TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN - TRẦN PHƯƠNG

8/9/2019 TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN - TRẦN PHƯƠNG

http://slidepdf.com/reader/full/tuyen-tap-cac-chuyen-de-ky-thuat-tinh-tich-phan-tran 1/434

TR N PHƯ Ơ NGã

TUYỂN TÂPCÁC CHUYÊN Đ Ề & KỲ THUẬ T ĨÍN

T Í C H P H Â

àfes.

50 chuyên flề, 50 kỹ thuệiỉ200 dạng bài ẳ 2Ũ09 bài toáDành cho:-Học sinh lớp 12 ẳ và sinh v-Giáo viên giảng dạyỉoán PTT-SV thi sau đại học và nghiê

-Cẩm nang tra CÚII cho c á c

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKE

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

ÁN

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

HƯ

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM



T U Y N T Ậ P C Á C C H U Y Ê N Đ

& K Ỹ T H U Ậ T TÍN H

TÍCH PHÂN


Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




TRẦN PHƯƠNG

T U Y N T Ậ P C Á C C H U Y Ê N Đ

& K Ỹ T H Ư Ậ T T ÍN H

TÍCH PHÂN

0Ầ m tễ

5 0 € ầ ẩ £ ụ ê M đ ề ỹ 5 0 3 C ậ i h u Ã t

2 0 0 < D 'ajn jạ , ấ à £ đ 2 0 0 0 ( B à i tõÚ M L

N H À X U Ấ T 1SẢ N 0 Ạ I I 1 Ọ C íịU Ố C G I A H À N Ộ I


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM



fỳ u<’ k JT j ữ j?íi Ỳ 5Í ' ế *** . Ẩ ( /Á c - ó ỉ

**! ^í~ -be íp&x-ỳ :ẽ >*ỹ jt-éỷ c4 c&ỷ - V? fci& cu íùlp 'fid ỷ U ~ "

ớ ổ t, C&&U ^4<ỹ ^*y ‘ e ~ a ' ^ (3 (J t -ểccij -

c ị lêCc ý tĩ* Yĩ t i 'tẹ ỹ A * / ■

" Hr ạ ừ . 05-


Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ù?~£Knỹ yJtieZ. ^ « » 1 'T/x' c*r ĩ^Áùẻđc ot*ữ *í ỉ*zcA,

/<Ả đÁ? r ẽ è / 7~»ẽ ịy >s~ r £ ic A.ỵ >Ăã&s’ " CẤ Ãrtxrỵ *

r~~J°??Tg "/leÁ ~ ãã?z Ẩ a£J s’ Cữ C~ "Ở ^c-Ậ l-Ị^ TĩrttTtýr p l‘rí-~) f* Ả f _ / / - SZ-) . / / . t f ‘ d v '< r , ' r £ Ỉ Zh

CJ./ỹS l\J ~ỉh&ìy* 'éì^ỵ ) “írờ ti. ù&jỳ ~p*3ĩy-> pTVtỷyS 4s2eẠ

'l2rSJĩ!ỷ~' / - ợ #ìS. Ấ ữ -C . /!-/jir&f ^ Gỹ T j *^

7rt<ữ ^ %,Â*T /j?&Tf>Ẵ & c ỳ ỉ é Ắ ô Aa- c**&£ i ĩ ỹ '£*"'

&*J & ỉ ĩX ^ S ^ <éth^ ỵ >Ắ é£k \

1—JL Jhvz* SiScJ ỉ<?t&£> h&u p &*zn , isẨ itớ Tĩp 'êỹ ì' /& ^

/~> V / ‘ }'jtẠ y& 'giAíẴ d. ù& ~fãc.'r ằ %r^ * z i &** 4 ệ / ~fc

}->->* 1/Í~: c ^ ỉ Ả Ẩ * í í ty/CzM. . 'ĩề >àr/~;£Ậ , iWT /c 4 ỉ

r -ã^, tr>ĩ£ /&<& ~l'Ẩ tié. tữ -iS^^ /x,ế jỷ ĩ2 Ỉ < ậ s r r J^

'- , VH&nẨ "{/**> £i£r> ỹ p&b, £<&*- /* £» '& z ỉ / ' ^ r

ỉ / f~ ỵ à ^ CU£&? Sa^Ế ỷ 3 ~& £a cẬ *<jỵ <ắ->- t £ / eJL~

T è / Vrí C aS ~ĨẨ -áỹ 7 ^ ) ? G & ' ù u a ^ỵ t

h&i. n Ấ * i ' ' ị^ằ / A ^ c / 0 / . ứ £ĩ> ầ ~ỉ> y ắ 6£~£

hữ xt. Si'riJf l)ẩ c- ^ / í ápg h ữ u yÃ ý?ằ<' /lữ r:

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




■LỜ I NÓI Đ Ẩ U

ỈP ấ ny , ẻ ỉọ Ám { fá i,f

co m ô ỉ ỉm n làw<Ỹ

Qề ế là m ỹ ỉ e m Ũ êẦ ÁÁãriỹ ?( JỀ ê ỹ ì ó c tứ m đ i.. .

- (ấ Ấ ỹ n Ẩ *ip<mỹ -

Trư ớ c hế t tác giả xin cả m ơ n các thầ y cô giáo và các em họ c sinh từ mọ i iề n đấ t nư ớ c đã gử i thư đóng góp ý kiế n về các cuố n sách đã đư ợ c xuấ t n. Do phả i hoạ t độ ng trên nhiề u lĩnh vự c khác nhau nên tác giả không có i gian viế t thư để trả lờ i cụ thể cho từ ng bạ n đọ c mà nhữ ng ý kiế n củ a các

n sẽ đư ợ c tác giả đúc rút kinh nghiệ m cho việ c xuấ t bả n các cuố n sách i. Quá trình xuấ t bả n sách củ a tác giả đư ợ c chia thành 2 giai đoạ n giố ng

hư sự chuyể n đổ i cơ chế tuyể n sinh Đạ i họ c củ a Bộ Giáo dụ c & Đào tạ o.

Giai đoạ n 1: Từ năm 1993 đế n năm 2002: Các cuổ n sách đư ợ c viế t theo

h đề ỉuyệ n thi Đạ i họ c. Tiêu biể u cho thờ i kỳ này là các cuố n sách:

1. Các phư ơ ng phap'va kỹ thuậ t chứ ng minh bấ t đẳ ng thứ c (1993).

2. Phư ơ ng pháp mớ i giả i đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c (1995).

3. Tuyể n tậ p các chuyên để ỉuyệ n thi Đạ i họ c môn Toán: Hàm sổ ' (2001).4. Tuyể n tậ p các chuyên đề luyệ n thi ĐH môn Toán: Hệ thứ c lư ợ ng giác (2001).

5. Tuyể n tậ p các chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán:: PT lư ợ ng giác (2002).

Giai đoạ n 2: Từ năm 2003 trở đi tác giả đã, đang và sẽ viế t các cuố n ch theo phong cách tổ ng kế t nhữ ng vấ n đề cơ bả n củ a Toán họ c sơ cấ p.

ác cuố n sách đã xuấ t bả n và dự kiế n đư ợ c xuấ t bẳ n trong thờ i gian tớ i ỉà:

ỉ . Sai lầ m thư ờ ng gặ p và các sáng tạ o khi giả i -toán (đã xuấ t bả n năm 2004)

2. Tuyể n tậ p các chuyên đề và kỹ thuậ t tính tích phân (xuấ t bả n nãm 2006)3. Tuyể n tậ p các chuyên đề và kỹ thuậ t chứ ng minh BĐT Đạ i số (2006)

4. Tuyể n tậ p các chuyên đề phư ơ ng pháp giả i PT và BPT Đạ i số (2007)

Trong giai đoạ n ỉ , tác giả đã nhậ n ỉờ i giúp đúng tên cho sự ra đờ i củ a

u n sách “Đ ạ i số sơ cấ p ” - mộ t tác phẩ m đầ u tay củ a tác giả Lê Hồ ng Đứ c rong cuố n sách này tác giả chỉ viế t 10 trang tóm tắ ỉĩi gồ m s vấ n đề sau

ây:

3

WWW.FACEBOOK.COM/DAYK

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




- Nhữ ng bài giãi ấ n tư ợ ng (trang 9, 10)

- Sừ dụ ng BĐT Côsi để GPT, GBPT (trang 623, 624

- S ừ dụ ng BĐT Bunhiacôpski để GPT, GBPT (trang 625, 626

- Sừ dụ ng BĐT Bernoulli đê GPT, GBPT - (trang 627, 628

- Sừ dụ nẹ Định lý Lagrange để GPT, GBPT (trang 629, 630

'Những vấn đề này sẽ được đề cập trong cuốn sách "Tiuyể n tậ p các

đề , p h ư ơ n g p há p g iả i P T và B P T Đ ạ i s ố ” - một cuốn sách rất chi tisộ với kh oảng 5000 b ài t oá n mà tác giả đã dành công sức v iết tronẸ

Tron g tay các bạn là cuốn sách đượ c viết trong giai đoạn 2. Có

đây là một cuố n sáe h đầy đủ và chi tiết nhất viết về tích p hân hàm

và được trình bày trên từng cm2 giấy. Nó vừa kế thừa những tinh hoa

bậc tiền bối vừ a đư ợc phát tr iển tiếp nổi, đặc biệt là sự sáng tạo "K

nh ả y tầ n g lầ u" tro ng biến đổi tích phân hàm phân th ứ c hữ u tỉ bậc ca

Phép tính tích phân bắt nguồn từ nhu cầu sáng tạo ra phương ph

quát để tim diện tích, thể tích và trọng tâm. Từ 200 năm trưóc côngArchimède (2 87-212) đã khởi nguồn cho sự ra đời của phép toán n

thế kỉ XV I-X V II nỏ đã được Cavalieri (1598-1647 ), Torricelli (1608

Fermat (16ÓI-1665), Pascal (1623-1662), phát triển một cách có hệ

Tiếp đó vào nhũ ng năm 70 cùa thế kỉ XVII. New ton (1 642 -17 27) và

( t 646-1716) đã thiết lập mối quan hệ giữa phép tính vi phân và tích p

Càng vói sự phát triển của ngành Vật lý, lý thuyết tích phân the

tổng quát và hiện đại đirợc phát triển theo 2 hình thái sau đây.

1 . Đ ộ đo các tập hợp: Đ ượ c xây dựng bởi Riemann (1826-1866 );(] 838-1922), Borel (1871 -1956), Lebesgue (1875-1941), Carathéọ dory (187

2. Tích phân các hàm số: Các nhà toán học Pascal, Fermat, Newton,

đã đặt nền mỏng tính tích phân cho các hàm số liên tục. Khái niệ

phân suy rộng đư ợc cá c nh à to án học Eule r (1707-1783), Cauchy

1857), Riemaim, Lebesgue, Radon (1887-1956), Frigyes Riese (1880

Marcel Ri.ese (1886- 1969 ) ph át minh và pliát triển tiếp nối.

Phép tính tícl’ phàn của một hàm số đặt ra 2 kiếu bài toán sau đây:

1. Kiểu 1: Xét tính khả tích của một hàm số ?2. Ki ểu 2: Tính giá trị tích phân nếu nó tồn tại

Phép tính tích phân được bắt đầu íiiói thiệu cho các học sinh lớp

đó đư ợc ph ổ biến tại tất cà các trườ ng Đ ại học cho khối sinh viên n

nhất, năm th ứ 2. Ph ép tính tích phân cũniĩ là một trong n hữ ng nội d

thi tuyền sinh đầu vào hệ thạc sĩ và nghiên cửu sinh.

4


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ở bậc phổ thông, tích phân xác định đư ợc định n ghĩa chì cho các h

liên tục. Vì thế mu ốn tính tích ph ân xác định thì phải tìm đư ợ c nguyê

rồi sử dụng công thức Newton-Leibniz. Cách làrrt này có thể đưa đế

nhận thức sai lầm là đồng nhất sự tồn tại cùa tích phân xác định và n

hàm. Ở bậc Đ ại học, chúng ta sẽ thấy: "Mộ t hàm s ố không liên tụ c

tích phân xác định trên mộ t khoả ng mà nó không cỏ nguyên hàm; honhữ ng hàm số có nguyên hàm mà không cỏ tích phân xác định".

Ngày nay phép tính tích phân chiếm một vị tr í' rất quan trọng trong Toá

nó vừa là đối tượng nghiên cứu cùa giải tích, vừa là công cụ nền tảng]ý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm

Ngoài ra phép tín h tích phân còn đư ợc ứng dụng rộng rãi trong X á c

T h ố n g k ê, V ậ t lý, C ơ h ọ c , T hiê n văn họ c, Y h ọ c , tro ng các ngành

nghiệp như Đ óng tàu, S ả n xu ẩ t Ôtô, M áy bay và ngành H ùng không vil

Cuốn sách này được viết theo quan điểm thiên về p h ư ơ n g phá p , k ỹ

nên sau phần mở đầu tóm tắt nguyên hàm, tích phân xác định, tác g

gộ p chung cả 2 loạ i bài tậ p nguyên hàm và tích phân xác định (đư ợ bằng công thứ c Newton-Leibniz). Sau đó các phần tích phân của các h

hữ u tỉ, lư ợng giác, vô tỉ đư ợc giới thiệu ph át triển theo h ình xoắn ốc

ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích, ... tác giả đã phân loại c

3 dạng hàm sổ: Dạng y = y(x); Dạng phư ơn g trình tham số; Dạng ptrình trong tọa độ cực. Tác giả cũng đưa vào tuyến tập này tích phâ

rộng; tích phân phụ thuộc tham số với những ví dụ và bài tập đặc sắc.

cuối cuốa/sách lả sự tổng kết chi tiết và hệ thống để tra cứu 134

Nguyên hàm thông dụng cho 8 loại hàm số sơ cấp với khoảng 1500 bà

Cuốn sách này là tấm lòng cùa tác giả dành cho các em học sinh, cá

cô giáo dạy Toán và Liên hiệp các hội Khoa học & Kỹ thuật Việt Nam

Nhẩn dịp này tác giả xin chân thành cám ơn G iáo s ư P h a n H u y K

Giám đốc Trun g tâm Đ ào tạo sau Đ ại học Viện Toán học Việt Nam đ

và viết lời tựa cho cuốn sách, xin cảm 011 N h à g iáo N g u y ễ n T h ư ợ

(Nguyen giáo viên Toán trường TỊiPT Hà Nội-Amsterdam) đã sử dụng tà

dưới dạng bản thảo của cuốn sách để giảng dạy và viết lời tựa. Tác ụiá

xin cảm 011 Nhà xuất bản Tri Thức đã giới thiệu cuốn sách đến với bạn


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




yâa tậ p cứ c chuyên đề và k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

MỤC LỤ C

Nội dung Trang

Những bài toán ấn tư ợ ng ............................................. ........................ í

ong ỉ CÁC KỸ THUẬ T TÍNH TÍCH PHÂN.............................................. 13

§ f . Nguyên hàm và Tích phân ................ ...... ............................................... 13

§2. Các bài toán sử dụng định nghĩa nguyên h à m ..................................... 19

!. Dạng 1: Chứ ng minh F(x) là một nguyên hàm của f (x ) ... 19

li. Dạn? 2: Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc..... ........... 24

ill Dane 3: Tìm giá trịtham số để F(x) là một nguyên hàm cùa f(x). 26

S3. Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc b iệt .......................................... 29

! ũạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương ................. 29

li. Dạng 2: Các dạng nguyên àhm đơn giàn chứa hàm ex ..... 32

§4. Tích phân đon giản ứng dụng írự c tiếp công th ứ c .......................... 35

§5. Tích phân các hàm số có mẫu số chứ a tam thứ c bậc 2 ................ 41

r dxi. Dang 1 : A = — 7 — -........ ................................................................. 41

J ax + b x + c

r (m x + n) . , .II. Dạn« 2: B = — ---- - ——— đx .......................................................... 43

Jax + bx + cr dx

Dạng 3: c = 1—7 = = = = = = = .............................................................. 49

V ax + bx + c^ r (mx + n)d x

IV. Dạng 4: D = j .. — ............................................................ 51Vax + bx 4- c

ĩ dx.V. D ạ n g 5 : E = U -------- = • .............................................. 53

(px + q)vax +bx + c

_ f ( ,Ĩ1X + n^dxVI. Dạng6: F = J - ------- - = r ............................................ 55


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Mụ c lụ c - Trầ n Phư ơ ng

X.r Pn (x)dx

Dang 10: J = j . , với degPn(x) = n > 2 ....................Vax2+ bx + c

65

XI. Dang 1ỉ: Các. phương pháp thế Euler .................................................. 69

§6. Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ................................................... 73

§7. Phư ong plỉáp Ôxtrôg ratxk i vói các hàm ph ân thức hữ u tí ........ 87

§8. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hãm. phân thức hữu tỉ............. 97

i. Dạng 1: Tách các mẫu sổ chứa các nhân từ đồng bậc....................... 97

II. Dane 2: Tách cốc mẫu số chứa các nhân tử không đồng bậc .......... 99

III. Dạng 3: Kĩ thuật nhày tầng lầu khi mẫu sổ là hàm đa thức bậc 4 ... 101

ỈV. Dạng 4: Kĩ thuật nhảy tầng lầu khi mẫu số là hàm đa thức bậc 3 ... 104

V. Dạng 5: Kĩ thuật nhảy tầng lầu khi mẫu.số là hàm đa thức bậc 6 ... 106

VI. Dạng 6: Sủ dụng khai triển Tayior....................................................... ]09u . Dạng 7: Kĩ thuật nhày tầng lầu khi mẫu số là hàm đa thức bậc cao 1 1 1

III. Dạng S: Kĩ thuật chồng nhị th ứ c .......................................................... 113

§9. 1J5

1. Dạnsí 1 : A ị! = |(sinx)” dx ; A 12 J (cosx)n d x ............................... 115

11 . Dane 2: B - Jsin'" X cos" xdx (m, n s N ) ........................................ 118

III. Dạng 3: C3, = j( tg x )n d x ;C 32 = j(cotg x)n dx( neN ) ................12 1

ỈV.c(tgx)” ' f(cotgx)m

.Dạng 4: D4 dx ;D 42 - Ị dx .......................(cos x) (,sin x) 124

V. Dạnií 5: Sử dụna công thức biến đổi ’ách thành tổn g ........................ 127

10 . Các phép đỗi biến số CO' băn tích phâu hàm !u'Ọ 'ng giác ................. 129

]. D ạ n s 1: Đ ổ i b iế n số t ổ n g q uá t............................................................................ 12 9

2. Dạ n g 2: r ( - s ì i i x ,c o s x ) = -R(sinx.cosx)............................................................... 13 0

3. Dạ ng 3: R (sill X, -COS x) = -R (sill X,COSx) ........................................... . 13 2

4. D ạ n s 4 : R ( - sill X, - COSx) = R (sin X, COSx ) ..................................................... • 132

11. Piến đỗi và đỗi biến nâng cao tích phân hàm số lượng giác ............. 133

I. Dang 1: Mau số là biểu thức thuần nhất của Sin ............................... 133

11. Dang 2: Mầu số là biểu thức thuần nhất cùa Cosin ................................ 136

III. Dạng 3: Mau s ố là biểu thức đẳng cấp bậc 2 của Sin, Cosin ............ 139

IV. Dang 4: Mau số là biểu thức đẳng cấp bâc nhất của Sin, Cosin ....... 141

V. 143


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




Tuyể n tậ p các chuyên đề và k ĩ thuậ t tỉnh tích phân — Trầ n Phư ơ ng

rasinx + bcosx .VI. Dạng 6: F= --------- ------------đx ....................... .................. ...........

Jmsinx + ncosx

_ _ _ asinx + bcosx + cVII. Dạng 7: G = I------------------------- — d x ..............................................

J m si n X + n COS X + p

~ r as inx + bcosxVIII. Dạng 8: H = J ------------------------------------------------------ d x ........

(m sin X + n COS x)

TV « T r a ( s i n x ) 2 + b s i n x c o s x + c ( c o s x ) 2 ,Ì*- Dạ ng 9: 1= ---------------- — —--------------- dx ....................

J m sinx + nco sx

„ , r msinx + ncosx , X. Dạng lô : J = I----------- J — — -— -------------------------------------------

a ( s in x ) +2 b s in x c o s x + c ( c o sx )

XI. Dạng 11: Các phé p đôi biến sô tổn g hợp ........................... .......

§12. Phưcrag pháp Iu'Ọ'ng giác hóa tích phân hàm vô t ỉ......... ................

1. Dạng 1: J f (x ,V a2 - X 2 ) d x ..................................... ...... .....................

2 . Dạng 2 :Jf (x .Vx2 - a 2 ) d x ............... ....................................................

3. Dạ ng 3: Jf (x,Vx2 +a2 )d x .................................. ..........................

4. Dạ ng 4: J f Ị ^ x ,^ ĩ^ jd x ..............................................................

5. Dạng 5: | f ( x ,V ( x - a ) ( b - x ) ) d x ...........................................................

313. Tích ph ân hàm vô tỉ ............. .............................. .................................

1. Dạng 1: I = J x m(a + bxn ) dx vớim, n, p eQ ....................................

2 . Dạng 2 : 1= j l l ( x , x r'A\ . . . !x rj/qj )d x ...................................................

.......................

§14. Tích phâ n hàm số chứ a dấu giá trị tuyệt đ ổ i ...................................

§15. Tích phân các hàm Hypebolic ..............................................................

§16. Phư ong pháp tích phân từn g phần ................. ..................................

1 . Dạng 1: Jp (x ){ si n (a x + b) ;cos (a x + b) ;eax+b;m ax+b}dx ..............

2. Dạ ng 2: Jp(x)Ịancsinu;arccosu;arctgu;arccotgu;lnu;logmuịu = ax+bỊ

3- Dạng 3: Tích phân từng phần luân h ồ i ... ............................................

\ 4. Dạng 4: Các bài toán tổng hợ p ........................................; ....... ............

8


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




M ụ c lụ c — Trầ n Ph

§17. Phư ơ ng pháp hệ số bấ t định củ a tích 2 loạ i hàm sổ .........................

I. Dạ ng 1: I= |p ( x ) sin(ax + b)dx;J= jp (x )COS(ax + b)dx ........

II. Dạng 2 : 1 —j" p( x) eax+b dx; J = J p ( x ) r a ax+b d x ...............................

III. Dạ ng 3:1= Jeax+b sin (ax + p)dx; J = j"eax+b COS(ax + p)dx .......

§18. Tích phân tr ụy h ồ i ..................................................................................

§19. Kỹ thuậ t sử d ụ ng sé phứ c trong tích ph ân ...........................................

§20. Tính tích phân xác định bằ ng định nghĩa ............................................

1 . Dạng 1: Sừ dụng định nghĩa tính tích phân xác định ............. ...................

2. Dạng 2: Xét tính khả tích cùa hàm số .........................................................

§21. Các dạng đặc biệt của tích phân xác đ ịn h ............ .............................

I. Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn, hàm lẻ..................

II. Dạng 2: Hàm số dưói dấu tích phân là thựơng cùa hàm chẵn và hàm mũ

III. Dạng 3: Tính bất biến cùa tích phân khi biến số thay dổi cận cho nhau

IV. Dạng 4: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm tuần hoàn ......................

V. Dạng 4: Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng ..

VI. Dạng 6 : Tích phận cùa các hàm số đối xứng nhau .............................

VII. Dạng 7: Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích ph ân ......................

VIII. Dạng 8: Khử đạo hàm bậc 2 của hàm số đặc biệt ...............................

IX. Dạng 9: Tích phân cùa cảc hàm số đặc biệt k h ác ...............................

§22. Phư ong tr ìn h chứa tích phân ............................................................

§23. Tìm giới hạn của tích p h â n ........... ......................................................... t

1. Dạng 1: lim íf (x )d x .......................................................................... t—»co J

0b

II. Dạng2: lim if (x ,n )đ x, Vn e N .......................................................... n-»00 J

a


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Tuyế n tậ p các chuyên đề và k ĩ thuậ t tinli tích phân — Trầ n Phư ơ ng

§27. D i ệ n t íc h h ìn h p h ẳ n g ............................................................................................. 3 J

!. Diện tích hinh phẳng xác định bời đường cong y = f(x) ....................... 3

II. Diện tích hình phang của đường có phương trình tham s ố ................... 33

ill. Diện tích hình phẳng của đường cong trong tọa độ Cực........... ............ 33§28. Thể tích kliối tròn xoay ......................................................................... 34

§29. Tính thể tích theo íhiết diện thẳng ........................................ .............. 35

§30. Đ ộ dài đivòng cong p h ẳn g ........................................................... .......... 36

1. Dạng 1: Eộ dài của đường cong có phương trình y = f(x) ............ . 36

2 . Dạng 2: Đ ộ dài của đường cong có phương trình tham s ố ............. . 363. Dạne 3: Đ ộ dài của đường cong trong hệ tọa độ cự c ....... ....... ........ 36

§31. Diện tích mặt tròn x o a y ........................................................................ 37

1. Dạng 1: Diện tích mặt tròn xoay của đường còng y =f(x) .............. 372. Dạng 2: Diện tích mặt tròn xoay của đường cong có phương trinh tham số 37

3. Dạng 3: Diện tích mặt tròn xoay cùa đường cong tronghệ tọa độ cực 38

§32. Tính gần núng tích phân xác định ................. ....................................... 38

Cluỉcmg III: BẤ T Đ Ẳ NG TH Ứ C TÍCH PH ÂN ....... .............................................. 39

§33. Đ ánh giá theo hàm số và cận tícli p h â n .................... .............. ........... 39

§34. Bấ t đẳng thúc cỗ điển tích phân và ứng dụng .................................. 41


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

100

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Nhữ itg bài toán ấ n tư ợ ng - Trầ n Phư ơ ng

N H Ữ N G B À I T O Á N Ấ N T Ư Ợ N G

Nhữ ng bài toán dư ói đây được trích từ ỉcĩthu ật nhảy tầng lầu của tích phân.

Kĩ thuật này íà tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất

lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn đượ c mô tả theo sơ đồ: .

(• dx _ 1 f x » + a - - 2b

Mật số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên

gọi kí thuật "n hả y tầ n g l ầ u " chí là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài

nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật

chọn hàm u(x). Ví dụ về nguy ên tắc chún g tá có thể tính — bằng

phư ơng ph áp hệ số bất định có lờ i giải khoảng 2 trang giấ y , nhưng nếu giải nó

bởi 5 biển đổi dấu bằng.vớ i khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác...

ru{ x) + b ^ rw u

■* x n + a

u { x ) - b

X +a

VD 1 : I, - f - Ề L ^ L ị U + Ù - U - Ù ^ ỉ ị ị ị i ± 4 x - i ị = ± d x ) > x4 + l 2 * x 4 + l 2 \ 1 X + 1 i x 4 + l ỉ

V +J? f I - “ T

X + - ý X +V x x:

\

1 f dH ) r d(x+i)2

) (»i]f

•1 1

V2 arCtgXxV2 2 J 2ln

iyỊ Ĩ + \+ c

x‘ + XyỊ Ĩ + 1 J

VD 2: / , = f - f c . - = ệ ______ -= f __________ J x s -J h x - M x 2 + X + ]) J (j£- / ) ' [ (* - / )* + i U - j ,) + 3]

dt __ _ r ( t2 + 3 t + 3 ) - ( t 2 +3t) , 1 / fdt_ r_(t + 3)d t

■ _ 3 ự t ->t2t( t2 +3t + 3) t (t2 + 3t + 3)

1 / fdt 1 f(2t+3)dt 3 r dt

+ 3t + 3

_ u fd t_2 r(2t+3)dt 3 f

“ s ự t 2 J t2 +3t+3 2 ^t2 +3t+3.

i 1f rdt 1 fd(t2+3t+3) 3 r dt 'I

3 ■ >t 2 J t2+3t+3 2-1 / 3Ì2 3V ( 2) 4J

-Illt + 3 t4"3

+ c = - l nÓ

-2x + l

X + X + 1 2sj3 — -T=arctg:

2x + l

s • + c

11


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Tuyể n tậ p các chuyên đề và k ĩ thuậ t tinh tích phân — Trầ n Phư ơ ng

VD 3: / = f- j £ — f _____ - g ______ = f __________ U + / ) :J x j + i K x + ù i x 2 - x + i ) J Gt+ ;)[ (* + 7)2 - 3 U + /)+

r d t _ 1 f( t 2 —3t + 3 ) —( t2 - 3 t ) ^t _ ì í r d t _ r ( t - 3 ) d t ^

- M t 2 - 3 t + 3 ) ~ 3 ■> t ( t 2 - 3 t + 3> • ~ 3 V■* t J t 2 —3t + 3 J

ư rdt_ I |<2t-3)dt 3 f dt Ỵ \ ị fdt_Ị_ rd(t2-3t+3) 3 f ___đt3 U t 2->t 2' - 3 t + 3 + 2 J t 2 - 3 t + 3 j 3 J t 2 ■> t2 - 3 t +3 + 2 - > Ị_ 3 j :

_ 1 f 1 t2 / r ^ 2 t - s ) 1 , X2 + 2 x + 1 1 2x= - —In —— ------+ V3arctg-— — + c = —In —-— ------- e —-= arctg—

1 _ 2x -

+ử “ g V3

1 ( 1 , X2 - 2 x + l 1 _ 2x +1 f l , x 2 + 2 x + 1 1 . _ 2 x -= — —ln ———-------- -prarctg - =! - —ln —-— :---- + - 7=-arctg - —

2 1_ 6x2 + x + l 2v/3 y ị ỉ J ( 6 x 2 - x + l 2V3 s

_ ] . . (x 2 - 2 x + i) ( x 2 - x + i) 1 ( 2x + l 2x - Ịì

n - ĩ M " 8 J3 r. _ Ị d x 1 Ẵ x4 + ỉ ) - { x 4T'ì) , _ ỉ Ả x 4~ x 2 + j )+ x 2 - ( x 2+ j )( x2 - j )

VD 5: :■ h u i ‘- 2 ĩ ( J +m 7 - s ? ũ

. . . f l - J J Wf dx f x 2dx f ( x 2 - l ) d x 1 r dx 1 r d ( x ’ ) Ị ( ' X3y d

J x 2 + 1 1 J x 6 +1 J.XJ - X 2 +1J 2 J * > + 1 3 J x ‘ + 1

arctgx +arctgíx3)

M ỉK ) _3arctgx+arctg(x3) 1

6x 2- x V3+

( x , i ) A S )

_ f Ox . _ rjcosxdx _ f d(sinx) _ f dKsinx)

COS ' x~" COS4 X ~ >(j _ sin 2 x y ~ [ ( / + s in *) ( / _ s in x)]

x 2+ x >/3

d (sin x)

_ 1 | f (1 + sin x ) + (1 -/sin x)

- 4 j|_ (1 + s i ll x ) ( l - s i n x )d ( s i n x ) = i j f >

4 J u - s i- + ■

1

1 if k £ 1 24 LO -sinx)2 ,(l+ sin x) 2 l-s in 2x

s i n x 1 + s i n x y

d(sinx) = _ ^ + i ln 2 cos X 2

-1 d(sid(sin x

1+ sin 1- sin


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




§1. Nguyên hàm và tích phân — Trầ n Ph

CHƯƠNG !: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN

§ 1. NG UYÊ N HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÁT ĐỊNH

1. Đ ịnh ngh ĩa:

• Giả sử V = fix) liên U‘C trên kh oảng (a, b), khi đó hàm số y = F(x) là

nguyên hàm cùa hàm số =f(x) khi và chi khi F'(x) =f{x), Vxe(a, b).

• Nếu y = F(x) là một nguyên hàm của hàm số y =J{x) thì tập hợp tất c

nguyên hàm của hàm số y =J (x) là tập hợp I =1 F ( x ) + C I c e /? j và tập

này còn đư ợ c kí hiệ u dư ớ i dấ u tích phân bấ t định / = ị f( x )c ìx = F( x)

2. Vi phân:

2.1 Giả sử 7 = f(x) xác định trên khoả ng (a, b) và có đạ o hàm tạ i điể m xe(aCho .Xmột số gia ầ x sao cho (x + Ax) 6 (a,b), khi đó ta có:

, , \ d y - y ' ( x ) A x• Công thúc vi phân theo sô gia: \ ' .

i [df { x ) = f { x ) b x

• Công thức biến đổi vi phân:

Chọ n hàm so y = -V=> dy = dx = x \A x = Ax dx = Ax.

• Nếu hàm số/(x) có vi phân tại điểm X thì ta nói f ( x ) khả vi tại điểm X.

Do d f ( x ) = f i x ) ầ x nên j {x) khả vi tại điểm X <=>./(*) cỏ đạo hàm tại điể

dy = y ' (x )d x

d f { x ) = f ' ( x ) c i x


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




CkirỠ Mĩ 1; Các kĩ'thuậ t-tịnh tích phân: — Trầ n p/titơ ttg

3. Qu^n-;hậ ,gii«|..^p..hàm. - nguỵ ên hàm và vi phậ n:

ị f [ x ) d x = F [ x ) + c<^>F'{x) = f { x ) o d F { x ) = f ị x ) d x

4. Cắ c t ính ch ất 'cua nguy ên hà m và- t ích p hâ n

4.1. Neu /(x) là hàm số có nguyên hàm .-thì..,. ,

( Ịf ( x ) d x j = f ( x ) ; d ịỊf ( x ) c ừ j = f ( x ) t ừ

4 .2 . Nêu F(x) có đạo hàm thi:

4.3. Phép cộng: Nẹiì/(A:) và.g(x) cp nguyên hàm thì:

ị [ f { x ) + g { x ) ] đ x = ị f { x ) d x + ị g { x ) d x

4.4 . Phép trừ: Nế u/[x) và g(x) có nguyên hàm thì:

\ [ f { x ) - s ị x ) ] d x = ị f ( x ) d x - ị g ( x ) d x

4.5. Phép nhâ n với m ột hằrsg sõ thự c khác 0:

ị k f ị x )dx = k ị f (;t)dx , Vk 0

4.6. công thứ c đổi biến số: Cho =_/(u) và u = g(x).

Nế u |/(x )tủ : = F (x) + c thì ị f (^g{xỹ ^g'{x )dx= ị f { ù )d u = F ị u)+ c

5. Nhậ n xét: Nế u ị f (x )dx- =F( x) + c vớ i F(x) là hàm sơ cấ p thỉ ta nói tí

phân bấ t định ị f. {x)iìx ibiể udiễ ivđư ợ c dư ớ i dạ ng hữ u hạ n. Ta eó nhậ n xét

Nế u mộ t tích..phân, bấ t định biể u (diẹ n đự ợ c dư ớ i dạ ng.hữ u hạ n thì hàm

dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là c


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§1 . Ngụ yên hàmv àt i ẹ h phậ n - Trậ n Phự ợ ng

TÍCH PHÂN XÁC Đ ỊNH

Đ ịnh ng hĩa:

iả sử hàm số /(x ) xác định,và bị chặ n trên đọ ạ n [<3, ổ ]. Xét mộ t phân hoạ ch

bấ t kì củ a đóạ n [ứ , b], tứ c ỉẩ chia đoạ n [á, b\ thánh 'ri phầ n túy ỷ bở i cẩ cểm chịa; a = x0 <X/ < ...<xn_j <xn =b . Trên mỗi đoạn \ x k_!,% ] .lấy bất kì

ểm Ị ,k e , xk ] và gọi At = xk - xk,ị là độ dài của \ xk_ị ,xk]. Khi đó:

/ ( 4 ) 4 = /(< ? ,)4 ■ + /(& ) 4? + - + / ( 4 ) 4 gọ i là tổ ng tích phân củ a

àm f {x) trên đoạn [a, 6], Tổn g tích phâ n này phụ th uộc vào phâ n ho ạch 71,

khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm ệit-

ếu tồn tại l im (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là

ch phân xác định của ham s ố j f (x) t íêniđoạh [a, ồ] vằ kí hiệu ' í á : <&a

hi đó hàm số y = f ix) được goi Ịà khả tích trên đoạn [a, ồ]

Điề u kiệ n khả tích:

ác hàm liên tụ c trên [a, ỏ ], các hàm bị chặ n có hữ u hạ n điể m gián đoạ n

ên [ứ, £] và các hằ m đơ n điệ u bị chặ n trên [a, ồ ] đề u khả tích trên-[ứ , ồ ]. <

Ý n gh ĩa h ình học:b

ếu /ộ c) > 0 trền đoặn [a, b] thi ị f { x ) d x tà diềh tích của hìhh tháhg èohga

ới hạn bởi các đường: y =f( x) , X = a, X = b, y ~ : • ' - V . -


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

4. Các định lý, t ính ch ất và công thứ c của t ích ph ân xác định :

4 . 1 . Đ ịnh lý 1: Neu /(a:)liên tụctrên đoạn [a, b} thì nó khả tích trên đo

4 .2 . Đ ịnh lý 2 : Nếu J( x) , g( x) liêntục trên đoạn [a, b] vàj(x)<g(x) ,Vxe

b 6thì ị f ( x ) dx < Jg(x)í/.v. Dấu bằng xảy ra <=> J{x) = ơ(x), Vxe [a, b~\ a a

4.3. Công thứ c New ton * Leipnitz:

b

Nếu ị f [ x ) d x = F (-v) + c thi J /( jr )í f e = JF.(j:)|6 = F { b ) - F ị a )

<1

h b b4.4. Phép cộ ng: Ị [/('V) + £ (x)]<ừ = ị f ị x )c ìx + ị g (x )dx

a a a

b b ò

4.5 . Phép trừ : J [ / ( * ) - g(.v)]rfv = j' f ( x ) d x - J g ( x ) íử fì a a

b b

4.6 . Phép nhân vởi mộ t hằng sô' khác 0 : ị k f (,v)ứừ = k ị f { x ) d x , Vk

a a

b .a a

4.7. Công thứ c đả o cậ n tích phân: ị f { x ) d x - = ^ ị f ị x )d x ; ị f { x ) d x

a b a

h c b

4.8. Công thứ c táchcậ n tích phân: ị f { x ) d x = ị f [ x ) d x + ị f ( x ) d x

a a c

4.9. Công thứ c đổ i biế n số :

Clro y = f(x) liên tụ c trên đoạ n [ứ , ỏ ] và hàm X = (p(t) khả vi, liên

đoạn [/;/, M] và Min ọ ( í ) = a; Max ọ ( í ) = b ; <p (m) -a;<p (M) = bíe[/«. /Ị te[i»M]

b M

Khi dó ta CÓ: J' f ( x )dx= ị f [ (p ( t ) \<p’ ( t )d t iĩ m

4.10. Công thứ c tích phân t ừ ng phầ n:

Giả sử hàm số It(x), v(x) khà vi, liên tụ c trên [a, ỗ ], khi đó:

b b

jĩ i (.v) v'(x)dx = 1 1 (x) VCr)|* - Jv(*) ù (x )dxlí a


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§7. Nguyên hàm yặ tích phân - Trầ n P

ill. BẢ NG CÕNG THỨ C NGUYÊN HÀM MỞ RỘ NG

(«+4)“a =ÌÍSí ỊTa Va +1 )

+ c , a ^ - l co s(a x + b) dx = —sin (a x + b) +a

ax + b asin ( ơ x + b ) d x = — cos (ax + b)

a

eax+b dx = - e m+b + c tg ia x + b) dx = ~ —ỉn \cos{ax + /

m r* b dx = — Ị— may+b +c

a ỉ n n i

cotg (ax + b) dx = — /77 |jw? (ax + b

dx 1 X ~ - T = - a r c t g - + c

a + x Cl a s in2----- ^ = — c ot g( ax + b)

{ax + b) a

dx 1 ,r - = — ln

a - X 2a J

CI + X

a - X + c = — tg ( a x + b) + c

COS1 (ax + b) a

dx

\lx2 + a2-— - = In (x + yjx2 + a2 ) + ( ar cs in— dx = X arcxin — 4- yjir - X

dx . X . - = arcs in r -7 + c

4 0 ^ ? wY ^ r~

a r c c o s — d x = X a r c c o s — — Va 2 -

dx 1: —arccos

C-Jx2 - a2 , a+ c X , X a , ( 2

arc tg—ax = X arctg —- — l n \ a +a a 2

a + y j x 2 + a 2+ c

X , Jt fl , / 1arccotg—ax=xarccotg— H— Ini cr +

a a 2

In i c ix + b ) d x = f X + —i/w (ax + b ) - X + cK a )

dx 1- — In

s i n ( a x + b ) atg-

a x + b+ c


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ỉ: Các k ĩ thuậ t tinh tích phân Trân Phư ơ ng

V. NHỮNG CHÚ Ý KHI s ử DỤ NG CÔNG THỨ C KHÔNG GỚTRO NG S G K 1

Các công thứ c có mặ t trong Iỉ. mà không có trong SGK. 12 khi sử dụ ng

hime m i n h lại bằng cách t r ình bày dư ớ i dạng bổ đề. c ổ nhiều cấch c

minh bổ đề như ng.cách đơ n giả n nhấ t là chứ ng minh bằ ng cách ỉấ y đạ o

i. ví d u 1 : Chứng minh: í ^ - = — lnJ X - a 2a

. . f dx 1 if 1Ch ứ ng m inh : Ị— ----- —= — I ------------

X —

a2a

J v x - a X r a ; z,dLV'A—a - A - r ay

| í - ! _ + - L A ) x = - Ư f - Í L - r ẩ í i ^ ẩ L J _ l „- x j '2a VJ a + X J a - X ) 2a

x - a

x + a

dx-in

dx = I f f £ * 0 = 1 .2a l J x - a J x+ a J 2a

a,+ x

a - x+

lnx - a

1 if 1

I.2a J\ a + x a

x+a

a + X

a - X

2 . ví dụ 2 : Chứng minh rằng: J--jp==L = = ln (x + Vx2 + a2 )V ? + a"

+ c

Chứng minh: . , , i , ( I 2 . '2 ì T l + Ụ x 7 + a2 )Lây đạo hàm ta c ó : I J n ^ x + v x + a J + CJ = ----------- , = r

X + Vx2 + a? .

1 + -

1 x + a / x 2 + a 2 _

■ Vx2 + a2 ■ \ /x 2 + a 2 ' /X -T- VX + 3 ”. ^ vX +

. Ví dụ 3 : Chứ ng minh r

+ a J X + Vx + a" ■ v x ' + a '

' __ r dx 1 . ,. ■, _ Xrang: - = - u + c (vớ i t g ù = — )

J a2 + X2 a a

, X . / - 7t \ _ r dx f d ( a t g ' u ) 1 .rĐăt tgu = —, u e => , - = -r-p— —r = — fdii = —u + c

a I 2 21. -*a + x ■ a (l + tg u) a ■ à

4 . ví dụ 4: Chứng mirih rằrig: f ~ ' - i ^ = r:= u + c (với sin u = —, a > 0)• J / 2 2 a

v a - X

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§2. Các bài toáỉt sử dụ ng định nghĩa ngụ yên. hàM - Trầ n Phư ư ttg

§2 . CÁC BÀI TOÁN SỬ D Ụ NG ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM

I. DẠNG 1: Chứng minh F(x) là một nguyên hạm của f{x) trên D c R

Bài 1. Kiểm tra F(x) có phải là nguyê n hàm của f(x) hay không

a. F ( x ) = I n ( l n ( ! n x ) ) ; f ( x ) = —- — 1 - ■x.lnx.lnUnx;

b. F (x ) = In (in (sin x ) ) ; f ( x ) = x '•ln(sinx)

Giãi

a. F ' ( x ) = [ i n ( i n ( i n x ) ) ] = — Y •[ in ( in x )] •= “ V-1- • • ——( in x ) ' ■ ; ! :■ln( lnx) ln( lnx) lnx

= 1 = f (x ) - ' ;In (In x) 11 1 X X X. In X. In (.In x)

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x)

b . S a i lầ m th ư ờ n g gă p : F ' (x ) = [ ln ( ln ( s inx) ) ] = ——-— -- [ in ( s inx) ]■ - ■ ; . In (sin x)

_ 1 (sinx) _ cosx _ cotgx )

ln(s inx) s inx s inxln (s inx) In(sinx)

N guyên nhân sa i lầ m : ln (s in x )< ln l = 0 => không tồn tại In(ln(sin x))

Vậ y F(x) không tồ n tạ i nên không thể là nguyên hàm cùa f(x) , , : '

Bài'2. Kiể m tra F(x) có phả i là nguyên hàm củ a f(x) hay không ;


WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAH

B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N


ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú





§2. Các bài toán sử dụ ng định nghĩa nguyên hàm —Trầ n Ph

r 'í 'I 31 í rr~, T'i 8x4 -3 a 4 3a2 -6 x 2 I >." 2 3a2x2 -2F (x) = x‘ lnU + VX +a j + — = = + ------------ %/x" +a- + - -r=___32 -v/x2 + a 2 3 2 3 2 > /x 2 +

3 , ( n 8x4 -3 a 4 +(3a2 -6 x 2)(x2 +a2) + 3a2x2 -2 x 4 w= X I n U + Vx + a ; + --------------------------------7= -------------------------- = f (

32 Vx2 + a2

Vậ y F(x) là mộ t nguyên hàm củ a f(x)

Bài 3. Cho 2 hàm số F(x) =

2 X2 r .^ • l n x - — ;V x>0 , % íx ln x ;V x > 02 4 ; f (x ) =

• « 0 ;x = 00 ;x = 0 L

Chứ ng minh rằng: Hàm số F(x) là một nguyên hà m của f(x)Giả i

Bư ớ c 1: Chứ ng minh F'(x) = f(x), Vx > 0

í 2 2 Y Thât vây Vx > ,0 ta có: F' (x) = — inX ——

. V2 ■ 4 J

<=>F'(x) = f(x), Vx > 0 (1).

Bư ớ c 2: Chứ ng minh F' ( o + ) = f ( o ) = 0

= X In X + —— — = x l n x = f2 x 4

F ( x)-F ( 0): l f x 2— InX - —-2 4

Ta có: F'(o+) = l im --------------------..... — 0* X — 0 ! X-ÍO* X

= — lim (x in x) - lim — = — lim (x In x) = — lim f (x )2 x-»0+ , x->0* 4 : 2 x->0+ 2 x-»0+

Do X -> 0+ nên vớ i 0 < X < e ta cp: 0 < |x In x| = X |ln xl < X |ln el = X

Mặ tkhác limx = 0=> lim |xlnx| = 0=> lim (x lnx) = O=3-F'(0+) = 0 = f(0) x-»0+ x-*0+ x-»0+

Kế t luậ n: Từ (1) và (2) suy ra: F'(x) = f(x), Vx > 0

1


N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch li ons /■• Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phiíờ ng

S ư ớ c 1: Chứ ng minh F'(x) = f(x), Vx 5*0

Vx * 0 t a c ó : F'(x) = Ị x2sin^Ị = 2 x s i n — + X2 COS— • = f (x)

Bư ớ c 2: Chứ ng minh F'(0) = f(0) = 0

r • F ( x ) - F ( 0 ) _ , . ( . 1 I n . .la có: F (0)= lim—7------- ----- = lim Ịx s in — |. Do 0<

X—>0 X — 0 x->0

. 1 1 1 . 1xsin — = |x| sin —

X X<|

và 1im |x| =: 0 nên lim\->0 x->0

. 1xsin —

X

=> lim í X sin - I = 0 => F'(0) = f(0) = 0 x->0 V x j

KẾ t lu ậ n : F'(x) = f(x), VxeR

Bài 5. Cho F(x) = |xi - l n ( l + Ịx|) và f (x) =1 + X

Chứ ng minh rằ ng: Hàm số F(x) Ịà mộ t nguyên hàm củ a f(x) ừ ên JR.

G iả i

Bư ớ c 1: Phá dấ u trị tuyệ t đố i củ a F(x), f(x) trên R •

í X - ln (l + x);Vx >0

Ta có: F(x) = 0 ;x = 0 ; f(x ) =

- X - ln(l -x ); Vx <0

— ; Vx >0 1+ X

0 ;x = 0

1 - x

Bư ớ c 2: Chứ ng minh F'(x) = f(x), Vx > 0

Vx > 0 ta có F'(x) = [x - ln(l + x)] =1 ------ = —- — = f (x) (1)1 + X 1 + X

Sivử c 3: Chứ ng minh F'(x) = f(x), Vx < 0


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§2. Các bài toán sử dụ ng định nghĩa nguyên hàm - Trầ n Phư ffi.b

limx-»cr

'(0')= . = lix-»0‘ X —0 x-*0~ X * -

o F ' ( o + ) = F ' ( o ~ ) = Ó nên F ' ( 0 ) = 0 = f C o ) ( 3 )

t luậ n: Từ (1), (2) vá (3) súy ra F(x) = f(x), VxeR

l n ( l - x )= 0

ài 6. Cho F(x) =; Vx < 0

; f (x) = -

COSxesinx;Vx <0

1 y/ĩ

Vx >0[2V1 + X -l; V x > 0

Chứ ng minh rằ ng: F(x) là mộ t nguyên hàm củ a f(x)

Giãi

ớ c 1: Chứ ng minh ÍF'(x) = f(x), Vx < ò

Vx < 0 ta có: F '( x ) = (esinx) = e sinx,co sx = f ( x ) (1)

ớ c 2: Chứ ng minh F'(x) = f(x), Vx > 0

V x > 0 t a c ó : F ' ( x ) = (2a/ ĨT 7 - i / = - p J = = f (x ) (2)VI + X

ớ c 3: Chứ ng minh F'(0) = f(0) =1

r ( Q . ) = lim Ị in, :2 ( V Ũ Ĩ - I ) = „ 2*

x-»0 X - 0 x->0 X x->0 x ( v T + X + l)

•X-+0- x - 0 x->cr X x->ò" s i n x X

Do F' ( o + ) = F' ( o ~ ) = 1 nên F'(0) = l = f(0) (3)

t luậ n: F'(x) = f(x), VxeR

e ;Vx <0

nh luân: Nếu sửa 1 chút: F ( x ) = -Ị ; f ( x ) ={2sjl + x; Vx > 0

COSxesinx; Vx <0

V; Vx >0

+ X

x < 0: F '(x )= (e sinx) = esi" \c o sx = f (x ); Vx > 0: F'(x)=(2Vl +x) =- j=L==f(x) ;...... \/l - X

F' ( o + ) = F' (cr ) = 1 => F' (o) = 1= f ( o ) như ng F(x) không phải là nguyên hàm

Ìa f(x) trên R. Giả i thích,đư ợ c điề u này’bạ n sẽ nhậ n đư ợ c lờ i khen củ a tác giả .

23



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân — Trầ n Phư ơ ng

II. DẠ NG 2: Xác định nguyên hàm củ a mộ t hàm số vớ i điề u kiệ n ràng b

Bài 1. Cho f( x ) = x3 + x 2 sinx + 2xco sx và g (x) = x2 cosx

Tìm hệ thứ c giữ a f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) củ a g(x) bi

Giả i

Ta có: f'(x ) = 3x2+ 2xsinx + X2cosx + 2co sx -2xsinx = 3x2 +2cosx

|G(x).= f (x )-2 sin x -X 3 +cg(x) = f '(x )-2 co sx -3 x 2=><

f(7i) = f (t ) —2sin 7t —7t3=0

Í

G(x)=(x2-2)sinx+2\cosx+c=> c = 2ít

G(ti) = -27i +c = 0=> 3t => G (x) = G (x) = (x 2 - 2 ) sin X + 2x COS X+ 2n

Bài 2. Cho f (x) = (x3 + 1) In -s/l + X và g(x) = x2 ln(l + x18

Tìm hệ thứ c giũ a f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) củ a g(x) biế t

Giãi

f U ) = -3L3x2ln(l+x) + x+1 -X +x =x2In(l+x)+-(x2- x + l- x 2+x) =x23

g(x) = i'(x ) = -G (x)-- jx + c

G(l) = f ( l ) - ị + c = -2

=>c = -2 + -^--Ặ ln18 3

G(x) = I

G(x) = I

(x3 + 1) ln (x + 1 ) - + - — X3 2

(x3 + l) l n (x + l ) - ^ - + — - x ] - 2 + Ặ - | l n 23 2 J 18 3

Bài 3. Cho f (x) = Vx2 +3 In (x + \/x2 +3 ) ; g(x) = ---- ----- ln (x + \ \/x 2 +3

Tìm hệ thứ c giữ a f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) củ a g(x) biế t

24'


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




§2. Các bài toán sữ ílụ itg định nghĩa nguyên hàm —Trầ n Ph

= g(x) +1

Giả i

f'(x) = —7. ■■■■■■ ln(x + ỵ lx2 + 3 ) + ——x ■ = = , ■ 1+ x =rVX2 + 3 'x + Vx2 + 3 v Vx2 + 3

ÍG(x) = f ( x ) - x + c Íc = l- ln 3 => g(x) = f (x) - 1 => í <=>í _ '[G ( 1) = f ( 1) -1 + c = In 3 [G (x) = f (x) — X + 1- In

Bài 4. Cho f (x) = — arctg —+ — ln(x2 +a2);g(x) = x2 arctg —3 a 6 a

Tìm hệ thứ c giữ a F(x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) củ a g(x) biế t G(a) =

Giả i■J -J

\ 2 X X3 1 1 a3 2x / X ax3+a3x _/ Xf (x ) = X arct g—+ ---------- — , 2 = s ( x) + . 2 2 \ = g í x )

a 3 i.+ (x ) a 6 * + a 3 ( x + a )

=>g ( x )

= f ,( x) ———= > G (x ) = f ( x ) ——— h c ;G (a ) = f ( a ) ——— I-c =3 6 6

7i:a3

~Ĩ2

=> c = — ln( 2a 2) = >G (x ) = — arctg— + — In [ 2a 2 (x 2 H-a2) ] - - ^ — 6 3 a 6 6

Bài 5. Cho f(x) = - y a r c t g - - — i y ; g ( x ) = — r-1---- JT íl s X X VX" 4- ã.~)

Tìm hệ thứ c giữ a f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) cùa g(x) biế t G(a)

Giả i

„ 1 1 ] 1 1 1 _ X4 + a 2 ( x 2 + a 2)

^ ■ j 7 M r ’ã + I V _ a‘l (x2 + a2) + a2x4 " a V ( x 2 + a2)


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t t ính tích'phân - Trầ n Phư ớ ng

Ui. DẠ NG 3: Tìm giá trị tham số để F(x) là mộ t nguyên hàm củ a f(x)

Bài 1. Cho F(x) = (ax3 + bx2 + cx + d)ex ; f (x) = (2x3 +'9x2 - 2x + 5) ế x

Tìm a, b, c, d để F(x) là mộ t nguỵ ên hàm củ a f(x) trên R

Giả i

F ' ( x ) = (3ax 2 + 2 b x + c ) e x + ( a x 3 + b x 2 -T-cx + d)e*

= [ax3 + (3 a+ b )x 2 +(2b + c)x + (c + d)]ex

F'(x) = f (x)V:X <=>

'a=2 ạ = 23a + b = 9<=>•

c r I I

2b + c = -2 . c = -8

c + d = 5 ,d = 13

Bài 2. Cho F (x) =(a x 3 + bx2 + cx + d ) V x -2 ; f (x ) = —-----—■+ ^ s j x - 22 .

Tìm a, b, c, d để F(x) lâ mộ t nguyên hàm củ a; f(x) trên (2, +00)

Giả i

F’(x) = (3ax2 + 2bx + c) \ l x - 2 + (ax3 + bx2 + cx + d)—2>/x-2

2(3ax2 + 2bx + c)(x - 2 ) + (ax3 + bx2 -f cx + d)

2 y Ị x - 2

7 a x 3 - ( l 2 a - 5 b ) x 2 - ( 8 b - 3 c ) x - ( 4 c - d )

2 ỳ / x- 2

U ) = f ( x ) v x ^ l ^ - {i2a- 5b)x2- ^ - 3c)x^ 4c- d ) =Lx2- 3 x+ 8 4 ^ 2Vx-2 2

F'


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§2. Các bài toán sịt dạ ng định nghĩa ngụ yên hàm - Trậ n Phư ơ ng

ài 3. Cho F(x) = (2a+.l)sinx + (3b-2)sin 2x + (5 c-7 )sin 3x ; f( x ) = cos2x

Tìm a, b, c để F(x) là mộ t nguyên hàm cùa f(x) trên R

Giả i

'(x) = (2a + 1) cos X + 2 (3b - 2) COS2x + 3 (5c - 7) cos3x = COS 2x, Vx e R iề u k iệ n c ằ n :

íx = 0 .

ho X = 7ĩ/ 2 = > ,

X = t c/ 3

F' (0) = 2a +1 + 6b - 4 + Ĩ5c - 21 = 2a + 6b +15c - 24 = 1

F' ( t i/ 2) = -6 b + 4 = -1

F'(7t/3) = a + ỉ - 3 b + 2-15c+ -21=^ !-

b = 5/6 b = 5/6 b = 5/ố

=>• 2a + 5 + 15c - 24 = 1 ọ ■ 2a + 15e = 20 <=>• á = —1/2

2a -5 - 30c + 47 = -1 2a - 30c = -43 I I 0

iề u k iệ n đ ủ : F'(x) = (— 1+ l)cosx + 2 ^ —2 j c o s 2 x + 3(7 —7)cos3x = cos2x

2 1ài 4. Cho F(x ) = -------- s i n 2 x + 3bs in4x + (5c -4 )s in 6 x ; f (x ) = cos2 x c o s 4 x

2

Tìm a, b, c để F(x) là một nguyê n hàm của f(x) trên R

Giả i

(x) = cos2 X COS 4x = ^— ° - - - — cos 4x = —COS 4x + —(cos 2 x + COS 6x)2 2 4

(x) = (a2 - 1) cos 2x + 12bCOS4x + 6 (5c - 4) COS6x= —COS2x + —COS4x+ —COS6x

4 2 4iề u k iệ n cầ n:

ho

X = 0

X = ĩc/4 :

X = 7 t /3

F'(0) = a2 - l + 12b + 30c-2 4 = a2 + 12 b+30c-25 = 4 +'2 + 4

F'(::/4) = -12b = -1/2

F'(V3) = -(a 2 + 12b - 60c + 47) = = ị - 4 + 4


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phân — Trầ n Phư ơ ng

b = ]/24 rb = 1/24 b = 1/24

<=> a2 + ^ + 30c-2 5 = l <=> 2a2 +60c = 51 0 • a2 =5/4 <=>'

a2 + -- 6 0 c + 47 = ị 4a2 -24 0c = -189 c = 97/1202 4

'b

a

c 4

£>/■<?«A7ệ« í/ũ :

F'(.\) = (—-l ìcos 2x+—cos4x+6Í— -4)cos6x = —cos 2x +—cos4x+—u / 2 124 / 4 2 4

Bài 5. Cho F(x) = cos5x + - ——cos3x + cc os x; f(x )= sin 3xcos5 3

Tìm a, b, c để F(x) là mộ t nguyên hàm củ a f(x) trên R

Giả i

f( x ) = sin3xcos2 x = —(sin2x)2 sill X = Ậ (l -c o s4 x )s in X4 8

f ( x) = - s i n X ( s in 5x - s i n 3 x ) = r s i n X + — s i n3 x - - i - s i n 5x8 16 8 1.6 16

F' (x) = (a - 1) sin 5x - ( b - 2) sin 3x - c sin X = ịs in X + — sin 3x - — sin 58 16 16

Đ iề u k iệ n cầ n:

Cho

X = 7t/6

X = 7l/4=>

X = 71/2

F'(jr/6) = ~ - b + 2-■ ! = -L + -L - -L w ’ 2 2 16

F'( it / a X= *~ a _ b -2 _ 1 , 1 , 1 w ' 72 ,n ,h 8/2 16,'2 16-72

F W 2 ) — U b - 2 - c . l - i - j L

a - 2 b - c + 3 = - ị 16 Ì 6 a - 3 2 b - 1 6 c = -45 0 0

0 í l 1

«<n> - a - b - c + 3= -Ị-

4« " 4a + 4b + 4c = 11 • 4a + 4b = <

2a + b - c - 3 = 0 4a + 4b -4c = 12 16a-32b = -47

Điể u kiệ n đù:

F ' ( x ) = ( ị7 - l ] s i n 5x - ( ^ ỉ- 2]sin3x + ì s i n x = - s i n x + — sin3x——sinll6 / ll6 / 8 8 16 16


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§■?■ Ngtiýên hùm cử a các dạ ng hàm sổ đặ c b iệ t - Trầ n Ph

§ 3 . NGUYÊN HÀM CỦ A CẢ C DẠ NG HẲ M số' Đ Ặ C BIỆ T

I. DẠ NG 1: NGUYÊN HÀM CỦ A CÁC HÀM s ố DẠNG TÍCH, THƯ Ơ NG

Dạng Cấu trúc hàin số N g u y êa hàMí

Tổng . f(x) = ủ' + v' = (u + v)' F(x) = u + V

Hiệu f(x) = u' - v' = (u - v)' F(x).- u - V

Tích f(x) = u'v + uv' = (uv)' p(x) = u v

Thư ơ ng f ( x ) - u'v - uv' = ( u )' F(x) = —V

Bài 1. Tìm Ng uyên hàm của hàm số f ( x ) = — -— l + e* .

Giả i

f GO= _ L - = ( H £ Ị z Ị „ i . - x‘- Ì Ị ± í l X- [te( i*,■ )]'1 + ex 1 + ex 1 + ex l + ex . . .

= [x - In (l:+ e? )] => F (x ); = X - In(l 4- ex)

Bài 2. Tìm Nguyên hàm cùa hàm số f (;;) = — -—1 + 9*

Giả i

f ( ) - 1 . 0 + 9 x) - 9 x =1 ỵ , _ J _ (l + 9*y

1+ 9X 1+ 9X 1+ 9* ln9 ] + 9'

= x ' — L [ i n ( i + 9*)] ' = x , J _ . | n ( i + 9*) => F(x ) = X- — •In (l + 9ln9 L In 9 J !n9


G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§3. Nguyên hàm củ a các dạ ng hàm số đặ c biệ t - Trầ n Phư ơ ng

Vl + X V l W l + X2 Vl + Vl + X2 2V1 + V1 + X2

> F (x ) = 2>/l + Vl + x2

ài 9. Tìm Nguyên hàm củ a hàm số f (x) =

G iả i

a / i + x 2

( ) 1 1 X + Vl + X2 ^ ì 2x N

VT+ X2 x +V T+ X2 , Vl + X2 x + V l + X2 t 2V1 + X2 ,

-------.1.------ (x + a / i + X2 ) => F(x) = ln(x + Vl + X2 )

■ VI ' - 2x + vl + x

ài 10. Tìm Nguyên hàm củ a hàm số f(x ) =1

V tx ’ + i) "

Giả i

x ) =

1 (x2+ l ) - x 2 t /^ T Ĩ —

1 Ị_____ _ Vx2+1 _ Vx2+1 _ \Ịx2+1

\/(x2 + 1)3 (x2 + l )> /x2 + l x2 + 1 X2 + 1 x2+1

^ ^ - í ĩ ế ĩ ĩ } >fU) X

X2 +1 X2 + 1 1 / x 2-

ài 11. Tìm Nguyên hàm củ a hàm sổ f (x) = + + x^ ^ + x-s/l + X2 In2 (x + -y/l + X2 )

Giả i

x) = Vĩ:ẫ==rln(x + \ / ĩ + õ ? ) - l (Vĩ + x 2 Tk(X + Vl + X2 ) - Vl + X2 • —==1+ x2 _ >/ĩ+x2

In2 (x + V l + X2 ) ln2(x+'iĩ+x^)

( V Ĩ+ l r ) ln(x + Vĩ + X2 ) - >/l + X2 lníx + Vl + x2

ln2 (x + -ý/l + x2 )

=>F(x)=-ln(x W 1 + X2 )



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng ir Các.kĩ thuậ t tiiih -tích phậ n —Trầ n Phư ơ ng

II. DẠ NG 2: CÁC DẠ NG NGUYÊN HÀMĐƠ N GIÀN CHỨ A HÀMe”

•Bả ng nhậ n dạ ng nguyên hàm và đạ o hàm củ ạ các hàm sổ chứ a

Đặ c trư ng Nguyên hàm Hàm số (đạ o hàm)

ex F(x) = u(x)ex F'(x) = [u'(x) + u(x )]ex = f( x

e"x F(x) = u(x)e“x F'(x) = [u '(x) -u (x) ]e~ x = f(x

eax+b F(x) = u(x)eax + b F (x ) = [u'(x) + au(x)]eax+b = f

ev(X) ' F(x) = u(x)ev(x) F'(x)=[u'(x) + v'(x )u (x )]ev(x) =

Bài 1. Tìm Nguyên hàm củ a hàm số f(x ) = (x2 +5x + 7)ex

Giả i Bư ớ c 1: Biể n đổ i n hậ n dạ ng, dự đoả n nguyên hàm (làm nháp)

f (x ) = (x 2 +5 x + 7)ex =[(2x' +3) + (x2 +3x + 4)]e x =[ (x 2 +3x + 4) + (x 2 +3

Dự đoán nguyên hàm là F(x) = (x2 + 3x + 4) ex

Bư ớ c 2: Trình bày lờ i giả i

Ta sẽ chứ ng minh F(x ) = (x 2 + 3x + 4)e x là một nguyên h àm của f(x

Thậ t vậ y ta có : F' (* ) = (x2 + 3x + 4) e* + (x2 + 3x + 4) ex =

= ( 2x + 3 ) e x + ( x 2 + 3 x + 4 ) e x = ( x 2 + 5 x + ? ) e x = f ( x )

Bài 2. Tìm Nguyên hàm củ a hàm số f (x )——-+ X-S -k*XT' ;• . . ; X

Gịả i

Bư ớ c 1: Biể n đổ i nhậ n dạ ng, dự đoán nguyên hàm (làm nháp)

. [ ( W +tax> X X Vx )

B ư ớ c 2: Ta sẽ chứ ng min h F( x) = e* In X . Thật vậy ta có:

: F : ' M , ( e > : h x ) ' = e - l n x + => . l = Í 2 3 Í j B ă = f (x )X X

32


WWW FACEBOOK COM/BOIDUONGHOA

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§5. Nguyên hàm cử a các dạ ng ítăiii sô đặ c biệ t - Trầ n Phư

Bài 3. Tìm Nguyên hàm củ a hàm số f (x) =

Giả i

6x2 +7x + 3 9x2 +12X + 4

^ 6x2 +7x + 3 x 1+ (3x + 2)(2x + 0 „ _

9x + 12x +;4

2x + n 2x +1 +

3x + 2) 3x + 2

(3x + 2)2

e* => F (x) = ——— • ex3x + 2

1 2x +1

.-(3x + 2)2 + 3x + 2

Bài 4. Tìm Nguyên hàm củ a hàm sổ f (x) = X + X - 1

Giả i

f(x) =X2 + X I . V _ ( x 2 - 1 ) 4 - X

Vx2 - 1-t- Vx2 - 1

= | _( \/x 2 - 7 ) + V x 2 - 1 . e x = > F ( x ) = n / x 2 - ỉ .ex

Bài 5. Tìm Nguyêri hàm củ a hàm số f (x) = ex si n^ x + — j

G/ả /

f (x) = ex sill X + — V2 sin X + — = ^ = r ( c o s x + sin x)V V2 V 4 ; V2

= -2=- Tcsin x) + sin x ] => F (x ) = -^=s in Xs - n

Bài 6. Tìm Nguyên hàm củ a hàm sổ f(x ) = e 2x cosỊ^2x + —j

e*


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Bài 7. Tìm N guyên hàm của hàm số f(x) =( l + V ĩ+X 2 ) + x ( l + x)

yjỉ + X2 yỊ l + V l + X2

Giả i

(l + \ ị l + x 2 ) + x ( l + x) x X + 2 O + X2 + V 1 + X2 )f(x ) = —----- ;-= = = = = — e = — ■ r- =

a / i + X2 v l + -v/l + X 2 Vl + x 2 .- ^ i + y ji + x 2

_ X + 2 ( 1 + V l + X2 + X2 xh r* ĩ ____ r tx ■ 2>/ĩ ■ ỹ ỉ ■ g V

n/ ĩ7 x 2 V i + V ĩ+ X ^ Vi + X2 Vi + Vi + X2

ẫ — • 1 — + 2^1 + v r + x ^ ex = + x .. + 2 V1 +vl + x 2 ự l + V l + X2 Ậ + \ l ỉ + x 2

2 ( VT + V i + x 2 ) + 2>/l + V Ĩ+ X2 ex => F ( x ) = ( 2 V1 + - v / r + x ^ ) e x

, 14x —1 2x_1Bài 8. T ìm Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = — — ------ “ x+1

( x + 1)3

Giả i

x) = J ± i z I . eỈ Sr . . s(» + l>+3(3x-2)c&

(x + l)! (x + ì)3

5 3 3 x -2

(x+ 1)2 (x + 1)2 X+1

o

3 X - 2 Ỵ f 2 x - l Ỵ 3 x - 2 2x-l a x+l >F(x) =

3x-2

x+1

2x-ĩ a x+l

X3 (x —2 ) *2*x~!Bài 9. Tìm Nguyên hàm củ a hàm số f (x ) = --------- T~'e X_I

( x - 1 ) 3

Giả i


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§4. Tích phân đơ n giãn - Trầ n Phư ơ ng

§4 . TÍCH PHÂN ĐỚN GIẢN ỨNG DỤNG TRựC TIẾP CÔNG THỨC

. CÁC KỸ NĂNG Cơ BÀN:

1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:

ự x = x ’ ; V x " = * "

s * * " ' " ế = x i 1 ; ^ / é r

2. Biến đỗi vi phân:

cìx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = ... - d(x ± p)

adx = d(ax ± 1) = cì(ax ± 2) = ... = d(ax ± p )

-ML

I. CÁC BÀI TẬ P MĂU MINH HQẠ

1. /, = f \2xs-7x3+1/^- 1 +JL-JL+ I — 2 dx X X X2 X3 ^ * 1 7 )

I, = - x 6 - - X 4 + - X 1/A - 5 In |x| - —+ 2x'2 + 2\f ĩ ĩ - 5 \2/ỉ +c ' 3 4 7 1 1 X

( X3 + x j x + / ). / , = p ------- ; <bc

J X

T r x 6 + x 3 + l + 2 x 47 x + 2 x 3 +2 x>/x ,I = J-------------- ^-------------dx J V


WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOA

B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng'I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

4. ì,

u =

5. ĩs =

h =

6. ỉ 6 =

I« =

7. h =

h =

W * * _ . j | ( 2 — ) +' T ——— = —--------- — —— 2 r - J J 2x - 3

\ 37 ^9 2-- + — --2 2 x - 3

+ C-

dx/

j 2 4 J 2 x - 3 - 2 4 1

f - - J x + 5 r f c - j í í z t e ^ h i d x = ^

J(x - 2) dx + 3 J———— = —— 2x + 3 ỉn |x - 1| + c

ị - ^ - A = í- Jx - Ĩ j

dx = II X - 2 + —— |d

x - 1 2

f(x 3' - 1) +1dx = : Ị| X .+ X +1 + —-— 1'dx

J(x2 +x + l)dx + —~ = ~ x3 + ~ x2 + x + lnỊ x-.l| + c

Ị ị l £ dx J -X + ĩ x + l JLx+

| ( x 3 - x 2 + x - l ) d x + 6 | ^ ỉ lx + 1

: — X4 - — X3 + — X2 - X + 6 ln |x + 1| + c4 3 2 I I

8. ỈS - ỉ 2x2 ' 3x + 9 đx -. f2 (* " *)* + (■* " J) + 8 -7(- AJ L lỲ " •» { x ~ ỉ ]( x - 1 }

2

( * - / )

8 ■■■đ ( x - l )

ĩs

ỉs =

9 . / ,=

ff 2 1 8 _

j L ( x - i ) s + ( x - i r + ( x - i ) ,ũ.

J [ 2 ( x - l ) - + ( x - ì r +8 (x -l ) -,0] d (x - l )

7 K ! } 9 y > 7 ( x - l ) 7 8 ( x - l ) 8 9

Ị , c ọ 1 t S9 ' 1 (3 x + 5 )ổ0 (3xf Jtr + J) " d x = - ị{3x + 5 f d (3 x + 5)= -> — — + c = —


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N




§■#. Tích phậ n ặ ffn g iả n - Trầ n Ph

10. /

I

11 . /

I

12. I

I

13. I

=]

14. ỉ

I

I

15. ỉ

I

I! - | \ ỉ

i . l ị 4 8

= ị ị j 7 x - 2 c i x = | ( 7 x - 2 ) 4 d x = - | ( 7 x - 2 ) 4 d ( 7 x - 2 )

10 = ỳ - | ( 7 x - 2 ) < +c = ( 7 x - 2 ) f +c

11- 4x )3 dx = |( i 1- 4x)s đx = — J(l 1- 4x)5 d (l 1- 4x)

• —(l 1— 4x)s : + c = — (l 1- 4x)s + c8 32

= f Ệ L===đx= í ( 3 -8 x ) f dx = — j (3 -8x )^ d (3-8x)

ịf{3- 8x)s J 8 J

; = z i j ( 3 - 8x ) t + c = | ( 3 - 8 x ) f + c

= J x j 4 x + 7dx = - j [ ( 4 x + 7 ) -7 ] V4x+7 dx

í( 4 x + 7)2 - 7(4x + 7)2 ]d(4x + 7) = — ~(4x + 7)2 - 7 • -( 4 x + 7)2 J 16 s ^

13

Ị_ 6

Í4

] 6 L 5

= J ( j .v* - 2 ) ĩ j ( x - l ) 2 d x = ; jl^ 3 (x —l ) 2 + 6 ( x - l ) + i ] ( x - l ) 5 d ( x - l

= j f j i x - l ) ’? + 6 ( x - l ) s + ( x - l ) 5 ] d ( x - l )

= 3 - — ( x - l p " + 6 - — ( x - i y ? + —( x - l ) 5 + c 17 V ' 1 2 v ’ 7 '17

= [ ~J~( i x= Ị —(3x + l)2 (3x + l ) - — (3x + l)~5" dx' J - 9 l • 9 V ; 9_ ; p x + l )

ị í | ( 3x + 1)f - ^ + l ý - Ị( 3 x + l ) ^ d(3x +1)


N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




lt Itffns I: Các kĩ thuậ t tilth tích phân - Trầ n Phư ơ ng

6. / „ = ■f , x3(bc - - = í x3 ( 2 + 5x 4 ) ’ dx = — f('2 + 5x4 )"?7 d ( 2 + 5x 4 )

\ (2 + 5 x 4 ) 7 20

Il6 = — - - ( 2 + 5X4 )* + c = — (2 + 5 x4 + c16 20 2 40 V '

7 / , = f f dx - 1 f đ ị y Ị ĩ x )

,r V + 5 J ( 7 2 x )2 + ( ^ ) 2 ^ J ( V 2 x )2 + ( V5 )2

. 1 1 \j Z XI17 = ~ --fr a rc tg

V2 V5 v V5

+ c = - 7=arctg V10

Vĩõ+ c

dx f dx

= J ^ J T 7 = J (73 x )2 - Ị õ ỹ = J ( ^ x - ì /7 ) (V 3x 7 7 7 )

1 ( V3x + V 7 ) - ( V 3 x - V 7 ) 1 | f ì 1

_ 2V7 ■» (V3x + ) (V ĩx -V 7 ) X - 2n /7 ^ x + a / ỹ .dx

2V2T

f d ( V 3 x - V 7 ) rd( -V3x + ->/7 ) ~l _ ì ■ V 3 x - \ / 7

•* %/3x -V7 J V3x + >/7 2 V2 Ĩ n V3x + a/7

xdx f d(x 2 + 1) fd(Vx2+T) \/x 2 +1 ~ 2 J 2 / 2 , ~ J x2

Q Ỉ - ( • <** - f . . . _______ __

' " J X > /7 T 7 J x j V ? T T " 2 j x * ^ T

+ c

d(Vx2+ 1 ) _ 1 Vx<+1

(Vx2+l )2-1 2 v*2+l

1, V x ' + l - l- + c

0. Ạ , = J-

X + 1 + 1

( ’/x + Ĩ - \ /x - l )d xi/JC _ f

* yfx+J + s fx -I ■*(Vx + 1- V x - l ) ( 7 x + l + Vx - 1)


Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§4. Tích phân đơ n giả n - Trầ n Pimơ ng

* . |_ £ * = ư < £ > =1 í ' _ J _ ì d ( e ' ) = i h - í Ị +c+ 5 V ( e x +3) J ex(ex +3) 3 l e x ex + 3 j v ' 3 ex+3

* = ' j f - L - _ ! _ W ) =J - , „ _ 2 L +cx +5 ln2-l2x(2x+5) 5ln2JUx 2*+5J v 1 5!n2 2X+5

f , g\ f l K - 2 f d ( V ĩT 7 ) = 2 V Ũ 7 + = V/ + <?v V l+e* J

_ f d( ex) _ 2 rd(Vl + ex ) _ 2 r du

{ l + e x ) y j ĩ *ẽ * ~ ex ( l + e x)Vl + ex ~ •’ ex (l + ex) ^( u2 —l)u 2

1 •u - 1 . 2 ■Vl + ex - 1 2-------- — du - I n - + —+ c = In=— + : === +c

u - 1 u ) 11 + 1 u Vl + ex +1 Vl + ex

f 'cos5X , fcos1 x( l - sin2 x) , f S t, -— --------- rfjf = --- — --------------dx = COS' x u + s i n x j d xJ l - s i n x J 1 - s i n x J

cos3x dx+ jcos:’ xsiii xdx = JO - sin2 x)cosxd x - fcos3 xd(cosx)

(l - sin2 x) d (sin x) - jc os '1 xd (cos x).= sin X - — — - - 0S—* + c

f a i i r t ì r a ’ i é ? ™

J(ĩrgir,e’‘)d(,8x)=ÍTỈỆr- ■Kx<l(,8’í)2 J t f t x) ~ i~tg x d t g x ) = ~2 ln^ ~ tg2 x l_ 2 tg2x + c

I 2 x 2)(bc = j M i n ( V x ,x 2) dx + j M i n ( V x ,x 2 )d x

V , . 2r r - . X3 1 2xVx 2 1 2(2^2 - 1) _ 4V2 - 1f 2 j f r , X z x v x 1 Z\Z \IZ —IJ 4 y z —IX d x + w x d x = — + ——— = - + ---------------- -- ------------ — = -----

J ■ / 3

0 3 , 3 3 3

2 K4 k /2

M ax (sinx, cosx) dx = J Max (sin X, COS x) dx + J Max (sin X, COS x) dx0 71/4

/A ■ J _ • I*/4 _ |Jt/2 _ V2 2Ị Ẵ = /ÕJ c o s x d x + I sin xa x = sin x|0 -c o sx [ ■ = -— + —— = V2rc/4 2 2

/4 0 71/4

j M inịxytg x^dx - . J ;


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





III. CÁC BÀI TẬ P DÀNH CHO BẠ N Đ Ọ C Tự GIẢI

= j ( x + 1) (» h-2) (» + 3) ( x + 4) . = . £ - 3 , , . y

J xVx ; J2x + 5 ' f J X - 2

ì _ f 2 x 3 ~ 5 x 2 + 7 x - 1 0 , r f 4 x2 - 9 x + 1 0 , T f2 x2 - 3 x 1 -9 J4 = ----- ----- ; : -----------dx ;J5 = -------- — --------------------------—d x ; J 6 =

J X —1 5 J. ■236 —1 6 J ( x - l ) - ■■

, _ fX3 - 3 x 2 + 4 x - 9 , T f2 x 3 + 5 x 2 - l l x + 4 ,J- = j ----- 7 ~ ^ ĩ -----d x ;J 8 = j -------- ,\30 dx

( x - 2 ) ( x + 1)

J9 = J(x+3)I00( x - l) 3dx; J,p = | ( x - l ) 2(5x+2)l5dx; Ju = J(x2 + 3 x -5 ^ 2

JI2-= J(2x2 + 3 ) Ậ x - \ f dx ; J,3 = p , — 3 x + 45 d x ; j , 4 = j x 4. ^ 2 x 57 ĩ

•Ụ(2x + Ị)J.2 •= J 2x 2 + 3 . ^ (x -1 ) d x ; J,3 = p _ ^ d x ; J14 = Jx4 W(2

ý ( 2x + 1) . ■

J ' 5 = í ĩ X~ Y d x ; J 16 = í ~ — r ỉ = d x ; J n = J — r r ~ t d x5/(2- 3 x 10) X +VX -1 x - y ị x - 1

r r dx ■ 1 f dx ■ T _ f dx

" (x ” 2 ) (x + 5 ) . J (x 2 + 2 ) (x 2 + 6 ) ’ 20 J (x 2 -2 ) ( x * +3 )

I r xc*x I ____ I* cỉx ĩ f ^

•'2i = _3) (>, 2 - 7 ) ; 22 = J (3x 2 + 7 ) ( x 2 + 2 ) ; 23 = J (2 x 2 :+ 5 ) ( x 2

1*12 J in2 2x In2 ____ ỉn2 r XJ24 = J - 7 ^ = ; J25 = J ; J26= /V ^ T ĩ d x ; J27 = J ị - £ d x

I v e x —1 0 yex +1 0 0 ^“*"e '

Ve~xdx _ V(1+ eX) d x . , _ V àx V(í + eX)J2S Ì Ĩ7 7 7 ; 29 ị 1+ e ; 30 ; 31 = ỉ ^ ~

r _ ' " f 'dx 1 _ ln? 7 T _ W l + lnx ,

J» = i ^ ; 33 = i 7 7 ^ ; 34 ■ J l + e* ; Í35

£ ^ ___ I 6 1 ( ______

J36 = Jx5vl + x2 dx; J37 = Jx5^ l-x 3j đx; J3S =°|x3V l-x 2 dx0 . 0 0

V đx .. -V dx VÍ2x + Ị ) 2 đx I r

Jí9 = J / F + I ’ 1,40 = ^ 4 X+ 2~x ’ ,J<n = í 4~x ; J« = í e2x^0 H -ỉ* J- 0 H z , n 0

40

\2

-dx


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Ticit phân các hăm số . có mẫ u sệ chử a tam thứ c bậ c 2 - Trầ n Ph

§5 . TÍCH PHÂN GÁC .HÀM SỒ CÓ MẪU SỐ CHỮA T A M T H Ứ C B

A. CÔNG THỨ C Sử DỤ NG VÀ KỸ NĂNG BIÉN ĐỎ I

’ du„ V du ỉ u1., 1 — —arctg — + c

\ V + a a a

2- h ^ - T = f '»i u - a 2a

4. 1 -^ = 2 ^ . * vw

3. L * - I f e J n 2 — 7n

u + a

a + u4- c

du

U a 2 - u 2= ar cs in — + c [a > 0 )

du

' a - u 2 a

K ỹ n ă ng biế n đ ổ i ta m ih ử c bậ c 2:

b

7= ỉn u + yịu2 ± p + c

1 . ax + b x + c - a X +2 b2 - 4ac '

2 a ) 4 a 2

2. ca2 + bx + c = ±(m x + n)2 ± p

B. CÁC DẠ NG TÍCH PHÂN (XẸ M CHI TIỆ T ĐẢ Y ĐÙ CÁC DẠ NG Ở CHƯ Ơ NG V)

^ ^ , r đxL Dạ n gl: A - — -----——J a x +Ờ X + C

r dx ỉ dx 11. Phư ang pháp: Ị 7 — -= Ị—— —-7—----------------' = —— arctg

J a x - + b x + c J (mx + n) + p 2 mP

r dx _ r dx 1

*ax2 +bx + c ~ ' {mx + n)2 - p 2~ 2mP

mx + n

mx -+n — p

mx + n + V +

2. Các bài tậ p mẫ u mirth họ a:


G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ĩ: Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

dx _ 1 f d ( 2 x + 2 )

4*- + «* + / J (2x + 2 )2 - 3 _ 2 •’ (2X + 2 )2 - ( v ^ j

dx7 - lOx - 4x

1 f dx 1 P

' = ~ 4 Ì x 2 + ị x _ Ị = - 4 2 4

: W s

>M)

2 X + 2 - V 3

2 x + 2 + >/3+

( - Ỉ ) ' - ( € ! '

1 4

4 2 / 5 3 11

x + 4 _ v n

X + A + - A4 42 V 53

4X + 5 - V 5 3

4 x + 5 + -n/53+ c

• A . = f—J ov2= 1 f.

' 1 + 8x + 2 3 J

V 3/ 9

_ ị dx _ 4r dx _ 4f

\ 5 - 4x - X 2 ~ JX2 + 4 x - 5 - J (x + 2)2 - 9

- 1 . x + 2 - 3 4 _ - 1 . x -1 4 _= ——1 1 1 ----- -—- = —- In — — =2.3 x + 2 + 3 i 6 x + 5 '

(3x + 3 ) _ n / 2 „ _ . 9 x + 4------- arctg — -ịL ■- + c

(3 * 4 ) ' -1 2 r 2

dx

■ Í

x + 2 + 3

ilx

x + 5

dx

. 4 U Ị - I » Ị 1 = = U . 2

' I* ___________ 2 x 2 - 3 x + 6 2 J x 2 _ 1 x + 3

2ầ ì

2 4 4 x - 3

rarctg

1 2 í 1 3 ì

0 >/39 arctg -J==r + arctg - 7=^ V3 9 ^ 9 jn/39 V39

3. Các bài t ậ p dành cho bạ n đọ c t ự giả i:

dx ỉ dx

dx

HĨM, 3 ~Ị

# í

A- í J3x2 --4x —2 ’

2 .dx

- 4 x 2 + 6 x + l

d x

d x

5x - 8x + 6

dx


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Tích phân các hàm số có mẫ u sỏ ch ứ a tam th ứ c bậ c 2 - Trầ n Phư ơ ng

_ r (nuc + it)I. Dang 2: B = f-A:-T . : > dx ■*'ax + bx + c

_ r (** + ») _Phư ơ ng pháp: B = J- d x = [— ------—

..

V-----

iSJL J ax + b x + c J ax ++c

_ m r(2ax + b ) d x / mb') r

2a ■»ax2 + bx + c \ 2a J ■*,

dx

2a ) 1 ax2 + bx + c

H -íi Ị ax + fa + c) Ị’ mỊ j\ m I 2 . If ímồ ')= — ----- T-------------- 1- B - —- Lí = — /« ax +bx + c + 77--— \A

2a J ax + bx + c V 2 a ) 2 a 1 1 Ì. 2 a )

ách 2: Phư ơ ng pháp hệ sổ bất định (s ử dụng khi mẫu có nghiệm )

Nế u mẫ u có nghiệm kẻp X — Xo tứ c là ca2 + bx + c = a ( x - x 0)2 thì ta giả sử :

mx + n a B — ----------------- = — — — + ------------ —

ax +bx + c X —Xg (x _ x0)'

uy đồ ng vế phả i và đồ ng nhấ t hệ số ờ hai vế để tìm a, p.

Í

(mx + n) . . B —\ ---------- dx = a ỉn ị x -x„ ị ------ — + c

ax +bx + c 1 1 x - x 0

Nế u mẫ u có 2 nghiệ m phân biệ t X.1 , x2:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)thì ta giả sử

mx + n a B— ——------ = ——— + ——— V*ax + bx + c x - X ị x - x 2

uy đồ ng vế phả i và đồ ng nhấ t hệ số ở hai vế để tìm a, p.

r (mx + n) I I I Ii a, P vừ a tìm ta có: B= — ------- — dx = aXnvx-x, + p m \ x - x 2\ + cJax2 +bx + cax +ÒX + C

Các bài tậ p mẫ u minh họ a:

2 x - 9-dx

3x +2

6dxách 1: B, = j ( 2x - Ị 6 dx = [ — -dx - J-

x^ -3x + 2 Jxz -3 x + 2 j x 2 - 3 x + 2


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

d(x2 -3 x + 2Ì (Jx . I , ' .1 ■= f—-=— ---- - - 6 Í ---------- Z ------- - = lnx -3x + 2-61n

x 3X+2 H ĩ - ( ị )

x - í - l. .2 .-2

x - 1 42 2

= ln | (x - l ) (x -2 ) | -6 ỉnX - 2

X —1+ c = 7 ln |x - 1| - 5 ln ịx- 2| + c :

Cách 2: X2 - 3x + 2 = 0 <=> ( x - l ) ( x - 2 ) = 0 <=> X -1 v x = 2 . Giẵ sử:

V2 x - 9 a b v 2 x - 9 _ a ( x - 2 ) + b ( x - l )

' X2-3x + 2 _ x - 1 x - 2 ’ X2 -3x4-2 ~ x2- 3x + 2

X fa + b = 2 ía = 7o 2x -9 = (a + b)x-(2a + b) ,Vxo-T

; [2a + b = 9 [b = -5

Ta có: Bj = J 7 X— dx = J| — -------- — |dx = 71n|x-l |-5ìn|x-2|x - 1 x - 2

. R = f (5-v + ố ) ^ _ 1 f (5x, - 6) dx _1 f 2Ỉ 2x 3)+T■’. ĩ x * + 2 3 Jx 2 _ | x + ! 3;í x2 _ | k + '2

3 3 3 3

^ J x2- ^ x + l 3 3

2x +3

9v§ ' !+=—In

f v i t 62 4 2X —3 3 28 _-i— r= arctg 3 J 2 . .

- ố x +2-<ủ :

, 7 D r9 ^ 3 . _ í f ( l8x -6 )d x 11 r dxCác/í ỉ : B3 = -r ^— —dx = - - , + —

J 9x -6 x + l 9 J9x -6 x + l 3 J9x - ồ x + l-

ỵ d(9x2- 6 x + l) n d (3 x -l) 2 , 11

9-1 9x2 - 6x +1 9 -í (3x_ I)2 9 I I 9 (3 x -l)

. Cách 2: 9x2-6:: í-ỉ = (3 x- l)2. Giả sử : - — = —-— + ----9x - 6x +1. 3x -l (3x -l)

,

44


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




2 x + 3 a ( 3 x - l ) + b<=> — T— ---------= — --------- —— ,Vx <=> 2x + 3 = 3ax + b - a , V x

9x - 6x +1 ( 3 x - l ) 2

Í3a = 2 fa = 2/3 2 f dx I l f dx<=> < <=>•{ . Khi đó: B, = — I— —— H——I--------|b - a = 3 [b = 11/3 3 J3x-1 3 J(3 x - l)

§5. Tích phân các hàm số có mâu số chứ a tam thứ c bậ c 2 —Trầ n Ph

= —ln |3 x :- lị- . ^ — T- + C9 1 1 9 ( 3 x - l )

„ W -2 X + 5 °f 3 ( x2 + 4 x + 8 ) - 7 ( 2 x + 4) + 9• B , = —- — —— - d x = I — ----- ------ — -- ---------------------- dx

' X + 4 x + 8 ^ X + 4 x + 8

°. ° ,d(x 2 + 4 x + 8\ °.= f 3 d x - 7 f % — - + 9 f ---------------

i i X + 4x + 8 _J,_2 -2 ^ -2'(^ -^2 '

x + 2 )

2 J

= ^3x - 7 In |x2 + 4x + 8| + — arctg - + ^-j = 6 + — - 7 In 2

B, - f— f ' 4 d x . j í í ± B Ì ± .Ị 2x - 4x + 6x -12 J ( x - 2 ) ị 2 x +6^ 0J 2x +6

! ' d{2x2 + 6} 1 d i x j z ) Ị X Y 1= - ----- -+ \ /2 Ỉ— -Ar-— -= - ln 2 x +d+-=rarctg-^r = - ln

0 2x2 + 6 V J ^ s s \ 0 4

„ 2ị x 3 - 2 x 2 ^ 2r (x + 2 ) (x 2 - 4 x - 5 ) + 13x + 10

= / p r ẩ 7 * - 1 - ------------*


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chirons I: Các ìã thuậ t tinh tích phân :-; Trằ n Phư ơ ng

J ự * 3 ^ 1 0 ) ^ = i ( x ^ 2 x t 9 ) ^ ( x + l ) d x = | ^ x Ị , ^

j X - + 2 X + 9 0J X2 + 2 X + .9 0\ X + 2 x + 9 y

L ] Ld(x2 + 2x + 9Ì ( ] . AỊdx + — í-^-r — —-------- = | x + —In X2 + 2 x + 9 J 2 0J X + 2x + 9 l 2 I u

X

= 1+ —.ln —2 3

5 , ==‘Ậ x s + 2 x 2 + ĩOx + ĩ^cix >/ }

ị X2 + 2 X + 9 - = Ặ x 2

2X + 2- r V

x ? + 2x + 9y

( x 2 1 I , I+ —ln X + 2 x + 9

2 2 ' 1

3 x s d x 2fí - ^ 9 2x + 2 3------—— = 3 X - 6 + - - --------" X + 2x + 1 Q 2 X + 2X + 1 ( x + 1)

đx

Ị 3x2-6x + 9!n.|x + ỉ|-

x + i= 9 1 n 3 - 8

7f 5x -13 I _ 5 V(2x-5)dx 1 V dx

J X - - 5 x + ố Í X _ 2 q J x 2 - 5 x + 6. 2 0J Ịx _ s Ị2 _

ị In x:! - 5 x + 6 - ^ in: - 3

= - In 18


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Tích ph ân các, hàm sộ co’ m ẫ u số cliứ a tam th ứ c pậ c 2 —Trầ n Phirffifg

1 1 - ì ,X2 "T1 X 2 + 2 J

’ ( l - x 2 )(Lx ' (l - x 2)dx . . ' (

b‘! ■Ị ế i í ể ệ ĩ ' ỹ f )(

( 2 arc<Ễ x - - | , a r c , g Ì Ị

dx

_ f X 3 + 1 ' V (x + o i * 2 x ■ f 0 j _ V X 2 - X + 1R = I—-— — ^ _ _ ã r v = ------ — ---- -------------d x = ----- —— ' X - 2 x - 2 x + I 0J ( x + l ) ( x 2 - 3 x + l ) J X - 3 x + l

j ẹ z Ề t +3/ _ Í L _ :p \ X - 3 x + ] J 0 ' X - 3 x + l qX - 3 x + l

V V d(x 2 - 3 x + l)

.M K

đx

+ 3 j .;dx

0 0 X' 3x +1 Ố Ị1 3 Ị2 ( yỊ ĩ ^

x + lnlx2 -3 x + l| + — rln 1 1 yfs

2 X - 3 - J 5 ,

2 X - 3 + V5' 0

■= l + -7=lri V5

V s - 1

_ !f x 2 -2 x + 3 , Vx2 -4 x + 5 + 2 x - 2 ,V, V 2 x - 2 ,- — (bc= -------------------- ------dx = dx + ——:-----------đx

ị X - 4 x + 5 0 X - 4 x + 5. * • X - 4 x + 5B 1 4 ~ — dx = --------r—— ---- dx= c

j X - 4 x + 5 X - 4x + 5. *

V , 'f 2 x - 4 + 2 , V, , vd ( x2 - 4x + 5) - Vd x + —T-— ----------------------------------------- d x = d x + ----------- - J - + 2 \ - ,

0 QX - 4x + 5 0 0 X - 4 x + 5 o ( x - 2 ) + i

dx

Ị x +lnỊx2 -4 x + 5| + 2arctg(x-2)j| = l + ln —+ 2arctg2- —

47



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t t ính tích phân - Trằ n Phư ơ ng

°r Xs - 8 f( x 2)(x +2x + 4Ì °rx2 + 2 x + 4 ,' B i a - —;---------- đx= -------— 7------------- f d x = I—— — dx

j x - S x + 2 J ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x - l ) J X + 2 x - l x 3 -5x + 2 j Ị( x - 2 ) ( x 2 + 2 x - l ) j Ịx 2 + 2 x - 1

^---------------------------------------------- i d x = 0fdx + x2 + 2 x - l j _j _1 ^X+ 1)2 _ ^ Ị .

_ ' -L 5 1 X + I - V 2 y _ 5 . I - V 2 Í 5 , / / - V= X + - —= l n ------------------------------------------------------------------------

2V2 X + 1+ V 2 J 2V2 1 + V 2 V2

_"‘ỉ eXx+3ex lnf (eX +3) eXdx lnf 2 (ex+3)d(

16 ~ j e* +3ex + 2 ibc= j e2x +3ex +2 = j e2x + 3ex +2

_ 2, (t + 3)dt _ l 2, (2t + 3)dt 3 2r_ / 12 + 3t + 2 2 / 12 r 3t + 2 + 2 112

1 2 d ( t2 +3 t + 2) 32

dt+ 3t + 2

í 1 1.2 . 1 3In t + 3t + 2 -r ln

u ' 2

27

16

= (21n|t + l|- ln |t + 2|)[ = 31n3-41n2 = ln

3. Các bãi t ậ p dậ nh cho bạ n đọ c t ự giả i:

. f ( 7 - 3 x ) d x f ( 3 x - 4 ) d x f ( 2 - 7 x ) d x

1 M x 2 - 6 x - 1 ■*2 x 2 - 7 x + 9 3 ->5x 2 - 8x - 4

/•(l5x + 6)dx |.(3 -10x)dx c(2x + 3)dxB4 = I r ỉ B í ■ I - 9 Bí — I~ T 5

J1 2 - 9 x - 8 x 2 J4x - 5x + 2 J3x2 + 2 x - l

Bg X - 4x + 4 ' X +X + 1 ' 2 x —x + 3

p 5f(2x + 3)dx -' (2x2+ 4 x - 7 ) d x ... y(4x + ll)dx

10 j x 2 - 4 x + 3 J x2 + 6x + 13 12J x


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Tích phân các hàm sô có mâu sô ch ứ a tam th ứ c bậ c 2 - Tran

III. Dạng 3: c= f dx yị ax3 + b x + t

ỉ . Bổ đề : 1—■I /77

du

-Jư 2 + k

—In u + 4u2 + k + c

, _____ / ịu + \lu2 +Ấ :] *+ f~l 7Chứ ng minh: Ị in U+ SU2 +k +c| =---------===—= ------Ỵ

' ' u + \ju 2 +ìc u + \]u2 +k yju2

2 . Phưtíng pháp: Biến đổi nguyên hàm về I trong 2 dạ ng sau:

c = [ ■ x ■—- = f—T ..........= — In (mx + «) + J im x + n )1 + k \jax2 +bx + c ^ ( mx + n)2 +k m

f dx f dx 1

yjax2 +bx + c ^ jp2 - ị m x + n f mC-

1 mx + n , V= —arcsin——— (./>>0)

3. Các bài tậ p mẫ u minh họ a:

£, _ r dx _ f ______dx_______ _Ị _ f dx

4Ỉ X- -5x + 6 J 2 ị x 2 - ị x + 3j ^ J x 2 - | x + 3

H h í l Rdx _ 1

I h F s " 7

d(x + l) 1 . y / ĩ (x + ỉ).--arcsin- r-

V7• r = f ______ Ẽ .______= . J - f

a ^ 4 - 6 x - 3 S ^+


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

100

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ ng /■• Các k ĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

•c, = í :íx - * f dx. -- . ... .

