U05 Funciones y Formulas Trigonometricas

8/6/2019 U05 Funciones y Formulas Trigonometricas

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Pgina 126

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

1.Aunque el mtodo para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en lapgina siguiente, puedes resolverlas ahora:

a) Cuntos radianes corresponden a los 360 de una circunferencia?

b) Cuntos grados mide 1 radin?

c) Cuntos grados mide un ngulo de radianes?

d) Cuntos radianes equivalen a 270?

a) 2 b) = 57 17' 44,8"

c) = 90 d) 2 = 3

Pgina 128

2. Pasa a radianes los siguientes ngulos:

a) 30 b) 72 c) 90 d) 127 e) 200 f ) 300

Expresa el resultado en funcin de y luego en forma decimal. Por ejemplo:

30 = 30 rad = rad 0,52 rad

a) 30 = rad 0,52 rad

b) 72 = rad 1,26 rad

c) 90 = rad 1,57 rad

d) 127 2,22 rad

e) 200 = rad 3,49 rad

f) 300 = rad 5,24 rad53

2360

109

2360

2360

2

2360

2

5

2

360

6

2360

6

180

2

270360

2

3602

3602

2

Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas 1

FUNCIONES Y FRMULASTRIGONOMTRICAS

5


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3. Pasa a grados los siguientes ngulos:

a) 2 rad b) 0,83 rad c) rad d) rad e) 3,5 rad

a) 2 = 114 35' 29,6"

b) 0,83 = 47 33' 19,8"

c) = 36

d) = 150

e) 3,5 = 200 32' 6,8"

4. Completa la siguiente tabla aadiendo las razones trigonomtricas (seno, cose-noytangente) de cada uno de los ngulos. Te ser til para el prximo aparta-do:

La tabla completa est en el siguiente apartado (pgina siguiente) del libro de texto.Tan solo falta la ltima columna, que es igual que la primera.

Pgina 133

1. Demuestra la frmula II.2 a partir de la frmula:

cos ( + ) = cos cos sen sen

cos() = cos( + ()) = cos cos() sen sen () =

= cos cossen (sen ) =

= cos cos +sen sen

2. Demuestra la frmula II.3 a partir de la frmula:

tg() =

tg() = tg( + ()) =(*)= =

=

(*) Como tg() = tg

sen () = sen cos() = cos

tgtg1 + tg tg

tg + (tg)1 tg (tg)

tg + tg()1 tg tg()

tg + tg1 tg tg

3602

56

3602

5

3602

3602

3602

56

5


GRADOS 0 30 60 90 135 150 210 225 270 330 360

RADIANES 74

53

43

23

4


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3. Demuestra la frmula II.3 a partir de las frmulas:

sen() = sen cos cos sen

cos () = cos cos + sen sen

tg() = =(*)=

= =

(*) Dividimos numerador y denominador por cos cos.

4. Si sen12 = 0,2 y sen37 = 0,6, halla cos 12, tg12, cos 37 y tg37.Calcula, despus, a partir de ellas, las razones trigonomtricas de 49 y de 25,

utilizando las frmulas (I) y (II).

sen 12 = 0,2

cos12 = = = 0,98

tg12 = = 0,2

sen 37 = 0,6

cos37 = = = 0,8

tg37 = = 0,75

49 = 12 + 37, luego:

sen 49 =sen (12 + 37) =sen 12 cos37 + cos12sen 37 =

= 0,2 0,8 + 0,98 0,6 = 0,748

cos49 = cos(12 + 37) = cos12 cos37 sen 12sen 37 =

= 0,98 0,8 0,2 0,6 = 0,664

tg49 = tg(12 + 37) = = = 1,12

(Podra calcularse tg49 = ). 25 = 37 12, luego:

sen 25 =sen (37 12) =sen 37 cos12 cos37sen 12 =

= 0,6 0,98 0,8 0,2 = 0,428

cos25 = cos(37 12) = cos37 cos12 +sen 37sen 12 =

= 0,8 0,98 + 0,6 0,2 = 0,904

tg25 = tg(37 12) = = = 0,4780,75 0,2

1 + 0,75 0,2tg37 tg12

1 + tg37 tg12

sen 49cos49

0,2 + 0,751 0,2 0,75

tg12 + tg371 tg12 tg37

0,6

0,8

1 0,361 sen2 37

0,20,98

1 0,041 sen2 12

tgtg1 + tg tg

sen cos cossen

cos cos cos cos

cos cos sen sen +

cos cos cos cos

sen coscossen cos cos +sen sen

sen ()cos()



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5. Demuestra la siguiente igualdad:

=

= =

= = =

6. Demuestra las tres frmulas (III.1), (III.2) y (III.3) haciendo = en las fr-mulas (I).

sen 2 =sen ( + ) =sen cos + cossen = 2sen cos

cos2 = cos( + ) = cos cossen sen = cos2 sen2

tg2 = tg( + ) = =

7. Halla las razones trigonomtricas de 60 a partir de las de 30.

sen 60 =sen (2 30) = 2sen 30 cos30 = 2 =

cos60 = cos(2 30) = cos2 30 sen2 30 = ( )2

( )2

= = =

tg60 = tg(2 30) = = = = =

8. Halla las razones trigonomtricas de 90 a partir de las de 45.

sen 90 =sen (2 45) = 2sen 45 cos45 = 2 = 1

cos90 = cos(2 45) = cos2 45 sen2 45 = ( )2

( )2

= 0

tg90 = tg(2 45) = = No existe.

9. Demuestra que = .

= = =

Pgina 134

10. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las frmu-las IV.1, IV.2 y IV.3.

cos = cos(2 ) = cos2 sen2 22

2

1 cos1 + cos

2sen (1 cos)2sen (1 + cos)

2sen 2sen cos2sen + 2sen cos

2sen sen 22sen +sen 2

1 cos

1 + cos

2 sen sen2

2 sen + sen2

2 11 1

2 tg451 tg2 45

22

22

22

22

32

3/3

2/3

2

3/3

1 3/9

2

3/3

1 (

3/3)22 tg30

1 tg2 30

12

24

14

34

12

32

32

32

12

2 tg1 tg2

tg + tg1 tg tg

1tg a

cos a

sen a

2 cos a cos b2sen a cos b

cos a cos bsen a sen b+ cos a cos b+sen a sen bsen a cos b+ cos a sen b+sen a cos bcos a sen b

cos(a + b) + cos(ab)sen (a + b) +sen (ab)

1tg a

cos (a+ b) + cos (ab)sen(a+ b) + sen(ab)



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Como por la igualdad fundamental:

cos2 +sen2 = 1 1 = cos2 +sen2

De aqu:a) Sumando ambas igualdades:

1 + cos = 2 cos2 cos2 = cos =

b) Restando las igualdades (2- 1-):

1 cos = 2sen2 sen2 = sen =

Por ltimo:

tg = = =

11. Sabiendo que cos 78 = 0,2, calcula sen78 y tg78. Averigua las razonestrigonomtricas de 39 aplicando las frmulas del ngulo mitad.

cos78 = 0,2

sen 78 = = = 0,98

tg78 = = 4,9

sen 39 =sen = = = 0,63

cos39 = cos = = = 0,77

tg39 = tg = = = 0,82

12. Halla las razones trigonomtricas de 30 a partir de cos 60 = 0,5.

cos60 = 0,5

sen 30 =sen = = 0,5

cos30 = cos = = 0,866

tg30 = tg = = 0,5771 0,5

1 + 0,5602

1 + 0,5

2602

1 0,5

2602

1 0,2

1 + 0,21 cos78

1 + cos78782

1 + 0,2

21 + cos78

2782

1 0,2

21 cos78

2782

0,980,2

1 0,221 cos2 78

1 cos1 + cos

1 cos

2

1 + cos

2

sen /2cos/2

2

1 cos

22

1 cos2

2

2

1 + cos

22

1 + cos2

2

2

2

2

2

2



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13. Halla las razones trigonomtricas de 45 a partir de cos 90 = 0.

