = −40 V και   υ2 ≡ υoc = –123,33 V.         Συνεπώς: υThevenin = −123,33 V

R2

R3Ισοδύναμο Κύκλωμα κατά Thevenin

TheveninR

6Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2RL

a

b

+–

a

bTheveninυRL

4

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (V)1 (V)Β) Για την εύρεση του ρεύματος Norton βραχυκυκλώνουμε την

αντίσταση φόρτου RL και την αφαιρούμε από το κύκλωμα.

Εφαρμόζουμε τη μέθοδο των ρευμάτων απλών βρόχων. Υπάρχουντέσσερις απλοί βρόχοι Ορίζουμε τις φορές των ρευμάτων σύμφωνα

R2

R3

R2

R3

τέσσερις απλοί βρόχοι. Ορίζουμε τις φορές των ρευμάτων σύμφωναμε τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Ζητάμε το ρεύμα isc μέσα απότο βραχυκύκλωμα των ακροδεκτών a και b.

Ι4

7Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2RL

Ι1R1

Ι2

a

b

Ι1 Ι2Ι3

isc

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (V1 (VΙΙ))Προφανώς οι πηγές ρεύματος καθορίζουν τα ρεύματα Ι1 και Ι2 τωνσχετικών βρόχων. Στους υπόλοιπους δύο βρόχους ισχύει:

0IIRIIR 432131 βρόχος 3 0IRIRIRR 4211321 0IRIIR 43342

432131

ρ χ ς

βρόχος 4

0IRIRR 32432

4211321

R2

R3

Ι402II12

10I2I3

34

43

8Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2

a

b

Ι1 Ι2Ι3

isc

34

mA8

5IκαιmA

4

15I 43

5

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (V1 (VΙΙΙΙ))

Συνεπώς: mA25,46IIii 23scNorton

R2

R3Ισοδύναμο Κύκλωμα κατά Norton

a

NortonR

9Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2RL

a

b

a

b

RLNortoni

Πρόβλημα Πρόβλημα 1 (V1 (VΙΙΙΙΙΙ))

Εναλλακτικά, με όσα γνωρίζουμε από τη θεωρία για τη σχέση μεταξύτης τάσης Thevenin και του ρεύματος Norton, θα ισχύει:

V33123υ

R2

R3

mA25,46ΩK67,2

V33,123

R

υi

Thevenin

TheveninNorton

Ισοδύναμο Κύκλωμα κατά Norton

a

NortonR

10Φροντιστήρια ΙΙ

Ι1R1

Ι2RL

end

a

b

RLNortoni

6

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (I)(I)

Να βρεθούν τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin καιNorton όταν η RL είναι ο φόρτος. Δίδονται I=0,5A, V=10V,R1=4Ω, R2=6Ω, R3=10Ω, R4=2Ω, R5=2Ω, R6=3Ω και R7=5Ω.

ΠρόβλημαΠρόβλημα::

1 2 3 4 5 6 7

R4

R5

R2 R7a

11Φροντιστήρια ΙΙ

Ι

R1

V

RL

+−

R3 R6

a

b

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (II)(II)ΛύσηΛύση:: Για την εύρεση της αντίστασης Thevenin/Norton, αφαιρούμε

την RL και μηδενίζουμε τις πηγές.

Ω7RR//RR//R//RRRR

R4

R5

Ω7RR//RR//R//RRRR 2135467NortonThevenin

R2 R7a

12Φροντιστήρια ΙΙ

R1 R3 R6

a

b

7

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (III)(III)• Για την εύρεση της τάσης Thevenin αφαιρούμε την αντίσταση RL.• Η ζητούμενη τάση Thevenin (υΤ) είναι η τάση υoc ανάμεσα στουςανοικτοκυκλωμένους ακροδέκτες a και b.

• Οι αντιστάσεις R4 και R5 είναι παράλληλα συνδεδεμένες και

R45R2 R7a

Οι αντιστάσεις R4 και R5 είναι παράλληλα συνδεδεμένες καιαντικαθίστανται από μία αντίσταση RR4455==11ΩΩ.

