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SESSION 1 - 7 JANVIER 2014
1 sur 4
UNIVERSITÉ DE PARIS I - PANTHÉON-SORBONNE
U.F.R. 02
LICENCE - PREMIÈRE ANNÉE
2013-2014
PARTIEL DE COMPTABILITÉ D’ENTREPRISE
DURÉE DE L'ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L'ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU
JOURNAL.UN TEMPS INDICATIF VOUS EST PROPOSÉ POUR CHAQUE DOSSIER À TRAITER.
Attention : Pour toutes les questions nécessitant un calcul de TVA, vous prendrez un taux de de 20 %.
Dossier n°1 (30 minutes)Le 01/01/2014 M. PIGANIOL crée son entreprise et ouvre son magasin de parapluies « Le parapluie du berger ».
Il apporte 60 000 €, déposés comme capital sur le compte en banque de l’entreprise, et il obtient un emprunt à cette même banque de 20 000 €.
Avec ces capitaux, il acquiert un local pour 60 000 € et des agencements pour aménager son magasin pour 5 000 €. Il achète par ailleurs un stock de 200 parapluies de fabrication artisanale pour 16 000 € à un fabricant de la région. Il obtient de celui-ci la possibilité de régler dans 60 jours.
Par ailleurs il retire 200 € du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.
Vous ferez abstraction de la TVA dans cet exercice.
Question 1 : Établir le bilan d’ouverture de l’entreprise « Le parapluie du berger » en respectant au mieux le modèle de bilan du PCG
Au cours du mois de janvier, l’entreprise « Le parapluie du berger » réalise les opérations suivantes :
1. Vente au comptant de 40 parapluies pour 4 000 € en espèces.2. Paiement par chèque de l’assurance du local pour un montant de 800 €.3. Commande au fournisseur de 100 parapluies supplémentaires pour 8 300 euros. La
facture sera réglée dans 30 jours.4. Vente de 70 parapluies pour 7 350 €. Le règlement s’est effectué pour moitié en
3DJH���
SESSION 1 - 7 JANVIER 2014
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espèces et pour moitié par chèque.5. Paiement par chèque d’une campagne de publicité dans la presse régionale pour
500 €.
Question 2 : Enregistrer au journal les différentes opérations ayant eu lieu au cours du mois de janvier après la création de l’entreprise.Question 3 : Le stock de parapluies est constitué d’un unique modèle. Évaluer le stock final de parapluies selon la méthode du coût moyen pondéré calculé en fin de période.Question 4 : En déduire le coût d’achat des marchandises vendues et la marge commerciale.Question 5 : Passer les écritures de régularisation concernant les stocks.Question 6 : Établir le bilan à la fin janvier.
Dossier n°2 (30 minutes)La société GEWURTZ implantée en Alsace a pour activité la vente de vins d’Alsace à des clients français et étrangers. Elle n’assemble pas ses propres vins mais sélectionne les meilleures bouteilles auprès de producteurs locaux.Les opérations réalisées par l’entreprise au cours du mois de décembre 2013 ont été les suivantes :02/12/2013 : Vente de 150 bouteilles de RIESLING au client NICOLAS pour un prix de vente unitaire de 10 € HT. Une remise de 2% est accordée. La facture est à régler à 90 jours. Une lettre de change est envoyée au client pour acceptation.03/12/2013 : Achat au viticulteur FRITZ de 80 bouteilles de GEWURTZ vendanges tardives à 20 € HT la bouteille. Cet achat est réglé moitié au comptant par chèque, moitié à 60 jours.10/12/2013 : Achat pour 20 000 € HT d’un véhicule utilitaire pour procéder au transport des bouteilles achetées chez les différents viticulteurs. Un acompte de 5 000 € avait été versé au moment de la commande. Le solde restant dû est réglé comptant par chèque.12/12/2013 : Le client NICOLAS retourne la lettre de change acceptée.13/12/2013 : Le commercial se fait rembourser en espèces par le comptable une note de frais de restaurant de 120 € TTC.13/12/2013 : Remise à l’escompte de l’effet de commerce sur le client NICOLAS.15/12/2013 : Avis de la banque relatif au paiement de l’effet remis à l’escompte : les services sont facturés 24 euros TTC et les intérêts s’élèvent à 40 euros.20/12/2013 : Reçu une facture d’avoir concernant l’achat du 3 décembre. Un rabais de 100 euros HT est accordé par FRITZ.26/12/2013 : Le service du personnel établit la paye de décembre :La somme des salaires bruts s’élève à 90 000 €.
29/12/2013 : Mise en paiement des salaires. Les cotisations sociales seront réglées courant janvier.
Charges socialesSécurité socialePôle emploiCaisses de retraiteTotal
Part salariale13 7752 1603 450
19 385
Part patronale27 5003 8855 040
36 425
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&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
SESSION 1 - 7 JANVIER 2014
3 sur 4
Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de décembre au Journal de l’entreprise GEWURTZ.
Dossier n°3 (30 minutes)
L’entreprise de décolletage GEFO qui clôture son exercice comptable le 31 décembre de chaque année fait l’acquisition le 5 avril 2013 d’une rectifieuse pour rénover son parc de machines-outils. L’investissement s’élève à 270 000 € HT. et sera réglé dans 30 jours. La machine est mise en service le 16 mai 2013.
Question 1 : Enregistrer l’acquisition de cette machine.
Le choix est fait d’amortir ce matériel suivant la technique du dégressif fiscal sur 6 ans avec un coefficient de 2.
Question 2 : Présenter le plan d’amortissement de cette machine.
Question 3 : Enregistrez les écritures d’inventaire et l’extrait du bilan au 31 décembre 2014 concernant cet actif.
L’entreprise envisage une cession de ce matériel en juillet 2016 pour 80 000 € HT.
Question 4 : Enregistrez les écritures liées à la cession de cet actif en 2016. Calculez le résultat sur la cession.
Dossier n°4 (20 minutes)La situation des clients douteux de l'entreprise VERON se présente comme suit au 31/12/2013 avant inventaire:
L’inventaire des créances au 31/12/2013 permet d’obtenir les informations suivantes:BROCHET: Il devrait nous régler 20 % de la créance restant due.PERCHE : On espère pouvoir récupérer 90 % de la créance restant due.CARPE : Il est en liquidation judiciaire. Le liquidateur nous informe que la créance est définitivement irrécouvrable.Un salarié licencié a entamé une procédure devant le conseil des prud’hommes pour licenciement abusif. L’entreprise VERON estime qu’elle devra sans doute verser 120 000 € pour indemniser le salarié.Un emprunt bancaire de 100 000 € a été accordé à l'entreprise le 1er décembre 2013 aux conditions suivantes:
- taux 6%-remboursement trimestriel par amortissements constants sur 2 ans-première échéance 1er mars 2014
La prime d’assurance versée le 1er octobre 2013 pour 2 400 € couvre les locaux de l’entreprise jusqu’au 30 septembre 2014.Question : Enregistrez les régularisations nécessaires au 31 décembre 2013.
Noms
BROCHETPERCHECARPE
Montant initialdes créances
7 20012 0008 400
27 600
Dépréciationau bilan
3 5002 5003 0009 000
Règlementseffectués en 2013
aucun3 000aucun3 000
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SESSION 1 - 7 JANVIER 2014
4 sur 4
Dossier n°5 (10 minutes)La société « GAGNEPETIT » clôture ses comptes le 31 décembre de chaque année. Elle vous communique un extrait simplifié de la balance après inventaire au 31 décembre. Toutefois, elle vous informe que les écritures d’inventaire concernant les stocks n’ont pas encore été prises en compte. Des informations complémentaires concernant ces derniers vous sont communiquées.
Établir un tableau des soldes intermédiaires de gestion au 31 décembre 2013 en vous arrêtant à l’excédent brut d’exploitation (EBE). Vous détaillerez vos calculs en reprenant dans votre tableau chaque ligne de la balance utilisée.
Extrait simplifié de la balance après inventaire au 31/12/2013
Bonus : Compléter le tableau des soldes intermédiaires de gestion.
StocksMatières premièresProduits finis
1/01/1370 00090 000
31/12/1372 500
110 000
Achats de matières premièresCharges de sécurité sociale et de prévoyanceAchats non stockés de matières et fournituresRémunérations du personnelIntérêts des emprunts et des dettesDotations - Charges d'exploitationImpôts, taxes et versements assimilésImpôt sur les bénéficesPertes sur créances irrécouvrablesPrimes d’assuranceEntretien et réparationsProduction vendueProduits de cession d’éléments d’actifValeur comptable d’éléments d’actif cédésPertes de changeRedevances pour concessions, brevets, licences...LocationsServices bancairesSubventions d’exploitationReprises - Produits d’exploitationCharges constatées d’avanceProduits constatés d’avance
Soldes débiteurs
55 00010 0001 200
18 0002 500
10 00015 0003 500
750900
1 200
7 500
20 000500
3 000
Soldes créditeurs
130 00010 000
5 000800
12 0002 000
2 500
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&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1
Corrigé du partiel du 7 janvier 2014
1 sur 7
Le barème est volontairement sur 23 points afin de tenir compte de la longueur du sujet. Les deux premiers dossiers ont volontairement un poids assez élevé afin qu’un étudiant qui maîtrise les bases mais qui est lent (problèmes de calcul) atteigne la moyenne sans difficulté.Concernant la notation des écritures comptables au journal qui sont à 0,5 Pt, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte. En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.Évidemment, lorsque les questions ne sont pas indépendantes, les erreurs éventuelles ne doivent être sanctionnées qu’une seule fois.
Dossier n°1 8 pointsQuestion 1 : 1 point
Justification du montant des avoirs en banque :
Question 2 : 2,5 points ( 1/2 point par opération)
ACTIFLocalAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF
BILAN60 000
5 00016 00014 800
20096 000
CapitalEmpruntFournisseurs B&S
TOTAL PASSIF
PASSIF60 00020 00016 000
96 000
Apport en capitalEmpruntAcquisition localAgencementsVirement en caisseSolde
60 00020 000
-60 000-5 000
-20014 800
537
65
64
457
1
Caisse
2Primes d’assurance
3
Achats de marchandises
4BanqueCaisse
5
Ventes de marchandises
Banque
Fournisseurs de B&S
Ventes de marchandises
4 000
800
8 300
3 6753 675
4 000
800
8 300
7 350
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Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1
Corrigé du partiel du 7 janvier 2014
2 sur 7
Question 3 1 pointLe coût moyen pondéré calculé en fin de période est de :
Les sorties de stock ont été de 40 et 70 unités. Il reste donc en stock 300 - 110 = 190 unités valorisées à 81 € l’unité soit un stock final valorisé à 15 390 €.
Question 4 1 pointLe coût d’achat des marchandises vendues (CAMV) s’élève donc à :
- 110 × 81 = 8 910 (les sorties valorisées au CMP) ou- achats + SI - SF = 8 300 + 16 000 - 15 390 = 8910 0,5 point
La marge commerciale :CA - CAMV = (4 000 + 7 350) - 8 910 = 2 440 0,5 pointQuestion 5
Question 6 1,5 points
Justification rapide du résultat : CAMV - Prime d’assurance et Frais de banque = 2 440 - 800 - 500 = 1 140.
65
Frais de publicitéBanque
500500
EntréesSIEntrée de la périodeCMP
Quantités200100300
Coût unitaire808381
Montant16 0008 300
24 300
63
36
31/01
Δ stocks marchandises
31/01
Stocks de marchandises
Stocks de marchandises
Δ stocks marchandises
16 000
15 390
16 000
15 390
ACTIFLocalAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF
BILAN60 000
5 00015 39017 175
7 875105 440
CapitalRésultatEmpruntFournisseurs B&S
TOTAL PASSIF
PASSIF60 000
1 14020 00024 300
105 440
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&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1
Corrigé du partiel du 7 janvier 2014
3 sur 7
Dossier n°2 5,5 points
Question : Passez les écritures comptables du mois de décembre 1/2 point par opération
474
6445
2425
44
645
54
56645
464
642434343
2/12
Clients
3/12Achats de marchandisesTVA déductible/ABS
10/12
Matériel de transportTVA déductible/immo
12/12Clients, EAR
13/12
Frais de missionTVA déductible/ABS
13/12Effets à l’escompte
15/12BanqueIntérêtsServices bancairesTVA déductible/ABS
20/12Fournisseurs B & S
26/12Salaires
26/12
Ventes de marchandisesTVA collectée/ventes
Fournisseurs B & SBanque
avances/cdes d’immoBanque
Clients
Caisse
Clients, EAR
Effets à l’escompte
RRR obtenusTVA déductible/ABS
Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
1 764
1 600320
20 0004 000
1 764
10020
1 764
1 7004020
4
120
90 000
1 470294
960960
5 00019 000
1 764
120
1 764
1 764
10020
70 61513 775
2 1603 450
3DJH���
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1
Corrigé du partiel du 7 janvier 2014
4 sur 7
Dossier n°3Q1 : acquisition de la machine 0,5 point
Q2 : Plan d’amortissement 2 points0,5 point pour le calcul du taux0,5 point pour la première dotation (prorata)0,5 point pour l’application du taux dégressif à la VCN début d’exercice0,5 point pour le passage à un amortissement constant
Dotation 2013 : 270 000 x 1/6 x 2 x 9/12 = 67 500Q3: écritures d’inventaire et extrait du bilan 1 point0,5 point pour l’écriture d’inventaire0,5 point pour l’extrait du bilan
6434343
425
Cotisations sociales
29/12Pers., rémunérations dues
URSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
Banque
36 425
70 615
27 5003 8855 040
70 615
244
05/04Matériel industrielTVA déductible/immo
Fournisseur d’immo
270 00054 000
324 000
BASE D'AMORTISSEMENT (coût d'acquisition) :DATE D'ACQUISITION :
DUREE D'AMORTISSEMENT EN ANNEES :CALCUL DU TAUX DEGRESSIF :
ANNEES201320142015201620172018
VCN début270 000202 500135 00090 00060 00030 000
DOTATION67 50067 50045 00030 00030 00030 000
CUMUL67 500
135 000180 000210 000240 000270 000
270 00005/04/13
61/6 x 2 =1/3%
VCN fin202 500135 00090 00060 00030 000
0
62
31/12DADP - charges d’exploitation
Amortissement du matériel67 500
67 500
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&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1
Corrigé du partiel du 7 janvier 2014
5 sur 7
Extrait du bilan au 31 décembre 2014
Q4 : Cession de la machine 2 pointsDotation 2016 jusqu’à la cession en juillet : 90 000 × 1/12 × 6/12 = 15 000
VCN = Valeur d’acquisition - ∑ amortissements cumulés = 270 000 - (67 500 + 67 500 +
45 000 + 15 000) = 75 000Résultat/cession = Prix de cession - VCN = 80 000 - 75 000 = 5 000 (plus-value).0,5 point
Dossier n°4 2,5 points
Actif
Immobilisations corporelles:Installations techniques, matériel et outillage industriels
Total immobilisations
Exercice 2014
Brut
270 000
X
Amortissements et
provisions
135 000
X
Net
135 000
X
Exercice 2013Net
202 500
X
0,5 point
4775
4
juillet 2016Créances/cession d’immo
PCEATVA collectée/ventes
96 00080 00016 000
0,5 point
62
0,5 point
67522
31/12DADP - charges d’exploitation
31/12VCEACAmortissement du matériel
Amortissement du matériel
Matériel industriel
15 000
75 000195 000
15 000
270 000
NominalRèglement en 2013Net TTCHTProvision nécessaireProvision existante
Dotation ou reprise
BROCHET7 200
/7 2006 0004 8003 500
+ 1 3000,25 point
PERCHE12 000
3 0009 0007 500
7502 500
- 1 7500,25 point
CARPE8 400
/8 4007 000
/3 000
- 3 0000,25 point
3DJH���
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1
Corrigé du partiel du 7 janvier 2014
6 sur 7
0,25 point
6
4
0,25 point
4
7
0,25 point
644
0,25 point
4
7
0,25 point
6871
0,25 point
61
0,25 point
46
31/12
DADP - charges d’exploitation
31/12Dépréciation des comptes de clients
31/12
Pertes sur créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes
31/12Dépréciation des comptes de clients
31/12
DADP - charges exceptionnelles
31/12Intérêts
31/12Charges constatées d’avance
2 400/12 × 9/12
Dépréciation des comptes de clients
RADP - Produits d’exploitation
Clients douteux
RADP - produits d’exploitation
Provisions pour litiges
Intérêts courus/emprunts
Primes d’assurance
1 300
1 750
7 0001 400
3 000
120 000
500
1 800
1 300
1 750
8 400
3 000
120 000
500
1 800
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&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 1
Corrigé du partiel du 7 janvier 2014
7 sur 7
Dossier n° 5 1,5 points
Production vendueProduction stockée (SF-SI)Production de l’exercice 0,5 pointAchats de MPΔ stocks MP (SI-SF)Achats non stockés matières & fournituresPrimes d’assuranceEntretiens et réparationsLocationsServices bancairesConsommations en provenance de tiersValeur ajoutée 0,5 point+ Subventions d’exploitation- Impôts, taxes et versements assimilés- Rémunérations du personnel- Charges de sécu et de prévoyanceExcédent brut d’exploitation 0,5 point
130 00020 000
150 00055 000-2 5001 200
9001 200
20 000500
76 30073 70012 00015 00018 00010 00042 700
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SESSION 2 - 17 JUIN 2014
1 sur 3
UNIVERSITÉ DE PARIS I - PANTHÉON-SORBONNE
U.F.R. 02
LICENCE - PREMIÈRE ANNÉE
2013-2014
PARTIEL DE COMPTABILITÉ D’ENTREPRISE
DURÉE DE L’ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L’ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU
JOURNAL.UN TEMPS INDICATIF VOUS EST PROPOSÉ POUR CHAQUE DOSSIER À TRAITER.
Dossier no 1 (55 minutes)Le 01/01/2013, M. POPEYE et M. TARZAN s’associent pour créer
l’entreprise LOWNESS dont l’activité consiste à gérer une salle de fitness low cost.Chacun fait un apport de 60 000 euros et la banque leur accorde un prêt de
40 000 euros. Ils signent dès le 1er janvier un contrat de location pour la salle. Le loyer s’élève à 3 500 € par mois prélevés automatiquement sur le compte bancaire de l’entreprise à chaque début de mois. Ils font l’acquisition de matériels de musculation et de fitness pour un montant global de 90 000 €. Ces matériels sont payés moitié au comptant et moitié à crédit 60 jours fin de mois. Leur valeur unitaire est relativement élevée et dépasse les 1 000 €. Afin de se faire connaître, ils lancent une campagne d’affichage dans le quartier. Le coût de cette campagne s’élève à 1 000 € et doit être réglé pour le 15 janvier. Un prof de gym est recruté. Il percevra une rémunération brute de 2 000 € par mois. Les cotisations sociales pour l’employeur seront de 800 € par mois. L’entreprise souscrit un contrat d’abonnement pour l’électricité pour lequel un dépôt de garantie de 800 € est exigé. Cette somme est immédiatement réglée par chèque. Par ailleurs, les propriétaires retirent 2 000 euros du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.