- 6x 4 -3~ V 2 V 2 U - - - - ệ X + J ~ . V 2 V 2 2 V 2

í-dx1

■ V 2 2 V 2i /ã í

dx

X— 1 = 12 V 2

VẽIn

x 2V2 " v l x 2V2 2 6 V 2 - 9 + ---- + C:

® J 1 °■c = f - 1 f

i n /Zy '+X + 5 V2 I4 4

dx

U Í X - 4 Ị - + 23

■=-~=rln>/2 r i N r t J + 16

4/ 16

In 'ì. IV v 4 + V2 ã

ỉn] + 2\Ỉ6 , „ 7 2 3 ì 1 1+ 2 V------------ In —— = - 7= ln — p=

4-......... ... ...4, J V2 -V23

_ Sf -x ■ V _ °f dx _ °f dx°r dx _ 1 °rd (3 x -l)

~ J -Í9X3 - 6x + 1 ~ '3Ậ ĩ x - ì f ~ i l.3x - ’I~ J 3x - 1 " 3 ị 3x - 1

4 l n | 3 K - l Ị3 í ■■ 1 ' ;

= —-(in 1 lnio) = —lniọ _ 3 3 3

, C á c b à i t ậ p d à n h c h o b ạ n đ ọ c t ự g iải . :


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






Chư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t t inh tích phân —Trầ n Phư ơ ng

d | x 2 + 4 x - ^ - Ị

+ 4x- -

. B , . f + - 1 f 4 (2x + 4 ) - 9 ^ _ ,

•j4 x ’ + 1 6 x - 3 2 ^x ! + 4 x - | J ĩĩ

- ị ỉ = Ỷ i + 4 * - ị - ỉ Ỷ * 2 h ' ỉ (* * 2 f ~ ỉỉJ(x + 2) - - T

, D - ' [ ụ + 4 )d x y (x +2 )dx V dx

0 'Jx2 +4x + 5 0 Vx2 +4x + 5 0 Vx2 +4x + 5

1 ’ ,díx2+4x+5Ì Hy Ì I -------------- v /-----

= - - ==— - + 2 f -T-— ..... = Vx +4x+5 +21n(x+2)+V x +Ỉ Ẹ Ị ỹ Ị Ĩ l . 1 }

= > / Ĩ Õ - > / 5 + 2 b i ( 3 + > / Ĩ Õ ) - 2 1 n ( 2 + > / 5 ) = V Ĩ Õ - > / 5 + 2 1 n ^ Ì ^

J - gf (*+3)<fc I °f (2x + 2)dx V dx Ị °.d(x

./ V*’ + 2x+ 2 2_, ^/x2 + 2 x + 2 - i V x 2 + 2 x + 2 2_, 7 x

0 , . _ 0+ J-p . = (vx* + 2x + 2 + ln (x +1) + Vx2 + 2x + 2 Ị = V 2 - l + ln(l +

n - j °f °r dx _^-l °|.d(-x

-4x+5 _2 V-x2 -4 x + 5 - 2 V-x2 -4 x + 5 2 _! ,/_

-3 I r = f —y/-x2 -4 x + 5-3arcsin x + li ^ 9 - ( x + 2)2 t 3 J


n - f ( 5 ~ 4 x ) đ x n - f Í3 x + 7 )d x ^ (• ( 8 x - l l ) d x

1= i S 7 ^ T i ; ° 2 = Ì4 Ĩ ^ T l ; 3= v9 -6 x -4 x 2

D. - f (4~ 5x)dx ■ ^ _ 1 (7x-4)dx _ °f (9x-5)dx

Vó + 7 x - 5 x 2 ’ 5 i Vx2 - 2 x - 3 ’ 6 i n / 2 - 4 x - 4 x 2r

52


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




.§5. Tích phân các hàm so có mẫ u sổ chứ a tam thứ c bậ c 2 - Trầ n Ph

V. Dạng 5: E = I -------------p = = -

(px + q) 4ax2 +bx+,c

1. Ph ơ ng pháp: Đ ặt p x + q = - => pdx = —^ -;x = — [- -< 7 Ị. Khi đó:t r p \ t 1

r ______ dx ________ _ r _________ -d t /p t2

= ■ Ị j ì ( ì - , j ^ ( í - q | + c

^<41«<x2i>AMM«S>I iMÌnk

= ± J , / '•x/at2 +pt + Y


z , - ) - r ệ7 x y x

dx 1 — - . Đ ặt * = - = >

/ X \ X~ - x + l { 2

X = 1 => / = 1 jc = ị= > í = 2 r,, . J.,

2 . Khi đó:

dx =_ - d t

_ f - d t / t 2 _ f dt _ f đt

' H h f ĩ ì n \ 24

3 + 2 y / ĩ . 3 , 3 + 2-73= Ịn ------------ In —= In----- ------2 2 3

dx ^ , 1 r +1----------- - ị = = = = - . Đ ặt JC- 1 = - => X = —-—:(x -l )' Jx 2 -2x + 2 ( t

- d t / t 2

x = 2= $ t = 1

* = 3=>f = Idx = = ệ

t

Khi đó: E2 = ------. dx = = ......... = ĩ .2 (x -l )v x2 - 2 x + 2f l h + l j 2 2 Ịt + 1j i 2


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chli ons I: Các k ĩ thuậ t tính tíừ ĩt-phán - Trầ n Phư ơ ng

f - d t / r _ Y d t . 1 'ị- d t

Ị .v| ' - , ) ! - 4 ( Ị - l ) + 5 = W + 1 = +

n f + ã107 10

]

Tĩõ

dt

1/2 | / t _ x + _L

t —— + J t- 10,

In 1 + 1 10 V 2

10/ 100

-In - —

5 V20

N 1 f, T+Ss/I , 2 + V5Ì 1 , 7 + 5^— -------Jn— . =-F=rln—-— 7

V ĩõ

In-

V 10<

10 '

2 +V

í/x _ . 1 1______ :— Đặ t 2x -1 = ' X = —-—;/ (2.V - l ) y j 3 x 2 + x + 2 { 2?

1 X —2 =>í :

;c = l= > í =1

2dx = =ệ -

dx '/■I ■:

Khi đó: E4 = I----- ------------- , I ,— ;-----_ ----( 2 x - 1) v 3 x 2. + X +.2 • I 1 3 ( t + l )2 t + Ịí -dt/2t2

I

tf _ dt____ i V dt ĩ V d(t+

3 7 l 3 í 2 + 8 t + 3 V ĩ"j Ự 3 t 2 + _ 3 ' t + ' | 3 1/3 jịt + — j

h f r f ¥ ~ ^

K ề L

1

TU

23

1691

VĨ31 2 ' M13 V13

- I n

23169

25 6439 V11

1 M + 2-Jn. , 2 5 + W Ĩ 3 Ì 1 51 + 6-778 ■;= - T = ỉn------------- - In —— = —= r ln — ---- — 7=

V lH 13 39. J V1 3 : 25 + 8V13


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Tích phân các hàm sô có mẫ u số chử a lain thứ e bậ c 2 —Trầ n Phư ơ tiỵ

_ ■ r (tnx + n)dxI . Dạng 6 : F = [-- 1 - - - ^

( r » V* - ị- / r V i v " -4- h(px + q)yỊ ax2 +bx + c

( “ {px + q) + ị n ~ — ì{ (tnx + n dx f P \ p

. Phưdng pháp: F = J - — ^ ——J = ~ = = == ■=------

— —--

-------- -(p x + q^yỊ ax2 +bx + c (p x + q) yjax 2 +b x + c

, m f dx ( mơ \ r dx m _ ( mc= — - 7 - .— — - T - — + 3 - — - - - - - - - - - — p = = = = = = r

p sa x1 +bx + c V .p / ịp x + q)']a x1 +bx + c p V

. Các bài tậ p mẫ u minh họ a:

^ (2x + 3)íLc 'ị- [ 2 (x + l) + ljđ x

7 ĩ ( x + ] ) J x 2 +2 X + 2 o(x + l )Vx 2 + 2x + 2

dx

2 | , > - ■ ; ' ( . ;dx - • io v x 2 + 2 x. + 2 0 (x + l )v x 2 + 2x + 2

= =ln ( x+ l) + J ( 7 + ĩ f T ĨỈ-J 7 7 Ĩ Ĩ Ĩ 2 Ỉ Ị , T T i f T T v I + ạ/ Ĩ

dx0 (x + ỉ) y /x2 +2 x + 2

. Đ ặt ;t + ! = -=>t

X - 0 t = 1

X = 1 => t = i2 . Khi đó:

dx = -dt

1/2

J=í - d t / t 2

ỉi H M Hf - p ầ = r = ln t + Vt2' + ỉ

» / * 2 , i

+ 2 '/2V t ũ ĩ

T,.. 2 + V5 , 2 + 2V2 , 2(9 + 4^ ? )F | = 2 1 + J = 2 1n—■■ + In - -L = ) n 7— i — y----- i—

,1 + V Ĩ l + >/ 5 ( l + ^ ) ( l + ^ 5 )

{2x-])( lx V

' ì ;2 (x - l ) + 1

. i ( x - l ) ^ Ị x ' +Ì X + 5 _i (x- l )%/x .2 + 3x 4-3rdx :



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t filth tích phân - Trầ n Phư ơ ng

. 1 + l S , 3 , 3 + 2sIn ---- -------- ln -r = ln -----------

2 2 3

Khi đó

- 1/2

n-. _ í + 1Đ ặt x - \ = - = > x =t' t

x = - l = > / = - ;2

JC= 0 => / = —1

áx = Ệ -

\Jxz + 3*+ 3 _1

_ °r dx

-1 ( * - l ) V * 2 +3 x + 3

J _ °f dx ______ _ <■ - d t / t 2

~ - , ( x - 1 ) ^ x 2 + 3 x + 3 ~ _, /2 l Ậ t + l Ị | 3 Ịt + l j , 3

Ỵ dt______ — T ____^ - * _1f

,----------- r ---- ----- - 1/2 r

- í

=-j=ì ĩ i 4 Ĩ 196

=-LV7

In = 1 + £ | - U7 14 A

1

77

. > /7 -2 , 2V2Ĩ -9In — --------In —T—;-----14 14

„ OI , , n ,_3 + 2 j 3 \ 1 V7- 2 'F, = 21 + J = 2 !n-----------+ — 7= In— ==—-

3 V7 2n/ 2 Ĩ - 9

.F ='ị + V ị(3x~2)+2 I (3jc- 2) ' J x 2 + 2 x - 1 1(3x - 2) y[ĩ~+2x-Ã

dx

_ 5 V dx 22 f ________ dx ________ _ 5 J 22 T

. 1W X 2 +2X-1 + 3 r(3x-2)Vx2 + 2 X - 1 ~ 3 + 3

/ = f = = f - fo = In (x + l ) + (x + l )2 - 2Ỉ ^ T T Ĩ ^ Ĩ Ỉ J ( 7 Ị ĩ f ~ 2 v

= In (3 + V7 ) - In (2 + V2 ) = In2 + v2


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




§5. Tích phân các hàm số cớ mẫ u sổ chứ a tam th ứ c bậ c 2 - Trầ n Ph

x = \=>t = \

J _ [ dx 1 \ + 2t X — 2 => í = Ị J = I------------■ . = = ■. Đ ặt 3x - 2 = - X = —---- 4

, (3jc- 2 ) Vjc2 + 2 x - l ■ 1 3t Z d x - ~ dt t2

Khi đó: J = ' \ ______j dt1 1 l | l ± 2 t j 2 + 2 | l ± 2 t j _ 11/4 \ 7 t 2 + 10t + l

1 r _ f l 2. 3 V Ĩ 4 Ì , j "2721 V I 1 12( 4+ 714)= _1_ In -^+— ---------------- Int.— +— . =~7=ln— -------- -

V7 \ 7 7 J t28 28 J V? 49

1/

5 . 22 5 . 3+V7 22 12(4 + 7 14 )_ Ĩ J I — lr» -— J ________ I n -__________

49:=>F, = - I + — J = —In—— r + —^rln

3 3 3 3 2 +V2 3 f i

(x + 3 ) d x

- 7 - ( - + * > * ■ - 7 â g ị ^ ặ ^.2 (2jc + 1 ) V --V2 - 4 x - 3 :-2 (2x + 1) y j - x 2 - 4 x - 3

1 -3/2 J c"3/2 J 1 C _ 1 r dx £ f ________ dx__________ 5

2 _2 V-x2 - 4 x - 3 2 _2 (2x + l)-y/-x2 - 4 x - 3 2 2

/ = " f - Ị = Ề = . ~3f - = j S = = aresin(x + 2 ) [ f jV -^ -ta -3 Ịự l- (x +2)' . u 6

-3/2

y = J

- 1/2

ifc

( 2 a; + 1 ) V - x 2 —4jc —3

—dt/2t2

x = -2=> t = ~Ỷ

* = ' = 4 2 22 dx = ị -

dt-1/3


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ ng ĩ: Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

F = "ị (S x - 4 ) ^ = ự j Ị Ị l . 2x) 2 dx

ì (1 - 2x) Jt e r + 2 x + 5 0 (1 - 2x)yj4x2 T 2x T 5

dx 5 dx _ -3 J 5 !

\/4x2 +2X+.5 - 0 (1 - 2x) n/4x2 + 2x + 5 2 2

• ^ x 2

1/3dx 1

+ 2x+ 5

° K ) - { i

(!t+ĩ ) + \l(x + ĩ ) i + i f

1/3

In7 , >/5512+ 6

N\ V- i n

J_ 2V54, 4

1 , 7 + 2%/55= — In----- ~

2 3 + 6V5

íừ* -1. Đ ặt 1- 2 ; t = - = > * = ------ , t 2t( \ - 2 x ) y / Ã x r + 2 x + 5'

K h i d f c j - r , # 2 = . » u _ Ji I /. . \ 2 ~ ~ l i . í ĩ ã

x = 0=>'t =1

x = Ỷ = >/ = 3

2dx = dt

f dt/2t2 dt

2>/7 Ídt

14/19

196

2n/7In K ) + w

19196

1 r ( 3 9 . 27385 ^ , r 11 2 ^ 5 Ì ] _ 1 ,= —:7=T In — ■+ ——— - I n — + ' = In

1 39 + 2V385


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Tích phâii các ìứ uH sơ IJOnum sọ eiitta, Hi/ụ ,;.ic 2 -T r ầ n Phư ơ ng

II. D ạng 7: G = f— — -{ux 2 +b )' Jc x2 + d

ốp: Đ ặt t Vc x ~ + d => t 2 - ex2 + d => X 2 = - — — ; x d x = -c c

Phướng pháp

Khi đỏ: ơ = 1_ f td t _ 1 f d í ______ 1

^ ZjgỊ I + ( b c - a c ỉ ) ~ c2- c I

C á c b à i t ậ p m ẫ u m i n h h ọ a :

x* _____ G,= í- : •yt,x 7. Đạ t i = 'Ị x^ + 4 =>•

»J ( 2 . V + / ) V 7 7 7

X = 0 => í - 2

x = yfs = >í = 3. Khi đó:

x d x = td t

W 2 - V 7_ V tdỉ _ V dt _ 1 3f d(tV2 ) _ 1

" j ( 2 t 2 - 7 ) t ' i 2 t2 7 ' " 7 2 2' ( w 5 ) 2 _ ( V 7 )2 “ 2 ^ 4 “ ■ W 2 4- ^7

1 í 3 7 2 - 7 ? .. 2V2 - V 7 Ì 1 (3V2 - %/7)(2 V2 + V 7 )

2 V Ĩ 4 [ 1 1 3 V 2 + V 7 . n 2 V 2 + V ? J , . 2 V Ĩ 4 ( 3 V 2 + V 7 ) ( 2 V 2 - 7 7 )

X = 1 / = 1

X = 2 . Khi đó:

2x dx = t dí

J7

G-, = [—-— 8xdx __ ị - ^2 x 2 —1=>• X=!; ị 5*- -2 U 2x 2 - 1

v ’ 2xa

vf 4ídt _ 8 ^ d(tV3) 4 , W3-1

_ 4 - f , V2 Ĩ - I , S - l ] 4 , ( 1 1- >/2Ĩ ) (4 -H2 / 3 )= _ In—= ------- ln - p : — = — -In------------- — ----------- -

■ ■ \'3 V v21 +1 n / 3 + i J -n /3 20

Gj = f ----- ----- . Đ ã t t = ^ 3 x 2 + 2 => •« (*XJ +3)sj3x2+2 ■ . . . . . . .

> = [ / l d l = - [ d ( f - = —a rc tg (2 t) ' = i ( a r c t g 2 \ / 5 - a r c t g2 , / 2 )■ 2 j ( 2 , ) U , 2 V 2 ' 1

x = 0=>t = \Ỉ 2

JC= 1=> / = V5 - Khi đó:

3 x d x —t d t . ■ ■



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phầ n — Trầ n Phư ơ ng

Đ ặt t = \ l6x2 +1 => •

X = 0 => í = 1

x = \ =>t = \ Ị Ĩ . K

6xdx = tdt

Q - ’ị xdx

l ( s - 2 x 2)46x2 +1

G< , 1 ; ỉ é . = 1 J _ j L _ = i r i , n l ± i f 6 I f l 6 - t2\ 2 Ị 4 - 1 21,8 4 - t J j 16 s { a ~ 4

•G s = f- -------- x d x . ■ Đ ăt t = 4 l - x 2 =>•] ( 3 x 2 - 5 ) S ^

x a x = - i t

G , . j r i * , 1 ^ i T , 1 , 1 to1 1—3t ^ ,J Ị - ( t ^ ) ' >5

X = 0 = > / = V 2

JC= 1 =>/ = 1 . Khi

x d x = - t d t

ã

1 f._ Vfi + l V3 + 1 Ỵ 1-=■ In 7= - - In 7=—— = — InV H > / 6 -1 -VJ- 1 J ^ 10

A-------- ................- . E>ăt / = 1 / 9■- 4x2 => ;c = V2 => / = 1 •K

l ị * S - . 2 ) J Ĩ Ì 7 —1

* = ! = > / = V s

4 x d x - - t dt

= I 'f -tdt 1 j(t> g ) _ 1_____

4 j ^ l 9 - 3 t l j t . V3 ,J ( Vĩặ) 2 - ( t ^ ) 2 V 3 ‘ 2VĨ9In

V 1 9 +

V1 9 -

1 f , V Ĩ9 + V Ĩ5 + 1 , ( V Ũ + V Ĩ5 ) ( V Ĩ

= 2 V5 Ỹ l V Ĩ9 - V Ĩ5 " ^ 9 - V 3 j = 2V57 (VĨ9 - V Ĩ5 )( Vl

3. Cacjbai tậ p dành cho bạ n đọ c tự giả i:

G - p xdx . Q xdx . g V x

1 1 (4 x 2 - 3 ) ^ 5 - x 2 ’ 2 1 (5x2~ll )V 7-3 x2 ’ 3 0 (8 -7 x2)


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N




§5. Tich phân các hàm sô có mẫ u sổ chứ a tam thứ c bậ c 2 - Trầ n Phư

VIII. Dạ ng 8: H = f ----------- — - -(ax2 +b)\Jcx2 +d

1. Phư ớ ng pháp:

Đặ t xí = yỊcx2 + d = > * v =c.r2 +d =>x2 =— — =>xd x-— Ỉ ÍỂ Ỉ—(<2 - c ý

dx xdx - td .dt ( í2 - c ) -d í => =•= - = - — -jr-r — f — = - r — Khi đó ta có:

4 c x r T d td / ( t - c ) t2 - c

H = f dx f ~dt I ~dt - J J (ax2 + h) 4 c x 2 + d i ị - M + Ị, _ c) i b t2 -r ( ad - bc)


Í 23 J . I 2 , JC = 3 = > / = f Ị d x T-.V ■r r 7 V*+ 3 3* H . = t............. ........ =r. Đãt xí = 'Jx + 3 =>í = ------ -— =>4 r2J ( ^ - 2 ) V ^ + 5 * x = 2=>t = ±

vã X

- 2 ) > /

' t 2 = X 2 +3 => ( t 2 - l ) x 2 = 3 => X2 = 77-— => xđ x =V / ■ t 2 _ l

- 3 t d t

( t2 - l )2dx x dx - 3 t d t / ( t 2 - l ) 2 - d t ,

~ r = = = ■ 7 —r = — — 77-7 — \ - • Kh i đó ta có:•v/x2 + 3 x ( x t) 3 t /( t - l ) t 2 - l

2WS ■■ ■ ^ d ( W ĩ)

J Ĩ /2

= f dt 1 Ị tUW2j _ 1 ta

/7/2 “2“ " 2 V7/2 2t2-5 M t 4 ĩf - ự s ) 2 2 VĨ0 Ịt72+V5Ị|^

1 í 2 V 2- V Ĩ5

2 M \ 2 J Ĩ + J ì5 n yJŨ + 2 j 5 J 2n/ĨÕ n { 2 J 2 + JĨ s){s Ị Ĩ 4 - 2si

II _ Vn/x* +-2 , _ 2f X2 + 2 , 2f dx 2f dx• = H - r - — dv = —---------

/ j r + i r (x z + i)V x2 + 2 r Vx2 + 2 r (x 2 + 1 ) 7 x 2 + 2

/ = f . r = In Ịx + V x2 + 2 = ln (2 + \ / 6 ) - l n ( l + -\/3) = l n - ^ - ^

2

•


N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ ng_ /■• Các k ĩ thụ ậ t tinh tích phậ n - íĩrầ /t Phư onị’

dx x d x 2 t d t / Ịr l) - d t ^ Y, r-.ií - -= = = = = — 7 -T- = ---------rr-------Khi đó ta c ỏ : ' ■^ ^ + 2 x ( x t ) 2 t / ( t 2 - l ) ■, r - 1 v ũ '

f dx = 1 dt 1

! ự - + \ ) - J :x 2 + 2 - ý “ — - 2 '!J ( 22 ị f Mf). +&

4\/2 V n/ j - V 2 2;V2 + >

2 + 76, 1........ __ .T. ---

. — -=. ln Ị( 5 - 2^ 6 ) (7 )].

Vậy H, = In .+. — ~ ìn[(5 - 2V6)(7 + 4>/ã)];'I + V Ĩ . U T ị . ■ ■

íí\-

•- 2 \ /6 a 7 + 4v3

y ;> € # i í

/ Ịx' + -V+ ] j V .V" + -V - ] f

5f — - = 8 5/f du , J 2ị ^ . Ị Ị V I X . 3i ( 4 u - + 3) x 4u 2 -

\ 4 / V 4 v : : '

- Ằ"4

5

' A $ ,DÕI ' }

» = A = > ; = 41 2 3, .

\ à u31: = 4 t r - 5 :=> (4 - ị ĩ )%r = 5:=>íù2 = —-^ — => 2udu =1 4 - t (4 - t 2 )

.. . du . IICÌLI 5 t d t A 4 - t 2) dt1a có: - — = ; ■ ~ - = ■ — . Khi.đó:

V 4 i r - 5 uV4u - 5 5 t / ( 4 - t ) . ,

H ; > d t ’U - r ) ; df ' ^ Ỹ d ( t y 3 ) :


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Tích phân các hầ tá sể ei í mẫ u sé cìiừ tí i ấ mỉh ữ è biậ c 2 -"trề h pủ ử iaritg

„ n r i i f { i n x + h ) d xX. Dạ ng 9: / = —— ■ ế{(IX2 + b ) \ ’cx 2 + d

r ĩ xdx f dxP h ư ơ n g p h á p : I ~ m ------- — --------— - + n I-—— -------- - =

i (ax: + b) vev2 + d {cá2 + b ) \c x 2 + d

C á c b à i t ệ p m ẫ u m i n h h ọ a :

r _ T ụ . x + 3) (l x . 3(- [4(.y —l) + l \ d x

ỉ ( x 2 - 2 X - 4 ) J ;3x2 - 6x + 5 ” ỉ [ (* - 1)2 - 5] 3 ( j - l ) 2 + 2

= á --------- “d" . M _ t o

ũ . \ *.|* í - r - 5)-.,/3 ụ2 + 2

==mG 4- nH

, ( u2 - 5 ) v 3 i r +2 f ( u 2 -5 jV 3u 2 t 2: ,(

ét V = f-------- W/Ị ^ . Đ ặt t - 4 ĩu - +2 => II 2

ỉ ( u - - s ) y Ỉ 3 i r ~ 2 ' . ■ 0

_ 2f LI du _________________ _ ■'Ỹ tdt _ 'dt _

" 1 ( ụ ; -T-5) :V 3 i ? + 2 . _ y 5 : ( . t2 - l ’7 ) t ~ 45 - ] 1

1 ( v T ỹ - J Ĩ 4 VĨ7 - V 5 ) 1( y w T V I ^ V U 2 ^ 2

~ 2 V u n y 7 + V I ; " V i T + v ^ j _ 2 V Ĩ 7 " ( v ^ n + V n X V ỹ - V s ) ;

ét I = í—-------CU. , - . Đ ặt ĩrf = V3ỉ/2 + 2 =>. ĩ<V = 3w2 + 2 => M2 = - —

i V - 5) v/v T 2 ■ /2 - :

=> udu =ííử

Ĩ3~

t - V Ĩ 7Vũ

t + ự ĩĩ s/s

uda = -

n/h /2

- 3 ) ' t 2 - 3

VĨ4 / 2đ t

Í; 2' 1 7 - 5 t 2 .

MH/2 ,

tVĩ

1 ^ d(tVs) 1 ‘j ự ĨT V tj5 - >

n / 5 i ( V n ) _ ( t y j ) 2 , / 5 2 V Ĩ7 n V ĩĩ- t V s J ,

1. / V t õ + 2VĨ 7 ■■' ■ 2^5 W n . 1 1 (s,/7Õ+ 2 VĨ7 ) (2 V5 - >/Ĩ7)

2Vs5 V n V7Õ - 2 /17 11 2v'1 -V Ĩ7 j ~ 2M - 2 ^ ) (2V5 + V17)

4 . • ( v ' n - V M ^ + V s ) 7 Y

' 2^7 n ( J Ĩ Ĩ + m r ĩ - J Ỉ ) ~ 2 M (Vro-2Vi7)(2V5+Vi7)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ns /■• Các k ĩ thuậ t tilth tich phân - Trằ n Phư ơ ng

ỉi-1

' l> 1 ( 7 J - I V.V

(2x + l)d x -^j"1 [2(x + l) -i ị d x

( x 2 + 2 x + ó ) ^ 2 x z + 4 X - 1 , [{x + 1)2 + 5] ^ 2 ( x + ỉ f - 3

udu______ du______________

2u

2 - 3 i ( u 2 +5)V2u2 - 3

l ( . . ĩ

f (2u-l)du

= J ĩu 2+ 5W2U2 -3 ~ ị { u 2+s)yj ĩu

2 J

J -------=r. Đăt t = \l2u2 - 3 =>zr = ^ => wí/k = —^ (w2 + 5) y Ị ĩ ĩ r - Ì 2 2

, _ Vf udu _ 3f tđt _ 3f dt _ 2 f / 3 t 1

= j ( . ’ + s w h r r í ( < ’ ” 3 ) , ’ ~ r t s s h )

4i

Xét L = f — ỉ ( 2 J 2 u<

_

_________________ Đ ăt Kí = yjlu2 - 3 => M2/2 = 2u 2 —3 => M2 = ị i i c + 5 ) j 2 u 2 - 3

udu =3tdt du _ udu _ 3tdt/(2 - 1 2 )2 _ dt

(2 - t 2) ' ^ % / i i r ^ 3 ~ u ( u t ) ~ 3 t / ( 2 - t 2) ~ 2 - t 2

L = 1 du = 3/f dt3/f d

75(u2 +5)V2u2 - 3 1/V2 ^ _ l T + 5j ( 2 - t 2) 1/V2 13 ~ 5t2 5 1/V2 — -

] 1 , J O / 5 + t i/s/S 1 ^/78 + 3>/5 . y Ỉ 26-y/5= —— ====-111-•*===—- = ~— i n - — -— ; = - l n - p = — =

5 2^13/5 V l3 /5-t 2V65V V78-3>/5 V26 + V5

. Khi đ

dt

V13/S + t3/76

V ^ / 5 - t

I, = 2J - L = - 7= arctg-£ = - arctg y ĩ3 i % / ỉ3

3. Các bài tậ p dành cho bạ n đọ c tự giãi:

(4—3x)dx

, j n + 3 j sỉĩl f r* ~,— lo ■ r JSS*

8-3 y5 v26 + v5,

1 . ( V7 8+ 3> /5 )( V2 6 +4 3 i4_ 1 V 1 , (778+3>/5)(V26 +

V ỈH 8 , / B 8 , / B J 2 j ỉỉ

- h(7-5x)dx

/ ( 4 - 2x - X2 ) \/2x2 + 4x + 5 0 (x2 +4x + l)V3x2+12x + 8

I _ 3f _______ (6x- l )dx_______ V (4x -5 )d x3 , tV /'K .J 7~ , -7 ’ 4 J i2 (3x2 - 6x + l)V2x2 - 4 x + 7 4 0 ( 9 -4 x -2 x i )>/3x2 +ÓX + 1


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






Ch no it" I: Các k ĩ tìụ iâị tịnh tích phân £7 Tràn Phư ơ ng

Ả ị _ - 1 - 2 )dx _ i tv 7 ^ - 7 ; _ i r ụ i g . i . ■■ ,

\ í x : + 2x + 2 2 - •• \/ x2 + 2x + 2

l ( x - . 5 ) # ^ x ĩ v 4 f - i Ề i . : ; ; : s ^

' 2 . -y(x + l)2 -1

X- 5 )\ jx 2 + 2 \ + 2 - ln |(x + l) + -\/(x + l)2 +

Già sử ./, = [— y 2x ậ -dx.==W:-¥,bx +c) x2-Ả x +5+.k \-=ÉL=..gV .v: - 4.Ĩ + 5 ■ . ■ \ J x 2 - ' 4 x + 5

Lấy đạo hàiTỊ.2.yế;ta.nh.ận .được:... . . , •

ỉ ĩ l p í ù ^ i + b ) j F - 4 Ĩ ĩ ỉ +^ Ẻ Ỉ ^ í ầ Ế i ĩ ỉ ^ - = Ằ = \ l x2 -4 x ,+ £.;•• ■' : ' VX2 —4x + 5. '■■■• : Vx-1' - 4 x

3.V - 4 \ 2 - 2x + 4 = (2ax + b )(x 2 - 4x + 5) + (âẰ2 + b x ¥ ’c )(x :- 2) '+fc'y v x

o 3 \ 3- 4x2 - 2 x + 4 = 3ax3 +(2b -1 0 a )x 2 + (lOa - 6 b + c)x + ( 5 b -2 c 4- kp,

3a = 3 ía = 1

j 2b —1Oa = - 4 ■; j b ==3 ■" ;

IIOa - 6b+VC':=-2 , I c = 6

I5b - 2c + k = 4 : [ k = l


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. -Tích phân các iiầ ĩn số có ''mẫ u số cim à iamíhừ c Miẻ 2 - Tran-Pnircrng

r .• 4x: -9 x + 3 ,, = ========d x.. 1 4x:

- 2 x + 2 "

ả s ử . / = f J ^ + ^ ^/x2 - 2 x + 2 + k [— 7= = = ; V*

v Vự- 2* +2 .:;ị . SX2- 2

x±zy đạo hàm 2 vế ta nhận được:

4x2 -9 x + 3 — - (ax + b ) ( x - 1) k .—= = = = = = a%/x - 2 x + 2 + — ==- + —= .. ■' vx ;Vx2 - 2 x + 2 VX2 - 2x + 2. Vx2 - 2x -i- 2

> 4x 2 - 9x + 3 = a ( x 2 - 2x + 2 ) + (ax + b ) ( \ - 1) + k , Vx

4 x 2 -9x-tr.3 = 2ax2 + ( b - 3 a ) x + ( 2 a - b + k ), Vx

>

2a - 4

b - 3 a = ~9 :

2a - b + k = 3

;l = 2

b = -3

k = -4

J= fi ^ L = ^ -t £ dX:= (23 Ì-3 )\k2 á & 2 -'4 f—7 = ắ xJ V ? ^ 2 x - - 2 ■ Jv ^v v - 2 x + 2

= ( 2 x - 3 W x 2 - 2x + 2 - 4 J-

dx

Ậ x - \ ) 2 + ỉ

(2x -3) sỉ:x ’.- 2 x t 2 - 4 In |(x - 1);+ -v/cx 7 Ị)2 + ì| .+ .C;

J3= Ị 4 = .~ 9x = ẹjx = ((2x - 3Wx2 - 2x + 2 - 4 Inkx -, 1) + >/(x - ĨF +ĩI)

—I-ị- V *1 ~ H111\ l -r V~ }

_ _ -&V- - 33.X + 75 ,= - 7 - 7- •• • = ^ T ~ r- . ' . V ị- ,

; n/x- - 4 X + J . : ỉ ;L

ả sử. /= [— ~ Ịr 7 31^ dx = {ax2 f bx + c) \j xì p4x + 3 + Ấ: \ -= J ầ = ; Vx• 4 £ ~ A x ± 2 r \ - . ‘ X-: y 'r ; 'V.Y2 - 4.YH-3

y đạo hàm 2 vố ta nhận được:



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phãn - Trầ n Phư ơ ng

9x3-8x2-33x+15 , 1 / T : T (ax2 +b x + c ) (x -2 ) ------ = = ---- = (2ax+b)vx - 4 x + 3 h — — . ===== = ------+ - = =

VX2 - 4\ + 3 Vx 2 - 4 x + 3 v x 2 -

<=> 9x3 - 8 x 2 - 3 3 x + 15 = (2ax + b) (x 2 - 4 x + 3) + (ax 2 + bx + c) (x -*2

9x3 -8 x 2 -3 3 x + 15 = 3ax3 + (2 b -1 0 a )x 2 + (6 a - 6 b + c ) x + (3 b -2 c

3a = 9 a = 3

2b - 10a = -8 b = 11^ 1 <=>•

Oa - 6b + c = - 33 c = 15

5b-2c + k = 15 [k = -10

f = f- - - d x= (3 x2 + l l x + 15)Vx2 - 4 x + 3 - 1 0 f - = = J ^ J J x 2 - 4 x + 3 V x2 - 4 x +

= (3x2 +1 ix + 15)Vx2 - 4X + 3 -1 0 f- r: = i x r J VCx - 2)2 - 1

= (3 \2 +1ỈX + 15)y jx2 - 4 x + 3 -10 1n ị(x -2 ) + - \ / (x -2)2 - l ị + c

Vf9 x3 - 8 x 2 -3 3 x + 15

J4= j-----rr==— " "dx0 V* - -4 x 4 -3

!/*>

- (( 3x 2 + l l x + 1 5W x2 - 4 x + 3 - 1 0 i n | ( x - 2 ) W ( x - 2 ) 2 - l | )0


(5 x3 - 7 x 2 + 8 x - l l ) d x . , r (2 x4 - 7 x 3 + 4 x 2 - 9 x + 5)dxf o x - / X + s x - i u a x t" i r , - . . : ; = ; “ J' ' \ /x 2 +Ổ X + 10 ■” ’2 J V 2 x 2 - 4 x + 7


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§*5. Tích phân các hàm ,số có mẫ u sổ chứ a tam thứ c bậ c 2 - Trầ n Phư

X I. D ạ n g 1 1 : C ác p hư ơ n g pháp thế Eỉiỉer

1. Phư ơ ng pháp: K h ử 'Jax1 +ÒX + C bằng 1 trong 3 phép đổ i biến số sau

l . 1. Đ ặt \Ị ax2 +bx + c = ±\[ã x + t nếu a > 0

ĩ.2. Đ ặt yỊ ax2 + bx + c = tx ± -Jc nếu c > 0

1.3. Đ ặt y[ax2 +bx + c = / ( x - x 0) nếu axị +bx0 + c = 0


đx• K , - ) .

0 x + yị x2 + X + 1

Đ ặt \Jxz + JC+ 1= - x + t =>X2 + X +1 = ( - X + 1)2 = X 2 - 2xt + 12

_ 1 _ t2 _1 _ J _ 2 ( t2 + t + l )=>x( 2t +1) = t - 1=> X = --------------------------------------------- => dx = — -------

.■2t + l , (2t +1)

dx 2Ít2 + 1 -f- l)dt=> K, = 'f _____ Í L _ = ' f

0J x W x z + x + l r t (2 t + l )2

. , 2 (t2 +t + \) _ A B , cG iả sử — -— ——— = — + — r - ^ r + _ r _ ^ fVí

ì (2t +1) t (2t + 1) 2í + l

.=> 2 t2 + 2t + 2 = A (2 t + 1)2 + Bt + c ( 2 t +1) t , Vt

=>2t- + 2 t + 2 = (4A + 2 C )t2 + (4 A + B + C) + A , Vt

A = 2

4 A + 2C = 2 o

4A + B + c = 2

A = 2

C = -3

B = -3


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chirfft!" Ij Các k ĩ thuậ t tinh tích phân - tr ầ n Phirffirg

f í/.v“ /í, = -------p = = --------

..Ị ĩ + \ l l - 2 x - X 2

c - - J > 0 nêii đặt \]ỉ —2.V —A'2 = /_r-l => ] - 2x —X2 —(tx —l)"

2t —2 , —2t“ + 4t +2 A+ x: = 2.\t - \ 3t2 => x ( t 2 + ỉ) = 2 t - 2 = > x =

. (-t2 +2t + l)dt

t 2 + l .► dx =-r~

-I . -I-V2

K .= I - — = S = = = 3’. J- 2 l + v / l - 2 x -x 2 (t2+i)2

L l t 2 +i /_

- ' - í

-1

(t2,-Hĩ)'

(~t2+2t +

t(t-l)(t2

c. ,.. . - r + 2t +1 A B „ w(1 ia s ư ---------- — ------ = — + ------- + —- — , V?

/ ( / - l ) ( r + l ) t / - 1 t + 1

c:> - t ’ +2t + l = A (t - l ) ( t 2 + 0 + B(t2 +l) t + C (t - l ) t ,Vt

Cho X= 1 ==> 2B = 2 4 b = 1 ; Cho t = 0 => - A = 1 => A - -1

Cho t = 2 =:> 5A + I OB +. 2C = 1 <5> 5 + 2C = I <=> c = - 2

-I-n'2 ,K = í (~ĩ2 + 2t + i)dt _ ; ' f r 1 , 1. 2

•' " t ( t - i ) ( r + 0 •! L t + t - ldt

í In l - l -2arctgtî

V t

- \ - J Ĩ

0 / í ;( 2 - .v) (Ix

(.V - jW - .v ’ + 4 .V- 3 , . .

Do - v: + 4.V - 3 = ị x —3 )Cỉ—.v) nên đặt J - X 2 + 4x - 3 = (l - x ) t

-3 = c] —x) t2 - 3 = t 2 (l - x )


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§5. Tích phân các ỉiàiỊ Ị sọ có mầ u sọ cjiimjam thứ c bậ c 2 Trầ n ghtrơ Hii

K < = ] dx

0 1 + y X 2 , -r4x Ý 3

D o x~ —4x +3 =( x 7- ỉ ) (x - 3) nên đặt \ ị x 2 - 4x + 3 = t (x - i)

> X2 - 4 x + 3 = t 2 ( x - l ) 2 =>x - 3 = t2 (x -l )= > x( .l - t 2) = 3 - 12 = ——“T— . . . . 1—t

, 4tdt dx ' f 4tdtdx = — => K4 = ------r -=J_ = = — -----=------------- ;----- -=

( t 3 -- l) ()1 + v x 2 - 4 x + 3 - '3 ( t2 | ) ] I t í ^~ ^ 1 l j

Ỷ 4 td t Ỹ , [ (4 t -4 ) + 4]d t _ 2 Ỹ ( 2 t -2 )d t ^ 'r dt

- 2 - f + 4 I - «: = 2 In|ì~ - 2 , - [ | + n In i = ! b g r= 2 ỉ d^ l- i L i l + 4 ỉ ----- * -----= 2 In|t2 - 2t - 1! + V2 In ------ —=11Ạ t —2t —1 _ j j ( t _ i ) - 2 1 , ' t - l + l ì .

2 In( 4 + - Í S ) + 4 i \ n - - ^ ĩ l - ( 2 l n( 2 + l f i ) + 4 Ĩ l n Ị"1-.+V5 - V 2 y ^ . ; 1+ v3 - V 2 J

2 In

1+ i + À. Ị

: + S - J ĩ ) ' ‘ " ' ì ĩ £ f ặ Ị

4 H-2V5 ^ (l + V 5 + 7 2 )( l + V 3 -V 2 )

.V + V-V" - X - 2

A I v.. v . ; -■ 3 X - V-V - x - ~ 2

Do -V3 - V- 2 = („Y+ T)(.v- 2 ) nên đặt V-V2 - x - 2 = t( x + \)

=> X2 - X - 2 = t2 (x + l): => X- 2 = t2 (x + 1) =5- x ( l - t " ) = t2 +2

V + 2 . 6tdt ■=>x = ^ —f => dx = -

( 1 - t 2 )

"Vx + J x 2 - X- 2 _ ^10f3 t2 + 3t + 2 6tdt (<St2+18t)dt=>K5= | ------ = :•= . dx== - - ■_- - = ----- - T — ------------

,;J2 t2 - 3 t + 2 ( ị _ t 2 f ,J2 (t — 1) (t —2) (t - 1)



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kt thuậ t tinh tích phân 2. Tràn Phư ơ ng

. 6t2 +18í A B c D E ' Giả s ử --------- ^— —— -------= - ^ _ + ------- + _ r _ + __ ------ + ------ —( í - l ) 3 ( / - 2 ) 0 + 1) í + 1 t - 2 t - ĩ ( , _ l ỹ { t - i ý

o 6 t2 + 18t = A( t - 1)3 ( t - 2) + B( t - 1)3 ( t + 1) + c ( t - 1)2 ( t - 2 ) ( t +

+ D ( t - l ) ( t - 2 ) ( t + l) + E ( t - 2 ) ( t + l)

C h o t = - l = >2 4A = - 1 2 = > A = - l / 2

Cho t = 1 => -2 E = 24 => E = -1 2

Cho t = 2 => 3B = 60 => B = 20

Cho t = 0 =>.2A - B - 2C + 2D - 2E = 0 3 - 2C + 2D = 0

Cho t = 3 2A + 8B + 4C + 2D + E = 27 <» 147 + 4C +

Í2 C-2 D = 3 Í3D = -63 ÍD = -21

^ [2C + D = - 6 0 [2C + D = - 6 0 ^ | c = - 3 9/ 2

6t2 +18t - ì 1 _2 0_ _3 9 í 2112

( t - ) ỳ ( t —2 ) (t + 1) _ 2 t + l + t - 2 2 t - 1 ( t - 1 ) 2 ( t - l ) 3

K- = VT T — — — - — - — _____ —

5 ị [ 2 ' t + l + t - 2 2 t - 1 ( t - l ) 2 ( t - 0

/ _ I ln |t + 1| + 201n | t - 2 | - ^ l n | t - l | + U ^ j '

đt

VĨÕ/5

1/2

1. 5 + M 10->/ĨÕ 39 . 5 - M — In---- — + 20 l n-- —— -— In

5

1 . 3 ____ 3 39 , 1

^ 0 _ 3 9 j 5 - M 105 3

5 2 " 5 5 -V ĨÕ + 7 -

- I ln —+ 20 !n —- — In A - 42 + 24 ìV 2 2 2 2 2 1

10-V ĨÕ I , 5 + n/ĨQ 39 , 15-3-v/ĨÕ 19 - n/ĨÕ= 20111------- -------- -111----- -------- — 111-----7 :—

5 2, 5 2 5 3


K , = í '■I

dx

■1 x + v2x2 +2 x + 4: K . í - t

_2 Xvk" + X+ 1 . 5X + VX2


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§6. Tích phân các hàm phân thứ c hữ u tỉ - Trầ n Phư

§6 . TÍCH PHÂN GÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU T ỈI. CÁC ĐỊNH NGHĨA

p ( x )1. P h â n thứ c hữ u tỉ: —~~ với P(x) ,Q{x) là các đa thứ c với các hệ số thQ i x )

p ( x )2. Ph ân t hứ c t hư c sư : là phân thức hữu tỉ - T V vớ i degPịpc) < degỌ ịx)

3. P h ân thứ c đ ơ n g iản: Là các phân thức có 1 t rong 4 dạng sau:

A A Bx + C . Bx+C / __ 2 . n Ị

———; —-T - ------ — -----r r ụ = p - 4 q < 0 ; k B N ) x a (.X —à ) X" + p x + q ị x 2 + p x + q)

4. Định lý tổ ng quát v ề phân t ích đa th ứ c:

Mọi đa thức Q( x)ĩ ậ O với hệ số thự c đều có duy nhất mộ t cách phân t

thành các nhân tử (kh ôn g tính theo, thứ tự sắp xếp các nh ân tử ) gồ m c ác

thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai với biệt thức A < 0 , tứ c là ta có:

Q(x) = A (x -a , Ỵ ' . . . . ( x -ak f (x2 +p ,x + q , Ỵ ‘ . . . ị x2 + pmx +qmf"

trong đó: A & 0; a h ak là các nghiệm thực phân biệt của Q(x); và p„ q

các số thực thoả mãn 4 = p ỉ - 4qj < 0 ; d egQ = rt +... + rk + 2 (sỊ +... + sm)

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM Hữu Ti1. Đ ặt vấn đề:

rP*(x)Xét r = í— 7 -T-dx với P(x), Q(x) là các đa thức với hệ số thực.

J Ổ w

Nếu degP*(x) > deg Q (x) thì thực hiện phép chia đa thứ c ta có:


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chu ơ n" I: Các k ĩ thiự ii tính tích phân -T rầ n Phư ơ ng

rĩ* ( c)2. Phương pHáp chiụig t iỉĩlv/ } v ớ Ị d e g P ( x ) < Ị íiègQ ộ ậ l

Định lý: "Nếu Q { x ) ~ Ạ { x - a l )r' . . .. { x -ak Ỵ k (x* + P/X + q iY ' . . . . ( x + p mx + qm p ị x ) • ' - •• .1 . •'..■•ĩ •' ị,

thì moi phân thứ c hữ írt ỉ thữC sư - đểu biêu diên đư ớ c dửớ i dạng:Q(x)

. (■, . Ị^rmị,:

( x - a kf ( x - a kỴ \

^ỊJ_ - r':> _ 1 , Aị.k- 4 4?.*

6>(.v) . Y - í / , ( * - á , ) r' j [ * - « * . ( * - a /£) 2

f BS i ị X + C s ị

i -Y’ + + CJỊ (*■ + p , x + q ị )2 {x2 + P j X + q, Ỵ ’

í Blmx + CUn B2,„x + C2m Blm„ x + Cím„ I ■

ự - p „ , x + q„, (x2 +p„x + q„ Ỵ ' ' ( x2'+pmx + qmỴ "‘ j

Đ e bạn đọc dễ hiểu, ta xét 4 trư ờn g hợp đặc bỉệt với các biểu d iễn từ ơ ng ứ

2.1. N ếu' ộ (*) '= ( i f - a jy .:.(* - ii/l /) (* - a , ) ' ( x - ớ í+; - ữ„ ) thì giả sử

/ ^ = _ A - + .. .+ - — --1 - + _ A - + Ó+L + . . . + _-4>_,Vjt0 ( x ) X - Ơ I X - a^Ị X - a , X - a ị+l X - an

2.2. Nếu Q(.\) = ( x - a l ) . . . ( x - ũ , ^ ) ( x ~ a ị )k ( x - a ị+1) . . . ( x - a n ) thì giả sử

p ( x ) _ AỊ - ^ A ,.ị + - B ị - B2 _ - [ Bk +

ơ(.v) X-Ơ J X —o'j_Ị . X —ũ ị ( x - ữ ; ) 2 . { x - a , ) k

Ạ +l -4? , -r — - + ■ ,' X - Ọ ị Ị X — â„

2.3. Q{ỵ ) = (x - a , ) . . \ x ~ a ,_, ) {x2 + px + q ) (x - aM ) . . . ị x ~ a„) ; {p2 - 4q <

p(.x) ,Aị . AiH: ; Bx + C Am :: Ạ — + • • • + — - í i — + — ----- -------+ — — — + • • ■+; ——— , V*

Q(x) X-CI, X ~ ai-1 X +p x + q x - aM X - an


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§6. Tích phân các hàm phân ttìứ c, hữ u ti - Trầ n Phư ơ ng

III. CÁC DẠ NG TÍCH PHÁN THƯ Ờ NG GẬ P

1. Dạ ng 1:. Ô U ) = (* - « / • ) . . . ( * - a j ) - «í + / ( x - a, )■

1 . 1 . C á c b à i t ậ p m ẫ u m i n h h ọ a :

2x2 -5.X-3 ‘ ‘ m

-(Lx X 3 + -V' - 2 x

Cách 1: Phương pháp hệ số bất định: Q(x) = X 3 +x 2 —2x =x(x, - l) (x +2)

p ( x ) 2x~ - 5X —3 A u i a sử —-— ---------- ;----- — - —-

Q(x) x3 + x ! - 2 x X x - 1 x + 2 ’

<=> 2x ' -5 x - 3 = A(x - l ) (x + 2) + Bx(x + 2) + C x( ,x -l) , V x (*)

<=> 2x 2 - 5x - 3 = (A + B + c )X 2 +.(A + 2 B -C>;X - 2 A , Vx

2A = 3 A = 3/2 : . 4 = 3/2<=> • A + 2 B - C = - 5 o - 2B -C = -13/2 <=>• B = -2

A -• B - c = 2 í :B + C = Ị /2 c = 5/2

Cách 2: Phư ơn g ph áp gán các giá trị đặc biệt

Thay X = 0 vào (*) suy ra: 2A = 3 => A = 3/2

Tha y X — ĩ vào (*) suy ra: ầB = - 6 =?• B = - 2

Thay X = - 2 vào (*) suy ra: 6C = 15 => c = 5 / 2 1 r ~ -* 1 J ' ■ ■ *1 ■. r'lx~ - i x - 3 . i fdx - f dx 5 r dx

I, = H r — T~ ---- dx = - - - 2 - ^ - + - ị-J x3 + x 2 _ 9 v 2 J X - lx-1 2 J2x 2 J X •' X -1 2 J x + 2'

= —ln |x | -2 1n |x - l | + —ln |x -2 | + c

W - x \ + 2

X4 - 5x2 + 4

p ( x ) x J +2

o t r )

dx ; o(x ) = X J-- 5x2 -T4 = {x - l ) (x + l ) (x - 2){x + 2)

------= --------■+,-------+ ----------+ -— ■ 5x +4 X - 1 x - 2 x + 1 x + 2

Giả sửy \ x ) X \ -3 X ~ + 4 X - J x - z X + J X + Ẩ

X3 + 2 = a (x 2 -4 ) (x + 1) Ịb( x2 - l ) (x + 2) + c( x2 ~ 4 ) ( x - 1 ) + d ( x 2 - l ) (x -2 ) , Vx (* )

Thay X = 1 vào (*) thì -6 A - 3 <z>A = -1/2 :

Thay X = 2 vào (* ) thì 12B = 10 o B = 5/6

Thay X = - 1 và o (*) thì 6C = 1 » c = 1/6

Thay X - - 2 vào (* ) thì -12 D = -6 o D = 1/2


WWWFACEBOOKCOM/BOIDUONGHOAH

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phân —Trầ n Phư ơ ng

V.

T f X3 + 2 , I r d x 5 r dx 1 f d=> I, = —;----------------- —--------- dx =— - + - —— + - Ị— —

J x 4 - 5 x 2 + 4 2 H - 1 6 ' x - 2 ó - lx + l 2 -» x + 2

= ln ịx- l| + —lnịx-2|+-ỉ-ln|x-t;l| + —ln|x + 2| + c

• I3 = f - ệ^— Ẽ ỉ iH Ỉ L dx; Q(x) = x3 +x2- 4 x - 4 = (x + ỉ ) ( x -2J A:3 + x 3 - 4 x - 4

, p ( x ) 2 x 3 - 8 x + J 0 A B C , ,

G iả s ử p r = —7 ------r— ------------------------= ——- + — + - ,V xQ íx ) X + x - 4 x - 4 x + 1 x - 2 x + 2

ọ 2x2 - 8x .+10 = A (x2 - 4) + B(x + l)(x + 2 ) + c (x + l)(x - 2 ), Vx

Thay X = -1 vào (*) thì 20 = -3 A => A = -20 /3

Thay X = 2 vào (* ) thì 2 = 12B => B = 1/6

Thay X = - 2 vào (*) thì34 = 4C c = í 7/2

_ f 2x2 - 8 x +10 J _ 20 f dx 1 f dx 17 f dx

3 J X 3 4- V 2 — 4 v — 4 ' 3 J x + 1 ( í J y - 2 2' X + X - 4x - 4 3 J x + 1 6 J X - 2 2 J X + 2

= In |x + 1| + —In Ịx - 2| + — In |x + 2ị+ c3 6 2

, _ r x 3 + l , p* (x )_ , 5x2 - 6 x + ỉ , p(x)* I 4 - 1 ------- IÍX ', - 7 f = ì + —;---------------------- í --= 1+

■*x — 5x + 6x Q(x) X - 5 x + 6 x Q ( x )

Q ( x ) = x 3 - 5 x 2 + ố x = x ( x - 2 ) ( x - 3 )

n:* , P ( x ) _ 5 x 2 - ổ x + 1 a B c ■Giả sử -— T- = — ------ ,---------= — + -----------------------+, \ /x

Q \ x) X - 5 x + 6 x X x - 2 x - 3

o 5x2 - 6 x + l = A ( x - 2 ) ( x - 3 ) + B x ( x - 3 ) + C x ( x - 2 ) , Vx (*)

Thay X = 0 vảo (*) thì 1 = 6A » A = 1/6

Thay X = 2 v à o (*) th ì 9 = - 2 B <=> B = - 9 /2

Thay X = 3 vào (*) t h ì 28 = 3C <£> c = 28/3

I4 = f _ í l ± Ị _ đ x = fdx + ị f - ^ - 3 f - Ẻ L■*x - 5 x + 6 x ■* 6 ■> X 2 V X - 2 3 • ' x - S

= x + — In ịxị—— l n |x - 2 ị + — l n |x - 3 j + c

1.2. Các bàì.tậ p dành cho bạ n đọ c t ự giả i:

i = K * 1 ~ 5x2 + 3 . x - 7 ) d x ỉ _ f ( x 5 - 9 x 3 + 3 x - 4 ) d x

' J X 3 - X 2 - 4 x + 4 ’ 2 J x 4 - 1 0 x 3 + 3 5 x 2 - 5 Ữ X + 2 4


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§ố. Tích phân các hàm phầ n thứ c h ữ u t ỉ - Trầ n Phư

2. Dạng 2 : Q ( x) = (x - a ,) .. . ( x - aw ) ( x - ấ ị)k ( x - a i+1) .. .( x - a „ )

2.1. Các băi tậ p mẫ u minh họ a:

■ / , - í 3x2 + 3x + 3

X 3 -3x + 2 dx

Q( x) = x 3 - 3 x + 2 - ( x - ] ) { x 2 + x - 2 ) = z ( x - i ỹ (x + 2 )

_ , p ( x ) 3 x 2 + 3 x + 3 a B c wGiả sử —7 -T = —7——----- = ---- T + ---------------------- i---. Vx

Q(x) JC - 5* + 2 ị x - i ) X~1 x + 2

o 3x2 + 3x + 3 = A( x + 2) + B ( x -1 )( x + 2) + C(x - l ) 2 , Vx (*)

Thay X = 1 vào (*) thì 3A;= 9 =i> A = 3

T h # X = - 2 vào ( * ) t h ì 9C = 9 = > c = 1

Thay X = 0 vào (*) thì 3 = 2A - 2B + c => B = 2

3x 2 + 3 x + 3 , _ f đx - f dx f đxrJX" + JX + á , _ f ax „ f ax f J ,= - T - — -------dx = 3 — ~ - + 2 -------+ -■ ' X - 3x + 2 J(x -1 ) Jx-1 ->x + 2

-3 — — + 2 J n |x - l | + ln|x + 2| + c

Ĩ - V (4(4x + 4)dx

-1 (x* -4x + j)

Q(x) = (x2 - 4 x + 3Ỷ = (x - i)2 (x - 3)2

p ( x ) , P ( x ) 4x + 4 A B c D Giả sử ~-r = --------- — -------r- = — ---+ ---------- 7 + -------+ ------ , Vx

{x2 - 4 x + 3) x ~ l i x - 1 ) x ~ 3 ( x - 3 )

o 4x + 4 = (A + C ) x 3 + Í - 7 A + B - 5 C + D ) x 2 +

+ ( 15 A - 6 B + 7 C - 2 D ) x + ( -9 A + 9 B - 3 C + D ) , V x (*)


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

100

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng /;• Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ờ ng

f 4x + 4 r J / 2 A o')2 J

- I (x - 4 x + 3J -1

= 1 3 ln|x —lỊ— — ------3 I n | x - 3 |

3 .2 _____ 3 _ . 4

x - l + ( x - l ) 2 x - 3 + ( x - 3 ) 2 „dx

x - 3 _ 4 , 1 2= —+ 31n-r

3 3

• J h

dx

( .r + i) ( x + 2)~ ( x + 3)3

1 A B c D E F ------------------- ---------- — ——— f -----------------------------------—+ 7- — H------- r •(-----(jc + y)U + 2): U + i) * + U + 2) (x + 2) ( x + 3) (x + 3) x + 3

» I = A ( X+ 2)2 (x.+3 )3 + B(x + 1)(x + 3)3 + c ( x +1 )(x + 2 )( x + 3)3 +

+D (x + 0 ( x + 2)2 + E ( x + l)(x + 2)2 (x + 3) + F (x + l) (x + 2)2 (x + 3)

Lần lirợt thay X = -1 , X = -2.; X = - 3 vào (*) suy ra: Ạ = —; B = -1; D = -8

Sau đó đồng nhất các hệ số ứng YỚi. các lũy thừa X*, X4, X3 ta có: .

A + C + F = 0

<<3A + B + 12C + E + 11F = 0 <»

67A + 10B + 56C + D + 8E + 47F = 0

dx 1

c = 2 'E = -5/4

F = -17/8

=>J-. [----------------------— -=- ln |x + l |+— + 2!n|x+.2|+—----- ~(>c + l)(x + 2) (x + 3) 8 1 1 x + 2 • ' 1 4 (x + 3)2

(x + l )( x + 2)16

1 1

5 17, , 9x2 + 50x + 68 1,-—7~ — T - — In x + 3 + c = ---------- — —— - + - l n4 ( x + 3 ) . . 8 4 (x + 2 ) (x + 3) 8 (x + 3)

+ c


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§6. Tích phân các hàm phậ n thứ c hữ u t í - Trầ n Phư ơ ng

. Dạn g 3: Q(x) = (x -a ,) .. .( x -aî )(x2 +px +q) ...(x -a„); (p2 - 4 q < 0)

3.1. Các bài tậ p mẫ u minh họ a:

_ r { x 2 + ì ) d x

Q { x ) - X 4 + X 2 + 1 = {x2 + ì ) - X 2 =(x2 +x + ì){ x2 - x + ì )

Giả sử p ( x ) _ X 2 + ỉ _ A x + Ẽ Cx + D

, \/xQ ( x) x 4 + x ? +1 x 2 + x + i x 2 - x + ] '

X 2 +1 = (Ax + B)( x2 - x + l ) + (Cx + D) (x2 + x + l ) , Vx

<=> X2 +] =(A + C)x3 +( . -A + B + C + D)x2 + (A - B + C + D)x + B + D,Vx

A + c = 0

C+;D = l/2<=>

A + C = 0

-A + B + c + .D = 1

A - B + C + D = 0

B + D =1

<=>D - B = 0

B + D =1

A —c = 0

B = D = — 2

> L, = f (x: + I j dx = 1 ị f _ J — + _ _ J _ _ ì d x1 J x 4 + x 2 +l 2 A x 2 + x + l x 2 - x + l j

í -

M Ỉ + Í Ỹ Ĩ b ỉ ỉ W

s

_ _ a _ 2 x .+ 1 _ 2 x - larctg - -Ị=—+ arctg ■

Vã,+ c

L 2 = — - d xị x 4 + r

Q(x) = x4 + ] = (x2 + 1) - 2 x 2 = {x2 -x ỳ Ỉ 2 + ì){x2 +XyJl + ì)

. , , . p ( x ) X 2 - 1 Ả x + B Cx + DGiả sử — ~ r - T— — 7=-----+ —-------~ĩ=----->v *

Q ( x ) X + 1 X + X 4 2 + I X - X ^ J 2 + 1



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phân' - Trầ n Phư ơ ng

o X2 - 1 = (Ax + B )( x 2 - X y f ĩ + l) + (Cx + D )( x 2 + X y J Ĩ + l), Vx

o X2 - 1 = (A+ c) X3 + (-A>/2 + B+ + d) X2 +

+ ( a —Bn/z + c + D"s/2 ) X + (B + D ) , Vx

<=>

A + C = 0

- A - J 2 + B + C J 2 + D = 1

a - b V 2 + c + d ^ = 0

B + D = - l

T i f '

<=>

A = - V 2 / 2 B = —1/2

c = V 2 / 2

D = -1/2

1 2

= f— Jx4 +

* _ 1 dx = .x ’ + l • 4 \0

(• 2X - V 2 V 2 x + \ Ị Ĩ ,

’ x‘ + + 1

InỊx2 -x V 2 + l|- ln |x 2 + x-v/2+l|j ' - £ h40

X2 - X y / Ĩ + Ỉ

X +xV2+l ■ t K

dx

j A-U3 + 1)

Tã CÓ: Q(x) = x ( x 3 + 1) = x ( x + l ) ( x 2 - X + ])

. - p ( x ) 1 Á B Cx + D uGià sử — y—r — —7—---- 7 = — + -------- + —;— ---- »v*ổ w x U J + / ) X x + 1 X - X + 1

<=> 1= ả ( x 3 + l) + Bx (x2 - x + i) + (Cx + D) x( x + 1),Vx (*)

Thay X = 0 vào (*) thì A = 1

Thay X = -1 vào (*) thì 1 = -3 B => B = -1 /3

Đ ồng nhất hệ số của X3 và X2 ở hai vế ta có:

ÍA + B + C = 0 f c = —A —B = -2 /3

Ị - B + C + D = 0 Ị d = B - c - 1 / 3

L - 2f _ Ẻ i _ - 2f^ x _ i 2f_ Ẻ L 1 2f 2x! " | x ( x 3 + l ) ” f X 3 1 X + 1 3 J X2 - x + 1

■ dx

- l n | x | - - l n | x + l | - - l n | x 2 - x + l |j = 2 , „ 13 3


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§ố. Tích phân các hàm phân thứ c hữ u tỉ - Trầ n Ph

2

3x4 + X 2 + X + 2 X s - X 4 + X 3 - X 2 + X - Ỉ

dx

Q(x) = x3 -XJ +x3 - X 2 + x - ỉ = (x -] ) ( x 4 +x2 + ì) =( x -ì ){ x 2 - x + ì){x2 + X +

p (x) A Bx + C Dx^r E Giả sử — = —------ ---- ------ -------------------------- = ----------+ — ------ — + —Q \ X ) X - X +X T - X ' + X — 1 x - l X - x + l X + X + J

o 3 x 4 + x 2 + x + 2 = a ( x 4 + x 2 + 0 + (Bx + C ) ( x - l ) ( x 2 + x + l) +

+ (Dx + E ) ( x - l ) ( x 2 - x + l) , Vx (*)

Thay X = 1 vào (*) thì 6 = 3A => A = 2

Đ ồng n hất các hệ số 2 vế của (*) ta có:

A + B + D = 3 B + D = 1 A = 2

C + E - 2 D = 0 c + E - 2D = 0 B = 1

A - C - 2 E + 2D = 1 » • c + 2 E - 2 D = 1 <=> ■c = - l

-B - D + 2E = 1 -B - D + 2E = 1 0I I Q

A - C - E = 2 C + E = 0 E = 1

f 3x + X + X + 2 , 2 x - 1L, = ■ ,---- r -T------- dx = II ——+ —T— + -

- X + x - X + X - 1 ' V. X- 1 X - x + 1 X + X + U

= 2lnlx-ll|:‘ '2 2 J. X - x + 1 2 ịx - x + 1 | x +X + 1

- 1 Vd(x2 - x + l ) 1 3f đx 3f

1đx

, 2 i „ 2 + i sf i í ĩ ^ ± ^ - ì r ■* X - x + 1 9

'H í3r______dx

’ R ) M # Í■ . V 3

= 2 ln 2 +1 . I 2 ,1 1 2 x - l 2 t 2x + l

_____ — ln|x - x + l l— J= arctg • ■_ + - = a r c t g y 2 V 3 v3 \ 3 \/3

, 1 , 7 ỉ ( 5 n ) 2 ( 7„= 2ln,2 + - ^ r c t g ^ - | J + - ^ a r c t g - ^ - a r c t g


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng /■- Các k ĩ thuậ t tính t ích phẫ n - Trầ n Phư ơ ng

4. D ạng 4: Q (x ) = ( x - a , ) . . . ( x - d i - i M X ? + p x + q )k. .. ( x - a , J ; ( p2 - 4 q <

4.1. Phươ ng pháp:

c { B x + C ) d xXét đại diện nguyên hàm bộ phậri: I m = I - ----------- - — vớ i <

ị x 2 + p x + q ) [ p 2 ~4 .q

Ị = ff (2x + p^ + ( c ~ ^ ) d:, B ị-d (x 2 + px + q ) f c Bp'l f dx

(x2 + px + q) ^ X2 + px + q V ^ ^ (x 2 + px +

----------? ---------T +(c - — ìf---- —r -2 ( l - m ) ( x 2 + px + q)m A 2 ' (x 2 + px + q )ra2 ( l - m ) ( x 2 + p x + q) A ? ' ( x 2 + p x + q )

d í X + •—ìĐặ t J„ - í7------ i i ----------------------------------------- = f. .....dt, -

. •' v + p x + , r J | 7 £ J V r f f

với I = X + ~ ; » = - T a s ẽ ì í n h J,„ - í------- ------ t h e o ă c á c h

CVíc/í i: Phương pháp lượng giác:

^ , ữí/a T f ada/cos2a ] f, ọ .m-7 Đ ãt / = a l g a =>dt = ——-— r = ỉ> = 1— ------ jvcosa) d ar n c - r / Jr w i \"]m fl2m_’ JCOS a [a (l + tg a)J a ■■


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§6i Tích phậ n các hăm pìtãn iỉtữ c hữ u. tỉ - Trầ it. Phư ữ ng

J = -

1 t ___ 1 f , dt

2 ( m - l ) (ị2 ^ a 2)m' 1 + 2 ( i r í - l ) i ( t 2 + a 2 ) - '

1 ________ t 1

2 ( m - l ) ' ( t 2.f a 2y»-! ” 2 ( m - l )

Thay (2) vào (1) suy ra:

I j _J>m 2 m-1 2a a

=>

1 __________t 1

' 2 ( m - l ) ' ( t2 + a 2) ra-1+ 2 ( m - l ) m-'

=t ì 2 m —3

2a2 (m —l) {t 2 + c? T ' + 2m " 2 m~!

ây là hệ thức tr uy hồi để có thể tính đư ợc Jro.

.2. Các bài tậ p mẫ u minh họ a:

r _ sf 2 x 2 + 1 8

Li =\t •ị ( 1 (x2 - 6x + 1 3 Ỵ(bc

Giả sử. P ( x ) 2 x 2 + 8 _ Bx + C Dx ~ E

Ổ ^ ) ( x 2 - 6 x + 1 3 ) ( x 2 - 6 x + 13) x - 6 x + 13

, Vr ■

. 2x 2 +18 = (Bx + c ) + (Dx + E )(x 2 - 6 x .+13 ) , Vx' (*)

2x2 +18 = Dx3+C-6D + E)x2 + (B + 13 D -6 E ) x + (C + 13E) , Vx

D = 0 B =

-6D + E = 2=> • 0 -

B + 13D - 6E - 0 D =

C + 13E = 18 E =



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tỉnh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

— 1 — 1 <x2- 6 x + 13)

‘ * 2s ) đ (x --3\ * " 3, i [ ( x - 3 ) ’ + 4 j

Y + a r ct gđ

2 " ' i [ t 2 +

Xét M = Đặ t / = 2tgữ r=>íf/ = - ^ ^ - ; t 2+4=4(tg2a+ l' . cos a v- W - + 4 ) -

t = -2=>a = - - ; t = 2=>a = -4 4

2 , 7t/4 tc /4

M= f——— f — ----------- — = — ( (l + cos2a)da- 2 ( t 2 +4 )-í/4 cos2 a — — 1 6-*/4

cos4 a

%ỊAỈ i n 1 n 1'ì 7t 1= _ _ + _ + _ + _ i = — + _ Ị Ị- -— + ị ! —------ i-----

I ổ U 2 4 2 ; 32 16

T _ % oou „ 11 00 ( 71 1 1 llrc 7L, = —+ 28M = —+ 28 —- + — = — + —1 2 2 v32 16 J 8 4

T _ -2x" + -2* + 13-ỂÍV

i (jc - 2) (jc" + ì y

, .p(x) + 2x + 13 A Bx + C D x +E Giả s ử — 7-^ = -------------- :----------- — -------- -T- = — - + ——- — r + —Ổ ( x ) ( x - 2 ) ( x 2 + j ) x ~ 2 ( x 2 + ỉ ) * + /

<=> 2x2 +2x + 13 = a ( x 2 +l) 2 +(Bx + c X x - 2 )+ (D x + E )( x -2 )( x 2 + 1)

<=> 2x2 + 2x +13 = (A + D) X4 + (-2 D + E) X3 + (2A + B + D - 2E) X 2

+ ( -2B + C - 2D + E) x + ( A - 2 C - 2 E ) ,V x

« •

A + D = 0 A = 1

-2D + E = 0 I I I M

2A + B + D - 2E = 2 <=>• c = -4

- 2 B + C - 2 D + E = 2 D= -1

A - 2 C - 2 E = 13 I I I w

84


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§ố. Tích pỊtân các hàm phân thứ c hữ u ti - Trầ n P

4

i2 x 2 +2 X + 13 = 4f dx * )~ 7-

3 X~ 2 3j (x7

dx f 3:í + 4 , r x + 2- d x - -T-— <

} X2 + 1( x - 2 ) ( x 2 + l ) 2 3J x ~ 2 3 + 1)

_ 4r dx 3 4f 2xdx 4f dx1 4j*2xdx ^ 4f dx

_ 3j x - 2 " 2 3J (x Z + l)2 3 J ( x 2 + 1) 2 2 j X 2 +1 Ị S T l

= ( ln|x- 2|" ĩ ũ b ) ) * - 4 / ũ í õ r " í ĩ ' " ( x , + l ) + 2are,SX)

- — ln — + - 2are: g í + 2arctg3 - 4 í— — 2 17 340 J ( X2 +1 )2

Xét M = f Đ ặ t X = t g a =>dx = d ( t g a ) = —ịSL— , H x 2 + l ) c o s a

4 , arctg4 , / 2 arctp4 , / 2M - f ax _ r d a / c o s a _ f d a / COS a

3 (x2 + l) ’ arctg3(tg2a + l ) an:tg3 f _ j _ )

arctg4 J arctg4 \ f I ^= I cos2 a d a = — I (l + c o s 2 a ) d a = — i a + —s i n 2 a l

árctg3 arctg3 ^

arctg4 + tg(arctg4)1+ tg2 (arctg4)y

arctg3 +

4 [ a r c t g 4 - a r c t g 3 + i 7 - i l

1, 40 21 „ , „ / f L, = —In — + ——- - 2arctg4 + 2arctg3 - 4 ■

tg(arctg3)1 + tg 2 (arctg3)

"‘i f ^ . , v : .

dx

arctg4

arctg3

\


G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ĩ: Các kỉ thuậ t tinh tỉcỉĩ phân - Trầ n Phirơ ng

•> ỉ ‘ 'ì í ‘ x 4 + 4x3 + 7x2 +Ổ X + 2

dx( x J + 2 x + 2 Ì "

, p { x ) X 4 +4 X1\ + 8 x 2 + 4 x + 3 1 a có: — — ■------------------------- ------

Ct' + 2 x + ì f

J 'rx4 + 4 x 3 + 8 x2 + 4X+.23

0 (x 2 + 2 X + 2 )

=;■4x + 1

{x2 +2x + 2 )

' r x 4 + 4x3 + 8x2 + 4x +.23 J '(f, ; 4x + l 1= ----- -----------— ------- 5------- -d x = I 1 - — ----- - - dx

0 ( x 2 + 2 x + 2 ) 0 ( x 2 + 2 x + 2 )

i «J [ ( x + o ! + i ] > v + 0 . ( • ’ + 1)

= I _ 2 j p i i l ± 0 +3

/ ( t 2 + l ) 2

(t* + i f ' l ( e +ĩ)2

,J(t2+ i)2 t2+ i , I = —+ 3 f -

5 / (

dt

( t 2 + l ) 5 i ( t 2 + l )

7Xét M - f— —— Đ ặt t = t g a => dt = d ( t g a ) = — - —

r ( r + / ) cos ữ

Yf _ 2f dt _ a,clf2 d a /c os2 a _ arc,f2 d a /cos2 a

I ( r + l ) 2 ft/4 ( t g 2a + l ) It/4 Ị ■: h V

\ co s2 a J

■irctgj J arctg2 / J \

= J COS2 a d d = — I 0 + c o s 2 a ) d a = — Ịa + —s i n 2 a 1IA 2 . • 2 , \ 2 J n, 4 tt/4

arctg2

Jt/4

i f tg(arctg2) ^ 1 fTt 1 . i f - n 1= — arctg2 + — - — + —sin— = — a rc tg 2 -—- —-

2 I + tg (arctg2) J 2 1 4 '2 2 ) 2 1 4 10


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§7. Phư ơ ng pháp ồ x trôgratxki - Trầ n Phư ơ ng

§7. PHƯƠNG PHÁP ÔX TRÔ GR AT XK Ĩ ĐỂ TÍNH

TÍCH PHÂN GÁ C HÀM PHẪN THỨ C HỮU TỈ

GIỚI THIÊU CHUNG VÈ PHƯ Ơ NG PHÁP ÔXTRÔGRATXKI

ỹ P (x)t I = j - y -dx ; P(x),Q(x) là các đa thứ c với hê số thưc v à degP < degQ.

J Q(x )

u Q(x) có nghiệm bội (thực hoặc phức), hay Q{ x) - A{ x) \B {xỹ \ , { 2 ỉ k e Z )

có thể biểu diễn tích phân I dưới dạng giả định sau đây:

(*)r_ G ( x ) r R ( x )

I q ( x ) Q Ặ x ) J q 2 ( x )ílx

ng đỏ Q , (x ) = Ư C L N { q(x ) - ,Q ' ( x ) } và Qj ( j c ) ^ q (x ) :Q , ( x )

x),R(x) là các đa thứ c có hệ sổ chưa đư ợc x ác,định vớ i degG = d e gũ / - ỉ ;

gR = cìegQỉ - 1. C ác hệ số củaíR(x) và G(x) đ ư ợc xá c định bằng cách lấy

o hàm 2 vế cùa đẳng thức (*) rồi đồng nhất các hệ số của 2 vế nhận được.

CÁC BÀI TẬ P MÃU MINH HỌA

xdx — . Ta có : Q{x) = {x - ì ) ( x + í )

J ( x - l ) 2 ( x + l Y

Q '(x) = (x - l ) (x + í )2[2(x +1) + 3 (x — 0]

Q, ( x ) = ( x - ] ) ( x + l) 2 ; Q , ( x ) = ( x - l ) ( x + l)> y ju ; = u - m x + u u ; = i x - m x + i;

, . r xdx A x 2 -vBx + C „ r dx „ t dxả sử I, = --------- F -------- r = -------- — ------r + D \—— + E — —

J ( x - 7 ) ( x + j ) ( x - y ) ( x + J) h - l ) x + l

o hàm 2 vế ta nhận đượ c:

U 2 - 0 ( 2 A x + B ) - ( 3 x - 1 ) ( A x 2 + B x + c ) D E- + ----------

- l ) 2 (x + l)3 ( x - l ) 2 (x + l)3 . x - 1 x + 1

>x = ( x2 - i )(2Ax + B ) - (3 x -1)(Ax 2 +B x + c } + D( x - 0 ( x +1)3 + e (x 2 - l ) 2 ,Vx

x = ( D + E ) x 4 + ( - A - ì 2 D )x 3 + ( A - 2 B - 2 E ) x 2 +

+ ( - 2A + B - 3 C - 2 D ) x + ( c - B - Đ + E)R7


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t t inh tích phân —Trầ n Phư ơ ng

<=>

D.+ E = 0 A = -1 /8

- A + 2D = 0 B = -1 /8

A - 2 B - 2 E = 0 O ' c = - 1 / 4-2A + B - 3C - 2D = 1 0 I I 1 O

S

C - B - D + E = 0 E = 1/16

J _ f xđx _ X 2 + X + 2 1 f dx I f dx

' T •l ( x - l ) 2 ( x + l )3 ~ ~ 8 ( x - l ) ( x + l ) 2 " Ĩ6 t a i + Ĩ6 f c ĩ

X + X + 2 1 ,+ -~-ln

8 (x - l ) ( x + l )2 16

đx

x + 1

X —1+ c

“ f ——- . T a có: Q{x ) = {x 3 + ì ) => Q' (x) = 6x2 (x 3 + 1

v + i )

> Q, ( x ) = X3 + 1 ; Q 2 ( x ) = x 3 + l = (x + l ) ( x 2 - x + l )

dx Ax2 + Bx + C „ r cbc t E x + F

( x 3 + ì ý dxGiả sử / , = f—

. t Y XJ + 1 J x + Ỉ J x ' - X + ]

Đ ạo hâm 2 vế ta nhặn được:

1 (2Ax + B )(x 3 + i ) - 3 x (A x 2 + Bx h -C ; D Ex

(x3+ l )2 (x3 + l )2 + l + x2

o 1 = [ (2 A x + B ) (x 3 + l ) - 3 x ( A x 2 + Bx + c)] + D(x + l)( x 2 - x +

+(Ex + F)(x + 1)2 (x2 - x + ọ

o l = ( D + E )x 5 + ( - A - D + E + F)x4 + (-2B + D + F)x3 +

<=>

+(-3 C + D + E )x 2 + (2 A -D + E + F ) x + (B + D + F)

D + E = 0 oI I <

- A - D + E + F = 0 B = 1/3

-2 B + D + F = 0 o I I o

-3 C + D + E = 0 D = 2/9

2 A - D + E + F = 0 1 I I w

B + D + F = 1 F = 4/9


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N




§7. Phư ơ ng pháp Ôxtrôgratxki - Trầ n Phư

=> ỉ _ f dx X 2 f dx 1 f 2x - 4

2 ( x 3 + l ) 2 ~ 3 Í x 3 + l ) + 9 J x + 1 9 J X2 - X + 1 x

X 2 , 1 ,1 1 f 2 x - l 1 f dx

—7 —— T + —lnịx + lỊ— lnịx2 - X + 1Ỉ+ -3(x 3 + l) 9 ' 1 9 I I 3 i f

' H Ly v r 1

- + C

( - Ỉ )

X 1 ( x + l ) 2 2 2 x - l

= —7 — — r + —ln - — + — pârctg '3 (x + l ) 9 X2 - x + 1 3yíĩ s

• I , = f -------Ta có: Q(x ) = (x2 +2x + 2)' (jc' + 2 x + 2 )

=> Q ' (x) = 4(x + l ) (x 2 + 2x + 2 ) =í> Q, (x ) = Q2 (x ) = x2 + 2x + 2

1- f ỵ 2dx Ax + B r Cx + D ,

G i ả s ử / , = 1---------- — ------7 = —T——-------+ I -■... — ------- dx( x * + 2 x + 2 ) x + 2 x + 2 * x + 2 x + 2

Đ ạo hàm 2 vế ta nhận đượ c:

X2 _ a (x 2 +2 x + 2) + (Ax + B)(2x + 2) Cx + D

(x2 + 2x + ì ỷ (x2 + 2x + 2 )2 X2 + 2x + 2

<=> X2 = [ a ( x 2 + 2 x + 2) + ( A x + B ) ( 2 x + 2 ) ] + ( C x + D ) ( x 2 + 2 x + 2)

o x 2 = Cx3 + (- A + 2C + D) X2 + ( -2B + 2C + 2D) X+ (2Â - 2B + 2D)

c = 0

- A + 2C + D = 1o

-2 B + 2C + 2D = 0

A = 0

B = 1

c = 0


N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ns l i Các kĩ thuậ t tilth tích phân - Trầ n Phư ơ ng

dx° = í , , V’ ■

(xJ + ỉ)

Ta có: Q(x )= (x * + l f => Q '( x ) = 8x3 (x 4 + l ) => Q, (x ) = Q2 (x ) = X4 +1

Giả sử I4 = * Ax3 + Bx2 +Cx + D f Ex 3 + Fx2 +Gx + H ,

- + J - ---------■ -------------*

x 4 + l

' { x 4 + l f x 4 + ỉ J ỵ 4 + I

Đ ạo hàm 2 vế ta nhận được:

1 (3Ax2 +2Bx + c ) (x 4 + i ) - 4 x 3(Ax 3 +Bx 2 +C x + d ) Ex 3 +Fx 2 +Gx

ũ 77 Õ r = ; (x4 + l) 2 . ... +

» 1 = [( 3 A x 2 + 2Bx + c ) ( x 4 + l ) - 4 x 3 (Ax3 +B x2 +Cx + d ) ] +

+ (E x 3 + F x 2 + G x + h ) ( x 4 +l)

<=> 1= Ex7 + ( - A + F ) x 6 + ( -2 B + G ) x 5 + ( - 3 C + H ) x 4 +

+ (-4 D + E) X 3 + (3 A +F) X 2 + (2B + G) X + (c + H)

E = -2B + G = 2B + G = 0 e = b = g = o E = B = G = 0-4D + E = -A + F = 3A + F - 0

0I I n* I I c I I Q ơ I I > I I T

i I I 0

0-3C H- H = 0 -3 C + H = 0 ° . ”

^ f -I I 0

c + H = 1 C + H = 1 I I X

J

r dx _ X 3 r dx _ X 3_k

4 ~ G ? T l 7 ~ 4 (x 4 + l) f 4 i x 4 + ĩ:_ 4.(x4 + l) + 4

L = M ĩ — i í < í l ± l h í í ĩz ' ) d x = l f r i ^ l d x _ p ị - ị o .J V4 I 2 J X 4 +1 2 v J x4 +1 =■ .X +1 .X4 + 1 2 J X4 +1

1+-V 1—-4^

ể i dx"Ẻ Ịx + ’ ^X x

dxf d t x ~ x ) r “ (x t x)

K í . - * ' ® 2 K ĩ ^ >


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§7. Phư ơ ng phầ p Ôxtrôgratxki - Trầ n Phư ơ ng

dx

(x4 - l Y

{x) = {x4 - ì ) =>Q ' (x) = 12x3 (x4 - l ) =>Q, (x) = (x4 - l ) ;Q2, (x) = x4 - l

, Ax7 + Bx6 + Cxs + Dx4 + Ex3 + Fx2 +Gx + H rKx3 + Lx2 + Mx + N ,

ả sử L = --------------------------- ----- ------------- — + — ■— ‘—;-----------------------dxU - l í J x 1- *

ạo hàm 2 vế ta nhận đượ c:

1 ( 7A x6 + 6 Bx 5 + 5 Cx4 + 4 Dx 3 + 3E x2 + 2 Fx + g ) ( x 4 - 1)

4 - 0 (x 4 —l)

4x3 (a x 7 + Bx 6 + Cx5 + Dx4 + Ex3 + Fx2 + Gx + h ) K x 3 + L x 2 + M x + N

(x4 - l ) 3 + x4 - l

l = (7Ax 6 + 6Bx5 + 5Cx4 + 4DX3 + 3E x2 + 2Fx + g ) ( x 4 - 1 )-

- 4 x 3 (A x7 + Bx6 + Cx 5 + Dx4 + Ex3 + Fx2 + Gx + h ) +

+ (K x3 + Lx2 + Mx + n )( ; ' - l ) 2

1= Kx 11+ (- A + L) X10 + (-2 B + M ) X9 + (-3C + N) X8 + (-4 D - 3K) X7 +

+ (-7 A -1 1 E - 2L) X6 + (-6B - 6F - 2M) Xs + (-5C - 7G - 2N) X4 +

+ (- 4 D - 8H + K) X3 + (-3E + L) X2 + (-2 F + M ) X + (- G + N)

K = - 4 D - 3 K = - 4 D - 8 H + K = 0

-A + L = -7A -1 IE - 2L = -3E + L = 0

- 2 B + M = - 6 B - 6 F - 2 M = -2 F + M = 0 o

-3C + N = -5C - 7G - 2N = 0

- G + N = 1

fD = H = K = 0

A - E = L = Ò

B = F = M = 0 <»

7N = 21C; 7G = -11 C

32C = 7

P = H = K = 0

A = E = L = 0

B = F = M = 0

7N = 21C; 7G = —11C

7 N - 7 G = 7

D = H = K = 0

A = Ế = L = 0

B = F = M = 0

c = 7/32

N = 21/32

G = -11/32

91



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






=> I, =7x5 - l l x 21 ị- dx 7x 5 —l l x 21

3 2( x 4 - l ) 2 + 32 V - 1 = 3 2( x4 _ l}2 + 64 V - 1 " x 2 + l j

7xs -1 lx 21 rd (x 2 - l ) 21 f 1 •

32 (x 4 _ i ) 2 + 128

J X 2 - 1 64 'X 2 +1

7 x 5 - 1 1 x 2 1

32 (x 4 - l ) 2 128In

x - 1

x + 121 *------arctgx + c64

X 2 + 1-d x ; Tĩl có: Q(x) = (x4 + X2 + ì )

( x4 + x 2 + l )

Q '(x ) = 4( 2x 3 + x ) ( x 4 + x 2 + l) =í> Q, (x) = Q, (x ) = x4 + x 2 +1

Giả sử I6 = J-X +1

(x4 + X2 + l)z-dx =

Ax3 + Bx 2 + Cx + D rE x3 + Fx 2 +

X4 + X2 + 1 í ‘ X + X

Đ ạo hàm 2 vế ta nhận được:

x 2 + l (3Ax2 + 2Bx d-c)(x4+ X2 + 1)

(X4 + X2 + i) (x 4 + x 2 + i r

(4 x3 + 2x) (Ax3 + Bx2 + Cx + p ) Ex 3 + Fx 2 + Gx +(x 4 + x 2 + l) x* + x '+ l

<=>x2 + l= [ ( 3 A x 2 +2 Bx + c)(x4+ x 2 + l) - ( 4 x 3 +2x )(A x3 +B x2 + C x

+ (e x 3 + Fx2 + Gx + h ) (x4 + X2 + 1)

o X 2 + l = E x 7 + ( - A + F ) x 6 + ( - 2 B + G + E ) x 5 + ( A - 3 C + F + H

+ ( - 4 D + G + E ) x 3 + ( 3 A - C + F + H ) x 2 + ( 2 B - 2 D + G ) x + (

<=>

E = - A + F = -2B + G + E = 0

A - 3 C + F + H = 0

—4D + G + E = 2 B - 2 D + G = 0

C + H = 3 A - C + F + H = 1,

<=>

E = A - F = 2 B - G = 0

A - 3C + F+1 - c = 0

4 D - G = B + D = 0

H = 1 - C

3 A - C + F + 1 - C = 1


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§7. Phư ơ ng pháp Ôxtrôgratxki - Trầ n Ph

E = A - F = 2 B - G = Q

2A - 4C +1 = 0

4 D - G = B + D = 0 « •

H = 1—c

4 A - 2 C = 0

E = 2 B - G = 0

A = F = 1/6

c = 1/3 ;H = 2/3

4 D - 2 B = B + D = 0

<=>

B = D = E = CỈ=0

A = F = 1/6

c = 1/3

H = 2/3

I• - Í

X2 +1

(x 4 + x 2 +l)-dx =

X3 +2x 1 f X2 + 4

ô(x 4 + x 2 +r í t-dx=-

X +2x

x 4 + x 2 + l 6 (+

x 4 + x 2 + l )

xz + 4 , 1 r í '3x + 4 3 x - 4 Vx4 + x 2 + l 2 JV x ?+ x + l x 2 - x + u

3 r 2x +1 . 5 r 1 , 3 f 2 x - l.ỉ r /x + i . 5 f 1 , i f = — —— -đ x + — —— --dx —— I ——— .

4 + X + 1 4 J X + X + 1 4 J X - x + 1 4 J X - x + 1-dx + -

. 1 2 il 5 , 2x + l 3 I 2 ,1In X + X + 1 + — ^r a rc tg — ~r= — —lnỊx - X + 1Ị+

5 _ 2x - 1

ứ arctg 73

3 . x 2 + x + l 5 f _ 2 x + l 2 x -

V5 +arMg^

2 x - l

=> I6 =X3 + 2x 1

+ — é ( x 4 + x 2 + l ) 6

+ c

3 X2 + X +1 5 r 2x +1, ln 2- \ + t= arctg— P4 X —X +1 2 V H V3

arctg — + arctg:2x -1

+

5 I _ _ 2 x + 1 ____ 2 x - 16 ( x ‘ 7 x" + | ) ' Ĩ “ T ^ T T Í + Ĩ 2 ỉ f [ s + aretg V3

X + 2 x 1 , X + X + 1- + -r ln -

4xs - 1-dx ; Ta có: Q (x ) = {xs + x +1)

( x s + x + l ) • /

=> Q'(x ) = 2(5 x4 +l)(>;5 + x + l) =>Qj ( x ) = Q 2 (x) = xs + X + 1


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ỉ : Các k ĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

4x -1 (4 Ax3 + 3Bx2 + 2Cx + d ) (x 5 + X + 1)

x 5 + X + l ) 2 ( x 5 + x + l )

(5x4 + ì ) ( A x

4+ B x

3 +C x 2 + D x + e )

Fx4 +G x

3 +H x

2 4-K x +

( x 5 + x + . l ý x 5 + x + l

o 4x 5 -1 = (4Ax3 + 3Bx2 + 2Cx + đ ) (x 5 + X + 1) -

(5x4 + 1) (Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + e ) + (Fx4 + Gx3 + Hx2 + Kx + l ) (x5 +

4x 5 -1 = Fx9 + (- A + G) Xs -r ( -2B + H ) X7 + (-3C + K );x6 +

+ (-4 D + L + F) X5 + (3 A -5 E + G )x 4 + (4A + 2B + G + H

+ (3B + c + K + H) X2 + (2C + L + K) X + (D - E + L)

F = -A + G = -2 B + H = -3C + K = 0

-4 D + L + F = 4

o m -5 E + G=4A + 2B + G + H = 0 o3B + c + K + H ==2C + L + K = 0

D - E + L = -1

> I7 == í— 4 x ' - 1 dx ——:—— ------+ cJ (x5 +x- t -l ) ? , x + x + 1

A = B = c = E = o

F=G=H=K=L=0D = -1

= [— ------- — d x ------------- = f ------- — -----Y ; Ta có: Q{x) = (x 2■ + X' x -■ 2x + 3x +2x + l (x2 + x + 1 )

Q'(x) = 2(2x + l) (x2 + X + 1) => Qj (x) = Q2(x) = x2 + x + 1

f dx A x + B Ị Cx-9 D ,


N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§ 7. Phự ơ ng pháp Ôxtrôgratxki - Trầ n Phư ơ ng

c —~A + D + G —0

•{-2 B + c + D = 0 

A - B + D = 1

A = D = 2/3

B = 1/3

c = 0

I - f ^ - 2x + l 2 r dx

8 ~~ (x2 + x + l)2 ~ 3(x 2 + x + l) 3 J X2 + X +1

2x +1 2 c d (x + ẩ) _■ 2x +1 4 2 x + 1

3(x 4-x + l) + 3 J / Ỉ Ỹ - 3(x +X + l ) + 3 j 3 2 I C g S

( x + 2 / + l 2 J

- f - 4x' ^ x2 ~ 40xP ° dx . Ta cỏ : Q{x) = í x - M x > - 2 x + i f ( x - ỉ ) { x 2 - 2 x + 2 )

Q'(x ) = (x2 - 2 x + 2 /2 [ (x2 -2 x + 2 ) + 6 ( x - l ) 2] .

Q, (x) = (x 2 - 2 x + 2) ; Q 2 ( x ) = ( x - l ) ( x 2 - 2 x + 2)

, A x3 + Bx1 + Cx + D rf E Fx + G ^ , sử /9 = ----------- -------- — + ---- - + —T-— ------- \dx

G r - 2 *4 -2 ) K x - Ỉ X - 2 X + 2 J

o hạni 2 vế ta nhận được:

4 - 4x3 + 24x2 - 4Qx + 20 3Ả X2 + 2Bx + c

( x - l ) ( x 2 - 2 x + 2) ( x 2 - 2 x + 2)

2 (2 x - 2 ) ( a .k 3 + B x 2 + C x + d ) . E ( x 2 - 2 x + 2) + (Fx + G)(x -^l)

(x2 - 2x + ì ỹ ( x - l ) ( x 2 - 2 x + 2>

>2x4 - 4 x 3 +24 x2 -4 0 x + 20 = (3Ax2 +2Bx + c ) ( x - l ) ( x 2 - 2 x + 2 ) -

4(x - 1)2 (Ax3 + Bx2 + Cx + d) + e (x 2 - 2x + 2)3 + (Fx + G) (x - l)( x2 - 2x + l f

đó suy ra: A = 2; B = -6; c = 8; D = -9 ; E = 2; F =-2 ; G = 4- 2x3 - 6 x 2 + 8 x - 9 2 2 x - 4 V*9 = ------------------ , + — ---- T —T .— r dx

( x2 - 2 x + 2) ■ JU - 1 X - 2 x + 2 )

2x 3 - 6 x2 + 8x - 9 „ ỉ dx f 2x - 2 - 2X - b x + s x - y r Cix f 2 X - Z - Z

( x 2 - 2 x + 2 ) 2 X2 - 2 x + 2

ck

95



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng. I: Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

2x.3 - 6 x 2 + 8 x - 9 Ị'd (x 2 - 2 x + 2 ) 2 [ d (x —l

(x2 - 2 x + 2 Ỹ + ' x - 1 X2 - 2x + 2 + J ( x - 1 ) 2

2x3 - 6x2 + 8x - 9

( x 2 - 2 x + 2 ) Z

2 x3 - 6 x 2 + 8 x - 9

+ 2 in |x - 1| - In |x2 - 2x + 2| + 2 arctg (x - 1) +

( x - 1 ) 2X2 - 2 x + 2

+ 2 a r c t g ( x - l ) + c(x2 - 2x + 2)

1- _ f - í x ự + 4 xr J + 2 2 J C + 5 ' í A 2 ( 2• / ; „ = ----------------- T 7 ---------- ;------- ; T a c ó : <2(x) = ( x + I) U + ỉ )

J ( x + 1 ) 2 ( x 2 + i )

=>Q'(x)=(x + l)(x2 + l)[2 (x2 + l)+ 4 x( x+ l) ] =>Qj (x) = Q2 (x) = (x +

„ . , , 7 ị 4 x 4 + 4x3 + 16x2 + Ỉ 2x + 8 , Ax2 +Bx + C f Dx2 +Giả sử / , , , = ----------------- ------------- -=■-------- d x = - -------- -7—------ r + --------- —

( x + l ý ( x 2 + ỉ)(x + l) (x 2 +]) h x + l) (x2 + 1 )

r \ 1 _ '_ *•> " ^ 1 - đ . 4 x 4 + 4 x 3 + 1 6 x2 + 12 x + 8Đ ạo hàm 2 vê ta nhận đư ợc : ------------------ — ------ —------- =

(x + 1)2 (x 2 + 1)

(2 Ax + B) (x 3 + X2 + X + 1) - (Ax2 + Bx + c) (3 x2 + 2x + 1) Dx

(x + l )2 (x2 + l )2 (x +

<=>

D = 0

-A + E = 4

-2 B + E + F = 4

A - B - 3 C + E + F = 16

2A - 2C + E + F = 12

B - C + F = 8

<=>

A = - l

B = 1

c = — 4D = 0

E = 3

F = 3

1.0 “X 2 - X

+ 4 • fd x X 2 - X +

4 _ ( X + 0 ( x = ' , ) + 3 ^ = ' < X t 0 t “ l ) +3are,8X + C

III. CÁC BÀI TẬ P DÀNH CHO BẠ N ĐỌ C Tự GIẢ I

dx

( x 4 - 1 )7 ; 1 2

X - 2 x z + 2

( x 2 - 2 x + 2 ) 2

d x ;I4 = |-( i x 4 - 3 x

(x + 1)2 (x2

96


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§5. Biế n đỗ i và đôi biể n nâng cao hàm phân th ứ c hữ u tỉ - Trầ n Ph

I. DẠ NG 1: TÁCH CÁC MẴU só CHỨ A CÁC NHÂN TỬ ĐỜ N-G BẬ C 1. Các bài tậ p mẫ u minh họ a:

dx _1 f ( x + 5 ) - ( x - 2 ) __ 1 ế 1 1' ~ ĩ J + 7

ìd x = 4 l nX + 5J 7

•Ă = f ___ -7 J( x ^ 2 )( je + J) 7 J (x-2)(x+5) 7 A x - 5

_ I* dx r dx 1 p(x + V7) - (x - V7 )

x + V ? ) 2>/7 J ( x -> /7 ) ( x + 4 Ĩ ) x

x - 2

x + 5

1 1

* ^ “ íì

x - > / 7

dx

x.+ >/7

1

ìdx =2ỵ f ĩ

inx +

+ c

( x + 9 ) - ( x + 3 )

(x + 3 ) (x + ố ) ( a:+9) 6 • ' (x+3)(x + 6)(x+9)-dx

_____ 1 ______ _

6 Jv(x+ 3)(x + 6) (x+ 6)(x +9 )

1 1 ỉ--------------------------------- -Ị------------

18 J^x+3 x+ 6 x+ 6 x + 9 )

1

_ ì d - J _ ( (x + 6)-(x-9)J x - 18 J [ ( x + 3 ) ( x +

) 18 Íx+ố)

( x + 6 ) - ( x + 3 ) ( x + 9 ) - ( x + 6 )

(x+3) (x+6) (x+6) (x+9)

+ c

• 4- f a r

dx 1 Ị ( x + 4 ) - ( x - 5 ) _________________ f IX_________________

(jt-5)0c+.2)(..\:+-/) ~ 9 J (x-5) (x+2) (x+4)

- _ L K x + 2 ) - ( x - 5 )

~ (n J I

-dx

4 ị — ỉ — _____ * -19 l ( x - 5 ) ( x + 2 ) ( x+ 2 )( x+ 4 ).

4 1 n t i h M63 \ x - 5 x + 2 J Ỉ S \ x + 4 X+2J 63 x + 2 18 |x +2|

^ _ r _________ dx _ 1 fx (x + 7 ) - ( x + 8 ) ( x - l ) ^

5 J ( a : - ì ) x (x +7)( .v +S) _ 15 J ( x - l ) x ( x + 7)(x + 8)

1 r 1 _________1 J _ _Ị_ f(x + 8 ) - ( x - l ) d 1_ f

■ ~ĩ? (x + 8)(x - l) x(x + 7)J x _ 135 J (x + 8)(x - l) x 105 JK- l ) X U + / J J 135

(x + 7)-?

(x + 8 ) ( x - l) 105 J x( x + 7)


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




hư ơ nợ ỉ : Các k l thu ậ t tinh tích phân -Tr ầ n Phư ơ ng

- f d x - T _ j x _ ; _ i f (x 2 + 9 ) - ( x 2 + ĩ ) d

■* X4 + 1 0 x2 + 9 (x 2 + l) ( x 2 + 9 ) ' 8 (x 2 + l ) ( x 2 + 9 )

! r í 1 I V 1 r + 1 , x \= - -, — dx = H ầrctgx — j - arctg^ + C8 \ k 2 +1 x 2 + 9 J 8K .3 3 )

í-dx

X4 - 2 1 x 2 - 1 0 0 -f(x2 - 2 5 ) (x 2 + 4 ) 29J (

-ỉ- if — —— -----—— | d x = —------------------------------------- I n — ---------- ar29 J U 2 - 2 5 X2 +4J 29

dx = _L f (x 2 + 4 ) - ( x 2 - 2 5 ) đ

— Inx - 5 1 ■t X.

- —arctg — JO X + 5 .2 2_

r ox ' _ f ùx•’ A-ố +6.X1-13x2 - 4 2 ~ ■*(x2 -3 ) (x 2 + 2 )(x 2 + 7 )

d x ^ - L ff- - —L _ ____________ 1 0 - * [ ( x 2 - 3 ) ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 7 ) .

J_ r ( x 2 + 7 ) - ( x 2 - 3 )

: 10 J ( x 2 - 3 ) ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 7 ) ” “ 1 0

= _ L f [ ( x 2 + 2 ) - ( x 2 - 3 ) ( x 2 + 7 ) - ( x 2 + 2 )

•’[. (x 2 - 3 ) ( x 2 + 2 ). (x 2 + 2 ) (x 2 + 7 )

x - v / 3

50

50

dx

- T — + - T — ì dx+ 2 X + 2 X + 7 J

50 2V3In

A>0 = \ — J V

x,+

đ x

V2arctg + —Ị=r arctg - ^ r M y ỉ ĩ 4 Ĩ

- 5 - T - = í-r 2 4- 7 ẩ J

+ c

đx

X* - 1 0 x 6 + 3 5 x 4 - 5 0 x 2 + 2 4 J ( x 2 - 4 ) ( x 2 - 3 ) ( x 2 - 2 ) ( x 2 - l )1 f(*2-3)(x2-2 )- (x 2-4)(x 2-l ) , 1

2 J (x2 -4 ) (x 2 -3 )( x 2 -2 ) ( x 2 - 1 ) 2 ị ( ^ - 4)(x2 - l ) (x2 -3 )( x 2 - 2 ).

1 f (X 2 —0 —( x 2 — 4 ) 1 f ( x 2 - 2 ) - ( x 2 - 3 )

6 Ì ( ^ ) ( x 2 - l ) 2 J ( x 2 - 3 ) ( x 2 - 2 )

l- I ------ Ịdx—— j f ---------------- -5^— dx


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§8. Biế n đồ i v àđố ib iể ti nâng cao hàm phân thứ c Itữ u tỉ - Trầ n Phư ơ ng

DẠ NG 2: TÁCH CÁC MẢ u SỐ CHỨ A CÁC NHÂN TỪ KHÔNG Đ ÒNG BẬ C

dx

X

X2 —3

Các bà ịtập mẫu minh họa:

V - ĩ d x f d x f * 2 - ( x 2 _ 3 ) 1 ( f xđx '(•

= ± r 1 r d G p j ) _ r d * | 1 _ 3 1_ , „W'Ị + C, 1 + c3 L 2 J x 2 - 3 J x j 3 U J 6 X2

ị _ * =I f(x4; 4)- ^ , ± í [ í i - t í t ì* 5x s + 20 x 5 J x ( x 4 +4') 20 J x ( x 4 + 4) , 2 0 Ự X . J x 4 + 4 y

. 4£-1 c í í ĩ i i íi ì . ị í b u - i t a i x < +4 iì« = Ịto * +t2 0 U X 4 ' X + 4 / :20 V 4 J . 80. x 4 +4...