• Κάνουμε χρήση του μετασχηματισμού πηγών για νααντικαταστήσουμε το σύστημα της πηγής ρεύματος (Ι // R1 ) με μιαπηγή τάσης VI σε σειρά με μια αντίσταση ίσης τιμής με την R1.

Ισχύει:

13Φροντιστήρια ΙΙ

R1V

+−

R3 R6

a

b

+−

VΙ

υoc

+

−

V2RIV 1I

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (IV)(IV)• Η αντίσταση R7 είναι ανοικτοκυκλωμένη, δεν διαρρέεται από ρεύμακαι η πτώση τάσης σε αυτή είναι μηδέν. Συνεπώς, η ζητούμενη τάσηυoc είναι πτώση τάσης στα άκρα της R6.

• Το κύκλωμα έχει 7 κόμβους Η γείωση είναι ο κόμβος αναφοράς

R45R2 R7a

κόμβος 2 κόμβος 4 κόμβος 5 κόμβος 6

• Το κύκλωμα έχει 7 κόμβους. Η γείωση είναι ο κόμβος αναφοράς.• Ο κόμβος 6 είναι ανοικτοκυκλωμένος και δεν λαμβάνεται υπόψιν.• Ο κόμβος 1 έχει τάση VI (εξαρτημένη μεταβλητή).• Μεταξύ των κόμβων 3 και 4 υπάρχει η πηγή τάσης V. Συνεπώς, η τάσηστον κόμβο 3 μπορεί να θεωρηθεί εξαρτημένη μεταβλητή.

14Φροντιστήρια ΙΙ

R1V

+−

R3 R6

a

b

+−

VΙ

υoc

+

−

κόμβος αναφοράς

κόμβος 1 κόμβος 3

8

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (V)(V)• Ονοματίζουμε τις τάσεις στους κόμβους ενδιαφέροντος.• Καθορίζουμε τις φορές των ρευμάτων (αυθαίρετα).• Εφαρμόζουμε τη μέθοδο των κομβικών τάσεων.

oΓράφουμε το νόμο KCL στους κόμβους ενδιαφέροντος, ως

R45R2 R7a

συνάρτηση των κομβικών τάσεων.• Ισχύει:

υ2 υ4 υ5

oc54334 υυκαιVυυVυυ

15Φροντιστήρια ΙΙ

R1V

+−

R3 R6

a

b

+−

VΙ

υoc

+

−

κόμβος αναφοράς

υ3

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (V(VΙΙ))

0R

υυ

R

υV

2

42

1

2I

0υυυυυ 35442

0R

υυ

R

υV

2

42

1

2I

0Vυυυυυ 45442

ό β 4

κόμβος 2

R45R2 R7a

υ2 υ4 υ5

0RRR 3

3

45

54

2

42

0R

υ

R

υυ

6

5

45

54

0RRR 3

4

45

54

2

42

0R

υ

R

υυ

6

5

45

54

κόμβος 4

κόμβος 5

16Φροντιστήρια ΙΙ

R1V

+−

R3 R6

a

b

+−

VΙ

υoc

+

−

κόμβος αναφοράς

υ3

9

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (V(VΙΙΙΙ))

1

I4

22

21 R

Vυ

R

1υ

R

1

R

1

V11111

1υ3

1υ

6

542

191

R45R2 R7a

υ2 υ4 υ5

35

454

34522

2 R

Vυ

R

1υ

R

1

R

1

R

1υ

R

1

0υR

1

R

1υ

R

15

6454

45

1υυ15

19υ

6

1542

4554 υ4

3υ0υ

3

4υ

115

17Φροντιστήρια ΙΙ

R1V

+−

R3 R6

a

b

+−

VΙ

υoc

+

−

κόμβος αναφοράς

υ3

1υ3

υ6

42

6υ10

31υ1υ

60

31υ

6

14242

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (V(VΙΙΙΙΙΙ))