Le 10 janvier, l’entreprise ouvre officiellement ses portes et est prête à recevoir ses premiers clients.
Il sera fait abstraction de la TVA dans cet exercice.
Q1 : Établir le bilan au 10 janvier juste avant l’ouverture et selon le modèle du PCG.
Au cours du mois de janvier, l’entreprise LOWNESS réalise les opérations suivantes :
a) Paiement par chèque des sommes dues au titre de la campagne publicitaire.
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SESSION 2 - 17 JUIN 2014
2 sur 3
b) L’entreprise a réalisé 400 entrées sur le mois de janvier à 15 € l’unité. Un tiers des recettes a fait l’objet d’un règlement en espèces, le reste a été réglé par chèque ou carte bancaire
c) Le salaire net, soit 1 600 € est versé par virement bancaire au prof de gym salarié. Les cotisations sociales seront versées trimestriellement.
d) Remboursement d’une première mensualité de l’emprunt pour 1 000 euros auxquels s’ajoutent 120 euros d’intérêts.
e) L’entreprise a voulu s’essayer à la commercialisation de compléments alimentaires pour ces usagers de la salle de sport. Elle en a acheté pour 2 000 € réglé par chèque. Cette activité a connu un succès foudroyant. Tout a été liquidé à l’exception d’un lot de boissons énergisantes dont le prix d’achat s’était élevé à 150 €. Les recettes liées à cette activité se sont élevées à 2 500 € et ont été perçues en espèces.
Q2 : Enregistrer les opérations précédentes au journal en pratiquant la méthode de l’inventaire intermittent.Q3 : Établir le grand livre des comptes.Q4 : Établir le bilan (modèle PCG) de l’entreprise LOWNESS à la fin du mois de janvier. Compte tenu de la courte durée de la période d’analyse et en l’absence d’information, on ne tiendra pas compte de la dépréciation éventuelle du matériel.
Dossier no 2 (20 minutes)
Au mois de juin 2013, l’entreprise MUSCLOR spécialisée dans la commercialisation d’articles de sport réalise les opérations suivantes :01/06/2013 : Achat de raquettes de tennis au fournisseur BOBOLA pour 1 000 euros HT. L’achat est réglé à 30 jours. L’entreprise obtient un rabais de 20 %. La facture est accompagnée d’une lettre de change envoyée par le fournisseur pour acceptation.04/06/2013 : Retour à BOBOLA de la lettre de change acceptée.08/06/2013 : Achat d’une machine à corder d’occasion au prix de 1 800 euros HT. Cet achat est réglé pour 1/3 au comptant par chèque, 2/3 à crédit.11/06/2013 : Vente de raquettes pour 800 euros HT. La moitié est réglée au comptant par chèque, l’autre moitié à crédit. 15/06/2013 : Recordage d’une raquette pour un client à l’aide de la machine à corder nouvellement acquise. La prestation facturée 50 euros HT est réglée comptant par chèque par le client19/06/2013 : Paiement par chèque d’une facture de réparation de la machine à corder pour 600 euros HT.31/06/2013 : Règlement par prélèvement bancaire du fournisseur BOBOLA pour l’opération du 01/06.
Attention : Pour simplifier les calculs, vous prendrez un taux de TVA de 20 %.
Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de mai au Journal de l’entreprise DUBOS.
3DJH���
SESSION 2 - 17 JUIN 2014
3 sur 3
Dossier no 3 (30 minutes)
La Société Générale de Décolletage est une entreprise industrielle de fabrication d’outillages spécialisés pour l’industrie automobile. L’entreprise vous demande de traiter le dossier suivant :
Le 5 mai 2013, l’entreprise achète une nouvelle machine-outil pour faire face à l’augmentation des commandes.Prix de la machine : 120 000 € HT, taux de TVA à 20 %.Conditions de paiement : la moitié comptant par chèque le solde à 60 jours fin de mois.Le matériel est amorti sur cinq ans en dégressif (coefficient à utiliser : 2).
Travail à faire :
Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’acquisition de ce matériel.Présenter le tableau d’amortissement de la machine.Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’écriture d’inventaire au 31/12/2013 la concernant.Présenter l’extrait de bilan au 31/12/2015 concernant cette machine (modèle de bilan du PCG).
Dossier no 4 (15 minutes)
La société FISHANDCHIP est une entreprise de production d’articles de pêche domiciliée à Caen. Ses exercices comptables coïncident avec l’année civile. Les activités de l’entreprise sont soumises à la TVA au taux normal de 20 %. Le chef comptable, Monsieur PICSOU, vous confie le dossier des créances douteuses.
Tableau des créances douteuses
Travail à faire :
Enregistrer au journal de l’entreprise les écritures de régularisation nécessaires client par client en justifiant chacun des montants utilisés.
Noms
ARDENT PÊCHE
EASYFLY
FIELDANDFISH
Créances taxes comprises au 31/12/2012
3 120
1 680
1 800
Provision au 31/12/2012
750
400
500
Règlement en 2013
0
720
240
Situation au 31/12/2013
On pense récupérer 40% de la créance restant dueCréance définitivement irrécouvrableOn pense perdre 20% de la créance restant due
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&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 2
Corrigé du partiel du 17 juin 2014
1 sur 5
Le barème est volontairement sur 23 points afin de tenir compte de la longueur du sujet. Les deux premiers dossiers ont volontairement un poids assez élevé afin qu’un étudiant qui maîtrise les bases mais qui est lent (problèmes de calcul) atteigne la moyenne sans difficulté.Concernant la notation des écritures comptables au journal qui sont à 0,5 Pt, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte. En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.Évidemment, lorsque les questions ne sont pas indépendantes, les erreurs éventuelles ne doivent être sanctionnées qu’une seule fois.
Dossier n°1 9,5 pointsQ1 : 3 points
Justification du montant des avoirs en banque :
Q2 : 3 points
ACTIFMatérielDépôt de garantieBanqueCaisse
TOTAL ACTIF
BILAN90 000
800108 700
2 000
201 500
CapitalRésultatEmpruntFournisseur d’immoFournisseur de B&STOTAL PASSIF
PASSIF120 000
-4 50040 00045 000
1 000201 500
Apport en capitalEmpruntAcquisition matérielLoyerDépôt de garantieCaisseSolde
120 00040 000
-45 000-3 500
-800-2 000
108 700
45
557
64
(a) 0,5
Fournisseurs B&S
(b) 0,5CaisseBanque
(c) 0,25
Salaires bruts
Banque
Prestations de services
Organismes sociaux
1 000
2 0004 000
2 000
1 000
6 000
400
3DJH���
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 2
Corrigé du partiel du 17 juin 2014
2 sur 5
Q3 2 points
5
44
615
65
57
36
(c) suite 0,25Charges sociales
(d) 0,5Charges d’intérêtsEmprunts
(e) 0,25Achats de marchandises
0,25Caisse
0,5Stocks de marchandises
Banque
Organismes sociaux
Banque
Banque
Ventes de marchandises
Variations de stocks march
800
1201 000
2 000
2 500
150
1 600
800
1 120
2 000
2 500
150
2. Matériel90 000 SD=90 000
2. Dépôts versés800 SD=800
5. Banque108 700
4 0001 0001 6001 1202 000SD=106 980
3. Stocks de marchandises150 SD=150
5. Caisse2 0002 0002 500
SD=6 5001. Capital
SC=120 000 120 000
1. Résultat4 5002 000
800120
2 000
6 0002 500150SD=770
1. Emprunts1 000
SC=39 00040 000
4. Fourn. d’immoSC=45 000 45 000
4. Fourn B&S1 000 1 000
4. Organismes sociauxSC=1 200 400
800
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 2
Corrigé du partiel du 17 juin 2014
3 sur 5
Q4 2 points
Dossier n°2 3,5 points
Q5 : Passez les écritures comptables du mois de décembre 1/2 point par opération
ACTIFMatérielDépôts versésStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF
BILAN90 000
800150
106 9806 500
204 430
CapitalRésultatEmpruntFournisseurs d’immoOrganismes sociauxTOTAL PASSIF
PASSIF120 000
-77039 00045 000
1 200204 430
644
44
2445
5474
574
645
4
01/06Achats de marchandisesTVA déductible/ABS
04/06
Fournisseurs B&S
08/06MatérielTVA déductible/immo
11/06
BanqueClients
15/06Banque
19/06Entretien, réparationsTVA déductible/ABS
30/06Fournisseurs B & S - EAP
Fournisseurs B & S
Fournisseurs B&S, EAP
Fournisseurs d’immoBanque
Ventes de marchandisesTVA collectée
Prestations de serviceTVA collectée
Effets à l’escompte
800160
960
1 800360
480480
60
600120
960
960
960
1 440720
800160
5010
1 764
3DJH���
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 2
Corrigé du partiel du 17 juin 2014
4 sur 5
Dossier n°3 4 pointsQ6 : acquisition de la machine 0,5 point
Q7 : Plan d’amortissement 2 points0,5 point pour le calcul du taux0,5 point pour la première dotation (prorata)0,5 point pour l’application du taux dégressif à la VCN début d’exercice0,5 point pour le passage à un amortissement constant
Dotation 2013 : 120 000 x 1/5 x 2 x 8/12 = 32 000Q8: écritures d’inventaire 0,5 point
Q9: Extrait du bilan au 31/12/2015 1 point
5 Banque 960
2454
05/04Matériel industrielTVA déductible/immo
BanqueFournisseurs d’immo
120 00024 000
72 00072 000
BASE D'AMORTISSEMENT (coût d'acquisition) :DATE D'ACQUISITION :
DUREE D'AMORTISSEMENT EN ANNEES :CALCUL DU TAUX DEGRESSIF :
ANNEES20132014201520162017
VCN début120 00088 00052 80031 68015 840
DOTATION32 00035 20021 12015 84015 840
CUMUL32 00067 20088 320
104 160120 000
120 00005/05/13
51/5 x 2 =40%
VCN fin88 00052 80031 68015 840
0
62
31/12/13DADP - charges d’exploitation
Amortissement du matériel32 000
32 000
Actif
Immobilisations corporelles:Installations techniques, matériel et outillage industriels
Total immobilisations
Exercice 2015
Brut
120 000
X
Amortissements et
provisions
88 320
X
Net
31 680
X
Exercice 2014
Net
52 800
X
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Comptabilité d’entrepriseL1- Semestre 1 - Session 2
Corrigé du partiel du 17 juin 2014
5 sur 5
Dossier n°4 3,25 points
NominalRèglement de l’exNet TTCHTProvision nécessaireProvision existante
Dotation ou reprise
ARDENT
3 120/
3 1202 6001 560
750+810
0,75 point
EASYFLY
1 680720960800
/400
- 4000,75 point
FIELD AND FISH
1 800240
1 5601 300
260500
- 2400,75 point
0,25 point
6
4
0,25 point
4
7
0,25 point
644
0,25 point
4
7
31/12
DADP - charges d’exploitation
31/12Dépréciation des comptes de clients
31/12
Pertes sur créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes
31/12Dépréciation des comptes de clients
Dépréciation des comptes de clients
RADP - Produits d’exploitation
Clients douteux
RADP - produits d’exploitation
810
400
800160
240
810
400
960
240
3DJH���
SESSION 1 - 21 DÉCEMBRE 2012
1 sur 4
UNIVERSITÉ DE PARIS I - PANTHÉON-SORBONNE
U.F.R. 02
LICENCE - PREMIÈRE ANNÉE
2012-2013
PARTIEL DE COMPTABILITÉ D’ENTREPRISE
DURÉE DE L'ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L'ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU
JOURNAL.UN TEMPS INDICATIF VOUS EST PROPOSÉ POUR CHAQUE DOSSIER À TRAITER.
Dossier n°1 (30 minutes)Le 01/10/2012 M. DESTANNES crée son entreprise et ouvre son magasin de coutellerie « Le couteau d’Aurillac ».
Il apporte 40 000 euros, déposés comme capital sur le compte en banque de l’entreprise, et il obtient un emprunt à cette même banque de 10 000 euros.
Avec ces capitaux, il acquiert un fonds commercial pour 10 000 euros et des agencements pour aménager son magasin pour 10 000 euros également. Ces agencements sont payés moitié au comptant moitié à crédit 60 jours fin de mois. Il achète par ailleurs un stock de 800 couteaux dont il a conçu le design pour 24 000 euros à un fabricant de Thiers.
Par ailleurs il retire 200 euros du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.
Vous ferez abstraction de la TVA dans cet exercice.
Question 1 : Établir le bilan d’ouverture de l’entreprise « Le couteau d’Aurillac » en respectant au mieux le modèle de bilan du PCG
1. Au cours du mois d’octobre, l’entreprise « Le couteau d’Aurillac » réalise les opérations suivantes :
2. Vente au comptant de 30 couteaux pour 1 500 euros en espèces.3. Paiement par chèque du premier loyer pour le local où est installé le magasin de 1 200
euros.4. Commande au fournisseur de Thiers de 200 couteaux supplémentaires pour 7 000
euros. La facture sera réglée dans 30 jours.5. Vente de 50 couteaux pour 2 500 euros. Le règlement s’effectue pour moitié en
espèces et pour moitié par chèque.6. Paiement de la première mensualité d’intérêt sur l’emprunt comprenant 50 euros
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
SESSION 1 - 21 DÉCEMBRE 2012
2 sur 4
d’intérêts et 1 000 euros de remboursement de capital.7. Paiement par chèque d’une campagne de publicité dans la presse régionale pour
500 euros.
Question 2 : Enregistrer les différentes opérations au journal selon la méthode de l’inventaire intermittent.Question 3 : Le stock de couteaux est constitué d’un unique modèle. Évaluer le stock de couteaux selon la méthode FIFO.Question 4 : Calculer la marge commerciale (ventes de marchandises - coût d’achat des marchandises vendues).
Dossier n°2 (30 minutes)Au mois de décembre 2012, l’entreprise JACKET spécialisée dans la fabrication de costumes prêts-à-porter réalise les opérations suivantes :01/12/2012 : Achat de tissus pour 4 000 euros HT. L’achat est réglé à 60 jours. L’entreprise obtient un rabais de 5 %.03/12/2012 : Achat d’une machine à coudre pour ses ateliers au prix de 8 000 euros HT. Cet achat est réglé moitié au comptant par chèque, moitié à crédit.10/12/2012 : Vente de costumes pour 5 000 euros HT. La moitié est réglée au comptant par chèque, la moitié à 90 jours fin de mois. Une lettre de change d’un montant correspondant à la partie non réglée comptant de la vente est envoyée au client pour acceptation12/12/2012 : Le client retourne la lettre de change acceptée.13/12/2012 : Remise à l’escompte de l’effet de commerce précédent.15/12/2012 : Avis de la banque relatif au paiement de l’effet remis à l’escompte : les services sont facturés 15 euros HT et les intérêts s’élèvent à 75 euros.20/12/2012 : Reçu une facture d’avoir concernant l’achat du 1er décembre. Un rabais supplémentaire de 100 euros HT est accordé par le fournisseur.26/12/2012 : Comptabilisation de la paie du mois de décembre. Les salaires nets à verser s’élèvent à 18 000 euros et les cotisations sociales salariales sont d’un montant global de 3 500 euros dont 2 000 pour les cotisations de la Sécurité Sociale, 750 pour l’assurance chômage et 750 pour les caisses de retraite complémentaire.26/12/2012 : Comptabilisation des cotisations sociales patronales d’un montant global de 10 000 euros dont 4 500 pour les cotisations de sécurité sociale, 2 500 pour Pôle Emploi, 3 000 pour les caisses de retraite complémentaire.30/12/2012 : Mise en paiement des salaires et cotisations sociales
Attention : Pour simplifier les calculs, vous prendrez un taux de TVA de 20 %.
Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de décembre au Journal de l’entreprise JACKET.
3DJH���
SESSION 1 - 21 DÉCEMBRE 2012
3 sur 4
Dossier n°3 (30 minutes)Monsieur CHARBOUT a passé commande, auprès de la société DECOUPFER, d'un automate de découpe.
Facture d'achat de l'automateDECOUPFER12 avenue FERRY 69009 LYON
Lyon, le 25 avril 2012SA au capital de 1 000 000 €RC Lyon A 5234 560 004 Facture n° 118 C
Doit
Entreprise CHARBOUTZI Val Guiers73330 Belmont-Tramonet
Conditions de règlementsolde : 50 % sous huit jours, 50 % par lettre de change jointe à échéance du 31 juillet 2012
Informations complémentairesExercice comptable : il est clos le 31 décembre.Immobilisations : les installations techniques sont amorties suivant la technique du dégressif fiscal sur 5 ans avec un coefficient de 2 mais c'est l'amortissement linéaire qui exprime le mieux la dépréciation économique. L’automate est mis en service le 16 mai 2012.
Travail à fairea. Enregistrer la facture de DECOUPFER.b. Présenter le tableau d'amortissement de l'automate.c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/2012, concernant les dotations aux
amortissements des installations techniques. Vous ferez appel à la technique de l'amortissement dérogatoire proposée par le PCG.
d. Présenter l’extrait du bilan au 31/12/2013 concernant cette immobilisation.
Dossier n°4 (5 minutes)L'entreprise MEGATOC acquiert en avril 2012 des installations techniques d'une durée de vie de 15 ans amortissables en dégressif. Le coefficient d'amortissement dégressif applicable pour des biens de cette durée de vie est de 2,25. Les règles de l'amortissement dégressif stipulent que « lorsque l'annuité dégressive devient inférieure au quotient de la valeur comptable nette par le nombre d'années restant à courir, l'entreprise peut pratiquer une dotation égale à ce quotient ».
RefAUZE4
DésignationAutomate découpeRemise
Quantité1
Total HTTVA 20 %Net à payer
PU Net110 000
Montant HT110 00010 000
100 00020 000
120 000
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&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
SESSION 1 - 21 DÉCEMBRE 2012
4 sur 4
En quelle année, ce passage à un amortissement constant aura-t-il lieu pour les installations techniques de notre entreprise MEGATOC ? Justifiez votre réponse.
Dossier n°5 (10 minutes)La situation des clients douteux de l'entreprise LUYCE se présente comme suit au 31-12-2012. avant inventaire:
L’inventaire des créances au 31-12-2012 permet d’obtenir les informations suivantes:DUPAS: Il devrait nous régler 75 % de la créance restant due.CADON: On espère pouvoir récupérer 10 % de la créance restant due.La situation du client DUPAS nécessite la reprise de la provision existante. Pour quel montant ? Justifier la réponse.La situation du client CADON nécessite la constitution d’une provision complémentaire. Pour quel montant ? Justifier la réponse.
