•  Yleisen suhteellisuusteorian yhtälöitä on helppo käsitellä silloin kun aika-avaruus on lähes tasainen, tai erityisen symmetrisissä tapauksissa.

•  Tyhjä pallosymmetrinen avaruus on eräs tärkeimpiä erityistapauksia.

•  Symmetrian takia voidaan käsitellä voimakkaita kenttiä ja nähdä piirteitä, jotka ovat kaukana newtonilaisesta gravitaatioteoriasta ja suppeasta suhteellisuusteoriasta.

1

Tyhjä pallosymmetrinen avaruus

2

Pallosymmetrinen tähti

pallosymmetria käytetään pallokoordinaatteja

SCHWARZSCHILDIN METRIIKKA

g!" = ?

3

θ

φθ

φθ

cossinsincossin

rxryrx

=

=

= ! dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = gijdxidx j

= dr2 + r2d! 2 + r2 sin2!d" 2 " dr2 + r2d#2

3d tasaisen avaruuden metriikka 2d metriikka pallon pinnalla

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

θ22

2

sin0000001

rrgij xi =

r!

"

!

"

###

$

%

&&&

Pallon pinta-ala saadaan integroimalla yli kulmaelementtien metriikan mukaisilla kertoimilla :

22 2 2

0 0

sin sin 4A r d rd r d r d d rπ π

θ φ θ φ θ θ π= ≡ Ω = =∫ ∫ ∫ ∫

ALKULÄMMITTELYÄ: EUKLIDINEN AVARUUS

d! ja d"r ja rsin!

4

Tasainen aika-avaruus: ds2 = c2dt2 ! dr2 ! r2 (d! 2 + sin2!d" 2 )

•  Pallosymmetrisen tähden ympärillä aika-avaruuden pituusväli riippuu vain r-koordinaatista (pallosymmetriasta seuraa staattisuus).

•  Tarkastellaan tyhjää tilaa tähden ulkopuolella.

( ) 1, ( ) 1 kunF r B r r→ → →∞

Kun r ∞ , kaareva avaruus Minkowski Ei gravitaatiovoimaa äärettömän kaukana

SCHWARZSCHILDIN AIKA-AVARUUS

ds2 = c2F(r)2dt2 !B(r)2dr2 ! r2 (d! 2 + sin2!d" 2 )

5

Sijoitetaan oletus Einsteinin yhtälöihin ja ratkaistaan tuntemattomat funktiot B ja F:

G!" = 0! R!"#$ = ...

F(r)2 =1! 2GNMc2r

B(r)2 =1/ F(r)2 = 1

1! 2GNMc2r

M = massa GN = Newtonin vakio

pöly laskeutuu ...

ds2 = c2F(r)2dt2 !B(r)2dr2 ! r2 (d! 2 + sin2!d" 2 )Sijoitetaan metriikan lausekkeeseen

6

Schwarzschildin metriikka

ds2 = c2 1! 2GNMc2r

"

#$

%

&'dt2 !

dr2

1! 2GNMc2r

! r2d(2 ) c2 1! rsr

"

#$

%

&'dt2 !

dr2

1! rsr

! r2d(2

rs =2GNMc2

r > rsr < rs

Schwarzschildin säde

t aika, r paikka

????? aika ja paikka vaihtaneet rooleja?

(1916)

Kuinka suuri on Schwarzschildin säde? G=6.6726 × 10-11 m3kg-1s-2

MAurinko =1.9889 × 1030 kg RAurinko = 6.96 × 108 m rs(Aurinko) = 2953 m << RSun

tavallisten tähtien Schwarzschildin säde on paljon pienempi kuin tähden säde ratkaisu ei päde tähden sisällä

MMaa = 5.9737 × 1024 kg rs(Maa)= 0.89 cm

jotta rs > R, vaaditaan hyvin tiheää ainetta

rs > R musta aukko

7

Kellojen käynti ja valon kulku •  Tarkastellaan ensin tilannetta Schwarzschildin säteen ulkopuolella.

•  Vakioetäisyydella r sijaitsevan havaitsijan kellon mittaama itseisaika riippuu etäisyydestä.

7

ds2 = c2 1! rsr

"

#$

%

&'dt2 !

dr2

1! rsr

! r2d(2 = c2 1! rsr

"

#$

%

&'dt2 ) c2d! 2

* d! = 1! rsrdt

•  Kellojen käynti hidastuu. Tämä on absoluuttinen efekti, ei suhteellinen!