1υ3

1υ

6

542

3166

31

V78,1υ1υ3

1υ

60

1555 444

316

R45R2 R7a

υ2 υ4 υ5

4242 υ10

6υ6υ10

υ 42 υ10

6υ

Συνεπώς:

V33,1υ4

3υυυ 45ocT

18Φροντιστήρια ΙΙ

R1V

+−

R3 R6

a

b

+−

VΙ

υoc

+

−

κόμβος αναφοράς

υ3

10

Πρόβλημα 2Πρόβλημα 2 (IX)(IX)Για το ισοδύναμο κατά Norton, το ρεύμα Norton θα δίνεται από τησχέση:

A190V33,1υ

i T A19,0

Ω7

33,

Ri

T

TN

Ισοδύναμο Κύκλωμα κατά Thevenin

TR

Ισοδύναμο Κύκλωμα κατά Norton

a

TN RR

19Φροντιστήρια ΙΙ

end

+–

a

bTυRL

a

b

RLNi

Πρόβλημα Πρόβλημα 3 (I)3 (I)

Στο δίθυρο δικτύωμα του σχήματος να υπολογιστούν οιπαράμετροι g22, z12 και h21. Δίδονται R1=2Ω, R2=3Ω, R3=5Ω,R4=2Ω, R5=5Ω και R6=2Ω. Η πηγή τάσης V είναι εξαρτημένη

ΠρόβλημαΠρόβλημα::

4 5 6

πηγή τάσης από το ρεύμα της θύρας 2 σύμφωνα με τη σχέση:V=RI2 όπου ο συντελεστής R=5Ω.

R4

Δίθυρο Δικτύωμα

0V2

222

1

I

Vg

20Φροντιστήρια ΙΙ

R1 V +−

R2 R3

R5 R6

Θύρα 1

Θύρα 2

0I2

112

1

I

Vz

0V1

221

2

I

Ih

11

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (II)(II)ΛύσηΛύση AA:: Για την εύρεση της g22 παραμέτρου βραχυκυκλώνουμε τους

ακροδέκτες της θύρας 1. Επίσης, εφαρμόζουμε μια πηγήρεύματος στη θύρα 2.

R4

0V2

222

1

I

Vg

+

Οι εν σειρά αντιστάσεις R1 και R2 είναι βραχυκυκλωμένεςκαι συνεπώς δεν συμμετέχουν στη διαπραγμάτευση τουνέου κυκλώματος που προέκυψε.

Παρόμοια ο ενσειρά συνδυασμόςτων V και R3 είναιβραχυκυκλωμένος

21Φροντιστήρια ΙΙ

R1 V +−

R2 R3

R5 R6

V2

Ι2

−

βραχυκυκλωμένοςκαι δεν συμμετέχειστη ζητούμενησχέση των V2 καιI2.

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (III)(III)Οι αντιστάσεις R4, R5 και R6 είναι παράλληλα συνδεδεμένες. Η συνολικήαντίσταση είναι:

Ω6

5R//R//RR 654tot

R4

+

6Η συνολική αντίσταση διαρρέεται από το ρεύμα Ι2 και σύμφωνα με τον Ν.Ohm θα ισχύει:

Ω6

5

I

VgRIV

2

222tot22

22Φροντιστήρια ΙΙ

R5 R6

V2

Ι2

−

12

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (IV)(IV)ΛύσηΛύση BB:: Για την εύρεση της z12 παραμέτρου ανοικτοκυκλώνουμε τους

ακροδέκτες της θύρας 1. Επίσης, εφαρμόζουμε μια πηγήρεύματος στη θύρα 2.

R4

Ζητάμε να συσχετίσουμε την V1 με το I2.Οι αντιστάσεις R1 και R2 είναι εν σειρά και αντικαθίστανταιαπό μία αντίσταση R12.

Επιπλέον, οιαντιστάσεις R5 και R6ί λλήλ

0I2

112

1

I

Vz

+

Ω5RRR 2112

23Φροντιστήρια ΙΙ

R1 V +−

R2 R3

R5 R6

είναι εν παραλλήλω καιαντικαθίστανται απόμία αντίσταση R56.