Dossier n°6 (10 minutes)La société « COSMOS » clôture ses comptes le 31 décembre de chaque année. Elle vous communique un extrait simplifié de la balance après inventaire au 31 décembre. Toutefois, suite à un problème informatique, les écritures d’inventaire concernant les stocks n’ont pu être prises en compte. Des informations complémentaires concernant ces derniers vous sont communiquées.
Établir le compte de résultat au 31 décembre 2012 selon le modèle du PCG.
Extrait simplifié de la balance après inventaire au 31/12/12
Bonus
L'entreprise TORX exporte en Suisse. Elle possède des créances en francs suisses comptabilisées pour 15 k€. Lors de la clôture, le franc suisse s'échange contre 0,65 € alors qu'il s'échangeait contre 0,60 € lors de l'enregistrement de la créance. Le comptable doit-il enregistrer une provision pour risques (provision pour perte de change) ?
Noms
DUPASCADON
Montant initialdes créances
18 0003 600
21 600
Provisionsau bilan
12 0001 000
13 000
Règlementseffectués en 2012
10 8001 800
12 600
StocksMatières premièresProduits finis
1/01/1270 00090 000
31/12/1272 500
110 000
Achats de matières premièresCharges de personnelCharges exceptionnellesCharges financièresDADP d'exploitationImpôts et taxesImpôt sur les bénéficesProduction vendueProduits exceptionnelsProduits financiersServices extérieurs et autres services extérieursCharges constatées d’avanceProduits constatés d’avance
Soldes débiteurs50 00015 00015 000
2 50010 00015 000
3 500
20 0003 000
Soldes créditeurs
130 00010 000
5 000
2 500
3DJH���
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 1
1 sur 6
Le barème est volontairement sur 22 points afin de tenir compte de la longueur du sujet même si j’ai vu des copies ayant tout traité (malheureusement de façon imparfaite pour la dernière question).Concernant la notation des écritures comptables au journal qui sont toutes à 0,5 Pt, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte. Sanctionner toutefois une fois (-0,25 Pt) la confusion achats de marchandises-achats de matières premières ou ventes de produits finis.En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.
Dossier n°1 : 5,5 pointsQuestion 1 : 1,5 point (dont 0,5 pour une présentation respectant l’ordre du bilan
PCG)
Justification du montant des avoirs en banque :
Question 2 : 3 points ( 1/2 point par opération)
ACTIFFonds commercialAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF
BILAN10 00010 00024 00010 800
20055 000
CapitalEmpruntFournisseurs d’immo
TOTAL PASSIF
PASSIF40 00010 000
5 000
55 000
Apport en capitalEmpruntAcquisition fonds de commerceAgencementsStocks de marchandisesCaisseSolde
40 00010 000
-10 000-5 000
-24 000-200
10 800
537
65
64
5
1
Caisse
2Locations
3
Achats de marchandises
4
Banque
Ventes de marchandises
Banque
Fournisseurs de B&S
1 500
1 200
7 000
1 250
1500
1 200
7 000
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 1
2 sur 6
Question 3 : 0,5 point
Le stock final est évalué à 21 600 + 7 000 = 28 600
Question 4 : 0,5 point
Dossier n°2 : 5 points (1/2 point par opération)
57
661165
65
Caisse
5
Charges d’intérêtsEmprunts
6Frais de publicité
Ventes de marchandises
Banque
Banque
1 250
501 000
500
2 500
1050
500
Date Numéro de lot
Stock Initial
Sortie 1
Entrée
Sortie 2
Entrées
quantité
200
prix
35
Montant
7 000
Sorties
quantité
30
50
prix
30
30
Montant
900
1 500
Stocksquantité
800
770
770
200
720200
prix
30
30
30
35
3035
Montant
24 000
23 100
23 100
7 000
21 6007 000
Ventes de marchandisesAchats de marchandisesΔ stocks marchandises (SI - SF)CAMVMarge commerciale
4 0007 000
-4 6002 4001 600
644
2454
4574
1/12
Achats de MPTVA déductible/ABS
3/12Matériel industrielTVA déductible/immo
10/12
ClientsBanque
Fournisseurs B&S
BanqueFournisseurs d’immo
Ventes de PFTVA collectée/ventes
3 800760
8 0001 600
3 0003 000
4 560
4 8004 800
5 0001 000
3DJH���
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 1
3 sur 6
Dossier n°3 : 6 points
a. Enregistrer la facture de DECOUPFER (0,5 point)
44
54
56645
4
6
642434343
6434343
424343435
12/12Clients, EAR
13/12
Effets à l’escompte
15/12BanqueIntérêtsServices bancairesTVA déductible/ABS
20/12Fournisseurs B&S
26/12Salaires
26/12Cotisations sociales
30/12Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
Clients
Clients, EAR
Effets à l’escompte
RRR obtenusTVA déductible/ABS
Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
URSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
Banque
3 000
3 000
2 9077515
3
120
21 500
10 000
18 0006 5003 2503 750
3 000
3 000
3 000
10020
18 0002 000
750750
4 5002 5003 000
31 500
21544562
404405
Inst. TechniquesEtat, TVA déductible
LC N°
25/04/12
Fournisseurs d'immoF d’immo Effets à payer
100 00020 000
60 00060 000
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 1
4 sur 6
b. Présenter le tableau d'amortissement de l'automate. (2,5 points: 0,75 pour le prorata année 1, 0,75 pour le passage au linéaire, 1 pour le mode de calcul correct sur une base décroissante)
c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/N, concernant les dotations aux amortissements des installations techniques. Vous ferez appel à la technique de l'amortissement dérogatoire proposée par le PCG.
Il n'était pas demandé d'établir ces deux derniers tableaux. Il suffisait de justifier le calcul de l'amortissement dérogatoire pour l'année N. (1,5 points dont 0,5 point pour la justification des calculs)
BASE D'AMORTISSEMENT (coût d'acquisition) :DATE D'ACQUISITION :
DUREE D'AMORTISSEMENT EN ANNEES :CALCUL DU TAUX DEGRESSIF :
ANNEES20122013201420152016
VCN début100 00070 00042 00025 20012 600
ANNUITES30 00028 00016 80012 60012 600
CUMUL30 00058 00074 80087 400
100 000
100 00025/04/12
540%
VCN fin70 00042 00025 20012 600
0
Valeur d'origine
Date de mise en service
Date début exercice comptable
Nombre de jours de la date de mise en service à la date de fin d'exercice comptableannées201220132014201520162017
100000,00
16/05/12
01/01/12
Base amort100 000,00100 000,00100 000,00100 000,00100 000,00100 000,00
Annuité12 500,0020 000,0020 000,0020 000,0020 000,007 500,00
DuréeTaux
d'amortissement
Cumul12 500,0032 500,0052 500,0072 500,0092 500,00100 000,00
5
20,00%
225VNC fin
87 500,0067 500,0047 500,0027 500,007 500,00
0,00
Amortissement dérogatoire
Années
201220132014201520162017
Dotation linéaire
12 50020 00020 00020 00020 0007 500
Dotation dégressive
30 00028 00016 80012 60012 600
Amortissement dérogatoire
17 5008 000
-3 200-7 400-7 400
3DJH���
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 1
5 sur 6
d. Extrait du bilan au 31/12/2013 1,5 point dont 1 point sur 2013, 0,5 point sur 1012
Extrait du bilan au 31 décembre 2013
Dossier n°4 1 pointTaux d’amortissement dégressif = 1/15 × 2,25 = 15 %à comparer au taux du linéaire calculé sur le nombre d’années restant à courir:
• début 2020, 7 ans soit 1/7 = 14 % < 15 %, on reste en dégressif• début 2021, 6 ans soit 1/6 = 16,66 % > 15 %, on passe en linéaire sur 6 ans.
Dossier n°5 2 points (1 point par client)
681
2815
0,5 pointDADP – Charges d'exploitation
31/12/N Amortissement installations tech
12 500,00
12 500,00
687145
0,5 pointDADP- Charges exceptionnelles
31/12/N Amortissements dérogatoires
17 500,00
17 500,00
Actif
Immobilisations corporelles:Installations techniques, matériel et outillage industriels
Total immobilisations
Exercice 2013
Brut
100 000
X
Amortissements et
provisions
32 500
X
Net
67 500
X
Exercice 2012Net
87 500
X
Passif
Capitaux propresProvisions réglementées
Exercice 2013
25 500
X
Exercice 2012
17 500
X
NominalRèglement en 2012Net TTCHTProvision nécessaireProvision existanteDotation ou reprise
DUPAS18 00010 800
7 2006 0001 500
12 000-10 500
CADON3 6001 8001 8001 5001 3501 000+350
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 1
6 sur 6
Dossier n°6 2,5 points
• Calcul correct des variations de stocks : 1 point• Respect de l’ordre de présentation du modèle PCG avec notamment la distinction
exploitation, financier et exceptionnel : 1 point• Calcul et présentation du solde de l’exercice : 0,5 point• Charges et/ou Produits constatés d’avance : -0,5 point
Bonus 1 point
À la clôture, la valeur des créances a augmenté passant de 15 000 € à 16 250 € (15 000/0,6 × 0,65). On est donc dans une situation de gain de change latent. Pas de provision pour perte de change).
ChargesAchats MPΔStocks MP (SI-SF)Services extérieursImpôts & taxesCharges de personnelDADP exploitationCharges financièresCharges exceptionnellesImpôt/bénéficesBénéfice de l’exerciceTotal
Compte de résultat50 000-2 50020 00015 00015 00010 000
2 50015 000
3 50036 500
165 000
Production vendueProduction stockée (SF-SI)Produits financiersProduits exceptionnels
Total
Produits130 000
20 0005 000
10 000
145 000
3DJH���
SESSION 2 - 18 JUIN 2013
1 sur 3
UNIVERSITÉ DE PARIS I - PANTHÉON-SORBONNE
U.F.R. 02
LICENCE - PREMIÈRE ANNÉE
2012-2013
PARTIEL DE COMPTABILITÉ D’ENTREPRISE
DURÉE DE L’ÉPREUVE : DEUX HEURES. AUCUNE SORTIE AUTORISÉE DURANT LA PREMIÈRE HEURE.AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ. CALCULATRICES NON AUTORISÉES. INDIQUEZ LA CLASSE DES COMPTES UTILISÉS LORS DE L’ENREGISTREMENT DES OPÉRATIONS AU
JOURNAL.UN TEMPS INDICATIF VOUS EST PROPOSÉ POUR CHAQUE DOSSIER À TRAITER.
Dossier no 1 (45 minutes)Le 01/10/2012, M. LACOURT et M. GILOT créent l’entreprise MOBISHOP,
magasin qui commercialise du mobilier de bureau de la marque CEDUSOLID.Chacun fait un apport de 60 000 euros et la banque leur accorde un prêt de
40 000 euros. Avec ça ils acquièrent un local pour 45 000 euros, des agencements pour aménager leur magasin pour 12 000 euros, un stock constitué de 40 armoires de la gamme « Prestige » pour 55 000 euros et 20 armoires de la gamme « Ministre » pour 14 000 euros. Le local est payé moitié au comptant et moitié à crédit 60 jours fin de mois.
Par ailleurs ils retirent 2 000 euros du compte en banque de l’entreprise pour alimenter la caisse.
Il sera fait abstraction de la TVA dans cet exercice.
Q1 : Établir le bilan initial selon le modèle du PCG (après création de l’entreprise et avant toute opération d’exploitation).
Au cours des trois mois suivants, l’entreprise MOBISHOP réalise les opérations suivantes :
a) Paiement du la première redevance pour l’utilisation de la marque CEDUSOLID de 1 000 euros.
b) Vente de 15 armoires de la gamme « Prestige » à une entreprise cliente pour 22 500 euros. La facture sera réglée dans 30 jours.
c) Achat de 50 armoires de la gamme « Ministre » au fournisseur CEDUSOLID pour un montant total de 36 000 euros. La facture sera réglée d’ici 30 jours.
d) Remboursement d’une première mensualité de l’emprunt pour 1 000 euros auxquels s’ajoutent 120 euros d’intérêts.
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
1 sur 6
Concernant la notation des écritures comptables au journal, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte.En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.
Dossier n°1 : 7 pointsQuestion 1 : 1 point
Justification du montant des avoirs en banque :
Question 2 : 2,5 points ( 1/2 point par opération)
ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF
BILAN45 00012 00069 00054 500
2 000182 500
CapitalEmpruntFournisseurs d’immo
TOTAL PASSIF
PASSIF120 000
40 00022 500
182 500
Apport en capital (2 x 60 000)EmpruntAcquisition local (45 000/2)AgencementsStocks de marchandisesCaisseSolde
120 00040 000
-22 500-12 000-69 000
-2 00054 500
655
47
64
1665
57
1
Redevances
2Clients
3
Achats de marchandises
4EmpruntsIntérêts
5
Banque
Banque
Ventes de marchandises
Fournisseurs de B&S
Banque
Ventes de marchandises
1 000
22 500
36 000
1 000120
10 000
1 000
22 500
36 000
1 120
10 000
3DJH���
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
2 sur 6
Question 3 : 1,5 points
Armoires «Prestige» 0,25 points
Le stock final est évalué à 34 375.Armoires «Ministre» 0,75 points
Le stock final est évalué à 43 000.
Stock initial : 55 000 + 14 000 = 69 000Stock final : 34 375 + 43 000 = 77 375
Question 4 : 2 points
(*) 54 500 - 1 000 - 1 120 + 10 000)
Date Numéro de lot
Stock Initial
Sortie 1
Entréesquantité prix Montant
Sortiesquantité
15
prix
1 375
Montant
20 625
Stocksquantité
40
25
prix
1 375
1375
Montant
55 000
34 375
Date Numéro de lot
Stock Initial
Entrée
Sortie
Entréesquantité
50
prix
720
Montant
36 000
Sortiesquantité
10
prix
700
Montant
7 000
Stocksquantité
20
20
50
1050
prix
700
700
720
700720
Montant
14 000
14 000
36 000
7 00036 000
6033
37
1 0,25 pointvariation stocks
2 0,25 pointStocks marchandises
Stocks marchandises
variations de stocks
69 000
77 375
69 000
77 375
ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesClientsBanque (*)CaisseTOTAL ACTIF
BILAN 1 point45 00012 00077 37522 50062 380
2 000221 255
CapitalRésultatEmpruntFournisseurs d’immoFournisseurs B & S
TOTAL PASSIF
PASSIF120 000
3 75539 00022 50036 000
221 255
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
3 sur 6
Dossier n°2 : 5 points (1/2 point par opération)
644
44
2454
4574
574
644
165
6
1/05
Achats de marchandisesTVA déductible/ABS
2/05Fournisseurs B & S
3/05Matériel & outillageTVA déductible/immo
10/05
ClientsBanque
12/05Banque
13/05
Achts fourn non stockéesTVA déductible/ABS
15/05EmpruntIntérêts
26/05
Salaires
Fournisseurs B&S
Fournisseurs B & S - EAP
BanqueFournisseurs d’immo
Ventes de marchandisesTVA collectée/ventes
Prestations de serviceTVA collectée/ventes
Banque
Banque
900180
1 080
3 000600
1 2001 200
180
800160
2 200300
2 730
1 080
1 080
1 2002 400
2 000400
15030
960
2 500
CHARGESAchats de marchandisesVariation stocksCharges de gestion couranteCharges financièresBénéficeTOTAL CHARGES
Compte de résultat 1 point36 000-8 3751 000
1203 755
32 500
Ventes de marchandises
TOTAL PRODUITS
PRODUITS32 500
32 500
3DJH���
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
4 sur 6
Dossier n°3 : 4,5 points
a. Enregistrer l’acquisition du matériel (0,5 point)
b. Présenter le tableau d'amortissement de la machine. (2 points: 0,5 pour le prorata année 1, 0,5 pour le passage au linéaire, 1 pour le mode de calcul correct sur une base décroissante)
Taux dégressif : 1/6 x 2 = 1/3Dotation 2013 : 9 000 x 1/3 x 9/12 = 2 250Dotation 2014 : 6 750 x 1/3 = 2 250
c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/2013.
21544562
404512
Matériel industrielEtat, TVA déductible/immo
15/04/13
Fournisseurs d'immoBanque
9 0001 800
5 4005 400
42434343
6434343
424343435
26/05
Cotisations sociales
30/12Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
URSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
Banque
945
2 1001 130
265180
2 100430120
80
700145
80
3 675
Tx linéaire
1/61/5=20%1/4=25%
1/3=33,33%1/2=50%
Année
201320142015201620172018
Base d’amortissement
9 0006 7504 5003 0002 0001 000
Dotation
2 2502 2501 5001 0001 0001 000
Amortissement cumulé2 2504 5006 0007 0008 0009 000
VCFE
6 7504 5003 0002 0001 000
0
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
5 sur 6
d. Extrait du bilan au 31/12/2014 1,5 point dont 1 point sur 2014, 0,5 point sur 2013
Extrait du bilan au 31 décembre 2013
Dossier n°4 3,5 points (0,5 par écriture + 0,5 par justification)
* 15 000 x 0,8
HOMME MODERNE
Actif
Immobilisations corporelles:Installations techniques, matériel et outillage industriels
Total immobilisations
Exercice 2014
Brut
9 000
X
Amortissements et
provisions
4 500
X
Net
4 500
X
Exercice 2013Net
6 750
X
0,5 points/clientNominalRèglement en 2012Net TTCHTProvision nécessaireProvision existanteDotation ou reprise
HOMME MODERNE
18 000
18 00015 000
12 000*7 500
+4 500
ACTIMOD
16 8007 2009 6008 000
/4 000
-4 000
BEL HOMME
7 2001 2006 0005 0001 5002 000-500
681
491
0,5 pointDADP – Charges d'exploitation
31/12/12 Dépréciation des créances clients
4 500
4 500
681
2815
0,5 pointDADP – Charges d'exploitation
31/12/13 Amortissement du matériel
2 250
2 250
3DJH���
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
6 sur 6
ACTIMOD
BEL HOMME
491
781
0,5 pointDépréciation des créances clients
31/12/12 RADP - Produits d’exploitation
500
500
6544457
416
0,5 pointPertes/créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes
31/12/12
Clients douteux
8 0001 600
9 600
491
781
0,5 pointDépréciation des créances clients
31/12/12 RADP - Produits d’exploitation
4 000
4 000
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
SESSION 2 - 18 JUIN 2013
2 sur 3
e) Vente de 10 armoires de la gamme « Ministre » à l’entreprise AYRAULT pour un total de 10 000 euros. La facture est payée par carte bancaire.