cos90 = 0

sen 45 =sen = = =

cos45 = cos = =

tg45 = tg = = = 1

14. Demuestra que 2tg sen2 + sen = tg.

2 tg sen2 +sen = 2 tg +sen =

= (1 cos) +sen =sen ( + 1) =

=sen ( ) =sen =

= = tg

15. Demuestra que = tg2 .

= =

= = = tg2

Pgina 135

16. Para demostrar las frmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:

Expresa en funcin de y :

cos ( + ) = cos () =

Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrs dos expresiones. Sustituye en las expresiones anteriores:

+ =A

= B

cos( + ) = cos cossen sen

cos() = cos cos +sen sen

Sumando cos( + ) + cos() = 2 cos cos (1)

Restando cos( + ) cos() = 2sen sen (2)

2

1 cos1 + cos

2sen (1 cos)2sen (1 + cos)



2

2sensen22sen + sen2

sen cos

1cos

1 cos + coscos

1 coscos

sen cos

1 cos2

2

2

11 0

1 + 0902

22

1 + 0

2902

22

1

2

1 0

2

90

2



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Llamando = , = (al resolver el sistema)

Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:

(1) cos A + cos B= 2 cos cos

(2) cos Acos B= 2sen sen

17.Transforma en producto y calcula:

a) sen75 sen15 b) cos 75 + cos 15 c) cos 75 cos 15

a)sen 75 sen 15 = 2 cos sen =

= 2 cos45sen 30 = 2 =

b) cos75 + cos15 = 2 cos cos =

= 2 cos45 cos30 = 2 =

c) cos75 cos15 = 2sen sen =

= 2sen 45 cos30 = 2 =

18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta frac-cin y simplifica el resultado:

= = = tg3a

Pgina 137

1. Resuelve estas ecuaciones:

a) 2cos2 x+ cos x 1 = 0 b) 2 sen2 x 1 = 0

c) tg2 xtg x= 0 d) 2sen2 x+ 3cos x= 3

a) cos x= = =

Las tres soluciones son vlidas (se comprueba en la ecuacin inicial).

1/2 x1 = 60, x2 = 3001 x3 = 180

1 34

1 1 + 84

2sen 3a2 cos3a

4a + 2a 4a 2a2sen cos

2 2

4a + 2a 4a 2a2 coscos

2 2

sen 4a +sen 2acos4a + cos2a

sen4a+ sen2acos 4a+ cos 2a

6

2

3

2

2

2

75 152

75 + 152

62

32

22

75 152

75 + 152

221222

75 152

75 + 152

AB2

A +B2

AB2

A +B2

AB2

A +B2

+ =A =B



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b) 2sen2x 1 = 0 sen2x= sen x= =

Si sen x= x1 = 45, x2 = 135

Si sen x= x3 = 45 = 315, x4 = 225

Todas las soluciones son vlidas.

c) tg2xtg x= 0 tg x(tg x 1) = 0

tg x= 0 x1 = 0, x2 = 180

tg x= 1 x3 = 45, x4 = 225

Todas las soluciones son vlidas.

d) 2sen2x+ 3 cos x= 3

(*)

2 (1 cos2x) + 3 cos x= 3

(*) Como sen 2x+ cos2x= 1 sen2x= 1 cos2x

2 2 cos2x+ 3 cos x= 3 2 cos2x 3 cos x+ 1 = 0

cos x= = =

Entonces: Si cos x= 1 x1 = 0

Si cos x= x2 = 60, x3 = 60 = 300

Las tres soluciones son vlidas.

2. Resuelve:

a) 4cos 2x+ 3 cos x= 1 b) tg2x+ 2cos x= 0

c) cos (x/2) cos x= 1 d) 2sen x cos2 x 6sen3 x= 0

a) 4 cos2x+ 3 cos x= 1 4 (cos2xsen2x) + 3 cos x= 1

4 (cos2x (1 cos2x)) + 3 cos x= 1 4 (2 cos2x 1) + 3 cos x= 1

8 cos2x 4 + 3 cos x= 1 8 cos2x+ 3 cos x 5 = 0

cos x= = = Si cos x= 0,625 x1 = 51 19' 4,13", x2 = 51 19' 4,13"

Si cos x= 1 x3 = 180

Al comprobar las soluciones, las tres son vlidas.

b) tg2x+ 2 cos x= 0 + 2 cos x= 0

+ cos x= 0 + cos x= 0 sen x/cos x1 (sen 2x/cos2x)

tg x

1 tg2x

2 tg x

1 tg2x

10/16 = 5/8 = 0,625

1

3 13

16

3 9 + 16016

2

12

11/2

3 14

3 9 84

22

2

2

22

1

212



9/46

+ cos x= 0 sen x cos x+ cos x(cos2 xsen 2 x) = 0

cos x(sen x+ cos2xsen2x) = 0 cos x(sen x+ 1 sen2xsen2x)

cos x(1 +sen x 2sen2x) = 0

cos x= 0

1 +sen x 2sen 2x= 0 sen x= =

Si cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270

Si sen x= x3 = 210, x4 = 330 = 30

Si sen x= 1 x5 = 90 =x1Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son vlidas.

c) cos cos x= 1 cos x= 1

cos x= 1 = 1 + cos x

1 + cos x= 1 + cos2x+ 2 cos x cos2x+ cos x= 0 cos x(cos x+ 1) = 0

Si cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270

Si cos x= 1 x3 = 180

Al comprobar las soluciones, podemos ver que las nicas vlidas son:

x1 = 90 y x3 = 180

d) 2sen x cos2x 6sen3x= 0 2sen x(cos2x 3sen2x) = 0

2sen x(cos2x+sen2x 4sen2x) = 0 2sen x(1 4sen2x) = 0

Si sen x= 0 x1 = 0, x2 = 180

Si sen2x= sen x= x3 = 30, x4 = 150, x5 = 210, x6 = 330

Comprobamos las soluciones y observamos que son vlidas todas ellas.

3. Transforma en producto sen 3x sen x y resuelve despus la ecuacinsen3xsen x= 0.

sen 3xsen x= 0 2 cos sen = 0 2 cos2x sen x= 0

Si cos2x= 0

Si sen x= 0 x5 = 0, x6 = 180

Comprobamos que las seis soluciones son vlidas.

2x= 90 x1 = 452x= 270 x2 = 1352x= 90 + 360 x3 = 2252x= 270 + 360 x4 = 315

cos2x= 0

sen x= 0

3xx2

3x+x2

12

14

1 cos x1 + cos x

1 + cos x22x22

12

1/21

1 1 + 84

sen x cos x

cos2xsen 2x



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4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonomtricas:

a) sen(x) = cos ( x) + cos

b) sen ( x) + sen x= 0

a)sen (x) =sen x

cos( x) = sen x Entonces, la ecuacin queda:cos = 1

sen x= sen x 1 2sen x= 1 sen x=

Si sen x= x1 = rad, x2 = radAl comprobar vemos:

x1 = sen (x) =sen ( ) =sen =

cos( x) = cos( ) = cos = cos =Luego la solucin es vlida, pues:

sen (x) = = cos( x) + cos = + (1)

x2 = sen (x) =sen ( ) =sen ( ) =

cos( x) = cos( ) = cos( ) = cos( ) =Luego tambin es vlida esta solucin, pues:

sen (x) = = cos( x) + cos = + (1)

Por tanto, las dos soluciones son vlidas: x1 = rad yx2 = rad

b)sen ( x) =sen cos x cos sen x= cos x sen xLuego la ecuacin queda:

cos x sen x+ sen x= 0 cos x+ sen x= 0

cos x+sen x= 0 cos x= sen x x1 = rad, x2 = rad

Comprobamos que ninguna solucin vale. Luego la ecuacin no tiene solucin.