8

r1 r2

dτ1 dτ2

r = ∞

dt1= dt2

!! =1f

Lähetetään etäisyydeltä r valonsäde ja mitataan valon taajuus paikallisessa ajassa

gravitaatiopunasiirtymä f2f1=d!1d! 2

=F(r1)F(r2 )

=

1! rsr1

1! rsr2

äärettömyydessä nähdään punasiirtymä Taajuus pienenee, aallonpituus kasvaa

f! = 1" rsrf (r)

9

Kvanttifysiikka: fotonin energia on E = hf

Fotoni menettää energiaa kavutessaan gravitaatiopotentiaalista

E! (r1)E! (r2 )

=hf1hf2

=F(r2 )F(r1)

=

1! rsr2

1! rsr1

Äärettömyydessä mitattu energia fotonille, joka on lähetetty säteeltä r:

0)(1)()()( →−=∞

=∞ rErr

FrFE s

γγkun srr→

Schwarzschildin säteeltä kapuamiseen menee kaikki energia!

10

•  Entäpä kauanko valon matka kestää?

•  Tarkastellaan liikettä säteen suunnassa:

10

ds2 = c2 1! rsr

"

#$

%

&'dt2 !

dr2

1! rsr

= 0

( cdt = dr

1! rsr

=rdrr ! rs

= 1+ rsr ! rs

"

#$

%

&'dr

( ct = drr0

r

) 1+ rsr ! rs

"

#$

%

&'= r ! r0 + rs ln

r ! rsr0 ! rs

s

ss rr

rrrrrct−

−+−=

00 ln

Minkowskin avaruuden tulos

r0 ! rs " ln r # rsr0 # rs

! ln 10=$

Schwarzschildin säteeltä kapuaminen kestää äärettömän kauan

11

Voidaan osoittaa, että sekä valo että massiiviset kappaleet putoavat keskustaan.

Massiivisten kappaleiden liikeyhtälö on monimutkaisempi kuin fotonien, mutta suhteellisuusteoria antaa saman lopputuloksen:

Kaikki Schwarzschildin säteen sisäpuolella oleva aine putoaa keskustaan, vieläpä mukana putoavan kellon mukaan äärellisessä ajassa

Keskustassa avaruuden kaarevuus on ääretön, siellä on singulariteetti.

MUSTA AUKKO

12

r = rs on tapahtumahorisontti: ulkopuolinen havaitsija ei näe Schwarzschildin säteen sisäpuolelle r < rs on tavallaan leikattu pois avaruudesta: sieltä ei tule mitään ulos, ja vaikka sinne voi mennä, putoaminen kestää ulkopuolisen havaitsijan mielestä äärettömän kauan

Tapahtumahorisontin ylittäminen tapahtuu ilman dramatiikkaa! Tapahtumahorisontti ei ole fyysinen pinta: putoava havaitsija ei näe mitään erityistä sen ohittaessaan.

13

Vuorovesi-ilmiö tapahtumahorisontissa

↓pääF

↓jalatFnewtonilaisittain:

!F = " GNM(r0 "!r)

2 +GNM(r0 +!r)

2 #mg

$4GNM!r

r03

vastaa m-massaista painoa jaloissa Maan gravitaatio- kentässä

mrmsg

kgmm jalatpää

110

52

≈Δ

≈

≈≈−

Oletetaan

mg ! 4GNM(2GNM / c2 )3

" (#r $mpää )

% m !4"1070kg3

M 2 =1010 Maur

M&

'(

)

*+2

kg

14

MITEN ULKOPUOLINEN HAVAITSIJA NÄKEE PUTOAMISEN?

help! help!

etäisyys R>>rs ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==rrcrcF

dtdr s1)(2

fotonille

avaruus täällä Minkowski, kelloaika = t

15

drrrr

rrdrcdt

s

s

s⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=

−= 11

Lasketaan:

Etäisyydeltä r1 lähetetty viesti tulee perille ajassa t1:

s

ss

R

r s

s

rrrRrrRdr

rrrct

−

−+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+= ∫

111 ln1

1

Etäisyydeltä r2 ja etäisyydeltä r1 lähetettyjen viestien aikaero äärettömyydessä on

c!t = c(t2 " t1) = r2 " r1 + rs lnr1 " rsr2 " rs

#$ kun srr →2

tapahtumahorisontin läpi putoaminen näyttää ulkopuolelta katsoen vievän äärettömän kauan!

16

Yksinkertaista •  Kaikki mustaan aukkoon putoava tavara ’jäätyy’ tapahtumahorisontin lähelle

(näkymättömiin punasiirtyneenä).

•  ’Black holes have no hair’: havaittavat ominaisuudet vain

•  Massa M •  Impulssimomentti L •  Sähkövaraus Q •  Impulssimomentti L ja sähkövaraus Q

•  Todelliset mustat aukot pyörivät.