Q2 : Enregistrer les opérations précédentes au journal en pratiquant la méthode de l’inventaire intermittent.Q3 : Évaluer les stocks d’armoires selon la méthode FIFO et passer les écritures de régularisation nécessaires concernant ces stocks du fait de la pratique de l’inventaire intermittent.Q4 : Établir le bilan et le compte de résultat (modèle PCG) de l’entreprise MOBISHOP à la fin du mois de décembre.
Dossier no 2 (30 minutes)
Au mois de mai 2013, l’entreprise DUBOS spécialisée dans la commercialisation d’articles de pêche réalise les opérations suivantes :01/05/2013 : Achat de moulinets au fournisseur HARDY pour 1 000 euros HT. L’achat est réglé à 90 jours. L’entreprise obtient un rabais de 10 %. La facture est accompagnée d’une lettre de change envoyée par le fournisseur pour acceptation.02/05/2013 : Retour à HARDY de la lettre de change acceptée.03/05/2013 : Achat d’un tour à vernir les cannes pour ses ateliers au prix de 3 000 euros HT. Cet achat est réglé pour 1/3 au comptant par chèque, 2/3 à crédit.10/05/2013 : Vente de cannes à mouche pour 2 000 euros HT. La moitié est réglée au comptant par chèque, la moitié à 30 jours fin de mois. 12/05/2013 : Revernissage d’une canne pour un client à l’aide du tour nouvellement acquis. La prestation facturée 150 euros HT est réglée comptant par chèque par le client13/05/2013 : Paiement d’une facture d’électricité par chèque pour 800 euros HT.15/05/2013 : Avis de prélèvement de la banque relatif au paiement d’une annuité d’emprunt de 2 500 euros (capital remboursé : 2 200 euros, intérêts : 300 euros).26/05/2013 : Comptabilisation de la paie du mois de mai du vendeur employé en magasin. Le salaire net à verser s’élève à 2 100 euros et les cotisations sociales salariales sont d’un montant global de 630 euros dont 430 pour les cotisations de la Sécurité Sociale, 120 pour l’assurance chômage et 80 pour les caisses de retraite complémentaire.26/05/2013 : Comptabilisation des cotisations sociales patronales d’un montant global de 945 euros dont 700 pour les cotisations de sécurité sociale, 145 pour Pôle Emploi, 100 pour les caisses de retraite complémentaire.30/05/2013 : Mise en paiement des salaires et cotisations sociales
Attention : Pour simplifier les calculs, vous prendrez un taux de TVA de 20 %.
Question : Passer les écritures comptables relatives aux opérations courantes du mois de mai au Journal de l’entreprise DUBOS.
Dossier no 3 (20 minutes)
La société REPROGRAPH est une imprimerie spécialisée dans l’édition publicitaire (fabrication de catalogues et de prospectus). L’entreprise vous demande de traiter le
3DJH���
SESSION 2 - 18 JUIN 2013
3 sur 3
dossier suivant :
Le 15 avril 2013, l’entreprise achète une nouvelle machine offset pour faire face à l’augmentation des commandes.Prix de la machine : 9 000 € HT, taux de TVA à 20 %.Conditions de paiement : la moitié comptant par chèque le solde à 60 jours fin de mois.Le matériel est amorti sur six ans en dégressif (coefficient à utiliser : 2).
Travail à faire :
Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’acquisition de ce matériel.Présenter le tableau d’amortissement de la machine.Enregistrer au journal unique de l’entreprise l’écriture d’inventaire au 31/12/2013 la concernant.Présenter l’extrait de bilan au 31/12/2014 concernant cette machine (modèle de bilan du PCG).
Dossier no 4 (25 minutes)
La société SHOPPANTA est une entreprise industrielle domiciliée à Saint-Denis. Elle a pour activité la fabrication de pantalons en toile « jean ». L’exercice comptable coïncide avec l’année civile. Les activités de l’entreprise sont soumises à la TVA au taux normal de 20 %. Le chef comptable, Monsieur LEVIS, vous confie le dossier des créances douteuses.
Tableau des créances douteuses
Travail à faire :
Enregistrer au journal de l’entreprise les écritures de régularisation nécessaires client par client en justifiant chacun des montants utilisés.
Noms
L'HOMME MODERNE
ACTIMODBEL HOMME
Créances taxes comprises au 31/12/2011
18 00016 800
7 200
Provision au 31/12/2011
7 5004000
2000
Règlement en 2012
07 200
1 200
Situation au 31/12/2012
On pense récupérer 20% de la créance restant dueCompte à solderOn pense perdre 30% de la créance restant due
3DJH���
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
1 sur 6
Concernant la notation des écritures comptables au journal, faire preuve d’indulgence lorsque l’intitulé du compte est approximatif, mais que la classe du compte est correcte.En l’absence de la classe du compte, sanctionner d’1/4 de point si l’intitulé est correct, sinon mettre zéro. Si l’absence de classe de compte est répétée sur un même compte, ne sanctionner qu’une seule fois.
Dossier n°1 : 7 pointsQuestion 1 : 1 point
Justification du montant des avoirs en banque :
Question 2 : 2,5 points ( 1/2 point par opération)
ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesBanqueCaisseTOTAL ACTIF
BILAN45 00012 00069 00054 500
2 000182 500
CapitalEmpruntFournisseurs d’immo
TOTAL PASSIF
PASSIF120 000
40 00022 500
182 500
Apport en capital (2 x 60 000)EmpruntAcquisition local (45 000/2)AgencementsStocks de marchandisesCaisseSolde
120 00040 000
-22 500-12 000-69 000
-2 00054 500
655
47
64
1665
57
1
Redevances
2Clients
3
Achats de marchandises
4EmpruntsIntérêts
5
Banque
Banque
Ventes de marchandises
Fournisseurs de B&S
Banque
Ventes de marchandises
1 000
22 500
36 000
1 000120
10 000
1 000
22 500
36 000
1 120
10 000
3DJH����
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
2 sur 6
Question 3 : 1,5 points
Armoires «Prestige» 0,25 points
Le stock final est évalué à 34 375.Armoires «Ministre» 0,75 points
Le stock final est évalué à 43 000.
Stock initial : 55 000 + 14 000 = 69 000Stock final : 34 375 + 43 000 = 77 375
Question 4 : 2 points
(*) 54 500 - 1 000 - 1 120 + 10 000)
Date Numéro de lot
Stock Initial
Sortie 1
Entréesquantité prix Montant
Sortiesquantité
15
prix
1 375
Montant
20 625
Stocksquantité
40
25
prix
1 375
1375
Montant
55 000
34 375
Date Numéro de lot
Stock Initial
Entrée
Sortie
Entréesquantité
50
prix
720
Montant
36 000
Sortiesquantité
10
prix
700
Montant
7 000
Stocksquantité
20
20
50
1050
prix
700
700
720
700720
Montant
14 000
14 000
36 000
7 00036 000
6033
37
1 0,25 pointvariation stocks
2 0,25 pointStocks marchandises
Stocks marchandises
variations de stocks
69 000
77 375
69 000
77 375
ACTIFBâtimentsAgencementsStocks marchandisesClientsBanque (*)CaisseTOTAL ACTIF
BILAN 1 point45 00012 00077 37522 50062 380
2 000221 255
CapitalRésultatEmpruntFournisseurs d’immoFournisseurs B & S
TOTAL PASSIF
PASSIF120 000
3 75539 00022 50036 000
221 255
3DJH����
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
3 sur 6
Dossier n°2 : 5 points (1/2 point par opération)
644
44
2454
4574
574
644
165
6
1/05
Achats de marchandisesTVA déductible/ABS
2/05Fournisseurs B & S
3/05Matériel & outillageTVA déductible/immo
10/05
ClientsBanque
12/05Banque
13/05
Achts fourn non stockéesTVA déductible/ABS
15/05EmpruntIntérêts
26/05
Salaires
Fournisseurs B&S
Fournisseurs B & S - EAP
BanqueFournisseurs d’immo
Ventes de marchandisesTVA collectée/ventes
Prestations de serviceTVA collectée/ventes
Banque
Banque
900180
1 080
3 000600
1 2001 200
180
800160
2 200300
2 730
1 080
1 080
1 2002 400
2 000400
15030
960
2 500
CHARGESAchats de marchandisesVariation stocksCharges de gestion couranteCharges financièresBénéficeTOTAL CHARGES
Compte de résultat 1 point36 000-8 3751 000
1203 755
32 500
Ventes de marchandises
TOTAL PRODUITS
PRODUITS32 500
32 500
3DJH����
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
4 sur 6
Dossier n°3 : 4,5 points
a. Enregistrer l’acquisition du matériel (0,5 point)
b. Présenter le tableau d'amortissement de la machine. (2 points: 0,5 pour le prorata année 1, 0,5 pour le passage au linéaire, 1 pour le mode de calcul correct sur une base décroissante)
Taux dégressif : 1/6 x 2 = 1/3Dotation 2013 : 9 000 x 1/3 x 9/12 = 2 250Dotation 2014 : 6 750 x 1/3 = 2 250
c. Passer les écritures d'inventaire le 31/12/2013.
21544562
404512
Matériel industrielEtat, TVA déductible/immo
15/04/13
Fournisseurs d'immoBanque
9 0001 800
5 4005 400
42434343
6434343
424343435
26/05
Cotisations sociales
30/12Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
Pers., rémunérations duesURSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
URSSAFPôle emploiCaisse retraite compltaire
Banque
945
2 1001 130
265180
2 100430120
80
700145
80
3 675
Tx linéaire
1/61/5=20%1/4=25%
1/3=33,33%1/2=50%
Année
201320142015201620172018
Base d’amortissement
9 0006 7504 5003 0002 0001 000
Dotation
2 2502 2501 5001 0001 0001 000
Amortissement cumulé2 2504 5006 0007 0008 0009 000
VCFE
6 7504 5003 0002 0001 000
0
3DJH����
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
5 sur 6
d. Extrait du bilan au 31/12/2014 1,5 point dont 1 point sur 2014, 0,5 point sur 2013
Extrait du bilan au 31 décembre 2013
Dossier n°4 3,5 points (0,5 par écriture + 0,5 par justification)
* 15 000 x 0,8
HOMME MODERNE
Actif
Immobilisations corporelles:Installations techniques, matériel et outillage industriels
Total immobilisations
Exercice 2014
Brut
9 000
X
Amortissements et
provisions
4 500
X
Net
4 500
X
Exercice 2013Net
6 750
X
0,5 points/clientNominalRèglement en 2012Net TTCHTProvision nécessaireProvision existanteDotation ou reprise
HOMME MODERNE
18 000
18 00015 000
12 000*7 500
+4 500
ACTIMOD
16 8007 2009 6008 000
/4 000
-4 000
BEL HOMME
7 2001 2006 0005 0001 5002 000-500
681
491
0,5 pointDADP – Charges d'exploitation
31/12/12 Dépréciation des créances clients
4 500
4 500
681
2815
0,5 pointDADP – Charges d'exploitation
31/12/13 Amortissement du matériel
2 250
2 250
3DJH����
Corrigé partiel comptabilité L1 - session 2
6 sur 6
ACTIMOD
BEL HOMME
491
781
0,5 pointDépréciation des créances clients
31/12/12 RADP - Produits d’exploitation
500
500
6544457
416
0,5 pointPertes/créances irrécouvrablesTVA collectée/ventes
31/12/12
Clients douteux
8 0001 600
9 600
491
781
0,5 pointDépréciation des créances clients
31/12/12 RADP - Produits d’exploitation
4 000
4 000
3DJH����
&RPSWDELOLWp�G(QWUHSULVH
Université Paris 1-UFR d’économie
L1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015
Cours de Jean-François Caulier et François Gardes
Partiel - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 8 janvier 2015
Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.
Question I (4 points)
Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :
a) (1 point) Énoncer, illustrer graphiquement et expliquer sans le démontrer le théorème des va-leurs intermédiaires.
b) (1 point) Énoncer et démontrer le théorème des suites adjacentes.
c) (1 point) Compléter la définition suivante, avec (un
)n
une suite numérique et ` 2 R :
limn!+•
u
n
= `,8e > 0, . . .
d) (1 point) Choisir une, et seulement une des deux propositions suivantes et la démontrer :(a)
p2 /2Q.
(b) Ân
k=0�
n
k
�= 2n.
e) (1 point) Calculer la limite dex
3 �8x
3 �4x
lorsque x ! 2.
f) (1 point) Calculer la limite dee
2x �1ln(5x+2)
lorsque x !+•.
Question II (5 points)
Soit la suite (un
)n
définie par u
n+1 =u
n
3+1 et u0 = 0.
1) (1 point) Montrer par récurrence que la suite (un
)n
est toujours positive (8n : u
n
� 0).2) (1 point) Cette suite est-elle majorée ? Minorée ? Monotone (préciser alors le sens) ?3) (1 point) Pourquoi peut-on affirmer que cette suite est convergente ? Quelle est sa limite ?4) (1 point) On construit une nouvelle suite (w
n
)n
définie par w
n
= u
n
� u
n�1 pour tout n � 1.Exprimer w
n
en fonction de w
n�1. À quelle famille de suites appartient (wn
)n
?5) (1 point) En remarquant que u
n
�u0 = Ân
k=1 w
k
, donner la formule qui permet de calculer u
n
enfonction de w1.
Question III (6 points)
Soit f la fonction d’une variable définie par f (x) =3+2x
2
x
.
1) (1 point) Quel est son domaine de définition ? Est-elle éventuellement paire ou impaire ?2) (1,5 points) Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction et donner leur équation.
3DJH����
3) (1 point) Quels sont les points candidats à un extremum ?4) (1 point) Quels sont les intervalles de concavité/convexité de f ? Déterminer la nature des points
candidats.5) (1,5 points) Construire le tableau de variation et esquissez la représentation graphique de f (x).
Question IV (5 points)
Répondez uniquement à la question A ou bien à la question B, au choix :
Question A
Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = 25x� x
2 � xy�2y
2 +30y�28.1) (1 point) Déterminer le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).3) (2 points) Optimiser la fonction f (x,y) sous la contrainte 2x+ 2y = 6 par la méthode du La-
grangien (uniquement les conditions du premier ordre).
Question B
On considère une fonction de production dépendant de la quantité de capital K et de la quantitéde travail L (avec K et L les facteurs de production) utilisées pour produire des bicyclettes enquantité Q :
Q(K,L) = K
0,3L
0,5.
1) (1 point) Déterminer si cette fonction est homogène et le cas échéant, déterminer son degréd’homogénéité.
2) (2 points) Calculer les dérivées partielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport à K etdérivée partielle par rapport à L). Interpréter économiquement ces dérivées partielles du pre-mier ordre. Calculer ensuite les dérivées partielles croisées du second ordre
⇣∂ 2
Q
∂K∂L
= Q
00KL
et∂ 2
Q
∂L∂K
= Q
00LK
⌘. Que peut-on observer ? Est-ce un résultat général ?
3) (2 points) Si le prix du facteur K est de 6, le prix du facteur L est de 2 et le budget est de384, maximiser la fonction de production Q(K,L) sous la contrainte de budget (qui s’écrit6K +2L = 384) par la méthode du Lagrangien (uniquement les conditions du premier ordre).
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
Université Paris 1-UFR d’économieL1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015Cours de Jean-François Caulier et François Gardes
Partiel - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 8 janvier 2015Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.
Corrigé
Question I (4 points)Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :
a) (1 point) Énoncer, illustrer graphiquement et expliquer sans le démontrer le théorème desvaleurs intermédiaires.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé) TVI : Si f une fonction continue sur un intervalle[a,b], alors pour tout d 2 [ f (a), f (b)], il existe un c 2 [a,b] tel que f (c) = d.(0,25pt pour au moins une explication correcte) Le théorème annonce que l’image d’un segment[a,b] par une fonction continue sur l’intervalle fermé [a,b], f ([a,b]), est un segment (intervallefermé) [ f (a), f (b)]. Ainsi, tout point d de l’ensemble image [(a), f (b)] dispose d’un antécédentc 2 [a,b] par f . + Graphique (0,25pt).
b) (1 point) Énoncer et démontrer le théorème des suites adjacentes.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé) THM suites adjacentes : Soit (un) et (vn) deuxsuites telles que :
(a) la suite (un) est croissante ;(b) la suite (vn) est décroissante ;(c) la suite (vn �un)n converge vers 0,
alors (un) et (vn) sont adjacentes et convergent vers la même limite.(0,5pt si la démonstration est complète, 0,25 si incomplète mais que l’idée de majorer et mi-norer les suites est présente) Démonstration : Soit (un) une suite croissante et (vn) une suitedécroissante telles que limn!+•(vn �un) = 0. Dans ces conditions, la suite (�un) est décrois-sante et la suite (vn �un)n, somme de deux suites décroissantes, est décroissante. Puisque cettesuite converge vers 0, pour tout n, on a : vn �un � 0 , vn � un.Or, u0 un et vn v0, c’est-à-dire : u0 un vn v0. Ceci signifie que la suite (vn) estdécroissante et minorée par u0, donc convergente. Soit `v sa limite. La suite (un) est croissanteet majorée par v0, donc convergente. Soit `u sa limite.Finalement,
limn!+•
(vn �un) = 0 = `v � `u,
donc `v = `u, les deux suites admettent la même limite.c) (1 point) Compléter la définition suivante, avec (un)n une suite numérique et ` 2 R :
limn!+•
un = `,8e > 0, . . .
3DJH����
(0,5pt si seule la distance en terme de valeur absolue est correctement spécifiée)
limn!+•
un = `,8e > 0,9h 2 N : 8n 2 N,n � h ) |un � `|< e.
d) (1 point) Choisir une, et seulement une des deux propositions suivantes et la démontrer :(a)
p2 /2Q.
(0,5pt pour l’idée de le prouver par l’absurde et un début de raisonnement) Soit la pro-position P : "
p2 n’est pas un nombre rationnel". Supposons au contraire que
p2 est un
nombre rationnel. Doncp
2 =pq
avec p et q deux entiers et q 6= 0. Choisissons p et q pre-
miers entre eux, c’est-à-dire qu’on ne peut plus simplifier la fraction. Dans ce cas, p et qne peuvent être tous deux pairs, sans quoi on pourrait simplifier par 2 la fraction. On peutdonc réécrire la proposition P comme "
p2 =
pq
, avec au moins un des deux entiers p ou q
non pair". Dès lorsp
2 =pq,
⇣p2⌘2
=p2
q2 , 2 =p2
q2 , 2 ·q2 = p2 ce qui signifie que
p2 est pair. Or nous savons que si p2 est pair, alors p est pair et peut s’exprimer commep = 2 · k, avec k un entier. Ceci implique p2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2(2 · k2). Comme on a2 ·q2 = p2, en remplaçant, on obtient 2 ·q2 = 2(2 · k2). En simplifiant à gauche comme àdroite par 2, on a q2 = 2 ·k2, donc q2 est pair, qui implique q pair également. Ceci contreditl’hypothèse selon laquelle p et q ne peuvent tous les deux être pairs. Une contradiction.Donc
p2 ne peut pas être rationnel.