74

34

22

22

222

22

22

22

4

4

4

116

76

12

32

12

12

3

26

116

32

32

12

56

116

116

12

32

12

12

3

26

76

32

32

12

6

76

76

11

6

7

6

1

2

12

32

24

32



11/46

5. Escribe, en radianes, la expresin general de todos los ngulos que verifican:

a) tg x= b) sen x= cos x

c) sen2 x= 1 d) sen x= tg x

a)x= 120 + k 360 o bien x= 300 + k 360

Las dos soluciones quedan recogidas en:

x= 120 + k 180 = + k rad =x con kZ

b)x= + k rad con kZ

c) Si sen x= 1 x= + 2k rad

Si sen x= 1 x= + 2k rad

d) En ese caso debe ocurrir que:

O bien sen x= 0 x= k rad

O bien cos x = 1 x= 2k rad

Pgina 142

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOSPARA PRACTICAR

Grados y radianes

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ngulos dados en radianes:

a) b) c) d) e)

Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que radianes = 180.

a) 120 b) 240 c) 225 d) 210 e) 810

2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ngulos dados en radianes:

a) 1,5 b) 3,2

c) 5 d) 2,75

a) 1,5 = 85 56' 37" b) 3,2 = 183 20' 47"

c) 5 = 286 28' 44" d) 2,75 = 157 33' 48"3602

3602

3602

3602

92

76

54

43

23

32

2

4

23

3


x= + k rad con kZ2

x= k rad con kZ


12/46

3 Pasa a radianes los siguientes ngulos dados en grados.

Exprsalos en funcin de :

a) 40 b) 108 c) 135

d) 240 e) 270 f) 126

Simplifica la expresin que obtengas sin multiplicar por 3,14

a) =

a) 40 = b) 108 =

c) 135 = d) 240 =

e) 270 = f) 126 =

4 Halla, sin utilizar la calculadora:

a) 5 cos cos 0 + 2 cos cos + cos 2

b) 5 tg + 3 cos 2 tg0 + sen 2 sen2

a) 5 0 1 + 2 (1) 0 + 1 = 2

b) 5 0 + 3 0 2 0 + (1) 2 0 = 1

5 Prueba que:

a) 4 sen + cos + cos = 2

b) 2 sen + 4 sen 2 sen = 3

a) 4sen + cos + cos = 4 + + (1) = 2 + 1 1 = 2

b) 2 sen + 4sen 2sen = 2 + 4 2 1 = 3 + 2 2 = 3

6 Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:

a)A = sen + sen + sen

b)A = sen + sen sen2

c)A = cos cos 0 + cos cos 32

2

43

23

2

4

12

323

2

6

233

22

212

4

26

2

6

23

3

4

26

32

2

32

2

7102360322360

43

2360

34

2360

35

2360

29

2360

29

40180



13/46

a)A = + 1 + 0 = + 1

b)A = +

(

) 0 = 0

c)A = 1 1 + 0 0 = 2

7 Expresa con un ngulo del primer cuadrante:

a) sen1 215 b) cos (100) c) tg(50)

d) cos 930 e) tg580 f ) sen(280)

a) sen 1215 =sen 135 =sen 45

b) 100 = 180 80 cos(100) = cos100 = cos80

c) tg(50) = = = tg50

d) cos930(*)= cos210 = cos(180 + 30) = cos30

(*) 930 = 2 360 + 210

e) tg580(**)= tg220 = tg(180 + 40) = = = tg40

(**) 580 = 360 + 220

f) sen (280) =sen (280 + 360) =sen 80

8 Busca, en cada caso, un ngulo comprendido entre 0 y 360, cuyas razonestrigonomtricas coincidan con el ngulo dado:

a) 3 720 b) 1 935 c) 2 040

d) 3 150 e) 200 f) 820

a) 3 720 = 10 360 + 120 120

b) 1 935 = 5 360 + 135 135

c) 2 040 = 5 360 + 240 240

d) 3 150 = 8 360 + 270 270

e) 200 + 360 = 160 160

f ) 820 + 3 360 = 260 260

9 Halla, en radianes, el ngulo tal que sen = 0,72 y cos < 0.

2- cuadrante 0,8 rad

sen = 0,72 > 0cos < 0

sen 40cos40

sen (180 + 40)cos(180 + 40)

sen 50cos50

sen (50)cos(50)

1 215 = 3 360 + 135

135 = 180 45

3

2

3

2

22

22



14/46

10 Indica, sin pasar a grados, en qu cuadrante est cada uno de los siguientesngulos:

a) 2 rad b) 3,5 rad c) 5 rad

Ten en cuenta que:

1,57; 3,14; 4,7; 2 6,28

a) 2- cuadrante b) 3er cuadrante c) 4- cuadrante

Frmulas trigonomtricas

11 Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 75 sabiendo que75 = 30 + 45.

sen 75 =sen (30 + 45) =sen 30 cos45 + cos30sen 45 =

= + =

cos75 = cos(30 + 45) = cos30 cos45 sen 30sen 45 =

= =

tg75 = tg(30 + 45) = = = =

= = = =

= = 2 +

NOTA: Tambin podemos resolverlo como sigue:

tg75 = = = = =

= = 2 +

12 Sabiendo que sen x= y que < x< , calcula, sin hallar previamente

el valor de x:

a) sen2x b) tg c) sen(x+ )

d) cos (x ) e) cos f ) tg(x+ )

Tienes que calcular cos x = 1( )2

= y tg x = , y aplicar las fr-

mulas.

3

4

4

5

3

5

4

x

23

6

x

2

235

38 + 4

3

4

2 + 6 + 2

12

4

(

2 +

6 )2

6 2

2 +

6

6

2

sen 75cos75

312 + 6

3

6

9 + 3 + 6

3

6

(3 +

3 )2

9 3

3 +

3

3

3

(

3 + 3)/3(

3 3)/3

3/3 + 1

1

3/3

tg30 + tg451 tg30 tg45

6

24

22

12

22

32

2 +

64

22

32

22

12

32

2



15/46

cos x= = 1 = (Negativo, por ser del 2- cuadrante).

tg x= =

a)sen 2x= 2sen x cos x= 2 ( ) =

b) tg = = = = 3

Signo positivo, pues si x2- cuadrante, entonces 1er cuadrante.

c)sen (x+ ) =sen x cos + cos x sen =

= + ( ) =

d) cos(x ) = cos x cos +sen x sen =

= ( ) + =

e) cos(*)= = = = =

(*)

Signo positivo, porque 1er

cuadrante.

f ) tg(x+ ) = = = =

13 Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 15 de dos formas, conside-rando:

a) 15 = 45 30 b) 15 =

a)sen 15 =sen (45 30) =sen 45 cos30 cos45sen 30 =

= = = 0,258819


= + = = 0,965926

tg15 = = = =

= = 2 = 0,26794938 4

3

4

6 + 2 2

12

6 2

6

2

6 +

2

sen 15cos15

6 +

24

12

22

32

22

6

2

4

1

2

22

32

22

302

17

1 3/41 + 3/4

3/4 + 11 (3/4) 1

tg x+ tg/41 tg x tg/4

4

x

2

1010

1

101/5

21 4/5

21 + cos x

2x

2

3

3 4

10

32

35

12

45

3

3

3

3

3 410

12453235

6

6

6

x

2

9/51/5

1 (4/5)1 + (4/5)