16

Schwarzschild 1916 Kerr 1963 Reissner-Nordström 1916-1918 Kerr-Newman 1965

17

Kerrin musta aukko

kaksi horisonttia

Pyöriminen vetää avaruutta mukaansa: ”frame dragging”

ergosphere = alue, jonka sisällä ei voi olla paikoillaan (mutta ei välttämättä joudu singulariteettiin)

singulariteetti on rengas!

kaksi fotosfääriä (ulompi ”counterrotating”, sisempi ”corotating”)

18

Tähden romahtaminen

gravitaatio vetää säteilypaine työntää

hydrostaattinen tasapaino

Alue jossa ydinreaktiot tapahtuvat: Auringolle r ~ 105 km, Raur ~106 km

ydinreaktiot loppuvat säteilypaine ei enää kompensoi gravitaatiota tähti romahtaa

Aurinko valkoinen kääpiö tähti, jonka massa M > n. 1.4 Maur neutronitähti tähti, jonka massa M > n. 3 Maur musta aukko

19

MUSTIEN AUKKOJEN HAVAITSEMINEN

Kaasun pudotessa mustaan aukkoon se kasaantuu kertymäkiekoksi, jonka sähkömagneettiset kentät kiihdyttävät hiukkasia: kaasu kuumenee voidaan nähdä Tähtien ratoja voidaan seurata

Galaksien keskustoissa uskotaan olevan miljoonien Auringon massojen painoisia mustia aukkoja.

20

Kvanttifysiikka musta aukko höyrystyy Hawkingin säteily

Virtuaalisia hiukkaspareja

Mustaan aukkoon kumppaninsa menettänyt parin jäsen nähdään säteilynä

musta aukko säteilee, lämpötila T = TH =hc3

16! 2GNMsäteilyteho = vakio × säteilevän pinnan ala × T4

ABH = 4! rs2 = 4! 2GNM

c2!

"#

$

%&2

tapahtumahorisontin pinta-ala

säteilyteho PBH = !dEdt

= !ddt(Mc2 ) = vakio" ABH

!M 2! TH

4

!M !4! = KM !2

K = 3.56"1032Wkg2

21

mustan aukon massa muuttuu ajassa kuten

dMdt

= !K

M 2c2

dM M 2 = !Kc2dt" dM M 2 =

M0

0

# !Kc2

dt0

!

# , M 0 $M (t = 0)

mustan aukon elinikä on

! =13c2

KM0

3 = 2!1067 M0

Maur

"

#$

%

&'

3

vuotta

22

MUSTAT AUKOT FAQ Kuinka gravitaatio pääsee ulos tapahtumahorisontista?

Ei se pääsekään. Schwarzschildin ratkaisu on staattinen. Tähti on kaareuttanut avaruuden jo ennen romahtamistaan mustaksi aukoksi. Ulkopuolinen havaitsija ei edes näe romahtamista loppuun saakka.

Mustan aukon ulkopuolella gravitaatiokenttä on samanlainen kuin samanmassaisen tähden. Hyvin pitkien aikojen kuluessa läheistä ainetta kyllä päätyy mustaan aukkoon.

Nieleekö musta aukko kaiken ympäröivän aineen?

Miksi sähkömagneettinen kenttä pääsee ulos mustasta aukosta?

Mustaan aukkoon pudonneen elektronin sähkökenttä ei katoa, vaan ulottuu yhä kauas mustasta aukosta. Elektronin kadottua mustaan aukkoon efektiivisesti mustalla aukolla itsellään on sähkövaraus. Ulkopuolisen havaitsijan mielestä sähkövaraus on hyvin lähellä tapahtumahorisonttia.

23

Schwarzschildin ratkaisun käytännön sovellus: GPS

Yleinen suhteellisuusteoria:   heikommassa gravitaatiokentässä oleva kello edistää +45 µs/pvä

Yhteensä +38 µs/pvä GPS:n tarkkuus on noin 10 ns. Päivässä kertyvä virhe suhteellisuusteoreettisen korjauksen pois jättämisestä:

Suppea suhteellisuusteoria:   liikkuva kello jätättää -7 µs/pvä

38!10"6 s #3!108 ms$11 km

24

Suhteellisuusteorian kokeellinen status

Suppea suhteellisuusteoria + kvanttimekaniikka = kvanttikenttäteoria  äärimmäisen tarkkoja kuvauksia hiukkasmaailman ilmiöistä, suppea suhteellisuusteoria oleellinen, testattu miljardisosan tarkkuudella

Yleinen suhteellisuusteoria Testattu aurinkokunnassa ja pulsareista tarkkuudella 10-5.

- GPS - kappaleiden liikkeet - gravitaatiolinssit

Kosmologiassa suhteellisuusteoria on välttämätön ja testattu, toisaalta eräiden kosmologisten havaintojen tulkinnaksi on esitetty yleisen suhteellisuusteorian rikkoutumista.