_ f dx _ f dx 1 Ị-x4 - ( x 4 —10) . _ 1 ( f xdx rdx'l

3 - 10 x 3 ~ ^x3(x4 -l ọ ) _ 10 * x3(x4-1 0) ~ 10VJ X4 -1 0 J X3j

/— ' \ _ 1 f l r đ( x2) rdx _ í 1 ' j x2 --v/ĨÕ 1

" T Õ Ị2 J ( x 2)2 _ ] 0 ~ ử 2õ y ĩ ỗ n X2 +VĨÕ. + z j + c

p - f ■ _ f dx 1 K * 4 + 3) - X4 _ \ ( f d x (■ d x )

' 4 ■ i V T t f - J X5 ('X4 + 3 ) = 3 J T Ỉ T Ị i ĩ

, 1 Í f e - 1 í (K<; 3 ) - f d x l = i Ị# . - 1 Í Ị % - I # - )3 v J x 5 3 J x ( x 4- f 3 ) J 3 J x5 9 v J X J X 4+ 3 J V

= i t í j - i ( - i L w - I t a U ' + s l V c3 J x 5 9 v J X . 4 ' X + 3 ) 12x 9 { 4 J

1 - 1 1 1 X4= — — ---- —in —- — +c12x 36 x4 +3

_ f ________ dx ________ _ f d(2 x + l)

' { 2 x + l ) { 4 x 2 + 4 x - s ) ( 2x + l ) [ (2x+ l )2 - ó ] ■

6 ^ (2x + l)[(2x-i-l)2 - 6 J 6 ^ t( t2 - ộ) 6 V ' t - 6 '

——{ —In |t2 - ó\ - InỊtỊ Ị+ c = — ln6 \ 2 J 12

1 t - 6 _ 1 |(2x + l)2 -ó|+c = — lnJ— — —T

V2- (2x + l)+c



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






_ r dx _ 1 r ______ d ( 3 x - 2 ) _______ _ 1 r .

” ~ h 3 x - 2 ) ( 9 x 2 - 1 2 x - 7 ) ~ ĩ ■’ ( 3 x - 2 ) [ ( 3 x - 2 ) 2 J t ( t

= 1 f t 2 ~ ( t 2 - ĩĩ) í ( r t d t f d t 'l _ i f V r d ( t2- l l ) r d

3 J t(t2 - l l ) 3 ự t 2 - l l ' t j 3 U V t2 - 11 J f

- u l- l n l, | ì + „ I ta i ! z i l + „ I to 3 U ì 6 t ’ 6 (3x —2)

B _ f đx___________ _ f d(x + l) f

h x + l ) (x4 +4x3 +6x2 +4x- ọ ) (x + l)[ (x + l)4 - 10] t

1 ft4 - Ct4 - 10) dt ĩ ( r t3dt rdtỴ 1 Ị ỉ rd(t4 - lo ) inJ 1oUt4- l o " J t J 10V4 J t4-10 .l ỏ j t ( t 4- 1 0 ) , !0U t 4 - i e

= — { — lnỊt4 - l o ị - l n | t l ì + c = — lnl o U ) 40

t 4 - 1 0+ c = — In40

(x + l)4 - 1

(x + 1)4

— f _______________________________

* • •’(V -3x2+ 3 x - 7 ) ( x -7x6 + 2 I X s - 42x4 + 42X3 - 21x2 + 7x-l)

= f d ( x - l) _ f dt 1 ft3 - ( t 3 - 6 ) _ 1 ( f dt

~ [ ( x - l ) 3 - ổ ] ( x - 1 ) 7 ~ t 7 ( t3 - ổ ) ~ 6 •* t 7 ( t3 - 6 ) ~ 6 ^ t 4 (t3 - 6

_ 1 ( \ ft3 - ( t 3 - ổ ) , _ fffri 2 / 1 f dt 1 fdt _ fdt'l

~~61^6 J t4 ( t3 - 6 ) ^ t7 J 6^ 6 J t( t3 - 6 ) 6-Jt 4 K 7 )

- i f — ft3~(t3~ ã) -j _ 1 ff!i_ fdtl 1Ị 1 r t2dtI fd t_2 Í Ẻ _ “ 6^36^ t(tJ-6 ) 6 ' t 4 J t7 J- ’ L36 Jt3 - 6 36 J T ~ 6

= l f _ L fd(t3 - 6 ) 1 f dt_1_ rdt_ rdt i_ 1 f I ■6U 08J t3- 6 36 J t 6 V V J- ‘6l 108 n

dx

18t +

-in( x - l ) 3 - 6

108 ( x - 1 ) 3 1 8 ( x - l ) 3 + 6 (x - 1 ) 6x


B' - - J ? r b * - - h

Bt = f . . . ;B ,. ;B, = f.J x + % +19X+22 Jy V +14X-12 V

100 ■

dx

X +4x +6x


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§(S. Biế n đỗ i và đỗ i biệ n nâng cao hàm phân th ứ c hữ u tỉ - Trầ n Phư ơ n

III. DẠNG 3: Kĩ THUẬT NHÀY TẰNG LÀU KHI MẲÚ số LÀ HÀM ĐA THỬC BẬC 4

1. Các bài tập mẫu minh họa:

r _ f dx f dx 1 |*(x2 + 1) - (x 2 - 1)1 j ^ - i " j ( x 2 - l ) ( x 2 + l ) ~ 2 j ( x 2 - l ) ( x 2 + l )

X* - l ) ( x 2 + l)

1 -t-1/ —vx — 1/ J=2 'J (x2 - l ) ( x 2 +l )

x - l 1n —— - - —arctgx + c

x + 1 2

4 - 1 X + U 4

^ . ư * + > Vl) 2 •’Vx - 1 X + 1 )

X - 1 1 —— - + —arctgx + cx + 1 2

„ _ f x V x 1 f (x2 + l) + (x2 - l) _ 1 ị ( 1

4 f - Ẻ L - + i í - t - = ì t a2 V - I 2 J X +1 4

v _ i 4 ■» x4 - l 4

^ _ f x 4ậ x f (x4 - l ) + l f , I* dx1.x « _ | d x = J d x + J - p — = x + c , = x + ^ l n

. c , - í - Ẻ Í í ỉi - . ỉa r e t g ^ + c

2 V ) + I 2

, c 7 - ( 4 ^ 4 í í í i l ± ] L - L | „ | x < + l| + c7 v + / 4 J X4 + 1 4

1. c , = p ỉ — ^ £ c= f ~ x 2 -dx= f ------- f c l i l — s - L i n

• V + - L Ịx + —Ị - (V2)2 ^

X2 - 1

X2 +1+

x - 1

x+1

1-arctgx +

( x * ị ) + J Ĩ

+ c

1In

Í2 - X s j ĩ + 1

2 \ Ị Ĩ

•> I , 1 —V d í x —,2 1

X2 + Xy Ị Ĩ +1+ c


G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




CÌI U'trng /■■ Các k i thuậ t tinh, iícii phân - Trầ n Phư ơ ng

.:C, f 4^Z=- f-x ' d x = - f Ị~ ^ d x +:ự ỳ ^-d * x 4 + l .2 J x 4 + l 2 v J x 4 +1 v + l

°c,

! ^ \ 1 1 . X2 - 1 1

.vV.vr r (x 4 + 0 - 1

lnX2 - , x j 2 +1

X2 + X

X4 +1-dx = { d x - f

dx4

= X

. c „ . Ị

ỉ .. x -1 1arctg — n=------- -?=■ In° x j ĩ 2V2

(.V2 - ì ) ( ỉ x

X + 1

— X^JĨ + 1

X\ Ỉ 2 + í

—X —c

+ c

'\0

X2 + x-s/2 +1 + c

•Ịl — LỊdx

x' -5.VJ - 4 x 2 - 5 x + l J x2 + J _ _ 5(x + 1 ị_ 4

d x+-

x + - -51X+— j - 6

c du _ f du _ 1 II 1■>u2- 5 u -6 ~ J(ụ -6)tu+l) _ 7 J \u -6

-Inu - 6

u + 1+c = —In

7

x + i - 6X

X+-L+1X

+C = -Mn7

X2 - 6 x + l

X2 +X + 1

1

+ c

■>cyf Kx'+Ỉ)cíx r _____ \

'x* +2x3- 1 0 x 2 —2 x + l J / v2 LJ

■ H r ■

(X’ +Í ) +2K ) - 10 .

f d( x ~ í ) = f du ... f du - = i / _ ỉ__

./

-“U +

- 4


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§8. Biể n đỗ i và đỗ i biế n nâng cao hàm phàn thứ c hữ u t ỉ -Trầ n Phư ơ ng

r du f du 2 2 u - 3

u2 - 3u + 7 Ị lj+ịMj ^2 \ z ( x + ị ) ~ 3 _ 2 / 2x2- 3 x + 4

= —= a rc tg --------- ;==--

+ c = - 7= arctg----------- — — + c J l9 V19 VĨ9 xVĨ9

„ _ , ; u » + ì ú Ị_ H K ,16 iỵ-4- 2xs- 2x2+6v +9~J/..2 . 9 V 3\ n J/

+ c

X 4 -2xs - 2xJ +6.X+9

f du r du 1 , U -1 1= — 5 — -----= --------- ‘------ —T = -^ a rc tg —p- + c = - i r

■’U —2u + 4 J(u_ 0^ ( ^ ) 2 s ° j 3

J Ĩ 9 * xVĨ9

ụ ^ Ề í ^ ỉ ) - 2 H í - 2H ) +4

1 • U -1 1 X2- x - 3^-r- = -parctg—— + c = ~ĩ=rarctg------ j= —■+c.

_ f cbc _ 1 f (x ’- + l ) - ( x ! - l ) 117 J ^ j I 4 21 0 Jx +x +1 2 J X +x +1 2

X -J i

f x2+ l , f x2- l j— — 7 dx- ,h ^ L-^-• ' x + x + 1 J v ’ -i- v- .’x +x +1-dx

l i f l — Ế h . • f ( l ~ ^ ) dx | i [ f J Í — Ị i - f- Ỷ ! ầ

1 ( x i + ^ ) +1 ( x i + ^ ) + I j = 4 [ ( x - x ) 2 + 3 h i ) 2 - 1.

1 x “ x 1 , - x + ị _1 1 X2 - 1 *2 - x + 1= —■7=arctg— — 7-111 — + c .= — arctg ■—rpr - - -r In —r— - —- + c

2 y j v 3 ■ 4 _Ị—?— I 2 v 3 X\JJ 4 X +X + 1X

r dbc 1 f(x2 + 2 ) —(x2 — 2 ) _ 1 r f x2 + 2 ■ c x2 - 2 ’

13 h 4- 3 ^+ 4 4-f X4 -3x2+4 4 j x 4-3 x2+4 •’x4-3x2+4

i [ f H i h i f O ' ^ H J r - i H j )

i r i ) - 3r ^ P l n f - K )-1 . ( 2 Nj 1 X T-J-V 7 J / 2 > J x 2 - x J j + 2

=-a rct g K— - — 7= I n ^ — + c = —arctg X— ^ l n —— - 7=- - +c4 s l xJ 877 X+ 2 + V 7 4 x j 8V7 X + x-v/7 + 2

X

2. Các bài tập dành cho isạn đọc tự giải:



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẢNG LẰU KHI MẬU só LÀ HÀM ĐA THỨG


D _ ị dx f ______ dx______ _ r_________d ( x - l ) _____

J jc* J ( x - l ) ( x 2 + x + l ) ~ ^ ( x - l ) [ ( x - l ) 2 + 3 ( x - l )

r dt 1 f ( t2 + 3t + 3) - (t2 + 3t) _ 1 ( fdt p (

_ -’ t ( t 2 + 3 t + 3 ) ~ 3 t ( t 2 + 3 t + 3) - 3 u t t2

1 f fdt _ i r (2 t + 3)dt 3 f dt

t 2 J ' t 2+ 3t + 3 2 t 2+ 3t + 3.

= l

~ 3

= J_ “ 3

fdt _ 1 fd ( t2 +3t + 3) 3 r

J t 2 ' t2' + 3t + 3

dt

M Ml 2 / 4 J

- I n2

= —In6

X1 + 3t + 3

( x - 1 ) 2

- VJarctg + c

( x - l ) 2 + 3 ( x - l ) + 3

2t + 3

S . )

1 , 2 ( x - l ) + 3 — rarc tg--------- p ------+ c

73 V3

X2 - 2x +1

X2 + X + 1

1 ■ 2x +1

2

D _ f (far f ________dx _______ _ f ______ d(x + l)_________

J + 1 ~ J (x +1) (x 2 - X + 1 ) ~ J (x + I ) [ (x + 1)2 - 3

_ r dt _ 1 f (t2- —3t + 3 ) —(t2 - 3 t ) ^t _ 1 f r dt _ f ( t

J *(S- _ "Ỉ+ _i_7 ^ 1 J t(t2 _ - ỉ + J _ 3 v J t ■’ t 2

1 „ 2( x + l ) - 3+ -prarc tg ------- -7=------ + c

7 3 s


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§& Biế n đỗ i và đỗ i biế n nâng cao hàm phân thứ c hữ u t í - Trầ n Phư

xdx) = f x í ix f ______ xdx _ 1 f (x 2. + X + 1) - (x - 1)2

3 ( x —l ) (x 2 + X + 1) ~ 3 •” ( x - l ) ( x 2 + x + l)

1 ỉ 1 X —1

3 “VX—1 X +X + 1)

] d * = A'1dx .1 f(2 x + l)d x 3

+ X + 1 2

f ax 1 r tz

J x - 1 2 JX

dx

(■•if

In |x —1| — —In |x 2 + X + ỉ| + -\/3arctg Ĩ Ĩ - 1 . *2 V3

+ c

= —In6

X2 - 2 x + l

X + X + 1

1 2x + l —j= arc tg —— 7=— + cs s

_ r x d x _ f xdx - 1 f ( x 2 - x + l ) - ( x + l )2

4 X s + 1 ~ •’ ( x + l ) ( x 2 - x - h l ) 3 J ( x + l ) ( x 2 - x + l)

_____________ -

3 - \ x + l X2 — x + 1

x + 1 -1a x = —

3

f dx1 f (2 x - l) d x 3 f

J X +1 2 * X2 - X +1 2

dx

H ) M €

-1

= 3ln|x+ i| ln|x2 - X+ ll-%/3arctg

2 . V3 .

__ 11+ c = — In

6

x 2 + 2 x + ! 1 _ 2 x - l

. D s , Ị ầ í ĩ - i l ) . I to|x> - l l + c J x 3 - 1 . 3 J X —1 3

,D t = = * l l + c6 1 J V 3 + ] 3' x * + l 3 J X3 +1 3

x 3dx f(x 3 - l ) + l _ f X (be r v x - l j + l 1 . D7 = I---------------------------------------= I-------- ---------dx = x+c, = X+ —In

7 V - i J X “ 1 1 6

_ _ r(x 3 + l ) - l

X2 - 2 x + l

•D, -dx = x - C , = x - —In

X2 +X + 1

X + 2 x + l

x * + l J XJ +1 ‘ 6 X - x + 1

1 2x +1

ử “ 8 1 3

1 _ 2 x - lrarctg V

2>/3 V3


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ ng ĩ: Các k ĩ tỉiùậ t tỉnh tích phân - Trầ n Phư ớ ng

V. DẠ NG 5. Kĩ THUẬT NHẢY TẢNG LẢU KHI UẰU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6

1 . C á c b à i t ậ p m ẫ u m i n h h ọ a :

. £ = f d x - f - dx-_ = i j f * L _ _ f _ Ị l _ L i / D - d ì :' V - / J ( x 3 - l ) ( x 3 + l ) 2 L J . X 3 - 1 - J x 3 + l J 2 ( ư l ° 2 )

X2 - 2 x + l1 f l , _ x 2 - 2 x + l 1 2 x + l ì ( 1 X2 + 2 x + l 1 2 x= — - I n —-— :-^ a r c t g —-=— - - - I n —-— -— - + ——= arctg —

~ X" +X + 1 2 .V3 , X —x + 1 2V3 >/

1 , (x2-2 x + l)(x2 - x + l) 1 / ' 2x + l 2 x - 0= — Il ly------------- T—--------- 7 ---— arctg —7=—+ arctg ——pr- +c

12 (x2 +2x + l) (x 2+x + l)4>/3v V3 V3 J .

„ _ f xd x 1 f cl(x2) 1 I* du 1 _

2 ^ 2 '

_ 1 ĩ l , u 2 - 2 u + 1 1 2 u + l"Ị 1 , x 4 - 2 x 2 + 1 1 _ _ 2 x 2 += - - i l l — — :--------- 7^ arctg- _ - +c = — ln —-— r;------------- — arctg _

2 6 U - Ì U + 1 2 \ /j V3 12 X + x +1 2-J3 \Í3'yỊỈ

j X 6 - I 3 J X6 - 1 3 2

E --= ị xJ(^ - — r* 2^ * 2 ' - * f uc*u _ 1 f" ;= K x 6 - 1 ~ 2 J x 6 - l ' ~ 2 J .u3 - 1 ~ 2 •>

+ c = — I n6

X3 - 1

X3 + 1

u d u

+ c

( u - l ) ( u 2 + u + l )

1 u - 1 ì1 1 r(u2 + u + l ) - ( u - l ) 2 _ 1

2 3 ■* ( u - l ) ( u 2 + u + l ) ~ 6 J ( u - 1 u 2 + u + l jd u

f du 1 r(2u + l)du 3 f J u -1 2 J u2 +11 +1 2

In | u - 1| — - In l u 2 +.U + 1 [+ V J a r c t g2 73

1 ( u - l ) 2 1 2 u + l 1 , X4 ~ 2 x 2 + 1 1 2x +


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§<?. Biế n đỏ i và ặ ọ ib iẹ n nặ ng cao hàm phân thứ c hữ u t ỉ —Trầ n Phư ơ ng

nx - 1

12 X2 - X + 1

14' (x2 -2 x + l ) (x2 - x + l)

- 1 "6

x + 1 X2 + X + 1 (x2 +2 x + l)( x 2 + x + l)

2V3

__í._2x + l _ _ 2 x - l -_x:arctg — -J=— + arctg — -=---- arctg— + c

— In12

(x2 - 2x + 1) (x 2 - X + 1)

(x2 + 2 x + l) (x 2 + x + l)

Xs dx 1 fd (x6) _1

' i S

■ _ 2 x + l ■ ■ . 2 x —1 ____X2 - 1arctg r +arc tg- ——— ạrctg-

£ £ + c

6 = \ ^ L = - p H I Z = ỉi n | x 6 - l l + c6 V - J 6 J XỂ - 1 6 ■ .

, - = r í í l ^ h l d x - fd x + f - ^ = x + E, Kx 6 - 1 J x 6 - l J J x6 - 1 !

= X + —- ln12

<x2- 2 x + l)(x2 - x + l)

(x 2 + 2x + l)( x 2+ x + l) + c

X* +1 dx

= ị- Cx2 + l) (x 2 - l )d x j-(x2 - l ) d x r (*X2-

" •’(x2 + l ) ( x 4 - X 2 + 1) ^x 4 - x 2 + l • '^X2 + _I

r f K L ■J( x + l ) ! - ( V 3 f ^

_ Ị X4 +1 J : Ị (x4 - X2

’ J „ í 1 ]( '. 2 . Á C

lnx + ì - > / 3

X

X + —+X

+.C ——-J=-Ịn2V3

X2 - xVJ +1

X2 + XV3 + 1

dx

- 1

+ c

f (x 4 - X2 4-1) + X2 , r dx

~ ■' (x 2 + l ) ( x 4 - X 2 + 1).d x = ( * L _ + f.

J X +1 J X6 + 19 =Ị-

dx 1 rd(x3)

T+T+3'J7iT7

X dx

r dx 1 r d l x ' ; 1 (= J ~ r ^ + ;■ i f = arctỗx + -arctgU ) + c

J X +1 3 J X +1 3

• V +1 2 ■>

l í 1= Ậ arctgx + — arctg (x 3) ----- =T21 ° 3 2V3

ln X2 - x > / 3 + lX2 + X yỊ Ĩ + l

+ c



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





• Phư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

udu_ r x sdx _ 1 rx2d(x?) _ 1 r udu _ 1 r

w ' ~ J x í + l - 2 J x 6 + l ~ 2 J u 3 +1 2 J (u + l )( u2 - u + l)

= — í < h l ^ Ị d i L í j > l d u = d | ( J _ - ^ l J _ ì d„6 J ( u + l ) ( u 2 - u + l) 6 JVu + l u - u + l j

du-1: 6

6

f du 1 f( 2 u - l) .d u 3 (•'u + l ~ 2 ' u J - u + l 2 J

lnlu + 1| - —lnlu2 —u + 1| —V3arctg û _ ^2 V3 .

+ c

=— ln12

u2 + 2u + ]

u2 - u +1

E 13 =

r JCự</x

■ ! * * + / “

= Ỉ Í - U2 \ 2 \ Ị Ĩ

f x 5<ív

J * Ể + 7 ~

1 t 2 u - l _ - l , — -prarctg— 7- + c = —-in

2V3 s 12

X + 2x +1

X4 - X2 +1rarctg

2V3

X2 - X

X + 1

a / 3 + I

x 2 + W 3 + 1+ arctgx + —arctg (x 3) + c

J 2 X - 1 4 x — 1 ị ( V - J ^ - 1 4dx

_ V (x x +2) d(x x) °r (u + 2)du °|- (u + 2)du

1/ỈỊX_ I Ị 3 + 3Ịx _ i Ị _ 14 -3/2 u3 + 3u -14 _ị2(u + 2) (u2 - 2u +

°f du °f d ( u - l ) 1 u -1= , —- - = - — -----= - 7=arctg— 7=-

.-3/211 —2u + 7 _3o ( u — 1) +6 V6 v6

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

E, - f (*4 -4 x 3+ 6x2 -4 x+ 2) dx _ . T; _ r dx

• X6 —6x5 +15x4 - 2 0 ? + 1 5 ? - 6 x + 2 ; “ Jx6 -6 x 5 +15x4 -20x 3 +1

° = J _ í 5

-3/2 ^

arctg —-=• -K 2 v6

108


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§8. Biể n đôi và đỗ i biể n năng cao hàm phân thứ c hữ u tỉ - Trầ n Phư

VI. DẠNG 6: s ù DỤNG KHAI TRIỂN TA YLOR

• Đ a thứ c p„(x) bậc n có khai triển Taylo r tại điểm X = a là:

p„ (x ) = pn (a) + - a ) + _ a)2 + . . . + - a)" ______ ___ 1! 2! n!

• V í dụ: P3 ( x) = 4 x3 - 5 x 2 + 8 x - 2

Khai t riển Ta ylo r củ a PỉCx) tại điểm X = I ỉà:

p3 (x) = p3 (1) + - 1 ) + - 1)2 + - 1)3

1! 21 3!

P3 ( x ) = 5 + 10 (x - 1 ) + 7 ( x - 1 ) 2 + 4 Í X - 1 ) 3


• F, = f * — x +J ( ỉ x . Đ ăt P3 (x ) = X3 + X +1J (x -2 )30 3

■ o p3 (x ) = p3 (2).+ (x - 2) + - 2)2 +- 2)31! 2! 3!

<=> P3 (x) = 11 +13(x —2) + 6(x - 2)2 + (x - 2)3

_ _ r ll + I3(x-2) + 6(x -2)2 + (x -2 )3 J

------------------u i a r ------------------- í

= j[ l 1(x - 2)"30 +13 (x - 2)~29 + 6 (x - 2 )' 28 + (x - 2 ) '27 ]d x

- l ì __________ 13 ___________ 6 __________ 1

29 (x - 2 ) 29 28 ( x - 2 ) 2S 2 7 Ú - 2 ) 27 2 6 ( x - 2 >

. F = f X1 * L »

2 h x - 3 Y 5

2« + c


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§<y. Biế n đổ i yậ đổ i:biể n năng cao hàm phân thứ c Hữ u tỉ - Trầ n Phư ơ ng

. DẠNG 7: KĨTHUẬ T NHẢY TẰ NG LÀU KHI M&u LÀ HÀM BA THỨ C BẬ C CAO

dx r dx 1 f Ì3x" + 5) - 3x99 , 1 r rdx ĩ 3x98ífe_ r ax _ r cbc 1 ị-(3x" + 5) - 3 x " , i f ĩdx <•

' J 3 x " * + . 5 * " J x ( 3 ^ + 5 ) " 5 J * ( 3^ + 5)

1 rdx 1 rd (3x ^ + 5)" _ 1 Inịxl— —ln ị3x" +5| 1 .+c = —— ln5 J X 99 J 3x " +5 L 99 ■ 7 _ 495

3x" +5_

99

3x" +5+ c

= f cix ^ 1 K2X + 7 ; -2 ;

7 x(2x50 + 7)'

Ví

i.dx

r h2x49dx

1 r(2xS0+ 7 )- 2 x 50 ỏ _ ị_

7-I :x (2 xso+7 ) (2x50 + 7)

fdx__l_ rd(2x50+7)

J V SO J

2x49dx 1 1

ỉx50+7)2j"49

Lif) J (n 50 „\2

x(2x50 + 7 ) J (2x50+ 7)2,

1 r 2x49dxfdx f 2x®dxJ X ~ J 2x +7 -rí.7 Ì2xỉ0.+ 7 ) ;

1 rd(2x50 + 7) __ 1 rd (2 x50+7)

49 J X 50 J 2x » +7 J . 350 J (2x50 +7)2

— lnixl----- — ln|2x50 + 7I+— T—?------— = —ỉ— ln —^ — + -----T—---------+ C49 .50, 350 (2x50+ 7) 49.50 2x50+7 350(2k50 + 7)

í Jx ] [ "■ ■ ''' ĩ f ^ V.-. k . Ni '. x ( a x " + b Ỵ k x( ax “ +b )

r dx.r axn_1dx _ 1 f đx 1 fd (a x n + b)

x ( a x " + b ) k ' ( a x " + b ) k _ '° x ( a : - " + b ) k ì " k ( ax n + b ) k

f (ax" + b ) - a x n _ 1 f d (a x n + b )1 r(ax n + b ) - a x ” 1 rdiax

h2 J < n .1 \k_! nb J (ov,n b J x íax" + b)

cjx

(axn + b)

_Ị_

b2

f qx r axn ‘dx . 1 fd(a x” 4 b )

x( ax "+ b) k 2 (ax"+ b)k I _ n'5 (ax "+b )k

_ 1 r dx 1 f d ( a x " + b ) 1 fd(axn + b ) _

x( ax" r b ) k 2 nk2 (axn T b)k : n*3 ^ (ax n + b) k

1 r cix ,1 |-d(axn -i-b) 1 rd (a x n +b) 1 f d(ux" -!-b)

* x(ax" +b p J G ^ T b J U " + b /- ’ ' " " ‘" n v (axn + b)k-i+



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phân —Trầ n Phư ơ ng

nb-l n

ax" + b

b ( k - l ) ( a x " + b )

_Ị_

n

+ • ■ • H-------7- —------T- — ị - ln |ax b k-> (ax" + b ) b

- ĩ

b ( k - l ) ( a x n + b )

{ l - x m o ) d x f(l + x2000) - 2x

b k_1 ( a x n + b )+

; - í -

2000

x ( l + x 2m) J x ( l + x 2000) “ J x J ( l + X

dx r 2 x 1999dx2000)J f - f ?

, r Í L . _ L M _ _ L to I ,+ X2«» I+ c „ ln•>X 1000 J (l + x2000) 1000 l +

G = f x ’9dx - 1 f*IO.10*9<& 1 txwd{xiữ) 1 rU 10+ 3 )- 3

h 3 + x ’« y 1 0 J (3 + ) 2 = K>J (3 + ) 2==^ J h + x ™ý

10r d ( x i ữ + 3 ) . r d { x i ữ + 3)

J 3 + x 10 (3 + x 10)2= — ln|3

10+ *10 +

10(3 + JC10)+ c

.G, - J J - J % ^ ± 2 d ( 2 x” - 3)(2x50 - 3) 2° 0 .J ( 2x ” - 3 ) ’

fd(2x50 - 3) 3 r d ( 2 x 50- 3 ) '

. ( 2 x 50 - 3 ) 6 (2 x 50 - 3 ) 7 .

- 1 2 ( 2 x 50 - 3 ) + 5. 1 - 4 x= -- -------------------------- — + c = ----------------

Ị

200

-1

200

1 1

5 ( 2 x 50 - 3 ) 5 2 (2 x 50

200 10 ( 2 x 50 - 3 ) 200 0 (2 x 50 - 3 )

Q = f X 2"'1(ỉx r x"xn~ldx

’ 7 (ax" + b)k (ax" + b)k

- + c

(2 ắ k e N)

= J _ r ( a x - t b ) - b d ( a x ^ b) 1 r f d U - t b ) , d_ ( a x - H

na J (ax n + b ) ' na . J (ax n + b) J (ax n +

na

-1

\ k - l. ( k - 2 ) (ax n + b)k"2 ( k - 1) (axn + b /

1 b (k - 2 )~ - (k - l ) ( a x n + b) - ka x ” - b

na ( k - l ) ( k - 2 ) ( a x n + b ) k 1 n a 2 C k - l ) ( k - 2 ) ( a x n + b

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự gìậi:


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§8. Biế u để i và đổ i biế n nâng cao hàm phân thứ c hữ u tì - Trầ n Phư

VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHÒNG NHỊ THỨC

10( 3 x - 5 )

Gt + 2 )"

dxdx

(x + 2)2

1 ị/ 3 - x - 5 Ỵ ° ^ 3 x - 5 ^ 1 f 3 x - 5 Ỵ '

~ ĩĩ ->1 X + 2 J I X + 2 Ĩ2ỈV X + 2 J+ c

= ĩ ( 7 x - ỉ ) " . _ r f T x - l f dx _1 ( f T x - l f /

2 ■f(2r + /) i" v Û x + lJ (2x + l)2 9 -fU x + lJ IJ (2 * + / ) w J U x + U (2 x + l)2

=ỉ 1 f 7 x -l V ° ° ' = _ L | > - l Y “

ZZLzli2x +1 J

= ỉ J _ f Z i z J . r ■ 1 r 7 x - i V 009 100v2x + 1J +c 90oU x + lJ +c

_ (•______ dx _ r dx_______ f 1 1

(x + 3)s (X + 5)3 I _ x ± l \ 5 ( x + 5)8 / X + 3 \5 (x + 5)6 (x + 5r X + 5 / 1 X + 5 /

=41—' . ' T d(>Lt|)=J_ f 1. (U-,)«da2 *wx + 3 \ - x + 5 . \ x + 5 1 2 ^ u

2 ' «1 r u 6 - 6 u s + 1 5 u 4 - 2 0 u 3 + 1 5 u 2 - 6 u + l

" ?7 J „5du

. 6 + i i _ ^ + J l _ J L + J _ | duu u 2 u3 u4 u4 í “ -

' ^ ■ 6u+15lnll,|+? " ì ^ + ^ " v ) +c

Í ( ỉ í f ) í - 6 ( t 7 l ) + 15,n

n n (x + 5 \ Í 5 / x + 5^2 o f x + 5 \3 l / x + 5 V + c


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§s>. Tích phân cơ bả n củ ạ c&c kàmỊư Ợ ĩ iggỊ ậ c -ĩ rầ i^ Pìị ịtỢ Ị ig

§9. TÍC H PHẨN C Ơ BẲN CUÂ CÁ CÍĨÀM LỬỢNC-GĨẮC

A. CỒ NG THỨ C SỬ DỤ NG ■ Vi "

. KH ÂI TR ỊẾN NH Ị THU'C NEWTON

(a + b)"=■ c°a" + c'„a"-'b +... + Ck J'-kbk+ „. + c;_I aố"-' + c;ỉ>"

trong đó C* = — 7 —-—r- và ml=\ .2 . . .Xm- i )m vớ i qui ư ớ c 0! =,16 .7, A!(«~A-)! ỉ í

. CÁC CÔNG THỨC NGUYỄN HÀM LƯỢNG GIÁC

ịcos (ax + b) dx = — sin (ax + b) + c ísin (ax + b)d x = —- COS (ax + b) + ca • a . •

í--- 2~t ~---- - = -^/g(a*: + Z>) + c f— r~ —----- c = “ co/g(íw + ố) + cJ Cỡi' la x + b ) a J (ứx -t- Ồ ) a

. CÁC DẠNG TÍCH PHÀN

Dạng 1: Àj J = dx ; Aj 2 ịicosxT: dx

. c â n g t h ứ c h ạ b ậc :

. 2 l - c o s 2 x 2 1 + COS2.x . 3 - s i n 3 x + 3 s i n x 3J COS 3 x + 3 COS ;in X - — — — / COS X ----- — 1; sin x ~ ---------- —----- ;cos x= ------p—-------

2 ’ ■■2 .' . ,■ , .4 4 f. ,

. Phương pháp:

.1. N êu n t h ăn thì sử dụ ng con g thứ c hạ bậb ' ■■' ỉ; j:

.2. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ,bậc hqặcbiển đổi theo 2,3.

XTan o í A*/rt _ T A [ "I V+u ĩ4*Kti*A ■Âm *rt íí A«• ỉ

V-.0 3 l) o'fc t - \2k+1 Í-Ip( ! \2P+1c„ cosx ——c' cọ s X + ...-T ' —- C ícosx) , -r . C ’lcos x) p -5 p ■ 2 k - l 2p+ l p :

115

+ c



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N







§9. Tích phẫ n cơ bàn cử a các hàm lư ợ ng giác - Trầ n Phư ơ

• A4 = J(í//í5x)9 cbc= ỊisinSxY' (sin5x)dx = ——J(l —COS2 5x) dicosSx)

= - - j ĩl - 4 c o s 2 5x + ÓCOS4 5 x - 4 c o s 6 5x + COS85 x]d (co s5 x)

____ l f ^ 4 3 . 6 5 - 4 7 . 1 9 - ^ 1= — COSDX-—COS 5x + —COS 5 x - —COS 5x + —COS 5x + c

5 V 3 5 7 9 )

• As = J(cos2x)/J cỉx = |( c o s 2x )12 COS 2xdx = — J*(l — sin2 2x) d (sin 2x)

= —jl l - 6 s ũ i2 2x+15sin4 2x -2 0s in s 2x+15sin8 2 x -6 si n 102x +sú i12 2xld(sin2x

= sin 2x -2 sin 3 2x+3sili5 2x — s i n 7 2 x + -s in 9 2x ——sin" 2 x + — sin13 2 xì +2 V 7 3 11 Ỉ3

• A6 = ị ( 3 + cosxY dx

= |( 3 5 +5.34 cosx+10.33 COS2 x+10.32 COS3 X+5.3COS4 x+ cos5 x)dx

=1

- J

243 + 405cosx+135(l+cos2x)+— (cos3x+ 3cosx )+-^(l+cos2 x)2 +COS5 X 2 2

945 ■■ 45 . 1 5 l +cos 4xì378-1— —cosx + i3 5c os 2x +^ -co s3 x+ — 1+ 2 c o s 2x + — -----

2 2 2 V 2 ;

d

+COS5 X dx

<{1557 945 . . . 45 „ 15 . 1 . r 4= —-— b— --cos x+1 50c os2 x+— cos3 x+— cos4x dx + COS xcosxdx

JL 4 2 2 4 J ■>

= —j*[l 557 +189Ơ COS X + 600COS 2x + 90cos3x + ] 5 COS 4x] dx + J(l - sin2 x)" d(stn x)

=-^1557x+1890sin.x+300sin2x+30sin3x+—sin 4xj+ j( l- 2 si n 2x+sin 4 x)đ(sin

= — { 1557x+1890sinx+300sin2x+30sin3x+— sin4xì+(s in x - —sưl — +--1— * I+ 4 l 4 M 3 5 )


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng í: Các kĩ thuậ t tính tích ỊỊịtể ỉt - r-.-Ồ it.PhmtHỀ -

lỉ. D ạng 2: B = ị s in mX cosKX (;n, n e N ) V' '■

I . Phương pháp:

/. I. T rư ờ ng h ợ p 1: m , n là các s ố nguy ề n

n. Nếu rn cliẵn, n chằn thi sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổn

b. Neu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:

B = jCw/tv)”1(cosx)lp+1 dx= (cosx)2p cosxđx= Ị (sinx)"' (l-s in 7 xỴ cì(si

= j(sin x)"1|~c° ~ c ' sin2x + ...-i-(-l)k c k(sìỉi! x) +... + ( - l ) PCp(sin2 x)p d(sỉpx) =/ . \rn- l í . / . \2k+l+m ( . \2p+l+m

j^.oUinx; _) (sinx) / ,xk-ktsìnxj / vp-pUinx;l) c +...+ (-l)p.c ’

p 2p + l + mI 11 m + 1 p it ỉ + 3 ' p 2k + l-}-mL-

c. Neu rn chẵn, n iẻ (n =2p +1) thì biến đổi :

B = Ị(ivVxv)‘/,+/ {cosxỴ dx= J(awx)" (s inx)2p s in x d x --^ co sx )n ( ] -COS2 x)p dic ọ

= - J(cosx)" c° - d c o s 2x + ... + ( - l )kCk(cos2,x) + .. .+ ( -l )pCp(cos2x)PJd(cosx)

/ \I1+I / \ 11+3 / ■ \2k+l+n / \2p+l+n;,0 (cosx) „ 1 (cosx) ^ (cosx) ^ ^_^pCp(cosx;c ;;— — — c >’ n + I . p 11+ 3 ' p .2k + ỉ+ n .............. p 2p + ỉ + n

d. Nếu ni lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

1.2. Nc ư m , n là các s ố h ữ u t ỉ th ì b iể n đ ổ i và đ ặ t u = s inx ta có:

B = ịsin"' xcos" xcìx = ị(s inx)" ' (COS2 x ) 2 cosxdx= ị i tm ( l - ỉí 2) 2 du (*)

.............„ , „s , , . , „ X 77Z+ 1 n - ỉ m + k ,, ị • I ích phân (*) tính đư ợc <=> 1 trong 3 sô — ---- ; ------ —— là sô nguy


- lĩ, = ị(.s’m x )2 (co sx)4 dx = — ị i s i n l x Ỹ (c o sx )2 dx


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§9. Tích phân cơ bả n cử u các hàm ỉư ự ng.gịác —Trậ n Phư ơ ng

(cos3x )s íỉx = ịis in 3jc)10 (cos 3x)4 COS 3xdx

—j"(sin3x)10(l- s in 23x)~ d(sin3x) = —J(sin3x)10(ỉ -2 sin 2 3x + sin4 3x)d(sin3x)

— j [ (s in 3 x )10-2 ( s in 3 x )12 + ( sin3x)14]d (s in3 x) :

(sin3x )u 2(sin 3x) '3 (sin 3x)':+ c

L .11 i- í 15 J

= ị{ sin 2 x) 7 {cos2 x),0° dx = ị (c o s2 x ý00 (sin 2 x f sin 2xdx

J(cos2x)’00 (l - C O S 2 2x) d(cos2x)

= J ( c o s 2 x ) 100 ( l - 3 c o s 2 2 x + 3 c o s 4 2 X - C O S 6 2 x ) d ( c o s 2 x )

_ 1 (cos2x)101 3(cos2x )103 3(cos2x)IỌ5 (cos2x)l(

~ ~ 2 L ~ĨÕĨ " 103 ~ + ~ 105 ’ 107

4 = ị(s/«5.v)9 {cos5x)ni dx= 5jc)’11 {s ìnSxý s inSxd x

+ c

T| ( c o s 5 x ) '

1

5| ( c o s 5 x ) '

1 ( c o s 5 x ) '

5 1 1 2

s =(• coss X

J 3 / • 3 y silt X

\120

114 116 118 120+ c

r — í \ - 3 ' - 3 — (sinx) 3 ( l -2 sin 2x + s i a 4 x ) d ( s i n x) = 3 ( s i n x ) . ’ - — ( s i l l x)3 +— ( s i n x ) 3 + ;G

J . 2 10 ' i

6 = ị-^ - —X —c!x= J(cos3x)5 (sin3x)6ỉin3xdi = — ị(cos3;t)5 ( l- co s23x) í/(cos3x)

= — j( c o s3 x )’s (l - 3 cos2 3x -f 3cos 4 3x - COS6 3x )d (c os 3x )

= — 5 (c ơs 3x )s - H - ( c o s 3 x ) ' 5 + — ( co s3 x) _5 - — (c o s 3x) -3 I il 21 31

+ c ■


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ĩ: Các kĩ thuậ t tính tích phân — Trầ n Phư ơ ng

, _ f _ r ____ ffc ____ _ f 1 r Ị Ỵ dx

( s i n x f (co s x f Ị s i n x )3 coss x tgĩ X VCOS 2 X ) COS 2 X \ c o s x l . *I cos*/

1 + 3 tg z X + 3 tg4 X + tg6 X

1(sinxY ( cosx)s

Ỉ( tg x ) tg X

= f l ( tgx) '3+ - ^ - + 3tgx + tg3xJ tgx

(be f cosxdx

d ( t g x )

= Í ( t g x ) 3 + - ^ - + 3 tg x + tg3 x d ( t g x ) = — ị — + 31n|tgx|+-ị?-tg2 x +JL tg x J 2tg X 2

2 J _ f <& _ r cos»& _ f <5?(sin jc) _ f( ĩ - sin4 x) + sin4 X

8 *sin4xcosx ■’sin4*cos2* •’sin4jc( l- sin2 x) •* sin4 x ( l - s in 2 x

fl+ si n 2 X N, rd (s in x ) i f , . y4 , . s - i l , / . V rd= — - J — d(sinx;+ — ~ — = L'sinxJ +(sinx; Jd (.s in xJ+ —

} sin X 1-s in X J J l-

-1 1 1 , l+ s in x |= —— —Y ----- — + - l n - — +c

3(sinx) sinx 2 1-sinxl

c dx f — iL C' — —• B g = I = ■= Ksin jc) 3 (cos x ) 3 dx= |(s in ;t) T (co s*) 3 co

ịịs in5 xc os x J J

-5 4 zL (= J(sinx)T (cosx) 3 d(sin x )= Ju 3 (l - u 2) 3 dll = ju 3 •

I , 2-3 l-.u

1— uĐ ặt — ^ - = v?=> -2u 3du =3 v2dv; V = 1 - u\l/3

2u

COS X

. sm X ,= ( t

^ B7 = Ju"

Cách 2:

1 - udu = — Jdv = - —v + c = - —( tg x ) 3 + c

B9 = J — J x = = J - - i . ,.== = J(tg x) 35 đ ( tg x) = - | ( t gvsin XCOSX J i s i n x ) COS X; cos X J / sin X V

v l c o s x j

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:3. ca c Dai tạp danrt cn o Dạn aọ c tự giãĩ:

B, = J(s in3x)6 (cos3x)8 dx ;B 2 = J(sin9x)n (cos9x)6 đx ;B 3 = j"(cos2x)9 (s

(* 4 y*= [- = = —d x ;B s = f (s in 5x + 2 c o s5 x)3 d x ; B(-= f(3 sin X - 2

\ / (cos4xỹB.

120


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§9. Tích phân cơ bả n củ a các hàm lư ợ ng giác - Trầ n Phư

III. D ạ ng 3: C3 J = j(tg x Ỵ dx ;C3 ,- =j(cotgx)”dx ( n e N )

,1. Công thức sử dụng:

• J(l + tg 2 x ) d x = ị —^ — = ị d { t g x ) = t g x + c

• J(l + cotg2 x)dx = - J =~ \d (cotS x) = -c o tg x + c

• ị t g x d x - ị ^ - ^ - d x = - ị ^ ^ — ^- = -ln\cosoẻ \ + c J J c o sx J cosx

r , ỊCOSX , r d ( s i n x ) , I . I• Icotg xdx = I-------dx = I—— -------= In ịsin x\ + c

J J s in x J s in x


•c, = ị(tgxý(bc

= j [( tg x )6 (l + tg 2 x ) - ( tg x ) 4 (l + tg2 x) +(t gx)2 (l + tg2 x ) - ( tg x )0 (l + tg2 x) + l]d

= jt (t g x )6 ~ (t g x )4 + (tg x) 2 - (tg x)° ] đ ( tg x) + jdx

(tg x) 7 (tg x) 5 [ (tg x) 3 _t g x + x + c

7 5 3 1

'C 2 = ị{ts3 x)14 dx = j[(/g3x)12(l + /g 2 3x )-(/ g3 *)10(l + tg2 3x)+ (tgS xý (l + tg2 3

-(tg3x)6 ( l+ tg2 3x)+ (tg3x)4 ( l+ tg2 3x) -(tg3x)2 ( l+ tg2 3x)+ (tg3x)° (l + tg2 3x) - l]

=ị J[(tg3x)12-(tg3x)10+(tg3x)8 -(tg3x)6 +(tg3x)4 -(tg3x)2 +(tg3x)°]d(tg3x)- j

(tg3x)B (tg3x)" (tg3x)9 (tg3x)7 (tg3x)5 (tg3x)3 (tg3x) o

. 1 3 11 9 7 5 3 1+ c

• C3 = ị(cotg2x)6 dx


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩthúậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

C, = ị ịc o tg x )12 đx •=

= |[(cot£x)10(l +cotg2x )- (c o tg x )8(l + cotg2x)+ (co tgx) í (l + cotg2x ) .......

-(co tg x)4 (l + cotg2 x ) + (cbtgx)2 (l + cotg2 x) - (cotgx)0 ( l + cotg2 x) + l

- j[(cotgx)10 -(c otgx)8 +(cotgx)6 -(c otgx)4 +(cotgx)2 -(c otgx)0 jd (cotgx

(cotgx)^ (cotgx)9 (cotgx)7 (cotgx)5 (cotgx)3 cotgx

n 9 — T ~ ~ 5 3 1

+ X + C

c s = p s l x )!3 (íx = £(tg2x)” (l + tg22x) --(tg2x)9 (l + tg2 2x) +(tg2x)7 (ỉ + tg

-( tg 2 x) 5 (l + tg2 2x)+(tg 2x)3 (l+ tg2 2 x )- tg 2 x (l + tg 2 2x)+tg'2x]đx

= ~ J[(tg2x)" - ( tg 2 x )9 +(tg2x)7 - ( tg 2 x )5 +(tg2x)3-tg 2 x ]d (tg 2 x )+ Jtg

, i í f e £ - í ĩ g-2- J + t e fo)*. _ +(ĩễật - t e l L in ico s zx2 L 12 10 8 6 ■ 4 2 ,

c 6 = I (cotg4x)Ọ dx = |[ (c o tg 4x)7 (l + cotg2 4.x) - (cotg 4x )5 (l + cotg2 4x}

+ (cotg4x )3 (l + cotg2 4 x )- ( c o tg 4 x )( l + cotg2 4x )] dx + cotg 4x

= - - j[(cotg4x)7 -(co tg4 x )5 +(cotg4x)3~ (cotg4x)]d(cotg4x) + Jcotg

(cotS 4:Q 8 (cotg 4x )6 [ (cotg 4x) 4 (cotg 4x) 2 + 1 ln |si n 4X| + c

:: 4 L 8. 6 . 4 2 j 4

Q - dx= Ị(tg x)2i'“2 ( ì+ tg 2 x) - (tg* )2*-4 ( ì + tg2 x ) + (tgx )2í~6 ( ì + tg


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§9. Tích phân cơ bả n cua.các hàm lư ợ ng giác - Trầ n Phư ơ ng

= J [ ( tg * r ' -( tg x )2k"3 + (tgx)2k"5 -... + (- l) k'’ (tgx )]d(tg x) + (- l) k Jtgxdx

2k 2k - 2 2k - 4 2

C 9 = |(cơỉỹx)‘Adx = j"(cotgx)2i~2 (l + co tg 2 x ) - ( c ọ t g x ) 2**4 (l + co tg 2 jc) +

+ (cot gx)2k 6 (l + co.tg2 x ) -.. . + ( - l ) k 1(cotgx)0 (l + c o tg 2 x) + ( - l ) k]dx

= - j[ (co tgx )2k~2 - (cotgx)2k' 4 +. .. + ( - l) k" ' (co tgx )°]d (co tgx ) + (- l) k |dx

= _ í — (cot gx)2*' 3 [ (cotgx)2k~5 + ^ k - .c o tg x + ^ j ) k x + c

L 2k — 2 k - 3 2k - 5 w ■ i J

C 10 = ị{c o tg x)2k+I dx = J(cotgoc)2i_l (l + co tg2 x ) - (cotg jc)24”3 (l + Cớ tg2 x) +

+ (co tgx )2k~5 (l + cọtg 2 x) > .. . + ( - l ) k_I (cotgx) ' (l + cot g2 x) + (- l ) k co tg xj dx

= - j[( co tgx )2k_I - (cotgx)2k~3 +... + ( - l ) k_l (cotg x)]d (co tgx ) + ( - l ) k ịco tgx dx

+ ... + ( - ! ) » í ^ £ b - i ) » toỊ sinxl + o2k 2 k - 2 . . 2 j '

C n 5=. Ị(?ẩ-t + Cớ/gx)5 ÍÍK = ,ị[(t g x) 5 + 5 (t g x)4 cotg X +10 (tg x)3 (cotg x)2 +

+ 10 (tgx )2 (cotgx)3 + 5tgX (cotgx)4 +(c otg x)5]đ x

= j[( tg x )5 +(c òtg x)5 + 5( tg x) 5 +5 (cotg x)3 + 10tgx + 10cotgx]dx

= j[ (t g x )5 + 5 (tg x)3 +10 tg x ] dx + j[( co tg x )5 + 5 (cotg x) 3 +1 ồ cotg x ]d x

= j[(tgx)3 ( l+ tg2 x )+ 4t g x( l+ tg2 x) + 6tg x]d x'

+ j[(co tgx)3(l +c otg 2 x) + 4cotgx(l -co tg 2 x) +6 co tgx ]dx .

= j£(tgx)3+ 4tgx ]d(tg x) + 6 Jtgxdx- j[ (cotgx)3 +4cotgx]d(cotgx) + 6 jcotgxdx

+ 2 tg2 X - 6 In ịcos xl —(-C- ^ - 2cotg2 X+ 6 ln ịsin.. 4 4

sinx +c

3. Các bài tập dà nh cho bạn đọc tự giãi:

C| - j(tg5x + C 0 t g 5 x ) 4 dx; C2 = J(tg2x T C 0 t g 2 x ) 7 dx; C3= |(tg3x + cotg3x)6 dx



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






IV. Dạ ng 4: B.. , - f'(g-*r * iD,.,- *T■ <bc4 - \ h c o s x T 4-2 j ( s i n x Ỵ

r ít gx Ỵ 11. Phương pháp: X ét đại diện D .. = I— — — — dx

h c o s x Ỵ

1.1. Nế u n chẵ n (n =2k) thì biế n đồ i:

=j(<sx)”[cỉ-i +c;_,(tg2x)1+...+cf.l(tgí xf +....+ẹ tí{tg2x)k 'j

, c t , i ^ + c U % ^ + ...+ a , % i C ; + ;..+ c E : ! i ^m +1 m + 3 m + 2p +1 m +

= J u 2 h[ c ° { u 2) k - c [ ( u2r + ... + ( - l ) P c£ (u 2)k~p + ... + ( - l ) k cỊ| ]c

, . 2 k + 2 l i+ ] 2 k + 2 h - l - , 2 k + 2 h - 2 p + l

_c> - t - - — + .. M - I Y ơ k - ; u Ị - + ,„ + ( -O k C*2 k + 2 h - l k 2 k + 2 h - 2 p + l

= t í - uk 2k + 2h + l

í..1.3. Nế u m chẵ n, n lẻ (m =2k, n =2h + 1) thì sử dạ ng biể n đ

f ( tgx) f ( sinx)2k cosx , f ( s inx)2k w D4] — I - - - . . . . . QX — I " -7. u ĩĩ CỈX'— I — - —— 'a (,SU1 X/ \ (.

41 J (c o sx )2ll+1 J (c o sx )2(k+h+1) (l - sin2 x )

= r ru2^ 2[ l - ( l - u 2 ) ] = f u2k-2du f u2k-

4 , = ] ( i - „ r ' J ( i -u 2r +' u j ( i - u 2)k+h+i j ( i - u 2Hệ thức t rên lằ hệ thức t ruy hồi , kết hợp với bà i t í ch phân hàm

hữu ti ta có thể tính đư ợc D4.1.


' D' ~ ê ẫ ’* ' ] z z h f ’ i(cos3x)

|(tg3x)7[l+2(tg3x)2 +(tg3x)4]d(tg3x)2

3

124

(tg 3x )g t 2 (tg3x)10 t (tg

8 10


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§9. Tích phân cơ bán cứ a các hàm lư ợ ng giác - Trầ n Pi-.n-tìn

D ĩ = ị ( ^ ~ ~ r (íx = {(coíg5x)10(sin 5x )2 _

dx

(sin 5x Ỹ

= - — J"(cotg5x)10 [ l + cotg25 x ] d ( c o t g 5 x )

= - - J(cotg5x)i0 [ l + 3(cotg5x)2 +3 (cotg5 x)4 +(co tg5x )ỏ]d{cotg5x)

. f / . /r. \15 / . . '(co tg 5x )u (co tg5 x)13 3 (cotg5 x) ls (c o tg 5 x /

11 13 + 15 + 17+ c

f l , - f - M ỉ L * =

(cos4x) Vcos4x J c o j 4 x

= I _ jT í _ J _ T d í — 1— 1 = ì I u" ( u * - 1)3du4 J ( _ „ /u .V \ C.n<i4\ I VCOs4xy 4 *

. i f ' - , T ( _ Ị 4 y4 j Ị_(cos4x) J Vc o s 4 x V ^

= - ịu 94( u 6 - 3 u 4 + 3 u 2 - l )d u = — 4 i 4i f 1 1

4 _10l( cos 4x)101 33 (c o s4 x )"

97 95

101 99 97 95 J3 1

+ c

4 |_ 1 0 l(c o s4 x )101 3 3 ( c o s 4 x ) " 9 7 ( c o s 4 x )97 95( c o s 4 x )9S

• D“ = (bc = J ( cớte3*)8 í — Ị c° tg^ - d x( sin3x ) J \ s m 3 x j sin 3x

= _ i if 1 _ ! V r _ l _ T ° dí _ L _ Ì „ _ I ru «0(a2 _ o 4 du3 •'Isin X J Vsin3xJ Is in 3xj 3 J

= - — fu40 (u 8 - 4 u 6 + 6 u 4 - 4 u 2 + 1 ) d u = - — 3 J 3

-f-c

4 9 47 45 43 +1 Iu . u .11 . u u — -----4 —- + 6 - ------ 4 — + — +c

49 47 45 43 41

49(sin3x)49 47(sin3x)47 15(sin3x)45 43(sin3x)43 4ỉ(sin.3x)4

, B , K g O j f c , [ í

+


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chuff no h Các k ĩth u ậ i iihỉtíỉch phân - Trằ n Phừ ớ ìtg

ĩ( tsx)*‘ - Í -

cosxdx

( COSX )4 (cosx)

- hí s i n x T

■ 2 Ý •sin x)

4 d (sin x)

, ì T - j i - - f I U i L . a u , i t - 1

J ọ r . l t ; J ( i - ụ 2)3

f(Ị _• f( lT ý ) da g H ) ,

J = J íu - i -V = J í » - ữ

1 ■ u —- + c = — ~ + c

dur du _ 1 r (l + iO + í l - u ) . _ 1 (■ 1 1

( l - ỉ í 2 ) 3 - 0 + u ) ( ỉ - u ) _ ~ 8 - ' J ~ u ỉ + u

i f ĩ ^ + r J _ + ĩr A _ í _ l _ , _ l : ì k s J| _( l~u )3 . 0 + u) . {ỉ- ú ) v ỉ- u 1 + U/J

l ĩ l _ _ -1 6 f du Ị 1 (ĩ-ru)2~( l- u )2 3 r

8Ỉ 2 ( l- a ) 2 2(1 + u )2+ . * W ) \ 8 . 2Í1-U 2)2 + J

1 1 1 6 í8[ 2( l - u )2 2(1 + u )2 + % u 2):

_ u 3 f(l + u2)du 3 ị- du

, . , , _ u 3 T . 3 ■:=> D6 = ] , - ] , = ----------- r + - I ( + — In :

4 ( l ;V ) > 16 . ■

u 5 u 3 , 1+ u= ------ — — - + — ln —— 4 { l - u 2) 8 ỉ- u 16 1 _ u

5u3 - 3u 3 , 1+ u 5 (sin= — ----- —7- + — ỉn —-— + c = — -

8( l _ uự , lổ ' l - . l l 8

(l + u)2 —(l —ll)2 ,, j ( l + u2) + ( l - u 2

u 3 3------— Ị -+-I, +—in4(1 - u 2) 8 16

i + u

1 + u

(l-u2)2

1 -u+ c

l - . u- í ,

+ c = —— + — ỉn

s C l - u 1)2 16

1 + sin X

l.+ ul —u

5( sinx )3 - 3 s in x 3 .+ c = — — ------- —-------+ —- ln

8( c osx ) . 16 1 - sin X+ c

3 . Các bà! ‘tậ'0 'dành cíiQ tón đọc tự giải:


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






Chu ffng l: Các kĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

= -Ị- Í(sinl7x -4 sin l5 x+ 6sinl3x -3sinl lx -3s in9 x+ 6sin7x -4sin 5x + sin3x32 J ■

- ỉ ( cosl7x 4cosl5x 6cosl3x 3cosl lx cos9x 6cos7x 4cos5x CO= —r —-2--------- — — + ------------------— ------- — - — —+—-r ---- -r— +—

321 17 15 13 11 3 7 5

’E 4 = J(co.«c)5 (s in5x)dx = J(co«c)J (cosx)2 (s in5x)dx

f cos3x + 3cosx l + cos2x . . ,--------- ----------------- --- ----- sin5xdx

4 2

= —|[(c os 3x + 3 cos x ) sin 5x + (cos 3x + 3 COS x) COS 2x sin 5x] dx

/ -Ị „ '1 • c í 'ĩ -.sin7x + sin3xlcos3x + 3cosxJsin 5x + (.cos3x + 3 c o sx j- đx= I f 8 •'L 2

= — f[2 sin 5x (cos 3x + 3 COS x) + ( cos3x + 3 COS x)(sin 7x + sin 3x)] dx1 f\ *

2 (sin 8x + sin 2x) + 6 (sin 6x + sin 4x) + (sin 1Ox + sin 4x ) +-ầ í + 3 (sin 8x + sin 6x) + sin 6x + 3 (sin 4x + sin 2

= -ỉ- Í(sinl0x + 5sin8x + 10sin6x + 10sin4x + 5sin 2x )dx32 J

- l fcos lOx 5cos8x 5cos6x 5cos4x 5cos2x\= —- — ----- h — ----+ ---- — ----+ ---- -----+ ---- — ---- + c32 V 10 8 3 2 2 )

ỉ (sùi3x)(sùi4x ) , f(si«3x)(s in4x) , f(sin 3x)(s i«4x ) ,'E ' = I--------------------- ^x _ ----------^ --- ----CX _ -------- --------- •— dxJ Í g x + C 0 tg 2 x } s i n x [ c o s 2 x J COS ( 2 x - X )

cosx sin 2x co sx .sin lx

= J (s in 2x)(s in 3x)(sin 4x)dx = —J(cos2x -c o s6 x) s in 3x dx

1 It, . , . \ / . „ . _ M . - \ ( cos5x cosx cos9x cos= — |Ksin5x + sin x;- (.si n9 x-s in3 x'jd x = —- — --------- +c4 J 4 l 5 1 9 3

3 . C á c b à i t ậ p d à n h c h o b ạ n đ ọ c t ự g iả i :

Ej = [(sin 3x)4 (cos 2x)3 d x ; E2 = f(sin x) 5(cos 5x)2 d x ; E3 = f J : (tg 3x + tg

128



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§70. Các phép đỗ i biế n số cơ bả n tích phân hàm lư ợ ng giác - Trầ n Ph

§ 10. CÁC PHÉP ĐỎI BIỂN SỚ Cơ BẢN

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁCI. CÁC DẠNG TÍCH PHẢN VÀ PHÉP BIÉN ĐÓI

• Đ ặt vấn đề:

Xét tích phân dạng I = ịR {s in x ,c o sx )d x

1 . Đ ổ i b i ế n s ố t ố n g q u á t :

2dt 2t I - ' 2Đ ặt l = tợ — z=>X = la r c t g t ;clx = — — sin x = — — 7 ; cosx = ------ 72 \ + f- 1+ t2 l + ỉ 2

Khi đó: 1= { r ( s ìh x ,c o s x )d x = f f l f —'f ' , *J J u + r l + í2J l + í2

Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số cách khác để hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn.

2. Nẽu R(sinx,cosx) là hàm lẻ theo sin: R(-sinx,cosx) =-R (sinx,cosx)

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = cosx.

3. Nẽu R(sinx, cosx) là hàm lẻ theo cosin: R (sinx,-cosx) = -R (sinx, cosx

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = sinx.

4. Nẽu R(sinx, cosx) thoá mãn điều kiện: R (-sinx, -cosx) = R ( 'inx, cosx)

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = tgx.

II. CÁC BÀI TẬP MÃU MINH HỌA


N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các.kĩthuât tinh tích phầ n - Trầ n Phư ơ ng

íả SỨr + 6t - 3 A B. , Ct + D - + --------- -T = — ------------- —T + — t - . V í

ú + 2Ỹ (l + r ) ? + 2 0 + 2) 1+ 1

t:: + 6 t - 3 = A (t + 2)(l + r ) + B(l + t2) + (Ct + D) (t + 2)2 ,Vt (*)

o r + 6 ỉ- 3 = (A + C)r3 +(2A + B + 4C + D )t2 + (A + 4C + 4D)t + (2A + B + 4D

Thay í = - 2 vào (*) thì -1 1 = 5B => B = -11 /5

■;*) C5

A + c = 0

2A + B + 4C + D =

A + 4C + 4D = 6

2A + B + 4D = -3

<=>

A + c = 0

2 A + 4C + D = 16/5

A + 4C + 4D = 6

2 A + 4D = -4 /5

34 r. dt 11 r dt

o

A = -34/25

B =-11/5 ■

c =34/25

Đ = 12/25

ì f t2 + 6t - 3 lt 34 p dt 11 Ị dt J _ ị-24t + 12d

2 j (t + 2 ) M l + r ) Ul25 J t + 2 s J ( t + 2 ) 2 + 2 5 Ì 1 + t 2

34 ị- dt Í1 r dí 12 f d ( t 2 ) 12 r dt

25 (t~+ 2 ) 2 + 25 ' l + t2 + 25 ’ĩ T r ”

— In |í + 2 | + —7 ———+ ln ( 1 + 1 2 ) + — arctg t + c 25 5 ( í + 2 ) 25 25

-I i ' ỉ2 . - / , .2 'i 12" ' l ,S X fZ l + ĩ ị i Ể ĩ ĩ ) 2 ỉ 4 ts ’í h 2 5 x * c

34

25

ạrig 2: R (-sinx , cosx) = -R (sin x, cosx)

2 sin X COS xdxsũ ilx dx (■ 2 si

COS 3 X - s i n ' -V- 1 J COS 3

R (bill X.cos x) =

.V+ COS2X —2 - .

2s inXcosX Ị D r \R ( - sin X, cos X) = -R (sin X, COS X)

-2tdt ■

cos X+ cos X - 2

A Bt + c


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§ i 0. Các phép đồ i biến sắ cơ băn tích phân hàm ỉự ợ ng giác - Trần Phự ơ ng

- f f i - V - r ^ - ì d t . - i f - V 1 . - 05 t —1 t + 2 t + 2 ) 5 J t - 1 5 “ t + 2 t + 2

_ 2 r dt 1 fd (t 2 +2t.+ 2) 6 ■ dt.

5 ■*t - 1 ?■> t 2 + 2t + 2 5 -l ( t + l)2 + i

= - —In |t - 1|.+ - In Ịt2 + 2t + 2 I- —arctg (t +1) + c

= ——ln (1 —cos x) + —in |cos2 X + 2 COS X + 2I- —arcíg (1 + COS x) + c

_ f dx r sinxdx r -d(cosx) f dt 2- J—•*C711

r sin xơ x r ■J CTI7" V/VỈC^ V * I' smxcos6 X * sin2 x c o s 6 X •'(l - COS1 x ) COS6 X ^ t6 ( t 2 - 1)

rt6 - ( t 6 - 1) , _ f

V ( t 2 - i ) t _ -At2 -1

: in1- COS X

1+ cos X

1

Idt = lnỉ-.l

t-H-1

1 1 1■- —+ —r + c

t 3í 5t

cosx 3 COS3 X 5 cos5 X+ c

" í s ỉnx + s in3x r r l s i n l xc o s X

- — — rix = --------— --------co s2 x J COS 2 x

, f4 sin X cos2 X ,dx — I -------- cỉx

2 COS X — 1 . .

, 4 < 2 £ x d ( c o s x ) = r t f * rf- 2 V f ----- r

J x J , :2r J Ji- ,i 12. ■

1 - 2 c o s X

1+ V2t

72-In

ỉ - y Ị ĩ t - 2 t + c = —p r ỉn

72

1 - 2 t

1+ >/2 cosx• 2cosx + C'

* ! 2 ’ A :_ r 4sin

ị 1 + CỠ SX

4sin3X „ *-r 4s/«2 X . . f rfx = ------ ----- sin xdx = —ị 1+ cosx .

1- COS X

^ 4 ( 1 - C 0 5 2 * )

ỉ + COS Xif ( c o s x )

= — -- dt= Í 4 ( l - t ) d t = ( 4 t - 2 r ) ị’ = 4 - 2 = 2Y 1+ t - i ' ■■

It/’ Ị -t /2 •> J */2 . J ' >/2 . •_ f si« .1 _ f sin X ax _ f sin X ax _ (•sin X ax J sin 3x 3 sinX - 4 sin3 X 1:2 -A s in 2 X 4cos2 X - Ỉ7T/0 .T.6 ■ jr/a ■ . ■ /T/6 ;

= d(cosx) = 1 ^r 2 d(2t) = l ln| 2 t - l ^ = l ln(

4 cos2X-1 J 4t2 —1 2 J(2t)2—14|2t + l0 4

131



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Cấ c kĩ thuậ t tính tích phân — Trầ n Phư ơ ng

3. Dạng 3: R (sinx, -cosx) = -R (sinx, cosx)

„ _ f cos*X , f cosS X J f ( l - S/H2 x) . S f ( l -K = 7 u dx= \^rCOSxdx= I----- 0 d(sinx)= I-

1 s in X J sin X J s in X J t

r1—4t2 + 6t4 - 4 t 6 + 18 . -1 4 6 4 1• ■+■ —— — — — — -ị~ - - - ■— --------

1 . _ 1 •»

I9t'9 I7t'7 I5t15 13t13 llt

_ -1 4 __________ 6 4 __________ 1

i9 (s in x)19 17(sinx)17 15(sinx)15 13(sinx)13 ll(s in x )

:cos}x + cos5X , Ácos2 X + COS4 x) . Ácos2 x + cos4 x• K 2 = — ------- —— ux= ----- -— —— 7 — cosxdtx- ----- — — — —

1 sũ t x + s in X J s in x + s in X J s in x + s in X

J t2 + t 4 J t2 (l + t 2) t2 1+ t 2 j

2 2= t - —- 6 arctgt + c = si n x ----- ---- 6 arctg(sinx) + c

t sin X

4. Dạng 4: R (-sinx, -cosx) = R (sinx, cosx)

. " í * " r * " f < *( « * ) , u . .. , 1 *- 1, * ! — r ^ z — ĩ= J — H r — ê * - 1 ° ị cosx(sinxcosx) ' COS x ự g x - 1) ị t g x - \

- 7 , * . - T , y s il l* X C O S S X x i ị ị ị t g 7, x c o s * X Ậ c o s 2 X . ị Ị t g 3 X Ậ { t g

J ( tg \ ) j’ d( tgx ) = 4( tgx)4 ^ =4^(-n/3)7 - l ] = 4(V3 - l ) X J

. 2 I 'T/ 4 4 ->L = f s i i r x d x _________= r ___________COS X s ir ,2 X

„ cosx(2sin3 X + 3cosJx ) 0 COS JC(2 sin3 X + 3 COS3 x) COS4 X

= " l - i ò _____ d * - / ? tg2x d (tg x) = l T d(3 + 2tg3 x)„ 3 + 2 tg3 X cos2 X * 3 + 2 tg3 X 6 ] 3 + 2 t g X

= —In (3 -Í- 2 tc3 x)6 ~ ■

"/4 1 1 5= —(in 5 - In3) = — In —

6 6 3



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§Ị 1. Biế n đổ i vậ đổ i biế n năng cao tích phân hàm sổ lư ợ ng giác - Trầ n Ph

§ Ị Ị . PÍẾN ẹ ỏ l VẬ ĐỎI BIẾN NÂNG CAOTỊCH PHÂN HÀM SÓ LƯỢNG GIÁC

|. DẠNG 1: MĂU S 0 U BIẺỤ THtye THưAN n h á t C0A SIN J dx

M , . ị M . = f — Ế>— = f — = J.

r s i n x 2 sin Ặ CDS 2 tg Ặ co s2 ^2 2 2 2

(sinx)

= lntg^

tg- + c

ST , 1 A _ r dx rsinxdx f d (cosx) - ỊCách 2: A, = | - p - = I ' r ~ = ~ ] , 2 T ln

' S ịn x * sin X J l - c o s X 2

? 4 , = í——— = f - d ( W g x) = - cotg x + c * s i n X i

1+ COS X

1- COS X+ c

,A = f f ffa f _ 1 f(1+ /g 2) ^ ( ^

(«ỉ)

l(tgf ) 4 i ^ z7 7 +2lnl,8f 4 ( ,82)!= , ^ 2 , r ! + ,g ' |

(*ỉ)+ c

C" / 2 ’ /4 - f ^ f d(.cosx) _ f d i c o s x )

3 ~ s m X ~ s i n 4 X ~ (j _ c o $ 2 x f ~ J [d + cos x ) (1 _ C(

■t J|4 J

(1 + cosx) + (1 - c o s x )

( l + c o s x ) ( l - c o s x )

1 1 2------ ----------------- ----- r-H--------- -— ( l - c o s x ) ( l + c o s x ) 1 - c o s X

\1 — puo A/ L * '

d(cosx) = — i f ----- Ỉ----- + ------!----- 14 J U - c o s x 1+ c os xy

d(co sx ) = —C0^X - —In2 sin2 X 2

d (co

1+ cos X

4 ( l -c o sx ) (l+cosx) 1-cos2 X 2sin2 X 2 1 -c1 - COS X■


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§ i i . Biển đôi và đôi biển nâng cao tích phân hàm sổ lư ợ ng giác - Trầ n Phư ơ ng

= í đx. = - f(l+cotg 2x)2í / (cotgx) = -[c otg x + -CĐ tg3 jc + -c otg 5x ì + cJ sin X J V 3 5 J

= f — f Ỉ L ! Ỉ L 1 2) ‘j (‘s f )

^ w ~ ế *(•!)(“ ! ) 2 ủ ) l + 6tg! ĩ + i s tg * | + 2 0 tg ‘ | + 1 5t g , | + 6 t g " f + t g ' ! | . ,

J— - - — ------ 7 - f e

4

15

6 | t g | ) 2 ( t g f

d x

2 l t a ễ

-+201n t s : +c

g = f- -k - = - [(1 + cotg2 x f d (cotg x) , J sin X J

= - J ( l + 3 co tg2 X + 3 cotg4 X + cotg6 x ) d (cotg x)

( 3 . 3 5 . 1 . 7 ..ì= -I cotg x + cotg x + — cotg X + — cotg x \ + c

f __ lỉx _ _ r _______ <

* • W v ) - ,,+í ( \ 12 s i n | c o s | )

í -f __________ dx__________ = J _ + 2) a V g

2 Ì

J / \2n +í / \4n + 2 -»2|| J Ị v2n + l

2 - ( t g t )= ! ( c o st ) t { . g f ) s '*'

_ L ^ f ị ị ( ^ | ĩ f x )

22” J / x ì 2n+v ' 2 /( t g 2 j

-c'■2n

2n I t s ^

J ^ n —I

1 T +(-'2n in2 | t e ^

tê:r" V>o, r 2n / \2n

I X+ — í t g # r + . . . + ^ t g | + c

= Í t Z Ẽ T ~ = ~ ÍO + cotS2 x ĩ d (cotg x) = J s i n X J ,

= - j [ Cn +C 1 cotg2 X+... + CI; (cotg2 x) +... + C," (cotg2 x)" ]d(co íg x)

- c ° ( c o t g x ) + % - c o t g 3 x + . . . + - ^ - ( c o t g x ) 2 k + ’ + . . . + - ^ 2 - ( c o t g x )3 2K +1 2n +1

+ c

135



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thúậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

II. DẠNG 2: MÀU SÓ LÀ BIỂU THỨC THUẬN NHẬT c ủ a COSIN — —-; (cos x)"

'(■♦ỉ)• B = f - r v + 21 _ r du f du (•_____ (

i c o s x s in (x + " ) J si nu * 2 s ịn f c o s - | J 2 t g |

u+ p = In

( x n )tgT- , +-T2 ụ 4 )

1+ s in X

1- sin X+ cCách 2: B, = í ~ — = [ Í 2 ĨỈẺ U f i í ^ l = i l n

J cos X J COS X - Ị - s in X 2

’ B2 = \d { tg x ) = tg x + c J COS X

B = f d x f d ( x + ~2) f d u f d u ị ______

W . V ( * * f ) V 1 ° ( 2 s i n f c o s f ) ! ° J s(<g

a j H i l i l H ) = i [ ^ l + 2,„ « g i + I ( , g | )% J Ũ Ì Ỷ 4 7{n s Ỹ 2 21 2 Ì

ỉ

( * ỉ r-1

2

Cách 2.

ta( ỉ + f

- + 2 In

. M )

«(ỉ+íBNf+ỉĩ+ c

, _ f ax _ rco sXdx _ r <Hsmxj _ r dVsmx

c os 3 X COS4 X ( l - s i n 2 x ) 2 [ ( l + s i n x ) ( l -

d(s inx) = — i f --- í------+ ------ỉ-----ì d4 Jvl -s in x 1+ s inxy

I rị I 1 2 ] . / . V sinx 1 , '= — j ------- — - + ------ — 7T + -— — í— d ( s i n x ) = — - -4 — + —ln

d(sin x) d(sin x

_ 1 f (ì + sin x) + (l - sin x) f i 11N

4 J ( l + s i n x ) ( l - s i n x ) 4 J v l - s i n x 1+ s i

1 if I 1 2 1 , , . s, sin X 1 ,= — ------- -----r- + ------- -----T- + ----- — d ( s i a x )= — — + —i

4 (l + sinx) 1 -s in x j 2cos X 2

Cách 3: B3= í d~3 = J—!— d (t g x )= -^ -~ Í tgxdí—ỉ— ỊCOS X J c o s x c o s x J V c o s x /

- J S £ _ [—L - f — L— i ’\ d x = J i i L + f J Í L - f X J COS X COS X J COS X V eos X ) COS X J COS X J Ccosx

- ^ - + B, -B- =>2B- = - ^ - + B, =>B, = -COS X COS X ' 2

tgx 1- + —Incos X 2

1+sinx

1—sin X+



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





B“ ='J...dX-t = f(1+ tg2 x )d (t g x ) = tgx + i t g 3 x + c J cos X J 3

B = f dx r ^ ( x + 2 ) r du ị- du f du ____ =

* IcoSx = JsiI15Ị x + | Ị = Jsin’ u = JỊ 2sin| cos| Ị 5 = J32Ị tgM)5(C0SM)'°

m ± Ậ ' + * i í Ị * ị } , ,

" Í 6 Ì ( « 4 ) ! ' , , J ( 4 ĩ

§Jj. Biể n đổ i và đổ i biể n nâng cao tích phân hàm sỗ lư ợ ng giác —Trầ n Phư ơ

16— L- T - ~ T + 6ln t g i - 2 ( 1* 1 )’

* ỉ ) (tỄt f

+ c

’ / 2- B- - í - f c o sx d x - f d ( s inx) !■ ______ d(sin x)

cos3 X COS6 X ( l - s i n 2 x)3 [(1 + s i n x ) ( l - s i n x ) ] J

1 r [ ( l + s in x ) + ( l - s i n x ) Ỵ , \ 1 1 1 Ỵ ,/ . 1 - 1 - 7 ----------- Ĩ7----------- 7- d ( .s inx j = — ----- ;-----+ ------ ------ CHSÌnx.)8 J L (.1+ s i n x ) ( l - s i n x ) J 8 J V l - s i n x 1+ s in xy

I 3 y _ + 1 Y |d(sinx)

8 J ị _ ( l - s i n x ) ( l + s i n x ) 1 - s i n x U - s i n x l + s i n x ; _

\ í 1 1 ' 3 Ị d (s inx) _ sinx 3 g8 Ỉ,2 ( l - s in x )2 2 (l + s inx )2 J + 4 J ( j _ sin2 x )2 ~4co s4 x + 4

Sin X 5

4 cos4 X 8t g x 1 I■+ -- ln

cos X 2

1 + si n X

1- sin X

sinx 3sinx 3,+ c = — —-— + — — + - ln

4cos X 8cos X 8

1+ sin X

1- sin X+

ách 3: B5 = = J — — đ( t gx ) = - ^ — ị í g x d í — L - l J COS X J COS X COS X J V COS Xì


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N






§11. Biế n đói và đỗ i biể n năng cạ o, tích phân hàm số ỉư Ợ ng giác - Trầ n Phư ơ ng

DẠNG 3: c = f ------a(si

dx

a (sinx) + bsisixcosx + ic (cosx)

,=-f------ ;*■ -- . = ĩ------ -Ẻ L---- .

(2sinx + 3cosx) COS2 X (.2 tg X + 3)_ ị- d ( tg x ) _ 1 ị-d (2 tg x + 3 ) _ -1

_ (2 tg x + 3)2 _ 2 J ( 2 t g x + 3)2 _ 2 (2 tg x + 3 ) +C

= f _______ — f ______ ____________

( S s i i t x - S c o s x ) ' + 1 c o s 2 X [ ( 3 t g X - 5 ) 2 + 1 + t g 2 x ]

= f ti(tgx) = 1 I* d (tgx) _ 1

J l 0t g2 x - 3 0 t g x + 26 10 i f J L ^ 5

l 8 2/ 20cix

>" í;

1 _2> /5 tgx-3V 5arctg------- ^ 7=----- — + c

V7

dx

(4cos2x - 7sìn2x) COS2 2x (4 - 7 tg2x)

Ị_ ị- d (t gx ) _ - l ị-d ( 4 - 7 t g 2 x )_Ị _ ị- d( tg x) _ - l fd (4 - 7 tg 2x j _ 1

~ 2 ^ - T t g l x ) 2 ~ Ì 4 (4 - 7 tg 2x)2 " 1 4( 4.- 7tg 2x ) + c

= f _________ d x _ _______ = r ________________ dx_____________ __

(5sin3x + 2cos3x)2 - 21 COS2 3x[(5tg3x + 2)2 —21 (l + tg 2 3x)J

_ I r. d(ĩg3x) _ 1 ị d(tg3x) _ 1 2tg3x-

“ 3 J 4tg 2 3x + 2 0 tg3x -17 ~ 12 J / 5 \2 , 42 " 6742 3rc g ^4 2

. 2t g3 x + 5+ c

tg3x + í l + -4

= [ -........ dx - f dx■ 3sin2 X + 4cos2 X ■*COS2 X(3 tg2 X + 4)

3 t g X + 4 V3 J ( V 3 t g x ) + 2 2 2 ^ 3 5 2

_ r _______ __________ f dx _______ _ J_ r d( tg 4x )

6 ■*8cos24 x - ỈOsin24 x ^ COS2 4 x ( 8 - 10tg2 4x) 4 * 8 —1 0 t g 2 4 x

đ(vTÕ tg4x ) 1 2V2 + ^/ĨÕtg4xì ị- dj'VlO tg 4 x j = 1 1 2 ^2 + y io tg 4 x

^ W 2)2 - (vTÕíg4x)2 ~ 3 2 V5 " 2>/2 -^/Ĩ Õ tg4x

139



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






c = f dx f ________ —________7 6s in2 3 x - 4COS2 3 x ■*2 COS2 3 x (3 tg 2 3x - 2 )

_JỊ_ Ị- d ( tg 3 x ) 1 ị- d (v /3 tg 3 x) 1

“ 6 J 3 tg2 3x - 2 " 6V3 J ( 7 3 t g 3 x ) 2 _ (V2 ) 2 " I2 V6

In yị s t g 3 x -

tg3x +1 r d(tg 5x )c _ r dx f ________ dx ________ = _Ị_ f d( ,tg5xj

s •*3cos25x - 2sìn25x ^ COS2 5x (s - 2 tg2 5x) 5 J 3 - 2 tg 2 5x

= - f -10 V

d ( t g 5 x ) _1_ 1

10- tg 5x

•C9 = [ - ---------------ĩ s it t2X - 5 si nx c os x- 3 co s2X COS2 x (2 tg 2 x - 5 tg x - 3 )

d (tg x ) _ c dt _ 1 f dt _ 1 (• d

ln

2 - 4

ễ+ tg5x

ễ -•tg5x

:’ h

- A ĩ+ c = —— In60

dx

y /ĩ + V

- y Ị

f d ( tgx ) ị- dt 1 ị

J 2 t g 2 x - 5 t g x - 3 ^ 2 t 2 —5t —3 2 Ị

=Il„7

4 t - 5 - 7

4t - 5 + 7

2t —6

2t + ]

dt 1 ị T

H ĩ - f i p V ư2 t g X - 6

1 —— — - + c+ c= -^!n7 2 tg X +1

c = f ■ đx _________= r dx

78 14cos 2 3x-7sin3x cos3x+ 6sin2 3x ^ COS23 x ( 4 - 7 t g 3 x + 6 t g 2 3x

d( tg3x)

3 6 tg 3 x -7 tg 3 x + 4 18

dx

= _L f d(tg3x) 2

_ f dx■*4- J oĩt-ầ o V ('/AP 'ìv _ ^ Ov n

1 2 tarctg-----

V

c = r __________________ ___ _______________________________" * 3sin4x-5cos2 2x+12 ^ 6s in2 xc os 2x -5c os z 2x + 12(sin2 2x+

_ f __________ dx _______________ __Ị_ r d ( tg 2 x )

~ ■’cos2 2 x [ó tg 2 x - 5 + 12(1 + tg2 2x )] "" 2 •’ l2 tg 2 2x + 6t g2x +

- ỉ24 J

d ( t g 2 x )

tg 2 x + ị j ’ + ( - L

1 . _ 4 > /3 tg 2 x + \/3arctg ------- ------------- + c

10^3

4 > 1 ^ 3 ,

3 . C ác b à i t ậ p d à n h c h o b ạ n đ ọ c t ự g i ải :

dx r dx

(3sin4x-7cos4x) +2 (2cos3x-

140


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§■?■/. Biế n đôi và đổ i biế n năng cao tích phân hàm số lư ợ ng giác - Trầ n Phư ơ

IV. DẠNG 4: D =r dx

a sin X + b COS X + c

dx3sinx + 4cosx

_ f dx6sinẶ cosậ- + 4Ícos2 - - s i n 2 —)

2 2 l 2 21

■ r "(’• ĩ )= f____________dx ____________= r f _____

= J cos2 | ( 6 t g | + 4 - 4 t g 2 | ) J 3 t g | + 2 - 2 t g 2 | 2 J ^ x

d ( t g | ) - x _ 3 . . 5

d ( t g f )

Ị.-------T ! | L _ = d ; . _ l _ ln

- ( f ) 2 2 - í./>■ - í , d \ , I- ------ --------

Ì4c0sx-9sin x J 4 /cos2 | _ sin

tg — ——-2 4 4

tg —- —+ — s 2 4 4

+ c = — In5

2 t g f - 4

2 tg Ặ + 12

+ c

dx

ĩ | : 18s inặcosậ2 2

= [ ____ ______

to— ______

- = [ ______ 1COS2 - |Ị4 - 4 t g 2 ệ - 1 8 t g | j 2 - 2 t g :

i * ị )2 —- 9 t g —

2 2

= - J — 2 J. 2 X

- T Í

d tg _ _ - Ị

2 ~~2 -s/97ln

,g s + 2 _ Ễs 2 4

t g 2 + 4 + - 4

+ c = —-ln5

8 2 2 2

4 tg | + 9-T97

4 t g | + 9 + 7 9 7

dx D = f f dx _____________ J J + 7í/«5.v J 2 / cos2 3x _ sin2 3 x ) + !4 sin 3x cos

\ 2 2 7 2

' (•*¥)

3x2

= r_____________clx __________ 2 ị. d l tg 2 /

cos2 ^ ( 2 - 2 t g 2 ^ + 1 4 t g ^ ) 3 2 - 2 t g 2 ^ + 1 4 t g ^


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng k Các kĩ thuât tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

_ r đx _ f _________________ dx _________________

6sìn5x - 9cosSx 12 sin — COS — •- 9 (COS2 — - sin2 4 r )2 2 V 2 2 /

áx ______________= f f J (*S f )

2— Ịl2íg-y-9 + 9tg2~ j 12t g ~ -9 + 9tg

d ( t g — ) 9 f . d ( tg — ^

i s j

2 5 jc 2

45 J to 2 52L _ 4 tơ 52C _ J

g 2 3 s 2

2

45

_ _ 2 _ 1

oD = f —

In

j

ÍỈC

ts 5x _ 2 _ VT j

2 3_

2sinx + Scosx + 3

5x _ 2 +

■ f

+ c =15>/Ĩ3

=*ln3tg^x- -2 -V Ĩ 3

íg 4 r -2 + x/Ĩ3

dx

4sin —cos —+ 5(cos2—- sin2—) + 3 (cos2—+ si2 2 A 2 2/ \ 2

r ~ xcos

- / 7

j x r dH )| Ị 4tg | + 8 -2 tg 2| Ị 2 t g | + 4 -tg 2 |

d ( t g f - l ) t g f - l - V s

t g | - l + V52 J Ỉ '

oi), = f ______ ______ = f __________ _ _________ Ẻ Í _________ :_______• 9co s2x—4sin2x + 2 ^9(cos2 x - s in 2 x ) -8 s i n x c o sx + 2(cos2 x + s i

= f __________ dx___________________ _ = f d ( tg x )


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§i/. Biế n đồ i và đỗ i biể n nâng cao tích phân hàm số Ị ư ợ ng giác —Trầ n Phư ơ ng

V. DẠNG 5: TÍCH PHÂN LIÊN KÉT

cosxdxr cosxdx _ -, , , , „ ,. „ ' ,. _ ,, „* c sừ ,ì = ------ _Xét tí ch phân liên kê í vớ i El la: E. = — —

J sinx + cosx * sin X

s inxdx

+ COS X

Ta có: < _ . rcosx + s inx , f , / XE, + E| = -------- -------- dx= dx = x + (clJ■'.sin X4- cnsx J

í , I'd (sin X + cos x j . I .I/\- d x = ị — r-— —----------= ln|s in x + cosx| + (c 2)í J sinx + cosx

sin X + cos X

. _ r c o s x - s i n x J fd (sin X + COS x)- —

J s i’ s in X + c o sx

Giải hệ phương trình suy ra:Eị = — ( x + Inịsin X + cosx|) + c

= -^-(x -, ln Isin X + COS x|) + c

•E , = ị

s i n X í ĩx

3 cos x + 7 sin X

■ r * f

------. Xét tích phân liên kêt với E? là: E2 = -ỉin y J!

COS X đ a

Zcosx + 1 sinx

Ta có:

3 E j + 7 E , = - - 7 dx = fdx g X+ (c,)J 3cosx + 7sinx J

7E*2-3E, =' " ■ J 3c

7c os x- 3s inx , fd(3cosx + 7sinx)

cos X + 7 sin X

Giải hệ phương trinh suy ra:

-1

d x = í :

■e ; =

58

58

3 , X

7 In |3 cos X + 7 sin x|

3 co s X + 7 s in X

+ c = —ị (3 In |3 cos X + 7 sin xị- 7x ) + c58

= ]n |3 cos X + 7 sin x| + ( c ,)

. X 7.

in |3 cos X + 7 sin xỊ -3+ c = — (- 3x - 7 Jn |3 cos X + 7 sin x|) + c

58

COS 3x dx

l c o s ì x - 5 sin 3x

■ r s i íúxdx , , , „ , - ,, * r ’E ì = I------- — :-------- . Xét tích phân liên kêt là: £3 = -

J 2cos3x - 5sỉn3x J

Ta CÓ-:.

•'2cos3x-5sin3x J

__ r5cos3x+2sin3x , 1 fd(2cos3x-5sin3x) ln|2cos3x-5sin3x| , ^5E,+2E, = H d x = -~ I———————— = — ---------------------+(c2)

■ '2cos3x-5sìn3x 3 J 2cos3x-5sin3x 3

143



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phán - Trầ n Phư ơ ng

Giải hệ phương trình suy ra:

1E, =-

29

2 X

l n |2cos3x-5s in3x |5+ c = -

29

21n|2cos3x -5sin3x|

29

-5

ln|2cos3x -5sin 3x | + c = -29

2x -5 in \2 COS 3x - 5

' E4 = í— . ------ —dx . xềt tích phân liên kết là: £4 = f ----- ----(sinx) +(cosx)

T ' c* I- K sin x )4 + (C0ÍTa có: E4 + E4 = — — 7 — -— (sinx) +(cosx)

Mặt khác:

£ * _ £ r ( c o s x )4 - ( s i n x ) 4 r ( c o s 2 x + s in 2 x ) ( c o s 2 x - s i n 2 x )

( s in x ) + (co sx) (cos2 x + s in2 x ) " - 2 c o s 2 xs in

(sinxý +

dx = jd x = x + (cj) (1)

_ f c o s 2x (J ’ - f d(s in2 x) _ 1

1 - I sin2 2x x = ] (7 2 )2 - s i n 22x = 2 ^ 1In

sm

V2 + sin 2x

V2 - sin 2x

Từ (1) và (2) suy ra:

T, l í . . 1 + sin 2 x 1 . i f 1 \ /2 + s in 2E4=-t x -----T ỉn r + c ; E4 =i - x + — 7=ln - - - - -

2 ^ 2V2 v 2 - s i n 2 x ) 2^ 2V2 V2 -s in 2

* / Ị , / ___________ \ V 9 j t / 2 í .

' E s = J - ------ ỹ Ị - d x . Xét tích phân: E* = ị -.- 990 \ s i n x ) + KC OS X) 0 { s i n x ) + (( s in X ) + (

Đ ặt X = — — 11 dx = -</«. Vớ i X = -7- thì M= ớ và X = 0 thì l i = —2 2 2

. 1 ( s inxfdx _° r [ s in ( f -u ) ] (-du)

» (si- f + ( - ^ = i [ s i n ( | - u ^ + [ c o s ( | - u ị

(-du) V2

ỉ

(cosu)

(cosu)"+(



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§7/. Biể n đôi và đỗ i biể n nâng cao tích phân hàm sổ lư ợ ng giác - Trầ n P

x/2 xỊl•E 6 = I (cos3x)2 (cosóx)2 (hc . Xét tích phân: E l = ị { sin3xý (cosóx)2

0 0

it/2 . . jr/2Tacó: E6 + E g = J|_(cos3x)2 +(s in3x )2 J-(cos6x)2 d x = J ( c o s 6x)2dx

0 0

= — ((1 + cosĩ2x)dx = —íX 4- sm--^XỊ =.— . Măt khác:2 ] 2 l Ỉ2 J0 4

lt/2 */2E6 - E j = JL(c o s 3x )2 -( si n3 x) 2J(cos6x)2 dx = Jco s6x (co s6x )2 đx

0 0

. /2 ,

= — [|_1 -(sinóx)2Jd(sin6x) = —6 J 6

sinóx-(sinổ x)

= 0=> E6 =E

n 2 . J x / ĩc sìnxdx „ , . , , , _ r • £ , = -------- — ------- -. Xét tích phân: E-, -

0 (sinx + cosx)

cosxdx

0 (sin X + cos X)

T- n/ỉ (cosx + sin x) đx dxTa có: E7 + E 7 = I — ------- — ------ — = I ---------- ---------

0 (s inx + cosx) o ( sinx + cosx)

1 dx -1 Ị n \ 7 2 « K )

'V:= b

dx

^ s i n Ịx + j

1 / 2 = 1 1 = 1

10 2 + 2

Mặt khác„ It/r ( c o s x - s i n x ) d x "'f d(sin X + cosx )

ác: E7 - E 7 = I — --------- ;----- — = I7 I eìn V_l_i'nc VI z I oì0 (sinx + eosx)3 0 (sinx + cosx)3


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chitffne I: Các kĩ thuậ t 'tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Ví. DẠ NG 6: F = jf a sin X + b COS X

1 1 1 s i n X +1» cos Xdx

. P h i í c í n g p h á p :

Giã sử: a sin X + b COS x = a im SŨ ĨX + ncos x ) + j3 (m co sx - n s inx ) , \ f x

c:> a sill X + b COS X = (m a - n /3 ) s in X + (n a + m 0 ] COS X , Vjc

a m + b n

í m a - n p = a« i

n a + m f i — b

m 1 + n 2. Khi đó ta CỎ:

bin - a n p ~~ •)ill +11

am + bn nn sin X + n COS X

m~ +■n

cun + bn

II nn sin X + I! COS X , bill - an nn COS X —n sin X , 2 1 , l dx+ 2 .2 \ z " L ~,dx J /77sinX + nCOSX m +n J msinX + ncosX

bm -c m c d i m s i nx + nc osx)

m sin X + n COS X

am + bn bill - cm , , I= ——— — A- H— -------- — In I1)1 s i n x + n COS ,Y| + cn r + n ~ m + 1 Ì


_ f 4sũ i2x - 7cos2x I _1 r4s in2 x- 7c os 2x )■_ 1 f4 sin u- 7c os u

1 ■<5 s i n 2 x + 3 c o s 2 x 2 ■*5 sin 2x + 3 COS2x 2 J5 sin u + 3 COS u

Giá sir 4 xin II - 7 COS II = a {5 sin u + 3 COS li) + /3 (5 COS It - 3 sinl ì ) , v«4 s i l l u - 7 c o s u = ( 5 a - 3 ị3 ) s i n u + ( 3 a + 5 ( 3 ) COS u , V u

ị 5a - 3p = 4 í a = -1/34:-■>•( o< í . Khi đó ta CÓ:^ ì - _ ■ ^

3a + 5P = -7 [P = -47/3.4

1 (-4sim u - 7cosu ^ _ -1 f5sinu1 f5s inu + 3cosu , 47 (* 5c os u-3 sin u ,


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§11. Biế n đoi và đổ i biến nâng cao tích phân hàm sổ lư ợ ng giác - Trầ n.Phư ơ ìtẹ

II. DẠNG 7: G = Í-—•I m si

a sin X + b COS X+ cđx

1m SIR X + n cos X + p .

. Phương pháp:

Giả sử a sin x + b COS x + c = a {m sin X + Ũ CO SX + p ) + f i (m c o s x -n s in x ) + ỵ , Vjc

=> a s in x + Ặ cosx + c = (/ w a - n 0 ) s \ n x + ( na + /7//?)cosx+ p a + ỵ ,V x

m a - n ị 3 = a

n ữ + m f3 = b <=> ~ » Ỉ71 SI

2m + n

> , i -dx+-

m + r í J '« sin X + n COS X + p

mcos x-ns mxa m + bn e m s i n x + n c o s x + p , b m —a n c m 1 ^dx + — ——

m + n J m s i n x + n c o s x + pdx+

+ c ain+bn 1 f

~-.2 7 p_1_M- / msi7 72 + 77

dx

’ m sinx+nc osx+ p

_ a m + b n r b m —a n ị d ị p i s m x + n c c s x + p ) ị a m + b n 'Ị r

n ỉ + r ĩ ■* rn + n ^ MSÌ n x + n c o s x + p ^ n ĩ + n J - ’ OTSi:

a m + b n b m - a n . I I f a m + b n ^ f ■ - r - x - 1 — - — - I n \ m s m x + n c o s x + p + c — — p \ — :

m +n m +n V m +n J Jmsí

, * _ J_ - . A ___ 2 ___ . , ,

dx

msmx+ncosx+p

dx

ĩ sin x+ n COS -í+ p

C á c b à i t ậ p m ẫ u m i n h h ọ a :

rsinx + 2cosx - 3 ,G,= ---------- -------- —dx .

Jsinx - 2cosx + 3

iả sử sirt X + 2cos X - 3 = a (sin X - 2cos X + 3) + p (c o s x + 2sin x ) + y , X/x s inx + 2 c o sx -3 = {a + 2/3) sin X + ị- 2 a + 0)c os x + (3a + ỵ ), Vx

or + 2/3 = 1 fa = -3/5

- 2 a + /? = 2 <=></? = 4/5 . Khi đó ta có:

3 a + ỵ = s ỵ = - 6 / 5 - 3 r s i n x - 2 c o s x +

G ' = - r J -

=>

5 J s i n x - 2 c o s x +

4 j*d(s inX- 2cos x + 3)

5 J s in x - 2 c o s x + 3

3 . 4 f s i n x - 2 c o s x 6 f - d x + — —— --------- — -----a x - — — 3 5 J si n x -2 c o sx + 3 5 J si

d x - | J -

dx

s i n x - 2 c o s x + 3

dx6

5 J!s in x -2 co sx + 3

-3 4 , I ._ , I 6= — X + —In sin X- 2 COS X + 3 - —J

5 5 5

_ ị dx !• _____ _______________ dx ________ _____

sin X - 2 COSX + 3 2s in- |co s~ -2 |c o s 2 -s in 2 -|-j + 3[cos2ị + S'” 2~2 j

147



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân — Trầ n Phư ơ ng

= f _____________ dx_______________ 2 f d (ĩg 2 )

= J C0SJ i ( 2 . g - | + l + 5.g ; | ) = 5 J Ịt g | Ị ! + | Ị t g | Ị + I

2Ị d ( « f ) 2 5 ' + 5« ! „ ‘ + 5 ,ê ỉ

! ! " * 2 , t = “ * !(,sf + j ) +(f)-3 4 6 5tgẶ + 1

=>G, = — x + - r ln | s inx -2c os x + 3 | - - r a rc tg----- ------+ c' 5 5 5 * 2

_ S Ù I X -C O S X + I ,• G,= — -------—--------íbc.

ị sinx + 2cosx + 3

Giả sử sin X - cos X +1 = a (sin X + 2 COS x + 3) + p (c o s x -2 s in x ) + ỵ

<=>s i n x - e o s x + 1= {a - 20 ) s in x + (2a + 0)cos X + (3a + Ỳ ) , Vxa - i p = \ a = - 1/5

<=> • 2a + /3 = - 1 « - p - -3/5. Khi đó ta CÓ:

3a + 7 = 1 7 = 8/5

, rc/2 _ _ - n!2 _ . _ ĩĩ/2* I f sinx + 2co sx + 3 , 3 f c o sx -2 si n x , 8 fG? = - - —------------------~-dx— --------------------- dx + “ ----------

5 J sinx + 2c os x+ 3 5 J sinx + 2c os x+ 3 5 J sinx + 2c

_ 1 3 "'f d(s in x + 2cosx + 3) 8 K/r dx

5 ' 5 Ỉ sin x + 2c osx + 3 5 ị sinx + 2co sx + 30 0 ^ 0

= ( —-X ——lnỊsin x + 2cosx+3 |i + —J = — + —ln ~ + —J15 5 J 0 5 10 5 4 5

J - * f c*x - * [ d x" J sinX + 2 cosX + 3 - J 2 sin Ặ co s^ + 2(cos2 - s i n 2 ị + ĩ icos2 ậ +

2 2 V 2 2/ \ 2

_ 1 ________________4. _______________ d(*sĩ)" » cos11(2181 + 2-218“ + 1 ) “ .J tgJ | + 2 tg ị +5

/ \ n/2*/2 d 1 + t g x 1 + t s ậ _ , 1

n ___ 1 ~ 371 3 , 5 —-arctg-r =>G, = —- + — In —4 2 2 10 5 4

= 2 f-

í ( l + t g | ) % 2 =

3 . C á c b à i t ậ p d à n h c h o b ạ n đ ọ c t ự g iả i :

„ f2s inx -7c osx + 3 , _ r3cosx-4sinx + 7 , _ sinx + 7G, = — -- — — — dx;G2 = ----------— — -------- đx;G, = ----------- —

J 4cos x-5 sinx + 8 J 2sinx+ 9cosx -10 J 4sinx + 3

148


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




§/7. Biể n đổ i và đổ i biế n nâng cao tích phân hàm số lư ợ ng giác - Trầ n Phư

r a s in x + bcosxVIII. DẠNG 8: H = I-- ---------- ---------- ---------- ---------- -d x

( m s i n X + n COS x)

1. P h ư ơ n g p h á p :

Giả sử a s in X + b COS X = a ( n i s in X + n COS x ) + ( 3 { m c o s X ~ n s in x ) , \ / x

<=> a s in x + b COS X = {m a - n 0 ) sin X + (n a + mj3) COS X , Vx

am + bn

ị m a - n/3 = a \ <=>I na + mj3 = b

m + n. Khi đó ta có:

\n a + m p = b 0 _ b m - a n p - ỵ m + n

rr a m + b ìĩ r m s in X + n COS X , b m - a n I* /77COS x —ì ỉ s in X H = I------------- -------l_dx + —J — - J I------- — ------------

m + n (m sin X + hc o sx ) m + n ( m s m x + r c o s x )

_ a m + b n r đ x b m - a n r e K » í sin x + « COS x )

m ' + n 2 ■"ill sin X + /í COS X n r + n 2 ^ ( m s i n x + n c o s x ) 2

-dx

am + bnbn f d xn 1 ■*m s i n X + n

bm - an 1m ~ + n~ J M s i n X + ĩ ì COS X rn2 + n 2 m s i n x + n c o s x


7 sin x - 5 cos X

- + c

- d x .• H , = Ị— —(3 sin x + 4 COS x )

Giả sử 7 s i n x - 5 c o s x = a { 3 s in x + 4 c o s x) + /7(3COSx - 4 s i n x ) ; V x

o 7 s i n x - 5 COS x = ( 3 a - 40 ) s i n X + (4a + 2 0 ) COS x ; v *

Í3a - 4/3 = 7<=> ■! <=>

|4 a + 3/3 = -5

7 s i n X - 5 cos X

a 5

p =-43

. Khi đó ta có:

f / s i n x - 5 c o s x , 1 r 3s inx + 4co sx , 43 r i c o s x - 4 s i n x4 3 f 3 c o s x - 4 s i n x


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




ckirơ itg ỉ: Các kĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

_________ dx ___________ 2 r I s 2 / _

)s2| ( 6 t g | + 4 - 4 t g 2 - | i 6 t g | + 4 - 4 t g 2 |

Ị í ì f e l l

. 7 . r> z l í

2 ’ 5In

tO*2

. 3 54 ' 4

tơ —2

34 +!