1 cos x

1 + cos xx

2

2425

45

35

34

sen x

cos x

45

925

1 sen 2x



16/46

b)sen 15 =sen = = = =

= = 0,258819

cos15 = cos = = = = 0,9659258

tg15 = = = 0,2679491

14 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2 cos2 x sen2 x+ 1 = 0

b) sen2

xsen x= 0 Saca factor comn e iguala a cero cada factor.

c) 2 cos2 x cos x= 0

d) sen2 xcos2 x= 1

e) cos2 xsen2 x= 0

f ) 2 cos2 x+ sen x= 1

g) 3 tg2 x tg x= 0

a) 2 cos2xsen2x+ 1 = 0

cos2x

cos2x= 0 cos x= 0

Al comprobarlas en la ecuacin inicial, las dos soluciones son vlidas. Luego:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 270 + k 360 = + 2k

Lo que podemos expresar como:

x= 90 + k 180 = + k con k Z

b)sen x(sen x 1) = 0

sen x= 0 x1 = 0, x2 = 180

sen x= 1 x3 = 90

Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son vlidas. Luego:

2

32

2

x1 = 90

x2 = 270

3

3

0,2588190,9659258

2

3

2 +

3

2 +

3

41 +

3/2

21 + cos30

2302

2

3

2

2

3

41

3/2

21 cos30

2302


2 cos2xcos2x= 0

con k Z


17/46

x1 = k 360 = 2k

x2 = 180 + k 360 = + 2k

x3

= 90 + k 360 = + 2k

O, de otra forma:

x1 = k = k 180

x3 = + 2k = 90 + k 360

(x1 as incluye las soluciones x1 yx2 anteriores)

c) cos x(2 cos x ) = 0

cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270

cos x= x3 = 30, x4 = 330

Las cuatro soluciones son vlidas. Luego:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 270 + k 360 = + 2k

x3 = 30 + k 360 = + 2k

x4 = 330 + k 360 = + 2k

NOTA: Obsrvese que las dos primeras soluciones podran escribirse como unasola de la siguiente forma:

x= 90 + k 180 = + k

d) (1 cos2x) cos2x= 1 1 2 cos2x= 1 cos2x= 0

cos x= 0

Las dos soluciones son vlidas. Luego:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 270 + k 360 = + 2k

O, lo que es lo mismo:

x= 90 + k 180 = + k con k Z2

32

2

x1 = 90

x2 = 270

2

116

6

32

2

32

3

2

2


con k Z

con k Z

con k Z

con k Z


18/46

e) (1 sen2x) sen2x= 0 1 2sen2x= 0

sen2x= sen x=

Si sen x= x1 = 45, x2 = 135

Si sen x= x3 = 225, x4 = 315

Comprobamos que todas las soluciones son vlidas. Luego:

x1 = 45 + k 360 = + 2k

x2 = 135 + k 360 = + 2k

x3 = 225 + k 360 = + 2k

x4 = 315 + k 360 = + 2k


x= 45 + k 90 = + k con k Z

f) 2 (1 sen2x) +sen x= 1 2 2sen2x+sen x= 1

2sen2xsen x 1 = 0

sen x= = =

Las tres soluciones son vlidas, es decir:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 210 + k 360 = + 2k

x3 = 330 + k 360 = + 2k

g) tg x(3 tg x ) = 0

tg x= 0 x1 = 0, x2 = 180

tgx x= x3 = 30, x4 = 210

Comprobamos las posibles soluciones en la ecuacin inicial y vemos que lascuatro son vlidas.

33

3

116

76

2

1 x1 = 901/2 x2 = 210, x3 = 330

1 34

1 1 + 84

2

4

74

54

34

4

22

22

22

12


con kZ

con k Z


19/46

Entonces:

x1 = k 360 = 2k

x2 = 180 + k 360 = + 2k

x3 = 30 + k 360 = + 2k

x4 = 210 + k 360 = + 2k

Lo que podra expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro an-teriores:

x1 = k 180 = k

x2 = 30 + k 180 = + k con k Z

Pgina 143

15 Halla el valor exacto de estas expresiones:

a) sen + cos sen

b) cos + tg tg

c) cos + sen cos 2 sen

a) + ( )( ) =

b) + = =

c) + 2 = + 1 3 = 2

16 Sabiendo que sen x = y que x es un ngulo del primer cuadrante,

calcula:

a) sen2x b) tg c) cos (30 x)

sen x= cos x, tg x> 0

x1er cuadrante

1er cuadrante sen x/2 > 0

cos x/2 > 0

tg x/2 > 0

x

2

23

x

2

2

3

12

32

32

322

212

32

3

3 + 4

36

3 + 6

3 2

36

33

312

22

22

22

22

3

34

26

6

3

76

43

53

74

34

54

6

76

6


con k Z


20/46

cos x= = 1 =

tg x= =

a)sen 2x= 2sen x cos x= 2 =

b) tg = = = =

= = =

c) cos(30 x) = cos30 cos x+sen 30sen x= + =

= + =

17 Si tg = 4/3 y 90 < < 180, calcula:

a) sen( ) b) cos (180 ) c) tg(900 + )

90 < < 180

Adems, 1er cuadrante

tg =

= tg2 + 1 = + 1 = cos2 = cos =

sen = = 1 = =

a)sen ( ) =sen cos cos sen = 1 ( ) 0 =

b) cos(180 ) = cos180 cos +sen 180sen = cos =

= = = =

= = =

c) tg(900 + ) = tg(2 360 + 180 + ) = tg(180 + ) =

= = = 43

0 + (4/3)1 0 (4/3)

tg180 + tg1 tg180 tg

55

1

52

10

5 3

101 + (3/5)

21 + cos

2

2222

35

45

35

2

2

2

45

16

25925

1 cos2

35

925

259

169

1

cos2

43

2

sen > 0cos < 0

2

2

3 15 + 515

13

155

23

12

255

32

9 45

45 20

5

525 + 4 5 20

5

25 4 5

5 2

5

5 + 2

51 2

5/5

1 + 2

5/51 cos x

1 + cos xx

2

459

53

23

25

5

2/3

5/3

53

49

1 sen2x



21/46

18 Sabemos que cos x= y sen x< 0. Sin hallar el valor de x, calcula:

a) sen x b) cos ( + x) c) cos 2x

d) tg e) sen( x) f ) cos ( )

x3er cuadrante 2- cuadrante

a)sen x= = 1 = =

b) cos( +x) = cos cos xsen sen x= cos x=

c) cos2x= cos2xsen2x= = =

d) tg = = = =

e)sen ( x) = sen cos xcos sen x= cos x=

f) cos( ) = cos cos +sen sen = cos =

= ( ) = = =19 Si cos 78 = 0,2 y sen37 = 0,6, calcula sen41, cos 41 y tg41.

41 = 78 37

sen 78 = = = 0,98

cos37 = = = 0,8

Ahora ya podemos calcular:

sen 41 =sen (78 37) =sen 78 cos37 cos78sen 37 =

= 0,98 0,8 0,2 0,6 = 0,664


= 0,2 0,8 + 0,98 0,6 = 0,748

tg41 = = = 0,88770,6640,748

sen 41cos41

1 0,621 sen 2 37

1 0,221 cos2 78

88

1

81 3/4

21 + cos x

2

x

2x

2x

2x

2

34

2

2

2

77

11 + 3/4

1 3/41 cos x

1 + cos xx

2

18

216

716

916

34

74

7

16916

1 cos2x

x

2

cos x= 3/4

sen x< 0

x2

2

x2

34



22/46

20 Si tg( + ) = 4 y tg = 2 , halla tg2.

tg( + ) = 4 =

4 + 8 tg = 2 + tg 7 tg = 6 tg =

Luego:

tg2 = = = = =

PARA RESOLVER

21 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ngu-lo central en grados y en radianes.

Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporcin entre las longitu-

des de los arcos y la medida de los ngulos.