Ι2V1

− Ω7

10R//RR 6556

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (V)(V)Θα εφαρμόζουμε τη μέθοδο των κομβικών τάσεων.Υπάρχουν τέσσερις κόμβοι από τους οποίους ο ένας είναι ο κόμβοςαναφοράς. Ονοματίζουμε τις τάσεις στους υπόλοιπους τρεις κόμβους καιορίζουμε τις φορές των ρευμάτων.

Η τάση στον κόμβο 3 είναι εξαρτημένη μεταβλητή και η τιμή της είναι ίσημε V. Επίσης, η τάση στον κόμβο 1 είναι η τάση στη θύρα 1 (V1) και ητάση στον κόμβο 2 είναι η τάση στη θύρα 2 (V2) .

+

R4κόμβος 1 κόμβος 2

V2

24Φροντιστήρια ΙΙ

R12 V +−

R3

R56

Ι2V1

−κόμβος αναφοράς

κόμβος 3

13

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (V(VΙΙ))Ισχύει:

0R

V

R

VV

R

VV

12

1

3

1

4

12

κόμβος 1

111

32

41

1243 R

VV

R

1V

R

1

R

1

R

1

12

221 IV2

1V

10

9 1

2

+

R4κόμβος 1 κόμβος 2

V2

0R

V

R

VVI

56

2

4

122

κόμβος 2 21

42

564

IVR

1V

R

1

R

1

212 IV

2

1V

14

27

212 I2V5

9V

21 I34

V104

1

2

2

25Φροντιστήρια ΙΙ

R12 V +−

R3

R56

Ι2V1

−κόμβος αναφοράς

κόμβος 3

21735

Συνεπώς:

Ω63,1I

Vz

2

112

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (VII)(VII)ΛύσηΛύση ΓΓ:: Για την εύρεση της h21 παραμέτρου βραχυκυκλώνουμε τους

ακροδέκτες της θύρας 2. Επίσης, εφαρμόζουμε μια πηγήρεύματος στη θύρα 1.

R4

Οι εν παραλλήλω αντιστάσεις R5 και R6 είναιβραχυκυκλωμένες και συνεπώς δεν συμμετέχουν στηδιαπραγμάτευση του νέου κυκλώματος που προέκυψε.0V1

221

2

I

Ih

26Φροντιστήρια ΙΙ

R1 V +−

R2 R3

R5 R6

Ι2Ι1Ζητάμε να συσχετίσουμετο Ι1 με το I2.

14

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (VII(VIIΙΙ))Οι αντιστάσεις R1 και R2 είναι εν σειρά και αντικαθίστανται από μίααντίσταση R12.

Ω5RRR 2112 Θ φ όζ έθ δ β ώ ά

R4

Θα εφαρμόζουμε τη μέθοδο των κομβικών τάσεων.Υπάρχουν τρεις κόμβοι από τους οποίους ο ένας είναι ο κόμβοςαναφοράς. Η τάση στον κόμβο 2 είναι εξαρτημένη μεταβλητή και η τιμήτης είναι ίση με V. Ορίζουμε τις φορές των ρευμάτων.

κόμβος 1 V1

0VVVV

I 1111

KCL στον κόμβο 1:

27Φροντιστήρια ΙΙ

R12

V +−

R3

Ι2Ι1

κόμβος αναφοράς

κόμβος 2

RRR 41231

0IR

V

R

VI

R

RI 2

12

1

3

12

31

111123

1 I2

5VV

R

1

R

1I

Πρόβλημα 3Πρόβλημα 3 (I(IΧΧ))

Ισχύει ότι:4

5

I

IhI2I

2

5IRV

1

22121241 ⇒⇒

R4κόμβος 1 V1

28Φροντιστήρια ΙΙ

R12

V +−

R3

Ι2Ι1

κόμβος αναφοράς

κόμβος 2

end