(b) Ânk=0
�nk
�= 2n.
Puisque 2= 1+1, on a 2n =(1+1)n. L’expansion binomiale de (1+1)n s’écrit Ânk=0
�nk
�1k1n�k =
Ânk=0
�nk
�.
Autre façon : puisque�n
k
�représente l’ensemble des sous-ensembles de k éléments qu’il
est possible de construire à partir d’un ensemble de cardinalité n, alors la somme des�nk
�représente tous les sous-ensembles que l’on peut construire à partir d’un ensemble de
cardinalité n. Or on peut construire 2n sous-ensembles.
e) (1 point) Calculer la limite dex3 �8x3 �4x
lorsque x ! 2.
On a limx!2
x3 �8x3 �4x
= limx!2
(x�2)(x2 +2x+4)x(x�2)(x+2)
= limx!2
x2 +2x+4x(x+2)
=128
=32
.
Ou bien par l’Hôpital : limx!2
x3 �8x3 �4x
= limx!2
3x2
3x2 �4=
128
=32
.
f) (1 point) Calculer la limite dee2x �1
ln(5x+2)lorsque x !+•.
Pat le théorème des croissances comparées, à l’infini, l’exponentielle l’emporte que le loga-rithme, donc la limite est +•.
Question II (5 points)
Soit la suite (un)n définie par un+1 =un
3+1 et u0 = 0.
1) (1 point) Montrer par récurrence que la suite (un)n est toujours positive (8n : un � 0).(0,5pt si la conclusion n’est pas écrite ! Il y a 3 étapes, initialisation, hérédité et conclusion.)
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
Initialisation : u0 � 0, u1 = 1 � 0. Hérédité : si un � 0, alorsun
3� 0 et
un
3+1 � 0 c’est-à-dire
un+1 � 0. Conclusion : un � 0 pour tout n 2 N.2) (1 point) Cette suite est-elle majorée ? Minorée ? Monotone (préciser alors le sens) ?
(0,25pt) Par le point précédent, la suite est minorée par 0.(0,25pt) Ensuite, elle est majorée par 2 par exemple. En effet, (initialisation) u0 et u1 sont < 2.
(Hérédité) Si un < 2, alorsun
3+1 <
23+1 =
53< 2. Conclusion, un < 2 pour tout n 2 N.
(0,5pt) Monotonie : un+1 � un =un
3+ 1� un�1
3� 1 =
un �un�1
3. Donc un+1 � un a le même
signe que un �un�1. La suite est donc monotone. De plus, par récurrence, un+1 �un a le mêmesigne que u1 �u0 = 1 > 0. Donc la suite est croissante.
3) (1 point) Pourquoi peut-on affirmer que cette suite est convergente ? Quelle est sa limite ?(0,5pt) Par le théorème fondamentale sur les limites, toute suite bornée et monotone est conver-gente. Ici, la suite est croissante et majorée.(0,5pt) Sa limite ` sera le point fixe de la fonction définissant la récurrence, à savoir : ` =`
3+1 , 2
3`= 1 , `=
32
.4) (1 point) On construit une nouvelle suite (wn)n définie par wn = un �un�1 pour tout n � 1.
Exprimer wn en fonction de wn�1. À quelle famille de suites appartient (wn)n ?On a wn = un � un�1 =
un�1
3+ 1� un�2
3� 1 =
un�1 �un�2
3=
wn�1
3. Puisque chaque terme
s’obtient à partir du terme de rang précédent par la multiplication d’une constante (la raison)13
,
la suite (wn) est une suite géométrique, de raison13
(0,5pt si seule la conclusion selon laquellec’est une suite géométrique de raison 1/3 est donnée, 0 sinon).
5) (1 point) En remarquant que un �u0 = Ânk=1 wk, donner la formule qui permet de calculer
un en fonction de w1.En additionnant les égalités
u1 �u0 = w1
u2 �u1 = w2
u3 �u2 = w3...
un �un�1 = wn
on a bien un �u0 = Ânk=1 wk. Donc : un = w1 ⇥
✓1� raisonn
1� raison
◆= 1⇥
0
BB@
✓1� 1
3
◆n
1� 13
1
CCA car w1 =
u1 �u0 = 1. (0,5pt si la bonne formule est annoncée mais mal utilisée)
Question III (6 points)
Soit f la fonction d’une variable définie par f (x) =3+2x2
x.
3DJH����
1) (1 point) Quel est son domaine de définition ? Est-elle éventuellement paire ou impaire ?(0,5pt) La fonction f est définie si et seulement si son dénominateur est non-nul. Donc D f =R⇤ =]�•,0[[]0,+•[.
(0,5pt) De plus, f (�x) =3+2(�x)2
�x=�3+2x2
x=� f (x). La fonction f est impaire et admet
l’origine (0,0) comme centre de symétrie. On peut alors restreindre son étude sur R+ et obtenirl’étude sur R� par symétrie. Je développe néanmoins tous les résultats pour des facilités decorrection.
2) (1,5 points) Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction et donner leur équation.(0,5pt par asymptote, à savoir, il faut spécifier également l’absence d’asymptote horizontale,qui est la raison pour laquelle on recherche la présence d’asymptote oblique.)
(a) Asymptote verticale : limx!0+
f (x) =+• et limx!0�
f (x) =�•. La présence d’une seule de ces
conditions suffit à caractériser la présence d’une asymptote verticale A.V.⌘ x = 0.(b) Asymptote horizontale : lim
x!+•f (x) = +• et lim
x!�•f (x) =�•. Il n’y a donc pas d’asymp-
tote horizontale. On recherche alors la présence d’asymptote oblique :
(c) Asymptote oblique : limx!+•
f (x)x
= 2. Ensuite : limx!+•
f (x)� 2x = 0. En +•, présenced’une asymptote oblique A.O. ⌘ y = 2x. On peut répéter les mêmes opérations vers �•et on trouve le même résultat. Donc présence d’une asymptote oblique en �• d’équationA.O.⌘ y = 2x.
3) (1 point) Quels sont les points candidats à un extremum ?(0,5pt si le calcul de la dérivée première est correct mais erreur de calcul pour les candidats)
f (x) =3x+
2x2
xf 0(x) =� 3
x2 +2 f 00(x) =6x3 .
Conditions nécessaires à un extremum :
f 0(x) = 0 ,� 3x2 +2 = 0 , 2 =
3x2 , x =
r32
ou �r
32
on trouve donc deux candidats à un extremum.4) (1 point) Quels sont les intervalles de concavité/convexité de f ? Déterminer la nature des
points candidats.(0,5pt si le calcul de la dérivée seconde est correct, mais pas les intervalles. De même, onn’accordera que 0,5pt si les conclusions concernant minimum local ou maximum local sonterronées, ou que l’étudiant n’a pas spécifié local)Pour connaître les intervalles de concavité et convexité, on regarde le signe de la dérivée se-
conde. Puisque f 00(x) =6x3 , f 00(x)> 0 pour x > 0 et f 00(x)< 0 pour x < 0. La fonction f (x) est
concave sur ]�•,0[ et convexe sur ]0,+•[.
Dans ces conditions, en x = �r
32
, la fonction est concave et ce candidat : x = �r
32
est un
maximum local. En x =
r32
, la fonction est convexe et ce candidat est un minimum local.
5) (1,5 points) Construire le tableau de variation et esquissez la représentation graphique def (x). (0,5pt pour le tableau de variation, 1 pt pour le graphique dessiné approximativement.)
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
x �• �q
32 0
q32 +•
f 0(x) + � � +
f (x)�•
max local
�•
+•
min local
+•
�5.0 5.0
�10.0
�5.0
5.0
0
fgQuestion IV (5 points)Répondez uniquement à la question A ou bien à la question B, au choix :
Question A
Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = 25x� x2 � xy�2y2 +30y�28.1) (1 point) Déterminer le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).
(0,5pt pour les dérivées correctement calculées, 0,5pt pour le candidat) Conditions nécessaires :⇢
f 01(x,y) = 25�2x� y = 0f 02(x,y) =�x�4y+30 = 0 ,
⇢25�2x = y
�x�4(25�2x)+30 = 0 ,⇢
25�2x = y7x = 70
le seul candidat à un extremum est le point (x,y) = (10,5).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).
(1pt pour les 3 ou 4 dérivées secondes, on sanctionne -0,25pt par dérivée mal calculée, on met
3DJH����
0 si elles sont toutes fausses.)
f 0011(x,y) =�2f 0022(x,y) =�4f 0012(x,y) =�1.
(1pt pour la condition suivante, on sanctionne -0,5pt si mal calculée) Donc f 0011(x,y) · f 0022(x,y) =8 > 1 = (�1)2 = ( f 0012(x,y))
2. Les conditions du second ordre indiquent la présence d’un extre-mum. Puisque f 0011(x,y)< 0, le point (10,5) est un maximum local.
3) (2 points) Optimiser la fonction f (x,y) sous la contrainte 2x+ 2y = 6 par la méthode duLagrangien (uniquement les conditions du premier ordre).On construit la fonction lagrangien (1pt pour cette fonction) :
L (x,y,l ) = 25x� x2 � xy�2y2 +30y�28�l (6�2x�2y).
Les conditions du premier ordre sont (0,5pt pour ces conditions) :8<
:
L 01(x,y,l ) = 25�2x� y+2l = 0
L 02(x,y,l ) =�x�4y+30+2l = 0
L 03(x,y,l ) = 6�2x�2y = 0
,⇢
�5� x+3y = 06�2x�2y = 0
en retranchant la seconde équation de la première. On obtient alors x = 3y�5 par la première
équation, insérée dans la seconde : 6�2(3y�5)�2y= 0, y= 2, donc x= 1 et l =�212
.(0,5ptsi les valeurs de x et y sont correctement calculées, ne pas compter le lambda.)
Question B
On considère une fonction de production dépendant de la quantité de capital K et dela quantité de travail L (avec K et L les facteurs de production) utilisées pour produire desbicyclettes en quantité Q :
Q(K,L) = K0,3L0,5.
1) (1 point) Déterminer si cette fonction est homogène et le cas échéant, déterminer son degréd’homogénéité.(0,5pt si le mode de calcul est donné mais mal utilisé)
Q(lK,lL) = (lK)0,3(lL)0,5 = l 0,3K0,3l 0,5L0,5 = l 0,3+0,5K0,3L0,5 = l 0,8Q(K,L).
La fonction de production est homogène de degré 0,8.2) (2 points) Calculer les dérivées partielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport
à K et dérivée partielle par rapport à L). Interpréter économiquement ces dérivées par-tielles du premier ordre. Calculer ensuite les dérivées partielles croisées du second ordre✓
∂ 2Q∂K∂L
= Q00KL et
∂ 2Q∂L∂K
= Q00LK
◆. Que peut-on observer ? Est-ce un résultat général ?
(0,5pt, on sanctionne -0,25pt par dérivée mal calculée)Dérivées partielles du premier ordre :
Q01(K,L) = 0,3K�0,7L0,5
Q02(K,L) = 0,5K0,3L�0,5
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(0,5pt pour l’interprétation, même si elles ne sont juste que nommées et non expliquées)il s’agit respectivement des productivités marginales du facteur capital et du facteur travail.L’augmentation d’une unité (ou infinitésimale) de ces facteurs accroît le niveau de productionde ces productivités marginales.(0,5pt)Dérivées partielles croisées du second ordre :
Q012(K,L) = (0,3)(0,5)K�0,7L�0,5 = 0,15K�0,7L�0,5
Q021(K,L) = (0,5)(0,3)K�0,7L�0,5 = 0,15K�0,7L�0,5
(0,5pt, ne pas sanctionner si le nom de Schwarz n’est pas nommé)Ces deux dérivées partielles du second ordre croisées ont la même valeur. Selon le théorème deSchwarz, c’est toujours le cas si les dérivées partielles du second ordre sont continues.
3) (2 points) Si le prix du facteur K est de 6, le prix du facteur L est de 2 et le budget est de384, maximiser la fonction de production Q(K,L) sous la contrainte de budget (qui s’écrit6K + 2L = 384) par la méthode du Lagrangien (uniquement les conditions du premierordre).(1pt pour le lagrangien et les conditions du premier ordre)
L (K,L,l ) = K0,3L0,5 +l (384�6K �2L)
Conditions du premier ordre :
L 01(K,L,l ) = 0,3K�0,7L0,5 �6l = 0
L 02(K,L,l ) = 0,5K0,3L�0,5 �2l = 0
L 03(K,L,l ) = 384�6K �2L = 0
(1pt, uniquement 0,5pt si la méthode de résolution du système est cohérente mais abouti à unefaute de calcul) En divisant la première équation par la seconde, on obtient
0,3K�0,7L0,5
0,5K0,3L�0,5 =6l2l
, 0,6K�1L = 3 , LK
=3
0,6, L = 5K.
Par la dernière équation (de la contrainte), on obtient 384�6K �2(5K) = 0. La solution de cesystème est l’unique candidat à un extremum sous contrainte : K = 24 et L = 120.
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Université Paris 1-UFR d’économie
L1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015
Cours de Jean-François Caulier et François Gardes
Partiel de rattrapage - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 18 juin 2015
Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.
Question I (6 points)
Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :
a) (1,5 points) Énoncez, illustrez graphiquement et expliquez sans le démontrer le théorème desaccroissements finis.
b) (1,5 points) Énoncez et démontrez la proposition sur l’étude de la monotonie d’une suite selonla valeur de u
n+1u
n
pour une suite (un
) positive.
c) (1,5 points) Pour une fonction numérique d’une seule variable, donnez la définition de convexitéde cette fonction.
d) (1,5 points) Démontrez par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout n 2 N⇤ :
P(n) :n�1
Âk=0
2k = 2n �1.
e) (1,5 points) Calculez la limite dex
3 �27x
2 + x�12lorsque x ! 3.
f) (1,5 points) Donnez la définition de l’élasticité d’une fonction f (x) par rapport à x. Calculezl’élasticité de f (x) = x
2 pour x = 3.
Question II (6 points)
Soit la suite (un
) définie par u
n+1 =2u
n
+4u
n
+5et u0 = 2.
1) (1 point) Montrez par récurrence que cette suite est positive : 8n 2 N,un
� 0.2) (1 point) Montrez que cette suite est monotone. Est-elle croissante ou décroissante ?3) (1 point) Cette suite est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?4) (1 point) Supposons maintenant que u0 =
12 . En quoi votre réponse au point 1) est-elle modifiée ?
5) (1 point) Montrez que pour l’une ou l’autre valeur de u0, la suite (un
) est majorée par 50(raisonnement par récurrence).
6) (1 point) Si u0 =12 , la suite (u
n
) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
Question III (3 points)
Soit f (x) une fonction réelle dont la dérivée première est f
0(x) = (x�2)(x+5)2.
1) (0,5 point) Quels sont les points candidats à l’extremum ?
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0DWKpPDWLTXHV
2) (1,5 points) Construisez le tableau de variations de f (x). En déduire la nature des points candi-dats.
3) (1 point) Calculez f
00(x). En utilisant cette dérivée seconde, retrouvez la caractérisation despoints candidats effectuée en 2).
Question IV (5 points)
Répondez uniquement à une seule des deux questions A ou B, au choix :
Question A
Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = x
2 + y
2 � xy.1) (1 point) Déterminez le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).3) (2 points) Optimisez la fonction f (x,y) sous la contrainte y� 3x = 14 par la méthode du La-
grangien (uniquement les conditions du premier ordre).
Question B
On considère une fonction d’utilité directe dépendant des quantités x1 de bien 1 et x2 de bien 2 :
U(x1,x2) = 50 x
a1 x
b2
avec a > 0 et b > 0 deux réels.1) (1 point) Donnez la condition sur a et b pour que U(x1,x2) soit homogène de degré 1.2) (1 point) On considère désormais le cas où a = 0,3 et b = 0,6. Calculez les dérivées par-
tielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport à x1 et dérivée partielle par rapport à x2).Interprétez économiquement ces dérivées partielles du premier ordre.
3) (2 points) Soit p1 et p2 les prix des biens 1 et 2 respectivement, tels que p1 = 10 et p2 = 2. Lacontrainte budgétaire pour un budget de 1000 s’écrit 10x1 +2x2 = 1000. Ecrivez le Lagrangienet déduisez-en les conditions nécessaires du premier ordre d’optimisation d’utilité (avec a =0,3 et b = 0,6) sous la contrainte budgétaire.
4) (1 point) Trouvez les optima de consommation x
⇤1 et x
⇤2.
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Université Paris 1-UFR d’économieL1S1, Mathématiques 1. Année universitaire 2014-2015Cours de Jean-François Caulier et François Gardes
Partiel de rattrapage - Divisions 1, 2 et 3 Durée : 2 heures 18 juin 2015Les raisonnements doivent être explicités, rédigés. Calculatrices interdites.
Corrigé
Question I (6 points)Répondez à 4, et 4 seulement, des 6 questions a), b), c), d), e) ou f) suivantes :
a) (1,5 points) Énoncez, illustrez graphiquement et expliquez sans le démontrer le théorèmedes accroissements finis.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé) TAF : Soit a et b deux réels tels que a < b. Si f
une fonction continue sur un intervalle [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe un c 2]a,b[ telque f
0(c) = f (b)� f (a)b�a
.(0,5pt pour une explication correcte) La théorème prédit, sous les conditions énoncées pour lafonction f , qu’il existe un point c dans l’intervalle ouvert ]a,b[ où la tangente au graphe de f ala même pente que la sécante joignant les points (a, f (a)) et (b, f (b)). + Graphique (0,5pt).
b) (1,5 points) Énoncez et démontrez la proposition sur l’étude de la monotonie d’une suiteselon la valeur de u
n+1u
n
pour une suite (un
) positive.(0,5pt pour le théorème correctement énoncé. On acceptera également la variante selon laquellela suite est monotone à partir d’un certain rang p 2 N). Soit (u
n
) une suite positive : 8n 2 N :u
n
� 0. Alors :(a) si 8n 2 N, on a u
n+1u
n
� 1, la suite (un
) est croissante ;
(b) si 8n 2 N, on a 0 u
n+1u
n
1, la suite (un
) est décroissante.(1pt si la démonstration est complète, 0,5 si incomplète.)Démonstration : Soit (u
n
) une suite positive telle que(a) pour tout n 2 N on observe u
n+1u
n
� 1 , u
n+1 �u
n
� 0 et la suite est donc croissante.