Como la circunferencia completa ( = 100,53 cm) son2 rad, entonces:

= = = 1,25 rad

= 1,25 = 71 37' 11"

22 Halla, en radianes, el ngulo comprendido entre 0 y 2 tal que sus razones

trigonomtricas coincidan con las de .

0 < < 2

= = 2 + =

23 Demuestra que = .

Aplica las frmulas de sen ( + ) y sen ( ). Divide tanto el numerador co-mo el denominador entre cos cos y simplifica.

=(*)=

= =

(*) Dividimos numerador y denominador entre cos cos.

tg + tgtgtg

sen cos cos sen +

cos cos cos cos

sen cos cossen

cos cos cos cos

sen cos + cossen sen coscossen

sen ( + )sen ()

tg + tgtgtg

sen( + )sen()

34

34

114

8 + 34

114

114

3602

20 2100,53

2

100,5320

8413

12 497 13

12/713/49

2 (6/7)1 36/49

2 tg1 tg2

67

2 + tg1 + 2 tg

tg + tg1 tg tg


16 cm

20

cm


23/46

24 Prueba que 2 tg x cos2 sen x= tg x.

Sustituye cos2 = .

Como cos = cos2 =

Y sustituyendo en la expresin:

2 tg x cos2 sen x= 2 sen x=

=(*)=

= = = tg x

(*) Sacando factor comn.

25 Demuestra que cos (x+ )cos (x+ ) = cos x.

Desarrolla y sustituye las razones de y .

cos(x+ )cos(x+ ) =

= [cos x cos sen x sen ][cos x cos sen x sen ] =

= [(cos x) (sen x) ][(cos x) ( )(sen x) ] == cos x sen x+ cos x+ sen x= cos x

26 Demuestra que cos cos () + sen sen() = cos .

Aplica las frmulas de la diferencia de ngulos, simplifica y extrae factor comn.

cos cos() +sen sen () =

= cos (cos cos +sen sen ) +sen (sen coscossen ) =

= cos2

cos + cossen sen +sen2

cossen cossen == cos2 cos +sen2 cos

(*)= cos (cos2 +sen2 ) = cos 1 = cos

(*) Extraemos factor comn.

27 Prueba que = tg2 .

= = =

= = tg22

1cos1 + cos

2sen (1cos)2sen (1 + cos)



2

2 sensen22 sen + sen2

32

12

32

12

32

12

32

12

23

23

3

3

23

3

23

3

23

3

sen x

cos x

sen x[1 + cos xcos x]cos x

sen x(1 + cos x)sen x cos xcos x

1 + cos x2

sen x

cos x

x

2

1 + cos x2

x

21 + cos x

2x

2

1 + cos x

2

x

2

x

2



24/46

28 Simplifica:

Al desarrollar el numerador obtendrs una diferencia de cuadrados.

=

= =

= =

= = =

= = 1

29 Demuestra: =

=(*)=

= =

30 Simplifica la expresin y calcula su valor para = 90.

= =

Por tanto, si = 90 = = = 0


a) sen( + x) sen x= 0

b) sen( x) + cos ( x) =

c) sen2x 2 cos2 x= 0

Desarrolla sen 2x y saca factor comn.

d) cos 2x 3 sen x+ 1 = 0

Desarrolla cos 2x y sustituye cos2x = 1 sen2x

12

3

6

24

2 01

2 cossen

sen 21cos2

2 cossen

2sen cossen2

sen 21cos2

sen21 cos2

1 + tg tg1tg tg

cos cos sen sen +

cos cos cos cos

cos cos sen sen

cos cos cos cos

cos cos +sen sen cos cossen sen

cos()cos( + )

1 + tg tg1 tg tg

cos ()cos ( + )

cos2

sen2

cos2 sen2

2 1/2 cos2 2 1/2sen 2 cos2 sen2

2 [(

2/2)2 cos2 (

2/2)2sen2 ]cos2 sen 2

2 (cos2 45 cos2 sen2 45sen 2 )cos2 sen2

2 (cos45 cossen 45sen ) (cos45 cos +sen 45sen )cos2 sen2

2 cos(45 + ) cos(45 )cos2

2cos (45 + ) cos (45 )cos 2


(*) Dividimos numerador ydenominador entre:

cos cos


25/46

a)sen cos x + cos sen x sen x= 0

cos x+ sen x sen x= 0

cos x sen x= 0 cos xsen x= 0

cos x=sen x x1 = , x2 =

Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son vlidas. Luego:

x1 = + 2k = 45 + k 360

x2 = + 2k = 225 + k 360

Podemos agrupar las dos soluciones en:

x= + k = 45 + k 180 con k Z

b)sen cos x cos sen x+ cos cox x+ sen sen x=

cos x sen x+ cos x+ sen x=

cos x+ cos x= cos x=

Comprobamos y vemos que:

x1 sen ( ) + cos( ) =sen ( ) + cos0 = + 1 =

x2 sen ( ) + cos( ) =sen ( ) + cos( ) = 1 =Son vlidas las dos soluciones. Luego:

x1 = + 2k = 60 + k 360

x2 = + 2k = 300 + k 360

c) 2sen x cos x2 cos2x= 0 2 cos x(sen xcos x) = 0

Comprobamos las soluciones. Todas son vlidas:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 270 + k 360 = + 2k32

2

cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270sen x= cos x x3 = 45, x4 = 225

53

3

12

12

43

33

53

3

53

6

12

12

6

3

3

3

6

x1 = /3x2 = 5/3

12

12

12

12

12

32

12

32

12

12

3

3

6

6

4

54

4

54

4

22

22

222

22

24

4


con k Z

con k Z


26/46

x3 = 45 + k 360 = + 2k

x4 = 225 + k 360 = + 2k

Tambin podramos expresar como:

x1 = 90 + k 180 = + k

x2 = 45 + k 180 = + k

d) cos2 xsen2 x3 sen x+ 1 = 0 1sen2 xsen2 x3 sen x+ 1 = 0

12sen2x3sen x+ 1 = 0 2sen2x+ 3sen x2 = 0

sen x= = =

Comprobamos que las dos soluciones son vlidas.

Luego:

x1 = 30 + k 360 = + 2k

x2 = 150 + k 360 = + 2k

Pgina 14432 Resuelve estas ecuaciones:

a) 4 sen2 x cos2 x+ 2 cos2 x 2 = 0

Al hacer sen2x = 1 cos2x, resulta una ecuacin bicuadrada.

Haz cos2x = z y comprueba si son vlidas las soluciones que obtienes.

b) 4 sen2 x+ sen x cos x 3 cos2 x= 0

Divide por cos2x y obtendrs una ecuacin con tg x.

c) cos2 + cos x = 0

d) tg2 + 1 = cos x

e) 2 sen2 + cos 2x= 0

a) 4(1cos2x) cos2x+ 2 cos2x2 = 0

4 cos2x4 cos4x+ 2 cos2x2 = 0

4 cos4x6 cos2x+ 2 = 0 2 cos4x3 cos2x+ 1 = 0

x2

x2

1

2

x

2

56

6

1/2 x1 = 30, x2 = 1502 Imposible, pues sen x 13 5

43 9 + 164

4

2

54

4


con k Z

con k Z


27/46

Sea cos2x= z cos4x= z2

As:

2z23z+ 1 = 0 z= =

z1 = 1 cos x= 1

z2 = cos x=

Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son vlidas. Por tanto:

x1 = k 360 = 2k

x2 = 180 + k 360 = + 2k

x3 = 45 + k 360 = + 2k

x4 = 315 + k 360 = + 2k

x5 = 135 + k 360 = + 2k

x6 = 225 + k 360 = + 2k

O, agrupando las soluciones:

x1 = k 180 = k

x2 = 45 + k 90 = + k

b) Dividiendo por cos2x:

+ = 0

4 tg2x+ tg x3 = 0

tg x= = =1 78

1 1 + 488

3 cos2x

cos2x

sen x cos x

cos2x

4sen2x

cos2x

2

4

7

4

34

54

4

x3 = 45, x4 = 315x5 = 135, x6 = 225

22

12

x1 = 0x2 = 180

3 14

3 984


con k Z

con k Z

1 x3 = 135

x4 = 315

x1 = 36 52' 11,6"

x2 = 216 52' 11,6"

34


28/46

Las cuatro soluciones son vlidas:

x1 = 36 52' 11,6" + k 360 + 2k

x2 = 216 52' 11,6" + k 360 + 2k

x3 = 135 + k 360 = + 2k

x4 = 315 + k 360 = + 2k


x1 = 36 52' 11,6" + k 180 + k

x2 = 135 + k 180 = + k

c) + cos x = 0 1 + cos x+ 2 cos x1 = 0

3 cos x= 0 cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270

Las dos soluciones son vlidas. Luego:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 270 + k 360 = + 2kAgrupando las soluciones:

x= 90 + k 180 = + k con k Z

d) + 1 = cos x 1cos x+ 1 + cos x= cos x+ cos2x

2 = cos x+ cos2x cos2x+ cos x2 = 0

cos x= =

Luego:

x= k 360 = 2k con k Z

e) 2 + cos2xsen2x= 0

1cos x+ cos2x(1cos2x) = 0 1cos x+ cos2x1 + cos2x= 0

2 cos2xcos x= 0 cos x(2 cos x1) = 0

cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270cos x= 1/2 x3 = 60, x4 = 300

1cos x2

1 x= 02 Imposible!, pues cos x 1

1 32

1 1 + 82

1cos x1 + cos x

2

32

2

12

1 + cos x2

34

5

75

35

65

5


con k Z

con k Z

con k Z


29/46

Se comprueba que son vlidas todas. Por tanto:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 270 + k 360 = + 2k

x3 = 60 + k 360 = + 2k

x4 = 300 + k 360 = + 2k

Agrupando las soluciones quedara:

x1 = 90 + k 180 = + k

x2 = 60 + k 360 = + 2k

x3 = 300 + k 360 = + 2k


a) cos 2x+ 3 sen x= 2

b) tg2x tg x= 1

c) cos x cos 2x+ 2 cos2 x= 0

d) 2 sen x= tg2x

e) sen + cos x 1 = 0

f ) sen2x cos x= 6 sen3 x

g) tg ( x) + tg x= 1a) cos2xsen2x+ 3sen x= 2 1sen 2xsen2x+ 3sen x= 2

2sen2x3sen x+ 1 = 0

sen x= =

Las tres soluciones son vlidas:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 30 + k 360 = + 2k

x3 = 150 + k 360 = + 2k56

6

2

1 x1 = 901/2 x1 = 30, x2 = 150

3 14

3 984

4

x2

3

53

3

2

53

3

32

2


con k Z

con k Z

con k Z


30/46

b) tg x= 1 2 tg2x= 1tg2x tg2x=

tg x=


x1 = 30 + k 360 = + 2k

x2 = 210 + k 360 = + 2k

x3 = 150 + k 360 = + 2k

x4 = 330 + k 360 = + 2k

Agrupando:

x1 = 30 + k 180 = + k

x2 = 150 + k 180 = + k

c) cos x(cos2xsen2x) + 2 cos2x= 0

cos x(cos2x1 + cos2x) + 2 cos2x= 0

2 cos3xcos x+ 2 cos2x= 0 cos x(2 cos2x+ 2 cos x1) = 0

cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270

cos x= = =

=

Las soluciones son todas vlidas:

x1 = 90 + k 360 = + 2k

x2 = 270 + k 360 = + 2k

x3 = 68 31' 51,1" + k 360 0,38 + 2k

x4 = 291 28' 8,9" + k 360 1,62 + 2k

32

2

1,366 Imposible!, pues cos x 10,366 x3 = 68 31' 51,1", x4 = 291 28' 8,9"

1

32

2 2

34

2 4 + 84

56

6

116

56

76

6

x1 = 30, x2 = 210

x3 = 150, x4 = 330

3

3

13

2 tg x

1tg2x


con k Z

con k Z

con k Z


31/46

Agrupadas, seran:

x1 = 90 + k 180 = + k

x2 = 68 31' 51,1" + k 360 0,38 + 2kx3 = 291 28' 8,9" + k 360 1,62 + 2k

d) 2sen x= 2sen x2sen x tg2x= 2 tg x

sen xsen x =

sen x cos2xsen x sen 2x=sen x cos x

sen x(cos2xsen2xcos x) = 0

sen x(cos2x1 + cos2xcos x) = 0

sen x= 0 x1 = 0, x2 = 180

2 cos2xcos x1 = 0 cos x= =

=

Las cuatro soluciones son vlidas. Luego:

x1 = k 360 = 2k

x2 = 180 + k 360 = + 2k

x4 = 240 + k 360 = + 2k

x5 = 120 + k 360 = + 2k

Que, agrupando soluciones, quedara:

x1 = k 180 = k

x2 = 120 + k 360 = + 2k

x3 = 240 + k 360 = + 2k

e) + cos x1 = 0 = (1cos x)2

33 cos x= 2 (1 + cos2x2 cos x) 2 cos2xcos x1 = 0

cos x= = =1 x1 = 01/2 x2 = 120, x3 = 240

1 34

1 1 + 84

33 cos x2

1cos x

23

43

23

23

43

1 x3 = 0 =x11/2 x4 = 240, x5 = 120

1 1 + 84

sen x

cos x

sen2x

cos2x

2 tg x

1tg2x

2


con k Z

con k Z

con k Z


32/46

Al comprobar vemos que las tres soluciones son vlidas:

x1 = k 360 = 2k

x2 = 120 + k 360 = + 2k

x3 = 240 + k 360 = + 2k

f) 2sen x cos x cos x= 6sen 3x 2sen cos2x= 6sen3x

2sen x(1sen2x) = 6sen 3x 2sen x2sen3x= 6sen3x

sen x= 0 x1 = 0, x2 = 180

sen2x= sen x=

Comprobamos que todas las soluciones son vlidas.

Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro:

x1 = k 180 = k

x2 = 30 + k 90 = + k

g) + tg x= 1 + tg x= 1

1 + tg x+ tg xtg2x= 1tg x tg2x3 tg x= 0

tg x(tg x3) = 0


x1 = k 360 = 2k

x2 = 180 + k 360 = + 2k

x3 = 71 33' 54,2" + k 360 + 2k

x4 = 251 33' 54,2" + k 360 + 2k


x1 = k 180 = k

x2 = 71 33' 54,2" + k 180 + k25

75

25

tg x= 0 x1 = 0, x2 = 180tg x= 3 x3 = 71 33' 54,2", x4 = 251 33' 54,2"

1 + tg x1tg x

tg(/4) + tg x1tg(/4) tg x

2

6

x3 = 30, x4 = 150x5 = 210, x6 = 330

12

14

43

2

3


con k Z

con k Z

con kZ

con k Z


33/46


a) sen3xsen x= cos 2x b) = 1

c) = d) sen3xcos 3x= sen xcos x

Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos.

a) 2 cos sen = cos2x

2 cos2x sen x= cos2x 2sen x= 1

sen x= x1 = 30, x2 = 150

Comprobando, vemos que las dos soluciones son vlidas. Luego:

x1 = 30 +

k 360 = + 2

k

x2 = 150 + k 360 = + 2k

b) = 1 = 1 = 1

= 1 2sen 2x= 1 sen 2x=

2x= 30 x1 = 15 + k 360 = + 2k

2x= 150 x2 = 75 + k 360 = + 2k

2x= 390 x3 = 195 + k 360 = + 2k

2x= 510 x4 = 255 + k 360 = + 2k

Al comprobar, vemos que todas las soluciones son vlidas.