_ -2+ c = ——Ins

2 t g - | - 4

2 t g | + l

=> H25

-In2 tg Ặ - 4

s 2

2 tg Ặ + :

43

5(3sinx + 4cosx)4- c

r Ssm/X + ÒCOSẨ X , 1 f 3 sin u + 5 COS u ,° /■/, = ~ — ---- —----------------------------------~ ( l x ~ - I— ---- ----------- -d u

(7si/i2x - 4cos2x) 2 J (7 s inu -A c o s li)

G i á s ủ'3 si/ỉ u + 5 COS II - a (7 OT ỉ/ - 4 COS lì) + /? (7 COS' w -f- A siĩ ì lì) ; VM

<=>3i'W7M+ 5cas-i/ = (7ar + 4/?)s«7i/ + (-4ar + 7 /3 )cosu;\fu

ị l a + 4J3- 3 a :cv> -Í <=> <

-4a +lj3 =5 P--

765. 47_

V65

. K h i đ ó t a CỐ :

. f 3sinu + 5cosu , 1 r 7sim i-4co su , 47 r 7cosu + 4sinH, -------------— -------- - d u = — j — ------------------ - d x + — j= j - — — --------

2 J(7 sinu-4 cosu )" 2v65 J( 7s inu -4c os u) 5V65 (7sin u-4 co

1 f dll 47 f d ( 7 s in u - 4 c o s u ) _ 1 J 47 ___________

J7 sin u —4co su 5\f65 ( 7 sin u —4c os u) 2 2\Ỉ655\Í65 7 sin u —4cos

f dll __ __ r ____________ 2dx ____________ _ r __________ dx _____

*7sini t -Acosu 14sin x co sx -.4( co s2 x - s in 2 x) COS2 x ( 7 t g x - 2 + 2sinĩ[-4cosu 14s inxcosx-

d(tgx)________ iIn

4 t g x + 7 -V 6 5+ c


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§/■?■ Biến đố i và đỗ i biển nâng cao tích phân hàm số lư ợ ng giác — Trầ n Phư ơ ng

, ra (sin x)2 + b sin XCOS X + c (cos x)2 ,. DẠNG 9-: I = ----------------------— -------- ------------dx

J 111sin X + n COS X

Phướng pháp :

ả s ử : a ( s in x ý + b s i n X COS x + c ( COS x ỷ =

= ( p s i n X + q co sx ){ m sin x + n COSx) + r {sin2 X + COS1 X ) , \f x

> a (s i n x ý + b s i n X COS X + c ( C OS x ) 2 =

= ( j n p + r ) { s i n x ) 2 + ị n p + m q ) s i n X COS X + ( n q + r ) ( c o s x ) 2 ; V * .

(a - à ) m + bn

m p + r ~ a m p + r = a

ì i p + m q = /; o I n p + n i q = b <=>

m p — nq = a — c

p =m2 + n2

(a - c ) n - b mĩ 2m + n

a n 2 + e m ' — b m n

2m + n

Khi đó ta có:

( a - c ) m + bn ( à - c ) n —b m■> •)

m + n-SII1X + - -> 'ì

m +n-COSX

a n 2 + c m 2 - b m n r dxdx + -------- — 7 -

n •'msinx+.n2 ,m +1 c o s x

, -sinx -------- ------- — COSX + -

m + n m + n

d x(a -c )n -b m . (a -c )m + bn an2+cm2—bnin r ---------------------------------c i r . V --------------------------------------r r t c v -ỉ--------------------------------------------Ị —

rr^ +n2 •’ m sinx + ncosx

Các bài tập mẫu minh họa:

(cọ s x) 2 dx

h - ị - r *• sin X sin X + y/lcos X

i ả sử ( c o s XỶ — ( a s i n x + b c o s x ) ( s i n x + 'Jz c o s x) + c ( ỵ i n 2 X + CO S 2 x ) ; 'V x

=> ( c o s X ? = ( a + c ) ( s i n + b ) s i n X c o s X + { b \ f ĩ + c ) (COS x ) 2 ; V x

tí = — 1 / 4

b--

CI + C = 0

o-ịữ-v/J +b = 0<=>

b \ j 3 + c = ỉ

tí = — 1 / 4

jt/3

b = S / 4 ^ I = i j0

c = l/4

s 1 V.cosx—-sinx

. 2 2

> , «/3d x 4 —

) 4 J sinx

dx

sin X+ \/5 cos X

151

WWW.FACEBOOK.COM/DAY


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t .tinh tích phân -Trầ n Phư ơ ng

J x/ĩ / \ J "/3= — I COS — COS X —sin — sin X dx + — I ------- —

2 H 6 6 ) 8 ị K .0 K 0 COS -7- si

, Jt /3 f _ \ i xft

f co s |x + —|dx + - f -2 0J V 6 ) 8 0J ;

dx

. . . .5 10 COS —sin X + sin -- COS X

3 3

0 0 si nỊ^x + — j L-

= f —+ —In V31 - 1 In V ã i = —+ —In V3 = —(l + In V ã)u 8 J u 8 J 4 4 4

r ( j V J - 2 ) (.«■« +{4\Ỉ 3 + 3 ) sin X COS X + 2 (COS X)2 ,• / , = I--------------------------- -----------:------------------------------- — ax

1 3 s i l t X + 4 COS X

Giả sử { 3^3 - 2) ( s i n x)2 + ( W 3 + 3) 57« XCOS X +2 (cosXỸ -

= ( a s i n x + b COS x ) ( 3 s i n X + 4 COS X ) + c ( s i n 2 x + COS2 X ) ; V x

1 —sin2

o ‘

3a + c = 3 V3 - 2

4a.+ 3fc = 4>/3+3<=>

4Ố + C = 2

a = yfĩ

b = 1 -

c = - 2

f _ i ^ r > / 3 . 1 i .I = _ - :r - s in x + -co s x d x -2 —

2 J I 2 2 J J 33s

J */3 / ■\ 2 It'3= -r I sin —sinx + co s^ co sx d x - —

2 J.l 3 3 . J 5 J

dx--- - -- - I o i l 1 J i l l A .1 W J V W J A U A I / » /

2 3 ' 3 J 5 J . ( , 3> . ( . <>• 0 sin I a rc si n -l si n x + cosl a rc

1 2 !tf d x l x/{ f 2 * 1} d [ s= i j c o s ^ j d x - £ #H * - f j * - i j r i

1 . f 71'i 1 , l + s i n i x - u ) ! ^ s 1 , l + s ín x c o su -s= —sin X - — - —In -— -------r = — ------- —In-— ;--------- -----

2 V 3 ) 5 1 - s i i H X -u ) 4

y/3 1.•— + - ln

4 5

5-4sin -§ + 3cosx

5 + 4 s i n ~ - 3 c o s ~3 3

, 1 . , 1. 1 3 -4 ^ 3 V3 i - —In 4 = - In —;----- — — - ——- : u

5 5 4(7 + 4 73 ) 4 I

Chú ý: AW c n - c s i n -jj = s i n ị ^ a r c c o s j ' j = “ ; CO S ị a r c s i n j = COS{^c trcc



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§/7. Biế n đồ i và đố i biế n năng cao tích phân hàm sổ lư ợ ng giác - Trầ n Phư ơ

X. DẠNG 10m sin X +11 cos X

a (sin x) + 2b sin X COS X + c (cos x)-dx

1. P h ư ơ n g p h á p :

•Gọi X,, Ả , là nghiệm C'ìa phư ơng trìnha —k b

b c - X = 0

o X2 ~ (a + c )x + a c - b 1 = 0 » Xí2 =a + c ± Ậ a - c ) 2 + 4 b2

Biến đổi a is inx Ý + 2b s inxcosx + c(cosxÝ =X-ịÀỈ + Ằ 2AỈ =

s ( ' b .-L- ----- cos X -------- — sin X +

1+o - X ị

- cos X ----- —- — sin X

( a - Ằ , ) 2

b2 I a - x ,1+ ---- ----- v

( a - x 2 f

b ; b . , 1 1Đàt u { = c o s x ------ — s in x ; ih = c o s x --------s inX ; kị = ------------ ;ìc-, = — ;—

<2-/1, ứ - X 2 a - X ị a - Ằ 2

—-==— = ( cosX - bk, sú ĩx ì ; A-, = ,— ■ =(cos X - bk-Ị s in x)1 Ặ T ĩũ ị ’

4 =VI + b2kf ị yỊì + b2k ị

Đ ể ý rằng A\ + AỈ =1 => Ả ịAị +X2Al =(A., - X 2) ẩ ? +X2 = (^ 2 + ^

b•G iả sử m s i n X + n COS x ~ p

p + q = m

• b - 1sin.x + -------- cos X + q

bm-n[a-Ấ 2)

sin X + -\ a-X- ,

cosx , V

b m - n ị a - X i)( a - %


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phân —Trầ n Phư ớ ng

2 . C ác b à i t ậ p m ẫ u m in h h ọ a :

(sinx + cosx) dx' 2s i l l X - ể s inxcosx + 5COS X

Ằ , . Ằ , là n g h i ệ m củ a p h ư ơ n g tr ình 2-X ~2

- 2 5 - Ấ-0 <=> X.J = 1;Ằ 2 = 6

2 sin2 X - 4 sin X c o s x + 5 COS2 X = - Ị - ( c o s x + 2 sin x )2 + co sx --ị-s in x

5 5 l 2

A| =- |=r(cosx + 2ss nx) ;A, = - 7=f c o s x - Ậ s i n x ì : A? + =1n/s V5 V. 2 )

G iả s ử SỈ HX + c o s X = / 7 ( s ì m x - 2 c o s j c )+ # ! $/ « ;* :+ — c os ;t Ị < => p= — ;q

— • (s i n X - 2 c os x ) + — ( s i n X + — COS x í 5 5 V 2 /

(sinx+cosx)dx 3 f (2sinx+cosx)ck 1 f (sinx~2cos

-1

=> sin X + cos X :

r I s inx+cosx jdx_______ r U sm x+ co sx jdx 1 r (.s inx~2cosxJc lx

J2siir X-4sinXcosX+5 COS2 X 5 -*(2cosx-sinx)2 +1 5 •!6 -(co sx +2s

3 r d ( s i n X - 2 c o s x ) 1 f d ( c o s x + 2 s in x V

(sin X - 2 cos x )2 +1 5 •*6 -5 (sin X - 2 c o s x ) 2 +

3 1= 4 arctg (sin X - 2 COS x ) H------- —=■In

5 10V6

( c o s X + 2 sin x )2

V 6 + c o s x + 2 sin X+ c

- c o s x - 2 s i n x

3 . C ác bà i t ậ p d à n h c h o b ạ n đ ọ c t ự g iả i :

( c o s x - 5 sin x ) d x r r ( 4s ir t. x —3 c o s x ) d x=


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§11. Biể n đổ i và đôi biế n năttg cao tích .phân hàm sổ luợ ÌỊg giác - Trầ n Phư ơ ng

I. DẠNG 11: CÁC PHÉP ĐỎI BIÉN số TÓNG HỢP

K _ r ________ dx . _ 1 Ị-sin [(x + a) - (x + b)]

' . J s in ( x + à ) s i n i x ỷ b ) s in ( a -b ) J s in (x + a ) s in (x + b) x a , i

1 _ _ p in (x + a)COS (x + b) - COS (x + a)sin (x + b)- b ) ■ s in (x + a )s in (x + b)

1

sin(x + a)s in(x + b)

----- T ịĩco tg(x + b) - cotg (x + a)ld xs i n ( a - b ) J

1----- r ( ln |sin (x + b)| - In ịsín (x + a )| ì + c = — *L—n ) v /«i;s in (a -b ) sin (a - b)

!nsin(x + b)

sin (x + a)+ c

K = f ứ x _ I f sin [ ( x + a) - (x + b)] '

2 J cos ( .V + a ) COS i x + b) sin (a - b) J GOS (x + a) COS (x + b)

• 1 rs in (x + a )c o s (x + b ) - COS(x + a )s in (x + b )

s i n ( a - b ) J co s(x + a ) c o s( x + b )

1 J[tg( x + a) _ tg( x + b)]dx

cos(x + b)

sin (a - b) - °

— 7- — -T-(-ln|c os(x + a)| + ln|cos(x + b)|i + c = — ----- rlns i n U - W x ' s in ( a -b ) eo s(x + a )

K = f ________ dx 1 rcos[(x + a ) - ( x + b ) ] d;,

3 J s i n ( x + a ) c o s ( x + b) COS ( a - b) J sin (x + a) COS (x + b)

1 >cos(x + a)cos(x + b) + sin(x + a )s in (x + b )^

c o s ( a - b ) J s i n ( x + a ) c o s ( x + b )

= ----7 —-T Ị ĩcotg(x + a) + tg(x +b)]dxc o s ( a - b ) J

1 1= ----- 7------ ^(ln Ịsin (x + a)| - ln |eos (x + b)|) + c = —— —----- r ln

c o s ( a - b ) c o s U - b . )

K = f _____ ị í _____ 4 ' s in2 x-s in l0

_ f dx _______ 1 rco sỊ(x + 5)- (x -5 )Ị

J 2c os (x +5 )s in( x- 5) 2cosl0 ■*cos(x + 5)s in( x-5 )

+ c

in (x + a)

cos(x+ b)+ c

1 rc ọ s(x + 5 )co s (x - 5 ) + sin (x + 5 ) s in (x - 5 )

J2cồsi0 cos(x + 5) sin (x - 5 )dx

155



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng ỉ: Các kĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

= ịĩcotg (x - 5) + tg (x + 5)]dx7 10 J •2 cos 10

---- !-----(in Ịsin (x. - 5)| - In |cos (x + 5)|) + c = -----ỉ---- In2cosl0 2cosl0

s i n (

cos( x

. l i l t * . = r í ĩ Ị H1 íg x t„ E _ ĩ g x sin Ị | _ x j

= f ---- — — r-d sin(-7 - x ) l = - ln s i n ( - ^ - x ) + cJ s i n ( - | - x ) L u u ' .

. . _ fVJ + t ỵ x , (-U/3 + tg xl co sx cVã cos x + si' K6= /~ — - <&= ? :------- dx= K Ị - —

J y Ị 3 - t g x J Ụ 3 -t g jc jc o sx V3 COS*-SI

■siri*

_ f\ /3 co sx + sinx __ ị( > / 3c o sx - si nx ) + ( ^ s i n x + c= T= — ---- dx = I- ----;------------- j=----------------------------

J v3 cos X - sin X J V3 COS X - sin X

1 fj .. . V3 rVs s inx + c o s x , X yfs Ị d {yj3 COS X - sin x)' = — | dx + — - p ----------- —— -— dx= — - — —

2 J 2 J y/3 cos X - sin X 2 2 J V3 COS X - sin X

= -T- - In |>/3 cos X - sin x| + c2 2 ĩt / 3 ' Tỉ/ Ĩ f ~ T --- ĩ t /3

K7 = ụ ^ ^ U ^ d, = L = ẳ í i \ c o s x J Vsin

J tỊ 4 i r/ 4 n / 4 v

- jr/3 _ . , ti/3 / _ 1 j* 2sinx H - fvcos

y f ĩ J 4 sl2 sin X COS X V ĩ ự 4

1 " r (co sx + s i n x ) - ( c o s x - s i n x )

" ử

r*'ì (cosx + sin x)d x "7 (c os x- sin x) d x

J . %/2sinxcosx ĩt/4

71/3

ir/4

V2sin xcos x

d(s in X + cosx)d (sin X - cos x) d( sin x + cosx)■v/l - (sill X- cos x) 2 n/4 \/(s inx + cos x) 2 -1

= -j=rỊ_arcsin (sin X - COS x) .- In Ị(sin X + COS x) + \/( s in x + cosx)2 - l |V2

">/2156

. VS-1 ,arcsin — -—■- ln(>/3 + l)V 3

2V2- 111(1 + 1/ 2 )

1

'- Ĩ2

. 4 ỉ - \ .arcsin— ------ ln



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§77. Biế n đổ i và đồ i biế ii nâng cao tich phân Ị tàm số lư ợ ng giác -Trầ n Phư ơ

J t /4 . , x/ 4

, K = f f v> d* í ______à*ý

XỊSs in x + c o s x x/sísin2 x+cos2 x ý T-3 sin2 X cos’ ;c ir/8:*_ 3sih2 x

_%‘ị ■ . dx * | (l + tg2 x )d (t g x ) V (l + u2)du

*/8 COS4 X [ ( l + tg 2 x )2 - 3 tg 2 x ] i/8 tg ; X + 1 U - u + ]

COS2

u 2 - l1 f " Y + l ] d u ; I d í u - —)

75-1 u2 + - - 1 v í- i/u -i Ị +1

*^ề cos2xcos6x , cos2xcos6;cpos4;tsin8;c•K, = — ----- —dx= I —-------— — ■■

Ịu tg4x + C 0 t g 8 x ị 6 sin 4x sin 8x + COS4 x COS 8j

= árctg — = arctg (3 + V•ã-ĩ v2 -1

dx

. . ' J ĩ / I 2 : A - • ' n \ ’ ’ * / 1 2 ‘f COS 2x ệos 6x COS 4x sin 8x ■ > ' . _-

= ------- 7 r --------dx = COS2 x COS6 x si n 8 x a x J COS (8x —4 x / _L7C/IOn/16

1 51/12■■■ ;■ ;■ : |ịvi2= — I (cos 8x + cos 4x) siii 8x dx = — Ị (sin 16x + sin 12x +• sin 4x) dx

ĩĩ/16 ị Ĩi/I6. . . . . .

= — í -Ị-cos Ĩ6x ;+ -ỉ- COS 12x + —cos 4x )4 U 6 12 . : 4 ) ,

Ĩ tị2

. _ 7 1 / 2 _ 7 1 / 2 , „Ỉ s in 2 x + s ũ i x , ỉ l + 2cos ;c , - f - l + 2 co s* \• a í8 = , — d x = - ——-= rsiii x d x = - — = d (.COS x)

ị V1 + 3COSX ịỊ y/l + 3 COS X Q VI + 3 co sx

*/2.(l+3cos.x),+.ị-2 f _ _ _ _ _ 2

Ị 0J V l+3cosx 9 *

,0 1 V 8 V 2 - 7:o s l2 x + —cos4x = ——— . 4 I J j , 6 384 /.

n /2 ,

7 1 / 2 « _ c , f 1 + 2 c ọ s JC: • . ị; , . ĩ 1 + 2COSX , , \- đ x = - ------ —sin Srdx = - — = q (.COS x5 VI + 3 cos X ■ VI + 3 cos X

d(cosx) = — [Vl+3cosx d ( l+ 3 co sx ) - - f 9 J 9 | Vl+3cosx

I ”/2 ■ -■


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




am ong I: Các k ị thuậ t tilth tích M ắ n ~ Trầ n Phừ ứ ng

7 ĩ /6- .

'Kn= J -dx

= 7 2

s ì n x ) c o

3 + V3

. * = j 3 * | -

;.xcos|.jc + — j 0 < ỉĩcos Ịx + ^llcó sx 0 ' 'cosx

ì '“ l1- * « f - ’- ã * - ,' (! - t g x ) c o s X J i - t g x ' °. 2

ÍT/í Jl/4 J , It/'t Jf ______ dx_______ f dx________ 1 f dx

" I j2 + s in x -c o s x ~ Ị j 2 ~i->cosịx + Z-] ~ 0 sin2' Ị | + | Ị ,

J .h + 8 ) ^ L c o t g ( | - f | j v = ^ l [ l - { ^ 2 + 1) ] = 10J Sin2 ( ^ + s ] s/2 :: S J 0 ^ : ^ ^

^ _ s/r sinxclx _ ^ r sin;cdx _ 1(cos X + sin x) - (cos X - sin x)

j l + sin2x--. •* (siitx' -p-cosx)2- ^ 0(sin x +COS*)2

l^r dx 1 d(sinx+cosx) _ i dx 1~'»d(sinx+cosx)

2 i s inx+cosx 2 0 (sinx+cosx)2 _ y ă 0sin[.x+-§) 2 0 (sinx+ co sx)2 .

r

H )

ã

1 J i J . >1

o cos2( x + ^ - l 2 I (sinx+cosx)2 _■ & v2 8j 2 J 2 2(smx+cosx)

J - - V 2 ] n ( > / 2 - l ) - i = : ^ ! n ( l + V 2 ) - ^ ,2V2 ■ ./ • 2 ; . 54 ■ ■ Y

K _*'r dx _ B/f _____ dx sinxdx75 5i«Zv - 2 sin X(cosX -]) 2 i sin2 (co sjf - l)

n j i ' • 71/3. • Ji/i

1 d(cosx) _1 °r [(l + u) + ( l —u )]ã _ j f °f dll t °f d

2 j , ( 1 - c o s 2 x ) ( l —c o s x ) ( l + u ) ( l - u


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§12. Phư ơ ng pháp ỉư ợ nggiẵ c hóátích phân hàm, vô tỉ - Trầ n Phư ơ ng

1 2 . PHƯ Ơ NG PHÁP LƯ Ợ NG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐÒI BIẾN SỐ THÔNG DUNG

D ạ ng t ích phân Đỗ i b iế n số Đi ề u kiệ n biế n số

J f (x, Va2 - X 2 )dx x = asint ' t e n n . 2 ’ 2 .

j f f x ^ x 2 - a 2 )dxa

: X = — — ■■ ■cost

t e ị

i

- O J cL 3* ì

> ? )

Jf ( x ^ x 2 + a2 )dx x = atg t t e \ ° ề , : r

í f ( s - i ĩ ĩ ) dx .x = acos2t

ị f { x , \ Ị ( x - a) (b - x) ) dx x = a + ( b - a ) s i n 21 ' < » • ! ]

CÁC BÀI TẬP MÃU MINH HỌA:

Dạng i: J/ (xj 4a2 - X 2 ) dx . Đặ t x = asin t ; íe

/ , = —ĩ -^ —( l x: Đ Ậ i x - si n t; t ầ - ,=i

J V . 2, \LJ■ 1/2 x

n/ì \ Ị Ĩ \ - s m 2 t f costd t cos4 td t COS4 1dt COS4 td(cc

1=i s i n 31 ~ ị sin31 ~ Ậ sin31 " ị sin4 t

"I cos4 td(cost) _ u4du _ l - ( l - ủ 4) ^ du _ 1+ụ

Ị (l^COS2t) 2 ” 0 ( l - u 2)2 ” bJ ( l - u 2)2 ỉ ( l - u 2)2 0J 1 - u

. X . , , 1 / 2 1

• t 7c/ 6 Tt/2

dx costdt



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tilth tich phân - Trằ n Phư ơ ng

ư , ị ’- ĩ : .. - v: .• I 2 = J {3-x?)43-'x?<bc. Đ ặt u = \Ỉ 3sin t;t e ~' 2 ’ 2 'J

u

t

du

= 9 J (cos2 1)" dt = 9 j í +cos t j dt = — J ( l + 2 c o s 2 t + COS20 0 .2 . . / . 4 0

= —. f{ 1+2 COS2t +— C0S t ìdt =—f(3 +4cos2t + cos4t)dt4 ỉ ^ 2 ) 8 J • ■

* \ ị ( ĩ + ,/3 ^ Ì = : ? ĩ + M- • — u — -s — - ' -----

......' t o . V r P• / , = [--------- , ■Đ ăt u = 2 s in t ; t e — - 5 . . /

ỉ ( 4 ~ x 2) ^ 7 ~ 7 L 2 2 Jí/í

. TV sy,f 2costdt "r 2cos td tKhi đó; i 3= ——--- Ỷ~ị========= I-----0 v 4 -4 s i n 2 t ) v 4 ' - 4 s i n 2 1 0 4 COS2 t V 4c o s 2 1

. V i , . , , V? J . , ĩt/6 / . \ít/6 , ,

. . | w 7 = 4 | d(tgt) = l 4 tgt) 0 Ã tễ ĩ = i s

u 0

0

í / m 2

u

t

du

• lị = ịx2\Ja2- x?(Ịx;(a>o). Đặt ,u =asint ;t £ -^'„2 t

ứ V' ? . ’ du

■ a _____________ I t / 2 • ___________________ ; ___

Khi độ: I4 = Jx vVa2 - X 2 dx = J a 2 sin2 tv a 2 - a2 sin2 1 (a c o s t) dt1 0 ' ■ 0

«/2 - */2 4 tc/2

= I a2 sin2 t(acost) (a cost) dt = a4 J sin2tcos2tdt = — Jsin2 0 0 ^ 0

* .4 / . \

■ = - - r I ( l - COS 4t) d t = — t — ^ s i n 4t8 J 8A 4 J

k /2 . . 4 4 _ a 71 _ 71 a

0 " Ĩ T 7

160


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§12, P hư ơ ngpkáp lư ợ ng giác hóa tích phân hàm vô tỉ - Trầ n Ph

V

' 1- 1/2

dx

1 +\J-xO +x)- 1/2 1 +

dx ^ 1,/p du

i H H r i + i / F “7

Đ ặt u=-~sint ; t e2

TC n_ ’ 2 ’ 2 .

ir/2 ' . */2r _ f c o s t d t _ f

' J /í _ • J0 2 + VI —sin t 0

M 0 . 1 / 2 ;

í 0 71/2

fife (costdt)/2

. it/2

I

costđt

0 2 + v l - s ũ r t 0 2 + c o s t

d t "■? d t

Khi đó ta có:

;T ạ *í 2 + CCS t 2

51/2

- 1 :0 2 + c o s t 0 1 + 2 COS2 ị 0 COS

7t/2

2 . 1 7t2 tg 2 2 1 ' 7t ' t 7t . K (9 - 4 r / 3 ) jt

J _ 7 1 Ỷ TỊàx _ Ỹ (m + 1)í/m

,_VJ (-Ý - í )2 n / j + 2 . v - . v - ’ . ,.v5 ( x - 1)2 y Ị ị - i x - l ) 2 -ự ĩ w 2 y ị t - u 2

' 1 d t : - ý j (i8l )

£ • c » 4 ( l + t Ị1 A + 2) i l + lg’ i

■'ì' ■•■■■ _ -- AT’

Đ ă t Zí = 2 S /H t ; t e. 2 2 .

M ' - S - J ĩ.- t c / 3 - 7 r / 4

dư 2cơ stdt

Khi đó ta có :

T 'f 4 (l + 2 s in t )2 c o s td t zf4(l + 2 s in t) dt f 1 . Î6= ---- —- ---- = ■—----- ---- = — cotgt-iT/ 3 4 s i n 2 W4CO.S2 1 -a / 3 4 s in t v 4 /

_ V3 —3 1 | 4 siritdt _ J s ~ 3 1 "f 4 d (c os t) _ > / 3 - 3 1

- : 12 + 2 j 3 l - c o s ? t _ “ Ĩ2 2 _ | 3 l - c o s 2 t ~ 12 ~ 4

, % ỉ _ ị í lni i 4 _ ln3 Ì , 4 ị 2 . Ị ln 3 j M

- J t / 4 . - i t/ 41 (• dt +- I ——

- / 3 2 J / 3 S Ìn t

1 + cost

1 - COS t


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng Ị : Các kĩ thuậ t t ính tích phân - Trầ n Phư ợ ng

Đ ặt x ~ - ^ — ; t e c o s t -

° ỉ , = f - • Đ ă t X = —Ị — ;■ í e 0 , — 7 t , 4r ) = >

i L V 1 j

* /- ' • » / "ĩ J t/3 . , 7í/3 . -f sintdt/cos t ' , f . sintat. ị sintdt=>>1 = — ----- r = T = = - — = ~ ~ ~It/4 —1—/ I -1 7t/4 costytg t -/4 cost.tgt

cost Ycos2 t ,- ■ ■

° /, = f —£=£===? -Đặt x = — — ;/ e 0,-~)u 71,— \ =>; COSt L 2 ' L 2 )

1 sin t , sin t ,2 2 A ------- 2- --- ---- ---------2 I t/ 3 — 4 o t I t /3

=> I , = J - I COS t COS t J COS t f

.. i V X 2 -1 k /4 .. E—L Z Z i x /4 Ị sin2 t V4Vcos2t Vcos2t

_ r COStdt _ X/Ị d(sint) _sl (r +sint) +(l-sint)

X J i 2t Tt/4 n/3

dx sintdt/cos2

n / 3

jr / 4

X 4 Ĩ 2t 7t/4 n/3

dx sintdt/cos2

co stu t _ f cKsint,). _ 1 f

cc' s ^ i ( l - s i n 21 )2n/4

: i l f i ^ + ■ _ ! 4 J vl —sin t 1+ sinU

~/ 4

1 _______ 1

I- sin t 1 + sin t

s i L - ' - i f [ < i±

V 1*’3-d ( s i n t ) = - f

" ■ ■■ ” 1 ic /3 .

, 1+sin t+ In -— —— . l - s int J w 4

d(sint)

1 1 2----- ■------T"1— ■— --------------- 7 *1------7~(l-sin t) (l-rsini) 1-sin t

2 2 2 + V2 1

2 - 4 2 2 +V ? 2 ~ s f ỉ J-

1 2 2=- — r=------ —7 r+ ln

ỷ4 4 ( 2 ^ ' 2 + ^ 3

2 + 4 Ĩ ) Í 4 Ĩ - 4 Ĩ 1 . i - A ' J s — — = :i = ---------------------------+ —In--------- —pr

2 4 3 - 2 V 2

d(sin

2 + y ị ĩ ^

2 - Ự ỈI /

w -V2 — 16 4=_ — — dx. Đặt A' = t sJ V ' *. ■

■Đặt A-=— reio,.£]u[71,4?] =>■■. . t cost I 2.J 1 2 1 —— X 4 8

t 0 tc/


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§ 12 . Ph ư ơ ng pháp lư ợ ng g iác hậ ạ tích phậ n hàm vô tỊ - Trầ n Phư ơ ng

4 = [— ---------- = (a > 0). Đ ặt x = — í>{x2 - a 2) - h T ^ 7 c o st ’ \ '21 12 ’ /

_ f 1 ______ . asintdt _ f a tg td t

4 l ( i ■ I 2 ( 1 3 cos2t ^8-a3 costtg31 •

, COS tVcos t _ f dt _ 1 rcos t dt _ 1 fd(sin t) _ ' - 1

•*sia2 cós t t g 2 1 £.a2 sin2 í : s.a2 sin2 1 e.a2sint

ong đó 8 = 1 nếu tgt > 0 và s = - 1 nếu tgt < 0

+ c

- _ 2] 4x 2 -c r

5 = I JCajĩ x

-X ; & 4 i 2a

t n/4 . 7t/3

d x asintdt/cos2t

l — dx. Đ ặt , = e [o; n/4 J n/3~

dx asintdt/cos2t

1 \ asintdtCOS2 1J COS2 1 n/ỉ Ậ 2 t g 2 1 • s i n t d t ^ r 2

— —— s. ------ — = — — --- — - a tg td ta X. cost M

cost .. f 11/4■/•’ r ( -ft */3 \ / X

a | [ ( l + tg2 t) -i Ị d t = a J d ( tg t) - Jdt = a ( t g t - t ) | J = a ( V 3 - l ~ ]í r/ 4 V ^ít/ 4 7t /4 • J .

ah xđ x.Đ ặ t * = — ; í ecost

X Z 'J l. " 2a

Í 7t/4 ' 7t/3

dx asintd t/cos2t

[ 7 7 ĩ A asintdt

T _ * f v lc o s 2 1 J cps2 t _ s/f Ậ 2 tg2't • si n td t _ K/ị sin2 1 At

5 = í f _ ạ _ f y a COS2 1 = i w ĩ dtIcost/

1 ! ™ l ! 2 2 i d t - 1 - (i i n , ) , i f f

j» ‘ i C l - s i n ’ t) 4 j ,L (l + s in t ) ( l - s in t )-v : 1 ^

-— I d(s in t )= - fintj . . A Ậ4 j A l - s i n t 1 +sint

JC/4 , ■

1 11-sint 1+sint

-In1 +sint

1—sin t

:. 1 , 1

(l-sint)2 (l+sint)2 1-sin21

^ =-{ 2 2 1 2 + ^ V 2^ r l n ( 2 + ^ )~ 4 y7 ~ s 2 - S ~ 2 - S j "v: ; 2

.163



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Cfttrffits ỉ: 'Các klthúậ t tínhtich phân - Trầ n Phư ơ ng

3. Dạ ng 3: ị f {x ,y Ị x 2 ỷ .a2 )dx. Đặ t x - a t g t ; / e

• I , - J - t *~2_ đ x . Đặ t x = tg t ;t e 0,-|Ị

1/h x " ' ' L

ị(, 2 \5 dt ( 1 Y đt*/4 + tg' t) ; 'Ý'" */4 ~—7 — 3 “

_ , _ f - COS t fVc o s t ; COS 1

te81 Jle 1 ;Jt/6.

[° '!) X 1 / V 3

: t n / 6

d x d t Ị c ó s 2

,rt/6

. í 1 Y d t •Ico stJ cos2t _ ’' l costd t _ *1 d(si

s tg8 t i sin8 t J 6 sin

tr/ A !~~

w 4 ;:* ; Ị: 7 7 7' .0 J~ y 0■ , . , , __ ■ I

*/,.= J\/ X* .+ 2x + 2<£c = Jv(x +1)2+1 d(x +1) = j \Ị u2 +1 du ..........-/....................... -1 0

Đ ặt u = t g í ; t:ể ế , Y j “

. H , 0 1

i " tì 71/4

d u dt ịcos21

r i - dt

ĩt/4■ki I đt

COS2 t J1 0 COS3 t

Khi đỏ ta có:

(l -

! j ị ĩ ị » ^ 0 T d ( s i „ , ) . i 1 í - 4 - . - Ị - ĩ d t4 J Ị_ (l + s in t) (l -s in t) J .4. J U -s i n t 1 + sin ty

r j ị 4 0

0 + sint)(l - sint) _

í I' +.— ---- ---- —H--------T—{ĩ —Sint) (l+sint) 1— sin t

d ( s i n t ) = —. 4

■ 2 í ■ .2, ' . ỷ ’

1 - 4 Ĩ 2+<IĨ + 11 2 - V 2

1 -s in t 1 +sint

= ệ + ịl n | 3 + 2 ^ | •2 : 4

..[ 4u du2 . Đặ t w= /g í; /e ío ,ệ } ..=>1 Cu2 -r í) v 21 . '

c )í /3 ị ? " ■■ ;*/3 /'■ ■■Ị‘j ì \=> I 3 = 1 4 sin2 ỊV.đii = 2 I ( l - cos2ù)du = 2 ! u sin2u

I t / 4 ; t / 4 V 2 /

H 1

/ 7t/4 7

d u d t / c o s 2

j i / 3

jc / 4

. Ĩ - + 1 -6



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





vô t i —Trầ n Phư ơ

/ = ' /5f" vV dx ^ d u

( x + 2 ) 2 Ậ x 2 + 4X +5Y -1 (x+2Ý Ặ i x + 2 ) 2 + l]3 1 u2\j(u2 + 1)3

Đ ặt u = tg i; t L 2 /

u 1

t 7/4 n/3

du dt/cos21

Khi đó ta có:

1- sin21 \ ( - \ .cUs in tJ - — -— sin t

vsint )

"’f c o s3 1 d t COS3 1 , _ * r 1 - s i n 2= -I -7-7-dt = I — 5 -

Ậ t g t COS t Ậ s i n t Ậ s i n t

( - 2 s y í -2 V 2 V - 7 6 9 V 2 - 7 V 3~l>/3 2 J [^ 2 2 ) 2 - j 3 + 2 j ĩ ~ 6

. ĩ = I ' i i z j / j ' i + ^ _ | x - a / ( x - 1 ) 2.+ 1- d x

*s ~ ì x + ylx2 - 2 x + 2 X2 ~ 2x + 2 ~ ì x + Ậ x - i ) 2+ 1 ( x - l ) 2 + l

M 0

n/3

tc /4

Vu + l - v u 2 + l du= I---------- t ..... •—p -— • Đ ặt u = tg t ; t e

0 u + 1 + %/u2 + 1 u + ỉ

^ t g t + l - r / t g 2 1 + 1

■ t):

ĩt / 4 .

u 0 1t 0 Tt/4

du d tf COS2 t

Ị _ f t g t + 1 -A/tg t + 1 đt _ f s int + c o s t - 1 J

5 0 tg t + 1 + ^ Ị ^ ^ T + ì COS? t ( tg2 t + 1) ~ J sint + cost +1

= 1 f 1 ■ ; i j t , 1 J \ j j , ĩ _ 2 J' V s in t + c os t + u 4 J s in t + Cost + 1 4

J K/f dt * 1 dt ^ dt

0 sint-rco st + 1 0 2 sin“ COS2 + 2cos2 '2 0 2 c o s 2 2 ^ + t g 2 )*/4d t g l x/4: , .

= f _ A _ 2 j L = i n 1 + t g i = l n l + t g £ = l n > / 2 ^ I ! 2 = ^ - 2 1 n ^ =


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

°r / \ Ỉ7 ----- ĩ ~ dt 0f l + tg t , ^ °f sint-f-costI ] + t g t ) V l + tg2 t ^ - = I —— - d t = I 7 dt

L . 0 0 8 * 1 J / 4 COS3 t - ị COS4 t

°f s i n t d t ° f d ( s i n t ) ____ ° f d ( c o s t ) °r

-71,'4 C0S f -tt/4 (ì - sin2 t) -Ví e0S * — : ír/4

(l + sin t) + ( l- s in í)

( l+s in t ) ( l - s in t ) .d(si

— — ° + J L— +.— Ị — TdCrint) .3 COS t _J/4U - s i n t 1 + sin ty .

I - 2 V 2 °f

3 + í- j ự 4

1 - 2 7 2 ( 1

1 I 2 — .— ---------- --------------- --------------- -I------------------------ —

( l - s i n t ) ( l + s i n t ) 1 - s i n íd(sin' t)

-----------------4- Ị ---------------------------- ----------------------------

3 v l - s i n t 1+ s in t+ In

1 + sin t

1- sin t- n / 4

2 _ _ i _ + l n 4 d ì , i ỉ ± á + 2 l n (I + v 2 )

3 U+-n/2 2 - V 2 V2 + 1 J 3

. " f v z p [ „ , = V2Vf £ i p Z

$ 2 x ' 7 x

dx

Đặt x = - =ríg?;íe|”o,:2-j:3_ I— ‘V2

JCm . m ■

t lt/6 7t/4

dx 3dt/(-J ĩcos21)

Khi đó t a có:

Ị * p đ K - ' ! \ l ( 3 / j 2 f ( I g H - H ) - 3 d t ■

J ĩ ** x ° i i i t g t f '/2 c o s 2 t


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§12. Phư ơ ng pháp lư ợ ng giác hóa tích phân hẳ m vô tì -Trầ n Phự ơ ng

= ị x 3 ' l ĩ + X 2 cỏc.Đ ặt <x = tg t ; t e0 L 21

X 0 1

t 0 71/4

dx d t /cos21

ụ --- - u ----- --- 0 ----• 0 ----

' cos t ' COS t v5 cos t 3cos t j 0 15

7 , X 0 1

, = [7-------~ ~ r= - ■Đ ặt x = t g t ; t e 0, ặ )=> t 0 tc/4i ( x 2 + l ) - J x * + I L 21 — 7 - ,

ứ x d t /cos t

7t/4 'Ị . n/4 . 2 7t/4 , 7 ĩt/4 . 1= * ' - - Ì - , 2 S Ĩ !d t= f_ ỉ ậ l< d(sint)o (] + tg 2 t ) v l + t g 2 t cos2 t 0J co st 0J COS t 0 1 - s i n t

i f ----- ;— l i d (sin t) = Ĩ—In - + -‘n t - s i n t = I n( l + V 2 ) - ~0 Vl - sin t ) ; 1 2 1 - sin t - ) 0 2

X 1/V3 1

t 71/6 •rc/4

dx dt/cos21

„ = j +— Đ ặt x = t g t ; t €

- "If 0+ * g 2 + t g 2 1 d t _ d t _ n / r s i r

*/6 tg3 t cos2 1 J 6sin3 tcos2 1 ^ sin4 tcos2 1

’ j , d ( c o s t ) _ d ( c o s t ) _____________’ j f c o s 2 1 + 1 - C O S 2 ^ ^

» 6 ( 1 - c o s 2 t ) ' C O S 2 t i t / . ó O - c o s 2 1 ) c o s 2 t - I t / 6 V ( l - C O S 2 t ) c o s t )

( ^ +£ ỉ á{cosùJ ị ^ ^ ^ ị ( ^ d(cost}6vl-COS"t co st ; J.1-COS t Ậ cos t J -U -c o s t j

•1 . , - \ *.:i ,»/■*✓ . s2... l + ccst 1 V .1 i f 1. 1\ J(

jA

/6

2 I n

t i n4

Ì — i d (c o st ) . .I- cos t cos ty^.g 4 J vl - cos t 1 + c o s v

■ co st 4 v l - c o s t 1+ c o s U J ^ 2 2 + V3' \ '3

1 + cos t

I - c o s t

167



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tính tich phẫ n - Trầ n Ph ư ơ ns

4 . Dạng 4;: d x . Đ ặ t -x -ạ c o s. 2t -Ị í e ị o . Ị ^

5/2 l j + ■ X ______0

• / / = J J • Đặ t * = 5COS2 í; íe 0,- | => .. t n/4

° dx —10 sin

=> Ỉ! = f J ^ 9 + COS y ( - 10 sin2t)dt = 10 f J ^ - ^ - ^ ( 2 sin tcost )a t^ V 5 ( l - c o s 2t ) - / 6 Vsin t

*/■» */4 /• . Nn/4 / = 10 f 2 COS2 t đ t = 10 Í ( l + c o s 2 t ) d t = 10 t + — s in 2 t = — + - - - -

i ; i 2 .V 6

42'' ÍĨ +—" r• = j V J y ^ d x . Đ ặt x = 3cos2t ; t e 0, -| => t 7t/4

ák - 6 s i n2 t

=i>

í ĩ / 4 ĩ t / 4 - jc / 4

= 54 J COS2 2t (2 COS2 1) dt = 54 J COS2 2t (1 + còs 2t) dt = 54 J (cos2 2t +rc/6 7c /6 tc /6

_ 5 A Y l + cos4t cos6t + 3 c o s 2 t V t _ 2 7

II 2 ~+"r~ r "J ~T 2t + —sin 4t + —sin 6t + —2 6 - 2

27

: 2

5. Dạng 5:

2

r MẾ4

i _ i + 2 ì - Í Ị + ^ t 4 ì l = H í l + Í . V 3 Ì :2 6 2 J { 3 4 4 JJ 2 u 3 )

j f ( x , V ( x - a ) ( b - x ) ) d x . Đ ặt x = a + ( b - a ) s i n 2 1 ; t e

f í 7 \ . • 2 . 3a x = a + K b —a )s m t X —

íù: == == = - Ỵ tĩ< b). Đ ặt r =>■: -a ) (b -x ) / e 0 — IE

L 2_ sĩ vẬ x '- a) (b -x )

(b-a)sin2tdt- /

: (a<b) . Đ ật { r -1 => , ờ — — —

- - dx (bn2 td t _ ~‘ị 2 sin t COS td t „^(*2 ^ _ 2 írc

t (1 —sin2 1) "/6 Vsin2 tcos2 1 . s/6

X 3a

í n /

dx (b

it/6 V(b - a )2 s in2 1 (1 —sin2 1) ii/6 Vsin2 tcos2 1 ,

III. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC Tự GIÀIv2 . '] ____ _ 2 2



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§JỊ. Tích phân hàm vô tỉ -Tran. Phư

§ Ĩ3 . TÍCH PHÂN HÀM VÔ T Ỉ

I. TÍCH PHÂN CÓ CHỨ A CÁC CĂN THỨ C CỦ A BIẾ N Độ c LẬ P

1. Xét dạ ng cơ bả n thư ờ ng gặ p: / - Ị xm(a 4 bxn Ỵ ậ x vớ i m, n, p hữ u tỉ

1.1. Nếu p e Z thì gọi k là mẫu số chung Tihỏ nhất của các phân số

biểu thị bởi m và n, khi đồ đặt * = lk.

12. Nếu — e Z thì gọi s là mẫu số củ a p y ằ đặt á + bx" = ts n

1.3. Nếu + p<aZ thì gọi S b ằn g mẫu số của p và đặt a-—^X- = tn xn

f 1 . . Ị Ì2 . Xét I - ị R \ x , x q' . L . x 11'' )d x với ri, qj, ...rj, qj là các số nguyên dương.

Gọi k là bội số chung rihỏ nhất cùa các mẫu số qi, qj. Khi đó ta có:

= = — . Đắ t' X —#* => / i ' [/?•(/*,*“■ )ktk~l dt = ffl, { t ) a<?! k qj k •> J

' ( — —N3. Xét I - J-ftl *>Ịa x * j j n ■j ‘v đx với m, n, r, s nguyên dương

Đ ặt = /cx + d

ị a x - rb \ ” dx với m, ri, r, s nguyên dươ \cx + d ì \cx+ ,d ì

Ịd -b ad-bc r r J t d - b B L\ a ả - b c x = — — ;dx=---- — đ => 7= i? —— ,í " t* ---------- -' ạ -ct (a-ct) J \a - c t J(a-ct)

lun g nhỏ nhất của các số: s} . Đ ặt t =uk thìGọi k là bội số chun g nhỏ nhất của các số: {n,...s}. Đ ặt t =uk thì

I . Ỉ R Í ^ t ỷ . u " ,1 \a -c t J (a-c t ) ■ V ữ - c t ' (a - ct) ’

ad - b e , i . ku

(a-cuk)


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t t inh tích phân -Trầ n Phư ơ ng

2t'

- 2t’ f . ‘l : . 2 í ỹ( t + i ) ( t 2 —t + i ) ■ 't - t + 1 J ( t + I ) ( t - t + i )

- 2 í dt - 2 í— + 2 f—

= 2t2 — %? arctg ^ !- ■■- —In h + 131 + 2 ln |l + 1 | + cs s 3

= 2 V x — arctg— — - —-In |l + + 2 In |l + yfx I + cv3 v3 3

• / , = í— = fxl/2 (l + x1/3) £& => m = —;n = —;p = - 2 e Z = > k = 6J ( i + < /ĩ) J 2 3 .

Đ ặt t = ị fx => X = t6 =>dx = 6ts d t . Khi đó: I2 = JÍ_ÌÉL^É1 = J_ ^(l + t2)2 J ( l + t2)2

= 6 /4 _ 2 -» 4t 3

t - 2 r + 3 - -( t2 + i)2

dt = 6 j Ị ' , '-2 .! + 3 - ^ ĩ )d. + 6 j: dt

( t2 + i r

5 3

Ta có: I :

+ 3 t - 4 a r c t g t + 6J . Đ ăt 1= f , ; J= f -------- —-r J : J t2 +1 J (t2 + l)

f - j i - d t = - j L - - f t d f - J - ] = - j i - + 2 j - i i i L•"t + 1 t + 1 •* I t + 1 / t + 1 ■ ( t2 + l )

- J- — + 2 | í ĩl ± l L = l d t = -Tí — + 2 f - ^ — 2 f- ...dt - = - í - + 2 I - 2 Ít + Ĩ J ( t 2 + l ) t + 1 J t 2 + 1 J ( t 2 + i ) 2 t 2 + l

2J = — + 1 => J = — -r-ị-— r + —arctg t + c—-----+ i=> J = — 7------- c + — -t +1 z ( t 2 + 1) 2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§ lĩ . Tích phân hàm vô tỉ - Trầ n Phư ơ ng

f xd x f /, 2/3 V/2 2 _ 1 m + 1 „ _ _ 3 =L =r = x U + x ) dx => m = l ;n = —;p = —=>— — = 3 e Z

. Jyịl + t í 7 J 3 2 n .

ặt t = 'Ị ỉ + yfx* =>í2 = l + lfix? =>(í2 —l) = x2 =>2xd x = 6t {t 2 ãt

>1, = f = = f3t ( t2 - 1) dt = 3 | ( t2 _ x)2 dt = 3 f(t4 _ 2 t 2 + l ) d t

T , ì / , r ^ r \ 5/ 2 r , r - r \ 3/ 2 /• , r r \ = i t 5 - 2t3 + 3 t + c = i ( i + m - 2 ( 1 + */?)■ - 3 (1 + V 7 ) + c

4 - í----- ị x 3 ( 2 - x 3) 1 dxv m = -3 ;n = 3, p= — =>■ + p = - l e Z

n .

ặt í =

{/2 ^ 7 3 2 —X 2 3 2 2 J

t = — 7 — = —r- -1 => X = — ——= > x d x = X 3 JC3 í3 + l

- 2 r <ử

G ũ i ) 2

= f dx _ f X2 dx f 1 - 2t2 dt

“ j x3V 2 ^ ~ J 6 ^ 7 " J f ^ Ỵ t ' ( t 3 + i)2v . . u + uX —

-1 -t2= — ftdt = —-—HC = —

2 J . 4+ c

1 m + 1= ị ị Ỉ 3 x - x 3dx => m = —;n = 2 ,p= —=>-2^—+ p = l e Z

J 3 3 n3 x - x 3 3 y j 3 x - x 3 3 3 X -X 5 3 . 2 3

ặt / = — -------= > r ------T ^- = - ^ - - l = ỉ> r = - j -X X r + 1

2xdx =-9 t2 dt .

G3 + l)2

> I5 = R / s x - x 3 dx = ị Ễ - 2 : (2x dx) = f - - d t 2 = I j td ( ì2 J X ( t3 + 1) 2 U 3 + l J

_ 3t 3 r dt _ 3t 3 - . . . Ị dt

= 2 ( t3 - l ) ' 2 J r + l = ^ 7 0 2 VƠ1 i = v + l ;

_ f _____ dt _______ f _________ d( t + l) ______________ f du

_ (í + 1) (í 2 - 1 + 1) ~ J ( t + l)[ ( t + 1)2 - 3 ( t + 1) + 3] u (u 2 - 3u + 3)

__Ị_ f(u2 - 3 u + 3) ~(g~ - 3 u ) tí _ ì '/ rdu _ r (u - 3 ) du "l

""3 J u(u2 -3u + 3) ~ 3 l j u ■ 'u2 -3u + 3j

_ 1 f rdu 1 f ( 2 u - 3 ) d u 3 f đu ì

~ ĩ ụ u ~ 2 V - 3 u + 3 +:2 J u2 -3u + 3~J171



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chirơ ngl: Các k ĩ thuậ t tinh tích phân ‘-Trầ n Phư ơ ng

rdu -1 r d (ú 2 - 3 u + 3) ; 3 f du

■I u ' 2 J u 2 -3 u + 3 2 Ị _ l j 2 + l

■—í —ln3 L2

u2 :

= —ln6

= —ln. 6

u - 3 u + 3

(t + 1)2

( t + l ) - 3 ( t + l ) + 3

+ V3arctg~~J=~ I+ c

1 , 2(t + l ) - 3+ - ^ a r c t g — — P

V3 . V3- + c

r + 2 t + l

t - f + l

_ r 3t 3=> I, = T-7—r- T - —

2<í3 ■ +!) .. 2

1 2 t - l+ arctg — pr- + c

2V3

1 . t2 + 2t +1 1 2t —1- I n6 t2— t + Ị

:^ 3 x tX 3 1 ,

— —In

t ■—l TI JL Ạ

í ( \ / 3 x - x 3 +x )

' 3 ;

■v/3 2 > /3 x -x 3 -X- — arctg----------- 7=------+

4 xV32 4 . J

^ = = jV 4 (1 + x2) ! í&=>m = -4 ,n =2 ,p = x4'Jl + x'

- 1 m + 1

2 n

- t đ t

■+

__ V1+JC2 21+Đ ăt / = -í—------= > r = . , = -^- + l:=>jt2 =-T—-= > xd x = — ——

* ' . ..* * - T - 1 ( í 2 - i )

I( r J ĩw - f - 4 £ _ r - (, t L \ » \ - ì * fl t .- l)d

. v V Ĩ Ĩ ? ) . .« 7 Ĩ 7 7 J • ( t 2 -i > J

- t= ——+ t + c =

X

-a /( 1+ x2)3 Vl + X2 ^ _ { 2 x 2 - ì ) ề

3 3x3 + X + c 3x3

. / , - 7 - p ^ e - J Ỉ - W > j x { l + ^ ) ỉ

+ X- + c

dx => m - - l , n = —, p = - i f e Z2 V

/ r ' 2 I _ „ _ T _ 2f 2tdt J r đt 2f(lĐ ặt í = V* = > r =x=>d x = 2td t => I7 = .- -—— =2 I 7 — -T = 2 1— 7

| t (1 + t) /tCl + t) J t(

= 2 j f ỉ - — j dt = 2 (ln | t| - In | t + lỊ)[ = 2 (lri 2 - ln3 - In 1 + lh 2) = 2

172;


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N








=3I Í ^ - ^ ^ ì ^ =3i A - | í c # T è r du3/7v u -1 u H-u + ly 32 u " ĩ ỉ ĩ ^ ^ 'U.+1

m . . 3/T

__ _______ ________ \ §13. Xích ph ân -hàm vô tỉ - Trầ n Phư ợ ng

= 3 ln lu - ill J - 2 1 % ± i ^ L + 1 1 _ _ _ _ *>______2 m u2+ u + 1 2 , - ^ + j_Ị 2+ f ã

= 3 Inịu -l ll ^f - —ln |u 2 + u + l|| + 3 J 3 arctg— ~t *2 lựĩ . . , . ' V3

ìfr

= —ln2

( u - 1 ) 3V3

( u 3 - l )

( V 3 - l >

ìã

+ 3 -J 3 aretg Ĩ } L l L■ i V3-

m

m '

= £ ỉn-W £ zJ j_ „ 3 ^ a r c t g ^ ậ ± l -3^3 a r c tg ^ i ặ i i •2 2 U/2 - 1)3 ; : ^

d 6 = J — - •• :... - Đ ặt t = J x + 4 = >/2 = x + 4=>dx = 2td t

-3 yjx,+ 4 + \Ị (x + 4) 3 .

J i i * = 2 l - i L = 2arctg , i = 2 Í í - | ì = -/ t + t3 f l + t- 11 * \ 3 4 j 6

Đ ặt t - ' J l - x 2 =>x2 - ì - t~ =>tdt = - x d x

^3/2 : _________ .

7 — Í — 7== ■ Đặ tt = \ j l - X2 => .r2 = 1 - /• =

:ự ĩf x dx - t d t ạ . đt - 1 ,„

i 2 /— T J I _ t 2 21/2 X V1.-.X ..V3/2 vl —t Jt ]/2 i —t ^

= í— .rá* ---■■■ . Đ ặt í = \ll -i- x3 => í2 - 1 + X3 2tdt = 3x2 fife

1 X 1 + Xs _

J _ V dx _ 2f 3x2 dx 2 3f 2td t _ 2 3r àt _ i I t -

1 xVT+ X3 1 3x3 VI + X3 3—1 ) t : ? :v/2^ 1+

= - Í in - - in 0 = - [ - i n 2 + 2 In (V ĩ + 1)] = - ln 3 3^ 2 V2 + 1 J 3 J 3 2.

175


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các .kĩ thuậ t iúìh tich phân — Trầ n Phư ơ ng

J _ r ______ (be ______ _ r j jc + l _ 1

^ ( x - D i x + l ) 2 ~ *4. X + 1 3 ; t + Ị „ 2

lủ :

x - \

JC+ 1

3 JC+ 1 2 __ • í = — — = 1 + — — => X =

x - l X — 1>dx = -

-6 t2 dt

= , , , = f , g ± Ị . Ị = ^ § - = - 3 í -J u - 1 x + 1 * 2t (t3 - l ) 1

' - 1 o » - i r

dt

•1

. i f • + ' L * £ j d t _ _ l l |t _ 1j + i j % ± ! ^t - 1 t +t + l j 2 J t +t + l

= -l n |t - ] | + + —ln|t2 + t + l| + —1 ? J ,

= I ln!_ i± ± I + V3arctg2t + 1

K M #

2 ( t - l ) 2 V3+ c = —ln

1, t -1■ -J 3 arctg

2t

#

I, = —In9

2 (Vĩ^T )3

/ - 1

ỊZ 2ị Ị x + l + ị /x - 1+ V 3 ar ctg- -------------- 7= - r p=

a/3</x ^ T

= ịln -2 ( ự x + T - ^ / x - ĩ)

2

yr 2>/x + 1+ >/x-1 •v3 arctg ———— ==— + c

y Ị Ỉ & n

• /2= Ịị ——— ----- —7<&. Đặt t = ỉ ——— =>x = — —T - 2 =>2 JSỊ 2 + X ( 2 - x f \ 2 + x . 1+ /3

Y _ r (l + t3)2 -12t2 dt -3 rdt 3 3' J f 2 + x ý

= W ‘- 16,« '( ,7 ^ 4 v in .x j

J /V/+ .V V i+* 1

T - ‘f - °f - 4{2 dt - w

4 _ , _ -2=> dx~

+

2 , dx - -

j E £ d x - j j ± l * . Ị r 2 , . i Í L ! 4 = - 2 j . d f - i T ')oJ^ 1+ x /(l + t2) 0 (l + t2) 0J U + t2J

-2t 1 . _ V đt , . „ . ,1 71-2 t

1+ t26

+ 2 j- 2 1 r = - l + 2arctgt|;=-|-l0 01 + 1 í


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§13. Tích phân hàm vỗ tỉ - Trầ n Ph

- fcb[#ịr-íKr-Đ ặt f = ỉ/— => t6 = — = !+ — = > x - l = ^ — =>í& = - ỉ2{i dt

x - l x - ỉ x - i t 6 - 1 G 6 - ! ) 2

=> I4 —J-( t4 - t 5) - 1 2 t5 dt

t6 -1+ 1 -1

(l - t )

4t

Ịx-4 2■ JC-4 , 6• = > r = ----- - = 1----- —

íx + 2 1 x + 2 -« + 2

6

1 - t

t2 dt

( l - t 2 )

_ I , x - 4 dx Ị^ t 2 12

ĩ * ^ 5 ~ i j x ĩ ĩ ' 1 ^ 2 ~ ỉ ~ ^ ~ Ỵ ~ ẽ

1 + t\ 1/2

- t = 2 ln 3 - 11 - t 0

* + 1• h = •»— — i lx . Đ ật i = } => t = —- - = 1+

x - ỉ

x + l x + ỉ

X — 1 * - 1 x - \ >X - 1 :

t 3 - ỉ

=> dx = J ± l * = , I 1 = ( d p ĩ d x . r - = Ể ! l Ẻ L — 2 | Í Ẻ Í ĨÌ J Z |>J V x - i J ( , » - , ) í

f y 1 l 2t ' f dt 2t đt

K i - i l ' i - r l f - i ' i I í(,-i)(i!U i )id , » i h M + ỉ ÉJ t 3 - 1 33

2t 2 r| 1 t + 2

t 3 - 1 3 - V - 1 t 2 + t + L

1 r (2 t + l) + 3dt

+ t + l


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ne /•• Các k ĩ t/iuậ t tính tích phân Trầ n Phư ơ ng

í j j l l ấ Ỵ . Ẻ L—r . B ặ t t = 3 /-—-=> t3 = í —ỉ -ị 1 - J \ [ x + jJ ( x - j ) \ x + l x + ì X + 12

x + l = -1 - t

2t• X - 1 " - ; d x

r - t 36t dt

( l - t 3 ) 2

o I , = f c l i Z d f . ^ J ĩ — / f t 2 l l - ĩ p 2

’ = J ? U + i J ( x - 1 ) 2 i t : 4 t ‘ ( l _ t 3 ) 2

•5 'ịỉJĩ J , , ' / S , _

2 t i m , 2

. J x + 3 dx _ _ x + 3 ’ 3 ' x + 3 i . 7= 1,11-—— • — — . Đ ặt Í = 3/— — = > r = — — = i +

X - 4 X - 4 x - 4 x - 4 X - 4

, 2 ! r dt , • 5f J x + 3 . dx . V t3 '-'l - 2 It2 dt=> Is = ?

x - 4 =í3

• 5f , / x + 3 dx _ 2f -21 t2 dt -,2f t 3dt

= j V x - ; 4 > - 4 " / ' 7 ';(t3 _ 1)2 _ 0J;t3 - l

dt

' ( t - l ) ( t 2 + t + l ) ■ H f-1 t2 + t + l j

dt

<? - 1)

■ - 6 - '»!• - 111; * ị * il[ 4 J - 4 -

' t+^'- -6 + —In 7 -t- V? arctg ^ = - 6 + —In7 + y Ị Ĩ a r c t g - ^ ^ - - ^ ^ -

2 v'3 0 2

f x i / x f X / , = - p- — = |4/——— ÍỄC fa > Ỡ).

j {f xJ ( a - x ) n a - x :


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§13. Tích phân hàm vô ự - Trầ n Phư ơ ng

■ l + -r r 1- “ T - ì , r d f * - 1 ) ' , ; d ( x » ịí .• <k í / ' -K - ị f _ _ A * % L _

, 4 -

r I X" —1 .Ị , X2- XV2 -f 1 1-ârctg ^=Jn — — —— — + ‘C

- n XV2 2 V2 X2 + x V2 + 1 ,

. at . • at a

, ' " 7 + 1 ^ = t * + T ~ f

f ix

1 : . X 2 - 1 r . ; X- - x y Ị Ĩ - r 1- 7 = arctg— ==---------- 7 = ln ; —.— r^ xV2 2V2 X +XV2 +1

+ c

/ = f _ _________________

'ỳ j(x - à)"+I (x - b)= = = I-\ t t - i J

■ d x

ị ^ u i a ỷ \ x - a ì

Jx -Z ) „ x - b , CI-b ^ - a —b ịb —a) n t" '1dt ăt t = " -------=>f = --------= 1-!--= > x - a = — !— =>cừ = — -------------\ x ~ a x - a x - a t n - 1 O " - l )

V f 1 ( b - a ) n í n_1đt • n r, nt = L _ ----- —— --- ,- —— — — dt = ———-f c

J tn-i f a - b ỳ (t‘>_ 1) b - a J b - a

/,, = f-------T=~^—~ = = '. Đăt t - \[x + ~Jx+ ỉ =5» - = -Jx + 1- %/*■ => 2 ^ = / - -h + + Tx + l t t

í .2 , A 2 ,4' ■-4 ■ i ! ;. . > .

— — — - I ■ , ’ ? dt+ VX + 1 J 2t3 (l + t)

í-t3 - C + t - l ^ 1

2t3

4 -1 f d/ r

2 ^ ' ' ' J T T X W x T r J '

2 JV t t2 t3 J 2 V t 2t2 ;‘+VC: -

= \/x ——ỉn(y/x 1- \ ,x r l ) + - : - ~ A / x 2 t X tC • V'• 2 '1■ ■■■■■■ ■■ 2 2 ■■

r _ r ,.Y«X Ịĩ+X _ 2 l+ *_ ^ -1 _ , _ 4ííử■77 = ------— 7= Đặt r = ,í~-----=>/- = —— =>* = — - = > d x = ---—( / - . Y J ) \ í 7 - . v ’ ị ■ 1 - * ' í + 1 ị r. ( l + í 2 )

j- x d x - f ^ 1 t 2- 1 4 t d ĩ

J ( ] - X 5) v w = J7 f t L d f r í t 2 _ n 2 't 2 + M i + t 2)2

U2+ij V U2+ÍJ.179



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân - Trằ n Phư ơ ng

(t2 + l) ( t 2 —l) 4tđt f ( t4 - l ) 4 td t _ r*'•>('>*.4 , _ Ị A±2 ỉ

" í[ (t > + 0 ’ - (<’ - 0 ’ ] J t t ’ + O M t ’ - l f " J 2(3t* + 1) J ĩ ẽ " J

- ế L - — __L_ld - 1 - 1 f dt _ 1 _ 4 f ả ( ịf ĩt ) _ _t _ '4

- ị ĩ ĩ ' 3 x * + \) ~ 3 3 3t4 +1 ~ 3 3 /3 •*(*/3t)4 + 1 ~ 3 3

Xé, / = f - £ _ - i r í s l u H ĩl d l d , , l f e i ± i d u _ p i zV + 1 2 J u4 .+ l 2 V•*u +1 u +1

1+ - L 1— T V l í d ( u _ JL ) d fur. l . ụ i . d u - ___ ụ ị- d u = ị f. J - M —• > 2 , 1 J 2 , 1 2 h 1\2 1

n + Ớ U + Z ĩ u - ỉ + 2 u + ỉu u y V I u / l

1 _ il —ỉ 1arctg — g r- - — v2 2V2

i _ t 2V 3 - l 1 ,

h t m 2 - ã n

u2 -\ /2 u +1+ -\/2u + ĩ

+ c.

t 2y/3 - t ị / ĩ ĩ + 1

1 . 2 = - -t 2 ( 1 _ t 2V 3 - ỉ ỉ .

3 3 < / 3 [ v k arCtg t ^ 2 2 V 2

t 2 y Ỉ 3 + t ị / Ĩ 2 + ì

t2V3-t</Ĩ2-M ^

+ c với t =

t2-\/3+ t\/ Ĩ2 + l+ c, với

>/K = f j - — Ệ L il x. Đ ặt t = 'Jx =>x = t2 =$dx = 2tdt l + 'Jx

=> I

= f j - — — rd x = f J -—- 2 td t . Đ ăt ỉ = cosu=> d t ~ - sin udu 13 0JV \ + S oJV + t

- Ị Ị ỉ . -° -— 2cosi;(-sinu)du = -2 [ j -- c° s =rsinuCOSudi V l + cosu

k /2 ar/2 ĩĩ /2

= 2 J( l -co su )co su du = 2'Jcosudu - J( l + cos2u)du0 0 0

, .............. 1 . _ v ' "= 2sinu - u -^-s ìn2u

l 2 A= 2 - —

180



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







4 _________________________I 4 I Ị --------------------- Ị 4

h = 1 ^ X & 4 ^ j\ d X : = Ạ yl;(fCr- 2) ^- lỊ;^ ^ . | |U -2 Ị, - l |4 x : ; í -ỵ *ứ 0 0

Ta có: |x - 2| = 0 « .X= 2;U - 2| - 1 = 0 \x - 2| = 1» X = 1V X'^ĩ'3

Ch ư ơ n ù ỉ: Các kĩthuậ t tinh tích phân -Trầ n Phư ơ ng ‘ ______ _

X 0 1 2 3 4

X - 2 - - 0 + +

| x - 2 | - l + ■ 0 - 0 1 +

3 = p | x - 2 | - l | d x = j ] i x - 2 | - l | d x + J | | x - 2 | - lỊ d x + J | | x - 2 | - l |d x0 0 1 , ĩ ■■ ■;

= [ ( | x - 2 | - l ) d x - J(|x - 2 | - l ) d x + j * ([ x -2 |- l) d x<) I 3

1 2 3 4

^ j ( | x - 2\ - l)dx - J ( | x - 2| - l ) d x - ị ( |x “ 2| - l ) đ x + J(|x - 2 | - l ) d

0 ! 2 3 .

1 2 . . 3 . 4

= j [ ( 2 ~ x ) - l ] đx - | [ ( 2 - x ) - l ] d x “ J [ ( x -2 ) -l ]dx + J [ ( x -2 ) -ỉ ] dx:> 1 , 2 ■ 3

1 2 3 -4

= |(l - x)dx - | ( l - x)d x- J(x -3)dx + | (x-3 )d x0 . • 2 - . 3 . .

= 2 F ( l ) - F ( 0 Ì + F ( 2 ) - 2 G ( 3 ) + G (2 ) + G ( 4)

= 2 Ịl - - ạ + 0,- lị% -21 j +:(2 - 6) + (8 - 12> =:3S


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§14. Tích phậ n hàm số chứ ạ dặ ụ giá trị .tụ ỵ ệ t độ i -T^ầ n.Phit ợ ng

-I 1 24 = | | x 3 - 2 x2 -X + 2|đx + j |f (x )|dx ■+■ j]f (x)|dx +

-2 -! 1- 1 < 1 2 3

.= - j"(x3 - 2 x 2 - x + 2)dx+ Jf(x )dx - j f (x ) d x + Jf(x)đx

-2 -i ■ 'l ■ 2

X 4 . . 2x3 X 2 - I „/ • S — - — - — + 2x =~F(x)4 3 2 ■ ■ / • • •

F(x)ỊL, —F(x) jf + F ( x )|2

F ( - 2 ) - 2 F ( - ] ) + 2 F ( l ) - 2 F ( 2 ) + F(3)

( . 8 4 ,Ỵ ■ f l 2 1 '1 4 + 4 - 2 - + . - - - - 2 +.

3 3 4 3 2

1 • 2 l i . ' V - f . ,8 4 . , ì / 8 1 . 9 - ] 181+2 - - . - . - - + 2 - 2 4 - —- —+ 4 + -— - 6 - - + 6 = —\ 4 3 2 ) V 3 3 ) V 4 2 J 12

J x + 1 y X + I

X . . 0 1 . 2 3 .

X 2 - 3x + 2 + 0 - 0 +

18=Vlk okiM dx -A àK + MdxJ x + 1 J x + 1 J x + 10 - -1 ■ ■ ' 2

_ V x 2 - 3 x + 2 ^ 2ị- x2 ~ 3x + 2 ^ 3f X 2 - 3x + 2 ^

J X + 1 , / X + 1 , Ị . X + 10 . 1 • 2

’ ị ( x - 4 + I 7 ĩ ) dx - ) ( * - 4 + ĩ 7 ĩ l d x+ h 4 + ^ ) dx

=[ — - 4x + 6 Lnịx + lị= F(x ) ] -F ( x ) |2 +1 F(x)|3 = -F (0 ) + 2F (1 )- 2F (2 ) + F(3)V2 ■■ . J 0

0 + 2 í —- 46 In 2 j - 2(2 - 8 - 6 ln 3) +-12 + 6 In 4 j .=24 ln 2 -12 ln 3 - -

183



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chtrffng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân — Trằ n Phư ơ ng

. i = ị t « í + ẩ *Ể 4 1*1 + 2 ị . W + 2

Đ ặt / (x) = — —^ T~i^ ~ — “— ~ ' x s [~3,5]. Khi đó phươ ng trình \x\ + 2

« (|x - ll - 1) (Ix - 1| - 3) = 0 <=> <=>X —1= ±1

X - 1 = ±3o x s { - 2 , 0

X - 3 - 2 0 1 . 2 4

l x - l l + + 01 1 1

f(x) + 0 - 0 + + 0 - Ơ +

I6 = J|f (x) Ịdx = j]f (x)ldx + J|f(x) |dx+ | | f (x ) |đ x+ j]f(x) |d x+ -3 -3 -2 0 2

= J f ( x ) d x - J f ( x ) đ x + J f( x) dx + J f ( x ) d x - J f ( x )d x + J f (x-3 - 2 0 I 2 4

ì [ ( l - x ) . - l ] [ ( l - x ) - 3 ] i _ ự O - x > - l ] [ < l - x > - 3 ] ±:= f l v t - - J dx - f

J 2 - x 42 - X j2 2 - X

'f[ ( i - x ) - i ] f ( Ị - x ) - 3 ] f a + y ( * - i ) - r i [ ( « - 0 - 3 ] |h J x + 2 » x + 2

■f[ ( x - l ) - l ] | - ( x - l ) - 3 ] f c | y ( » - l ) - l Ị | ; ( « - l ) - 3 ]

J x + 2 * x + 24

dx

= 1 x ( x ± 2 ) d x _ 1, x ( x ± 2 ) d x + ,,;

J . 2 - X J 2 - x J

x (x + 2)^ | ( x - 2 ) ( x - 4

X + 2 x + 2



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§14. Tích phân hàm số chử a dấ u giá trị tuyệ t đố i - Trầ n Phư ơ

= . -8 1 n ị2 - x ị- — - 4 x j = F (x ) - F ( x ) | '

+ ( — - 8x + 24 ln ịx + 2|] = G (x) -G (x ) Ể + G ( x )|54

= 2F(-2) - F (-3) - F (0) + - - G (1) + 2G (2) - 2G (4) + G (5 )2

= 241n7-481n 6 + 81n5-241n3 + 72 1n 2- l

• / 7 = jV-*J - 2 x 2 + xtlx = ịy Ị x(x -ỉ )2 dx= j]jc - 1| 4x dx0 0 0

= j |x-l|Vxdx + J|x-l |Vxdx = - |( x -l )V x d x + J(x-l)Vxdx0 1 0 1

= -) (x 3/2 -x!/2)dx+ | (x 3/2 - x ,/2)d x = - í 0 1 ^

2x 5/2 2x 3/2 ì 2x 5/2 2x 3/M

3• Is = § {2X - 4 ) ( x - 1)\<ỈX . Đ ặt / ( * ) = (2X - 4 ) ( * - l ) ; ; c e [ 0 , 3 ]

0

=(2X - 4 ) t x - ì ) = 0 o2X - 4 = 0 * = 2

1 I - * I I o X = 1

X 0 1 2 3

f ( x ) +( 0 - 0 +

I8= | ( 2 X- 4 ) ( x - l ) |d x - jl(2x -4 ) (x - l ) ịd x + 3| (2 x -4> (x-])|dx0 ĩ 2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§14. Tích phân hàm số chứ a dậ u giá trị tuyệ t đỗ i - Trầ n Phư ơ ng

1

10 = Ị \x 2 - 2x + mị d x . .Đặ t / Gc).= X2 - 2x + m =>: 'À' -1 - m0 ' ■.

Nế u m > 1 thì A' < 0 => f ( x ) > 0, Vxe[0, 1]. Khi 4ó:

■ 1- . ■;: 1-:. ■ ;

I10 = jìx2 - 2 x + m|dx = J(x2 - 2 x + m)dx =0 0

/ x3 2

■ - X + mx ■ _ : 2'= m ——3

Xết m < 1: Ta c ó : f ( x ) :== 0 « • JC, = 1 - -s/l - m ; x2 = 1 + VT- m

0 X I I 1 1 3 1 X I I + 1 3

+ . 0 , - 0 . .

- — X + mx3

2= —-m

3

Nếu Xị = 1- ~Jỉ - m < 0 <=> y j \ - m > 1<=> /K < 0

a có: f(x ) < 0, VxeỊt íi 1] suy ra: . :' '

I10 = J|x2 - 2 x + m|dx = - | ( x 2 - 2 x + m)dx = -0* 0

Nếu Xị = 1- Vl - m > 0 <=> >/l - m < 1<=> 0 <m < 1. Kh i đó:

X, 1 X, 1

10 = J|x2- 2x + m|dx+ j]x2-2x+m|dx = |( x 2 -2 x+m )d x- J(x2 -2x+m)dx0 X, 0 Xj

f 2 1 f X3 2 „ V ___ 2 4(l-m)Vl0fn= ——"X + 1T1X — - — X +mx =m -----1-------------------- —-------. V3 j ữ l 3 ) M 3 .3 . ,

1

í n - ị \ x 2: - ‘2mx+ l\(Lx. Đ ặt f { x ) ~ x 2 - Ị m x .+ Ì i=> Ạ ' = m2;-1-1

Nế u m2 < 1 thì A' < 0 =>f(x) > 0,Vxe [-l , l ] .

I,ị = Jìx2 -2m x + l |đx= J(x2 -2m x + l )dx = — - tn x2 +x' |ị = —

. -1 ■ . ' 3 '1-1 3

. Xét m2> 1. Ta có: f( x) = 0 o x 1=m -Vm2 - l;x2 =m + -\/m2 -1

X 1 8 X I I 3 1 3 ~ s > 1 m X, = m + yjm2 -1 +c0

f(x) + 0 - 0 +

187


WWW FACEBOOK COM/BOIDUONGHOAH

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N







§i4. Tích phân hàm sổ chứ a dẩ u giá trị tuyệ t để i - Trầ n Phư ơ

*lị --------- -------------- ----- *ỉị ----------------------- ' */3' l u * J \Ị ig2X + cotg2X - 2dx = ] Ậ t g x - c o t g x f dx - Ị ị t g X - cotgx\dx

x /6 xỊb j t /6

7l/3

-■ k /6

sin2 X - cos2 X

s inxcosx 2 J sin2x 2 ] sin 2x J six / 6 ^ n / 6 rc/4

• Ịcos 2x|

/ * 7 c/4 7c /6 ( j i / 4 - /

f cos2 x ã _ f cos2 x J f d(s

I i sin 2x sin 2x 4 1 siíW 6 */4 y v«/6

I . x/4 1 . \ ( ỉ ĩ } 1 ( = —ln|sin2x| - —ln|sin2xỊ = 4 ln l - ln — 1]4 it/6 4 I t / 4 4V .2 ) 4 \

3 i t / 4 '______________________________________________3 í r / 4 3 s / 4

1 , 4 - j ~Jcos2x + l d x = J y jlcos2~ x d x = J y Ị ĩ ị c ọ s x ị d x

nị4 ĩỉỊA ỉĩịA

d(sin 2x) _ d(s in2 x)

sin 2x /„ sin2xít/4

= - l In 1- ln — ì - — f In — - In 1ĩt/4 4V .2 ) 4 V. 2

sin 2x

\

dx

= —ln —4 3

*/4 ír/4

ĨC %ỊA 7r/2 3 jc /4

2 cosx + 0'tt/2 3tc/4 ị

=> II4 = yỊ Ĩ JCOS x á x - - J Ĩ J cosXdx = V2 sinx | 4 - - v / ĩs i n x Q = 2 (a /2 - l )7t/4 ĩ t /2

ni2 ___________ */2 s/2* /2J= J yj2 (1 — cos2x)dx = J V4 íi«2 X dx = 2 J Ịí7« Jcị

-*jư • '-*/2 -*/2

Ta Cỏ: sinx = 0 <=> X = 0X - 7 1 / 2 0 jt/2

sinx - 0 +

71/2 !0 rt/2

=> 1,5 = 2 I |sinx |dx = - 2 !J si nxdx + 2 J sin X dx = 2 COSx |!*/2 - 2 COSxlo/2 = 4-11/2 ' -íi/2 0

» ___ . n j 2 „ ;r ,


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t tinh tich phân - Trầ n Phư ơ ng

. ỉ !7 = I Vĩ + siiw *:;= I /2 cr«2( | - | ) ^ = >/2..||cas(f - f ) | r f ( f - f )õ 0 v ' 0

. 2 j ĩSỊc „ s (ỉ - ỉ )<1(ỉ - f ) - 2 ^ | c o S(f - 5 ) lt(ỉ - í )0 3 ĩ r / 2 '

___ Ị n | 3 t i / 2 ___ / v 2 ) t ___

, 2 ự 2 s i „ ( f - 2 ) [

• / „ = p / - s i n x d x = ] j 2cos2( 2 + f ) Á = 2V2 j lcoj ( f + f ) d [ ị + f )ớ 0 v 0 . f

tt/2 ■ ' 3tc/4 ' __ĩĩ/2 „ 3ĩt/ 4"

= 2\/2 j | c o s u ịd u + 2\/2 I lcos u) du = 2 - J Ĩ I COS u du - 2%/2 I COS u đu

rt/4 ĩr/2 tc/4

--=2s[ĩ sin u04 - 2 s Ỉ 2 sin u g 4 = 4 ( 7 2 - 1 )

Iĩj4

° I !9 = I ịígx + s in x - 2 xỊd x . Đ ặt f ( x ) = tg x + sin X - 2x; X e

0 ■

=> cos X e (o, l) =5- — \ — > ——COS X c o sx

n/2

0 , 4. 4

/Xv) - + C O S X - 2 . Ta có:xeCOS X o . f

=> /'(■*)>

>f(x) đồng biến trên 0 , J

1 ^ 1 I ------ ^■— — + cos X - 2 = I - .- -V - - . - - ycos X >0COS X vyco sx J

f (x ) > m = 0,V xe . Khi đó:k/4 7t/4 jt/4 . ti/4 .

||tgx+sinx-2x|dx = J(tgx+sinx-2x)dx = J(sin x- 2x)dx+ 0 0 ' , 0 0 cosx

í(sin x - .2 x )d x - I tí C0S—■= / - COS X-X2 - In Ịcộs x|) = 1 -J cosx v y0

J _ l1 6~ 'V 2 + 2


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§14. Tích phân hunt sổ chữ a đậ u giá trị tuyệ t đổ i - Trầ n Phự ữ ng

TỊ 2

I „ - Ị0

■ + sỉnx - X X 3 r *1

d x . Đ ặ . t . f ( x ) = — . + s i n x - x ; x &6 L 2 J '

X 2Ta có : . / ’(*) = — + COS x - l= > f " ( x ) = x - s m x = > f " ( jc) —1 —COS X > 0

=>Z'fX) đồng biến trên 0 ,y = ỳ f '( x) > / ' ( 0 ) = 0

=>/Ỵ x; đồng biến trên 0,— =>f(x) > x ° ) = 0

=> f (x ) đồn g biến tr ên :’Ịoi 2^ ^ f ( x) -Á ® ) = 0. Khi đó: ,

7t/2

*21 = j - + s i n x -x’' r í x 3 ì í x 4 X2

d x= n — + S U 1 X - X dx= —— COSX-—-• U ; . ; 124 '2

Jl/2 4 271 . 71

384 _ T .

— + In ( l + x ) - X 2 ■ - .

d x . Đ ị t / (* ) = — + ln(l + *) -x; *e [0 ,l]

1 X2 -Ta có: f ’( x) = x + ------1= > 0 => f (x ) đồng biến trên [0,1]

1 + X 1 + X ........................

- + ln(l + x ) - x

—- + ln(l + x ) - x. 2

/ 3 2X X

f(x) >/(0) = 0 , v*e[0, 1], Khi đó: I22= j0

X 2 ì 1d x = I — - X j d x + | ln . ( l + x)dx(A 0

I + (x + l) ln(l + x)f0 - f(x + l)d[l n(l + x)]

- * ' ■ ' ■ • '

= — - — + 2 Ì n 2 - ị— ^ - d x = —- — + 2 1 n 2 - x | ' = 2 1 n 2 - — 6 2 0 1+ x . 6 2 3

K/-2 r .

Jjj = Ị \xsinx +COSX - i | dx. Đặ ị f (*) = xsin.x + C O S X - 1;Xe| 0,0 .

>f(x) = sinx + xcosx - sinx = xcosx > 0,Vxe° ’ ! .

> f(x ) đồng biến trên 0 , f =>f(x) > J{ 0) = 0. Khi đó:

191



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N










xdxV Í ì Ì ì í ậ i p ĩ L l ì d x . 1' . . i d s - J l n ( x + ì / ĩ+ ị? ) - Ị.—

- 1/2 V Vl + X2 J -1/2V1 + X2 - 1/2 - 1/2 V l + x

= \ln|x + v r+ } ? |- x )| _ v2 + J In(x+V l + X2 )d (V l+ x2)

12

= ln(] + Vỉ) - In— — W l + X2 ln(x + Vl + x2 )|_y2 - J \ l + x 2d [i n (x W l + x22 2 - 1/2

:=)n{\ + j 2 ) - \ n ^ — [- - - + ị yÍ2ỉn{l + 4 ĩ ) - — í >Ị Ĩ +Ì ? - f È L = ' 2 2 ^ 2 2 y ị ^ í ũ ^

, | n ( 1+ ) _ , n ^ I l I _ 2 + l n (1+ ) _ ^ In^ _ 2

=(l + >/2 ) in (l + 7 2 ) - - 32 2

' ĩ ’ .

Jl2x arctg X - ỉn ( / + X2-)Ịfltc. Đ ặt / (x) = 2x arctg X - In (1 + X 2); X G [-1-/

“ 2 /JC Ta có: f ' ( , x ) = 2 arctg X + ----------- ——— = 2arctg;e = 0 <=> * = 0

1 + X 2 l + x 2

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

( x ) > 0, V x e [ - l sl]

. X - 1 0 1

f ( x ) - 0 +

f(x)^ 0 ^

Iỉ2? = || 2 x a rct g x - In(l + x2)|dx

-1 ____

I 1 . 1= j [2xa rc tgx - ln( l + x2)] d x = Ịarc tgx d(x 2 + l ) - J ln( l + x2)dx

- I - 1 - 1


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§75. Tích phân: các hàm Hypebotie -r Trầ n Phư ơ ng

§ 15 . TÍCH PHÂN C C HAM HYPEB OLIC'

TÓMTÁT LÝ THUYẾ T VÈ HÀMs ố HYPEBOLIC

Định nghĩa các hàm sô' Hypebolic

1.1. Sin hypebolic eủ ax là hàm số shx = -

1 . 2 . Cọ sin hypebolic củ a X là hàm số chx =

2

ex + ề~x

ex1 . 3 . Tang hypebolic củ a X là hàm sô thx = ~ —

e +e1 . 4 . C o t a ng hyp e bo l i c c ủ a X l à hà m s ố c o t h x =

Hệ t hứ c ctí bả n giữ a các hàm Hypebolic

. sh X , 1 ch X ■ , ,2 . 1 . th x = — —; cothX =;thxcothx =l

chx thx shx

2.2. ch2 x - s h 2 x = l ; — + th2 x = l ; ' coth2 X — 4 — = 1ch X sh X

C á c h à m H y p e b o l i c c ủ a đ ố i s ố â m

3 .1 . s h ( - x ) = - s h x ; c h ( - x ) = c hx

3 .2 . t h ( - x ) = - t h x ; c o t h ( - x ) = - c o t hx

C ôn g t h ử c c ộ n g

4.1 . s h ( x ± y ) = s h x c h y ± e h x s h y ; c h ( x ± y ) = c h x c h y ± s h x s h y

M. \ th X± th y ,, / , s coth Xcoth y ± 1x ± y ) = — ; c o th (x ± y ) = — — - •—

l ± t h x t h y i. coth y ± coth X

C ấ c c ô n g t h ứ c g ó c n h â n đ ô i

5 .1 . s h 2 x = 2 s h x c h x ; c h 2 x - c h 2 X + s h 2 X = 2 c h ' x - 1 = 1 + 2 s h 2 X

2 th X , „ 1+ coth2 X5 . 2 . th 2x = ------— ; cóth 2x= - — — —

1+th X 2 coth X195



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân - Trằ n Phư ơ ng

6. Các câng thứ c góc nhân ba, nhân bõn

6.1 . sh 3x = 3s hx + 4sh3 x ; ' sh4x = 8sh3 x ch x + 4 sh xc hx

6.2. c h 3 x = 4 c h 3 x - 3 c h x ; c h4 x = 8 ch 4 x - 8 c h 2 x + l

. . . 3 t h x + tha x 4 t h x + 4 t h 3 x6.3. th3x = ------- — — : th 4x = -

1 + 3 th X 1+ 6th X + th X

7. Các công thứ c hạ bậ c

,2 c h 2 x - l ,27.1. sh X = — —— ; ch X = -

2

,3 s h 3 x - 3 s h x ,3 ch3x + 3chx

7.2. sh x = -------- — -----

: ch x = ----------

---------

7.3 . sh4 x = — ch2x + -c h 4 x ; ch4 x = —+ —ch2x + —ch8 2 8 8 2 8

8. Các công thứ c biẽ n tổ ng thành tích

8 . 1 . s h x + s h y = 2 s h — - o h - — — 2 2

8 . 2 l% h x - s h y = 2 c h - ^ ^ s h —— — . 2 2

_ . A . x + y , x - y8.3. chx + chy = 2 c h —-— ch -------

J 2 2

8.4. ch X - ch y = 2sh -x — sh ———3 . 2 2

3. Các công thứ c biể n tích thành tổ ng

1ĩ . l . sh xsh y = —[ch (x + y) - ch (x - y)]

Ì. 2. ch xc hy = —[ch(x + y) + ch(x - y) ]

9.3. sh xch y = —[sh (x + y) + sh(x - y)]

9.4. ch xsh y = —[sh (x + y) - sh (x - y)]


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N




§J5. Tích phân các hàm ìlypebolic - Trầ n Phư ơ

10. Biể u diễ n các hàm Hypebolic theo mộ t trong các hàm Hypebolic

X > 0 u = shx u = chx u = thx u = cothx u = l/(chx) u = l/(sh

shx u u 1 J l - u 2u

1uVu2 -1

V l - U 2 Vu2-1

chx /------ >" u1 u 1

uVl+ u2

uVi +u

V l - U 2 Vu2 - I

thxu V u 2 - 1

uu I

u1

Vl + U2V l - u 2

\/l + u2

cothx \/l + u2uu 1u u 1

n/ u 2 - 1 Vl-U2 VI + u

_ Ị_chx

1 iu

a /u2 -1

uu

u•y/l + u2 V 1 - u 2

yỊ Ỉ +u2

1shx

1u

1 V l - U 2

uu

u Vu'2 - 1 v u - 1

y Ị ỉ - u 2

11. Các hàm Hypebolic ngư ợ c11.1. Công thứ c định nghĩa

y = argshx <=> shy = X ; y = argchx <=> chy = X

y = ar g th x <=> th y = X ; y = ar g co th x <=> c o th y = X

11.2. Biể u diễ n qua hàm logarit

argsh X= In (x + Vx2 + 1) vớ i -00 < X < +00

argchX = ln( x + \ Ị x2 - l ) với X > 1 (argchx > 0 là giá trị chính)

argthx = -^l n| — với - 1 < X < 1

a r g c oth X - 4- In ( -x f ĩ- 1 v ớ i X > 1 h o ă c X < - 12 \ X —1 /


Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Chư ơ ng í: Các k í thuậ t tính tích phâỉí —Trầ n Phư ơ ng

1 2 . B ả n g n g u y ê n h à m c ủ a c á c h à m H ý p eb o i í i c

Hàm số f(x) Nguyên hàm F(x) Tập xác đ

ea!i J-e“x a

R

chx■

shx R

shx chx R

thx !n(chx) R

cothx ln|shx| R*

o X

■

I I 1 3 *

thx R

— ị — = coth2 X - 1sh X

-cothx R*

II. PHƯƠNG PHÁP HỮU Tì HOÁ ĐÓI VỚI NGUYỆN HÀM CHỨÁ shx, chx

0 Đ ặt vân đê:

Xét tích phân dạng I - ị R ( s h x ,c h x )d x

1. Đ ố i b i ế n s ố t ổ n g q u á t :

x ~ 2du , 2u , 1 + H2Đ ăt M= th —=> * = 2 argtru /; íủc = — r-;shx = — —— ; c h x = ———-

2 1 — l í 1 — l i 1 — u

Khi đó: / = \R { sh x ,ch x )d x=J J [ ỉ - u 2 ỉ - u 2 ) ỉ - u 2

Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thệ đổi biến


N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§15. Tích phân các hàm Hypeboỉic - Trầ n Phư ơ ng

III. CÁC BẨ I TẬ P MẪ U MINH HỌ A

sh3X , ^ s h 3 X' / , = f ------ -------------- (be . Đ ặt R(shx, chx) = -^— — í ——r-

1 ch x { 2 + sh 2x ) ch x( 2 + sh x)

Do R(-s hx , chx) = -R (sh x, chx) nên đặt u = chx ta có:

J _ r sh2 x sh xd x _ r (ch2 x ~ l) d (c h x ) _ f( u2 - ĩ) d u _ rị" 2u "

1 ^ c h x ( 2 + s h 2 x ) ^ c h x ( l + c h 2 x ) . u( l + u 2 ) V 1 -í- u 2 u j

fd (l + u2) fdu / 1+ u2 l + ch2 x= — — -— - —- = In U + u J - In u + c = ln —— - + c - l a - —-- -—+ c

J 1+ u ^ u u ch x

r s h 3x ,rsb2 X , , fell2 X -1 , / -1 , 1. / = I — ~— d x - — — s h x d x = ---------- 7------------ d ( c h x ) = — — 4-— -T— + C

J ch X ^ch X ' ■* ch X . ch x 3 ch X

Ị - ị d* - ' í f c^x ^x f d (shx)3 * s h x $ h 2 x 2 ■'sh^ jeeh* 2 ■'sh2 xch 2 JC 2 ^sh 2 * (l + sh2 í ) .

= ị í f —ị-------- — ì d(shx) = ~2 ■’V sh X 1 + s h x j 2

—— - arctg (sh x)shx

_ f s h 4 x d x ( ch6 X sh4jcđx

ch x(4sl ỉSX - 3chsx ) ch X(4 sh5 x - ĩ ch5x) cH6 X

. f - ^ - d ( t h x ) = ị f Ì l â l ì ^ ) = J - l„ |4 đ ,s x -3 U CJ 4 t h 5 x - 3 ch X J 4 t h 5 x - 3 20") 4 th s x - 3 20

y / ỉ t h x - y Ị Ĩ - f - f ^ - f d(th'jc) _ 1 Ị5 •'5 sh2x - 3 ch 2x ~ ch2 x ( s th2 X-3) ~ ^ 5 th2 x - 3 2 -J 5 y Ỉ 5 th x + S

.T = f - ____ — = f _ — — — dx _____ — __________ ( S s h x + c h x ) 2 + 5 9slr2 + 6s h x c h x + ch2 x + 5(ch 2 JC-s h2 *)

_ f dx r dx

■Msh2 X+ ôs hx ch x + 6ch2 X ■'ch2 x( 4th 2 x + 6th x + 6)

1 f d (t hx ) I f d (th x) 1 _ 2 th x + 3

+c

_ I r a u ft x ; _ 1 r dU h x ; _ 1 z t n x + j

" 2 J t l r x + 3 t hx + 3 " 2 i f ■ 7Ti J T ỹ ~ ^ ẹ ~ w ~(thx+ | ) 4 f j

+ c

199



B

Ồ

I DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

TR

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P.Q

U

Y

N

H

Ơ

N






t c h 3 x + c h 5 X , r c h ? x . ( l + c h 2 jc ) , r c h x ( l + c h 2 jc)= — -— -— — d x = „ 7 — — —- f d x = — — ------- ■— d x

^ s ỉ t x + s h x J sh j c ( i + sh jc ) J sh X

= p + * d ( s h x ) = j f l H— ì í / ( s h x ) = s h x - - ^ - J sh X sh x ) s i n

■H---- — aí,shxj = s h x — -----YC shz x ) s h x

d x

6sh Ic h I +■5 Ịch2 ị + sh2 1 ) + 4 ( ch21

f dx r dx

= 6 s h | c h | + 9ch2 | + sh2 1 = 3 c h | T s h | ) 2 = 1(3 +

= f ------- - - d i j + . t h — 1 = — + c

■ V ‘ ĩ ) . . 3+‘ f ■. ■

• _ r dx _ r chjtdx _ I Ể /(shx) _ (• đu

9 ■*sh 4x c h x ~ •’sh4 xc h 2 X ~ ^sh4 x(l + sh2 x) ~ ^ u4 (l + M2)

, r í l d i l M d u - j f - ! - - ỉ l f l l d U= ( f _ ! _ - J L + -L')J U4 ( l + U2 ) •’l l + u u ) •’ U + U u u )

1 1 * ( u ^ 1 1= arctgu + - ------ - - + c = arctg(.shx.) + —1-----------5 — + c

u 3 u s h x 3 s h X

• I l0 = [ — - .= f - = [— dxrr— = f(thj:)4 J(thx)=4 fj sh3xc h sx %/th3jcch8 X ch2x\/th3x

J _ f ______ dx 1 fsh [(a: + 5) - (x - 0 ] ^

11 J c h ( x + l ) c f t ( x + 5 ) ~ s h4 J ch (x + l).ch Gc + 5)

= - L fsh(x + 5 )c h( xt l ) - s h ( x + l )c h (x + 5 ) dx = 1 fíU x + 5)_ M

sh4-J ch(x + l)ch(x + 5) sh4 J

= - j — (In fell (X + 5)] - In [ch (X -f i)]) + c = - j - In c ịx—“Y + cs h 4 s h4 c h ( x + l j

y

• 1,2 = ịchxch 3xc h5x dx = —J(ch4;c + ch2;c)ch5jcdx

. i f(ch 9k +ch X +ch 7* +ch 3x) dx = +Ẻ ] ĩ . +Ẻ Ị l +s200



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§2Ố. Phư ơ ng pháp tích phân t ừ ng phầ n - Trầ n Phư ơ

§ 16. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

I. CÔNG THỨ C TÍCH PHÂN TỪ NG PHÃNGiả sử u = u ( x ) ; V = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta Ci.

• d (uv) - udv + vdu <=> ị d (mv) = ịudv + ịvdu o MV= ịudv + ịvdu

:=>b b

ju d v = uv - Ị vdu => ị u d v = (mv) \a - Ị vdua a

Nhậ n dạ ng: Hẫm số dướ i dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nh ngkĩ ạ : Đư a 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhi

trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần s.ẽ khử bớt hàm số dưới d

tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dư ớ i dấu tích phân)

Chú ý : Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính .được V đồng th

t í c h phân ị v d u đơn giản hơn tích phân ị u d v

II. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẬN c ơ bản v à cách chọn u, dv 1. Dạ ng 1:

Jp(x)

sin(ax + b)dxu —p

cos(ax + b)dx

e“ +bdx,=>' dv =

max+b dx

sin(ax + b)dxéos(ax + b)dx

e dxmax+b dx

(trong đó P(x) là đa thức)

2. Dạ ng 2:

Jp(x)

arcsiníax + h)dxdv =

arccos (ax + b) đxarctg (ax + b) đx

arccotg(ax + b)dx u =

arcsin (ax + b)arccos (ax + b)arctg(ax + b) (trong đó P(x) là đa thứarc cotg (ax + b)


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng / : Các kĩ thuậ t tính tích phân - Tỵ ầ n PUu'ffng

III. CÁC BÀI TẬ P MĂU MINH HỌ A:

í . D ạ n g 1: ị p ( x ) { í / l í (ax + b ) ; c o s O í x + b) ;eax+b ; m ax+t} dx

° A , = J x j cỡs .x<íy :.

íu = x3 íd u = 3 x 2 dx T, , .Cách làm ch ậ m: Đ ặt • ta có:

dv = COS X dx V = sin X

A3 r 2 ; u = X2 Ịdu = 2xd x

-X sinx —3 |x s in x d x i Đ ặt =>< • . Khi đó ta c

d v - s i n x d x i V = - c o s x ,

A , = X3 sin Xu = x fdu = dx

d v = c o s X d x V = s in X- 3 ^ - x 2 c osx + 2 Jx c o sx d x J . Đ ặt

A| =x3sinx + 3.\2 c o sx -ó Ịx s in x - jsinxđxj = x3sinx+ 3x2c osx-6 (x sỊnx+ :cosx

Cách làm nhanh: Biế n đổ i về dạ ng J_?(.y)'/Xy)Ìéc= ị p ( x ) d u

A, = J x ’ cosxdx- |x3d(sinx)-x3 sinx^-Ịsinxd{x3) = x3 s inx-3|x2 siìi

= X3sin X + 3 Jx 2d(c osx ) = x3 sin x + 3 X2 c ó s x - J c o s x d ( x 2)j

= X3 sil l X + 3 x 2 c o s X - 6 Jx c o s X d x = X 3 sil l X + 3 x 2 COS X - 6 Jx d ( s in x ) •

= x3sinx+3x2 c o sx -ó Ịx si n x - ịsin xd xj= X3 sinX+ 3x2cos x-6 (xs inx +c osxí . . . .