(b) pour tout n 2N on observe 0 u
n+1u
n
1 , u
n+1�u
n
0 et la suite est donc décroissante.c) (1,5 points) Pour une fonction numérique d’une seule variable, donnez la définition de
convexité de cette fonction.Soit f une fonction définie sur un ouvert W ✓ R et deux points a et b de W tels que a < b. Lafonction f est dite convexe sur [a,b] si pour tout x1 et x2 de [a,b] :
f (ax1 +(1�a)x2) a f (x1)+(1�a) f (x2)
avec a 2]0,1[ ou de manière équivalente
f
✓x1 + x2
2
◆ f (x1)+ f (x2)
2.
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0DWKpPDWLTXHV
d) (1,5 points) Démontrez par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout n 2 N :
P(n) :n�1
Âk=0
2k = 2n �1.
Démonstration :
(0,5pt par étape, la démonstration requérant trois étapes.)(a) (Initialisation) On vérifie la proposition P(n) pour un rang faible, par exemple pour n = 1 :
1�1=0
Âk=0
2k = 20 = 1 ?= 21 �1 = 1
et la proposition est initialisée.(b) (Hérédité). On pose l’hypothèse de récurrence suivante : supposons que la proposition soit
vraie jusqu’au rang K 2 N avec K > 1 :
P(K) :K�1
Âk=0
2k = 2K �1
est vraie. On vérifie que cette propriété est héréditaire, à savoir si P(K) vraie impliqueP(K +1) vraie également :
P(K +1) :K+1�1
Âk=0
2k
?= 2K+1 �1
,K�1
Âk=0
2k +2K
?= 2K+1 �1
, 2K �1+2K
?= 2K+1 �1
, 2K(1+1)�1 ?= 2K+1 �1
, 2K+1 �1 = 2K+1 �1.
La proposition est donc héréditaire.(c) (Conclusion) Pour tout n 2 N : P(n) : Ân�1
k=0 2k = 2n �1.
e) (1,5 points) Calculez la limite dex
3 �27x
2 + x�12lorsque x ! 3.
On a
limx!3
x
3 �27x
2 + x�12=
00
une indétermination. Deux manières de lever l’indétermination. Puisque numérateur et déno-minateur admettent 3 comme racine, on peut les factoriser par (x�3) :
limx!3
x
3 �27x
2 + x�12= lim
x!3
(x�3)(x2 +3x+9)(x�3)(x+4)
= limx!3
x
2 +3x+9x+4
=277.
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Seconde méthode. L’indétermination correspond à l’une des deux conditions permettant l’ap-plication de la règle de l’Hospital :
limx!3
x
3 �27x
2 + x�12= lim
x!3
3x
2
2x+1=
277.
f) (1,5 points) Donnez la définition de l’élasticité d’une fonction f (x) par rapport à x. Calcu-lez l’élasticité de f (x) = x
2 pour x = 3.
(1pt pour la définition) L’élasticité e f
x
par rapport à x d’une fonction (dérivable) f se calcule pare f
x
= x
f
0(x)f (x) = x
d ln f (x)dx
= x ln0 f (x).(0,5pt pour ce résultat) Si f (x) = x
2, l’élasticité de la fonction x
2 au point x = 3 vaut
ex
2
x=3 = 32 ·332 = 2.
Il s’agit d’une fonction à élasticité constante. Quelle que soit la valeur prise par x, l’élasticitévaut toujours 2.
Question II (6 points)
Soit la suite (un
) définie par u
n+1 =2u
n
+4u
n
+5et u0 = 2.
1) (1 point) Montrez par récurrence que cette suite est positive : 8n 2 N,un
� 0.a) (Initialisation) On calcule les premiers termes de la suite : u0 = 2 � 0 ; u1 =
87 � 0 tous deux
positifs.b) (Hérédité) Supposons que u
k
� 0 pour k 2N⇤ \{1} et vérifions si cela implique u
k+1 � 0. Siu
k
� 0, alors 2u
k
� 0 et 2u
k
+4 � 4 > 0. De même u
k
+5 � 5 > 0. Donc u
k+1 =2u
k
+4u
k
+5 � 0.c) (Conclusion) La suite est donc positive : 8n 2 N,u
n
� 0.2) (1 point) Montrez que cette suite est monotone. Est-elle croissante ou décroissante ? On
étudie le signe de u
n+1 �u
n
:
u
n+1 �u
n
=(2u
n
+4)(un+1 +5)� (2u
n�1 +4)(un
+5)(u
n
+5)(un�1 +5)
.
Le dénominateur (un
+5)(un�1 +5) est un produit de facteurs positifs, la signe de l’expression
dépend donc du signe du numérateur. On développe ce dernier :
2u
n
u
n�1 +10u
n
+4u
n�1 +20� (2u
n
u
n�1 +10u
n�1 +4u
n
+20) = 6(un
�u
n�1).
Le signe de u
n+1 �u
n
est le même que celui de u
n
�u
n�1, et donc par récurrence, est le mêmeque celui de u1 � u0 =
87 � 2 < 0. La différence des termes successifs étant de signe constant,
la suite est monotone. Le signe de la différence u1�u0 permet de déterminer que cette suite estdécroissante.
3) (1 point) Cette suite est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?La suite est minorée par 0, étant toujours positive, comme montré au point 1). La suite estdécroissante, montré au point 2). Par le théorème fondamental sur les suites, on peut affirmer
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
que la suite (un
) est convergente. La suite étant définie de manière récurrente, sa limite est unpoint fixe de la fonction f (x) = 2x+4
x+5 :
x =2x+4x+5
, x
2 +5x = 2x+4
, x
2 +3x�4 = 0, (x�1)(x+4) = 0.
Cette équation dispose de deux racines réelles distinctes : x1 = 1 et x2 =�4. De ces deux pointsfixes, un seul est positif et est donc qualifié comme limite de la suite (u
n
) : limn!+•
u
n
= 1.
4) (1 point) Supposons maintenant que u0 = 12 . En quoi votre réponse au point 1) est-elle
modifiée ?Le développement du point 2) reste applicable. La suite est donc toujours monotone et le signede u
n
�u
n�1 est celui de u1 �u0 =1011 �
12 = 9
22 > 0. La suite est désormais croissante.5) (1 point) Montrez que pour l’une ou l’autre valeur de u0, la suite (u
n
) est majorée par 50(raisonnement par récurrence).a) (Initialisation) Quelle que soit l’hypothèse retenue, on a u0 < 50.b) (Hérédité) Supposons que u
k
< 50. Est-ce que cela implique u
k+1 =2u
k
+4u
k
+5 < 50 ? Pour majo-rer une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont positifs, on majore le numérateur,et on minore le dénominateur. Si u
k
< 50, alors 2u
k
+4 < 104. Puisque la suite est positive,u
k
� 0 et u
k
+5 � 5 ou encore 1u
k
+5 15 . Dès lors u
k+1 =2u
k
+4u
k
+5 1045 < 50.
c) (Conclusion) La suite est majorée par 50. Pour tout n 2 N : u
n
< 50.6) (1 point) Si u0 =
12 , la suite (u
n
) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?Avec cette condition initiale, la suite est croissante et majorée (par 50). Selon le théorèmefondamental sur les suites, elle est convergente. Sa limite est le point fixe de la même fonctionqu’au point 3), soit lim
n!+•u
n
= 1.
Question III (3 points)Soit f (x) une fonction réelle dont la dérivée première est f
0(x) = (x�2)(x+5)2.
1) (0,5 point) Quels sont les points candidats à l’extremum ?Les points candidats à l’extremum annulent la dérivée première. f
0(x) se présente sous la formed’un produit de facteurs. Pour qu’elle soit nulle, il suffit qu’un des facteurs le soit. Il y a donc 2points candidats, x =�5 et x = 2.
2) (1,5 points) Construisez le tableau de variations de f (x). En déduire la nature des pointscandidats.
x �• �5 2 +•
f
0(x) � 0 � 0 +
f (x)
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Le signe de f
0(x) dépend du signe de (x�2) étant donné que (x+5)2 est toujours positif. f
0(x)atteint un minimum relatif en x = 2. Le point x =�5 n’est pas un extremum.
3) (1 point) Calculez f
00(x). En utilisant cette dérivée seconde, retrouvez la caractérisationdes points candidats effectuée en 2).
f
00(x) = (x�2)0(x+5)2 +(x�2)⇥(x+5)2⇤0
= (x+5)2 +(x�2)2(x+5)= (x+5)[(x+5)+2x�4]= (x+5)(3x+1).
On sait que si en un point candidat la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum ; sielle est négative, il s’agit d’un maximum.
f
00(�5) = 0f
00(2) = 49 > 0.
La fonction atteint bien un minimum relatif en x = 2. Le point x = �5 est potentiellement unpoint d’inflexion.(Bonus de 0,5pt pour le développement suivant :)Pour le savoir, on peut y étudier le signe de la dérivée troisième ou établir si la dérivée secondeprésente un changement de signe en ce point. Soit e > 0 un réel "petit". Alors f (�5� e) > 0et f (�5+ e)< 0. La fonction présente un point d’inflexion à l’abscisse x =�5. Par la dérivéetroisième : f
(3)(x) = 3x+1+3(5+ x) et f
(3)(�5) = �14 6= 0. La première dérivée non nulleest d’ordre impair, ce qui confirme x =�5 comme point d’inflexion pour f .
Question IV (5 points)Répondez uniquement à une seule des deux questions A ou B, au choix :
Question A
Soit f la fonction de deux variables définie par f (x,y) = x
2 + y
2 � xy.1) (1 point) Déterminez le(s) candidat(s) à un extremum pour la fonction f (x,y).
(0,5pt pour les dérivées correctement calculées, 0,5pt pour le candidat)
Conditions nécessaires :⇢
f
01(x,y) = 2x� y = 0
f
02(x,y) = 2y� x = 0 ,
⇢2x = y
2(2x)� x = 0 ,⇢
x = 0y = 0
le seul candidat à un extremum est le point (x,y) = (0,0).2) (2 points) Grâce aux conditions du second ordre, déterminer la nature du(des) candidat(s).
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
(1pt pour les 3 ou 4 dérivées secondes, on sanctionne -0,25pt par dérivée mal calculée, 0 si ellessont toutes fausses.)
f
0011(x,y) = 2
f
0022(x,y) = 2
f
0012(x,y) =�1.
(1pt pour la condition suivante, on sanctionne -0,5pt si mal calculée) Donc f
0011(x,y) · f
0022(x,y) =
4 > 1 = (�1)2 = ( f
0012(x,y))
2. Les conditions du second ordre indiquent la présence d’un extre-mum. Puisque f
0011(x,y)> 0, le point (0,0) est un minimum local.
3) (2 points) Optimisez la fonction f (x,y) sous la contrainte y� 3x = 14 par la méthode duLagrangien (uniquement les conditions du premier ordre).On construit la fonction lagrangien (1pt pour cette fonction) :
L (x,y,l ) = x
2 + y
2 � xy+l (14� y+3x).
Les conditions du premier ordre sont (0,5pt pour ces conditions) :8<
:
L 01(x,y,l ) = 2x� y+3l = 0
L 02(x,y,l ) = 2y� x�l = 0
L 03(x,y,l ) = 14� y+3x = 0
De L 02 = 0 on obtient l = 2y� x. En substituant cette valeur de l dans L 0
1, on obtient :
2x� y+3(2y� x) = 0, 2x� y+6y�3x = 0
, x = 5y
En utilisant alors L 03 = 0 :
14� y+3(5y) = 0, 14� y+15y = 0
, 14 =�14y
, y =�1
Donc x =�5 et l = 3. (0,5pt si les valeurs de x et y sont correctement calculées, ne pas compterle lambda.)
Question B
On considère une fonction d’utilité directe dépendant des quantités x1 de bien 1 et x2 de bien 2 :
U(x1,x2) = 50 x
a1 x
b2
avec a > 0 et b > 0 deux réels.
3DJH����
1) (1 point) Donnez la condition sur a et b pour que U(x1,x2) soit homogène de degré 1.(0,5pt uniquement si la définition d’homogénéité est correctement spécifiée)Si la fonction U(x1,x2) est homogène de degré 1, on a U(lx1,lx2) = l 1
U(x1,x2) avec l > 0 :
U(lx1,lx2) = 50(lx1)a(lx2)
b = l a+b 50x
a1 x
b2 = l a+b
U(x1,x2).
La fonction d’utilité est homogène de degré 1 si et seulement si a +b = 1.2) (1 point) On considère désormais le cas où a = 0,3 et b = 0,6. Calculez les dérivées par-
tielles du premier ordre (dérivée partielle par rapport à x1 et dérivée partielle par rapportà x2). Interprétez économiquement ces dérivées partielles du premier ordre.
U
01(x1,x2) = 50 ·0,3x
�0,71 x
0,62 = 15
x
0,62
x
0,71
U
02(x1,x2) = 50 ·0,6x
0,31 x
�0,42 = 30
x
0,31
x
0,42
.
Pour i = 1,2, U
0i
(x1,x2) représente l’utilité marginale du bien i. C’est-à-dire l’accroissement del’utilité totale due à une augmentation infinitésimale de la consommation du bien i.
3) (2 points) Soit p1 et p2 les prix des biens 1 et 2 respectivement, tels que p1 = 10 et p2 =2. La contrainte budgétaire pour un budget de 1000 s’écrit 10x1 + 2x2 = 1000. Ecrivezle Lagrangien et déduisez-en les conditions nécessaires du premier ordre d’optimisationd’utilité (avec a = 0,3 et b = 0,6) sous la contrainte budgétaire.On écrit le lagrangien (1pt pour cette fonction) :
L (x1,x2,l ) = 50x
0,31 x
0,62 +l (1000�10x1 �2x2) .
Les conditions du premier ordre sont (1pt pour ces conditions) :8>>>><
>>>>:
L 01(x,y,l ) = 15
x
0,62
x
0,71
�10l = 0
L 02(x,y,l ) = 30 x
0,31
x
0,42
�2l = 0
L 03(x,y,l ) = 1000� x1 �2x2 = 0
4) (1 point) Trouvez les optima de consommation x
⇤1 et x
⇤2.
Des conditions nécessaires du point précédent, on trouve par L 02 = 0 : l = 15x
0,31
x
0,42
. Par substi-
tution dans L 01 = 0 :
15x
0,62
x
0,71
�150x
0,31
x
0,42
= 0
,15x
0,62 x
0,42 �150x
0,31 x
0,71
x
0,71 x
0,42
= 0
,15x2 �150x1 = 0,x2 = 10x1.
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
Par L 03 = 0, on trouve 1000�x2�2x2 = 0 , x2 =
10003 et donc x1 =
x210 =
1003 . La fonction d’utilité
est optimisée sous la contrainte de budget lorsque les quantités de biens 1 et 2 consommées sontx
⇤1 =
1003 et x
⇤2 =
10003 .
3DJH����
Mathematiques 1 - Universite Paris 1 2013-2014
1ere Licence UFR
´
Economie
Divisions 1 et 2 - Cours de Claude Bressand et Jean-Francois Caulier
Examen Partiel 6 janvier 2014 Duree : 2 heuresVous admettrez les resultats non demontres
Exercice 1 (5 points)
Soit la suite u
n+1 =3u
n
+42u
n
+5 avec u0 =14
1. (1 point) Montrez par recurrence que u
n
> 0.On definit la proposition P (n) suivante : P (n) : “u
n
> 0 pour tout n 2 N”.Premiere etape : verifier si P (n) est vraie pour un n faible. Par exemple, en n = 0,P (0) s’ecrit u0 > 0, ce qui est vrai puisque u0 =
14 . En n = 1, P (1) s’ecrit “u1 > 0”.
Vrai egalement, puisque u1 =3/4+41/2+5 = 19
22 > 0.
Deuxieme etape, on suppose P (n) verifiee pour un n 2 N et on regarde si celaimplique P (n + 1) verifiee egalement. On ecrit, pour n 2 N donne, est-ce queu
n
> 0 implique u
n+1 > 0 ? L’hypothese de recurrence consiste ici a poser un
> 0pour un n donne. On verifie alors l’heredite. Or si u
n
> 0, alors 3un
+ 4 > 0 dememe que 2u
n
+ 5 > 0 par addition et multiplication de valeurs toutes positives.Et donc 3u
n
+42u
n
+5 > 0 par division de valeurs positives.
Troisieme et derniere etape, on peut conclure que P (n) : “un
> 0” est vraie pourtout n 2 N.
2. (1 point) Cette suite est-elle monotone ? Pour cela, on etudie le signe de ladi↵erence u
n+1 � u
n
, la suite etant definie de maniere recurrente, on developpeles deux termes :
u
n+1 � u
n
=3u
n
+ 4
2un
+ 5� 3u
n�1 + 4
2un�1 + 5
=(3u
n
+ 4)(2un�1 + 5)� (3u
n�1 + 4)(2un
+ 5)
(2un
+ 5)(2un�1 + 5)
=6u
n
u
n�1 + 15un
+ 8un+1 + 20� 6u
n
u
n�1 � 15un�1 � 8u
n
� 20
(2un
+ 5)(2un�1 + 5)
=7(u
n
� u
n�1)
(2un
+ 5)(2un�1 + 5)
Le denominateur etant positif, la di↵erence u
n+1 � u
n
sera de meme signe queu
n
�u
n�1, qui, par recurrence, sera de meme signe que u1�u0 =1922 �
14 = 27
44 > 0.La suite est donc monotone croissante.
3. (2 points) La suite est-elle minoree? Si oui, donnez un minorant. Est-elle majoree?Si oui, donnez un majorant.
La suite etant de signe constant positive (voir question 1), elle sera minoree partout A 2 R�. Un minorant est A = 0. Etant croissante (question precedente), ellesera egalement minoree par son premier terme u0 = 1/4.
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
Est-elle majoree? Supposons que u
n
< B, B 2 R+. Est-ce que cela impliqueu
n+1 < B? On a 3un
+4 < 3B+4 puisque un
< B. On a majore le numerateur deu
n+1. Et en meme temps, 2un
+5 > 5 puisque un
> 0, on a minore le denominateurde u
n+1. Donc, par ces deux conditions, on obtient que un+1 <
3B+45 . Et 3B+4
5 < B
lorsque B > 2. En conclusion, si un
< 2, alors un+1 < 2 et donc u
n
< 2 pour toutn 2 N. 2 est un majorant de la suite.
On peut aussi montrer par la meme methode de majoration que u
n
est inferieurea un nombre quelconque su�samment grand, par exemple 100.
4. (1 point) Pourquoi cette suite admet-elle une limite ? Quelle est cette limite a?
En vertu du theoreme fondamental sur les suites, toute suite monotone borneeadmet une limite. La suite etant definie de maniere recurrente, la limite reponda la condition du point fixe : a = 3a+4
2a+5 , 2a2 + 2a � 4 = 0. Cette equation dusecond degre a deux racines : a = �2 ou a = 1. Seule la seconde possibilite estretenue etant donne que la suite est positive.
Exercice 2 (5 points)
Soit la fonction g(x) = (2�x)2
x
1. (1 point) Quel est le domaine de definition de g(x)? Quels sont les points candidatsa l’extremum ?