c) = = = tg x=

Ambas soluciones son vlidas. Luego:

x1 = 150 + k 360 = + 2k

x2 = 330 + k 360 = + 2k

d)sen 3xsen x= cos3xcos x

2 cos2x sen x=2sen 2x sen x (dividimos entre 2sen x)

cos2x=sen 2x =1 tg2x=1 sen 2xcos2x

116

56

x1 = 150

x2 = 330

33

31tg x

cos x

sen x2sen 2x cos x

2sen 2x sen x

1712

1312

512

12

12

2sen 2x cos2xcos2x

sen (2 2x)cos2x

sen 4xcos2x

2sen 4x cos x2 cos2x cos x

56

6

12

3xx2

3x+x2

3sen3x+ sen xcos 3xcos x

sen5x+ sen3xcos x+ cos 3x


con k Z

con k Z

con k Z


34/46


35/46


36/46

cos x= 0 x1 = 90, x2 = 270

2sen2xsen x=sen x(2sen x1) = 0

sen x= 0

sen x=

Las soluciones quedan, pues, como:

x1 = k = k 90

x2 = + 2k = 30 + k 360

x3 = + 2k = 150 + k 360

donde x1 engloba las cuatro primeras soluciones.

37 Demuestra las siguientes igualdades:

a) cos ( + ) cos () = cos2 sen2

b) sen2 ( )sen2 ( ) = sen sen

c) cos2 ( )cos2 ( ) = sen sen

a) cos( + ) cos() = (cos cossen sen ) (cos cos +sen sen ) =

= cos2 cos2 sen2 sen 2 =

= cos2 (1sen 2 )(1cos2 ) sen 2 =

= cos2 cos2 sen 2 sen 2 + cos2 sen2 =

= cos2 sen2

b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego pode-mos factorizarlo como una suma por una diferencia:

[sen ( ) +sen ( )] [sen ( )sen ( )] (*)=

= [2sen cos ] [2 cos sen ] =

= 4 =

= =

= = =sen sen sen2 sen2 (1cos2 ) (1cos2 )

(1cos) (1 + cos) (1 + cos) (1cos)

1cos

21 + cos

21 + cos

21cos

2

2

2

2

2

2

+ 2

2

+ 2

+ 2

2

2

+ 2

56

6

2

x5 = 30

x6 = 150

12

x3 = 0

x4 = 180


con k Z


37/46

(*) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que:

+ = y =

c) Procedemos de manera anloga al apartado anterior, pero ahora:

+ = y =

cos2 ( )cos2 ( ) =

= [cos( ) + cos( )] [cos( )cos( )] =

= [2 cos cos ] [2sen sen ] = [2 cos cos ] [2 sen sen] =

= 4 =

= = =sen sen

NOTA: Tambin podramos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior comosigue:

cos2 ( )cos2 ( ) = 1sen 2 ( )1 +sen 2 ( ) =

=sen 2 ( )sen2 ( ) (*)=sen sen (*) Por el apartado b).

38 Expresa sen4 y cos 4 en funcin de sen y cos .

sen 4 =sen (2 2) = 2sen cos2 =

= 2 2sen cos (cos2 sen2 ) =

= 4 (sen cos3 sen3 cos)

cos4 = cos(2 2) = cos2 2sen2 2 =

= (cos2 sen 2 )2(2sen cos)2 =

= cos4 +sen4 2 cos2 sen2 4sen2 cos2 =

= cos4 +sen4 6sen2 cos2

39 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:

a) b)

Haz cos2y = 1 sen2 y y cos2x = 1 sen2x.

c)sen x+ cos y = 1

x + y= 90

sen2 x+ cos2y= 1

cos2 xsen2y= 1

x+y= 120

sen xsen y= 1/2

2

+ 2

+ 2

2

+ 2

2

sen2 sen2 (1cos2 ) (1cos2 )

1cos2

1cos2

1 + cos2

1 + cos2

2

2

2

2

2

2

2

2

+ 2

2

+ 2

2

+ 2

2

+ 2

2

+ 2

2

2

+ 2

2

+ 2



38/46

a) De la segunda ecuacin:

2 cos sen =

Como:

x+y= 120 2 cos60sen =

2 sen = sen =

= 30 xy= 60

As: x+y= 120

xy= 60

2x = 180 x= 90 y= 30

Luego la solucin es: (90, 30)

b) Como

El sistema queda:

(Sumando ambas igualdades) 2sen2

y= 0 sen y= 0 y= 0

Sustituyendo en la segunda ecuacin (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene:

cos2x0 = 1 cos2x= 1 =


c)x+y= 90 complementarios sen x= cos y

Sustituyendo en la primera ecuacin del sistema:

cos y+ cos y= 1 2 cos y= 1 cos y= y= 60

x= 90 y= 90 60 = 30


40 Demuestra que para cualquier ngulo se verifica:

sen + cos = cos ( )42

12

cos x= 1 x= 0cos x=1 x= 180 2- cuadrante

sen2xsen2y= 0

sen2xsen2y= 0

sen 2x+ 1sen 2y= 1

1sen 2xsen2y= 1

cos2y= 1sen2y

cos2x= 1sen2x

xy2

12

xy2

12

xy2

12

12

xy2

12

xy2

x+y2



39/46

Desarrollamos la segunda parte de la igualdad:

cos( ) = (cos cos +sen sen ) =

= ( cos + sen ) =

= (cos +sen ) = (cos +sen ) =

= cos +sen

41 Demuestra que = 2 tg2x.

= =

= =

=(*)= = =

= = 2 = 2 tg2x

(*) Dividimos numerador y denominador entre cos2x.

42 Simplifica la expresin 2 tg x cos2 sen x.

2 tg x cos2 sen x= 2 ( )sen x=

= sen x=sen x( 1) =

=sen x( ) =sen x( ) = tg x

Pgina 145

CUESTIONES TERICAS

43 Qu relacin existe entre las razones trigonomtricas de los ngulos que

miden y radianes?

+ = = son suplementarios, luego:

sen =sen ( ) =sen 4545

5

55

45

5

45

5

1cos x

1 + cos xcos xcos x

1 + cos xcos x

sen x(1 + cos x)cos x

1 + cos x2

sen x

cos x

x

2

x

2

2 tg x1tg2x

4 tg x

1tg2x

4 (sen x/cos x)1(sen2x/cos2x)

4 (sen x cos x/cos2x)cos2xsen2x/cos2x

4sen x cos xcos2xsen 2x

cos2x+sen 2x+ 2sen x cos xcos2xsen2x+ 2sen x cos xcos2xsen2x

(cos x+sen x)2(cos xsen x)2

(cos xsen x)2(cos x+sen x)2cos xsen xcos x+sen x

cos x+sen xcos xsen x

cos xsen xcos x+ sen x

cos x+ sen xcos xsen x

22

22

2

22

22

2

4

4

24

2



40/46

cos =cos ; tg =tg

44 Relaciona estas expresiones con las razones trigonomtricas del ngulo :

a) sen(); cos (); tg()

b)sen( + ); cos ( + ); tg( + )

c) sen(2); cos (2); tg(2)

a) tg() =tg

b) tg( + ) = tg

c) tg(2) =tg

45 ExpresaA(x) en funcin de sen xy cos x:

a)A(x) = sen(x) sen(x)

b)A(x) = cos (x) + cos ( + x)

c)A(x) = sen( + x) + cos (2x)

a)A (x) =sen (x)sen (x) =sen xsen x=2sen x

b)A (x) = cos(x) + cos( +x) = cos x+ (cos x) = 0

c)A (x) =sen ( +x) + cos(2x) =sen x+ cos x

46 Demuestra que si , y son los tres ngulos de un tringulo, se verifica:

a) sen( + ) sen= 0

b) cos ( + ) + cos = 0

c) tg( + ) + tg= 0

Ten en cuenta que + = 180 y las relaciones que existen entre las razo-nes trigonomtricas de los ngulos suplementarios.