•>/!, = j x Je5x~l(Ix = ị j V d (e5i_1) = i .tcV:"-' - ị e ỉx~ d (x3)J

= i Ị V e 5'-' - 3 Jx2e5*-' d x ] = ỉ 'xV *-1- - jx 2d(eỉ l)~

1 ,3 5 x -l 3


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§i6. Phư ơ ng pháp tích phân từ ng phầ n - Trầ n Phư ơ ng

X 0 u 2/4

t 0 n /2 '

d x 2tdt

ĩĩ~/ 4A 3 = J X si n jx (be. Đ ặt t = sfx => í2 - X =>

ã

, rc/2 . V2 _ ■ ,2 V23=2 jVsintdt =-2 Jt3d(cost) =:-2t3costlo +2 Jcostđ(t3) = 6 Jt2costdt

0 0 0 0

6 J t 2d(sin’t ) - 6 t 2 sĩntị - 6 Jsint d(t2) = —— 12 Jt sm td t = — +12 ịtd(co st)0. 0 2 0 2 0

37t2 . Ị"/2 , • 3 n 212tc ost„ -1 2 co std t = ——■

2 10 J 2. ;'/2 3t i

1 2 si nt . = — — 12 ■lo 2

ií/2 ^ k /2 2 2 x ỉ 2

= f x c o s 'x i /; t = — | ; c ( l + c o s2 x )d x = — + — T x c o s 2 xd x

i 2 ' 16 20 0 0

1 ^ 7 t2 1 71/2 J f f /2 '

— I x ẽ( s in 2 x ) = --—+ —x sin2 x [s in 2 x d x4 J 16 4 0 4 J

= *L I16 + 4

_2 , : -/2 2 ,71 1 r . 1 •'

= — + —cos2x = — — 16 8 0 16 4

. í t / ố J ,t / 6 3 'T / 6 í r / 6

45 = I X 5 /H X C 0S 2XÍÌÍJC = - — j " X d (c os 3 J t) = — — —— ^ + — I COS3 X dx

0 0 3 0 3 '

1 . 2 • \ _ TtyỊĨ ' i f ' . sin3X Y lbc ĩi-v/s= — —— + - U - s i n x j dv s m x ) = — -I —+ - s i n x — - —

48 3 J 48 3 \ 3 J 0 72 48

íĩx đx __= [ X — - . Đ ặt •

„ (x + 2)

ư = x V

dv =đx

(x + 2)2

du = x( x + 2 )é x dx

1v = —

X + 2

A* - -2 X

X e

X + 2

1 1 1 1+ | xe x dx = - - + Jxex dx = - - + Jxd(ex)

0 0 0. 3 0

0

' X I . c- + e - e L = 1- —

lo 3

203



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





2 3 sin X - sin 3x ,— — — dx

Chư ơ ns I: Các kĩ thuậ t tinh tích ph Truit V __

- - 3 2= — X cosx4

■jr 2 lỉị2>/47 = J X 2 ( s i n x ) 3 d x = ị X 2

0 0

it/2 uỊ2 l1 J */2= — J x2 s in x d x -Ị Jx 2sin3xdx = — Jx 2d(cosx) + — Ị x 2d

4 0 4 0 4 0 12 0

7 t/ 2 2 j i / 2 J j t/ 2 J n / 2

+— í C0sxd(x2)+ + -r x 2 cos3x —— fcos3xd(0 4 ị 12 12 J

2 k / 2 Ị " / 2 2 i ị/ 2 ị k / 2

= — f x c o s x d x —- | x c o s 3 x d x = 4 ịx d ( s i n x ) — - f x d( s in 3 x )2 0J 6 0 2 0J 18 0J

*/2 9 1. */? — f si nx d x - - ---- x + — fsin3xdx

0 2 I 18 0 18 J

3x sin X

3rt 3= — -+-TC OSX

4 2

n/2 -rr 1TC 1 -+ ----- —cos3x

0 36 54

*/2 _37t 3 K 1 _21it-40=~4 2 36 + 54~ 27

/ 1 1 1= jie*2sinx+x3ex +x.2x)dx= je*2sinjcdx+ jVe* đx+ jx2x dx

-/ -Ị -1 -1

1 -1 2 1Xét 1= Jex sinxdx= j y _u) sin (-u)d( -u) = - | e u sin u du = -I =>

-1 1 -11 1 . 1 , 1

Xét J= Jx3ex dx= Jx3d(ex) = x3ex| - Jexd(x3) = e + — 3 j x 2ex-1 -1 ' -1 e -1

= e + - - 3 fx2d(ex) = e + - - 3 x 3ex | + 3 fexd(x2) = - 2 e - —+ 6 fxe J e 1-1 J e J-1 -1 -1

= -2 e - —+ 6 fxd(ex) = - 2 e - —+ 6xe*l - 6 fe*dx=4e + —-6 e x|

e J e 1-1 J e 1-1

1 X.2x 1 1 f - x . ■ 5 2X 1Xét K= x2 dx = —— xd(2 ) = —Z— — — |2 dx=— ---------------

J ln2_J ln2 _1 ln2_J 21n2 (in2)2

10

-1

101n2-3Ao —I + J + K. = “7 — 2e +

e 4 (in 2)



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§16. Phư ơ ng pháp tích phân từ ng phầ n - Trầ n Phư

2. Dạng 2 : JP(x)Ịarcsinu;arcco su;arctgu;arcco tgu;lnu;logm u |u = ax + b

rdx = xarcsin

+ x2 --

I » Bt = ịarcsl

0

r.4 0 l 7Ĩ+X '

= g - l ' r l ( L + ^ ! 2 = £ - l | n |i

4 2 J 1+ X 4 . 2

• * ; = ị/

I I

Vỉ

dx

- fxdl a r cs in -= ĩ— J 1 J Ĩ Ĩ 7

ỉ+ X

_ 7C V X dx

r _ 4 “ J i m 3"

2x . . 2xarcsin — — r(lx = X ạrcsin -

1 + X ỉ + x 2

4 2

s A

_ W 3 71 2(l + x2) - 4 x 2

■ 2 * - ■ ■

dx

1+ X 2x

1 + x 2

n S Jt V-2x d \

1+ X

ĩ ệ - i + ' f í í i i Ị Ỉ ) = ĩ £ _ ĩ + t a | , + x > f , ĩ £ . ĩ . t i a 2'l o J 1 , „2 T O 11 'ĩ 0

0 4 ' ~

•B s = j a n a g }Ị ~ d x = xercte> j ^ - Ị x d ị a r c t g ^ Ị

'/2 z' 1 -s ■ J ,1/í ,_ 71 f I 1 I dx _ í _ l x d x= ĩ ~ » ( , - * > ) E ĩ ^ E ĩ ' ? 2 . ^ 7

^ V l - x J 1 - x

l + £

_ 71 1 d( l - X2) _ 7t V1- :1/2

_ ĩ l y / ĩ 1

0 ~ ? + T ~ 2

. . 1 / 2 J 1/2 J 1/2 1/2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chirơ ng ĩ: Các k ĩ íhúât tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

u = (arctg x)2

d v = X d x

2arctgxdxdu = ------- — — ỉ

• B5 = | x (arcig x ) ' dx . Đ ặt

0

r 1+ X2 , , n2.1 Vi - X2 2a rctg xđ x n 2 V JB5 =! — f - ( a r c t g x ) - j — f -------- 2 = T 7 ~ J ar ctg xd x

L 2 Jo 0 2 1 + x , 16 ị

I Axarctgxj'0 - jx d (arctgx) Ì

0 J

. Khi đó:

71

7 ?

_ 7t2 n Vxdx 16 4 ' l + x 2

x . . ĩ + i lf ẩ ị l ± i ỉ ỉ i = Ị _ i + i i „ ( i + x o16 4 2 j 1 + x2 16 42

3 t H x 1 — — 10 -S6 = f--- — (be. Đ ặt t - 4 x => . t 1 J 3 Khi đó ta

; x — ------------- L -------

dx I 2tdtB, J ^ d t . 2W d t . DSt ! “ = ■ « « ' > - * / ( 1 ^ )

1 i t Ị đ v = d t / t 3 V = - l / ( 2 t 2 )

a rc tg t 1 4 d t ÍT 7t ' i 1 1 i ,B, = + - — — - = —_ + _ + _ -1-------- —r dt

2t , 2 J» t2 (1 + 12) ; 18 8 2 , v l + t2 J

5;t \ ( \ ........5tc 1 { 1. . n V 1 /, , JtV 71\ 3 - V3~72 2lt+arctgtj, ~ 12 2(73 +3J+ 21 h4 3 6 + 6

/ , fu = arc tgx [ dx

*B y J [ * lE S!i ± dX: Đ ặt Ĩ T 7 . K h i đ ó t a c ó :- ./ “f* .X ^Ịy — — - -

1 + x 2 . [ v = x r acctg.x.

1 f t 2 71 1 . -- — — —+ — ln 2 ;

0 16 4 2


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§16. Phư ơ ng pháp tích phân từ ng phậ n , - Trầ n Phự ơ ng

.1/2

B- í

arcsiìi X

ị y j l + xd x . Đ ặt

u =5ạrcsin X

dxdv Si

's/ 1+ x

, dxdu = ■ _ _ - .

VI - X2 . Kh i đó ta cỏ :

[ v = 2 V ĩ

R _ T /ĩ— " • l!/2 Vl + X , W 6 Vf dxBg = 2V1 + Xarcs inx |0 - 2 J - y = = = d x = — -----2 J - j = =0 vl - X2 3 0 v l -

Tĩ-n/ó . r. — —1'/2 TtVó _ / r . . — --------f- 4 v l - x | 0 —— ------- I -2 V 2 - 4

7/2 VI ■ _ 1/2____ J__B9 = J (arcsinx)2 rf.t = ;t(arcs inx)2j0~ - Ịxúí (arcsin2 x} = — ~ 2 J

« 0 72 0 v l -

1/2 : : ự2 1/2= -zr + 2 f arcsin X d (v l - X2) = + 2v l - X2 arcs in xL - 2 fv l - x2d(arcsinx)

72 J 72 J

= + _ 2 1/f d x . J L + I - l = i l 3 4 ^ - l72 6 0 72 6 72

Bj/J = ỉarcs in . — ~—(lx . Đ ặt 7 = , —— ->J y x + j Vx+1

J 2idtx = ------ r ; dx =~ ------- — —=>x = ——

* + 1 1 - r

2tdt 1 "Ihido:Bi r i= arcs int----- — r = - arcsin t----------- ------------7-= arcsintd

0J ( i - t 2)2 0J ( i - t2)2 T u - t 2J

arcsin t

1 - r

(i-t2)2

' f’ d (arcsin t) 4k '/// dt : ■ • . — — 7 r= • Đặ t t = sinu

Ỉ • 1 - t 2 3 J

( l - t 2 ) 0

v5 /2 n/ 3/ 2 / . ^ /1_ .. V3/2

471 J 3 / 2

471 ' Ỵ dt _ 4 k "7 cosudu _4it |R/3_ 471 - -s/3

3 0 (1 _ t 2) Vl —t2 - 3 0 cos2 u cos u - 3 g 0 3

= Jjf2 (lit x ) 2 dx = —J( lnx)2 d( x3) = - JC3 (ina :)2Ịj — J* 3i/( ln ;t ) 1 1 3 L f

e3 - l*2x3 InX— = — e3 - Ỉ2x 2 Inx dx ẹ3 —— f ln x d ix 3) f X 3 J 3 3 J

V 1 ■ / \ . 1 / V 1 y

( x 3 l n x) |j - fx 3d ( l n x ) = —— —e3 + — f x2 d x = - ^ - + — X'11 J 3 9 9 1 9 27

_ 1

~ 3

= e__ 2

=3 9= 5£__.2_

27. ’ 27

207



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






r V2/' 1 \ 2 1 »/2r , ~ " = —ln3 - [(1----------- I dx = —ln3 — í 1+------ --------- dx

8 g V 1+ X J 8 (1 + X)2 l + x j

1 r I - . 1 , |V/2 _ ln 3 35= - n 3 - X----- ------21nl + x = -— + 21n —- —

8 'l ĩ + X J0 8 2 6

• B 13 = ịl n { x + ' J l + X 2 )<Ềc=[xln(x + \/l + X2 )]|0 - jw [ln ( x + Vl + X2

0 0

- t o O ^ l - U i + V h - ì — 5 L _ = h ( i + 4 ) - r - r Í T0 I VI+ x yx + vI + x Q-v/l + x

= ln(l + v ĩ) r - - i f d ậ ^ l - = ln(l + V2 ) - VT+ X2 lò = In(1 + V2 ) W2 0J

. * w = = J h l ( * + VIT 7 ) d { ^ ĩ 7 )

0 \ 1 + X2 0

= Vl + x2 ln (x + Vl + X2 )|0 - jV l + X2 d Ị ln ( X+ Vl + X2 ) j

= V2 ln(1 + V2 ) - jVl + x2 f l +-0 V

■ X > dx

Vl + X2 „ X + -s/ỉ.+ X2

I ^

= V2 In(l + V2 ) - j dx = V2 In(1 + V2 ) -10

_ f X ỉ n (x + \ Ị 1 + x 2 ')

Af + \ l l + x~• = ị ^ - ^ y ^ =ĩ—!-clx. Đ ặt

0

u = ln(x + yjì + x2)

dv = -----= ■= x(Vl + X2 - x ) d x. . . . /1 . ..2

=>du =

208

1+Vĩ+ x 2 J

d x / ( x + %/l + x 2 ) =

x + v l + x*

dx

n/ĩ7 7



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N









§16. Phư ơ ng pháp tích phân từ ng.phầ n - Trầ n Phư ơ ng

B 20 = Jx/ịí(xj + l ) d x = - Jln(x3+ l)d (x 2)= — ln--X - - Ịx2dỊln(x 3 +l)Ị

=l ta2- l ,fx^ dx=l 1, 2. 2 ,f x [ % . !).- Jdx2 2 ị x3+ l . , 2 ; 2 J x3+l . . .

—ì n 2 ~ — fxdx + - y x. + xp ~ * 2 dx = - In 2 - - X2 1 + l í ' u í * L _ _ 2 2 i ,, 2 J X3 +1 2 4 0 2 ^ x 2 - x + l | x 3 + l j

l , n , - 1 + 2 ’f e - *>.+ I h v - 1l n 2 4 + 4 P ^ ± i d x _ i f f i2 4 4 ' X - x + l 2 0J X3X +1

t a ĩ- ỉ - i i n k v i i4 2 . 0 4 J x2 - x + l 4 J ;

: r 2'-

dx

- - + - l n |x ấ —X + lị4 4 V s

_ TtVs 36 4

\ j l - x ~ \ Vj In-

X

yỊi-X

21 - - \ / 1- X2 In—r;-^ =■+ ís/i-x^v C T J

jV T T jr

. Đ ặt

u = ỉn - 7==Vĩ-X,

dv = _ x d x ^

V 1 - x 2

du = —+ ^— T dxX -2(1 —x)_

f - ^ i ! ■ . . . ' : ,1 J " - f ■ f ( l ' x ) 0 t x ) , <faL x 2 ( l x )_ x V l - x 2 2 ( 1 - x ) s / l - x 2

r dx I f dx I f x d x , 1 . \ / l - X 2= — - ■+ — , g - T - , - . = L + -r arcsin X + ------------

J x 7 i ^ r 2 2 2

= f — 7= . Đ ặ t X = s i n t ; t e => d x = c o s t d t ; V l - X 2 = c o s t

1 1X 2 (1 - x )

dx

- = - 7 T

= -V l - X In—P=ă=r + J

_ r c o s t d t ■_ T c

*s in tc os t ■’si

dtIn

•sint cost ,Jsir.t

> J = In

t g ị'2

+ c = In11 - V - l - x 2

+ c

1—\ i —X" ; - Vi —X4" 1 . ,+ 1-------------+ — arcsir . X + c

. 2 , 2

B,, = - V 1 - x 2 In — 7. x . r + Inl - v l - x ’ : V! - X2 1 . ” .------- :--------+ ,— -- ----- + — ar cs in X + c

211



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ tỉiụ ậ ỉ tiiơ t tich phân - Trầ n phư ơ ng

3. Dạ ng Tích phân từ ng phầ n luán hồ i

- c, = jV sin (in x ) đx = - Jsin (in x)d (jc3) = - X3sill (In*)- —ịx^d

= -x - s in(lnx)--- lx3cos(lux)— =-x"’s in (l nx )- - (x2 cos(lnx)dx3 3 y X 3 3 J

=-xJsin(liix)-- jcos(lnx)d(x3)= -x 3sin(lnx)--x3cos(lnx)+- Jx3d

= - X3 sill ( I n x ) - 4 X3 c o s ( In x ) - T f x2 s i n( ! n>:)d x = —X3 s i n ( I n x ) - —X3 C O3 9 9 J 3

=>— c, = - X3 sin (In x) —- X3 COS ( In x) => c, = — [3x3 sin (In x) - X3 CO9 3 9 1 10

•c , = \e~ 2' COS 3 x (Lx = — ie”2jr(f(sin3x) = - — sin - 1 \s ỉn 2> x d { e ~ ĩ- J 3 J 3 3 J

, £ Ỉ^ ịn 3 x + 2 r £ ^ s i n 3 x _ 2 r

3 3 } 3 9 J

_ e^ si n 3 x _ 2e~~' c q s 3x + 2 j ros3x d(e- „ )

e"2* (3- in3 x-2 co s3x ) 4 f - 2x' J e~2x (3 si n 3 x- 2c o s3= ------ — ---- r ----- ----------- — e co s3 xdx = --------------- r -----------

9 9 J 9

1’3 „ e '2* (3 si n3 x- 2c os 3x ) _ e’2x (3 si n3 x- 2c os 3x )=>— c , = ------------- —--------------- => c , = ------------- —---------------+

9 2 9 2 13

• c , = fe2vs//rx<& = — \e2x (l-cos2x)dx=-— ỉe2x cos2*dx = —I 2 0J 4 ° 2,J

J = fe2x co s lx d x = — fe2x d(sin 2x) = —e2x sin2x —— fsin 2x d (e 2x I 2 f . 2 0 2 0J

= - fe2* sin 2xdx = — fe2:td( cos2x ) = —e2x cos2x fc os2 xd (eJ 2 •> 2 0 2 J0 0 . 0 0

- - Je 2x cos2x'dx =-.0

e " - l V , . . . e2^ - J = >2J = £ ^ ^ J = l

, - e -1 l . _ e " - l e -1 e .-1= > c , - - - - - - — J - — — - T — — —• 4 2 4 8

'12



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§16. Phư ơ ng pháp tích phân, từ ng phầ n - Trầ n Phư

e* * X

• c ự = jco s( /« *)*&: = xcos(!nx)|- - jj5c/(cos(ln x ) ) - - { ế 1+l)+ Jsin(tnx) I I I

eK ỉt cn

= - ( e 7I+ l ) + J s in ( ln x ) đ x = - ( e ĩ t+ l ) + x sin (!n x )|j - J x d (s in O n x ) )

1 1

= - ( e ít + l ) - J c os (l nx )d x = - (e * + 1 ) -C 4 =>2C4 = - ( e l t+ l ) ^ C 4 = — (e *+I 2

■ ** J f' J ể J ể

•C ị

= ịcos2 Ụ n x ) đ x= — J[l+cos(21n*)]dx=—X — Jcos(2In x)dx =1 ^ I 2 1 2 J- í t *c n c 6

Xét / = ị cos{2 ỉr ĩx )dx = xcos(21nx)|j - |xd(cos(2ỉnx) )=eĨI- l + | x1 I I

e* « e* .= e* -1 + 2 Jsin(21nx)dx=e’t - i + 2xsin(2 Inx)|' - 2 Jxd(sin(2Inx))

I 1

= 0* - 1 - 2 fx — — x -d x - e* - 1 - 4 fc o s(2 ln x )dx = e’t - 1 -4 1r x r

£ l z l _

2

2sin(21nx) ——

=>. 5I = e * -1 =>I =e’ - li c5= e’ -1 +1= e' -1 + = -(e* - 1)

5 5

ịeXỊ ^ ị n x (ỉx= f ỉ± S ỈỊi</(ex) = jf* i+ iịạ£ _

J 1 + c o s x J l + cosx l + cosx J \ l + cos^:/

1 + sinx f x 1 + cosx + sinxî _ X1 + sinx (■ ex dx r e x si nxdx

1 + cosx J (1 +c os x) 2 1+ cosx J l + cosx •'(1 + co sx

1+ sinx . - /„•> , r ex dx , r e x si nxd x- - I - J (!) ; I = J _E _ 5 L _; J = fj

•> 1 4- r.ns X J í l + c o s x ■ h + c o s x •’ ( l + c o s x ) 2'


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




ỉ / J ĩ .

Chư ơ ng ĩ : Các kĩ thuậ t tính tích phấ n - Trầ n Phư ơ ng

.c?- f 0

earcsi,txd x . Đ ật t = arcsinx => sinx =t

X 0

t 0 tc/4

dx costdt

rt/4 ĩt/4 k /4 - B tc /4

= f _ Ị+ f si nt d( el ) = —= r - 1+e t sintlo - (VcKsint)

° ^ 0

= i p - l +^ - 1 e , costdt = V2eIt/4- l - C 7 ^ 2 C 7 = ^ e !t/4- l ^ C 7 = ^

N ' ■ 2

>Ci = f 2 Vcos 4xr/jc = — f 2* d (sin 4x) = — in —— fs in 4x d( 2 x) ỉ ■ 4 0 . ... 4 ° ■ 4 0 . : ,

= - - ! ^ f 2X sin 4x dx = f 2Xd(co s4 x) = - ỉ^ 2Xcos4xib/l - ÍQOs4xd(4 0 16 0 ■ 16 L 0

„2 _,)_0n2)]_. . f 2*cos4xdx = — {2*/2 _ l) - íl !^ L .C .= ( 2 * ( 2 Xcos4xđx = i ^ ( 2 ^ 2 - l ) .16 16 ị 16

(2’t/2 —l) ln 2

0

16 + ( ỉn ì ỷ c _ ln 2 ^ - t /2

16 8 ~ 16C , = - ( 2 ^ - l ) o C s = '

16 . 16 + (i„2)2

i

- ì x e a,c,sxdx

=> c 9 =

( l + x 2 ) y j l + x 2

x e « . g X > 1

í

. Đ ặt-s/l + X2'

dv = - d x

d x

1 + x2

ĩt/4 ỉ arctg

( l + X2) vr + x2

V - j e arc,8xd (a rc tg x ) = e

:lsx dx e ỉ arctg ? j - ^ = : ẹr d ( a r c t g x )


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§i-6. Phư ơ ng pháp tích phân ti tngphầ n - Trằ n phư ơ ng

/# = —d x = — \e x ( l - c o s l x ) t i x = — [e~* d x - ~ í e * co s l x dxỉ e* 2 ỉ . 2 0J 2 ị

= — — —— Ị e~x cos2x dx = -— ------ — Ịe~x co s2 xd x = -— --------- —J 2 0 2 J 2 2 J 2. 2

= ịe~x COS 2x dx = Ị Je~*d(sin2x) = - —sm^x - —Jsin 2x d (e~x)0 2 0 2 0 2 0

— fe~ ' ỉ /n 2x íử = — Ị V V ( c os 2 x) = - - — - - --- + — [c o í 2x í / (<?'x )2 ĩ 4 0J . 4 ' 0 4 0J

I z £ 2 _ I j e- . ^ 2^ ỉ z í 2 _ I , ^ = A z £4 4 J 4 4 4 4 5

10 , 2 . 2 ,0 52 2 2 10 5

1I = ị'Ị (C ~-x2dx-Xa>Ò )0

„.*47^71 - - V - y s K .0 o \ l a2 - x 2 0 v a 2 - * 2

= a2 1-7==== - - \ \ jcr ~ X2 dx = a2 circsin— - [sịa2 - X 2 dx = — — c u0 v.ứ2 - X 2 0 a 0 ị 2

2CU = — =>c„ = —" 2 " 4

,, = J-v/fl2 + X3dx ; ( í 7 > 0 )

Í

2 = X\la2+ X2lo - [x dỤ a2 +x2) = a2\Í2- f ------ỏ1 . o W ^ + x 2

= a 2 \ J Ĩ - j ^ —^ J L Ằ = ĩ — d x = a 2 yJ2 - ị y j a 2 + X2 d x +

ỏ J V a + *

r V 2 - j^ a í = -~La- dx = a 2y j 2 - ị y ja 2 + X2 dx + a 2 1 ; :0 V ữ2 + x~ 0 Q'slữ^ + x~

= a 2yỊ Ĩ -r G1 ỉn Ịx + a /o 2 + X2 I p ị y a 2 + x 1'dx = a2 V2 -!- ci1 7« {x'+ V ?). ■’ ■ 0- ' ;' ■ ■_

2C12 =.á2 V2 + ỉn (1 + -Jĩ) => Cl2 = đ .ÌỀ Ẻ ấ J ầ á*.--- -

215



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ờ ng ĩ : Các kĩ thuậ t tính tick phân - Trầ n Phư ơ ng

° .------------ u = x•Cì3 = +x2dx \{a >0). Đặ t < ______

0 [dv = xVa2 + x 2 đx

c ,3 = —(a2 + x2)^ - —[(a2 + X 2 )* đx3 0 3 0

x-ị)x24,

du = d

v = ì (

2 V2 - 2 a

3 3a 4 - jV a 2 + X2 d x - a 2 + x 2 d x = - ^ p a 4 —y C 1

0 0

4 _ 2 V 2 4 a2 V 2 + In(1 +V 2 ) 3 V 2 -Ín(l+V2) _ ^ 3V2=>—c n = —-—a ---------------------------------------- ; : -------

3 3 3 2 6 '

du =dx

v = - ^

V I------ _ íu = x• c u = I X2 yja2- X2íbc ;(a> 0). Đặ t < ______

0 (dv = xv a2 -X 2 dx

C14 = — (a2 - X 2)* + -ỉ- J( a2 - X2)5 dx = - |a 2 Va2 - X2 dx + | x 2\/0 ^ 0 H o 0

= — c + —c =>—C = — c = 713 = > c = na■ 3 " 3 14 T - 3 - 12 14 8

'CIS= I Vatj - a 3dx = x4x2 - a 2\aự ĩ - J x d Ụ x 2 - a 2 )

= (2 V 3 - V 2 ) a 2 - 2f X—= ^ = d x = ( 2 V 3 - \ / 2 ) a 2 - 2\J r Vx2 - a 2

= ( 2 V 3 - ^ ) a 2 - a 2 / - 7= = - ) 4 ^ 7 dx z j ĩ Vx “ 3. 2l-JĨ

= - sỊĨ) ĩl2 - a 2lnịx + Vx2- a2ị|a^2 - I Vx2 - a 2 dx

a-ýĩ

a2 + (x

= ( 2 V3 - V2 ) a 2 - a 2 ln Z ± Ệ . - cĩ+ V2

=>2 C, 5 ={2ylĩ - J 2 )a2-a2\n^~L =>c,5 =-■1 + V 2

(2V3r V 2 ) - l

216



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§16. Phư ơ ng pháp tích phân từ ng phầ n - Trầ n Phư

- 1 + 7 “ * > 4 a Hs i n T x sin X sin* */4 Ậ \ s i n x !

= - 4 2 - f cotgX —0^ —dx = - y j ĩ - í - r ị— ( — \ -------l ì d x*/4 sin x ^ s i n x U i n X )

, - s + 1 - 1 = - £ + 1 - 2 L Ĩ * L - c „V4sinx J a sin x V41_C0S x

=>2C16=-JĨ--\n -~ c— =-yjĩ + In(l + yjĩ) =>C16=2 1 - c o s x ^4 2

' C „ . ’| j - = - Ị - L - i í (co ,8 í ) = - | ! ẵ í ' ” / j c o « 8 ^ ( ' - J ĩ- ) j 4 sin X Ậ sin . t sin X Ậ VsinJ x )

= -2y J Ĩ - f c o t g \ 3 00 — dx = - 2 V2 - 3 f — \r— ( — ịr ----- l ì d xẬ sin X Ậ sin X Vsin X )

= -2yJĨ + 3 f — ----- 3 f “ T y — = -2\Í2 + 3C1S - 3C i7Ậ sin X - Ậ sin X .

=>4C17= - 2 V2 + —\_—~2+ In( 1 + V2 )] => C17= - ^ + -in(l + V2)2 \ 8 8

ị c o s 3 x ị c a s x cosx 0 J \c a sx l J eo:

, 2 J 3 - J ^ r i - V - l i * '2 ^ 3 + ] — - 1 ^ - - 2 V 5 + - J COSXVCOS X J ị cosx J COS X 0J 1-sin X

=>2C18=2V3+ I d(s‘n2x) =2 + lln ■fl 1 -s in X 2

1 . 1 + sinx

1 - s i n x

•2C,8 = 2 ^ + ln(2 +V3)=>c,8 = 2 l l n 2 + )


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng í: Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trân Phư ơ ng

4. Dạ ng 4: Các bài toán tố ng hỢ p

ỹ + 2 x ‘0 ' J x 2 + 1

s _____

= | x 2.x v x 2 + l.dx + j" X0 0

s= ị x 2. x\[xr

0

i toán tố ng hỢ p . ■

í ) ( ỉ . o 3 [ . l ì j.3 "Ị X \ x + 2) , f i U + l j , r X d x = — d x = — dx + " —

0 \ l x 2 +1 : 0 y x 2 + ĩ :0 y x 2 + ỉ

d'x

x d x

0J ^ T i=I+J

s _ _ fu = v ídu = 2 x d x

Xét / = I x 2. x^lx2 + l d x . Đ ặt ị t =>« Ị' , .3/20 [dv = x v x + 1 dx v = y ( x + ụ

I - i x H x 2 +!)*■ '5 - ỉ- l s U 1 + 0 ’/1 d x . 8 - i 1 ( x 1 + l) ,' 1 d U ; * 1 )3 • 3 3. 8 - A ( x ^ 1f 1 'S = 8 - è < 3 2 - l ) . #

15 0 15 15

sXét J = I

0ét J - I X2 ■ Đ ặt ■! x d x =>•! --- -----

0 %/*2 + i d v = r r = = I v = v x + 1 . .V x 2 + 1 A

= x2Vx2 + l |0 - j*2x>/x2 + ld x = 6 - ỊV x 2 + ld ( x 2 + l ) = 6 - —(x2 + l )0 0 ^

u = x I du = 2x dx

= V 7 T Ĩ

J =

_ ^ , . _ 58 ■ 4 _ 26=> D, —I + J — ----- 1— -------

1 15 3 5

V'J l + X3 1 2f I \ ~ ~ j i 1 ^ _ 'Jl + x 3 1 V>, = - — - — clx = -~ - VI + X .í/M r = --■ - r - ì — + ■ -

J X4 3 Ị . ; U 3J 3x3 , 3 Ịl 2rd{\ l l + x3 )

^ L - ì 1 2f 1 l 2f d ( l + x3)


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§ i 6. Pkttffng phậ p tích phân từ ng phầ n - Trầ n Phư ơ ng

0 2

■ n/2 J í/2

= I es‘"!* sin X c os3 X cix = — J 2 COS2 X (2 sin :X COS x) esi"2* dx0 4 0

1 / \ 1 k /2 . */2 - f (1 + COS2 x )d le s"’2x) = ị( l + COS2x )e si"2x - i f esin2>td (l + cos2x )4 J 4 ■ 0 4 J

Jl/2 ' ?c/“ 1 1 f sin2 X • -) J _ ^ I ^ f J í sin2 x sin2 x —- + — e s in2x dx = - -~ + fr d ie / = -^ - + —e2 2 J ■ ' 2 2 J : 2 2

. ff/2 x/ 2

= ị c o s x l n i l - c o s x ) d x = J i n( l - c o s x ) d ( s i n x )ir/ i ■ >r/3

, n/2 "'2 sin X l n (l - c o s x ) |* 2 - J s in x d ( . ln ( l - c o s x ) ) .= — In 2 - J s i n x r ^

^ ji /3 V3

It/2. _2 ' , n :

- f -— ° ° s x dx = — In 2 - f ( l + c os x)d xÌ 1- 0055' 2 . i

sinxdxcosx

2

Vs

In2-

- l n 2 - (x + sin x )!^2 = ^ - l n 2 - —- 1 + - ^-2 1JI/3 2 6 2

. tt/J Í ĩ Ị3 ' xfi

= J 5/«X in(tgx)(lx = - Jln(tgx)d(cosx)=-cosj:ln(tgx)|^3 + Icosxd(ln(tgx))Jt/4 ?r/4 jr/4

1 , „ ~r cosxdx 1 , - dx 1 , „ "rsinxdx= — ln :> - I — ---------= - —in3 + | -7T —= - —ln3 + f — 2 .

4 J 4 COS x tg x 4 Ậ sin X 4 J 4 sin X

_ I ln 3 / f i ^ = _ I ln 3 - i l „ l ± ^ V 3= l n ( U ^ ) . - i l n 34 ^1 -G O S X 4 2 1 - c o sx ^4 4

} 1 + c o s x Q 1 + COS X 0 2 COS2 X 0 l + cosx J \ 2!

^ - x + s i n x ^ ^ t sinxdx ,Tf xdx *'r c?(l-t-cos*) ị

" ■ ! 1 + ™ v + J 2cos2 ị J 1 + COS* + J

| - In'll +co s x| + x tg — j

7t/4 it/4-f r X , V 4 , 7E 71 . . . .

t g — d x - l n -------= • + — tg — + 2 In0J 2 2 + V2 4 8

Xcos —

2

tc /4

= In — — 7= -i- — ( v 2 - 1) + In —— 7 — - 1 ) + In 1 = — ( %/2 - 1)2 + V2 4 4 4 4

219


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




ir/2 ir/2 x/2

• Dy = ị s in 2 x cos4(sinx)d x = 2 Jsmxcosj:cos4(sinx)dx = 2 Jsin.xcos4(siiu í • 0 0

1 1 1 1 1= 2 ịt (cos t) 4 dt = —J t (l + COS 2tỶ dt = — J t ( l + 2 COS 2 t + COS2 2t) d

0 0 0

= — [ t i l + 2co s2 t + 1+ COs4tld t = - f t (2 + 4co s2 t + cos4 t )d t• 2 0H 2 ) 4 0J

J I J 1 2 1 J I / , = — Í2td t + — ft(4 co s2 t + co s4 t)dt = — + — f t d I 2s in2 t + — sin

4 0 4 0 4 0 4 J l 4

= — + —t r 2 sin2t + —sin 4 t ì 2 s in2t + — sin4 4 l 4 J 0 4 )

= —+ —I2 sin 2 + —sin 4 í -c o s 2 t~ — cos4t I4 4 \ 4 ) 4{ 16 ) 0

1 1 o 1 : , 1 . 31= —sin2 + —COS 2 + -— sin 4 + — COS4 + — 2 4 16 16 64

nỊ4 . ______ _ /r/4 , ________ ff/4•2) s = f + s i t t ' x dx = í SĨ!?JC V2 -COS2 * dx = - f

ị c o s x j c o s 2 x ỉ

m r — T U 2 _____ , ,n r ~ T ,A/Ĩ 1 /V2 . .

J u2 / Vu/ u , J u

l/v/2 , lA/ĩ

= V3 - ! - f . u = ỵ ? - 1 - a r c s i n - ^ L = —I — f n/ 2 - iT V 2 ,12

*'<£c *r * xc os x J• Ạ , - I -----------------------7 = 1 -------------------- - dx

0 ( x s i n x + c o s x ) 0 C0SJC (* s in jf + COS*)

It/3 i cị ì x / ĩ

= - f ~ 7 - d(~~g;n J cosx vxs inx+ cosx / cosx xs in x+ co sx 0 J xs inx +c osx

= ---- i.cosx+pin„x>idx = _d7r +tgxf = 1 ^3+W 3 Jx sin x+ co sxV COS2 X J 3+ W 3 3+ W

Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng _________________

jt/4 rr 2r v 2 - c o s X

cos2 a:

220



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§2Ố . PhKơ ngpháp tích phân từ ng.$hạ n - Trầ n Pkư

1/2

0

d x(x + l)2

4 u đ u

có:

• DI0 = f ( x + i ) TZI Ị Ị-—~ d ( x + 1 ) 3 = - x i l l , | T ~/ VJ+4T ' 2 - Ị ỵ i + X 2 W +

- í h H M h ^ ì h m -

3 J 3 - 4 1 'yf | Ĩ 7 T .. _ x. / Ũ 7 ; ■ u2 - 1 ,= + X ị — dx . Đặ t u = ,/—■—- =>x =—r~.--- ,=>dx = -

8 2 J V I - X V l-X u2 + ĩ (,

ĩ \ ỉ ỉ ~ ~ x = Đặt u = tg t =í>du = ———• Khi đổ tá/ V l - . v r G r + l) c o s t

I (u 2 + l)" 71/4( ĩ + tg 2 t) C0S t „/4 l + tg - t ;

x/3= 2 | ( l - c o s 2 t )d t = ( 2 t - s i n 201^,4 = — + 1 - - * / 2

*/4 ;

_ 3 V3 - 4 1 , 71 V3

= > D ,n = —•— ----

- + - J = — + — 10 8 2 12 18

— * / # ' ? £ - - 7e ' c ■ c e a

Cách 2: Du = f í - ^ — j i- id c = f ỉ ^ 2 - á c » dx = -^ - ' = e - " ■!U/72 a- ỉ n x ) , J In X J U x J l n x e

• D12 = Ị e x (s in 7 x )2 <ix = — IV ( 1 - COS2nx )d x = — — — Jér cos27u:dx0 2 0 1 2 2 0

1 i 1 1X é t J = Ị e ' cos2nxdx = J c c s 2 j r x d ( e x ) = e x c o s 2 7 t x | - | e x d ( c o s 2 j x )

0 0 1 i ,

= e - ! —271 J"ex s in 2 n x dx = e -1 - 21Ĩịsin27ĨXd(ex)0 0 ■


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




s,c BÀI TẬ P DÀNH CHO BẬ N; ĐỌ C Tự GIẨ I

Ịx2 c o s3 x d x ;I, ại |j(?í + l)2 s ịn x d x ;l 3 = Ịx 2 COS2 — id x ;I4 = | x 3 sin 3-

Ij = j"x2e3s+1 dx;ỉ6= Jx3e2?-1 dx;I7 - J ( x + l ) 2 2* dx; Ịg = Jix^ l)2 2X3ỈX dx

1 Ị — J S/2 1 ___

í9 = [arccọ tg ry'~■£ - dx; I)õ■ = í ạ rctg, J = = dx;Iu = ị arcsin\2 x v l- X2

1/2 x •" . , , 0 V1-X2 ■ " - m : , '

I 2 - 1 ' 1I12 = (arctg— — -iđx ;Ị p = Jareeotg-|===^dx; Ịj4 ■= |arccos(2x2 -l)d x

1/2 x 0 ; V I - X 2 0

I J vĩ J 1 J 2 , .1, 5 = fa ic co tg —====== rd x ;I ,ổ = far ctg -j-d x ; I17 •=' farc tg— - - d x

0 v l + X” 1 x 0 1 + x

2 , 1 Ị _ 2 ' a/3 1Í ]R = a rc tg— _ d x ; ĩ.q = (arccos-—-V dx ; I ,n = fa rcs in— — z-dx

Ỉ 1 - x - ị 1 + x 2 ị 1 + X

Zhuffng I: Các k ĩ thuậ t tinh tích phân — Ttầ n Phièự ns : ____________ _ ______

!/v5

1 2.; i19 = iarc co s-— - V d x ; I20 = f arcsin-

f ,.1 + r ; r

Ự5 ■ ; ■' 0 f-': ■ iA/ĩ

I21 = f arccos —= £ = d x ; I2 2 = iarcco syl-x2 dx;I23 = I — — dx- 11 - 2 ■ -1 : • . , 1/2 *•V I - r X , 1/2 x

„ I ------

■ ■ ■— 1/2 3 1 . 4f 3x - Varcsm2x , ... } X arccos X . : T fX arctgx ,24» I - - -w y -: - dx ; I25= l - p ^ l - d x ;I26- J - .7 -7 - fr .

. 0 Vi - 4 x 0 VI - X2 0 i + x

i f iog 2 x

X


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N






Chitons Các k ĩ thuỗ t tính tích phân ~ Trằ n Phư ơ ng

o P(x)sin3xdx = [(4a,x3 +3b,x2 +2c1x+d1)-3(a2x4+ b2x3+c2x2 -:-d2x+e2

+[(4 a2x3+ 3b2x2 +2 cjx + d2) - 3 ( a lx4 + b,x3 +CjX2 + djX + e,)]c .;>3x;Vx

<»P(x)|in3xdK=[-3a,x4+(43ị +(3b| ->-3c2)x2'+(2cj -3d2)x+(đj -Sẹ

-[ 3 a(x ‘ -f (4a, +3bl).'<3 +(3b2 +3Cị)x2 +(2c2 +3d Ị)x +(d 2 +3 ej)]cos3x

3aj 'x4 +'(4a, + 3 b | ' + (3b 2 + 3C |)x2 + (2c 2 + 3d 1)x + (d2 + 3 ej) =

- ja j X 4 + (4a , - 3b2) X3 +(3bj -3 c 2)x 2 + (2c t -3 d 2)x + (dị -3 e 2)

Í3a, = 4 a 2 + 3 b | = 3 b , + 3 C ị = 2 c 2 + 3 d ị- d 2 + 3 ej = 0<=><!

| -3a , =3 ;4aj - 3 b 2 = -2;3 b, - 3 c 2 =6;2Cj -3 d 2 = -8; d, - 3e2 = 4

= 0:b = 4 :c ; = ^ : d = 4 : e,J;bi ~ 3 ’ 17 3 9 ' 27

, , _ 2 _ -2 J _ 20 32= 2 - 3 ;c2 - 3 ;dj - 9 ;e2 =

<=>

<=>

Vậy I = j(3 x 4 - 2x3 + 6x2 - 8x + 4) sin 3x dx =

= ( ế x J - ị x 2 + Ặ x - ^ ậ ) s ỉn 3 x - ( x 4 - ậ x 3 + ậ x 2 - - ^ • x + - ||-)c os 3\3 3 9 2,7/ \ 3 3 9 2 7 /

II. DẠNG 2 : 1 = J p ( \ ) e " x+bd x ; J = J p ( x ) m a,t+b4 x

l=jp(x)ea‘+idx=Q(x)ea!+i+c Phự ơ nỊ ỉpháp: Giả sù

Lấy đạó hàm các vế tà nhận đư ợc

; degQ(x) = d J = ịp(x)mm+b dx = Q(x)nf*+b +c

p<x) <>rh. iỉx [ e ' (x) + aQ(x)]eax+b; Vjc

p(x)>,. dx:3LQ'tx)+alnw-Q(x)']max*b ;Vx

p (x) = Q'(x) + aQ(x)

P(x) = Q'(x) + alnmO

ồng n hất các hệ sổ đ ồng b ậc của X ta xác đ ịnh đư ợ c Q(pc)



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§J7. Phư ơ ng pháp h ệ s ồ b ấ t định cử a tích 2 loạ i hàm sổ Trầ n Ph

Bài 1. Tính '/- Ị ( i x 5 - 4 x 3 +5x* -3 )e ìxdx = Ị p (x )e 3xdx

Giả i

Giả sử I = Jp (x) e3x dx = (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + qx + k) e3x + s ; Vx

Lẩy ởạo hàrti các vế ta nhận đirợc

p ( x )e 1x = [{5ầx4 + 4bx3 + 3cx2 + 2dx + q) + 3 (ax5 + bx4 + cx3 + đ x2 + qx + k)1

£> 2x5 - 4 x 3 +5 x2 - 3 = 3axs + (5a + 3b )x4 +(4b +3c )x3 + (3c +3d )x2 + (2đ +3q )x + q

<»3a = 2 ; 5a + 3b = 0 ; 4b + 3c = -4 ; 3c + 3d = 5 ; 2 d + 3 q = 0 ; q + k = -3

2 , -1 0 4 , 41 -8 2 . _ -161o a = —; b = ——- ; c = —- ; d = -"■ ;■ q = — ; k = —

3 9 27 27 81 81

r (7- 5 3 c ^ is J 2x5 ỉữx4 4x341xVậy 1= K2x -.-Ịx*+5x -3/e" dx= —;-—:-2_+— +—•7 •> l 3 9 27 27 81 i 81 ý

Bài 2. Tính /= Ị Ì 3x 4 - 5 x 3 + 4x2 - ì ) 2 x dx = ị p { x ) 2 x dx

e3*

Giả i

G iả sử / = ị p {x )2 * đx = {ax4 + &c3 +CX2 + dx+ q)2x + k ;Vx

Lấy đạo ham các vế ta nhận được

p(x)2x =[(4ax3 +3bx2 + 2cx + d) + On 2)(ax4 +bx3 +CX2 + dx+q)]2*


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chirffns I: Các k ĩ iHúút tinh iích ìihâiệ '-^Trầ t Phữ ơ rig:

II. D ẠN G 3 : I = J e ^ s m ^ a x + ' p ) d * ; j ' = ' J e ^ c o s ( ầ í ' + p ) d x

K = Jmax+bsin(ax + p}dx;L= Jmax+bcos(ax + p)dx

Phư ơ ng phậ p: Xét đạ i diệ n / = je ax+b s m ( a x + p)i&

sừ ỉ - ịem*h sin ( a x + P ) ậ x = ;[,A sin ( a * f p )-+ B COS ịqx + 0)] .«/ ;+* f-cfỴ ĩ

ấy đạo hàm các vế ta nhận .được

..... sin (cu: + p) = [(cx.4 + aB) cos ịax + p) + (a ắ - aB)s in(ax + p ) ] e “ +i

a - a ; , , :• A ==:— ; B = • 2 . . , . . . .

a + a a + a

Giả Í

\a A + a B = 0<=> < <s>

\a A - a B = 1

jxt+b /é +:=> / - fea,:+/;sìnịax + p)dx = , a , sinfox + p )- a- ,-Z?cos(ax + P)J : La +'a • ‘ a + a ;

Bài 1. Tính I = ịe^~ĩ siri(lỉx '+ ì)d !C ' ■ ' ;

' Giả i

Giả sử / = ịeSx~3 sm(2x + ỉ)-í&!=['Ấ sir i(:2ic + i ) + Bcbs(2x + i) ]è 5* 3 t-b ;Vx

Lấ y đạ o hàm các vế ta nhậ n đư ợ c v ^ ; ; '

e5x~3sịn(2k-'+'l;) —{(2A * 5B')cos(2x + f) ■ (5A -2-B )sih(2x + ứ ]e s* 3 ;

C^ ; 2A r 5 B " .0 < A:= _ ^ l _ =::A ; B = : - TZ l T = z 2 . . '[5Ạ -2B = 1 5 +2 29 5 + 2 29


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§7 7. Phư ơ ng pM p k ệ s ậ bẩ i định cũ ạ tích 2 loạ i hậ m s ặ : ^ T tầ n Phừ ớ ng

à i 2 . Tính I = ị e 4x~7 (cosx)s dx -íạ-, "í. V. -- . .C. u-.'-j

Giải

= je4x~7 (còsx)3 đx - — (cos3x + 3COSx)dx ' ■’■ • ị

= — fe4*~7 co s3 xdx + — fe4x_7 co sx d x = Ịl , + —ĩ,4 i t 4 J 4 1 4 2 -

ả sử / , = Je4x~7 c os3xc /x=[Ằ ]sm3x + Bị cosSxj-e4*”’ i+c;'<lxi l i:'

ấy đạo hàm các vế tạ nhận được

* " 7 c o s 3 x = £ ( 3 A ị + 4 B 1 ) c o s 3 x + ( 4 A 1 - 3B | ) s i n 3x ] e 4 x ~ 7

_r|3Aị +-4B_i Ị ị ;■ _ .0 .;3y; : ;:3; 4V- -2 " -[4A, -3 B j = 0 1 42 + 3 25 42 + 3 2 25 • : ■

> I, = fe4x“7 cos3xđx. = í — sin3x + — cos3 xle4*-7 +c

>2.5 . .

iả sử /2 = Je4jc~7cosxdx = (A2sinx + B-, COS *)e4jr~7 +c.;Vx

ấy đạo hàm các vể ta nhận được

4'>~7 co sx = [ ( A 2 + 4 B 2) c o s x + ( 4 A 2 - B 2) s in 3 x ] e 4x-7

: [A ,+ 4 B 2 = l ' 1 4 4 . ^

Ị 4A 2 - B , = 0 ° . 2 ■ 42 + r 1 7; 2 " 42 + 1 " 17

> I, = Je4x~7 cosxdx=|^— sin3x + — cosSxje4*-7 + c ^

> I - - - I , + —I, = —!—(3sin3x + 4c os 3x )e4x-7 + -^-(sin3x + 4c os3x)e 4x' 7 + c4 1 4 2 100 1 . 68■■■=■■■■•

Vây 1= fe-ix“7(cosx)3 dx = — (63sin3x + 184cos3x)e4x 7' J 850



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ngI: Các kĩ tHúậ t tilth lích 'phân -'Trấ n Phư ơ ng

B à i 3 . T ín h / = p ' v (s ia x) 4 dx

Giả i

ỉ = J4 X(sin x)4 dx = - J4X(1 - cos 2x)2 dx = 1 jV Ịl - 2cos 2x + 1+ c°s

= - JV d x - — Í4Xcos2x + — Í4Xcos .4x = ^ ĩ28 J 2 J 8 J 8 ỉn 4 2 8 2

Giả sử /| = |4 Xcay 2*íử = [A|SÌn2x + Bf COS2x]Ax + C/V*

Lấy đạo hàm các vế ta nhận được

4 X C O S 2 x = [ ( 2 A ị 4 B j I n 4 ) c o s 2 x + ( A ị I n 4 - 2 B i ) s i n 2 x ] 4 X

Í2A, +Bj l n 4 = l ' 2 . 1 ' _ ln4 _ à > A y = — — =■- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -[Aị ln4-2Bj =0 (ln4) +22 2(ln2) +2 (ln4) +22 2(

=> I, = f4x cos2xdx = --------- -----[sin2x + (ln2)cos2x ]4x + cJ 2(in 2) + 2

G iả sử / 2 = j V cos 4x dx = [A2 sin4x + B2 COS Ax] 4X + c;\ fx

Lấ y đạ o hàm các vế ta nhậ n đư ợ c

4XCOS 4x = [ (4 Aị + Bj In 4) cos4x + ( A] ln 4 - 4 B ,) sin 4.x] 4*

Í4A| + B| ln4 = l 4 1 ln4

[a , In4-4B, =0 ~(ln4)2+22 ~(ln2)2 + l ’ (i

=> I, = Í4Xcos4xdx = -------“T----- [2sin4x+ (ln2)cos4x]4x +cJ 2 ( l n 2 ) - + 2

1 - 3-4X 1 r 1 , Vậy 1 = —----- -I, + —1, = J 8 I n 4 2 1 8 2

3.4X 1 [sin2x + (ỉn 2)cos2x]4* 1 [2sin4x. + On 2)cos4x]4x

“ Si:>4 2 a t O i^ + lJ " 8 2[(ln2)2+ l]

3.4* [4sin2 x-4 ( lr i2)cos 2x . + 2sin4x + ( ln2 )co s4 x]4 x1= ------------- -<— ~ V— ---------------7----------- —- + c• 8 b 4 1 6 [(ln 2 )z + l ]



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§ỈS. Tich phân truy hồ i - Trằ n Phư

§ 1 8 . T ÍC H P HÂ N TR U V H Ò I

ì, SÀ! TẬ P MẪ U MINH HỌ A

Bài 1 , Cho /„ = ịiỉnx)" đx. Tìm hệ thức liên hệ giữa I„ vấ /„_I và từ đó tìm

Giả i

ĩ„ = J (ln x)" dx = x ( ln x ) " - Ị x d ( ln x ) " = x ( l n x ) n - n J x - — (ln x )" 1dx

<=>I„ = x(lnx)" -n ln_) <=> I„ +nl„_j =x(lnx)" (*). Đặt An= ĩn-1-Sử dụng hệ thử c (*) ta có:

n = 7: A7 = I7 + 7I6 = X (ln x)7

n = 6 : A e = I6 + 6I5 = x ( tn x )6

n = 5: A5 = I5 + 5I4 = X (ln x)5

n = 4: A4 = I4 + 4Ij = x(ln x)4

n = 3 : A3 = I 3 + 3 Ì2 = x ( to x )3

n = 2 : A 2 = I2 + 2Ij = X(ln x)2

n = 1: A, = I, + 1I0= x(ln x)2n = 0: A 0 = I0 = Jdx = x + ( c 0)

=i> I7 = A7 - 7 A 6 + 42 A 5 - 210A4 +840A3 -2 5 20 A , + 5040A, -5 04 0A 0

I7 = x [ ( l n x ) 7 - 7 ( l n x ) 6 + 4 2 ( l n x ) s - 2 1 0 ( i n x ) 4' +5;


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Zhieffne l: Cấ c kĩ ihuậ t tm h tich pUan - Trầ n Phư ơ ng

Giãi

i„ = J x V dx = Jx"d(ex) = Xnex - JeM(xn) = x V - n dx

<=>I„ = x V -nl„_j ^ >k +nĩ11., = x v | (*). Đặ t A n = I„ + tiln. 1. -1_•*_1__1-5Ì.L.' * /jfe\ - I .2. Sử dụng hệ thức (*) ta cỏ:

n = 5: A5 = I5 + 51 = x 5e*

n = 4: A4 = I4 + 4I3 = X e

n = 3 : A3:= Ịj T 3I2 = X e.

n = 2: A2 = I2 +21, = x V

n = 1: A] = Ij ỷ lỊ 0 = x'ex

n = 0 :A 0 = I0 = je* dx = e* + (c0)

=>I5 = A5 - 5Ạ4 + 20A3 - 60A2 + 120A, -120A0

I3 = ex (x 5 - 5 x 4 + 20x 3 60 x2 + 120x - 1 2 o ) + c

3. j = j x 5ex dx = ex (x5 - 5x4 + 20x3 - 60x2 + 120x - 12o)|ò = 120- 44e0

nỊ2 ■ >; ■ . '■ ■

Bài 3. Cho /;J = J (s in xT đx.0

!. Chứng minh rang: /„ = —— và tính In.- n .......

2. Cho hàm sỖ ' / .-N^» R xác định bợ i .hệ tlị^p; /(«) =(n+l)/A/n+1Chứng minh răng:/Ịà hàm hăng

■ ■1■ ”Gì&i


-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

ĐẠ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§Ị&ịTick phân , trụ y hồ i —Trầ n Pkư ơ ng

Sử đụ ng hệ thứ c (*) cho 2 khả năng sau đây:

n chẵ n, n = 2k n lẻ , n = 2k + i

I , = 2 ^ 1 , ,»2k - 2k l2k-2

T • ã - 3A2k-2 - OI í õ j*ZIm42k - 2

., jc/2

Iq' 'U J (sin x)° dx = —_____ _0__________ ^

2 k - l 2 k - 3 ,; 2 - I £L,,

X2k+I 12k-l2k + ỉ

! _ _ 2 k - 2 2k-1 _ 2 i P T l2k- 3 •

I, =-I3

I3 = -1 ,3 1 /2 . : ,

I| - J (sin x)1đx = 10

l2k 2k ' 2 k -2 " '4 "2 2 ^ 2k+ 1“2 k - r ■ '5 ' 3 ;1

2. Ta có /- Cn) - Cn + l>IaIa =(n + l) ln [ - £ _ 1 = nln_,ln .= /Cn - ỉ)! ■■■:i' i(. -ji !< ' ln .+ l J . - i 1

' => / ( n ) = f ( n - l ) = . | ' = / ( l ) ^ / ( 0 ) = ( 0 + l ) l0I1 = J (s in x )° d x | ( s in x ) 1d x = — /•;' ■ 0 : 0 '

. 1 ' . / [ r :] s :Bài 4. Tính tích phâni I = |(/ - X2 ) d x . Áp dụng tính / = dx

0 0

Giả i

Đặt x = cosí ;íe 0 ,y => t 'n/2. 0 Khi đó ta có:

" l dx ; - sint dt

I = J(ỉ - X2 ) d x = J ( ] - c o s 2 t ) ( ^ s i n t ) d t = J ( s i n t ) 2n+I dt

0 Z/2 ... 0

TI . > • > , , 1_ r • • ,2n 2 n - 2 4 ^2 ,.Theo ,bà, 6 ta có: 1= w ,

Sử dụ ng hệ thứ c tạ cộ : J = ị l - X2)dx =F1« = — • —• — 1=... s I lí 11 9 7 5 3 ■



B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

TR

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N






' l ịBài 5. Tính tích phân /„ = ị (cosx)" đx

0

Giả i

Tt/2 it/2 it/2In= j (cos x)ndx = J (cosx)"’1COSxdx - J (cos x)n_1 đ(siri x)0 ' 0 0

/2 x / 2

= (cos x)n_1 sin x|o - J sin xd (c os x )11"1 = (n - 1) I sinX (cos x)n"20 0

ít/2 7t/2 ít/2

= (n —l) J ( l —cos" x)(cosx)n-2 dx = (n —0 J(cosx)" 2dx- J(c0 ' Lo 0

« I n= (n -l)(l„ „2 - I 1, ) » n I n =<n-l)l„_2 o I n= ^ I r,_2 (*)

Sử dụng hệ thức (*) cho 2 khả năng sau đằy:

h chẵn, n = 2k n lẻ, ũ - 2k + 1

T -2k 2k 2k~2

1 _ = j L z l I

2k' 2 2k - 2 2k"4

'■ - K I0 = I (cos x)° dx = —

2k I ,

2k + l

l2k-’ 2k- l 2k-3

'* ' h

h - I ' ,ìt/2

Ij = J ( c o s x ) ' d x =0

[ _ 2 k ~ 1 2 k - 3 3 2 £ _

2k~ 2k 2k - 2" 4 2 2 2k+1 ~2 kH

/ _____ Bài 6. Cho /tf = j j t ff V 7 - ~ x ỉ ĩ x . Chửng minh rằng:

0

L . 2. Tính I„ í2/1 + 3

2k 2k - 2 4

2k+1 ~2k + r 2 k -l ” ” 5

3. <" (h +7

232



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§/& Tick phân truy hồ i - Trầ n Phuf

Giả i

ã j u = x " ^ j đu = nx'1_l dx

[dv = V l - x d x Ị v = J(l - x ) V2 dx = — ( l - x )

+ í x" 1(1 “ x) = ậ- í^ -l - )0 3 ị 3

. Khi đó ta có:

ỉ„ = 4 < l- x ) 3/v

0 3I„ = 2 n(ỉ„ _| - I n ) o ( 2 n + 3 ) l n = 2 nIB„, «=>I n = y ~ r l „ - ,

1 h =2 T T In-1ỉIn-' ==f LzT I»-2; --;I2= 7I' ;V=|io;ĩo = JVĩ^dx =

Nhân các đẳng thức và rút gọn 2 vế ta có: I, = ■ • — — - • — — —ev ' 2 + 3 2n + 1 7 5 3

3. Sử đụng bất đẳng thức Côsi ta có:

, ' (2k + 2> + (2k). 'ĩTTrTĩT ^ ^ o2k +1 =----

———— > v(2k + 2)v2k) => —-— < . =2 2k + l v(2k + 2)(2k)

T _ _ 2 n _ 2n - 2 2 n - 4 4 2 2

" _ 2 n + 3 - ’ 2 n + r 2 n - l : ’” 7 ' 5 ‘ 32n 2n—2 2n-4 4 2 2

x/(2n + 4 )(2 n + 2 ) ự ( 2 n + 2 ) ( 2 n ) V ( 2 n ) ( 2 n - 2 > - Í Ĩ Ã v' 4. 2 .V2 2 v 2 1

V(2n + 4)(2n"+2)V2n + 2 (2n + 2)N/2(n + 2) ~ (n + l)Vn + 2

VĐài 7. Cho /,( - J--— — Tìm hệ thửc liên hệ giữa In và In. J.ỉ (jcj + /)"

; Áp dụng hệ thức để tính /j = [

- .1


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ĩ: Các k ĩ thuậ t tính Hch phân , -r Trầ n Phư ơ ng

<=>2nln+| ~ (2 n - l ) l ,

Đ ặt A n = ( 2 n - 2 ^ I n

=5 48 I5 = 6 A 5■ ■ +•7^4

, or 10571o 48L =10 + — — =

5 32

Bài 8. Cho / = f—i f

XX

' 2"(2n-2)ln'- (2n-3) In. 1 = ^ ĩ (*)

- (2ạ r 3) In_ị = —I f ; Sử dụng hệ thức (*) ta cộ:,,2” "■

n = 5 :A 5 =8I5 - 7 I , = i r .= ± ^ ■ / M

n = 4 : A 4 = ^ - 5 I 1:= i = i . . , . .

n=3:A,=4Ii -3I2=-l- = i ■

n = 2: A2 =2i 2- I 1 = i = |

n = 1: Aj = Ij = J — = arctgx|g ~~7 . ________ _ _ 0 * + :1 , :, , '4 „ .v b ĩ.r, v u

1 35 A , 1Ơ5 . 105 A .6 7 • 35 - .105 ;-1.051' 4 • 3 í s 2 8 1 16 8 16 16 324 •• J 8

320 + 1057C32

320 + 105ir= ^ I < = —

5 1536

— .'Ghửng minh: / ,.) ---- —- - ^

+ «*)" ^ (* * + « * ) " ^

(-!• X ’><V, 2 «——1- ------- ————+ ■'*%n2 ( 2 . 7\n 7w»n


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§18. Tích phân trụ y hồ i - Trầ n Phư ơ ng

Ít/2

ài 9. Chứng mịnh rằngi ĩ = Ị c ọ s n x c ọ s ị in ỷ 2) x )d x = 00

Giãi

n/2 tc /2

= I cosn X COS [( n + 2 ) x] cbí = I cpsn :X(cos [( n +1) x] COS X - sin [(n .+1) x] sin x)d x0 . 0 •••

u/2 ' n/2

= Jco s"+1 xc os[(n + l ) x ]d x - J sin [ (n + 1) x] cos" .Xsin X dx = I, - 120 0

Jt/2 Jt/2ét /, = f.đos',+‘ x c o s [(h + 1 )* ]^ =:—-— [ cos”+1 X d.(sin [(n -r l) x])

. J - n +1 ' v ■ >[ : ■■

*/2 . lt/2- cos""1Xsir. [ ( 1 1 + 1 ) x] ------ —- f sin [ (n + 1 ) x] d (c os n+l x )1 • 1 0 n + 1 J ■- ■ ■■

Ĩ

n + i

. x/2

= j"sin[(n + l)x]cos“ xsinxdx = I2 =3»I = IL—Ij = O'’

a/ 2

ài 10. Chứng minh rằng: I = f cos“x sin[(n + 2) x\d x = ——i n + 1

Giả i .

itỊ2 j[/2 := I cos" xs in [ (n +2 )x]d x= jcos" X Ịsin [(n + 1) x] COS X+ COS [(n + 1 ) x] sin Xj dx

n/2 it/2

= Jc o sn+l xs in[(n + l)x] 'dx + j cos[ (n + l )x ]co sn x sin x d x = Ij + I20 1' ' ■■■ " 0 ”

ji/2 , */2ét / = fc o i“+1 +=- — - f cosn+1 Xd (COS[(n + 1 ) x]i

0 ■ r i + r J - V = ’ r

7t/2 t ■ . .

= — —r cosn+l x co s[(n + l)x i] . +— — fco s[(n + l )x Jd (co sn+1 x)11 +1 0 n + 1 *

Ỉ 1 Ị= - - ------I cos [ (n + l )x ]c o ? ' 'x s in x d x := —-—-Io =>I = I, + 1, -

n + 1 J n + l 2 1 2 n + 10

23.5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







§18. Tích phân truy hồ i -Trầ n Phư ơ

Bài 13. Tính /„ = j x " c o s ( / # i x)dx 1

Giả i

® 1 ® n+1

In = Jxncos(lnx)dx==— — Jc os (ln x)d(xn+1) = —— cos(lnx)

e cosl-1 1 rx'-+

n + 1 n + 1—sin(lnx)dx =

r X

n+1

e COSỈ-.1 1+■..... .

n + 1 n.+ l

1 n+1 jxn+1d[cos(inx1

c

Jx”sin(lnx)dx

Xét J = íx" sin(lnx)dx = —-— fsin(hìx)d(x"+1)1 n + 1 ?

- fx n+1d [sm (ln x )] = - — ------- — I—— c o s ( ln x ) dl ị . n +1 n + 1 Ị X

xn+1 sin (ln x)n + 1

e sin 1 1n +1 n +1

c

Ịx" cos(lnx)dx =e s i n l ___ 1 _

n+1 n+1 n

=>I» -en+1cosl-l 1

n + 1-J„ =

e^’ cosl-l 1n + 1

en+1 sin ĩ ___ Ị_

. n + 1 n + 1

(n + l)2 + l j _e"+lcosi- l e"+1sinl(n + l)2 " n + 1 (n + l)2

=> I„ =(en+1 cosl-l)(n + l) + e"+1 sinl ■ , (n + l)en+1 sinl-e"+1 cosl +1------------ ----------- và J„ = ----------- — -------------

(n + 1) +1 (n + 1) +1

Bài 14. Tính /„ = (/« Jf)" dx (neN, m * -1)- ĩ

Giả i


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§18. Tích phân trụ y hồ i - Trầ n Phư ơ ng

=>In= An+nAn_! +n( n- ÚA n_2 + ... + n(n-l)...3.2Aị + n (n -l). ..3.2.1 A 0

= - [ ĩ+ n + n ( n - , l ) + n ( n - l ) ( n - 2 ) + ... + n ( n - O . . .3 .2 ] + n ( n - l ) . . . 2 . l ( e - l )

A ( n! n! n! n! nl'i(n-i)! (n-2)! 21 ỵ )

ồài 17. Chứng minh hệ thức truy hồi của tích phân sau đậy:

- / 7 — — (.a sin X

dx _ A sin X + B cos X ■X ỉ —— + c I-----■ì"-7 J(a sin X + b COS x)" (a sin X + b COS x)" 1 (a sin X + b COS x )

trong đó A, B, c ỉà những hệ số bất định

Giả i

J _ r dx _______ _ r d ( - a c o s x + b s in x )

(a sin X + b COS x ) n (a sin X + b COS x ) n+I

- a c o s x + b s in x Ị , , \ . í = ------- ——----- rrrr- R-acosx + bsinxjd —(a sin X + b COS x)"+ ' (f

, n - 2

v ( a s i n x + b c o s x ) n't

( a cos X - b sin x )2 dx _ - a COSX+ b s in X_ - a c o s x + b s in x £ ^ |*(aCOSX - b s in x ) dx _ - a c o s x + bsin :

(a sin X + b c o s x ) 11*1 (a sin X + b COSx )n+2 ( a s in x + b c o s x )

I rkacosx-b sinx )2 +(bcosx + asinx)2]-(bcosx + asinx)2- ' ,n + 1) --------- ------------------------------— -------------------------------- -------

( a s i n x - r b c o s x )" +

- a c o s x + b s in x , 2 -2’iT r : A t '

= 7-7-----

" , - (n + 1 )(a 2 + b2) In+2 + (n + 1 )I„

■dx

( a s i n x + b c o s x )

= > ( n + l ) ( a 2 + b 2 ) l n+2

1 .1,1+2 (n + l) ( a 2 + b 2 )

- a c o s x + b sin x

(a s in X + b co sx )"+

- a cos X 4- b s in X

_ ( a s in x + b c ọ s x) "

+ ni„

+ ill.

=>In F- a c o s x + b s in x I

— --------- — ------- —ỵ + ( n - 2) In_2( ás in x + bcos x )”

_______ ỊỊ _____

( n - l ) ( a 2 + b 2 ) [_va s i n x + o c o s x ; J

Bài 18. Chứng minh hệ thức truy hồi của tích phân sau đây với a2 - b 2 5*0

J „ = f _____ g — - = ___ + - f t ; - + € [ _______________ - Ể L ____

(a + b co sx )tt (a + b co sx )"J (a + bc os x)" 1 . ia + bcosx )" 2

t rong đó Ạ , B , c là những hệ số bất định và 2 ắ n e N

239



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







§ 1 9 . K Ỹ T H U Ậ T S Ử Đ Ụ N G S Ố P H Ứ C T R O N G T ÍC H P H Â

/. TRƯ Ờ NG SỐ PHỨ C VÀ SỐ PHỨ C

1. Trư ờ ng sổ phứ c

Kí hiệu tập hợp c = {{a,b)\a,b e i?} lả tập hợp R2 mà trên đó xác định

hệ bằng nhau v à các phép toán tư ơ ng ứ ng sau đây:

/') Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

ii) Phép nhâii: (a, b). (c, d) = (ac - bđ, ad + bc)

iii) Quan hệ bằng nhau: (a, b) = (c, d) <=> a = c and b - d

iv) Phép đồng nhất: (a j 0) = a ; (0, 1) = /

Khi đó c = ị{a,b)\a,b<= là một trường và gọi là trường số phức

2 . S ố p h ứ c

z = (a,b)ec, với ơ ,b eR, là một sổ phức. Sử dụng phép cộng và phép nh

X = (a; b) = ( a , 0) + (b, 0). (ó, ỉ ) = a + bi ; i2 = (0, 1). (0, 1) = (- 1 , 0) E

z = a + b i gọi lá dạng đại số của số phứ c, còn i là đơn vị ảo.

3. Phầ n thự c và phầ n ả o <íủ a sổ phứ c

• Đặt z = a + bi, với a, b e R, thì a được gọi là phần thực của số ph

và b được gọi là phần ảỡ của số phức z

___________________ §79. Kỹ thuậ t sử dụ ng sẩ phứ c trong tích phân - Trậ n Ph


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chư ơ ng-li Các kĩ títuậ t tinh tích phùn - Trầ n Phư ơ ìiị

4. Các phép to á n c ủ a số p h ứ c

Cho zt =«1 + b \ i ; z2 = a 2 + b2i , vớ i a\, b\, a2, bi e R . Khi đó ta có:

° Z\ + Z2 — (ci\ + b\ì) + (ct2 -i-bji) — (ữ \ + Ot ) + (b 1 + b2)i

° 2 1 — Z 2 — (cĩ\ + b \ i) — (ũ7 - hb tì) = (ữ\ ~ Gt) + (b\ ~ b 2) i

ez\. Zi =(ci\ +b\i). (a2 +b2i) = (a\d2 -b\b-Ị ) + (ct\b2 +a2b\)i

' 0 , +b ,i )( a2 - b 2i) alữ 2 +b,b2 ^ a2b{ - a tb2 . V z ^ 0

(a2 + b2i ) (a2 - b 2ỉ ) a ị + b ị a ị + b ị

s. S ố p h ứ c liê n h ợ p

" Cho z = a + bi, với a, b e R, thì z = a - bi gọi là số phứ c liên hợ p của z.

‘ Tính c h ất :+) z = z ,V z e C ; z = z <=> z e R ; z = - z « • z e iR

+) z + z = 2 R e ( z ) ; z - z = 2 ĩm ( z ) ; z • Z = R e2 (z ) + Im2 (z )

+) V z ,,z 2 eC: Z ị+z2 = Z ị+ z 2 ; z, -z 2 = Zj, -z2 ; — \ = ~ , V z 2 ^ 0_ \ z 2 j z2

6. M o d u l e c ủ a sỗ p h ứ c

Đ ịnh nghĩa: Cho z = a + b is C ; a,beR. K hi đó module của z là | z |= v ^ + ư

T ín h chất: +) ỊzỊ2 =Z--Z ; | z | = Ịzị ; ỊzỊ> 0 ; ịzỊ= 0

Zi^ 7 , V z 2 * 0+) Vzpzj s C : |z, •z2|= |z1|-|z2| ;

+) Vz „ z 2 £ C : Ịz , + z 2 | < | z , | + |z 2| ; ịỊzii- Ịz2jỊsịZ l - z 2ị

7. Đ ạ n g l ư ợ n g g i ác c ủ a số p h ứ c


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§.79. Kỹ thuậ t sir đự ng số phứ c trong tích phẫ n - Trầ n Phư ơ ng

k = 0 , n - 1

Với z = a + bi 5É0 (ơ, ồ e R), kí hiệu r = \z\ = Vứ2 + b2 ■

óc (p là góc định hướ ng tạo bời 0 z với chiềú dư ơng trục Ọ x được gọi là

rgum ent cùa z. Neu cp là một Argum ent của z, thì tập hợp tấtcả các

rgum ents của z là Argz = {(p + k27i, k 6 2}. Nếu ọ là một A rgum ent của zoả mãn 0<(p<2jt, thì (p được gọi là A rgum ent chính của z và đưgc kí

ệu là argz, khi đó ta có: Argz = argz + 2k7t, k e z.

ì a = r coscp ; b = r sinọ, nên dạng lượng giác của z là z = r(cos(p + isincp)

T í n h c h ấ t : z = r(,GOS(p + isincp) ; Z) = ri(coscpi + isincpi) ; z 2 = r2(cos(p2 + ìsincp2)

z2 =rIr2[cos((p1+ ẹ 2)+isị n(ọ , +cp2)] ; — [cos((p, - ẹ 2)+isin(<Pị -cp2)] ,z 2 *0

n = r" (c os n ọ + isin ncp); 'ỳfz =V r 'COS —+ k — J + :is in^—+ k — j

Hệ quả (Công th ứ c Moivre): {cos<p + ìsìỉup)" = COS nẹ + isin n ẹ , Vn e N-

Hàm sổ mũ phức

Đ ịnh nghĩa: Vz = X + yi s C , ( x , ye R ) , thi / ( z ) = e" =e* (cosjy + i si nỳ )

Tính chất: e2 0, Vz eC; é1*4'12=e3lei2 ; ^ - = e2rỉỉ, VZ|, Zt € cHàm lượng giác phức

Từ định nghĩa hàm số mũ phức suy ra:

òng thức Euler: eu =c osx + isin x ; e~h = COSX- is in X , Vx ẹ R ;

ệ quả: Cơ sx = ị ( e /X+e~ix) ; sin x = -^:(e'x - e ' ix) , Vx € R (*)

o các vế phải của các đăng tliức (*) cũng xác định khi thay thế xe R bởie c , nên ta có các định nghía tương ứng cùa các hàm số phức Sin, Cosin,

an g , Co tan g : COS z = ~ { e ': + e~': ) ; s ill z = ~ : { e ' z - ế ' 1 ) ;

■ . s i n z J 1 e '~ — e ~ a *_____COS Z _ : e a + S~!T tợ z = = - • —-----• co íơ z - ■ " - = / • -■ - — 7COS2 i e + e sà tz d* - e

243



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trằ n Phư ơ ng

10. Hàm Hypebolic phú’c

ch z = ( e 2 +e~2) ; íA z = -ì-(ez - e ~ z ) ;

t h 2 = Ế ằ L = l ^ £ L ; c o t h z = - Ế —±i Ị L .

ch z ez + e~z s h z ez ~é ~z

11. Logarit cử a mộ t số phứ c

• Định nghĩa: số w được gọi là một logarit của số phức z 0 nếu

• Đặt w = u + iv, với II, V Ễ R => ew = e" (cosV+ isinv) = z

=> èu =|z] và V = argz + 2k7t => w = ỉn z = ln\z\ + (a rg z + k27t ) ì , k e

12. Tích phầ n củ a các hàm có giá trị phứ c

• Định nghĩa: Cho / :[a,b]^>c liên tục từng khúc trên [ứ , b].

liTa gọi ị f ( z ) d z lả một số phức được xác định bởi đẳng thức sau:

a

b b b

ị f iz ) d z = ị R e f ( .z ) d z + i ị lm f ( z ) d z

ữ . a a

Chú ý: Re f ( z ) ; I m /(z) là những hàm số liên tục từng khúc trên [

• Tính chất:b b b

1 2 . 1 . J [ / ( z ) + g ( z ) ] íf e = p ỉe [ / ( z ) + g ( z )] íf e + ỉ j / m [ / ( z ) + a a * a

b b b

• j t f ( z ) - g ( z ) \ d z = p t e [ / ( z ) - g ( z ) ] c f e + i J / » í [ /( z ) - g

à a ab b b

. 3 . X J / (z ) d z = x ị R e f (z) dz + iX ị Im f { z ) d z

a a (I

b c b b b

. 4 . ị f ( z ) d z = ị ý ( z ) d z + ị f ( z ) d z ; Ị / ( z ) d z ắ j j / ( z ) | íf ea S' c ơ a

12 . 2

1 2

244



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§19. Kỹ thuậ t sử dụ ng sẻ phứ c trong tích pìiân - Trầ n Phư ơ

II. KỸ THUẬT S ừ DỤNG só PHỨC TRONG TÍCH PHÂN

Bài 1. Chứng minh rằng: Nếu P(x) là đa thức bậc n thì

ị p ( x )e axdx = ea'c\ ĩ ^ - - ĩ ^ - + ... + ( - i y ĩ - if ) + cJ L a a1 aR+1 J

Giãi

fp(x)e“ dx= — fp(x)d(eax) = — p ( x ) - —feaxd[p(x) ]=— p ( x ) - —fp'ixje®1d J a J a a J a a J

=— p (x )-- |— P '(x) -- fp'(x)e“ dxì=e!ạ aâ a J J

p(x) P'(x)-L/P-W e“ dx

p(x) P'(x) , lV,P(n)(x) + ca a a"

Bài 2. Chứng minh rằng: Nếu P(x) là đa thức bậc n thi

\ , sinax J P\x)cosaxcbc = — p (x )~ p {u) (x)

ĩk

COS ox n, ( ^ P’"(x) PỊ5>(x) , lVk p (u+0(x) p {x) — + — 2— ... + ( - 1) -----—— + ...CC a ơ 2k

+ c

J p Cr)sin ax (ix = ax í W . £ W + ^ - . . . + ( -

sin ax

a a

a

2 ,4 r-a

Giả i

|(2*+1) I

I f + c

Sử đụng công thức Euler cosax = i( e i3X+e iax) ; sinax = -V(eiax -e iaN)


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ỉ : Các k ĩ thuậ t tính tích phân - Trằ n Phư ợ ng

J = j p ( x ) e - iaxdx = e-iaxp(x) P'(x) , lV, p(n) (x)-------------- — + ... + (-1 ) ----- ^77

(~ia)+ c =

-ia (_ia)2

. p(x) P'(x) : P"(x) , ,^-1 . p(2k) (x) , ,ự P (!W)(x)

=> [ p ( x ) c o s a x d x = —(I + J) ; J p ( x )s in a x d x = —( I - j )

Bài 3. Tìm họ các nguyên hàm: I —ị x e*sin x d x

Giãi

Sử dung công thức Euler sinX= -Ặ-(eix - e~'*) và bài 1 ta có:2i

I = Ịxex s i n x d x = - J x [e (1+i)ỉí - e ° - ,)x]d x = - | J x e <1+,)xd x - Ị x e(' -‘h

2i(l+i)x ( X l ) pd-Ox X 1 >

c +

1

+

— c

I 1- ) ( l - i ) 2 J+ c

e*= - — [x (sin X - COS x) + COS XJ + c

7

Bài 4. Tìm họ các nguyên hàm: I = ị x 2e ỵ c o s x d x

Giả i

Sử dụng công thức Euler cosx = r(eix +e ix) và bài 1 ta có:

| x 2ex c o s x d x = — J x 2 [e(1+,)x + e (w)x]d x = -y- Ị x 2e(1+i)x d x + J x 2e(,-


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N






chư ớ ng I: Các kĩ thuậ t tính tích phătt - Trầ n Phư ơ ng

co s(2n + l ) x ei(2"+1)x - ẹ - i(2n+1)x î(2n)x | ( l)k ei(2n-2k)x ,

c osx e ix - e " ix

= Ỷ ( - l ) k ( e i(2n- 2k)x + e - i(2n- 2k)x) = 2 Ỷ ( - l ) k COS 2 ( n - k ) Xk=0 k=0

= » " p s í ỉ í i É i d x . 2 Ỳ ( - I ) k u 2 ( „ - k ) x d x . ỷ l ( - i ) k í ! í % ! ỉ í iJ eosx Ế c S ê A n~k

lĩ Bài 7. Tính tích phân xác định: I —ịco sn x ico sx )” cbc

0

Giả i

COSn x ( c o s x ) " = — ( e ix + e - ix ) n ( e inx + e - in x ) = - ỉ - r Ỷ C Ị ; ( e ^ « - 2 k )x 2n+) /%n+l 11

L k=0

l

: 2n+l

II n^~'^-tkgi(2n-2k)x £ikg-i(2k)x

\k = 0 k=0

= _ L _ L - 2" 2n+I

= J _ _ Ị_

- 2" 2"+l

_k s i n 2 ( n - k )V-”,

^ n-1 ^C kei(2n”2k)x+ T

^k=sO k=

g c ke i(2„-2K)X + g C Ì e K2k- 2. ), ì = 1 + 1 g C k c o s 2 ( n

\ k = 0 k » 0 J 2 2 k= 0

= > I= — + — y c Ị j f c o s 2 ( n -k ) x d x = — + — Vz k=0 0 z z k=0

?r

Bài 8. Tính tích phân xác định: /= ịsin nxisin x)" dx0

Giả i

X - ỉh - ^ H - t ĩ

" 2 ( n - k )

sirinx (sin x) 11= cos COSỈX-—]

n= COS nu+(n-l)—

- \ 2/. .

(eiu + e •“) Ị iịnu+(n-l)|j -i|nu+(n-l)|] j

= 2 ^ e 6

= J _ Ỷ C k ei(n -2k )u ( e i[ nu+(n' 1)2 ] + e ~ i[ m,+(n“ 1)f ] ) /%n+l Z-f nz k=0

,' ,)! 3 + e -{ 2kl,+(n",)2])1 V ’ ^.ki i| 2(n-k)“+(nn+1 n ^

fc=o

c o s ( n - l ) ^ i n; ^ I f c c o s

2” 2" t í2(n - k)u + (n - 0 —

2

248



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Ịsin nx (sin x)" dx = J COS nu + (n - ! ) • ? (cosu)" du0 -7t/2

_ _ 1 n r -= — c o s (n - l) - ^ + — V c * f COS 2 ( n - k ) u + ( n - l ) —

2 n 2 2 " à L 2 J

Bài 9 . . Tính tích phân xác định: / = Ịe~m (cosx)2” dx0

■ ______ _ _______ §Ỉ9. Kỹ thuậ t s ử dụ ng số phứ c trong tịch phân - Trầ n Phư ơ

du = — sin-2"

Giả i

—ax

e-»(cosx)2n = í ~ ( e ‘x + e- y ,‘ = V Z C2ne~ - a \ _2n2n e i(2n-2k)x

,2n

e “' ~ Ĩ F

22'1

= £ -o2n

L k»0

.k _ì(2n-2k)xC L + 1 ; c ị>k=0 k=n+l

CL +EcLe'(2n-2k)x+ X c2knek=0 k=0

c 2 + s <?2 [ei(2n~2lí)x +e"i(2n_2k)lt] k=0

~i(2n-2k)x

e

: 22n

n-v C"n+ 2 y ,c L cos2(n - k)X

k=0

1= Je-ax (cos x )2n dx = Ị e-ax dx + y ] C;n Je -ax c o s 2 (n -k )x d0 2 0 2 k=0 0

+ ; Ik = Je-“ cos2(n-k)xdx* a ^ K=o 0

ik=■Jẹ -“ cos2(n-k)xdx = — Jcos2(n-k)xd(e_ax)0 a 0

1 2lỉ


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chirơ ns /■• Các kĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

\ - z 2™ 4(n-k> 2 f e-ax COS 2 (ri - k) X dx = ỉ - ĩ — - 4(n k) Ik0 a a2

, 4(n-k)21+ , ■l - e - 2” . r . a ( l - e - 2a" )

Ik - <=> ía 4 ( n - k ) + a :

k ạ( l - e ~ 2aft) _ 1- e~2a?tC L + 2E

<4a2

i ố 4 ( n - k ) 2 + a

Bài 10

I cs- (l C-^)| i- Y c !ĩ _ a(l- e } : J - Z ị l2-” a 22"-, ầ ? 4 (n-k)2+a2 ' 22na

K

■ Dùng định nghĩa tính tích phân 1 = ị l n ( ỉ - 2 r c o s x + r2)dx ; |ri >0

ịTích phâ n Poat xông)

Giả i

Vì f (x) = ln(l - 2rcosx + r2) liên tục trên [0,7ĩ] nên f(x) khả tích trên [0,7t

Xét phân hoạch chia đoạn [0,7t] thành n phần bằrig nhau bởi các điểm chi

xk= — ;k =0,n . Trên mỗi đoạn [xk_l5xk] chọn ị k =xk = — 6 [xk_,,xk]

kí hiệu độ dà i [x k , , x k] là Ak = x k - x k , = —;k = l , n . Ta cón n n

1 - 2rcosx + r2 = (r -e ix)(r-e-ix) => f (x) = In (r-e ix)(r-e-ix) . Khi đó

1= íln(l --2rcosx + r2)dx = lim y , f(x lt)Ak = lim —;T ln (r-eiXt)( r -e _iJ n-»+eo ị - Ị n->+oo ft £ - »

« í * > . , Í - i - V y !n\r-e " /\ r-e " /= lim —V ln \r-e " A r - e " ì lim 711


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§20. Tính tích phân xác định bằ ng định nghĩa - Trầ n Phư ự ỉ i'*

§20 . TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH BẰ NG ĐỊ NH NGHĨ A

ÓMTÂT LÝ THUYÉT

Định nghĩa:

ả sử hàm số f(x ) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b]. Xét một phân hoạchbất kì của đoạn [a, b\, tức Ịà chia đoạn [a , ồ] thành n phần tuỳ ý bởi các

m chia: a = x ữ <x, <xn=b . Trên mỗi đoạn [xk.j,xk] lấy bất kì

m £k-e [xk_,, xk] và gọ i Ak = xk - xk_ị là độ dài củ a [x k_1, xk] . Khi đó:

/ ( ^ ) A =/U i)A , + f ị ị 2) a 2 +... + / ( ^ ) a „ gọi là tổng tích phân của

m f(x) trên đoạn [ữ, ố]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch 7t,khoả ng chia n và phụ thuộ c vào Cách chọ n điể m ậ k-

u tồn tại lim V f ( ị k )A k (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là Ma xák -*0 ■“ v

k=l '

b

h phân x ác đ ịnh c ủa hàm số f ( x ) t rên đoạn [a, b\ và kí hiệu là: ị f { x ) d xa

i đó hàm số y = f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]

Điều kiện khả tích:

ới mỗi cách chia đoạn [a, b] bởi các điểm a = xữ <x J <... < x„_ị < xn - b .

t mk = in f f ( x ) ; M k - su p /ix ); S J1= Yj mkầ .k= Y jM kAk;(ũ k =M k -m k xe A t • xs A t k=l : k=\

i đó điều kiện cần và. đủ để hàm f(x)

khả tích trên đoạn [ứ, ỏ] là:n _

lịm y CO, A, nhậ n giá trị hữ u hạ n hay lịm S . = lịm s „* * . . . ■ Max |Áị|->0 .

c hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn

n [a, ồ] và cá c hàm đơ n điệu bị chặn trên [a, b'\ đều khả t ích trên [a, ỏ].

251



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







**ĩdxBài 3. Sử dụng định nghĩa tính tích phân / = {— (0 < a < b)1 X a

_ __________________ §20. Tinh tick phân xác định bằ ng định nghĩa - Trằ n Phư

Giả i

Vì / (* ) = — liên tục trên [a,b] nên f(x) khậ tích trên [a, b]. Xét phân ho X

bất kì chia đoạn [ữ, ố] bởi các điểm a = x0 <Xj <—Xk_Ị <xk <:.<x„ =b . T

mỗi đoạn [xk_j,xk] chọn điểm 4k= /xk_ịxk G [xk_j,xk] và kí hiệu độ

của các đoạn [xk_ị, xk] ỉà Àk = xk- xk_j. Khi đó:

1= f í r = lim J f ( ậ k)Ạk = lim ị f (Vxk-ixk ) A k = lim Ỹ , ' J v z *-"4 ' ' n-*+*> vv ' • n->+oo0 * k«l k=l k=l

='i-Ẻí—" ^ t í U k - i * k j n^ v x 0 x j a b

bBài 4. Sử dụng định nghĩa tính tích phân 1= ]*“<& (ot * -1;0 < a < b )

\ s a

Giả i

Vì f ( x ) = x á liên tục trên [a,b] nên f(x) khả tícỊi trên [a,b]. Xét phân hoạ

chia đoạn [a,b\ bởi các điểm chiă x0,xj,...,xn lập thành một cấp số nhx0=a;xk=x0qk=aqk;x„ =b = aqn. Trên mỗi đoạn [xk_Ị,xk] chọn đi

Iĩ-1

ị k =xk_! = a(Jì) n e [xk_|,xk] và kí hiệu độ dài của các đoạn [xk_j,xk]

ị ị f


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng /-• Cúc k ĩ thuậ t 'tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

t r ì im a1 a - f l ■ ■

) _ n i ... « a+1 \ ị b Y*

1 /, a + 1 a + 1 '.«/* ỉ ,

In — __ a

/» £a

a ‘ h ylTl _ ^ = Ăatl ~ q a , i

_ a + lL\ữ / J a + 1

x /2

Bải 5. Sử dụng định nghĩa tính tích phân -/ = j"sin X iỉx

0

Giả i

Vì f{x)= sinx ỉiên.tục trên 0,— nên/(xj khả tích trên 0,^ . Xét phân ho

chia đoạn 0 , £2

thành n phần bằng nhau bởi các điểm c

xk = — ;k=Q,n . Trên inỗi đoạn \xk_ị, xk] chọn điểm 't,k —xk = e[x<r_1

và kí hiệu độ dâi của các đoạn [**-]»**]

= x k - x k-\ =k % ( k - \ ) n TU . 7———------- :— = — ;k = \,n .2n 2n 2 n

Khi

f sinxdx= lim f ( x k)Ak = lim ^ — siffr —= làn I ——’JT-sm—, 44 2n 'I-** 2n

7t= Um

M-»+CO

ít2w

= lim «-*+«>

/,1 sỉi % ' nì

sin lỵ 4

ftr r a f

4n) /

r 1 : \


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§20. Tịnh tick phũ n xác định bằ ng định nghĩa ■*-Trầ n Phư ơ ng

ét phân hoạch chia đoạn [a, ố] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia

= a + k ~ — - ; k = 0 ,n . Trên mỗi đoạn \ x k..v xk \ chọn ị k = xk e , xk Ị .

b - a _ b - a

n nọi độ dài [xk_x,xk\ là A* =xk -x*_i = k — ữ -(ấ:-1)

n

= ị c o s x d x = l ì m y / í xk ) à k = lim - — —COS [ a + k - ~ a \ M k~i n ' n I

’ ' . ( ( , , f 3 (ỏ -a )), „ , v _ sin \a+ (n + i)----- \^s in \a+ —~------. b-a -£p I . b —a \_ 71 b ~ a V n ) V 2n )l im ------ > cos a + k - — - = l im ------------ -------------------- —--------------------- -

w-i-wo 77 \ n ) n -^Ko YI b — Qk-l - :—

{ ( í' \ b - 0 \ • • f 3 (Ồ —iof)ũ n\ a + \n + \) ------- - 5 / « a + ------------

\ n ) V 2n )

i 7. Sự dụng định ngh~" fính tích phân I = ị e xdxĩ

2sih-2 n

=sin b —sin a

Giả i ;

f ( x ) = ex liên tục trên [1,2] nên f(x) khả tích trên [1,2]. Xét phân họạch

, , 1 ' k ■——ia đoạn [1,2] thành n phần bằng nhau bội cáe điểm.chiaxk= l+ —;k=0,n.

. n

ên mỗi đoạn [**_!,:**] chọn điểm %k =xk =1 + —e[xit_Ị, ] và kí hiệu độ

của các đoạn [■**_],Xi] là Ák =xk - x k_ị = — ———- = —;k = \,n . Khi đó:n n n

= limrt—»+05

n ( l " •+-[ex dx= l im "V/ ( x . ) A j . = lìm — ’ e "

( e ^ ■ ( > ) '■ - 1

í /> JL - - ẳ

limn —>+CO

^ k - íe.e1= lim

n -> +C0 ^ gl /" _ Ị

V" *-! y

e.e1/n e - 1= lim

n -* +00V. « e1/n - 1

Um e^n : limn —>+00n— +eo 1

V n J

e 1" - 1= e (e - ]) (é° : l) = e (e - 1)

255



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







§■20. Tính tích phân xác định bằ ng định nghĩa - Trầ n Phi

Bài 4. Chứng minh: f { x ) - ị e x \ khả tích trên [0,2] và tính jl<?* j<£e0

Giả i

f ( x ) = [ex ] bị chặn trên [0 ,2 ] v à gián đoạn tại 6 điểm ln2, ln3, ln4, ln5, ln 6,

nên f(x ) khàtíchtrên [0, 2]. Ta có: [er] = it, Vxe \lnk,ỉn{k + 1)];& = 1,6

In 2 In ĩ In 4 InS //16 ĩ n l 2

/ = Ị [ e* ]đx+ Ị [ ex ]dx+ ị [ e x]dx+ ị [ e x]dx + j [ e* ]dx+ J [ex ] í ử + Ị [ex0 ỉn 2 lit 3 Ịfí4 in 5 Ỉn 6 in l

ỉn 2 in 3 Ỉ n4 /«5 Ỉ n6 ì n l 2

= J dx + 2 J dx + 3 f dx + 4 J dx + 5 ị d x + 6 ị d x + 1 ịcbc0 ỉn 2 /;;3 /n 4 /ff5 /w6 /«7

= Ỉ n2 + 2ln — + 3>bi— + A ln ~ + 5 ỉ n - + 6 ỉ n - + 7 ( 2 —/«7> = 14 - /«(7 .')2 3 4 5 6

6

Bài 5. Chứng minh: / (* ) = [*].$/«— khả tích trên [0,6] và tính ị/(x)rf6 ề

Giãi

7ZX f ( x ) = [x]s in— bị ch ặn trên [0, 6] và giá n đoa n tai 5 điểm 1, 2, 3,

6

nên f ( x ) khả tích trên [0, 6]

6 , : 1 3 . 4 5 6/ = jLr]s/w— dx= j/0c)<£v + ị f { x ) d x + ị f {x ) d x + ị f { x ) d x + j f ( x ) d x + | /( x )

0 ^ 0 ! 2 3 4 5

2 3 4 5 6f . n x , - f . XV , „ f . JCC , . f . , f . 7 X .


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§20. Tính tích phân xác địith bằ ng định nghĩạ - Trầ n Phự ợ ng

( x ) đ x = ^ — |[ÌOx]ífe + — j"([l0p^]-10 [l0x])cfx+ :-jife .

= ị x cỉ x + |[ l OOjc] dx - J[l Ox] dx

= - + — ------ — (1 + 2 + ... + 9 9 ) - — •— ( ]+ 2 + ... + 9 ) = -2 100 100 100 10 2

to nếu X vồ tỉ ị m , n 6 N

i 9. Cho hàm số Riman cp(;t) = < , trong đó <, — nếu X - — \[m,n) = \

lfí n *• '

Chứng minh rằng: <p(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn bất kì.

Giả i

sẽ chứríg minh tpột) khả tích trên đoạn [a, b] hữu hận bât kì. Chia đoạn

b\ thành n phần tuỳ ý bởi eác điểm ch ià :!a = x0 < X| <x „ - b .

i A; = X ị - XM là độ dài của [A(]= Ịíw ,ít]. Đặt mt = ìn / ị f ( x ) Ị ;; : x e A j . ■

-sup{f(x)};(ừ ị -M ị -M ị . Vớị số tợ nhiên kó nào đó (k0> 2), xét tập hợp' .veAj

= {l,2,...,/:0} . Gọi ak là số giá trị của m thuộc đoạn [ka,kb],{ 1 < k < k 0)

ễ thấy đẳng thức (p(x) = •£■ nghiệm đủng không quá aic điểm. Nếu lầy ko đủ

n sa o ch o , a k 0 th ì v ớ i b ấ t kì ph ân h o ạc h củ a đo ạn [a, ỏ] , đằng thức

= — nghiệm đúng không quá 2k0ak đoạn. Nếu n > k0thì —< 77-, do đóíc n K q . . „

chọn phâri hoạch 71 ch ia đoạn [a , ố] thành no phần (n0 > 2k0ak Ị thì nhận

ợc không lớn hơn 2kòa1. đoạn của phân hoạch mà < (ủ; < 1 và ©j < —0 k0 k0

n các đoạn,còn lạị của phân họạch. Giả sử đoi với phân hoạch ụ thoả.mãn

ều kiện Aị <8 (5 > 0 cổ định), khi đó lấy tổng theo tất cả các đoạn của

ân hoạch thì có ựớc lựợng 's ơ } ,Á l = co (A(+ ^ (ùịAị < 2k0ak 5 -r-• i»0'; . (Ù< <ũ j<r*• ‘ ■ ’ 1 kn

25?