Domaine de definition de g(x) est R \ {0}, le denominateur ne pouvant s’annuler.Les candidats a un extremum sont les points annulant la derivee premiere de g.On a
g(x) =(2� x)2
x
=4� 4x+ x
2
x
=4
x
� 4 + x
g
0(x) =�4
x
2+ 1 =
x
2 � 4
x
2=
(x� 2)(x+ 2)
x
2
Sans passer par le developpement initial :
g
0(x) =2(2� x)(�1)x� (2� x)2
x
2=
�4x+ 2x2 � 4 + 4x� x
2
x
2=
�4
x
2+ 1
cette derivee s’annule en x = 2 ou x = �2. Les deux candidats a un extremumsont donc {�2, 2}.
2. (1 point) Quels sont les intervalles de concavite, de convexite de g(x) ? Quelle estla nature des points candidats ?
Les intervalles de concavite et de convexite de g(x) sont donnes par le signe de laderivee seconde de g :
g
00(x) = 8x�3 =8
x
3
qui est positive lorsque x > 0, alors g est convexe, et negative lorsque x < 0,et g est concave. Donc au point candidat x = �2, g est concave, il s’agit d’unmaximum local, et en x = 2, g est convexe, il s’agit d’un minimum local.
3. (1 point) Construisez le tableau de variations de g(x) et confirmez le resultat de 2)
2
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x �1 �2 0 2 +1
f
0(x) + 0 � � 0 +
f(x)�1
�8
�1
+1
0
+1
Le tableau de variations confirme un maximum local en -2 et un minimum localen 2.
4. (1 point) Etudiez les branches infinies (asymptotes) de g(x).
Le graphe de la fonction g admet deux asymptotes verticales (confondues)d’equation x = 0 puisque lim
x!0�g(x) = �1 et lim
x!0+g(x) = +1.
Il n’y a par contre pas d’asymptote horizontale puisque limx!±1
g(x) = ±1
Pour etudier la presence d’une eventuelle asymptote oblique, formons le rapportg(x)x
= 4x
2 � 4x
+ 1. On observe que les deux limites en plus et moins l’infini de
ce rapport correspondent : limx!±1
g(x)x
= 1. Le coe�cient directeur (pente) de la
direction asymptotique est donc 1. Pour trouver l’intercept de l’asymptote obliqueon etudie lim
x!±1g(x) � (1 ⇥ x) = lim
x!±14x
� 4 = �4, a la fois en plus et moins
l’infini. Il y a donc deux asymptotes obliques confondues d’equation y = x� 4.
5. (1 point) Tracez la representation graphique de g(x).
�20 �10 10 20
�20
�10
10
20
0
Exercice 3 (6 points)
Soit la fonction a 2 variables f(x, y) = xy
x
2+y
2
3
3DJH����
0DWKpPDWLTXHV
1. (0,5 point) Quel est son domaine de definition?
Le denominateur doit etre di↵erent de 0, donc x
2 + y
2 6= 0, ce qui n’arrive qu’aupoint (0, 0). Donc ici le domaine est R2 prive de (0, 0).
2. (1 point) f(x, y) est-elle homogene, et de quel degre?
Une fonction homogene de degre k verifie la relation f(�x,�y) = �
k
f(x, y) avec� > 0. Ici :
f(�x,�y) =�x�y
(�x)2 + (�y)2=
�
2xy
�
2(x2 + y
2)= �
0f(x, y)
La fonction est donc homogene de degre 0.
3. (1 point) Calculez les derivees partielles premieres par rapport a x : f 0x
(x, y) et parrapport a y :f 0
y
(x, y):
f
0x
(x, y) =y(x2 + y
2)� xy(2x)
(x2 + y
2)2=
y
(x2 + y
2)2⇥y
2 � x
2⇤
f
0y
(x, y) =x(x2 + y
2)� xy(2y)
(x2 + y
2)2=
x
(x2 + y
2)2⇥x
2 � y
2⇤
4. (1 point) Calculez xf
0x
(x, y) + yf
0y
(x, y).
xf
0x
(x, y) + yf
0y
(x, y) =xy
(x2 + y
2)2⇥y
2 � x
2⇤+
xy
(x2 + y
2)2⇥x
2 � y
2⇤
=xy
(x2 + y
2)2⇥y
2 � x
2⇤� xy
(x2 + y
2)2⇥y
2 � x
2⇤= 0
Enoncez la relation d’Euler. Une fonction homogene de degre k verifie xf
0x
(x, y) +yf
0y
(x, y) = kf(x, y)
Pourquoi pouvait-on s’attendre a la valeur de la quantite precedente?
La fonction etant homogene de degre 0, d’apres la relation d’Euler on obtientxf
0x
(x, y) + yf
0y
(x, y) = 0, ce qui est bien le resultat obtenu ci-dessus.
5. (0,5 point) Montrez que (2, 1) appartient a la courbe de niveau d’equation f(x, y) = 25 .
f(2, 1) =2⇥ 1
22 + 12=
2
5.
6. (1 point) A quelle condition la relation f(x, g(x)) = 25 definit-elle g(x) avec g(2) = 1
comme fonction implicite de x au voisinage du point (2, 1)? Cette condition est-ellesatisfaite?
D’apres le theoreme des fonctions implicites, la courbe de niveau f(x, y) = 25 definit
une fonction y = g(x) au voisinage de x = 2 si et seulement si f 0y
(2, 1) 6= 0. Or ici
f
0y
(x, y) = x
(x2+y
2)2
⇥x
2 � y
2⇤donc en (2, 1) : f 0
y
(2, 1) = 2(22+12)2
⇥22 � 12
⇤= 6
25 6= 0
4
3DJH����
7. (1 point) Calculez g
0(x) puis g
0(2). Ecrivez l’equation de la tangente a g(x) pourx = 2.
Selon le theoreme des fonctions implicites, on a
g
0(x) = �f
0x
(x, y)
f
0y
(x, y)= �
y
(x2+y
2)2
⇥y
2 � x
2⇤
x
(x2+y
2)2 [x2 � y
2]=
y
(x2+y
2)2
⇥x
2 � y
2⇤
x
(x2+y
2)2 [x2 � y
2]=
y
x
D’ou g
0(2) = 12 . L’equation de la tangente a g(x) au point (2, 1) est donc y � 1 = 1
2(x� 2).
Exercice 4 (4 points)
1. (3 points) Calculez 2 des 4 integrales suivantes : (on accordera les points si la
primitive est juste, sans tenir compte du calcul numerique)
(a)R 21
dxp4x�1
sera de formep4x� 1, si on derive
p4x� 1 on obtient 4
2p4x�1
=
2⇥ 1p4x�1
. DoncR 21
dxp4x�1
=⇥12
p4x� 1
⇤21= 1
2
�p7�
p3�.
(b)R 21 (x
2 � 3x) lnxdx, il s’agit d’un produit de fonctions, on applique doncl’integration par partie en derivant le log et en integrant le polynome :
u
0 = x
2 � 3x u =x
3
3� 3
2x
2
v = lnx v
0 =1
x
Z 2
1(x2 � 3x) lnxdx =
✓x
3
3� 3
2x
2
◆lnx
�2
1
�Z 2
1
✓x
3
3� 3
2x
2
◆1
x
=
✓x
3
3� 3
2x
2
◆lnx� x
3
9+
3
4x
2
�2
1
=
✓8
3� 6
◆ln 2� 8
9+ 3 +
1
9� 3
4
=53
36� 10
3ln 2
(c)R 10
⇣cos 3x+ x
px+ 2
x+1
⌘dx =
⇥13 sin 3x+ 2
5x5/2 + 2 ln (x+ 1)
⇤10= sin 3
3 + 25 +
2 ln 2(d)
R 30 (2x + 5)e3x�4
dx. Procedons par integration par parties en derivant lepolynome et en integrant l’exponentielle :
u
0 = e
3x�4u =
1
3e
3x�4
v = 2x+ 5 v
0 = 2
R 30 (2x+5)e3x�4
dx =⇥(2x+ 5)13e
3x�4⇤30�R 30 21
3e3x�4
dx =he
3x�4
3
�2x+ 13
3
�i30=
31e9�139e4
5
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0DWKpPDWLTXHV
2. (1 point) Enoncez et demontrez le theoreme de ROLLE
(a) (0,5 point) Enonce : Soit une fonction f(x) definie et continue sur [a, b],derivable sur ]a, b[, telle que f(a) = f(b). Alors il existe un point c appar-tenant a ]a, b[ tel que f
0(c) = 0.(b) (0,5 point) Demonstration : f(x) etant continue sur [a, b], elle y admet un
maximum M et un minimum m.Si M = m, c’est-a-dire si la fonction est constante, sa derivee est nulle partoutsur ]a, b[. La propriete est verifiee mais ce cas est peu interessant. Si M 6= m,f(x) ne peut atteindre a la fois son maximum et son minimum aux bornes del’intervalle [a, b] (puisque f(a) = f(b) et queM 6= m). Supposons par exemplequ’au moins M est atteint en un point c interieur a [a, b]. Considerons le
rapport f(x)�f(c)x�c
. Puisque M est atteint en c, f(x)� f(c) 0.
Si x < c, f(x)�f(c)x�c
� 0 . Puisque f(x) est derivable sur ]a, b[, elle l’est en
particulier en c. Donc f(x)�f(c)x�c
tend vers f 0(c) qui est donc � 0.
Si x > c, f(x)�f(c)x�c
0 . Puisque f(x) est derivable sur ]a, b[, elle l’est en
particulier en c. Donc f(x)�f(c)x�c
tend vers f 0(c) qui est 0 . f
0(c) ayant unevaleur unique selon que x tend vers c par la droite et par la gauche, il enresulte que f
0(c) est a la fois positive et negative, donc nulle.(c) Autre demonstration : utilisant le theoreme de l’existence d’extrema. Si une
fonction est continue et derivable sur un intervalle [a, b], alors elle y admet unmaximum et un minimum globaux sur cet intervalle. Soit f(x1) le minimumet f(x2) le maximum de f sur cet intervalle :
f(x1) f(x) f(x2), 8x 2 [a, b].
Si f(x1) = f(x2) alors la fonction est constante et f 0(c) = 0 pour tout c 2]a, b[.Si par contre f(x1) 6= f(x2), alors par le theoreme des extrema il existe unc 2]a, b[ tel que c = x1 et/ou c = x2 dans ]a, b[ tel que f
0(c) = 0.
6
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Année 2014-15 L1 Economie
Statistiques & Informatique Cours de François Fontaine, Jérôme Glachant et Patricia Vornetti Examen du vendredi 9 janvier 2015, 8h-10h
NB : Ne seront pris en compte que les résultats pour lesquels la démarche est explicitée, c'est-à-dire pour lesquels vous donnez la formule utilisée (ou la définition de la notion utilisée) et vous détaillez les calculs. Répondre précisément et avec soin à chacune des questions vous permet donc d'améliorer votre total de points. Les résultats seront fournis avec une décimale. Exercice 1 (8 points) Le tableau 1 propose une série de prix et de quantités pour 2 biens et 3 années. Certaines quantités sont manquantes. On dispose cependant d'informations sur leur variation. On sait ainsi que - la quantité consommée de bien A a augmenté de 20% entre l'année 1 et l'année 2 et elle a diminué de moitié entre l'année 2 et l'année 3 ; - la quantité consommée de bien B a augmenté de 10% entre l'année 1 et l'année 2 et elle a doublé entre l'année 2 et l'année 3.
1. (1,5 point) Retrouvez les quantités manquantes du tableau 1. Indiquez les formules Excel correspondantes à entrer dans les cellules C5, D5, C6 et D6.
2. (1,5 point) Calculez les indices de valeur de la consommation des ménages base 100 l'année 1. Quelle formule Excel recopiable à droite permet d'obtenir ces indices ? Détaillez votre réponse.
3. (1 point) Peut-on déduire des indices précédents l'indice de valeur de la consommation des ménages de l'année 3 base 100 l'année 2 ? Si oui, quelle propriété des indices le permet ? Si non, pourquoi ? Dans les deux cas, calculez cet indice.
4. (1 point) On constate que la valeur de la consommation a augmenté entre l'année 1 et l'année 3 alors que, sur la même période, le prix de chaque bien a diminué. Comment l'expliquer ? Comment appelle-t-on l'effet en question ?
5. (1,5 point) Donnez les deux formules de l'indice de Laspeyres des quantités de l'année 3 base 100 l'année 1. Calculez-le en appliquant la formule de votre choix. Expliquez en quoi le calcul de cet indice permet de compléter la réponse à la question précédente.
6. (1,5 point) En utilisant l’indice de Laspeyres que vous venez de calculer, proposez une décomposition de l'évolution de la consommation en valeur entre l'année 1 et l'année 3 qui distingue évolution en prix et évolution en volume. Par quoi l'évolution en prix est-elle alors mesurée ? Exprimez en pourcentage la décomposition que vous avez obtenue, c'est-à-dire par une formulation du type "l'augmentation/diminution de la consommation en valeur de X% entre 1 et 3 est le résultat d'une augmentation/diminution de Y% des prix conjuguée à une augmentation/diminution de Z% des quantités".
3DJH����
6WDWLVWLTXH�HW�,QIRUPDWLTXH
Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Examen du 9 janvier 2015
2
Exercice 2 (7 points) Le tableau 2 décrit la répartition de l’indice de masse corporelle (IMC) dans la population adulte française en 2012. Cet indice se calcule en divisant le poids (en kg) d'un individu par le carré de sa taille (en m) : IMC = Poids / Taille2
1. (1 point) A quel type de variable a-t-on affaire ? Explicitez votre réponse.
2. (1 point) Représentez l'histogramme de cette distribution. Quelle(s) caractéristique(s) de la série ce graphique permet-il de visualiser ?
3. (1 point) Comment procéderiez-vous pour calculer les fréquences cumulées sous Excel en vous servant le plus possible de la poignée de recopie ? Vous indiquerez évidemment la ou les formules Excel utilisées.
4. (2 points) Calculez la médiane (par une interpolation linéaire) et la moyenne (en utilisant le centre de chaque classe) de cette distribution en précisant l'unité dans laquelle s'exprime chacune de ces caractéristiques et en expliquant à quoi elles correspondent.
5. (2 points) Déterminez l'écart-type et le coefficient de variation en précisant l'unité dans laquelle chacun est mesuré. Sur quoi renseignent ces indicateurs ? Dans quel cas est-il préférable d'utiliser l'un plutôt que l'autre ?
Exercice 3 (5 points) Le tableau 3 décrit l'évolution trimestrielle du cours de l'action FJP sur 2013 et 2014.
1. (1 point) La variable considérée est-elle une variable de stock ou une variable de flux ? Explicitez votre réponse.
2. (1 point) Donnez la formule Excel permettant d'obtenir le taux de variation trimestriel moyen du cours de l'action FJP en 2013.
3. (1 point) On cherche maintenant à analyser les composantes de cette série chronologique. Quelles composantes distingue-t-on généralement ?
4. (1 point) Calculez la 1ère et la dernière des moyennes mobiles d'ordre 3. Que mesurent-elles ? Plus généralement, à quoi sert le calcul de moyennes mobiles ? Citez une autre méthode qui pourrait être employée.
5. (1 point) Qu'est-ce qu'une série CVS ? Détaillez votre réponse.
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Tableau1–Quantitésetprixdesbiensconsommésparlesménages Année 1 Année 2 Année 3 Prix bien A 5 6 4 Prix bien B 8 8 6 Quantité bien A 10 12 6 Quantité bien B 10 11 22 - La quantité consommée de bien A a augmenté de 20% entre l'année 1 et l'année 2 et a diminué de moitié entre l'année 2 et l'année 3 - La quantité consommée de bien B a augmenté de 10% entre l'année 1 et l'année 2 et a doublé entre l'année 2 et l'année 3 1. Calcul des valeurs manquantes (en rouge dans le tableau) et formules Excel Bien A : la quantité consommée augmente de 20% entre 1 et 2 ; elle passe donc de 10 à 1,2x10 = 12. Elle diminue ensuite de moitié l'année 3 et passe ainsi à 12/2 = 6. Bien B : la quantité consommée augmente de 10% entre 1 et 2 ; elle passe donc de 10 à 1,1x10 = 11. Elle double ensuite l'année 3 et passe ainsi à 2x11 = 22. En C5, =1,2*B5. En D5, =C5/2. En C6, =1,1*B6. En D6, =2*C6. 2. Indices de valeur base 100 l'année 1 et formule Excel IVAn/1 = 100 x valeur de la consommation en n / valeur de la consommation en 1 IVA1/1 = 100 IVA2/1 = 100 x (6x12 + 8x11)/(5x10 + 8x10) = 123,1. Idem pour IVA3/1. Année 1 Année 2 Année 3 IVA base 100 en 1 100 123,1 120,0 Formule Excel : =100*SOMMEPROD(B3:B4;B5:B6)/SOMMEPROD($B3:$B4;$B5:$B6) ou =100*(B3*B5+B4*B6)/($B3*$B5+$B4*$B6) Cette formule donne IVA1/1. Recopiée une cellule vers la droite, elle devient =100*SOMMEPROD(C3:C4;C5:C6)/SOMMEPROD($B3:$B4;$B5:$B6), ce qui donne IVA2/1. Recopiée une nouvelle fois à droite, elle donne IVA3/1. 3. Peut-on déduire IVA3/2 ? Cet indice peut se déduire des précédents en utilisant la propriété de transitivité (ou transférabilité) des indices élémentaires. I3/2xI2/1=I3/1x100 => I3/2 = 100xI3/1/I2/1 On retrouve la formule du changement de base : Im/n = 100*Im/v/In/v avec v l'ancienne base et n la nouvelle base Ici, IVA3/2 = 100x120/123,1 = 4. Augmentation de la consommation en valeur entre 1 et 3, alors que le prix de chaque bien a baissé. Explication ? De l'année 1 à l'année 3, les prix des deux biens ont baissé tout comme la quantité consommée de bien A. Mais la quantité consommée de bien B a fortement augmenté, suffisamment pour faire progresser la valeur de la consommation d'ensemble. L'effet volume l'emporte sur l'effet prix. Il y a ainsi, dans l'évolution de la consommation en valeur, la combinaison de deux effets : un effet quantité (ou effet volume) - qu'on peut isoler en raisonnant à prix donnés - et un effet prix - qu'on peut identifier en raisonnant à quantités données. Ce dernier effet correspond à un effet de structure dans la mesure où la structure des prix constitue le système de pondération utilisé pour pouvoir sommer les quantités.