Como en un tringulo + + = 180 + = 180 , entonces:

a)sen ( + ) =sen (180 ) =sen sen ( + )sen = 0

b) cos( + ) = cos(180 ) =cos cos( + ) + cos= 0

c) tg( + ) = tg(180 ) =tg tg( + ) + tg= 0

47 Demuestra que si + + = 180, se verifica:

tg + tg + tg= tg tg tg

Haz + = 180 y desarrolla tg ( + ) = tg (180 ).

sen (2) =sen cos(2) = cos

sen ( + ) =sen cos( + ) =cos

sen () =sen cos() =cos

45

5

45

5



41/46

Si + + = 180 + = 180

tg( + ) = tg(180 ) =tg tg=tg( + )

As, sustituyendo:

tg + tg + tg (*)= tg + tgtg( + ) =

= tg + tg =

= =

= = (sacando factor comn)

= =tg tg tg( + ) =

= tg tg [tg( + )] (*)= tg tg tg(*) tg=tg( + )

48 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la funciny = cos 2x, dan-do a xvalores comprendidos entre 0 y 2 radianes y represntala grfica-mente.

49 Representa las funciones:

a)y= cos (x+ ) b)y= sen(x+ ) c)y= cos ( x)22

2

tg tg (tg + tg)1tg tg

tg2 tgtg tg2 1tg tg

(tgtg2 tg) + (tgtg tg2 )(tg + tg)1tg tg

tg + tg1tg tg


x 0

y= cos2x 1 0 1 1

2

2

2

3

2

3

2

2

2

1

2

2

2

3

2

23

58

712

2

512

38

3

4

8

12

2

0 1 1 0 032

22

78

54

1112

78

34

1

0

1

2

232

1

1

2 2

2

a) 1

1

c)1

1

b)

32

32

2

32

2

2


42/46

PARA PROFUNDIZAR

50 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:

a)sen x+ sen y=

cos x+ cos y= 1

b)sen2 x+ cos2y= 3/4

cos2 xsen2y= 1/4

c)cos (x+y) = 1/2

sen(xy) = 1/2

a) Despejando en la segunda ecuacin:

cos x= 1cos y(*)

Como sen x=

sen x= = =

Y, sustituyendo en la primera ecuacin, se tiene:

sen x+sen y= +sen y=

sen y=

Elevamos al cuadrado:

sen2y= 3 + (2 cos ycos2y)2

sen2y+ cos2y2 cos y3 =2

12 cos y3 =2

2 (1 + cos y) =2

Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado:

(1 + cos y)2 = 3 (2 cos ycos2y)

1 + cos2y+ 2 cos y= 6 cos y3 cos2y

4 cos2y4 cos y+ 1 = 0 cos y= = y= 60

Sustituyendo en (*), se tiene:

cos x= 1 = x= 6012

12

12

4 16168

3 (2 cos ycos2y)

3 (2 cos ycos2y)

3 (2 cos ycos2y)

3 (2 cos ycos2y)

2 cos ycos2y3

32 cos ycos2y3

2 cos ycos2y11cos2y+ 2 cos y1(1cos y)2

1cos2x

3


entonces:


43/46

b)sen2x+ cos2y=

cos2xsen2y=

sen2x+ cos2x+ cos2ysen2y= 1

1 + cos2ysen2y= 1

2 cos2y= 1 cos2y= cos y= y= 45

(Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante).

Sustituyendo en la primera ecuacin:

sen2x+ cos2y= sen2x+ =

sen2x= sen2x= sen x=

Nos quedamos con la solucin positiva, por tratarse del primer cuadrante. As:

sen x= x= 30


c)

Teniendo esto en cuenta:

cos(x+y) = x+y= 60

sen (xy) = xy= 30 (Sumamos ambas ecuaciones)

2x= 90 x= 45

Sustituyendo en la primera ecuacin y despejando:

y= 60 x= 60 45 = 15

La solucin es, por tanto: (45, 15)

51 Demuestra que:

a) sen x=

b) cos x=

c) tg x=2 tg x/2

1 tg2 x/2

1 tg2 x/2

1 + tg2 x/2

2 tg x/2

1 + tg2 x/2

12

12

x+y1er cuadrantexy1er cuadrante

Como x,y1er cuadrantey adems cos(x+y) > 0

sen (xy) > 0

12

12

14

12

34

34

12

34

22

12

14

34


Sumando:


44/46

a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad:

= = =

= = (1 + cos x) =

= (1 + cos x)2 = =

= = =sen x

b) = = = = cos x

c) = = =

= = =

= (1 + cos x)2 =

= =

= = sen x= tg x

PARA PENSAR UN POCO MS

52 Demuestra que, en la siguiente figura, = + .

1cos xsen2x1cos x

(1cos2x1cos x

(1 + cos x) (1cos x)1cos x

1cos x1 + cos x

1cos x

1cos x

1 + cos x1 + cos x

cos x

21cos x

1 + cos x

2 cos x

1 + cos x

21cos x

1 + cos x

1 + cos x1 + cos x

1 + cos x

21cos x

1 + cos x

11cos x

1 + cos x

2 tg(x/2)1tg2 (x/2)

2 cos x2

1 + cos x1 + cos x

1 + cos x

1 + cos x+ 1cos x

1 + cos x

1 cos x1

1 + cos x

1 cos x1 +

1 + cos x

1tg2 (x/2)

1 + tg2 (x/2)

sen2x1cos2x

(1 + cos x) (1cos x)1cos x1 + cos x

1cos x

1 + cos x

21cos x

1 + cos x

21 + cos x

21cos x

1 + cos x

1 + cos x+ 1cos x1 + cos x

21cos x

1 + cos x

1 + 1cos x1 + cos x

2 tg(x/2)

1 + tg2

(x/2)



45/46

a) Puedes realizar la demostracin recurriendo a la frmula de la tangentede una suma.

b) Hay una posible demostracin, ms sencilla y elegante que la anterior,reconociendo los ngulos , y en la siguiente figura:

a) tg( + ) = = = = = 1

tg = 1

As, vemos que tg( + ) = tg

Como , , 1er cuadrante

b) =BOD. Basta observar que se trata de uno de los ngulos agudos del tringu-lo rectngulo que se forma con la diagonal de un cuadrado.

= COD, por ser el ngulo agudo menor de un tringulo rectngulo cuyos cate-tos miden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetosde dos y una unidad.

= AOC, pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeos por unida-des, se trata del ngulo menor del tringulo rectngulo de catetos 3 y 1 unidades(OA yAC, respectivamente).

As, podemos observar fcilmente en el dibujo que = + , pues:

BOD=AOD=AOC+ COD

53 Obtn la frmula siguiente:

sen + cos = cos ( 45)

Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la frmula correspon-

diente.

cos =sen (90 )

Sustituyendo en el primer miembro de la igualdad y desarrollando (transformare-mos en producto):

2

5/65/6

5/611/6

1/2 + 1/311/2 1/3

tg + tg1tg tg


+ =

A

B

C

DO


46/46

sen + cos =sen +sen (90 ) =

= 2sen cos =

= 2 sen cos =

= 2sen 45 cos(45) =

= 2 (cos45) = cos(45)222

2902902

(90 )2

+ (90 )2

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U05 Funciones y Formulas Trigonometricas