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ớ ng I: Các kĩ 'thuậ t titíỉ t tích phấ n —Trằ n Phư ơ ng

Ve > 0, 3 kữ > ĩ^-—— và lấy phân hoach 7t' sao cho s < — thì 8 4k ữ ako

b

=> cp(x) khả tích và ta có thể chứ ng minh đư ợ c kể t quả JcpGc)íừ =

a

_ _ - _ _ í® nếu'X vô tỉBài 10. Cho hàm số Dirichlet D{x) = y

(l nếu X e Q

Chứng minh rằng: D(x) không kMtích trên mọi đoạn hữu hạ

G U I

Ta sẽ chứng minh D(x) không khả tích trên đoạn [a, b\ hữu hạn bđoạn [a, b\ bởi các điểm chia: a = xữ <X ị <... < xn_t < xn = b . Gọi Aj

là độ dài của [a,] = [*;_!, Xị]. Trên mỗi đoạn [**_!,**]■ nểu lấy bất k

vô tỉ, ị k e[x*_,,x*] thì lim Ỷ D ( ^ k ) Ak = J i m nỉ ° A t - ° 0J MaxA,. -»0 7 “ 7 v Maxầ u -»0 T“7

* k - 1 /fe=I

Nêu trên mỗi đoạn [**_,,:**] lấy bất kì điểm hữu ti, e \x k

lim Ỵ 'D ( ịk )Ak = lim Vl.Aj. = b - a (2). Từ (1) và (2) suy Maxầ u ~>0 “ T* Max At. ->0

* k=ỉ * fc=l

nlim y )à4 phụ thuộc vào cách chọn nên D(x) không kh

k _>0 k=) MnxAr -*0

Các bàt tập dàn h cho bạn đọc tự giai:

Bài 1 . Chứng minh rằng: / ( X ) = —- Ị—J , * 0;/(0) = 0 khả tích

Bài 2. Chứng minh rằng: /Gt) = sgn^sin— jkhả tích trên [0, 1]

ị - x nếuxvôtỉe[a;Z>]Bài 3. Chứng minh /(*) = < không khả tích tr

[X n ế u x h ữ u t ỉ e [ a , ố ]



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§21. Các ứ ạ ng đặ c biệ t c«a tích phân xác định - Trầ n Phư ơ

§ 2 1 . CÁ C DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍNH PHÂN XẲC ĐỊNH

Mộ t số dạ ng tích phân trong 7 dạ ng tích phân ở mạ c này khó tỉnh và không tính đư ợ c nguyên hàm như ng nế u thể cậ n hợ p lý thì tinh đư ợ c giá trị tích phâ

I. DẠNG 1: HÀM só DƯỚI DÁU TÍCH PHÂN LÀ HÀM CHẴN, HÀM LẺ

1. Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm chằn và liên tục trên đoạn [-a , a] thì

1= J/Gc)dx =2 J/(jc)dx-ó ! 0

a

•Mệnh đề 2: Nếu f(x ) là hàm lẻ và liên tục trên \-a ,ã \ thì /= J/(x)đx =—ũ

C hử ng m inh

1.1= ịf(x)dx= J / ( x ) í& + ị f { x) d x= ị f ( - t ) d { - t ) + ị f {x ) dx-a -a '0 a 0

~ - ị f { t ) d U ) + ị f { x )d x = ị f ( t )d { t ) + ị f (x ) d x = ị f { x ) d x + ị f ( x ) d x = 2 ị f { x ) d

ã , 0 0 0 0 0 0

Í J = ị f { x )d x = ị f{ x )d x + ị f{ x )d x = ị f ( - t ) d ( - t ) + ị f{ x ) d x-á ~a 0 a 0

= ị f (x ) d x = - ị f { i ) d ( t ) + ị f ( x ) d x = - ị f { x ) d x + ị f { x ) d x -

0 0 0 0 0 0

2. Các bài tậ p mẫ u minh họ a:71/3

•A/J= J (COS x )7 cỉx. Do [cos(-x)] = (cosx)7, Vjc => (cosx)7 là hàm chẵn- l ỉ Ị ĩ

ĩt/3 . tc / 3 ĩt/3

=> A, = J (cos x )7 đx = 2 J (cos x )7 dx = 2 J (co s2 x ) cosx dx


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chiroitij I: Cúc kĩ thu ậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

° (bcz= k f — dx + ) - T 7 - à z * l + Ạ . -- j X- + Í jỊ X +1 j Ịx 2 +1

Do - - ~x}~— = —ĩ — , y ' x e | - l , l l ’=> — — - ìà hàm chẵn/Khi đ ồ :( - x ) +1 X +1 X +1

, = , J ^ ì = 2> ( * 1 + 0 - 1 d* » 2 j f x ‘ - *■ + 1 - - j i - Idx0 X 1 0J X +1 0J l x 2 + l )

X5 X3 ( 1 1

2 + X - arctg X = 2 ~— —H _ 5 3 _ n V5 3

M <

, X5 X 3 ____ 1 ( 1 1 ,5 1^ 2 6 71

= 2 ——- - ~ + x - a r c t g x = 2 - - - 7 + 1 - — — 5 3 J 0 . V5 3 , 4 ) 15 2

Do = V x e [ - U ] là hàm Iẻ= > J = ' í - ^ - d x( _ x ) 2 + l x 2 + l . L x + 1 4 * * 1

............................26 71Vậy A, =1 + J = —

2 15 2

“/4, = J.V2 {s inx + \ l a 2 - -V" ) ( lx (a> o)-íi

J a : __________

A, = J x 2 s in x d x + J x 2 V a : - X 2 dx = I + J

-a -a

a Do (-x)2sin(-x)=-x2sinx,Vxe[-a,a] => x2sinx là hàm lẻ => 1= Jx2sinxd

-a

Do í-x)2 \ja2 -( -X .)2 = x2Va2 - X2, Vx e [-a, a] => x2Va2 - x 2 là hàm c

a __________ . a __________

Đ ặ t X = a s i n í = > A 3 = I + J = J = J x 2 V a 2 . - x 2 d x = 2 J x 2 -\/a2 - X 2 d x


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




ị .==. ị[ /« :(x.+ 4 l -X *) ] dx. . . .

o [ l n ( ( - x ) + Ậ + ( - x ) 2 ) = [ ln ( V l + x 2 - x ) ] = Ị ~lnf 1 —

\ ^ ĩ+ x 2 + :

[ l n (x W l + x2) = (- l ) 2007 [ ln(x + s / l'+x2)]2 = - [ ln ( x W l + x2)]

r , _________,-|20 07 . ! r , : _____ __-12007 ■

> [ln (x + Vl + X2 là hàm lẻ => A4—j*|_In(x + yl + X 2 )J dx = ọ :

A , = ĩ ị X2 + COS 6x + s i n — sin — 1 In ị ị — — \ d x J/V 2 2 ) \ 2 - x )

ặt f { x ) = ị x 2 + cos6x> sin^ sin — j + * j =>f(x) liên tục trên [- 1, ỉ ] và

(-x) = ị ( -x )2 + COS(~6x) + sin —— sin— ì ln ị — -1- ì .V 2 2 J K2 + x j

í , , . 3x x Y ( 2 + x ) ' ( 2, . 3* . Xs), ( ĩ + x' \ he +c os 6x + sin —-s in — In —:— = - \ x +C0S0A: + Sin—r s in ^ In —

2 2 J K 2 - X J V 2 2 ) \ 2 - x J

/( -x) = -f(x) => f(x) lè => As = ị x 2 + cos 6x + sin— sin —j lttỊ — —jdx = 0

V X 4 J X S - X 3 + -V - siitx ,A = -------- J — ------TỈ~Ĩ-----;— ----------dx

( s inx) + (cosx) \ x + x +1 + COSX

ặt /(* ) = —— ----- n-{l X4 ~ X2 + * ~ SmX =>f(x) liêhtụctrên [-1,1]( s i n x ) + ( c o s ^ : ) V X + x + 1 + C O SX

( - , ) . — ị p E < 2 Ị Ẹ h Ẹ 5 „ / w ; v x e [ - , , i ](s in- .v) + (c o s- x) ,\Ị ( - x ) + i - x ) -rl + cos(-„v)

1 4 n •r/ > 1- J. » f X J x —X + x - s i n x , „

>/M là hàm lẻ => A6 = [ 4 4 f , , ; dx = °. 1 (sin x) + (c òsx ) \ X + X +1 + COSX

__________________ §21. Các ăạ ng đặ c biệ t củ ạ tích phân xác định - Trầ n Phư ơ ng

263



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t tinh iich phấ n - Trằ n Phư ơ ng

II. DẠNG 2: HÀM số D ư ớ i DÁU TÍCH PHÂN LÀ THƯƠNG CỦA HÀM CHẴN

1. Mệnh đề: Cho f(x ) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-a, a]

Khi đó ta có: /= f" - --dx = f/(x)dx' J * l + 1 0J

Chứng minh

}antx+l mx+1 0mx+l

Đ ă t x = _ t I = °f f , ( x ) d ( x ) = ° r f ( - t ) d ( - t ) = ar f_ (- t) d t = W f <

- í m‘ +1 a m~' +1 0 - V + l 0 m '

m

armxf( -x )đ x armxf(x )d x . . . . . .= -----7 - 7— = ---- 7 ^— (2). Từ ( ỉ ) và (2) suy ra:0 m + 1 0 m + 1

n a f m X f ( x ^ j V J _ a f c( \J ■í i H x ) ể K 0 0 0

2. Các bài tập mẫu m inh họa:

„ _ r dx" l u * + / ) ( * * + I>

f (x) = ——— là hàm chẵn, liên tục trên [ - 1 , 1 ] nên theo mệnh đề X +1

_ V dx V dx ■|1_ rc

B |- j ( ? 7 Ì ? 7 I ) = / ^ T - a" ,8x|- 4

. B - ỉ Ẻ L

-1/2 (ex + ì ) ' ỉ ĩ - x 2

/(x) = là hàm chẵn, liên tục trên I i2 ’ 2.

nên theo mệnh

'/ỉ J 1/2g = f dx I

- 1/2( ex + l ) V l - x 2 0 %/l-x2

dx ___ . ]i/2 II= arcsin x|„ =

264



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§21. Các ăạ ng đặ c biệ t cũ a tích phân xác định - Trầ n Ph

*1? 2 \ • Iz X \sinx\

-nỊĩ 2006x +1<ix

/ ( x ) = X2 Isin x| là hàm chẵn, liên tục trên £-■ 2 >2 ^ n®n theo m ệnh đề ta

ĩt/2 2 Ị • Ị «/2 k /2 7/2

_ f x ————<Jx — f x 2 |s inx |dx= f X2 s inxdx = - f x2d(cosx)-jì/2 •ÍUUO + 1 0 0 0

J2 it/2 it/2 n/2= - x 2cosxlo + Jcosxd(x2)= |cosx(2x)dx = 2 ịxd(sinx)

0 0 0

Jl/2

= 2x sin x |ỉ/2 - 2 J s i n Xdx = 7t + 2cosx|ỗ/2 = 71 -20

*/í

-ã /2

sinxsin2xcos5x

~ F T Ĩdx.Đặ t / ( x ) = s in x s in 2 x c o s 5 x ; x e 7t T

2 ’ 2.

> f ( - x ) = s in ( - x ) s i n ( - 2 x ) c o s ( - 5 x ) = ( -s i n x ) ( - s i n 2 x ) co s 5 x = f ( x)

> f(x) là hàm chẵ n , li ên t ụ c trên ^“ '2’"2 n ên th e o m ệ n h đ ề ta c ó:

n/2 . _ ir/2r sin x sin 2 x co s5 x , r . . ^ _ ,4 = I ------ — ——dx= J sinxsin2xcos5xdx

-ìí/2 e +1 0*/2 j7t/2

= — J (co s X - COS 3x) COS 5x dx = — J [ (c o s 4 x + c o s ó x ) - ( c o s 2 x + co s8 x)2 0 4 0

1 : 11 : o . 1 : o . —sin 4x + —sin 6x - —sin 2x - sin 8x4 6 2 8

ir/2

= 0


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t tinh tkh phân - Trầ n Phư ơ ng

Vxln(x W l + X2 ) , \ x ìn { x + ylỉ + x 2 ) _ V x l n ( x W l + x2)B: = ---- —----dx = --------------- =====-----dx.= ----- r ..

-J, ( 3 x + l ) V l + x 2 0 V l + . x 2 0 V Ĩ T ^( 3 X + 1 W 1 + X2 0 v r + x -

| ln( X + sỊ Ĩ+ X 2 )d(V'l + x2 )= V Ĩ + x2 ln(x + V Ĩ Ĩ ? I - jV l + x2d In (x + Vl + x() 0

V V i+ X2>/2 In (l + 7 2 ) - j y + dx = V2 ln(l + V2 ) - xfò = V2 ln ( 1 + >/2 ) - 1

oV l + x 2 '

ojg = — í i íZ;c2 X + 1 . ' ; . ■ ■ ■

f( x) = x2 ln(x2 + 1) là hàm chẵn, liên tục trên [-1,1] nên theo mệnh đề ta

B6= Ị — ln^*2 — dx = jx 2 ln(x2 + 1) đx = —jìn(x2 + l)d(x3)-1 2 +1 Q 3 0

: —x:’ ln (x 2 + 1)3

fx3d [ln (x 2 + 1 ) ] - —Ịn 2 - i - . í x 3 dx3 ỉ ' 3 f j ,x2 + l

1 ^ A ± 1 a . - ỉ 0 - 2 _ , , _ J _ 1- l n 2 - -3 3 nJ x 2 + l 3

■X + arctg X

= ĩ \ ỉ - X I

dx = —l n 2 - ỉ f i x 2 - 1 + - —ỉ— ì d x3 3 Ặ ■ x2V l J

1, _ 2 Í 1 , 71 1 1 . - n 4= - l n 2 - — - - 1 + - = - l n 2 - - + -

0 3 3 U 4 ) 3 6 3

- 1/2

f ( x) = xln

ex +1 ílx

1 + X

1/2 xỉn

- X

1 + X

1—X

- 1/2

là hàm chẵ n, liêri tụ c trên £ ” 2 »'2 ] ’riêri theo mệ nh đề ỉa

dx= ] x ln Ị ỉ ± j Ị dx = I J l n ( Ị ^ ) d ( x 2) V


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§21. Các dạ ng đặ c biệ t c«a tích phân xác định - Trầ n Phư ơ ng

n n 2 ’ 2 _

nên theo mệnh đề ta có:

ĩ t Ị 2 7

■ f X - C O S X .— —— d x .

J ex + 1-X/2

x) = X2 cosx là hàm chẵ n, liên tụ c trên

Jt/2 2 nỉ - tc/2

= ị x COSXdx = J x 2 co sx dx = j "x2đ(s inx )-x/ĩ e + 1 . 0 0

Ị2 */2 2 '”/2- 2x2 sinx|o - J s i n x d ( x 2 ) = ----- 2 J x s i n x d x = — + 2 J x d ( c o sx )

_2 */2 2 _2t - ____ | J t/ 2 - f . 7 1 . - . | j r /2 71

— + 2xcosxló - 2 I cosxdx = —— 2sinxló . = — - 11.4 J 4 4

^— (cosx) Q ặt f (x) = [(sinx)8 -(c os x )8]|x ị; x e [-It ,It]- i 2 + 1

có f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [-71,7ĩ] nên theo mệnh đề ta có:

» '([(Sinii)- _ (cosx)*]|x|dxi 2X+1 0J : .

(sinx)8- (cosx)8=[(sin x)4-(co sx^Xísinx)4+ (cosx)4]

s in 2 X + cos2x ) (sin 2 X - COS2 x ) [(s in 2 X + COS2 x ) - 2 sin 2 X COS2 x ]

' f , 1. 2 - ' } „ f , I-cos4xV c o s 2 x 1 - —sin 2 x = - c o s 2 x 1------- :-------

I 2 J I 4 J

-3 1 7 1— c o s 2 x - — ( c o s 6 x + c o s 2 x ) = - - r COS 2 x - — COS 6 x4 8 : 8 8

* y ^ I rj ĨI Ị Ị

= —- [xco s2 xd x-—Fxcos6xdx = —— |xd(sin2x)——[xd(sin6x)8 Ỉ 8 * 16 X 48 Ỉ

0 0 0 0

>7Í I 7t

|sin2xdx- — |sin6xdxỈ 48 J0 016 16

267



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






X a

t b

dx - d

III. DẠNG 3: TÍNH BÁT BÍÉN CỦA TÍCH PHÂN KHI BIẾN s ố THAY ĐỔI CẬN C

b b

1. Mệ nh dề : Nế u f ( x ) liên tụ c trên [a, ỏ ] thì ị f ( x ) d x = ị f { a + b -ã ã

Chứ ng minh

Đặt t = a + b - x ' , x e [ a ,b \

b a b b

Jf (a + b -x )d x = -J f ( t )d t= Jf( 't )dt= Jf (x)dxã . b a a

2. Bài tậ p mẫ u minh họ a:

3 Ị ( I + )Tính Cj = ị i n ự + t g x ) d x ; C 2 = ị —----- ~y~dx

ữ . . '• 0 l + x .

Giả iĩ

Đặt /(x ) = ln(i + tgx) => fỊo + - j - x j = fỊ^ --x j = ln l + tgỊ-|--x

= ln 1+ t g 4 ~ tg = In í 1 + 1 - -^ . - . ]= In í - —2 — l = ln 2 - ln ( l +l + t g f t g x I l + t g x j \ l + t g x j

V 4 )

ĩt/4 ít/4 ĩ^4

=> C] = J ln ( l + tg x )d x = J f (x ) d x = J f í o + “ x jd x = | [ l n 2 - l n ( l0 0 0 0

íi/4

= xln2|ỗ/4- Jln(l + tgx)dx= —In2-Cj =^2Cj = —ln2 =>Cj 0 ^

7f / / l ( i + x)• C, = P u ỉ ' d x . Đăt X = tgt, khi đó:

ỉ ỉ + xc *

ị l + x ị 1 + tg t COS t

= 1 ln(l + tgt)dt= I ln(l + tgx)dx = C1 = —ln20 0 ^

X 0

t 0 àx d t /COS2

268



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







Chírơ iiỊỊ ỉ: Các k ĩ thuậ t tinh tích phân ^ Trầ n Phư ơ ng

4 D: = ^ ( tg 2x)2007 + (sin 6 x )2M9 ] dx0

Ta có: / (x) = (tg2x)2007 + (sin6jc)2009 tuầ n hoàn vớ i chu kì — nên

ĩ - ĩ2 4

: = I Ị(tg 2 x )2007 + (sin 6x)2009]dx = I [(tg2x)2007 + (sin 6x)2009 ]dx0-5 -Jt/4

4

ĩl/4

nên J f (x)dx = 0 '=> D? = 0' ■-rt/4

D

Do f( x) là hàm lẻ trên đoạn

1 D-.

JL JL 4 ’ 4.

200171

= J \ / i - COS 2x dx0

Do f{x)--4~\ - COS 2* là hàm số !iên tụ c và tuầ n hoàn chu kì T = 71nên t

2ĩc 3jt 2000JI 2007JI

|/ (.v)dx = | / (x )d x = | / (x )d x = ...= J /Gc)dx.= Ị / (x)d x0 7C 2 j i ■ 2 0 0 5 * 2 0 0 6 ít

07 tt j i 2 j i 2006 tt 2007* Jt

Ị /(x )d x = J/U )dx+ J/(x )dx + ..,+ J /(x)dx-h J /Gc)ck=2007 J/Ọ0 O n 200511 200Ổ7t 0

JVl - cos.2x dx = 2007 \Í2 ịsin Xdx = - 2 0 0 7 V2 cơs x|o - 40140 . 0 ■

0

2(X)7tt

D , = 2 0 0 7

Sít 14

>D'4 = j T ~ ~ r 7 ^ / U ) = — 4s m 2 x 4 ■ ; XE ' C ỡ i X + Í//Í X COS X + sin X CỚ Í X + í/V í X

sin 2x

_ 4 _

sin 2*


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§21. Các ăợ ng đặ c biệ t của tich phân xác định - Trầ n phư ơ ng

DẠNG 5: HÀM số DƯỚI DÂU TÍCH PHÂN cộ TRỤC ĐÓI XỨNG THẢNG ĐỨNG

Mệnh đề: Cho hàm số f(x) liên tục trên [ a,b] và thoà mãn điều kiện:

(a + b - x) = f (x ),Vx e [a ,b ] . Kh i đó ta có: ị x f (;c)dx = ^ — J / ( x ) d x(t a

Chứ ng minh X a b

t b a

dx —dt

ĩ I == a + o - X ; xe la, o\b n

V ’(x)d x= ịxf(ct + b - x)dx = - J( ữ + ố - í ) f i t ) dto b . . . . . . . ----------------------------------------—--7---------------- i 7 - .

b b b b bị{a + b- t) f {t)ả x={a + b) J / 0 ) d t — ị tf {t)ả t = {.a + b) j / ( * ) d x - ịxf(x)ả x.a a a . a a

b b b 1 b > l ị x f { x ) à \ = { a + b) j"/(; t)dx=> ị x f { x ) á x = a + j*/(x)dx

a a a a

Bài tập mẫu rninh họa:

X sin X dxFV J - . Đ ặt / (x) =

sin X 9 + 4c os 2 X

( n - x )

ị 9 + 4 co s‘ x

£ Wn _ \ ’k- s in ( f t - x ) s in * , Va CÓ: / ( 0 + n - x ) = f i n - x ) = ------------ ---------- — — 5 — = f \ x )

9 + 4cos y tL -x ) 9 + 4COS X

àm s ố f( x) liên tục trên [0,7t] và /(0 + n ~x ) = f i x ) , V xe[0 , í tỊ nên theo

ên h đề t a có: Eị = í x f ( x ) đ x = — i f ( x )d x = — [—— x ã*0 2 0 2 0 9 + 4COS X

_-7 1 y d (cos x) _ - n ”r d (c osx ) _ -7C 2 Ị 2c osx^

2 ' 9 + 4c os2x 8 j 2 ,(3Ý 8 3 V 3 J0 0cns X4-1—1

= —afctg— 6 3

E2 = p c s /n J: t<ix:. Đ ặt / Gc) = sin3 x-,xé[0,n] 0

a có: /(0 ■■'+7T -j c) = / ( 7t - ; t ) = sin3('71 ■ -*)■ = sin3 x = f ( x )

àm số f(x) ' i ên tục t rên [0 , 71] và / ( 0 + 71 - * ) = / ( ; t ) ,V ; t e [ 0 , r c J nên the o7t 71 n

ệ n h đề t a c ó: £ , = |x / ' ( ^ ) d x ==■— ị / í ^ d x - — J sin 3 ^:d x

,■ . , -í •• , 0 ^ 0 ^ 0n ( 1

■ f ( l - c o s 2 x ) d ( c o s x ) = - — C O S X - — - x

0J 2 l . . 3

-7t

~ ĩ

2K ..

271



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng ĩ: Các kĩ thuậ t tính tích phân -.Trầ n Phư ang

VI. DẠNG 6: TÍCH PHÂN CỦ A CÁC HÀM SỐ ĐÓI XỨNG NHAU

ĩt/2 ĩi/2

1 . Mệ nh đề : Neu hàm /liên tụ c trên [0, 1] thì J /(sinx )dx= Ị / (cos0 0

Đ ặt t = —- x =>2

Chứ ng minh

n/2 ữ , V x/2

J/(sin .r)d x= -j*/ Ị s i n |^ -n jdt = ị"/(cosí)dt= J/(c0 «/2 v ' 0 0


,jP; = íí — 2 ỉ ■ T - (c<w-y)ì f — rr:— r - ftg2 (cosx)d“ \cos (sin x) ) 'COS (.sinx) ị

Jĩ/2 %t rt/2

= — , ^ X ■ - í t g 2 ( s i n x ) d x = f [ — — - - t g 2 (s in x ) ị d x

J co s ( si n x j J J V-COS ( si n x ) J

2 / • \ __ /_• , \ ’= f j.- sin M sin x ) d x= f cos ( sin x ) dx = f d x = x | ^ = K

ị cos (sinx ) Q COS (sifix) Q. 2

k /2

‘ I;

(s i l l x)" COS X

(sin x)"~l + {cos jc)

jt/2

—~jd x = f J

=>■ F, =4-

Ji/2(sin x)ncpsx

vi i

J (sinx)" 1+(cosx)'

-^-dx+ f1-1 J

(cos X )" sin X

(cosxT 1i- (sin xT _1

^ (cos x)nsirtx

dx

-dx

_ 1 (sin x)ncos X + (cos x)" sin X ^ _ ì"1} sin XCOSX [(sin x)n 1+(cosx

7- (sin x)"’1+ (cos x)n_l 2 0

Ổ (cosx)"’1+ (sinx)n 1

sin x)n

(sin x)” 1+ (cos x)n_1

' 4

t i/2 j . I t/2 _ J J

= — I sinxcosxdx = — [sin2 xdx = —-cos 2 x,2 Í 4 J 8

jf/2 ir/2 . x/ 1 Ji/2

•F3= ịln{tgx)(Lc= J 111—? — dx = J In (sin x) dx - Jln(cos;>c)dx = 00 0 cos* 0 0

xỊ 2 ' 7 1 / 2 . vỊ2 iỉỊ2

•F4- ịỉnisinxìdx= Jln(cosx )dx =?> 2F4= Jln(sinxcosx)dx= J[ln(sin2x0 0 0 0

ịz /2 IE

= - X In 2|*'/2 + — I In (sin 2 x ) d( 2 x ) = — In 2 + — Jin (s in u ) du

2 0 2 2 0

272



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§21. Các ừ ạ /tg đặ c biệ t CUZ tich phân xác định - Trầ n P

1 ”/2 ,. Ít

= - — Ỉ n2 + — Jln(s in u )du - — Jin[s in (7t -u) ]d(7t -u)2 0 it/2

I ĩt/2 J 0= - —ln2 + — Jl n ( s i n u )đ u — J ln (s in t)dt

0 it/2

Tt 1 ”/2 1 lV2= - —ln2 + — Jln(sinu)du+ — Jín(sinu)du

0 0

= - —In 2 + J In (sin ụ) đu = - —In 2 + F4 => F4 = - —ln 20

. Fj - 1 = 1 — Ẻ + 1 — — = / + J ì i + { t g x Ỵ oJ i + ' j * r j , i + ( t g * r

Xét I = [ ----- — ----- . Đ ặt t = tg x => dx = ——■■■■ => I = [— — ^ --------- -

0J l + (tgx)“ ^ 1+ t2 0J(l + t“).(l + t2)

X ét J = f ----- — ----- . Đ ặ t t = c ot gx = >d x = — ^ - = 5> J = f ---------- ^ --------Ị + (* * )■ i + t2 / r 1 + n ( 1+ t2)

J V ta dt _ p _ r J V đt 'f t“ dt

= V (t“ + i ) ( i + t * ) => s = + = j ( i + t a ) ( i + t 2) + j ( i + t “ ) ( i + t 2)

f ( l + t “ ) d t Y d t ■ |! 7C

= 0% + t“ )(i + t2) F j l + t7 k 4

„ 4 J ln (9- x) __ ,• Fg = I J = = =——7 r . Đ ặt t = 6 - X =} đt = -d x

2 yjln(9- x) + yjln(x + 3)


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chuff Its h Các k ĩ thuậ t tilth tích phân - Trầ n Phư ơ ng

m . D Ạ N G 7 : BIÉN ĐÓI TÁCH ĐÔI HÀM SỐ VÀ co CẠN TÍCH PHÂN

2 ( 1 a

ệnh đ'ê: N ếu / l i ê n tụ c trê n [0, 2a] thì J / ( x ) d x = j [ / ( x ) + f (,2a - xĩ\á

0 0

1.

C h ứ n g m ìn h'

Đ ặt t = 2 a - X J / (x) dx = ị f (jc) dx + | / (x) dx = J / (■ *) dx - J / (2 a - í)0 0 « 0 0

ị / (x ) dx + J / (2a - x ) dx = JỊ[/ (ạ:) + / (2a —* )]d x0 0 0


3n

~2

ìn

" Gị = j s i n X sin 2x sin 3x ílx . Á p dụng hệ thức củ a mệnh đề vớ i a =0

x/2

G, = J I^sinxsin2xsin3x + sin( 37 t-x )si n( 67 t-2 x) sin (9 7r -3 x) jd x0ìx/2

~ I [ s in x s in 2 x s in 3 x - s i n x s i n 2 x s in 3 x ] d x = 00 .

J s i n 5A- l s i n ( 5 n - 5 x )ỉ — — cos 7x + 1 ——r -— —r COS\ l n - l x )Vsin3x Vsin(37t —3 jc>

d

, ,s in 5x I s in5x?/—-— cos 7x - 3|—--— COS 7x

s in3x Vs in3xdx = 0

JT il/2 . r= Jv.v/j/ Jx ị fsĩn~5x Usui 7x (cos X Ỷ dx = J>/sm3x'^s/smijv ^/snrT x(cosx )9

Ớ 0

It/2 . . . . . . ' ,


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§21. Các dạ ng đặ c biệ t cảa í/c/i phân xác định -r Trầ n Phư ợ ng

m. DẠ NG 8: KHỬ ĐẠ O HÀiyi BẬ C 2.qỦ A HÀMSỐ ĐẬ C Ẹ IỆ T

Mệnh đề: N ếu / l i ê n tục đến đạo h àm cấp 2 trên [a ,ỏ3 \ k j {à ) = / (ồ ) = 0 th ì

b b

ị f " { x ) ( x - a ) ( x - b ) ả x = 2 ị f ( x ) à x .

a a

Chứ ng minh

b' bặt g (x ) = ( x - a ) ( x - b ) => Jf”(x)(x - a ) ( x - b )dx = Jf”(x)g(x)dx

• ạ ;a

jg (x )d[ f '(x ) ] = f '(x )g (x) Ị b - | f ' (x )g ' (x )dx = - | f ' (x )g ' ( x ) dxa a a

b b b • b

- jg ' (x)d [f (x)] = - f (x)g '(x)£ + j f (x)g"(x)dx.= Jf(x)g"(x)dx = 2jf(x)d xa ạ aa

Các bài tập mẫu mình họa:

* ; 1H j = ị x { x - n ) c o s 2 x d x . Đ ă t f (x) = —(sin x)2 =>/(0 ) =fiĩ í) = 0

° 2

c ó : f ' ( x ) = s inx c os x = —sin 2x => f " ( x ) = c os2x nê n the o m ệnh đề thì ■ : 2

"r í \ ~ . If/ '• \2 . V1- cos 2x .f X sin 2 x V n = x(.x —7i;cos 2xdx = Ks inxJ dx= . I - — . dx-= T -T—r- — = —

i 0 . 0 2 4 2

H 2 = Ị .v (x -7 ĩ) COS x ( 9c o s2 x - 7 ) ( ỉ x . Đặ t f (x)=cosx(sinx)2 =>j(0) = X 7Ĩ) = 0 á

có : f ( x ) = c o s x ( s i n x ) 2 = Ịs i n 2 x s i n X = —( c o s x - c o s 3 x ) . 2 4

f ' (x ) = —(- s i n X + 3s in 3x ) ; f 1’ (x ) = —(-COS X + 9 COS3x) ■=COSX( 9 COS2 X - 7 ) 4 4

2 = jx (x- ; t ) f"(x)clx = 2 jcosx(sinx)2 dx = 2 j(s in x)2 d (s in x) = ^ Slnx^c 0 ’ . - - 0 ^

= 00

275



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





IX. DẠNG 9: TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM ĐẶC BtỆ Ỳ KHÁC

< = / „ = ị(2ax + by”+ĩ e‘,xí+t*+cdx= }(2ax+b)2nd(eax2+bx+c)* / . X]

= (2ax + b)2neas2+b,1+c I]’ - 'je“ ỉ+te+ed [(2ax. + b)2n] xí

= (2aXj + b )2n - (2a x, + b ) 2n - 4an J (2 ax + b )2"’1eax +bx+c dx '

'

Theo V iét ta có: X, +x2 = — =>2a(x| +x 2) = -2b =>2ax,+b = -b -2 a xâ

= > ( 2a x , + b ) 2 = ( - b - 2 a x , ) 2 = ( 2 a x 2 + b ) 2 => (2 aX ] + b ) 2" = ( 2 a x 2 + b

=>I„ =-4ạ n J(2ax + b)2"~'eax+b'£+cdx = -4anl„_l => In=(-4a)nn!Iọ

.X,

Ta c ó: Ị0 = |( 2 a x + b )e axỉ+bx+c d x = | d ( e ax2+bx+c) = ea><ỉ+bx+cf = e ° - e

*1 *.

=> I, = -4 al 0 = 0 = > I, = -4 á (21,) = 0 => I3 = -4 a( 3 I2) = 0 . . .=> In = 0

■ «t /2 '

•G2 = J ( 7 - 2 Cớ í (j /« x ) e cosx'cos2xdx0

Đặ t í = cosx ^ d t = -s i nx đx => Ợ 2 = -J (l -2 t) 21 e1'1 dt = -J ( ỉ -2 x )21

I . 1

T a cô: Gj = | ( 2 a x + b )2n+1 eax +b*+c dx = 0 *ét vớ i n = 10, « = - ỉ, b =

1 , 2=> J ( l - 2 x ) 21 ex~x dx = 0 => G2 = J ( l - 2 c o s x ) 2i (s in x)eC0SX~C0S * dx

0 0

_ COS x(2cO tg 2 x + 3 cơ tg x + 1 ) —~+cotgx• C ( = Ị --------------------- 5 — 7 ---------- 5 ------------«!v

-*/, s i n x

Đ í u = » . g x = >đ .= - - A - = , 0 , - 1 '•'sin X -_ị4 sin X

% J t (2 í 2 +3t + l ) è (! d t = | ( r + t ) (2 t + l )e |2+t+1 d t= e | ( t2 + t )d ( s ‘2+,+' )

= e ,?+t+1( r + t )t , - Je ,!+t+1d (t 2 + t ) = - J ( 2 t + l)e ‘3+'+' đt = - j d ( e ,!+,+') = - e ,ỉ+

276 ■' - 1

Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t tilth t ick phân -Trầ n Phư ơ ng ______________



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§22' Phicơ ng trình chứ a tích phân - Trầ n JPhư

§ 2 2 . P H Ư Ơ N G T R IN H C H Ứ A T ÍC H P H Â N

Đ ây cũng là m ột hình thái cơ bản để luyện tập t ính t ích phân

I. CÁC BÀI TẬP MĂU MINH HỌA

Ẹ ậi 1. G iải p h ư ợ n g tri nh : / ( * ) = í — = = = =• = — (1 ) ( x > J Ĩ )' ■ 12 :

■ Giả i

Tạcó:/ftl = ‘u g - . i f | 6 4 - =■ ' 2 Ì r ự ? T Ĩ - J tJ / u ' + l

arcig 11

= a rc tg \/x 2 - Ị - — = — o a r c t g V x 2 - 1 = — o 7 x 2 - 1 = 7 3 o x 4 12 3

Bài 2 . Giải phư ơn g t r ình: / ( * ) = f ^Ệ ^Jễ JL(fx = L - — J j jS - tg 'x " 2 4

Giả i

f ^ + t g V di. ' í i ^ ^ S ^ o s x , r S c o s x + s ì n x

/ ( i ị Ậ c o s x - s i n . v

■in/2in x ' 4 ( ' ^ cos;lr- sin;c) + :^ - ( ^ si

— d x = p 2V 3 COS X - sin X Jit/2

-dxc o s ; t - s m ; c

- * í d ^ í ^ — xHrcos*^ _xị ' W ( V 3 c o s - sin X)

2 J ĩ 2 ^ -v/3 cos * - s in X 2 jt/2 2 J V3 COSa: - sin .r


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chư ơ ng ỉ: Các k ĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

ì à i 3 . G i ả iiải p h ự ơ n g tr ìn h : / ( x ) = ị ị4sm4t T —ớ (1) 9

G/ái

Ta c ó : 4 s il l 4 t = (] - c o s 2 t ) 2 = 1 - 2 c o s 2 t + COS2 2 t = 1 - 2 COS2 t + — C0S2

=>/ U) =J*Ị4sin4/ jdt = jĩ 1-2COS21 + _2j dt = jỊ_2cos2r +c.0 0 0

-sin 2/ + t SÌh 4í. „ sịn4x - s m 2 j t ( 4 - c o s 2 ; t ) - s in 2 ^ ( 3 + 2

= -s in 2 x + —— r- = ------- ----------------------------------------8 4 4

(1) <=> sin 2 x(3 + 2 sin2 x) = 0 o sin 2x = 0<=>2x = k7i <=> X = — ( k e Z +)

Bài 4. Giải phư o n g trình: / ( x ) = ị \ l e ‘ — 1 dí = 2\ịex - 1 - — (t >0;Ã

G/ả í

2uduĐ ặt u=\]e' - 1 :=> u2 + 1= e ‘ => t = ln(u2 + l )=>d t = “ -----

u +'1

_ f' V n 7 2udu ( 2 V=>JỴ x)= Ve - 1 dt = 11 • , = du0 0 ú +1 0 V u2 + u

= (2u - 2arctgu)|'^"~~' = 2Vex - 1 - 2 arctg Vex ~

(!)<=> 2V ẽ^ - T - 2 arctg Vex - 1 = 2\/ex - 1 - — » arctg Ve* - 1 = —


N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§22. Phư ợ ng trịnh chứ a tích phậ n - Trầ n Phư ợ ng

r d t V 1 2 u d u ' 7 d u „ . . J * r t r — R= > / W = 7 = = = - • ■, - 2 = 2arctgu = 2arctg Vex - Í - -

h W ẹ ‘ - i I u u +1 1 1 1+ 1 2

(1) <=> 2 ar ct g \/ ex -1 - — = — <=>arc tg \/ẽF - 1 = — <=> Vẽx -1 = V3 <=>x = l n42 6 3 ■ ■

Bài 6. Giải phương t r ì n h : f ( ) = ị l n ( x + \ J l + x 2 )cíx —1 - \ l + t 20

Gi ả i

f ( t ) = j ì . n ( x + yj\ + X2 ) d x = [ x l n ( ; t + ) ] | 0 - í , d [ . n U + ) ]

0 0

/T T7) Y-f . . * ) fc -/T 77)

0 V v l + X 2 7 X + vl + X2 o v l + x2

= t ln (t + Vl + 12) - - [tìị= = ^ ~ = t ln (t + \/l + 12) - -y/l + X2 lo = t I n ( t W l + t2) —*/l+t2 +120 v l + x 2

I Ị"/=o / ( í ) = j ỉn ( x + %/l + ;c2 ) dx = 1 - '/ ì + ? o / In ( / + y Ị ì+ í2 ) = 0<=>

0 ln (/ + Vl + r ) = 0

___ , í l - t > 0

ln( t + Vl + 12 ) = 0<=> t + VI + 12 =1 vl + t2 =1 - t o < < »t = 0■' | l + t 2 = ( l - t ) 2 \

Vậy phương tr ình f( t) = 0 có nghiệm duy nhất t = 0

Bai 7. Giải phư ơng tr ình: ị —~ = = arẹ sỉn— (IV (x>yỈ2)i í T T - ĩ 2

Giãi

_ ~ c*u — s/ _ xf 2dt _ 1 -2đu _ 0 du

u ị u 2

; i a ul1 ==-2 arcs in- + 2arcs in— = - - 2 a r c s i n -u/ỉ/2 ■ X 2 2 X

Đ ặt t = — => dt

l i "

|V* 1 . -\/2 7t- - 2 a rc s i n u = -2arcsin —+ 2 a r c s m - r - = — -2 a rc s in

Wỉ/2 ■ X 2 2

279



B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

TRẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






■ 7C . 1 . 1 '- . 1 _ % . 1(1) <=> —- 2a rc sin — = arsin —o 2 a r c s in —= ——arsin —

2 X 2 X 22

. 1 7t 7t 1 7C 1 1 'o 2 a r c s i n <3 . arcsin — = — «■ — = —<=>x = 2

X 2 6 X 6 X 2

Bà i 8. G iải ph ư ơ n g t rì nh : / ( x ) = [ —— = = = 4 3 - 1 , x e i ,ị t 2 J l - t 2 . 12

Giả i

X arcsin;; ____ __ . . w Y r dt f cosudĐ ặt t = sinu => dt = cosu du => f ( x ) ~ I — . = I ------- — = =

1/212V I - / 2 k/6 sin2 z /y l

arcsinX ,

- ĩ 3 - - « 0««l71/6 s i n u 1

arcsỉnx _ “ COS U

^ c i n 11

/( *; = 0 o - ^ — Ẻ - + V3 = 7 3 - l o V l - x 2 = x<=>P ' <=

x Ị l - X 2 = x 2

*(* rfv

Bài 9. Giải phươ ng t rình: / . ( / ) = I - -------- --------- r— r--------s/í íể X

/n

~y

Gịả i

I n \ ■l i t \ ^ 2 - t g x \/3 + t g x _ 3 - t g 2 xt g x t g - J - X t g -7 + X = tg x ------ ----------------p-— = t g x --------- -2—5 5^3 Ị 3 I 6 1 + N/ J tg X 1 -V 3 tg x 1- 3 tg

= —ln {sin 3/|■ , . V dx 1 r f( sin 3x ) .1 . I . .

=> / w = l r i - = T I- = ^ln |s in 3 x |

*/6 tg 3 * ĩr/6 sin3x 3 »/6

/ ( /) = - Ỉ H Ĩ . o In Isin 3/| = - In 2 o sin 3t = ± — <=>COS6 r= — « ( = + —

Đ o t > 0 nê n / ( /) = Ít -t — I * -

(x2 - l ) d x- ị l n Ị o

5 x - 4 x 2 - 5 x + l 7 4 f = 2



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§22. Phư ơ ng trĩnh chử a tích phân -Trầ í t Phư

V f V

Bài 10. Giải phương trinh: f { t ) ~ j ■-Ị - —- J

t

{x2 - í ) d x

X4 -S x 3 ~4x2’ - 5 x + l 7 ’" 4

Giả i

- —In— ; (t >

M 'f ( .r - l ) d x V V *{* + ì l

Ỉ x ‘ - ỉ f - ư - i x + ì r * s i - V - s ( * + JL )-4 Í Ị, + i ) J _ 5^ + i Ị

i 1 1

f du ị da 1 ự \ _____ l ) d = J_J u_-6||'* u 2 - 5 u - 6 ~ (u - 6 ) ( u + l ) ~ 7 2H u - 6 ụ + l j ~ 7 11 + ill,

= —ln7

t + 1 - 6t

t + - +1t

1 , 4 1 , Ịt r ' - r ; t + i- — ỉn — = -- In — ----- - —

7 3 7 Ịt 2 + t -1 11 , 4- —In — 7 3

t~ —6/ +1

r + i + \1 . 4 _ 1 . 4 ,- —In —= - 3 In —<=> ln7 3 7 3

t - 6t +1 f + 1 +1

» 1 -Ịt2 -6 t + 1| t2 -6 t + l = t2+t + li-------—— =1 o ■

t~ + t + 1 t2 - 6t + l = - t 2 - t - 1<=>

t = 0

2 t2 - 5t + 2 = 0o

= 0

t = 0

t = 1/2

t = 2

Bài 11. Giải phương trình: f i t ) — f— ^ - - ; ^ v------- - ~ — T= ; (t > 0 j x 4 - 2 x 3 - 2 x 2 + 6x + 9 3^3

Giả i

V Ịĩiề Ịí l 'f í H l


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Zhieons ỉ: Các k ĩ thuậ t túih tich phâíi - Trầ n Phieơ ng

B à i

sút 2a _ co.N'u _

ài 12. Ch ứ ng minh rằng: J arcsin-íxíỉx + I arccosyfx dx = —0 0 4

Giãi

X é t I =

sin 2 a . 2 sin a

- Ị arcsin V xd x = xarcsin%/x| - J xd(arcsin>/x)0 0

sill2a , , sin2a I *r xdx . 2 1 f X ,— p r ' — = a s i n a - — . — — a x . .

i 2 > £ > / r ^ 2 I V l - X

= a sin" a

sin2a I a I 7 2 ịĐăt x= sin 2t=>dx = 2sintcostdt => f — dx = I J — — — (2sintco

' V l - X J \ 1- sin t

= j*2sill2 tdt = f(l - cos2t)dt = i t - —sin 2 ti :u 0 V . 2 J Q

sin 2a

X é t J

= a cos a +

r a I si..- a r — J / I arcsin yjx d x = a s i n 2a --7 I J —— d x = a sin 2 a - - rJ 2 J Vl-X .2 l

COS';: 2 cos2a

I arccos Vx tlx = X arccos v q c0s a - J x d ( arccos •Jii)0 0

dx

1 1 sin 2aa ----- ——

2 /x V l - X

, COS a2 1 r I X

= = aeos a + ■

COS2a Ị a j 2~Đặt x = cơs2t=odx =“ 2sintcostdt => f J — — dx= f j — - ■(-2sin tce

• 0J V l- X ^ V l - c o s 2 t


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§23. Tim giớ i hạ n củ a tích phân - Trầ n Phư ợ ng

§ 2 3 . TÌM GIỚ I HẠ N CỦ A TÍCH PHÂN

t

DẠNG 1: i à i l ị f ( x ) d xt —>có J

0

t

Bư ớ c 1: Tính t ích phân F(t)== ị f ( x ) d x theo t0

Bitớ c 2: Tìm lim F (í) bằng cách d ùng cá c định lý về giới hạn. /—»00

ài 1. Cho F i t ) = Í-T----- (t > 0). Tính lint F it )ị { x + 2 ) { x 2 +2)

GiổẲ -

N 4 . V - 2 i4. i k + ci ả s ử / U v = ------ + _ z _:— Vx(,v -r 2 ) ( x 2 T l) A- + 2 / - + 1

4x - 2 = a (x 2 + i) + (Bx + C)(x + 2)<=>4x - 2 = (A + B)x 2 +(2B + C)x + (A + 2C)

A + B = 0 ■ [A = -2

i 2B + c = 4 « J b = 2 => f ( x ) = - + - ^ - , V x• ' x + 2 X +1

A + 2 C = - 2 | c = 0

•0J 0V'Ỵ + 2 . * + l j , I X+.2 Ị x 2 +ì

f- 2 ln |x + 2| + ln|x 2 + l| ]f = -2 ln (t + 2) + In (t 2 + i) + 2 ln 2 = In 4— ĩ - ! -v 'lo ( t + ì)2

> l im F (t )= l im ln + ^ = ln4t->+=0 t-»+=c (t + 2)

ài 2 . Cho F (t) = í— . , t > 1. Tìm lim F (í)J X\X + ỉ ) '- >+w

Đ ăt s = F ( l ) + F (2) + ... + F ( t ) . T ìm //»1 5, /->+co

Giãi

F ( t) = j _ * J L

H * 5 ? H ) - ( i f ■= In—— + In 2-,

t+ 1



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






=> lim F (t )= lim fin —— + ỉn 2Ì = ln2t-++sc t + 1 )

• s t = F h ) + F (2) +. . . + F ( t) = Ịto - + ln 2 j + Ị ln - + In 2 j + . . . + Ị; ln —

=> S, = lii 2' + l n f — • —— —— Ì = ln 2’ + ln —í— = In-u 3 t + l j : - t+ 1

.. —ỉ + 1 ■ "t + 1

í- e _ r i 2 ‘ _ r . 2 ‘ l n 2 _ỈĨITI St = lim In-------= lim In-—— = +00=> ỉun s t = l im In-— = ìim In-—- ^ = +00t—>-KC t-»+00 t 4* 1t~»+00 1

Bài 3 . Ch o / ’ ( * )= ị 2x l t L xdx (t > 1) . Tín h ỉ im F it )

I (/ + * * ) . ■~ ; °0

Giả i

f ( i ) = ' | 2 ^ > t o x d ( ^ = V x d M V _ J ỊỤ , ' + v ^

+ , (l + x2) , 1+ * I ?! + * '

= d ! i i + j = z l E i + |Í L i7Ị Ì L x i d x = d ! l l + i f i - - 4i + t ,j x( l + x2) 1+ t2 ■/ x( l + x2) 1 + t2 / u l + x,j x( l + x2) 1+ t2

J + Ị l n x - —ln|l + x 2| j- In t

1 + t

> lim F(t)= lim

‘ - I n t 1 t 2 1 , ~= — + —In—-— + —In 2

, 1+ t2 . 2 t2 +1 2

f - I n t 1 , t 2 1 , „ ' ——T + T-ln-T-— + - r ln 2V1+ 1~ 2 t~ +1 2

1 , . , . . 1 . tln t 1 .: lim — ln 2 -Ir lim —In — ------- lim —■= — ln 2n-»+so2 2 t +1 n~*+a0 1+1 2

p ẽ nx *Bài 4 . Cho = í------- — dx ( n eN ). T ính Ij.

l 1 + e~x

Tìm hệ th ứ c liên hệ giữ a In và I„+1. Tính lỉm In/->+00

Giả i

I, = [— -------dx = - f— —- = - ln | l + e ' x | = - l n í l + - ì + l n2 = lQ1 + e-x 0 l + e_x 0 V e j

, _ 'f e-“ J.. 'f e-"*(l + e"x) - e"(n+1)x V -nx 'f e“: I = --------dx = --------------------------------— ------- dx= e d

oJ l + e-x 0J l + e'* J J l +

2e

1H

Ta có

284



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







Zhu 'O’h r /•• Các k ĩ thuậ t tính tích pỉiân. - Trầ n 'Phư ơ ng

Bư ớ c 1:

Birớ c 2: S ử

b

ỊỊ. DẠNG 2: ì im i f ( x , n ) d x , v . n e NII—»w 3

a

bỉ: Chứng minh bất đẳng thức A < ị fX x ,n )d x S B y x e . \a ,b \

a

b Ị>:

' d ụ n g lim A < lỉm \f {x ,n )d x < lim B =í> lim \f{x,n)dxn— ii—>coJ n-*co <J

/ c a

ì n 1

Bài ỉ. C hứ ng minh rằng: a. lỉm P — - dx = & b. Um \xnsin7ĩxd« —?>+» o> 2 - ị- V n —>+«00 0

Gỉ ẵ ỉ

«. Ta có: < - , V x e [ 0 , i j = > — < - ^ — < x n= > - f xn d x < Ịi L _ ỉi < f2 x + 1 ĩ 1 J . 2 x + 1 2 ị “

< , iL l l < 1 _ Vxn dx . 12(n + I) 0“ -j x + 1~ 11 + 1 0 2 (n + l ) ~ J2 (n + 1) j x + 1 n +1

Ta có : Inn —T—— r-= lim —-— = 0 => ..... .2 ( n + 1) " - > » n + ! n~>+«ì J Ị + X

ỉ n

—— đx = 0 (đpcm )1 + X

J, Ta có: - l< s in 7 ix < ỉ và 0 < xn < 1, V x e[ 0 , 1] nên - x " ắ x 11sin7 tx<

1 • 1 1 - 1 I J

:> - Ị x" c ! x < ị x sin7TXdx < f x n d x = > — — < Ị x " s i n 7 t x d x < — -—0 0 0J ■ n + 1 0 n + 1

-!'■ 1 yTa có. lún — — = lim —-— = 0 => lim x" si nrc xd x = 0 (đ pc m )

!!->+« n + 1 11—>+00 n + 1 n-»+co J . 0

1 Ĩ,+I dxBài 2.. T ìm các giớ i hạn tím \x"e~*dx ; Um I -— , n e N

H-*+c0 J «—»+00 * ỵ


-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

ĐẠ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§23. Tìm giở i hạ n cứ a tích phân - Trầ n Phư ớ rig

° Ta có:, , , 11+1 J n+1 , n+1 J , n+1 ,

- i _ f ^ L < f * L á = > - ! _ < f — < 1n + 1 X n . J n + 1 J X J n n + 1 ■> X nn Ĩ1 n ft

Do lim —— — lim — = 0 '=> lim f — = 0n-n-eo n + 1 n-?+<*>n n-»+» J X

n Jt+J Bài 3 . a. Chứ ng minh rằng: ìnk <, j lnx ấ x $:ln(.k + l) ,V k > 0

k

b. C h ú n g m inh rằng: ( n - ì ) !< n heI~n <n! , n e N *

yfn* 1 I— Ị—c . Chứ ng minh rang: lim , nếu lim a = lim \Jn = l , ạ > 0

;j-»+co M 0 n-*-f «0 «-»+<©; j -»+co II (Ị n-*-f«0 «-»+<©

Giãiit+l jfc+l k+

a. Ta có: In &< ln.* <In (A +l)5V;re[&,£+l] => Jln £d x< Jỉnxđ K< JlnOi:+l)dxk . k k

k+1 k+1

= > ln k x |* +1< | l n x d x < l n ( k + l ) x | = > I n k < J l n x đ x < l n ( k + l) ( đp cm )' k ■ k

b. Theo câu a. ta có:

2

k = l : l n l < j ì n x dx Ẩ l n 21

•• •• 3

k = 2 : l n 2 < j ì n x d x < l n 32

nk = n - l : l n ( n - l ) < J ln x d x < l n n

2 3 n

=> lnl + ln2 + ... + ln (n -l)< jìnxdx+ Jlnxdx+...+ ịlnx dx ắ ln2+ln 3+...+ln n1 2 n-1

<=> ln [ (n - l ) ' .]< j ln x d x < ln (n | ) . Ta có : J ln xd x = xỉnx |” - | x d ( ln x )

1 i - 1

= n ln n - f— dx = In (nn) —x|" = l t i (n n) r - ( n - l ) = ln (n” ) + ine1_n = ln (n"e1 " )'X . ’

=> l n [ ( n - ! ) ! ] < l n ( n ne1_" ) s l n ( n ! > => ( n - l ) ! < n V ~ n < n ! ( đ p c m )

287



B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

TRẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ iỉg I: Các kĩ thuậ t tinh tích phân - Trầ n Phư ơ ng

c. T ừ b. suy ra: V(n - l)i < Vn-ẹ1- 1 < ^ < = > Ỉ Ỉ L > > ^V ( n - l ) ! n V ? "

_ ^ lỉ/nĩ^ Vẽ _ , .. s/ĩiẽ _ .. Vẽ _ 1 .. *lĩiỉ _o — —> — —> —— . Ta có: l im —— = lim —— = — => iim —

e n e n->+» Q n->+« e e H-»+oo n Q

bBài 4. Chứng -minh rằng: lifit Ie s innxdx~õ (ne N*)

/J—»+co I?

Giả i

b •- 1 k i 1 b J b

Íex s innxđx = - — Ịe* d(cosnx) = —- e x cosnx + — [cosnxdve* ) n J n a n J a a a

= — (e ;1 co sn a- eb cos nb) + — icosnx(2xex* )dx (1)n n J

a

•X ét lim — (e3 cosna - e b cosnb) .!!->+« n

l a có: c o s n a , c o s n b e [ - l , l ] => - ( e a + e b ) < e a c o s n a - e b c o s n b <

- ( e ai + e l>:) _ ea c o s n a - e b" cosnb _ ea + e b

n

.. —(c +e ) .. e +e - „ .. w a bì lim --------------- =

111'.»------ ------ = 0 nên l i m —Ve c o s n a - e cosn

11 » -* + » I) 1l-»+CC 11

Xét Jn = Jcosnx (2x ex') d x . Ta có: 0< |co sn x|< ] <=>0<|2xex | |co snxII

ịcos nx(2xex")clx|< Jịcosnx(2xex")|dx <=>ỊjnI< J|2x|exỉ d\ .1 a a

x è í 3 t rường hợp sau:

c —c Jlim ------- :— < lim — < lim

n->+«! 11 11-++.0' n ; n->+co II

b b .2

j ^ x e 5 dx = e x3 = eaa

_b2 a2e —e I .------------ => lim —

5 n »-»+ơ5 n

b 0 b

+) (t < 0 < b: IJ;11< J|2xi exdx = - j2xe* đx + |2xex dx = -e xã á 0

+ e



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§23. Tìm giói hạ n củ a ticỉi phân - Trầ n Ph

-e“: - V 3 + 2 _ . J „ C - U / - 2 ị = 0 (n~>+x

b - _ »2= e - e

- e - e + z .. -J„ .. e + e -A- > Ị j m ----------------- ---- :------< ] ị m —ÌL < Ị ị m ------------ -----------

n—»■+!» n n->+» n n-*+'*> n Ị,b b .

+) a lim ----------- < lim — < lim —— ------ => lim - í- = 0 (3 c )

n—>+co 11 n—»+jc n n—>+ee ii n—>+ao n

Từ (I), (2), (3a), (3b) và (3c) SUV ra:

lim fe ': sin I1X dx = lim: — (ea xosn a - e1’ cosnb)+ l i m — = 0 (đpcrr)' II-M^ J n-*+so n n-»+tf> n

u1

Bài 5. a. Cho /„ = J .v V vrf.Y (n eN *). Tìm >ệ thức liên hệ giữa 1,. và Ị,_0

C hứ ng min h rằng: /„ < Ýà lim /„n-*+iC

c

b. Đ ặt J„ = j W v ) ” t!x . Tim hệ thức liê:) hệ giữa I„ và I„_:

I

Tin h í| , i->. Ch ứ ng . mi:ih liuiạ-. . T ín h lint ỉ n jị - n -* + s>

/c. Tính Um f-v" ( l - c ") ílx

/f—►-hco J 0

Giiii

í I , 1 •I„ = Jx"e' dx = Jxnd(e x-) = x V | \ - Jexd (x ,,) = c - n J x n-'e!t d w = e- n l„

0 0 0 0

1 1

Do x e [ơ , I] nên x" <x"~' => x" e’1 < x " -le' => Jx"e* d x < Jx" 'e ' đx Ci>lnU 0

' . ■1 I , .11-1 Ị1Tacó; 0 < cx ắ e= > 0 á x " e - <:i"c—.-Ó< clx < e íx" dx = —■:-----


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ị , = Ị ( ỉ n x ) 2 d x = e - 2 I | = e - 2

I

Ta c ó : 0 < l n x < l , V x e [ l , e ] => O ắ( ln x ) n <(ỉnx)n_1= 5 - 0 < J(inx)"dx< J(lrix)n 11 1

:=>0< In < =í> O ắe-n l„_ , nln_, < e =>I„_, < - . Vậy In < I„_, < -n n

Chư ơ ng I: Các k ĩ thuậ t tính tích phân Trầ n Phư ơ ng ________ ______________ _

Ta có: 0 < ỉn < — m à lim 0 = lim — = 0 => lim In - 02} lì- +co n-*+» ft !


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§23. Tim giớ i hạ n CHS tick phân - Trầ n Phự ơ ng

ìữ ỉ 452; 10f ?y 372 100 100 T 3/; T ừ (1 ) suy ra : J V x d x < 2 ] V k . < J V x d x o — ‘T-

0 k= l ] 3 0 k= l 3

_ 20ỌO ^ r- 2(lĐ lVĨÕĨ-l)_ H r-=> — ■■< / , y k < ———T— - —=>666,6 6 < 2 ^ v k <676,025

?:■■■ k=l 2 k=i

1 ) , ^ d x < ^ L ỷ V k < - 1 L nt y ĩd x => L ” < - L t V k < ^^ T ' 3 ^ 0 V 7 £ í . ' 3Vs

101

n + ỉ

2> — <

3 " ỉ 3/2' n

a cỏ: lim — n-»+00 3

Í J L ± ỉf 2 _ J{ n / n3

limL-=1

r e~2nx _ ài 7 . Cho I„ = ] ------ — íìx (neN) . a . Tính ]0 .

» ^ + e

íT,0,+i) - 2 b. C h ứ ng m inh rằng: /„ + ỉ„+l = V n s N

g-2(;i+/).v g~2"x . g~2nxc. Ch ứ ng mi nh r ăng : ------------< - ------ — < — —

1 + e'

đ. Tính Um ĩ..

Giãi

> | _ V dx _ 'f e_2x dx _ -1 V d( e”2*)f:- - 1 I I, Jo = = ■■■-.-■ = — ■ - ị ^ .—- ỉn l + e01 + e i e - 2x+ l 2 ' e +1 2 I

Ve~2nx / 1 -2(n+i)x I -2(.1+I)x (e~x + 1)

- ’• + i“ = j ; S d‘ + j i 5 > = i ĩ ĩ f

1

í

1 _ 1 . 2 e 2= - l n -

0 2 e2 +1

dx

1 - 2 ( n + l ) x

ịe“2(n+0x'd x = -2(n + 0

_ “2 (n+l) x 2 (h+l) x _ Ị

5 5 7 r - 5 h T ^ s - (âpcm)

-2nx „-2nx

Ta cố : e2x > 1, Vx e [0 ,l ]= > 2 e2x > 1+ e2x >2=> — — < ——— <' • ■ . . .. . 2e 1 + e

291



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kt thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

I “2nx 1 -2nx 1 -2«x

d . Từ c . suy ra: I— — dx < I------ —- d x ẩ I------ -d x y ỉ 2 '“ \ j l + e2x 0J 2

- 2( n + l ) x

4(n + l)

1 - 2 nx - 2 nx' e J ^ - e- d x <

+ e 4n

1 l - ẹ - 3(n+l) Ve"21”1 .

(ỉ 4(n + l)

5- d x

1 + e2*• -2(11+1) , -2nx

.• 1—6 .. 1—elim — -------T- = l im ----------- = 0

n->«0 4 (n + u "->+t0 4nlim [-

"->+" 01 + e'

1 - 2 nx■e

d x = 0

/Bài 8. Cho /„ = \x"siìt n xd x. Chứng minh rằng: lim I n = 0

J . «->+050

Đ ặt s„ = I„ + 1, +. . . + /„ . Chứng minh rằng: lim s„ - fit~*+00 J

0Giả i

T a c ó: 0 < s i n 7 c x < l , V x e [ 0 , l ] = > 0 < x " s in 7 ix < x"

Giả i

có: 0< si n7 c x< l,V xe [0 , l] = > 0 < x" SÌ117IX

0 < f x " s in 7 t x d x < fx." d x = > Q < 1 < ——i . i ’ n + 1

I

1

0 1Ị+1

1 '(•Do !im —-— = 0 => lim I = lim X sin7txdx = 0

n-*+«0 n + 1 n-»-K0 n-*+cc J0

1 11 —xỉl+1*Sn = 10+ 1] +'. .. + In = J(x° +X 1+ . . .+ xn)s infcxdx = J - —- —-s in f

0 0 x

1 1 n+I • _rsiriTtx f rx sinrcx , T ¥ => s„ = — d x - ------ —-----dx = I - J

J 1 - x

_ V x " +1 SÍĨ17IX , • Lr . I c , , s i n r a c= I----—------dx .Ham SÔ f( .x; = ——— lien tuc tren [0, 1

ị 1 - X 1 - xXét J

r-* »t . . _ r n s inTtx „ x" + s in7tx , , n+ID o đó V x e [ 0 , 1], 3 M : ——— < M = > 0 < — —— — á M x

1 - X 1 - X

1 n+1 * _ 1 '

0 < [— — — d x < M fxn+1 dx = M -i 0J

M VT a c ó . lim ———= 0 => lim J = lim ị

»-»-ỉ-ĩo n + 2 n-»+» n-»+co i0

1 M

0 n + 2

J n+l _• __‘X s in rcx

l - xdx = 0


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




§23. Tìm giớ i hạ n củ a tích phân —Trầ n Phư

d

smx ,d

, , , T V s in T t x , ' rs in ( ĩ t - Trx) . V s i n [7 t ( l - x ) l -1 °rsim7ttXét 1= dx = f ----- — -------- dx = - — ^------- i d ( l - x ) = - — —-

J l - X J l - x Ị 1 - x Ị t

_ r s m r c t _ f sm x (j x ]jm 5 ^ _ Ịjm I _ li m J = lim f J TTt J V H-++00

0 0 0

/Bài 9. Cho I„ = ịx"e~2xdx, neN* . Chứng minh rằng:

0

a - ĩ„ ^ - T ín h I„+I th eo I„.

b . 0 < / „ < -------í -—- , Vn > 2. Từ đ ó t ính lim /„( n - Ị ) e ,

Giả i

a. x" >x"+' >0, V xe[0 ,l]=>xV 2x >xn+1e-2x =>In = Jx"e~2s dx> Jx,1+1e_2x dx =0 0

In+1 = j x n+1e~2x đx = — Jx"+’đ (e -2x) = — Xn+,e‘2x 1 + 1 j V 2xd ( x n+I)

-1 n +1 V „ _ 2 x , -1 n + 1

- ề - 2 t '

b. Ta có: x"e~2x > 0 ,V x e[0 , l ] => In = Jx"e 2* dx > 00

1„ *In*l = - - T + - ^ - :-In => 7 ^ — 7 = > ( n - l ) l n2 e - - 2e e

Do n > 2 => (n - 1 ) > 0 => I„ ắ - — => (đpcm )( n - l ) e

T a có: 0 0< lim In < lim 1 ■ = 0 = > limI In = 0( n - l ) e IW+0°"->+” ( n - l ) e n_>+0°


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ itg ỉ: Các kĩ thuậ t tính tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Giả i

, , . j x ( i - x = r d x = i j ( i - x ! )'<i(xj ) . i j ( i - x ! r d ( i - x! )

0 2 0 0-1 ( i - x 2r ' 1

0 2(n + 1)2 n + 1

ỉ a c ó : 0 < X 2 < X < 1,0 - X2) > 0, Vx e [ o , 1] = >x2 ( l - x 2) < x ( l - x 2)

(đpcm)■ =>fx2 ( l - x 2) d x < f x ( l - x 2) d x= > I <J„ = — —r ị J 2 ( n + l )

I„+l = | x 2(l - X2) dx = J x 2 ( l - x 2) ( l - X 2) dx0 0

= ị x 2 ( l - x 2 ) d x - J x 4 ( i - X 2 ) d x = I n - J

0 0

Xét J = fx4 (l - X 2 )" dx = — íx 3 (l - X 2 ) (~2x)dx - —7 ——T [x3d [ ( 1 - X20J 2 ỉ 2(n + l)J

- x’ ° - x’ r *' + ' Ki - x‘ r ' d U ’)= - ã - r p (1 - X- r0 2 ( n + 1) ' 2 (n + 1) *2(n + l).

33 : i ~ I , - 2 ( n + l ) L. *n j - l — r i n . | — _ _ 1 „

2(n + 1) n+1 ^ "+1 1,1 + 2.1 + 5

=> lim L ỉ±L = lim - n.+ ỉ } - = \ W-++CC Ị n->+co 2n + 5

Bài 11. Chửng minh: lim -— — _ / —= l u (công thứ c W n —ĨK+OO5 .5 .7 . . . .(2 /1 -7) *j2n + l V 2


N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§-25. Tim giớ i hạ n cử a tích phân - Trầ n Phự ơ ng

I = ( n - 1 ) ( I n: 2 - In ) o m n = (tì:- 1) In_2. ọ I„ - — 1„.:: n

Ị2n - 2)1-22n

2n - 3

2n - 2

3.

í . - — I — 2n +11

Ị ~ — Z Ẵ \

2n —1

l4. = ị h

Ỉ2 Ì ! ũI0 = 1 (sin x)° dx = —

l _____________ 2

Is = | l 3

V = | l ,I3 = -1 ,3 1rc/2

Ij = j" (s in x )1dx = Ị0

. _ 2n - 1 2 n - 3 3 1 7t

2,1 2n 2n - 2 4 2 2 2n+1

. 2n 2 n -2 4 2

2n + 1 2n -1 ” ’’5” !

w = [2.4....(2n-2)(2n)f 2 (Hi) và I

[3.5....(2n - 1)]2(2n + 1) 71 1(*) và i2n+' - 2n

có: sin A- s[0 ,l ] ,Vxe M

2n + 1

=> (sịn *) 2,1+1 ^( s i n x ) 2” < (s in jc )

211-1

2/í+l _, / . \2n - / _ • \ 2n- l

jĩ/2 rc/2

sin^)2/ĩ+l dx< J (sin x)2,ỉ chí < J(sinx)2M dx=> / 2h+ j < /2/ í < /2íl_j.0 0 .

= Ì s i L < ^JÍ±L < 1 . M à lim = lim — = 12n +1 I2n_ị I ,n "->+» 2n +1 n-»+co2 + JL

n

I2n+1 1 1 ^ 1 _ -•/AN 1- 2.4.6 ... .2n 1 Ịnlim - ■ =1 , k ê t h ơ p v ớ i ( * ) s u y r a : l im - — ■— -7 - --------7 ; ..... = J —

" - ““ I,,, n-*” 3 . 5. 7 .. .. (2n - l ) 4 ĩ n + ĩ U

12. Ch ứ ng minh: y/ ỉrũ t Ị—j < n! < yj2n n Ị—j e t2n (công thứ c Stirling)

Giả i

k +1 Í-+1 i+1

có: InẮ :<ln j:< ln(Ả : + l),Vjce[Ấ :,Ấ : + l] => J l n £ d x ắ | ln x d x < J ln( £ + l )dxị k k

In k x£ +1 < ị In Xdx < ln (k + 1) xjk+1 => ln k < Ị In Xdx < Iff (k + 1)k . ic

295



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I: Các kĩ thuậ t túih tích phẫ n - Trầ n Pỉtư ơ ng

' I 2Jin Xdx < In 1 < Jin X dx0 12 3

j ìn X đx < ln 2 < j ìn X dxí 2

n 11+1

J In X dx < In n < J In X dx11-1 n

I n 2 1Jìnxđx + .. .+ Jln xd x < Inl + ln 2 + ... + Inn < jìn x đ x + .. .+ J0 11-1 I II n+l

=> Jlnxdx <ln(n!)< Jln xd x. ’0 1

Ta CÓ: Jìnxđx = x l n x - J xd(lnx) = x l n x - J d x = x l n x - x

11 - n+1

=> jinxdx = (x ln x- x) |n =n ln n -n ; j"lnxdx =(xlnx -x)|n+ = (n + l0 1

=> n Inn - n d n - dn+| = :

2n +1

' -T1. _ 1 _ I I _ * . z 1 . 1 Tliay t = ——— vào khai trien: -^ln —— = t + — + — + ...

, 1 2 l - t ■

2n + l . n + 1 ,- I n — ----- 1

t3 ts

3 5

1+ -. I . n +1 1, ?n +1 1 1 1=> - I n ——- = —In----- — :— + ------------------1— + --------:-----

2 n 2 1 _ _ L _ 2n + l 3 ( 2n + l) 5 ( 2n + l)2n +1

1 1. , 2n + 1 . n +1d„ - a ,, ., = ———In — --------------------1= — -- — + ----

2 n 3(2n + l) 5(2 n + l)

=> 0 < d„ <1 1 1 J i l ' 1 ]

;(2n + 0 2 + (2n + l)4 + ’"J 12 In n + l j

11dn+I <d„ là dãy g iảm ; d„ - ^ - < d n+i ~ I 2 (n + 0 là dây tăng



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§25. Tim giớ i hạ n củ a tích phân - Trầ n Plu

c .. d .• lnn!-(n+-i)lnn+n n !=> e = lim e " = lim e ' 21 = Jim — -— 7

e n 11W+C0 n-*>+eo

lim (n!)e”2,1n2,1+1

2c (2n)! (2n)!= e ; lim — z— r—T—7 = = lim -------- ------- r»-*«> e 2 n V2 n e -2n ( 2n )2" 2

... ... 2.4 .6. .,.2n 1 [ũT* C6«s M e Warns:

71 (2.4.6....2n)2,: 1 ■ <2nnỉ)2 V2Ĩ1 _ (n!) 2 22l,V 2- = lim V— ...........= lim —r—ị-------- = lim — ----------- =2 n-»+« 2.3.4..,. (2n ) V2n + 1 n_*+“ (2n)! 2n '>->+” 2n (2n)!

= lim, l ,\2 -2n «211 2n "\ 2c c ____

1 (.11!) e 2 Ị1 v 2 n .. e e c /X— - • ----------- T------------- = lim — =>e =V27I-> _-2n ,,2n+l ( 7n) I n-iwo 9ac 2

2n d„ d„ _ n !e " = e " = ———

(2n)! ) » -» « 2 e' 2

yj2Ũ

ec~ = >n ! = e nn 2 ^ ĩ . eđ« = n 2 g i2n 271 ( 0 < 9 < ]

0 ./ \ n- JL

=> n! = nne~n V.2n7t e l2n = V ĩĩm — e ỉ2n\ e /

n/2Bài 13. C ho /„ = í <?"s"u í /x . Tìm lim /„

J «-»+«0 ‘

n /»

Giả i

“• ỉ

•Bổ đề : n sin X > 2x, Vx 6

Chứ ng minh: Xét / (x) = n s in X - 2x => / ' ( x ) = 7 i c o s x - 2 hứ ng minh: Xét / w = n sin X - 2x => / ' (.x) = 711

=> / " ( . x ) = - 7 t s i n x < 0 , V x e 0 , ^ =>J[x) lồi trên

Mà / ’(0) = / ( ^ - Ị = 0 => y ( . \ - ) > 0 , v *e 0 , - | => n

M .

7ĩsinx>2; t ,V; te 0,


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ ng Các kĩ thuậ t tính tích pìi&n Trầ n Phư ơ ng

", Ị + x " - ] . „ ' f ì .

Bải 14. Cho /„ = J ----- —— dx, n e N . Chứ ng minh răng : {In} hội tụ I + x “

Giả inr l + x n_1

— > 0 ,V x e [ « - l ,w ] => ĩ„ = j d x >0 ,n-I

_ ~ T * _ _ * - __________ : _ u (■T > A T

V n e N .

=> ịl n} bị ch ặn dư ớ i. Ta sẽ ch ứ n g mi nh {ln } giảm <=> In- 1 > In ,Vn ằ 2

" 7 1+ y - 2 . 'r 1+ , , "r 1+ (x -1 r 2 j : . T 1+ y - 1 J . .;=> — ------ r d x > ——— dx <=> ------------ — —d x ằ — —— dx

J, 1+ y 1. [ ỉ+.x" l.ỉ +i x - i ) „ , 1 + */1-2 n-i /ỉ-1 1 1 x/ rt-1

l + U - i r 2 . l + x1’-' ,, r , ,, v * € [n - 1,«]

1+ G t - i r 1 1 + x"

•=3> [l + (.V - 1)”-2 ] ( l + x" ) > [ l + (x - 1)”"1] ( l + ), V* e \n - \,ri\

<=> [l + ú ' - 1)"’ 2 ] ( l + .x") - [l + (x - 1)""1] ( l + xn~x) > 0 ,Vx e [h - l,n]

o (x - 1)"~2 G ”' 1 - A- + 2) + x”' 1(x - 1) > 0, V* e \ n - 1,.«] (luôn đúng)

Do dãy {ln} giảm v à bị ch ặn dư ớ i nê n {ln} hội tụ.

Bài 15. Cho /„ = Kcosjc)" cosnxclx. T ính lim 2"ỉn J «—>+oữ0u

Giả i

ĩí Ị lt„ = Ị ico sx Ỵ cosnxả x = - Ị icosxỴ d(sinnx)

0 _ n_®-Ị 7C J Ít _ ■ 7C

= —(c o sx )” sinw.x - — Ịsin«xứ?ị_(co s* ) J = [(co s* )" si n ra rs in x d x" 0 « 0J . ị1 *

= —ị[c o s (n - 1) X - COS (« + 1) x] (cos x )n 1 dx071 Tt


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N






Chư ơ ng II: Các ứ ng dạ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

II. CÁC BẬI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1. Cho s„ = 4 - + 4 - + .. . + . Tim íim s„ n n n

Giả io:,- o 1 2 n 1 f 1 2 n ì 1 iBiến đổi: s„ = - ^ + T + - + T = : : + „ + - + „ = ; ! ;

n n n n v n n n ; n r f n

Xét hàm sô' f (x) = X liên tục trên [0, 1] nên khả tích trến [0,1]. Chia đ

bở i cá c điểm chia X: = — ; i = 0 ,n và ch on £■ = — e f x ; , ,X: 1; ì = l , n . n n 1 J

l im S h = ì i m í —Y 1— = lim — y , f ( r ) ì = f xd x = —

„->« n_>c0Vn M n y n_>* v n M ' n v 0 ^

Bài 2. Cho s„ = —í— + - ỉ — + . . . + - ỉ — . Tìm Um s„ n + I n + 2 n + n n-i+cữ

= ỉ_

0 2

Giả i

Biến đổi Sn = — 1 1 1

■-I---- ----- h ... H---- — 1 + J- 1 + 2. i + a

V n • n n j:ỉẳ

1 + Ịn

Xét hàm số f(x) = — — liên tục trên [0, 1] nên khả tích trên [0, 1]. Chi1 + X

1] bởi các điểm chia Xi = —; i = 0,n và chọn ị ị = —e [Xj .pXj]; i = l

—V f i —) ì = f - ^ - = ln( l + xn £ í 0 1 + x

Ta có: lim s„ = limJ1—>co Ỉ1—>cc

í ỉ " I s)

I • - limn ử l + i n-»oo

VV n

Bài 3. Cho s„ = —- + — T— —- + ••• + —r ———• Tìm lim s„« ■ + 7 ' n ' + 2 2 n2 + n 2

Giả i

Biến đổi s = — n

o 2 „ 2

1 + -V 1 + ^ r 1 + ^V n2 n2

= - È 1n

1 +( i ) 1

3011



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§24. ứ ng dụ ng tích phân tính giớ i hạ n —Trthf Plitr

Xét hàm số f(x) = — —— liên tuc trên [0, 1] nê n khả tích trên [0, 1], Chia (1 + X1

[ò, 1] bởi các điểm chi a X| = — ; i = 0, n và chọ n ị ị = — e [ x w ,Xj ]; i = l, n

r S f í “ ) ì = I—— 2_ =a rc ta n x lo =I n I ) J i + X 2 '° Ta có: lim Sn = lim

n->00 n->» è È - ^ T Ti*1 1+

V ■• \ầiy /•(ì): lim11—»00

Bài 4. Cho s„ =

Biến đổi: Sn

J ,9 9 9 + 2 !999 + : + n , 999

n2000 . Tìm lim s„

it-*+00

Giả i

r < r - r k ! ( ểXét hàm số f(x) = x ,y" liên tục trê n [0, 1] nê n khả tích trện [0, 11- Chia đ

[0, 1] bởi các điểm chia X; = - ; i = 0,n và chọn ị ị = — e [ x M ,Xj]; i -- l , n .n n -

1 " / ; \ 1999 1 r 1 <> / : \ 1 ___ 2000 ,

Ta có: limSn = lim ~ y " j = lim — y ] f ( —) = fxl999dx = = — —n-Ko n~Ỳ<x> n ^ V n / n-Kò n ^ \n / i 2000 0 200

Bài 5. Cho s = - Ỉ —- —+ 1 Tìm lim $„-Ị ĩũ ^ ý j4 n 2 - 2 2 j4 n 2 - n 2

Giả i

Biến đổi: s „ =


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng //■• Các ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Pltieừ ng

Bài 6. Cho Su = — n

. n ■ . 2n . (n-;Ị )n sin — + sin——+. . . + sin----- - —

lĩ n

Giả i

. T im lim Sn //—>+00

„ 1 r . 7C . 2 7 1 . . ( n - l ) j t . nrcBiến đôi: s„ = —. sin — + s i n + s in — ------ :— + s m ——

nị_ n

l v : ĨK= — > s in — n é f nn n n

Xét hàm số f(x) =sin7tx liên tục trên[0,1]nên k hả tíchtrên [0,1], Ch ia [0,

các điểm chia Xi = -Ị-; i-.»0,n và chon4j = 4 ' e ĩx i1»Xị1; i= l . n .n n

1lim Sn = lim11— n-+«0

1 ^ —1 . 171~ 2 j s i n — = lim

:họn 4j =^- e [ x i. 1,x i J; i = l , n . Tí

ỉ t f ( i ) ] = Vsin7txdx = z í £ i E i n t ỉ ' n ' J 0J Jt

= 2

0 rt

Bài 7. Cho £ „ = " Ỉ2 + - ì ( l + - Ị . . . Í / + - ) . T ì m Urn's, n ) V n

Giả i

Biến đổi: ln s„ = .l"(,4)*"'(,+ n)+' +ln(' +t r n | ln(1+nXét hàm số f(x) = l n (l + x) liên tục trê n [0,1] nên khả tích trên [0,‘l ] . Chi a

bớ i c ác điểm chia X: = — ; i = 0,n và chon L - — £ IY 1 ,X: 1; i = l ,n . Tan n 1 J

lii nlnSn = limn-*» - ^ ln ^ l+ —j =lim — TfỊ -Ị = jln(l + x)dx= jln(l+x)d(l

1

( l + x ) ln ( l + x)!,1) - ídx = 21 n 2 -x lò = 2 1 n 2 - l => ] imS n = e 2J . n-*eọ0 . . ' ; ■

a21n2-l __4

e


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






c huỆ iig II: Các ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

ĩ 1 1Bài 10. Cho s„ - — —- + — +.. . + ------ 7 — —. T ìm lint Sx

" „ +Ằ n +l n +ễỉLz4 3 3 3

Giả i

Biến đổi

í- ĩ 3n 3n1+

j_ ) 1 2 Ỷ 16n - 4 2 n , 6Ị —

3n y \ 3n

Xét f(x) ——í — li ên tục tr ên [0, 2] nên khả tí ch tr ên [0, 21. Chia [0,1 + x

điểm chia Xj = — ; i = 0,J1 và chọn 4, = jX j . j + -X j e [x j_ j ,Xj] ; i = l

K _ 2 . 2 ( 1 - 1 ) , 1 2 i _ 6 i - 4 1 X . w

T i t e 5, = , 2S„ 3n

=> lim s„ = lim ịỉf ( 4 i ) ( X i - x w ) = ị= 4 I n(l + x ) = Ặ i n 3 = in•->« n-»+co 2 TTf 2 ' 1+ X 2 0 2

Bài 11. Cho s„ =i/n

. Tìm lim s„

Giả i

Lấy logarit cả 2 vế ta có:it cả 2 vê ta có:

[ , „ ( 2 + i ) + l „ ( 2 + ẩ ) + .. .+ , „ ( 2 + ^ ] ^ | , n ( 2

Xét f(x) = lnx li ên tục trên [2, 5] n ên khả. tích trên {2, 5]. Chi a [2,

đ iểm chia Xj= 2 + —i ; i = 0 ,n và chon = 4 x i_1+-Xi s[xj , ,Xị];i=n 5 5

_ E _ 4=> Ej = — .5

=>

2 + —( i - l ) l + - Í 2 + —i Ị = ^ — = > inS = l f — L — = t f (£ , ). n J s \ n / 5n n a f f 2 + i £ - 2 H

5n

tt 5 5l imlnSn = lim V f(q i)(xi -X: ,)= flnxdx = xlnxị* - fxd(lnx)lí—>00 11— '■ ' J ‘2 J

1=1 1 . 'i

5

= 51 n5 -21 n2 - fdx = 5 1n 5- 2] n2 -3 => l imSn = e5•» n->007 -

_5 In5-2 In2-3

304



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§25. Sử dụ ng đạ o hàm và tích phân chứ ng minh đẳ ng, thứ c cứ a C* - Trầ n Phư

§ 2 5 . S Ử D Ụ N G Đ Ạ O H À M V À T ÍC H P H Â N

C H Ử N G M IN H Đ Ẳ N G T H Ứ C CỦ A c*

I. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẰNG THỨC CỊj BẢNG ĐẠO HÀM

1. Các bài tậ p mẫ u m i n h họ a:

Bài 1. Chứng minh rằng: c ' + 2Cị + ... + /I.C" -n2"~'

Giả i

Xét: (1 + x)n = c ° + c 'nx + C* • X2 + c ị ■ X3 + . . . + c r ' x " - ’ + c ; ; x n

Lấy đ ạo hà m cả 2 v ế ta có: n( l + x)" 1 =CỊt + 2C;; -X + 3 C ’ • ỷ + ... + nC" ■x

T hế X = 1 và o đ ẳng th ứ c t rê n ta có: CỊ, +2C; +...+n.C„ = n2n~'

Bài 2 . Ch ứ ng m inh rằng: 2.1.cị + 3.2.C3', + . . . + n(n - l)C''t = n(tt -1)2"~2

Giả i

Xét: (1 + X)" = c ° + c;, x + c ị • X2 + c ị ■ X3 +... + + CỊỊx"

Lấy đ ạo hà m cả 2 v ế ta có: n ( l + x)" 1 = CỊ, + 2Cị ■ X + 3Cị ■X2 + . . . + nCỊỊ • x

Lại lấy đạo hàm ta có : n ( n - l ) ( l + x)" 2 =2C* +3.2.C^.x + . . . + n( n -l) C ". x "

T h ế X = 1 và o đ ảng thứ c tr ên t a có: 2.1.Q; +3.2.Ớ „ +...+n(n-l)C ^ = n(n-l)2"~2

Bài 3. (Để thi TSĐH khổ i A — 2005): Giải phương tr ình:

C'2n+Ị - 2.2Cịl+I + 3.22 CỊ ,I+I - 4.23 c ' , , , + . .. + (2 « + 1 ) 22" cị :v , = 2005

Giả i


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng II: Các ứ ng duns tích phân - Trầ n Phư ơ ng

ài 3. Giải phương trình:

2CI+,-3.2CÌ+, + ... + ( - Ì Ỷ k { k :- D 2k-2;Cị,+Ị + .; .-2n(2n + ĩ ) 2 ĩn-' =

(2n +1) (1 - ,x)2n = -C ^n+1 + 2C^n+1x - . . . + ( - l ) k k c ỉn+1x k-' +. . . - (2n + l ) C 22"

hay X = 2 vào đẳng thứ c ta có: -2 n (2 n + 1) =

2 C ị r l + , - 3. 2C 32 n + 1 + . . . + ( - l ) k k ( k - l ) 2 k - 2 C ^ n + 1 + . . . - 2 n ( 2 n + l ) 2 2 , , - ' C ^ : Ị

hương trình đã cho <=> 2n(2n + 1) = 110 o 2n2 + n - 55 = 0 o n = 5

Các bài tậ p dành cho bạ n đọ c tự giả i:

ài 1. C hứ ng minh rằng:C ° +3C|t +5C ; +.. . + (2n + l)q ; = (n +l )2 n

ài 2. C hứ ng m in h rằ n g :2 n_1c;, +.2.2"-2C* + 3.2n‘3c j + ... + n.C" = n 3 a"1

ài 3. Chứng minh rằng: CỊị -2 C * + 3C* -4 C * (- l) nrln.CỊỊ = 0

ài 4. C hứ ng minh rằng: • ■ 1 - ‘ -

4”“’c" - (n - 1)4"'2CỊ, + (n - 2)4"-3C; +... + (-l)”-’ q -1=ơ„ +4Cị +... + n2”~

Giảip 2 n + l 2 n+V2n+lx

ại lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: 2 n ( 2 n + l ) ( l - x ) 2"’1 =

= 2c;n+l - 3C32n+]X+... + (-1)" k (k -1 ) c*n+lxk-2+ ... - 2n (2n + l) c ^ :í x:


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§25. Sữ d ụ ng đạ o hàm vấ tích phân chứ pgí&ình đẳ ng thứ c củ a C* - Trấ n Phư ơ ng

I!. DẠNG 2: CHỬNG MINH ĐẲNG THỨC C* BÀNG TÍCH PHÂN

1. Các bài tập mẫu minh hộ a:

Bài 1. Chứn g minh rằng: l '+ —Cl'+ —CỈ + . . . + —- — C ” = ----- —

2 3 ft + ỉ n + 1Giả i

Xét (1 + X)" = c° + c ’ X + c2n-•X 2 +CỈ - X 3 +... + cr'x"-1+ c"x"

n + 1 0 n +1

Mặt khác: J(c° + cỊ,x+ cị •X2+ c3n•X3+ c^x"-’+ c"xn)dx =

7 7 f- lf- n .Bài 2. Chứiig minh rằng: — c ! —~ c ị + ... + — -— —C* = ——— & ° -ì n ỉ " „4. r " -4- »

M ặt khá c f(l - x )n dx = — —— = —— : => (đpc m)■' . X - n +1 .ọ n+1

Bài 3. Chử ng r áỉnh r ằn g :— c ị + —C!. +Ỉ -C Ỉ + . . . + — -— c l = —7------ -T-s B 3 " 6 " 5 " ’ 5« + 3 3{ ii + l ) :

Giả i

Giả i

Ta có: (1 - x ) n = c ° -CỊ.X-. -,x2+... + (-1 )” c ^ x '1

- - 1 1 ( =* J(l-x)" dx- j[c® - c ‘X + ... + ( - l ) " C > n]dx = C 1n - i c ; . + „. + i = ^ j - c ;

õ Ổ

Xét P(x) -X 3^ - C ; - Ỹ - x 3n)

Ta có:

0

jp(x)dx = Jx2 (l-i-x3) d x = - J ( l + x3) d(l +,x*);= i -A A ft

1 ( l + x 3)"*1 _ 2n+i - I

3 n + 1 3(n + l )

307



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





cnư ơ ng II: Các ứ ng dung tích phân - Trầ n Phư ơ ng

M1 1

, k há c: | p ( x ) d x = | ( g - 'X2 + c | , -X5+...+C,",-x3n+2)dx =0 0 .

- K * 3 , C ì . - * 6 + . . , . 3 •x3n+3

3n + 3

= -C° +ic'Ị, + -C; + ... +3 “ 6 " 3 "

VẠ y l c s +^-CL + l c ỉ + ... + - J L _ c :3 n 6 " 3 n 3n + 3 n 3{n + l)

2. Các bài tập dành chobạn đọc tự gìảĩ:

Bài 1. Chứng minh rằng:1- - C ' + - C Ỉ - . . . + ( -1 )” - S _ = _ Ị _ 6 2 " 3 ° n + 1 n + 1

Bài 2.^Chửng minh ràng: ì c l -1 * 1 + i c ;

Bài 3 . Chứ ng minh rằng: 2C° - - • 2 zơ n + - - 2 3c„ -■■■+- ty • 2n+1Cn2 3 n+1

Bài 4. Chứng minh rằng : 2C° + - - 2 2c ^ + i - 2 3c * + 2n+' c; ;2 3 n + 1

Uài 5. Chứng minh ràng: 1- I d + ịc ỉ - ỳ c ; + ... + g l c ;

O ' : £ /"■! ’ I -■ (l + e)" +1 , V 1 1 _ 2”+I , 'V' 1 rBài 6. Chửng minh ring: = ^ _ ĩ + g - ^ c

11 n Qk. 2^n+2B ài 7. C hứ n g m in h rằn g: y — 2 — / - ------ T-T ~r - ~ r -----

Ố k + 1 Ố ( k + l ) 2 k+1 (n 4-1)2

Bấi 8. Đ ã t

s „ = ! + —

+ —+ . Chứ ng minh rằng:

2 3 n

'•.$!/-£&_*.+cjs2 +(-ir' cr's,

B à i 9 . C h ứ n s m i n h : c ’ • - - c ị ■- + c 3„ + ( - ì y ' - C " - — = l + — + . . . + " 1 n 2 " 3 v ' n n


WWWFACEBOOK COM/BOIDUONGHOAH

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§2Ố. ứ ng dạ ng tích phân trong phư ơ ng trình - Trầ n Phư

§ 2 6 . Ứ N G D Ụ N G T ÍC H PH Â N T R O N G P H Ư Ơ N G TR ÌN H

!. c ơ s ở LÝ THUYẾT

1. Đ inh lý Ị: Ch o hàm số y = f(x) x ác định và liên tục trên đoạn [a, b].A'2

Khi đó nế u tồ n tạ i X i , x2efa , ố ] (Xi < x2)'sao cho J / ( x ) d x = 0 thì

p h ư ơ n g tận h f ( x ) = Q có nghiệm x0e(xi, x2).

ChirnỊỊ mỉnh

Giả sử f(x) = 0 không cỏ ngh iệm x e ( \ u X2). Gọi F(x) ỉà 1 ng uy ên h àm của f(

Vì f ( x ) liên tụ c trên [X], x2] nệ nf ( x ) > 0 v,re(x i, x2) hoặ c f ( x ) < 0 V x e ( x ì , X

• Nếu f(x) > 0 Vxe( xi, x2) <=>F’(x) = f(x) > 0 Vxe(xi, X2) thì F(x) tăng ữ ê n [X|, x

.V, -r2

=> F(X|) < F(x2) => ị f { x ) d x > 0 mâu thuẫn với giả thiết J / (x)cỉx = .V, AT,

• Nếu f(x) < 0 Vê(x) , x2) <=> F(x) = f(x) < 0 Vxe(xi, x2) thì F(x) giảm trện [x,, x

=> F(X|) > F(x2) => J / Cr )dx < 0 =i> mâu thuẫn với giả thiểt ị f ( x ) d x =

x \ ' x ì

*2 Như vậy trong cả 2 trư ờng họp đã xét đều mâu thuẫn vớ i giả thiết J / (x) dx

*1

Mâu thuẫn chứ ng tỏ phư ơng trình f(x) = 0 có nghiệm xe [x i, x2]

%. Đ ịnh lý 2: Cho hai số thực a, b trái dấu (« < 0 < b). Giả sừ f(x) là hàm

liên tục, không đổi dấu trên [a, b] (có thể f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm).

-V

Khi đớ ừê n fa, b] phươ ng tr ình F{x) = j / ( í ) d t = 0 có ngh iệm duy nhất X = 0


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch trư ng II: Các ứ ng dung tích phân ^ trầ n Phư ơ ng

° Nếu .V' * 0 và x e [a , b ] thì từ f ( x ) > 0 V;te[<2 , ố ] , suy ra Fỳ c) tăng trên [a, b\

-_•> F(.v) * F(0) = 0 , t ứ c là F(x) = 0 không có nghiêm x ^ o trên [a, b].

Vay trên đoạn [a, b], phư ơn g trình F(x) = 0 có nghiệm duy nh ất X - ồ.

3. Đ ịiih iý 3: C ho ba sổ thực a, b, c thoả mãn a < c < b; a < b. Giả sử f(x) là h

số liên tục vả không đổí dấu trên [a, b] (cồ th ề f(x) = 0 tại m ột sổ h ữ u hạn đỉểm

Kill đó trên ịa X

,b] ta có F (x )= ị f ( t )d t= 0 có nghiệm duy nhấtX = ce [a , ỏ]

0

II. 8ÀI TẬ P M U MINHHỌA •

B;ìi ỉ. Cho các số thực a, b , C thảo mãn: — + - — - + — = 0 , m > 0 m + 2 m +1 m

Chứ ng m inh l ằng: Phư ơ ng trình ax2 +bx + c = 0 có nghiệm x0e (0,

Giả i

Dặt f(x)=ca2+bx+c; Fịx)=axnM+bxm+aỉ'-x=xmA{ac +bx+c)=> F(0)=F.(l

-|11 r Bo F(.v) liên tục trên R và jF (x )d x = a -x ra+2 + - ^ — x m+’ + — x ư

111+ 2 m + 1 m= 0

0

nen theo Đ ịn h lý 1, ta có ĩ {x) = ax",+1 +-bxni + cxm~' = 0 có ng hiệm x0e (0,

F ( x 0 ) = X™ ' (a xẩ + b x 0 + c ) = 0 o axổ + b x 0 + c = 0

= 0 có nghiệm x0e (0, 1)

3ìii 2. C ho các số thưc a, bị c t hỏá m ẵn : + . . .+ ^ r + aứ = f i , n e N n + 1 n 2 0


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§26. ứ ng dụ ng tích phân trong phư ơ ng tr ình - Trầ n Phư ơ ng

Bài 3. Cho a, b , c , d e R. Chứn g minh rằng phươ ng tr ình

a sin 7x + b COS 5x + c sin 3x + b C O S X = 0 luôn có nghiệm.

Giả i

ặt f(x) = asin7x + bcos5x + csin3x + bcosx => f(x) liên tục trên R.

-l2ita b c

■—cos 7x + — sin 5x - — COS3x + d sin X 7 5 3

ặt f(x) = asin7x H

■ 2 71

a có: J f (x)dx =

0

heo Đ ịnh lý 1, phướ ng trình f(x) = asin7x + b cos5x + csin3x + bcosx = 0

ó nghiệm Xo s (0 , 2 t t).

ài 4. Chứ ng minh rằng phươ ng trình: 2 ( x - l ) ln X + x ln 2x =4x (1 )

có ít nhấ t 2 nghiệ m phân bịệ t.

Giả i

Với X > 0, phương trình (1) <=> 2(x - l) lnx + xln2x - 4x = 0

f ( x ) = — - n x- + In2 X - 4 = 0 X

a có: f (x ) = 11— + ỉn2 X - 4 l iên t ụ c trên (0, +oo) và

f ( x ) d x = ( x - l ) ( h r X - 4 ) + c = F ( x )h - c v ớ i ¥(x) = (x - l )( ỉ n 2x - 4 ) .

a có F (l ) = ơ, F(e2) = 0, = n^n theo ®ỉn ^ ỉ ý 1, phư ơn g trình f(x) = 0

ó 2 n g h i ệ m p h ân b i ệ t X|3 X2 v ớ i X | S I - 4 -. 1 ị; x 2 e ( l , e 2 ) => ( đp c m)

. ; ' I ’ y V " ' \ài 5. Chứ ng minh ráng phươ ng trình saù có nghiệm x 0e (0, 1):

’

o ln3 + 5* InS - 8Xln8Ì tg X + i l ± i ị z i l = 0COS X

Giả i

ặt f(x) = (3x ln3:+ F l n 5 - 8 Xin 8) tg x + 3 1 ± 4 ị= £ -cos X

a c ộ f(x) l iên tục trên [0, 1] và | f (x )d x = [ ( sN+5* - 8 X)t g x ] 0 = 00

Thèo Đ ịn h l ý 1, ph ư ơn g t r ì n h = 0 c ó ri g hi ệm x o e ( 0, 1).

511



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Các ứ ng dung tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Bài 6. Giải phươ ng trình: 4x3 +12x - 8 - COS 3x + 9cố sx = 0 , xe [0 ,

Giả i

Đ ặt F(x) - 4x3 + 12x - 8 - cos3x + 9cos X. Ta có F(0) = 0 và

F ( x ) = J (4 t3 + 1 2 t - 8 - c o s 3 t + 9 c os t) d t = J ( l 2 t 2 + 12 + 3 s i n 3 t - 9 s i n0 0

= 12 J ( t2 + l + s in^ - 3s in t )d t=12j [ ( t2 +1 + s in3 t )d t0 0

Đ ể ý rằng hà m số f(t) = 12(t2 + 1 + sin3t) liên tục và khô ng â m V t > 0

Đ ịnh lý Ị, ta CQ 4x 3 + 12x - 8 - cos3x + 9cosx = 0 có nghiệm d uy nh

Bài 7. Giải phựơng trình: 5X+I + 7X+I - —X1 ( 5 ln5 + 7 ỉn 7) -1 2 —0 2

Giả i

Đ ật F(x) = 5X+I + 7X+I - Ỉ x 2(51n5 + 71n7) - 12.

Ta có: F(0) = 0, nên F( x> = ỊỊ 5,+1 + 7t+l- ị t 2 (51n5 + 71n 7) -1 2 d

?

(x>= j |5 ,+1 + 7 t+l - ì t 2 l

= Ị[5 ‘+i In 5 + 71+1 l n 7 - 1 (5 In5 + 7 In7)]dt = j^ 5 ln 5(5* - 1) + 7 ĩn7 ( 7*0 0

Đ ể ý rằng f(t) = 51n5(5' - 1) + 71n7(7‘ - t) là hàm liên tục và không â mTheo Đ ịnh lý 2,,phươ ng trình F(x) = 0 có nghiệm duy nhất X = 0

Bài 8. Giải phương trình: x \ lx2 +1 - ln {x +\ jx2 +7)Giả i

Ta có: xV x2 +1 = In (x + Vx 2 +7)<=> x-v/x2 +1 - ln (x + s j x 2 + 1) = 0

Xét F(*) = xVx2 +1 - ln(x + y j\2 + 1 ) . Ta có F(0) = 0 và

F ( x ) = f [ W t 2 + 7 -ìn{t + \Jt2+T )] dt = j

0 0

1++ V t " + 1 -

t + >/t

_ f t + L _ t i ;—ỉ-dt = f , - L d t . Đ ể ý rằng hàm số f(t ) = f â L = l iên0 y Ị ẽ ĩ ĩ ỉ J ẽ 7 ĩ . ; .

không âm Vt, nên the o Đ ịnh lý 2, phương trinh đã cho có nghiệm duy n

312



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§26. ứ ng dụ ng tích phân trong phư ơ ng trình - Trầ n Phư

J 3 Bài 9. Giải phư ơn g trình X - cosx - Ị - + —0 (1)

6 2

Giả i

ẽ ~ ~ 2 'Đ ặt g(*) = X - cosx => g | | - j =

(1) <=> F(x) = g( x) - = 0 o J ( t - c o s t ) dt = 0 o J ( l + s i n t ) d t = 0 .

f . 6

Đ ể ý rằng hàm sổ f(t) = 1 + sint liên tục và khôn g âm trên R, theo Đ ịn h

phư ơng trình có nghiêm duy nhất . * = - § .6

Bài 10. Giải phương trình : e'x - sin(e~x)cos(e~x) - n = 0 ( i )

Giãi

Xét hàm số F(x) = e~x - s i n ( e -x) co s( e" x). Ta có: F(-ln7t) = 71.

P hư ơ ng tr ìn h Ợ ) o F(.í) - F(-lnrc) = 0 o J F ' ( t ) d t = 0- In%

hay J [e"‘ - siri (e"‘ )cos(e_l)] dt = 0=> J [~2e"‘ sin2(e_t )]dt = 0—In ÍT ; - In ít

Hàm số f( t) = -2 e _t sin2 (e"‘ ) l iên tục và không d ư ơn g V ts R , the o Đ ịnh

phư ơ ng tr ình đã cho có nghiệm dủy nhất X = -lnrc.