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5. Laspeyres des quantités en 3 base 100 en 1 Formule 1 : L3/1(q) = 100x(pA1qA3 + pB1qB3)/(pA1qA1 + pB1qB1)
L3/1(q) = 100x(5x6 + 8x22) / (5x10 + 8x10) = 158,5 Formule 2 : L3/1(q) = CBA1x I3/1(qA) + CBB1xI3/1(qB) avec CBin : coefficient budgétaire du bien i en n
et I3/1(qi) : indice élémentaire de quantité du bien i en 3 base 100 en 1 CBA1 = part du bien A dans la dépense de consommation en 1 = 5x10/(5x10 + 8x10) CBB1 = part du bien B = 8x10/(5x10 + 8x10) I3/1(qA) = 100x6/10 I3/1(qB) = 100x22/10
CBA1 CBB1 I3/1(qA) I3/1(qB) L3/1(q) 0,385 0,615 60,0 220,0 158,5 = 0,385x60 + 0,615x220
Cet indice mesure la variation des quantités entre 1 et 3 en fixant les prix à leur niveau en 1. Il permet ainsi d'isoler l'effet des seules quantités et fournit une mesure de l'effet volume. 6. Décomposition de la variation en valeur entre 1 et 3
On sait que l'indice de valeur peut s'écrire comme le produit d'un indice de Laspeyres des quantités et d'un Paasche des prix, ou l'inverse (Laspeyres des prix et Pasche des quantités). IVA3/1 = 100x(pA3qA3 + pB3qB3)/(pA1qA1 + pB1qB1) = 100 x (pA1qA3 + pB1qB3)/(pA1qA1 + pB1qB1) x (pA3qA3 + pB3qB3)/(pA1qA3 + pB1qB3) = L3/1(q) x P3/1(p) / 100
P3/1(p) = 100x(pA3qA3 + pB3qB3)/(pA1qA3 + pB1qB3) = 100x(4x6 + 6x22) / (5x6 + 8x22) = 75,7
On a alors : 100x120 = 158,5 x 75,7
Autrement dit, l'augmentation de 20% de la consommation en valeur résulte d'une augmentation de 58,5% des quantités consommées conjuguée à une diminution de 24,3% des prix.
Tableau2–Répartitiondel'IMCdelapopulationadultefrançaiseen2012
[10,5, 18,5[ [18,5, 25[ [25, 30[ [30, 50[ Fréquence 3,5% 49,2% 32,3% 15,0% 1. Type de variable
Il s'agit d'une variable quantitative (correspond à une caractéristique qui peut être mesurée) continue (elle peut prendre toutes les valeurs sur son intervalle de variation). 2. Histogramme
Les classes étant d'amplitudes différentes, il faut rectifier les fréquences pour tracer l'histogramme. On calcule les densités de fréquence (fréquence de la classe divisée par son amplitude).
Amplitude de cl 8 6,5 5 20 Densité de fréquence 0,4% 7,6% 6,5% 0,8% L'histogramme permet de visualiser le mode de la distribution et donne une idée de sa dispersion.
3. Fréquences cumulées sous Excel On entre un 0 dans la cellule B11. En C11, on entre =B11+C10. Puis on recopie cette formule vers la droite jusqu'en F11.
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4. Médiane, moyenne
Médiane et moyenne sont des caractéristiques de tendance centrale. Elles renseignent sur l'ordre de grandeur de la variable en évaluant ce dernier à partir des valeurs qui sont "au milieu", "au centre" de la distribution. Elles s'expriment dans l'unité de la variable (ici kg/m2).
Médiane La médiane se trouve "au milieu" de la distribution au sens où elle est telle qu'il y a autant
d'observations qui lui sont inférieures que d'observations ayant une valeur supérieure. Elle corespond donc à la valeur pour laquelle la fréquence cumulée est égale à 50%.
Ici, elle appartient à la classe [18,5, 25[. En supposant une répartition uniforme à l'intérieur de cette classe, on trouve Me = 18,5 + 6,5x(50-3,5)/49,2 = 24,6 kg/m2
En 2012, il y avait ainsi en France autant d'adultes ayant un IMC inférieur à 24,6 que d'adultes ayant un IMC supérieur. Moyenne
Pour calculer la moyenne, on prend les centres de classe comme valeurs représentatives de chaque classe. On en fait la moyenne, en pondérant par les fréquences.
Centre de classe 14,5 21,75 27,5 40 Moyenne = 0,035x14,5 + 0,492x21,75 + 0,323x27,5 + 0,15x40 = 26,1 kg/m2
5. Ecart-type et CV L'écart-type est la racine carrée de la variance, cette dernière étant égale à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Pour la calculer, on peut utiliser sa formule développée : moyenne des carrés - carré de la moyenne. V(x) = 0,035x(14,5 - 26,1)2 + 0,492x(21,75 - 26,1)2 + 0,323x(27,5 - 26,1)2 + 0,15x(40 - 26,1)2 = 0,035x14,52 + 0,492x21,752 + 0,323x27,52 + 0,15x402 - 26,12 Variance = Le coefficient de variation est égal à l'écart-type rapporté à la moyenne. CV = 6,6/26,1 = L'écart-type est un indicateur de dispersion absolue qui s'exprime dans l'unité de la variable (ici en kg/m2), le CV un inidcateur de dispersion relative, qui est donc un nombre sans dimension. Il est préférable d'utiliser le CV pour comparer des distributions dont les ordres de grandeurs sont différents ou qui s'expriment dans des unités différentes. Tableau3–Coursdel’actionFJPsurles8dernierstrimestres
2013 2014
T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4
Cours 100 105 100 95 90 110 90 120 1. Variable de stock ou de flux ? C'est une variable de stock, mesurée à un moment donné. La somme sur une année des valeurs trimestrielles ne correspond à rien.
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2. Formule Excel du taux de variation trimestriel moyen en 2013 Les données permettent de calculer la variation entre T1 2013 (cellule B15) et T4 2013 (cellule E15). La variation totale (correspondant au multiplicateur E15/B15) résulte de trois variations trimestrielles successives. Il faut donc prendre la racine cubique du multiplicateur global : =(E15/B15)^(1/3)-1 puis format % 3. Composantes du mouvement brut Les composantes principales sont la tendance, la composante saisonnière et la composante résiduelle. La composante cyclique peut également être distinguée. 4. Moyennes mobiles d'ordre 3 La 1ère moyenne mobile d'ordre 3 que l'on peut calculer est celle que l'on associera au T2 2013, la dernière au T3 2014. mmT2 2013 = (100+105+100)/3 = mmT3 2014 = (110+90+120)/3 = Ces moyennes mobiles fournissent la valeur de la tendance à chacune de ces dates. Plus généralement, le calcul de moyennes mobiles est une méthode de détermination de la tendance d'une série chronologique. Autres méthodes : ajustement paramétrique (linéaire, exponentiel, etc) par les moindres carrés ; méthodes empiriques telles que le procédé des points médians. 5. Série CVS SérieCVS:sériecorrigéedesvariationssaisonnières.On“corrige”lesvaleursobservéesdelavariabledemanièreàéliminerl'influence de la composante saisonnière.
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Statistiques & Informatique - L1 Economie - 2014-15 Cours de François Fontaine, Jérôme Glachant et Patricia Vornetti Session 2 - Examen du mardi 23 juin 2015, 11h-13h
NB : Ne seront pris en compte que les résultats pour lesquels la démarche est explicitée, c'est-à-dire pour lesquels vous donnez la formule utilisée (ou la définition de la notion utilisée) et vous détaillez les calculs. Répondre précisément et avec soin à chacune des questions vous permet donc d'améliorer votre total de points. Les résultats seront fournis avec une décimale. Exercice 1 (6 points) Soit le tableau suivant des quantités et des prix de 3 biens X, Y, Z sur 3 ans (certaines données sont masquées) :
1. (1 point) Donnez une formule Excel à inscrire en B6 pour calculer le coefficient budgétaire du bien X l’année 0.
2. (1 point) Comment cette formule est-elle transformée si on la recopie en B7 ? Comment faut-il alors modifier la formule entrée en B6 pour qu’elle soit recopiable en B7 et B8 (c’est-à-dire qu’elle fournisse le résultat attendu) ?
3. (2 points) Quels indicateurs calculent les formules a) =100*SOMMEPROD(B3:B5;G3:G5)/(B3*C3+B4*C4+B5*C5) ? b) =100*((D6*F3/D3)+(D7*F4/D4)+(D8*F5/D5)) ?
4. (1 point) Calculez le Laspeyres des prix L2/1(p).
5. (1 point) Calculez LC2/0(p), l’indice chaîne de Laspeyres des prix.
Exercice 2 (8 points) Soit le tableau ci-dessous d’une population de salariés selon le salaire mensuel moyen en milliers d’euros.
L1/0(p) 101,0
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Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Examen du 23 juin 2015
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1. (1 point) Quelle formule Excel destinée à être recopiée à droite doit-on inscrire dans la cellule B5 pour obtenir les fréquences fi ?
2. (2 points) Représentez graphiquement la distribution (histogramme) et la distribution cumulée (courbe des fréquences cumulées). Vous présenterez préalablement tous les calculs nécessaires.
3. (2 points) Calculez le salaire moyen et le salaire médian.
4. (1 point) Quelle est la fraction de la population qui gagne moins de 60% du salaire médian ?
5. (2 points) Comment pourrait-on procéder pour calculer le coefficient de Gini de la distribution considérée ? Indiquez les calculs qui devraient être faits et à quoi ils serviraient (NB : il n'est pas demandé de faire ces calculs). Sur quoi renseigne le coefficient de Gini ?
Exercice 3 (6 points) Le tableau suivant fournit le taux de variation trimestriel du PIB en France pour 2014 et 2015. Les cinq premières valeurs sont des valeurs effectives, les suivantes (i.e. taux pour les trimestres 2 à 4 de 2015) sont des prévisions.
Le taux de variation est mesuré en %. rt/t-1 est le coefficient multiplicateur permettant de passer du niveau de PIB en t-1 au niveau du PIB en t.
1. (1 point) Calculez le taux de variation trimestriel moyen du PIB pour 2014 et 2015 (prévision).
2. (1 point) Donnez la formule Excel à inscrire dans la cellule C5, et destinée à être recopiée à droite, pour obtenir les indices du PIB pour les différents trimestres, base 100 au 4ème trimestre 2013 (notés It/T4-2013, dernière ligne du tableau).
3. (1 point) Calculez les valeurs manquantes des indices It/T4-2013.
4. (1,5 point) Calculez le taux annuel moyen de croissance du PIB prévu entre 2014 et 2015. Justifiez le mode de calcul utilisé.
5. (1,5 point) Suggérez deux méthodes de prévision susceptibles d'être utilisées pour prévoir le niveau du PIB aux T2, T3 et T4 2015.
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Statistiques & Informatique - L1 Economie - 2014-15
Cours de François Fontaine, Jérôme Glachant et Patricia Vornetti
Session 2 – CORRIGÉ DE L'EXAMEN de juin 2015 Exercice 1 (6 points) Soit le tableau suivant des quantités et des prix de 3 biens X, Y, Z sur 3 ans (certaines données sont masquées) :
1. (1 point) Donnez une formule Excel à inscrire en B6 pour calculer le coefficient budgétaire du bien X l’année 0. =B3*C3/SOMMEPROD(B3:B5;C3:C5)
2. (1 point) Comment cette formule est-elle transformée si on la recopie en B7 ? Comment faut-il alors modifier la formule entrée en B6 pour qu’elle soit recopiable en B7 et B8 (c’est-à-dire qu’elle fournisse le résultat attendu) ?
Recopiée en B7, la formule devient =B4*C4/SOMMEPROD(B4:B6;C4:C6). Pour qu'elle soit recopiable en B7 et B8
pour donner les coefficients budgétaires des biens Y et Z en 0, il faut bloquer le dénominateur. On entrera donc en
B6 = B3*C3/SOMMEPROD(B$3:B$5;C$3:C$5).
3. (2 points) Quels indicateurs calculent les formules a) =100*SOMMEPROD(B3:B5;G3:G5)/(B3*C3+B4*C4+B5*C5) ? Cette formule fait le rapport (x 100) entre les prix en 0 multipliés par les quantités en 2 et les prix en 0 multipliés
par les quantités en 0. Elle calcule donc le Laspeyres des quantités en 2 base 100 en 0, L2/0(q).
b) =100*((D6*F3/D3)+(D7*F4/D4)+(D8*F5/D5)) ? Cette formule multiplie le coefficient budgétaire de chaque bien en 1 (colonne Di, pour i= 6 à 8) par l'indice de prix
de ce bien en 2 base 100 en 1 (100*Fi/Di, pour i = 3 à 5). Elle calcule donc le Laspeyres des prix en 2 base 100 en 1,
L2/1(p).
4. (1 point) Calculez le Laspeyres des prix L2/1(p). On utilise la formule donnée en 3b. Pour faire le calcul, il nous manque le coefficient budgétaire du bien Z en 1. Ce
dernier se déduit des données du tableau, sachant que la somme des coefficients budgétaires est égale à 1. On a
alors L2/1(p) = 100x(0,21x80/60 + 0,36x42/36 + 0,43x50/70) = 100,7.
5. (1 point) Calculez LC2/0(p), l’indice chaîne de Laspeyres des prix. LC2/0(p) = L2/1(p) x L1/0(p) / 100 = 100,7x101,0/100 = 101,7
NB : La valeur de L1/0(p) est donnée dans le tableau.
L1/0(p) 101,0
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Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Corrigé de l'examen de juin 2015
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Exercice 2 (8 points) Soit le tableau ci-dessous d’une population de salariés selon le salaire mensuel moyen en milliers d’euros.
1. (1 point) Quelle formule Excel destinée à être recopiée à droite doit-on inscrire dans la cellule B5 pour obtenir les fréquences fi ?
=B3/$F3 puis format %
2. (2 points) Représentez graphiquement la distribution (histogramme) et la distribution cumulée (courbe des fréquences cumulées). Vous présenterez préalablement tous les calculs nécessaires. Pour représenter l'histogramme, étant donné que les classes n'ont
pas toutes la même amplitude (voir ligne 6 du tableau ci-dessous), il
faut rectifier les effectifs (ou les fréquences) ; on associera à chaque
classe sa densité d'effectif (ou sa densité de fréquence) : ni/ai (ou fi/ai)
avec ai : largeur de la classe i. On a calculé ici les densités d'effectif -
voir ligne 7 du tableau.
Pour représenter la distribution cumulée, on associe à chaque
extrémité supérieure de classe l'effectif (ou la fréquence) cumulé(e)
jusqu'à cette extrémité – voir lignes 8 et 9 du tableau.
On a représenté ici les effectifs cumulés. Le graphique est
évidemment le même avec les fréquences cumulées.
3. (2 points) Calculez le salaire moyen et le salaire médian. Salaire moyen = σݔ =Τ 331/120 = 2,7 K€
Le salaire médian est la valeur du salaire qui partage l'ensemble des salariés en deux sous-ensembles de même
effectif. Il correspond à un effectif de 60 (ou une fréquence cumulée de 50%) et appartient donc à la 2ème classe. En
supposant une distribution uniforme des salariés à l'intérieur de cette classe, on trouve :
ܯ = 2,3 + 0,7(60 െ 50)/30 = 2,5 K€.
4. (1 point) Quelle est la fraction de la population qui gagne moins de 60% du salaire médian ? 60% du salaire médian = 0,6x2,5 = 1,5 K€. Cette valeur appartient à la 1ère classe. Sous l'hypothèse de distribution
uniforme des salariés à l'intérieur de la classe, il y a 50x(1,5 – 1,2)/1,1 = 13,6 salariés qui gagnent moins de 1,5 K€, soit
13,6/120 = 11,3 % des salariés.
5. (2 points) Comment pourrait-on procéder pour calculer le coefficient de Gini de la distribution considérée ? Indiquez les calculs qui devraient être faits et à quoi ils serviraient (NB : il n'est pas demandé de faire ces calculs). Sur quoi renseigne le coefficient de Gini ? On trace la courbe de Lorenz qui, à chaque fréquence cumulée, associe la fréquence cumulée de la masse salariale
correspondante. Le coefficient de Gini se détermine à partir de la surface située entre la 1ère diagonale et cette
courbe. Il renseigne sur la concentration de la distribution. Plus il est élevé, plus la distribution est concentrée.
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Statistiques & Informatique – L1 Economie – U. Paris 1 – Corrigé de l'examen de juin 2015
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Exercice 3 (6 points) Le tableau suivant fournit le taux de variation trimestriel du PIB en France pour 2014 et 2015. Les cinq premières valeurs sont des valeurs effectives, les suivantes (i.e. taux pour les trimestres 2 à 4 de 2015) sont des prévisions.
Le taux de variation est mesuré en %. rt/t-1 est le coefficient multiplicateur permettant de passer du niveau de PIB en t-1 au niveau du PIB en t. 1. (1 point) Calculez le taux de variation trimestriel moyen du PIB pour 2014 et 2015 (prévision). On commence par calculer les coefficients multiplicateurs : rt/t-1 =1 + vt/vt-1 (ligne 4 du tableau). Pour chaque année, le
taux de variation trimestriel moyen s'obtient en prenant la racine 4ème
du produit des multiplicateurs -1.
Pour 2014, on obtient ݒ௧ప ଶଵସതതതതതതതതതതതത = ξ0,9981ݔ1,002ݔ0,999ݔర െ 1 = െ0,03%.
Pour 2015, ݒ௧ప ଶଵହതതതതതതതതതതതത = ξ1,0061,004ݔ1,003ݔ1,003ݔర െ 1 = 0,4%
2. (1 point) Donnez la formule Excel à inscrire dans la cellule C5, et destinée à être recopiée à droite, pour obtenir les indices du PIB pour les différents trimestres, base 100 au 4ème trimestre 2013 (notés It/T4-2013, dernière ligne du tableau). = B5*C4
3. (1 point) Calculez les valeurs manquantes des indices It/T4-2013. Voir ligne 5 du tableau.
4. (1,5 point) Calculez le taux annuel moyen de croissance du PIB prévu entre 2014 et 2015. Justifiez le mode de calcul utilisé. Le PIB est une variable de flux. Le calcul approprié dans ce cas est un calcul en moyenne annuelle. Le taux annuel
moyen de croissance du PIB s'obtient alors en rapportant le PIB trimestriel moyen de 2015 à celui de 2014. On utilise
les valeurs trimestrielles de l'indice calculées à la question précédente.
ଵହ/ଵସതതതതതതതതݒ = (100,5 + 100,8 + 101,1 + 101,5)/(99,8 + 99,7 + 99,9 + 99,9) െ 1 = 1,2%
5. (1,5 point) Suggérez deux méthodes de prévision susceptibles d'être utilisées pour prévoir le niveau du PIB aux T2, T3 et T4 2015. En disposant des données de PIB sur les années antérieures, on peut utiliser la méthode des moyennes mobiles ou
procéder à un ajustement paramétrique de tendance pour établir ces prévisions.
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