Bà i 11. Giải phư ơn g trình: X - e~xarcígex - Ậ - ín ( l + e ỉx) + ^- + ^-ln2 = 02 4 2

Giả i

Xét hàm số F(;r)= x - e ~ x aretgex - ì j n ( l + e2x) => F(0 ) = -Ị -^ + -ì-l])2j


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng II: Các ứ ng dụ ng tích phân -Trầ n Phư ơ ng

!!l. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠNĐỌC T ự GIẢ I

G i ải c á c p h ư ơ n g t r ì n h s a u : • , •

rx - , , ~ x X n - 2 „Bài 1. — ----- r + arctg — ----------= 0.2 ( x 2 + a 2 ) a 8 a

Bài 2. x2arc tg X + aretg X - cos3x + 2x +Ị = 0 (* > 0)

~ x 1 , X —a /11 , l \ 1 „

Bài 4. x ^ x + / _ _ l in (x + Vx2 + l ) = 0 ■2 2

, - . 3tĨ 1Bài 5. 3x - sill X cos X = — ——

4 2

B ài 6. 8V x ar csin V x + 8 \ / l - X - n y / ĩ - 4 ~JĨ. = 0

n T 2 2 _

_ - x v a - X a : X a j t .Bài 7. ------ — --------- + —-ar cs in—■------ — = 0; 4

Bài 8. 3x - sin XCOS X+ ị - = ò2 4 :

« x 1,_ (x + l)2 2 2x - 1 1 l ị . 2 7C Bài 9. 7 — 7 + -7In———— + — 7=arctg—-7=—= -^ + —in 4 + —-7= - —■

3 ( x 3 + l ) 9 X - - X + 1 3 ^ 3 V 3 6 9 3 y /ỉ 6

1 X 3 _ X , 371 + 10 nBài 10. — 7------------- J—------ r — - ra rc tg —+ —- - - ---= 0

a X 2a4(x2+ a ) 2a5 a 8a5

Bài 11 . Xarcs in2 X + 2 v l - X2 arcs inx - 2x = 0

Bài 12. x^ x a —— ln Ịx -t- V X2. —a2 Ị+ — la Ịá| = 02 2 2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§27. Diệ n tich hình phăng - Trầ n Phư ợ ng

§ 2 7 . D I Ệ N TÍCH HÌNH P H Ẳ N G

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG XÁC ĐỊNH BỎI ĐƯỜNG CONG y = f ( x )

. DIỆ N TÍCH HÌNH PHẢ NG GIỚ I HẠ N BỞ I 1 ĐƯ Ờ NG CONG:

.1. Bài toán: Tìm diện t ích hình phẳng s giới hạn bởi

y

/ U ) > 0

n nJ s

■

o

O a b X

ì>

.2 . Công thức tổ ng qu át: s = a

.3. Công thức khai triển:

b. 5 = a nếu / (x ) > 0

a

nếu f(x) < 0

( c ) : y = f ( x ) Ox:y = 0

x = a, x—b

b -r •

s jp

/ « < 0

f ( x ) > 0

s = - ị f { x ) d x nếu f(x) < 0 a

c ú b

s = ị f ( x )dx - ị f (x )c ỉx + ị f { x ) d x a ‘C d

DIỆN TÍCHHÌNH PHÂNG GIỚI HẠN BỞI 2 DƯỜNG CON G:

.1 . Bàitoán : T ìmdiện t ích hình p hẳng s giới hạn bời

b.2. Công thứ c tổ ng quát: s = j j / ( x ) - g Ị . x )\dx

y ế ^ a y^

\ C \ ) - y = ĩ ( x )

x - a , x = b



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng lì: Các ứ ng dụ niỉ tịch phân - Trầ n Phư ơ ng

2.3. Công thứ c khai triể n:

h a. s = J(/ (.v) - g( . t )) dx nếu j{x ) > g(x) V xe [a, b]

ứ

'h

b> s = ị ị g ( x ) - f ( x ) } d x nế u fix) < g(x) Vx efa , b] a

V h c. s = J ( / C * ) - g (:«))<*:+ J ( g ( x ) - / (* ) • )< &

ơ c

3. DIỆ N TÍCH HÌNH PHÀNG GIỚ I HẠ N BỞ I CÁC ĐƯ Ờ NG CONG Tự CÂT KHÉP

• , K ^ ) : y = f (3.1. Bài toán1: Tìm diệ n tích hình phăng s g iớ i hạ n bở i •)

K y - 7 =

' Ạ

Bư ớ c 1: Giải phư ơ ng trình: / ( * ) = £ (*)<=>

b "

Bư ớ c 2: Sử dụng s = J|/ ( * ) - - £ (x)\dxa

3.2 . Bài toán 2 : Tím diệ n tích hình phẳ ng

s g iớ i hạ n bở i

(Cì ) •••> = / (*)

(C ị ) :y. = h( x)

Bư ớ c 1: Giải p hư ơn g trình tươ ng giao —» tìm hò ành độ giao điểm

c = (c, )/ -)(£,) giải phư ơn g trình f ix) = g(x)

• A = (Cj) n (Cj) giải phư ơng t r ình g(x) = hự )

B = (Cj) n (Cj) giải phư ơn g trình h(x) =J[x)

c b

Bư ớ c 2: Sử d ụ n g s = J ( / (x) - h (x ))dx + j ^ g O t ) - A ( x ) ) í ỉtã C

4. CHÚ Ý: Cầ n phả i điề n"đ vdt" vào kế t quả cuố i cùng trong các

t ính diệ n t ích hình phẳ ng316



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§27. Diệ n tícli hình phẳ ng - Trầ n Phư

5. CÁC BÀI TẬP MÀU MINH HỌA

(p ) : y = 2x2 - 4x - 6

Bài 1. Tính S: ' Ox:y = 0

-V = -2 , .V = 4

Giả iCách 1: Lập bảng xét dấu:

X -2 -1 3 __________ 4

f{x) + 0 I õ 7

Ibảng xét dấu ta có:

s = ị ( 2x 2 - A x - 6 ) d x - ị i l x 2 - 4 x - 6)dx + ị (2 x2 - 4 x - 6 ) d x = (đvd-2 -1 3

y *

Nhìn bản g xét dấu ta có:

Cách 2: Vẽ đồ thị:

Bài 2. Tính S:

( P ) - y ~ x 2 - 3 x + 2

(D ): y = X —1

Oy :x = 0

( p) n O x : X2 - 3x + 2 = 0 o X= 1; X= 2

( P ) n ( D ) : x 2 - 3x + 2 = X -1


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng II: Các ứ ng đ m s tfch phân - 'Trầ n Phư ơ ng

Bài 3. Tính S: {(c)y 2 + X .-5 = 0 ; ( Đ ) : x + y - 3 = oị •

Giả i

2ị ( c ) : y2 + X —5 = 0 j ( c ) : x = 5 - y :

[CD): X+ y - 3 = ồ | ( D ) : x = 3 - ỵ

( c ) n ( D ) : 5 - y 2 = 3 - y <=> y 2 - y - 2 = 0

y = - l

y - 2 ;

x = 4

X = 1

( c ) n 0 x : y = 0 =>x = 5

Cách ỉ : s = ] [ ( 5 - y 2) - ( 3 - y ) ] d x = - J ( y 2 - ý - 2 ) d x- ỉ - 1

✓ , „ ' N2

— - — - 2y3 2

-1= - | | - 2 : - 4 ] + ( y - ị + 2] " f

4. ________ '5 j __________

Cách 2: s = |[ạ/s - X - (3 - x)]dx 4: 2 ị \I Ị - xdx BI ' '4

= J(3 - x ) d ( 3 - x ) - Ị( 5 - x Ọ 1/2d (5 - x ) - 2 | ( 5 - x ) I/2 d (5 - x )1 " l - 4

(3 - x )3- x )

3/2:- i ( 5 - x ) 3/23 = I i - 2I - —(1 - 8) - Ắ (0 - 1) =\ 2 ) 3 3


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




•4

§■77. Diệ n tích Ị tình p h ầ tg ,-Trầ n PỊ iự mg

ài 5. Tính S: [(C ị ): y = arcsir ix ; (c^) : y = arccosX; O x : y .= oj

■V2/2 1

ách 1: s = J a r c s in x d x + I a rc c os xd x (rẩ i dài)0 Ậ ị i

. - [( 4 ) y = ạrcsin X . f(A ) : X = sịn yách 2: 1 . o i ;

l (C2) : y = arccosx Ị(C , ) :x = cosy •

. ! 1 í; ' I ' Á7t/'4 1 p /<

= j ( co s y - s in y ) d y = ( s i n y + COSy)]71 = V2 -1 (đvdt) \ ỉ / 0 '■. -i.y. - 1 ' l

a i 6 T ín h S : {( Cl ): y - a r c t g x ( £2) : ý = a r c c o t g x ; ồ x : y = oỊ

[ ( q ) - . y - a r c t g x

[(p2) : y = arc cọt gx

i (Ci ) :x = tgy

V Ị( ạ ) : x = c otg y . ..

=>(^ i ) n (<í ) = í 1>'Ị:ì ■ ;

Giả i * ' V____ 71

21C 4

/ 0 1

■v = 0 < ^ ^ 7t2

V ■■ . XH- : .

à i 7. t í n h S: | ( ? ’> i y 2 - 2 y + x = 0 ; ( D ) : x + y = ữ Ị

■■■•; / ' Gi ả i :

ỹ Ọ : y 2 )r 2y + x = 0 : Ị (<&): X = -^ỵ2 + Ị .y

(D ) :x + y = = 0 ; | ( D ) : x + y = 0

ễ?)n (D ) : ^ y 2 + 2y + y = 0 «y = 0;x = 0

V = 3; X = -3



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





.Chư ơ ng II: Cúc ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Nhìn vào đồ thị ta có:

1 3 9 .= - - • 2 7 + - - 9 = - (đvdt)3 2 2

s = J[(-y2+ 2y )-(^y )]dy = J(-y2+2y + y)dy0 ' 0

= j(-y 2+ 3 y ) d y =

B ài 8. Tính S: | ( p ) : y 2 = 2 x ; ( D ) : x - 2 y + 2 = 0 : O x : y = o}

Giả i

[ x = 2 y —2 [ x = 2 y - 2

[ y= - 4 y + 4 . ( . fỵ = 2[x = 2 y - 2 . [x = 2


y

2

11

1s r í

- ( W S S s-2 o V >2(D)

( p N v •-2

s=ì - ( 2 y - 2 ) đ ỵ = j y - y 2 + 2 y = - - 4 + 4 = — (đvdt)6 6

Bài. 9, Tính s giới hạn bời : ( p ): y = x2 - 4 x + 5 và 2 đư ờng t iếp

(P) tại A (l , 2) và B(4, 5). y |

Giả i

Ta có: y ' = 2x 1 - 4. Phư ơng trình tiếp tuyến tại A(1, 2 )

y = y ' ( ] ) ( x - l ) + 2 = ( 2 1 - 4 ) ( x - l ) + 2 = - 2 x + 4 ( d , )

Phương trình tiếp tuyến tại B(4, 5)

y = y ' ( 4 ) ( x - 4 ) + 5 = ( 2 4 - 4 ) ( x - 4 ) + 5 = 4 x - U (đ2)

{ d , ) r i (d . ): 4 x - ] l = -2 x + 4 o 6 x = 1 5 o x = — ___ I I____ MZM _2 o ĩ 2WLL

1 yỊ A Nhìn vào đô thị s„iy ra : ■ K ơ

d 2 / Y5 /2 . 4 '

s = s, +S, = j [ (x 2 - 4 \ + 5) - ( - 2x + 4) ]dx+ J[(x2 - 4 x + 5 ) - ( 4 x1 . 5/2

320



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§27. Diệ ntich hình p/tẳ ng - Trầ n Ph

5/2 4 5/2 4

= J(x2-2 x + l)dx+ J(x2-8x + 16)dx= J (x -l) 2d (x -l) + J (x -4 )2 d(x1 5/2 I 5/2

(x-1)35/2

( x - 4 ) 3

5/2

= — (đ4

Bà i 10. Tí nh S : | ( p ) : y = - —(x 2 - 8 x

(P )n (H ): - —(x2 - & x + l ) = — ^

3 X - 3

’ x ( x 2 - r l l x + 28) n _ o ----------7—— T ------- = 0 <=>

3(3-x )

Nhìn đồ th ị suy ra:

X = 0 X = 4

X = 7

G O I I - - ( x 2 - 8x + 7) - - — —

r -

1 HX

—* 0 X2 8x 4 4

43 \ - 3 . 4 . 3 3 3 x - 3 .

dx

ì ( ' l ' + í 3“ " 3 x _ 4 1 n | x ' 31) = 9 + 8 !n 2 (đ vd t)

Bài 1 1 . Cho: { (p ) : y- = 2x ; ( c ) : X2 + y 2 = 8 } .

(P) ch ia (C) th ành 2 phần, tim tỉ sổ diện tích củ a 2 phần đó.

Giãi y


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chimtg //■• Các ứ ng d ụ ng tieh phân - Trầ n Phư ơ ng

1 ir/4 ~/4 .

| V 8 - y 2 dy = j V ỗ - 8sin2 t.2V 2 cos tdt = 8 I V l - s i n 2 1 cosídt0 0 ' 0

tc /4 íc /4=8 I COS2 td t = 4 J (l + co s2 t)đ t = 4

0 0t + Ậ s in2 t

2 . .

V ậy S2 = 2 1 - - = 271 + 4 - - = 271 + - (đ vd t)

Ta có: Sị+S2 = ĩ i { l y j 2 ) =S ĩ j : => Sj = 8u - Ị27H - = Ố7I - — (đvdt)

S| 6tc~ 3 ĩ8 t ĩ- 4 9 n - 2

2ĩt + — 671 + 4 - 371 + 2 :3 '

. .Z 7 t H r . | . ....... . .' .r ..*. . .

Bài 12 . T ính S: | ( p ) : y = | x? - 4 x + 3 | ;(D) : y = X + 3Ị

Giả i

x + 3 = x 2 - 4 x + 3 X2 - 5 x = 00

X + 3 = -x? •+ 4 x - 3' X 2 - 3 x 4 - 6 . . L( P ) n ( D ) :

X + 3 = ■

( p ) n 0 x : y = 0 => X2 -4 x .+ 3 = 0 < 3

s = j [ ( x + 3 ) - ( x 2 - 4 x + 3 ) ] d x . +

0

+ j [ ( x r 3) -f ( x 2 - 4 x + 3 ) ] dx +I

+ j [ ( x + 3 ) - ( x 2 - 4 ^ í + 3 ) ] d x


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§27. Diệ n tick ,hình phắ ng - Trầ n PỊ Ị ự ữ ng

ài 13. Tính S: | (c , ) :y.= ỉ- 2 s i n 2 — ; (C 2) : y = l + ^ - ( D ) : x = - l .{ 2 lĩ 2 J2:

Giả i

c , ) : y =2 3x

l - 2 s i n - r 1

2= |cos3x|

h ìn vào đồ thị t á cố:S = SANOj - 3 S 0IK

7 + 1 a , f - , „— I cos3xđx = 27t-sin3x =271-1

2 ■ '2- J - ■ ■ „: c a

à i 14. Tìm diện tích hĩnh phẳng s giới hạn bở i

): ý = X2 - 2x + 2 và các t iểp tuyển của (P)

i qua A(2; -2) .

Giả i

ườ ng thẳng qua A có dạng (d) : y= k(x - 2 )- 2.

I . . 2 . o _ '1 > Y „ o

) là tiếp tuyến cù a (P) khi

X ,

2 x - 2 = k

- 2 x + 2 = = k ( x - 2 ) - 2

(x 2 - 2 x + 2) = [ k ( x - 2 ) - 2 ] :

2 x - 2 = k- » I <=>

X = 0; k = - 2

X = 4;k = 6\ x 2 - 2 x + 2 = ( 2 x - 2 ) ( x :- 2 ) - 2 Ịx 2 - 4 x = 0

ậy 2 t iếp tuyến của (P) đi qua A là: (di ) : y = -2 x + 2 t iếp xúc với(0, 2) và (đ2): y = 6x - 1 4 t iếp xúc vợi (p) tại C(4, 10). y

ậy s :Ị(p) :ý = -2 x + 2 ; (dị) : y = -2x+2 ; (d2) :y=6x -14)

h ìn vào đồ thị ta có:

= J [ (x 2 - 2 x + 2) - ( - 2 x + 2 ) ]d x0

4

j [ ( x 2 - 2 x + 2 ) - ( 6 x - ! 4 ) ] đ x2 f

2 4 2 4 ■ ■■

| x 2dx+ | ( x 2 - 8 x + 1 6 ) d x = j x 2đx + j ( x - 4 ) 2 đ ( x - 4 )0 2 . 0 ■ í

(x - 4 ),.\3

= | i _ o ] + | o - ^ l = W = ^ .u J l . 3 / 3 3 3

323.



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chtrffng II: Cứ c inis ỊỈỈÌỈỊK tích phâu - Trầ n Phư ơ ng

B ài 15. T ín h S : | ( p , ) : y = x2 ; ( P , ) : y = ; ( H ) : y = — Ị

(P |)n (p 2) : x 2 = ^ » x = 0 => y = 0

( P j ) o ( H ) : x : = — o x 3 =27<=>x=3X

(p,) n ( H ) : — = — <=>X3 = 2 f o x = 9v ' 27 X

Nhìn vàọ đồ thị ta có :

S . ^ - ĩ l ì d x / i í S - ỉ Ị ì d x .27 X 27

26 x

81

= - o j + 2 7 l n 9 - 2 7 ! n 3 - 9 + - j = 27ln3 (đvdt).

Bài 16. Tính S: Ị(p ,): y = x2 ; (P2) : y = ị ; ( H ,) : y = - ; ( H2) : y =

Giả i

( l^ )n (H ,) :x 2= - o x 3 = 2 c > \ = 2= >y =\ /4

(f’ )n (H ,):x 2= ^<».\3=8<»x = 2=>y = 4 4 -1 ------ V ị

t o w n , ) : — = - » x 3=8<=>x=2=>y=l Y

(P2)n (H ,) :— =-<=>x3=32<=>\=2sỈ4^>y=2ĩÍ2 \ J

Nhìn vào đồ tlvị ta có: ° Ỉl2 2 2t/4

í

= - - 2 In 2 - —+ 2 111 \/2 + 8 111 ^ 32 - — —8 In 2 + — 3 3 12 12

. = -2 !n 2 + ịl n + 4 % 2 - 8 ! n 2 = 41n2 (đvdt)

f 3 s\

2

( — - 21 n x +I 3 lã32 8

— - 8 1 n 2 +12 12

li/3

= -2 III2 + —ln+ — III 2 - 8 1112 = 4 1112 (đ vd t)3 3

324



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§27. Diệ n tích hình phẳ itg - Trầ n Phư

Bài 17. Tính S: {(p):.y = |x: - l | ; ( D ) : y = 1x1 + 5}

Giả i

Phương trình cùa (P) và (D) đều chẵn đổi vớ i X, vì thể s là miền có trục

xứng qua Ọ y => s = 2S' với S' là miền có X > 0.

Khi đó: (p ) n ( D ) : (x 2 - 1)2 = (x + 5)2

<=>X2 - X - 6 = 0

<=>X = -2 \ Jx = 3

X = 3 = > | y = 8x 2 + x + 4 = 0

( p ) o 0 x : |x2.-1 | = 0 <=> X = '±\ => X = 1> 0

Nhìn vào đồ thị ta có: S' = j [ ( x + 5 ) - ( l - x 2) ]d x + j [ ( x + 5 ) - ( x 2 - l ) ] d x0 1

= | ( x 2 + x + 4 )d x - | ( x 2 - x - 6 ) d x = |^— + — + 4xj —— 6 x j

' ( H + 4 - ° H 9 - ! - i8M H - 6 H - v , y s - 2 s , ' f (đvd

Bài 18. Tính S: { (p) :y2 = 4 x ;(c ) : y 2 = ( 4 - x ) 3}

Giả i

Phương trình cùa (P) và (C) đều chẵn đối với y, vì thể s là miền nhận

( p ) n ( c ) : 4x = ( 4 - x )3 <=> X3 - 1 2 x 2 + 52x + 64 = 0


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ nự ỉ ĩ : Các ứ ns đụ ng tích phân —Trầ n PhtĩQtng


2 4 ___________________ 2 1 4 3

s, = jV4x2dx+ jV( 4 - x)3dx = 2 Jx^dx - j ( x - 4)2 đ(x--4)

0 2 ã 2 .

3

Cách 2: S:

8n /2- 0 0 +

•8 f f i "

15

( p ) : x = - l y 2

[ (c) : X= 4 - y 2'3

2 2

s, = I ( 4 - y ^ ) - ^

0

. Vậy S = 2S' =

dy

1

= . s . Ạ y - ự - Ị ^ Ỵ (đvd'v 5 12 J 0 V 5 12 ) 1515

Bài 19. Tính S: {(p )’:y 2 = 2x; (c) : 27y2 = 8 ( x - l ) 3 }

Giả i

Phương trình của (P) và (C) đều chẵn đối với y, vì thế s là miền nhậr

làm trục đối xứng. Gọi S' là phần nằm trên trục Ox, khi đó s = 2S'.

Đ o y2 > 0 =5> (x - I)3 > 0 => X > 1

(pW C):2x = — (x - l )327

« 4x1-1 2x2 -1 5x - 4 = 0 o (x - 4) (4x2 + 4x + 1) = 0

<=>(x -4)(2x + l)2 = 0=>Jc = 4=>y = 2 yjĩ

(p) nQx: 2x = 0 <=>x=0; (c) n C k :(x -l)3 := 0 ọ x = l

Nhìn vào đồ thị ta cố: 2-y/2


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N






Chư ơ ng II: Cứ c ừ ng dụ ng tịch phân —Trầ n Phư ơ ng

Bài 22. Tính S: | ( c ) :y = sin |xị; ( D ) : y = Ịx| - 7t I

G iả i

Do hàm số y = sin |x |,y = |x| -7 i chẵn đối với X nên miền s nhận Oy

đối xứng. Gọi S| !à diện tích của miền s nằm bên phải trục Oy.Bạn đọc tự chứng minh 2 đồ thị y = sinx và y = X -71 trên miền

x>0 cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ X = n.

T a c ó : s , : { x = 0 ; y = s il l X ; y = X - J t }

s = 2 S | = 2 Ị[sin X-(x -7 t) ]d x = 4 + n20

Bài 23. Tính S: {o < y < 1;y = (x + 1)2 ; X = sin7iy}

G iả i

X = s in 7cy e [—1, l ] => X + 1 > 0 ; mà 0 < y < 1 n ê n y = ( x + ọ 2 <=> X = y

I ' ( l ' 2 -S - Ị( s in n y - - ự ỹ + l)d y = cosrcy— y 2 + y

Bài 24. Tính S: {x2 + y 2 = 4; X2 + y 2 + 2x = o}

2 1 ^ „= —+ — (đvd t)7t 3

G iả i7

Sị = j v 4 - > r d x . Đ ặt X = 2sint 2| 70

=> d\ = 2 co std t ; - \ /4 -x 2 = 2\/ĩ- s in 21 =2cos t

íí/2 It/2 ị=> Sj = |2cost.2costdt = 2 J(l+cos2t)dt=(2t + sin2t)|^2 =7Ĩ

0 0

0 0 0

s 2 = J w 4 - X 2 - \ j - 2 x - x 2 ) à x = jV 4 - x 2d x - J V - 2 x - x dx-V ■ J> -7

= J \ Ị 4 - x 2dx - j"Vl - ( x + l)2 dx = (2t + sin 2t)|° ^ - (t + sin = 7ĩ-2 -2 ,

s = 2 ( s , + S j ) = -2 ^ jt + - j = 3 ji ( đ v d t) •

328



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§27. Dịệ n tích hìnhph ẵ ng - Trằ n Ph

<=>(x2 - 3 ) ( x 2 +12) = 0<=>x 2 =3<=>x =±V3

Jĩ' VI

+2Ỉs!ĩ 0

+ I I 0 y '-Vã 0 V3

° / V á-2

' A s =

- 3

i f - — W 4 - X 2 ìd x = - — + 2 Ỉ% / 4 -x 2d x = - ^ + 2 ỉ'

3 . ' 9 -ự ĩ 0 3\'3

Xét í = j V 4 - x 2dx. Đ ặt x =2sint= >d x=2 costd t ; i /4-x2 = 2\ / l -sin21 =2cos0

k /3 ' it/3 ' ,

=> I = J 2cost.2costdt = 2 J(l + cos2t)dt = (2t + sin 2t)|* = :U 0

n/3—-—H— —3 2

-2 \ ỈJ ( 2tĩ >/3 ì 47t . >/3s = —— +23

- H—-— — ------h -3 2 ) 3 3

Bài 26. Cho a > 0. Tính S: j( C ị) : y =X2 + 2ax + 3a2

1+ a; ( c 2):y =

a - ax

1+ a'1 J '

Tìm a để s đạt giá trị lớn nhất.

Giả i

(C,)n(C2):a2 - a x x2 +2ax + 3a2

= 0 »1+ a 1+ a

<=> X 2 +3ax + 2a2 = 0<=>(x + 2a)(x + a) = 0<=>x = -2 a

x = -a

— (1

a2 - a x x2 +2ax + 3a2-a

dx = I|x2 +3ax + 2a2|

:


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chư ơ ng II: Các ăng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Bài 27. C ho (P): y = X2 và 2 điểm A, B ẹ( P ) sao cho AB =2. Tìm Ạ , B

cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và — *u ~— A° ■*“* “ —

Giả i

Gọi A(a, a2), B(t>, b2) (b > a) =>- PT (AB):^2 _ 2

V- a 2 = — --- — (x - a) <=> y = (b + a ) x - a b b - a

b • bs = Jj(b + a ) x ' - a b - x 2 | d x = J | ( x - ă ) ( x - b ) Ị d x

a a

= - | ( x - a ) ( x - b)dx =-Ị^ —X3 - a X2 + ab xj = —( b - a ) 3 (đvdt)

0 < (b - a) < AB = 2 => s = —( b - a ) 3 < —AB3 - —-23 = —6 6 6 3

_ r, 4 íb - a = 2 í b - a = 2 fb = l ÍA ( - I , l )

MaxS = —<=> i <=>í , , <=>V X ■3 [AB = 2 Ịb - a =0 Ị a = - 1 |b(1,1)

Bải 28. Cho (P): y = X 2 . Viết phươ ng trình đư ờn g thẳng (D) qua 1(1, 3)

sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bời (P) và (D) đạt giá trị nhỏ nhấ

y

\(P) B'

aU m

1\ỈỈỊỈỈỈỉỉt \ yj/if/f/i f s l f

Ẹ .

a o 3

: l ( b - a ) 36

(đvdt)

Giả i

Giả sử (D) c ắt (P) tại 2 điểm p hân biệt A(a , a2), B(b, b2) (b > a)

h2 -R 2=5> (D): y - a 2 = ------ — ( x - a ) o y = ( b + a ) x - a b b - a

b ■bs = | ( b + a ) x - a b - x 2 Ị d x = | Ị (x-a) (x-b) Ịdx

a a

b b= - Ị(x - a ) ( x - b )dx = - j"(x2 - ( b + a )x + ab)dx

a Sir a ■ • •

ỵi' \<p) 8

B

\ ^ ơ íĩỉĩllil

\ì/ì/ìl/ \ y j////j1 'U/fj


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§27. Điệ n tick hirth p h u n g —Trầ n Phư ơ ng

i 29, Trên (P): y = X2 lấỵ 2 điểm A ( - l, 1) và B(2, 4). Tìm điểm M trên

cung AB sao cho điện tích AAMB lơn nhất y1G iả i

ên (P) lấy điểm M(a, a2) với a e ( - l , 2).

B): - ^ < > y = X + 22 - C - O 4 - 1 3 :

M): = y ~ 1 <=> y =(a - l ) x aa - ( - l ) a -1

X - a _ y - a

2 - a - 4 - a 2

<r - -

a2- ĩ- o y = (a + 2 ) x - 2 aa

. .» ’ : \ -■ . 2S AAtìB' - J[(x + 2 ) - ( a — l ) x - a ] d x + | [ ( x + 2 ) - ( ạ + 2 ) X + 2 a] d x

-1 'á'

2 - a ) J ( x + l )d x + (ầ + l) j ( 2 . - x ) d x = ( 2 - a ) ^ — + x j

2 - a ) [ y + a - i + l ] + (a + l ) [ 4 - 2 - 2 a + - ] = ^

amb = | ( 2 V ( 2 - a ) ( a + l) )2 > | ( 2 - á + a +1) = o 0 . 0

+ (a + l) 2x -

nSAAMB 8

1 1

2 4

ao với (P) tạò thành hình có diện 'tích nhỏ nhất.

G iả i

) n ( D ) : x 2 4 -l = mx + 2 < » x 2 - m x - l = 0 (1)

= m 2 + 4 > 0 Vm nên giả sử (D) cắt (P) tại

Ỷ ‘ !. a y

V 2( D ) ^ i

ĨĨỊỊỊỊIIIIIi/ 1

ầ ^ứ Ể ÍÍIi1 n Kw

p y # 1

yTOttr 1

/ — s

C ứ A

I w

a o b X

a a a

b / \= —J(x2 - ( b + a )x + ab )dx = - / y x 3 - - ^ - X2 + abxj

a

= —( b - a ) 3 (đvdt)o

331



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng l ì : Các íạ ĩ Ị ỉ d ụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Do a, b là 2 nghiệm cùa (1) => a + b = m, ab = - ! =i> s2= — [ ( b - a& 36

= — [(b + a )2 -4a b] = — (m2 + 4) > — = — = ^ s > —. MinS = — <=36 36 36 9 3 3

Bài 31. Chứng minh rằng: Đ ường cong ( c ) : ỵ = e ' ax sin Px (x > 0

Ox các phần diện tích lập thành một cấp số nhân có công bội: q = e

G iậ i y ;

Xét tương giao ( c ) n Ox :e“ax sin 0x = O

1171<=>sinPx = 0 o x = — (neZ )

-e'“ssinPx

(n + l);t/n

n»/3 •

Gọi s„ là diện tích hình phẳng thứ n. o

(n+Dn/ISs„ = Ị if(\)|ct\

nit/p

(n+I)ĩt/[ỉ / |\n+l (n + l)jr/p

= J (-])" e‘“xsinPxdx =---— I sin|3xd(e"“x)ns/ll a ira/fl

jy1+' n+1WP

a í„ ( p )nn/p

(n+l)n/p „ (n+l)ír/p

=C—1)" — f e'a'cosị3xdx =(-l)”+1— f cosPxd(e_ax)n J Cí 2 J

»*/!3 nn/p

= ( - l ) n+1 -^-e_ax cosPx or

-ctnrc ( . y -antt

=Êỉ21(e1s +l)-(.1)-£ -* fe- Stoi&dx=ftIl(,T+1)a »4P a

^ i 1+ £ i s „ +1) e = r = _ Ê _ ( eT + , ) e= f \ a J . a ~ ' a

l)tt

(n+l)it/pI1JI/P

_ (n+I)ít/p

+ ( - l ) n+l-^- f e~“*d(cosPx)r t J

R I z s ts . \ r í l í iL t

■ S„+ l= J J e » + l )ea + Ị3

a + p

■-ct(n+l)ĩT -anĩĩ -gìĩm±L = e ps„

Sn+l= e p

332



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§27.'Diệ n tích hìnhphẳ ng - Trầ n Phư

I I . DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG CỦA ĐƯỜNG CÓ PHƯƠNG TRÌN H THAM SỐ

1. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH :

* I X = cp(t)1.1. Già sử đường cong (C): ỵ =fl,x) có phư ơng trình tham sô <1 ^ J

bTrong công thứ c tính diện tích s = |f(x )|dx ta thay thế y - f ix ) bởi y = i

a

dx đượ c thay Ể ời dx = cp'(t)dt, còn 2 cận a, b đư ợc thay thế bởi 2 cận m

a , p lần lượt là ngh iệm của các ptiương trình: a = cp(t);b = cp(t), khi đóp

có côn g thức tính diện tích hình phẳng: s = jji|/(t)<p'(t)|dta

1.2. Nếu đư ờng cong (C) có phư ơng trình tham số Ịx ~ (o < t < T

đường kín trơn từng phần, chậy ngược chiều kim đồng hồ và giới J T

diện tích S ở phía trái thì s = —J[cp(t)\|/'(t)-ij/(t)<p'(t)]dt

2. CÁC BÀ! TẬ P MẢU MINH HỌA

Bài l.-T ính diện tích hình elip giới hạn bởi (E): + = 1a b

Giả i

Phương trình tham số của (E ):Ịx _ k°?s *;0 < t < 2 n

Xét phần diện tích cùa (E) nằm trong góc phần tư I

- - ' (0 = a c o s t ( t = 7 t/2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng 11: Các ứ ng dims tjch phân - Trầ n Phư ơ ng

(T

Ta có: s = 2 J a( ] - c o s t ) a ( l - c o s t )d t0

-2a2 |( l - c o s t ) 2 dt = 2a2 J(l -2 c o s t + cos2 t)dt0 0

, 5"|{ „ . ] + c o s 2 t \ , ->(3 - 1■2a Ặ 1 - 2 cos t + ---- — ---- j d t = 2a Ị— t - 2 sint + —sin2t

2a

= 3 na (đv

Bài 3. Tính diện tích s cùa các hình giới hạn bởi đường cong Astroide

X = a cos31

y = bsin ' t

0 it/25: s = 4 I b s i n 3 t (-3acos" t s i n t ) d t = 1 2 a b J ( s i n 4 t - s i n ố t )

rc/2 0:/2 tc/2 /-

J sin2 t ( s i n 2 tco s2 t)d í = 12ab J í0 0 '

dt

1-co s2 t H sin 2t

õ õ

= Ịs in 2 2 t d t ị s i n 2 2t cos2tdt~ 0 2 0

7(

= I (1 -c o s2 t) d t I s in 2 2t đ(s in2t)0 ' 0

í 1 'N“/23ab 1 sin 2t _ 3ab7T

= s in2 t ----- ----

= —— (đvdt4 V 2 3 J ữ 8

Bải 3. Tính diện tích s của các hình giới hạn bời đường cong Cardioide

[x = a ( 2 c o s í - c o s 2 t )

Ị_y = a ( 2 s in t- s in 2 t)

Giả i

]'ĩz


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§27 . Diệ n tích hình pitting - Trầ n Phư ơ ng

. DĨỆN TÍCH HÌNH PHĂ NG CÚẠ Đ Ư Ờ NG CONG TRONG TỌ A Đ Ộ c ự c

HỆ TOẠ Đ ộ CỰ C:

1 . Đ ịnh ng h ĩ a :

on g mặt phẳng chọn 1 điểm o cộ định, gọi là cực — • — o p Xà một véc tơ đơn vị O P , tia màng véc tơ OP gọi

trục cực; hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ

ực. Vị trí cùa mỗi điểm M trong mặt phẳng đư ợc xác định bởi véc tơ OM

h ĩa là xác định bời góc <p= (o P ,Õ M ); r = |Õ m |; cp được gọi là góc cực và r

ợc gọi là bán kính cực. Góc cp là một góc định hướng lấy giá trị dươníỉ

u chiều quay OP đến trùng với OM ngược chiều kim đồng hồ và lạy giá

âm nếu cùn g chiều kim đ ồng hồ. Neu 0 <cp<27i và r > 0 thì cặp số có

ứ tự (r, cp) được gọi là các tọa độ Cực của điểm M trong.mặt phẳng. Bằng

ch xây d ự ng này ta có một song ánh giữa tập tích Đ e các [0,27t)x[0,co) và

c điểm trong mặt phẳng tọa độ Cực, tức là: Mỗi điểm M trong mặt phang ứng

i một cặp số thứ tự (r, (p) (riêng đ iểm o tliì r = 0, CÒ1Í cp-tùy ý); và mỗi cặp

thứ tự (r, (p) ửng với 1 điêm M của mặt phăng.

2 . Q uan hệ g iữa tọa độ Đ'ê các và toạ độ Cực của cùng một đ iểm M:

y trục hoà nh Ox t rùn g với trục cự c và trục tu ng ứríg với t iá <ị>='- -

i (x ,y ) và (r,cp) lần lượt là tọa độ của cùng một

ểm M trong hệ tọa độ Đ ề các và hệ toạ độ Cực.

f x - r c o s t pii đó ta có: < (0 < cp< 2n ;r > o ) ,

ly = rsin<p

ư ợ c lại ta có: r2 =x2 ịy 2;tgcp = - (ỉrong công thức này có 2 góc <p tư ơng ứng

oả mãn'.tg(p = —;0<<p<2rt nên ta sẽ lấy góc (p cùng dấu với y vì y = rsincp)

ó ỳ: Trong nhiềú trường hợp ta còn 'dùng hệ tọa độ Cực suy rộng, tức là

‘hể lấy r < 0 và (p < 0 để khảo sát đường cong.

335



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Các ứ ng dụ ng licit phân - Trầ n Phư ơ ng

V í d ụ : Nếu trong hệ tọa độ Đ ề các, tọa độ của điểm M là m ( —>/3

nr——7 . ta CÓ: r = V3 + 1 = 2,tgcp = — cp = —— và <p= —— (loai vì sin—

v3 6 6 6ta có: r = V3 + 1 = 2,tgcp = — 7= ; cp = — và <p= -

V3 6

Vậy tọa độ Cực c ủa điểm m (->/3, i ) là

1.3. Phướng trình đưửng cong tronợ hệ tọa độ’Cực:

Cho hàm số r = f ((p) với 0 < cp < 271 ; r > 0, đồ thị hàm số n à

tọa độ Cực được gọi là đường cong trong hệ tọa độ Cực và ph

r =ytộ ) đư ợc gọi phư ơng trình đư ờng cong tròng hệ tọa độ Cực

Vi (lụ :

Phương trình r = a, a > 0 là phương trình đườ ngtròn tâm o bán kính a trong hệ tọa độ Cực.

Phương trình r = 2acoscp là phương trình

đơờng tròn có tâm là điểm (a, 0) trong hệ

tọá độ Đ e các và có bán kính bằng a.

1.4. Trong hệ tọa độ Cực, diện tích s của hình giới hạn bởi các tia

jP

(p = a , cp = p và đư ờng r = r(cp) là: s = —J r2 ((p)d(pã

2 . CÁC BÀI TẬP MẰU MINH HỌA

Bài 1. Tính diện tích s của các hình giới hạn bởi đường cong Car

r =-a (1 + COS cp)

G iả i

Ta có: S = 2S| = 2 - —J r2dcp= Jạ2 (1 + coscp)2 dcp = a 2 ị( l + 2coscp + CO

^ 0 0 0

2 (1 , . 1+ cos2cp I .= a l + 2cos(p + ---- dọ

2 ( 3 „ . 1 . . Y= a —(p + 2 s in ẹ + —si n2ẹ

\2 4 J f

3jta

336



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§27. Diệ n tích hình phẳ ng - Trầ n Ph

Bài 2. Tính diện tích s của các hình giới hạn bời đư ờn g cong

r = acos2(p (hoa hồng 4 cảnh) yc

G iả i (

j lt / 4

Ta CÓ: S = 8S| = 8 - — f a2 COS2 2cpd<p2 0

í 1 ^= 2a2 í ( l + c os4 ọ )dọ ='2a2 cp+ —sin4<p

0 V 4 . ;

/ /

:Ju/4 2 /

7ta "

Bài 3. Tính diện tích s của các hình giới hạn bởi đườhg cong

r = a sin 3cp (hoa hồng 3 cánh)

Giả i

J h / 6

Ta CÓ: S = 6S| = 6 - — J a 2 sin2 3<pd(p0

Bài 4. Tính diện tích S của các hình giới hạn bởi đường cong Paraỉ.iole


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




hư ơ ng III Cúc ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

ài 5. Tính diện tích s của các hỉnh giới hạn bởi các đ ư ờng cong

p ; r = a(cos(ị) + sin(p) Ị - â - o j e hình yA1' = a cos cp; 1

Giả i

ai đư ờng cắt nh au tại Ị—— , o j và (0, a)

1 2 1 ° °a có: s = S] + S2 = —— J a2 (sin-ĩiM s

ài 6. Tính diện tích s của các hình giới,hạn bởi các đường cong

r = 2a cos 3cp; r = a (phần ngoài đư ờng tròn)

Giả iGiả i

■ l 7t K a cos3(p = a <=>/cos3cp = —=> cp = — (khi 0 <3(p < —)

> Hai đường cắt nhau tại

tc/9a có: s = 6S| = 6 •— I (4a2 COS2 3(p —a2) dtp

^ 0

= 6a: j"Ị 2cos2 3<p~—jclcp = 6a2 j"Ịcos6<p + —jdcp


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§27. Diệ n itch hình phẳ ng - Trầ n Phự ơ íig

. tt/2 - • 2' *2* , 1 , r 1 1 ♦ 71 1 r 9 a COS cp sin (p ,

ường cong khép kín khi 0< (p < —. Khi đó: 3 = — J ---------------- —ydcp^ ^ 0 (c o s 3 cp + si n 3 cp)

- 'ỉ k / 2 1 ' 2 rc/2 2 »

_ 9a f cos"CD

sin ọ ^ f ■'§ 9 dcp^ 0 (cos3 cp + sin3 cp)" 2 0 (l + tg3 cp) cos'(p

9a2 tg2 cp , \ 3a2 ’t/f d (tg3 ẹ + 1) 3a2

2 0 ( l + tg (p) 0 3 (l + tg (p) ; l + tg <p

ài 8. Tính diện tích s của các hình giới hạn bởi đường cong

yn

:*/2 . ' ~ 23a

4 4 2 2 XX + y = x + y (1 )

ưa (1) về hệ tọa độ Cực:

Giãi

íx = rcosíp

y = rsincp

r4 (cos4 9 + sin4 <p) = r2 (cos2 cp + sin2 (p) = r2

=>S:>r =

•/- , */2 . ■2 ị --------------- — ậ ----------------- = 4 ị — Ì Ỉ — :

0 (c o s2 cp + si n 2 (p) - 2 COS2 cpsin2 ọ ố 2 s’n

ỉ i 2d(P = 2*f d(tg2cp) - 2 arctgí-0 2 (tg2 2<p + l ) - t g : 2tp COS2 2c[) ị tg2 2ọ + 2 y / ĩ \ \J Ĩ )

n/2= W ỉ

339



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Các ứ ng dụ ng t ích phân - Trầ n Phư ơ ng

B à i 9. Tính diện tích s của các hình giới hạn bởi nửa dương của trục

đư ờn g cong A rchime de có ph ươ ng trình: r = acp

s = 2 J (a<p)2 dcp = ^ a 2cp3

G iả i

= — a2n3 (đvdt)0 3

B à i 10. Tính điện tích s của các hình giới hạn bời đường ổc sên Pasc

có p hư ơn g trình: r = b + acos(p

ệy .

Giả i

(b > a) (b < a)

J 2% I 2jtS = — J(b+acoscp)2 dcp = — | ( b 2 +2abC0S(p+a2 COS2 (p)dcp

^ 0 ^ 0

1 2f í •) a2 ( l +cos2(p)i 1 2f / , , ,= - jỊ b + 2abcos = — J ( a + 2 b +4abcos(p + a cos

ỉ(a2 + 2b2) (p+ 4ab sin cp+ — sin 2<p

(a2 +2 b2)jt(đvdt)

IV . CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC T ự G IẢ I

Tính diện tích S của các hình giới hạn bởi cấc đư ờn g tươ ng ứng sau

1. S: | ( c ) : x 2 + y 2 =3a2; (p , ) : y2 = 2a x; (? 2) : x 2 =2 ay (a> 0) |

2. S: {(p,) : y2 +8 x = 16;(p2):y 2 - 2 4 x = 48}

3 . S : {(C1) : y = 2 x V ; ( C 2) : y = - x V }

4. S: {( p) : y = X 2 + 4x + 4} và 2 tiếp tuyến kẻ tìr điểm A ( - l , 1)

5. S: { ( c ) : y = X3 - 3 x + 2} và 2 tiếp tuyến kẻ tự điểm

340



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§28. Thể tích khôi tròn xoay - Trầ n Phư

§ 2 8 . T H Ẻ T ÍC H K H Ớ I T R Ò N X O A Y

. Vx S INH BỞI D IỆN T ÍCH s Q U A Y X U N G Q U AN H O x :

( c ) : y = f ( x)S: ■ 0 x : y = 0

A j ,A2 : X = a ,x = b

bCông thứ c: Vx = 7 tj f2 (x )d x

a ;

I. Vx SIN H BỞ I D IỆN T ÍCHs

Q U A Y X U N G Q U AN H ò x :

( q ) : y = f ( x ) y

(C,) : y = g(x )

0 < g ( x ) < f (x)

A|,A, :x = a,x = b

Công thứ c: Vx = 7t J [ f 2 (x ) - g 2 ( x ) ]d xa

[ (ổ , ) :y = f. (x)II. Vx SINH BỞI DIÊN TÍCH s QUAY XUNG QUANH Ox: S : ị

t e ) : y = g(x)

S:

BướcX = a

x = b

Bưởc

ở c 1 : Giải phư ơng tr ình: f (x ) = g(x)<=>

bớc 2: Giả sử 0 < g(x) < f(x ),V xe [a, b]. Khi đó: Vx = 7t j [ f 2 (x ) - g2 (x )]

a

V. Vx SINH BỞI DIỆN TÍCH : ĐưỜNG CONG BẬ C HAI f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Ox:

Bưôc 1: Tách đường cong bậc hai f(x, y) = 0 thành

í( ổ ,) :y = f ,( x )


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




hư ơ ng l ì : Các ứ ng (lụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

V, SINH BỞ I DIỆN TÍCH S CỦA 1 ĐỎ THỊ QUAY XUNG QUÀNH Oy :

( c ) :y = f ( x )

Oy : X = 0

A, :y = f ( a )

A, :y = f ( b ) .

í ờ c 1: y = f(x) <=> X = f " ' ( y )

ớ c 2

f(b)

: vy =7t J [ f_1 (y)] dyf(a)

. v y SINH BỜ I DIỆN TÍCH s CỦ A 2 ĐỞ THỊ QUAY XUNG QUANH Oi

( c , ) : y = f ( x )

( ạ ) : y = g ( x )

A, :y = f (a ) = g (m)

A-, :y = f ( b ) = g ( n )

f(C 1) : y = f ( x ) ^ x = f - 1(y)ớ c 1: < . • '

(c,):y = g(x)<»x = g-1(y)

Ớ C 2: G i á sử 0 <f(b ), ■ .

g“' (y ) ắ f ' (y) => v y =7t J Ị [r ' (y)] - [g f ‘ (y)] Ịđ

f(a)i: vy SINH BỜI DIỆN TÍCH: ĐƯỜNG CONG BẬC 2 f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Oy

í (ci ): x = f1(y)ớ c ĩ: Tách đư ờ ng con g bậc hại f(x, y) = 0 thành 1 ' ’ N

[ ( ợ , ) : x = f 2 ( y )

và giả sử 0 < f2(y) < f](y) b


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§28. Thễ 'ticỉvkhấ i tròn xoay - Trầ n Phư ơ ng

CÁC BÀI TẬP MÃU MINH HỌA

i 1. Tính v x sinh bời S:

( c ) : y = xex

O x : y = 0 quay quanh Ox.

X = 1

Giả i

t ( c ) n O x i x e ' = 0 o x = 0.

=7 iJ[x ex] dx = 7rj x2e2x dx=-^-j"x2d( e 2x)0 0 ^ 0

= * XV * 1 - £ fe2xđ (x2)= — - - ^ x e 2'.dx = 5 'fxd(e2>)2 0 2 ị 2 2 J 2 2 J

__2 _ 1 _ I __2 __2 _ 27ie Tĩ 2 x Jt f Ịv , .I te TO 71 e

.V Ê' + — 1 e = — ----- — I _ 1 __ 2 _ 2 _ 2 x

Jt f 1 , , .Tte TO n ~■ - - x e " + 7 e . d x = - ----- -L-r~ + T-

2 2 0 2 J 2 2 2 2= — ( e 2 - l ) (đv t t )

0 4

i 2. Cho S:

( c ) : y = s jn xO x : y = 0 a. Tìm V. khi s quay quanh Ox

b. Tim Vy khi s quay quanh Oy

Giả i

A, :x = 0

A, : X = n

Vx = 7tj*sin2 xd x = 7ĩ|-— °—s~— dx = —íX - —si n2x I0 0 2 2 V 2

n(đvtt)

OA: X = arcsin y _ . = * V y = n j [ ( 7t-a rcsiny)2 - (arcsin y )2] dyIAB: X = 7t - arcsin y 0

1 1 . 1 .n Jtc(tĩ - 2arcsiny)dy = TC3Ịdy - 2n2 ịarcsinỵ dy y,,

0 0 0 1 .

1 'Jt3 - 2ĩC y arcsin y|Ịj + 2ĩi2Jy d(arcsin y)

0

3 _3 _ 2 V y . _ 2 ' f d ( l - y 2) _ In1 /, 2 V- 71 + 2u J - T = = = = r dy = -% I J====r- = 0 y )

0 V1- y 0 VI - y

/ Ị o n 2

n \ x *

2n2

3 ( 1 - y T

1 7 _2% 2

• " 3(đvtt)

343



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Các ữ ng dụ ng tích phân —Trăn Phư ơ ng

Bài 3. Tìm V, sinh bời S:

( c ) : y = In X

O x : y = 0 quay quanh Ox

(A):x = 2

21nxdx

G iả i

Xét (c ) n O x : In X = 0 <=> X = 1

2 2 2

v x =7iJ(lnx)2 dx = 7ix(ln x)2|| -7t J xđ (ln x) 21 1

= 27t(ln2)2 —7Cfx (ln2)^ - 7 t | x1 x 1

2 2

= 2n (ln2 )2 -271 Ị lnx dx = 27t(ln2)2 -27 tx ln x|| +271 Jx d( ln x)

1 1

= 2n( ini ỷ - 4ĩt ln 2 + 2tc Jdx = 2n(l n2)2 -471 ln2 + 2tc = 2n( i n2 - 11

Bài 4. Cho S : | ( L ) :y = xVln(l + x3) ; y = 0 ;x = l}.

Tính v x khi s quay quanh Ox.

G iả i

y = x V Õ ĩT P Õ => Ị1+ , x > 3°, = > .Ịx > J 1 o X > 0 = > y > 0[ln( l + x ) > 0 Ị.1+ X >1

(L) n O x : x-\/ In (l + X3) = 0 o X = 0

‘=i> v x =7t j[x >/ln( l + x3) ] dx = 7CJx2 |n(l + x3)d x = —Jìn(l + x3)d(0 . 0 3 0

f(x3 + l)d [ ln ( l + x3)]

3 0

I 2 1„ 2 « l n 2 _ » í(x » + l) Ị L * i , ỉĩỉl 2 . Ị Í3x 2dx

3 3 / l + x> 3 3 J

= - ( x 3 + l ) ln ( l + x3)3 c

271 ln 2 7t 3 1 7t(21n2-l)• r X

3 3

344



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§28. Thể tích khố i tròn xọ ay —Trầ n P

Bài 5. Cho S: |y = >/cos6 X + sin6 x ; y = 0;x - 0 ;x = — I .

Tìm vxkhi s quay quanh Ox

G iả i

ạ/2 ____ ; _ 2 */2= n f (vcos6 X + sin6 x ) dx = 7CJ (cos6 X + sin6 x )dx

0 0

= JI J( cos2 x + sin2 x)[(cos2 x + sin2 x) -3 s in 2 xcos2 x]dx = TCJ^1 - —sin2

*/2r 1 ( 5 3 v /25%= JI í l - - ( l - c o s 4 x ) dx = Jt -ỈX + -—sin4x = —— (đvtt)

0J L 8 J u 3 2 J 0 16

Bài 6. Cho S: Ị (c):y=—^;(D ):x =l;y =0,x=o|. Tính Vy khi s quay quanI 1+X2 I

Giả i ------

1 > o ^ ( C ) : x 2 = i - l / 1 + x y

[( c ) n O ỵ : X = 0 => y = 1

[(c ) n (D): X= 1=> y = 1/2

=> vy = It Jdy + H -1 jđy = Jiy f + w(ln y - y)[/2 = J l n | - i j =

Bài 7. Cho S: Ịy = Vcos4 x + sin4 x ;y = 0 ;x = —;x = 7tị.

Tìm vxkhi s quay quanh Ox

Giả i

71 , -.2 rt


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng II: Các ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Bả i 8. Cho S: {y = xln x,y = 0,x = l,x = e}. Tính vxkhi s quay quạ nh trụ c Ọ

G iả i

Ta có: y ■=xlnx > 0 ,V x e [ l , ej => Vx =71 J(xln x)2 dx = — J(lnx)2d(x3)1 ^ I

3 , 3 I 3 3 * X 3 3 J

[ ln x d ( x 3) = — — — x 3 lnx + — fx3d (ln x )/ 3 9 • 9 r

K e ' 2 7 1

3 ~ 9

7ie3 2nx3

9 + 27

_TO32ne3 2n _ (5e3 - 2) 71

Bài 9. Cho S: X2 + ( y - b ) 2 < a 2 ; 0 < a ( y - b ) 2 = a 2 - X2

=>A,B2A, :y = b + Va2 - x 2;AịB|A2 :y = b -\ja2 -

Vx = 7t | [ ( b + Va2 - X2 ) - ( b - Va2 - X 2 ) I

-a

a a


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§28. Thể íich khố i tròn xoay - Trầ n Phư ơ ng

Ta có: X2 + ( y - b ) 2 < a 2 <=> X2 = a 2 - ( y - b ) 2

=> BịA2B, : x = Ậ 2 - ( y - b ) 2 j Bj Aj Bj :x = - y /a 2 - ( y - b ý

o các cung B,A 2B2,B IA 1B2 đổi xứ ng nhau qua Oy nênuo ca c cu n g i5|/v2J02>D|ArB

b+a

y=7t J [ a 2 - (y - b )2 Jdy = n b-a'

a2y ~ ( y - b ) 3 __ [ 0 3 2a3 I 47ca

2a — = —r- b-a

(ổvtt)

ài 10. Cho s là diên tích cùa (E): Í2 L _ iL + > L = 14 16

a. Tìm vxkhi s quay quanh Ox b. Tìm Vy khi s quay quanh Oy

Giả i

(E ): + z = 1 o | 1 = I - o y í = 4 [ 4 - ( x - 4 ) 2]

( E ) n O x : 4 - ( x - 4 ) 2 = 0 <ĩ5>x = 2 ; x = 5

ABC : ỵ = 2^4 - (x - 4)2 ; ADC : y = -2 ^ 4 - (x - 4)2

o các cung ABC, ADC đôi xứng nhau qua Ox nên

x = 7t 1 (2^4 - (x - 4)2 ) dx = 4rc j [ 4 - ( x - 4 ) 2] d ( x - 4 )2 2

= 4 t i 4 (x - 4 ) -( x - 4 ) 3 „ 8 „ 81 12871 ,

= 4tĩ| 8 - - + 8 - — = —— (đvtt)3 3 ) 3

(E): 4) + | ỉ = 1cĩ>(?c.. - I ?2 = 1 -4 16 4

=>(x-4)2 = —( 16 —y2)

=> BAD: X = 4 - — 1/16 - }

BCD :x = 4 + i J l 6 - y 2 2 V



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Các ứ ng dạ ng tịch phân - Trầ n Phư ơ ng

vy =71J U + ị Ạ ó - y 2 ) - U - ^ Ậ ộ - y 2 } dy = 8ji Ị Ạ é - y 2 d4 LV ' ^ . ' -* 4

ĩt / 2 _______________________■ ■■

:> Vy =8 n I -J l6 (l -s in 2 1)- 7 t / 2

Đ ặt y = 4s in t :y - 4 4t -71/2 Jt/2

dy 4 cost dt

ĩr/2 ĩt/2= 6471 J 2 COS2 1 dt = 6471 J (l + 2cos 2t)dt = 6 4 7 t ( t + si n2 t) p^ =64

“ ir/2 -7t/2

Bài 11. Cho S:Ị( p ) :y = 2 x - x 2

I O x : y = 0

,a. Tìm vxkhi s quay quanh O

b. Tìm Vy khi s quay quanh O

a. ( p ) n 0 x : 2 x - x 2 =0<=>x = 0 ;x = 2

=> Vx = 7 iJ (2 x -x 2) dx = 7tj(4x2 - 4 x 3 + x 4)dx0 0

= 7l| —X3 - X 4 + —X5.3 5

= — % (đvtt)'o 15

b . ( p ) : y = 2 x - X2 « • ( x - 1 )2 = 1 - y

=> O A : X = 1 - Ạ - ỹ ; A B : X = 1 + - J i - y

=> Vy = 71j[(l + Ậ ^ ỹ ) 2 - (l - >/ĩr ỹ )2 ] dy0

= 471Ị Ạ - y dy = -4ji J(l - y)l/2 d ( l-y )0 0

= - y O - y ) 5 ' = — (đvtt)0 3

Bài 12. Cho S:

( p ) : y = X2 (x > 0)

(Dj ): y = -3x +10

_(D2) :y = l

a. Tìm vxkhi s quay quan

b. Tìm Vy khi s quay quan

348



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§28.' Thể tích khẳ ị tròn xoay - Trầ n Phư

Giả i

(D j )n (D 2) : - 3x + 10 = 1c s X = 3

(p) n (D2 ) :x 2 = 1=i>X = 1> 0

( P ) n ( D ! ) : x 2 = - 3 x + 10 =>x = 2 > 0 ; y = 4

V = 7t | (x4 - l ) d x + :t J [(-JX + 10)2- l ] đ x

. 1 2o i 2 3 \

i í

+ 7tI V

1 ( - 3 X + 10)— •-------- ------- - - X

3 3 /

3 l7t6l ĩ t ( , N- + 6n = —— (.dvttj

5 5

b. ( p ) :y = ( x > o) <=> X= >/ỹ ;( D j) :y = -3 x + 10<=>x = ^ j - ^ -

vy = 7i j 0 ° ~ y ) dy = J ( y -10 ) 2d ( y -10 ) - 7 ĩ jyd y1 L y J y 1 1

( 1 ................TE ( y - 1 0 ) JI 2

— ----- — — —y{.9 3 2

15271 Ĩ57t _ 10Ĩ7C

27 2 “ 54

2 Y2Bài 13. Cho s là điện tích của (E): ^ Y + 2 ~^ ( 0 < t> <a)

a b

a. Tìm vxkhi s qua y quanh Ox b. Tìm Vy khi s quay quanh O

Giãi

a b. b a a


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ch ư ơ ng / / : ' Cứ c ứ ng (iụ n% íick phân - Trầ n Phisơ íIg

(E): 4 + 4 = l c > 4 = ỉ- 7 7 c > ^ = ^ ' ( b 2 “ y 2)a b a b b

Ã B : x = f J b 2 - V b v

BC : * = . = * - 7 - 7

Do các cung AB,BC đổi xứng nhau qua Oy nên

v> = 2* j(ệ> /b2 - y 2 )2 dy = | ( b 2 - y 2)dy = 2 p L | V y - ^ }4fta2b

(đv

Bài 14. Cho S'.Ị(P1):y = 4 - x 2;(P2):y = x2 +2Ị . Tính vxkhi s quay quanh

Giả i » y .

;’p.) r \ (p ,): 4 - X2 = X2 + 2 <=> X2 = 1<=> X= ±1V 4

\^ /CP2)

=r> V =2tí í]_(4 — X2) ' - (x 1 + 2 ) ]dx / 1 V70 / 1

/ 1 2 r i \

1 \ 1 ( 3 \ 1

i : \ (P,)= 2 4 K f(] - X2) đx. = 24ĩ t X - — = 1Ổ 71 (đvtt) / 1 \

0 ^ 3 0 / * 0 1 \ - 2 / -1 ỉ 2 ^

Bài 15. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn t â m 1(2

bán kính R = I quay qúanh trục Oy. y a

G iả i

Phirong ĩrình (ĩ, R): (x - 2) + y = 1

<=> (x - 2 Ỷ = 1 - y 2 o X = 2 ± Ạ - y 2

=> C Ầ : x = 2 - \ / l - y 2 ; B C : X = 2 + - y2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§2,8. Thể tích.khố i tròn xoay - Trằ n Phư ợ ng

ài 16. C ho S: { (p ): y = 2x 2;.(d) ; y .= 2x + 4}.

Tính vxkhi s quay quanh Ox

G iả i

C ) n ( D ) : 2x2 = 2 x + 4

> X 2 - X + 2 = 0 => X = - 1 V X = 2

> Vx = 71 | l (2x + 4 )2 - 4x'4 ] dx-1

Í 3 7 i ( 2 x + 4)3 471X5= ------- -------------—— I = ------ vavtt;

l 2 5 5

à i l 7 . C h o S : j ( ĩì ) : y = x2 ; (P ỉ):.y = ; . ( H ) : y = - Ị

G iả i

Pi) n( P2)ĩ-x? = | o x = O = j ỵ = 0

Pj )n (H) :x2=— » x 3=27<» x =3X

P, )n (H ): — = — õ x 3 =2f- <=>x=9

hìn vào đồ thị ta có:

3 9 ?72 9 4* = Jx4dx+ R f - d x - Ị ệ ^ d x

0 3 0

4 3 - ^ 9 - 4 - ° = 243 - ( 8 1 - 2 4 3 ) ’- f c - - U = - (đvtt)5 0 X 3 27 .5 3 5 l 5 157 3

(P ,) :x = Ty ;(P 2) : x = ^ 2 7 y ;(H ) :x = ^ - (x, y > 0)

>.Vy = j[ (V 2 7 ỹ) 2 - ( 7 ỹ ) 2] c i y + Y ^ - ( Ự ỹ ) 2ì d y = J 26 yd y+■ 0 3 V - ' Q 3 V y /

13y2 lỏ + ^27 In y - — y 2 j | =1 17 + 27 In 9 - -27 ln 3 - — + - = 81 + 27 ln3 (đvtt )

.351

288



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chtmtg t l : Các ứ ng d ụ ng tích ph ân - Trầ n Phư ơ ng

Bài 18. Cho S:{(C ):y= V x,(D ):y= 2-x ,y= o}. Tính y x khi s quay q

G iả i

(c):x = y2(y >0);(D):x = 2-y

(c) n (D): y 2 = 2- y ■» y2 + y - 2 = 0

o (x - l)( y + 2) = 0 <=> y = 1 > 0 y|t rr T 7 'Ị.o t x - i x y + = u o y = I a ư ' -

v , . . j [ ( 2 - y ^ - / ] « - ■ tj Ị Ệ K ai:

- ( | ( y - 2 ) s - ^ ĩ ~ <dvtt)

Bại 19. Cho (H): —— — = 1 và (D) ià tiếp tuyến của (H) đi qua

với hệ số góc dương. Tính thể tích khối tròn xoay tạo

phẳng giới hạn bởi (H), (D) và trục Ox khi quay quanh trục

G iả i

(D) đi qua A(2, -1) nên

(D) : y = k(x - 2 ) - 1

<=> (D): k x - y - ( 2 k + l) = 0

Ta có: (D) tiếp xúc (H)

o 16k2 - 4 = ( 2 k + l ) 2

_ _ 5 . 8 ~ - 6 16= ?( D ; y = r x r r < ạ x = - y + - -6 3 5 5

(D )n (H ):4 y2 + 16 = p y + —j <=>4y2 -I 2 y + 9 = 0< »y = - ; x = 5

=>.vy.«|[(V+l«)-( fií) ]dy-«(^+I6y| - |t jỊy+|)’d

y

_

......... C-4 ---- -! __ J^x \4

N\ _1

V k = - — (loại) y /

----- - l ố \ \ y — ỳ k 5 X

( 9 ^ 36n( 8Ý= 71 - + 24 y + T

V2 ) 75 \ . 37

3 /2

72 t ĩ

: 25(đvtt)

:352



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§28. Thể tích kh ể i tròn xoạ y - Trầ n P

Bài 20. Cho S: {(c): y = (x - 2)2 , ( D ) : y = 4}.

a. Tính v x khi s quay quanh Ox b. Tính Vy khi s quay quanh

G iả ia. ( P ) n ( D ) : ( x - 2 ) 2 = 4 <=> X = 0,x = 4

= > v x = 7 t J [ l 6 - ( x - 2 ) 4 ] d x0

16x-( x - 2 ) 5 25671

(đvtt)

=* vy = n j[(2 + j ỹ f - (2 - y[ỹ )2]ày0

= 8 jc Ị s Ị ỹ á y = I ỵ - y 3/2 = ( đ v t t )

Bài 21 . Cho S;: ^ p , ) : X= - ( y <0 ) ; (P 2) :x = ~ Y + 3y (y < 2 ) ; (D ) : X=

E. Tính s b. Tính v x khi s quay quanh Ox

Giả i

2 2a. —- = + 3y <=> y2 - 4y =>

4 2

(p,) n ( D ) : — = 4 => y = -4 < 0

(P2) n ( D ) : ^ - + 3y = 4

y = 0y = 4

y = 2


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




hư ơ ng ỉ ỉ : Các ứ ng dụ ng tích phân:-Tròn Phư ơ ng

(p,): X = — (y < 0) <=> y = -2yịx

4 , 4 4

> V = 7C|( - 2 V x ) dx = 4 jc jx dx = 27ix2| =327t (đvtt)0 0

ài 22. Clio S: j(c>;ỵ - — ; (p ) :y = x 2j .

Tính vxkhi S qúay quanh Ox.

Giả i

c ) n ( p ) : — X ■ <s> .3 X = 3 \

; = h | ( x j )2 ~ Í ^ T ị d x = * j í x 4 - y ) d x 0 • 0 v

:í' X— — -V = —— 7t (đvtt) u 6 3 J 0 35

à i 23. Cho S: | ( c ) : y 2 = ( 4 - x ) 3 ; ( p ) ; y 2 = 4 x } .

Tính Vx, Vy Iclii s quay quạnh Ọ x, Qy

Giả i

c) n (p) :(4 - x Ý = 4x

<=> \ ! - 12x2 + 52x - 6.4 = 0

<=>(x - 2 )[ (x - 5)2 + 7] = 0

=> X = 2 => y = ±2yfĩ ,

c ) n O x :Í 4 X ) 3 - 0 <=> X = 4 y j - z : : z , z z z : - f y tX . -2V2I /

F / n Ox: 4.X- 0 <=>X = 0. + -


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§28. Thể tichkhoiubn xoay —Trầ n PhiĩỢ ụ g

H Ư Ơ N G P H Ấ P B A O T R Ụ Đ Ẻ TỈ MH V y k h í s q u a y Q U A M H O y

(c): y = xex

i 1. Tính Vv sinh bởi S: O y: X = 0 qua y quan h Oy.

(D) : y = e

(c) nO y :X = 0 =>y — x e x - 0 .

= 271Jxf (x)dx = 2 tt Jx 'V dx = 2it Jx 2d( ex) = 2rcx2e’io -2 ft j e xd ( x 2)0 0. 0 0

= 2 n e e+2 - 2n j "2 x e x d x = 2nee+1 - 4tc J x d ( e x ) - 2 7r ee+2 - 4 ĩ t x e x lo + 4 ,7t j e x d x0 0 , Ò>

= 2nee+2 - 47ĩee+l + 47tex lo = 27tee+2 - 47iee+l + 4TOe = 2rcee (e2 - 2e + 1) (đvt t)

( c ) : y = ln ( x + V l + X2 )

0 y :x = 0 quay quanh Oy.

(Đ ). :y = l

2. Tính Vv sinh bởi S: ■

G iả i

t ( c ) n 0 y : x = 0 => y = 0

= 2n |x f (x) dx = 2ti Jx In (x + Vl + X2 ) dx = 71Jln(x + 7ỉ + x2 ) d( x2)0 0 0

tx2 ln (x + Vl + X2 )|0 - 71Jx2d [in (x + 7 l +,x2 ) ] = 7ĩ In (l + V2 ) - 7rJ-r==i==rdx0 0 v l + . X"

1 In (1 + ) - 7C r~—d x = 7Cln(1 + 7 2 ) + 71J. ~r= == - n Ị y / Ĩ+ X d x

0 v l + X2 0 V l + X2 0

, .____________, ji •'■■*/* _ ___________ ____________________

tl n ,( l + \ / 2 ) + 7 t l n ( x + V l + X:2 )|0 - .7 1 í - ự l + t g 2 u d ( t g u )

0t t In ( ĩ :4- s / 2 ) - 5 I" — ^ 4 = 2%Ịọ.(l-+ y Ị Ĩ Ỉ - n [ j f j ; s i n ...

0 COS u 0 ( í - si n 2 u )

n 1» (1 + J ĩ ) - ị" Í Ị'í ịỊ j ! ạ ĩM - ĩ i ^4 0 L (1 + s i n ụ ) ( l - s i n u )

d (sin u)



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng / / : Các ứ ng dụ ng tích phân' —Trầ n Phư ơ ng

- 2 n in(l + y / ĩ ) - — [ í ------ ~■f -----------ì d ( s inu)4 ị VI —sin I' 1+ sin uy

= 2 n ln (l + ) - ĩ - [ -------- -——- + ------- ----- - + ----- , ì d ( s in u4 oự l-sin u) (l + sinụ ) 1-sin u J

= 2n In (l + y / ĩ ) - —{ ------------------------- — - -----------V ln4 Ụ - sin u 1+ sin u

= 27ĩIn (l + J ĩ ) - - [ V 2 + ln (l + yỊ Ĩ )] = - [ 3 ln(l + - ã ) - V2 ] (đvtt)

Bài 3. Tính Vv sinh bởi S:(c ) : y = xarcs inx

O x : y = 0 quay quanh Oy.

( D ) : x = ị• Á

(c ) n O x : X arcsin X= 0 <=>X = 0

1/2 1/2 . J 1/2 1/2Vy = J x (x arcsin x) dx = - Iarcsin xd (x3) = — X3 arcsin X - — j x3d (a

0 3 0 0 3 0

, ' /2 3 , , 1/2 ( . 2 \

144 3 ; V T v 144 « I ^ 7

K - 1

144*6.2 V 1 - X 2 -7 2(1 - X 2 )

1/2

ft V | _ i

~ 144 + 8 3

Bài 4. Một ống hình trụ rỗng đường kính a được đặt xuyên qua tâ

cầu bán kính a. Tìm thể tích phần còn lại của hình cầu.

G iả i

Ta coi hình cầu được sinh bởi khi quay hình tròn (C):x2 + y2 = a2 qu

và hình trụ được sinh bở i phần mặt phẳng của 2 đư ờng th ẳng X = 0

quanh Oy. Ta có y2 = a 2 - X2 => y = ± v a2 - X 2 . Từ đó suy ra:quay

V -■471

356

J x\/a' - a ' j \ = 2n | ( à 2 - x 2) / d(a2 - x 2) = ^ ( a 2/2 a/2 , ?

,2 Ý3/2

a/2



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§29. Tính thể tích theo thiế t diệ n thẳ ng —Trầ n Ph

§2 9. TÍNH THẺ TÍCH THEO THĨ ÉT ĐIỆ N THẲ NG

I. CÔNG THỨC TÍNH

Trong hệ tọa độ Oxyz cho một vật thểcó hình khối được giới hạn bởi một

m ặ t c o n g v à 2 m ặ t p h an g X — a, X = b

(a < b). Giả sử ta biết dịện tích s của

thiết diện là giao của vật thể với mặt

phẳng (a ) vuông góc vói trục Ox:

s=s(-x), trong đó X là hoành độ giao điể m củ a mặ t p h ẳn g ( a ) vớ i trục OGiả sử S(x) là hàm số liên tục trên [a, b], khi đó nếu thể tích V của vậ

btồn tại thì V đượ c tính theo công thức: V = Js (x )d x

3

il. CÁC BÀÍ TẬP MĂU MINH HỌA

Bài 1. Tính thể tích cùa vật thể được giới hạn bởi các mặt sau:

V:& +í r 1;z=ỉ x;" 0}Giả i

Vật thể V được giới hạn bời phần mặt

X2 y 2elip (E): , + 2 = * c^c

a b

phẳng z = —X; z = 0 . c ắt vật thể V bởi

một mặt phẳng (a) vuông góc với trục

Ox. tạ i đ i ể m c ó h o à n h đ ộ X t hì th iế t

diện là một hình chữ nhật MNPQ.

Do AOAB-AODC nên ta có: — = — =>Đ C = ARQ P = —


O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chư ơ ng II: Các ứ ng dụ ng tích phân —Trầ n Phư ơ ng

Bài 2. Tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi mặt eỊipxoit

, 2X ' y ' z ,

2 + 7 T + 2 - 1

a b cGiả i

Cắt elipxoit bởi mặt phẳng (a)

vuông góc với Qx tại điểm có

Itoành độ X thì thiết diện tạo thành

là một hình elip có phương trình:

/ , ___ - - - - -’ ' ' '

o ps \ i " 2

I H

r . + £ i = 1 . b c

<=>-

c .

L

■= l = > S ( x ) = 7 i b c ^ l -- ^

2 xa X--T-V = Ịs (x ) đ x = 7ibc j Ị \ = 27tbc =

Bài 3. Tính thê tích cũa vật thê được giới hạn bởi mặt Hypeboloit

~ + - ~ = 1 và hai mặt phẳng z = c, z = -ca b c

4

Giả i

Vật thể đổi xứng qua mặt z = 0.

Khi cắt vật thể bởi mặt phằng (a)

vuông góc với trục Oz tại điểm có

tọa độ z thì thiết diện tạo thành là


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§29. Tinh thể tích theo thiế t điệ n thẳ ng - Trầ n Phư ơ ng

ài 4. Tính thể tích cùa vật thể được giới hạn bởi mặt nón Eliptic

X 2 y - z 2 •:zT- + ~ r = —T- và haimăt phăng z = c, z = - ca b CT

G iả i

ật thể đối xứng qua mặt z = 0.

h.i cắt vật thể bởi mặt phẳng (a)

uông góc với trục Qz tại điểm có

a độ z thì thiết diện tạo thành là

ột hình elip có phương trình:

2 y 2 . z:

— + f r = ±r ^b

2 2 2

— = l = > s ( z ) =rabz2

2 2ft ab Z' 2ĩtabc(đvtt)= Ị s ( z ) d z = J z 2d z = J z 2

-c c -c ■. c 0

ài 5. Tính thể tích của vật thể được giới hạn bời mặt Paraboloit eliptic:

2 2+ — = — và mặt phẳng z = c

a b c

G iả i

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng (a)

uông góc với trục Oz tại điểm có

ọa độ z thì thiết diện tạo thành là

một hình elip có phương trình:

- = l = > s ( z ) =X y . z _ £ y

í # i ‘áV J j s (z) d z . p z - Ịzdz . ^ -

0 c - C 0

= 7iabc (đv tt)

359



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Các ứ ng (lụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Bài 6. Tính thể tích của vật (hể được giới hạn bởi 2 mặt trụ:

y|2 2 2 2 2 2X +z =a ;y + z =a

G iả i

Vật thể đối xứng qua mặt z = 0.

Khi cất vật thể bởi mặt phang (a)vuông góc với trục Oz tại điểm có

tọa độ z, thì tại mỗi điểm (x, y) I ... U'.J............trên biên của thiết diện tạo thành V i '

L íthoả mãn hẹ: j

(x2 + z2 = a2 . x = ±7 a2 - z 2 z , ___ ị— ,<Ị <=>ị ______ (- a < z < a)

[y2 + z2 = a2 [y = ±Va2 - z 2

Do đó thiết diện nhận được là một hình vuông có cạnh là 2Va2 - z 2

=> s (z) = 4(a 2 - z 2)=> v = Js(z)đz = 8 | (a2 - z 2)dz = 8â2z- -^ - j-a 0

Bài 7. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt trụ và hình trụBài 7. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt trụ và hình trụ sau

z2 = b(a - x ) ; X2 + y2 = ax

G iả i

Vật thể giới nội và đối xứng qua mặt z = 0. Khi cắt vật thể bởi m

vuông góc với trục Ox, ta nhận được thiết diện có diện tích:

s( x ) = 2 I zdy = 2 Ị ~Jb(a - x ) d y = 2 V b ( a - x ) y| = 2 ( ạ - x0 0

v = 2 j s ( x ) d x = 4 > /b J ( a - x ) V x d x = 4s/b í0 0 ^

2ax Vx 2x 2a / x= — a

> 15

Bài 8. Tính thể tích cùa vật thể giới hạn bở i:x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz +

G iả i

X 2 + y 2 +z2 + xy + yz + zx ==a2 <=>y2 + (x + z) y + (x 2 + z2 + zx - a2)

Do phương trình luôn có nghiệm y nên Ay =4a2 -3 z 2 - 3 x 2 -2 z x à 0 .

3'60



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§29. Tính thễ tích theo thiế t điệ n thẳ ng - Trầ n Ph

y! = - i [ - ( x + z ) - - \/ 4 a2 - 3 z 2 - 3 x 2 -2 z x ]

y2 = ỉ [ - ( x + z) + V4a2 - 3 z 2 - 3 x 2 - 2 z x ]

Ta có: Ay > 0 <=> u(x)=3 x2 +2zx+(3z2 - 4 a 2)< 0 . Do bất phư ơng trình u(x

có nghiệm nên A* = 4(3 a2 - 2 z 2) > 0 o - ^ - a < z < ^ | a . Khi đó:

u(x)<0<=> X, = - z - 2 y j 3 a 2 - 2 z 2 . - z + 2%/3a2 - 2 z 2< x < - ■= X,

Với - ^ a ắ z < ^ a thì diện tích S(z) của thiết diện v uô ng góc vớ i Oz

x 2 x 2 __________________________________

s(z) = | ( y 2 -y , ) d x = jV4a2 -3 z 2 -3 x 2 -2z xd xX , X ,

=—j= í>/4(3a2 - 2z2) - (3x + z)2 d(3x + z) = — =7 í 3a2 - 2 z 2) - »

3>/3 >, 3%/3 -2, /s£s?

Đ ặt u = 2^3a2 - 2z2 sin t => du =2\Jja 2' - 2z2 cost dí

=> s(z) = — =r f V4Í3a2 - 2 z 2) ( l - s i n 2 t)(2 \/3a 2 - 2 z 2 cost)dt3^ 3 -*/2

1 0 í-ỉ 2 _ 2 ì nt2= — í 4 Í3a2 - 2 z 2)cos2 td t = ------ — z— f (l + cos2t)dt. 3VJ 4 3,/3 _ J2


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




Chư ơ ng //■ • Cứ c ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Bài 9. Tính thể tích hình nón cụt mà các đáy của nó là những elip với

bán trục tư ơng ứng là A, B và a, b; còn chiều cao của hình nón

bằng h (A > a, B > b)

G iả i

Cắt vật thể bời mặt phẳng (a) vuông góc

vói trục Ox tại điểm có tọa độ X, khi đó

thiết diện tạo thành cũng là một el ip .

Ta có: ỈP = a, HK = A - a

! Q z l = P Q = J O L = h - i (A

A - a HK 0 0 , h h

Tương tự suy ra 2 bán trục của elip thiết diện là:

71

i 7

7th

A - ( A - a ) ~ ; B - ( B - b ) - = > s ( x ) = n A - ( A - a ) - B - ( B - b ) -h h L hJL h.

= | s (x )d x J[ABh2 + (aB + bA - 2AB)hx + (A - a ) ( B - b)x 2]dx0 h 0 .

" ADI,. (aB + b A -2 A B )h 2 ( A - a ) ( B - b ) a T ’ABh X+ ----------- :------ :------ X + ---------- — -------- -X

2 3 . 0

- [óAB + 3 (aB + bA - 2AB) + 2 (A - a) (B - b )l = — [aB + Ab + 2AB + 2a6 6

Bài 10. Tính thể tích của vật thể giới hạn b a ii x + y + z 2=1; X = 0; y = 0; Z =

G iả i


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§30, Độ dài đư ờ ng cong phẳ ng - Trầ n Phư ơ ng

§ 3 0 . Đ ộ DÀI ĐƯ Ờ NG CONG PHẲ NG

ÁC CÔNG THỨC TÍNH Độ DÀI ĐƯỜNG CỌNG

Độ dài của đường cong có phương trình y = f(x) trong hệ tọa độ Đệcác:

Đ ộ dài L c ủa đư ờn g con g trơn (khả vi liên tục) y = f(x), a < X < b là

L = j \ / l + [ / ' ( * ) ] ’ dxa

Độ dài của đường cong có phương trình tham số trong hệ tọa độ Đềcác:

N ế ụ đ ư ờ n g c o n g c ó p h ư ơ n g trình th am s ố X = .x (t ), y = y (t ), a < t < p

ứng với a < X < b thì độ dài đường cong là: L = J\/[x '(t)] + [y '( t) J dta

Độ dài của đường cong trong hệ tọa độ cực:

Nếu đư ờ ng cong có phuong trình trong hệ tọa độ cực: r = r((p), a < 9 <x

ÀI TẬP n/IÃU MINH HỌA:

Dạng 1: Độ dài của đường cong có phương trình y = f(x)

i 1. Tính đ ộ dài đư ờn g cong: y = xVx (0 < X < 4)

Giãi .

= Ị y jl+ [ f ' (x )]2 dx = J^/ l + [ ( x - ) ] dx = j J l + —X dxa 0 o'* 4

363



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






Bà i 2. Tính độ dài đư ờng con g: y ==a!na2 - X 2

(0 < X 0)

G iả i

Do y2 = 2px hhận Ox làm trục đối xứn g nên độ dài của nó vớ

bằng 2 lần độ dài của đồ thị y = -v/2px ( o < X < a ) . Ta có:

y,= '% r=u ^ L - 2 i f ỉ « - 2 ỉ & ĩ ĩ j f - 2 Ị j £ T p

= 2jyj (yj2 x) + p d ( V 2 x ) = 2 Ị Vu2 + p du = 2uyj u2 + p |0 - 2 J ud, 0 0

= - 2 ^ u -7 = = = 2 7 2 1 (2^ + 2 ' ] d u0 yju2 + p 0 V u2 +p

= 2^2 a(2a+p ) +2p I - 2 J >/u2 +pdu0 -y/xi2 +p 0

= 2^2a(2a + p) +2 pln |u + i/u2 +pj- L = 2^2a(2a + p) + 2 p in ^ k* — j ? a+

=> 2L = 2 J la (2a + p) + 2p In + — V P

=> L = ^2a (2a + p) + p ln 2Ỉ ^ + (đvđd) V p

364


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§50. Độ dài đư ờ ng congphẳ ng - Trằ n Phư ơ

Bài 4. Tính độ dài đư ờn g cong: y = ex (0 ắ X < a)

Giả i

L= j\|Ĩ T_(ex) ] dx= J7l + e2x dx= j j ——5“ e* dx = -jV(e~x) + l d ( e " x )0 0 o f (e*) 0

= - f Vu2 +1 du = -uVu2 +1 + í ud(Vu2 +1) = V2 - e~a Ve_2a +1 + f u? 1 ? r a/ ^ 1

- ■ j T T r r f a$ I v u + 1

= V 2 - ^ i - - i n | u + > / 7 7 i

•\/l + e2a e f due2a / V77Ĩ ,J

+ I Vu + 1

=>2L = N/2 - ^ - 4 r ------ InVl+e2a , 1+Vi+e'

2a

e2a ea(1+V2)

>L = -Vln

e* (1 + >/ 2)

2a~

e2a ea (1+V2)

-L

(đvđ

1 2 1Bài 5. Tính độ dài đư ờn g cong: x = —y - —lny (1 < y < e)

G/ổi

L - =ì ị ' * ĩ ( y - j )

dy * y ì ( y * j )

dy

4 í ( y + y ) dy4 ( | - + lny'= —(l + e2) (đvđđ)

1 4 :

Bài 6. Tính độ đài đư ờng cong y = a ch — từ A(0, a) đền B(b, h)a


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




c/i ư ơ ng III Cúc ứ ng úụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

2. ữạng 2 : Đ ộ dài của đưò ng cong có phươ ng .t rìr th tha m s.õ

íx = a ( t - s i n t ) ; 0 < t <2n Bài 1. Tính độ đài đư ờng Cyc loide: -Ị

ly = a ( l - c o s t ) ; y > 0

G iắ ỉ

p I--------- --------------7 2lt Ị-------------------------- 211 t tL= f \/ [x '( t )f +[y ' ( t )J .d t=a fv( l - co s t )2 +sin2td t= 2a fs in -d t= -4a eo s-

'ỉ- i ” -2 2a 0 0

Bải 2. Tính độ dài đ ư ờng Astroide : x2/3 + y 2/3 = a 2,/3

• ơ iỗ /

Phư ơọg trình tham số cùa Astroiđe : x = aco s5 1; y = a sin3, t ;0 < t < 2.7X

Do các bộ phận của đường cong đối xứng nháu với Ox, Oy nên ta có:

-/2 ---- -------------------- x/2 ----------- -------------------------------

L = 4 I ìj[x ''(t )]2 + [ y '( t ) j 2 dt = 4 J \ f9 a 2 COS2 ts in 2 t( cos 2 1 + sin2 1) dt

0 0/2 7c/2

ị c o st s in td t = 12a ị s in td (s in t) = 6as in2 tỊ = 6a (đvđd)0 ■ 0 •

2n

0

n/2

I2a0

Bài 3. Tính độ dài đường Astroide:X= a cos31

y = bs in3 1

Giả i

(0<t<27c;a7 tb )

a2 COS2 t + b2 sin2 tdt! 3 „ I ---------;-------------- ■I ! /

j y j x ' ( t ) ] 2 + [ y ' ( t ) J d t = 4 j 3 c o s t s i n t V í

< 0

ỉ2 I sin t^ a 2 (l - sill21) + b2 sin2 1 d (sin í) =12 Ju-\/(b2 - a2)u + a2du0 . ' D •


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§3Q. Độ dà i đư ờ ng cong ph ẳ itg - Trầ n Phư ơ ng

ài 4. Tính độ dài đư ờng tú c bể elip: (ax)2/3 + (by)2/3 = (a 2 - b2) 1

G iả i

c2' c2h ư ơ n g t r ìn h th a m s ố : x = — -COS3 1 ; y = —— s in 3 t ; c 2 = à 2 - b 2

a b0 - 2 0 . 2

. / \ j C ? . I s \ » 2 ( , u = ---------COS t s i n t ; y v U — — s in t c o s t

a b

> [ x ' (t ) ]2 + [ y ' ( t ) ] 2 = c o st sin t j (b 2 COS2 1 + a2 s in2 1)

3c2 . _ \ r» 2 l + cos2t 2 l-c o s2 t~ |_f 3c2 2 . 2 2= —— sin2t b ------ —— + a ----- — = — 7=— sin2t u + b - c c os2ụ

\2ãb ■) L 2 2 J 1^2V2ab J

*■•'2 I-------------------------------------------------- - / 2 - 2 _________________ ____________r —

> L = 4 I y [x ' (t)] 2 + [ y' ( t) ]2 át = 4 J — yẵ—-Ịsin 2t| Va2 + b2 “ c2 COS 2t đt0 0 2 v 2 ab

~3% - f -y/a2 + b2 - c 2 cos2t d(cos2t) = ~3^ c ~ ( a 2 + b 2 - c2 COS2t)3/22ab 0J 2ab 3c2 0

l [ ( ^ + b2 + c2)3/2- ( a 2 + b2 - c 2)3/2] = - i ( a3 _ b3) (đvđd)ab ab

ài 5. Tính độ dài đườ ng cong: x = cos4 t ;y = sin4 t ; 0 < t < y

ợ/ổ i

( t ) = - 4 cos 3 1 s i n t = - 2 s in 2 t COS2 1; y ' ( t ) = 4 s in3 1 c ố s t = 2 s in 2 t s in2 1

>[x'Ct)]2 + [y '(t )]2 = (2 sin 2 t)2 (cos4 t + sin4 1)

(2 sin 2t )2 [(cos2 t + sin2 1) - 2 c o s 2 tsi n2 :t] = 4sin2 2 t ( l - 2 cos2 tsịn2 1)

~/2 _________ 2 sin2 2 t ( 2 - s i n 2 2t ) = 2sin2 2 t( l + cos2 2t) :=> L = %/2 f v l. + COS2 2t s in 2td t

0

—jL J Vl + cos2 2t d(co s2t) = -y=- jV l + u2 du = V ĩ j V Ĩ W duv 2 Q v2 _ - j Q

V 2 u 7 ỉw i : - V2 Ju d ( ý ũ v ) c 2 - 72 2 +ự ĩ ) ì- ị l+u% u .0 0 v l + u2 0 vl + u2

367



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Các ứ ng dự ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

= 2+ 7 Ỉ J - ^ = _V2 jV l + u2 = 2+ V 21n |u+ 7 l + u2| l - L = 2+V 21n(l 0 V1+ u” 0 0

=>2L = 2+>/21n(l+>/2)=>L = l+ 4 rl n (l + V 2 ) (đvđd)

Bài 6. Tính độ dài đư ờn g thân khai của đườ ng tròn:

x = a (cos t + t s i n t ) ;y = a ( s in t - t c o s t ) (0 < t < 2t i)

Giả i

x'( t) = at co st; y ' ( t) = atsin t=> [x'( t)] 2 + [y '( t )] 2 = a 2t2 (sin2 t + cos

2ĩĩ2« Ị ■ •• ' • 2«

L= J i / [x ' ( t ) ]2 + [y ' ( t ) ]2 dt = a J t d t =0 0

= 2a.K2 (đvđd)

Bài 7. Tính độ dài đườ ng cong: x = ch31 ;y = sh3t ( 0 < t< T )

Giả i

x'( t) = 3ch2 tsh t ; y' (t ) = 3sh2 tch t

=>[x'(t)]2 + [y '( t) ]2 = (3 sh tc h t) 2 (sh2 t + ch21) = —sh 2 tj ch2t

•L = j j f —sh2 t ì c h 2 t d t = — j V c h 2 t s h 2 t d t = — j V c h 2 t d ( c h 2 t )0 ' ' 2 0 4 0

= i ( c h 2 t) 3/22

= - [ (c h 2T )3/2- l ] (đvđd)0 2

Bài 8. Tính độ dài đư ờng nội Cycloide:

X = (a —b) co st + b co sâ ; y = (a —b)sin t —b s in â , b b

Giả i

x '(t) = - ( a - b)sin t - (a - b)sin — ^ - ; y ■( t ) = (a - b )COSt - (a - b) C b'

=> L = í (a -b ) ,2- -2co s^đt = 2 (a -b ) fs in ^d t = 4——- - ( l - cos-^J M b 0 2 a '



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§30. Đ ộ dài đư ờ ng congpỉ tẳ n g —n ầ n Ph

3. Dạng 3: Độ dài của đường cong trong hệ tọa độ cực

Bài 1. Tính độ dài đư ờ ng tròn có bán kính R.

Giả i

Phươ ng trình đư ờng trong trong hệ tọa độ cực là: X = R, 0 < cp < 2n

*/2=> L = 4 J Rdcp = 4RcpỊ 2 = 27tR (đvđd)

0

Bài 2. Tính độ dài đườ ng Cardioide: r = a ( l + cos(p) ; (0<<P<271)

Giả i

p .-----------------------------------------------. Jt .---------------------------------------------------------- .---------------------------

k = J\f [rfa ) ] + [ r’(*p)] dọ = 2 í'V2,2 í 1+ cosv )2 + (~ a s*n<p)2^CC \ 0-

71 _______ _ _____________; ____ .

= 2 a f-y/l + COS2 cp + 2 c o sc p + s in 2 (p dtp = 2 V ỉa ị Ạ + coscp dcp

0 0

: 4a Ícos-r-dcp = 8a sin _ 2 2

= 8a (đvđd)

Bài 3. Tính độ dài đư ờn g cong: r = asiri3 —

Giả i

L = Jự [r( cp )]2 + [r'(<p)]2dcp = Ị a s i n 2 ^ J s m * Ỵ + c õ s * Ệ d ẹ = a Jsin20 0 ' ' . 0

371 / - \ s . . \ 3 « .

(đvđd)a ì 7( 2cp) . a ( 3 . 2 ẹ ị

= — 1 - c o s —Hđ<p = — (D -—sin — 2 J I 3 J 2 V 2 3 ;


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ns H: Các ứ ng'd ụ ng tích phăii - Trằ n Phư ơ ng

--lànÂn2+1 + a I - a Ji/(p2 + ld(p = 2aĩtV4ĩt2 +1 +aĩn|(p + 7 (p2 + l||0 v<p2 +1 0 ' ' • . ..

L = 2a.n-J-\n2 +1 + a In( 2 1 1 + V 4n2 + 1 ) = > L = an\l4-J11 + 1 + —l n ( 2 ĩ t + V 4n2 + 1) (đvđ

Bài 5. Tính độ dài đường cong: r =1 + co sọ

Giả i

2

2 2

' ( < ? ) = 7

a s i n c p

(1 + coscp)

T=>[r(cí>)]2+|V(‘ p)]2-=(1 + COSọ ) ‘

- [ ( 1 + COS cp)2 + s in 2 «p]

(ỉ + coscpy-(2 + 2cos<p) =

2à2 2a2 _ a2

(l + coscp)Scos6y 4ọos6y

. - 1 = = = ( u = f )• ' . [ ____ 6 < p 2 •* _ 3 (p . _ 3 (p * C O S u ^ ^ '

4 COS -- -*/2 COS — 0 COS — 02 2 2

dx rcosxd x f d(sin x), T r dx rcosxdx r d( si nx ) (• d ( s inx )ìa c ó : ĩ= = — — = ------ — ------ = --------- :------ — ------- ; r~

J cos X COS X ( l - s i n 2 x) [ ( ĩ+ s m x ) ( l - s in x ) ]

1 rí~ 0 + s in x ) + ( 1 - sin x ) ] 2 , , . \ ỉ c í 1 1 V ,/• •, \ / . d(s inx ) =(1 + sinx;U -sinx;

1 2 — |Ị----------- ——-i--------------—H---------——

4 i_(1 —sinx ) (l + sinx ) 1—sin X

rc/4

Q in'1 1 I I 4- <5in 11

==> L = 2a

1 1_____ _____--4 ■’v l —siii X 1+ sin X

d(sin x)

í J í d (sin x) = sm * + —ln

2 cos2 X 2

1 + sin X

sih'u 1,- + - - l n

2 cos u 2 1 - s i n u

1 - sin X

a [V 2 + 21n(l + V2 )] (đvđd)

+

Bài 6. Tính độ dài đư ờ ng cong: r = ath-2-; (0 <c p< 2ji )


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§3Ĩ . Diệ n t ích mặ t tr ộ ft xoay - Trầ n Phư ơ ng

. § 3 1 . D IỆ N TÍCH. MẶ T T R Ò N -X Ộ A Y " . ' - ■

ÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY

Diện tích mặt tròn xoay c ùa đ ự ồng cong ý = f(5t) íro ng hẹ tọa ỡộ Đ ềcáẹ:

Diện tích mặt tròn xoay do cung tròn AB '.y = f {x) ; a < X < b

b I—------------ -----

5 = 271

■ a

D iện tí c h m ặt t r ò n x o ay c ủa đ ư ờ ng c ong có p hư ơ ng t r ì n i ’ t ham sể :

u c u n g tr òn A B c ó p h ư ơ n g trìn h t ha m số X = x (t ), y - y (t ), a < t < p ứ n g

i a < X < b thì diệ n tích mặ t tròn xoáy là: s = 271jỊ y (í) |\ Ị [ x' (ỏ f +[y(?)]2dta

D iện t íc h m ặt t r ò n x o a y c ủa đ ư &ng co ng ỉr o ng hệ iọ a đ ộ c ự c :

u cung tròn AB có phư ơ ng tr ìn h trong hệ tọa độ cực: r = r(cp), a < -<p < p p , . • - --- ----------..

diệ n tích mặ t tròn xoay là: s = 2n J]r (<p) sin cpIVH<P)] + [/'(<p)] d ẹ

a

BÀI TẬ P MẪ U MINH HỌ A:

D ạng 1 : D i ện t íc h m ặt ỉ r ò n x o a y c ủa đ ư ờ ng c ong y = f ( x )



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng l ĩ: Các ứ ng dụ iig tích phân - Trầ n Phư ơ ng

lla/3 . Ị J , lla/3 Ị y 0 Ỹ

Xét I= ] u f 2 - i | i d u = I J ^ i | i d ( u 2) = l [ u 2- 4 | i )2a/3 2a/3

Ha/3 Ị-------- ------- J I-------- ------- r'W 3 u a/3 /• r

XẾ ' }- j ỷ - ( f ì du’ 4 ! - ( f ) ,1 - ĩ " d W

l Ia/3

2a/3

llJĨ3»! lls'S1 “

udu

Ù/3 Ịu 2 - Ị — I

lW Ĩ3 a2 n| 3( f ) +.2 /

2a/3

1KÍĨ3a! í 2ađu

_ 11>/Ĩ3a2

3 l 3

_ 1l -s /õa2 / 2a '

/ » v 2 IIa/3 , lla/3 I -------- ------

Ĩ ÍM Ĩ I n Ị ^ + a r / ĩĩỊ- l n

2a/3 2a/3

J

du

2a

3 .

2j _ l lVÕ a2 4a2 J 11+ 3VĨ3 _ J 1Ị l lVĨ3a2 4a2 t ĩl+3-v/Ĩ

3 9' 2 2L 3 9 n 2

s==JLi 22E j = JL 13VĨ3a3 271 1 |~1 l-v/Ĩ3a2 4a2 ]Ịn22 + 6VĨ3^ 9a 7 .27 9a 3 2 7 ’ 2 L 3 9 4

3 9 4

4ra21>/Ĩ3+2In 3+VĨ3

Bài 2. Tính diên tích măt tròn xoay khiy = aco s-^- ;( |x| <b )qu ay q2b

G/ổí

M i * f ĩ * - ^ J í ĩ H * I í < *

372



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§57. Diệ n tích mặ t tròn xoay - Trầ n Phư

-w ị í ẵ ĩ ^ =Wul ỉ f +u’ [ - w 'h ìM T ™ 1

= 4aV4b^K7t2a2 - 4ĩta2 Ju -* f u - 7= ^ =

° l i -\-2 !"/«,_

( ặ ] 2 _ ( M ' w\7ta/ L\7ta/ _ _

= 4aV4b2 + n3a 2 + 4 r a ' f- _________

• i ẽ R= w s ^ + i ^ j - g ^ - w j | i p

£u 2 ÍTTTvT

du

= 4aV4b2 + 7c2a2 +0

.272"

- l i ĩ ^„ / 2 , _2 2 16b2 , 7ta + v4 b 2 +rc2a=>2S = 4aV4b +3T a + ——-In------- — ---------

7t 2b

= 2aV4b2 7 t t V + l n 7ia± (đvđt )7t 2b

Bà i 3. Tính diện tích mặt tròn xoay khi 9y 2 = X(3 - x) 2 ; 0 < X < 3 quay quanh

Giả/

9y2 = x ( 3 - x ) 2 ; 0 < x ắ 3 o y = ± - ( 3 - x ) a/ x , suy ra đường cong gồm 2

nhánh đố i xứ ng nhau qua Ox, xét đư ờ ng cong: y = f (x) = ỳ ( 3 - x ) yỉ x

S=2 tc j f(x )\/l+ [f '(x )]2 dx=— J (3 -x )V x ^ ~ d x = —|( 3 - x ) ( x + l)dx=3jt (đv0 3 0 2-v/x 3 J


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng ĩĩ: Cứ c ử ng dims ticìiphẫ n - Trầ n Phư ơ ng

2n | f ( x ) Ặ + [ f '( x ) ] 2 dx = 251 jy /2px 'J l+ j - d x = n j p J \ /2x + p d (2x + p0 0 0

=2t i7 p .(2x + p) 3/2 = [ ( 2 a + p ) A/p (2 a + p ) - p 2] (đvdt)0 ^

is 1 5. Tính diện tích mặt tròn xoay khi y2 = 2px (0 < X < a) quay quanh Oy

Giả i

; X = 0 => y = 0; X = a => y = ±-y/2pa và x' (y) = —

Jĩpi Ị —— -------- — Ạ pã 2 Ị T n -ftp* . _ _____ — = 271 I x ( y ) A/r + [ x ' ( y ) ] 2dy = 47i: J ị - ■■ i + ỉL đ y = 3 ĩ. I y 2 J y 2 +p2dy

-Jĩĩ 0 2P V p p 0

= ~ } y d [ ( y 2 + p 2 ) 3/2] = 7 T y ( y 2 + p 2 )3p 0 3P

= —ị' 7 2 p a ( 2 pa + p 2)3 / 2 I (y 2 +p 2)yjy2 +p 2đy 3p 3p 0J

-■ ^2a(2a + p) J Vy2 + p2(1y - ^ r I y2Vy? + p2 dy*0 3p 0

,/ipă 2

2 j ( y 2 +p2) dy3p 0

t (2a + p)

=ĩ ĩ i ĩ i M ^ Ẹ ^ . Ỉ i l A s

x/ĩpã ------------- -------------

ét ! = I Vy2 + p 2dy = yyjy2 +.p20

/ v )ư ư ,

. sỊĩỉặ . ■_______ ,/ĨỊỊĩ 2 / 2 , „2 V


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§57. Diệ it tích mặ t tròn xoa y - Trầ n Phư ơ ng

21=p^2a(2a + p) + p2 ln ^ l^ Ễ — ĨẼ . =» 1 = £ /2a(2a-rp) + p l n - _2 a+p

VP 2 L VP

1 s = 2 ĩ Í | ì p ) v m ^ - 3 ĩ [ v m ^ + p 1 „ Ì E í | Ĩ ± £

/ . \ “> n /z> s = 71(4a + p) N Tip2 , V 2a +V 2a + P

_ : r _ >/2a(2a + p ) - ^ - l n ------- -------------

i 6. Tính diện tích mặt tròn xọay khi y = tg X; 0 < X < -^ qua y qua nh Ox

G iả i

It /4 .-------------------------- ít / 4 I----------- ----------------------------

S H l + dx=2\ ^ Ỷ (^ ĩ7 'l(tSX) ■■= / f Í 5 3 5 d ( i + tg= x ) = « r ^ ĩ± ĩd u - » f.

i l + .tg X J u J.

2 2 ,- u +1 '

uVu2 +1

1 du7

_2f udu 2f dư n rd (u2 + 1) 2f 1 di

=7t j S T +7to f r T = t r B r f " +7Ir r T uí v u +1 I uVu +1 n v u . f l 1 1+ -4- uV u2

= 7 t v u 2 + 1 , - .7 1 f —= = =-d I— ) = 7C (Vs — V 2 ) — 7Ĩ In

wU J i + f l i

( V 5 - V 2 ) + l n i i ± ^ M z i l2

(đvdt)

i 7. Tính diện tích mặt tròn xoay khi y = a ch —; |x| < b quay quanh ' ồ xâ

G iả i

= 2it í a ch — 11+ sh 2 — dx = 4ĩta fcb2 — dx - 2-ita i f 1+ ch — ì dxi a * . a 0 a 0 ^ a '

. ( a , 2 x V= 27ia X + —sh —1

l 2 a ) .( Ob''

= 7ia |^2b + a sh — J (đvdt)

375



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng 11: Các ữ ng dụ ng tích phân - Trầ n Pltự ư ng

Bài 8. Tính diện tích mặt tròn xoay khi y = ac h —; |xj (ex/a)2 - ^ e x/a + l = 0= >e x/aa a a

[ a < y < a c h —

= x ' (y ) -

s> =2, " *r-a t a ĩ i Ễ E Ĩ . 5 . 2» ' f h

= 2 , a V 7 T 7 i „ z i i E ja c h —

a _ __________ _

-27 ta J ^/y2 - a 2da

>/y2

ach—

= 2rta2 sh —ln(c h —+ sh —|-2 7 ta f dy = 2rca(a + bsh —- a c h — | a V a ay J V a aya

Bài 9. Tính diện tích mặt tròn xoay khi X2 + (y -b )2 =a 2 ;(a < b) qu ay qu

Giả i

Đ ườ ng tròn x2+ (y -b )2 =a2 được chia thành 2 phần đối xứng

đ ư ờ n g th ẳ n g y = b: X2 + ( y - b ) 2 = a 2 o | ^ T k + Va—

(yD = b - V a 2 - x 2

S = S| +s2= 2rc J"yT- 1+ [yị (x)]2đx + 271 |y D 1 + [yó (x)]2 dx- a - a

a , a

= 4ĩtab f —T.T = 8rab-ì 4 ^ 7 . ỉ V a -

=8ĩtabarc sin— = 47t2ab (đvđt)

376



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§31. Diệ n tích mặ t tròn xoay —Trầ n Phư

2. Dạng 2: Diện tích mặt tròn xoay của đường cong có phương trình tham

Bài 1. Cho đường cong Cyclo ide: x = a ( t - s in t ) ; y = a ( l - c o s t ) ; 0 < t< 2 ĩ

Tìm diện tích mặt tròn xoay khi quay đư ờng này với các trục quay sau:

a. Trục quay là Ox b. Trục quay là Oy c. Trục quay là y =

Giả i

2 K Ị--------------------------------------------- 2 l ĩ I----- ---------------------------- :--------------------

a. sx= 271 jỊy(t)Ịy[x '( t)f + [y '(t )]2 dt = 2ĩt J a (l -c o s t) v a 2 (l -c o s t) 2 +a 2 sin2 t

0 02it 2iĩ 2ĩi / \ /

■ =2ĩra2 | ( l - COS t) yj2 - 2còs t dt - 8 Tta2 jsin 3 - d t = 107ra2 ỊỊ COS —-l jđ Ị^ c o

2 1 1 ■ 3 t • t= 167ia -rCOS —-COS—

6 4 m 2(đvdt)

b. S =2 jc J|x(t)|-^[x'(t)]2 +[y'(t)]z dt =2ti Ja(t-sint)â2 (l-cost)2 +a2sin20 0

2n 2n Ọ x ^ 2:1=2ra2 J( t—sint)\/2-2costđt=47ta2 J(t-s int)sin -d t= 47 ia2 Jtsin—đt—Jsintsin—

0 2 u

- fcos—đt+2 fsin2- d fs in

J 2 J 2 I =-8ĩta

=-87ta

/ \ t tJtd Ịcos^ j+ Js i n -cos -d t

0 0

r , t 2 . 3 t ì•2 j ĩ- 2sin — ---- sin — l 2 3 2 )

ttcos—

2

2n 2ĩt

0

= — 8 n â ( —2 n ) = 1 6 n â (đvdt)

c. Đ ổi sang hệ tọa độ mới: u = x,v = y - 2 a với chú ý: đườ ng thẳng u =

trục đối xứ ng của đư ờng cong và V < 0. Khi đó:


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




hư ơ ng 11: Các ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

2 sin51it/2 ,

12ra(đvd

Hài 2. Cho đư ờng cong Astro ide: x 2/3 + y 2/? = a 2/3 . Tìm diện tích mặt t

xoay khi quay đường này với các trục quay sau:

a. Trục quay là Ox b. Trục quay ià Oy c. Trục quay là y = XGiãi

hương trình tham số: x = acos 3 t ; y = asin 3 1; 0 < t< 2 jr

x ' ( 0 ] - + [ y ' ( t ) ] = 9 a 2 c os 4 t s i n 2 t + 9a2 s in 4 t c o s 2 t = 9a2 COS2 t s in 2 1

Do đồ thị nhận o làm tâm đối xứ ng và Ox, Oy làm trục đối xứ ng nên

S.SX==271 J]y (t )ỊiJ [x '( t) ] + [ y ' ( t ) ] 2 dt = 4u J a s in 3 W 9a2 COS2 ts in 2 tđ t0 0

it/2 it/2==127ta2 I cost sin4 td t = 127ia2 J sin4 td (sin t) = ì2i ĩá

0 0

c. Sy = 2u j |x(t ) |-y /[x '(t) ]2 + [ y ' ( t ) ] 2 dt =4n J a COS3 t\/9a2 COS2 tsin2 1 dt0 0

=127ia2 ị" cos4 ts in td t = -12ra.2 [ COS4 td (cos t) = -1 2na2 ■C° s * _12rca_ ((Jyj

0 0 5 0 .

Quay hệ Oxy một g óc — : x = Xcos —- Ysin —;y = Y cos —+ Xsin — 4 4 4 4 4

X = —— = —Lr(sin3 t + tcos3 t) ; Y =-^-7=í- = ~ ( s i n 3 t - c o s 3 1)V2. Vĩ. V2 V2

Do đồ thị nhận o làm tâm đối xứng và o x , OY làm trục đổi xứng nên


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§31. Diệ n t ick mặ t tròn xoay - Trầ n Phư ợ ng

4tc

óV2íta2

6yj2na2

\ / 2 j t a 2

t/4 3n/4Í-Ặ r|s in3 t - c o s 3 t| -3 a| sint co st |d t+ f -^=|sin3 t - c o s 3 1| • 3a Isin t COS tịdt

C-W2 ị n

k Ị 4 3ĩt/4 ^- f (sin3 1 - cos3 1) sin t COS t dt - í (sin3 1 - COS3 1) sin t co st dt

0x/2 ,

c/4 n/4 3ĩt/4 3jr/4f COS4 t s i n t d t — [ s i n 4 1 COSt d t - í s i n 4 t COSt d t + ] COS4 t s i n t đ t

0 0 rt/2 ji/2 ■ .

7ĩ/4 7ĩ/4 371/4, 3ĩt/4 N- I COS4 tđ (c o st )- Jsi n4 tđ (s in t) - J sin4 td( sin t)— J COS4 td(cost)

0 ' 0 It/2 71/2' ,

6'JĨ tĩ3lĨ-(c os5 t + sin5 1) 11/4 /■ . 5 - 5 'i-Asm t+cos t;

3tc/4

5 ■ 0 7t/2 _

3ĩta(4Ự 2 -I) (đvdt)

2 2i 3. Cho đườ ng elip:-^—+ -r- = l ( O c b ắ a ) . Tìm diên tích m ặt tròn xoay

a b

khi quay đường này với các trục quay sau:

a. Trục quay là Ox b. Trục quay là Oy

G iả i

ơ ng trình tham số : x = ac ost;ý = bs int; ó < t < 2tc

đồ thị nhận o làm tâmđối xứng và Ox, Oy làm trục đối xứ ng nên

tc/2 I --------------------- ĩt/2 . t ;__________________ =4% | | y ( t ) | y [x ' ( t ) ]2 +[y ' ( t )]2dt = 47t J b sin W a2 sin2t + b2 cos2td t

0 0

n/2 __________________ 0 :_______________ = -47ib J v a 2 “ (a2 _ b2)cos21 d(c ost) = -47 ibJv a2 “ (a2 _ l;}2) u 2 du

0 1■

= -Anbuyja2 - (a 2 - b2) u2 Ịj - 4itb ịud(-\ /a2 - (a 2 —b2 ) u 2 )0

A i 2 V - ( a 2 - b 2)udu 2 , . V (a2 - b 2)u2 dụ= 47tb - 47tb u - 7- — —- = 4nb + 4nb ! - = = = = =

0 V a2 - ( a 2 - b 2) u2 0J Va2 - ( a 2 - b 2)u2

379



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Cúc ứ ng dụ rig tích phân - Trằ n Phư ơ ng

= 4 jt b2 t J 2 í 2 , 2\ 2

4nb +47ĩb — =-- ■ =-■■ -du0 Va2 - ( a 2 - b 2) u 2

47tb2 + 4ĩta2b f ẩ= = 7- 4nb ị\ Ị a2 - ( a 2 - b 2) u 2 du

0 -\/a - ( a 2 - b 2)u 2 0J .

2 47ta2b . V a2 - b 2u _ 2 4rca2b _ .= 47tb +■ - a r c s in --------------- - s = 4nb + 7=== -arcsir

Va2 -fa 2 a 0,2 4rca2b . %/a2

- S = 4rcb + —======• a rc sin - ----

_ ~ c _ , 12 4rca2b . Va2 - b 2 _ __,2 2 ra 2b _ Va2 - b=>2S = 47tb .= ra rcsin --------------------------------------------------------—>

Va2- b 2 a Va2 - b 2 a

b . Sy = 4ĩt J |x ( t ) | - ^ [ x '( t ) f + [ y '( t ) ] 2 d t =471 I a c o stV a2 sin2 1 + b 2 C0 0

”/2 ----------------------------- 1 --------------------------= 4rca ị-v/b2 + (a 2 - b 2)sin 2 1 d (s in t) = 47ia jV b2 + (a 2 - b 2) u 2 du

0 0

= 4ra.uVb2 + (a 2 - b 2)u 2|0 -47ta Ị udỊ ^/b2 + (a 2 - b 2)u 2 )0

2 /t V (a2 - b 2)udu 2 „ V ( a2 - b 2 )u 2d u= 47ta - 4jta u 7== ■■ -■■■= 4íta - 4 r a 1- 7 = =====0 Vb2 + ( a 2 - b 2) u 2 0-\/b2 + (a - b 2 )u

, 2 „ Vb2 - [ b 2 + (a 2 - b 2 )u 2J= 4 r a + 4 ĩta I------)■ "■ :-■■== —- du

ỉ >/b2 + (a - b 2 )u 2

= 4 í i a 2 + 4uab2 f : - - 4na ịVb2 + (a 2 - b 2)u 2 duỈ Ậ 2 + (a 2 ~ b 2 )u 2 0J

W +- ^ = \ n l í ĩ ^ n + Ậ 2 + (a2 - b 2)u 2 |

2 ‘ 4jiab2 . á+Va2 - b 2 0 _ 2 2rcab2 , a+Va2 - b=>2S = 4rca + -= = = = • In— — --------=>s = 27ta + ■■■■ - ln ------ — ------

> / 7 ^ b . b

38 0



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





§31. Diệ n tích mặ t tròn xoay — Trầ n Ph

Bài 4. Cho miền s giới hạn bời (p ) :a y = a 2 - X 2 và trục hoành . T ính

giữa diện t ích bề mặt vật t ròn xoay tạo nên khi s quay quanh t rục Ox

diện tích của mặt cầu có cùng thể tích.

Giả i

Thể t ích củ a khối t ròn x oay tạo nên khi s quay quan h O x là:

v * = n Jy2dx = ~ ĩ J(a2 -X 2)2 dx = -^- J (a 4 - 2 a 2x 2 + x4)d x- a ^ - a ^ - a

71 I 4 * 2a 3 X=- H a X - —— X + —■a V ' 3 5

2 te í 5 a 2aa — — 5 3

= — 7ta3 (đvtt)15

■ "-ir

=> Bán k ính R củ a hình cầu có cù ng thể t ích là nghiệm của ph ư ơ ng tr ình

^ 5 - = — Tia3 o R = a ỉ —. Phương t r ình tham số của nửa đường t ròn3 15 V5

kính R là: X = Rcoscp; y = Rsincp (0 < (p < r.) => Diện tích m ặt cầu bán kính R

Jĩ ____________ ____ K Sj = 271 |(R sin cp)-Jr2 (sin2 ọ + COS2 cp)dcp = 2tiR2 Jsin <pdcp= 47iR2 = 4rca2Ị -ị

0 0

Diện t ích củ a m ặt t ròn x oay tạo nên khi s quay quanh trục Ox là:

s2 = 2 * + Ì 2 C d x = ỹ jf(a2 _ x2 )^ Ỷ + x2 dx

=84 \ |t+x2dx-^rh2 ị +x2 dx=4ĩt xa/ /a" 2X + J — + X

- h - + x- a í V ✓ — L. ' ' ' J Jo


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






§32. Tính gầ n đủ ng tích phân xác ăịiih - Trầ n Phư ợ ng

§ 32 . TÍNH G N ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH

. b ĐẶT VÁN ĐÈ: Nói chung ta thường tính tích phân xác định ị f ( x ) d x theo

a

ông thức New ton - Leibn i tz thông qua v iệc t ính nguyên hàm F(x) của f(x).

u> nhiên có rất nhiều hàm số sơ cấp không thể biểu diễn nguyên hàm cửa

húng dưới dạng các hàm sơ cấp và ngay cả khi có thể biểu diễn được dưới

ạng các hàm SO' cấp người ta cũng thường chú ý đến cách tính gần đúng

ủa t ích phân xác định vớ i cách t ính đơ n giản và độ chính x ác thích hợp.

hứ ng ta xét 4 phươrig pháp tính gần đúng sau đây:

TÍNH GẰ N ĐÍING TÍCH PHÂN BẰ NG KHAI TRIỄ N TAYLOR

C ôn g t h ứ c k h a i t ri ể n T a y l o r :

1. e* =1 + — + ?— + ■ •■ + — + o{xn)1! 21 n\

?. s i n x - x - — + --- + ( - ì )" --------- — + o { x 2n)3/ í {2n- \ ) ỉ

•r2 . V2" ,3 . CO S X = \ - — + • •• + ( - ! ) " - :■ + o ( * 2”+1)

2! (2 n)!

„ /, - ;w _ v a ( a - l ) 2 a ( a - l ) . . . ( a - n + l) „ /4 . (.1 + X) = l + cu: + - — X +. . . + -------------------------------------------------------------— ---------------------- X + o \ x )

2! n\

5. /n ( l + x ) = x - — + — i- (- l) '' 1— + o(xn) 2 n

. _ e x - e ~ x _ X3 X s X 2n~l ( 7 n \ 6. skx = ---------------------------- — = x + —- + —- + ••• + - ------- —+ Ớ UT )2 3! ,5! (2 h - 1 ) !

-X , , -X -i.2 v 4, Jĩ.n - ể ể . X X' X ( 5n+1 \ 7. chx = -----— — = ] + — + — + ••• + —— + o \x )

2 2! 4! (2 n)\

1 *3 1-3V 1.3... (2 n - ỉ ) x2n+ì . 2a+2 , , _8. arcsin X = X + —. —■ + — — +... + —- - ■ — -------- + o(X ),-1 < X < 1

2 3 2.4 5 2A.. .(2n) 2n + \

t 39. arctgx = X - i - + + (~ \ )p — ------- + o(x2p+2) , - ì < x < 1

JC2p+ì

3 5 1 2p + i

383



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng I I: Các ứ ng dụ Its tích phân - Trầ n Phư ơ ng


1/2

Bài 1. Tính g ần đúng t ích phân với độ chính xác 0,000001: ỉ = f

0 Giả i

\J1-1 X 2 n - lX3Sử dụng kha i t r iển Taylor : s inx = x ~ —ị-+ \- + ( - l ) ' ^ ^ + 0

1/2 1/2 X -

i - Ĩ Ị Ị i * . ] -0 0

3! + 5! 7!1/2 4 6X X

T T ’ ' s ! 7 Ĩ

(

= f x - — + = 1 - - ^ + - ^ ---------- Ấ — + .. . SB0,l 3.3! 5.5! 7.7! J0 2 233.3 ! 255.5! 2?7 .7!

7

Bài 2 . Tính gần đúng t ích phân với độ chính xác 0 ,0000001: / = J0

Giả i„ 2 /

Sử dụ ng kh ai tri ển T ay lo r: COS X = 1 - —y + • • • + (- 1 )” ~ ' - + o {x2n+

i d x , j f i - ĩ l + í l _ .Ậ 2 ! 4! 6!

1_ , _ x i + * _ _ iL +\ . _ 1 1 —11 —” 7 + ------------- ••Ị = ị Ị- c o s x j. . = J V 2Ỉ 4! 6!

0 X 0 *

X X3 X5 X7 ) 1 1 1 1 - — — -------------- 1---------------------------- ỉ- .. . Ị — --------------------- 1- ------------------------ ỉ- . . . ® 0,486385

1.2! 3.4 f 5.6 ! 7.8! J 0 2! 3.4! 5.6! 7.8!1

Bài 3 . Tính gần đúng t ích phân với độ chính xác 0 ,001: / = I— ——

_ ° x Giả i

. .................. .. ... 1.3 . . , (2n -l) Xarcsin X = X + — ■ + . . .+ -Q-----

2 3 2.4 5 2.4...(2n) 2n +1

Sử dụng khai tr iển T aylor:

Í l í !2.4 5

\ 1 X3 1.3 Xs1 ___ , . I X + - . - + — 1/

u p ặ ĩd K - J— U _ M 1 _ d x = I

0 x 0 x - A

_2n-H+ o(x2n+2 ) , - l <

1 X2 ; 1.3 X4d x = i 1 + - . ịd

2 3 2,4 5

, 1 X3 1.3 Xs 1.3.5 X7— X + — + ——- r- + - ~ r + -

2 3 2.4 52 2.4.6 f J 0

1 1 1.3 1 1.3.5 1 = 1 + - . - ^ - + - — —V + — -----v + - ®

2 3 2.4 52 2 .4.6 f

384


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§52. Tinh gầ n đúng tích phân xác định - Trầ n P

' ■ 1/2 Bài 4 . T ính gần đủng t ích phân với độ chính xác0,000001: ỉ — Ị ế x*àx

0

Giả i

, ỵ ỵ 11 / \Sử dụn g khai t r iến T aylo r : ex = 1 + — + — + ••• + --ị- + o( .x"j

I . | e - ’ d x = j f i - i * í l - í l + . . l , i x = í x - — +...ÌJ 1! 2! 3! ) V 3.1! 5.2! 7.3! )

1/2

1 1

2 23.3.1! 2 s .5.2! 27.7.3!+ . ..«0,4612 72

1/5

B à i 5 T í nh gần đúng tíc h phân vớ i độ c h ính xá c 0 , 00 0 0 0 1 : / = Ị0

l n ( ỉ +

Giãi

S ử dung khai tr iển T a y lo r: i n (l + x ) = x - - — + --- + ( - l ) " — + o ( x " )2 n

2 3 Ý 4

X - ~ + - - - ^ r - + ...2 ->2 ỵi2

1/

- - +- i - r ----- ^ - r + . . .» 0 ,190802

5 22.52 32.53 4 2.54

lỊ ĩB ài 6 . T ính gần đúng t ích phân với độ chính xác 0 ,00001: / = f *

* X9

Giả i

3 5 2 p + l

Ta có: arctgx = x - — + — .. + ( - l ) p —--------+ o(x2p+2) ,- l < x <1


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




hirffitg //■• Các ử ng dụ ng tích phân - Trầ n phư ơ ng

’/ịài 7. Tính gần đủng tích phân với độ chính xác 0 ,000001: / = ị —l dx

0 x

Giả i

a có: sh2x =2 x

e - e _ 2 x + í ^ + í 2 ĩ£ + . . . + í a £ ị t o ( (2* ) ’-.)2 3! 5! ( 2 n - l ) !

v-' 2’x’ 2s X4 2V '2 + — — + — — +

V

2 X 2 X 2 X 2x-f ----- ;— + —— + — _

V 3.3! 5.5! 7.7!

3! 5! 7!

1/3

đx

2 23 ' 25 27- + '-7 — + — r — + — ;— + ... * 0,6833483 3 .31 5.3 .51 7.3 .7!

0 * X

à i 8. T ính gần đung t ích phân vớ i độ ch ính xác 0 ,0001: / = T • — -— đx1 ex

Giả i

„ ) = £ £ . & . f " = i d ( e - ) = t e s s i * : . ‘f ĩ ĩ ậ . ? dx

1 - i ( eO ầ ' ị *v r 1 1 V 1 " í V 3 1 - i R V s ' 'i1 1 X 1.3 X3 1.3.5 Xs

X 2 ’ 3 2 .4 ' 5 2 .4 .6 ’ 7

. 1 X2 1.3 X4 1.3.5 X6In X"t— ---- H------- — ~ -f- — *——:

2 2.3 2.4 4.5 2.4.6 6.7

í 0.77341/2

ài 9. Tính gần đún g t ích phân với độ chính xác 0 ,00001: / = Ị c^ n x \ dx

Giả i

cỏ: CỈÌX= -e — -e— =1 + — + iL - + . . . + -2L— + o ( x 2n+I)


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§32. Tính gầ n ậ ụ ng tịch phậ n -xác đỉnh - Trầ n Phư ơ ng

PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHỮ NHẬT XẤP xi TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

*iả sử cần t ính gần đúng / = ị f { x ) d x với f(x) l iên tục trên đoạn [a, è].

a ' • !

hia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm xk =a + k-~-a ,{k = ữ ,n)

n

ọi ị k = là t rung điểm của đoạn [^_ J ,xk] , ỹ k = / ( ị k) , (k = 1,n)

ua cá c điểm chia ẽ,k kẻ các đư ờn g thẳng so ng so ng v ới Oy cắt đồ thị

G): y - f (x ) tại các điểm Bk (4k>Ỹ k) >(k = l , n ) . T ừ các điểrn Xk_ 1, Xk kẻ các

ờ ng thẳn g song song với Oy cắt đư ờn g thẳng .y = ỹ k kẻ từ điểm B k tại

{xk-ì’ỹ k);Nk {Xk.ỹ k)- Gọi s'c„ là d iện t ích của hình chữ n hật Tcn = x^Cị^Nkx.K.

>sl„ =

\);Nk{xk,yk). Gọi Saì là d iện t ích của hình chữ n hật Tc„ =x H CjiVt i j .

- ——f (ệk ) = —— - f í X|t~‘ + X|t 1= k a -ỹ k . K hi đó tổ ng tíc h p hân là:n n V .2 / n

. ~ [ f - •••* f

« (ỹi + ỹ i + - + y . ) ; ỹ i = f (ií=i •

° ~ ĩ ỉ f e ) ~ ( ỹ . + ỹ 2 + ~ + y . ) ; ỹ k ií=i •

Jf(»)dx » ^ i [ f ( í i I í l ] + f ( i i a ) +...+ f |V i± 5 l }'

a

b ■/ \

b - a ' A

= „ &11 ĩí= l

hiệu sai số: R™( / ) = ị f ( x ) d x - — - — 2+ — j . K hi đó ta có:

nh đề : Nế u | / "( .x) | < M2, Vx e [ữ,ổ] thì (/ )Ị

c3c2

......... W ^ ~

M2( b - à ỷ

An

c, B,ự T- NI

Nu

INk .<.B|Í+1 ■

a=x0 Ị, X. ạ2 x2 ...... ạ , . , xk

c„-, N„

4r,V ,Ị, Xn=b X

387



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng II: Cứ c ữ ng dụ ng tích phân —Trầ n Phư ơ ng

2x

' Vỉ dụ 1: D ùng công thức h ình chữ nhật t ính gần đúng: / = J x sinXdx 0

Giả i

2 r t 2 tc

Tính đứ ng: I = J X sin X dx = - Jxd (cos x) = ( - X C O S X + sin x)| = -2% » -6,0 0

Tính gầ n đúng: C hia đoan [0, 2tc] thành 12 phần b ằng nhau bở i x k =

(k = 0,12). Gọi là trung đ iểm củ a đoạn [ x k_t, x k] , (k = 1,12) .

Khi <4: =0 ° k=l 0 k=l

-71 I . 7t:—— s in -r + sin — + sin

3 V. 12 12 12

3tc . 5n ] - ít ( „ . 3jt 2jr . 3it — + s i n — l = — 2 s i n — C O S — + s i n —

3 l 12 12 12

-71 . 7t (

T-sin - ( 1 + 2C OS-Ì = — •— (1 + s ) * -6,355537

4 V 6J 3 2

X .• Ví dụ 2: Dùng công thức h ình chữ nhật t ính gần đúng: / = Ị— — dx

J Ví

Ơ /VỈ/

Chia đoan [0,71] thành 6 phần bằng nhau bởi X ỵ = k ~ ( k = 0 ,6 ) .6

Gọi là trun g điểm củ a đoạn [xk_], xk 1 , ( k = ĩ,5 ) .

Khi đó: ’f Ệ ^ d x * Í T f ( 4 k) = 2 V r - Ị - ĩ í 6 ^ Ị { k ) Ế í .( 2 k - 1 )

1 . (2 k - l> 7 t-sin------ — -----

. . . 1 . n 1 . 3it 1 . 5jc = 24 — sin—- + — sin— ■+ -rrSin-—

,11 12 27 12 35 12

= 24

= 24

1 71 I 1 . 7t 1 II I7C J 1 - C O S — + —- s in —•+ — ./ — 1+ C O S —

11V 2 V 6 j 27 4 35V2 I 6

1 73 + 1o i . f i T7 ./Õ '1Q-J2

»0,077316



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§52. Tính gầ n đủ ng tích phân xác định - Trầ n Phư

III. PHƯƠNG PHÁP HÌNH THANG XÂP xỉ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

b' Giả sử cần t ính gần đú ng / = ị f ( ,x)dx với f(x) l iên tục trên đoạn [ a ,

a

Chia đoạn [a, Z»1 th ành n phần bằng nhau bởi các điểm chia xk = a +n

(k = 0 ,n ). Q ua các điểm chia Xk kẻ các đư ờ ng thẳng song son g vớ i Oy

đồ thị (C ): y = f(x) tại các điểm AlciXfc, yit) , (k = 0,n). Nối các đoạn th

Ak_ 1A k (k = 1, n ) . T hay các hình tha ng co ng bờ i các hình th

Th= xk, xAk_xAkxk. Gọi s ; là diện t ích của Th => s l = — - • ^k~’ + ^k n 2

Tổng diện t ích các hình thang xk_ịAk_,Akxk là:

s b - a ỹ f ( x k - i ) + f ( x k ) b - a i y 0 + y , ^ , + y z [ [ y n _ , + y n " ịt h n Ể í 2 n l 2 2 2 J

= iv L( f + > ' + -"+ y - ' Jf(x )d ,1 ' i ^ ( f + y ' + '"+ y - ' a

Kí hiệu sai số :.jR,? ( / ) = Ị f ( x ) đ x ~ ——— ^ â

Mệ nh đề : Nế u \ f ( x ) \ < M 2y x £ [ a ,b \ thì Ịi?,f ( f ) \ < ^ — ~ -12 n


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




° Ví du 1: D ùng công thứ c h ình thang tính gân đúng / = ị;------- - (n = 1ị ĩ + x

Giả i

Tính đúng: 1= [—— = arctgxị' = — » 0,7853980J 1 + X 2 0 4

' , , k -Tinh gầ n đúng: Ch ia [Ọ , 1] thành 10 phần bằng nhau bời x k = — (k = 0

Đ ật yk = / ( x k), k hi đó: j - * L - » - L ^ 2 - + yi + - + y9+ - y - ) -

Lập bá ng biểu d iễn g iá trị Xo, X|, Xio tư ơ n g ứ n g vớ i y 0j y i, yio-'

Chư ơ ng II: Các ứ iíg dụ ng tích pliân - Trầ n Phư ơ ng ________________ ______

• X y - f i x ) = 1/(1 + X2)

Xo = 0 y 0 = 1,0000000

X,=0 ,1 . y, = 0,9900990

x2 = 0,2 y 2 = 0,9615385

x3 = 0,3 y3 = 0 ,91 74 31 2

x4 = 0,4 y4 = 0 ,86 20 69 0

xs = 0,5 y5 = 0 ,800 00 00

x6 = 0,6- y 6 = 0,7352941

\ ì f I I I P y7 = 0 ,6711 409

X C O I I Ỉ P 0 0 y 8 = 0,60 975 61

x9 = 0,9 y 9 = 0 ,5 5 2 4 8 6 2

X|0 = 1 y ,0= 0 ,5000000

:=> f-Ẻ L.*-Lfyọ . + y +... + y,+^2-1 = 0,7849815(f l + x 2 ì o l 2 ^ 9 2 )


N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§32. Tíitỉt gầ n đúng tích 'phân xắ c định —Trầ n Phíỉơ ng

XX I I

S

l 1

X o = 1,0 y 0 = 1,0000000X | = 1,1 y r = 0 ,9090909

x2 = 1,2 y2= 0,8333333

x5= 1,3 y 3 = 0,7692308 .

I I • 5 J - y4= 0 ,7142857

x5 = 1,5 y’s = 0,6666667

x 6 = 1 , 6 y s = 0,6250000

X7 = 1,7 y7= 0,5882353 1

C O I I 0

0 y s - 0,5555556

X 9 = 1,9 y9= 0,5263158 C S )

I I o*

yio = 0,2500000

xỏ = 1,6 __________ yạ = 0,6'

x7 = 1,7 . y7 = 0,5

x8 = 1,8 y8 - 0,5

Xọ = 1 , 9 _____________ y 9 = 0 , 5:

* 1 0 = 2 ] y \0 = Q,2

> f ! f “ í U f + y' + ' + = 0,0937714

2 ,nh đímg: 1= J — - = lnx|^ = ]n 2 «0,69 3147 18

1 x

7 t / ĩ -----------------------------

Vỉ Jụ 3: Dùng công thức hình thang t ính gần đúng / = J l ——siìt2 xtlx (n = 6'0

Giả i

n/2 ----------------

h ún g ta Ichông thể tính, đú ng I = I JỈ - - -s in 2 X dx bằng Nevvton - Leibni tz0

ính gầ n đúng: Ch ia 0,-ị- t íiành ổ phần bằng nhau bởi x k = — (k = 0 ,6 ) .L ' 2 J 12

ặt y k = f ( x k ) = > I = 1 ^ 1 - i - s i r r X < j x ' * ^ 2 . + y , + y 2 " + y 3 ' + y 4 + y s + ^ j

% ( Ỵo + Yi ì 71 2 + >/j 1 V-1 Ị~

t 2 + y ' + y ' + y » + í < + J 'i ỳ n t 4 * Ù Ỉ J + c “

l ị ĩ i A +_L £ j í + \ o * v 7 +j n +, O T 24 |_ 2 V 2U 2 V 2 V 2 V 2 )

— (2 + s + >/Ĩ4 + s + yỊ Ĩ Ĩ f y ỉ ĩ ĩ + yjũ + V14- V 3 ) X 1,467462248

k n

391



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N






n ^ - . /( * * - 1 ) + / ( * * )Đ á nh g iá sa i số : / ? f ( / ) = I f ( x ) d x ~ —

0 12 *=!

/ ' W = í )/ l - ịs i n 2 * ì = - L (V7 + COS 2x y = - 1 = . - ^ - — w > 2V2 2>/2 V7 + cos 2;t

^ _ 1 ^ - s in 2x Ỵ 1 - 2 co s 2 x (7 + c os 2x ) —sin 2 2

2- j2\y j l + cos2x J 2V2 (7 + cos2x)-v/7 + cos2x

- s i n 2 *

-1 COS2 2x + 14 cọ s2 x + l |fB(. ^ |_

2\/2 (7 + cos2x)-v/7 + cos 2x

-1 COS2 2x + l4 co s2 x +

2V2 (7 + co s2 x)V 7 + COS 2

.=* |R? (f)ị < ----- = — i i £ _ „ 0,00291 8.12.36.14 V 14 48384 VĨ4

• F í rftt 4: Dùng công thức h ình thang t ính gân đúng / = —

i ĩỉĩ+ x G iả i

]Tính đúng: [ -

0 ’l 3 ^ - = | ( x + l)2/3' Ĩ Ỉ Ũ H 2

* ' ' k Tinh gân đúng: C hia [0, 1] thành 10 phân băng nhau bởi xk = —

Đ ặt y k = f ( x k ), khi đ ó: Í ^ L - » — v ; ị ĩ ị ũ ^ 1 0 ^ 2

10

+ y, + ... + ỵ9 + yio

X y = f ( x ) = l / ị l l + xXo = 0 y0= 1 ,0000000

X | = 0 , 1 y4= 0 .9687293

X-I = 0,2 y2 = 0 .9410 360

X.-Ị. = 0,3 y3 = 0.916 260 3

X4 = 0 , 4 y4 = 0.8939 035

X5 = 0 , 5 y5 = 0.87 358 05

x6 = 0,6 y6 = 0 .8549 880

x7 = 0,7 y7 = 0 .8378836

X s = 0,8 y 8 = 0 .8220707

x<> = 0,9 y9 = 0.8073877

X 10 = 1 y ,0= 0.7937005

f - j L = r * — í — + y , + . . . + y 9 + ^ 2 - 1 » 8,81268985ị ự ũ ^ l o i 2 ĩ9 2 ) ’



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§32. Tính gầ n đúng tích phân xác định - Trầ n Phư

IV. PHƯƠNG PHÁP PARABOL XÁP xi TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (PHƯƠNG PHÁP SIMPS

b ,Giả sử cần tính gần đúng 1 = ị f ( x ) d x vớ i f(x) . liên tục t rên đoạn [ữ ,

a' ’ b —Chia đoạn [ a , b] thành n ph ân băng nh au bởi các điêm ch ia xk = a + k -----

(k = 0, n ). G ọi £k = là tru ng điểm củ a đo ạn [x k_!, x k ] , ỹ k = f (ặ

Qua các điểm ch ia xk, £k kẻ các đư ờ ng thẳng son g so ng vớ i O y cắt đồ

(C): y =f(x) tại các điểm Ak(xk, yk) , (k = 0 ,n ) ; Bk (4k,ỹ k) ; ( k = l ,n ) .

Trong phương pháp hình thang, chúng ta đã thay thế các hình thang c

xk_1Ak_,Akxk bờ i các h ình th ang x k_ịAk_jAkx k tứ c là tha y c ác c ung

trên đồ thị (C ):y - f(x) bởi các đoạn thẳng Ak_jAk , còn t rong phương p

này ch ún g ta sẽ thay các c un g Aki ,A k bởi các cun g para bo l đi qu a 3 đ

•Ak_, (x k_„ yw ) , B k (§ k. ỹ k) .A k ( xk .yk) . (k = 1>n) để nhậ n đư <?c hình th

cong m ớ i T = x k_ịA kljB k A kxk , gọi Spa, !à diện tích củ a hìn h tha n g c on g n

Giả sử parabol đi qua 3 điểm Ak_, (ặk,ỹ k)>Ak (x k,y k)

phư ơ ng trình : y = g k (x ) = a k (x - ặ k)2 + bk (x - ạ k ) + ỹ k

f „ x k_, + xk ■ , ». \ xk ~ Xk - 1 b - aT a ,có : ậk - — => x k —4k - - ( x . k_j 4 k )~ 2 ~ 2

yk= ỗ k (xk) = ak(xk-£k )2+ bk(xk ) +ỹ k = ak( ^ ) + bk + ỹ k

y k - l = S k ( x k - l ) = a k ( x k - l _ ^ k ) " + b k ( x k - l ~ £ k ) + y k = a k Ị 2 n ) + k k ( 2 n ) +


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng il l Cúc ứ ng dụ ng-tích phân —Trầ n Phư ơ ng

G, b - a

2n

= s;, = a„ (xk) - ũ , ( * „ ) ^ • ỹ„

° s- - T • ẫ Ì r ) ’ + ~ =S& +* - }

— í - ặ - + y i + - + Ý . - 1 + ^ L ì + 2 ' ^ ; : ỉ - ( ỹ i + ỹ 2 + - + ỹ . )n V l l ) n

=> Snnr =

b - a

3n V 2+ y i + - + y»-1 + 2 ( y , + y 2 + ... + yn

uJ f ( x )d x

b - a

3n>’o + y„

+yi +■■■'+y„-i +2(yi +y2 +-+y»)

Kí hiệu sai số: jR£ar( f ) = j f ( x ) d x - - —

Mệ nh đề : N ếu |/ " ( x ) Ị< Ằ f 2, V x e [ ữ , è ] thì I far(/)||

2 ' ^ 2

M 2 (b —à ỷ

81 n2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§32. Tính gầ n đúng tịch phân xác định - Trầ n Phư ơ ng

' V đxVí dụ 1: D ùng công thức Sinpson tính gân đún g I = Ị--------- (n = 3)

ị l + x

Giả i

V dxnh đúng: I = í — = arctg x |' = — « 0 ,78 539816

J'1 + x 2 0 4, k ___

nh gầ n đủ ng: Ch ia đoạn [0, 1] bởi các điểm chia xk = — (k = 0 ,5 ).

ặt yk = f ( x k ) , k = 0 ,5 ; ỹ k = f ( x k ) = f [ - M j — lL] Jk = ] , 5 , k h ỉđ ó :

f dx 1 Ỵ q "t"Ỵ ị _ /— — — — \ + yL + y2 + y 3 + y 4 + 2 (y i +y 2 + y3 + y4 + y s )

' l + x 15L 2

p bảng biểu diễn giá trị Xo, Xi........x5tươ ng ửng với y0, yi , yío:

X y =f(x) = 7-^—r l + x

X y = f ( x ) = — 1 + X2.

oI I oXy0= 1,0000000 * 1 I I 0 ỹ, = 0 ,9900990

Xi = 0,2 y, = 0 ,9615384 ! x 2 = 0,3 ỹ 2 =0,9 .174312

. x2= 0,4 y2= 0,8620689 x3 = 0,5 ỹ 3 = 0 ,8000000

x3= 0,6. y3= 0,7352941 X4 = 0 , 7 ỹ 4 = 0 , 6 7 1 1 4 0 9

£ I I o 0 0 y4= 0,6097561 x 5= 0,9 . ỹ 5 = 0 ,5524862

x5= 1 ys = 0,5000000

V tix> 1 = [ - ^ - * 0 , 7 8 5 3 9 8 1 5

0 I + X

Ví dụ 2: D ùhg công thức Sinpson tính gần đúng / = f—c — - dx {n - 5)J *•0 *

Gi ả i

úng ta không thể tínl i đúng I = p r c f f i dx bằrig New ton - Leibn i tz0 x



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng 11: Các ứ ng dụ ng tích phân - Trầ n Phư ơ ng

I

' - Í -arctgx

dx » —- X 15

y0 + y5+ yt + y 2 + y 3 + y4 + 2 (y i+ y 2 + y 3 + y

Xarctgx

X ỹ = f ( x ) =

1 1 o y0 = 1,00000 X, = 0,1 ỹ , = 0 ,

X, = 0,2 y, = 0 ,98698 x2 = 0,3 ỹ2 = 0,9

x2 = 0,4 y 2 = 0 ,95127 X I

I I o 1 / 1 ỹ3 = 0,

x3 = 0,6 y3 = 0 , 90007 x4 = 0,7 ỹ 4 = 0 ,

X í k I I © 0

0 y4 T= 0,84 34 3 x 5= 0,9 ỹ 5 = 0 ,8

X5= 1 y5 = 0,7 854 0

=> 1= 0,915965

0 xĩ

• Ví dụ 3: D ùng công thức Sinpson t ính gần đúng / = ịe*2dx (n =0

Giả i1

Chúng ta không thề t ính đúng 1= Jex dx bằng N ewton - Le ibni0

' * k ■Tỉnh gân đủ ng: Ch ia đoạn [0, 1] bởi các điêm chia xk = — (k = 0

Đ ặt y k = f ( x k) , k = 0 ,5 ; ỹ k = f ( x k ) = f ^ = i ^ S - j , k = l ,5 , khi đ

1= 1= Je * 2 y - ữ - +2 J s - + y \ + y 2 + y3 + y.4 + 2 (ỹ 1 + ỹ 2 + ỹ 3 + ỹ 4

X y =f(x) = e*2 X y = f ( x )

Xo = 0,0 yo = 1,00000 X, = 0,1 ỹ, = 1,

X t = 0,2 y i = 1,04081 *2 = 0,3 ỹj = 1,

c T I I ( N* y2 = 1,77351 x3 = 0,5 ỹj = 1,

x3 - 0 ,6 y3 = 1,43332 I I o ỹ4 = 1,

x4 = 0,8 y4 = 1,89648 x5= 0,9 ỹj = 2 ,

x5 = 1,0 y5 = 2,718 28

■=> 1= Jẹx ỉd x « 1,46311

396


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§33. Đánh giá theo hàm sể và cậ n tích phân - Trầ n Phư

CHựơNG III: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

§33. ĐÁNH GIẢ THEO HÀM SỐ VÀ CẬ N TÍCH PHÂN

I. CÁC Đ)NH LÝ VÀ TÌNH CHẤ T cơ BẢ N CỦ A BẤ T ĐẲ NG t h ứ c t í c h p h â n

Theo ý ngh ĩa hin h họ c củ a tích phâ n xác định: "Nếu hà m số y =f(x ) liên tụ b

không â m trên [a, b] thì ị f ( x ) dx là diện tích củ a hình than g con g giới hạnã

đồ thị hàm số y = f(x)\ trục hoành Ox : y = 0 v à 2 đường thẳng X = a, X = b" .

Từ ý ngh ĩa h inh học chértg ta có thể hiểu đư ợc các m ệnh đề saù đây:

1. Mệ nh đề 1: Nếu / l à một hàm số l iên tục trên [a, b] và f(x) > 0 V.v€[

thì ị f ( x ) d x > 0 à

2. Mệ nh đề 2: N ếu/ , g là hai hàm số liên tục trên [a, b] và f(x) £ g(x) V xe[a, b]b b

thì ị f ( x )d x < ị g ( X) dxa a

3. Mệ nh đề 3: Nếu / là m ột hàm sô' l iên tục trên [a, b], f(x) > 0 Vjce[ab

và f(x) không đồng nh ất bằng 0 trên [a, b] thì ị f ( x ) d x > 0 a

4. Mệ nh đề 4: N ếu /, g là hai hàm số Uên tục trên [a,b ], f(x) < g(x) Vx£[

b bvhf(x), ẽ (x) khô ng đổ ng nh ất với nhau trên [a, b] thì ị f (x)dx < ịg(x)dx

ã ã

5. Mệ nh đề 5: Nếu / l à mộ t hàm sộ' liên tục trên [a, b], m < f(x) < M V xe [a, b

b

vaf(x) không đồ ng nhất với m hoặc M thì: mịb - ữ ) < ị f (x ) d x < M ( b - a ) ã


T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng III: Bẩ t đẳ ng thứ c tích phân - Trầ n Phư ơ ng

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

*/? JTC ị dx 71Bài 1. Chứng minh răng: — < ------ —— — < —

l ỗ 5 + 3cos X 10

Giả i

Xét f i x ) =5 + 3 c o s ’ x

liên tục trên2

. Ta có 0 < cosx < 1 V xe 0,

=5 0 < co s3x < 1 V xe ' o X U

I * > V

I VI 1 ữ

’ 0 /2_ 8 5 + 3co s X 5 2|_ Z. J o J + J COS

n /2 1■ It/2 ■' ■ ■ u /2 - _ 71 p 1 , f dx f 1 Jt= > - — = 4 d x < -------— — ;— < — dx = —

16 J 8 J 5 t 3 c o s ' X J 5 105 + 3c o s: X

I f Bài 2. Chứ ng m inh răng: — < J

I f dx( n = 2 , 3 , 4 , . .. ) '

2 ị 4 l - x ĩn 6

Giả i

\ / x g 0,ị- => 0 < x2n < X2 < 1 => 0 < 1 - X2 - < — -— < — -— => 1 < - ■■- - <

1 1 - x 2" 1 - x 2 . V Ĩ I 7

1 UL . uì d x ‘ V2 d x _ . , | l /2 _ 7t: = > = dx < , < -— = = = arcsinx ■ = —■

2 J J ■[, ỉ i J . /, _„2 ... '0 60 ỉ O l V l — X . 0 V I — X

, n ■ !r dx w ? ~ . Chứng minh răng: ■—< —== i = < -

<5 Ỉ J 4 - X 2 - X 3 8Bài 3. Chứ ng m inh rằng: — < í-

6 ỉ

Giả i

V.ve [0, 1] => 0 < X3 < X2 < 1 =>»0 < 4 - 2x2 < 4 - X2 - X3 < 4 - X2


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§33. Đánh giá theo hàm sọ và cậ n tích phân - Trầ n Phư ơ ng

■1 ,ài 4. Chứ ng minh rằng: ln2< J-—-— -J= < —

Q1 X ^

Giả i

xe [0, 1] => 0 < x < V x < l = > x 2 < X-Jx < X = > 1 + X 2 < 1 + xVx < 1 + X

■ 1 . 1 ^ 1 _ f dx V dx V dx> —--— < ---- —- = < — => Ị—— < I— — ■_ < I— ——

1 + x l + x v x 1 + x 0J 1 + X J l + x v x q 1 + x

> I n2 = ln |l + x | ‘ 0 < tgx < 1 => 0 < x^/tgx <x=> 0 < |x A/tgxdx < jxd x = —-

0 0 ^

. I f x 25dx 1ài 6. Chứng minh rằng: — — 1 < 1 + X 10 < 1 + 1 = 2 =>! 1 < Vl + X 10 < V2V25 Y25

■ <ì=> ^ = r< ~, < x 25 == > ^ £ 77-V2 v n

1 _ X26 e x25dx

^ 2 6 ĩ ã ~ 2 6 ự 2 0 < J'V l + x 10 < 26

, _ , ị ' ^ ị e í ~ x s i n x đ x 7 1ài 7. Chứng m inh rang: Ị------- -----------< —■

/ x 3 + ĩ 12

1 25 . 1 25 J 1rx dx r X dx f 25,

+ X10 õ

_Ị_

26

Giả ir H / - Í 0 < s i n x < l

xe 1.V3 => 1 < * < v 3 => . => e 1 Xsinx < 1 ,1 J [ l - x < Ax < 0

^ r e 1 X n n x d x d x=> J - r , - .< J - r V

ị X + 1 " X + 1

,/ã _ 71 7Ĩ _

1 _ ? _ 4 ~ Ĩ2



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng III: Bấ t đẳ ng thứ c tích phàn - Trầ n Phư ơ ng

Bài 8 . Chứng minh rằng: — < f -~ -X (lx < — 4 À x 2

Giả i

Xét hàm sổ fị x) = - 1— với xe X

ĩ . —6 ’ 3

_ _ x .c o s x - s in x _= > / (* ) = -------- —-------- =X

Xét hàm số gO) - xcosx - sinx => g'(x) = - x s inx < 0 \/xe

T ỉy ỉ ỉ - 6

n

6 ’

=> g(x) ng hịch b iến trên

=>f(x) < 0 => f(x) ng hịch b iến trên

7C 71 . / 71' _ 6 ,_3_

- < 0

n n

6 ’ 3 3fli3V3 sinx 3 k I 3V3 s in x , * 3

« • < - => Ịf ^ - d x < — — d x < ị —dx271 X 71 1, 2n J X ■ J JCJC/6 r /6 ;i /6

•^3 _ 3V3 i n ft'l rJị s inx

~ Ã ~ 271 u 6 j < J X x < ~ n \ 3 ~ ~ 6 ) ~ 2

12

o

Bài 9, Chứng minh rằng: ^ ~ < f COt x dx < — " i * J

Giả i

x a j w v ú i ^ k - l l => f ( , ) = - 2 i ! í ± £ 2 t i ± f a í <0 vX . L4 3J X2

=> f(x) nghịch b iến ư ên => < f (x ) < f Ị ^ 0 — <

■ ^ - 7 ^ dx < 7 £ £ M ^d x < ' h d * « ±12 i * I * ,/J4 * ' 3

Bài 10 .1 . T ính: / = sin~ - d x , 7 = f s -n 2 *J i + sin4x ị l + cos4x

Tt/2 ■ .*1 /'.Ui _ • L s. __ f sin X COS X . Ít

2. Chứng m inh rằng: 7-7 "7 ■— — " ' dx> —ị { l + c o s 4 x ) ( l + s i n 4 x ) 1 2

400


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§35. Đánh giá theo hàm số và cậ n tích phân - Trầ n Ph

Giả i

1. Đ ạt t = sin2x => dt = 2 sinxco sxdx = sin2x dx =>x = — = > t = l

2 . K hi đó:

X =ọ => t = 0

ít/2

= f si^ 4' : dx = f~~~ T = arctẽtló = arctgl - arctgO = J - 0 = J 1 ■J- efn X (f l + t 2 '° 4 4

J _ í _ i i E ± l _ đx = f ----- dt, = arctg(t - 1)|‘ = arctgO- a rc tg (- l)= 21 + C O S X ỉ l + ( t - l ) 4

- n . . K'ỉ sin2 x , nlỊ sin2x ,_ nlf ( s in2x s in2x V2 . - = I + J = ' — J x + dx = — :LZi — + — —

2 (f 1 + sin X ' 1 + COS X ' u + sin X 1 + cos x

xlr sin2x(2 + sin4 X + COS4 x) n/r sin2x(3-2sin2 XCOS2 x>d

II (l + COS4 x)(l + s in 4 x) 0 (l + COS4 x)(l + sin4 x)

s/f s in x c o sx ló -s in 2 2x) , n/( õ s in x c o s x .( -------- \ ---------- \ dx < J "7---------- V ----------- r dxII ụ + cos4 xj^L + sin 4 x)0 ự + COS4 x)ụ. + s in 4 X)

Tt ỉ s in x c o s x ,o T Z < ~7 -----------T v ---------- r ^ r d x

^ (I (l + COS4 x)(l + sin4 x)

Bài 11 .1 . Tính I ( / ) = dx với 0 < t <ị COS 2 x 4

2. Chứ ng m inh rằng: t g j > ẽ ^ s s ^ với 0 < t < —

Giả i

* T / . N . V tg4xdx _ v tg4xdx , _ ‘ftg4xd(tgx) _ ‘f[(tg4x - l ) + l | ' ' I 1 1 lT« 2 V 2 J I _2 J 1 °,fcos x -s in X „ ụ -t g xjcos X (? 1-tg X 1—t” X


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng III: Bấ t đẳ ng thứ c tích phân — Trầ n Phư ơ ng

2. Do - ỉẵ J L > 0 v o < t < —=> I(t) = f — X dx = - - t g 3t - t g t+ —ln tg í t+ —ì > 0co s2 x 4 Jcos2x 3- 2 X 4J

<=> In tg^t + > y (tg3t + 3tg t) <=> tg ^t + 4 s 6 ^

jr _ 1Bài 12. Chứng m inh rằng: I = ịesmxcìx>— ; J = ịe~*! dx < —

0 2 0 4 .

Giả i

° Bổ đề : e' > 1 + t V t > 0

‘ Chứ ng minh: e' > 1+ t V t > 0 <=> g(t) - e1- t > 1 Vt > ó

Ta có: g '(t) = e1- 1 > e° - 1 = 0 Vt > 0 =Ị>/(t) đồ ng b iến trên [0 , +co)

-=> g(t) > g(0) = 1 => e ' - 1 > ĩ => e1> 1 + t V t > 0

c Áp dụ ng: sử dụng bổ đề ta có: e s,n * > 1 + s in 2 X , do đó

I . }e“ ’ -dx > J(l + sin’ x>x = ĩ l + i= s= ạ )fc = p ì - É pII 0 (Á 2 ý [_

Mat khác: e*s > 1 + X2 => e~x < — - Vx * 0 suy ra:1 + X

1 1 1 Tí J = fe ' dx < I— —r d x = arctgxị* = arctgl - arctgO = —

• • 1 + X 40 0

. 7T\Í3 *f ítc f r t ' j sàng: < J—p = — <

J 0 yjCOS'x + cos x + I J

3n

~2-

Bài 13. Chứng minh rằngỒ

Giả i


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§55. Đành giá theo hàm số ỷ à cậ n tích, phân - Trầ n Phư ơ ng

hìn bảng b iến thiê n suy ra:

~ g*( t ) ắ ề r 0 ^ “ f ( x ) ẩ Ẩ

dx

0V3 0V cos 2 X + co sx +1nV Ĩ / r dx ,2rcV3

t - 1 ■ - 1 /2 1

R' + 0

g

• 2

J7T

T

1W 3 r dx 2k a

3 0 VCOS2 x + co sx + l 3ĨƯ 2 ____ __ _ ____

ài 14. Chứng minh rằng: / = J •Jsin xịl + 2y]sinx^ị8-5\lsinx^Jdx< x/3

Giả i

ặt f(x) = Vs in x( l + 2 VsiĩTx |8 - 5-v/sinx ). Sử dụng bất đẳng thứ c C auchy ta có:

x) = 1 . 3 & ( l + 2 « ( 8 - 5 « < l [ 3 ^ ± i l ± 2 ^ M a z 5 ^ n33 3 . 3

> I = JVsinx(l + 2Vsinx)(8-5Vsinx)dx < j*9dx = 9 — = — .*/3 «/3 V 2 3 J 2

à i 15. Chứng m inh rằng:

/ = + + < / / .+ ỵ + n/Ĩ + 'x2; + i l l - X4 + ị / l - X 3 + - Ị Ỉ - X 2 ) d x < 12

~1Giả i

+<

= { / ( i - x 4 ) . i . i . i < - 1~ X* I + Ị± i ± 1 = I r g L• 4 4

1 / Ũ 7 = Ụ Ĩ Ĩ + T Ĩ I Ũ < h l ± l ± I = í ± * l4 4

3 3

= v o + X3). 1■1 < í i ± - 1 ± 1 ± I '= 2 ± g L3 3 .

,2- .

/r ~ ĩ /7! 2\ . (l + X'Á-hl ■_ 2 .-KX'/1 + X - VU + X ,1 < — — r— = - -:—■■■■, ■■.

• 2 2

Ỉ7 2 _ /7Ĩ 2\ . (l + X' / + .1■_ 2 .-hX'Vl + X = v u + X j . l <■ -----r— = - -:—■■■. , •

_ _ _ ■. :2 _________ 2

\ j l - x 4 + \ / l - x 3;,+ V l.-X 2 +\ /l,+ x 2 + -\Ạ + X3 + Vl + X4 < 6

I - j (Vl + x4 +%/l + x3 + \ / l+ x 2 + V l-X 4 + a/ i - x 3 +V l - X2) d x < jốd x = 12-1 -1

• 403



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng III: Bấ t đẳ ng thứ c tích phân - Trầ n Phư ớ ng

n/2 m

Bài 16. Chứng minh rằng: / = J esiHXdx + I e'gxdx > 2 {e^1 - i )0 0

• B ổ đề : sinx + tgx > 2x Vxe ị0,— 2 ,

Giả i

\

• Chứ ng minh: s inx + tgx > 2 x 0 f(x) = sinx + tg x - 2x > 0 V xe Ị o,—

Tacó:/(j f) = COSX + — ^ -----2 à COS2 x + — ^ ----- 2 = C-°S-...^ s oCOS X cos X cos X

f(x) ở ồ ng biên trên ^0 ,-jj=ỉ> f(x) >f(0) = 0 => sinx + tgx > 2x V.YS Ịô,—

•Ắ p đụ ng: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tã có:

esinx + e ‘8X> 2VesinJ<+lgx > = 2.ex

ĩt/2 it/2 % n. . Ít / 2

= > I - Jesinxdx + Jelgxdx= J(esinx + e ,8X)ax> j2 .exdx = 2ex| =2 (0 0 (í 0

Bài 17. Chúng minh rằng: t J 2 n/2 _______________

/ = J ^3sin2 x + Scos2x dx + J iỈ3cos2x + Ssin x dx < ĩt-Ị Ĩ0 ĩ

Giả i

Sử dạng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

$3siri? X+5COS2X +^ 3cos2 x+5sin2 X [l2 +12] ^3 sin x+5cos2 x W 3 c o i x



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§33. Đánh giá theo hàm số và cậ n tích phân - Trầ n Ph

Bài 18. Chứ ng m inh rằng V a > 0 ta có bất đảng thức sau:1 2/ - \a T2/ I \ a

Giả i

Sử dụng bấ t đẳng thức C auchy ta có:

(U_ u \ í 1 + > ) \ J 1 + ■ )Ti + ‘ r V. sin XV V cos x j ]j{ sin x j V COS x j

. 2 2 . 2 2 '\ ut j / _ , 2 2 'N0l + sin x + cos x + sin xc òs X _2 2 + sin xcos X

^ s in2xcos2x J s in 2 x c o s2 x J

20ÕX _ 1 Í Ế fív V 7 the < ——

„ X 200:imm 20071

Gidi

200* 200lt J . 200* 200* . 200* .I = r ^ d x = f í í ! í ỉ^ ) = % i + í * £ « k » Ị ^ d x <

IOOt i x !OOr x x •oo* lOOit x : lOOit x

:00Tt , ,> d x ____ Ị_

J X- ~ XA A éé * *

20Ữ7S1

200*

=>100* 200Jt |0f)n X

COS X , 1 ———d x < -

20071


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng IH: Bấ t đẳ ng th ứ c tích phân - Trầ n Phư ơ ng

l + cos2 x , 2— — + 1 - C 0 S 2 x = 2 . ỉ— - f c o s 2 x - ị) 2 < 2 £

V16 V 47 ' V162-Jcos2X+ sin2 2x = 2 Ậ

4 n 4ĩi 4 ĩt ^ ^

=> | (s in x + s in2x + s in3x )dx = | f ( x ) d x < J — dx = —-4ĩĩ = IOtc11 . 0 0 ^ ^

. Ch ứng m inh rằíig: — ---------- (---------- (m sN ) 2 ị m + 2 m + 3

25

ìài 21

Giả i

Xét hàm số f(x) = e 2x - 2(x2 + '* ), X > 0 . Ta có: f ' (x ) = 2 (e 2x—2x — 1)

> /"( x) = 4-(e2* - 1) > 0 , Vx > 0 => /(x ) tăng =>f(x) à / ( 0 ) = 0 V x > 0

=> f(x) tăng =>f(x) > /( 0 ) = 1 =>■ e2x > 2 (x 2 + x ) +1 > 2 ( x 2 + x ) , Vx > 0

-> — ?

x m+ 2 x m+3

------------------ 1_ ---------------

m + 2 m + 3;Jx '”e2' d x > J x m ( x2 + x ) đ x = ’ố 0

I:»f n '!2. Chứng minh rằng: [ 'y'coskmx + n sinX

0 v*=í /

^m+2 .m+37Ĩ n — -------- .+ ------

0 m + 2 m + 3

d x < — , Vm, n e N * , m > 4

Giả i

r.:i có: cos X < COS X = 1 - sin X , \/xe 0;1 . 1

. , , 5 ( . . l Ỵ 5 ■1 -s ill x + sinx = -----s i n x - — < —, V xs

4 { 2 ) 40;. 1 coskmx + s in x <


Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§55. Đả nh giá theo hàm số và cậ n tích ph ân - Trầ n Phư ơ ng

Giả i

ước 1 . C hứng mi nh : l - x “ < V l - x “ < 1 - —x “ v * e [ 0 , 1] (1)

- x “ e [ 0 , l] ,V x e [ 0 , l] = > l - x “ < ( l - x a )’/2 = a/1 -x “ < Ặ ỉ - ị x a Ị = l - - x a

ỉ I I -

ướ c 2. Từ (1). suy ra J ( l - x“ ) dx < JV l- xa dx < j0 0 0 L

<=>á +1.

X—-2(a +1 )

l - - x “2

cc + rị-a ■ u T 9

1+ a a '+ 1

ài 24 . Cho hai hàm số liên tụ c/ g:[0, 1] —> [0,11]. Chứ ng m inh rằng:

1 (1 Y 1 1

■ \ 0 J 0 9

Giải

f m n m n _ J 0 ắ f <x ) ắ l fo < f(x)g(x) < f(x)o /, g:[0, 1 ]- » [0, 1] = > -Ị =>1

[o < g(x) ắ 1 [o < f(x)g(x) < g(x)

0< jf(x)g(x)dx< jf(x)đx 2 í (

0 ° => jf(x )g (x )d x, < jf(x )d x jg(x)d x

0 < j f(x)g(x)dx < Jg(x)dx ° 0 , 00 Ó

ài 25. Chứn g m inh rầng: ịe x sin nx dx0

Giả i

2en , V n e N

ặt ĩn = [e sin n x dx ; u = e ^=>du = 2x.ex dx, đv = sin n x d x = > v = —--co sn xJ n0

heo công thức t ích phân từng phẩn ta có:

, 7C ■

I n = ——— cosnx + — ịx.e* cosnxdx = —- ( - l ^ e 71 -1 + — Ịx.e cosnxdx0 n ỉ nL J n 0

407



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ itg III: Bấ t đèĩtg thứ c tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Đ ặt J n = íx.e*5cosnxd x => n l„ -2J„ = l - ( - l ) ne’'2=> In = -—— (I n

M ặt kh ác: |j„ I =

2 J .

e*: -1 1 , I 1+e*1 ! e ' - l

2 =* W s * + , - 2

K K, K jx .e cosnxd x < lỊ x.e* cosnx dx = Jx.ex ịcosnxịdx0 ơ 0

=í> |jn| < Jx.exỉ dx = —Je*! d(ẹ x2) =0 2 ị

Bài 26. Cho X f sin"xdx .Chứ ng minh rằng: .ỉ—— —

' Ị \2(it +l) " V2Giãi

Khi 0 < x < - | thì 0 < sinx < 1 => sin"+1x < sin"x, tức là I„ > In+1 Vn eN

it/2 •

X étI n+2 = Jsin"+2xdx. Đ ặt u = s in n+1 X, theo côn g thữc tích phân từng p hầ0

i t /2

I„+2 = -sin"+l xcosx|*/2. + (n + lj JsinBx(l - sin2x)ix = (n + lXl„ - 1„+2 )=> In+2 0

Xét hàm số / : N -> R được xác định b ỏi côn g thức: /(n ) = (ri + l) In-In+1í n + 1

= > /(n+ l )= ' (n + 2 ) In+i.In+2 = > /(n + l)= (n + 2) ln+| = (n + l ) ln n + 2

) t / 2 * 1 2

=>/(n +1) =/(n) Vn eN => f(n) = f (0) = 1,,-Ij = Jdx js in x d x - J V n0 0

Do 1„ +1 1* > — l A n

M ăỉ kh ác ta lại có In.ị > I„ suy ra: — = f( n -1 ) = n ln_| .I„ > nlị; => í ị < 2

T ù;|l);ỵậ..(t2),sụỵ.J:a:— - — ,/■ — *— < 1 . < J — 2n , V2(n +1) " V2n ;

Ị ị- • ■ ■ ■ • V

408



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





§33. Đánh giá theo hàm số vá cậ n tích phân - Trầ n Phư

B ải 2 7. C ho | / „ | < - (e*3 - ì ) . Chứ ng minh rằng: I„ = Jacex’COS n x đx 2 0

|ĩ»l=

Giãi

|x e x cosnxdx < J]xex' co snxld xắ jlxexỉ|dx = JexJd (e xJ) = — (e”2 - l0 0 0 0

sinx w ín ,1 —— V x e ( ớ , i j

s . Cho h àm số f(x) đuợc xác định: / (x ) =

1 vớ i x = 0

1703

m o

Bài 28. Cho hàm số f(x) đuợc xác định: / (x ) =

1 vớ i

1 7 1Chứ ng minh bất đẳng thức: —- < \ f ( x ) d x <

18 ỉ

Giả i

Bước 1: Chứng minh f(x) liên tục trên [0, 1].

V ì f ( x ) = ^ ^ v*€(0, 1 ] ; lim f (x )= lu T Ị^ ^ -= l= f (0 )= > / (^ liên tục tr ên [0,X N-*a* x-»0 ' X

Buó c 2: Bỗ đề : X - — < s i n x < x - - ^ - + - -~ V x > 06

X3 X3Chứ ng minh: • X - — —< s in x Vx > 0 <=> f(x) = —j-- X + si n X > 0 Vx > 0

X 2Ta cỏ -.f(x) = —Y- 1 + cosX = > / ' (*) = x - sinx => f"(x) = 1 - cosx > 0 Vx >

= > / ' ( * ) tăng trên [0, +oo) =>f'(x) > / '( 0 ) = 0 Vx > ọ

=>f(x) tăng trên [0, +co) = > /(* ) > /( 0 ) = 0 Vx > 0

=> f(x) tăng trên [0, +co) => f(x) >fíỹ ) = 0 V* > 0 => (đpcm )

3! 5!


T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chuo'ng III: Bấ t đẳ ng thứ c tích phân —Trầ n Phư ơ ng

■> ' 2 4, V C1*1 Y Y X Bư ớ c 3: Áp dụ ng: 1- ± - < _ < 1 - í - + — , V* > 0

y B 6 X 6120

=* ;f(i - ^ ) đX <Íl T Ìd X <í (Ií

2 4 \sin X , rí , X Xd x < 1 - — + -T— X A 6 120

dx

1703

1800

Bài 29. Chof(x) là m ột h àm sô' liên tục trên [0,1] và thoả m ãn cầc điề u kiện:

10 <f(x) < 1 v . t e [0 , l ] vàÔ ) =X 1) = ■

1a. Chứ ng m inh rằng: 0 < j / (x)dx < 1

0

I *

b . Biết c = j / ( x ) t ì ũ c . Đ ật F ,(x)= ị f ( t ) d t .

Chứng minh rằng:Í F ( x ) < x khi 0 < x < c

L f ( * ) < c kh i C<X <1

c

~2

1 z. C hứng m inh rằng: ị F ( x ) d x < c - -

0

2 1 2ĩỉ. Sử dụng kết quả trên c hứ ng m inh rằng : —- < Ịx f ( x ) d x < c - —

2 J 2

Giả i


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§33. Đán It giá theo hàm số và cậ n tích ph ậ n - Trầ n Phư ợ ng

ặt khác từ giả thiết: 0 < f(x) < Ị V x e [0 ,l] => 0 <_/(t) < 1 V te[0 ,x]

=> F(x) = jf(t)dt < j l .dt = X (2 )0 0

ÍF(x) < x k h i 0 < x < c

ừ (1) và (2) suy ra: F(x) < Min{x, c} ó F(x ) < c khi c < X< 1

.1 c ,1 c 1

Theo b. ta có; J f (x )íìx = Jp(x)dx + |F (x)d x < Jx.dx + jc.dx = c •0 0 ■ c 0 c

c

T

. : ÍF(x) '= Xkh i0 < X< c ÍF(c ") = lấu bang Jfly ra <=> < => •{=> không ton tại

|F(x) = c khi c < Xắ 1 [F'(c+) = 0

iều này m ẫu thuẫn với giả thiết F(jc) = | f ( t )d t => F'(x) =f(x) Vxe[0,1]0.

1 c2ậy dấu bằng không xả y ra hay ta có: jF(x )dx < c

Chứng minh: — < jx/Xx)dx < c - 2 0

1 1 1

x f(x)dx = Jxd(F(x)) = xFCx)^ - |F(x)dx = F(l) - jF(x)dx > F(l)0 0 . 0

ét hàm số g(x) = 1 - f (x ) => g(x) liên tục trêiỊ [0,1] và g(0) = g (l ) = —

o °(x) thoả mãn các điều kiện của hà m /c ó m ặt trong giả thiết đồiig thời

1 1g(x)đx = j[l - f(x)]dx = 1 - Jf(x)dx = 1 - c nên sử dụ rig bấ t đẳ ng thứ c

’ (I 0

2 1 ( ỉ - ì 2 1 ( ỉ — V x f(x)dx. > — => Ịxg(x)dx > - -o Ịx[ l - f (x )Ịỉx > - — —

. 0 - 2 0 2

Ịx d x - |x f (x )d x > — ° ) <=> — = c - —:> |xf(x)dx:ó 0 2 2 2 2 0

.411


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ne I II : B ổ i ãẳ ttữ th ứ c tích phân - Trằ n Phư ơ ng

B ài 30. Cho hàm f(x) liên tục và giảm trên [0, 1].

ĩ d . .Chứng minh rằng: a J / (x )< fa ;< j f ( x ) d x , V a e ( 0 , 1 )

0 0

Solution

Do hàm f(x) giảm trên [0, 1] nên v*€[a, 1] c [0, 1] ta cỏ:1 I 1 1

f(x) <Ẩ a) =>Jf{x)dx < Jf(cx)dx - f(a ) jdx = f( a) (l - a ) =5>—— jf(x)da a . B ^ ~ a a

Dof(x) >J[a) V a >X >0 nên Jf(x)dx> |f( a )d x = af(a ) =>f(a )< — Jf0 0 a 0

Su yr a J f(x )d x< — | f ( x ) d x o a j f(x)d x < ( l - a ) j f ( x ) d xo 0 a 0

=> a |f(x)dx + |f( x )d x ì < (1 - a) Jf(x)dx + a jf(x)dx a Jf(x)dx <\0 a ) 1) 0 ()

r , . . , , ' . . i f I + xln(x + yll + x2) . 3BÌÙ 31, C hứ ng m inh r ă n g ; ị -----------7 --------- d x > —

4 Ĩ Ĩ 7 . 2

T a s ẽ ch ứ n g m i nh f ( x) = * * * ln^ _ ^ + x— £ 1<=> 1 + X I n( x+ Ậ + X2)

VI + x2

V x e Ị ^ - , l J o g ( x) = l + x ln (x + ylì + x1) - y j ì + \ ì àO. Tacó:

'( x ) = ln ( x W l + x2 ) + — :— '= = = ■ 1 + ..: - ~ịJL. = • = ln ( x +x + v l + x2 l. Vl + X2 J \ Ị ỉ + X 2

; ,f / \ A f t T "\ * _ _ I • í J Í _ • _ I I g'(x) = 0 <=> X = 0 => Bảng biến thiên

N hìn bản g b iến th iê n ta có :

JC - 1 0

g 'W - 0 +

g(*) N . /g (x ) > 0 , V * e Ị^ - , l j £ (* ). 0 /

Vậy/ (^>.â l ,Vxe r ^ p l l , su y ra: [ — ■* ^ 2 —ft ^ dx > f dx1 2 J - 1/1 y i + x2 -ỉn

412


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N




§33. Đánh giá theo hậ m só và cậ n tích phân - Trầ n Pỉ

III. CÁC BÀI TẬ P DÀNH CHO ẸẠN EỊỌC Tự GIẢI

Bài 1. Cho I(m) = j |x 2 + m|dx . Chứng minh rằng: I(m) > V m sR 0

xỊÌ Jt

_ . ^ , . , t r sinx . f s i n x ,Bài 2. Chứng m inh răng: — — dx > -------dx

ỉ x ĩĩ/2 x

/ \Bài 3. Chứng minh rằng: I = J"sin(x2 Jdx > 0

0

Bà i 4. Chứng minh rằng: I(x) = J!ẼHLLdt > 0 Vx > 00 + 1

Bài 5. Cho h à m /liê n tục và đồng biến trên R. Chứng minh rằng:

V a > 0 , Vb, c e R ta có: 2 a f ( b - c 2 )< jf (x 2 - 2 c x + b ) i x < 2 a . f ( a 2 + b - c 2)

. c-a

2Bài 6. Chứng minh rằ ng: J-

]

2a

Bài 7. Chứ ng m inh rằng: j

X 4 + 1-dx >

x (x2 + a 2)2 (1 + a 2 ) (4 + a 2 )

~J\2 - ;

X4 + 4 a 4•dx <

8a

Bài 8. Chứng m inh rằng: I-------aX2"

dx 9 2 n +l ( 2 n + 1 )

2n+l

2

—a X - V a 2 - X 2 .

> za(2n)

2a

Bà i 9. Chứ ng m inh rằng: j"dx

a J j x . V x - a- I n4

l + s

V V2 , 3 2

V I + V T ) V 2a ___________


G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chiton,!; Ill: Bấ t đẳ ng thứ c tích phân - Trầ n Phirơ itg

Bìii 12. Cho g liên tục, kh ôn g tăng trên [0, 1] thoả m ãn điều kiện: 0 < gO ) <

Chứng m inh: jg ( x a+b ) d x > Jg(x“ )dx jg (x* 0d x Va, b eR ; ab 0 , a + b

0 0 I)

18 Ị—.------Bài 13. Chímtí m inhrằng: [ sin — dx < —

s jV l + x< 10

I 3 _2001 _ 2002Bài 14. Chứ ng m inhrằng: —f x |IJWe 2xdx > — ------ + ———

6 2 J 2001 2002

Sài 15. Chứ ng m inh rrằng: | Ị

4

s- ' s in n+2x cosn+2x l , Ít+ — --------Ịdx > —

8cos" X sin" X

Bài 16. Chứ ng m inh rằng: ft2 arctan" td t >X

g: J t2 ai

2

x “+:,- 2 n+2

n + 3; ft tan" td t à ——

J n +

Bài 17. Chứn.s

Bài 18. Chứns

íng m inh rằng: 9 < l^ /x 4 +1 dx + Jt/x4 - 1 dx < 9,000ũ í

g minh lằ ng: |x 2 sin" xd x > Ị —j j

x/2

Bài 19. Ch ứ ng m inh rằng: J (a 2 • ỉịcosx tan X + b 2 sin x) dx > 7iab0

1 X . 10Bài 20. Chứng minh rằng: P —sm x dx > 1,36 ; Jxs dx > -


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§34. Sấ t đẳ ng thử c cố điể n tich phân và ứ ng dụ ng —Trầ n Phư ơ ng

34. BÁT ĐẲ NG THỨ C CỎ ĐIỂ N TÍCH PHÂN VÀ Ứ NG DỤ NG

BÁ T ĐÁNG THỨ C CÒ ĐIỂN TÍCH PHÂN

ài 1. Cho hai h àm số f, g liên tục trên [a, b]. Chứ ng minh rằng:

b V 6 6ị f ( x ) g ( x ) d x < J / ' (x )dx Ị g2 (x)dx

II J a a

(Bấ t đẳ ng thứ c tích phán Cauchy — Schwarz)

Giả i

a có: 0 < [tf(x) + g (x )f = t 2f 2(x) + 2t.f(x)g(x) + g 2(x) V teR

h - - b b b

> 0 < J[t2f 2(x) + 2t.f(x)g(x) + g2(x)]dx = t2 j f 2(x)d x+ 2t Jf(x)g(x)dx + jg 2(x)dxa a u a

> F ( t ) = t2 | f 2 (x )dx + 2 t | f ( x ) g ( x ) d x + |g2 (x )dx > 0 V te R

a a a

{ h ' b b

> Á ’ = Jf(x)g(x)đx - Jf 2(x)dx jg 2(x)dx < 0V, a / a a

/ h \ 2 h b

| f(x)g(x)dx < j f 2(x)dx Jg2(x)dxVa. J a n

ài 2. Cho p, q > 1 tho ả m ãn: — + — = 1. Chứ ng m inh rằng : p q

ĩi ữa b < —-- + —— V a, b > 0 (Bấ t đẳ ng thứ c Young)

p q .

Giả i

ét hàm số y = xp~1liên tục và đồ ng b iến trên (0, +°o) và có tập giá trị là (0, +co) nên

Ió có hàm sô’ ngược là X = y p~' = y 4_l trên kh oảng (0 , +00). Đ ường thẳng X= a và

= b cắt đồ thị hàm số y = xp~1 tại các điểm M , N (xém hình vẽ)

415



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng i ll: Bẩ t đẳ ng (hứ c tích phăn - trầ n Phư ơ ng ■ '

p - 1

Gọi s, là diện tích tam.giác cong tạo bởi các đưòng {y = 0; X = a; y

s 2 là diện tích tam g iác cong tạo bởi các đư ờng {x = 0 ;y = b ;x

s là diện tích hình ch ữ n hật tạo bởi các đư ờng {x = 0; X =,a; y =

Ta có: s ,.= fxp"‘dx = — ;S2 = íy ^ d y = — ; s = ab.0 p q

ap bq N hìn vào đổ thị suy ra : S| + s 2 > s <=> — + —- > a b

p q

B ài 3. C hứ ng m inh ràn g: Neu aj, bj > 0; -Ị + Ị = 1; p > 1 thì

. p q í ■ f N -

ầ 7 7 ẳ a" I 4 (Bề iđẳ ngthử cm=l n=l s in — Vn=l y Vm=l / p

Giả i

( k \p ( k ^Kh ông m ất tính tổn g qu át giả sử ^TaịỊ =■ y

V>1=1 / Vm=l )

Sử dụng bất đẳng thức Young ta có:

iq

= 1.

. 1 < K . + m ^ . 1

( n + m ) n p m q ^ ( n + m ) n p m

111=1 11=1 m Pm =In =l H m=l n=l ,


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§34. sẩ í ữ ẳ ng thứ c cô điể n tích phân và ứ ng dụ ng - Trằ n Phư ơ

dx _ 7C^ n p* Ị d x 71 í p n ~q +f I - - — T s P r 7 = 7 7 ; g ~ I- j Tm=l(n + m)mq 0 sinf ',=i(n + m)np °

x 1 71 1 71 r 1 . 1 ^ 7C 7Ĩ Từ đó suy ra: > V - ! 0 2 - < - - - ^ - + - . —^— = - + - — = — -

t ă t í n + m p s in * q sin 2E t,p qJsinii sin* p q p p

Bài 4. Cho p, q > 1 với i- + -i- = l và f, g là 2 hà m số liê n tục trên [a,b].. p q

b ( b Y/Pf b Y/q Chứng minh rằ ng: j]f(x)g (x )|dx< J|f(x)|pdx J|g(x)|q dx

a \a J \a )

Dấu bằng xảy ra <=> B Ạ , B e R , A 2 + B2 > 0: A |f(x)|p = B |g(x)|q V x e[ a,b ]

(Bấ t đẳ ng thứ c tích phân Holder)

Giả iXét 2 khả năng sau đây:

b• N ếu chẳng hạn J]f(x)|pdx = 0 thì do |f(x>Ịp > 0 V x e[ a, b ] nê n suy ra

a

b

f(x) s 0 V x e[a ,b ] => f(x)g(x) = 0 V x e[a ,b ] =5- j]f(x)g(x)|dx = 0 => (đpcm)

a b b

• Giả sử J|f(x)jp dx > 0 và J|g(x)|qdx > 0. Sử dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Young à A

. a p bqab < — + — với a = - p q

và b = -|g(x)|

b 'Ịp ( bị ị f ( x ) Ị p d x | g ( x ) | q d x

ta có:


N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chư ơ ng IIÍ: Bấ t đằ ng thứ c tích ị ltân - trầ n Phứ ơ ng

o| | f (x)g(x) | :dx

:=>\i/q‘

1- < —

J]f(x)Ịpdx j]g(x)ịpđx \ a / V a )

b |V s)p fb Ỵq j|f(x )g(x)|d xắ J|f(x)|pđx jjg(x}|qdxă \a ) Vã )

| f ( x ) Ịp dx ; jịg (x )ịq dxa • _Ị_ a-

J|f(x)|p dx q j]g(x)ịq dxa . a

4 4p

S ài 5. Cho p > 1 và f, g là hai hàm số liên tục trên [a,b]. Chứ ng m inh rằng

h 'ÌP f ^ V fb 'ì*1 j|f (x )-:-g (x )|p dx < jỊf(x )|pdx + |g ( x ) |pdx ;

a J \ a ) Va /

(Bấ t đẳ ng thứ c tích phân Minko

Giả i

Ịf(x) + g(x )|p = |f( x ) + g (x)||f(x ) + g(x)|P"I< |f( x )||f (x ) + g{x)|F 1+|g(x)Ị|f(x) + g(

j*Ịf(x) + g(x)|p dx < |f(x)||f(x) + g(x)|p_1 dx + J|g(x)||f(x) + g(x)Ịp_1dx (1‘1 a a

Gọi q > 1 sao ch o — + — = 1, sử dụn g b ất đẳng thứ c H old er cho h ai hàm p q

tục |f(x.)|và |f(x ) + g (x )|p 1 ta cồ: j]f(x )ị|f(x) + g(x)Ịp [ dx <a

j |f (x ) |pdx j |f (x ) + g(x)|(p" l)qdx = J f (x ) |pdx Ị f j]f(x ) + g(x)|pdx


N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




§34. Bấ t đẳ ng thự c c ồ điệ n tích phânyà ứ ng dạ ng - Trầ n Phư ơ ng

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

oJ|f(x) + g(x)|p'dx <

( b } Ip í b }

{|f(x)|pdx

V* )1: + :j]g(x)|pdxị

) jjf (x ) + g (x)|pdx

Va )(4)

b í b

+ Nếu jjf (x ) + g(x )|pdx > 0 thì chia hai vế của (4) cho ||f( x ) + g(x)jpdxa \ a

f be )p ý fb -]ị=> j|f(x ) + g(x)|pdx < J]f(x)|pdx + J|g(x)|pdx •

Va 7 ■ \ a 1 y Va ) ' ;

Bài 6. Cho hai hàm số f(x), g(x) liêií tục và đơn điệu trên [a, b].

1. Chứng minh tằ pgp Nêìi f(x), g(x ) lằ hại hàm cùng, đồn g biến ho ặc là hai hàm.

cùng ng hịch b iến thì ta có bất đẳng thức:

b - ag(x)dx > ' ^ L . b

b - a' _ ỉ^ b b - a

2. Chứng.minh rằng: Nếu f(x), g(x) có t ính đơn điệu ngược chiều nhau tức là

mộ t hàm đềng biền và m ột hàm n ghịch biến thì ta có bắt đẳng thức:

1 b í 1 b Y 1 b[f(x)g(x)d x < - ĩf(x)đ x fg(x)dx b - a J b - a J b - a J

a V a a

(Bấ t đẳ ng thứ c tích phân Chebyshev)

Giả i

Ta sẽ chứng m inh đ ại diện: f(x), g(x) là hại hàm lién tục và đổn g biến /[a,b]

b b b

Ta có: f(a) < f(x) < f(b) V xs [a,b ] => Jf(a)dx < Jf(x)dx < jf(b)dxa a • - a

b b. o f ( a ) ( b - a ) < j f( x) đ x < f ( b ) ( b - a ) o f (a ) < — — |f (x ) d x < f(b ) (1) ;

a ^ a

419



B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng III: Bấ t đẳ tiíi tlíứ c tích phân ^ Trầ n Phư ơ ng

Theo đ ịnh lý về giá ư ị trung gian của m ột hàm số liên tục thì tồn

1 bx0 e[a,b] sao cho f(x 0) = —-— |f(x )d x . M ặt khác do f(x), g(x) đồng

• a

[a,b] nên [f(x) - f(x„)] [g(x) - g(x0)] à 0 vớ i mọ i X e [a,b]

o 0 < f(x)g(x) - f(x0)g(x) - g(x0)f(x) + f(x„)g(x0)

.b=> 0 < j"[f(x)g(x) - f (xc, )g(x) - g(x 0)f(x) + f(x 0 )g(x0 )]dx

a

b b b

= Jf(x)g(x) dx - f(x H) |g (x ) dx - g(x0 ) Jf(x) dx + f (x0 )g(x0 Xb - a)• a A a

b b '

= Jf (x)g(x) dx - f (x()) Jg(x) dx - g(x0 )f (x0 Xb - a) + f (x0 )g(x0 Xb - a)a a

b b b b» Ị f(x)g(x)dx > f(x0)Jg(x)dx = jf(x)d x. jg(x)dx => (đpcm)

a . a a a

Bài 7. Cho f(x), g(x) là các hàm liên tuc trên [a,b], f(x) ĩ* 0 và

' f(x) b b b

Vxe[a,b] . Chứng minh rằ ng: ịg 2 (x)dx + M m j f 2 (x)dx < (M + m) Jf(x)a a a

(Bẩ t đẳ ng thứ c tích ph

Giả i

Ta có: m < ễ Ế ẫ í < M => 0 < - m Ỵ M - f ^ y (x) V xg [a,b]f(x) ự ( x ) A f 0 0 j

<=> 0 < - g2 (x) + (M + m )f(x )g (x )- M m f2 (x) Vx 6 [a,b]

=> |g 2(x)dx + M r a | f 2( x) dx < ( M + m)Jf(x)g(x)dxỈI a a

42Q


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§34. Bấ t đẳ ng thứ c cẳ điể n tích phân và ứ ng dụ ng —Trằ n Ph

| 0 < a < f ( x ) < AB ài 8. Cho f(x), g(x) là các hàm liên tục trên [a,b] và <Ị _ V x e [a,b]

| 0 (ab + AB)2 Chứng m inh rang: -— ■. >

5 5 4aAbB

Jg2 (x)dx. J f2 (x)dxa_______________a ______ _______

f b V|f(x)g(x)dx

\ a >

4aAbB

(ab + AD)2

(Bấ t đẳ ng thứ c tích phán G.Polya' ________________ ______________ (Bấ t đắ ng thứ c tích phán G.Poly,

Giả i

Từ giả thiết =>— — V xe [a,b]. sử dụng bất đẳng thức tích phân A f(x) a

với M = — và m = — ta có: [g2(x)dx + — if 2 (x)đx < f [f(x)g(x)dxa A ' ■ a A J U A ; J

a ' a a

Sử dụng bất đẳng thứ c C auchy ta có:

jg 2 (x)đx + ~ j f 2 (x)dx > 2 ~ Jg 2 (x)dx j f 2 (x)dx (2)

a a V a a

Từ (1) và (2 ) suy ra: 4 — |g 2(x )dx | f 2(x )dx <Ị — + —j j f (x )g (x )dx j

f g 2( x )d x .f f2(x)dx f B + b Vl ỉ Ạ ĩ Ă ) (ab + AB ) .

/b V , bB 4aAbBJf(x)g(x)đx aA

Sử dụng bất đẳng thứ c Cauchy - Schwarz ta có:

Jg2(x)dx .J f2(x)dxa a _____________ V

f b ì|f(x)g(x)dx


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chtrơ ng / / / : Bấ t đẳ iĩg thứ c tích phân - Tràn Phư ơ ng

B ài 9. Ch o f là m ột hàm lồi trên (a ,tb) và bị chặn trên [ạ, b]. C hứ ng m inh rận

, f ( a ) + f (b )

(b - a ) ■f ( ~ ^ ) á ịf ( x ) dx < (b - a ) -• ' â.

(Bấ t đẳ ng thứ c hàm l ồ i tích pỉì ấ n)

Giả i

Do hàm số f lồ i trên (a, b) nên f liên tụ c trên (a, b), két hợ p vớ i f bị chậ n t

oạn [a, b] nên f kh ả tích trên [a, b]. x é t phép biểu d iễn của biến sổ x:

x . ậ i Ị . i , * i i ặ . Ì ' » f f a ) i Ì = £ f ( b ) V Ì i Ị r w - ■ b - a b - a b - a b —a

=í> [f (x) dx < | ( x - a) d x + bf(b - x )d x = (b - a) f (a) — - (1)* b - a J b - a J . 2 •a a a

a + b • ■ a - b _ b - aĐặt X = — -— + u , vo i X = a thì u = —----------- ;v á i X - b thì u = —--------2 2 2

l- (b-a)/2 / . V 0 / I • \ Cb-a)/2 V u V.|f ( x ) d x = f f I — — + u i d u = f ■f - + u;ldu + f f f - + ■■■■•■+ u l

(a-b )/2 2 ■ (a-b )/2 ^ 2 0 v 2 '

' f : r ( a - b ^ °f , / a + b \ <b f ' ^ / a + b ^ f a-K b = J f ^ + u d u - I f P | ^ - u l : d u = J f l ^ + u U f ^ -

0 v ^ J (b-a)/2 v . f . ' ; i . : L ' . J

v ì ^ = ị ^ - u] + i ( Ị | Ì + „ ] , v u e b - a nên

a - b ' 1 f a + b 'i 1 i a + b ^ r . — —f j — - u + —f — — -f.u k V u e 0,

, 2 } 2 \ 2 J 2 V 2 / L 2 ■


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§34. Rấ t đẳ ng thự c cọ .ăiể n tích phân yà ử ng d ụ ng -T rầ n Phư ơ ng

Bà i 10. Chọ f(x) là hàm liên tục cùng đạo hàm củ an ó trên [a,b]. Giả sử f(a) = 0

2 b . . .và đẫt M = M ax Ịf'(x)Ị . Chứng riiirih rằng : . — í|f(x)Ịdx <M -

; x< a,b]' (b - a) ;

Giả i

- •’ XTa có f(a) = 0 => f(x) = |f '(x )d x V xeỊa, b]

a

>|f(x)Ị =X X X b b ■J f '( x )đ x < |Ịf '( x ) | d x < | M d x = M ( x - a ) => j ] f( x ) Ịđ x < M j ( x - a ) d xa a a a a

J|f(x)|dx < M- —— —

M ( b -a )2

MS.- ( b - a ) 2 ■

b . ■: ■■;

j| f(x)|d x

Bà i 11. Cho f(x) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên [a,b]. Giả sử f(a) = f(b) = d -

và đãt M = Max lf '(x)Ị. Chứng minh rằng: - — T- í|f(x)|dx < MXÉia.bi' , . ( b - a ) ;

Giả i

Lấy X tuỳ ý sao cho a < X < b. sử dụng đ ịnh lý Lag range trên [a, x] suy ra:

Tồn tạ i a j eO .x ) thoả mãn f(x) - f (a ) = (X - a ) f( a ,) => ịf(x)Ị < M(x - a) (1)

Lại sử dụng định lý Lagrang e trên [x, b] suy ra tồn tại a 2e(x ,b) thoả mãn:

f(b) - f (x) = (b - x)f'(a2) => |f(x )|< M (b - x) (2) ỉ

a+h a+bb' 2 ' V ■• 2 - , h ị

Từ (1) và (2) suy ra: jjf(x) |dx= Jf(x) |dx + jjf(x)[dx<M J(x-a)dx +M |(b -x) dxa a a+k a H-fb. 2 2

8 8 J 4 (b _ ,y Jl 1

b Í => J|fCx}]rdx < M

a V

423



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng III: Bấ t đẵ ng thứ c tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Bài 12. Cho f(x) là hàm số liên tục đêh đạo hàm cấp 2 trên [a, b] và thoả

f(a) = f(b) = 0. Chứng minh rằng:i;Jf(x)đx

M ( b _ a ) _ vớ i =

12 xe[“b

Giả i

t> .b b t b

Ta có: Jf"(xXx - aXb - x)dx = 2 jf(x)dx => |f(x)dx = —Jf "(xXx - aXba a a

b . b , b

Jf(x)dx = — jf"(xXx - aXb - x)dx < —Jf^xXx - aXb - x)dxa a a

b Vf bDo M= Max Ịf"(x)| nên suy ra: jf(x)dx < — j(x - a)(b - x)dx

^ ^ a ^ a

M—— + (a + b )— — abx

3 v . 2( t>-a Ỵ

6

Ư jf(x )d x

^ M

Bài 13. Cho f(x) là hàni s ố liên tục cùng đạo hàm của n ó / [a, b] và f(

b

Đ ặt M = M ax|f(x) |. Chứng minh rằng: M 2 < (b - a ) f f '2(x)dxX€|a,h]‘ 1 J

a

Giả i

Giả sử x() là điểm thoả mãn đẳng thức |f(X(,)ị= Max|f(x)| = M1 * X€[a,b}' 1

sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với hàm số f '(x) và 1 ta có:

xO . x(> Xo

ịf ' (x )dx < j f '2 (x)dx j i .dx = (xn - a ) J f '2 (x)đx (1),v a J a a a

X[J

M à Jf '(x)dx = f(x)[" = f(x0) - f(a) = f ( x 0 ) - 0 = f(x0) (2)a

Từ (1) và (2) suy ra: M = j.f(x0)|= Jf '(x)dx - a I | f ' 2(x)dxa Va

íb ‘ : fb " - b

<7*0 - i l l Jf’2(x)dx < V b-a |j f '2(x)dx => M2 < (b -a )jf '2(x)đx

424


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§34. Bấ t đẳ ng thứ c cổ điể n tích phân và ăng dụ ng - Trằ n Phư

II. ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨ C CỔ ĐIỂN TÍCH PHÂN

Bài 1. Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên [0,1] và |f(x)ị< 1 V x e [0 ,l]

" Chứ ng m inh rằng: ị j ỉ - f 2 (x )dx J V l - f 2( x )d x < | l - J f 2 (x)đx (

a> ) 0 0 ■, 0 V 0

sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho hai hàm số f(x) và g(x) ta có:

1 ~Ý I .1 (1 A2 1

ịf (x)dx < j f 2 (x )dx jdx => 1 - | f( x )d x > l - | f 2 (x)dx (2)0 y 0 (I \ìt / 0

1 .------:------ Ị TiTìt ( 1) và (2 ) suy ra: J - J l - f 2(x)dx ắ | l - Jf(x)dx (đpcm)

0 V V0

Bài 2. Cho f(x) là hàm liên tục cùn g đạo hàm của nó trên [0,1] và f( l) - f(0)

/C hứng m inh rằng: J [ / ' ( * ) ] dx > 1 0

Giả i

Sử dụn g bất ;’.ẳng thứ c Cauchy - Schwarz với hai hàm sô' f (x) và g(x) = 1 ta có:ế

jf'(x)clx < j[f'(x )]2,dx Jdx => jf'(x)d x < J[f'(x)]2 dx


G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chit'ffng Ỉ II: Bấ t đẳ ng ihứ c ticìt phán - Trầ nPhư ơ itg

Bài 3. Cho f(x) là mộ t hàm số liên tục trên [0,1] và thqả mã n các điều kiên:

1 < f(x) < 2Vxẹ fO, l] yà ịf(x)đx = — . Chứpg minh rạ ng: — < < —

Giả i

» - < f— - : V x e [0 , l ] ta có: — < —ỉ— < 1,=> — = f - d x dx > —. Đ ấu bằng xảy ra <=> ^ f( x ) = —jt = = > f( x )~ X = —, V x e [ 0 ,

,ff(x ) 3 ^/f(x) 2

8 i- r - - < - : Do 1 < f(x) < 2 =5 0 < [2 - f(x)][f(x) - 1] = - f 2(x) + 3f(x) - 2

7 ‘ rì 1 ‘l ĩ 7 1 1+ f(x ) < 3 => 2 + . íf(x )d x = Ị 7 — + f(x ) dx < Í3dx = 3

f(x) j f ( x ) J JỊ_fOO J J

2ídx

f õ õ< ó

3 3 Vdx 3

2 2 Jf (x ) 4 •

Bàỉ 4. Chứng minh bất đẳng thức sáu : ——= < f,7-4—-4 J 2 ị \ l + ỉ

Giả i

I 1 ___V 2

Do xe[0, 1] nôn ta có:

ỉ - x . \n

/ 1—X2 I l - x2 1 Í ~ ~ T ^ ;x e [ 0 , 1 ] n c n t a c ó : , --------- - > -I - — —— = - 7 = V l - x . Đ ă t X = s i n t


O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




§34. Bấ t ăẳ ng thứ c cẩ jtiể n tích phân và ăng.dụ ng. —' Tràn phư ơ ng

dụng bất dẳng thứ c Cauchy - Schwarz ta có:

[Ị 1 * -dx < fj -- — ■dx = ịV l- x 2 •- Ấ -:= d xì < f(l —X2)dx I*—ỉ— dxW /2 J Ự V l + x* J ụ ' V Ũ ? J 0 , ° 1 + x

f X 3 ì 2 2 7C 7C Y Ị 1 - X2 ÍĨT

r ' Ì T ct8*J„ 3 a tc ,g l= f i " ỉ =*

n 'f r T —ĩ cá c kê tq uả t rê n suy r a: —^=r < f ,j—— - dx < J —

4 v 2 0 V1 + X ■ V6

i 5. Chứng m inh rằng Vx > 0 ta có: ẹx - J < J>/ea +é~' (tí < Ậ e* J

Gíảí'X ___________ X 2. 1—_________

có: I ’Ve + e" l d t= J e 2 veN -e~2ldt. Sử'dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta0 0 .

Je2 Vc* + e”2tdtì < jVdtJje*+e~2l]đt => jVe21+e“ldtì < je ldtj(e l +e_2l)dt0 J : 0. ,0 •\0 / 0 0 : -

4 ‘ - % 4 ) > > jV e 2‘ + e~l dt

a lạ i có Ve21 +e ~‘ > e l v o < t < X =3> jV e2t + e _1dt > J eldt = e* -1 (2)0 0

(1) và (2) sụyra: e x - 1 < jV e 21+ e ”‘dt < Ậ e* ~ ~ j

à i 6i Cho a > 0v à h à m / l iê n tụ ctrên [a, + co) tho ả m ãn điều kiện:

i í b b

ị f 2 {x) dx < j x 2(/x (t > a). Chứng minh rằng: Ị f ( x ) đ x < Ị x d x ; b > aa n a a

Giả i

t • ~\2.... t . . t

Jx.f (x ) đx < ịx 2 ả x Jf 2 (x) dxa / ã a

heo B ất-đãng thức Cauchy — Schwarz ta cố:

427



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Chư ơ ng lít: Bấ t đăng thứ c tích phân Trầ n Phư ơ ng

t t 7 , , 'Ỹ ( * ■ V t t

0 < j"f2 (x) dx < | x 2 đx =ĩ> Jx f(x)d x < |x 2 đx I => |x f (x)d x < JVa ' a Va / ‘ \ a / a a

Xét F(t) = Jx[x - f (x ) ]dx . Ta cỏ: F '( t) = t [ t - f ( t ) ] , F(a) = 0, F(b) > 0

a

b b 1 1F (t) > 0 V t e (a , b )= > j Ịt - f ( t ) ] d t = j - F ' ( t ) d t . Đ ặt u = - ; d v = F '( t) d

ã 3

=> du = - Ặ ; v = F (t) => ỊỊt - f (t)] dt = - F (t) + f í ^ d t = í ^ + f—t2 a t > I t2 b J t2

h b b

=> J [t - f ( t ) ]d t> 0 => Jf(x)d x< Jxdxa a a

Bài 6. Cho hàm s ố f(x) liên tục cùng với đạo hàm của nó trẽn [0,2]

và f(0) - f (2) = 1, | f (x) | < 1 Vx e[0,2J . Chứng minh rằng: J / ( x ) < í0

Giả i

Lấy x e (0,2). Sử dụng định lý Lagrange suy ra tồn tại a,(5(0,x) và a 2e(x ,

[ f ( x ) - f (0 ) = x f ' (a 1) í f(x ) = l + x f ' (a 1)sao cho •( => < .

[f (2) - f(x ) = (2 - x )f'(a 2) |f(x ) = 1 + (X - 2)f '(«2 )

Do |f(x)| < 1 Vxe[0,2] => f( a i) > -1 , f ( a 2) < 1 mà X > ủ , X - 2 < 0 suy ra:

Ịf (x ) > l + x ( - l ) j f ( x ) > l - x

[f (X) < 1+ (X- 2 ). 1 ° Ịf (X) > X- 1

1 I ,

Jf(x)dx > J(1 - x)dx = i (1) 0 - 0 .

2 2 J

jf (x )đ x > f(x - l)dx = — (2)1 1 2

Dấu bằn g tro ng (1) xảy ra <=> f(x ) = 1 - X V xe[0 , lỳ=> f ' ( l" ) = -1

Dấu bằng trong (2) xảy ra o f(x) = X- I V x e [l , 2] => f ' ( l+) = +1

suý ra khôn g tồn tại f'( i) và mâu ihuặn với f'(x) liên tục trên [0, 2].

yg y (1) và (2) khôn g thể đồng thời xảy ra dấu bằng, và do đó:

jf(x)dx= Jf(x )dx+ jf(x)đ x> —T —= 10 0 I 1 2



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N







Chirong III: Bấ t đẳ ng thứ c tích phân - Trầ n Phư ơ ng

Sài 8.Cho f(x) là hàm liên tục và đồ ng bịến. trên.;[Qj c ) v ớ ịc > 0, .

Giả sử f(0 ) = 0 và lấy các điểm a s [0, e); b e fo , f(c)). G ọi f~ l (x) là hàm

a b

cúa f(x). Chứ ng minh rằ ng: Jf(x)dx + Jf~l(x)đx > ab ’0 0

(Bấ t đẳ ng thứ c tích phân You

Bài 9. Cho dãy các hàm f,, fn, ... liên tục trên [a, b] sao cho:

b

|fj '(x )d x = 1 Vn = 1, 2 ,.. . Chứ ng m inh rằng: L uôn tồn tại các số

k k

P j , p2, p k thoả m ãn: y p f = 1 sao cho M ax V P i f j(x) > 100■fr1 x e [a ,b lf—'i=I i=l

Bài 10. Cho a > 0 và hàm f liên tục trên [ấ, +co) tho ả m ần điều kiện:

1 l b b- ■ •

| f 2(x)dx < j x 2dx Vt > a. Chứ ng minh rằ ng: Jf(x)dx < Jxdx Vb > aa a a . : a-

Bài 11. Cho f là m ột hàm số dươ ng l iên tục trên R. G iả sử J f(x)d x = F(x)

u >. F(a + b )~ f( a ) aV, F (a + b ) - F ( a ) w . Chư ng minh rằng: -------- < fix ìdx < ---------------------- — 7=------- Va, b >. . 2.va + b ị ............2Va :

Bài 12. Cho a n= 1 + -^- + - Y + ... + -^Y vàUn (x ) = V c o s k x V n eN *2 3 n k=1

Jt /

I. Chứng m inh rằng: a n = j —— 2x u„(x)dx


N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

NH

Ơ

N




IKtò XUỐT BÒN Đ Ạ I HỌ C QUỐ C GIA HÀ NỘ I16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

Điên thoai: Biên tập - Chẽ' bản: (04) 39714896 Hành chính: Í04Ì 39714899 Tổng biên tập: (04) 39714897

Fax: (04'> 39714899

Chịu trách nhiệ m xuấ t bả n:

Giám đố c: PHÙNG QuốcBẢ O

Tổ ng biên tậ p: PHẠ M THỊ TRÂM

Biên tậ p: TRƯ Ờ NG TIIÀNII

NGUYỄ N QUỐ C TUẤ N

Trình bày bìa: VÃN SÁNG

Đố i tác liên kế t xuấ t bả n:

CTY TNHH SÁCH VÀ VÃN HOÁ PIlẨ M q u ả n g l ợ i


-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

RẦ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N

Documents

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN - TRẦN PHƯƠNG